Фрактальная кристаллография квазикристаллических структур в древесно-графовом представлении на группах подобия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ГЛАВА I. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

§1.1. Фракталы и их характеристики.

§1.2. Квазикристаллы и замечательные ряды.

§1.3. Элементы теории графов.

§1.4. Фазовые переходы и метод ренорм-групп.

§1.5. Основные понятия теории групп.

ГЛАВА II. КОНФИГУРАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ В ОЦЕНКЕ СИММЕТРИИ СТРУКТУРНЫХ ЕДИНИЦ КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МОЗАИК.

§2.1. Понятие обобщенной кристаллографии.

§2.2. Алфавит и грамматика синтеза квазикристаллических мозаик.

§2.3. Метрическая (координационная) энтропия графов.

§2.4.Применение энтропийной методики к иерархическому алфавиту квазикристаллических мозаик.

§2.5.Непрерывные преобразования гексарешетки в пентасимметричную мозаику.

ГЛАВА III. ГРУППА ПОДОБИЯ ФИБОНАЧЧИ-ПЕНРОУЗА. ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ФИБОНАЧЧИ.

§3.1. Элементы групповой алгебры в матричном представлении.

§3.2. Группы подобия в синтезе квазикристаллических мозаик.

§3.3. Обобщенные ряды Фибоначчи в квазикристаллических мозаиках. Логические операционные модули.

§3.4. Системы Кантора, Кох, Пенроуза, инвертор Фибоначчи как единый "тримолекулярный" класс.

ГЛАВА IV. ФРАКТАЛЬНОСТЬ ПОРОЖДАЮЩИХ ДРЕВЕСНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ

КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МОЗАИК.

§4.1. Порождающие древесные графы для квазикристаллических систем.

§4.2. Перколяция информодинамических функционалов на порождающих древесных графах.

§4.3. Фрактальные оценки порождающих древесных графов в теоретикоинформационном представлении.

§4.4. Морфогенетический сценарий синтеза мозаики Пенроуза, Q-мозаики.

Различные квазикристаллические модели изучаются уже около 18 лет, после открытия группой Шехтмана спиннингованного А^бМпм сплава, обладающего характерными рефлексами в дифракционной картине, присущими пентасимметрии. Хорошо известно, что классическая кристаллография запрещает пентасимметрию и симметрии более высоких порядков, чем 6. В основе классической кристаллографии лежит группа S03, на которую наложено требование трансляции Браве. Это весьма жесткое требование на вышеуказанную группу приводит к резкому сужению бесконечномерного вектора характеров на пятимерный вектор группы S03. Именно отсюда следует возможность существования кристаллических симметрий порядков Li, L2, L3, L4 и L6 поворотных осей.

Квазикристаллические симметрии были также обнаружены в феномене квазистохастической паутины [1], которая получается как следствие распада сепаратрис в некоторые структуры квазикристаллического типа. Подобный "квазикристаллический" распад семейства сепаратрис характерен для нелинейных динамических уравнений с аддитивным е-возмущением. Авторы [1] показали, что квазикристалличность квазстохастической паутины может быть объяснена через преобразование с подкручиванием.

Видимо, уместно вспомнить и саму модель Пенроуза [2], которая, с одной стороны, была забавной нетривиальной мозаикой, а с другой стороны, возможная модель, иррациональная проекция многомерного пространства.

Достаточно известны высшие мозаики, паркеты, введенные Дюно и Кацем. Все это указывает на то, что квазикристаллические симметрии имеют самостоятельную ценность. Поэтому представляет интерес постановка и решение нижеследующих задач:

1. Дать расширение, обобщение математической кристаллографии на квазикристаллические структуры. Исходным в этом направлении служит обобщение концепции пространственных точечных систем с использованием некоторых энтропийных функционалов на соответствующих звездах, пауках. Высказывается гипотеза, что могут существовать стохастические разупорядоченные правильные точечные системы не эквивалентные метрически, но эквивалентные энтропийно.

2. Подойти к синтезу квазикристаллических мозаик, трактуя последние как некоторый текст с соответствующей иерархической системой алфавитов, грамматикой. Если такая гипотеза правомерна, то необходимо создать сам алфавит элементарных структур и фраз, образованных из них. Затем построить в явном виде соответствующую алгебру грамматики, в результате которой удается синтезировать квазикристаллические мозаики на высшем алфавитном уровне.

3. Попытаться распространить теоретико-групповой подход на процедуры синтеза квазикристаллических мозаик с привлечением подобных преобразований элементарных символов введенного выше алфавита. Выяснить специфически характерные черты такой группы подобия. Формализм группы подобия потребует отказа от принципов бездефектного замощения, упаковки, покрытия R-2v3 жесткими метрически инвариантными символами первичного алфавита. Необходимо потребовать, чтобы при коллапсировании или расширении от некоторых затравочных элементов алфавита, инвариантом подобного преобразования было отношение мер структурных единиц, а не сами меры.

4. По нашему мнению, наиболее естественное, адекватное отображение грамматики квазикристаллических мозаик возможно дать в древесно-графовом представлении. Имеются в виду порождающие древесные графы квазидетерминированного типа, которые отвечают итерационной алгебре уравнений на алфавитах. Необходимо на подобных квазидетерминированных древесных графах рассмотреть задачи информодинамеческой перколяции.

5. Поскольку древесные графы, с одной стороны, являются симплектическими структурами, с другой стороны, любое дерево может быть составлено только из кустов, то эти обстоятельства указывают на существование некоторого топологического подобия на множестве древесных графов. С точки зрения раннего Мандельброта, это прямой путь к привлечению концепции фрактальности. Тем самым необходимо разработать конкретную методику оценки фрактальных размерностей древесных структур в информодинамическом представлении. Возможно, что квазикристаллические мозаики будут характеризоваться каким-либо замечательным поведением информодинамических, дивергентных функционалов в задаче топологической перколяции древесных графов. Если предлагаемый нами формализм будет достаточно жизнеспособен, то и фрактальные характеристики могут привести к сравнительно простым асимптотическим выражениям. 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения диссертационного исследования были получены следующие результаты:

1. Предложено рассматривать квазикристаллические мозаики как текст некоторого языка. Сформулирован 3-уровневый алфавит дуального типа для мозаики Пенроуза и Q-мозаики. Построена алгебра грамматики булевского типа на фразеологическом уровне.

2. Обобщена концепция правильных точечных систем через введение энтропийного метрического инварианта на пауках, звездах. Расширена гипотеза топологической конгруэнтности пауков до энтропийной эквивалентности. Квазикристаллические мозаики в этой расширенной концепции правильных точечных систем могут быть введены в математическую кристаллографию.

3. Показано, что идеальная мозаика Пенроуза может быть получена непрерывным растяжением гексарешетки при соответствующих золотых условиях. Введенные энтропийные метрические функционалы позволили выделить экстремальные точки при непрерывном преобразовании гексарешетки, одна из которых обладает типичной пентасимметрией.

4. Построены группы подобия, позволяющие генерировать квазикристаллические мозаики, которые реализуют некоторые морфогенетические принципы. Группа действует на триплетах, отраженных в соответствующих матрицах 2x2, элементы которых составлены из членов замечательных рядов. Показательно, что группа подобия действует на степенях матриц правых-левых сдвигов, порождая соответствующие групповые траектории. Операторы Фибоначчи и Q-ряда являются несобственными; операторы Пенроуза и Q-мозаики являются квадратичными по отношению к аналогичным операторам соответствующих рядов, данные преобразования собственные, а потому реализуемы в евклидовом пространстве. Во всех четырех случаях группа подобия обладает обычной операцией обратимости. Максимальное число из спектра собственных значений ряда Фибоначчи и Q-ряда есть линейный коэффициент подобия для соответствующих мозаик. Для мозаики Пенроуза К = а2 =ЯР = const, для Qmax мозаики К = л/2 +1 = аЯ ^ = const. Данные коэффициенты подобия групп наследуют золотую и квартетную симметрии и постоянны на любой иерархии. Спектр собственных значений сдвиговых операторов во всех случаях бинарный, дуальный; для систем Фибоначчи, Пенроуза ЛЯ = л/5, для Q-ряда АХ = 2л/2, для

Q-мозаики ДА, = 4л/2, тем самым паркеты полностью наследуют черты соответствующих рядов.

5. В формализме логических операционных модулей с триплетным входом-выходом и логическими операциями сложения-сдвига получены всевозможные обобщенные ряды, часть из которых может быть реализована в квазикристаллических симметриях.

6. Систематически разработана древесно-графовая процедура порождения фрактальных и квазикристаллических систем. Для нормированных перечисляющих полиномов на порождающих древесных графах решена задача перколяции в энтропийных и дивергентных функционалах. Оказалось, что энтропия и межуровневая дивергенция являются перколяционными инвариантами на порождающих древесных графах для всех рассматриваемых систем (деревья Фибоначчи, Пенроуза, Q-ряда, Q-мозаики, Кантора, Кох). Совпадение дивергенции и энтропии на каждом уровне порождающих древесных графов означает, что квазикристаллические симметрии энтропийно симплектичны. Энтропии для деревьев Фибоначчи, Пенроуза и Q-структур совпадают с соответствующими значениями энтропии в метрическом и статистическом представлениях.

7. Разработана методика оценки фрактальных характеристик порождающих древесных графов квазикристаллических симметрий в формализме Радона-Никодима. Утверждается, что фрактальная размерность информодинамического типа может быть рассчитана как отношение энтропий вероятностных мер перечисляющих полиномов и топологической емкости по ветвистости древесных графов. Физический смысл такой размерности - пропускная перколяционная способность квазикристаллических порождающих древесных графов. Дана ранжировка этих характеристик для 6 систем. Полученные фрактальные оценки также являются инвариантами древесной перколяции.

1. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков ДА., Черников А.А. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа "квазикристалл " 1. УФН. 1988, Т.156, вып.2, октябрь, с.193-252.

2. Нельсон Д.Р. Квазикристаллы // В мире науки. 1986, №10. с. 18-28

3. Пайтген О.О.-Х., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир. 1993. 176с.

4. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman, New York. 1982.

5. Мандельброт Б.Б. Фракталы в физике. Под ред. Пьетронеро Л., Тозатти Э. М.: Мир. 1988.

6. Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 254с.

7. Mandelbrot В.В. Fractals: Form, Chance, and Dimension. W.H. Freeman, San Francisco. 1977.

8. Pietronero L., Siebesma A.P. Self-similarity of fluctuations in random multiplicative processes II Phys. Rev. Lett. 1986, V.57. p.1098-1101.

9. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001, 528с.

10. Renyi A. On a new axomatic theory of probability II Acta Mathematica Hugaraica. 1955, V.6. p.285-335.

11. Meakin P., Stanley H.E., Coniglio A., Witten T.A. Scaling properties for the surfaces of fractal and nonfractal objects: An infinite hierarchy of critical exponents И Phys. Rev. Lett. 1986, Y.A34. p.3325-3340.

12. Hinrichsen E., Feder J., Jossang T. DLA growth from a line II Report Series, Cooperative Phenomena Project, Department of Physics, University of Oslo. 1987, V. 87-11. p. 1-21.

13. Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann H.J. Fractal dimension of dielectric breakdown II Phys. Rev. Lett. 1984, V.52. p.1033-1040.

14. Witten T.A., Sander L.M. Diffusion-limited aggregation: A Kinetic critical phenomenon II Phys. Rev. Lett. 1983, V.47. p. 1400-1403.

15. Shechtman D., Blech I., Cratias D., Cahn J.W. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry II Phys. Rev. Lett. 1984, V.53. p.1951-1953.

16. Henely C.L. // J.Non-crystall Sol. V.75.p.91.

17. Гратиа Д. Квазикристаллы II УФН. 1988, октябрь, Т.156., вып.2. с.347-364.

18. Шаскольская М.П. Кристаллография. М.: Высш. школа. 1976. 392с.

19. Стивенз П.В., Гоулдман А.И. Структура квазикристаллов II В мире науки. 1991, №6. с. 14-21.

20. Братковский М.А., Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. Квазикристаллы II ФММ. 1989, Т.69, вып.6. с. 1041-1095.

21. Besicovic A.S. // Almost Periodic Functions. Cambridge: Camr.Univ.Press.

22. Levine D., Steinhard P.J. Quasicrystals: A new class of ordered structures II Phys. Rev. Lett. 1984, V.53. p.2477-2480.

23. Portiers R., Shechtman D., Cratias D., Cahn J.W. // J. Micr. and Spectr. Electron. V.10. P.107.

24. Вилков Ю.Х. Что такое квазикристаллы II Соровский образовательный журнал. Физика. 1997, №1. с.87-91.

25. Duneau M.,Katz A. Quasiperiodicpatterns II Phys. Rev. Lett. 1985, V.54. p.2688-2691.

26. Eisner V. Indexing problems in quasi-crystal diffraction II Phys. Rev. Lett. 1985, V.B32. p.4892-4898.

27. Mackey A. Crystallography and the Penrose pattern II Physica. 1982, V. 114A. p.609-613.

28. Penrose R. The role of aesthetics in pure and applied mathematical research И Bull. Inst. Math. &Its Appl. 1974, V.10. p.266-271.

29. Katz A., Duneau M. Quasiperiodic patterns and icosahedral symmetry II J. Phys. 1986, V.47.p.l81-196.

30. Chen H., Li D.X., Kuo K.H. New type of two-dimensional quasicrystal with twelvefold rotational symmetry И Phys. Rev. Lett. 1988, V.60. p. 1645-1648.

31. Ichimasa Т., Nissen H.-U., Fukano Y. Electron microscopy of crystalloid structure in Ni-Cr small particles II Phil. Mag. 1988, V.A58. p.835-863.

32. Ichimasa Т., Nissen H.-U., Fukano Y. New ordered state between crystalline and amorphous in Ni-Cr particles II Phys. Rev. Lett. 1985, V.55. p.551-513.

33. Schroeder M.R. Number Theory in Science and Communication, with applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing, and Self-Similarity. 2" enlarged ed. Berlin / N.Y.: Springer, 1990.

34. Харари Ф., Палмер. Э. Перечисление графов. М.: Мир. 1977. 327с.

35. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир. 1973.

36. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир. 1977. 200с.

37. Олемской А.И., Флат А.Я. ФТТ. 1988. 30. 3384.

38. Олемской А.И., Скляр И. А. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды IIУФН. 1993, Т.34, №12. с.1-50.

39. Коренблин И.Я., Шендер Е.Ф. // УФН. 1989, Т. 157. С.267.

40. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир. 1980. 400с.

41. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир. 1971. 536с.

42. Derrida В., De Seze L., Itzykson С. Fractal srtucture of zeroes in hierarchical models II J.Statist.Phys. 1983, V.33. p.559-569.

43. Pitgen H.-O., Richter P.H. Fraktale und die Theorie der Phasenubergange II Phys.Blatter. 1986, V42. p.9-22.

44. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир. 1982. 592с.

45. Stauffer D. Introduction to Percolation Theory. London: Taylor&Francis, 1985.

46. Anderson P.W. Absense of diffusion in a certain random lattices II Phys.Rev. 1958, V.109. p.1492-1505.

47. Cardy J.L. Conformal invariance and the Yang-Lee edge singularity in two dimensions II Phys. Rev. Lett. 1985, V.54. p.1354-1356.

48. Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симметрии. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001. 528с.

49. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Гос.изд.физ-мат. лит. 1960. 592с.

50. Неймарк М.А. Теория представления групп. М.: ИЛ. 1950.

51. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука. 1973.

52. Вольф Ж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука 1982.

53. Галиулин Р.В. Правильные системы // Природа. 1991, №12. с.20-36.

54. Шубников А.Б., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве // М.: Наука. 1972. 340с.

55. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам IIМ.: Мир. 1966. 587с.

56. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике IIМ.: Мир. 1985. 587с.

57. Kawamura Н. Statistics of Two-Dimensional Amorphous Lattice II Prog, of Theor. Phys. 1983, V.70, №2, August.

58. Юдин B.B. Сверхструктурные неоднородности аморфных планарных сред типа переходной металл-металлоид, редкая земля-переходной металл / Дисс. уч. ст. д.ф.-м.н. Красноярск. 1987.

59. Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Обобщение критерия правильности точечных систем на квазикристаллические множества II Тез. докл. Региональной естественнонаучной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Владивосток. 1997. с.23.

60. Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Лингвистическая кристаллография мозаики Пенроуза // СбД Всероссийской научно-технической конференции. Владивосток. 1998, Т. 2. с.93-95.

61. Юдин В.В., Карыгина Ю.А. Фракталъностъ квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза II Кристаллография. 2001, Т.46, № 6. с. 1004-1008.

62. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложности, катастрофы. М.: Мир. 1982. 216с.

63. Харари Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов II Сб. статей "Прикладная комбинаторная математика" . Под ред. Беккенбаха Э. М.: Мир. 1968. с.107-140.

64. Фракталы в физике И Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. М.: Мир. 1985. 670с.

65. Вильсон А.Д. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука. 1978.

66. Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Наука. 1987. 382с.

67. Галагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Сов. радио. 1974.

68. Фано Р. Передача информации. Статистическая теория связи. М.: Мир. 1965.

69. Стратанович Р.Л. Теория информации. М.: Сов. радио. 1975. 424с.

70. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова О.А., Карыгина Ю.А. Мозаика Пенроуза как древесно-графовая квазистохастическая решетка // Кристаллография. 2002. Т. 47. №2. с. 1-8.

71. Карыгина Ю.А., Тупиков М.Б., Юдин В.В. Энтропийный критерий квазикристалличности мозаики Пенроуза II Тез. докл. Региональной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток. 1998. с.46-47.

72. Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Древесно-фрактальный алгоритм топологического синтеза квазикристаллических мозаик II Материаловедение. 2001, №12. с.12-16.

73. Любченко Е.А. Древесные графы Кейли в исследовании сеточных структур мезодефектов кварцевых стекол / Дисс. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток. 1998.

74. Писаренко Т.А. Фракталъностъ сеточных систем мезодефектов металлических и кварцевых стекол в спектральном и древесно-графовом представлениях / Дисс.,уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток. 2001.

75. Юдина Л.А., Юдин В.В., Крайнова Г.С., Карыгина Ю.А. Аттрактивность стохастических квазиволновых полей в магнитонике II Тез.докл. Второй Всероссийской научно-технической конференции с международным участием. Москва. 1997. с.149-150.

76. Карыгина Ю.А. Корреляция тонкого магнитного разбиения и текстуры лабиринтной системы микропор ультрадисперсных пленок II Тез. докл. VI Российской научной студенческой конференции "Физика твердого тела". Томск. 1998. с.28.

77. Крайнова Г.С., Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Корреляция тонкого магнитного разбиения и цирковой структуры ультрадисперсных пленок И Тез.докл. Регион, конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток. 1998. с.38-39.

78. Юдин В.В., Карыгина Ю.А., Крайнова Г.С. Тонкая магнитная структура ультрадисперсных пленок и лабиринтная система микропор II Сб. трудов XVII международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники". Москва. 2000. с.485-487.

79. Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Древесно-фрактальный алгоритм топологического синтеза квазикристаллических мозаик II Тез.докл VII Всероссийской конференции "Аморфные и прецизионные сплавы: технология свойства - применение". Москва. 2000. с.52.

80. Лазарев А.И., Домрачев Г.А. Ромб и квадрат как зародыши для фрактального построения двумерных квазикристаллических структур с вращательной симметрией 8-го и 4-го порядков II Кристаллография. 1994, Т.39, №5. с.811-814.

81. Лазарев А.И., Суханов А.Ю., Домрачев Г.А. Устойчивые фрактальные формы в плоских квазикристаллических структурах с симметрией 8-го, 4-го и 1-го порядков,имеющих коэффициент салюподобия 1 + V2 // Кристаллография. 1996, Т.41, №5. с.798-803. j

82. Лазарев А.И., Домрачев Г.А. Приложение теории алгебраических систем для создания иерархии структур твердых тел, образующихся при равновесных и неравновесных условиях IIФТТ. 1999, Т.41, вып. 5. с.799-804.

83. Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Энтропия в графовом представлении рамки мозаики Пенроуза II Материалы XXXXII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы физики и математики". Т.П. Владивосток. 1999. с.82-84.

84. Мандельброт Б.Б. Странные аттракторы. М.: Мир. 1981.

85. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. 1971.

86. Юдин В.В. Стохастическая магнитная структура пленок с микропоровой системой. М.: Наука. 1987. 236 с.

87. Грудин Б.И., Плотников B.C., Фищенко В.К. Исследования неупорядоченных сред по электроннооптическим изображениям. Владивосток. 1999. 360 с.

88. Фищенко В.К. Разработка математического и програмного обеспечения автоматизированного рабочего места для исследования микроструктуры аморфных металлических сплавов / Дисс. уч. ст. к.т.н. Владивосток. 1995.

89. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. Лекции по математике. М.: Наука. 1992. 192с.

90. Karygina Yu.A., Yudin V.V. Fractal procedure of building of percolating medium with quasicrystal symmetry II Optoelectronic Information Systems and Processing. Proc. of SPIE. 2000, V.4513. p.173-177.

91. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир. 1990. 344 с.

92. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001. 160с.

93. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М.: Мир. 1989.488с.

94. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Савчук Е.Г. Случайные координационные деревья Кейли для сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол И Кристаллография. 1999. Т.44,№3. с.413-421.

95. Карыгина Ю.А., Любченко Е.А., Чуднова О.А. Мозаика Пенроуза в представлении древесных графов Кейли II Тез.докл. VI Всероссийской Научной Конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ. Екатеринбург-Томск. 2000. с. 125-127.

96. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир. 1984. 528с.

97. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). М.: Наука. 1973. 495с.

98. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории флуктуации и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496с.

99. Юдин В.В., Карыгина Ю.А. Фрактальная параметризация мозаики Пенроуза II Тез.докл. Региональной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток. 1998. с.45.

100. Бонгард М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука. 1967.

101. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. Глава XIII. М.: Наука. 1976. 436с.

102. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г, Самарский А.А. Нестационарная структура и диффузионный хаос. М.: Наука. Глав.ред. физ.мат. литературы. 1992. 544с.

103. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 624с.

104. Эдварде Р. Функциональный анализ Теория и приложения. М.: Мир. 1969. 1072с.

105. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука. 1982.

106. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир. 1969. 239с.

107. Корнефельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука. 1980. 384с.

108. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир. 1978, Т. 1.408с.

109. Савчук Е.Г. Статистическая кинетика суперсеточных и кварцевых стекол в процессах структурной релаксации / Дисс. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток. 1991. 255 с.

110. Грудин Б.Н., Должиков С.В., Юдин В.В. Радиооптические методы анализа изображений и случайных полей. Издательство Дальневосточного госуниверситета. Владивосток. 1983.