Сравнительный информодинамический анализ классических решеток и бигексагональной мозаики Дюно-Каца тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧУДНОВА ОЛЬГААЛЕКСАНДРОВНА

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ ИНФОРМОДИНАМИЧЕСКИЙАНАЛИЗ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕТОК И БИГЕКСАГОНАЛЬНОЙ МОЗАИКИ ДЮНО-КАЦА

специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Владивосток - 2004

Работа выполнена на кафедре Физических основ технологий информационных сред (ФОТИС) физико-технического факультета Института физики и информационных технологий Дальневосточного государственного университета.

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Юдин В.В.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Шлык ВА.

Доктор физико-математических наук, профессор Игнатюк В.А

Ведущая организация:

Дальневосточный государственный технический университет

Защита состоится

9

2004 года в2

на заседании

Диссертационного совета Д 212.056.08 при Дальневосточном государственном университете по адресу: 690600, г. ВладиЁосток, ул. Суханова, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДВГУ по адресу:

ул. Суханова, 8, ауд. 56.

Автореферат разослан

года

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.056.08 кандидат физико-математических наук

Соппа И.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В последние годы, с выявлением в работах Шехтмана и др. в спиннингованном сплаве А1мМп14 пентасимметричной дифракционной картины, возникла проблема расширения кристаллографических методов на квазикристаллические структуры. Существует достаточно большое число работ, в которых приведены примеры квазикристаллических симметрии в самых различных областях науки. Одним из нетривиальных примеров является квазикристаллическая симметрия стохастической паутины. Показано, что квазикристаллическая симметрия паутины может быть описана некоторой группой преобразования с подкручиванием. Этот «Эрлангенский» подход обрастает достаточно большой сложностью, и тогда возникает необходимость поиска иных методов количественной характеризации квазикристаллических симметрии.

Классический подход в теории кристаллического пространства фактически основан на решении XVIII проблемы Гильберта (Н.П. Жидков, Б.М. Щедрин Геометрия кристаллического пространства Изд. МГУ 1988г. 219с.) Однако сама проблема и ее решения были сформулированы задолго до появления квазикристаллических симметрии, запрещенных в классической кристаллографии.

В математической и вычислительной кристаллографии в настоящее время ведутся работы по распространению принципов разбиения Вороно го-Делоне даже на аморфные среды и стекла. Достаточно упомянуть работу Н.Н. Медведева «Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических систем» (Новосибирск: изд. СО РАН, 2000. 214с), во второй части которой даны всевозможные процедуры по обобщению разбиения Вороного-Делоне с учетом ненулевой сферичности порождающих центров разбиения Вороного-Делоне. Определенный интерес представляют классические работы Бернала-Полка. Эти работы фактически относятся к статистической геометрии теории плотной упаковки сфер различных диаметров (ПСУЖС или, более обще, ПСУМС). В качестве исходной совокупности взяты «дырки» Берна-ла-Полка, для которых найдено универсальное статистическое распределение. В ряде работ по математической кристаллографии неоднократно отмечалась эквивалентность графового отображения разбиениям Вороного-Делоне.

Здесь особо стоит подчеркнуть, что, в связи с развитием теории спинового стекла, был построен некоторый обобщенный математический формализм по описанию иерархических сложных систем. Последнее время этот аспект получил более широкую трактовку в работе А.И. Олемского, А.А Кацнельсона Синергетика конденсированной среды (Л/.: Едиториал, УРСС. 2003г. ЗЗбс) Математическим эквивалентом иерархических систем являются древесные графы Кейли, которые систематически рассматриваются в настоящей диссертации. Следует особо отметить, что наши древесные графы Кейли координационного типа. Они адекватно отображают обобщенно-решеточные, сеточные структуры (Юдин В. В. и др. Случайные координационные деревья Кейли для сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол // Кристаллография. 1999. Т.44, №3. С.413—421; Фрактальность квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза// Кристаллография. 2001. Т.46, №6. С. 1004-1008; Мозаика Пенроуза как дре-весно-графовая квазистохастическая решетка // Кристаллография. 2002. Т.47, №2. С.224-231), что позволяет, наряду с объектной компонентой, задавать и способ сопряжения, координации структурных элементов. Древесно-графовое представление иерархических систем позволяет расширить категорию взаимодействия, используя отношения «подчинения-командования». Наиболее важным, по нашему мнению, является свойство симплициальности таких координационных древесных графов Кейли. Любой супердревесный граф является сим-плициальной декомпозицией из кустов, ветвей. Свойство симплициальности древесных графов Кейли в определенной мере эквивалентно принципу «древесного» подобия - супердерево

складывается только из кустов-поддеревьев. ПодобЛ^щ^цлсЖМЛШНиМьности в терми-

3 I ЬИБЛИОТЕКА |

нах топологического древесного подобия близок к трактовке фракталыюсти по Мандельброту. Именно поэтому в настоящей диссертации делается попытка исследовать степень близости симплициальности и фрактальности, с одной стороны, по отношении к квазикристаллической симметрии с другой.

На кафедре Физических основ технологий информационных сред (ФОТИС) физико-технического факультета Института физики и информационных технологий Дальневосточного государственного университета был разработан метод древесно - графового представления обобщенных решеточных систем в квазистохастические древесные графы Кейли (Юдин В. В. и др. «Обобщенныерешеточные системы как сверхперколирующие структуры //Изв. Академии Наук. Серия физическая. 2001. Т.65, №10. С. 1405-1410). Данный метод сопровождается теоретике - вероятностным рассмотрением с использованием нормированных перечисляющих полиномов (ВПП). Этот нетрадиционный метод углубляется в формализме информодинамиче-ских функционалов от ВПП. С этих позиций и рассматривается задача перколяции на координационных графах Кейли в направлении «центр<->периферия», с целью поиска инвариантных или характерных зависимостей энтропийных, дивергентных функционалов в задаче протекания по уровням дерева. Данное направление исследований конкретизируется на совместном рассмотрении кристаллографических и квазикристаллических решеток.

Цель работы и задачи исследования

- отработать информодинамический метод исследования решеточных систем для целей описания в едином математическом формализме кристаллических и квазикристаллических симметрии;

- провести совместное теоретическое рассмотрение в информодинамической методике плоских параллелограмматических решеток, сотовой и симплекс-структур, а также бигексаго-нальной мозаики Дюно-Каца;

- реализовать вычислительный эксперимент по исследованию перколяционной задачи в информодинамической методике на древесных графах Кейли, представляющих вышеуказанные решеточные системы;

- построить соответствующую шкалу порядка кристаллических, симплекс-решеток, сотовых и бигексагональных мозаик. Разработать количественные меры, характеризующие упорядочения кристаллографических и квазикристаллических решеток, мозаик;

- разработать методику анализа фрактальных характеристик обобщенно-решеточных систем на основе древесных графов Кейли. Сопоставить квазикристаллические симметрии и свойства фрактальности.

Научная значимость состоит в том, что предложена и систематически применена древес-но-графовая информодинамическая методика в сравнительной оценке кристаллографических и квазикристаллических симметрии. Данное исследование позволит выявить и сформулировать общие принципы и основы совместного рассмотрения классических и квазикристаллических симметрии на примере плоских параллелограмматических решеток, сотовой и симплекс -структур, а также бигексагональной мозаики Дюно-Каца как минимального представителя квазикристаллического класса симметрии.

В диссертационной работе выносятся на защиту следующие положения:

- древесно графовые представления обобщенных решеточных систем на графах Кейли, в которых ветвистость может быть случайной величиной. Для рассмотренных нами координационных ДК характерна сильная внутриуровневая связность. Именно она позволяет построить скорлупы Мандельброта. В целом ДК характеризуется ультраметрикой, а кусты являются ультраметрическими симплексами;

- результаты по информодинамической перколяции на древесных графах Кейли кристаллографических, сотовых и симплектических плоских решеток. Симплекс-решетки обладают максимальным упорядочением как по теоретико-вероятностной структуре, так и по энтропийному, дивергентному функционалам;

- результаты по информодинамическому анализу перколяционной задачи на ДК, отображающего бигексагональную мозаику Дюно-Каца. Установлено, что симплекс, сотовая решетки и бигексагональная мозаика Дюно-Каца образуют полный замкнутый класс. По степени разу-порядоченности бигексагональная мозаика Дюно-Каца на 11,2% более разупорядочена, чем симплекс-решетка;

- фрактальные характеристики и методики их вычисления на классических, в том числе и на кристаллографических решетках, а также на бигексагональной мозаике Дюно-Каца. Только последняя из перечисленных структур является фракталом, который порождается по волновому, морфогенетическому принципу, стартуя от элементарной бигексагональной звезды.

Апробацияработы >

Основные результаты работы были представлены на следующих региональных, всероссийских и международных конференциях и семинарах:

1) Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция «Фундаментальные и прикладные вопросы физики и математики» (Владивосток, 1998-2003); 2) Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (Томск, 1999; С.-Петербург, 2001); 3) Междисциплинарный семинар «Фракталы и прикладная синергетика» (Москва, 1999, 2003); 4) Региональные конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике (Владивосток, 1999-2001, 2003); 5) I Asia-Pacific Conference «Fundamental problems of opto- and microelectronics» (Vladivostok, 2000); 6) Вторая всероссийская конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектроники (С.-Петербург, 2000); 7) VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов - 2001» (Москва, 2001. Докладу присвоено 2-ое место); 8) Всероссийский семинар «Нейроинформатика и ее приложения» (Красноярск, 2002); 9) Всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2002; 2003); 10) II Всероссийская научно-техническая конференция «Физические свойства металлов и сплавов» (Екатеринбург, 2003); 11) Международная конференция «Проблемы эволюции открытых систем» (Алматы, 2003).

Публикации

По теме диссертации было опубликовано 34 работы. Из них: 4 статьи в рецензируемых российских журналах и международной печати; 15 материалов всероссийских и международных конференций; 19 тезисов всероссийских и региональных конференций. Основные работы представлены в конце автореферата.

Личный вклад автора

Автор лично участвовал в разработке информодинамического метода анализа сложных решеточных, древесно-графовых систем. Соискателем на протяжении нескольких лет проводились все численные эксперименты по перколяционному информодинамическому моделированию на древесно-графовых структурах, отображающих квазикристаллические мозаики Пенро-уза, Дюно-Каца. В настоящей диссертации к этому добавлено информодинамическое моделирование ДК классических плоских решеток и простейшая из квазикристаллических мозаик — бигексагональная.

Соискателем также получены все асимптотические выражения для ПП и ВПП, энтропийных, дивергентных функционалов задачи перколяции на ДК «центр<->периферия», где это возможно проделать. Самостоятельно проведен и фрактальный анализ вышеупомянутых решеток иДК.

Достоверность результатов диссертационного исследования основана на систематической реализации многочисленных вычислительных процедур, ориентированных на моделирование обобщенно-решеточных систем. При вычислительном моделировании использовались методы проверки гипотез и другие методы, повышающие корректность полученных результатов. В ряде случаев удалось получить аналитические выражения для вычислительного моделирования, что позволило найти асимптотические оценки в задаче перколяции на древесных графах. Оценки фрактальных размерностей получались тремя различными методами, в том числе

основанным на асимптотических выражениях, что позволило добиться сопоставимости результатов, полученных разными путями.

Структура и объем диссертации <

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 124 наименований и приложения. Общий объем диссертации 175 стр., из них 47 стр. приложения. Диссертация включает в себя 67 рисунков и 20 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, поставлены задачи исследования, кратко описана структура диссертации.

В Главе I проводится обзор литературы, посвященный таким разделам математической кристаллографии как правильные точечные системы, дуальность замощений Вороного и Делоне, локальная теорема Делоне (§1.1): геометрический подход к Федоровским группам, отличие кристаллографической и квазикристаллической симметрии (§1.2): способы построения квазикристаллических покрытий (§ 1.3).

В Главе II представлен информодинамический метод анализа обобщенно-решеточных систем ячеистого типа на основе древесных графов Кейли (ДК).

Такие объекты исследования, как сеточные системы ячеистого типа, различные обобщенно-решеточные структуры, мозаики и паркеты, встречаются в самых различных разделах естественных наук и являются результатом действия разнообразных процессов. Причем эти системы образованы некоторыми элементарными полигонами, не обязательно правильными, но допускающими выпуклое приближение в дискретном или непрерывном представлениях. Обычный путь исследований — статистика структурных единиц, полигонов. Например, для любых неправильных выпуклых многоугольников можно ввести понятие диаметра, что позволяет поставить вопрос о распределении структурных единиц по диаметру. Однако нетрудно заметить, что при таком рассмотрении в стороне остается вопрос о межъячеечных связях. А при рассмотрении системного аспекта сеточных структур одной объектной стороны будет недостаточно, поскольку необходимо говорить о межъячеечных взаимоотношениях - это соотношения соседства, смежности выделенного полигона с окружающими.

Предложенный в § 2.1 метод отображения ячеистых, решеточных систем в ДК позволяет в явном виде отобразить не только объектную сторону, но и межъячеистые связи (координационная сторона). Вершины ДК соответствуют ячейкам, а ветви ДК описывают отношения смежности между данной ячейкой и соседними. Отношения координации на ДК обладают определенным свойством эстафетности. Связи, ветви ДК, образовываются только с ячейками, «направленными вперед». Эти древесные графы Кейли являются координационными. ДК можно построить от любой ячейки решетки, а сама древесно-графовая структура принадлежит полярной симметрии.

ДК характеризуются следующими свойствами: 1) построенные древесные графы являются координационными древесными графами. На таких структурах можно внести понятия перечисляющих полиномов; 2) ДК представляют собой каскадную иерархию отдельных двудольных подграфов. При этом их можно рассматривать в двух направлениях: от центра разрастания к периферии ДК, и, наоборот, в направлении «периферия->центр». Тем самым задаются отношения «подчинений - командований»; 3) ДК представляют собой древесные структуры, по которым осуществляется «волноподобная» перколяция координации или перколяция перечисляющих полиномов (ПП) по иерархии дерева; 4) подобная перколяция осуществляется в направлениях «центр <-> периферия» ДК. В этом смысле можно говорить о потоках «подчинений и командований». В случае несовпадения потоков, ДК являются необратимыми графами; 5) ДК обладают полярной геометрией. Следовательно, все их свойства могут быть рассмотрены в радиальном и тангенциальном направлениях; 6) ДК могут быть наделены

метрикой, известной как ультраметрика: за расстояние между двумя вершинами выбирается число единичных связей до общего «предка»; 7) на иерархиях ДК обладают, в общем случае, случайной ветвистостью, т.е. кусты наделяются вероятностными мерами. ПП переводятся посредством нормировок в вероятностные перечисляющие полиномы (ВПП); 8) для каждой иерархии ДК характерна высокая внутриуровневая связность, не нарушающая каскадного, эстафетного разрастания ДК. Подобная связность, с одной стороны, обеспечивает существование единых фронтов перколяции, а с другой стороны, позволяет считать ДК марковскими «джунглями»; 9) наличие единого перколяционного фронта позволяет на каждой иерархии ДК построить непрерывные скорлупы Мандельброта (СкМ). Тогда можно говорить о перколяции СкМ по иерархиям ДК; 10) все ДК в целом составлено из поддеревьев - кустов. С точки зрения теории сложных систем ДК - симплициальные комплексы. С другой стороны, с точки зрения теории фракталов, ДК - фрактальная структура, поскольку выполняется принцип древесного топологического подобия.

Вышеприведенная методика сопровождает древесно-графовый подход грамматическими функциями. К ним относится, вообще говоря, многоуровневый алфавит, который в нашем случае содержит следующие уровни: «атомный», «молекулярный» и словарный — фразеологический (равносторонний гекса-звезд с минимальным пересечением по гекса-ромбу). Кроме того, на каждом алфавитном уровне формируется своя грамматика, ориентированная на синтез покрытия, мозаики в целом. Любая теория перечисления графов предполагает ту или иную декомпозицию графов. Среди различных видов декомпозиции можно выделить симплициальный класс декомпозиции. Одним из примеров симплициальной декомпозиции является разбиение суперДК на кусты. Правда, в этом случае приходится принести в жертву тип координации, но с топологической точки зрения различие вида р-координаты не является существенным обстоятельством. Поэтому, согласно классической теории перечисления, будем иметь перечисляющие полиномы того или иного ранга, с соответствующими степенями ветвистостей, коэффициенты которых указывают на число кустов каждой ветвистости. Так как любое ДК в принципе имеет бесконечную этажность, то изучение этих графов проводится в рамках теории протекания, перколяции, например - распространение вероятностных статистик в направлении

В § 2.2 показано представление ДК в двух типах декомпозиции и информодинамические функционалы на этих декомпозициях. Первый тип декомпозиции состоит в разложении ДК на поддеревья-кусты соответствующих мощностей. Другой тип декомпозиции, названный прото-разложением, состоит в разбиении ДК на ветви. Под ветвью понимается тип вершины и координации одновременно.

Остановимся на симплициальном типе декомпозиции: разложении дерева на ультрасимплексы, в качестве которых выступают кусты. Это случай классических перечисляющих полиномов (КПП). При построении КПП кусты рассматриваются как независимые элементарные структуры. Подобное приближение возможно в случае исходящих кустов. Тогда КПП запишется как: 7](*')= где х>, - куст ветвистости к на /-иерархии, — коэффициенты куста ветвистости, г, - ранг КПП на /-иерархии ДК. КПП строятся для обоих направлений перколяции, которая в этом случае может быть записана как: где -оператор перколяции. Тогда уравнение движения, перколяции на ДК:

где m - число уровней перколяции. Построим на супердереве усредненный полином:

Одна из важнейших проблем - насколько существенно различие Равенство

этих ПП есть условие эргодичности. Данное свойство перколяции весьма ценно, поскольку эргодические распределения характеризуют стационарные состояния, эквивалентных по мощности всему ансамблю виртуальных состояний.

Теперь рассмотрим второй тип симплициальной декомпозиции. Для удобства будем рассматривать ДК мозаики Пенроуза (ДКП) с алфавитом \2qx2p]. Запишем ПП, введя в рассмотрение элементарные ветви Vе , а=1, 2, 3, 4'. 7)(уг)= Х7)(уа)у(в , где «- индекс уровня, а - квартетный индекс алфавита \?<}х2р\, Vа е[2цх2р], г = 4 - из-за квартетности алфавита. Как и в предыдущем случае, здесь также рассматриваются прямые и обратные конструкции. Преобра-зоваиие перколяции и уравнение движения для него:

с последующим изучением асимптотических свойств таких протораспределений. Протодеком-позиция сохраняет более полно грамматические свойства ДК.

Предложенные два типа декомпозиции построены на унарной форме приближения к ДК. На этом уровне рассматривается только разбиение на «буквы», в качестве которых выступают

либо куст , либо ветвь . Однако оба типа симплициальной декомпозиции ДК могут быть распространены и на более высокие уровни приближении.

На следующем этапе вместо КПП и протоПП строятся вероятностные структуры. Для этого в ПП обоих типов переходим от абсолютных значений к относительным, для чего вводится нормировка:

где г/ - ранг на /-уровне ДК: О^!^* уу"^ 1; ¿<(т*уу")=/. Тем самым мы перешли к вероятностным ПП. Нормирующие константы различаются для каждой иерархии, что может потребовать перенормировки статистик ветвистостей при межуровневом сравнении.

И, наконец, функциональный уровень рассмотрения, основанный на построении скалярных сверток информодинамических функционалов различного вида, в терминах которых и изучается в окончательном виде задача собственной перколяции на ДК. В качестве основных инфор-модинамических характеристик были избраны следующие функционалы:

где 11 ) - вероятностные распределения кустов на иерархии;

Последний уровень рассмотрения, оценки фрактальности, обсужден в $ 2.3. Древесные графы подчиняются некоторому принципу стохастического, топологического подобия, и в то же самое время являются симплициальными комплексами. Известно, что в основе фрактально-сти лежит некоторый принцип подобия - масштабная инвариантность. Тем самым ДК - фрак-

тальные объекты. Для характеристики фрактальности ДК использовались следующие величины.

Тангенциальная фрактальность Сгримерная фрактальность Скорлупа Мандельброта Фрактальная размерность для асимптотик

1ыь.Д \ /лет / . /« 1 а* ы [м1 т,ш1 1п1 и'ЛвппЬнЦвпп) 1п(у) где: - Шенноновская энтропия; /„(Г). - геометрическая энтропия ■ от средней ветвистости на всем дереве

В Главе IIIрассматривается информодинамика плоских параллелограмматических решеток. В классической кристаллографии первичным понятием является правильная система точек. С общих качественных позиций концепция правильности точечных систем базируется на инвариантности хотя бы локального окружения пробной точки относительно трансляций. Известно пять типов плоских параллелограмматических систем. Данные решетки нами подразделены по топологии координации на два класса. В первый класс, квартетный, включен ряд плоских решеток: квадратная, прямоугольная, центрированная прямоугольная, параллелограммная и ромбическая (рис.1), причем в последнем случае особо выделяется гексагон.

Рис. I квартетныерешетки и их ДК

В § 3.1 освещен информодинамический анализ квартетных кристаллографических решеток (рис. 1). В § 3.2 обсуждаются информодинамические характеристики плоской симплекс - решетки. Симплекс решетка в определенной мере особая, поскольку порождается единственным симплексом - равносторонним треугольником. А в § 3.3 идет рассмотрение информодинамики сотовой структуры. Плоские сотовые сетки по-своему тоже специфичны, уже хотя бы потому, что они не принадлежат к кристаллографическим объектам. Построенные ДК этих решеток имеют алфавит

При рассмотрении квартетных симметрий (§ 3.1) следует обратить внимание как отражается эта симметрия в абсолютных ПП. Так, в частности, в прямом потоке перколяция ПП по ДК содержит только 5 и 3 степени ветвистости кустов, тогда как в обратном потоке перколяции наблюдаются степени ветвистости 3, 2, 1. Уже из этого замечания видно, что ранги ПП в прямой и обратной перколяции совершенно различны, что указывает на необратимость процессов перколяции на квартетном ДК. Сама степенная структура ПП как раз отражает именно квартетную ДК (рис.2).

Хорошо видно, что ПП линейно растут для обоих направлений перколяции на троичных кустах, такое поведение обусловлено именно квартетной симметрией. Более обшее суждение может быть сформулировано следующим образом. Детерминированные плоские кристаллографические решетки будут обладать вырожденной структурой ВПП. Сингулярность вероят-

постной меры на квартетных ДК сосредотачивается

ПА

на ветвистости А =3, что как раз и связанно с квартетной симметрией.

Теперь обратимся к более высокому уровню задачи перколяции на квартетных ДК, для чего привлекается формализм энтропийно-дивергентных функционалов. Перколяции инфор-модинамических функционалов, по нашему мнению,

будут определять тип соответствующего упорядочения. По перколяционным характеристикам информодинамических функционалов будут оцениваться возможные инварианты, асимптотики. Мы считаем, что именно этот уровень перколяции на ДК будет способствовать поиску возможных законов сохранения, характеризующих ту или иную симметрию. За основную инфор-модинамическую характеристику выбрана энтропия Вайда, которая выглядит как

Вследствие сингулярности ВПП, энтропия асимптотически стремится к нулю:

Зависимость спадания энтропии хорошо аппроксимируется гиперболическими функциями ■А ~ I л->. .Л .

¡.02 ; у1 »0.726 . Явно видно, что энтропия, спадая в прямом потоке, обладает гравита-

(рис. 3) с у кулоновским ционным типом зависимости. В обттном потоке у^ >у* , что указывает на более медленное спадание энтропии перколяции.

Как мы видим, детерминированная периодичность квартетного ДК отзывается гиперболическим спаданием с у^ * / и с нулевой энтропийной асимптотикой. Вот это, по нашему мнению, на энтропийном языке перколяции ДК как раз и указывает на классическое дальнодействие квартетных кристаллографических симметрии. Важно отметить безосцилляционное спадание энтро-пий на строго периодическом квартетном ДК, представляющих решетки, показанные на рис. 1. Теперь обратимся к дивергенции Бонгарда в вайдовском представлении:

Результат (рис. 4) показывает, что Biv также подчиняется гиперболическим зависимостям с показателями: ß^ {Biv) =i; ß^ (ßrv) = 0.725 . Здесь также четко видна нулевая асимптотика

для обоих направлений перколяции. Из этих численных результатов заключаем, что:

Один и тот же тип дальнодействия распространяется как на энтропийную перколя-цию, так и на дивергентную. Абсолютная и относительная информационные меры в своем типе дальнодействия тождественны. Данный факт подчеркивает определенную согласованность энтропийно-дивергентного дальнодействия

на квартетных ДК. Нельзя не обратить внимание на факт: У*, f \ , что указывает на необратимость древесной перколяции. Это некоторая версия II начала термодинамики в обобщенной форме. Перколяция «центр—»периферия» не эквивалентна перколяции «периферия—>центр», что является платой за отражение перколяционного потока от бесконечного горизонта квартетных ДК. Квартетная симметрия решеток и соответствующего ДК позволяет получить, кроме численных оценок, еще и аналитические выражения для информодинамических функционалов

(табл. 1). Теперь обратимся к протодеком-позиции, также обладающей свойством симплициальности. В отличие от кустовой, декомпозиции, в которой не учитывается тип алфавита про-тодекомпозиция учитывает различие в р- компоненте. Поскольку мы работаем на алфавите [lqx2p], то вместо ПП появляется линейная форма, состоящая только из двух слагаемых. В алфавите всего один тип вершины и два типа контакта, поэтому в качестве ПП будут выступать двучленные линейные формы (рис. 5) (1 - точечный контакт, 1'- реберный контакт).

Обладая аналитической зависимостью для энтропии Вайда, для проторазложения (табл. 1)^, в асимптотике мы получим:

В § 3.2 рассматриваются информодина-мические характеристики плоской симплекс-решетки. На рис. 6 показан фрагмент такой решетки и его ДК.

Проведем такой же анализ, как и для квартетных ДК. Количественные характеристики перколяции ДК для кустовой симпли-циальной декомпозиции собраны в табл. 2. Для симплекс-решетки инвариантны коэффициенты при четных степенях

ПП к = 6; 4; 2 , в обоих направлениях перколяции7)А1*в 1= 7)ти'')= Т)1)= 12 .

Рис.6 Симплекс-решетка с выделенными фронтами и его координационная ДК Само значение 12 является отражением гекса симметрии. Нечетные ветвистости к =5; 3 испытывают характерное лестничное изменение коэффициентов ПП:

Рис. 5 Перколяция линейных форм квартетных ДК для проторазложении.

Такая «лестничная» симметричность одинакова для обоих направлений перколяции, причем налицо простейшая арифметическая прогрессия. Как следует из табл.2:

Табл.2Аналитическиезависимости ПП, ВПП, информодинамическихфункционаловдля плоских симплекс-ДК;кустовой ипротодекомпозиций в обоихнаправленияхперколяции

ПРЯМОЙ ПОТОК | ОБРАТНЫЙ ПОТОК

перечисляющие полиномы

Т,1(х)=12х6 + з(21-5)х' + 3(21-3)х* Г1Т(х) = з(2/-5У + 12х4 + 3(2|-3>3 + 12х}

Вероятностные пе зечисляюшие полиномы

. 1 , 21-5 , 21-3 , Ч(х) =-х6 +-х' +-х3 (1-1) 4(1-1) 4(1-1) « 21-3 , 1 4 21-5 , 1 2 <,(*) =-х3 +-х4 +-х3 +—Х 41 1 41 1

Энтропия Вайда

вО-!/ . 41* + 161-33 Н ш ' 8,1

Дивергенция Бонгарда

, 411+41-П В1-- . 4>2 + 20/-25 Вт -- 81(1 + /)

Прото-характеристики

Число реберных контактов

3(21-1)

Число точечных контактов

3(141-9)

Энтропия Вайда н . (*-'1141-9)

' А*-*?

Перколяции информодинамических функционалов (табл.2) подчиняются гиперболическим

зависимостям, с показателями:

.Т

р^ =0.09;

Г' =0.156...

Л

=0.154.

Из рис. 7 видно, что:

Г

В прямом потоке показатели у и Р несколько различаются, а в обратном потоке энтропия Вайда и дивергенция Бонгарда полностью иден-ИННЫ Бесконеч-горизонтзонт выравнивает поведение энтропии и меры Бонгарда. Согласно аналогу II начала термодинамики, симплекс-ДК не могут быть еще более упорядочены. у И Р - показатели почти на порядок меньше показателей для квартетных решеток, у,/} = /, что указывает на сверхдальнодействие симплекс-структур. Энтропийная асимптотика в обоих направлениях перколяции ДК:

Рис. 7ПерколяцииэнтропииВайда и дивергенции Бонгарда для симплекс д ДКвпрямом (а) и обратном (б) направлениях.

Данный результат указывает, что не только асимптотика энтропийного состояния, но и В- дивергенция равна У2 • Эти же результаты следуют и из асимптотических ВПП для обоих направлений перколяции. Таким образом, симплекс-ДК характеризуется равномерными распределениями асимптотических вероятностных мер, и к тому же, подчиняются максимальной согласованности.

Рассмотрим теперь другой тип симплициальной декомпозиции - протодекомпозицию. Точечный контакт наиболее «дешевый», а реберный более «дорогой». Аналитике протолинейных форм соответствуют следующие арифметические прогрессии:

где Я - реберный, (•) - точечный контакты, т - номер иерархии. Если сделать переход к вероятностным протолинейным формам, то используя:

можно сказать, что:

' 57 + (/я-2к? -42

Ьт '„(•)= 1т -1--— = — "0875 ,

я-"°78 + (т-2)48 ,18

аналогично для реберного контакта: 21 + (т-2)б 6

1м '„(*)= 1м

=— = 0.125. 78+ {т- 2)48 48

Отсюда нетрудно вычислить асимптотику энтропии в протодекомпозиции:

Н^к)^02188~0.219. Заметим, что это энтропия координации.

На рис. 8 приведены перколяционные зависимости для энтропии и Ь - дивергенция при проторазложении. Численная оценка аппроксимации при проторазложении снова дает гиперболическое спадание с ■ Интересно, что:

Резюмируя вышесказанное, можно отметить, что симплекс-решетки и их ДК характеризуются не только предельным сверхдальнодействием,

но и, с точки зрения теоретико-информационной, для них выполняется принцип максимальной энтропийной упорядоченности. Это наиболее совершенные решетки.

§33 посвящен информодинамике сотовой структуры. Сотовые сетки не принадлежат кристаллографическим объектам. На рис.9 дана сотовая структура с волновым морфогенезом, что нами демонстрировалось и на других объектах. За основу берется элементарная сота, которая по механизму морфогенетической редупликации волноподобно распространяется в соответствующих координационных сферах. В этом сотовом случае мы имеем дело с алфавитом [1цх1р].

Отличие данной ситуации от предыдущих состоит в том, что наблюдается только реберный контакт. Применим к данной графовой структуре (рис. 9) теорию перечисления графов. В дальнейшем обсуждении используется только кустовая симплициальная декомпозиция, поскольку на алфавите [1ях]р] нет возможности использовать проторазложение - оно будет просто вырождено по определению.

Рис. 9 Сотовая решетка, волноподобно порожденная и его ДК. В прямом потоке встречается кубическая и квадратичная ветвистости, тогда как в обратном

потоке - квадратичная и унарная ветвистости. Ранг прямого потока г^ = 3, а обратного -

г^ = 2 . В обоих случаях полиномы являются двучленами. Хорошо видно из табл. 3, что при высшей ветвистости коэффициент повторения этих кустов постоянен и равен шести, а в обратной перколяции, постоянство коэффициентов наблюдается у самой меньшей ветвистости и также равно 6. Подобная ситуация является прямым следствием сотовости. Инвариантность коэффициентов высшей и низшей степеней ПП в обоих потоках сразу подсказывает (табл. 3), что вероятностная форма в асимптотике будет вырождаться:

1т^%к)=0-х} \/х+1хг.

Перейдя к вероятностным мерам видно, что в асимптотике уходят нечетные ветвистости к = 3; 1, тогда как для четных степеней, в обоих случаях, вероятностная мера стремиться к 1.

Простая геометрия сотовой структуры дала возможность найти аналитические выражения для всех функционалов.

Зная асимптотику ВПП в обоих случаях перколяции, можно сразу предположить, что энтропийная асимптотика будет нулевая: ¡¡т . Данная асимптотика совершенно

определенно следует из третьей строки табл. 3. Также можно сказать, что существует нулевая асимптотика дивергенции Бонгарда:

Уже из этих асимптотик, можно сделать вывод, что меры Ыу и В для сотовых структур не просто равны, а они нулевые. Можно сказать, сотовая структура близка к квартетной симметрии. Для этих симметрии в прямом потоке Л* = 3; 5, причем инвариантом является к^ = 5, а в

обратном потоке Л* = 3; 2; 1, при этом инвариантом являются степени ** = 2; 1. Хотя в обратном потоке квартетное ПП является трехчленом, но он также как и двучлен в прямом потоке, вследствие вышеуказанной инвариантности, вырождается. Именно это обстоятельство приво-

дит к нулевой асимптотической энтропии и дивергенции Бонгарда и для квартетных симмет-

Табл 3. Аналитические перколяционные зависимости ПП, ВПП, информодииамических функционалов на сотовом ДК

Прямой поток 1 Обратный поток

перечисляющие полиномы

Т^(х)=6х3 +б{1-2У

Вероятностные перечисляющие полиномы

1 , , / } 1-2 2 (*)=-х +-X 1-1 1-1 Х/\ 2 1 /,(*) =-х1 +-Х 1 1

Экгрс пия Вайда

Ну - (¡-'У ят

Дивергенция Бонгарда

«м т 21-1 Вт =- 'М

иеиия информодииамических зависимостей (рис. 10) можно заметить, что:

О £»-« О.ЭгЗЗх*-6309 —, ^ =о 832, =0.7'

Из последнего следует:

Рис. 10 Перколяции энтропии Вайда и дивергенции Бонгарда для сотового ДКв прямой (а) и обратно» (б) направлениях.

Подобные неравенства характерны и для квартетной симметрии. В общем плане можно сделать вывод, что, несмотря на примитивный алфавит у сотовой структуры и двучлен-ности ПП в прямом и обратном потоках, в информодинамическом плане - сотовая структура близка квартетному дереву, хотя последнее имеет алфавит [Цх2р], а ПП дву- и трехчленные.

В Главе IV проводится сравнительный анализ классических решеток в информодинамическом подходе. Целью этого анализа является выяснение взаимоотношений между квартетными, сотовой и симплекс-решетками. Конечный результат состоит в установлении шкалы порядка.

В § 4 1 для квартетной и сотовой решеток в представлении ДК получены следующие результаты по энтропийной перколяции «центр<-»периферия». Асимптотическая энтропия для этих двух классов систем стремится к 0: Нх=>0 . Дальнодействие аппроксимируется гиперболическим спаданием с показателями для выше) помянутого ДК в направлении

«центропериферия»: г'(О)"' . Асимптотические значения энтропии и дивер-

генции Бонгарда вырождаются: • Уже отсюда можно заключить, что

фрактальность этих ДК будет нулевая, несмотря на тривиальное топологическое подобие этих решеток.

В § 4.2 аналогичные характеристики информодинамической перколяции получены для сим-

плекс-решетки и ее

ДК:

тов §§ 4.1-4.2 видно, что квартетная симметрия подчиня

И .

,; </* = /.Из

сравнения результатов §§ 4.1-4.2 видно, что квартетная симметрия подчиняется кулоновской, гравитационной зависимости, а на симплекс-ДК выполняется сверхдальнодействие с целочисленной фрактальностью.

Фрактальные размерности классических ДК оценивались в § 4.4. Общий вывод, касающийся решеток, ДК, указывает на то, что эти объекты не фрактальной природы, хотя они тривиально самоподобны.

В § П.4.3 обсуждается симметрия и организация классических ДК. Построены разнообразные характеристики на ПП, ВПП, которые позволяют учесть как степень ветвистости, так и коэффициенты в инвариантной и асимптотической формах. Все эти характеристики позволяют

--□-А.

построить следующую шкалу упорядочения:

В Главе Vрассмотрена бигексагональная мозаика как одна из простейших квазикристаллических структур, которая видимо «недалеко» отстоит от симлекс-упорядочения. Главная цель этой главы - установить сценарий бигексагональной квазикристалличности.

Рис. 11 Бигексагональная мозаика Дюно-Каца с выделенными координационными фронтами и ее увеличенным фрагментом сДК. В § 5.1 обсуждена сама бигексагональная мозаика Дюно-Каца, и дано ее древесно-графовое отображение. В качестве элементарной фразы используется гекса-звезда, состоящая из гекса-ромбов. Там же указан алфавит [1дх2р], и сформулирована простейшая алгебра покрытия (рис. 11) морфогенетического типа, где ядром является объединение двух гекса-звезд с минимальным пересечением по единственному гекса-ромбу

В § 5.2 построены ПП, ВПП и обсуждены их перколяции на бигексагональных ДК. Как отмечалось ранее, в ПП отражаются элементы симметрии алфавита. В частности для прямого потока КПП Г*((г*} к -0,4.5) мы имеем трехчлены с рангом г=5. Коэффициенты при ранге полинома инвариантны и равны 6. Это прямой указатель на гексасимметрию. Коэффициенты ПП

при четвертой и нулевой степенях ветвистости образуют арифметическую прогрессию с приращениями: , что также обусловлено симметрией гекса-ромба. Ситуация в обратном потоке несколько иная. Здесь мы имеем дело с перечисляющим четырехчленном: Инвариантные коэффициенты перколяции приходятся на нечетные ветвистости: 12: 18 . Данные значения также кратны 6, и являются отражением симметрии порождающего элемента. Четные коэффициенты тоже образуют арифметическую прогрессию АГ*[х')=6; Таким образом, и в обратном перко-ляционном потоке динамика и значение коэффициентов отражают гекса-симметрию. У ВПП инвариантный показатель ветвистости х1: к = 5 вырождается, а в асимптотике ВПП превращается в бином с В случае ВПП для обратного потока вырождение претерпевают степени к = 1,3. Остается также бином со степенями Следует отметить, что ВПП прямого и обратного потоков, будучи биномами с имеют различную структуру, т.е. перколя-ции на бигексагональном ДК необратимого типа. На рис. 12 приведены перколяция ПП и ВПП для бигексагонального ДК. Оба потока перколяции на бигексагональном ДК имеют типовую структуру. Вырождению подлежат к = 1,3,5, а четные степени к = 0,2,4, выходят на стационарный режим. Перколяционная статистика ВПП также обусловлена гексасимметрией мозаики Дюно-Каца. Симметрия бигек-сагональной мозаики допускает аналитическую форму ВПП (табл. 4). Из нее следует:

Табл 4 Аналитические выражения ПП, ВПП. информодинамических функционалов бигексагонального ДК

Рис. 12 Перколяции ПП (а, в) и ВПП (б, г) для мозаики Дюнно-Каца в прямом (а, б) и обратном (в, г) потоках.

ОБРАТНЫЙ ПОТОК

ПРЯМОЙ ПОТОК

перечисляющие полиномы

т}(х)-6х' + 4(3,-5)х', 1-2

Т,1(х) - 6х! + 4(3,-5)х' + 2(3/ - 5)х". / г 3

Т?(Х)Ж4Х*+2{31-5)х3+18Х. 1 = 3

Т}(х)ш2(31-11У + 12]? + 431-8У + 18х. 44

Вероятностные перечисляющие полиномы

I б , 4(31-3) .

¡"2

10

/}(х)*

, 4(3,-3) 4 2(3,-3) „

-г +-т +-г , аз

6(3,-4) 6(3,-4) 6(3,-4)

. , 2(3,-3) , 18

,,(х)ш-х +-х' +-1

30 30 . 3,-11 . !,(х)ш-х'

1-3

6 . 2(3,-в) , 9х -х* *-х' *-

3(31-4) 3(31-4) 3(3,-4) 3(31-4)

Энтропия Вайла

А 3612-661 + 10 //„--—

9(31- 4)2

Я,

г Зб1!+421-350 9(31-4)г

■0,б759х-°ДЗ" о»'

R ™ 0,9394

у* 0,9199*' R - 0,9973

•0.I91S

В § 5.3 изучаются энтропийные, информационные характеристики, подлежащие перколя-ции. Перколяция энтропии и дивергенции Бонгарда в прямом и обратном потоках показана на рис. 13. В обоих случаях действует дальнодействие зависимость гиперболического типа, - со степенями:

Действие асимптотического горизонта проявляется в некотором убыстрении спадания. Равенство у и р показателей в прямом и обратном потоках можно трактовать как согласование. По этим данным, а так же по структуре ВПП можно было бы заключить, что бигексагональные

10 12 14 1в 18

Рис. 13 Перколяции энтропии Вайда и дивергенции Бонгарда для бигексагоналъного ПКв прямом (а) и обратном (б) направлениях.

ДК следует отнести к необратимым графам. Асимптотика прямой

. 361г-66И-10 72 , „Т ..

ЦтН =Цщ-=>_= 0.444. Аналогичная оценка получается для /ил#„ . Можно

/-кс " 9(9,2 -241 + 1 б) 162

перколяции

энтропийного

функционала:

заключить, что:

hm H г

/-ко

¡un Н^ = 0.444. Эти же значения получаются из асимптотик ВПП (Ц).

В асимптотике бигексагональные древесные графы обратимы по энтропийным мерам. Кроме

того, выполняется принцип асимптотической согласованности:

11ип ВУ = % . Отсюда

видно, что бигексагональное дальнодействие в корне отличается от поведения Щ1), B(i) при кристаллическом упорядочении.

Как показано на рис. 11, алгоритм построения этой мозаики базируется на морфогенетиче-ском принципе. За ядерную фразу принята двойная гекса-звезда, от которой распространяются шестиугольные фронты. Они, однако, не образуют правильного гексагена, что приводит к отсутствию глобальной поворотной оси 6-го порядка, = 58,44' ...,ф2 =61,55'...). Из рис. 11

хорошо видно, что гекса-фронты образуются триплетными модулями, в вершинах которых стоят гекса-звезды. Можно, однако, строить фронты и с помощью гекса-звезд, что также усматривается из рис. 11 при сдвиге фронтов. Отмеченное подобие уже дает определенное указание на поиск фрактальных характеристик для бигексагональной мозаики Дюно-Каца. Однако, как мы показали выше, одного подобия недостаточно для фрактальности. Поэтому представляют особый интерес прямые оценки фрактальных характеристик.

Оценкам фрактальных характеристик бигексагональной мозаики Дюно-Каца отведен § 5.4. В нем рассмотрены четыре типа фронтальных характеристик, в основе которых лежит древес-но-графовый подход. Рассматриваются фрактальные характеристики собственной перколяции на ДК во фронтально-стримерном протекании.

I. Тангенциальная фрактальная размерность ДК оценивалась через емкость /-фразы ДК:

19

Данное выражение получено в приближении исходящих кустов, что как раз соответствует понятию энтропийной емкости фразы. Тангенциальная пропускная способность определяется всеми тремя характеристиками ПП: к, - ветвистостью х*' - куста, коэффициентом повторения

кустов - 7](х') и рангом ПП - г,. Основная формула написана в приведенных удельных энтропийных координатах, что позволяет сравнивать между собой различные ДК. С учетом ультраметрики с геометрической энтропией

Значения тангенциальной фрактальности показан на рис. 14. Как видно из рис.14 (¡^ (бигексагон) =1.2866...

II. Фрактальная размерность скорлуп Мандельброта на ДК определяется исходя из метрических соображений и в целом алгоритм вычисления вполне

традиционен. результат в двойных ло-

Рис. 14Перколяционная зависимость емкости тангенциальных кустовых фраз для бигексагонального ДК

dM= 1.282...

гарифмических осях показан на рис.15, откуда видно, что СкМбудет dM =1.282...

Заметим, что построение СкМ осуществляется благодаря внутриуровневой связности ДК, которое получается в приближении входящих кустов. Эта пересекаемость, связность на уровне ДК с теоретико-информационной точки зрения вводит категорию избыточности, которая должна оцениваться более низкой энтропией. В нашем случае эти фрактальные характеристики совпадают, что указывает на идеальность бигексагонального ДК.

III. Стримерная фрактальная размерность получалась согласно формуле в § 2.3. Она зависит только от степеней ветвистости кустов и, как всегда, геометрической энтропии в ультраметрическом пространстве. Поскольку отсутствуют аналитические выражения для стримерной размерности, то пришлось решать интерполяционную задачу на количественном У1}™5^ we^ajp-хии ДК. По крайне мере стримерная размерность удовлетворяет неравенству Скорее всего в асимптотике она будет строго единичной размерности.

Асимптотические ВПП, которые при перколяции «центр -» периферия», запишутся:

О 0.5 1 1.5 2 25

Рис. 15Скорлупа Мандельброта для бигексагоналъной мозаики Дюно-Каца в двойныхлогарифмических шкалах

, при этом средняя ветвистость или средний ранг равен:

-i 2 к* =2—, а

направлении пер коля ции

Асимптотика средних рангов обоих направлений перколяции идентична, хотя сама структура

Определим фрактальную размерность при таком подходе:

«Ы1*" ы

-11

м*.

где

Подставляя эти значения, получаем:

<1р =1.298.

Это выражение

Н[к1Л= 0.9808

хорошо согласуется с метрической фрактальностью фронтов Мандельброта, а также с тангенциальной размерностью. Таким образом, бигексагональную мозаику в древеснс-графовом представлении следует считать фрактальным паркетом, размерность которого

Тем самым, в этом случае морфогенетический алгоритм роста мозаики от двойной гекса-звезды, при условии симплициальности, порождает фрактальную структуру квазикристалла.

Находящийся в приложении §П.5.5 отведен на сравнительное рассмотрение трех решеточных систем. Имеется ввиду плоская симплекс-решетка, сотовая структура и би-гексагональная мозаика. Показано, что эта совокупность решеток образуют полную группу. Данный факт можно отметить на рис. 16, где показаны гекса-звезды, лежащие в основе бигексагональной мозаики и описанные - вписанные

Рис. 17 Преобразование симплекс - решетки в бигексагональную.

шестиугольники. Из рис. 17, 18 хорошо видно, при каких алгебрах образуется гексагональная и сотовая решетки. На рис. 17 схематически показано, каким способом могут быть получены гексагональная и бигексагональная решетки. Подчеркнем, что достаточен соответствующий Я-сдвиг, рис. 18, и бигексагональная мозаика превращается в обычную гексагональную решетку. Аналогично, рис. 17, «вычитание» сотовой структуры из гексагональной приводит к бигексагону. Если принять за показатель организации

Рис. 18Преобразование бигексагональной мозаики Дюно -Каца в симплекс - решетку, посредством сдвига по одному из направлений гекса - звезды.

, то для них выполняется некоторый принцип инвариантности, который как раз и

указывает на условие полноты, замкнутости упомянутого выше множества решеток.

В диссертационнойработе получены следующиерезультаты:

1. Систематически применяется новый информодинамический метод анализа обобщенных решеточных систем в древесно-графовом представлении. Объектами его приложения являются квартетные, сотовые и симплекс-решетки, а также бигексагональная квазикристаллическая система, которые ранее не рассматривались этим методом.

2. Для всех вышеуказанных систем удалось установить соответствующие типы дальнодействия. Так в частности, для квартетных решеток в прямой перколяции характерен гравитационный, кулоновский тип дальнодействия. Симплекс-ДК характеризуется сверхдальнодействием на п"""™" "<>м для квартетных симметрии. Установлена шкала порядка в направ-даниигО—А.

3. Квартетная и сотовая решетки, их ДК обладают вырожденной энтропией и дивергенцией Бонгарда в асимптотике ВПП. Данные системы, вследствие энтропийной вырожденности, обладают нулевой фрактальной размерностью.

Симплекс-упорядочение задается максимальной асимптотической энтропией ВПП, которая равна асимптотической дивергенции Бонгарда. Симплекс-организация характеризуется не только максимальными информодинамическими функционалами, но и их согласованностью. Фрактальная размерность строго единична. Тем самым, все классические решетки и их ДК, подчиняющиеся принципу тривиального подобия, не являются фрактальными структурами.

4. Бигексагональная решетка и ДК имеют более сложную топологическую структуру со степенями дальнодействия несколько большими, чем для симплекс-решеток. Асимптотические

энтропия, дивергенция Бонгарда: а асимптотические ВПП:

Бигексагональная решетка на является менее упорядоченной

по отношению к симплекс-организации.

5. Впервые четырьмя теоретико-информационными методиками получены оценки фрактальных характеристик бигексагонального ДК. Все четыре оценки указывают, что фрактальная размерность собственной перколяции на таких ДК: (1^ ~ 1.3.

Фрактальная структура получается из звездчатого затравочного модуля, который морфоге-нетически редуплицируется. Это волнообразная форма синтеза решеток подчиняется принципу симплициальности. Тем самым, установлен параллелизм между фрактальностью и квазикристалличностью. Доказано, что квазикристаллическая симметрия сопряжена с фрактальностью.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чуднова О.А., Любченко ЕА Информодинамические характеристики кристаллических решеток // VI Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. Томск, 1999. С. 192-194.

2. Yudin V.V., Lyubchenko EA, Chudnova OA Informodynamic analysis of percolation on high quasicrystal sуmmetries // Proc. I Asia-Pacific Conference «Fundamental problems of opto- and microelectronics». Vladivostok, September 2000. P. 321-325

3. Любченко ЕА, Чуднова О А, Юдин В.В. Информодинамика гексагональной мозаики Дюно-Каца // Тез. докл. Второй всеросс. конф по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектроники. С.-Петербург, декабрь 2000.

4. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова О.А. Обобщенные решеточные системы как сверхперколирующие структуры // Известия РАН. Серия физическая. 2001. Т.65, №10. С. 1405-1410.

5. Чуднова О.А., Любченко ЕА., Юдин В.В. Информодинамический анализ перколяции мозаик Дюно-Каца // VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов - 2001». Москва, 2001. С. 196-197. Докладу присвоено 2ое место.

6. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова О.А., Карыгина Ю.А. Мозаика Пенроуза как древесно-графовая квазистохастическая решетка // Кристаллография. 2002. Т.47, №2. С. 224-231.

7. Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А., Чуднова О.А., Карыгина ЮА. Фракталь-ность квазикристаллической мозаики Пенроуза в представлении древесных графов Кейли / Сб. науч. трудов «Прикладная синергетика, фракталы и компьютерное моделирование структур» / Под ред. А.А. Оксогоева / Томск, 2002. С. 343-355.

8. Чуднова О.А., Любченко Е.А., Чуднов П.С., Юдин В.В. Информодинамическое обобщение классической кристаллографии // VI Всеросс. семинар «Моделирование неравновесных систем - 03». Красноярск, 2003. С. 190-191.

9. Чуднов П.С., Любченко Е.А., Чуднова О.А., Юдин В.В. Информодинамическая диагностика обобщенных решеточных систем // VI Всеросс. семинар «Моделирование неравновесных систем - 03». Красноярск, 2003. С. 191-192.

ЧУДНОВА ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ ИНФОРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕТОК И БИГЕКСАГОНАЛЬНОЙ МОЗАИКИ ДЮНО-КАЦА

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 24.02.04 Формат 60x84 '/16 Усл.печ.л. 1,39;уч.-изд.л. 1,57

Тираж 100 экз.

Издательство Дальневосточного университета 690950, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27.

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического комплекса ДВГУ 690950, г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27.

7 0 40

Введение и постановка задач.

Глава I Элементы математической кристаллографии. Квазикристаллы.

§1.1 Понятие о правильных точечных системах. Разбиение Вороного - Делоне.

§1.2 Геометрическое представление федоровских групп.

§1.3 Квазикристаллические симметрии.

Глава II Информодинамическая методика анализа паркетов, мозаик.

§2.1 Древесно-графовое представление решеточных систем.

Математические свойства.

§ 2.2 Теория перечисления древесных графов. Вероятностные и статистические свойства ДК. Задача перколяции.

§ 2.3 Симплициальные декомпозиции древесных графов. Фрактальность.

Глава III Информодинамика плоских параллелограмматических решеток.

§ 3.1 Информодинамика квартетных параллелограмматических решеток.

§ 3.2 Информодинамика плоской симплекс решетки.

§ 3.3 Информодинамика сотовой структуры.

Глава IV Симметрия, организация, фрактальность классических ДК в информодинамическом представлении.

§ 4.1 Сравнительный информодинамический анализ сотового и квартетного древесных графов.

§ 4.2 Обсуждение информодинамических результатов для плоского симплекс-ДК.

§ 4.4 Фрактальные информодинамические характеристики классических ДК

Глава V Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца.

§5.1 Бигексагональная мозаика и ее ДК.

§ 5.2 Перечисляющие полиномы, их вероятностная форма для бигексагональных ДК.

§ 5.3 Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца.

§ 5.4 Фрактальность бигексагональной мозаики Дюно-Каца.

В наших работах [85, 86, 89, 101, 104, 107-112] и ряде диссертаций [32, 49, 61] был развит информодинамический метод анализа древесно-графовых систем Кейли. Первичным и основным объектом в информодинамическом методе является отображение ячеистых, решеточных систем в древесные графы. Причем, эти древесные графы Кейли (ДК) являются координационными. Вершины ДК соответствуют ячейкам, а ветви ДК описывают отношения смежности между данной ячейкой и соседними. Отношения координаций на ДК обладают определенным свойством эстафетности. Связи, ветви ДК, образовываются только с ячейками древесных координационных сфер, направлены вперед. Тем самым, ДК можно построить для любой ячейки, решетки, а сама древесно-графовая структура будет обладать полярной симметрией. Общность древесно-графового представления состоит как раз в том, что мы можем характеризовать не только ячейки, координатную компоненту, но и отношения смежности между ними, чего нет в обычных решеточных системах. В работах [101, 102, 104, 106, 108-110] и диссертациях [32, 49, 61] подробно излагается алгоритм построения ДК и обсуждаются топологические, алгебраические, геометрические и вероятностные свойства древесных графов. По нашему мнению, координационные древесные графы Кейли являются более общими, чем представление решеток в координатном пространстве.

Вполне естественно напрашивается сопровождение древесно-графого подхода грамматическими функциями. Причем алфавит может иметь несколько объектных и координационных уровней, то есть [тд х пр\, где за д обозначаются виды ячеек, а зар - типы контактов. В случае планарных решеток, контакты могут быть точечными и реберными. Объектный алфавит может иметь 3 уровня рассмотрения: атомарный, «молекулярный» и третий - словарный или фразеологический.

Например, для мозаики Пенроуза первый уровень - пара золотых треугольников, затем - пара золотых ромбов, и, наконец - пара десятиугольников, с внутренним заполнением только соответствующими золотыми ромбами. Для бигексагональной решетки первый уровень - это гекса-ромб, словарный уровень - гекса-звезда, а фразу образуют объединения двух гекса-звезд с минимальным пересечением по гекса-ромбу. Синтез соответствующих квазикристаллических покрытий легче осуществляется на высоких рангах алфавита, где будет действовать простая алгебра грамматики [32, 101-102, 110].

Древесно-графовый метод отображения ячеистых систем получил широкое развитие в теории перечисления графов. Если избран древесно-графовый подход к отображению ячеистой системы, то автоматически следует за ним теория перечисления графов. Посредством простых нормировок можно получить ВПП. Так как любое ДК в принципе имеет бесконечную этажность, то изучение этих графов проводится в рамках теории протекания, перколяции, например - распространение ВПП статистик в направлении «центрк-»периферия». И, наконец, третий уровень - функциональный, он основан на построении скалярных сверток информодинамических функционалов различного вида, в которых и изучается в окончательном виде задача собственной пер-коляции на ДК.

Разработанный нами метод был применен к самым разнообразным ячеистым и решеточным системам [32,49, 61, 80, 110]. Подробно рассмотрены квазикристаллические симметрии, особенно мозаика Пенроуза [32, 110]. Причем исследование квазикристаллической мозаики Пенроуза было проведено двумя способами: один из них основан на координационных древесных графах Кейли [102, 123], а другой - на порождающих графах, в основе которых лежит принцип подобия [32, 108]. Последняя методика решает не задачу замощения покрытия, разбиения, а морфогенетического плотного роста из затравочного фрагмента.

Чрезвычайно важным обстоятельством является выяснение параллелизма между квазикристаллической симметрией и фрактальностью. Древесные графы обоих типов автоматически фрактальны, точнее подчиняются некоторому принципу стохастического подобия, и в то же самое время являются симплициальными комплексами. Фрактальность и симплициальность могут обсуждаться как родственные понятия, хотя на это раньше не обращали внимания. Таким образом, исследование фрактальных свойств в нашей методике является вполне естественным и органичным.

В настоящей диссертации ставится и решается задача о применении древесно-графового информодинамического метода к классическим кристаллографическим решеткам. Мы рассматриваем плоские параллел(>грамматические решетки, которые и подлежат подробному информодинамическому анализу. Из квазикристаллических объектов, очевидно, надо взять наиболее близкую систему к гекса-симметрии, точнее к плоской симплекс-решетке. В R2 мы остановились на бигексагональной мозаике Дюно-Каца.

Содержательная часть отражена в главах III — V, где наряду с теоретико-вероятностными, информодинамическими характеристиками рассмотрены и фрактальные характеристики обсуждаемых решеток, ДК. Тем самым, главная задача диссертации — показать, что дает нового наш метод в приложении к известной математической кристаллографии. Однако имеется и принципиально новый аспект, ориентированный на квазикристаллическую симметрию, из которой мы выбрали наиболее минимальную квазикристаллическую мозаику. В этом аспекте полученный результат, Глава V, по информодинамическому анализу бигексагональной мозаики Дюно-Каца и ее фрактальности являются новыми.

ВЫВОДЫ

I. Предложена расширенная кристаллографическая методика, способная описывать и количественно характеризовать квазикристаллические структуры. Она включает в себя несколько этапов:

1. Построение отображения квазикристаллической структуры в координационные, древесные графы Кейли. Ячейки сеток, паркетов отображены в вершины графа, а связи передают отношения соседства, смежности (только вперед). Такие ДК обладают полярной геометрией и являются перколяционными графами. Эти ДК наделены иерархической топологией.

2. Установлены, изучены математические свойства координационных ДК. ДК наделены грамматической функцией - в каждом случае построены алфавитные модули, найдена их алгебра, осуществлен синтез квазикристаллической решетки с минимальным пересечением.

3. ДК наделены ультраметрикой. Кусты являются ультрасимплексами, а все ДК симплициальным комплексом. Тем самым на ДК действует симплициальная декомпозиция. Один тип симплициальной декомпозиции предполагает разложение ДК на кусты (ультрасимплексы), а второй - на ветви (вершина + связь).

4. ДК как иерархические структуры содержат отношения «подчинения-командования», что позволяет рассматривать перколяцию подчинения и командования (направления «центр<-*периферия»). Каждый центр «разрастания коллапсирования» ДК порождает перколяционные потоки, которые, в общем случае, могут приводить к необратимыми древесными графами.

II. На ДК строятся ПП, ВПП для каждого уровня ДК и рассматривается перко-ляция статистических характеристик. Исследованы их асимптотические свойства, эргодичность.

Рассматривается перколяция на ДК «центр«-»периферия» информодинамических функционалов - энтропии, дивергенции, информационной энергии. Перколяционная зависимость информодинамических функционалов лежит в основе идентификации типа упорядоченности, организации древесных структур.

III. Синтезом мозаик, паркетов управляет принцип морфогенетического роста от центрального порождающего фрагмента, принадлежащего фразеологическому уровню алфавита. Морфогенетический рост мозаик осуществляется координационными фронтами, которые образуются фразами при минимальном пересечении по символам второго уровня алфавита.

IV. Фронтальная координация сопряжена с обобщенно - лучевой формой перколяции - стримерной. Фронты реализуются скорлупами Мандельброта (геодезический фрактал). Тем самым, ДК являются фрактальными структурами - прямой суммой фронтальной и стримерной перколяций. На ряде примеров показано, что йГг > <1Г.

V. Классические плоские решетки, хотя и являются тривиально самоподобными, но фракталами не являются. Установлены законы дальнодействия для изученных решеток. Бигексагон Дюно-Каца является фракталом <¿¿,<1.3 . Показаны минимальные преобразования симплекс-решетки, переводящие ее в бигексагональную мозаику.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В основе математической кристаллографии лежат два типа дуальных разбиений Я2 и Я3 пространств. Одно из них - разбиение Вороного, представляющее собой полиэдральную сетку, образующуюся выпуклыми, неправильными, минимальными многоугольниками (многогранниками). Такое разбиение обладает су - свойством. В физике твердого тела подобное разбиение известно как построение Вигнера - Зейтца.

Другой тип а- разбиения пространства Я2 и Я3 принадлежит Делоне и, фактически, представляет собой триангуляционную сетку. В математической кристаллографии применяются графовые методы описания сеточных систем, совместно с заданием отношений инцидентности. Получили некоторое распространение и статистические методы исследования пространственных сеток обоих типов. Последние годы возникла необходимость в расширении кристаллографии на квазикристаллические объекты.

В настоящей диссертации сформулирован метод исследования решеточных, сеточных и ячеечных систем общего вида.

Согласно постановке задачи, вышеупомянутым методом были изучены плоские параллелограмматические решетки, а также наиближайшая к ним квазикристаллическая система - бигексагональная мозаика Дюно-Каца.

I. Информодинамический метод анализа обобщенных решеточных систем состоит в следующем:

Дан алгоритм построения координационных графов Кейли по соответствующей сеточной системе. Вершины графа соответствуют ячейкам сетки, а координаты - смежностям, соседства направленным «вперед». Тем самым получим направление ДК «центр -> периферия». При этом автоматически получается ДК с обратным направлением «периферия —> центр». Исследованы математические свойства ДК. В г - направлении выполняется условие эстафетности. Координационные ДК, наделенные ультраметрикой, обладают внутриуровневой пересекаемостью, связностью и, вообще говоря, имеют случайную ветвистость. Такие ДК нами названы марковскими джунглями. К тому же они подчинены принципу симпл ициал ьности.

II. Для древесно - графового отображения систематически применяется теория перечисления графов, которой может быть придана вероятностная, статистическая форма представления. Это позволяет рассмотреть вероятностные статистические задачи перколяции ПП на ДК в направлении «центр <-> периферия». Задача перколяции на ДК может быть обобщена в теоретико-информационной форме. Для чего строятся энтропийные, дивергентные и энергетические функционалы. Их возможная инвариантность при протекании ДК или волноподобное поведение и будут служить характеристикой для идентификации типа упорядочения, организации мозаик, паркета, решеток. III. Информодинамическая методика позволила получить результат следующего трехуровневого рассмотрения.

На первом уровне обсуждаются свойства ПП, ВПП в особенности в асимптотике. На втором уровне обсуждения приводятся асимптотические оценки энтропийной и дивергентной перколяции на ДК. На третьем уровне - идентификационный характер дальнодействия, тип которого отражен в yif и ßir показателях. Общей чертой для квартетных и сотовой решеток является коллапсирование ВПП в асимптотике: limt"(xl)=x2; к?=2 i-*a> limt"(xk)=x>; к?=3

1-*а> для сотовой и квартетной решетках, соответственно.

Дивергентные и энтропийные функционалы для обоих типов решеток в асимптотике стремятся к 0, т.е. вырождаются. Последнее свойство означает, что сотовые и квартетные решетки, ДК можно причислить к детерминированным в асимптотике системам. Для квартетных ДК у1 и ßl показатели равны 1, что говорит о кулонов-ском, ньютоновском типе дальнодействия. Для сотовой структуры справедливо более сильное дальнодействие у1 и ßl= 0,833. Показатель дальнодействия в обратных потоках ~ 0,7-0,72 в обоих случаях. Усиление дальнодействия в обратном потоке есть следствие отражения от бесконечного горизонта перколяционного потока «периферия —> центр».

Симплекс - ДК в вероятностном и теоретико - информационном представлении является оптимальной структурой: lim Н^ = lim Н* = 1/2 = Нпюх^>Н{ Д )

-»СО i—>00

Геометрические свойства симплектичности тесно коррелируют с равновероятной структурой асимптотических ВПП и с максимальным значением энтропий, дивергенции на перколяции потоков по ДК. По у и ß показателям ДК симплекс - решетки: у1 V/?1 = 0.105 <yr V/?* = 0.155.

Можно сделать вывод, что симплекс-упорядочение на порядок более дальнодейст-вующее, чем квартетное. Отражение от бесконечного горизонта в этом случае ужесточить дальнодействие уже не может, но зато может его ослабить.

Нетрудно видеть, что все плоские параллелограмматические решетки тривиально подобны. Однако вследствие асимптотической вырожденности вероятностных и энтропийных характеристик сотовые и квартетные решетки не являются фракталами. Для симплекс - решетки, ДК подобный эффект не наблюдается, но: т.е. и симплекс - структуры, несмотря на свою симплициальность, также не являются фракталом.

IV. Сопоставление сотового, симплекс - ДК и бигексагонального. Структура ПП, ВПП:

1. сотовое ДК: к1 =3,2 г'=3

2. симплекс-ДК

3. бигексагональное ДК к1 =5,4,2 г1 =5 к? '= 4,3,2,1 ^ =4

Из 1-2 видно, что упорядоченность бигекса - ДК более низка, чем для симплекс -ДК и лежит между ними; в (2, 3) случаях для направлений перколяции «центр -> периферия» ПП является триплет/квартетными, но ранги 6^/5^ и 51 ¡4^ со средними асимптотическими ветвистостями:

Ь* ( AS.) = 4 > £?(бигексагон) = 22/3.

По последнему показателю отличие, Ак„ - дефект, от симплекс - 33,35%. Асимптотические ВПП, их коэффициенты:

Ш) ш также указывают на определенную асимметричность. ВПП. В обоих случаях эти асимптотики являются биномами.

По к - ветвистостям паркеты упорядочиваются: ею М < [¿л Д)=А

Информодшамические характеристики.

1. Шкала энтропийных функционалов в асимптотике:

Ob о < я.ИУ) Ш1=<"<* <«№> А ]= н^=0.5 степень квазистохастичности бигекса - ДК г]= 11.2% от симплекс - ДК. Сотовая структура предельно детерминирована.

2. энтропия мод к - ветвистости ДК mod Н^[/и (х4 к = 5,i] =2 - для симплекс - ДК mod Н„

4;2

0.888.

-= 0.666 - для бигекса - ДК;

1.333.

ЛАН~ (**))]= 44-5% от симплекс - ДК. 3. Показатели дальнодействия

А\)=0.105>у*\/р\ /¡¡\)=0.155 у^ v /3^ - показатели дальнодействия для бигексагонального ДК смещены на А(/ V /3)=0.04 (ослабление дальнодействия) в сравнении с симплекс - ДК. Соотношения у и р в потоках на обоих ДК в направлениях «центр периферия» одинаковые, что говорит о генетических корнях гекса - симметрии. 4. Фрактальность бигексагонального ДК. Оценки фрактальности по скорлупе Мандельброта и по соотношению дают ^ ~ ^ * ®се 11,1001016 параллелограмматические решетки не фрактальны, хотя тривиально самоподобны. Квазикристалличность и фрактальность коллинеарны.

1. Айзерман М.А. и др. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы графодинамики) / Сб. науч. тр. «Исследования по теории структур» / М.: Наука, 1988. С.5-76.

2. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. 640с.

3. Банн Ч. Кристаллы: их роль в природе и науке. / Под ред. Белова Н. В. / М.: Мир, 1970.

4. Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике. М.: Мир, 1985. 488с.

5. Беленький А. Я. Стеклообразные металлы // Природа. 1987. № 2. С.80-88.

6. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. 240с.

7. Бонгард М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука, 1967.318с.

8. Братковский А. М., Данилов Ю. А., Кузнецов Г. И. Квазикристаллы // ФММ. 1989. Т. 68, № 6. С. 1045-1095.

9. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. T.l. М.: Наука. 1979.

10. Векилов Ю. X. Что такое квазикристаллы // Физика. 1997. № 1. С.87-91.

11. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. Лекции по математике. М.: Наука. 1992. 192с.

12. Галагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Сов. радио, 1974. 600с.

13. Галиулин Р.В. Как устроены кристаллы // Квант. 1983. №11. С.10-16.

14. Галиулин Р.В. Кристаллографическая картина мира // УФН. 2002. Т. 172. №2. С.228-233.

15. Галиулин Р.В. Правильные системы // Природа. 1991. №12. С.20-36.

16. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. T.l. М.: Наука, 1971.664с.

17. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.2. М.: Наука, 1973. 640с.

18. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.З. М.: Наука, 1975. 496с.

19. Гратиа Д. Квазикристаллы // УФН. 1988. Т. 156, № 2. С. 347-364.

20. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. Л.: изд. АН СССР, 1947. С. 196-316.

21. Делоне Б.Н. Теория планигонов // Изв. АН СССР. Серия математическая. Т. 23. № 3.1959. С.365-386.

22. Долбилин Н.П. Правильные системы (Введение в математическую кристаллографию). М.: Знание, 1978. 64с.

23. Домрачев Г.А., Лазарев А.И. Приложение теории алгебраических систем для создания иерархии структур твердых тел, образующихся при равновесных и неравновесных условиях // ФТТ. 1999. Т. 41. №5. С.799-804.

24. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М: Наука. 1981.

25. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971. 576с.

26. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир. 1982. 591с.27. . Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.

27. Зосимов В.В., Лямшев Л.И. Фракталы в волновых процессах // УФН. 1995. Т. 165, №4. С.361-401.

28. Зыков A.A. Основы теории графов. М.: Наука, 1987. 382с.

29. Иванова B.C., Баланкин A.C., Бунин И.Ж., Оксогоев A.A. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383с.

30. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624с.

31. Карыгина Ю.А. Фрактальная кристаллография квазикристаллических структур в древесно-графовом представлении на группах подобия / Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 2002.24с.

32. Карыгина Ю.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Мозаики Пенроуза в представлении древесных графов Кейли // VI Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых по физике. Томск, 1999. С.125-126.

33. Карыгина Ю.А., Юдин В.В Древесно-фрактальный алгоритм топологического синтеза квазикристаллических мозаик // Материаловедение. 2001. №12.1. С. 12-16.

34. Каста Дж. Большие системы. Связность, сложность, катастрофы. М.: Мир, 1982.216с.

35. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.

36. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989, 150 с.

37. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608с.

38. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. 560с.

39. Коренфельд И.П., Синай Ф.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 384с.

40. Корепин В.Е. Узоры Пенроуза и квазикристаллы // Квант. 1987. №6. С.2-6.

41. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000. 352с.

42. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.400с.

43. Кушта Г. П. Введение в кристаллографию. Львов: Высш. школа. 1976.238с.

44. Лазарев А.И., Домрачеев ГА. Ромб и квадрат зародыши для фрактального построения двумерных квазикристаллических структур с вращательной симметрией 8-го и 4-го порядков // Кристаллография. 1994. Т.39, №5. С.811-814.

45. Лазарев А.И., Суханов А.Ю., Домрачеев Г.А. Устойчивые фрактальные формы в плоских квазикристаллических структурах с симметрии 8-го, 4-го и 1-го порядков, имеющий коэффициент самоподобия i + VJ //Кристаллография. 1995. Т.41, №5. С.793-803.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1, т.5. М.: Наука, 1976. 584с.

47. Левитов Л. С. Квазикристаллы // Природа. 1990. № 5. С.76-84.

48. Любченко Е.А. Древесные графы Кейли в исследовании сеточных структур ме-зодефектов кварцевых стекол / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 1999. 199с.

49. Любченко Е.А., Чуднова O.A., Карыгина Ю.А. Информодинамические характеристики кристаллических решеток // Тез. докл. III региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 1999. С. 50-51.

50. Любченко Е.А., Чуднова O.A., Юдин В.В. Информодинамика гексагональной мозаики Дюно-Каца // Тез. докл. Второй всероссийской конференции по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектроннике. С.-Петербург. 2000. С. 142-143.

51. Мандельброт Б. Фракталы в физике / Под. ред. Пьетронеро Л., Тозатги Э. / М.: Мир, 1988.

52. Медведев H.H. Метод Вороного Делоне в исследовании структуры некристаллических систем. Новосибирск: изд. СО РАН, 2000. 214с.

53. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488с.

54. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н. Новгород: изд-во Нижегородского университета, 1999. 140с.

55. Нельсон Д. Р. Квазикристаллы // В мире науки. 1986. № 10. С.19-28.

56. Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Геометрии и группы. М.: Наука. 1983.

57. Олемской А.И., Флат АЛ. Использование концепции фрактала в физике конденсированных сред // УФН. 1993. Т.63, №12. С.1-50.

58. Писаренко Т.А. Фрактальность сеточных систем мезодефектов металлических и кварцевых стекол в спектральном и древесно-графовом представлениях / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 2000. 299с.

59. Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A., Карыгина Ю.А. Деревья Кейли в анализе мозаик Пенроуза // Тез. докл. III региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 1999. С.37-38.

60. Писаренко Т.А., Чуднова O.A., Любченко Е.А. Фрактальность мозаик Пенроуза в представлении деревьев Кейли // VI Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. Томск, 1999. С. 127-128.

61. Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Информодинамика мозаик Ка-вамуры и Дюно-Каца // ТД региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 2001. С.84-85.

62. Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Фрактальность мозаик Каваму-ры и Дюно-Каца // ТД региональной конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. Владивосток, 2001. С.86-87.

63. Полянский Д.А., Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Фрактальность обобщенных решеток // Материалы XLIV Всероссийской межвуз. научно-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математики» Владивосток, 2001. С.60-62.

64. Потапов A.A. Фракталы в дистанционном зондировании // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №6. С.3-65.

65. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1973.496с.

66. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. ДО.: Наука, 1980. 320с.

67. Савчук Е.Г. Статистическая кинетика суперсеточных систем металлических и кварцевых стекол в процессах структурной релаксации / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 1991. 255с.

68. Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика. Ростов-на-Дону: изд-во Феникс, 2002. 512с.

69. Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И., Кречет Т.В. Теория информации и кодирование. Ростов-на-Дону: изд-во Феникс, 2002.288с.

70. Стивенз П. В., Гоулдман А. И. Структура квазикристаллов // В мире науки. 1991. № 6. С.15-21.

71. Стратонович PJL Теория информации. М.: Сов. радио, 1975.424с.

72. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир. 1977. 200с.

73. Фано Р. Передача информации. Статистическая теория связи. М.: Мир, 1965.

74. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.254с.

75. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1984. 528с.

76. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984. 752с.

77. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. 368с.

78. Харари Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов / Сб. тр. «Прикладная комбинаторная математика» / Под ред. Беккенбаха Э. М.: Мир, 1968.1. С. 107-140.

79. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977.

80. Харкевич A.A. Теория информации. Опознание образов / Избранные труды. Т.З. М.: Наука, 1973. 524с.

81. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. М.: Наука, 1974. 576с.

82. Чуднов П.С., Любченко Е.А., Чуднова O.A., Юдин В.В. Информодинамическая диагностика обобщенных решеточных систем // Сб. тез. Всеросс. конф. «Моделирование неравновесных систем-03». Красноярск. 2003. С. 189-190.

83. Чуднова O.A. Фрактальность классических решеток и бигексагональной мозаики Дюно-Каца// Материалы Всероссийской межвуз. научно-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математики» Владивосток, 2003.

84. Чуднова O.A., Карыгина Ю.А., Любченко Е.А., Юдин В.В. Деревья Кейли в анализе мозаик Пенроуза // Материалы XXXXII Всероссийской межвуз. науч-но-техн. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математики» Владивосток, 1999. С.213-214.

85. Чуднова O.A., Любченко Е.А. Информодинамические характеристики кристаллических решеток // VI Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. Томск, 1999. С. 192-194.

86. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Чуднов П.С., Юдин В.В. Информодинамическое обобщение классической кристаллографии // Сб. тез. Всеросс. конф. «Моделирование неравновесных систем 03». Красноярск, 2003. С.191-192.

87. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамические характеристики гексагональных мозаик // Материалы XLIII Всероссийской межвуз. научно-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математика» Владивосток. 2000. С.138-140.

88. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамические характеристики гексагональной мозаики Дюно-Каца // VII Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. С.-Петербург, 2001. С. 114-И 6.

89. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамический анализ пер-коляции мозаик Дюно-Каца // VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001». Москва, 2001. С.196.

90. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Мозаики Дюно-Каца в представлении древесных графов Кейли // Материалы XLIII Всероссийской межвуз. науч-но-технич. конф. «Фундам. и приклад, вопросы физики и математика» Владивосток, 2000. С.141-143.

91. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Фрактальность квазикристаллических структур // VII Всероссийская научная конференция студентов и молодых ученых. С.-Петербург, 2001. С. 113-114.

92. Чуднова O.A., Любченко Е.А., Юдин В.В. Информодинамика гексагональных мозаик // Тез. докл. Региональной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов. Владивосток, 2000. С.49-51.

93. Шаскольская М. П. Кристаллография. М.: Высшая школа. 1984. 375с.

94. Шварц Л. Анализ. Т.1 М. Мир. 1972. 824с.

95. Шубников А.Б., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука. 1972. 450 с.

96. Щеголева С.А. Воздействие у-радиационных полей на сверхтонкие аморфные покрытия / Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н. Владивосток, 2000. 142с.

97. Эдварс Р. Функциональный анализ. М. Мир, 1967. 1072с.

98. Юдин В .В. Сверхструктурные неоднородности аморфных планарных сред типа переходной металл-металлоид, редкая земля-переходной металл / Дис. на соиск. уч. ст. д.ф.-м.н. Красноярск, 1987.300 с.

99. Юдин В.В., Карыгина Ю.А. Фрактальность квазикристаллов на примере мозаики Пенроуза // Кристаллография. 2001. Т.46, №6. С.1004-1008.

100. Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А. Информодинамика сетевых структур / Уч. пособие. Владивосток: изд. ДВГУ, 2003.244с.

101. Юдин В.В., Любченко Е.А., Чуднов П.С., Чуднова O.A. Информодинамическая диагностика сетевых структур в представлении обобщенных деревьев Бете // Тез. докл. X Всероссийского семинара «Нейроинформатика и ее приложения». Красноярск, 2002. С.169-170.

102. Юдин В.В., Писаренко T.A., Любченко Е.А., Савчук Е.Г. Случайные координационные деревья Кейли для сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол // Кристаллография. 1999. Т.44, №3. С.413-421.

103. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Чуднова O.A. Обобщенные решеточные системы как сверхперколирующие структуры // Изв. Академии Наук. Серия физическая. 2001. Т.65, №10. С.1405-1410.110.111.112.113.114.115.116.117,118119120121122123124

104. Юдин B.B., Писаренко Т. А., Любченко Е.А., Чуднова О. А., Карыгина Ю.А. Мозаика Пенроуза как древесно-графовая квазистохастическая решетка // Кристаллография. 2002. Т.47, №2. С.224-231.

105. Юдин В.В., Полянский Д.А., Любченко Е.А., Чуднова О .А. Древесно-графовое моделирование квазикристаллических структур // V Всеросс. семинар Моделирование неравновесных систем -02. Красноярск, 2002. С. 180-181.

106. Юдин В.В., Чуднова О.А., Полянский Д.А., Любченко Е.А. Фрактальные характеристики древесных графов Кейли квазикристаллической симметрии // Сб. тезисов III Междисциплинарного семинара «Фракталы и прикладная синергетика». Москва, 2003.

107. Brostow W., Dussaut J.-P., Fox L. Construction of Voronoi polyhedra // J. of Corn-put. Phys. 1978. V.29. P.81-82.

108. Deunea M., Katz A. Quasipereodic patterns // Phys. Rev. Lett. 1985, V.54. P.2688-2691.

109. Dwyer R.A. A faster divide-and-conquer algorithm for constructing Delaunay trian-gulation//Ibid. 1987. V. 2. P.137-151.

110. Henely C.L. //J.Non-crystall Sol. V.75.p.91.

111. Fihney I.L. A procedure for the construction of Voronoi polyhedra // Ibid. 1979. V.32. P.137-143.

112. Kawamura H. Statics of Two-Dimensional Amrphous Lattice // Prog, of Theor. Phys. 1983. V.70,№ 2. August.

113. Mackey A. Crystallography and Penrous patterns // Physica. 1982. V.l 14A. P.609-613.

114. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. W.H. Freeman. San Francisco. 1977.

115. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, 1982.

116. Marko J.F. Cluster scaling geometry in critical spin systems // Phys. Rev. B. 1992. V.45, №9. P.5023-5026.

117. Yudin V.V., Lyubchenko E.A., Chudnova O.A Informodynamic analysis of percolation on high quasicrystal symmetries // Proc. I Asia-Pacific Conference «Fundamental problems of opto- and microelectronics», Vladivostok, September-2000. P.321-325.

118. Yudin V.V., Chudnova O.A, Polyansky D.A., Chudnov P.S., Lyubchenko E.A. Qusi-cristal structure fractality in wood Kylie grafs representetion // Проблемы эволюции открытых систем. Вып. 5. изд. «Эверо». Алмата. С.119-125.