Моделирование структуры декагональных квазикристаллических сплавов AL-переходной металл

Михалюк, Алексей Николаевич

Моделирование структуры декагональных квазикристаллических сплавов AL-переходной металл тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Михалюк, Алексей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владивосток МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Моделирование структуры декагональных квазикристаллических сплавов AL-переходной металл»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование структуры декагональных квазикристаллических сплавов AL-переходной металл"

На правах рукописи

Михалюк Алексей Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ДЕК АГ ОНЛ.1Ы1ЫХ КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ АЬ-ПЕРЕХОДНОЙ МЕТАЛЛ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ 005050954

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2013

г 8 МАР 2013

005050954

Работа выполнена на кафедре Физики низкоразмерных структур НОЦ «Нанофизика и нанотехнологии», Школы Естественных Наук, Дальневосточного Федеральною Университета.

Научные руководи ! ели - доктор физико-математических наук,

профессор, Член корреспондент РАН, Саранин A.A.

доктор физико математических наук, профессор. Заслуженный деятель науки РФ,

Юдин В.В7

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Астапова Е.С.

доктор технических наук, профессор Г рудин Б.Н.

Ведущая организация - Институт материаловедения

Хабаровского научного центра Дальневосточного отделения РАН, г. Хабаровск

Защита состоится » апреля 2013 года в часов на заседании диссертационного совета Д212.056.08 при Дальневосточном федеральном университете, расположенном по адресу: 690950. г.Владивосток, ул.Суханова, 8, ауд. 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного Федерал i, и о го У н и вере итета.

Автореферат разослан « /3 » марта 2013 г.

Ученый секретарь ././

диссертационного совета Д 212.056.08, ,/

кандидат физико-математических наук , 'fjfi/^" / Фролов A.M.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 1'АЬОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время и связи с развитием микро- и нанотсхнологий наблюдается повышенный интерес к получению и исследованию новых перспективных материалов, одними из которых являются квазикристалл ичсскис сплавы различных симметрии. Квазикристаллы прочнее и менее подвержены деформации, чем обычные кристаллы, состоящие из тех же элементов, также они имеют значительно отличающиеся электрические, магнитные и оптические свойства. К ваз и кристаллы - не изоляторы и не полупроподники: в отличие от металлов, их электросопротивление при низких температурах аномально велико, и уменьшается с ростом температуры. Одними из наиболее совершенных, упорядоченных и стабильных фаз являются декагональные квазикристаллы, часто встречающиеся среди группы сплавов А1-псрсхолной металл. В отличие от квазикристаллов икосаэдрической симметрии, они являются апериодическими лишь в плоскости, в третьем же измерении они представляют периодическую упаковку декагональных столбовидпых кластеров. Данная особенность их структуры обуславливает их необычные электрические и механические свойства, например, вдоль десятикратной оси проводимость ведет себя как в нормальном металле, а в квазикристалличсских плоскостях -описанным выше образом.

Интерес к квазикристаллическим веществам обусловлен перспективами фундаментальных исследований и их практического использования в качестве базовых материалов микро- и нанозлектроники.

Несмотря на то, что плаз и кристаллы являются объектом обширных научных исследований, до настоящего времени всё ещё остаётся не до конца раскрытым вопрос устройства их структуры, и механизма их формирования.

Существует два подхода к изучению и синтезу квазикристалличееких покрытий. Физический подход включает непосредственное получение квазикристаллов и изучение их свойств разнообразными методами микроскопии; а также численные методы, такие, как метод молекулярной динамики и метод Монте-Карло, позволяющие моделировать рост квазикристаллической структуры из атомов, наделённых, например, парным ближнедействующим потенциалом, тогда при поочередном присоединении атомов к растущему кластеру в качестве критерия используется принцип минимума потенциальной энергии кластера. Математический подход

решает «дачу построения бездефектного апериодического покрытия, замощения из минимального множества плиток так, чтобы синтезированное покрытие соответствовало принципу максимальной плотности, и чтобы и нём отсутствовали наложения и поры. В данной диссертационной работе сделана попытка сблизить эти два подхода, и установить связь между абстрактными плитками и миром реалистичных атомов, благодаря представлению и описанию атомной структур 1,1 квази-злементарной ячейки через плиточную модель замощения, спроектированную из декагомальных кластеров.

Целмо диссертационной работы является исследование структуры декагональных квазикристаллических сплавов А1-перехолмой металл путём построения модели синтеза декагонального квазикристаллического покрытия в плоскости К2, и изучение его структурных, топологических, и геометрических свойств в сравнительном анализе с ромбическим покрытием. Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Определить алгебраическую структуру, лежащую в основе алгоритма синтеза декагонального квазикристаллического покрытая, описать её алфавит и грамматику.

2. Согласно полученной процедуре реализовать покрытие и плоскости К;., и провести её статистический, топологический, и теоретико-информационный анализ.

3. Описать модель элементарной ячейки полученного покрытия, и определить её атомную структуру на примере трёхкомпонентного квазикристаллического сплава ,4/7,Л7,пСо8.

4. Ввести информодинамичсские характеристики, позволяющие количественно оценить степень упорядочения структуры декагонального квазикристаллического покрытия. Выполнить сравнительный анализ с ромбическим пентагональным покрытием. Оцепить фрактальные характерист ики.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Процедура синтеза совершенного декагонального квазикристаллического покрытия по локальным правилам на кластерном уровне. Экспериментальное и статистическое подтверждение дальнего упорядочения и бездефектное™ полученного покрытия.

2. Результаты комплексного исследования и анализа статистических, топологических и информационных свойств структуры декагонального квазикристаллического покрытия.

3. Особенности атомной структуры квази -элементарной ячейки декагонального квазикристалла л/„«.„а,,.

4. Характер упорядочения декагонального и ромбического квазикристалличсских паркетов, полученных в рамках информодинамического метода. Фрактальные характеристики данных покрытий.

Научная новизна и практическая значимость работы состоит в том, что в ней детализирована процедура синтеза декагонального квазикристаллического покрытия, которая по своему характеру, хотя и является нерекурсивной, может быть описана в дуальных представлениях при помощи конечного набора эвристик. Впервые предложено и реализовано кластерное построение декагоиалыюго квазикристаллического покрытия на уровне декагопов двух типов, которые с точки зрения конфигурационного совершенства являются более энтропийно-выгодными моделями, чем используемые до лого декагоны Гуммельт |2]. Выявленные особенности атомной структуры квази-элементарной ячейки могут быть полезны для изучения атомных флуктуаций, или локальных фазонных эффектов, часто проявляющихся как атомные беспорядки на парах переключающихся атомных узлов, отделенных расстоянием, меньшим обычного межатомного.

Предложенный в работе информодинамический формализм может быть использован при исследовании проблем структурной кинетики, а также сравнительного анализа широкого класса сеточных систем по степени их упорядочения, организации и т.д., в частности, для классических кристаллографических симметрия,

квазикристаллических материалов, и аморфных сред. Результаты работы могут быть полезны при построении структурно-топологических моделей, которые могут лежать в основе технологий получения квази-, нанокристшиюв, и объяснять физические свойства и процессы, протекающие в неравновесных средах. Также результаты могут быть полезны для технологов и разработчиков новых квазикристаллмческих материалов для наноэлектроники. Результаты работы могу т использоваться при чтении лекционных курсов.

Достоверность полученных результатов состоит в многократном систематическом и корректном выполнении алгоритмов по моделированию квазикристаллических покрытий. Достоверность результатов подтверждена: - согласием результатов аналитических и численных расчетов с экспериментальными данными других авторов; -теоретические расчёты по построению модели синтеза, а также её адекватность доказаны и подтверждены многократной повторяемостью вычислительных данных;- верность теоретических выводов

подтверждена их Согласованностью с известными литературными данными.

Лнчный вклад автора: автором диссертационной работы была разработана процедура синтеза декагонального покрытия, и описана её алгебраическая структура в обобщённом, радиальном и стримериом представлениях. Были предложены модели квази-элемснтарных ячеек, выполнен их сравнительный анализ с моделью Гуммельт. Произведен большой объем вычислений по построению энтропийных и статистических зависимостей для древесно-графовых структур, отображающих решеточные системы. В целях количественной диагностики характера дальнего упорядочения решеточных систем была построена методика' информодинамического анализа. Проведена обширная апробация на средах с различными типами упорядочения. Все расчеты были произведены автором самостоятельно, многократно проверены в независимых методиках. Обсуждение и интерпретация численных и экспериментальных результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами публикаций.

Апробация работы: основные результаты работы докладывались и были опубликованы в сборниках трудов региональных, всероссийских и международных конференций, семинаров, симпозиумов: на Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск 2008, 2009, 2010); Всероссийском семинаре «Нейроинформатика, её приложения и анализ данных» (Красноярск 2008, 2009, 2010); Международном семинаре «Физико-математическос моделирование сметем» (Воронеж 2008); Всероссийской конференции (Владивосто к- ГОВМ11, 2008, 2010, 2012); Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (Нижний Новгород 2008); Международном конференции «Фазовые превращения и прочность кристаллов» (Черноголовка 2008); Петербургских чтениях по проблемам прочности и роста кристаллов (Санкт--Петербург 2008); Всероссийской научной конференции физиков и молодых учёных (Кемерово 2009); Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по физике (Владивосток, ДВГУ 2009); Всероссийской конференции по физике ПДММ (Владивосток, ДВО РАН 2009); Международной конференции «Опто-, ианоэлектроника, нанотехнологии и микросистемы» (Ульяновск,2009); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала 2009); Международном симпозиуме «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных материалов» (Пятигорск 2009); Всероссийской конференции по физике

полупроводников и наноструктур (Санкт-Петербург 2009); Международной конференции «Деформация и разрушение материалов и наноматериалоп» (Москва, 11М1 I РАН 2011); International Symposium on Lattice-Field Theory (Beijing, China, 2009); в журналах: «Проблемы эволюции открытых систем» (2008) «Известия РАН. Серия физическая» (2009), «Теоретическая и математическая физика» (2010), Physica A (Elsevier) (2010).

Публикации: всего но материалам диссертации опубликовано 25 работ, основные из которых перечислены в конце автореферата, из них 4 статьи - в научных журналах ш перечня ВАК.

Структура и объём диссертации: диссертационная работа состоит из введения, основной части, состоящей из четырёх глав, заключения, приложения, и списка литературы (124 наименований). Общий объём диссертации составляет 142 страницы, включая 64 рисунков, 7 таблиц, и список литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформирована цель работы и поставлены задачи исследования, изложены защищаемые положения, и кратко описана структура диссертации.

В первой главе приводится краткий литературный обзор, в котором освещено современное состояние развиваемых в диссертации вопросов. Первые два параграфа §1.1 и §1.2 посвящены кпазикристаплическим симметриям, их структуре и свойствам, а также моделям квазшфисталлов. Представлены современные сведения о процессе их получения и исследования. В параграфе §1.3 описываются два метода построения квазикристаллических покрытий - знергетически-управляемый (совершенное покрытие), и энтропийно-управляемый (случайные плиточные модели, стабилизированные по энтропии). В параграфе §1.4 представлена концепция строения квазикристаллов как кластерных агрегатов, что в дальнейшем будет использовано в Главе 2 диссертационной работы при синтезе совершенного квазикристаллического покрытия. Параграф §1.5 посвящен методам фрактального анализа в физике конденсированной среды, что находит своё применение при оценке меры хаотичности квазикристаллической структуры в Главе 4 данной работы.

Во второй главе описана процедура синтеза декагонального квазикристаллического покрытия при помощи локальных правил, путём использования звёздчатого и дорзальпого декагопов (рис. 1(1)). В параграфе §2.2 для данных декагопов установлена алгебра-логика (в булевской форме) их взаимного контактирования, допускающая, наряду с операцией объединения, и пересечение (рис.1 (И)).

а) /\Л в) чГ1У

б) Ж^А г>

Рис, I (I) Три уроним дуальных алфавитов квазикристаллического паркета Пенроуза (а-г), и (II) три правила контактирования двух дскагонов (а в).

Процедура синтеза квазикристалличсского паркета Пенроуза принадлежит к задачам нерекурсивной математики. Однако в данной работе показано, что существует эвристическая процедура (с конечным набором локальных правил), которая позволяет построить совершенное бездефектное декагональное покрытие. Локальные

правила допускают: а)

Г!

объединение

и В-декагонов

пересечением первого типа (рис. 1(П)а; б) I 020\ - объединение двух

13-декагонов с пересечением второго типа (рис. 1 (11)6); в) (у и о ) -объединение двух Э-декагоиов без пересечения (рис.I(ТТ)в); г) (.УШ), (¿'ГЪ') - объединения и пересечения 8-декагонов невозможны.

Начальные шаги процедуры декагопального синтеза представлены на рис.2(а-г), из которого видно, что построение покрытия выполняется через последовательное заполнение декагональных фронтов согласно описанной логике. В параграфе §2.3 проведён статистический, информационный и топологический анализ

структуры квазикристаллического

а)

в) • ' . • йШШй 1шШГ

Рис.2 Три первых шага процедуры декагонального синтеза.

дс каго нал ь н о го покрытия. В ходе сравнительного анализа

статистики вершинных

координатшй установлено, что полученное декагональное

покрытие, и паркет с центральным десятигранным дефектом

(являющийся совершенным

квазикристаллическим покрытием, и известный ранее в [1]) являются объектами одного класса.

С)

Анализ топологии декагонального покрытия показал, что в области фронтон №6,7,8 структура имеет топологический фазовый переход со спонтанным нарушением симметрии 5—»10 (рис.За,б).

Рис.3 а) Декагональные фронты синтезированного покрытия, и б) структурный фаяоший переход Ландау 2 рода, со спонтанным нарушением симметрии 5—НО.

К паз и кристаллическая структура может быть рассмотрена в двух представлениях - как система декагонов (двух типов), и как система образованных ими дефектов (двух типов) (рис.1 (II)). Система дефектов является сопряжением системы декагонов. Проанализируем динамику декагонального синтеза с точки зрения системы дефектов. Рис.4(а,б) показывает динамику двух типов дефектов но отдельности в зависимости от номеров дскагоновых фронтов. Зависимость дефектов типа «змей» отражает тонкую структуру синтеза, в частности идентифицирует «топологический» фазовый переход, видимый как «перелом» линии аппроксимирующего тренда. Па рис.4(б)) показана его производная, которая уточняет характер поведения этой функции, показывая нулевые значения для фронтов №6,7,8.

5 60 -е-

ё;40

5 20т

—• •■— дефект -" роме» — в— дефект - "змей" аппроксимации

п,=3.859бг> 0 8772

4 6 8 10 12 14 16 18 20 уровень фронта

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

а) у|ля»поч'|«та уровень фронта

Рис.4 а) Статистика двух типов «дефектов», б) производная от статис тики дефекта типа «змей».

В параграфе §2.4 описана алгебраическая структура, лежащая в основе процедуры упаковки тангенциальных фронтов декагонального квазикристалл и чес ко го паркета. Как уже говорилось, процедура синтеза декагональной системы осуществляется при помощи 8-, и О декагонов, образующих первичный, базовый алфавит {8,0}, однако процедура упаковки тангенциальных фронтов управляется другим, производным ОТ него алфавитом {¿В: ХОО: 5'0£>£>; ЖМЮ}, ИЛИ {[ж]/<4 } .

Анализ декагональной структуры в направлении тангенциальных фронтов позволил идентифицировать грамматику данного алфавита. Рис.5(а) показывает, что фронты образованы не просто из 8-, и П-символов, а из составных блоков: 81") 1, 8132, 8Ш, Можтто видеть, что 8-символ является префиксом каждого слога. Теоретико-вероятностный анализ обнаруженного тангенциального алфавита, показал наличие моды распределения на символе ЯШ.

I абл. I Алгебраическое описание структуры тангенциальных фронтон.

1'ис.5 а) Структура тангенциальных фроптоп, б) и их пирамидальная развёртка.

Рис.5(б) представляет пирамидальную развертку тангенциальных фронтов, из которого видно, что фронты состоят из повторяющихся мотивов, общим числом 5 или 10 на уровне. Для 20-ти фронтов была составлена таблица, дающая алгебраическое описание тангенциальной структуры декагонального покрытия (Табл. 1 показана выборочно).

№ фронта

Семантическая формула

Число мотивов

Третьи глава посвящена исследованию атомной структуры и элементарной ячейки декагональных квазикристаллических сплавов АЛ-переходной металл. В параграфе §3.1 приводится описание особенностей атомной структуры икосаэдрических и декагональных квазикристаллических фаз, симметрии их пространственных групп, а так же три разновидности симметрии центрального кластера декагональная, пентагональная, и зеркальная. В параграфе §3.2 представлена новая модель квази-элементариой ячейки на примере звёздчатого и дорзального декагоиов (рис.6(в,г)), выступающих альтернативой ранее предложенной модели Гуммельт (рис.б(а)) [2].

и) г) д)

Рис.о а) Декагон Гуммельт [2], б) и покры тие на. его основе; п) дорзальный (Г)-), и г) звёздчатый (3-) декагоны. д) и покрытие на их основе.

Несмотря на то, что альтернативная модель предполагает пару элементов вместо одного, существенным преимуществом здесь является то, что данные декагоны агрегированы из элементов алфавита более низкого ранга - «широкого» и «узкого» «золотых» ромбов, чего не предполагает модель Гуммельт.

Результаты сравнительного анализа двух моделей следующие: 1) 8-, и О- декагоны являются элементами алфавита 3-го уровня, декагон Гуммельт - представляет элемент алфавита выше 3 уровня; 2) декагон Гуммельт имеет 5 правил контактирования, 8-, и Г) декагоны - всего 3 правила; 3) декагон Гуммельт по своей топологии является 18-точечным кластером, а 8-, и Б- декагоны являются более простыми моделями, имеющими 16 узлов; 4) В качестве количественной меры

упорядочения была предложена конфигурационная энтропия, отражающая меру упорядоченности кластера. Её значение для 8-декагона составила //„,.9-0,924058, для О декагона //,„0-0,924121, и для декагона Г'уммельт //„,„0-0,932803 . Как видно из расчётов, лекагоп Гуммелы показывает более высокую энтропию, и наименьшую конфигурационную упорядоченность.

В параграфе §3.3 приведена декорация атомной структуры 8-, и О- декагонов, выступающих моделью квази-элементарной ячейки декагонального квазикристалла на примере сплава л/,.,«;,„с,,...

Звёздчатый декагон по своей топологии и структуре является обращением декагона дорзальиого, таким образом, их можно рассматривать как единую модель. Задав атомную структуру для Я-дскагона, можно определить её и для О декагона. Будем рассматривать лорзалышй декагон как базовый, а звёздчатый - как его дополнение. К тому же дорзальный лекагоп является топологическим «родственником» декагона Гуммелы. Рис.7(а,б), и рис. 8(1.11) показываю т атомную структуру дорзальиого и звёздчатого декагонов.

а) . г,) •—"•'г

Рис.7 а) ЭТЕМ-изображение 2 пга декагонального кластера квазикристалла Д/7,л/;,„<.>,к и его атомная декорация [3], б) модель дорзальиого декагона. о*. " ®о

Рис.8 1) Модель атомной структуры дорзальиого декагона (а,б) (центральный кластер имеет зеркальную симметрию), II) Модель атомной структуры звёздчатого декагона (а,б).

.1.2

На рис.9(а) представлено 8ТЕМ-изображение для декагонального квазикристалличсского сплава А1мСиг,Со1й [4], на примере которого продемоистрированио как выбранный участок-плоскости может быть покрыт декагонами двух типов - дорзальным и звёздчатым (рис.9(6)). Таким образом, результат моделирования квазикристалличсского покрытия на уровне двух декагонов, находит соответствие с экспериментально-полученными данными атомной

Рис.9 Соотношение участка декагонального покрытия с данными 8ТБМ-изображения [4] а) ХТКМ -изображение 2 пт декагональных кластеров сплава А1-Си-Со, б) соответствующий ему участок декагонального покрытия.

В параграфе §3.4 в аналитической форме установлено точное расположение атомов в квази-элементарной ячейке, аналитически описана её радиальная и тангенциальная атомная структура. После рассмотрения атомной структуры со 8ТЕМ-изображений, для установления точного положения атомов был порожден ряд решёток посредством метода дефляции (рис.10), для узлов которых будет установлено соответствие с узлами соответствующих атомов.

1 итерация 3 итерация 3 итерация 4 итерации 5 итерация 3 итерация 7 итерация

Рис.10 Дефляция декагональной решётки, производимая с шагом величиной а2, и её результат, представленный в контуре широкого «золотого» ромба.

1 итерация 2 итерация 3 итерация

Рис. I i Наложение атомной декорации КЭЯ на генерацию решёток.

Для полученного ряда решёток была сопоставлена модель атомной декорации квази-элементарной ячейки (КЭЯ) на примере сплава Al-Ni Со (рис.11). В результате данного наложения было установлено соответствие между точками расположения атомов и узлами решётки, а так же определены координационные числа, или степени ветвистости узлов, в которые попадают атомы А1, № и Со.

Результат соответствия следующий: на 7-й итерации все атомы Ni, и Со попали в пятую симметрию решётки, что говорит о геометрической «верности» их расположения. Атомы А1 на 7-й итерации примерно поровну выпадают на пятую и нулевую симметрии. Нулевая симметрия, фактически, является обращением пятой симметрии, поскольку нулевой барицентр дорзалыюго декагона соответствует пснтасиммегричному барицентру звёздчатого декагона. Для атомов А! была составлена дополнительная 8-я итерация, которая указана, что все атомы предыдущего уровня, попавшие в нулевые узлы, на 8-й ступени попали в пентасимметричные узлы решётки. Таким образом, для атомов AI также были найдены признаки действительности их координат.

Фактически, данный этап представляет собой аналитическое обоснование экспериментальных результатов, представленных на рис.7(a), когда при помощи метода STEM была первично установлена принципиальная структура атомной декорации квази-элементарной ячейки для сплава Al-Ni-Co.

Рис.Г2 а) Пять основных, б) и четыре промежуточных атомных пояса.

После анализа модели атомной структуры квази-элементарной ячейки в радиальном приближении был выполнен анализ в тангенциальном приближении. Рис. 12(а,б) показывает, что модель атомной декорации КЭЯ имеет пять радиальных атомных поясов, или колец, расположенных друг от друга в точности на расстояниях, пропорциональных шагу дефляции а2. Все атомы переходных металлов расположены строго на основных поясах нулевой, первой, второй и четвёртой ступенях дефляции (рис. 12а), а оставшиеся атомы А! - на четырёх промежуточных поясах (рис.126). Приведём значения радиусов для пяти основных атомных поясов: к», =«„ =1.618: Ко, - (а, п.,)-1 ; Яо, = а, = 0,618 ; /<о, = в,2 -0,382 ; Но, = «,' = 0,2:36 , и для

четырёх промежуточных: Яр, = (| + щ ) - 1,382 ; Кр2 = (I + «,') _ ¡,236 , Пр, - (а, I а;) - 0,854 ; Яр4 = (а, + щ ) - 0,7639 .

Геометрические аспекты, положенные в основу идентификации точного расположении атомов, теперь позволяют определить координаты атомов в Евклидовой метрике (рис. 13(а и)).

Рис.! Я Определение координат атомов №, Со. А! (а-в).

В декагональной рсшбтке ребро декагона принимается за единицу расстояния. Диаметр декагона в заданных величинах имеет значение 2«, =3,236, длинная диагональ «широкого» ромба в, =1,618, короткая диагональ «узкого» ромба «,=0,618. Центром системы координат является барицентр декагона. Декагональная решётка имеет пять направлений эквивалентности, соответствующих углам ! 8°; 90°; 162°; 7.34", 306" Расчёты координат для атомов м и Со проводились в евклидовой метрике, с о оти егст ву ю ще й первой итерации процедуры дефляции, для атомов А1 - второй итерации (рис. 13а-в). Затем, полученные результаты были приведены к изначальной (недефлированной) решетке.

Рис.14 Отображение атомных поясов, абсцисс и ординат направляющих линий для

квази-элементар но й ячейки.

На основе полученных координат атомов была установлена аналитическая зависимость, задающая значения абсцисс и ординат для направляющих линий сетки атомной структуры КЭЯ. На рис.14 показано, что существует всего 19 абсцисс и 33 ординаты, пересечения которых друг с другом, и одновременно с девятью радиальными поясами определяют узлы занятости атомов.

Все абсолютные значения абсцисс н ординат были выражены в аналитической форме через альфа-числа. Само по себе это является существенным признаком, указывающим на достоверность установленных аналитических значений для координат атомов. Весьма логично полагать, что р. структуре, основу которого составляет «золотое» сечение, атомное упорядочение также будет подчиняться «золотому» правилу, что и подтвердилось в данном эксперименте. Поскольку паркет Пенроуза в своей основе имеет элемент хаотичности, являющийся следствием чисто геометрических свойств элементарных блоков замощения /г, - плоскости па уровне декагонов, то рекурсивност.ь для него в принципе невозможна. Можно установить лишь ряд эвристических правил, позволяющих выполнить построение как самого паркета в плоскости й, (что было сделано в Главе И), так и атомной структуры его квази-злементарной ячейки.

Порядок координат линий сетки атомной структуры КЭЯ определяется следующим образом: к определенному стартовому значению (для абсцисс это значение л,„-о, для ординат

>'17 =а'/2 =0,0729) прибавляется фиксированный шаг, задающий интервал между линиями сетки (у абсцисс это три шага):

v,, -«-^/(Т; -0.52 = 0,2245 ; («, л\, ) = «,%/«.7 -0.5" =0,1388;

(а; =0,0858 ; у ординат - четыре: («, у,,,) -а\4 = 0.0450;

V, ,=0,0729 , («, у, .) - ау'2 = 0,1180 ; («, у|7 , у|7) - </= 0,1909 , в

результате чего получаются два множества координат, пересечения которых с множеством радиусов атомных поясов определяют строгое положение атомов квази-злемептарной ячейки, соответствующей дорзалытому декагону.

Четвертая глава посвящена ннформодинамическому и фрактальному анализу структуры квазикристаллического паркета Пенроуза в двух представлениях - ромбическом и декагональном. В параграфе §4.1 излагаются основы информодипамического метода, используемого для оценки степени упорядочения решеточных, сеточных систем. Информодинамический метод предлагает универсальный подход для анализа упорядочения структуры сеточных и решёточных систем, таких как классические, квазикристшишческие. и аморфные структуры.

В рамках данного метода выполняется взаимно однозначное отображение решёточных, сеточных систем в координационные

древесные графы Кейли (ДГК) (рис. 16(6)}, являющиеся математическими объектами, анализ свойств которых и позволяет оценить степень упорядочения, а также динамику, кинетику сеточных систем при различных воздействиях.

Стандартный способ исследования решёточных, сеточных структур базируется на теории ансамблей, которая, фактически, принадлежит статистической физике, теории вероятностей и математической статистике. Если следовать этой методологии, то нужно «разрезать» по границам сегки и решетки, и в полученной «россыпи» заниматься статистическим анализом. Как обычно в таких случаях, находится функция распределения таких ячеек по размерам, площадям. Но всё же, статистика площадей ячеек - это не сеточная система.

Необходим такой тип представления, который учитывал бы также и эмерджентнме функции структур, основой которых является понятие инциденции, соседства, координации ближайших элементарных единиц, ячеек. Именно инциденции, смежности, по нашему мнению, как раз и строят сеточные, решеточные структуры. Чтобы представление было адекватным, наряду с координациями необходимо сохранить и отобразить ячеечную компоненту. Но нашему мнению, в наибольшей степени этому требованию соответствуют обобщенные древесные графы Кейли, которые наиболее непосредственно демонстрируют картину связей между ячейками, модулями, зернами исследуемой структуры. Данные графы можно считать сложными системами, а категорию сложности характеризовать их этажностью, высотой дерева и развитостью кустов па иерархиях.

В параграфе §4.2 выполняется построение графов Кейли для замощений двух типов, проводится статистический анализ дрсвесио графовой структуры, и делаются выводы о характере организации покрытий.

Построенные древесные графы (рис. 16(6)), отображающие сеточные и решеточные структуры, допускают процедуру симплициальной декомпозиции (разложение сунер-дерева на поддеревья, кусты). Это, в свою очередь, разрешает использовать теорию перечисления древесных графов, когда для каждого уровня дерева строится перечисляющий полином (11П), каждый член которого описывает куст соответствующей ветвистости с коэффициентами, равными числу кустов данной ветвистости на иерархии. Характер симметрии ячеистых структур находит отражение как в поведении коэффициентов ПГ1, так и в самих степенях ветвистости. На рис. 15(в) показано распределение ветвистости кустов по уровням дерева.

(в)

Щж

ЩдЬЛ

Рис. 1.1 11 ар кет Пенроуза с ромбическими 1(а), и с декагоновыми фронтами Ща); их древесные графы Кейли (б); и их статистика ветвистостей (в).

Из рис. 15(1(в),П(в)) видна периодичность динамики вероятностного распределения перечисляющего полинома, которую можно связать с квазикристалличиосгью данной структуры. Из анализа структуры суммарного (кумулятивного) ВПИ для ! ! этажного графа Кейли для паркета Пенроуза с ромбическими фронтами видно, что все ПП имеют область определения ветвистости {0-7}:

у(л,* н)-0486х° + 0,016.1-' + 0,136/- + 0,305/ + 0,186л-1 + 0,104/ . 0,044/ + 0.023*'

Мода распределения приходится на третью степень ветвистости, и её доля в общей статистике ВПП составляет 30,5%. Суммарная доля кустов с ветвистостью 2, 4 и 5 составляет 42,6%;. 1 ¡рисутствует доля фрустрированных (оборванных) кустов (с нулевой ветвистостью), которая составляет 18,6%. (Это ромбы, которые не имеют связи ни с одним другим ромбом на следующем фронте иерархии). Именно такие кусты и вносят элемент хаотичности, или беспорядка в структуру паркета Пенроуза с данным видом фронта. Величина средней ветвистости вероятностного !Ш составила значение * =3.125

Обратимся к анализу вероятностного полинома для паркета Пенроуза с декагоновыми фронтами. Область определения ветвистости кумулятивного ВПП здесь почти в два раза меньше, и составляет

к <= [нз]. Общая формула кумулятивного вероятностного полинома, описывающего 18-уровневое дерево Кейли, принимает форму: 7'(.г,.)-0.191л-' +0,4б7л-' +0,343л-(. Из данного выражения видно, что мода распределения приходится на вторую степень ветвистости, и её доля в общей статистике ВПП составляет 46,7%. В данном распределении отсутствуют кусты с нулевой ветвистостью. На уровне статистического анализа графов это хороший признак, указывающий на более высокую степень упорядочения декагонального паркета Пенроуза перед ромбическим. Величина средней ветвистости для данного древесного графа составила к -2,191.

Параграф §4.3 посвящен непосредственно оценке степени упорядочения покрытий через построение энтропийного функционала от перечисляющих структур. Напомним, что информодинамический метод изучает динамику (перколяцию) информационных мер, таких, например, как энтропия на древесных графах Кейли.

0.9-, "„,-0.875 0,9

0.8 0,7 0.6 О.Ь 0,4 0.3

0.8 0.7 0,6 0,5

11,4

уровень иерархии о,з

0.544

уровень иерархии

а) ' О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 б) 2 3 4 й 6 / И 9 10 гГ« 13 14 15 16 17 18

Рис. 16 Зависимость энтронии от уровней иерархии графа Кейли для парке! а Пенроуза а) с ромбическими, и б) декагонопмми фронтами.

На рие.!6(а,б) приведена динамика энтропийных функционалов по уровням дерева Кейли для двух типов паркета Пенроуза. Среднее значение энтропии для ромбического паркета составляет ¡1 К1тЬ ~о,766 , для декагонового Н,^ -■ о,М4. Отсюда видно, что синтез структуры Пенроуза на уровне декагонов значительно проще, и обладает большей степенью согласованности, или упорядочения, чем на уровне ромбов.

п - 100%

П - 44%

Л = 18%

! | — ! £ /о

Л = 5 4-7%

■■■ 0.6 (1 50.4 ¡1.4 0.2 О 1 0.0

О г '! 6 8 10 12 14 16 18 20

крмоталлографи' решётки

0.6 0.5 04 0 3 О 2 0.1 0 0

Н 0.86 О.ЯП 0,75 0,70 0.65 0.60 0,55

У, Р <•

Н -0.444

4 В Я 10 12 14 16 18 20

кеази кристаллическая бИ1ексагональная мозаика

, ДН

.'. '-".'и

ч/

Н -с-0П81

5 6 7 С В 10 11

квазикриста плический паркет Пенроуза

н„ 1.о-0.8 0,6 0.4

0,2

0 1? 3 4 5 6 7 8

аморфные среды: кварцевые р и металлические стёкла

Рис.1 7 Шкала порядка-беспорядка для широкого класса ячеистых, сеточных систем (за меру порядка взят коэффициент структурированности ц ).

Диализ поведения энтропийного функционала может быть использован для идентификации меры порядка-беспорядка широкого класса структур - классических кристаллических объектов, квазикристаллов и аморфных сред. Данные системы были представлены на единой шкале упорядочения (рис.17), где за меру порядка взят коэффициент структурированности V. образованный от н — н

энтропии: ;/ = —ш->1. По своему смыслу он указывает на величину

Нчлх

неполноты использования максимальной энтропии системы, которая определяется как мера Хартли Пшх -1п(и).

Как показано на шкале рис.Г/, деши опальный паркет является более упорядоченным, и имеет больший коэффициент структурированности ;;„„.= 18,45% , чем ромбический т)ы, ^ 12,42% .

Параграф §4.5 затрагивает фрактальный анализ квазикристаллического покрытия, элементы которого хотя и являются строго детерминированными но форме, но само покрытие по процессу своего построения является хаотичным. Хотелось бы особо подчеркнуть, что категории стохастичности и хаотичности принципиально различны. В хаосе может существовать та или иная степень упорядочения, структурированности, что отражается в соответствующих значениях фрактальных размерностей. Рассматривая ДГК для хаотических решёточных систем, можно определять их фрактальные характеристики. В параграфе §4.2 была приведена оценка хаотичности для квазикристаллического паркета Пенроуза, выраженная через коэффициент структурированности (образованный от энтропии), которая составила значение (1-/7) -82-«8% . Для того, чтобы дать абсолютную оценку меры хаотичности, необходимо обратиться к концепции фрактальной размерности.

В параграфах §4.5.1 и §4.5.2 приводится методология и расчёт фрактальных характеристик, определяющих п абсолютном значении меру хаотичности квазикристаллической структуры в тангенциальном (фронты), и стримсрном (лучи) направлениях. В данной работе расчёт фрактапьности древесно-графовых структур производится от энтропии. Рассмотрим тангенциальное направление (рис. 18(а,б)). Степенями свободы перечисляющего полинома являются вероятностные коэффициенты, и степени ветвистостей кустов. Для коэффициентов и степеней ПП образуются энтропийные меры, а их прямое отношение является величиной фрактальной размерности для данного уровня древесного графа:

= гле н,(/ич))=-Х4)1п(4.)); О < (\хк )< ! ;

5,(к) = 1пк(0, к -средняя ветвистое 1ь,

С позиции выражения (I) фрактальная размерность является энтропийной плотностью разнообразия вероятностного перечисляющего полипома. В знаменателе стоит энтропия средней ветвистости $,\к), которая соответствует количеству разнообразия, переносимого одним кустом дерева Кейли в среднем. Это, в своем роде, один информационный квант дерева Пенроуза. Тогда числитель //Д'М соответствует количеству разнообразия, зависящего от фактора повторения кустов дерева на одном уровне иерархии. Среднее значение тангенциальной фрактальной размерности для паркета Пенроуза с ромбическими фронтами (рис.18(а)) составило Лягать-1,448, с декагоновыми фронтами (рис. 18(6» </,„</«•= 1,312 .

а)

б)

Рис. 18 I ¡ример тангенциального фронта на графе. Кейли, построенного для а) ромбического паркета, б) и дека! опального паркета.

а.) 5 , б)

Рис. 19 Ансамбль стримеров на древесном графе Кейли для паркета Пенроуза а) с ромбическими, б) и с декагоновыми фронтами.

Рассмотрим фрактальность древеспо-графовой структуры в лучевом, или стримерном приближении (рис.19). Лучи на древесном графе Ксйли представляются стримерами, или «лохматыми» фракталами, их фрактальная размерность будет являться отношением энтропии кустового разнообразия стримера к энтропии высоты

ь{о, ,„.("<)) 1п1п I), ,„(»<) стримера: </, „» = 'Л =-^^ _ Значсние стримешюй

Л (я/) 1и т

фрактальной размерност и на древесном графе Кейли для ромбического паркета Пенроуза составляет лмттЬ ^ 1,085, для декагонового паркета <1игс1ес = 1.051. Стримерная фрактальность позволяет оценить хаотичность структуры в радиальном направлении, и если её сравнить с тангенциальной, то видно, что процесс синтеза структуры в стримерном приближении характеризуется большей «линейностью» и у поря доч е н ностью.

Основные результаты работы:

Согласно целям и задачам диссертации были достигнуты следующие резул ьтаты:

1. Предложена процедура синтеза совершенного дскагонального квазикристаллического паркета Пенроуза по локальным правилам на класт ерном уровне при помощи дорзааьного и звездчат ого дека! онов.

2. Предложена модель квази-элемснтарной ячейки для декагональных квазикристаллов на примере дорзального и звёздчатого декагонов, с декорированием их атомной структуры для квазикристалла д/7,м:иС>>й (по данным со 8ТЕМ-изображений !М|).

3. В аналитической форме установлены точные геометрические положения атомов в квази элементарной ячейке декагонального квазикристалла А1пт^Сощ, определена ее радиальная, и тангенциальная структура.

4. Установлена степень упорядочения структуры квазикристаллического паркета па шкале порядка-беспорядка для широкого класса структур в рамках информодинамичеекого метода. Положение декагоналыюй структуры на данной шкале оказалось близким к аморфным средам.

Дскагональный паркет является более упорядоченным, чем ромбический, и имеет больший коэффициент структурированности 7},^ = 18,45%, чем ромбический паркет

//,,„„„ = 12,42% .

5. Определены фрактальные характеристики, выражающие в абсолютном значении меру избыточности и хаотичности квазикристаллической структуры. Фрактальный анализ показал, что декагоналыюе покрытие является менее хаотичным, чем ромбическое. Введенные фрактальные характеристики, выступающие в качестве инварианта преобразования симметрии па паркетах двух типои, отражают сложность рассматриваемых структур, причём режекцию размерности для паркета с декагональными фронтами отражает увеличение размера исходного компакта с одной стороны, и увеличение его внутренней сложности - с другой.

6. Установлено свойство сверхразмсрности для обоих представлений квазикристаллического паркета, которое является прямой суммой тангенциальной и стримсрпой фрактальных размерностей, и составляет порядка 2,533 для ромбического паркета, и 2,363 для декагонального паркета. Данное свойство говорит о возможности реализации в квазикристалличсских материалах многофункциональных процессов.

Список цитируемой литературы

Jeong Н.-С, Growing Perfect Dccafional Qiiasierystals hy Local Rules // Phys. Rev. Lett.. 2007, 98, P. 135501-1.15504.

Gummell Petra, Penrose tilings as coverings of congruent decagons. // Gcomclriac Dedicala, 1996, 62, P. 1 -17.

Yan Y., Pcnnycook S.J. // Nature (London), 1999, 403, P.266-267 Tnniguchi S„ Abe E. // I'hil. Mag., 2008, 88, P.1949-1958.

Основные публикации по теме диссертации

Юдин В.В., 'Гитов ПЛ., Михалюк А.Н., Перколяп.ии штропийных функционалов на древесных графах Кейли как метод диагностики характера iюрядка-беспорядка сложных структур // Известия РАН. Серия физическая, 2009, 73, С. 1340-1349.

Юдин ВВ.. Титов ПЛ., Михалюк Л.Н.. Энтропийная мера характера порядка-беспорядка решёточных систем в представлении координационных древесных графов Кэли // Теоретическая и математическая физика, 2010, 164, С.88-107.

Юдин В.В., Титов ПЛ., Полянский Д.А., Михалюк А.Н., Статистические и тсоретико-информационные характеристики упорядочения решёточных систем // Проблемы эволюции открытых систем, 2008, 10, С.40-45. Mihalyuk A.N., Tilov P.L., Yudin V.V., Penrose tiling IVactality in coordination Caylcy's Iree graphs representation // Phvsica A: Statistical Mechanics and its Applications (Elsevier), 2010. 389. P.4I27-1I39.

5. Юдин В.В., Титоп П. Л.. Михшпок А.П., Фрактальный анализ изображений с глобулярной топологией // IX Международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии». Нижний Новгород, 2008, С, 327-330.

6. Юдин В.В., Титов П.Л., Михалюк А.Н.. Перколяция энтропийных функционалов па древесных графах КеИли как метод диагностики характера порядка-беспорядка сложных структур // V Международная конференция «Фазовые превращения и прочность кристаллов», Черноголовка, 2008, С. 148.

7. Юдин В.В., Гитов ПЛ., Михалюк Д.П., Энтропия и дивергенция Понгарда в анализе типа дальнодействия классических и квазикристаллических решеток // XI Всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем", Красноярск, 2008, С. 191 -194.

8. Юдин В.В., Титов ПЛ., Михалюк А.Н., Энтропийная диагностика дальнего порядка бигексагоиальной решетки Дюно-Каца // V Международный семинар "Физико-математическое моделирование систем" ГОУВПО "ВП'У", Воронеж, 2008, С. 147-152.

9. Юдин В.В., Титов П.Л., Михалюк А.П., Энтропийные характеристики дальнодействия классических решеточных систем в представлении древесных графов Кейли // 50-я Всероссийская научная конференция, Владивосток, ТОВМИ, 2008, Т. 1, С. 168-172.

Ю. Юдин В.В., Титов ПЛ., Михалюк А.Н., Теоретике» информационная идентификация типа дальнодействия классических решеток // XVIII Петербургские чтения по проблемам прочности и ооста кристаллов, Санкт-Петербург, 2008, С.156-158.

1 1. Юдин В.В., Титов IUI., Михалюк А.Н.. Алфавит квазикриеталличеекого паркета Пенроуза // 15 Всероссийская научная конференция физиков и молодых учёных, Кемерово, 2009, С. 166-168.

12. Юдин В.В.. Титов П.Л., Михалюк A.l I., Фрактальность мозаики Пенроуза в представлении координационных древесных графов Кейли И XII конференция студентов, аспирантов и молодых ученых но физике ПДММ, Владивосток, 2009, С.241-245.

13. Юдин В.В., Титов ПЛ., Михалюк А.П., Идентификация характера координационного упорядочения сеточных систем различной сложности // Международная конференция «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала, 2009, С.3/2-377.

14. Юдин В.В., Тисов И.Л., Михалюк А.Н.. Фрактальная структура системы мезомасштаби ых неод| юролностей стсклонодобных, аморфных, квазикристаллических сред // XI Всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем", Красноярск, 2009, С. 21 1-213.

15. Юдин В.В., Титов ПЛ., Михалюк А.Н., Анализ координационного упорядочения решёточных систем // I Международный, междисциплинарный симпозиум «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных материалов», Пятигорск, 2009, С.242-247.

16. Юдин В.В., Перерва Л.М., Михалюк А.Н., Тангенциальный код декагонального паркета Пенроуза // XVIII Всероссийский семинар "Нейроинформатика, сс приложения и анализ данных". Красноярск 2010 С. 106-112.

17. Юдин 15.В,. Щеголева С.А., Пермякова И.Г.. Михалюк А.И.. Золотая симметрия паркета Пенроуза и групповая связка инверсных нолугрмш Фибоначчи II ХШ Всероссийский семинар ''Моделирование неравновесных систем". Красноярск, 2010, С.248-251

18. Михалюк А.Н., Кпали-элемептарная ячейка и атомная структура квазикристаллического сплава М ,.,Ni,„Cox // IV Международная

конференция «Деформация и разрушение материалом и наноматериалов» Москва ИМЕТ РА11, 2011, С.135-137.

19. Yiulin V.V., Titov P.L., Mihalynk A.N., Fractality of the Penrose filing in coordination Caylcy's tree graphs representation method // The XXVO International Symposium on Lattice Field Theory, China, 2009, P. 1 -8.

20. Mihalyuk A.N. Tiiov P.L.. Shegolcva S.A., Pererva'I..M.. Yudin V.V. The Morphogcnctic growth model of decagonal Penrose tilimt hused on local rules // Physica A (Elsevier) (2013) (in press).

Михалюк Алексей Николаевич МОДЕЛ И РОВАНИЕ СТРУК'ГУ ры

дккагональныхква:шкристллличес.жих

СПЛАВОВ a l-переходной МЕТАЛЛ АВТОРЕФЕРАТ

Формат 60x84 1/16. Усл. Печ. л. 1,39. Уч. изд. л. 1,36

2.7

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Михалюк, Алексей Николаевич, Владивосток

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ДЕКАГОНАЛЬНЫХ КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ AI-ПЕРЕХОДНОЙ

МЕТАЛЛ

01.04.07 - «Физика конденсированного состояния»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Зав. каф. Физики низкоразмерных структур, доктор физико-математических наук, профессор,

Член-корреспондент РАН, Саранин A.A.

доктор физико-математических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ,

Юдин В.В.

Владивосток - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................................................5

Глава I ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР................................................................................11

§1.1 Квазикристаллические симметрии: свойства и структура..........11

§ 1.2 Модели квазикристаллов..............................................................................................22

§ 1.2.1 Одномерные модели квазикристаллов....................................................22

§1.2.2 Двумерные модели квазикристаллов......................................................25

§1.3 Синтез квазикристаллических покрытий .................................................29

§1.3.1 Энергетически-управляемый рост..............................................................29

§1.3.2 Энтропийно-управляемый рост......................................................................36

§ 1.4 Квазикристаллы как кластерные агрегаты................................................40

§ 1.5 Элементы теории фракталов в физике конденсированной

среды............................................................................................................................................45

Глава II СИНТЕЗ ДЕКАГОНАЛЬНОГО КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПАРКЕТА, СТАТИСТИЧЕСКИЕ И

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ЕГО СТРУКТУРЫ 53

§ 2.1 Три уровня алфавитов синтеза паркета Пенроуза..............................53

§ 2.2 Алгоритм синтеза декагонального квазикристаллического

паркета........................................................................................................................................54

§ 2.3 Статистические и информационные свойства структуры

декагонального квазикристаллического паркета................................60

§ 2.4 Процедура упаковки тангенциальных фронтов

декагонального квазикристаллического паркета........................74

Глава III АТОМНАЯ СТРУКТУРА И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЯЧЕЙКА ДЕКАГОНАЛЬНЫХ КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ А1-ПЕРЕХОДНОЙ МЕТАЛЛ ... 85

§3.1 Введение.................................................................. 85

§ 3.2 Модель квази-элементарной ячейки для декагонального

квазикристаллического паркета..................................... 89

§ 3.3 Атомная структура квази-элементарной ячейки для декагонального квазикристалла Al-Ni-Co на примере дорзального и звёздчатого декагонов.............................. 92

§ 3.4 Аналитическое определение расположения атомов в квазиэлементарной ячейке декагонального квазикристалла Al-Ni-Co.................................................................. 96

Глава IV ИНФОРМОДИНАМИЧЕСКИЙ И ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И УПОРЯДОЧЕНИЯ КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПАРКЕТА ПЕНРОУЗА 104

§4.1 Введение.................................................................. 104

§ 4.2 Статистический анализ древесно-графовой структуры

квазикристаллического паркета Пенроуза......................... 107

§ 4.3 Энтропийная мера упорядочения структуры

квазикристаллического паркета Пенроуза........................ ИЗ

§ 4.4 Фрактальный анализ структуры квазикристаллического

паркета Пенроуза....................................................... 117

§4.4.1 Тангенциальное приближение........................................................................118

§4.4.2 Стримерное приближение..................................................................................121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................................................124

ПРИЛОЖЕНИЕ..............................................................................................................................126

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................................134

СОКРАЩЕНИЯ

ПП (РТ) - паркет Пенроуза

КЭЯ (QUC) - квази-элементарная ячейка

СПЭМ (STEM) - сканирующая просвечивающая электронная микроскопия

ДГК (TCG) - древесный граф Кейли

ПП (ЕР) - перечисляющий полином

Bliil (PEP) - вероятностный перечисляющий полином

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в связи с развитием микро- и нанотехнологий наблюдается повышенный интерес к получению и исследованию новых перспективных материалов, одними из которых являются квазикристаллические сплавы различных симметрий. Квазикристаллы прочнее и менее подвержены деформации, чем обычные кристаллы, состоящие из тех же элементов, также они имеют значительно отличающиеся электрические, магнитные и оптические свойства. Одними из наиболее совершенных, упорядоченных и стабильных фаз являются декагональные квазикристаллы, часто встречающиеся среди группы сплавов А1-переходной металл. В отличие от квазикристаллов икосаэдрической симметрии, они являются апериодическими лишь в плоскости, в третьем же измерении они представляют периодическую упаковку декагональных столбовидных кластеров. Данная особенность их структуры даёт им необычные электрические и механические свойства. Интерес к квазикристаллическим веществам обусловлен перспективами фундаментальных исследований и их практического использования в качестве базовых материалов микро- и наноэлектроники.

Несмотря на то, что квазикристаллы являются объектом обширных научных исследований, до настоящего времени всё ещё остаётся не до конца раскрытым вопрос о структуре, и механизме формирования квазикристаллических тел.

Существует два подхода к изучению и синтезу квазикристаллических покрытий. Физический подход включает непосредственное получение квазикристаллов и изучение их свойств разнообразными методами микроскопии; а также численные методы такие, как метод молекулярной динамики и метод Монте-Карло, позволяющие моделировать рост квазикристаллической структуры из атомов, наделённых, например, парным ближнедействующим потенциалом, тогда при поочередном присоединении

атомов к растущему кластеру в качестве критерия используется принцип минимума потенциальной энергии кластера. Математический подход решает задачу построения бездефектного апериодического покрытия, замощения из минимального множества плиток так, чтобы синтезированное покрытие соответствовало принципу максимальной плотности, и чтобы в нём отсутствовали наложения и поры.

В данной диссертационной работе сделана попытка сблизить эти два подхода, и установить связь между абстрактными плитками и миром реалистичных атомов благодаря представлению и описанию атомной структуры квази-элементарной ячейки квазикристалла через плиточную модель замощения, спроектированную из декагональных кластеров.

Целью диссертационной работы является исследование структуры декагональных квазикристаллических сплавов А1-переходной металл путём построения модели синтеза декагонального квазикристаллического покрытия в плоскости и изучение его структурных, топологических, и

геометрических свойств в сравнительном анализе с ромбическим покрытием.

Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Определить алгебраическую структуру, лежащую в основе алгоритма синтеза декагонального квазикристаллического покрытия, описать её алфавит и грамматику.

2. Согласно полученной процедуре реализовать покрытие в плоскости К2, и провести его статистический, топологический, и теоретико-информационный анализ.

3. Описать модель элементарной ячейки полученного покрытия, и определить её атомную структуру на примере трёхкомпонентного квазикристаллического сплава Л/72М20Со8.

4. Ввести информодинамические характеристики, позволяющие количественно оценить степень упорядочения структуры декагонального квазикристаллического покрытия. Выполнить сравнительный анализ с ромбическим пентагональным покрытием. Оценить фрактальные характеристики.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Процедура синтеза совершенного декагонального квазикристаллического покрытия по локальным правилам на кластерном уровне. Проведённый вычислительный эксперимент подтверждает наличие дальнего упорядочения и бездефектности полученного покрытия.

3. Особенности атомной структуры квази-элементарной ячейки декагонального квазикристалла А112М20Со8.

4. Характер упорядочения декагонального и ромбического квазикристаллических паркетов, полученные в рамках информодинамического метода. Фрактальные характеристики данных покрытий.

точки зрения конфигурационного совершенства являются более энтропийно-

выгодными моделями, чем используемые до этого декагоны Гуммельт [60]. Выявленные особенности атомной структуры квази-элементарной ячейки могут быть полезны для изучения атомных флуктуаций, или локальных фазонных эффектов, часто проявляющихся как атомные беспорядки на парах переключающихся атомных узлов, которые отделены менее, чем обычным межатомным расстоянием.

Предложенный информодинамический формализм может быть использован при исследовании проблем структурной кинетики, а также сравнительного анализа широкого класса сеточных систем по степени их упорядочения, организации, и т.д, в частности, для классических кристаллографических симметрий, квазикристаллических материалов, и аморфных сред. Результаты работы могут быть полезны при построении структурно-топологических моделей, которые могут лежать в основе технологий получения квази-, нанокристаллов, и объяснять физические свойства и процессы, протекающие в неравновесных средах. Также результаты работы могут быть полезны для технологов и разработчиков новых квазикристаллических материалов для наноэлектроники. Результаты работы могут использоваться при чтении лекционных курсов.

Достоверность полученных результатов состоит в многократном систематическом и корректном выполнении алгоритмов по моделированию квазикристаллических покрытий. Достоверность результатов подтверждена: -согласием результатов аналитических и численных расчетов с экспериментальными данными других авторов; - теоретические расчёты по построению модели синтеза, а также её адекватность доказаны и подтверждены многократной повторяемостью вычислительных данных;-верность теоретических выводов подтверждена их согласованностью с известными литературными данными.

Личный вклад автора. Автором диссертационной работы была разработана процедура синтеза декагонального покрытия, и описана её алгебраическая структура в обобщённом, радиальном и стримерном представлениях. Были предложены модели квази-элементарных ячеек, выполнен их сравнительный анализ с моделью Гуммельт. Произведен большой объем вычислений по построению энтропийных и статистических зависимостей для древесно-графовых структур, отображающих решеточные системы. В целях количественной диагностики характера дальнего упорядочения решеточных систем была развита методика информодинамического анализа. Проведена обширная апробация на средах с различными типами упорядочения. Все расчеты были произведены автором самостоятельно, многократно проверены в независимых методиках. Обсуждение и интерпретация численных и экспериментальных результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами публикаций.

Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по физике (Владивосток, ДВГУ 2009); Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов (Владивосток, ДВО РАН 2009); Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы» (Ульяновск: УлГУ 2009); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала 2009); Международном, междисциплинарном симпозиуме «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных материалов» (Пятигорск 2009); Всероссийской молодёжной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург 2009); Международной конференции «Деформация и разрушение материалов и наноматериалов» (Москва, ИМЕТ РАН 2011); International Symposium on Lattice Field Theory - LAT (Beijing, China, 2009); в журналах: «Проблемы эволюции открытых систем» (2008) «Известия РАН. Серия физическая» (2009), «Теоретическая и математическая физика» (2010), Physica А (Elsevier) (2010).

Публикации: всего по материалам диссертации опубликовано 25 работ, из них 4 статьи в научных журналах из перечня ВАК.

ГЛАВА 1 ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

§1Л Квазикристаллические симметрии. Структура и свойства.

В 1985 году был получен сплав алюминия с марганцем А186Мп]4 [1], образец которого, подвергнутый специальному методу быстрого охлаждения, рассеивал пучок электронов так, что на фотопластинке образовывалась ярко выраженная дифракционная картина с симметрией пятого порядка в расположении дифракционных пиков (10 рефлексов) (рис. 1.1.1). Наличие резких дифракционных максимумов свидетельствовало о присутствии в структуре дальнего порядка в расположении атомов, характерного для кристаллов. Однако симметрия наблюдавшейся дифракционной картины противоречила фундаментальным представлениям классической кристаллографии [2-7]: такая симметрия физически невозможна для любых кристаллических веществ.

Дальнейшие исследования показали, что в новом материале

реализуется новый тип порядка, некристаллический и неаморфный. Поэтому

данное вещество было названо

квазикристаллом. По степени своего

упорядочения квазикристаллы

находятся где-то между аморфными

средами и жёстко упорядоченными

периодическими кристаллами,

которые являются упорядоченными

и предсказуемыми. В

квазикристаллах отсутствует

трёхмерная периодичность и

трансляционная симметрия.

Открытие квазикристаллов

Рис. 1.1.1 Дифракционной картина пентасимметричного квазикристалла.

поставило перед физикой твёрдого тела ряд вопросов: согласно какому закону атомы могут упорядочиваться, чтобы обладать таким порядком? И главным образом, как квазикристаллы могут расти с совершенным квазипериодическим порядком? Это представлялось противоречием, поскольку рост квазипериодического кристалла требовал наличия нелокальной информации, в то время как обычно считалось, что тип атомных взаимодействий в металлических сплавах является ближнедействующим.

В традиционной кристаллографии существует фундаментальная теорема о том, что кристалл не может иметь симметрию с осью пятого порядка вследствие того, что наложение трансляций Бравэ на группу БОз урезает бесконечномерный вектор характеров до пятимерного [8,9]. Это не исключает наличие оси пятого порядка у структурной единицы (кристаллический циклопентадин состоит из связанных в пятиугольники атомов углерода), но сама кристаллическая решётка симметрию пятого порядка иметь не может, а дифракционная картина отражает именно симметрию решетки.

Квазикристаллы допускают операции симметрий, запрещённые в классической кристаллографии, например 5-, 8-, 10-, и 12-кратные вращения, однако все они при этом имеют высококонтрастные дифракционные максимумы. В связи с этим расширилось и понятие квазикристаллов: в настоящее время под квазикристаллами принято понимать твердые мета