Древесные графы Кейли в исследовании сеточных структур мезодефектов кварцевых стекол тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

I АМОРФНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И СТЕКЛА

§1.1 Определение аморфных твердых тел и стекол

§1.2 Некоторые структурные модели строения аморфных твердых тел и стекол.

§1.3 Ячеистая суперсеточная модель строения металлических стекол.

§1.4 Дискретность строения кварцевых стекол

II ФОРМАЛИЗМ ДРЕВЕСНЫХ ГРАФОВ

§2.1 Некоторые сведения из общей теории графов

§2.2 Древесные графы и теория перечисления графов

§2.3 Алгоритм синтеза деревьев Кейли по ячеистым структурам.

III СВОЙСТВА ДЕРЕВЬЕВ КЕЙЛИ

§3.1 Некоторые функциональные аспекты теории древесных графов.

§3.2 Сводка математических свойств деревьев Кейли.

§3.3 Энтропия перечисляющих многочленов для деревьев Кейли кварцевого стекла КУВИ - 1.

§3.4 Вероятностные перечисляющие полиномы для коллапсирующих деревьев Кейли. Энтропия вероятностных перечисляющих полиномов.

§3.5 Отношения подчинения и командования на деревьях Кейли. Алгоритм синтеза деревьев Кейли по дифференциальным функциям подчинения - командования.

IV ИНФОРМОДИНАМИКА ДРЕВЕСНЫХ

ГРАФОВ КЕЙЛИ

§4.1 Общие понятия информодинамики.

§4.2 Перколяция энтропии Шеннона на деревьях

Кейли в направлениях центр периферия.

§4.3 Перколяция внутренней энергии перечисляющих полиномов деревьев Кейли кварцевых стекол.

§4.4 Оценка потенциальной энергии для прямого и обратного потоков координаций на деревьях Кейли кварцевых стекол.

§4.5 Дивергенция Бонгарда на деревьях Кейли кварцевых стекол в направлениях центр о периферия".

§4.6 Векторное представление перечисляющих полиномов. Пример на деревьях Фибоначчи.

В ряде работ [1 — 6] было доказано, что аморфные пленки ПМ - М, РЗ -ПМ, спиннингованные ленты [7 — 10], кварцевые стекла [11 — 16] содержат принципиально новую структурно - топологическую составляющую упорядочения. По своим пространственным характеристикам система естественных дефектов сеточного типа занимает диапазон от десятков ангстрем до десятков микрон. Разумно этот уровень масштабов отнести к области мезофизики разупорядоченных сред. Основная проблема исследования аморфных твердых тел (АТТ) и стекол состоит в следующем.

1. Предложить тот или иной тип математического представления сеточных, ячеистых структур, в том числе и мозаик, паркетов. Желательно, чтобы выбранный тип представления обладал свойствами универсальности и был предельно прост.

2. Разработать и обосновать те или иные виды структурно - топологических функционалов, которые могут адекватно характеризовать на количественном уровне сетевые структуры, мозаики.

3. Опираясь на реальные тестовые сеточные, ячеистые структуры, предложить и развить системные методики обработки сеточных структур. Вполне естественно ожидать, что и способ представления, и методики обработки сеток будут базироваться на теории вероятности и математической статистике.

4. Однако, системный уровень рассмотрения может потребовать более мощного аппарата исследования сложных сред, каковыми являются АТТ и стекла. По нашему мнению, конкретизацию такой точки зрения можно найти в развитии и приложении информодинамических методов. Стоит сразу подчеркнуть, что, если методы обработки и анализа случайных процессов, полей и потоков отработаны достаточно широко [17, 18], то какого-либо серьезного применения информо-динамической концепции в физике разупорядоченных сред нам не известно. Именно в этом аспекте диссертационную работа соискателя можно считать оригинальной и заслуживающей внимания.

Перед соискателем были поставлены следующие задачи.

1. Разработать представление сеточных структур АТТ и стекол в терминах древесных графов. Причем, правильные деревья типа Бете [19, 20] необходимо обобщить до деревьев Кейли (ДК). Ветви ДК следует трактовать как отношения соседства, смежности, инциденций, координаций между соседними ячейками.

2. Предложить алгоритм построения ДК по сеточным структурам. Разработать соответствующее математическое обеспечение для ПЭВМ для проведения машинных экспериментов. Сформулировать и изучить математические свойства квазислучайных координационных ДК.

3. На перечисляющих полиномах ввести вероятностные меры и, соответственно, энтропийные, дивергентные функционалы на них. Изучить теоретико - вероятностные, статистические свойства квазислучайных ДК, представляющих сеточную структуру АТТ и стекол.

4. Привлекая ряд информодинамических функционалов, на ДК рассмотреть задачу перколяции в направлениях " центр <—у периферия". Постараться выявить тот или иной закон перколяции информационных функционалов на ДК, что помогло бы высказать конструктивное предложение по генерации самих сеточных структур.

ЛЛАВА I АМОРФНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И СТЕКЛА

1.1 Определение аморфных твердых тел и стекол

Аморфными" называют такие вещества, которые характеризуются сле-[ующими особенностями [21 — 24]: 1) отсутствием зависимости свойств т направления; 2) возникновением при разломе и расколе областей продольной формы, чаще всего раковистого излома; 3) отсутствием кристаллических областей как в компактном, так и в дисперсном состоянии, шорфные вещества, как газы и жидкости, изотропны, при их характеристике прежде всего следует отмечать, что это некристаллические веще-тва.

Отсутствие дальнего порядка во взаимном расположении атомов явля-тся определяющим признаком аморфных тел [25]. Различают топологи-еский и композиционный (или химический) порядок [26,27]. Топологи-еским называется порядок положений, занимаемых образующими тело томами, безотносительно к типам последних. Композиционный порядок - характеристика тела, состоящего из двух и более типов атомов. Атомы акого тела композиционно упорядочены, если существует дальний поря-ок во взаимном расположении атомов каждого типа. Обычно аморфными вердыми телами (АТТ) называют объекты с топологическим разупоря-очением [14].

АТТ является термодинамически неравновесной или метастабильной авновесной системой, стремящейся обрести кристаллическую структуру перейти в стабильное состояние. В метастабильном состоянии флукту-ционно могут возникнуть зародыши — области с определенным упоря-эчением атомов.

Атомная структура АТТ определяется определяется не только харак-зром межатомных сил, но и процессом образования. Существует два riacca аморфных тел, один из которых генетически связан с кристаллами, а другой — с жидкостями. Поликластер — твердое тело, состоящее из локально регулярных кластеров, представляющих собой совокупности атомов, обладающих совершенным локальным порядком [14].

С помощью методов дифракции рентгеновского излучения, нейтронов и электронов можно строго разделить так называемые "рентгеноаморфные" и кристаллические вещества [21]. Чем меньше области с периодическим строением, тем сильнее идет рассеяние на множестве плоскостей кристаллической решетки. Вместо острых дискретных дифракционных максимумов на дифрактограммах наблюдаются только размытые интерференционные кольца, что указывает на нестатический характер распределения величин межатомных расстояний; следовательно, и для аморфного состояния можно говорить о существовании определенной степени порядка.

Путем определения равновесных положений, которые занимают химически связанные атомы, установлено, что расстояния между соответствующими парами атомов в аморфных веществах статистически имеют такую же величину, что и в кристаллических соединениях, причем значения, меньше этой величины, практически, не встречаются. Это доказывает, что аморфные вещества, как и кристаллические, характеризуются наличием ближнего порядка [25, 26, 27]. с увеличением расстояния быстро возрастает многообразие структурных конфигураций из-за изменения длины химических связей, что приводит к изменению взаимной ориентации структурных элементов в результате частичного поворота вокруг осей вдоль химических связей. В связи с этой особенностью, для аморфных веществ отсутствует дальний порядок.

Топологически разупорядоченные кристаллы составляют класс наиболее изученных к настоящему времени АТТ [14]. Если кристаллы содержат случайные сетки дислокаций или являются поликристаллами, состоящими из случайно ориентированных кристаллитов, то парные корреляционные радиусы узлов решеток в них сравнимы со средним расстоянием между дислокациями и размерами кристаллитов. Протяженные дефекты — дислокации и границы зерен — играют в структуре двоякую роль: во-первых они вносят топологический беспорядок, разрушая корреляции в расположениях атомов на расстоянии, и, во-вторых, в ядрах дислокаций и граничных слоях нарушен локальный порядок. Кроме того, вокруг дислокаций существуют медленно убывающие со временем поля упругих деформаций. Для топологически разупорядоченного кристалла теорема Блоха не применима. Если пренебречь топологическим беспорядком, взять в качестве волновых функций электронов в нулевом приближении блохов-ские функции и затем учесть процессы рассеяния на дефектах, можно получить описание электронных свойств разупорядоченного кристалла с хорошей точностью. Таким образом, если игнорировать топологический беспорядок, порождаемый протяженными дефектами, а вносимый ими локальный беспорядок учитывать в рамках теории возмущений, можно получить удовлетворительное описание свойств АТТ. Однако, известны случаи, когда вносимый дислокациями топологический беспорядок существенно влияет на свойства тела.

В большинстве случаев топологический беспорядок несущественно влияет на основные физические свойства АТТ до тех пор, пока корреляционная длина много больше межатомного расстояния. Неравновесность кристалла растет с увеличением плотности дефектов и, чтобы получить высокую плотность последних, необходимо предотвратить структурную релаксацию.

Размеры кристаллитов в поликристаллах могут составлять сотни ангстрем, а предельно допустимая плотность дислокаций составляет 1012 — 1013см~2, корреляционная длина структуры в таких случаях порядка 102 межатомных расстояний. Если протяженность дефектов столь высока, что концентрация атомов, принадлежащих ядрам дислокаций или граничным слоям, становится близкой к единице, то кристалл перестает быть кристаллом и сами определения протяженных дефектов в такой структуре теряют смысл [14].

Жидкость является термодинамически равновесным конденсированным телом при температуре выше точки плавления кристалла Тт. Ее можно перевести в метастабильное состояние, быстро понизив температуру ниже Тт, тогда можно надеяться перевести ее в АТТ с огромным временем кристаллизации. Поскольку при быстром охлаждении атомы не успевают перестроится диффузионным путем и средние межатомные расстояния не претерпевают существенных изменений, локальные топологические изменения атомных конфигураций при этом не будут большими и структуры получающегося твердого тела и исходной жидкости окажутся похожими.

У многих переохлажденных жидкостей обнаруживается характерная температура — так называемая температура стеклования Тд, при достижении которой резко увеличивается вязкость, уменьшаются удельная теплоемкость и плотность. Переохлажденная жидкость при Т < Тд называется стеклом, а Тд считается температурой превращения переохлажденной жидкости в АТТ (фазовый переход жидкость - стекло).

Стекла представляют собой аморфные вещества. Понятие стеклообразное вещество применяют к твердым телам, которые либо получены из расплавов, либо другими методами, причем в последнем случае образуются компактные агрегаты в виде тонких пленок, волокон, характеризующиеся макроскопическими размерами, по крайней мере в одном или двух направлениях, и температурным диапазоном размягчения [21]. Стеклам, как и кристаллам, характерны такие свойства как твердость и способность сохранить форму. В 1971г. Американским обществом по исследованию материалов было дано следующее определение: " Стекло — неорганический продукт плавления, который в основном затвердевает без кристаллизации". Стоит заметить, что термин "аморфное состояние" несколько шире, чем стеклообразное состояние.

Аморфное и стеклообразное вещество по сравнению с кристаллическим веществом того же состава обладает более высоким запасом энергии. Более высокая свободная энергия расплава, раствора или газовой фазы по крайней мере частично сохраняется и при затвердевании. В этом смысле говорят о процессе замораживания. В то же время и кристаллические тела при подводе к ним энергии могут быть переведены в аморфное (стеклообразное) состояние, минуя жидкую и газовую фазы [21].

Многие стекла, и прежде всего металлические, при нагревании до температуры Тс, несколько превышающей Тд, кристаллизуются. У некоторых из них переход стекло - жидкость не удается обнаружить из-за наступления кристаллизации. Возможно, у них температурный интервал перехода весьма размыт или Тд совпадает с температурой кристаллизации. Несмотря на некоторую условность и неопределенность температуры стеклования и перехода жидкость - стекло, само наличие узкого интервала, в котором происходят существенные изменения термодинамических величин и механических свойств переохлаждаемой жидкости, позволяет указать, в каком состоянии — жидком или твердом — находится быстро охлажденная жидкость.

Пока прямое наблюдение атомной структуры стекол еще не осуществлено, судить о ней можно только по наблюдениям за статистическими характеристиками, такими, например, как функция радиального распределения (ФРР) атомов. Экспериментальные наблюдения свидетельствуют о значительной схожести ФРР жидкостей и стекол, что убеждает в наличии большого сходства структур обоих объектов. Результаты структурных исследований стекол однозначно указывают на наличие в них сильного топологического беспорядка.

Быстрая закалка расплавов и создание разупорядоченных кристаллов не исчерпывают возможностей создания АТТ. Аморфные структуры появляются во всевозможных процессах структурообразования в условиях сильной неравновесности. Стекла могут быть получены путем достаточно быстрого охлаждения расплавов или из растворов путем высушивания гелей. Процессы осаждения из растворов часто ведут к образованию аморфных осадков. Электролитическим осаждением при высоких плотностях тока получают слои, например, аморфного германия. Так впервые были получены металлические стекла (МС). Если исходить из газовой фазы, то стоит назвать различные варианты термического испарения и конденсации в высоком вакууме, а также катодное распыление и осаждение аморфных слоев в тлеющем разряде. В некоторых случаях практическое значение имеет химическое осаждение из газовой фазы, например при образовании кварцевых стекол (КС). Кристаллические твердые тела переходят в аморфное состояние под воздействием ударной волны или под действием интенсивного нейтронного или ионного облучения и т.д. Все эти методы достаточно подробно освещались и освещаются в литературе, поэтому мы не будем на них останавливаться и заострять внимание. Как отмечалось выше, в большинстве перечисленных случаев получаются относительно тонкие пленки. Кинетика структурообразования перечисленными способами существенно отличается от быстрой закалки расплавов, но, скорее всего, существует большое сходство структуры и свойств АТТ одного и того же состава, получаемых разными способами. Чтобы достаточно полно подтвердить или опровергнуть это предположение, необходимо провести многочисленные эксперименты и сравнить полученные результаты.

Основные результаты по оценке потенциальной энергии приведены на рис. 4.4.1. Как можно заметить, и эта характеристика также ведет себя инвариантно при перколяции по уровням ДК. Снова наблюдается на высоком уровне доверия закон сохранения потенциальной энергии. Прямой поток координаций на ДК по крайней мере в 2 раза менее интенсивен по потенциальной энергии по сравнению с обратным потоком. Заметим, что вариабельность прямых и обратных потоков соразмерна. Дважды средние значения потенциальной энергии определены со степенью вариабельности

Закон сохранения потенциальной энергии по отношению к асимптотически среднему ПП можно интерпретировать как метрику. Тогда, в этих терминах любой г-ый уровень равноудален от асимптотики. С первого взгляда такой вывод кажется нереальным. Однако, как тогда толковать ПП бесконечной асимптотики? По нашему мнению, одинаковость потенциальной энергии на всех уровнях, фактически, можно принять за определение бесконечности. Перед бесконечностью все уровни равноудалены!

Более серьезный вывод напрашивается из гипотезы равенства внутренней и потенциальной энергий ПП на ДК. Этот результат следует читать как: удаленность (потенциальная энергия) г'-го уровня по отношению к бесконечному в точности равна внутренней энергии г-го состояния. Если трактовать найденное свойство как необходимое и достаточное, то тогда: а) справедлив принцип инвариантности (закон сохранения) по уровням ДК для и и Д?; б) как требует вычислительный эксперимент

17(г) = Ег (г'/оо).

Тогда, из этих положений следует существование бесконечного горизонта или асимптотического ПП.

Наше ДК, а, следовательно, и сеточная мезоструктура КС, оказывается подчинена не просто законам сохранения перколяции тех или иных функционалов на ДК, но значения II, Е - функционалов полностью согласованы в смысле их равенства.

Факт существования некоторого устойчивого распределения (ВПП) на бесконечности совершенно не очевиден. Сеточные мезодефекты КС в древесном представлении, видимо, обладают стационарным асимптотическим вероятностным распределением на периферии. Тем самым марковский сдвиговый оператор перколяции на ДК можно считать эргодическим.

§4.5 Дивергенция Бонгарда на деревьях Кейли кварцевых стекол в направлениях "центр периферия"

Обратимся к более сложной мере, известной в информодинамике как мера Бонгарда [128]. Насколько мы осведомлены, мера Бонгарда в физических аспектах почти не привлекалась. Хотя существует определенная литература по применению идей Бонгарда не только в теории распознавания образов и принятия решений [126, 127, 131, 132].

В теории древесных графов аналогичный функционал вообще не применялся. Согласно §4.1, меру Бонгарда мы трактуем как один из видов взаимной энтропии, точнее информации. Как всякая информационная мера, например функционал Больцмана (см. Н - теорему) [96], дивергенция Кульбака [125] и ее линеаризации [130], эти характеристики двухзначко-вые. Информационные меры всегда предполагают сравнение, сопоставление двух различных распределений, статистик.

Важным разделом современной теории принятия решений [126, 127] является введение, построение, в том числе и энтропийных, информационных мер как расстояний тех или иных метрик в пространстве фуцкций распределений, статистик. Эту программу мы реализуем на ДК, представляющих сетевые, мозаичные структуры.

За исходные данные, как и в предыдущих параграфах, принимаем ПП или, точнее, ВПП, которые построены для каждого уровня ДК. Теперь поставим задачу оценить марковский (М-) сдвиг между двумя соседними уровнями: г г + 1; Уг < сю ДК. Уровни будут задаваться своими Т{(хк)т, г(хк) и тогда меру Бонгарда Ву[Т{{хк)\Т{+1(хк)] можно считать некоторой дивергенцией. Мера Бонгарда является условной, что предполагает наличие выделенной базы сравнения. Именно такая база Тоо(хк) и была использована при оценке потенциальной информационной энергии в §4.4.

Но в случае межуровневой дивергенции нет смысла выделять какуюлибо систему отсчета. Тогда нужно применить операцию симметризации, которую впервые использовал Больцман при доказательстве Н-теоремы. В работах самого Бонгарда [128] такой аспект не обсуждался, поскольку он рассматривал задачу статистической оценки распределений, что привело к мере неточности.

Второй момент, который не акцентируется в теории принятия решений, теории сложных систем [118, 119], — построение обобщенного лагранжиана, в котором слагаемые, отвечающие за возможности и затраты желательно выбирать согласованно, народном классе функционалов. Для нашего исследования последнее означает запись меры Бонгарда не в логарифмической форме, а в степенной, например также квадратичной. Тогда мы переходим к дивергенции Бонгарда в Vaida - представлении.

Учитывая сказанное, дивергенцию Бонгарда между уровнями ДК запишем как

Ву[Тг{хк)-Т1+1(хк)\ = [Ti(xk)Ti+i(xk) + Ti+i(xk)Ti(xk)} ; z к i — уровни ДК; Ti(xk) — коэффициенты ПП; ki — ранги ПП, кг ф 1;

Ti(xk) = [ЕЩхк) - Т{{хк)] V [1 - Ti(xk)] — операция дополнения для ПП к или ВПП соответственно. Обозначения Т{(хк) для ПП и ВПП одни и те же, но необходимо помнить, что, если мы исходим из ПП, то тогда в оценках функционалов возможностей и затрат не следует забывать о внутриуровневои нормировке на к

И, наконец, прежде, чем переходить к интерпретации полученных результатов, отметим еще один методический момент, он затронут в конце §4.1.

Обычно энтропии, различные информации трактуются как меры, функционалы. Но, полагая г = г + 1, получим

Ву&(хк)-Т1+1(хк)} = Ну[Тг(х% т.е. дивергенция г/г - уровня равна собственной, внутренней энтропии.

Дивергенция Бонгарда, как и дивергенция Кульбака, трактуется как расстояние между распределениями на ц г + 1 уровнях ДК.

Обратимся к результатам численного эксперимента по расчету дивергенции Бонгарда на ДК в прямом и обратном направлении. Эти результаты показаны на рис. 4.5.1. И снова, как и в предыдущих подходах дивергенция Бонгарда хорошо определена. Вариации прямого потока леж жат в пределах 5ВУ ~ 2 — 3%, а для обратного потока 8ВУ ~ 2 — 9.5%. И снова, как на других характеристиках, более вариабелен, флуктуационен обратный поток. Налицо, и в этой характеристике, закон сохранения г -перколяции на уровнях ДК. Дважды средние значения дивергенции Бонгарда в прямом потоке превосходят аналогичные значения в обратном в 1.314 раза.

Как было показано ранее, при г = г + 1 дивергенция Бонгарда просто превращается в энтропию Вайда. Тем самым эти характеристики можно считать родственными и им можно дать представление в виде векторных диаграмм (рис. 4.5.2П — 3.3.3).

Для удобства обсуждения можно составить усредненные векторные диаграммы по ДК. При этом надо не забыть, что, по крайней мере, энтропийный вектор сохраняется в обоих направлениях (рис. 4.5.2).

Сравним топологию этих векторных диаграмм. Естественно обратиться к метрическим характеристикам этих треугольников, т.е. длинам сторон Ну и Ву. Отличие этих характеристик составляет 2.4% в прямом потоке и 2.1% — в обратном. Таким образом, оба эти треугольника можно считать равносторонними с вариабельностью ~ 2% по метрическим показателям, а следовательно, они будут подобными (рис. 4.5.3). Естественно дать оценку коэффициента подобия. Как всякий коэффициент подобия, он может быть больше - меньше 1 и соответствовать растяжениям - сжатиям. По Ву - стороне коэффициент подобия гев = 1-314, по энтропийной стороне — эе# = 1.3104. Средняя оценка на уровне двух знаков

0.0 0.4 0.8 Ну 0.0 0.4 0.8 Ц, а) б)

Рис. 4.5.2 Усредненные векторные диаграммы: (а) прямой поток; (б) обратный поток

В = «.8 069 22 ±0.63%

Рис. 4.5.3 Подобные Н — В треугольники эе = 1.31. Любопытно, что данное значение коэффициента подобия в ВН-пространстве весьма близко к значению золотого вурфа = 1.309. По крайней мере, отличие наших данных составляет 0.24%. Насколько случайно это совпадение или это некоторая универсалия, которая выполняется на древесных графах сеточных структур, пока однозначно ответить затруднительно.

Возвращаясь к понятию марковского сдвига на ДК, можно дать его характеристику в терминах дивергенции Бонгарда и собственной энтропии Вайда. Древесная перколяция подчиняется следующей закономерности: количество собственных топологических возможностей в смысле ветвистостей эквивалентно межуровневой дивергенции — симметризован-ной мере Бонгарда. Видимо, наряду с законом сохранения собственных характеристик, установленная зависимость для дивергентных мер также указывает на определенную универсальность ДК КС.

§4.6 Векторное представление перечисляющих полиномов. Пример на деревьях Фибоначчи

Цель данного завершающего раздела Главы — построить векторное представление для самих ПП ДК. Уже, пользуясь векторным представлением, выяснить Геометрический смысл энтропийных и дивергентных функционалов. По своей структуре эти информодинамические характеристики выступают как некие произведения в по-координатной росписи от векторов, которые сопоставлены ПП. Кроме того, с целью получения более прозрачных результатов, мы привлечем весьма простой, но фундаментальный пример, который базируется на последовательности Фибоначчи [57, 133].

ПП и ВПП можно дать векторное представление. Выберем Я,к[Тг(хк)] — ортонормированное пространство К - размерности, равной максимальному Г{ - рангу ВПП, где по осям и будут откладываться коэффициенты ВПП. Тогда, в итоге в 11к[Тг(хк)] ВПП изобразится К - мерным вектором. Аналогично, для \/г-уровня ДК будет свой вектор, но все {Тг 0^)} подчиняется условию полноты £Тг(хк) = 1. Последнее условие имеет простой к геометрический смысл — это гиперсфера в линейной метрике, с которой не имеют права "сходить" все Т; (ж*).

Очевидно, также в этом же пространстве можно построить и еж {Тг (хк)} — дополнительных векторов ДК. Дополнение можно трактовать как операцию сопряжения, двойственности, дуальности.

Таким образом, любое ДК (как в прямом, так и в обратном направлении) будет характеризоваться парой ежей |[Г? 0е*)];

Тi (ж'0)]!, концы векторов которых будут находиться на 1 - гиперсфере с той или иной вариабельностью. Энергетический функционал

U[Ti(xk)] = Z'I?(xk) к является длиной ~Ti (хк) в квадратичной (евклидовой) метрике. Энтропия Вайда

HV[Ti (®*)] = ^Тг(хк)Щхк) = (т* (**)• Т{ (**)) является произведением двух сопряженных Т{(хк) из прямого и дополнительного ежей с одним и тем же г - уровнем ДК. Так как Norm Т i (хк) = Norm Тi (хк) = 1, то Hv[Ti (хк)] = cos["г»; Т¿] — косинус угла между двумя сопряженными Т i {хк) и Тг- (хк) - векторами. Заметим, что ежи ДК определены только в первом октанте.

Несмотря на очевидную простоту векторного представления, геометризация ПП и ВПП нетривиальна. Отображение ВПП в векторное пространство требует выполнения условия полноты, но тогда, это пространство с абсолютной метрикой. Тг (хк) будет находиться (его конец) на гиперкубе (сфере) с единичной нормой. Попробуем сделать наше разъяснение наглядным. Изберем плоский случай, ~Ti (хк) — ВПП с к < 2. Будем геометризировать энтропийный функционал:

НУ[Тг(хк)]=ЕЧхк)Т{(хк) = к к

Ti{xk)- Т i (хк)

Последнее стандартное определение скалярного произведения в абсолютной геометрии не сводится к "векторам" ОЕ и ОР. Поскольку это евклидовы образы, а не сами абсолютные векторы:

ОЕ\\ = Т(х2) +Т(х1). Это простейшая неевклидова геометрия, справедливая для решеточных систем. Поэтому выражение

2 |СО| = |0Е| |ОР| С05(Л - ф ) = 8Н1Ф

Т(х')

Рис. 4.6.1 Пример геометризации перечисляющих полиномов

ЕЩхк)Т{(хк) правильно, но считать Т\ (хк) =ОЕ или (хк) = Ор к нельзя.

Построим евклидову модель абсолютной геометрии, но с выполнением условия полноты ВПП: = 1, УГ». В абсолютной геометрии (метрик ка города, решетки) ОЕ и ОР не существуют — это образы евклидовы. В абсолютной геометрии выполнение условия полноты приводит к линии АВ — х^ = — х^ + 1 = 1 — которая и является "окружностью" в абсолютной геометрии: Т(х2) + Т(хг) = 1.

Рассмотрим простой, но нетривиальный пример геометризации ВПП для известной последовательности Фибоначчи [57, 133]. На классе двоичных ДК построим дерево Фибоначчи (ДФ), число унарных связей которого будет также определяться сдвинутой последовательностью Фибоначчи. На рис. 4.6.2 приведено дерево Фибоначчи [133]. Ранг ПП равен 2, а значит в ПП будет присутствовать Т{(хк) при к < 2. ПП для ДФ приведены в табл. 4.6.1. На них хорошо видно как коэффициенты Т^х2) =4> Т^^х1) (зацепляющая эстафета ПП). Коэффициенты ПП ДФ являются членами последовательности Фибоначчи.

Попробуем на ДФ получить примененные нами информодинамические

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения диссертационного исследования были получены следующие результаты.

1. Для исследования сеточных мезодефектов АТТ и стекол, квазикристаллических мозаик в рамках теории графов было построено древес-но - графовое представление. Оно было найдено на древесных графах типа Кейли, ветвистость которых была объявлена случайной величиной. Ветви квазислучайных ДК являются отношениями соседства, координаций между ячейками сеточных дефектов.

2. Разработан алгоритм синтеза квазислучайных ДК для сеточной ме-зоструктуры КС, мозаик Пенроуза и Кавамуры. Древесное представление сеточных структур допускает восстановление самих сеток на соответствующем алфавите "ячейка — отношение". Исследованы математические свойства квазистохастических ДК. Показано, что ДК можно считать симплициальными комплексами, удовлетворяющими принципу масштабной инвариантности. На ДК, можно считать, что определена ультраметрика, а, следовательно, ДК в целом являются ультраметрическими симплициальными комплексами. На ДК заданы условные вероятностные меры, что позволяет считать ДК в г -направлении марковскими объектами. В t - направлении в приближении входящих кустов ДК являются сильно связными графами — марковские джунгли.

3. Над квазислучайными ДК сеточных структур стекол и мозаик построены энтропийные, энергетические, дивергентные функционалы. Рассмотрена их перколяция в г - направлении, как для разрастающихся, так и для коллапсирующих ДК. Указанные информодинамические функционалы заданы для перечисляющих полиномов ДК, тем самым формализм перечисления приобретает принципиально новый смысл.

4. Численные эксперименты указали на то, что перколяция, например, энтропийных и энергетических функционалов по уровням ДК инвариантна на марковских сдвигах в г - направлении по ДК. Энтропия, энергия перколируют по уровням иерархий в прямом и обратном направлении. подчиняясь законам сохранения. Фактически, это означает, что существует в г - протекании закон неразрывности энтропийной "массы". Таким образом, поток координаций на сеточных дефектах АТТ и стекол характеризуется сохранением топологического потенциала, возможностей, реализуемых древесной топологией отношений. Сопоставление прямого и обратного потоков информационных функционалов на ДК показало их существенное различие при сохранении постоянства.

Введено понятие топологической температуры, представляющей собой отношение функционалов возможностей к энергетическим функционалам. Оказалось, что прямой древесный трафик координаций более нагрет, чем аналогичный трафик, идущий из бесконечности. Таким образом, ДК сеточных мезодефектов АТТ и стекол следует признать необратимыми графами, для которых выполняется II начало термодинамики.

Проведенные исследования по структуре и топологии мезодефектов АТТ и стекол с помощью развитого нами математического аппарата древесных графов Кейли позволил установить неизвестный ранее принцип перколя-ции координаций. Таким принципом как раз и является установленный нами в Главе IV диссертации закон сохранения энтропийных, энергетических функционалов на ДК. Мы надеемся, что найденный принцип будет универсальным и послужит физической основой генерации сеточных

1. Юдин В.В., Рудик Е.И., Матохин А.В. и др. Дальний порядок в структуре аморфных пленок // Физика твердого тела. 1982. Т. 24, вып. 2. С. 443 - 448.

2. Чухрий Н.И., Юдин В.В., Юдина JI.A. и др. Структура и морфология ультрадисперсных и аморфных пленарных сред // Поверхность. Физика, химия, механика. 1983. Т. 1. С. 138 144.

3. Юдин В.В., Тимакова Г.П., Матохин А.В. и др. Лазерно дифракто-метрическая оценка параметров корреляционного поля флуктуаций анизотропии в пленках Со - Р // ФТТ. 1983. Т. 25, вып. 7. С. 1953 - 1957.

4. Юдин В.В., Матохин А.В., Плотников B.C. и др. Динамика анизотропии структурных суперсеток в пленках Со — Р, Со — Ni — Р при распаде аморфного состояния // Поверхность. Физика, химия, механика. 1985. Т. 12. С. 54 60.

5. Юдин В.В. Исследование реальной структуры аморфных сплавов электронно микроскопическими методами // Digest of the Intern, symp. on magnetism of amorphous materials. Balaton - Zeplak. Hungary. Sept. 30 - Oct. 4. 1985. P. 174 - 177.

6. Лабутин В.Ю., Нефедов В.И. и др. Рентгеноэленктронное и электронно микроскопическое исследования аморфных сплавов Fe$jNiQSii\B\b и Fe^CojoSii^Bio сплавов // Поверхность. Физика, ъхимия, механика. 1986. Т. 12, С. 95 - 101.

7. Кучма A.C., Юдин В.В. и др. 7 резонансное и электронно - микроскопическое исследования аморфных Fe — Со — Si — В и Fe — Ni — Si — В сплавов //Изв АН ССР, сер. Физическая, 1986. Т. 50, № 12. С. 2431 - 2434.

8. Юдин В.В., Макогина Е.И., Юдина JI.A. Структурно морфологические особенности аморфных лент // Струкутура, структурные превращения и магнитные свойства аморфных металлических сплавов. Сб. науч. тр. М.: Металлургия, 1986. С. 51 - 56.

9. Макогина Е.И., Полищук В.Е., Шмакова Е.Э. и др. Структурные особенности фрактограмм быстрозакаленных металлических сплавов // Поверхность. Физика, химия, механика. 1987. N 8. С. 117 122.

10. Корнев В.В., Хотимченко B.C., Аюпов Б.М. О природе локальной химической неоднородности кварцевого стекла. // Физика и химия стекла. 1983. N 1. С. 106 — 109.

11. Корнев В.В., Ермоленко Т.А., Козлова М.А. Дискретность в строении кварцевого стекла // ДАН СССР. 1985. Т. 285, N 4. С. 988 991.

12. Ермоленко Т.А. Взаимосвязь неоднородного строения кварцевого стекла с технологией его наплавления / Автореф. дис. на соиск. уч. ст. канд. физ. мат. наук. Ленинград: 1988.

13. Бакай A.C. Поликристаллические аморфные тела. М.: Энергоатомиз-дат, 1987. 192с.

14. Шульц М.М., Мазурин О.В. Современные представления о строении стекол и их свойствах. JL: Наука, 1988. 198с.

15. Юдин В.В., Савчук Е.Г., Журавлев Г.И. и др. Лазерно дифракто-метрический анализ поверхности образцов кварцевого стекла // Прикладная химия. 1989. Т. 62, N 4. С. 860 - 865.

16. Юдин В.В. Стохастическая магнитная структура пленок с микропо-ровой системой. М.: Наука, 1987. 236с.

17. Юдин В.В. Структурные неоднородности аморфных пленарных сред типа переходной металл металлоид, редкая земля - переходной металл / Дис. на соиск. уч. ст. доктора физ. - мат. наук. Владивосток, 1987. 399с.

18. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982. 591с.

19. Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике. М.: Мир, 1985. 488с.

20. Фельц А. Аморфные и стеклообразные неорганические твердые тела. М.: Мир, 1986. 558с.

21. Белащенко Д.К. Структура жидких и аморфных металлов. М.: Металлургия, 1985. 193с.

22. Шульц М.М. О природе стекла // Природа. 1986. N 9. С. 41 52.

23. Шульц М.М. Современные представления о строении стекла и его свойствах // Вестник АН ССР. 1986. N 9. С. 14 23.

24. Татаринова Л.И. Структура твердых аморфных и жидких веществ. М.: Наука, 1983. 152с.

25. Cargil G.S. Amorphous alloys. // Sol. State Phys. N. Y.: Acad. Press, 1975. vol. 30. P. 227 450.

26. Cargil G.S. Diffraction studies of amorphous meyallic alloys // Diffraction studies on noncrystallic substances. Bp.: Acad. Kiodo, 1981. P. 735 808.

27. Финней Дж. JI. Моделирование атомной структуры / Аморфные металлические сплавы. Под ред. Люборского Ф.Е. пер. с англ. Глезера A.M. М.: Металлургия, 1987. С. 52 74.

28. Хандрик К., Кобе С. Аморфные ферро- и ферримагнетики. пер. с англ. Потапова Н.Н. М.: Мир, 1982. 293с.

29. Чен Х.С., Джексон К.А. Металлические стекла / Сверхбыстрая закалка жидких сплавов. М.: Металлургия, 1986. С. 173 210.

30. Эгами Т. Атомный ближний порядок в аморфных металлических сплавах / Аморфные металлические сплавы. М.: Металлургия, 1987. С. 92 106.

31. Cargil III G.S. Structure models for amorphous alloys // Atom. Energy Rev., Suppl. 1981. N 1. P. 63 99.

32. Паташинский А.З. Структура конденсированного состояния и фазовые переходы в аморфных системах. Новосибирск, Ин-т ЯФ СО АН СССР, 1984. 11с.

33. Barker J.A., Moare M.R., Finney J.L. Relaxation of the Bernal model // Nature, vol. 257, N 5522, 1975. P. 120 122.

34. Bernal J.D. Geometry of the structure of nonatomic liquids // Nature, vol. 185, N 4706. 1960. P. 18 70.

35. Finney J.L. Random packings and structure of simple liquids. I. The geometry of random close packing. II. The molecular geometry of simple liquids. // Proc. Roy. Soc., London A., 1970. vol. 319, N 2. P. 479 507.

36. Полухин В.А., Ухов В.Ф., Дзугутов М.М. Компьютерное моделирование динамики и структуры жидких металлов. М.: Наука, 1981. 323с.

37. Полухин В.А., Ватолин H.A. Моделирование аморфных металлов. М.: Наука. 1985. 288с.

38. Полухин В.А., Ватолин H.A., Пастухов Э.А. Анализ структуры жидких и аморфных металлов на основе статистической геометрии и концентрационных функций распределения / Аморфные металлические материалы. М.: Наука. 1984. С. 4 8.

39. Игнатюк В.А. Стеклообразование, структура и физические свойства халькогенидных и фтороцирконатных стекол // Автореф. на соиск. уч. ст. доктора физ. мат. наук по спец. 01.04.07 — ФТТ. Владивосток, 1997. 30с.

40. Судзуки К., Фудзиморо X., Хасимото К. Аморфные металлы. М.: Металлургия, 1987. С. 55 107.

41. Нельсон Д.Р. Квазикристаллы. Мозаика Пенроуза //В мире науки. 1986. Ко 10. С. 19 28.

42. Гратиа Д. Квазикристаллы // Успехи физических наук. 1988. Т. 156, вып. 2. С. 347 364.

43. Kawamura Н. Proc. Theor. Phys. 1979. vol. 61. P. 1584.

44. Kawamura H. Proc. Theor. Phys. 1980. vol. 63. P. 24.

45. Запрященная симметрия пятого порядка может свидетельствовать о существовании квазикристаллической фазы / Физика за рубежом. Серия А. М.: Мир, 1986. С. 228 239

46. Аморфные металлические сплавы. М.: Наука, 1984. 158с.

47. Быстрозакаленные металлы. М.: Металлургия, 1983. 564с.

48. Металлические стекла. Под ред. Гильмана Д.Д., Лими Х.Д. М.: Металлургия, 1984. 263с.

49. Металлические стекла: Ионная структура, электронный перенос и кристаллизация. Под ред. И.-И. Гюнтерродта, Г. Бека. М.: Мир. 1983. 376с.

50. Методы Монте Карло в статистической физике. М.: Мир, 1982.

51. Иващенко В.М., Митин В.В. Моделирование кинетических явлений в полупроводниках. Метод МСонте Карло. М.: Наука, 1990.

52. Бенгус А.А. Связь физических свойств металлических стекол с их структурой // VIII Всесоюзное совещание по стеклообразному состоянию. Ленинград, 1986. С. 7-8.

53. Варлимонт Г. Аморфное и микрокристаллическое состояния быстро-закаленных сплавов / Метастабильные и неравновесные сплавы. М.: Металлургия, 1988. С. 10 48.

54. Матохин А.В. Распад аморфного состояния Со — Р, Со — Ni — Р, Fe — Si в сеточной модели и стохастическая магнитная структура / Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ. мат. наук. Красноярск. 1984. 216с.

55. Макогина Е.И. Исследование изменений структурных неоднород-ностей быстрозакаленных аморфных сплавов Fe — Ni — Si — В, Fe — Ni — Fe — Si — В по толщине лент / Автореферат дис. на соиск. ст. канд. физ. -мат. наук, Красноярск, ИФ СО АН СССР. 1990, 17с.

56. Савчук Е.Г. Статистическая кинетика суперсеточных систем металлических и кварцевых стекол в процессах структурной релаксации /

57. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук по специальности 01.04.07 — физика твердого тела. Владивосток, 1991. 255с.

58. Лими Э., Гилмер Г., Диркс А. Микроструктура тонких пленок, осажденных из паровой фазы / Актуальные проблемы материаловедения. Вып. 2. М.: Мир, 1983. С. 240 274.

59. Chen С.Н. Direct observation of columnar structure in glassy GeSe2 films by electron microscopy //J. Non-Cryst. Sol. 1981. vol. 44, P. 391 395.

60. Sonnberger R., Bestgen H., Dietz G. The microstructure of amorphous Co- P and Ni — P investigated with ТЕМ and SAXS // Phys. В -condenced matter. 1984. N 56. P. 289 295.

61. Barna A., Barna P.B., Bodo Z. et. al. Structure, ordering and electrical conduction of high purity amorphous Ge films // Proc. bth Intern. Conf. on Amorfous and Liquid Semiconductors. Garmish Partenkirchen. Sept. 3 - 8. 1983.

62. Находкин Н.Г., Шалдерван А.И. Влияние условий конденсации на рост столбчатых кристаллитов на пленках // ФТТ. 1971. Т.13.

63. Nakhodkin N.G., Shaldervan A.I. Effect of vapour incidence angles on profile and propeties of condenced films // Thin Solid Films. 1972. vol. 10, N 1. P. 109 122.

64. Barna A., Barna P.B., Radnoczi G., Sugawara H., Thomas P. Computer simulation of the post-nucleation growth of the thin amorphous germanium films.// Thin Solid Films. 1978. vol. 48. P. 163 174.

65. Barna A., Nady J., Radnoczi G. et. al. Investigation of the structure of amorphous films prepared by different methods // Proc. Intern. Conf. on amorphous semicond. 1976. Balatonf' •. ured. Budapest. 1977. P. 449 -454.

66. Nakhodkin N.G., Bardamid A.F., Novoselskaya A.I. Effect of the angle of deposition on short range in amorphous germanium / / Thin Solid Films. 1984. vol. 112, N 3. P. 267 277.

67. Galeener F.L. Optical evidence for a network of cracklike voids in amorphous germanium // Phys. Rev. Let. 1971. vol. 27, N 25. P. 1716 1740.

68. Филлипс Дж. Физика стекла / Физика за рубежом. М.: Мир, 1983. С. 154 178.

69. Леко В.К., Мазурин О.В. Свойства кварцевого стекла. Л.: Наука. 1985. 165с.

70. Мазурин О.В. Стеклование и стабилизация неорганических стекол. Л.: Наука, 1978. 63с.

71. Порай Кошиц Е.А. О структуре однокомпонентных стекол // Физика и химия стекла. 1977. Т. 3, N 4. С. 292 - 305.

72. Ермоленко Т.А., Агроскин Л.С., Журавлев Г.И., Корнев В.В. Статистическое распределение размеров структурных отдельностей кварцевого стекла, выявленных глубоким травлением // Прикладная химия. 1987. Т. 60, N 7. С. 1648 1650.

73. Ермоленко Т.А., Журавлев Г.И., Корнев В.В. и др. Свойство дискретности в строении кварцевого стекла в связи с особенностями его наплавления // Тез. докл. III Всесоюзн. совещ. по стеклообразному состоянию. Ленинград. 1986. С. 195 196.

74. Goodmen С.H.С. The structure of silica glass and its surface // Physics and chemistry of glasses. 1986. vol. 21, N 1. P. 27 31.

75. Козлова M.A., Корнев В.В., Корытин О.В. Статистические и электронно микроскопические исследования промышленных видов кварцевого стекла // Физика и химия стекла. 1984. Т. 10, N 4. С. 471 - 474.

76. Андреев Н.С., Мазурин О.В., Порай Кошиц Е.А., Роскова Г.П., Фи-липович В.Н. Явления ликвации в стеклах. JL: Наука, 1974.

77. Порай Кошиц Е.А. Некоторые аспекты проблемы неоднородного строения стекла / Проблемы химии силикатов. JL: Наука, 1974.

78. Ope О. Графы и их применение. М.: Мир, 1965. 170с.

79. Филлипс Дж. Гарсиа Диас А. Методы анализа сетей. М.: Мир, 1984. 496с.

80. Березина Л.Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение, 1979. 143с.

81. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977. 200с.

82. Харари Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов / Сб. статей "Прикладная комбинаторная математика". Под ред. Беккенбаха Э. М.: Мир, 1968. С. 107 140.

83. Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Наука, 1987. 382с.

84. Ope О. Теория графов. М.: Наука, 1980. 336с.

85. Берж К. Теория графов и ее применение. М.: ИЛ, 1962. 310с.

86. Зыков A.A. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1969. 540с.

87. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977.

88. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. 376с.

89. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Савчук Е.Г. Случайные координационные деревья Кейли для сеточных мезоструктур кварцевых и металлических стекол // Кристаллография. 1998. N5. С. 1 -9.

90. Иванова B.C. и др. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383с.

91. Олемской А.И., Флат А.Я. // УФН. 1993. Т.34, N12. С. 1.

92. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Тупиков М.Б. Энтропийный критерий квазикристалличности мозаики пенроуза в представлении случайных деревьев Кейли // Кристаллография. В печати.

93. Сорокина Е.А., Юдин В.В. Сверхперколяционная процедура обеспечения живучести коммуникационных сетей //XI Всесоюз. семинар по вычислит, сетям. Москва Рига. 1986. Ч. 1. С. 229 - 234.

94. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608с.

95. Любченко Е.А., Юдин В.В. Лингвистическая модель квазистохастических деревьев Кейли // СбД XXXIX Всероссийской научно технической конференции. Владивосток, 1996. С. 77 - 79.

96. Любченко Е.А., Юдин В.В. Общие статистические свойства деревьев Кейли // СбД XXXIX Всероссийской научно технической конференции. Владивосток, 1996. С. 74 - 76.

97. Фрэнк Г., Фриш И. Сети, связь, потоки. М.: Связь, 1978. 448с.

98. Басакер Р., Соати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1973. 368с.

99. Свами М.Н., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984. 454с.

100. Любченко Е.А. Представление сеточных дефектов стекол в формализме деревьев Кейли // Тез. докл. VI Российской научной студенческой конференции по физике твердого тела. Томск, 13 15 мая 1998г. С. 29.

101. Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А. Квазикристаллы как структуры с древесной топологией перколяции // СбД I Международного симпозиума (I Самсоновские чтения) "Принципы и процессы создания неорганических материалов". Хабаровск, 12 16 мая 1998г. С.

102. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. 1072с.

103. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624с.

104. Шварц Л. Анализ. Т. 1. М.: Мир, 1972. 824с.

105. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544с.

106. Владимиров B.C. Обобщенные функции и их применение. М.: Знание, 1990. 41с.

107. Биллингслей П. Эргодическая терия и информация. М.: Мир, 1969. 239с.

108. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 384с.

109. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. М.: Наука, 1964. 212с.

110. Стратонович Р.Л. Теория информации. М.: Сов. радио, 1975. 424с.

111. Коренблит И.Я., Шендер Е.Ф. // УФН. 1989. Т. 157. С. 267.

112. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложности, катастрофы. М.: Мир, 1982. 216с.

113. Вильсон А.Д. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука, 1978. 248с.

114. Айзерман М.А. и др. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы графлдинамики) / Сб. науч. тр. "Исследования по теории структур" М.: Наука, 1988. С. 5 76.

115. Писаренко Т.А., Юдин В.В., Любченко Е.А. Фрактальность и связность квазистохастических деревьев Кейли // СбД XXXVIII Всероссийской межвузовской научно технической конференции. Владивосток, 1995. С. 122 - 124.

116. Писаренко Т.А., Любченко Е.А., Юдин В.В. Идентификация статистик командования на случайных деревьях Кейли // СбД XXXIX Всероссийской научно технической конференции. Владивосток, 1996. С. 104 - 106.

117. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967. 400с.

118. Ван Трис Г.Л. Теория обнаружения оценок и модуляции. М.: Сов. радио, 1972. Т. 1. 744с.

119. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. 560с.

120. Бонгард М.М. Проблема узнавания. М.: Наука, 1967. 320с.

121. Трухаев Р.И. Методы исследования процессов принятия решений в условиях неопределенности. Л.: Военно морская академия, 1972. 438с.

122. Юдина Л.А., Фролов A.M., Чухрий Н.И., Юдин В.В. Системная методика обработки сложных РЭМ изображений // Изв. РАН. Сер. физ. 1998. Т. 62, N3. С. 455 - 460.

123. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978. 416с.

124. Фукунага К. Введение в сатистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. 368с.

125. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. Лекции по математике. М.: Наука, 1992. 192с.