Аппроксимация операторов в нормированных операторных идеалах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

РЕЙНОВ Олег Иванович

АППРОКСИМАЦИЯ ОПЕРАТОРОВ В НОРМИРОВАННЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ИДЕАЛАХ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

(У-

Работа выполнена на кафедре математического анализа математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

доктор физико-математических наук

A.B. Бухвалов

доктор физико-математических, наук Е.М. Семенов

доктор физико-математических наук

B.Н. Судаков

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится " у " ^ ^Д_ 2003 г. в -чяти на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН (Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, комн. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Автореферат разослан "

10. ¿1 to ^Л-tvQfc 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук ^—"1 А.Ю.Зайцев

7?75"

1. Общая характеристика работы

Теория аппроксимации в нормированных операторных идеалах берет свое начало, по-существу, с работ Дж. фон Неймана и Р. Шаттена: в классах Sp фон Неймана-Шаттена множество конечномерных операторов плотно. Этот замечательный факт, в частности, позволяет описать сопряженные к SP(H) пространства. Обобщая понятия тензорных произведений гильбертовых пространств, рассмотренных Р. Шаттеном, А. Гротендик в 1955 ввел и детально изучил, в частности, проективные тензорные произведения банаховых пространств. Каждое такое тензорное произведение естественным образом порождает банахово пространство операторов, которые А. Гротендик назвал ядерными. А. Гротендик, в частности, описал сопряженное к проективному тензорному произведению X®Y пространство. Однако, он столкнулся с многочисленными трудностями при рассмотрении пространств N(E, F) ядерных операторов из банахова пространства Е в банахово пространство F. И эти трудности возникли в связи с тем, что, например, ему не удалось показать, что естественное отображение E*®F —► N(E,F) взаимно однозначно для любых банаховых пространств Е, F. По другому, он не знал, всякое ли банахово пространство обладает свойством аппроксимации, которое он ввел как раз для того, чтобы обойти указанные затруднения. Здесь впервые появилась связь между тензорными произведениями банаховых пространств, операторными идеалами и аппроксимационными свойствами.

Через 14 лет А. Перссон и А. Пич рассмотрели впервые другие схожие идеалы операторов — идеалы р-ядерных операторов, а П. Сафар ввел и изучил соответствующие им тензорные произведения. И снова возникла проблема взаимной однозначности канонических отображений из тензорных произведений в операторные пространства. Иначе говоря, возникли "проблемы аппроксимации порядка р". А. Пелчинский, С. Квапень, Т. Фигель, Н. Томчак-Ягерман рассмотрели и другие операторные идеалы. При попытках описать сопряженные к соответствующим пространствам операторам они наталкивались на такие же трудности, как и А. Гротендик, и им приходилось в каждом конкретном случае предполагать, что банаховы пространства, в которых действуют операторы обладают аппроксимационными свойствами Гротендика. А. Пич в своей известной монографии 1988 г. собрал воедино все известные факты об операторных идеалах, и снова ему весьма часто приходилось накладывать на рассматриваемые банаховы пространства те или иные аппроксимационные условия.

Параллельно с этими исследовании в 1973 г. П. Энфло наконец решил проблему аппроксимации А. Гротендика (одновременно с проблемой С. Банаха о существовании пространства без базиса). С этого года к исследованию свойств -аппроксимации и их обобщений подключились А. Пелчинский, Т. Фигель, У. Б. Джонсон, А. Дэйви, А. Шанковский, С. Шарек. Сразу после появления примера П. Энфло Т. Фигель и У. В. Джонсон строят пространство со свойством аппроксимации, но без свойства ограниченной аппроксимации. Они отвечают также и на другой вопрос А. Гротендика — о существовании неядерного оператора с ядерным сопряженным. А. Гротендик еще в 1955 г. дал достаточные условия для положительного ответа на этот вопрос и установил, что эти условия тесно связаны с его апйроксимаци-онными условиями.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

А. Шанковский во второй половине 1970-х годов строит серию примеров пространств без свойства аппроксимации, показывая, что "почти в каждом" банаховом пространстве есть подпространство без свойства аппроксимации. На самом деле А. Шанковский построил примеры даже пространств без свойства компактной аппроксимации, и возник очень трудный вопрос о совпадении свойств аппроксимации и компактной аппроксимации (продержавшийся открытым более 15-ти лет). Эти примеры вместе с примером Фигеля-Джонсона поставили проблему об эквивалентности свойств компактной аппроксимации и ограниченной компактной аппроксимации.

В порядке обобщения проблем, связанных с аппроксимацией А. Гротендика и со свойствами аппроксимации АРр порядка р П. Сафара р > 1, возникли вопросы об эквивалентности свойств АРр и ограниченной аппроксимации ВАРр порядка р, так же как и проблемы типа "существование не р-ядерного оператора с р-ядерным вторым сопряженным".

Что касается конкретных банаховых пространств, то к середине 1980-х годов для почти всех классических пространств проблема аппроксимации была решена (положительно или отрицательно) и не было известно лишь, обладает ли пространство Харди Н°° свойством аппроксимации.

В целом, в 1970-1985 годах интенсивные исследования в указанных направлениях проводили такие математики как У. Б. Джонсон, И. Линденштраусс, П. Энфло, С. Квапень, А. Пелчинский, Т. Фигель, А. Шанковский, Ж. Пизье, С. Шарек, Б. С. Митягин и др., в том числе и автор.

В 1992 г. Г. А. Уиллис ответил на один из основных вопросов теории аппроксимации типа гротендиковской, построив пример пространства со свойством компактной аппроксимации, но без свойства аппроксимации. С 1993 г. по настоящее время в этих и близких по направлению исследованиях плодотворно работают такие известные математики как американцы У. Б. Джонсон, К. JI. Гарсиа, П. Ка-саза, швейцарец X. Ярхов, норвежцы А. Лима и О. Нигаард, эстонский математик Е. Ойа, швед С. Кайзер. Примерно с 1999 г. в изучении различных аппрокси-мационных свойств, в частности, свойств АРр, р < 1 (введенных в рассмотрение автором), участвует ряд молодых математиков (университет г. Севилья, Испания, — М. Д. Контрерас, С. Диас-Мадригал; университет г. Дели, Индия, — Д. Синха, А. К. Карн, и конечно на родине П. Энфло — Швеции, в университетах г. Уппсалы и г. Лунд).

Вернемся к работе А. Гротендика 1955 года. Введя свои условия аппроксимации, А. Гротендик установил следующий замечательный факт: если банахово пространство X рефлексивно или изометрично сепарабельному сопряженному пространству, то X обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда X обладает свойством метрической аппроксимации. Некоторый аналог этого результата он сформулировал также для слабо компактных отображений. В самом конце своего труда "Produits tensoriels topologiques et espases nucléaires" в Mem. Amer. Math. Soc., 1955, т. 16, среди нерешенных проблем на одно из самых первых мест он поставил следующий вопрос. Верно ли, что для слабо компактных операторов в банаховых пространствах свойство аппроксимации и свойство ограниченной аппроксимации — одно и то же? Ответ (отрицательный) на этот вопрос

дай автором в диссертации.

Какая связь есть между рефлексивными и сепарабельными сопряженными пространствами, или, более общо, между сепарабельными сопряженными пространствами и слабо компактными операторами?

В своей работе А. Гротендик, в частности, обобщил классические результаты Данфорда-Петтиса-Филлипса об интегральных представлениях операторов "действующих из 1^1(11)" или "со значениями в Ь00(^)эт. Примерно через 10 лет после работы А. Гротендика к результатам Данфорда-Петтиса-Филлипса вернулись и другие математики, и в конце концов оказалось, что "хорошие" интегральные представления для соответствующих операторов тесно связаны с индивидуальными теоремами типа Радона-Никодима для векторноэначных мер. Так родилось понятие свойства Радона-Никодима для банаховых пространств. Большую работу в исследовании пространств с этим свойством провели за период 1965-75 гг. такие известные специалисты как Ж. Бургейн, Дж. Дистель, Дж. Ул, Г. Мэйнард, Р. Хуф, У. Дэйвис, Р. Фелпс, И. Намиока, Ч. Стигал, Б. Сааб, П. Сааб. В 1975 году автору удалось полностью ответить на поставленный выше вопрос после введения в рассмотрение понятия операторов типа ЯЫ (Радона-Никодима; независимо в то же время класс этих операторов рассмотрел и немецкий математик В. Линде). Свойства Радона-Никодима как для банаховых пространств, так и для операторов интенсивно исследовались и после 1975 г. и исследуются до сих пор с разных точек зрения (в этой области остались работать почти все перечисленные выше специалисты, и к ним присоединились молодые математики).

Весьма важен частный случаи операторов Радона-Никодима — случай взаимно однозначных операторов, переводящих замкнутые единичные шары в замкнутые множества. Этот случай приводит к понятию множества со свойством Радона-Никодима (ЛЛГ-множеств; это понятие было введено почти одновременно разными математиками, включая автора). Особенно интересна ситуация, когда рассматриваются *-слабо компактные ДЛГ-множества в сопряженных банаховых пространствах, и этот случай приводит к понятию "компактов типа RNV. Последнее понятие и различные его обобщения интенсивно исследуются и сейчас все теми же Ч. Стигадом, й. Намиока, Е. Сааб, их учениками и др.

Исследования операторов Радона-Никодима," слабых" свойств Радона-Никодима, обобщенных версий множеств со свойством Радона-Никодима и др. продолжаются в настоящее время. Вот далеко не полный список известных специалистов, работающих в этой области функционального анализа: Ч. Стигал, Дж. Дистель, И. Намиока, У. Рюс, Б. Каскалес, Г. Вера, Е. Сааб.

Два описанных направления функционального анализа тесно связаны между собой следующим образом. С одной стороны, не строго говоря, операторы типа RN (или сопряженные к ним) —• это I — ЛГ-мультипликаторы, или, что в данном случае то же, операторы, после умножения на которые интегральные по Пичу операторы превращаются в операторы, аппроксимируемые конечномерными по интегральной норме. С другой стороны, операторы типа ДА', опять таки грубо говоря, — мультипликаторы из пространства операторов со свойством аппроксимации в пространство операторов с ограниченным свойством аппроксимации.

Автор построил теорию операторов типа ДА' и связал ее с различными аппрок-

симационными условиями как для банаховых пространств, так и для операторов в них. В диссертационной работе приводится замкнутая основная часть этой теории и затем изучаются различные аппроксимационные свойства банаховых пространств или операторов. В частности, основные результаты теории применяются и для получению теорем, в которых даются достаточные условия для справедливости импликаций типа * АР влечет ВАР'". В то же время показывается, что большинство из получаемых условий в определенном смысле точны. При этом в основном используется техника, развитая именно автором. Основные идеи доказательств новы на момент опубликования результатов и весьма оригинальны. Следует отметить тот факт, что некоторые из результатов автора значительно позже после него были передоказаны такими известными математиками, как Р. Буржен (И. Воигрп), X. Ярхов, П. Касаза, У. Б. Джонсон, К. Гарсиа. Некоторые из своих результатов автор независимо получил одновременно с Л- Шварцем, В. Линде, Ф. Оэртелем. Автор ответил на большое число вопросов, поставленных такими известными специалистами как. А. Гротендик, Ч. Сварц, А. Пич, А. Пелчинский, П. Сафар, Ю. А. Брудный, А. Дефант и Ф. Флорет.

Актуальность темы

Принимая во внимание все сказанное выше, можно сделать заключение, что исследование операторов и пространств со свойством Радона-Никодима и их обобщений, связей их с алпроксимационными условиями для банаховых пространств и операторов, как и самих этих условий представляет значительный интерес как для теории операторных идеалов Пича, так и для теории банаховых тензорных произведений Дефанта-Флорета, а также в приложениях этих теорий к геометрической теории операторов в банаховых пространствах.

Поэтому тема диссертации является актуальной, а решение поставленных в ней задач будет безусловно интересным для специалистов в области геометрической теории операторов в нормированных пространствах, в теории нормированных тензорных произведений, в теории аппроксимации в нормированных операторных идеалов, а также в соответствующих приложениях.

Цель работы

Основной целью работы является исследование возможностей аппроксимации линейных операторов, действующих между банаховыми пространствами, а также между банаховыми пространствами и банаховыми решетками, конечномерными отображениями в тех или иных топологиях; изучение как геометрических, так и аналитических свойств операторов Радона-Никодима с целью применения их основных свойств в этом исследовании. В диссертации решаются следующие задачи.

1. Дальнейшее исследование различных свойств, как геометрических, так и аналитических, операторов Радона-Никодима (введенных и рассмотренных ранее автором и, независимо, немецким математиком В.Линде). Применение этого исследования в геометрической теории операторов и, особенно, при аппроксимации в различных топологиях непрерывных операторов конечномерными.

2. Рассмотрение новых аппроксимационных свойств порядка р,р > 0, обобщающих свойства аппроксимации А.Гротендика и П.Сафара. Всестороннее изучение этих свойств.

3. Рассмотрение свойств аппроксимации и ограниченной аппроксимации банахова пространства относительно произвольного замкнутого идеала операторов. Характеризация пространств, обладающих этими свойствами. Сравнение этих свойств между собой в свете результатов П.Энфло, Т.Фигеяя и У.Джонсона о несовпадении обычных свойств аппроксимации и ограниченной аппроксимации А.Гротендика. Построение примера пространства со свойством аппроксимации А.Гротендика, не обладающего свойством компактной ограниченной аппроксимации.

4. Получение ответов на ряд вопросов французского математика П.Сафара, немецкого математика А.Пича, польского математика А.Пелчинского, - вопросов, связанных с упомянутыми свойствами аппроксимации порядка р, среди которых проблема существования не р-ядерного оператора с р-ядерным вторым сопряженным. Получение соответствующих результатов для дуально р-ядерных операторов. Доказательство неравносильности свойств аппроксимации и ограниченной аппроксимации порядка р > 1,р ф 1.

5. Получение ответа на вопрос французского математика А.Гротендика об эквивалентности свойств аппроксимации и ограниченной аппроксимации для слабо компактных операторов.

6. Построение контрпримеров к некоторым утверждениям, опубликованным А.Гротендиком в 1955 г.

7. Решение проблемы о факторизации операторов через пространства 1Р, второй сопряженный к которым факторизуется через 1Т, для случаев р = 1 и р = оо.

8. Развитие новой техники, позволяющей получать примеры, подобные упомянутым в пп. 4 и 7, для банаховых пространств с базисами Шаудера.

Основные результаты, выносимые на защиту

Введение в рассмотрение и исследование аналитических и геометрических свойств операторов типа RN. Изучение различных аппроксимационных свойств как банаховых пространств, так и операторов в них.

а) Даны геометрические характеристики операторов типа RN в терминах заостренности (dentability) множеств. Показало, что замкнутое выпуклое ограниченное множество в банаховом пространстве является наследственно заостренным тогда и только тогда, когда оно является наследственно /-заостренным.

б) Операторы типа RN из X в Y охарактеризованы как естественные мультипликаторы из пространств суммирующих по Левину отображений S{E,X) в пространства So{E,Y), состоящее из операторов, которые аппроксимируются конечномерными по норме в S(E, Y) (Е — банахова решетка, для которой Е* — минимального типа). Операторы, сопряженные к которым принадлежат классу RN, охарактеризованы как те операторы Т : X Y, суперпозиция с которыми каждого правильного по Левину оператора U 6 Р(У, Е) приближается конечномерными в пространстве Р(Х, Е) (здесь Е ■— банахова решетка минимального типа).

в) Операторы типа RN описаны как мультипликаторы в пространствах р-интегральных отображений. Именно, установлено, что если Т — оператор типа 1Ш, то его произведение вида Т17 с любым "дуально" р- интегральным по Пичу оператором II £ V является "дуально" р-ядсрным: Т17 6 если Т' — оператор типа 1Ш, то его произведение вида 11Т с любым р-интегральным по Пичу оператором V £ 1Р является р-ядерным: 1/Т 6 ЛГр. Доказано, что Т £ 1Ш(Х, У) тогда и только тогда, когда для всякого банахова пространства 2 и любого интегрального по Пичу оператора и 6 1(2,X) оператор Т11 является ядерным, а также, что X* 6 1Ш(К*,.Х*) тогда и только тогда, когда для всякого банахова пространства 7, и любого интегрального по Пичу оператора V £ 1(К, 2) оператор 11Т является ядерным.

г) Использование части результатов из в) для доказательства обобщения одной теоремы Гротендика о совпадении свойств аппроксимации и метрической аппроксимации для рефлексивных пространств.

д) Построение контрпримера к гипотезе Гротендика об аппроксимации слабо компактных операторов.

е) Харахтеризации сопряженных операторов Радона-Никодима в терминах ра-доновских мер на сопряженных банаховых пространствах.

ж) Введение в рассмотрение и изучение свойств множеств типа RN.

з) Построен пример пространства со свойством аппроксимации, но без свойства компактной ограниченной аппроксимации.

и) Получены отрицательные ответы, в частности, на следующие вопросы А. Пелчинского, А. Пича, П. Сафара.

Каждый ли квааи-р-ядерный оператор лежит в замыкании конечномерных операторов по 7гр-норме?

Каждое ли банахово пространство обладает свойством АРр?

Если банахово пространство имеет свойство АРр, то имеет ли оно и свойство ВАРр?

Совпадают ли между собой классы операторов, р-интегральных по А. Пичу и по А. Гротендику?

Следует ли из р-ядерности второго сопряженного к некоторому оператору р-ядерность самого оператора?

к) Полностью исследовал вопрос о том, когда из р-ядерности второго сопряженного к некоторому оператору вытекает д-ядерность самого оператора.

л) Исследован вопрос о непрерывности некоторых шкал операторных идеалов, таких как идеалы абсолютно р-суммирующих, р-ядерных операторов. Дается решение соответствующих задач.

м) Все основные результаты из предыдущих пунктов о Лтр-операторах и соответствующих им аппроксимационных свойствах перенесены на случай дуально р-ядерных операторов и соответствующих свойств АР—ВАРрЦа1.

н) Дан полный ответ на вопрос А. Пича о регулярности идеалов дуально-р-ядерных операторов.

Научная новизна и практическая ценность. Публикации

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и сборниках и докладывались на крупных отечественных и зарубежных конференциях, школах, семинарах. Они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях геометрической теории операторов в банаховых пространствах. Результаты, лежащие в основе диссертации, были опубликованы в 1975-2002 годах в работах автора [1]-[33].

Автором впервые введено понятие операторов Радона-Никодима в банаховых пространствах и детально изучены их основные свойства, как геометрические, так и аналитические. Результаты в этом направлении применены для исследования возможностей приближения линейных непрерывных отображений конечномерными операторами как в топологии компактной сходимости, так и в других топологиях.

Впервые построены примеры пространств без свойств аппроксимации порядка р,рф 1,2, как и примеры пространств со свойством аппроксимации, но без свойств ограниченной аппроксимации порядка р.

Впервые построен пример банахова пространства со свойством аппроксимации, но без свойства ограниченной компактной аппроксимации.

Впервые приведены примеры р-интегральных по Гротендику, но не по Пичу операторов.

Дан ответ на гипотезу А. Гротендика об эквивалентности свойств аппроксимации и ограниченной аппроксимации для слабо компактных операторов.

Автору принадлежит постановка основных теоретических задач, определение метода решения и получение конкретных результатов. В диссертации представлена лишь принадлежащая автору часть результатов работ, выполненных в соавторстве.

Апробация результатов

Результаты диссертационного исследования докладывались на различных Школах по теории операторов в функциональных пространствах в 1978-1986 гг. (в частности, Новосибирск, Минск, Байкал, Рига, Челябинск); в разных университетах Швеции во время научной стажировки в 1982-1983 гг., в частности, в институте Миттаг-Леффлера (1983) и на Зимнем заседании Шведского математического общества 1983 года в г. Гетеборг; на Международной Конференции по проблемам чистой и прикладной математики в г. Таллинн (Эстония, 1995) и других Школах, семинарах, конференциях.

В частности, за последние 3 года О.И. Рейнов выступил по теме диссертационной работы с докладами: на ведущих семинарах в университетах городов Уп-псала, Стокгольм и Линчепинг (Швеция. Май 2000); на Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40-летию механико-математического факультета КГУ (1-3.10.2000); на семинаре МИ РАН/МГУ (руководители- чл/корр РАН Кашин Б.С. и проф. МГУ Конягин C.B.; 14.12.2000); на Зимней Школе по теории функций, Воронеж (организована ВГУ и МГУ. январь-

февраль 2001): на семинаре МИ РАН/МГУ (руководители - и чл/корр РАН Ульянов П.Л. чл/корр РАН Кашин B.C.; 23.02.01); на 11-й Саратовской зимней школе " Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К.Бари и Д.Е.Меньшова 28 января - 4 февраля 2002 г.); на X международной конференции "Математика, экономика, образование", II международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения" (27 мая- 2 июня 2002 г.); на 4-х научных семинарах под руководством проф. С. Кайзера в Уппсальском университете (Швеция) в периоды: октябрь-декабрь 2001 (2 семинара), 7 сентября - 22 сентября 2002 г. (2 семинара); на семинаре МИ РАН/МГУ (руководители - чл/корр РАН Кашин B.C. и проф. МГУ Конягин C.B., 31.10.02); на семинаре МГУ (руководители - проф. МГУ Шкаликов A.A. и проф. МГУ Ко-стюченко А.Г., 1.11.02); на семинаре МИ РАН/МГУ (руководители - чл/корр РАН Ульянов П.Л. и чл/корр РАН Кашин B.C., 15.11.02).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 282 страницы. Список литературы содержит 167 наименований.

Содержание диссертации по главам и параграфам.

Глава 0. Предварительные сведения и обозначения.

§1. Общие сведения.

§2. Векторные решетки, пространства измеримых функций, меры

1. Векторные решетки и пространства измеримых функций

2. Банаховозначные объекты

3. Меры Радона и универсальная измеримость

§3. Операторные идеалы и тензорные произведения

1. Операторные идеалы

2. Примеры операторных идеалов

3. Тензорные произведения

4. След

5. Примеры тензорных произведений

6. Аппроксимационные свойства

§4. Калейдоскоп: некоторые отдельные определения и факты

1. Компактные и слабо компактные отображения

2. Принцип локальной рефлексивности

3. Расстояние Банаха-Мазура

4. Дополняемость. Тип и котип

5. Декартовы fp-суммы

6. Свойство Шура

7. Абстрактные ¿^-пространства

8. £р-пространства

9. Два результата И. Линденштраусса

Глава I. Операторы Радона-Никодима: их геометрия и аналитические свойства

§1. Геометрические свойства операторов Радона-Никодима

§2. Операторы, действующие между банаховыми пространствами и векторными решетками

1. Аппроксимация конечномерными операторами: случай идеальных пространств измеримых функций

2. Аппроксимация конечномерными операторами: случай абстрактных банаховых решеток

§3. Операторы, действующие из С\-пространств

1. Пространство 1Ш(1г1,-ДГ).

2. О факторизации операторов, действующих из С\-пространств

3. Применения к операторам со значениями в ¿^-пространствах

§4. Операторы Радона-Никодима, условно слабо компактные операторы и мультипликаторы

1. Операторы Радона-Никодима как 1Р-КР мультипликаторы

2. Условно слабо компактные операторы (общие факты)

3. О композициях операторов с р-интегральными отображениями

4. Дальнейшие свойства условно слабо компактных операторов, связанные с 1р-Мр мультипликаторами

5. Еще несколько (контр)примеров

§5. Применение к аппроксимации операторов конечномерными в топологии компактной сходимости

1. Операторы типа 1Ш и аппроксимация линейных непрерывных отображений конечномерными: первые связи

2. Контрпример к гипотезе А. Гротендика

3. Дополняемые операторы, операторы 1Ш и операторы с аппроксимационными свойствами

§6. Операторы ШЧ и меры в сопряженных банаховых пространствах

1. Центральные результаты

2. Первые применения; немного об ШЧ-множествах

§7. ЯЛТ-множества в сопряженных пространствах

§8. Об универсальной измеримости с применением к теории 1Ш-множеств

1. Характеризация универсально измеримых отображений

2. Применения

§9. Функции I класса Вэра и их применения к аппроксимации операторов конечномерными

1. Вэровские функции I класса со значениями в метрических пространствах

2. Универсальная измеримость квазибэровских функций

3. Доказательство основных теорем

4. Применения

Глава II. Аппроксимация

§1. Простое доказательство двух теорем А. Гротендика о 2/3

§2. Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации?

1. Аппроксимация операторами из замкнутых идеалов: свойства аппроксимации А-МАР(1)

2. АР не влечет ВАР(1).

3. Доказательства теорем 2.2.1-2.2.4

4. Другой подход: насколько хорошими могут быть операторы без свойства С-МАР(Л)?

§3. Пространства без свойства аппроксимации порядка р : случай р ^ 1

1. Пример пространства без свойства аппроксимации с достаточно хорошими конечномерными подпространствами

2. Свойства аппроксимации АР, при 0 < р < 1 и дальнейшие примеры §4. Дальнейшие вариации на конечномерную тему: случай р = 1

§5. Вокруг одного вопроса Ю. А. Брудного

§6. Аппроксимационные свойства АРр, 0 < р ^ +оо, и С-МАРр, 1 ^ р < ^ +оо.

1. Некоторые общие утверждения о свойствах АРр

2. Немного о свойствах С-МАРр (С-метрической аппроксимации порядка р) : когда АРр влечет С-МАРр?

3. Пример: пространство Харди Н°°

4. Топологический аспект

§7. Пространства без свойств АРр, 1 ^ р ^ +оо

1. Существование пространств без свойств АРр, 1 ^ р ^ +оо.

2. Основная теорема. Неравносильность свойств С-МАР при разных С ^ 1.

3. Применения основной теоремы. Нерегулярность идеалов N7, : случай незамкнутости Мр в Ир08.

§8. Исчезновение тензорных элементов в шкале р-ядерных операторов

1. Где исчезают тензорные элементы?

2. Где исчезают р-ядерные операторы?

3. Плохие квази-д-ядерные операторы.

§9 Непрерывность шкал некоторых операторных идеалов

1. Общая постановка задач

2. Непрерывность жр- и 1/р-норм

3. Некоторые следствия

4. (Контр)пример

§10. Свойства АР, < 1,и нерегулярность идеалов Мр : случай замкнутости ^ в

§11. Операторы Радона-Никодима и аппроксимационные свойства АРр"1' §12. Неизоморфные инъективные вложения X) в (Кр)гев(К, §13. Изометрические несюръективные вложения №(Х,У) в (К',)гев(Х, К) §14. Два применения: полунепрерывность операторных норм и достижимость тензорных норм

1. Одно применение в теории операторных идеалов

2. Одно применение в теории тензорных произведений

2. Содержание работы

Во введении описана тема диссертации, очерчены основные используемые понятия и методы, а также приведена общая характеристика работы с описанием ее структуры по главам и параграфам.

В главе 0 даны предварительные сведения, обозначения, определения.

Глава I состоит из 9-ти параграфов и, в целом, посвящена изложению центральных результатов теории операторов (типа) RN (операторов Радона-Никодима). Ниже через Ь(Х, У) мы обозначаем банахово пространство всех (линейных непрерывных) операторов из банахова пространства X в банахово пространство Y.

В §1 приводится основное определение — определение оператора типа RN, и после этого мы сразу приступаем к рассмотрению геометрических характеристик таких операторов. Оператор Т : X —» Y в банаховых пространствах называется оператором типа RN (оператором Радона-Никодима), если он всякую X-значкую меру m ограниченной вариации переводит в Y-значную меру, имеющую производную относительно вариации меры m (если Т = idr — тождественный оператор в X, то говорят о "свойстве Радона-Никодима" для пространства X). Класс RN операторов типа RN является банаховым операторным идеалом в смысле Пича. В §1 —■ две основные теоремы. Теорема 1.1 предоставляет нам общую характери-зацию операторов в терминах заостренности (dentability) множеств в банаховых пространствах, а в теореме 1.2 мы, по-существу, имеем дело с частным (но, пожалуй, одним из самых важных) случаем операторов, — со случаем, когда операторы взаимно-однозначны и переводят (замкнутые) единичные шары в замкнутые же множества. Связь результата теоремы 1.2 с операторами Радона-Никодима указывается в следствии 1.3. В конце параграфа приводится также (как следствие геометрических рассмотрений) пример одного большого и важного класса операторов RN — это идеал всех слабо компактных отображений.

В параграфе 2 мы начинаем изложение "аналитической части" теории операторов RN. Параграф разделен на две части. В первой операторы RN изучаются с точки зрения аналитических представлений отображений, действующих между банаховыми пространствами и пространствами измеримых функций, во второй — с точки зрения аппроксимации конечномерными аналогичных отображений, но для случая абстрактных банаховых решеток. Для формулировки основных результатов из §1, приведем некоторые определения.

В этой части изложения мы будем следовать терминологии монографии JI. В. Канторовича и Г. П. Акилова "Функциональный анализ" (М., "Наука", 1977). Здесь Lq{h) — пространство всех /«-измеримых функций для некоторой конечной положительной меры /1. Если Е — векторная решетка, то Р(X, Е) обозначает векторное пространство линейных отображений из X в Е, которые переводят единичный шар их X в порядково ограниченное подмножество из Е. Если Е — идеальное подпространство (ИП) в ¿o(/i), то мы определяем векторное пространство S(E,X) следующим образом: линейное отображение Т : Е X лежит в S(Е,Х) тогда и только тогда, когда существует функция е' 6 Е' (из дуального к Е пространства), такая, что ||Tz|| ^ f \е\е' dfi для всех е £ Е. Через Sq(E, X) обозначается векторное подпространство пространства S(Е,Х), состоящее из отображений Т, для кото-

рых существуют функции дт € Е'(Х) такие, что Те = f едт dp, для е € Е. Если Е — банахово идеальное подпространство (БИП) в Ь0(р), то пространства Р(Х,Е) и S(E, X) — банаховы, если снабдить их нормами

р(Т) = raf{||7||s I 7 € Е, \Тх\ < ||х||7 для всех х £ X} и, соответственно,

ЦТ) = inf{||e'||í;. I е' € Е', ||Тх|| < J \е\е'dp для всех е 6 £}.

Если Е — идеальное подпространство в Lq(ji), то Е(Х) обозначает векторное пространство всех ^-измеримых (по Бохнеру) функций / : íí -> X таких, что функция И/Их принадлежит Е. Если Е — банахова подрешетка в Lo(p), то Е(Х) является банаховым пространством с нормой ||/||£;(х) = II ll/llx ||е-

В п. 2.1 из §2 доказываются, в частности, следующие утверждения.

Следствие 2.1.2. Оператор Т £ L(X, Y) является оператором Радона-Никодима тогда и только тогда, когда для всякого (соответственно, для некоторого) пространства с мерой (соответственно, пространства с не чисто атомической мерой) (íl,£,¿i) и для всякого отображения U € L(Li(p),X) существует такая функция g € 1оо(м;К), что TUe = ¡fgdp,f £ IiM, « ||^U„(<.¡Y) ^ llrll ll^ll-

A если взять E = Lx(p), то получим

Следствие 2.1.3. Пусть (Ü,E,/x) —пространство с конечной положительной не чисто атомической мерой, Т 6 Ь(Х, Y.) Оператор Т есть оператор типа RN тогда и только тогда, когда для каждого отображения U € S(L00((l, р), X) существует такая функция g £ ¿i(íí, р\) что TUf = J fgdp для всех f £ Laa('[l,p).

Дуальный вариант теоремы 2.1.2 дается теоремой 2.1.5, частный случай которой представляет

Следствие 2.1.5.Пусть Е — недискретное ВИП минимального типа и Т £ L(X, Y) Следующие утверждения эквивалентны:

1)Г* eRN(y*,X*);

2) для каждого оператора U £ Р(К, Е) существует такая функция g £ Е(Х*), что UTx = (х,~д) для всех х £ Х\

3) для каждого оператора U £ Р(Y, Е) оператор UT приближается конечномерными операторами в пространстве Р(Х,Е).

В §1 имеется еще ряд утверждений, из которых, видимо, следует отметить теоремы 2.1.4 и 2.1.4', в которых операторы RN характеризуются как, грубо говоря, мультипликаторы из пространств векторнозначных скалярно измеримых функций в пространства сильно измеримых (т. е. измеримых по Бохнеру) функций.

В случае тождественного отображения Т = idx многие из этих результатов были получены Бухваловым А. В.

Во втором разделе параграфа 2 полученные результаты переносятся на случай абстрактных векторных решеток. Здесь мы характеризуем операторы типа RN как естественные мультипликаторы из пространств суммирующих по Левину

отображений S(E, X) в пространства Sq(E, Y), состоящее из операторов, которые аппроксимируются конечномерными по норме в S(Е, Y) (теорема 2.2.2). Операторы, сопряженные к которым принадлежат классу RN, охарактеризованы как те операторы Т : X —> Y, суперпозиция с которыми каждого правильного по Левину оператора U G Р(У, Е) приближается конечномерными в пространстве Р(Х, Е) (теорема 2.2.3). В разделе 2.2 параграфа приведены также некоторые приложения указанных результатов.

§3 посвящен описанию пространств RN(ij(//),X), RN(L, X) для С\-пространств L (в смысле Линденштраусса-Пелчинского) и приложениям полученных до этого места результатов к исследованию свойств операторов, принимающих свои значения в £ ос (^)-пространствах. Доказывается, в частности, что операторы из RN(Li(/i),X) — это в точности операторы, допускающие интегральные представления с сильно измеримыми ядрами (теорема 3.1.1).

§4 начинается с п. 4.1, и результаты этого раздела главы I представляют собой первый, начиная со второго параграфа, кульминационный момент, весьма важный для всего дальнейшего, включая материал второй главы. Здесь мы доказываем, что, во-первых, операторы, сопряженные к которым принадлежат RN, являются правыми Ip-Np-мультипликаторами для всех р € [l.oo); во-вторых, что операторы типа RN характеризуются как левые Ii —iV]-мультипликаторы. И, в-третьих, сопряженные операторы Т* : Y' —> X* типа RN есть в точности те операторы из X в Y, для которых произведения UT являются ядерными операторами при всех 1-интегральных отображениях U, действующих из К Для более точной формулировки нам нужны некоторые определения. Поскольку эти и близкие к ним определения будут использоваться и ниже, приведем несколько больше, чем это необходимо на настоящий момент. Через тг/ обозначается каноническое изометрическое вложение банахова пространства Z в его второе сопряженное.

Для р 6 [1, оо] оператор Т называется р-ядерным, если его можно представить в следующем виде:

оо

(2.1) Tx = Yl{x'k^)yk ДляхеХ,

*=i

где последовательности (^JJ^Lj С X* и (yn)£Li С Y таковы, что конечна величина

ир :=ар(х'п)ер1(у„);

где ар(х'п) := ||х,|р>) и еч(уп) := sup,,^,^! |{у„ г/')|») (при p,q = оо необходима естественная модификация). Соответствующая норма (inf vp) обозначается через vp(T). Для 0 < р ^ 1 оператор Тр-ядерен, если он допускает представление вида (2.1), в котором ир := (£(Пгп11 Hï/nj|)Р)1 /'*> < оо; соответствующая квазинорма (inf ир) обозначается также через vp(T). При р = 1 принято употреблять термин "ядерный" и обозначать Nj и fj также через N и v соответственно.

Для любого р > 0 оператор Т является р-ядерным тогда и только тогда, когда он факторизуется следующим образом:

X —с0 —1Р —Y,

где А, В — непрерывные, а А — диагональный операторы.

Для р е [1, оо] оператор Т : X У называется (строго) р-интегралъным (р-интегральным по Пичу), если он допускает факторизацию вида

X С {К) —Lt{K,n) —Y,

где К — некоторый компакт, // — вероятностная мера Радона на нем, j — оператор "тождественного вложения" и А,В — непрерывные операторы. Норма в пространстве 1Р(Х, У) вводится следующим образом: ip{T) = inf ||А|| ||J9||. При p = 1 принято употреблять термин "интегральный" и обозначать Ii и i'i также через I и г соответственно.

Если Т £ L(X,Y) и ттуТ £ 1Р(Х,У**), то мы говорим, что оператор Т является р-интегральным по Гротендику: Т £ I®Г(Х, У); норма if'(T) индуцируется из У**). Для р = 1 применяем те же соглашения, что и выше.

Кратко напомним, что в 1955 г. А. Гротендик доказал, что произведение слабо компактного и строго интегрального операторов (в любом порядке) всегда является ядерным оператором. Аналогичный факт он установил для произведений вида UT, где оператор U строго интегральный, а Т задан на пространстве, сопряженное к которому сепарабельно, либо Т* — интегральный, а U принимает свои значения в сепарабельном сопряженном пространстве. А. Перссон в 1969 г. перенес часть этих утверждений на случай показателей интегральности и ядерно-сти операторов, больших чем единица. Дж. Дистель в 1972 г. обобщил результаты А. Гротендика о сепарабельных сопряженных пространствах на более общие случаи: с одной стороны, пространство X обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда всякий строго интегральный оператор со значениями в этом пространстве является ядерным; с другой стороны, если пространство X* обладает свойством Радона-Никодима, то любой строго интегральный оператор, заданный на У, является ядерным. Последнее утверждение в 1973 г. независимо получил Ч. Сварц, и он же поставил вопрос о справедливости обращения этого утверждения. Ответ был получен автором в 1975 г. В рамки единой схемы все эти результаты объединили следующие теоремы автора (1975).

Теорема 4.1.1. Пусть 1^р<ооиТе ЦХ,У). Если Т* — оператор типа RN, то для всякого банахова пространства Z и любого оператора U £ Ip(Y,Z) оператор UT принадлежит пространству NP(X, Z).

Теорема 4.1.2. Пусть Т G L(X, У). Следующие условия равносильны:

1)TeRN(X,y);

2) для всякого банахова пространства Z и любого оператора U £ I(Z,X) оператор TU является ядерным;

3) для некоторого пространства (П, S,^) с конечной положительной не чисто атомической мерой и всякого оператора U £ 1(Ьж(И,1х),Х) оператор UT является ядерным.

Теорема 4.1.3. Пусть Т £ L(X, У). Следующие условия равносильны:

1 )Т* ЕЮ^У*,*');

2) Эля всякого банахова пространства 2 и любого оператора II £ 1(У, Л?) оператор ИТ является ядерный;

3) для некоторого пространства (П,£,/х) с конечной положительной не чисто атомической мерой и всякого оператора II € 1(У, Ха(П,/х)) оператор С/Т является

, ядерным.

Последние две теоремы дают необходимые и достаточные условия для принадлежности оператора или его сопряженного классу 1Ш. В части необходимости теорема 4.1.1, конечно, сильнее, чем теорема 4.1.3. Можно ли отказаться от предположения "р ^ 1" в теореме 4.1.1, заменить его на условие р > 1 и получить, помимо необходимых, достаточные условия? Ответ отрицательный, и обсуждение проблем, связанных с подобного рода вопросами, происходит в остальных четырех разделах четвертого параграфа первой главы. В п. 4.2 вводится понятие условно слабо компактного оператора как оператора, переводящего ограниченные последовательности в условно слабо компактные последовательности (т. е такие, из которых можно выделить слабо фундаментальную подпоследовательность). Поводом к введению этого класса операторов послужила известная теорема X. Ро-зенталя. Этот операторный идеал неявно рассматривался тогда в математической литературе, но формально характерна ация и первые систематические результаты появились в работе автора 1978 г. В 1983 г. к методическому изучению условно слабо компактных ("слабо предкомпактных" в их терминологии) подключились Л. Риддл, Б. Сааб и Дж. Ул. Если оператор Т таков, что Т* £ 1Ш, то Т — условно слабо компактен. Обратное неверно даже для тождественного оператора (это очень сложные примеры, восходящие к Р. Джеймсу). В разделах 4.2 - 4.5 мы изучаем необходимые для дальнейшего свойства операторов из этого класса и приводим ряд простейших (с точки зрения их определения) операторов, которые являются правыми 1р-Кр-мультипликаторами для всех р £ (1, оо) (и, следовательно, по нашей лемме 4.4.1 условно слабо компактными), но сопряженные к которых не принадлежат идеалу ГШ.

В §5 мы покидаем аналитическую часть теории операторов ГШ и на время останавливаемся для того, чтобы применить полученные результаты в гротендиков-ской теории аппроксимации (или, по другому, в теории тензорных произведений А. Гротендика).

В 1955 г. А. Гротендик установил такой замечательный факт: рефлексивное банахово пространство обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда оно обладает свойством метрической аппроксимации. Приведем необходимые * для понимания дальнейшего определения общего характера. Пусть Т £ Ь(Х, У ).

1 Говорят, что оператор Т удовлетворяет условию аппроксимации (или обладает

свойством аппроксимации), если он может быть аппроксимирован равномерно на ь каждом компакте конечномерными операторами, т.е. если для любого е > 0 и

для каждого компакта К С X существует такой оператор Я £ Ти[Х,У) с конечномерным образом, что ||Дх — Тх\\ < £ для всех х £ К. Это определение формально не имеет авторства, но поскольку впервые операторы с подобными свойствами рассматривались А. Гротендиком, то следует, видимо, считать, что это — определение свойства аппроксимации для операторов по Гротендику. Далее, будем говорить, что оператор X обладает свойством С-метрической аппроксимации, где

С > 1, если в приведенном только что определении конечномерные операторы R всегда можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось неравенство ||Я|| < С. j

Свойство метрической аппроксимации — это свойство 1-метрической аппроксимации, а если Г удовлетворяет условию С-метрической аппроксимации для какого- j либо С, то говорят об условии ограниченной аппроксимации. В случае, когда " Т = idx, мы приходим к соответствующим понятиям для пространства X.

А. Гротендик сформулировал более общую теорему, чем та, о которой говорилось выше. Именно: ь (G) Пусть E,F,G — три банаховых пространства, и — линейное непрерывное отображение из Е в F, v — линейное непрерывное отображение из F в G. Предположим, что одно из двух отображений u,v слабо компактно, а другое есть равномерный на каждом компакте предел линейных непрерывных отображений конечного ранга. Тогда w = vu есть предел, равномерный на каждом компакте, отображений коечного ранга с нормами ^ ||w||. В п. 5.1 мы следующим образом обобщаем эту теорему (теорема 5.1.1; появляется некоторое дополнительное предположении о дополняемости одного из пространств в своем втором сопряженном; почему оно необходимо, будет пояснено несколько ниже).

(5.5.1) Пусть X,Y,Z — банаховы пространства, Т € L(X, У), U 6 L(Y,Z). Предположим, что существует непрерывный проектор Р : X** -* X и выполнено одно из следующих условий: 1) U в АР,Г 6 RN(X,y); 2) Т е АР,U* € RN(Z*,y*). Тогда UT 6 ||Р|| • ||£ЛГ||-МАР. Теорема (G) и тот результат А. Гротендика о рефлексивных пространствах, о котором говорилось выше, побудили его сделать предположение (мы формулируем его в нашей терминологии): если слабо компактный оператор U в банаховых пространствах обладает свойством аппроксимации, то он обладает и свойством ||17||-метрической аппроксимации.

В пункте 5.2 параграфа 5 мы приводим контрпример к этой гипотезе. Точнее, мы доказываем следующую теорему.

Теорема 5.2.1. Существуют банаховы пространства Е и F и компактный one- I

ратор U : Е F такие, что

(1) Е сепарабельно, также как и все его сопряженные;

(2) Е удовлетворяет условию аппроксимации;

(3) если d < оо, то кельзл аппроксимировать U, равномерно на каждом компакте из Е, операторами конечного ранга с нормами ^ d. щ

Таким образом, мы показываем, что сформулированное предположение не верно, '

так же как и неверны некоторые части теоремы 15 и ее следствий 1 и 2 в "Mémoires" А. Гротендика, Chapitre 1. 1

В разделе 5.3 мы вводим понятие оператора, дополняемого в своем втором сопряженном и приводим еще два "положительных" результата, связанных с рассматриваемой в параграфе проблематикой.

В §6 включена одна из основных теоремы теории операторов RN, характеризующая сопряженные операторы Радона-Никодима в терминах мер Радона на со-

пряженных пространствах. Это теорема 6.1.1, и ее основная часть формулируется так.

Пусть Т е У) и К — единичный шар пространства У*, снабженный топологией сг(У*,У). Т* 6 1Ш(К*, X*) тогда и только тогда, когда оператор Т*

переводит всякую вероятность Радона на А* в меру на Т'К, продолжаемую до ' меры Радона на пространстве X*.

В частности, если Т = мы получаем характернаацию сопряженных про-^ странств со свойством Радона-Никодима в терминах мер Радона.

В конце шестого параграфа вводится понятие ГШ-множества в сопряженном пространстве и на основе одной леммы (лемма 6.2.1) и предыдущих рассмотрений доказывается утверждение о характеризации операторов со значениями в пространствах 1/оо(р), сопряженные к которым (к операторам) являются операторами типа 1Ш.

В §7 более менее подробно рассматриваются свойства 1Ш-множеств из предыдущего параграфа, и здесь мы вновь возвращаемся к таким геометрическим понятиям, как заостренность, которые рассматривались в первом параграфе. Основная теорема 7.2 наделена, в частности, на применение в последнем, девятом параграфе главы.

Для того, чтобы дополнить характеристики 1Ш-множеств, приведенных в предыдущем параграфе, в §8 изучается на первый взгляд далекий от теории операторов вопрос (если не знать, о чем шла речь ранее). Именно, здесь устанавливается один результат, относящийся к чистой теории меры и измеримых функций на топологических пространствах. Дан, в частности, критерий универсальной измеримости функции, заданной на отделимом топологическом пространстве и принимающей значения в метрическом пространстве в терминах так называемых /¿-колебаний функции, где — мера Радона.

В §9 устанавливается векторнозначный аналог теоремы Бэра о функциях I класса и приводится ряд применений.

Результаты 5-го параграфа главы I представляют некоторый "слепок" с части результатов, получаемых во второй главе, и который соответствует случаю р = 1, если иметь ввиду, что в §1.5 рассматривался вопрос о внутренней структуре таких пространств как пространства ^(Х, К),1Р(Х, У) и 1®г, либо пространств, грубо говоря, дуальных к этим при р = 1. В главе II выходят на сцену как указанные пространства, так и соответствующие им, либо тесно связанные с ними * банаховы тензорные произведения. В то время как теория операторных идеа-

лов (1978; А.Пич) давно и прекрасно разработана, теория банаховых тензорных произведений (1993; А. Дефант - Ф. Флорет) в целом сравнительно молода, хотя и I берет свое начало несомненно с работ Шаттена (1950) и А. Гротендика (1955). Эти

две теории тесно связаны друг с другом, и одним из связующих их эвеном служат так называемые алпроксимационные свойства различного рода для банаховых пространств.

Для пары банаховых пространств X, У тензорное произведение X* ® У в контексте этих двух теорий естественно рассматривать (что мы и делаем) как пространство всех (линейных непрерывных) конечномерных операторов из X в У. На

тензорных произведениях указанного вида существуют слабейшая и сильнейшая "хорошие" тензорные нормы. Слабейшая — это норма, индуцированная из пространства Ь(Х, У) всех операторов, и ее принято называть инъективной. Сильнейшая — норма в некотором смысле двойственная к инъективной, и ее А. Гротендик назвал проективной. Приведем необходимые нам для дальнейшего определения некоторых банаховых тензорных произведений, среди которых появится и проективное произведение, соответствующее проективной норме. Заранее отметим, что можно (и нужно) рассматривать не только нормы на пространствах вида X* ® У, но так называемые " квазинормы", что мы тоже будем делать.

Конечная р-ядерная тензорная норма || • )), для р 6 [1, +оо] определяется на произведении X* 0 У следующим образом: если г £ X* ® У, то

/ ЛГ \ ( , N ч 1/р'

(1) ||*||, := Ы \\xWj ЦЕ I < > I'| -

где 1/р+1/р' = 1 и ¡пйтит берется по всевозможным представлениям тензорного элемента г в пространстве X* ® У в виде г = х'к ® уь (формально, формула (1) имеет смысл лишь при конечном показателе р > 1; в случаях р = 1 и р = +оо в этом определении нужно произвести соответствующие тривиальные изменения, на которых мы не останавливаемся).

Для 0 < р ^ 1 мы определяем р-проективную квазинорму || • ||р на произведении X* ® У так: если г £ X* ® У, то

/ N \ »/»

11*11,:= М (£(||411Ы1)^ ,

где тйтит берется по представлениям тензорного элемента г в виде г = х'к®

уь- Пополнение тензорного произведение X ® У по квазинорме || • ||р, 0 < р ^ оо, обозначается через Х®РУ. В случае, когда р £ [1,оо], пополнение тензорного произведения X* ® У по дуальной к || • ||р норме обозначается через Х*@РУ (у нас дуальная тензорная норма получается из исходной простой "переменой свойств" входящих в определение наборов векторов х'к и у к).

Имеются естественные отображения из Х*®РУ в ЦХ, У) (продолженные по непрерывности с множества конечномерных операторов X* ® У) и из Х*@РУ в Ь(Х, У). Операторные пространства У) — это в точности образы про-

странств Х*®РУ при первых отображениях с квазинормами, индуцированными факторотображениями X*®,У -4 У). Пространства, получаемые при рас-

смотрении вторых отображений аналогичным образом обозначаются через (X, У) (с соответствующей квазинормой), и операторы из ^(Х, У) мы называем " дуально-р-ядерными".

Свойства аппроксимации, рассмотренные выше, для банаховых пространств можно переформулировать в терминах проективных тензорных произведений А. Гротендика (случай р = 1). Мы приведем определения более общего характера,

среди которых появятся и гротендиковские аппроксимационные свойства, но сделаем это несколько ниже. Большинство результатов второй главы концентрируется тем или иным образом вокруг вопросов типа следующих двух.

1) Для каких X,У, для каких р каноническое отображение из X*®pY в NP(X, У) взаимно однозначно?

2) Для каких X, У, для каких р каноническое отображение из X*®PY в Y) является изоморфным (вложением)?

При р = 1 эти вопросы тесно связаны со знаменитыми проблемами аппроксимации и ограниченной аппроксимации А. Гротендика. Перейдем теперь к изложению материала главы II.

Мы начинаем §1 с того, что, в частности, приводим простое доказательство следующей весьма интересной теоремы А. Гротендика о 2/3. Если элемент z проективного тензорного произведения X®Y двух банаховых пространств таков, что г = J^Xj ® у,,х, 6 X, уj е У, XXIIх;II ||го1|)2/3 < оо, то: г = 0 тогда и только тогда, когда ассоциированный с г оператор г:У*-)Х нулевой.

Во втором параграфе строятся ряд примеров банаховых пространств со свойством аппроксимации, но без свойства ограниченной компактной аппроксимации. Для более подробных формулировок приведем некоторые определения, введенные автором в 1983 г. для тождественного, и в. 2002 г. для произвольного операторов.

Пусть J(Jf,y) — линейное подпространство в L(.Y, У), 1 ^ А ^ +оо.

Определение 2.4.1. Оператор X £ L(X,Y) обладает свойством A-MAP(J), (А-метрическоИ аппроксимации относительно J), если для всякого компакта К С X и любого е > 0 существует оператор R 6 У) такой, что ||Я|| ^ А и supA- ||ibr — Тг|| < е.

При А = оо получаем свойство AP(J); при А < оо получаем BAP(J). В случае, когда J — идеал К компактных операторов, говорят, в частности, о свойствах компактной аппроксимации и ограниченной компактной аппроксимации. Пространство X обладает соответствующим свойством аппроксимации, если этим свойством обладает тождественный оператор idx .

В пп. 2.1 - 2.3 рассматривается случай тождественного отображения. В 2.1 даны эквивалентные переформулировки соответствующих определений (в частности, в терминах тензорных произведений), с которыми удобнее работать в этом параграфе. В 2.2 формулируются четыре основных теоремы параграфа для рассматриваемого случая, и в 2.3 приводятся их доказательства.

В частности, в пп.2.1 - 2.3 устанавливается, что

1) существует банахово пространство со свойством аппроксимации Гротендика, не обладающее свойством ограниченной компактной аппроксимации (теорема 2.2.3) и

2) существует неядерный оператор, порождающий линейный непрерывный функционал на пространстве всех слабо компактных операторов (теорема 2.2.4).

Оба результата представляют собой обобщения известных теорем Фигеля-Джо-нсона, которые показали, что свойства АР и ВАР не равносильны, и что существует неядерный оператор с ядерным сопряженным (ядерность сопряженного

оператора гарантирует то, что сам оператор порождает линейный непрерывный функционал на соответствующем пространстве всех конечномерных операторов).

Утверждение 1) было получено автором в 1983 г. и через 13 лет передоказано американским математиком П. К ас аза и швейцарским математиком X. Ярхов в их совместной работе.

В п. 2.4 к тем же задачам мы подходим с другой стороны и, используя другие методы, получаем "конечномерные аналоги" утверждений 1) и 2).

§3 начинается с примера пространства без свойства аппроксимации с достаточно хорошими конечномерными подпространствами (п. 3.1). Пример, который мы строим, основан на конструкции Шанковского. Наш результат был опубликован автором в 1982 г. в работе. К этой важной и интересной проблеме существования достаточно хороших пространств без свойства аппроксимации обратились через 18 лет и такие известные специалисты, как П. Касаза, У. В. Джонсон и С. Л. Гарсиа. В их работе в 2000 г. (в которой получено, качественно и количественно, то же самое, что и у нас) был использован пример П. Энфло в изложении А. Дэйви. Так же как и у них, наше банахово пространство является асимптотически гильбертовым, но не обладает свойством аппроксимации А. Гротендика.

В п. 3.2 мы переходим к рассмотрению ситуации, когда р < 1 : можно ли теорему из предыдущего раздела перенести на случай свойств аппроксимации АРр? Приведем общее необходимое определение.

Пусть р 6 (0, оо]. Пространство X обладает свойством АРЛ {X £ АР,), если для любого У естественное отображение из У*®,Х в ЦУ,Х) взаимно однозначно.

При р = 1 это свойство аппроксимации Гротендика. Для случая р > 1 определение впервые было введено П. Сафаром 1972 г. При р 6 (0,1) свойства АРр впервые появились в работе автора в 1983 г. В 2001 г. пространства со свойством АРр для всех показателей р изучили А. Карн и Д. Синха. Они переформулировали определения для случая р < 1 в терминах понятия "р-компактности" и в этих терминах передоказали некоторые из результатов автора.

Теорема Гротендика о 2/3 утверждает, что всякое пространство обладает свойством АР2/з. Мы обобщаем в п. 3.2 эту теорему, например, на случай подпространств в и приводим серию теорем, показывающих, что наш результат точен. Некоторые из них:

Теорема 3.2.1. Пусть 0 ^ г ^ 1/2; с > 0 и банахово пространство X таково, что

(Аг) «в любое его конечномерное подпространство Е существует проектор из X с нормой < с(сБт Е)Т.

Тогда X € АР„ где з = (г + I)-1.

Теорема 3.2.3. Пусть р £ (2/3,1] и г = 1 /р— 1. Существует банахово пространство обладающее свойствами:

1) г $ АР„;

2) для всякого 5 > 0 существует такая константа с > 0, что если Е — конечномерное подпространство в то

Аг{Е) < с{&тЕ)г 1о82+г(с11т£).

В частности, для любого з < р 2 удовлетворяет условию (Аг(3)) и, следовательно, ^ € АР, V« < р.

Здесь Аг(Е) := шГ||Р||, где инфимум берется по всевозможным проекторам Р из 2 на Е.

В §4 нас интересует количественный аспект теоремы Фигеля-Джонсона о существовании не ядерного с р-ядерным сопряженным. Именно, нетрудно показать (это мы делаем в начале параграфа), что п-мерного оператора Т £ Ь(Х, У) имеет место следующее соотношение между его ядерной и интегральной (по Гротендику) нормами: если и(Т) = 1, то и(Т*) > г(Т) > 1/%/п. Теоремы 4.1 и 4.2 — центральные результаты параграфа. В них мы, в частности, показываем, что это соотношение между указанными нормами асимптотически точно даже для пространств со свойством ограниченной аппроксимации. Это — результаты 1996 г. Приведем одно из шести следствий теорем.

Следствие 4.3. Существуют сепарабельное банахово пространство X со свойством аппроксимации, постоянная С > 0, счетное семейство {£„} подпространств пространства X, <Ит£„ = п для п £ М, такие, что если Я £ Х*®Х и Я|е„ = ¡<1^ для некоторого фиксированного п, то ||Я|| > С\/п.

Это — экстремально плохое пространство, обладающее свойством аппроксимации (и, конечно, не обладающее свойством ограниченной аппроксимации). Действительно, хорошо известно, что на всякое п-мерное подпространство банахова пространства существует проектор с нормой, не большей чем у/п.

В §5 результаты предыдущего параграфа используются для ответа на один вопрос Ю. А. Брудного (берущий свое начало в теории интерполяции).

В §6 начинается исследование аппроксимационных свойств АРр с общей точки зрения для всех значений р > 0. Сначала (п. 6.1) приводятся различные эквивалентные переформулировки определения этих свойств для р ^ 1. Здесь, в частности, показывается (предложение 6.1.1), что в определении в случае, когда р > 1, можно ограничиться только рассмотрением рефлексивных пространств У. Кроме того, в той же теореме даются условия топологического характера, характеризующие как свойства аппроксимации порядка р, так и свойства ограниченной аппроксимации порядка р, определения которых приводятся несколько позже (в п. 6.2) по некоторым соображениям. Изучаются также соотношения между свойствами АРр и АР, при различных значениях параметров, или для некоторых частных случаев конкретных банаховых пространств.

В следующем разделе 6.2 вводятся в рассмотрения свойства С-метрической аппроксимации порядка р,р ^ 1 (для С = 1 понятие было рассмотрено впервые П. Сафаром, при р = 1 это соответствующие свойства Гротендика).

Определение 6.2.1. Пусть С > 1, р £ [1,+оо]. Пространство У обладает свойством С-МАРр, У € С-МАРр, если для любого X естественное отображение Х*фр У —у г (X, У) есть С-изометрическое вложение (в данном случае это означает, что существует непрерывное обратное с нормой не больше С). Наконец, У имеет свойство ВАРр (соответственно свойство МАРр), если оно обладает свойством С-МАРр для некоторого числа С > 1 (соответственно свойством 1-МАРр).

При р = 1 общеприняты аббревиатуры С-МАР, ВАР, МАР.

Конечно же для любого р £ [1, оо] имеет место импликация ВАРр => АРр. С другой стороны, Т. Фигель и У. Б. Джонсон показали, что включение У € АР1 не влечет за собой включение У £ ВАР1. Однако, если, например, существует проектор из У** на У с нормой, равной единице, и У — пространство со свойством ГШ, то У 6 АР1 <=> У £ МАР1 (следствие 5.1.1 главы I). Что можно сказать о случаях других значений параметра р?

Вопрос о справедливости импликации "АРр =>■ ВАРр" откладывается до следующего параграфа (там будет получен результат типа Фигеля-Джонсона). В п. 6.2 мы формулируем и доказываем некоторые аналоги следствия 5.1.1.

Предложение 6.2.1. Предположим, что банахово пространство У таково, что существует непрерывный проектор Р : У" —>■ У. Тогда для всякого р £ (1,+оо) из того,что У обладает свойством АРр вытекает условие У £ Ц-РЦ-МАРр. В частности, если пространство У сопряжено, то условия У £ АРр и У 6 МАРр эквивалентны между собой.

Предложение было установлено автором еще в 1985 г. В 1993 г. оно появилось в монографии, к сожалению, без ссылок. Вопрос о том, справедливо ли утверждение предложения в случае р = 1, открыт. Неясно также, что будет в случае р = +оо. Мы доказываем такой аналог следствия 5.1.1 в этой ситуации.

Предложение 6.2.2. Предположим, что банахово пространство У таково, что существует непрерывный проектор Р : У** У. Тогда если У* обладает свойством Радона-Никодима и У удовлетворяет условию АР,*,, то У 6 Ц-РЦ-МАРоо. В частности, если пространство У сопряжено, то условия У £ АР^ и У £ МАР«, эквивалентны между собой.

Т. Фигель и У. Б. Джонсон использовали свою конструкцию для построения неядерного оператора с ядерным сопряженным. Это указывает на возможную тесную связь между вопросом об эквивалентности свойств АРр и ВАРр и вопросом о существовании не р-ядерного оператора с сопряженным из идеала или, что то же, с вопросом о существовании не р-ядерного оператора с р-ядерным вторым сопряженным. Мы даем некоторые достаточные условия для ответа на последний вопрос в положительном направлении:

Предложение 6.2.3. Пусть X и У — такие банаховы пространства, что либо X*, либо У" обладает свойством аппроксимации Гротендика, и пусть р £ [1,+оо] и Г £ ЦХ,У). Если Т £ Г*Р(Х,У"), то Те П„(Х,У).

Аппроксимационные условия, накладываемые на рассматриваемые в предложении 6.2.3 пространства существенны и не могут быть заменены на аналогичные условия для пространств X, либо У** (следствие 10.3).

В п. 6.3 полученные результаты применяются для изучения алпроксимационных свойств банахова пространства Н°°. Неизвестно, обладает ли пространство Харди Н00 ограниченных аналитических функций в круге свойством аппроксимации. Однако, мы доказываем что для каждого рф 1 пространство Н°° обладает свойством аппроксимации АРр и, более того, что если р > 1, то и все его четные сопряженные имеют свойство 1-МАРр (теорема 6.3.1). Этот результат автора из его

совместной с Ж. Бургейном статьи в каком-то смысле был "рекордным" до 2000-го года. Дальнейшее продвижение в исследовании аппроксимационных свойств пространства Н00 произошло лишь в работе испанских математиков М. Д. Кон-трераса и С. Диас-Мадригала (2000). Они ввели в рассмотрение новое понятие — "равномерное свойство С-МАРр порядка р" — и доказали, что Н°° обладает этим свойством при р £ (1,оо).

В п. 6.4 изучается топологический аспект понятия аппроксимации порядка р. Вводится топология "р-компактной сходимости" на пространствах абсолютно р-суммирующих операторов, и в терминах приближений операторов в этой топологии даются различные характеристики пространств со свойствами АРр. В частности, в этом пункте дается ответ на соответствующий вопрос П. Сафара (охарактеризовать в топологических терминах типа гротендиковских пространства со свойствами АРР,р > 1).

В §7 мы отрицательно отвечаем, в частности, на следующие вопросы А. Педчин-ского, А. Пича, П. Сафара.

Каждый ли квази-р-ядерный оператор лежит в замыкании конечномерных операторов по яунорме?

Каждое ли банахово пространство обладает свойством АРр?

Если банахово пространство имеет свойство АРр, то имеет ли оно и свойство ВАРр?

Совпадают ли между собой классы операторов, р-интегральных по А. Пичу и по А. Гротендику?

Следует ли из включений Т £ ЦХ, У) и Т" £ ИР(Х**, У"), что Т £ У)?

В §8 сформулированные вопросы рассматриваются с более общей точки зрения, и мы дополняем результаты предыдущего параграфа дальнейшими утверждениями.

В п. 8.1 основная задача носит следующий характер. Рассмотрим два банаховых пространства Е и^и шкалу банаховых тензорных произведений {В'Ор^}. Рассмотрим также для р ^ д канонические отображения ]РЧ : Е*®рР —> Е*®ЯР и ]р : Е*®рР —> Ь(Е, Р). Предположим, что для некоторого р отображение ]р не является взаимно однозначным. В этом случае мы можем рассматривать пары отображений ]ч и :

Е*®рР ^ Е'®,Р А ЦЕ,Р)

и интересоваться, меняя переменную д от р до +оо, в каком месте шкалы произошло исчезновение ненулевого тензорного элемента г £ Е*®рР, для которого Зт(г) ~ 0 (т-е- при каких q ]м{г) = 0?).

Мы даем полное решение этой задачи.

В п. 8.2 аналогичные задачи ставятся для шкалы р-ядерных операторов. Точнее, изучается вопрос о том, когда из р-ядерности второго сопряженного к некоторому оператору вытекает д-ядерность самого оператора. Здесь также приводится полное решение соответствующей задачи, причем связь между показателями р и д оказывается в точности такой же как и в предыдущем пункте.

В п. 8.3 приводятся некоторые применения результатов предыдущих разделов к проблеме аппроксимации конечномерными операторов в топологии компактной сходимости.

Следующий девятый параграф посвящен исследованию вопроса о непрерывности некоторых шкал операторных идеалов, таких как идеалы абсолютно р-сум-мирующих, р-ядерных операторов. Как известно, банаховы идеалы абсолютно р-суммирующих операторов образуют возрастающую шкалу: ПГ(Х, У) С П,(Х, У), если 1 ^ г ^ з < оо. Соответствующие нормы возрастают: ттг(Т) ^ тг,{Т), когда Т € ПГ(Х, У). Мы доказываем, что 7гг(Т) зависит непрерывно от параметра г для каждого конечно-мерного оператора Т. Более того, Нт,_>г+о ?г3 (Т) = жГ(Т) при условии, что Т £ Па(Х, У) для всех а, з > г, и Нтд_>р_о 7Г, (Т) = пр (Т) , если Т 6 Пр_{ (X, У) для некоторого 8 > 0. Результаты о р-ядерных операторах более сложные, поскольку в них существенную роль играют различные алпроксимаци-онные свойства, зависящие от р.

В §10 вводятся в рассмотрения новые аппроксимационные свойства АР,100 и доказывается, в частности, что всякое банахово пространство обладает свойством АРг/з.оо • Рассматривается новый класс операторов N¿,00 и показывается, что всякий оператор, второй сопряженный к которому лежит в идеале N3/3,00, является ядерным. Эти два утверждения представляют собой обобщения двух результатов А. Гротендика "о 2/3". Доказывается точная теорема 10.4 о включения вида ЦХ,У)р)Мз100(Х,У**) С ^(Х,У). Одной из основных теорем параграфа является теорема 10.5, в которой устанавливается неулучшаемость многих получаемых положительных результатов, даже для случая пространств с базисами Шаудера. Приведем следствие из нее.

Следствие 10.3. Существует, пара сепарабельных банаховых пространств 2, IV со следующими свойствами. Пространства 2** и V/ имеют базисы (и, следовательно, обладают свойством аппроксимации), и для каждого р, 1 < р < 2, найдется не р-ядерный оператор из IV в 2 с р-ядерным вторым сопряженным.

Это утверждение представляет собой довольно удивительный факт. Оно в частности, показывает, что одно из утверждений А. Гротендика, приведенных им без подробного доказательства в его фундаментальной работе 1955 года, неверно. Впервые для случая р = 1 соответствующая теорема была получена автором в совместной работе с Еве Ойа в 1987 г., а в сформулированном виде — в статье автора в 2000 г.

В §11 мы возвращаемся к дополнительному исследованию свойств операторов Радона-Никодима, связанных с аппроксимацией конечномерными операторов, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками. Эти результаты применяются для исследования свойств аппроксимации АРр""1, ассоциированных с так называемыми дуально р-ядерными операторами. В этом параграфе, в частности, устанавливается аналог одной из основных теорем главы I, о которой говорилось выше. Именно, показывается, что произведение Т5 оператора Т типа ГШ и "дуально 9-интегрального" отображения является дуально р-ядерным оператором (следствие 11.1). Даются достаточные условия, при которых из р-ядерности сопряженного оператора вытекает дуальная р-ядерность самого

оператора (теорема 11.1; эти условия оказываются точными, что устанавливается затем в §13). В параграфе вводятся также в рассмотрение условия BAPpual, двойственные к условия аппроксимации ВАРр и даются достаточные условия для совпадения свойств APpual и ВАРр"1' для данных банаховых пространств (теорема 11.2). Эти условия также оказываются точными, что устанавливается в §13.

В параграфах 12—13 все те основные результаты из предыдущих разделов о Np-операторах и соответствующих им аппроксимационных свойствах переносятся на случай дуально р-ядерных операторов и соответствующих свойств АР-ВАРр"а|. В частности, вместе со следствием 7.3.4 следствие 12.14 дает: для р = 1,оо существует оператор, не факторизуемый ни через какое пространство Zp(/i), второй сопряженный к которому компактно факторизуется через пространство 1Р (более того, в случае р = 1 банахово пространство, в котором действует оператор, может быть взято так, что оно имеет базис; следствие 13.2). Для всех остальных значений параметра р соответствующая известная проблема, восходящая еще к Кваленю-Пелчинскому- Пичу-Пизье, вот уже более 25 лет остается открытой.

В следствии 13.3 мы даем полный ответ на вопрос А. Пича о регулярности идеалов Гч;р дуально-р-ядерных операторов: идеал конечномерных операторов вкладывается в каждый из идеалов (Nr)reg, 2/3 < г ф 2 ^ оо не плотно. Таким образом, ни один из идеалов Nr,2/3<r/2«CooHe только не является регулярным, но и идеал (Nr)reg не минимален.

Нерегулярность идеала Ni впервые установлена Фиг елем-Джонсоном в 1973 г. Нерегулярность идеала Nr при 1 ^ г / 2 оо была доказана автором в 1981-1982 гг. В работе автора 1983 г. этот факт был распространен на все идеалы Nr, 2/3 < г ф 2 ^ оо. В статье автора 2000 г. было показано, что все идеалы (Np)reg при 2/3<г<2не минимальны, и что конечномерные операторы не плотны в них. В том же году автором получена нерегулярность идеалов №", 1 ^ г ф 2 ^ оо. Тринадцатый параграф (и работа автора 2001 года) ставит точку в рассмотрении соответствующих вопросов в шкалах r-ядерных и дуально г-ядерных операторов.

Завершает главу II и всю работу §14. В этом параграфе даны два показательных применения полученных результатов в общей теории операторных идеалов А. Пича и в теории банаховых тензорных произведений Дефанта-Флорета.

С одной стороны, мы показываем (теорема 14.1.1), что никакая из норм ир или vv при р £ [1,оо], р ф 2, не является слабо полунепрерывной снизу (А. Пич установил этот факт для р = 1). С другой стороны, отвечаем на некоторые вопросы Дефанта-Флорета (1993), связанные с введенным ими понятием достижимости тензорных норм.

В основном материале работы четко указаны результаты из совместных статей, которые принадлежат автору.

3. Основные результаты

1. Операторы типа RN из X в У охарактеризованы как естественные мультипликаторы из пространств суммирующих по Левину отображений S(E,X) в пространства So(E,Y), состоящее из операторов, которые аппроксимируются конечномерными по норме в S(E,Y) (Е — банахова решетка, для которой Е* —

минимального типа). Операторы, сопряженные к которым принадлежат классу ШИ, охарактеризованы как те операторы Т : X —у У, суперпозиция с которыми каждого правильного по Левину оператора II £ Р(У, Е) приближается конечномерными в пространстве Р (Х,Е) (здесь Е — банахова решетка минимального типа).

2. Операторы типа ИМ описаны как мультипликаторы в пространствах р-инте-гральных отображений. Именно, установлено, что если Г'— оператор типа ГШ, то его произведение вида Т11 с любым "дуально" р-интегральным по Пичу оператором V £ 1Р является "дуально" р-ядерным: Т11 6 если Г* — оператор типа ИМ, то его произведение вида ЦТ с любым р-интегральным по Пичу оператором и £ 1Г является р-ядерным: 11Т 6 ЛГР. Доказано, что Т £ ГШ(Х, У) тогда и только тогда, когда для всякого банахова пространства 2 и любого интегрального по Пичу оператора V £ 1(2,X) оператор ТЦ является ядерным, а также, что Т" £ ГШ(У*,Х*) тогда и только тогда, когда для всякого банахова пространства 2 и любого интегрального по Пичу оператора I] £ 1(У, 2) оператор 1/Т является ядерным.

3. Пусть X, У, 2 —• банаховы пространства, Т : X —► У и Л : У —* 2 — линейные непрерывные операторы. Предположим, что существует непрерывный линейный проектор Р : X** —>• X и выполнено одно из следующих условий: 1) и равномерно на каждом компакте приближается конечномерными отображениями, Т — оператор типа ЯМ', 2) Т равномерно на каждом компакте приближается конечномерными отображениями, £7* — оператор типа ЯА^. Тогда 11Т есть равномерный на каждом компакте предел конечномерных отображений, норма которых не превосходит ||Р|| • ||£/Т||, Показано, что от предположения о существовании проектора отказаться нельзя.

4. Построен контрпример к одной из основных гипотез А. Гротендика о слабо компактных операторах. Именно, доказано, что существует слабо компактный оператор, обладающий свойством аппроксимации, но не обладающий свойством ограниченной аппроксимации.

5. Построен пример банахова пространства со свойством аппроксимации, не обладающего свойством ограниченной компактной аппроксимации.

6. Показано, что для з £ (2/3,1] из ¿-ядерности второго сопряженного Т** к некоторому оператору Т в произвольных банаховых пространствах всегда вытекает р-ядерность самого оператора Т тогда и только тогда, когда р ^ 2,ч/(2 — л). Для з £ [1,2] из з-ядерности второго сопряженного Т" к некоторому оператору Т в произвольных банаховых пространствах всегда вытекает р-ядерность самого оператора Т тогда и только тогда, когда р ^ 2. Существуют пространства X, У и оператор Т : X У, такие что Т** «-ядерный для любого 5 > 2, но X не является р-ядерным ни для какого р ^ ос.

7. Пусть X и У — такие банаховы пространства, что либо X*, либо У*** обладает свойством аппроксимации Гротендика, и пусть р £ [1,+оо] и Т : X У ■— линейный непрерывный оператор. Если Т" — р-ядерный, то и оператор Т является р-ядерным. Построены примеры, показывающие, что условия, наложенные на пространства X, У нельзя, вообще говоря, заменить на более слабое условие "либо X, либо У** обладает свойством аппроксимации".

8. Результаты из пп. 6-7 перенесены на случаи дуально р-ядерных операторов.

9. Показано, что если р G (2/3, оо], то идеалы Np и N* соответственно р-ядерных

и дуально р-ядерных операторов являются регулярными тогда и только тогда,

когда р = 2. Более того, установлено, что при р ф 2 идеал операторов конечного

ранга не плотен в регулярных оболочках идеалов JV.

Публикации по теме диссертации

1. Рейнов О.И., Операторы типа RN в банаховых пространствах, ДАН СССР 220 (1975), по. 3, 528-531.

2. Рейнов О.И., Геометрическая характеризация RN-операторов, Матем. заметки 22 (1977), вып. 2, 189-202.

Рейнов О.И., Операторы типа RN и аналитические представления лииевиьи операторов, В кн. Теория операторов в функциональных пространствах, Новоси-бирск:Наука, 1977, pp. 283-295.

4. Рейнов О.И., Операторы типа RN в банаховых пространствах, Сиб. матем. журн. 19 (1978), 4 857-865.

5. Рейнов О.И., О некоторых классах линейных непрерывных отображений, Матем. заметки 23 (1978), вып. 2, 285-286.

6. Рейнов О.И., О двух вопросах в теории линейных операторов, Применение функционального анализа в теории приближений, Калинин: КГУ, 1979, pp. 102114.

7. Рейнов О.И., Об одном классе универсально измеримых отображений, Матем. заметки 26 (1979), по. 6, 949-954.

8. Рейнов О. И., Об интегральных представлениях линейных операторов, действующих из пространства L\(il,Yi, Матем. заметки 27 (1980), №2 283290.

9. Рейнов О.И., О некоторых векторно-решеточных характеристиках операторов типа RN, Матем. заметки Т. 27 (1980), по. вып. 4, 607-620.

10. Рейнов О.И., О двух вопросах в теории линейных операторов. II., Применение функционального анализа в теории приближений, Калинин: КГУ, 1980, pp. 107— 119.

11. Reinov O.I., On some Banach ideals of operators, Studia Math. 69 (1980), no. 2, 125-133.

12. Рейнов О. И., Свойства аппроксимации порядка р и существование не р-ядерных операторов с р-ядерными вторыми сопряженными, ДАН СССР 256 (1981), no. No 1, 43-47.

13. Рейнов О.И., О банаховых пространствах без свойства аппроксимации, Функц. анализ и его приложен. 16 (1982), по. 4, 84-85.

14. Рейнов О.И., Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации?, Матем. заметки 33 (1983), вып. 6, 833-846.

15. Рейнов О.И., Простое доказательство двух теорем А. Гротендика, Вестн. ЛГУ 7 (1983), 115-116.

16. Рейнов О. И., Исчезновение тензорных элементов в шкале р-ядерных операторов, в кн. "Теория операторов и теория функции". Л.: ЛГУ (1983), 145-165.

17. Reinov O.I., Un сontre-exemple a une conjecture de A.Grothendieck, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie I 296 (1983), 597-599.

18. Reinov O.I., A survey of some results in connection with Grothendieck approximation property, Math. Nachr. 119 (1984), 257-264.

19. Рейнов О.И., Функции I класса Бэра со значениями в метрических пространствах и их применения, Записки научн. сем. ЛОМИ 135 (1984), 135-149.

20. Bourgain J., Reinov О.I., On the approximation properties for the space H°°, Math. Nachr. 122 (1985), 19-27.

21. Рейнов О.И., Аппроксимация операторов в банаховых пространствах, В кн. Применение функционального анализа в теории приближений, Калинин:КГУ, 1985, pp. 128-142.

22. Oja Е., Reinov O.I., Un contre-exemple d une affirmation de A. Grothendieck, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie I 305 (1987), 121-122.

23. Оя Э., Рейнов О., Контрпример А.Гротендику, Известия АН Эстонской ССР Т. 37 (1988), 14-17.

24. Reinov O.I., Sur les operateurs p-nucleaires entre espaces de Banach avec bases, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie I 316 (1993), 905-907.

25. Рейнов О.И., Аппроксимация операторов в топологии поточечной сходимости, Вестник СПбГУ. Сер.1б вып. 15 (1993), вып. 3 33-35.

26. Reinov Oleg, On non-nuclear operators with nuclear adjoints, Estonian Acad. Sci. Phis. Math. 45 (1996), no. 2/3, 226-233.

27. Рейнов О.И., О непрерывности шкал некоторых операторных идеалов, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 19: Нелинейные уравнения и математический анализ, Новосибирск: Научная книга, 1999, pp. 193-214.

28. Рейнов О. И., О факторизации операторов через пространства 1Р, Вестник СПбГУ. Сер.1 вып. 2 (2000), по. No 8, 27-32.

29. Рейнов О.И., Аппроксимационные свойства APS и р-ядерные операторы (случай 0 <з <1), Записки научн. сем. ПОМИ Т. 270 (2000), 277-291.

30. Рейнов О. И., О линейных операторах с р-ядерными сопряженными, Вестник СПбГУ. Сер.1 вып. 4 (2000), no. No 25, 24-27.

31. Рейнов О.И., Аппроксимационные свойства и некоторые классы операторов, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 23, Новосибирск: Научная книга, 2001, pp. 147-205.

32. Kaijser S., Reinov О., On a-nuclearity and total accessibility for some tensor norms a., Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica 5 (2001), 5964.

33. Рейнов О.И., Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации? II, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 24, Новосибирск: Научная книга, 2002, pp. 205-216.

I»

)

Подписано к печати 27.01.2003. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать ризография.

Печ. л 2,00. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано в типографии "Полиграфическое

предприятие №3" 191104, Санкт-Петербург, Литейный пр., 55

/ (

I

i'

S6£¿- g)

Введение

Глава О. Предварительные сведения и обозначения

§1. Общие сведения

§2. Векторные решетки-, пространства измеримых функций, меры

1. Векторные решетки и пространства измеримых функций.

2. Банаховозначные объекты

3. Меры Радона и универсальная измеримость

§3. Операторные идеалы и тензорные произведения.

1. Операторные идеалы.

2. Примеры операторных идеалов

3. Тензорные произведения

4. След

5. Примеры тензорных произведений.

6. Аппроксимационные свойства.

§4. Калейдоскоп: некоторые отдельные определения и факты

1. Компактные и слабо компактные отображения.

2. Принцип локальной рефлексивности

3. Расстояние Банаха-Мазура

4. Дополняемость. Тип и котип.

• 5. Декартовы /р-суммы

6. Свойство Шура

7. Абстрактные ¿^-пространства.

8. /^-пространства

9. Два результата И. Линденштраусса

Глава I. Операторы Радона—Никодима: их геометрия и аналитические свойства

§1. Геометрические свойства операторов Радона-Никодима

§2. Операторы, действующие между банаховыми пространствами и векторными решетками

1. Аппроксимация конечномерными операторами: случай идеальных пространств измеримых функций.

2. Аппроксимация конечномерными операторами: случай абстрактных банаховых решеток

§3. Операторы, действующие из С\-пространств

1. Пространство RN{Li,X).

2. О факторизации операторов, действующих из £i-пространств

3. Применения к операторам со значениями в Zoo-пространствах

§4. Операторы Ра, дона-Нико дима, условно слабо компактные операторы и Ip-Np мультипликаторы

1. Операторы Ра дона-Нико дима как Ip-Np мультипликаторы

2. Условно слабо компактные операторы (общие факты)

3. О композициях операторов с ¿»-интегральными отображениями.

4. Дальнейшие свойства условно слабо компактных операторов, связанные с Ip-Np мультипликаторами

0. Еще несколько (контр)примеров.

§5. Применение к аппроксимации операторов конечномерными в топологии компактной сходимости.

1. Операторы типа RN и аппроксимация линейных непрерывных отображений конечномерными: первые связи

2. Контрпример к гипотезе А. Гротендика.

3. Дополняемые операторы, операторы RX и операторы с аппроксимационными свойствами

§6. Операторы RN и меры в сопряженных банаховых пространствах.

1. Центральные результаты

2. Первые применения; немного об RN-множествах.

§7. i? Л-множества в сопряженных пространствах

§8. Об универсальной измеримости с применением к теории RN-mhoжеств

1. Характеризация универсально измеримых отображений

2. Применения

§9. Функции I класса Бэра, и их применения к аппроксимации операторов конечномерными

1. Бэровские функции I класса со значениями в метрических пространствах

2. Универсальная измеримость квазибэровских функций

•3, Доказательство основных теорем

4. Применения

Глава II. Аппроксимация

§1. Простое доказательство двух теорем А. Гротендикао 2/

§2. Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации?

1. Аппроксимация операторами из замкнутых идеалов: свойства аппроксимации Л-МАР(1).

2. АР не влечет ВАР(1).

3. Доказательства теорем 2.2.1- 2.2.

4. Другой подход: насколько хорошими могут быть операторы без свойства C-MAP(J)?

§3. Пространства без свойства аппроксимации порядка р : случай р ^

1. Пример пространства без свойства аппроксимации с достаточно хорошими конечномерными подпространствами.

2. Свойства аппроксимации APS при 0 < р < 1 и дальнейшие примеры.

§4. Дальнейшие вариации на конечномерную тему: случай р = 1 .'.

§5. Вокруг одного вопроса Ю. А. Брудного

§6. Аппроксимационные свойстваАРр, 0 < р ^ +оо, и С-МАРр, 1 ^ р ^ -Ъоо.

1. Некоторые общие утверждения о свойствах АРр

2. Немного о свойствах С-МАРр ( С-метрической аппроксимации порядка р) : когда АРр влечет С-МАРр?

3. Пример: пространство Харди H

4. Топологический аспект

§7. Пространства без свойств АРр> 1 ^ р ^ +оо

1. Существование пространств без свойств АРр, l^p^-j-oc.

2. Основная теорема. Неравносильность свойств С-МАР при разных

С ^ 1.

3. Применения основной теоремы. Нерегулярность идеалов Np : случай незамкнутости Np в Npes.

§8. Исчезновение тензорных элементов в шкале р-ядерных операторов.

1. Где исчезают тензорные элементы?

2. Где исчезают р-ядерные операторы?

3. Плохие квази-q-ядерные операторы.

§9 Непрерывность шкал некоторых операторных идеалов

1. Общая постановка задач.

2. Непрерывность itp- и iy-норм.

3. Некоторые следствия

4. (Контр)пример

• §10. Свойства АРл ос, з < 1,и нерегулярность идеалов : случай замкнутости в к"®

§11. Операторы Радона-Никодима и аппроксимационные свойства АР^иа|

§12. Неизоморфные инъективные вложения ТЯР(У,Х) в (Мр)ге*(У,Х)

§13. Изометрические несюръективные вложения Г) в (1\*р)ге8(Х К) •

§14. Два применения: полунепрерывность операторных норм и достижимость тензорных норм

1. Одно применение в теории операторных идеалов

2. Одно применение в теории тензорных произведений.

В 1940 году Данфорд, Петтис и Филлипс ([74], [122]) заметили, что сепарабель-ные сопряженные банаховы пространства и слабо компактные операторы обладают примечательным свойством: всякий оператор из Ь\{ц) в сепарабелыгое сопряженное пространство и всякий слабо компактный оператор из ¿1 (р) допускают интегральные представления с измеримыми по Бохнеру функциями. Это свойство, по-видимому, впервые выделило в теории интегральных представлений линейных операторов сепарабельные сопряженные пространства и рефлексивные пространства из класса всех банаховых пространств и класс слабо компактных отображений — из класса всех операторов в банаховых пространствах.

В 1955 году появилась фундаментальная работа А. Гротендика [80], в которой среди огромного множества общих результатов содержались утверждения, значительно обобщающие теоремы Данфорда, Петтиса и Филлипса и показывающие, что сепарабельные сопряженные пространства, рефлексивные пространства и слабо компактные операторы кроме свойств, указанных этими математиками, обладают также и множеством других замечательных свойств. В частности, А. Гротендик ввел понятия интегральных и ядерных отображений в общих локально выпуклых пространствах и показал, что если А", У — банаховы пространства, то пространства интегральных и ядерных из А в У совпадают по крайней мере в каждом из следующих случаев: 1)одно из пространств рефлексивно, 2) сопряженное к А' пространство сепарабельно, 3)У сепарабельно и сопряжено к некоторому банахову пространству. С другой стороны, оказалось, что слабо компактные отображения обладают аналогичными свойствами, а именно, произведение слабо компактного оператора с интегральным отображением является ядерным оператором. Однако, эти результаты, как и большая часть работы [80], оставались незамеченными в течение более чем десяти лет (главным образом, вследствие очень большой общности и трудности работы [80]).

В середине 1960-х годов появление монографии Н. Динкулеану [73] возбудило интерес к изучению свойств векторнозначных мер и, особенно, к исследованию интересной проблемы в теории мер со значениями в банаховых пространствах, а именно, вопроса о том, для каких векторнозначных мер справедлив аналог теоремы Радона-Никодима и, в частности, какие банаховы пространства обладают тем свойством, что всякая мера ограниченной вариации со значениями в этом пространстве и абсолютно непрерывная по некоторой скалярной мере ц имеет производную по ц (в дальнейшем о таких пространствах стали говорить, что они обладают свойством Радона-Никодима). В то же время, появление ряда работ А. Пича во второй половине 1960-х годов дало толчок к исследованию различных классов операторов в банаховых пространствах, — здесь одним из интересных вопросов был вопрос о совпадении некоторых (вообще говоря, различных) пространств операторов.

Эти две проблемы поначалу исследовались независимо друг от друга. Однако, довольно быстро выяснилось, что они имеют интересную общую точку пересечения, — и этой общей точкой оказались как раз сепарабельные сопряженные пространства и рефлексивные пространства. С одной стороны, по-существу еще Данфордом, Петтисом и Филлипсом было показало, что все эти пространства обладают свойством Радона-Никодима. С другой стороны, после введения двух новых классов операторов в банаховых пространствах — р-интегральных и р-ядерных отображений — А. Перссоном [120] было установлено, что всякий р-интегральный оператор, действующий из рефлексивного пространства, либо из пространства с сепарабельным сопряженным, является р-ядерным. Более того, в последнем случае вновь (как и у А. Гротендика) проявилось интересное свойство слабо компактных операторов: оказалось, что произведение 11Т р-интегрального оператора II с любым слабо компактным отображением Т будет р-ядерным оператором (см. [120]; таким образом, эти результаты явились частичным обобщением упоминавшихся результатов А. Гротендика). Кроме того, сепарабельные сопряженные и рефлексивные пространства стали фигурировать в различных теоремах типа Данфорда Филлипса-Петтиса об интегральных представлениях линейных отображений, действующих из пространств Ьр((л) (см., например, [167]). Все эти факты, однако, являлись довольно разрозненными, и не совсем понятно было, имеют ли они одну и ту же природу и если имеют, то что общее соединяет операторы со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах со слабо компактными операторами. Возникла проблема объединения всех указанных, а также ряда других результатов в единую теорию, которая объясняла бы, почему именно операторы со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах, а также слабо компактные операторы обладают теми примечательными свойствами, о которых говорилось выше.

Первые шаги в этом направлении были сделаны сразу рядом математиков, в особенности Дж. Дистелем [69]. Он показал, что любой интегральный оператор со значениями в пространстве X будет ядерным тогда и только тогда, когда пространство X обладает свойством Радона-Никодима. Кроме того, Дистель обобщил теорему Гротендика и в другом направлении: если сопряженное X* к пространству X обладает свойством Радона-Никодима, то всякий интегральный оператор из X будет ядерным. Полное описание сопряженных пространств со свойством Радона-Никодима в этих терминах было дано автором в кандидатской диссертации: X* обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда всякий интегральный оператор из X является ядерным.

Интересные результаты о возможностях того или иного аналитического представления линейных отображений, в частности, и в связи со свойством Радона-Никодима, были получены A.B. Бухваловым [4-8]. Так в [5] он установил, что пространство X*, сопряженное к банахову пространству X, обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда для любого банахова идеального пространства Е с условием А любой оператор с абстрактной нормой из X в Е допускает аналитическое представление с измеримой по Бохнеру Х*-значной функцией. Этот результат был затем независимо передоказан автором (см. [28]) и некоторым образом дополнен. Таким образом, упоминавшиеся выше свойства сепара-бельных сопряженных и рефлексивных пространств стали укладываться в рамки единой теории — теории пространств со свойством Радона-Никодима. Однако все еще в стороне оставались слабо компактные отображения, обладающие многими свойствами, аналогичными свойствам операторов со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах.

Для того, чтобы включить факты об операторах, принимающие значения в сепарабельных сопряженных пространствах, и о слабо компактных операторах в единую схему, в начале 1974 года автором [29] (и независимо Вернером Линде [100]) был введен и исследован новый класс операторов в банаховых пространствах — класс операторов типа RN (операторов Радона-Никодима). Оказалось, что такой подход с единой точки зрения объясняет, почему так похожи (в известном смысле) свойства слабо компактных отображений и отображений со значениями в сепарабельных сопряженных пространствах: каждое слабо компактное отображение, также как и тождественные отображения сепарабельных сопряженных пространств в себя, являются операторами типа RN .

До сих пор речь шла об аналитическом направлении развития теории пространств и операторов со свойством Радона-Никодима. Но независимо от этой ветви теории и сначала незаметно возникло геометрическое направление. Оно берет свое начало с одной "индивидуальной" теоремы Риффеля. В своей работе [137] он ввел, как уже сегодня ясно, понятие исторической важности — понятие заостренности множества в банаховом пространстве ("dentability", — вольный перевод этого слова принадлежит автору [32]). Заостренность множества означает, что можно вырезать сколь угодно маленький шарик в этом множестве так, что после "пломбирования" — взятия замкнутой выпуклой оболочки оставшегося куска — вне полученного множества останется центр шарика. Риффель доказал теорему об индивидуальной характеризации векторной меры: такая мера имеет производную относительно некоторой вероятности тогда и.только тогда, когда "она локально имеет заостренный (dentable) усредненный образ".

В 1973 г. Мэйнард [108] ввел понятие ^-заостренности, когда почти не было связей между геометрической и аналитической частями теории пространств со свойством Радона-Никодима. В действительности, его основной результат представлял собой первую геометрическую характеризацию пространств со свойством RN. В [108] он, по-существу, установил, что банахово пространство обладает свойством Радона-Никодима тогда и только тогда, когда всякое его ограниченное подмножество з-заостренное. Вскоре было получено еще несколько важных результатов в этом направлении. Важнейшим из них в тот период времени, пожалуй, следует считать теорему Дэйвиса и Фелпса [68]. Они непосредственно и просто доказали, что факт заостренности каждого ограниченного подмножества в банаховом пространстве ("наследственная заостренность") равносилен тому, что каждое ограниченное множество в данном пространстве является /-заостренным (и, следовательно, тому, что пространство обладает свойством RN). /-Заостренность множества отличается от заостренности тем, что вместо замкнутых выпуклых оболочек рассматриваются выпуклые оболочки множеств. В тот период времени это был достаточно впечатляющий результат. Методы статьи Дэйвиса-Фелпса не позволяли, однако, получить "локальный вариант" их теоремы, именно, показать, что понятия "наследственных" заостренности, ¿-заостренности и /-заостренности равносильны для любого замкнутого выпуклого ограниченного множества (с пустой внутренностью). В том же 1974 году Хуф [85] все же сумел частично перенести результат Дэйвиса-Фелпса на такие множества (модифицируя построения Мэйнарда). Он показал, что для произвольного замкнутого ограниченного выпуклого множества в банаховом пространстве его наследственная заостренность - то же самое, что и его наследственная s-заостренность (при этом основным инструментом Хуфа была техника векторного интегрирования).

Впервые полностью на случай произвольного замкнутого ограниченного выпуклого множества результат Дэйвиса-Фелпса был перенесен автором [38] в 1979 году (см. ниже теорему 1.1.2). К сожалению, эта заметка автора осталась незамеченной, и в 1983 году Е. Bourgin [58] привел свое "первое решение" этой задачи.

В дальнейшем в исследование геометрических свойств как пространств, так и множеств со свойством Радона-Никодима подключились многие другие известные математики, среди которых, несомненно, следует отметить Ж. Бургейна (например, [56]). Автор, кроме указанного выше результата из [38], также получил ряд геометрических характеристик как операторов типа RN, так и множеств "со свойством Радона-Никодима". Последнее понятие было введено автором, независимо от остальных математиков, в заметке [34], и затем исследовалось с разных точек зрения, особенно с геометрической и топологической, в работах как автора (19792001; [37-39, 49, 52]), так таких известных математиков как С. Stegall, W.M. Ruess, I. Namioka, В. Cascales, G. Vera (1986-2000; [62, 63, 155-158, 160, 111]).

В первой главе изложение части наших исследований операторов Радона-Никодима и их связей с аппроксимацией в различных идеалах операторов мы начнем с рассмотрения геометрических свойств этих операторов. Наша цель — пройти путь от первых геометрических свойств операторов RN (§1) через аналитическую часть теории до примеров применения некоторых понятий заостренности к аппроксимации (типа гротендиковской) операторов конечномерными (§9). Примерно в середине пути мы получим очень важные для главы II характеристики операторов RN как Ip-Np-мультипликаторов (§4), а также покажем, каким образом эти характеристики могут быть применены для обобщения одной теоремы А. Гротендика о соотношениях между свойствами аппроксимации и ограниченной аппроксимации для операторов (§5). Во второй главе мы переходим к детальному исследованию возможностей аппроксимации конечномерными операторов из различных операторных идеалов и изучению соответствующих свойств аппроксимации.

Аппроксимационные свойства в операторных идеалах (эта проблематика, в основном, восходит к А. Гротендику, П. Сафару и А.Пичу) занимают значительное место в современной теории операторов. Примерами операторных идеалов общего характера являются идеал ядерных операторов и идеал компактных операторов в алгебре всех линейных непрерывных операторов, а примерами тесно связанных с этими идеалами аппроксимационных свойств являются свойства аппроксимации и ограниченной аппроксимации А. Гротендика, введенные им в 1955 г.

Еще в конце 20-х годов прошлого века С. Банахом была поставлена проблема существования базиса в произвольном сепарабельном банаховом пространстве. В своей знаменитой работе 1955 года А. Гротендик поставил более общий вопрос о наличии в любом банаховом пространстве свойства аппроксимации (существование базиса в данном пространстве влечет за собой выполнение условия аппроксимации для этого пространства). Если за время, прошедшее от работ С.Банаха до работ А. Гротендика, большинство специалистов занималось тем. что строило базисы в конкретных банаховых пространствах, то после выхода в свет работы А. Гротендика — по прошествии, однако, десятилетия — математики, работающие в соответствующей области геометрической теории операторов, пошли также путем различного рода обобщений (вводя более слабые аппроксимационные условия), склоняясь все более к тому, что ответы на вопросы С. Банаха и А. Гротендика отрицательны.

Лишь в 1972 г. П. Энфло [75] построил пример сепарабельного рефлексивного пространства без свойства аппроксимации (и, следовательно, без базиса). Это стимулировало дальнейшее исследование гротендиковских аппроксимационных свойств, в которое включились такие крупные специалисты как П. Сафар, У. Б. Джонсон, Т.Фигель, А. Пелчинский, А.Дэйви, А, Шанковский, А.Пич и ряд других. Например, Т. Фигель и У. Б. Джонсон [76] сразу же после появления работы П. Энфло построили пример банахова пространства со свойством аппроксимации, но без свойства ограниченной аппроксимации, а А. Шанковский [162] показал, что "почти в каждом" банаховом пространстве есть подпространство без свойства аппроксимации.

Работы этих математиков стимулировали исследования и в ряде других направлений. Так сразу же снова встал вопрос о существовании банахова пространства без свойства аппроксимации порядка р для р > 1, впервые рассмотренного П. Сафаром (1970). В течение 10 лет никакого существенного продвижения в связи с вопросами П. Сафара и близкими проблемами (которые ставились также А. Пелчинским, А.Пичем и др.) не наблюдалось. Лишь в 1981 г. автору [41] удалось ответить на все основные вопросы этих математиков, построив, в частности, примеры как пространств без свойств аппроксимации порядка р, так и примеры пространств со свойством аппроксимации, но без свойства ограниченной аппроксимации порядка р (р > 1). Примерно в то же время Ж. Пизье [127] построил свой знаменитый контрпример к одной из последних гипотез А. Гротендика. Однако с 1985 г. в этой области функционального анализа на время наступило некоторое затишье — слишком трудными оказались остававшиеся в тот период открытыми в теории аппроксимации в операторных идеалах проблемы.

Стимулом к новым исследованиям явилась работа Г.А.Уиллиса (1992; [166]), в которой был построен пример пространства со свойством компактной аппроксимации, но без свойства аппроксимации. К этим исследованиям подключились такие специалисты как А. Дефант, Ф. Флорет [67], У.Б.Джонсон, К. Л. Гарсиа, П. Касаза, X. Ярхов [60, 61]. Последние два математика, используя результат Г.А.Уиллиса, в 1996 г. передоказали полученную автором еще в 1983 г. [45] теорему о неравносильности свойств компактной аппроксимации и компактной ограниченной аппроксимации.

В последующие годы к исследованиям интенсивно подключились А. Лима, О. Ни-гаард, Е. Ойа [99]. Они, в частности, исследуя варианты обобщения известной теоремы Дэйвиса-Фигеля-ДжонсонаПелчинского, получили новые характеристики пространств со свойствами аппроксимации, компактной аппроксимации и др. В конце 1990-х интерес к изучгению аппроксимационных условий, в частности свойств аппроксимации порядка р, проявился и в таких странах как Испания (университет г. Севилья [64]), Индия (университет г. Дели; 2001, [96]), Швеция (университет г. Уппсала; 2001, см. [93]). Так, в продвижение к открытому до сих пор вопросу о наличии в Н°° свойства аппроксимации, испанские математики М. Д. Контрерас и С. Диас-Мадригал показали (2000; [64]), что это пространство обладает так называемым свойством иМАРр для р > 1, обобщая, таким образом, наилучший в этой задаче до них один результат Бургейна- Рейнова (1983; [57]). Наконец (и это, видимо, стоит отметить), в 2002 г. работы всех упоминавшихся выше математиков, не в последнюю очередь и автора, повлияли на возникновение соответствующих исследований в Египте (университет г. Каир).

В главе II мы как раз и будем иметь дело с известными проблемами теории аппроксимации операторов в квазинормированных операторных идеалах.

Приведем подробное изложение результатов диссертации.

В главе О даны предварительные сведения, обозначения, определения.

1. Айзенштейн М.Х., Брудный Ю.А., Вычислимые интерполяционные функторы, Исследования по теории функций многих вещественных переменных, Ярославль: ЯГУ, 1986, pp. 3-35.

2. Александров П.С., Урысон П.С., Мемуар о компактных топологических пространствах, М.: Наука, 1971.

3. Бурбаки Н., Общая топология, вып. 3 М.: Наука, 1975.

4. Бухвалов A.B., Пространства вектор-функций и тензорные произведения, Сиб. матем. ж. 13 (1972), No 6 1229-1238.

5. Бухвалов А.В.^ Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой, Докл. АН СССР 208 (1973), No 5 1012-1015.

6. Бухвалов A.B., Аналитическое представление операторов при помощи измеримых вектор-функций, Вестник ЛГУ (1974), No 7 157-158.

7. Бухвалов A.B., Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой, Изв. вузов (1975), No 11 21-32.

8. Бухвалов A.B., О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций, Изв. АН СССР 39 (1975), No 6 1284-1309.

9. Бухвалов А.В, Факторизация компактных операторов и пример рефлексивной банаховой решетки без свойства аппроксимации, ДАН СССР 227 (1976), по. 3.

10. Глускин Е.Д., Кисляков C.B., Рейнов О.И., Тензорные произведения абсолютно р-суммирую-щих операторов и правые (/р, Nр)-мультипликаторы, Записки научн. сем. ПОМИ 89 (1979), 85-102.

11. Гротендик А., О пространствах (?) и CD?), Математика 2 (1958), по. 3, 81-128.

12. Данфорд Н., Шварц Дж-EL, Линейные операторы (общая теория) Том1, Москва: Иностранная литература (1962), 895 с.

13. Кадец М.И., Фонф В.П., Некоторые свойства множества крайних точек единичного шара пространства Банаха, Мат. Заметки 20 (1976), 315-319.

14. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г., Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, М.—Л., Гостехиздат

15. Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ, второе издание, Москва: Наука, 1977, 742 с.

16. Кашин Б.С., Саакян A.A., Ортогональные ряды, Москва: Наука (1984), 496.

17. Кисляков C.B., О прострсгнети«ах с малым аннулятором, Записки науч. семин. ЛОМИ 65 (1976), 192-195.

18. Кисляков C.B., Два замечания по поводу равенства ПР(Х, •) = 1Р(Х, •), Записки науч. семин. ЛОМИ 113 (1981), 135-148.

19. Левин В. Л., 'Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемые К В-линеалами, Тр. Моск. матем. об- ва 20 (1969), 42-82.

20. Левин В. Л., К двойственности некоторых классов линейных операторов, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками, Сиб. матем. ж. 14 (1973), по. 3, 599-608.

21. Лидский В.Б., Несамосопряженные операторы, имеющие след, Докл. АН СССР 125 (1959), по. 3, 485-488.

22. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Краткий курс функционального анализ, М.: Высш. Школа (1982), 271.

23. Макаров Б.М., Самарский В.Г., Слабая секвенциальная полнота и близкие к ней свойства некоторых пространств операторов, Теория операторов и теория функций, 1, ЛГУ, Ленинград, 1983, 122-144

24. Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной, М.: Наука, 1974.

25. Оя Э., Рейнов О., Контрпример А.Гротендику, Известия АН Эстонской ССР. Физика -Математика 37 (1988), 14-17.

26. Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства, Москва: Мир, 1967.

27. Пич А., Операторные идеалы, Москва: Мир, 1982, 536 с.

28. Рейнов О.И., Свойство Радопа-Никодима и интегральные представления линейных операторов, Функц. анализ и его приложен. 9 (1975), 87-88.

29. Рейнов О.И., Операторы типа RN в банаховых пространствах, Докл. АН СССР 220 (1975), по. 3, 528-531.

30. Рейнов О.И., Операторы типа RN и аналитические представления линейных операторов, В кн. Теория операторов в функциональных пространствах, Новосибирск:Наука, 1977, рр. 283295.

31. Рейнов О. И., Некоторые классы множеств в банаховых пространствах и топологическая характеристика операторов типа RN, Записки научн. сем. ЛОМИ 73 (1977), 224-228.

32. Рейнов О.И., Геометрическая хар актер из ация RN-операторов, Матем. заметки 22 (1977), вып. 2, 189-202.

33. Рейнов О.И., Операторы типа RN в банаховых пространствах, Сиб. матем. журн. 19 (1978), 4 857-865.

34. Рейнов О.И., RN-множества в банаховых пространствах, Функц. анализ и его приложен. 12 (1978), no. 1, 80-81.

35. Рейнов О.И., Об одном классе универсально измеримых отображений, Матем. заметки 26 (1979), по. 6, 949-954.

36. Рейнов О.И., О наследственно заостренных множествах в банаховых пространствах, Записки научн. сем. ПОМИ 89 <1979), 294-299.

37. Рейнов. О. Об интегральных представлениях линейных операторов, действующих «а пространства 2/1 (S1,ZL, А*), Матем. заметки 27 (1980), №2 283-290.

38. Рейнов О.И., О некоторых векторно-региеточных характеристиках операторов типа RN, Матем. заметки 27 (1986), вьга. 4 €07-620.

39. Рейнов О.И., Свойства аппроксимации порядка р и существование не р-ядерных операторов с р-ядерными вторыми -сопряженными, ДАН -CCGP 256 {1981), но. 1, 43-47.

40. Рейнов О.И. О банаховых пространствах без свойства аппроксимации Функц. анализ и его приложения. Т. 16. 1982- Вьга. 4. С. 84-85.

41. Рейнов ОЛ-Исчезновение тензорных элементов в шкале р-ядерных операторов, в кн. "Теория операторов и теория функций". Л.:ЛГУ {1983), 145-165.

42. Рейнов О.И., Простое доказательство двух теорем А. Гротендика, Вестн. ЛГУ 7 (1983), 115-116.

43. Рейнов О.И., Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации?, Матем. заметки 33 {1983), по. вып.-6,, 833-846.

44. О.И. Рейнов, Аппроксимация операторов в банаховых пространствах, Применения функционального анализа в теории приближений, Калинин, КГУ (1985), 128-142,

45. Рейнов О.И., О непрерывности, шкал некоторых операторных идеалов, в кн. Проблемы математического анализа, выя. 19: Нелинейные-уравнения и математический анализ, Новосибирск: Научная книга, 1999, рр. 193-214.

46. Рейнов О.И., Аппроксимационные свойства АР3 и р-ядерные операторы (случай 0 < s ^ 1), Записки научн. сем. ПОМИ 270 (2000), 277-291.

47. Рейнов О.И., Геометрические свойства универсально измеримых отображений, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 21, Новосибирск: Научная книга, 2000, рр. 193-210.

48. Рейнов О.И., О линейных операторах с р-ядерными сопряженными, Вестник СПбГУ, Сер. 1 (2000), вып. 4 с. 24-27.

49. Рейнов О.И., О факторизации операторов через пространства /р, Вестник СПб ГУ. Сер.1 2 (2000), вып. 2 (No 8), 27-32.

50. Рейнов О.И., Аппроксимационные свойства и некоторые классы операторов, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 23, Новосибирск: Научная книга, 2001, pp. 147-205.

51. Рейнов О.И., Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством аппроксимации? II, в кн. Проблемы математического анализа, вып. 24, Новосибирск: Научная книга, 2002, pp. 205-216.

52. Шеффер X., Топологические векторные пространства, Москва: Мир (1971), 360 с.

53. Эдварде Р., Функциональный анализ. Теория и приложения, Мир, Москва, 1969. 1071 е.

54. Bourgain J., On dentability and ike Bishop-Phelps property, Isr. J. Math. 28 (1977), no. 4, 265-271.

55. Bourgain J., Reinov O.I., On the approximation properties for the space H°°, Math. Nachr. 122 (1985), 19-27.

56. Bourgin R.D., Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodym Property, Lecture Notes in Math., 993 Springer, Berlin-Hiedelberg-New York, 1983. 474 pp.

57. Casazza P.G., Approximation properties, Handbook of the geometry of Banach spaces, W. В Johnson and J. Lindenstrauss, vol. 1, Elsevier, Amsterdam — London New York - Oxford - Paris — Shannon - Tokyo, 2001, pp. 271-316.

58. Cascales В., Namioka I., Vera G., The Lindelof property and fragmentabihty, Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 3301-3309.

59. Cascales В., Manjabacas G., Vera G., Fragmentability and compactness in C(K).-spaces, Studia Mathematica 131 (1998), 73-87.

60. Contreras M. D., Diaz-Madrigal S., Uniform approximation properties for spaces of analytic functions, Math. Nachr. 210 (2000), 85-91.-65. Dareie A.M., The approximation problem for Banach spaces, Bull. London Math. Soc. 5 (1973), 261-266.

61. Davis W.J, Figiel Т., Johnson W.B., Pelczynski A., Factoring weakly compact operators, J. Functional Analysis 17 (1974), 311-327, M£50#S01£

62. Defant A. and Floret F., Tensor norms and operator ideals, North-Holland, Amsterdam, London, New York, Tokio, 1993.

63. Davis W.J., Phelps R.R., The Radon-Nikodym property and dentable sets in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1974), 119-122.

64. Diestel J., The Radon—Nikodym property and coincidence of integral and nuclear operators, Rev. Roumaine Math. PuresAppl. 17 <1972), 1611-1620.

65. Diestel J., Geometry of Banach spaces, Lecture Notes in Math., 485 Berlin-Hiedelberg-New York, 1975. 282 pp.

66. Diestel J., Uhl J.J., Vector measures, Math. Survey, Amer. Math. Soc., Providence RI 15 (1977).

67. Diestel J., Jarchow H., Pietsch A., Operator ideals, Handbook of the geometry of Banach spaces, W. В Johnson and J. Lindenstrauss, vol. 1, Elsevier, Amsterdam London - New York - Oxford -Paris - Shannon - Tokyo, 2001, pp. 437-496.

68. Dincuieanu N., Vector Measures, Pergamon Press, New York, 1967.

69. Dunford N., Pettis В J., Linear operations on summable functions, Trans. Amer. Math. Soc. 47 (1940), 323-392.

70. Enflo P., A counterexample to the approximation property in Banach spaces, Acta Math. 130 (1973), 309-317.

71. Figiel Т., Johnson W.B., The approximation property does not imply the bounded approximation property, Proc. Amer. Math. Soc. 41 (1973), 197-200.

72. Ghoussoub N., Johnson W.B., Counterexamples to several problems on the factorization of bounded linear operators, Proc. AMS 92 <1984), 233-238.

73. Gordon Y., Lewis D.R., Retherford H.R., Banach ideals of operators with applications, J. Funct. Anal. 14 (1973), no. 1, 85-129.

74. Gordon Y., Reisner S., Some geometrical propeties of Banach spaces of polynomials, Isr. J. Math. 42 (1982), 99-116.

75. Grothendieck A., Produits tensoriels topologiques et espases nucléaires, Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955), pp. 196 + 140.

76. Gr0nbaeck N., Willis G.A., Approximate identities in Banach algebras of compact operators, Canadian Math. Bui. 36 (1993), 45-53.

77. Heinrich S., Closed operator ideals and interpolation, J. Functional Analysis 35 (1980), 397—411.

78. HuffR.E., Dentability and the Radon-Nikodym property, Duke Math. J. 41 (1974), no. 1, 111-114.

79. Huff R.E., Morris P.D., Geometric characterizations of the Radon-Nikodym property, Studia Math. 56 (1976), 157-164.

80. Ionescu Tulcea A., lonescu Tulcea C., Topics in the theory of lifting, Springer, Berlin — Heidenberg — New York, 1969. 189 p.

81. James R.C., A separable somewhat reflexive Banach spaces -with nonseparable dual, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 738-743.

82. Johnson W.B., Factoring compact operators, Israel J. Math. 9 (1971), 337-345.

83. Johnson W.B., A complementary universal conjugate Banach space and its relation to ihr appro x-mation problem, Israel J. Math. 13 (1972), 301-310, AfR48#4700.

84. Johnson W.B., Banach spaces all of whose subspaces have the approximation property, Séminaire d'analyse fonctionelle 1979-1980 (1980), exp. 16 1-11.

85. Johnson W.B., Banach spaces all whose subspaces have the approximation property, Special Topics of Applied Mathematics, North-Holland, 1980, pp. 15-26.

86. Kaijser S., Reinov O., On a-nudearity and total accessibility for some tensor norms a, Acta et Commentationes Universitatis Tartmensis de Mathematica 5 (2001), 59-64.

87. Kakutani S., Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42 (1941), no. 2, 523-537.

88. Kakutani S., Concrete representation of abstract (M)-spaces, Ann. of Math. 42 (1941), no. 2, 994-1024.

89. Karn Anil K., Sinha Deba P., Compact operators whose adjoints factor through subspaces of lp, Studia Math. 150 (2001), no. 1, 17-33.

90. Kwapieñ S., On a theorem of L.Schwartz and its applications to absolutely summing operators, Studia Math. 38 (1970), 193-201.

91. Kwapieñ S., Isomorphic characterizations of inner product spaces by orthogonal series with vector valued coefficients,, Studia Math. 44 (1972), 583-595.

92. Lima A., Nygaard O., Oja E., Isometric factorization of weakly compact operators and the approximation property, Israel J. Math. 119 (2000), 325-348.

93. Linde W., An operator ideal in connection with the Radon-Nikodym property of Banach spaces, Math. Nachr. 71 (1976), 65-73.

94. LindetJstrauss J., On James' paper "Separable Conjugate Spaces", Israel J. Math. 9 (1971), 279-284.

95. Lindenstrauss J., Weakly compact sets — their topological properties and the Banach spaces they generate, Symposium on Infinite Dimensional Topology, Prinston, N.J., Prinston Univ. Press (1972), 235-273.

96. Lindenstrauss J., Pelczyñski A., Absolutely summing operators in Cp spaces and their applications, Studia Math. 29 (1968), 275-326.

97. Lindenstrauss J., Rosenthal H.P., The Cp spaces, Isr. J. Math. 7 (1969), 325-349.

98. Lindenstrauss J., Stegall Ch., Examples of separable spaces which does not contain 11 and whose duals are non-separable, Studia Math. 56 (1975), 81-105.

99. Lindenstrauss J., Tzafriri L., Classical Banach spaces I: Sequence spaces, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1977.

100. Maurey B., Démonstration d'une conjecture de A. Pietsch, C. R. Acad. Sei. Paris, Sér. A 274 (1972), 73-76.

101. Maynard H.B., A geometrical characterization of Banach spaces having the Radon-Nikodym property, Trans. Amer. Math. Soc. 185 (1973), 493-500.

102. Mickael E., Continuous selections, Ann. Math. 63 (1956), 361-382.

103. Namioka I., Phelps R.R., Banach spaces which are Asplund spaces, Duke Math. 42 (1975), 735.

104. Namioka I., Radon-Nikodm compact spaces and fragmentability, Mathematika 34 (1987), no. 2, 258-281.

105. F. Oertel, Extension of Finite Rank Operators and Operator Ideals with the Property (I), Math. Nachr. (2002), 144-159.

106. Oja E., Reinov O.I., Un contre-exemple a une affirmation de A. Grothendieck, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie I 305 (1987), 121-122.

107. MLPelczysski A., Banach spaces on which every unconditionally converging operator is weakly compact, Bull. Acad. Polon. Sei. Math. Astro. Phys. 10 (1962), 641-648.

108. Pelczynski A., p-integral operators commuting with group represetations andexamples of quasi-p-integral operators which are not p-integral, Studia Math. 33 (1969), 63-70.

109. Pelczyriski A., Banach spaces of analytic functions and absolutely summing operators, AMS Regional Conference Series in Mathematics, 30 Providence, 1977.

110. Pelczyriski A., Ovsepian R.I., The existence in any separable Banach space of a fundamental, total and bounded biorthogonal sequence and related constructions of uniformly bounded orihtmomal system in £2, Otticha Math. 54 (1975), no. 2, 149-159.

111. Persson A., On some properties of p-nuclear and p-integral operators, Studia Math. 33 (1969), 213-232.

112. Persson A. and Pietsch A., p-nucleare und p-integrale Abbildungen in Banachräumen, Studia Math. 33 (1969), 19-62.

113. Phillip« R.S., On linear transformations, Tran. Amer. Math. Soc. 48 (1-94©), 5ÎS-541.

114. Pietsch A., Quasinukleare Abbildungen in normierten R(amen, Math. Ann. 165 (1966), no. 1, 76-90.

115. Pietsch A., Theorie der Operatorenideale (Zusammenfassung),, Jena, 1972.

116. Pietsch A., Operator ideals, North-Holland, Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1978. 451 p.

117. Pisier G., Estimations des distances à un espace euclidien et des constantes de projéction des espace de Banach de dimensions finie, Seminaire d'analyse fonctionelle 1978-1979 (1979), exp. 10, 1-21.

118. Pisier G., Counterexamples to a conjecture of Grothendieck, Acta Math. 151 (1983), 181-208.

119. Pisier G., Weak Hilbert spaces, Proc. London Math. Soc. 56 (1988), 547-579.

120. Reinov O.I., On some Banach ideals of operators, Studia Math. 69 (1980), no. 2, 125-133.

121. Reinov O.I., Approximation properties of order p and the existence of non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints, Math. Nachr. 109 (1982), 125-134.

122. Reinov O.I., A finite dimensional aspect of the existence of non-nuclear operators -with nuciear ajoints, Reports of the Univ. of Stockholm., No 12 (1983).

123. Reinov O.I., A survey of seme results m connection with Grothendieck approximation property, Math. Nachr. 119 (1984), 257-264.

124. Reinov O.I., Un contre-exemple a une conjecture de A.Grothendieck, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie 1 296 (1983), 597-599.

125. Reinov O.I., Sur les operateurs p-nucléaires entre espaces de Banach avec bases, C. R. Acad. Se. Paris. — Serie I 316 (1993), 905-307.

126. Reinov Oleg, On non-nuclear operators with nuclear adjoints, Estonian Acad. Sei. Phis. Math. 45 (1996), no. 2/3, 226-233.

127. Retherford J.R., Applications of Banach ideals of operators, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), 978-1012.

128. RiefFel M.A., Deniable subsets of Banach. spaces vuith applications to a Radon-Nikodym property, Proc. Conf. Functional Analysis, Thompson Book Co., Washington, D.C., 1967, pp. 71-77.

129. Rosenthal H.P., On infective Banach spaces and the spaces for finite measures n, Acta Math. 124 (1970), 205-248.

130. Rosenthal H., On relatively disjoint families of measures, with some applications to Banach space theory, Studia Math. 37 (1971), 13-36.

131. Rosenthal H.P., On factors of C0,1} with non-separable dual, Israel J. Math. 13 (1972), 361-378.

132. Rosenthal H.P., A characterization of Banach 3paces containing 11, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 71 (1974), no. N6, 2411-2413;.

133. Rosenthal H.P., The Banach spaces C{K) and Lp(fi), Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975), 763-781.

134. Rosenthal H.P., Pointwise compact subset of the first Baire class, Amer. J. Math. (1977), no. 2, 362-378.

135. Saab E., A characterizationof w* -compactconvex sets having the Radon-Nikod'ym property, Bull. Sci. Math. 104 (1980), 79-88.

136. Saphar P., Produits tensoriels d'espaces de Banach et classes d'applications lineaires, Studia Math. 38 (1970), 71-100 M.R43#878.

137. Saphar P., Hypothèse ddpproximation à lârdre p dans les espaces de Banach et approximation dâpplicaiion p-absolument sommantes, Isr. J. Math. 13 {1972), 379-399.

138. Schachermeier V., Additif au theorem (4-3) du Exposé 4 du Séminaire Maurey-Schwartz 1974-75, Séminaire Maurey—Schwartz {1974/1975).

139. Schatten R., A theory of cross spaces, Ann. Math. Studies 26 (1950).

140. Schwartz L., Séminaire. Applications radonifiantes, Paris, Ecole Polytechnique, Centre de Math-ématieques, 1969-1970.

141. Schwartz L., Radon measureson arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford Univ. Press, for Tata Inst, of Fund Research, London, 1973.

142. Schwartz L., Séminaire Maurey-Schwartz (1974/1975), exposé V-VI.

143. Stegall Ch., Banach spaces whose duals contain Zi (r) with applications to the study of dual L\ (p) spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 175 (1973), 463-477.

144. Stegall C., The Radon-Nikodym property in conjugate Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 206 (1975), 213-223, Affl51#10581.

145. Stegall C., A proof of the Huff-Morris Radon-Nikodym theorem, Seminaire Maurey-Schwartz 1975/76, Centre de Math., Ecole Polytech., Paris, 1976.

146. StegalI C, Optimization and differentiation in Banach spaces, Linear Algebra Appl. 84 (1986), 191-211.

147. Stegall C., More fads about conjugate Banach spaces with the Radon-Nikodym property, Acta Univ. Carol., Math. Phys. 31 (1990), no. 2, 107-117.

148. Stegall C., Large subsets of dual Banach spaces, Acta Univ. Carol., Math. Phys. 32 (1991), no. 2, 41-46.

149. Stegall C., Functions of the first Baire class with values in Banach spaces, Proc. Am. Math. Soc. Ill (1991), no. 4, 981-991.

150. Stegall Ch., Retherford J.R., Fully nuclear and completely nuclear operators with applications to L\ and Loo- spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 163 (1972), 457-493.

151. Stegall C.P., Ruess, W.M., Exposed and denting points in duals of operator spaces, Isr. J. Math. 53 (1986), 163-190.

152. Swartz C., An operator characterization of vector measures which have Radon-Nikodym derivatives, Math. Ann. 30 (1973), 77-84.

153. Szankowski A., Subspaces without approximation property, Israel J. Math. 30 (1978), 123-130.

154. Thomas E., Sur les applications linéaires 1-sommantes et nikodymisantes, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. A 278 (1974), 253-255.

155. Troyanski S.L., On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, Studia Math. 38 (1971), 173-180.

156. Uhl J.J .Jr., A note on the Radon-Nikodym property, Rev. roumaine math, pures. et appl. 17 (1972), no. 1, 113-115.

157. Willis G.A., The compact pproximation property does not imply the approximation property, Studia Math. 103 (1992), 99-108.

158. Wong T.K., On a class of absolutely p-summing operators, Studia Math. 39 (1971), 181-189.