Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения

Шульман, Виктор Семенович

Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Шульман, Виктор Семенович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Вологда МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения»

Автореферат диссертации на тему "Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения"

IШк

На правах рукописи

Шульман Виктор Семенович

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва—2009

003467442

Работа выполнена на кафедре высшей математики Вологодского Государственного Техии ческого Университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Л. Гольдман,

доктор физико-математических наук, профессор P.C. Исмагилов,

доктор физико-математических наук, профессор А. Я. Хелемский.

Ведущая организация: Воронежский Государственный Университет.

Защита диссертации состоится 2 июня 2009 года в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495-А

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан 2 Й.Ц Я 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Г. А. Калябин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Значение и актуальность исследования строения инвариантных подпространств операторно алгебраических систем обусловлены возможностью их использования для анализа основных свойств (спектральных характеристик, геометрических инвариантов, неприводимых представлений) этих систем. В частности, весьма существенным оказывается возможность использования результатов об инвариантных подпространствах для исследования линейных операторных уравнений и (в свою очередь) их приложений к дифференциальным уравнениям и теории псевдодифференциальным операторов. Большой интерес к этим вопросам вызывается и наличием плодотворных связей между теорией инвариантных подпространств и такими разделами функционального анализа как теория банаховых алгебр, спектральная теория операторов, теория структур, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория приближений, гармонический анализ (в частности, спектральный синтез), асимптотика операторных полугрупп, структурная теория бесконечномерных алгебр Ли. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многих ведущих исследователей в ее развитии. Скажем о некоторых рассматривающихся в работе вопросах более подробно.

1. Триангуляция (то есть нахождение максимальных цепочек инвариантных подпространств) операторных алгебр, полугрупп и алгебр Ли, и, как ее первый шаг, выработка критериев нетривиальности решеток инвариантных подпространств. Эти вопросы имеют первостепенную важность для классификации представлений соответствующих алгебраических структур, исследования спектральной структуры операторных систем, строения их подсистем, идеалов и факторов. Интерес к проблемам триангулируемости возник уже в конце девятнадцатого века, вместе с теорией конечных групп и конечномерных алгебр Ли. Первые бесконечномерные результаты связаны с именами Гильберта, Шмидта, Вейля, фон Неймана, Стоуна, Халмоша, Л.С.Понтрягина, М.Г.Крейна. Важным этапом развития тематики явилась работа В.И.Ломоносова, за которой последовали работы Д.А.Гурария и Л.А.Ваксмана, Войтыньского, Раджави, Розенталя и многих других математиков. Избранный в диссертации подход потребовал серьезного продвижения в теории банаховых алгебр (теория совместного спектрального радиуса) и исследования асимптотики компактно порожденных полугрупп, что само по себе имеет большое значение. Еще одно направление, в котором, в результате этого подхода, стал возможен существенный прогресс — это спектральная теория операторных уравнений с компактными коэффициентами.

2. Выяснение условий непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat, сопоставляющего алгебре операторов ее решетку инвариантных подпространств. Интерес к проблемам непрерывности Lat. объясняется, прежде всего, тем, что ее наличие стабилизирует задачи описания решеток инвариантных подпространств и, тем самым, делает возможным "аппроксимационный" подход к их решению. Критерии непрерывности оказываются полезными при изучении области значений Lat, то есть, тех решеток подпространств, которые имеют вид Lat(M) для некоторого семейства операторов М; такие решетки принято, следуя Халмошу, называть рефлексивными. Таким образом, в круг рассматриваемых задач входит поиск достаточно удобных критериев рефлексивности решеток подпространств, то есть, изучение тех свойств, которые выделяют решетки инвариантных подпространств среди всех решеток подпространств. Следует отметить, что исследование непрерывности Lat выявляет топологическую подоплеку ряда фундаментальных результатов теории.операторных алгебр , таких как теорема Арвесона о коммутативных решетках или теорема Ларсона - Андерсена о кратности инвариантных цепочек.

алгебры А и В, при которых решетка инвариантных подпространств их тензорного произведения совпадает с тензорным произведением их решеток. Заметим, что двойственная задача

— нахождение оболочки тензорного произведения решеток — также привлекала и привлекает большое внимание; в частности, для ее решения в случае симметричных решеток была построена теория Томиты - Такесаки, вызвавшая революционный прогресс в современной теории ^-алгебр.

Впервые вопросы непрерывности ЬаЬ, в неявном виде, возникли в работах фон Неймана, рассматривавшего "почти инвариантные" подпространства и "почти триангулирующие" цепочки подпространств. Позднее это направление получило развитие в работах Апостола, Фояша, Войкулеску, Халмоша, Конвея, Хэдвина, Дэвидсона и др.. При этом основное внимание уделялось алгебрам с одной образующей; рассматриваемый в диссертации общий случай имеет принципиальные отличия и требует новой техники. Структура решеток инвариантных подпространств активно исследовалась в работах Диксмье, Калиша, М.С.Бродского, Донохью, Г.Э.Кисилевского, Н.К.Никольского, Домара, Д.В.Якубовича и многих других математиков.

— С5Ь-алгебры. Он же поставил (в основном, в алгебраической ситуации) множество задач как общеоператорного, так и координатного характера; некоторые из них рассматриваются и решаются в диссертации. На долгое время после работ Арвесона теория СБЬ-алгебр оказалась в центре внимания специалистов по теории операторных алгебр (среди которых можно выделить особенно значительный вклад Дэвидсона, Эрдеша, Ларсона, Андерсена). Необходимость изучения общемодульной ситуации выявилась в последнее десятилетие, в связи с потребностями теории линейных операторных уравнений, возникающих, в свою очередь, в теории представлений квантовых групп, уравнений в свертках, интегральных уравнений, линейных уравнений в частных производных. Рассмотрение этой тематики в диссертации потребовало создания и разработки нового аппарата: теории операторного синтеза, теории аппроксимативных обратных сплетений, теории псевдотопологических пространств.

— операторных алгебр, полугрупп, алгебр Ли, бимодулей над операторными алгебрами. Для этой цели в диссертации решаются задачи классификации представлений таких систем, изучения их решеток инвариантных подпространств, задачи совместной триангуляции, задачи выделения геометрических и аналитических инвариантов, удобных для анализа таких систем, изучения асимптотики компактно порожденных полугрупп, задачи спектрального и операторного синтеза, изучения топологических свойств (непрерывность, стабилизация, ап-проксимативность) основных конструкций, рассматриваются проблемы теории меры и теории емкостей, исследуется строение ядер и образов операторов в шкалах банаховых пространств, анализируются спектральные характеристики операторов умножения в симметрично нормированных идеалах и, как следствие, операторов свертки и дифференциальных операторов в частных производных.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются операторно алгебраические системы (алгебры, группы, полугруппы, алгебры Ли, бимодули операторов, действу-

ющих в гильбертовых или банаховых пространствах). Предмет исследования — алгебраические, геометрические (триангуляционные, в частности), спектральные свойства этих систем, их подсистем и связанных с ними систем линейных операторных уравнений.

Гипотеза. Основные результаты диссертации получены при исследовании справедливости следующих гипотез:

1. Алгебра Ли вольтерровых операторов имеет инвариантное подпространство (гипотеза Войтыньского).

2. Решетка проекторов тензорного произведения алгебр фон Неймана совпадает с тензорным произведением решеток проекторов сомножителей (гипотеза Хопенвассера)

3. Борелевское подмножество прямого произведения компактов содержит носитель ненулевого оператора тогда и только тогда, когда оно не является маргинально нулевым (гипотеза Арвесона).

4. Решетка подпространств, порожденная решеткой конечной ширины и коммутирующей с ней синтезируемой решеткой, является синтезируемой (гипотеза Арвесона).

5. Транзитивный бимодуль над максимальной абелевой симметричной алгеброй операторов ультраслабо плотен в пространстве всех операторов (гипотеза Дэвидсона).

6. Коммутатор компактного и нормального оператора имеет, в случае его ядерности, нулевой след (гипотеза Вейсса).

7. Пространство решений линейного операторного уравнения с коммутирующими нормальными коэффициентами совпадает с пространством решений формально сопряженного уравнения (гипотеза Вейсса).

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе используются методы классического анализа, теории операторов, теории банаховых алгебр, теории С*-алгебр, теории меры, теории емкостей Шоке, геометрии банаховых пространств, теории спектрального синтеза, теории симметрично нормированных операторных алгебр, теории представлений, теории структур. Специально для решения рассматриваемых в диссертации задач были разработаны аппарат теории псевдотопологических пространств, техника аппроксимативных сплетений, теория операторного синтеза.

Научная новизна полученных результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В тех случаях, когда изложение требует воспроизведения результатов и конструкций, принадлежащих другим математикам, это специально оговаривается и подчеркивается. В комментариях после каждой главы указывается, где опубликованы помещенные в этой главе результаты.

Рассмотрим, с этой точки зрения, каждую главу диссертации. Понятие совместного спектрального радиуса, являющееся основным техническим инструментом во второй главе, было введено в работе Рота и Стрэнга (1960 г). Однако применений к триангуляционным и спектральным задачам в этой работе не предполагалось, и потому ничего, кроме первого определения, в диссертацию из нее не вошло. Не только использование в теории инвариантных подпространств, операторных полугрупп и алгебр Ли, но и фундаментальные аналитические свойства, такие как субгармоничность совместного спектрального радиуса, не были установлены до работ автора и его ученика Ю.В.Туровского.

В третьей главе диссертации речь идет о непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lot. Хотя аппроксимационные методы в теории инвариантных подпространств были инициированы еще фон Нейманом и концептуально близки к теории возмущений, теории рассеяния и т.д., принятый в диссертации подход, основанный на изучении геометрических свойств решеток проекторов и их тензорных произведений, является новым. Применения результатов о непрерывности к проблеме рефлексивности решеток (то есть, характеризации решеток инвариантных подпространств) также впервые появились в работах автора.

Начиная с четвертой главы, в изложении активно используется разработанный автором аппарат теории псевдотопологических пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой. Хотя вопросам эффективного описания алгебр, содержащих masa (максимальные коммутативные алгебры операторов), посвящена большая литература, особое место среди которой занимает статья Арвесона ', техника псевдотопологии позволила значительно продвинуться в этом направлении, поскольку оказалась применимой для одновременного анализа различных masa-бимодулей. Как следствие, это позволило получить ответы на ряд открытых ранее вопросов теории masa-бимодулей и теории коммутативных решеток проекторов.

Теория операторного синтеза masa-бимодулей, развитая в пятой главе диссертации, также является новой, хотя связь между классическим спектральным синтезом и теорией инвариантных подпространств была открыта ранее Арвесоном. Ее построение позволило, в частности, решить ряд поставленных в (') проблем. Связь между спектральным и операторным синтезом представляет сама по себе плодотворное направление исследований, на котором уже удалось установить ряд результатов, полезных как для теории операторов, так и для гармонического анализа.

В шестой главе диссертации обнаруживаются взаимно обогащающие связи между индивидуальным операторным синтезом и линейными операторными уравнениями. В связи с этим, разработан новый аппарат аппроксимативных обратных сплетений (АОС), позволяющий сравнивать поведение "родственных" операторов в шкалах банаховых пространств. Применения его к линейным операторным уравнениям, тензорным алгебрам и теории дифференциальных уравнений позволили получить новые результаты и в этих областях.

Практическая значимость полученных результатов. Результаты работы имеют теоретический характер. Они могут применяться к операторным алгебрам, линейным операторным уравнениям и представлениям алгебр Ли, возникающим в механике и теоретической физике.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Получение результатов о существовании инвариантных подпространств операторно алгебраических систем на основе разработанного автором аппарата совместного спектрального радиуса, в том числе решение проблемы Войтыньского о нетранзитивности энгелевых алгебр Ли компактных операторов.

2. Исследование непрерывности зависимости решетки инвариантных подпространств от семейства операторов, а также разработка эффективных топологических и геометрических критериев, выделяющих решетки инвариантных подпространств в классе общих решеток подпространств.

3. Построение теории операторного синтеза, и основанное на ее результатах решение ряда задач теории инвариантных подпространств, в том числе выше формулировавшихся задач, поставленных У.Арвесоном (х) и К.Дэвидсоном 2, то есть а) проблемы характеризации носителей бимодулей над максимальными абелевыми симметричными алгебрами, б) проблемы плотности транзитивных бимодулей и с) проблемы существования минимальной ультраслабо замкнутой алгебры с заданной коммутативной решеткой инвариантных подпространств.

4. Разработка аппарата аппроксимативных обратных сплетений и получение, на его основе, описания пространств решений линейных операторных уравнений, позволивших ответить на ряд нерешенных вопросов теории таких уравнений, поставленных Г.Вейссом 3, а также получение приложений к характеризации пространств ограниченных решений некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.

'W. Arveson, Operator algebras and invariant subspaces. Ann. o¡ Math., IOO (1974). 433 - 532

2K. R. Davidson, Nest algebras, Longman, 1988

3Gary Weiss, The Fuglede commutatlvity theorem modulo the Hilbert-Schmidt class and generating functions for matrix operators. II. J. Operator Theory 5 (1981), no. I, 3-16

Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на конференции по операторным алгебрам в Пифагорио (Греция) в 1996 году, на семинаре А.Я.Хелемского по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Е.А.Горина и В.Я.Лина по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Н.К.Никольского и В.П.Хавина по теории функций и теории операторов (ЛОМИ) в 1983, 1985 и 1986 годах, на совместном англо-российском симпозиуме по теории операторов в Ленинграде в 1996 году, на семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна по теории представлений в МИАН и МГУ, на симпозиуме по банаховым алгебрам в Белефельде (1997), на конференции по бесконечномерным линейным задачам в Словении (Блед 2001, 2005, Краньска Гора 2008), на конференции по банаховым алгебрам в Бедлево (Польша, 2003), на конференции по теории операторных алгебр в Эдмонтоне (Канада, 2003), на конференции ШОТА в Ньюкасле (2002), на семинарах по теории операторов и функциональному анализу в университетах Лондона, Оксфорда, Кембриджа, Лидса, Ланкастера, Эдинбурга, Ньюкасла, Белфаста, Дублина, Копенгагена, Гетеборга, Эгейском университете (Самос), университетах Гераклио (Крит), Афин, Торонто, Халифакса (Канада), Кента (США), Бордо, Белграда, Ленинграда, Минска, Институтах Математики Азербайджана, Украины, Белоруссии, на семинаре профессора Карлесона в Шведской Королевской Технической Школе (Стокгольм), на Воронежских Зимних Школах по функциональному анализу и Крымских Осенних Школах по спектральной теории; по ним были прочитаны курсы лекций в Афинском университете и в Банаховом центре института математики Польской АН.

Опубликоваиность результатов. По теме диссертации опубликована монография и 31 статья в научных журналах. Все результаты диссертации содержатся в этих работах. В диссертацию включены лишь те результаты совместных работ, которые получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (включая Введение), заключения и списка используемых источников. Список насчитывает 260 наименований. Полный объем диссертации составляет 262 страницы, в том числе список используемых источников занимает 20 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Первая глава диссертации носит вводный характер и содержит, кроме общей характеристики работы, обзор литературы по теме диссертации.

Операторно алгебраические системы, рассматриваемые во второй главе диссертации — это алгебры, полугруппы и алгебры Ли операторов в произвольных банаховых пространствах. Спектральные методы их исследования взаимодействуют с триангуляционными, то есть с методами теории инвариантных подпространств. Накладываются неизбежные в такой общности ограничения компактности (некоторых) операторов системы. Основные результаты формулируются в терминах структуры инвариантных подпространств и могут быть переформулированы как утверждения об одномерности неприводимых блоков.

Пусть А — нормированная алгебра. Для ограниченного подмножества М С А, положим ||М|| = вир{||а|| : а е М}. Будем писать МЫ = {аЪ : а € М,Ь 6 Щ для М. N С А\ соответственно определяются степени подмножеств.

Определение. Число р(М) = тГ ЦАГ'Ц1'" называется (совместным) спектральным ра-

диусом множества М.

Множество М называется квазинильпотентным, если р{М) = 0. Далее, множество называется конечно (компактно) квазинильпотентным, если все его конечные (предкомпактные) подмножества квазинильпотентны. Квазинильпотентность множества — важное и удобное

свойство, прежде всего потому, что линейная оболочка квазинильпотентного множества состоит из квазинильпотентных операторов. Квазинильпотентные компактные операторы называются вольтерровыми.

Теорема 2.3.11. Пусть А — замкнутая подалгебра в В(Х) и А' — ее коммутант. Тогда К(Х) П rad А с rad В, где В — замкнутая алгебра, порожденная A U А'.

Замкнутое подпространство Y в X называется гиперинвариантным относительно M С В{Х) если оно инвариантно относительно всех операторов из M и всех операторов из коммутанта М.

Следствие 2.3.12. Пусть А — замкнутая подалгебра в В(Х). Если К(Х) П rad А ^ 0, то А имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство.

Существенным спектральным радиусом ре{М) множества операторов M называется совместный спектральный радиус его образа в алгебре Калкина.

Теорема 2.4.10. Пусть M — предкомпактное множество ограниченных операторов с рс{М) < р{М) = 1. Если полугруппа SG(М) не ограничена, то M имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство. Если же SG(М) ограничена, то она содержит ненулевой идемпотент конечного ранга.

Оператор Т называется оператором основного типа, если р(Т) = ре(Т).

Теорема 2.8.4. Пусть G — полугруппа в R(X). Допустим, что G содержит ненулевой двусторонний полугрупповой идеал J, состоящий из операторов основного типа, а также группу {exp(íT) : t <z R}, где T — некоторый ненулевой вольтерров оператор. Тогда G имеет нетривиальное инвариантное подпространство.

Напомним, что нормированная алгебра Ли — это алгебра Ли, являющаяся нормированным пространством, причем ||[а,й]|| < 7|ННН1> гДе 7 — некоторая константа. В нормированных ассоциативных алгебрах произведение Ли вводится формулой [о, />] = ab - Ьа\ в этом случае 7 = 2. Всякому элементу а е L соответствует ограниченный оператор ad а. на L, определенный формулой (ado)(Ь) = [гг.,Ь], для всех Ь 6 L.

Нормированная алгебра Ли L называется энгелевой , если все операторы ado, а 6 L, квазинильпотентны.

Теоремы типа Кемпбелла - Хаусдорфа позволяют применять результаты об асимптотике операторных полугрупп к исследованию операторных алгебр Ли.

Теорема 2.9.4. Пусть L — энгелева алгебра и 7r : L В(Х) — ограниченный Ли-гомоморфизм. Если равномерное замыкание алгебры Ли жЬ содержит ненулевой компактный оператор, то T.L имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство.

Следствие 2.9.5. Всякая энгелева подалгебра Ли L в К(Х) триангулируема (и потому, замкнутая подалгебра в В(Х), порожденная L, коммутативна по модулю радикала Джекоб-сона).

Этот результат решает, в частности, вопросы, поставленные Войтыньским 4.

В третьей главе диссертации изучаются общие свойства отображения Lat, сопоставляющего улътраслабо замкнутой алгебре операторов А ее решетку инвариантных подпространств Lat(A). Прежде всего, нас интересуют критерии непрерывности отображения Lat и условия, при выполнении которых решетка подпространств попадает в его образ (является рефлексивной, в общепринятой сейчас терминологии, идущей от Халмоша 5).

4W. Wojtyriski, Banach-Lie algebras о/ compact operators. Stud. Math. 49 (1977), 263-273

SP.R- Haimos, Reflexive lattices ol subspaces, J. London Math. Soc. (2) 4(1971). 257-263.

Чтобы придать в данном контексте точный смысл термину "непрерывность напомним общее понятие структуры сходимости на множестве 2Л всех подмножеств некоторого топологического пространства X. Для любой сети {ЛЛ} подмножеств X, обозначим через liiuiiif множество всех точек х 6 X, являющихся пределами сетей {ад} с х* С Ах, а через lim sup А\ множество всех предельных точек таких сетей. Будем говорить, что сеть подмножеств {/1А} пространства X стремится к множеству А е 2х и записывать это в виде А = liirij, /1Л] если liminf/Ц = lim sup Лд = А.

Совокупность всех замкнутых подпространств гильбертова пространства естественно отождествляется с совокупностью всех ортопроекторов, и на нее можно перенести топологию сильной сходимости операторов. В алгебре всех операторов мы рассматриваем сходимость в ультраслабой топологии. Теперь (частичную) непрерывность отображения Lat можно охарактеризовать как справедливость равенства

lat(lim^) = lim(latA) (1)

для всех (соответственно, для некоторых выделенных) сетей {.Да} ультраслабо замкнутых унитальных операторных алгебр.

Особую важность имеют сети, направленные по убыванию или по возрастанию. Они всегда сходятся — к пересечению или, соответственно, замыканию объединения своих элементов.

Для сетей, направленных по возрастанию, равенство (1) тривиальным образом выполнено. С убывающими сетями ситуация более интересна и сложна.

Теорема 3.4.1. Существует убывающая последовательность слабо замкнутых алгебр -4„, таких что и„Lat.A„ отличается от lat(n„.4„).

Таким образом для "непрерывности" необходимы специальные ограничения. Исследование этого вопроса опирается на изучение некоторых операторно геометрических свойств решеток подпространств. Для дальнейшего особенно важны свойства решеток, связанные со свойствами их тензорных произведений на другие решетки подпространств.

Пусть К — сепарабельное гильбертово пространство »V — решетка всех проекторов в К. Мы будем говорить, что решетка подпространств С обладает свойством (р), если решетка Т®С рефлексивна.

Теорема 3.3.9. Пусть Ali и М2 — алгебры фон Неймана, хотя бы одна из которых инъективна. Если Ni и Л/"2 — их решетки проекторов, то решетка М\ S ЛГ2 рефлексивна.

Теорему 3.3.9 можно переформулировать следующим образом: если одна из алгебр фон Неймана Ali, М-2 инъективна, то

lat(Ali ®М2) = lat Aii ® latAb- (2)

Эквивалентность вытекает из того, что для любых алгебр фон Неймана справедливо двойственное утверждение:

aIg(A/i = algAi в algAi

которое есть не что иное, как вариант теоремы Томиты о коммутанте тензорного произведения.

Следствие 3.3.10. Всякая решетка фон Неймана (то есть, решетка проекторов алгебры фон Неймана) обладает свойством (р).

Определение. Если С — решетка подпространств, положим С' = {Р:1вР€Р0С). Будем говорить, что С тензорно замкнута, или обладает свойством (t), если С = С.

Нетрудно доказать, что всякая рефлексивная решетка тензорно замкнута. Следующее, до некоторой степени обратное, утверждение дает основу для получения дальнейших результатов о рефлексивности решеток.

Теорема 3.3.14. Тензорно замкнутая решетка со свойством (р) является рефлексивной.

Напомним, что состояние на В(К) — это положительный линейный функционал единичной нормы. Обозначим через Е(В(К)) множество всех нормальных состояний на В(К). Для каждого '.р е Е(Б(К)) пусть : В(К) ® В(И) —» В(Н) — (единственное) ультраслабо непрерывное отображение со свойством

19{А О В) = <р(А)В, А € В(К), В € В{И)

(правое срезовое отображение).

Пусть

Ф(£) = {Т 6 В(Н) : 0 ^ Т < /, Е,(Т) € С,Уз € [0,1]},

(здесь Е„(Т) — спектральный проектор оператора Т, соответствующий интервалу [«, 1]).

Обозначим через сопу£ слабо замкнутую выпуклую оболочку решетки С.

Определение. Будем говорить, что решетка подпространств С. обладает свойством (с) (свойством (с')), если Ь^Т ® С) С сопу £ (соответственно V ® С) С Ф(£)) для каждого нормального состояния <р на В(Н).

Теорема 3.3.16. (с') =4- (с) =4- (0.

Теорема 3.3.17. Всякая решетка фон Неймана обладает свойством (с')-

Теперь мы переходим к вопросу о достаточных условиях непрерывности ЬсА. Символ {-Дл}лел будет использоваться для обозначения сети унитальных (то есть, содержащих единичный оператор) ультраслабо замкнутых алгебр.

Теорема 3.5.13. Пусть все алгебры Ах, А е Л, содержатся в некоторой алгебре операторов М, коммутант которой содержит две изометрии с взаимно ортогональными образами, и пусть А = 1хтх-4л- Тогда МЛ = ИтлЫ^л-

Применяя результаты о тензорных произведениях решеток, получим следующий результат:

Теорема 3.5.15. Пусть _ДЛ, Л € Л, рефлексивные алгебры операторов, такие что их решетки инвариантных подпространств ЫЛд обладают свойствами (с') и (р). Если А = Л\, то 1а1 А = 1ш1Л Ы А\.

Напомним, что алгеброй Арвесона называется ультраслабо замкнутая подалгебра в $(//), содержащая максимальную абелеву самосопряженную подалгебру алгебры В{Н).

Следствие 3.5.16. Пусть Л\, А е Л — алгебры фон Неймана, или алгебры Арвесона. Если А = Шп*Л\, то Ы; А = Нт* Ы А\.

Условие _

1аг(ПЛЛЛ) -

можно рассматривать и как информацию о свойствах объединения направленной по возрастанию сети решеток подпространств. В частности, данное равенство (в тех случаях, когда оно справедливо) означает, что такое объединение — рефлексивная решетка.

Будем говорить, что некоторое свойство, которым может обладать решетка подпространств, является строго аппроксимативным, если условие, что все решетки С\ из направленной по возрастанию сети им обладают, влечет выполнение этого свойства для замкнутой решетки подпространств, порожденной их объединением.

Теорема 3.6.1. Свойство (р) строго аппроксимативно.

Как следствие, отсюда получается, что свойством (р) обладает всякая коммутативная решетка (сокращенно, CSL), тензорное произведение произвольной CSL на произвольную решетку фон Неймана и, еще шире, любая решетка подпространств, порожденная CSL и коммутирующей с ней решеткой фон Неймана.

Следующая теорема содержит, как очень специальный случай, теорему Арвесона о рефлексивности коммутативных решеток (и тем самым проясняет общеоператорный смысл этого замечательного результата). Она существенно используется в доказательствах результатов последующих глав.

Теорема 3.6.4. Пусть {£лЬел — направленная по возрастанию сеть решеток подпространств, обладающих свойствами (р) и (с), и пусть С. — решетка подпространств, порожденная их объединением. Тогда С рефлексивна.

В четвертой главе диссертации начато изучение masa-бимодулей, то есть, операторных бимодулей над максимальными абелевыми симметричными подалгебрами (сокращенно, masa) алгебры В(Н) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Я.

Пусть V¡ и ¿>2 — masa в гильбертовых пространствах /f¡ и Н2. Подпространство U с B(H¡,H2) называется бимодулем над Di, V2, если Т>2иТ>х с U. Бимодули над masa образуют широкий класс операторно алгебраических систем, обладающий богатой внутренней структурой и тесно связанный с различными областями функционального анализа - теорией операторных алгебр, теорией инвариантных подпространств, теорией меры, динамическими системами, спектральным синтезом, линейными операторными уравнениями. Его важным подклассом является класс алгебр Арвесона, содержащий, в свою очередь, класс CSL-алгебр (теория которых традиционно рассматривается как "несимметрическая" альтернатива теории алгебр фон Неймана).

Для masa-бимодулей имеется естественный аналог понятия решетки инвариантных подпространств — бирешетка бимодуля. Дадим, вначале, общее определение

Подмножество S С P(ffi) х V{H2) называется бирешеткой, если

• (0,0), (0,1), (1,0) eS\

• (P2,Q2)eS=^(PlAP2,Q1\/Q2), (P1\fP2,Q1AQ2)eS.

Любое множество U операторов из B(Hi,H2) определяет сильно замкнутую бирешетку Bil U = {(Р, Q) 6 V(Hi) х V{H2) I QTP = 0 для любого Т е U). Обратно, имея подмножество F С Villi) х V(H2), мы полагаем

М(Т) = {Т € В(Пи Я2) | QTP = 0 для любых (Р, Q) € Т}.

Нетрудно доказать, что пространства вида M(!F) — это, в точности, операторно рефлексивные операторные пространства; они характеризуются равенством U = A4(Bil U). Аналогично, бирешетки вида Bil U характеризуются равенством S Bil M(S) и тоже называются рефлексивными.

Пусть Tli с B(H¡), И2 С В(Н2) — алгебры фон Неймана. Бирешетка S называется Tlx х И2-бирешеткой если S¡ = Тщ и Sr = Рк2-

Далее, если S является 1t\ х 7?.2-бирешеткой, то M(S) — Ti[ х К'2-бимодуль. Обратно, для 7l'¡ х К^-бимодуля U мы рассматриваем Т1\ х К^-бирешетку

ВПКьКгС/ = (Bil U)n(KixK2).

Если выбор Кь ГС2 очевиден, то мы пишем Bil U вместо BilK|iK2(/.

Бирешетка S называется коммутативной, если коммутативны ее проекции на обе компоненты.

Следующий результат — бирешеточная версия теоремы о рефлексивности коммутативных решеток.

Теорема 4.1.2. Если S — коммутативная бирешетка, то (Bil M(S)) П (S, х Sr) = S.

Мы получили, в частности, что Bllo^A^S) = S, для любой V¡ х Р2-бирешетки 6', где T>¡ — masa. Таким образом, коммутативные бирешетки — это бирешетки masa-бимодулей; вопрос об их структуре и о том, в какой мере они характеризуют бимодули, является для нас основным. В дальнейшем мы считаем, что Х>ь Х>2 фиксированы, и для любого U с В(Ни Н2) термин bil U означает B'ú^^U.

Коммутативные бирешетки, действующие в сепарабельном пространстве, имеют удобную координатную реализацию.

Пусть (X, (У. и) — пространства с мерой, II¡ = L2(X,p), Я2 = L2(Y,u), Т>ъ Т>2 — алгебры фон Неймана операторов умножения на функции из í/°°(X,/i), L°"(Ytv). Тогда Vv, состоит из операторов умножения на характеристические функции борелевских множеств. Мы будем обозначать через Рц и Qy проекторы, соответствующие множествам U с X и V С Y.

Нам понадобится конструкция, объединяющая понятия топологического и измеримого пространств.

Псевдотопологическим пространством называется множество Т, в котором выделено семейство С подмножеств, содержащее пустое множество, все Т и замкнутое относительно формирования конечных пересечений и счетных объединений.

Подмножества, входящие в £, называются псевдооткрытыми, их дополнения — псевдозамкнутыми.

Исходя из пары пространств с мерами, можно построить специальную псевдотопологию, ui, на их прямом произведении.

Пусть (Х,ц), (Y,v) — пространства с мерами (для простоты, стандартными). Подмножество Е прямого произведения X х Y называется маргинально нулевым, если Е С (А х У) U (X х В), где р(А) = 0 = i'(В). Два множества маргинально эквивалентны, если их симметрическая разность является маргинально нулевым множеством.

Назовем ш-открытыми все множества, маргинально эквивалентные счетным объединениям измеримых прямоугольников (то есть, множеств вида А у. В, где А С X, В с Y измеримы).

Фиксируя в пространстве XxY псевдозамкнутое подмножество Е, рассмотрим множество Se всех пар проекторов (Ри, Qv), таких что EnUx.V — маргинально нулевое множество.

Теорема 4.3.2. Se — замкнутая бирешетка. Обратно, для любой замкнутой Vi х Т>2-бирешетки S существует единственное, с точностью до маргинальной эквивалентности, псевдозамкнутое множество Е С X х У, такое что S = SE.

Будем говорить, что псевдозамкнутое множество Е несет оператор Т, если QvTPy = О для любого прямоугольника Ух К, не пересекающего Е. Носитель оператора Т (или семейства операторов Т) - это наименьшее, с точностью до маргинальной эквивалентности, псевдозамкнутое множество, на котором сосредоточен Т (все операторы из J-).

Носитель будет обозначаться supp Т (соответственно, supp Из определения сразу следует, что, для любого псевдозамкнутого множества Е, бимодуль M(Se) состоит из всех операторов, носители которых содержатся в Е. Мы далее будем обозначать его через Мтах(Е), чтобы подчеркнуть тот факт, что он является наибольшим из бимодулей с носителем Е. Теорема о рефлексивности бирешеток показывает, что отображения Е —» Se и S —» M(S)

устанавливают естественные биекции между множеством классов эквивалентности псевдозамкнутых подмножеств в ХхУ, множеством (сильно замкнутых) бирешеток в Т>1у.Т>2 и множеством рефлексивных (23] хР2)-бимодулей. Естественность, в данном случае, означает согласованность с отображениями С/ —» В11(1/) и 5 —> Мб-

Особо отметим следующий частный случай этого результата:

Следствие 4.3.3. Пусть Е — псевдозамкнутое множество. Для того, чтобы существовал ненулевой оператор, сосредоточенный на Е, необходимо и достаточно, чтобы Е не было маргинально нулевым.

Для замкнутых подмножеств произведений компактов следствие 4.3.3 ("теорема о нулях") было получено Арвесоном ('). Там же был поставлен вопрос о справедливости этого результата для всех борелевских подмножеств (если считать пространства А',У компактными, а меры ц, V — регулярными борелевскими). Ответ на него оказывается следующим.

Теорема 4.5.5. Пусть р, и — регулярные борелевские меры на хаусдорфовых компактах Х,У и пусть Е — универсально емкостное подмножество в А'хК. Для того, чтобы существовал оператор, сосредоточенный на Е, необходимо и достаточно, чтобы множество Е не было маргинально нулевым. В частности, это справедливо для всех множеств из прямого произведения в{Х)®В(У) борелевских алгебр.

Так как для метризуемых компактов прямое произведение борелевских алгебр совпадает с борелевской алгеброй прямого произведения, то в этом случае ответ на сформулированный выше вопрос Арвесона положителен. В диссертации строится пример, показывающий, что в общем случае ответ отрицателен. Получена, также, количественная (минимаксная) форма теоремы о нулях.

Далее рассматривается вопрос о несущих множествах для операторов специальных классов. Очевидно, что множество Е несет ненулевой оператор Гильберта - Шмидта тогда и только тогда, когда его мера не равна нулю. Можество Е несет ненулевой ядерный оператор тогда и только тогда, когда оно содержит прямоугольник ненулевой меры (это утверждение, несмотря на простоту формулировки, уже далеко не очевидно). Для общих шэттеновских идеалов вопрос связан с тонкими проблемами теории исключительных множеств. В диссертации строится пример псевдозамкнутого множества, несущего оператор из пересечения всех идеалов Сг с р > 1, но не несущего ненулевых ядерных операторов.

Приведем также несколько результатов о структуре та5а-бимодулей, содержащих операторы специальных классов.

Известно (см ('•'), теорема 23.16), что всякий оператор конечного ранга в СБЬ-алгебре принадлежит замыканию по операторной норме ее ранг-один подпространства (линейной оболочки операторов ранга 1). Оказывается, что этот результат допускает усиления различного характера: СБЬ-алгебру можно заменить замкнутым по норме тава-бимодулем и, что наиболее важно, операторную норму — следовой.

Теорема 4.4.2. Всякий оператор конечного ранга из замкнутого по операторной норме шаэа-бимодуля М принадлежит замыканию по следовой норме ранг-один подпространства в М.

Строятся примеры, показывающие, что теорема 3.4.2 не обобщается на ядерные операторы из М. Точно так же, предположение о замкнутости М по операторной норме существенно и не может быть ослаблено до замкнутости по следовой норме.

Теорема 4.4.19. Существует транзитивный бимодуль операторов конечного ранга, не плотный (по соответствующей норме) ни в одном из Шэттеновских идеалов Ср, 1 < р < оо.

Следующий результат положительно решает проблему слабой операторной плотности ранг-один пространства для таБа-бимодулей.

Следствие 4.4.5. Ранг-один подпространство строго рефлексивного masa-бимодуля М плотно в М в слабой операторной топологии.

Построен пример, показывающий, что ультраслабой плотности может не быть. Это неожиданно еще и потому, что в случае алгебр ситуация совсем иная. Пример используется в главе 5 для решения вопроса о реализуемости эффекта несинтезируемости в классе слабо замкнутых алгебр.

Пятая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о возможности восстановления masa-бимодуля по его бирешетке. Эта задача идейно близка задачам спектрального синтеза функций на ЛКАГ; мы называем разработанный для ее решения аппарат теорией операторного синтеза.

Далее считаем фиксированными masa V¡ и Т>2 в гильбертовых пространствах lí¡, ll¡ и рассматриваем £>1х1>2-бирешетки и Di х Г>2-бимодули. В частности, bil U, для любого U б В(Н\, Я2), означает Bi\p„v2U.

Пусть S — Vi х Р2-бирешетка, conv S — ее замкнутая выпуклая оболочка в V\ х V¿.

Будем говорить, что Т>\ х £>2-бирешетка, S, является синтезируемой, если существует ровно один ультраслабо замкнутый Т>г х Х^-бимодуль, бирешетка которого равна S. Следующий результат, положительно решающий проблему Дэвидсона (2), устанавливает синтези-руемость бирешетки Triv — {(Р, Q): Р = 0 или Q - 0}

Теорема 5.1.5. Пусть Я, К — гильбертовы пространства, V¡ С В(Н),Т>2 С В(К) — коммутативные алгебры фон Неймана. Тогда В(1/, К) — единственный транзитивный ультраслабо замкнутый (Х>1,Х>2)-бимодуль.

Для произвольной Х>1 хХ>2-бирешетки 5 мы рассматриваем все ультраслабо замкнутые Vi х 1>2-бимодули U, такие что Ы1 U = S. Ясно, что среди них есть наибольший — M(S). Задача состоит в том, чтобы выделить и, по возможности, эффективно охарактеризовать наименьший.

Фиксируя нормальное состояние <р на R{h), рассмотрим "срезовый" оператор : В{12 & #ъ h ® H-i) —> B(H¡, //2)}, определенный равенством Lf{A 0 В) = tp{A)B. Положим

Fs = {(.4, В) | (LV(A),LV(B)) 6 conv S для любого rf, ¿ = {(Р, Q) е Fs\ P,Q - проекторы}

jMO(S) = {X е В{НЪ Н2) I 1 ® X 6 AI(S)},

где 1 — тождественный оператор на /2. Тогда A4a(S) является ультраслаб о замкнутым Vi х Г>2-бимодулем, содержащимся в Л1(5).

Теорема 5.1.9. Пусть S — произвольная T>¡ х 02-бирешетка. Тогда Mo{S) — наименьший из ультраслабо замкнутых Vi х Х>2-бимодулей с бирешеткой А'.

Из этого результата немедленно получается ответ на поставленный в (') вопрос о существовании наименьшей ультраслабо замкнутой алгебры Арвесона с данной решеткой:

Следствие 5.1.10. Если С — произвольная CSL, то существует наименьший элемент в классе всех ультраслабо замкнутых алгебр Л, для которых lat А = С и С с А.

Ограничимся теперь рассмотрением сепарабельных пространств. Как уже отмечалось, в этом случае коммутативные бирешетки соответствуют псевдозамкнутым подмножествам прямого произведения пространств с мерами. Мы будем называть множества, соответствующие синтезируемым бирешеткам, множествами операторного синтеза, или множествами операторного ¡i х и-синтеза, когда потребуется уточнить, о каких мерах идет речь.

В диссертации получен ряд результатов, устанавливающих и использующих тот факт, что условие синтезируемости имеет, как и в классическом случае спектрального синтеза на ЛКАГ, аппроксимационный характер. Вот один из них:

Теорема 5.2.17. Пусть (X,/i), (У», (X,ji,) и (Fi, /л) — стандартные борелевские пространства с мерами, а ; X н X,, ji : У и У, - борелевские отображения. Пусть меры абсолютно непрерывны относительно мер /ii и j/j, соответственно. Если борелев-ское множество Et с Xi х Уг является (/^ х ¿^-синтезируемым, то (у? х <!>)_1(£i) также (¿1 х ^(-синтезируемо.

Одно из наиболее важных следствий теоремы 5.2.17 относится к множествам конечной ширины.

Пусть fi и g,, г = 1,..., п. — борелевские отображения стандартных борелевских пространств (X, ft) и (Y,v) в упорядоченное стандартное борелевское пространство (Z, ;С). Тогда множество Е = {(х, у) | ¡¡(х) ^ 3i(y), г = 1,..., п} называется множеством ширины п.

Теорема 5.2.20. Всякое множество конечной ширины операторно синтезируемо.

Арвесон (') определяет решетки конечной ширины как решетки подпространств, порожденные конечным числом гнезд (линейно упорядоченных решеток). Им доказано, что все решетки конечной ширины синтезируемы. Это эквивалентно утверждению теоремы 5.2.20 для множеств, являющихся графиками порядков.

В той же работе (стр.487) поставлен вопрос о синтезируемости решетки, порожденной объединением синтезируемой решетки и решетки конечной ширины. Ответ на него оказывается отрицательным:

Теорема 5.2.21. Существуют синтезируемая решетка Сх и решетка конечной ширины С2, для которых решетка С\ V С2 не синтезируема.

Далее рассматривается связь операторного синтеза со спектральным синтезом в алгебре Варопулоса.

Пусть А — унитальная полупростая регулярная коммутативная банахова алгебра со спектром (пространством максимальных идеалов) К. Мы будем отождествлять А с подалгеброй алгебры С(К). Для замкнутого множества Е С X, положим

1Л{Е) = {а 6 А : a(t) = 0 при t G Е) I"a{E) = {ne A: a{t) = 0 в окрестности Е}

Говорят, что Е — множество спектрального синтеза для А, если /д(Е) = Ja{E)-

Интересующая нас банахова алгебра — это проективное тензорное произведение V(X,Y) — C(X)QC(Y), где X и Y — компактные пространства. Заметим, что спектр V(X,Y) совпадает с А'хУ. Пусть M(À'), M(Y) ~ пространства конечных борелевских мер на X и Y соответственно.

Теорема 5.4.1. Если замкнутое множество Е Ç X х У является множеством синтеза для любой пары мер (/х,и), ц е М(X), и 6 Л/(У), то Е — множество спектрального синтеза для V(X,Y).

Теорема 5.4.1 дает возможность получать спектральные результаты за счет операторной техники. Так, применяя теорему 5.2.17, получаем

Следствие 5.4.2. Пусть : X ь* Z и ф1 : У и- Z, г = 1,... ,и — непрерывные отображения компактных метрических пространств X и У в упорядоченное метрическое пространство Z. Тогда множество Е = {(.г, у) | <fii(x) < щ{у), г — 1,...,«} синтезируемо для алгебры V(X,Y).

Отсюда немедленно вытекает тонкая теорема Друри о синтезируемостн "нетреугольных" множеств (см. 6).

В диссертации построен пример, показывающий, что прямое обращение теоремы 5.4.1 неверно. Таким образом, множества универсального (независимого от выбора мер) операторного синтеза образуют более узкий класс, чем множества спектрального синтеза. Изучается вопрос о том, какие из известных классов синтезируемых множеств входят в этот класс. Рассматривается, также, класс операторно Диткинских множеств и операторная версия проблемы синтезируемостн объединений.

В шестой главе диссертации рассматривается индивидульный операторный синтез для элементов алгебры Варопулоса и его приложения к проблемам теории линейных операторных уравнений.

Пусть А — полупростая, регулярная коммутативная банахова алгебра с единицей, и пусть Ка — ее спектр (пространство характеров). Элемент а е А называется синтезируемым (или допускающим спектральный синтез), если он является пределом последовательности элементов, обращающихся в нуль в окрестностях множества nuU(a) его нулей.

Пусть М — модуль над А; для любого х 6 М мы обозначаем через Sujt¡>(x) множество нулей его аннулятора в А.

Будем говорить, что элемент я 6 Л является синтезируемым относительно yl-модуля М, если а ■ х = 0 для любого х € М, такого что Su]>p(x) С пиН(а).

Пусть X, У — компактные пространства и V(X, У) = C'(X)éC(Y). Для любых ц е М(Х), V € M(Y), положим #i = /,2(A',/i), Н2 = L2{Y.p).

Полагая, для F(x,y) = Т^^ШШ е V(X,Y) и Т е В{Н1:Н2),

ОО

(3)

>1=1

мы задаем структуру V(X,У)-модуля на В(Н^,Н2).

Мы говорим, что функция F 6 V(X, У) является операторно синтезируемой (относительно мер (ii,v)), если она синтезируема относительно V{X, У)-модуля B{Hi,H2).

Следующее утверждение можно рассматривать как локальный вариант теоремы 5.5.1. Однако, в отличие от последней, оно является "двусторонним".

Теорема 6.2.4. Функция F € V(X, Y) допускает спектральный синтез, если и только если она операторно синтезируема при любом выборе конечных мер на X, Y.

Исследование уравнений вида (3) является частью общей теории линейных операторных уравнений

Д(Х) := ]Г ВкХАк = О (4)

как

где {Ак}ьек = А и {Bk}kf_K = В — конечные, или счетные семейства операторов, удовлетворяющие условию ||Л(.||2 < оо. YlkzK ll^fclP < 00■ Если А, В — коммутативные семейства нормальных операторов, то говорят, что (4) — линейное уравнение с нормальными коэффициентами.

Для F е V(X,Y), пусть Af — оператор X м F ■ X на В(НиП2), соответствующий структуре V(X, У)-модуля. Это оператор умножения с коммутирующими нормальными коэффициентами и его ядро ker Др является пространством решений однородного линейного операторного уравнения. Пусть, как обычно, £дг(0) — О-спектральное подпространство для Ар'-

£дД0) = {т е В{НЪ н2) IНДКПН1'" - о,« оо}.

Следствие 6.2.7. Следующие условия эквивалентны:

6S.W.Drury, On non-triangular sets in tensor algebras. Studta Math. 34 (1970), 253-263

(a) F 6 V(X, Y) операторно синтезируема;

(b) kcr AF = £дД0).

Теорема 6.2.4 и следствие 6.2.7 сводят доказательство синтезируемости элемента алгебры Варопулоса к чисто операторной задаче. Ее решению, то есть, сравнению О-спектрального подпространства и ядра для различных классов операторов умножения посвящена значительная часть этой главы. И обратно, результаты о спектральном или операторном синтезе имеют непосредственное применение к линейным операторным уравнениям. Так, например, полученная в предыдущей главе информация об условиях глобального операторного синтеза сразу влечет

Следствие 6.3.4. Если псевдозамкнутое подмножество Е в X х Y является множеством операторного синтеза, то любой оператор, сосредоточенный на R, удовлетворяет всем операторным уравнениям F -Т = 0, соответствующим функциям F е V'( А', У ), обращающимся в нуль на Е.

В частности, справедливо

Следствие 6.3.7. Пусть f¡, g¡, 1 <; ; < п, — борелевские функции на стандартных боре-левских пространствах (Х,р), (Y, ч). Если Те B(L2(X), L2(Y)) удовлетворяет операторным уравнениям

M¡.T = TMgi, 1 < ís; п, то F ■ Т = О, для любой функции F 6 V( A". Y), равной нулю на множестве {(х, у) | /¡(х) = 5.Ы, 1 ^ г < «}•

Частным случаем следствия 6.3.7 является известная теорема Фуглида-Патнэма об эквивалентности уравнений AT = ТВ и Л'Т = ТВ', где А, В — ограниченные нормальные операторы. Естественно возникает вопрос о том, распространяется ли этот результат на уравнения вида ]T'Li BJ'A, = 0 и B¡TA* = 0, где {Л,},<;,.;„ и {Я,-}]<-,<;„ — коммутативные семейства нормальных операторов. В диссертации показано (пример 6.3.8), что эта задача, поставленная Гарри Вейссом 1, имеет отрицательное решение. Основная идея контрпримера основана на связи индивидуального и глобального синтеза.

В работе устанавливаются различные достаточные условия эквивалентности уравнений рассмотренного вида, а также более общих. Здесь многое основано на технике, позволяющей сводить исследование к операторам умножения в идеале операторов Гильберта - Шмидта. Мы начнем с общего подхода, позволяющего связывать пространства решений "одинаковых" уравнений в различных топологических векторных пространствах.

Пусть X и У — топологические векторные пространства, Ф : X —> У — непрерывное вложение с плотным образом, a S и Т — операторы, действующие в X иУ, соответственно, сплетаемые отображением Ф: Тф = Ф.Ь\ В этом случае мы говорим, что дано сплетение (Ф,6',Т). Сеть линейных отображений Fa : У X называется аппроксимативным обратным сплетением, (АН), для сплетения (Ф, S, Т) если Р„Ф - » l.v, ФFa —> lj> и F„T-SFa —» 0Х в топологии простой сходимости. Если последнее условие заменить условием ограниченности сети FaT — SFa, то Fa называется аппроксимативным обратным полусплетением (AIS).

Несмотря на общность ситуации, здесь удается получить нетривиальные результаты, оказывающиеся полезными в конкретных приложениях. Приведем некоторые примеры.

Обозначим через ф"1 операцию взятия полного прообраза относительно отображения Ф: Ф_1(М) = {х 6 X I Ф(х) 6 М} для любого Af с У (не обязательно М С Ф(А')), Как обычно, образ отображения X обозначается через Im X.

'Gary Weiss, The Fugletle commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt class and generating [unctions tor matrix operators. It. J. Operator Theory 5 (1981), no. I, 3-16

Теорема 6.4.1. Если сплетения (Ф, £¡,7;), I sC i -g п, имеют общее АН, то

«r-^ImrOc^TlmiV i i

Пусть Н — гильбертово пространство, рассматриваемое со слабой топологией.

Следствие 6,4.2. Если X = Н и (Ф, S, Т) имеет АН, то

Ф(кег5*)ПIm Т={0}.

Теорема 6.4.4. Пусть Ф сплетает пары 5,-, 71 (i = 1,2). Пусть А' — банахово пространство со слабой топологией и ||S2z|| < I|Si.tH, для любого х € X. Если (Ф, S\. 71) имеет All, то

Ti-1(Im Ф) с Tf^Im Ф)

Нф-'^г/Н ^ НФ-^.г/Н (5)

при каждом у 6 Tf'(Im Ф).

Обозначим через X' пространство антилинейных функционалов на X, снабженное *-слабой топологией (в частности, Н* = Н). Сопряженный оператор (на X" или между X* и У') определяется обычным образом. В частности, сопряженный к оператору на Н имеет обычный смысл.

Пусть Ф : Н —> У сплетает операторы S,S' с Т,. Т2. Пусть {Fa} : У —» И — аппроксимативное обратное сплетение для (Ф, S, 71). Оно называется *-аппроксимативным обратным сплетением (*-АП) для упорядоченной пары (1ф, S, 71), (Ф, S", 71)), если {7^/v,} — All для сплетения (ФФ', 77, Т2). Аналогично определяется *-аппроксимативное обратное полусплетение (*-AIS).

Теорема 6.4.9. (i) Если пара ((Ф, Л', 71), (Ф.5*,71)) имеет *-AIS, то (Im 71) пТг-1(ФФ*(3>*)) с Ф(Н). (ii) Если ((Ф,5,71), (Ф, S",7i)) имеет *-АП, то

НФ-'т»)!!'= <(***)-'№»).»>

для любого у б (Т271)_1(ФФ*(У*)).

Следствие 6.4.10. Если (^,3,71), (Ф,5"\Т2)) имеет +-AIS, то Im 71 ПкегГ2 = {0}.

Мы применяем результаты об (АН) в ситуации, когда X, У — симметрично нормированные идеалы операторов в гильбертовом пространстве Н (наиболее важные случаи: X = С\, У = Ср, либо X = С2, У = В(Н)) а операторы T,S — сужения на эти идеалы оператора умножения (4). В качестве Ф берется соответствующее "тождественное" вложение, а для существования (АН) или (AIS) нужно, чтобы выполнялись условия полудиагональности.

Семейство {Хь}кск называется полудиагональным относительно с-н идеала J, если существует последовательность конечномерных проекторов Р„, такая что Р„ -»* 1 и ьир„ ||[Р„ Xk\\\j < оо. Если J = Ср, 1 < р < оо, мы пишем просто р-полудиагонально. Очевидно, что если pi < р2, то каждое pi-полудиагональное семейство является р2-полудиагональным. В частности, 1-полудиагональность — наиболее сильное из таких условий, а Coc-полудиагональность — наиболее слабое. Так, любое конечное семейство операторов С^-полудиагонально.

В диссертации получен ряд достаточных условий полудиагональности; в частности, показано, что семейство коммутирующих нормальных операторов Ср-полудиагонально, если

размерность Хаусдорфа совместного спектра не превосходит р, и что любое конечное семейство взвешенных сдвигов 1-полудиагонально. Другие примеры можно построить с помощью результатов Войкулеску и А.М.Вершика.

Перейдем к конкретным приложениям теории аппроксимативных сплетений.

В работе (3) Г.Вейсс доказал, что если Л — нормальный оператор, X е С2 и [Л, X] 6 Сь то 1г([Л,Х]) = О. Следующий результат развивает это утверждение сразу в нескольких направлениях (идеал операторов Гильберта - Шмидта заменяется произвольным Шэттеновским, оператор — семейством операторов, ограничение нормальности снимается).

Предложение 6.6.1. Пусть р € (1, оо]. Если семейство операторов {<4|с}ь=1 р/(р - 1)-

полудизгонально, Хк 6 Ср и е то

Вейсс ставит вопрос о возможности ослабить в его теореме условие X е С2 до условия компактности X. В диссертации построен пример, показывающий, что его нельзя ослабить даже до условия X е Пс>0С2+£. Отсюда можно вывести и ответ на другой вопрос Вейсса (поставленный в той же работе):

Следствие 6.6.6. Существуют нормальный оператор А и компактный оператор X, такие что [Л,Х)еС1,[Л*,Х1^С1.

Следующий результат, относящийся уже к теории функций, также дает ответы на вопросы Вейсса (3).

Следствие 6.6.4. (¡) Если Д € /лр^АО, 1]), 1 $ к ^ п, то не существует функций

6 ¿2([0,1]2), удовлетворяющих условию

т|

£</*(*)-Л(»))А(*.!/) = !• (6)

к=1

(и) При п = 2 то же верно, если непрерывны и вещественнозначны.

(ш) Условие вещественнозначности в (н) опустить нельзя.

Известная проблема существования оператора А, для которого образ внутреннего дифференцирования X |-> [Л, Л'] имеет нетривиальное пересечение с коммутантом сопряженного оператора А", может быть переформулирована в контексте общих операторов умножения как вопрос о справедливости равенства

кег ДД = кег Д. (7)

Отметим, что (7) представляется правильным вариантом "некоммутативной теоремы Фуглида". В самом деле, теорема Фуглида может рассматриваться как аналог, для нормальных внутренних дифференцирований, равенства кег.4 = кегЛ*, справедливого для любого нормального оператора Л. В этом же смысле, равенство (7) является аналогом равенства кег А'Л = кег Л, справедливого для всех операторов. Ясно, что если (7} верно и Д коммутирует с Д, то из (7) сразу следует формула ксгД — ксгДД = кег Д. Таким образом "некоммутативная теорема Фуглида если она справедлива, является широким обобщением классической. С другой стороны, то же рассуждение показывает, что в полной общности равенство (7) не может быть справедливым, поскольку, как мы знаем, существуют операторы умножения с коммутирующими нормальными коэффициентами, для которых кег Д Ф кег Д. Тем не менее, как показывает следующий результат, равенство (7) выполняется для широкого класса операторов умножения.

Теорема 6.7.1. Если коэффициентное семейство {Лк}к1=к оператора Д 1-полудиагонально, то равенство (7) справедливо.

Условимся писать ЦЛ'Цз = оо, если X £ С2. В этих обозначениях известная теорема Фуглида - Вейсса (7) означает справедливость равенства

\\АХ-ХВ\\2 = \\А'Х-ХВ'\\2

для любых нормальных операторов А, В и любого оператора X. Следующая теорема переносит этот результат на гипонормальные операторы, то есть, такие операторы А, для которых

Теорема 6.7.3. Пусть А 6 В(Н) — гипонормальный оператор конечной кратности, и пусть В € В(Н) таков, что В* гипонормален. Тогда для каждого X 6 В(Н)

\\АХ-ХВ\\2 > \\А'Х - ХВ'\\2.

Очевидно, что "теорема Фуглида как коммутативная, так и общая, для произвольного Д верна в С2 и, следовательно, в Ср, при р ^ 2. Следующий результат показывает, что при всех р > 2 для справедливости такого рода утверждений необходимы ограничения на коэффициентные семейства.

Предложение 6.7.8. Для любого р > 2, существует оператор умножения Д с коммутирующими нормальными коэффициентами, такой что уравнения А(Х) - 0 и Д(Х) = 0 не эквивалентны в Ср.

Далее изучается спектральная структура операторов умножения с коммутирующими нормальными коэффициентами. Мы приведем лишь оценку подъема ase Д, оператора Д (он определяется как наименьшее натуральное число п, для которого кег Д" = кег Д"+1).

Следствие 6.8.4. Если размерность спектра левого коэффициентного семейства не превосходит 2п, то ase Д ^ п.

Теперь мы можем вернуться к теме, заявленной ранее, и применить имеющиеся результаты для получения критерия синтезируемости функций в алгебре Варопулоса V(X, V).

Теорема 6.9.1. Пусть F = 6 V(X,Y). Рассмотрим отображение / : X —> /2, за-

данное формулой /(.г) = (Л{.т),/2(х), ...). Если dim f(X) ^ 2, то F допускает спектральный синтез.

Заметим, что если dim X = 1 (или 2) и /i е Lip¡/2(X) (соответственно, f¡ е Lip(X}), причем липшицевы константы С\ суммируемы, то из доказанной теоремы вытекает, что функция F(x.y) = 2j/¿(z)g,'(y) допускает спектральный синтез в V(X,Y).

Теорема 6.9.2. Пусть F(x. у) = £f=1 /,(i)f;,(y) е V(X, Y). Обозначим через т наименьшее целое число, большее или равное |dim f(X), где / : X —» Ск — отображение х *—> (fi(x),..., fk(x)). Тогда последовательность замкнутых идеалов Jj = F'V(X, Y) алгебры V(X,Y) стабилизируется на шаге с номером п < т. Более того, для любого банахова модуля М над V(X, Y), последовательность подмодулей F'M стабилизируется на некотором шаге n < т.

В заключение, свяжем обсуждаемую проблематику с гармоническим анализом и обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Будем обозначать символом Т преобразование Фурье (действующее в любом из рассматриваемых ниже пространств обычных или обобщенных функций). Пусть D — пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на R", D' — сопряженное пространство (распределений), ,?Xi(Rn) — алгебра Фурье, РМ(Р") — пространство, сопряженное к JXipR") (пространство псевдомер), ¡р*ф — свертка двух функций из !>. Вложение

РМ С О' позволяет рассматривать распределение рФ 6 V, для любого многочлена р от п переменных и любой псевдомеры Ф.

Следствие 6.9.3. Пусть р — многочлен от двух переменных, тогда для псевдомеры Ф 6 РМ(Л2) включение БиррФ С р-1(°) эквивалентно условию рФ = 0.

Следствие 6.9.4. Пространство всех ограниченных решений уравнения = "

в Ег полностью определяется многообразием нулей многочлена р в К2.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

СТАТЬИ В НАУЧНЫХ ЖУРНАЛАХ

1. Логинов А.И., Щульман B.C. Инвариантыые подпространства операторных алгебр// Итоги науки и техники, Математический анализ — Том 26, 65-145, 148, Академия Наук СССР, ВИНИТИ, Москва, 1988.

2. Шульман B.C. "Гнездовые алгебры" К.Р.Дэвидсона и обзор современного состояния вопроса // Алгебра и анализ — том 2, вып. 3, 236-255, 1990

3. Шульман B.C. Теорема Фуглида-Патнэма и рефлексивность // Докл. АН СССР — 210 (1973), 543-544.

4. Шульман B.C. Операторы умножения в С'-алгебрах и проблема рефлексивности алгебр, содержащих m.a.s.a.// Функциональный анализ и его приложения — 8 (1974), вып. 1, 92-93.

5. Шульман B.C. Операторные алгебры со строго циклическими векторами// Математические заметки — 16 (1974), 253-257.

6. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с обобщенно-скалярными коэффициентами// Доклады АН СССР — 225 (1975), вып. 1, 56-58.

7. Шульман B.C. Одна теорема о неподвижной точке // Функциональный анализ и его приложения - 13 (1979), вып. 1, 88-89.

8. Шульман B.C. О неподвижных точках дробно-линейных преобразований// Функциональный анализ и его приложения — 14 (1980), вып. 2, 93-94.

9. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с нормальными коэффициентами// Доклады АН СССР - 270 (1983), вып. 5, 1070-1073.

10. Шульман B.C. Модули над операторными алгебрами // Функциональный анализ и его приложения — 17 (1983), вып. 2, 94-95.

11. Шульман B.C. Об инвариантных подпространствах волътерровых операторов // Функциональный анализ и его приложения — 18 (1984), вып. 2, 85-86.

12. Шульман B.C. Операторы умножения и следы коммутаторов // Исследования по линейным операторам и теории функций, XIII. Записки Научных семинаров ЛОМИ — 135 (1984), 182-194.

13. Шульман B.C. Сплетения и линейные операторные уравнения // Доклады АН СССР - 301 (1988), вып. 1, 57-61

14. Шульман B.C. Решетки проекторов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его приложения — 23 (1989), вып. 2, 86-87.

15. Шульман B.C. Операторы умножения и спектральный синтез // Доклады Академии Наук СССР - 313 (1990), вып. 5, 1047-1051.

16. Шульман B.C. Спектральный синтез и теорема Фуглида-Патнэма-Розенблюма // Теория функций и функциональный анализ — вып. 54 (1990), 25-36.

17. Шульман B.C. Факторизация вполне положительных коциклов и ГНС-конструкция для представлений в пространстве Понтрягина // Функциональный анализ и его приложения - 31 (1997), вып. 3, 91-94

18. Shutman, V. S. Invariant subspaces and spectral mapping theorems // Functional analysis and operator theory (Warsaw, 1992), Banach Center Publ. - vol.30 , 313-325 - Polish Acad. Sci., Warsaw, 1994.

19. Shulman, V. S. Operators preserving ideals in C*-algebras Ц Studia Math. — 109 (1994), по. 1, 67-72.

20. Shulman, Victor Some remarks on the Fuglede-Weiss theorem Ц Bull. London Math. Soc. - 28 (1996), no. 4, 385-392.

21. Haydon, Richard; Shulman, Victor On a measure-theoretic problem of Arveson 11 Proc. Amer. Math. Soc. - 124 (1996), no. 2, 497-503.

22. Erdos, J. A.; Katavolos, A.; Shulman, V. S. Rank one subspaces of bimodules oner maximal abelian selfadjoint algebras// J. Funct. Anal. — 157 (1998), no. 2, 554-587.

22. Shulman, Victor S.; Turovskii, Yuri V. Joint spectral radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtytlski// J. Funct. Anal. - 177 (2000), no. 2, 383-441.

23. Shulman, V. S. On representations of limit relations Ц Methods Funct. Anal. Topology - 7 (2001), no. 4, 85-86.

24. Kissiri, E.; Shulman, V. S. On the range inclusion of normal derivations: variations on a theme by Johnson, Williams and Fong // Proc. London Math. Soc. (3) — 83 (2001), no. 1, 176-198.

25. Shulman V.S., Todorov I.G. On subspace lattices. II. Continuity of Lat // Journal of Operator Theor. - 52(2004), 1-16.

26. Shulman, Victor; Turowska, Lyudmila Operator synthesis. I. Synthetic sets, bilattices and tensor algebras // J. Funct. Anal. - 209 (2004), no. 2, 293-331.

27. Shulman Victor, Turowska, Lyudmila Operator synthesis. //. Individual synthesis and linear operator equations // J. Reine Angew. Math. — 590 (2006), 143-187.

28. Shulman Victor; Turowska, Lyudmila Beurting-Pollard type theorems // J. London Math. Soc. - 75 (2007), 330-342.

29. Shulman, Victor S.; Turovskii, Yurii V. Invariant subspaces of operator Lie algebras and Lie algebras with compact adjoint action // J. Funct. Anal. — 223 (2005), no. 2, 425-508.

30. Kissin, E.; Shulman, V. S. Classes of operator-smooth functions. II. Operator-differentiable functions // Integral Equations Operator Theory — 49 (2004), no. 2, 165-210.

31. Bresar, M.; Kissin, E.; Shulman, V.S. Lie ideals: from pure algebra to C*-algebras// J. Reine Angew. Math. - 623 (2008), 73-121.

МОНОГРАФИЯ:

Kissin E., Shulman V.S. Representations on Krein spaces and derivations of C*-algebras. — London: Longman, 1997. — 602 p.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Шульман, Виктор Семенович

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы.

1.2 Список опубликованных работ автора по теме диссертации

1.3 Обзор основных результатов диссертации (по

главам)

1.4 Обзор литературы по теме диссертации.

2 Нетривиальность решеток инвариантных подпространств

2.1 Совместный спектральный радиус и совместная квазинильпотентность

2.2 Полунепрерывность и субгармоничность совместного спектрального радиуса

2.3 Вольтерровы алгебры компактно квазииильпотентны

2.4 Существенный спектральный радиус; применения к операторным полугруппам

2.5 Формула Бергера-Вонга.

2.6 Хаусдорфов радиус и инвариантные подпространства

2.7 Обобщенная формула Бергера-Вонга

2.8 Полугруппы операторов основного типа

2.9 Инвариантные подпространства операторных алгебр Ли

2.10 Комментарии и выводы.

3 Непрерывность Lat и рефлексивность решеток

3.1 Свойства замкнутости для решеток подпространств

3.2 Иерархия свойств замкнутости.

3.3 Тензорные произведения решеток.

3.4 Непрерывность отображения Lat

3.5 Достаточные условия непрерывности

3.6 Аппроксимируемость и рефлексивность.

3.7 Комментарии и выводы.

4 Коммутативные решетки и masa-бимодули

4.1 Рефлексивные бирешетки.

4.2 о;-топология.

4.3 Носители бирешеток и бимодулей

4.4 Теоремы плотности для masa-бимодулей

4.5 Минимаксная форма теоремы о нулях

4.6 Комментарии и выводы.

5 Операторный синтез

5.1 Операторный синтез для бирешеток.

5.2 Операторный синтез для псевдозамкнутых множеств

5.3 Существование минимальных алгебр.

Введение диссертация по математике, на тему "Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения"

1. Триангуляция (то есть, нахождение максимальных цепочек инвариантных подпространств) операторных алгебр, полугрупп и алгебр Ли, и, как ее первый шаг, выработка критериев нетривиальности решеток инвариантных подпространств. Эти вопросы имеют первостепенную важность для классификации представлений соответствующих алгебраических структур, исследования спектральной структуры операторных систем, строения их подсистем, идеалов и факторов.

Интерес к проблемам триангулируемости возник уже в конце девятнадцатого века, вместе с теорией конечных групп и конечномерных алгебр Ли. Первые бесконечномерные результаты связаны с именами Гильберта, Шмидта, Вейля, фон Неймана, Стоуна, Халмоша, Л.С.Понтрягина, М.Г.Крейна. Важным этапом развития тематики явилась работа В.И.Ломоносова, за которой последовали работы Д.А.Гурария и Л.А.Ваксмана, Войтыньского, Раджави, Розенталя п многих других математиков. Избранный в диссертации подход потребовал серьезного продвижения в теории банаховых алгебр (теория совместного спектрального радиуса) и исследования асимптотики компактно порожденных полугрупп, что само по себе имеет большое значение. Еще одно направление, в котором, в результате этого подхода, стал возможен существенный прогресс — это спектральная теория операторных уравнений с компактными коэффициентами.

2. Выяснение условий непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat, сопоставляющего алгебре операторов ее решетку инвариантных подпространств. Интерес к проблемам непрерывности Lat объясняется, прежде всего, тем, что ее наличие стабилизирует задачи описания решеток инвариантных подпространств и, тем самым, делает возможным "аппроксимационный" подход к их решению. Результаты о непрерывности оказываются полезными при изучении области значений Lat, то есть, тех решеток подпространств, которые имеют вид Lat(M) для некоторого семейства операторов М; такие решетки принято, следуя Халмошу, называть рефлексивными. Таким образом, в круг рассматриваемых задач входит поиск достаточно удобных критериев рефлексивности решеток подпространств, то есть, изучение тех свойств, которые выделяют решетки инвариантных подпространств среди всех решеток подпространств. Следует отметить, что исследование непрерывности Lat выявляет топологическую подоплеку ряда фундаментальных результатов теории операторных алгебр , таких как теорема Арвесона о коммутативных решетках или теорема Ларсона - Андерсена о кратности инвариантных цепочек.

Вопрос о непрерывности Lat приводит к необходимости изучения геометрии решеток подпространств, а также пространственных тензорных произведений таких решеток и, в частности, исследования проблемы Хоппенвассера - Крауса о нахождении условий на операторные алгебры А и В, при которых решетка инвариантных подпространств их тензорного произведения совпадает с тензорным произведением их решеток. Заметим, что двойственная задача — нахождение оболочки тензорного произведения решеток — также привлекала и привлекает большое внимание; в частности, для ее решения в случае симметричных решеток была построена теория Томиты - Такесаки, вызвавшая революционный прогресс в современной теории С*-алгебр.

Впервые вопросы непрерывности hat, в неявном виде, возникли в работах фон Неймана, рассматривавшего "почти инвариантные" подпространства и "почти триангулирующие" цепочки подпространств. Позднее это направление получило развитие в работах Апостола, Фояша, Войкулеску, Халмоша, Конвея, Хэдвина, Дэвидсона и др. При этом основное внимание уделялось алгебрам с одной образующей; рассматриваемый в диссертации общий случай имеет принципиальные отличия и требует новой техники. Структура решеток инвариантных подпространств активно исследовалась в работах Диксмье, Калиша, М.С.Бродского, Донохью, Г.Э.Кисилевского, Н.К.Никольского, Домара, Д.В.Якубовича и многих других математиков.

3. Исследование структуры операторных бимодулей над максимальными самосопряженными коммутативными алгебрами операторов и соответствующих им проекторных систем (бирешеток). Рассматриваемые здесь вопросы можно разделить на два класса — те, которые связаны с разработкой чисто операторной (бескоординатной) техники в теории бирешеток, независимой от ограничений типа сепарабельности или счетной разложимости, и те, которые возникают при координатном подходе — они связаны с вопросами теории меры, емкости, спектрального анализа — синтеза и других классических областей анализа. Координатный подход впервые возник в работах Арвесона, который изучал специальный класс бимодулей — CSL-алгебры. Он же поставил (в основном, в алгебраической ситуации) множество задач как общеоператорного, так и координатного характера; некоторые из них рассматриваются и решаются в диссертации. На долгое время после работ Арвесона теория CSL-алгебр оказалась в центре внимания специалистов по теории операторных алгебр (среди которых можно выделить особенно значительный вклад Дэвидсона, Эрдеша, Ларсона, Андерсена). Необходимость изучения общемодульной ситуации выявилась в последнее десятилетие, в связи с потребностями теории линейных операторных уравнений, возникающих, в свою очередь, в теории представлений квантовых групп, уравнений в свертках, интегральных уравнений, линейных уравнений в частных производных. Рассмотрение этой тематики в диссертации потребовало создания и разработки нового аппарата: теории операторного синтеза, теории аппроксимативных обратных сплетений, теории псевдотопологических пространств.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка эффективного аппарата спектрального и триангуляционного (то есть, основанного на изучении структуры инвариантных подпространств) анализа операторно алгебраических систем — операторных алгебр, полугрупп, алгебр Ли, бимодулей над операторными алгебрами. Для этой цели в диссертации решаются задачи классификации представлений таких систем, изучения их решеток инвариантных подпространств, задачи совместной триангуляции, задачи выделения геометрических и аналитических инвариантов, удобных для анализа таких систем, изучения асимптотики компактно порожденных полугрупп, задачи спектрального и операторного синтеза, изучения топологических свойств (непрерывность, стабилизация, аппроксимативпость) основных конструкций, рассматриваются проблемы теории меры и теории емкостей, исследуется строение ядер и образов операторов в шкалах банаховых пространств, анализируются спектральные характеристики операторов умножения в симметрично нормированных идеалах и, как следствие, операторов свертки и дифференциальных операторов в частных производных.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются операторно алгебраические системы (алгебры, группы, полугруппы, алгебры Ли, бимодули операторов, действующих в гильбертовых или банаховых пространствах). Предмет исследования — алгебраические, геометрические (триангуляционные, в частности), спектральные свойства этих систем, их подсистем и связанных с ними систем линейных операторных уравнений.

Гипотеза. Основные результаты диссертации получены при исследовании справедливости следующих гипотез:

1. Алгебра Ли вольтерровых операторов имеет инвариантное подпространство (гипотеза Войтыньского).

3. Борелевское подмножество прямого произведения. компактов содержит носитель ненулевого оператора тогда и только тогда, когда оно не является маргинально нулевым (гипотеза Арвесона).

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной рабЬте используются методы классического анализа, теории операторов, теории банаховых алгебр, теории С*-алгебр, теории меры, теории емкостей Шоке, геометрии банаховых пространств, теории спектрального синтеза, теории симметрично нормированных операторных алгебр, теории представлений, теории структур. Специально для решения рассматриваемых в диссертации задач были разработаны аппарат теории псевдотопологических пространств, техника аппроксимативных сплетений, теория операторного синтеза.

В третьей главе диссертации речь идет о непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat. Хотя аппроксимационные методы в теории инвариантных подпространств были инициированы еще фон Нейманом и концептуально близки к теории возмущений, теории рассеяния и т.д., принятый в диссертации подход, основанный па изучении геометрических свойств решеток проекторов и их тензорных произведений, является новым. Применения результатов о непрерывности к проблеме рефлексивности решеток (то есть, характеризации решеток инвариантных подпространств) также впервые появились в работах автора.

Начиная с четвертой главы, в изложении активно используется разработанный автором аппарат теории псевдотопологических пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой. Хотя вопросам эффективного описания алгебр, содержащих masa (максимальные коммутативные алгебры операторов), посвящена большая литература, особое место среди которой занимает статья Арвесона [66], техника псевдотопологии позволила значительно продвинуться в этом направлении, поскольку оказалась применимой для одновременного анализа различных masa-бимодулей. Как следствие, это позволило получить ответы на ряд открытых ранее вопросов теории masa-бимодулей и теории коммутативных решеток проекторов.

Теория операторного синтеза masa-бимодулей, развитая в пятой главе диссертации, также является новой, хотя связь между классическим спектральным синтезом и теорией инвариантных подпространств была открыта ранее Арвесоном. Ее построение позволило, в частности, решить ряд поставленных в [66] проблем. Связь между спектральным и операторным синтезом представляет сама по себе плодотворное направление исследований, на котором уже удалось установить ряд результатов, полезных как для теории операторов, так и для гармонического анализа.

Практическая значимость полученных результатов.

Результаты работы имеют теоретический характер. Они могут применяться к ч операторным алгебрам, линейным операторным уравнениям и представлениям алгебр Ли, возникающим в механике и теоретической физике.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Получение результатов о существовании инвариантных подпространств' операторно алгебраических систем на основе разработанного автором аппарата совместного спектрального радиуса, в том числе решение проблемы Войтыньского о нетранзитивности энгелевых алгебр Ли компактных операторов.

3. Построение теории операторного синтеза, и основанное на ее результатах решение ряда задач теории инвариантных подпространств, в том числе (поставленных Арвесоном и Дэвидсоном) а) проблемы характеризации носителей бимодулей над максимальными абелевыми симметричными алгебрами, б) проблемы плотности транзитивных бимодулей, с) проблемы существования минимальной ультраслабо замкнутой алгебры с заданной коммутативной решеткой инвариантных подпространств.

4. Разработка аппарата аппроксимативных обратных сплетений и получение, на его основе, описания пространств решений линейных операторных уравнений, позволивших ответить на ряд нерешенных вопросов теории таких уравнений, поставленных Г.Вейссом, а также получение приложений к характеризации пространств ограниченных решений некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на конференции по операторным алгебрам в Пифагорио (Греция) в 1996 году, на семинаре А.Я.Хелемского по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Е.А.Горина и В.Я.Лина по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Н.К.Никольского и В.П.Хавина по теории функций и теории операторов (ЛОМИ) в 1983, 1985 и 1986 годах, на совместном англо-российском симпозиуме по теории операторов в Ленинграде в 1996 году, па семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна по теории представлений в МИАН и МГУ, на симпозиуме по банаховым алгебрам в Белефельде (1997), на конференции по бесконечномерный линейным задачам в Словении (Блед 2001, 2005, Краньска Гора 2008), на конференции по банаховым алгебрам в Бедлево (Польша, 2003), на конференции по теории операторных алгебр в Эдмонтоне (Канада, 2003), на конференции IWOTA в Ньюкасле (2002), на семинарах по теории операторов и функциональному анализу в университетах Лондона, Оксфорда, Кембриджа, Лидса, Ланкастера, Эдинбурга, Ньюкасла, Белфаста, Дублина, Копенгагена, Гетеборга, Эгейском университете (Самос), университетах Гераклио (Крит), Афин, Торонто, Халифакса (Канада), Кента (США), Бордо, Белграда, Ленинграда, Минска, Институтах Математики Азербайджана, Украины, Белоруссии, на семинаре профессора Карлесона в Шведской Королевской Технической Школе (Стокгольм), на Воронежских Зимних Школах по функциональному анализу и Крымских Осенних Школах по спектральной теории; по ним были прочитаны курсы лекций в Афинском университете и в Банаховом центре института математики Польской АН.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликована монография и 31 статья в научных журналах. Все результаты диссертации содержатся в этих работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (включая Введение), заключения и списка используемых источников. Список насчитывает 259 наименований. Полный объем диссертации составляет 262 страницы, в том числе список используемых источников занимает 20 страниц.

Заключение диссертации по теме "Математический анализ"

Подведем итог, выделив основные результаты диссертационной работы.1. Построена теория совместного спектрального радиуса, включающая исследование алгебраических и аналитических свойств различных спектральных характеристик операторных семейств.Найдены применения этой теории к задачам теории представлений бесконечномерных алгебр Ли и компактно порожденных полугрупп.В частности, получены критерии существования инвариантных подпространств и критерии триангулируемости операторно алгебраических систем. Обратно, указаны- оценки спектрального радиуса семейства в терминах триангулирующих это семейство цепочек инвариантных подпространств. Доказана компактная квазинильпотентность и, как следствие, существование инвариантного подпространства, для любой алгебры вольтерровых операторов.Исследована зависимость асимптотики и алгебраической структуры полугруппы от спектрального радиуса и существенного спектрального радиуса порождающих ее подмножеств. Доказано, что если полугруппа G состоит из операторов основного типа (то есть, таких, у которых р(Т) = р

(Т)) и содержит группу {exp(tT) : t G R}, где Т — некоторый вольтерров оператор, то она имеет гиперинвариантное подпространство.Как следствие, получено решение проблемы триангуляции вольтерровой алгебры Ли и следующий, более общий, результат: если равномерное замыкание алгебры Ли квазинильпотентных операторов содержит ненулевой компактный оператор, то эта алгебра имеет инвариантное подпространство.Эти результаты опубликованы в работах: [15, 21, 24, 34, 36, 45, 48, 157, 160, 214, 223, 224, 225].2. Проведено исследование геометрии решеток проекторов и получены приложения к проблеме непрерывности отображения Lat. Доказано, что Lat, как отображение многообразия слабо замкнутых операторных алгебр в многообразие решеток подпространств, непрерывно в узком смысле, то есть равенство Lat(lim({A\})) = limLat({A\}) имеет место для сетей {ДА}, элементы которых являются алгебрами фон Неймана, или содержат masa, или содержатся в алгебре фон Неймана с разделяющим вектором (более общим образом, в произвольной алгебре, коммутант которой содержит две изометрии с взаимно ортогональными

образами).На основе результатов о непрерывности получен общий аппроксимационный критерий рефлексивности решетки, позволяющий решить проблему рефлексивности для широкого класса решеток, включающего инъективные решетки фон Неймана, коммутативные решетки и их тензорные произведения. Как следствие, получено положительное решение проблемы Хопенвассера-Крауса для решеток фон Неймана, в предположении инъективности одной из этих решеток.Результаты изложены в работах: [16, 47, 50, 53, 54, 160, 214, 218, 219].3. Создана теория псевдотопологических пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой; на основе изучения этих пространств охарактеризованы носители masa-бимодулей, содержащих операторы из различных Шэттеновских идеалов. Получены эффективные критерии плотности masa-бимодулей. В частности, показано, что транзитивный masa-бимодуль ультраслабо плотен в пространстве всех операторов (решение проблемы Дэвидсона [96]).С помощью введения и исследования специальной емкости Шоке на подмножествах прямого произведения пространств с регулярными мерами, доказано, что борелевское подмножество Е в прямом произведении двух сепарабельных метризуемых пространств с регулярными мерами несет ненулевой оператор в том и только том случае, если оно не является маргинально нулевым (то есть, не содержится в объединении двух множеств с нулевыми проекциями). Тем самым, получен ответ на вопрос Арвесона [66], доказавшего этот факт ("теорему о нулях") для компактных Е. Построен пример, показывающий, что метризуемость существенна. Получена минимаксная формула sup{A*(£) : A G М{Х х У),тп(А) < М,тг2(А) < и} = Ы{ц(А) + v{B) :AcX,BcY,Ec(AxY)U{Xx В)}, которую можно рассматривать как количественный вариант теоремы о нулях, если учесть, что всякая мера A Е M(XxY), проекции TTJ(A) которой на X, Y мажорируются /г, г/, определяет ограниченный оператор из L2(X) в L2(Y). Исследованы условия достижимости седловых значений.Результаты опубликованы в работах: [15, 53, 117, 137, 158, 212, 216].4. Построена теория операторного синтеза, с помощью которой получено решение ряда проблем теории операторов, долгое время остававшихся открытыми. В частности, доказано существование минимальных предрефлексивных алгебр для любой коммутативной решетки, получены аппроксимационные критерии синтезируемое™, построен пример, решающий отрицательно проблему синтезируемое™ решетки, порожденной синтезируемой решеткой и решеткой конечной ширины. Внетопологический (заменяющий внешние топологии псевдотопологией прямого произведения пространств с мерами) подход к задачам синтеза решеток и бирешеток проекторов позволил применять в этих задачах технику измеримых сечений. На этом пути доказана синтезируемость прообразов синтезируемых множеств относительно измеримых отображений; одним из прямых следствий этого результата является теорема о синтезируемости решеток конечной ширины.Исследована взаимосвязь между спектральным и операторным синтезом для подмножеств прямого произведения компактов.Доказано, что подмножество прямого произведения компактов является синтезируемым в классическом смысле относительно тензорной алгебры, если оно универсально (то есть, для любого выбора мер) операторно синтезируемо. Как следствие, получен ряд критериев классической синтезируемости, включающий теорему Друри [109] о "безтреугольных" множествах. Построен пример, показывающий, что класс универсально операторно синтезируемых множеств является более узким, чем класс спектрально синтезируемых, и найдены некоторые достаточные условия универсальной синтезируемости (множества без собственных бимер, операторные множества Диткина).Эти результаты изложены в работах: [18, 41, 52, 117, 212, 220].5. Исследованы задачи индивидуального операторного синтеза в тензорных алгебрах и их связь с проблемами теории линейных операторных уравнений. С помощью техники операторного синтеза построен пример, дающий отрицательное решение общей проблемы Вейсса [246] об эквивалентности линейных операторных уравнений n E A\XB\ = 0 где {Ai : 1 < i < n}, {Д- : 1 < i < n} — коммутативные семейства нормальных операторов.Построен аппарат аппроксимативных обратных сплетений (АОС), позволяющих сравнивать поведение "родственных" операторов в шкалах банаховых пространств. В качестве основного приложения, рассмотрены операторы умножения в шкале идеалов Шэттена &. Техника АОС позволила установить, что если хаусдорфова размерность спектра одного из коэффициентных семейств не превосходит 2, то написанные выше уравнения эквивалентны (в пространстве всех операторов). Даны оценки размерностей, при которых имеет место эквивалентность этих уравнений в &. Получены приложения к задачам о следах коммутаторов в симметрично-нормированных идеалах. Даны, также, ответы на поставленные в [247] и [191] (и связанные со следами коммутаторов) вопросы о разрешимости некоторых функциональных соотношений в конкретных функциональных пространствах.С помощью той же техники, для широкого класса коэффициентных семейств установлены неравенства вида \\Y,A:xB*\\2<c\\j2AXBt\\2 где ||.|J2 — норма Гильберта-Шмидта. Такого же рода оценки получены и для некоторых операторов умножения, коэффициенты которых не являются нормальными. В частности, доказано, что \\АХ — ХВ\\2 < \\А*Х — ХВ*\\2, если операторы А и В* гипонормальны.Исследованы спектральные подпространства и получены оценки подъема для линейных операторов умножения с нормальными коэффициентами. Как следствие, получены количественные оценки (длин цепочек идеалов) в проблеме спектрального синтеза в тензорных алгебрах Варопулоса. Результаты применяются к дифференциальным и псевдодифференциальным уравнениям в частных производных.Доказано, в частности, что пространство ограниченных на R2 решений уравнения полностью определяется многообразием нулей многочлена р. Рассмотрен и случай высших размерностей (на которые это утверждение впрямую не

переносится).Результаты опубликованы в работах: [29, 40, 41, 43, 46, 47, 49, 51, 52, 162, 165, 212, 220].Анализ рассмотренных в диссертации вопросов позволяет сделать вывод, что теория инвариантных подпространств в настоящее время эффективно использует, объединяет и развивает такие различные направления, как гармонический анализ, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория потенциала, дифференциальные уравнения, топология, банаховы алгебры, теория представлений, не говоря уже о собственно теоретико-операторных вопросах.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Шульман, Виктор Семенович, Вологда

1. Беспалов Ю.Н., Самойленко Ю.С., Шульман B.C. Семейства операторов, связанные полулинейными соотношениями/ / Применение методов функционального анализа в математической физике/ Академия Наук Украины, Институт Математики. — Киев, 1991. - С.28-51

2. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Оценки собственных чисел интегральных операторов // Успехи Матем. Наук — 1977 — Т. 32, Ш С.17-84.

3. Ваксман JI.JL, Гурарий Д.Л. Об алгебрах Ли с компактным присоединенным действием // Теория функций, функциональный анализ и их приложения — 1975 — Т.24 — С. 16-32.

4. Гольденштейн Л.С., Маркус А.С. О мерах некомпактности ограниченных множеств и линейных операторов j j Вопросы алгебры -и математического анализа — Кишинев: Карта Молдовенскн, 1965. — С.45-54.

5. Горин Е.А. О подпространствах банаховой алгебры, выделяемых аналитически j j XII Всесоюзная школа по теории операторов. — Челябинск, 1986. С.13-24.

6. Гохберг И.Ц., Гольденштейн Л.С., Маркус А.С. Исследование свойств ограниченных линейных операторов, связанных с их q-нормами // Ученые Записки Кишиневского Гос. Университета — 1957, №29 С.29-36.

7. Брешар М., Киссин Э., Шульман B.C. О Йордановых идеалах и подбимодулях: алгебраический и аналитический аспекты) I Функциональный анализ и его приложения — 2008 — том 42, вып. 3, 71-75.

8. Бродский М.С. Об одноклеточности оператора интегрирования и одной теореме Титчмарша // Успехи математических наук — 1965 Т.20, №5 - С.189-192,

9. Исмагилов Р.С. О кольцах операторов в пространствах с индефинитной метрикой // Доклады АН СССР — 1966 — Т.171, № С.269-271.

10. Исмагилов Р.С. О задаче расширения представлений // Мат. Заметки 1984 - Т.35, №1 - С.99-106.

11. Кисилевский Г.Э.' Инвариантные подпространства вольтерровых диссипативных операторов с ядерными мнимыми компонентами // Известия АН СССР, Сер. матем. -1968 Т.32, №1 - С.3-23.

12. Киссин Е.В., Шульман B.C. Операторно-дифференцируемые функции и дифференцирования операторных алгебр / / Функциональный анализ и его приложения — 1996 — Т.ЗО, №4 С.75-77

13. Литвинов Г.Л., Ломоносов В.И. Теоремы плотности в локадьно выпуклых пространствах и их приложения // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ — 1981 — Т. 20 — С. 210227.

14. Крейн М.Г. Одно применение принципа неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой Доклады АН СССР 1964 - Т.5 - С.224-228.

15. Логинов А.И., Шульман B.C. Наследственная и промежуточная рефлексивность W*-алгебр // Известия АН СССР, серия матем. —1975 Т.39, №6 - С.1260-1273.

16. Логинов А.И., Шульман B.C. Редуктивные операторы и операторные алгебры // Известия АН СССР, серия матем. —1976 Т40, т - С.845-854.

17. Логинов А.И., Шульман B.C. Неприводимые J-симметричные алгебры операторов в пространствах с индефинитной метрикой // Доклады АН СССР 1978 - Т.248, Ш - С.21-23.

18. Логинов А.И., Шульман B.C. Инвариантные подпространства операторных алгебр: Итоги науки и техники, Математический анализ / ВИНИТИ Москва, 1988. - Том 26 - С.65-145.

19. Ломоносов В.И. Об инвариантных подпространствах операторов, коммутирующих с компактными // Функциональный анализ и его приложения 1973 - Т.7 - С.213-214.

20. Ю.И.Любич, В.И.Мацаев Об операторах с отделимым спектром // Матем. Сборник, 1962 Т.56, Ш - С.433-468.

21. Мустафаев Г.С., Шульман B.C. О плотности векторных функционалов // Доклады АН СССР — 1985 — Т.280, №4 — С.804-806.

22. Наймарк М.А., Логинов А.И., Шульман B.C. Несамосопряженные алгебры операторов в гильбертовом пространстве // Итоги науки и техники, Математический анализ / ВИНИТИ — Москва, 1974. — Том 12 С.413-465.

23. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Труды МИАН СССР — 1974 — Т. 120 — С. 1-234.

24. Осиленкер Б.П., Шульман B.C. Решетки инвариантных подпространств некоторых операторов / / Функциональный анализ и его приложения — 1983 — Т.17, №1 — С.81-82.

25. Пеллер В.В. Гапкелевы операторы в теории возмущений унитарных и самосопряженных операторов // Функциональный анализ и его приложения 1985 - Т.19, №2 - С.37-51.

26. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой // Известия АН СССР, серия матем.- 1944 Т.8 - С.243-280.

27. Розеноер С.А. Векторные функционалы и рефлексивность операторных алгебр // Известия АН Азерб. ССР, серия матем.- 1986 Т.35, №1 - С.24-26.

28. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций нескольких переменных. — Москва: Наука — 1971 420 с.

29. Самойленко Ю.С., Шульман B.C. Представления соотношений вида гА, В] = f{A)+g(B) // Украинский Матем. Журнал — 1991 Т/43, Ш - С.110-114.

30. Судаков В.Н. Геометрические задачи теории бесконечномерных распределений // Труды МИАН 1976 - Т.141 - С.1-179.

31. Туровский Ю.В. Спектральные свойства элементов нормированных алгебр и инвариантные подпространства // Функц. Анализ и его прил. 1984 - Т.18, №2 - С.77-78.

32. Туровский Ю.В. Спектральные свойства некоторых подалгебр Ли и совместный спектральный радиус в банаховых алгебрах // Спектральная теория операторов и ее приложения. — Баку, 1985. — Т.6 С.144-181.

33. Туровский Ю.В. Коммутативность по модулю радикала Джекобсона ассоциативных оболочек некоторых алгебр Ли // Спектральная теория операторов и ее приложения. — Баку, 1987. — Т.8 С.199-211.

34. Туровский Ю.В., Шульман B.C. Совместный спектральный радиус и инвариантные подпространства // Функциональный анализ и приложения 2000 - Т.34, №2 - С.91-94.

35. Туровский Ю.В., Шульман B.C. Радикалы в банаховых алгебрах и некоторые проблемы теории радикальных банаховых алгебр // Функциональный анализ и его приложения — 2001 — Т/35, №4 — С.88-91.

36. Туровский Ю.В., Шульман B.C. Инвариантные подпространства операторных алгебр Ли и теория К-алгебр // Функциональный анализ и его приложения 2003 - Т.37, №4 - С.328-330

37. Файнштейн А.С. Фредгольмовость и индекс для функции от левого и правого операторов умножения // Докл. АН Азерб. ССР — 1984 Т.40 - С.3-7.

38. Холево А.С. Аналог теории статистических решений в некоммутативной теории вероятности // Труды. Моск. Матем. Общества 1972 - Т.26 - С.133-149.

39. Широков Ф.В. Доказательство гипотезы Капланского // Успехи Математических Наук 1956 - Т. 11, №4 - С. 167-168.

40. Шульман B.C. Теорема Фуглида-Патнэма и рефлексивность // Докл. АН СССР -1973 Т.210 - С.543-544.

41. Шульман B.C. Операторы умножения в С*-алгебрах и проблема рефлексивности алгебр, содержащих m.a.s.a. // Функциональный анализ и его приложения — 1974 — Т.8, №1 — С.92-93.

42. Шульман B.C. Операторные алгебры со строго циклическими векторами j j Математические заметки — 1974 — Т.16, №2 — С.253-257.

43. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с обобщенно-скалярными коэффициентами // Доклады АН СССР — 1975 — Т.225,- С.56-58.

44. Шульман B.C. Одна теорема о неподвижной точке // Функциональный анализ и его приложения — 1979 — Т. 13, №1- С.88-89.

45. Шульман B.C. О неподвижных точках дробно-линейных преобразований // Функциональный анализ и его приложения- 1980 Т. 14, №2 - С.93-94.

46. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с нормальными коэффициентами // Доклады АН СССР 1983 — Т.270, №5 -С.1070-1073.

47. Шульман B.C. Операторы умножения и следы коммутаторов // Исследования по линейным операторам и теории функций. Записки Научных семинаров ЛОМИ 1984 - Т.135 - С.182-194.

48. Шульман B.C. Об инвариантных подпространствах вольтерровых операторов // Функциональный анализ и его приложения — 1984 — Т. 18, №2 С.85-86.

49. Шульман B.C. Сплетения и линейные операторные уравнения // Доклады АН СССР 1988 - Т.301, №1 - С.57-61

50. Шульман B.C. Решетки проекторов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его приложения — 1989 — Т.23, №2 — С.86-87.

51. Шульман B.C. Спектральный синтез и теорема Фуглида-Патнэма-Розенблюма // Теория функций и функциональный анализ — 1990 — №54 С.25-36.

52. Шульман B.C. Операторы умнооюения и спектральный синтез // Доклады Академии Наук СССР 1990 - Т.313, №5 - С. 1047-1051.

53. Шульман B.C. "Гнездовые алгебры" К.Р.Дэвидсона (и обзор современного состояния предмета) // Алгебра и Анализ, — 1990 — Т.2 С.236-255.

54. Шульман B.C. Факторизация вполне положительных коциклов и ГНС-конструкция для представлений в пространстве Понтрягина // Функциональный анализ и его приложения — 1997 — Т.31, №3 — С. 91-94

55. Якубович Д.В. Условия одноклеточности операторов взвешенного сдвига // Доклады АН СССР 1984 - Т.278, №4 - С.821-823.

56. Abdessemend A, Davies Е.В. Some commutator estimates in the Shatten classes // J.London Math. Soc. (2) 1989 - Vol.39 - P.299-308.

57. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function theoretic null sets // Acta Math. 1950 - Vol.83 - P. 101-129.

58. Allan G.R. Power-bounded elements and radical Banach algebras // Banach Center Publ. 1997 - Vol.38 - P.9-16.

59. Anderson J., Foias C. Properties which normal operators share with normal derivations, and related topics// Pacific J. Math. — 1975 Vol.61 — P.313-325.

60. Anoussis M., Katavolos A., Lambrou M.S. On the reflexive algebra with two invariant subspaces j I J. Op: Th. 1993 - Vol.30 - P.267-299.

61. Argyros S, Lambrou M., Longstaff W.E. Atomic Boolean subspace lattices and applications to the theory of bases // Memoirs Amer. Math. Soc., — 1991 №445 - P. 1-178.

62. Apostol C., Foias C., Voiculesku D. Some results on non-quasitriangular operators, III// Rev. Roum. math. Pures et appl. — 1973 — Vol.18, №3 P.309-324.

63. Apostol C., Foias C., Voiculesku D. On strongly reductive algebras // Rev. Roum. math. Pures et appl. 1976 - Vol.21, №6 - P.633-641.

64. Aronszajn N., Smith K.T. Invariant subspaces of completely continuous operators // Annals of Mathematics — 1954 — Vol.60 — P.345-350.

65. Arsenovich M, Keckic D. Elementary operators on Banach algebras and Fourier transform // J. Functional Anal. 2004 — Vol.201, №3 — P.541-555.

66. Arveson W. Operator algebras and invariant subspaces // Annals of Mathematics, 1974 - Vol.100 - P.433-532.

67. Arveson W. Interpolation problems in nest algebra // J. Funct. Anal. — 1975 Vol.20, №3 - P.208-233.

68. Atzmon A. On , the existence of hyperinvariant subspaces // J.Oper.Theory 1984 - Vol.11 - P.3-40.

69. Aupetit В. Proprietes spectrales des algebres de Banach // Lect. Notes Math., 735, Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 176 p.

70. Bartle R.G., Graves L.M. Mappings between functional spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1952 - Vol.72 - P.400-413.

71. Beggs E.J. Sigma topologies and the Riesz representation theorem // Stochastic and quantum mechanics — Swansey, World Sci.Publishing, 1990 P.26-39.

72. Beltita D., Sabac M. An asymptotic formula for the commutators // J. Funct. Anal. 1998 - Vol.153 - P.262-275.

73. Benedetto J. Spectral synthesis. — N.Y.: Academic Press, 1975 — 541 p.

74. Bercovici H. Hyper-reflexivity and the factorization of linear functionals // J. Functional Analysis 1998 - Vol.158 - P.242-252.

75. Bercovici H., Foias С., Pearcy C.M. Dual algebras with applications to invariant subspaces and dilation theory. — Providence: CBMS, 1985 — 135 p.

76. Berger M.A., Wang Y Bounded semigroups of matrices, // Linear Algebra Appl. 1992 - Vol.166 - P. 1-27.

77. Blecher D.P., Smith R.R. The dual of the Haagerup tensor product // J. London Math. Soc. (2) 1992 - Vol.45, №1 - P. 126-144.

78. Boyadziev K. Commuting Co-groups and the Fuglede-Putnam theorem // Stud. Math. 1985 - Vol.81, №3 - P.303-306.

79. Bonsall F.F., Duncan J. Numerical ranges of operators on normed algebras I. ~ London: Cambridge Univ. Press, 1971 — 178 p.

80. Bourbaki N. Elements de mathematique, Groupes et algebres de Lie. — Paris: Hermann, 1971 — 387 p.

81. Bresar, M.; Kissin, E.; Shulman, V.S. Lie ideals: from pure algebra to C*-algebras// J. Pure und Angew. Math. 2008 - vol.623 - pp. 73-121.

82. Brickman L., Fillmore P.A. The invariant subspace lattice of a linear transformation // Canad. J. Math. -1967 Vol.19, №4 - P.810-822.

83. Brown S.W. Some invariant subspaces for subnormal operators // Integral Equations and Operator Theory 1978 - Vol.1, №3 - P.310-333.

84. Brown S.W., Chevreau В., Pearcy С. Contractions with rich spectrum have invariant subspaces // J. of Operator Theory — 1979 — Vol.1, №1- P. 123-136.

85. Clancey C. Seminormal operators. Lecture Notes in Mathematics, 742 — Berlin: Springer, 1979 125 p.

86. Collela D. On spectral synthesis for sets of the form E = cl(C(£')) // Proc. Amer. Math. Soc., 1983 - Vol.89 - P.236-238.

87. Connes A. Classification of infective factors // Ann. Math. — 1976 — Vol.104 P.73-116.

88. Conway J.B. A complete Boolean algebra of subspaces which is not reflexive // Bull. Amer. Math. Soc. 1973 - Vol.79, №4 - P. 720-722.

89. Cuntz J. Locally C*-equivalent algebras // J. Funct. Anal. — 1976 — Vol.23, №2 P.95-106.

90. Curto R. Spectral permanence for joint spectra // Trans. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.270 - P. 659-665.

91. Curto R. Spectral theory of elementary operators // Elementary Operators and Applications — London, World Scientific, 1991 — 253 p.

92. Curto R., Fialkow L. The spectral picture of {La, Rb} // J- Funct. Anal.- 1987 Vol.71 - P.371-392.

93. Daughtry J. An invariant subspace theorem // Proc. Amer. Math. Soc.- 1975 Vol.49, №1 - P.267-268.

94. Davidson K.R. Perturbations of reflexive operator algebras // J. Operator Theory 1986 - Vol.15 - P.289-305.

95. Davidson K.R. Commutative subspace lattices // Indiana Univ. Ath, J.- 1978 Vol.27, №3 - P.479-490.

96. Davidson K.R. Nest algebras. — N.Y. et al: Longman, 1988. — 469 p.

97. Davidson K.R. Compact perturbations of reflexive algebras // Canadian J. Math. 1981 - Vol.33, №3 - P.685-700.

98. Davis C., Rosenthal P. Solving linear operator equations // Canad. Math. J. 1974 - Vol.26 - P. 1384-1389.

99. Dixon P.G., Muller V. A note on topologically nilpotent Banach algebras // Stidia Math. 1992 - Vol.102, №3 - P.269-275.

100. Eisner L. The generalized spectral-radius theorem: an analytic-geometric proof // Linear Algebra Appl. 1995 - Vol.220 - P.l'51-159.

101. Embry M., Rosenblum M. Spectra, tensor products and linear operator equations // Pacific J. Math. 1974 - Vol.53 - P.95-107.

102. Erdos J.A. Reflexivity for subspace maps and linear spaces of operators // Proc. London Math. Soc. (3) 1986 - Vol.52, №3 - P.582-600.

103. Erdos J.A., Katavolos A., Shulman V.S. Rank one subspaces of bimod-ules over maximal abelian selfadjoint algebras // J. Funct. Anal. — 1998 Vol. 157, №2 - P.554-587.

104. Eymard P. L'algebre de Fourier d'un groupe localement compact // Bull. Soc. Math. France 1964 - Vol. 92 - P.181-236.

105. Fall Т., Arveson W.E., Muhly P. Perturbations of nest algebras // J.Operator Theory 1979 - Vol.1, №1 - P.137-150.

106. Foias С., Pearcy C.M. (BCP)-operators and enrichment of invariantsubspace lattices // J. Oper. Theory 1983 - Vol.9, №1 - P. 187-202.

107. Fong C.K. On reductive operator algebras // Acta sci. math. — 1977 -Vol.39, №1-2 P.87-91.

108. Froelich J. Compact operators, invariant subspaces, and spectral synthesis // J. Funct. Anal. 1988 - Vol.81, №1 - P.l-37.

109. Froelich J. Compact operators in the algebra of a partially ordered measure space // J. Oper. Theory 1983 - Vol.10, №2 - P.353-355.

110. Fuglede B. A commutativity theorem for normal operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1950 - Vol.36 - P.35-40.

111. Gelfand I. Zur Theorie der Charaktere der abelschen topologishen Grup-pen, // Mat. Sb. 1941 - Vol.51 - P.49-50.

112. Grothendieck A. Resume de la theorie metrique des produits tensoriels topologiques // Boll. Soc. Mat. Sao-Paulo 1956 - Vol.8 - P. 1-79.

113. Guinand P.S. On quasinilpotent semigroups of operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.86, №3 - P.485-486.

114. Hadwin D.W. An addendum to "Limsups of Lats- // Indiana Univ. Math. J. 1980 - Vol.29, №2 - P.313-319.

115. Halmos P.R. Reflexive lattices of subspaces // J. London Math. Soc. (2)- 1971 Vol.4 - P.257-263.

116. Halmos P.R. Limsups of Lats // Indiana Univ. Math. J. — 1980 — Vol.29, №2 P.293-311.

117. Halmos P.R. A Hilbert space problem book. — Berlin: Springer, 1982.- 457 p.

118. Harrison K.R. Strongly reductive operators j j Acta Sci. Math. — 1975- Vol.37, №3-4 P.205-212.

119. Harrison K.J. The tensor product formula for reflexive subspace lattices // Canad. Math. Bull. 1995 - Vol.38, №3 - P.308-316.

120. Harte R. Tensor products, multiplication operators and the spectral mapping theorem // Proc. Royal Irish Acad. 1973 - Vol.73A - P.285-302.

121. Haydon R.G., Shulman V.S. On a measure-theoretical problem of Arve-son 11 Proc. Amer. Math. Soc., 1996 - Vol.124 - 497-503. ,

122. Haydon R.G. Compact commutative subspace lattices need not be completely distributive j j Proc. Amer. Math. Soc. — 1992 Vol. 110, №3 — P.342-350.

123. Helton J.W'., Howe R. Traces of commutators of integral operatprs // Acta Math. 1976 - Vol.136 - P.271-305.

124. Hewitt E., Ross K.A. Abstract Harmonic Analysis II. — Berlin: Springer, 1970. 459 p.

125. Hoffmann M.J. Spans and intersections of essentially reducing subspaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1978 - Vol.72, №2 - P.333-340.

126. Hopenwasser A. Tensor products of reflexive subspace lattices // Mich. Math. J. 1984 - Vol.31 - P.359-370.

127. Hopenwasser A., Laurie C., Moore R. Reflexive algebras with completely distributive subspace lattices // J. Oper. Theory — 1984 — Vol.11, №1 — P.91-108.

128. Hopenwasser A., Kraus J. Tensor products of reflexive agebras 11 j j J-London Math. Soc. (2) 1983 - Vol.28 - P.359-362.

129. Hopenwasser A., Moore R. Finite rank operators in reflexive operator algebras j j J. London Math. Soc., 1983 - Vol. 27 - P.331-338.

130. Jimbo M. q-difference analogue ofU(n) and the Yang-Baxter equation // Lett. Math. Phys. 1985 - Vol.10 - P.63-69.

131. Johnson B.E., Williams J.P. The range of a normal derivation // Pacific J. Math. 1975 - Vol.58 - P.105-122.

132. Johnson R.E. Distinguished rings of linear transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1964 - Vol.111, №3 - P.400-412.

133. Kalish G.K. A functional analysis proof of Titchmarsch's theorem on convolution // J.Math.Anal. and Appl. — 1962 — Vol.5, №2 — P.176-183.

134. Kaniuth E., Lau A.T. Spectral synthesis for A{G) and subspaces of VN{G) // Proc. Amer. Math. Soc. 2001 - Vol.129, №11 - P.3253-3263.

135. Katavolos A., Lambrou M.S., Papadakis M. On some algebras diagonal-ized by M-bases of i2 // J. Integral Equations and Operator Theory — 1993 Vol.17 - P.68-94.

136. Katavolos A., Todorov I.G. Normalizers of operator algebras and reflex-ivity // Proc. London. Math. Soc. 2003 - Vol.86, N°-2 - P. 463-484

137. Katavolos A., Radjavi H. Simultaneous triangularization of operators on a Banach space // J. London Math. Soc. — 1990 — Vol.41 — P.547-554.

138. Katsoulis E. Reflexivity for a class of subspace lattices // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1996 - Vol.119 - P.67-71.

139. Kissin E., Shulman V. S. Differential properties of some dense subalge-bras of C*-algebras // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1994 - Vol.37, №3 - P.399-422.

140. Kissin E., Shulman V. S. Dense Q-subalgebras of Banach and C*-algebras and unbounded derivations of Banach and C*-algebras // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1993 - Vol.36, №2 - P.261-276.

141. Kissin E., Loginov A.I., Shulman V.S. Derivations of C*-algebras and almost Hermitian representations on Uk-spaces // Pacific J. Math. — 1996 Vol.174, № - P.411-430.

142. Kissin E., Shulman V.S. Dual spaces and isomorphisms of some differential Banach *-algebras of operators // Pacific J. Math. — 1999 — Vol.190, № P.329-360.

143. Kissin E., Shulman V.S. Differential Banach *-algebras of compact operators associated with symmetric operators // J. Funct. Anal. — 1998 — Vol.156, №1 P. 1-29.

144. Kissin E., Shulman V.S.- Representations on Krein spaces and derivations of C*-algebras. — London: Longman, 1997. — 602 p.

145. Kissin E., Shulman V.S. Differential Schatten *-algebras; approximation property and approximate identities // J. Operator Theory — 2001 — Vol.45, №2 P.303-334.

146. Kissin E., Shulman V. S. On the range inclusion of normal derivations: variations on a theme by Johnson, Williams and Fong // Proc. London Math. Soc. 2001 - Vol.83, №1 - P.176-198.

147. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. Operator Lipschitz and Operator Stable Functions // Proc. Edinburgh Math. Soc.- 2005 Vol.48 - P. 151-173.

148. Kissin E., Shulman V.S. On a problem of J. P. Williams // Proc. Amer. Math. Soc. 2002 - Vol.130, №12 - P.3605-3608.

149. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. II. Operator-differentiable functions // Integral Equations Operator Theory 49 (2004), №2, 165-210.

150. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. I. Operator-Lipschitz functions // Proceedings Edinb. Math. Soc. 48(2005), №1, 151-173.

151. Kissin E., Shulman V. S. Classes of operator-smooth functions. Ill Stable functions and Fuglede's ideals j j Proceedings Edinb. Math. Soc. 48(2005), m, 175-197.

152. Kissin E., Shulman V. S. Operator multipliers // Pacific J. Math. 227(2006), №1, 109-141.

153. Kissin E., Shulman V. S. On fully operator Lipschitz functions // J. Funct. Anal. 253(2007), №2, 711-728.

154. Kleinecke D.C. On operator commutators // Proc. Amer. Math. Soc.- 1957 Vol.8 - P.536-537.

155. Kraus J. The slice map problem for a-weakly closed subspaces of von Neumann algebras, // Trans. Amer. Math. Soc. — 1983 — Vol.279, №1- P.357-376.

156. Kraus J. Tensor products of reflexive agebras // J. London Math. Soc.- 1983 Vol.28 - P.350-358.

157. Larson D.R. Annihilators of operator algebras// Topics in Modern Operator Theory 1982 — Vol.6 - P. 119-130.

158. Larson D.R. A solution to a problem of J.R.Ringrose // Bull. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.7, №1 - P.243-246.

159. Larson D.R., Wogen W.R. Reflexivity properties ofT®0 // J. Functional Analysis, 1990 - Vol.92 - P.448-467.

160. Laurie C., Nordgen E. On triangularization of algebras of operators, // J. Reine Angew. Math. -1981 Vol.327 - P. 143-155.

161. Laurie C., Longstaff W. A note on rank one operators in reflexive algebras // Proc. Amer. Math. Soc., 1983 - Vol.89 - P.293-297.

162. Lebow A., Schechter M. Semigroups of operators and measures of non-compactness // J. Funct. Anal. — 1971 — Vol.7 — P. 1-26.

163. Lumer G., Rosenblum M. Linear operator equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1952 - Vol.10 - P.32-41.

164. Laurie C., Nordgren E., Radjavi H., Rosenthal P. On triangularization of algebras of operators // J.Reine und angew Math. — 1981 — Vol.327- P.143-155.

165. Longstaff W.E. Strongly reflexive lattices // J. London Math. Soc., — 1976 Vol. 11 - P. 19-23.

166. Longstaff W.E., Rosenthal P. On two questions of Halmos concerning subspace lattices // Proc. Amer. Math. Soc. — 1979 — Vol.75, №1 — P.85-86.

167. Magajna B. A system of operator equations // Canad. Math. Bull. — 1987 Vol.30, №2 - P.200-209.

168. Miers C.R. A note on Lie nilpotence in operator algebras // Studia Math. 1987 - Vol.85 - P. 55-59.

169. Miziolek Т., Muldner Т., Rek A. On the topologically nilpotent algebras // Studia Math. 1972 - Vol.43 - P.41-50.

170. Moore R.L. Reductivity in C*-algebras and essentially reductive operators // Pacific J. Math. 1978 - Vol.74, jY*2 - P.419-428.

171. Murphy G.J. Continuity of the spectrum and spectral radius // Proc. Amer. Math. Soc. 1981 - Vol.82, №4 - P.619-621.

172. Murphy G.J. Triangularizable algebras of compact operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1982 - Vol.84, №3 - P.354-356.

173. Nordgren E., Radjavi H., Rosenthal P. Triangularizing semigroup of compact operators // Indiana Univ. Math. J. — 1984 — Vol.33 — P.271-275.

174. Nordgren E., Radjabalipour M., Radjavi H., Rosenthal P. Algebras intertwining normal operators // Acta Sci. math. — 1977 — Vol.39 — P.115-119.

175. Open Problems: Proc. Fourth Conf. Operator Theory (Ti-mi§oara/Herculane, 1979) / Univ.Timi§oara. — Timi§oara, 1980. — P.335-342.

176. Orr J.L. Triangular algebras and ideals of nest algebras. // Memoirs Amer. Math. Soc. 1995 - Vol.117 - P.l-123.193. de Pagter B. Irreducible compact operators // Math Z. — 1986 — Vol.192, m 149-153.

177. Pavel N.H. Invariant subcones of a linearly continuous operator leaving a cone fixed in a Banach space // J. Math. Anal, and Appl. — 1982 — Vol.87, №2 P.628-631.

178. Radjavi H., Rosenthal P. On invariant subspaces and reflexive algebras // Amer. J. Math. 1969 - Vol.91 - P.683-692.

179. Radjavi H., Rosenthal P. Invariant subspaces. — N.Y.: Springer-Verlag, 1973 347 p.

180. Radjavi H., Rosenthal P. Simultaneous triangularization. — N.Y.: Springer-Verlag, 2000 254 p.

181. Read C.J. Л solution to the invariant subspace problem on the space l\ // Bull. London Math. Soc. 1985 - Vol.17 - P.305-317.

182. Rickart C.E. General theory of Banach algebras. N.Y.: Van Nostrand Reinhold, 1960. 523 p.

183. Riesz F., Sz.-Nagy B. Legons d'analyse fonctionnelle. — Budapest: Akademiai Kiado, 1972. — 546 p.

184. Rosenoer S. Completely reducible algebras containing compact operators // Can. J. Math. 1982 - Vol.34, №5 - P.1025-1035.

185. Rosenoer S. Completely reducible operators that commute with compact operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1987 - Vol.299, №1 - P.33-40.

186. Rosenthal P. Examples of invariant subspaces lattices // Duke Math. J. -1970 Vol.37 - P. 103-112.

187. Rosenthal P. On commutants of reductive operator algebras // Duke Math. J. 1974 - Vol.41, №4 - P.829-834.

188. Rosenthal P., Soltysiak A. Formulas for the joint spectral radius of non-commuting Banach algebra elements // Proc. Amer. Math. Soc. — 1995- Vol.123, №9 P.2705-2708.

189. Rosenoer S. Trace class operators in CSL algebras // Canad. Math. Bull. 1992 - Vol.35 - P.416-422.

190. Rota G.-K., Strang W.G. A note on the joint spectral radius // Indag. Math. 1960 - Vol.22 - P.379-381.

191. Rudin W. "Real and complex analysis". N.Y.: McGraw Hill, 1966. -465 p.

192. Rudin W. Fourier analysis on groups. — N.Y.: John Wiley & Sons, 1990.- 285 p.

193. Rudin W. Functional analysis. N.Y.: McGRAW-HILL Book c., 1973.- 438 p.

194. Sarason D. Invariant subspaces and unstarred operator algebras // Pacific J. Math. 1966 - Vol.17, №3 - P.511-517.

195. Samoilenko Y.S., Shulman V.S., Turowska L.W. Semilinear relations and their *-representations // Methods Funct. Anal. Topology — 1996 — Vol.2, №1 P.55-111.

196. Schwartz J.T. Subdiagonalization of operators in Hilbert space with compact imaginary part // Comm. Pure Appl. Math. — 1962 — Vol.15 — P.159-172.

197. Shulman V. S. Invariant subspaces and spectral mapping theorems // Functional analysis and operator theory. / Banach Center Publ.(30) — Warsaw, 1994. P.313-325.

198. Shulman V.S. Some remarks on the Fuglede-Weiss theorem // Bull. London Math. Soc. 1996 - Vol.28, №4 - P.385-392.

199. Shulman V. S. On representations of limit relations // Methods Funct. Anal. Topology 2001 - Vol.7, №4 - P.85-86.

200. Shulman V.S. Various aspects of Fuglede's theorem // Spectral and evolutional problems 16(2005) - 192-203.

201. Shulman V.S., Todorov I.G. On subspace lattices I. Closedness type properties and tensor products // Integral Equations and Operator Theory — 52(2005), №4, P.561-579.

202. Shulman V.S., Todorov I.G. On subspace lattices II. Continuity of Lat // J. of Operator Theory 52(2004), №2, 371-384.

203. Shulman V.S., Turowska L.W.Operator synthesis. I. Synthetic sets, bi-lattices and tensor algebras // J. Funct. Anal. — 2004 — Vol.209, №2 — P.293-331.

204. Shulman V.S., Turowska L.W. Operator synthesis. II. Individual synthesis and linear operator equations // J. Reine Angew. Math. — 2006 — Vol.590 R143-187.

205. Shulman V.S., Turowska L.W Вeurling-Pollard type theorems // J. London Math. Soc. 2007 - Vol.75 - P.330-342.

206. Shulman V.S., Turovskii Y.V. Formulae for joint spectral radii of sets of operators // Studia Math. 2002 - Vol.149, №1 - P.23-37.

207. Shulman V.S., Turovskii Y. V. Joint spectral radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtynski j j J. Funct. Anal. — 2000 — 177, №2 P.383-441.

208. Shulman, V. S., Turovskii Y. V. Solvable Lie algebras of compact operators have invariant subspaces // Спектральные и эволюционные задачи: Т. 9 — С.38-44/ Симферопольский университет — Симферополь, 1999.

209. Shulman, V. S., Turovskii Y. V. Invariant subspaces of operator Lie algebras and Lie algebras with compact adjoint action // J. Funct. Anal. 223(2005), №2 P.425-508.

210. Shulman V.S., Turovskii Y.V. Topological radicals, I. Basic properties, tensor products and joint quasinilpotence// Banach Center Publications, Volume 67 (2005), Polish Acad, of Sci., Institute of Math. — P.293-333.

211. Smith R.R. Completely bounded module maps and the Haagerup tensor product // J. Funct. Anal. 1991 - Vol.102, №1 - P. 156-175.

212. Spronk N., Turowska L. Spectral synthesis and operator synthesis for compact groups J.London Math.Soc. — 2002 Vol.66, №2 - P.361-376.

213. Symes D. Structure of doubly generated reflexive lattices // Quarterly J. Math. 1998 - Vol.49, №194 - P.229-235.

214. Takesaki M. Theory of operator algebras. — N.Y.-Heidelberg: Springerv Verlag, 1985. 342 p.

215. Taylor J.L. A joint spectrum for several commuting operators // J. Funct. Anal. 1970 - Vol.6 - P. 172-191.

216. Todorov I.G. Spectral synthesis and masa-bimodules. J. London Math. Soc. 2002 - Vol.65, №3 - P.733-744.

217. Turovskii Y.V. Volterra semigroups have invariant subspaces // J. Funct. Anal. 1999 - Vol.162, №2 (1999) - P.313-323.

218. Vala K. On compact sets of compact operators // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.A 1964 - Vol.351 - P.l-8.

219. Varopoulos N.T. Spectral synthesis on spheres // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1966 - Vol.62 - P.379-387.

220. Varopoulos N.T. Tensor algebras and harmonic analysis // Acta Math. 1967 - Vol.119 - P.51-112.

221. Vesentini E. On the subharmonicity of the spectral radius // Boll. Un. Mat. Ital. 1968 - №4 - P.427-429.

222. Voiculescu D. Remarks on Hilbert-Shmidt perturbations of almost-normal operators // Operator Theory: Adv. Appl., Vol.2 /Basel-Boston,1981. p. 311-318.

223. Voiculescu D. Some results on norm-ideal perturbations of Hilbert space operators// J Operator Theory 1979 - Vol.2, №1 - P.3-37.

224. Voiculescu D. Some extensions of quasitriangularity // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1973 - Vol.18 - P.1303-1320.

225. Voiculesku D. Norm-limits of algebraic operators // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1974 - Vol.19, №3 - P.371-378.

226. Voiculesku D. A non-commutative Weyl-von Neumann theorem // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1976 - Vol.21, №1 - P.97-113.

227. Wagner C.R. Weak limits of projections and compactness of subspace lattices 11 Trans. Amer. Math. Soc. 1987 - Vol.304, № - P.515-535.

228. Warner c.R. A class of spectral sets // Proc. Amer. Math. Soc. — 1976- Vol.57 P.99-102.

229. Weiss G. The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt class and generating functions for matrix operators. I Trans. Amer. Math. Soc. 1978 - Vol.246 - P. 193-209.

230. Weiss G. An extension of the Fuglede-Putnam theorem modulo the Hilbert-Schmidt class to operators of the form ^ MnXNn // Trans. Amer. Math. Soc. 1983 - Vol.278, №1 -P.l-20.

231. Weiss G. The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt class and generating functions for matrix operators. II // J. Operator Theory 1981 - Vol. 5, №1 - P.3-16.

232. Williams J.P. Derivation ranges: open problems // Topics in Modern Operator Theory, 319-328, Operator Theory: Adv. Appl., 2(1981).

233. Wogen W.R. Counterexamples in the theory of selfadjoint operator algebras 11 Bull. Amer. Math. Soc. -1986 Vol.15, no 2 - P.225-227.

234. Wojtynski W. Engel's theorem for nilpotent Lie algebras of Hilbert-Schmidt operators // Bull. Acad. Polon. Sci. 1976 -Vol.24, №9 -P. 797-801.

235. Wojtynski W. Banach-Lie algebras of compact operators // Stud. Math.- 1977 Vol.49 - P.263-273.

236. Wojtynski W. A note on compact Banach-Lie algebras of Volterra type // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. math., astr. et phys. — 1978 — Vol.26, Ш 105-107.

237. Wojtynski W. On the existence of closed two-sided ideals in radical Banach algebras with compact elements // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. math., astr. et phys. 1978 - Vol.26, №2 - 109-113.

238. Wojtynski W. Quasinilpotent Banach-Lie algebras are Baker-Campbell-Hausdorff U J. Funct. Anal. 1998 - Vol.153, №2 (1998) - P.405-413.

239. Zemanek J. Spectral radius characterizations of commutativity in Banach algebras j j Stud. Math. Vol.61 - P.23-35.

240. Zemanek J. Spectral characterization of two-sided ideals in Banach algebras // Stud. Math. 1980 - Vol.67, №1 - P. 1-12.