Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

й

Зубова Светлана Петровна

МЕТОД КАСКАДНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОРЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

005531338

11 Ш

Воронеж — 2013

005531338

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Воронежский государственный университет"

Оффициальные оппоненты: Давыдов Алексей Александрович, доктор

физико-математических наук, профессор, Владимирский государственный университет, заведующий кафедрой «Функциональный анализ и его приложения»

Фёдоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, Челябинский государственный университет, заведующий кафедрой математического анализа, декан математического факультета

Глушак Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, Белгородский государственный университет, декан факультета математики и информационных технологий

Ведущая организация: • Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, кафедра общих проблем управления

Защита состоится 15 октября 2013 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном национальном исследовательском университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, кор. 1, к. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан 2 июля 2013 г.

Гриценко С. А. канд. физ.- мат. наук

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 '^МЫ,

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Работа посвящена разработке и применению метода каскадной декомпозиции задач, состоящего в поэтапном переходе от исходной задачи к аналогичным задачам в подпространствах уменьшающихся размерностей. Метод каскадной декомпозиции (каскадный метод) направлен на решение задач, в которых получение решения другими методами или невозможно, или затруднительно. Одна из таких задач — задача Коши для дескрипторного1 уравнения

A{t)^ = B{t)x{t) + №, (1)

где A(t), B(t) — операторы, действующие из Ei в Е2; Е\, Е2 — банаховы пространства; t G X = [0,Т], f(t) 6 Е2, с условием

х(0) = х° е Ех. (2)

Уравнением (1) описываются, в частности, динамические процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, '['ермо - и вязко-упругие явления в пластинах, деформации механических систем, явления в электромеханических системах, межотраслевой экономический баланс и др.

Началом исследования дескрипторных уравнений считаются работы А. Пуанкаре (1885), A.M. Ляпунова (1906), Э. Шмидта (1908). Огромную роль в развитии теории дескрипторных уравнений сыграли работы С. Л. Соболева (1954), дескрип-торные уравнения с частными производными называют уравнениями соболевского типа. Стационарное уравнение (1) с нётеровым оператором А активно исследовалось В.А. Треногиным, им был разработан метод (метод Ляпунова-Шмидта) исследования разветвляющихся решений уравнений с параметром. В 60-70 г. прошлого столетия наиболее активные исследования стационарной задачи (1), (2) велись в г. Воронеже под руководством проф. С.Г. Крейпа. В настоящее время исследование дескрипторных уравнений сосредоточено в нескольких математических школах, крупнейшие из них — иркутская (Ю.Е. Бояринцев, H.A. Сидоров, Б.В. Логинов, В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова, Н.В. Фалалеев и их ученики), новосибирская (А.И. Кожанов, С.Г. Пятков, Г.В. Демиденко, C.B. Успенский и другие), челябинская (Г.А. Свиридюк, В.Е. Фёдоров и их ученики) и екатеринбургская (И.В. Мельникова и её ученики). Зарубежные школы возглавляют A. Favini, A. Yagi, S. Campbell,

1Дескрипторным уравнением называют дифференциальное уравнение с необратимым оператором при производной от искомой функции по выделенной переменной.

R.E. Shouolter, P. Kunkel, V. Mehrmann, März, P.Chen, K.J. Engel, R. Nagel и др. Обзоры работ с исследованиями в конечномерных пространствах содержатся в монографиях В.Ф. Чистякова и A.A. Щегловой 2, Р. Kunkel и V. Mehrmann 3. Значительные библиографии по исследованиям задачи Коши для уравнения (1) содержатся в работах A. Favini и A. Yagi4, А.Г. Баскакова и К.И. Чернышова 5.

Подавляющее большинство исследователей рассматривают для стационарного уравнения (1) случай регулярного пучка А — AB 6. Случай существования (А — А В)-1 в некотором секторе комплексной А-плоскости исследовался в работах Г. А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова и их учеников. Такие свойства пучка Л—Aß позволяют применить для исследования уравнения (1) методы спектрального анализа, теории полугрупп, преобразования Лапласа-Фурье. Другое направление исследований связано с использованием свойства полноты В-жорданова набора для А (В.А. Треногин, Ю.Е. Бояринцев, H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев и др.).

В случае нерегулярного пучка А — А В и в случае неполноты В-жорданова набора для А авторы отмечают лишь возможную неединственность решения задачи Коши. В связи с этим исследование разрешимости задачи (1), (2), исследование свойств решений и построение дифференцируемого при£ G Т решения в нерегулярном случае и в случае неполноты В-жорданова набора — крайне важная, актуальная задача.

Одним из важнейших свойств динамических систем, описываемых дескриптор-ными уравнениями, является свойство чувствительности системы даже к весьма незначительным возмущениям параметров системы. Системами с малым параметром при старшей производной описывается процесс обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа (A.A. Марчук, A.A. Чудов), поведение тонких и гибких пластин и оболочек (JI.C. Срубщик, В.Н. Юдович), движение твёрдого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость (H.H. Моисеев, Ф.Л. Черноусь-ко) и др. Теорию сингулярно возмущённых уравнений создавали акад. А.Н. Тихонов, Е.Ф. Мищенко, а также В.Р. Вазов, М.М. Вишик, Л.А. Люстерник, А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Х. Розов, Ю.С. Колесов, С.А. Ломов, М.В. Федорюк,

2Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем". — Новосибирск: Наука, 2003.

-"Differential-Algebraic Equations: analysis and Numerical Solution. - Zurich, Switzerland: EMA Publishing House, 2006.

^Degenerate differential equations in Banach Space. — New York—Basel—Hong Kong : Marsel Dekker, Inc., 1999.

5Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов. Матем. сборник. — 2002. - Т. 193, № 11. - С. 3-42.

6Пучок А ~ А В регулярен (пара (Л, В) регулярная, уравнение (1) регулярное), если 3(Ао € C)V(A : 0 < |А| < < |Ао!)3[(Л — Aß)-1]. В противном случае пучок, пара и уравнение — нерегулярные.

B.B. Стрыгин, B.A. Соболев, Г.С. Жукова, H.H. Нефёдов и многие другие авторы. Обзор работ можно найти в работе В.А. Треногина 7. Обширные библиографии приведены в монографии К. Чанга и Ф. Хауэса 8 и в работе A.B. Васильевой и

A.A. Плотникова 9.

Систему (А - eC)dX^'e^ = Bx{t,е) (3)

dt

с линейными операторами: замкнутым плотно определённым Л, ограниченными

B, С, регулярными парами (Л, С), (Л, В) исследовали М.М. Вайнберг и В.А. Треногин, С.Г. Крейн и К.И. Чернышов. Как и системы

dx

А—= (В+ c(e)A + eG)x(t,e), с(е) — 0, или = 1, или = е, (4)

система (3) не является жёсткой. Весьма важно установление свойств коэффициентов систем (3), (4), гарантирующих равномерное наТ стремление решения задачи Коши x(t, е) при е —ï 0 к решению соответствующего предельного (е — 0) уравнения в случаях нерегулярных пар (Л, В), (Л, С) или (Л, G). И актуально установление этой малой чувствительности с помощью сравнения порядков полюсов некоторых операторных пучков или сравнения длин специальных жордановых цепочек. Необходимо также установление наличия явления погранслоя в задачах Коши для уравнений (3), (4).

Актуально решение обратных задач для систем

x(t) = B(t)x(t) + D(t)u{t) + f(t), (5)

B{t) 6 L{R",R"), Dit) € L(Rm,Rn), f(t) € Rn, 1 = [i0,ifc];

Ax(t) = Bx(t) + Du(t) + f(t), (6)

A, В € L{R!, R"), и других систем с условием на функцию состояния x{t) (состояние) системы: x(t) £ где ШТ(х) — множество функций x{t), обладающих заданными свойствами. В частности, в задаче с контрольными точками

x(t) <Е т{х) = {x(t) : x{U) = Xi}, 0 < io < h < ... < tk; (7)

7Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника—Вишика. Успехи матем.наук. — 1970. — Т. 25, вып. 4(154). - С. 123-156.

8Нелинейные сингулярно возмущённые краевые задачи. Теория и приложения. — М. : Мир, 1988.

9Асимптотическая теория сингулярно возмущённых задач (Спецкурс для аспирантов). — Физ. фак. МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008.

в задаче экспоненциальной стабилизации программного движения с контрольными точками

Ш(х) = {*(«) : x(t0) = х0, x(U) = 0, ||a:(t)|| < с - > 0}

с произвольно заданным и > 0, где x(t) - разность между реальным и программным

состояниями системы.

Для мягкой посадки летательных аппаратов, для плавной стыковки различных технологических режимов требуется решение задач со следующими условиями:

u(t)e£Dl(ti)={u(t): lij\ti = U<' j = = (8)

В случае SDT(x) = (i(i) : x{U) = xu i = 0,1}, 1 = [t0,ti] - это задача, поставленная P.E. Калманом 10 при постоянных В, D и f(t) = 0. В случае существования соответствующей функции u(i) (функция управления, управление) система (3) называется полностью управляемой наХ (п. управляемой).

Абстрактную и прикладную теорию управления создавали акад. Р.В. Гамкре-лидзе, В.А. Ильин, H.H. Красовский, A.B. Куржанский, Е.Ф. Мищенко, H.H. Моисеев, Ю.С. Осипов, H.H. Петров, Л.С. Понтрягин, А.И. Субботин, А.Н. Тихонов, Ф.Л. Черноусько, а также А.П. Афанасьев, Ю.Н. Андреев, А.Г. Бутковский, Р.Ф. Габасов, И.В. Гайшун, A.A. Давыдов, М.И. Зеликин, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, В.И. Коробов, A.M. Летов, В.М. Марченко, М.С. Никольский, В.М. Тихомиров, Е.Л. Тонков, М. П. Харламов; Р. Калман, Р. Беллман, E.L. Yip, R.P. Sincovec, L. Dai, A. Ailon, S. Campbell, A. Chang, P. Chen, H. Qin, A. Ilchmann, V. Mehrmann, М.С. Joshi и многие другие авторы.

Несмотря на колоссальное количество публикаций (только монографий отечественных и зарубежных насчитываются сотни), некоторые свойства систем (5), (б) изучены не полностью. Не решена задача инвариантности состояний x(t) от широкого круга возмущений коэффициентов системы; не полностью исследована "свободность" системы (5), то есть не определён набор фазовых составляющих состояния x(t) системы, не влияющий на свойство п. управляемости системы; не сформулированы критерии п. управляемости системы (6) в нерегулярном случае.

Использование формулы Коши в задачах для названных уравнений приводит к интегральным уравнениям, исследование которых связано со значительными трудностями (В.А. Треногин, H.A. Сидоров, Е.Л. Тонков, A.B. Глушак и др.).

10Р.Е.Калман "OG общей теории систем управления". -- Труды IFAC, Москва, — 1960. - С.521-546.

Явно недостаточно методов конкретного предъявления управляемого процесса^1 в различных видах, удобных для дальнейшего исследования. В частности, для стационарной системы (5) недостаточно используется метод неопределённых коэффициентов, ведущий к построению алгебраических систем, в результате чего управляемый процесс численно реализуется современными вычислительными средствами (Mathlab, Mathcad, Mathematica, ...).

Одним из операторов Л, для которых пучок А — А В нерегулярен, или даже $(А — АВ)-1, VA е С, является нётеров12 оператор с ненулевым индексом ае(Л). Нётеров оператор А вполне определяется свойством 13

Ei = Coira Л+ Кег Л, Е2 = Im Л+Coker Л, (9)

dim Кег Л < оо, dim Coker Л < оо, и сужение Л на Coim Л имеет ограниченный обратный Л-1 . Здесь Coker Л — дефектное подпространство, Coim Л — прямое дополнение к Кег А в Е\. В случае нулевого индекса ээ(Л) = dim Кег Л—dim Coker Л оператор Л называется фредгольмовым. Предлагаемый каскадный метод основан на

1) расщеплении уравнения типа Av = ui, v S E\, w £ на уравнения в подпространствах Im Л и Coker Л;

2) получении в одном из подпространств уравнения, аналогичного исходному уравнению;

3) получении для новой неизвестной функции условий, аналогичных заданным условиям;

4) повторении перечисленных действий с новыми уравнением и условиями. Схожие расщепления пространств применяли в различных ситуациях М.И.

Вишик и JI.A. Люстерник , М.М Вайнберг и В.А. Треногин, С.Г. Крейн, С.А. Краснова и В.А. Уткин, Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков и А.А. Щеглова, А. Ailon, S. Campbell, V. Lovass-Nagy и др. Однако, одни авторы ограничивались одним этапом расщепления пространств, у других авторов получение уравнений в подпространствах затруднительно. В отличие от метода, применённого Е.В. Раецкой 14 для исследования п. управляемости системы (3) с постоянными В,

11Пара (x(t),u(t)), удовлетворяющая системе управления и заданным условиям, называется управляемым процессам. А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров "Теория экстремальных задач". — М.: Наука, 1974. — 479 с.

12М.М. Вайнберг, В.А. Треногин "Теория ветвления решений нелинейных уравнений". — М.: Наука, 1969. — 527 с.

"Функциональный анализ. СМБ Под общей редакцией С.Г. Крейна. — М. : Наука, 1972. — 544 с.

14Раецкая Е.В. Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем: автореф. дисс. ... канд. физ. — мат. каук. — Воронеж, 2004. — 16 с.

о и = 0, предлагаемый метод основан на другом подходе к формированию условий для псевдосостояния на каждом этапе расщеплений.

Целью диссертационной работы является разработка и применение каскадного метода. В рамках данной цели выделены следующие

задачи:

• обоснование и применение каскадного метода к исследованию задачи Коши для уравнения с нётеровым оператором при производной: получение условий разрешимости, условий единственности решения, свойств решения; построение решения;

• исследование чувствительности динамических систем, описываемых дескрип-торными уравнениями с нётеровым оператором, к различным возмущениям коэффициентов систем;

• разработка каскадного метода для решения обратных задач для динамических систем;

• получение полных условий п. управляемости дескрипторных нерегулярных однородных и неоднородных систем;

• решение обратных задач методом неопределённых коэффициентов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы теория полуобращения линейных операторов, теория полугрупп операторов с ядрами, спектральная теория линейных операторов, методы функционального анализа, методы теории и асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений; из теории управления динамическими системами использовались определения и критерии п. управляемости.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, стого доказанными, полученными автором самостоятельно. Основные

результаты следующие.

• Разработан каскадный метод исследования линейных уравнений с нётеровым оператором при производной и под знаком производной от искомой функции.

• В классе нерегулярных уравнений выделены псевдорегулярные уравнения, получены условия псевдорегулярности.

• Исследована псевдорегулярная задача Коши: получены условия разрешимости, условия единственности решения, свойства решения, получено решение задачи Коши.

• Исследована зависимость решения задачи Коши от различного вида возмущений коэффициентов уравнения. Уточнено понятие функции погранслоя (нулевого порядка) с целью разграничения случая робастносги динамической системы и случая наличия, погранслойного эффекта.

• Разработан каскадный метод декомпозиции динамических систем для решения различных обратных задач.

• Для системы с прямоугольно-матричными коэффициентами уточнено понятие п. управляемости. Получены критерии п. управляемости для однородных и неоднородных дескрипторных систем.

• Для стационарных систем разработан метод неопределённых коэффициентов нахождения решений обратных задач в специальных видах.

Теоретическая значимость. Полученные в работе результаты легли в основу спецкурсов, читаемых студентам математического факультета Воронежского государственного университета, и применяются студентами при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ.

Предлагаемый каскадный метод нашёл применение при исследовании систем наблюдения (совместно с Е.В. Раецкой, Фам Туан Кыонгом) и дискретных динамических систем (совместно с Чан Тхань Туаном).

Практическая значимость состоит в разработанных блок-схемах решения обратных задач; в полученных алгебраических системах, дающих возможность численной реализации управляемого процесса современными вычислительными средствами. Результаты диссертации можно рекомендовать проектным организациям

— для построения управляемого стабилизированного процесса с контрольными точками; управляемого процесса с контролем за состоянием и управлением в контрольных точках;

— для разработки динамических систем, малочувствительных к возмущениям, или инвариантных относительно различных возмущений.

Рекомендуются к применению тесты на неуправляемость для дескрипторных систем с прямоугольно-матричными коэффициентами с помощью установления длин жордановых цепочек, или определения порядка полюса некоторого матричного пучка.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доложены автором на следующих научных конференциях.

Всесоюзные конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных дифференц. и интегро-дифференц. уравнений, по теории и методам решения краевых задач для обыкновенных уравнений и уравнений матем. физики (Фрунзе, 1975; Алма-Ата, 1979; Минск, 1982; Нальчик, 1987; Уфа, 1989; Махачкала, 1989, 1991; Куйбышев, 1982; Рига,1988; Тернополь, 1989). Всесоюзные школы по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, 1982; Рига, 1983;

Куйбышев, 1988; Ульяновск, 1990; Нижний Новгород, 1991; Тернополь, 1984). Международные, всесоюзные, всероссийские конференции и матем. школы по изучению свойств динамических систем (Киев, 1990,1991; Горький, 1990; Воронеж, 2005, 2007, 2009, 2011, 2012; Ижевск, 2009; Суздаль, 2010, 2011; Тамбов, 2010). Крымские осенние матем. школы-симпозиумы по спектральным и эволюционным задачам (Симферополь, Украина, 1989-1993,1995, 2008, 2009). Воронежские матем. школы "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения — IV, V, VII, XI, XII, XIII, ХУ-ХХН"(Воронеж, 1993, 1994, 1996, 2000, 2002, 20042012). Воронежские зимние матем школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1995, 2001, 2002, 2007, 2008-2013) и школы С.Г. Крейна (Воронеж, 1974-1994 , 2006, 2010, 2012). Матем. чтения РГСУ "Матем. методы и приложения"(Москва, 1992, 1996-2010). Международные конференции: "Тихонов А.А и современная математика" (Москва, 2006); "Современные проблемы матем., механики и их приложений" , посвящ. 70-летию ректора МГУ акад. В.А. Садовничего (Москва, 2009); "Современные проблемы вычислительной матем. и матем. физики" памяти акад. A.A. Самарского (Москва, 2009); "Дифференц. уравнения и смежные вопросы", посвящённая 110 годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2011); The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (Moscow, 2011), "Международная конференция по дифференц. уравнениям и динамическим системам "(г. Суздаль, 2012),. Международная конференция "Анализ и особенности" посвящ. 75-летию В.И. Арнольда (МИАН им.Стеклова, Москва, 2012).

Сделаны доклады на семинарах: кафедры математики и механики ВГЛТА (Воронеж, 1974-1992, рук. проф. С.Г. Крейн); кафедры ВМ и МК (МГУ, 1989, рук. акад. А.Н. Тихонов); кафедры высшей математики МЭИ (Москва, 1991, рук. проф. С.А. Ломов); Института математики АН Латв. ССР (Вильнюс, 1975, рук. Б.В. Квядарас); в ВГУ (Воронеж) на кафедрах: математического анализа, 2002-2006 (рук. проф. Г.А. Курина), математического моделирования, 2000 (рук. проф. В.А. Костин), нелинейных колебаний, 2011 (рук. проф. В.Г. Задорожний); в МИАН им. Стеклова , 2012 (рук. член-корр. С.И. Похожаев).

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1]-[50]. Из совместных публикаций в диссертацию вошли только полученные автором результаты. Работы [1]-[21] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно. Работы с соавторами выполнены под руководством автора диссертации, автору

принадлежат идеи, методы, основные результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 278 страницах, включая 26 рисунков и схем. Главы разбиты на разделы, разделы разбиты на пункты, некоторые пункты разбиты на подпункты А, Б, В,.... Список цитируемой

литературы состоит из 231 наименования.

Содержание работы. Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы задачи для их решения, дан краткий обзор состояния исследований в настоящее время.

В первой главе в разделе 1.1 приводятся определение и свойства нётерова

оператора, как известные, так и вновь полученные, необходимые для дальнейших исследований.

Далее в разделе 1.2 разрабатывается каскадный метод для исследования задачи (1), (2) в случае, когда A(t), B(t) - линейные замкнутые плотно определённые на общем множестве в Ek операторы, A(t) нётеров Vi G 1. Вводятся проекторы P(A(t)) и Q(A(t)) (для краткости Р(А) и Q(A)) на Ker A{t) и Coker A(t).соответственно, отвечающие разложению (9), и полуобратный оператор Л" (í) = A" (t)(I~ Q(A)). Декомпозиция уравнения (1) на уравнения в подпространствах Coker A{t) и Im A(t) приводит к уравнениям

Q(A)B(t)x(t) + Q(A)f(t) = О, t€% (Ю)

dJ^ = A-(t)Bmt) + A-(t)m + P(A)^, e КегЛ(*). (И)

dx(t) г,/ л \dx{t)

Из этих уравнений элемент Р{Авыражается через x(t) и P(Ai)—^-,

где i4i(t) - некоторый оператор: Ker A(t) -> Coker A(t). Многократно повторяя

эту процедуру с введением операторов Ai(t) : Ker Ai-i(t) -» Coker A_l(í),

Ai(t) = Si-1(t)P(Ai-1), Si(t) = Q(Ai)(si.1m-1(t) + ^^-),

Ti(t) = ТЫ*) - AT(t)(s^(t)T^(t) + ^gW), (12)

Kj(t) = - £ Aj№Át))f® + jtQ{Ai-i)Ki-Át)M,

\ j=l

г = 1,2, ..., (A>(í) = A(t),So(t) = Q(A)B(t),T0 = A~(t)B{t),K0 = Q(A)) и при выполнении условий

Si) Si{t) и Q{Ai)Ki{t)f(t) дифференцируемы на Т, i = 0,1,2, ..., П) dim Ker Ai{t) =const, i = 0,1,2, ..., dim Coker A(t) = const,

приходим к оператору Ap(t), у которого либо Ker Ap(t) = {0}, либо Ker Ap{t) = Ker Ap+i(t), i g N. Далее обозначено: dim Ker A,(t) = щ, dim Coker A^t) = тщ. Возможны лишь следующие исходы.

Случай 1. Эр е N такое, что пр> пр = 0 и mp_i > mp = 0, что возможно лишь при ае(А) = 0, то есть в случае фредгольмова оператора A(t).

Случай 2. Эр g N такое, что пр_х > пр = 0, но тр ф 0 ( ав(А) < 0) (рис. 1.5).

Ker А

А

А'

А

А~

А

А"

... ... ...

А,

-V Im Ар

Соker Аг

Л

I

lCoktrA1

Со ker А,

Со kerА

Рис. 1.5. Случай 2

Случай 3. Зр б N такое, что пр ф 0, но m„_i > тр = 0 (ае(Л) > 0). Случай 4. Эр е N такое, что пр-Х > пр = np+i, mp_! > тр = тр+и i € N, что возможно и при аэ = 0, и при ае(Л) ф 0.

В случаях 1 и 2 в зависимости от отсутствия или наличия Coker Ap{t) формулируются следующие результаты.

Пусть Эр G N такое, что выполняются условия Sj), п) с г = 0,р- 1, Ker Ap(t) = {0} и Tp(t) силно непрерывен на 1. В случаях 1 и 2 решение x(t) задачи (1), (2) существует в том и только том случае, когда выполняются условия согласования

$(0)х° + <ЗШК<(1)/(i)|i=0 = 0 (13)

с г = 0,р — 1 в первом случае, и г = 0~р во втором, и оператор R(t) — t р

= JU(t-s)(AQ (s)-£ ^7(s)^(s))/(s)ds дифференцируем на При выполнении

О j= 1

этих условий х(t) и f(t) обладают свойствами

x(t) единственно и равно: x{t) = U(t)x° + R(t), где U(t) — полугруппа класса С0 с производящим оператором Tp(t) (теоремы 1, 2).

В случае совпадения Кег Ap(t) с Ker Ap+i(t), i G N, имеют место следующие результаты.

Пусть Зр G N такое, что выполняются условия s*), г{) с г = 0,р — 1 в случае 3, i = 0,оо в случае 4 и Кег Ap+i(t) ф {0}, г € N0. Решение x(t) задачи (l)i (2) существует точно тогда, когда выполняются условия согласования (13) с г = 0,р — 1 в случае 3, г G N0 в случае 4 и R(t) дифференцируем на Т.

При этом x(t) и f(t) обладают свойствами (14) с г = 0,р — 1 в случае 3 и i G No в случае 4; x(t) неедипственно, и имеет вид

Г

x(t) = U(t)x° + I U(t- s)((A^(s) -J2Aj(s)Kj(s))f(s) + P(Ap)c(s))ds, 0 i=1

VP(Ap)c(t) e C°(1 -> Ei) (теоремы 3, 4).

Таким образом, фазовым пространством в случах 1 и 3 при выполнении названных условий является пространство Mp-i{t):

Mp-i(t) = {i £ : Si(t)x + Q(Ai)Ki{t)f(t) =0, tel, г = 0,p — 1},

в случае 2 — пространство Mp(t):

Mp(t) = {x G Ex : Siftx + QiAÙKilfim^ 0, te% i = 0^}

и в случае 4 пространство Mœ(t) = {x e Ex : Si(t)x + Q(Ai)Ki{t)f(t) = 0, t G T, г = 0, oo). Как следствие, при выполнении соответствующих условий решение x(t) задачи (1), (2) единственно тогда и только тогда, когда Эр G N такое, что Ker Ap(t) = {0}.

Эти результаты отличаются от соответствующих результатов Ю.Е. Бояринцева, S. Campbell, С.Г. Крейна, Г.А. Свиридюка и В.Е. Фёдорова, А.Г. Баскакова и К.И. Чернышова, полученных для стационарного уравнения, поскольку здесь не требуется обратимость пучка А - ХВ ни при каких A G С.

Установить единственность или неединственность решения задачи Коши для уравнения (1) можно с применением свойств операторного пучка A(t) — \B(t), или установления полноты 5-жорданова набора для А.

Пару (A(t), B(t)) называем псевдорегулярной на Т (псевдорегулярной), если ЗАо G С такое, что VA : 0 < |А| < |А0|, пучок A(t) - AB(t) инъективен (Кег

(A(i) - ЛB(t)) = {0}); уравнения (1), (6) с псевдорегулярными парами (А, В) называем псевдорегулярными.

Условия псевдорегулярности пары (A{t),B{t)) устанавливаются применением каскадного метода к уравнению

(A(t)-XB(t))y(t) = z(t), y(t) е Eh, z(t) е Е2. (15)

Находится решение y(t) этого уравнения при определённых z{t). Этот результат обобщает соответствующие результаты М.И. Вишика, JI.A. Люстерника15 и М.М. Вайнберга, В.А. Треногина12.

В случае Р(А\) = 0 при выполненных условиях теоремы 1 или 2 имеют место свойства:

единственность решения задачи Коши для уравнения (1) при каждом возможном х° и псевдорегулярность пары (A(t), B(t)).

Если же Кег A\(t) ф {0}, связь между единственностью решения задачи (1), (2) и единственностью решения уравнения (15) может нарушаться (пример 4). Однако, если добавить условие Si(t) = const, то

задача Коши для уравнения (1) имеет единственное решение при согласованных х° и /(£) тогда и только тогда, когда пара (A(t),B(t)) псевдорегулярная;

и в том и только том случае, когда В{1)-жорданов набор полон (теорема 8). (В работе рассматриваются жордановы цепочки, отвечающие нулевым собственным числам соответствующих операторов).

Тем самым обобщаются результаты Ф.Р. Гантмахера, В.А. Треногина о связи регулярности пучка А - ХВ и полноты В-жорданова набора для А, и результаты H.A. Сидорова и М.В. Фалалеева о связи единственности решения задачи Коши и конечности длин Вжордановых цепочек для А.

В разделе 1.5 применен другой подход к исследованию разрешимости однородной задачи Коши и исследованию свойств решения в случае постоянных коэффициентов А, В и ограниченных операторов А~В и Q(A)B. Используются свойства оператора Ад = (А - AB)-1 А, если пара (А, В) регулярная. Если А — нётеров, вводим оператор А\ при достаточно малых А ф 0 следующим образом:

(А\х = у) ^ (Ах = (А- АВ)у).

Леммой 7 подтверждается существование оператора А\ на элементах из некоторого подпространства, приводится явный вид Ад (формула 1.5.13).

15М.И. Вшиик, Л.А. Люстерник "Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и сопряжённых и несопряжснных дифференциальных уравнений". - Успехи матем. наук. — 1960. — № 15, вып.З (93). — С. 3-80.

В п. 1.5.2 строится подпространство M в Еи инвариантное относительно Ах (лемма 8):

M = {х G Ei : Six = 0, i = 0,р- 1} в случае регулярности {А, В) и M = {х € Ei : Six = 0, г = ОТр}, если {А, В) псевдорегулярная пара и Сокег Арф{ 0}.

Сужение Яд оператора А\ на M имеет при достаточно малых Л ф 0 ограниченный обратный Лд1 = / - \ТР. Строится корневое подпространство N оператора Ах. Доказывается: N = lin (щ,и2, ...ир), где и, - элементы В-жордановых цепочек для А.

Теоремой 9 доказывается равенство

Ei = M+N (16)

в случае, если {А, В) - регулярная пара.

Если же пара (А, В) - псевдорегулярная, равенство (16) может не выполняться,

это подтверждает пример 6.

В п. 1.5.3 задача (1), (2) решается в подпространствах M и N. Доказывается, что в подпространстве N решение задачи Коши тождественно нулевое, все решения лежат в М. Этот же результат следует из теорем 1-4 1б.

В разделе 1.6 решается задача Коши для дифференциального уравнения с нётеровым оператором под знаком производной:

^P- = By(t) + m, у(0)=у°. (17)

at

Получены условия согласования. Определены свойства решения y(t). Получено решение в виде

y(t) = (exptTp)Rp(y° + Нр-1 /(i)U) - Hp-if(t)+

+ f (exp (t - з^ВрЦАо - T0tfp_i)/(S) + T0P(Ap)y(s))ds, о

где P(Ap)y(t) - произвольная функция из Ker Ap, для которой последний интеграл существует; Яр_i — некоторый оператор.

"Такие результаты были получены автором методом каскадной декомпозиции для случая, когда А имеет число 0 нормальным собственным числом и dim Ker Л = 1 в работе "Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешённых относительно производной". - Автореферат канд. диссерт., Воронеж. - 1973, затем обобщены (1976) на случай фредготьмовского А в работе (29). Эти результаты приведены в Математической энциклопедии. - М. : Советская энциклопедия. 1977 -1985. - С. 332. Аналогичные результаты получены в работах Г.А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова (1994-2000), А.Г. Баскакова, К.И. Чернышева (2000, 2002) при других свойствах операторов Ач В.

В случаях Кег Ар = {0} (случаи 1,2) элемент P(Ap)y{s) в формуле (18) отсутствует, решение y(t) - единственное Vj/°, удовлетворяющего условиям согласования. В противном случае (случаи 3,4) элементP{Ap)y(s) остается произвольным, что влечёт неединственность решения.

Сравнение решений x(t) и y(t) (п.1.6.2) показывает, что ограничения на f(t) для существования решений задач (1), (2) и (17) разные, для задачи (1), (2) их больше и они более жесткие. При выполнении этих более жестких ограничений решения х(t) и y(t) совпадают.

Во второй главе исследуется чувствительность к различным возмущениям динамической системы, описываемой уравнением (предельным)

= ВС Условием = (19)

Большая часть гл. 2 посвящена исследованию свойств решенияx(t, е) допредельной задачи

dx(t е)

{А-еС)-^- = Bx{t,s), х(0 ,£)=ха + 0{е) (20)

в частном случая, когда А, В, С — постоянные замкнутые линейные операторы: Ei -> Е2, с общей плотной в Ег областью определения, А — фредгольмов оператор, А~В, Q(A)C, Q(A)B — ограниченные операторы, t G [0,Т], е € (0,£0) и для простоты dim Кег А = 1.

В разделе 2.1 приводятся определения: сингулярно-возмущённой задачи17 , пограничного слоя (погранслоя), условий регулярности вырождения задачи18.

Определение функции погранслоя, данное в работе 17, имеет определённый недостаток, а именно: нечёткое разделение функций погранслоя и бесконечно малых при £ > 0 функций. Мы разделяем случай равномерного стремления решения возмущённой задачи к решению предельного уравнения и случай наличия явления погранслоя, поскольку только в первом случае можно говорить о робастно-сти соответствующей динамической системы. Чтобы разделить эти случаи, даём несколько другое определение функции погранслоя (нулевого порядка).

Функцию v(t, е) называем функцией погранслоя в полуокрестности точки t = 0 (коротко: функцией погранслоя вблизи t = 0), если она стремится при е 0

17А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов "Асимптотические разложения сингулярно возмущённых уравнений ". — М.: Наука, 1973. - 270 с.

"М.И. Вишик, Л.А. Люстерник "Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром". - Успехи матем. наук. - 1957. - T.XII, вып.5 (77). -С. 3-122.

равномерно по норме пространства Ei к нулю на любом замкнутом отрезке, не содержащем точки t = 0, и не стремится к нулю равномерно на всем отрезке [О, Т].

На основании этого определения приводим некоторые свойства функций погран-слоя, выводим критерий принадлежности функции классу функций погранслоя (теорема 14).

В разделе 2.2 исследуются свойства решенияx(t, е) задачи (20) в обозначениях, отличных от обозначений, принятых в гл.1. Вводятся: е — элемент из Кег А, <р — элемент из Coker А, в пространстве Coker А вводится скалярное произведение < , > так, чтобы < ip,tp >= 1. В п 2.2.1 решается задача (20) каскадным методом. Строится решение x(t, е) в случаях регулярности и нерегулярности пары {А -еС, В). Доказывается: пара (А - еС, В) регулярна тогда и только тогда когда

R(s, А)е =< Q(eC + АВ)(1 - еА~С - AA~B)~le, у >ф 0

при всех достаточно малых е, А, не равных нулю (лемма 11).

Выводится каскадным методом формула для {А-еС-АВ)-1 для установления порядка полюса пучка А~еС-\В в точке А = 0. Для нахождения коэффициентов

ОО

dji разложения R(e, А)е = £ выведена единая формула, что отличает ее

ij=0

от формул для dji, приведённых в монографии 12.

В п. 2.2.3 строятся жордановы наборы для оператора Л: цепочка С-присоединённых элементов гщ для А; цепочка В-присоединённых элементов щ для Л; цепочка ^-присоединённых элементов п(е) для А-еС и цепочка С-присоединён-ных элементов щ(Х) для Л — А В.

Следствие 2.2.2 утверждает: решение задачи (20) неединственно тогда и только тогда, когда цепочки {tu,-}, {щ}, {тДе)}, {¡/¡(А)} - бесконечны. Если хотя бы одна из названных цепочек имеет конечную длину, то решение задачи Коши для уравнения (20) единственно (при выполнении длях°(е) условий согласования).

В разделе 2.3 исследуется поведение решения x{t,s) при £ -> 0.

В п. 2.3.1 с помощью уравнения ветвления R(e, А)е = 0 строится диаграмма Ньютона в случаях регулярности и нерегулярности операторов Л - еС, Л - АВ (рис. 2.4, 2.5).

С помощью диаграммы Ньютона в п. 2.3.2 доказывается теорема 18, утверждающая:

решение x(t,e) задачи (20) с z°(£) € Ме является голоморфной функцией параметра е в точке s = 0 тогда и только тогда, когда длины В - жордановых цепочек для А и для А-еС при всех достаточно малых е конечны и одипаковъи

<1е8Х

'о "о 'в "о

оооо

Рис. 2.4. Диаграмма Ньютона в случае

, . „ч Рис. 2.5. Диаграмма Ньютона в случая

нерегулярности (А, В) и регулярности

(А, С)

нерегулярности (А, В) и (Л, С)

Равенство этих длин цепочек означает: порядки полюсов в точке Л = 0 у операторов А — А В и А — еС — ХВ совпадают. Динамическая система в этом случае малочувствительна к возмущению еС.

Находятся полные условия наличия в задаче (20) явления погранслоя (теоремы 19, 20).

Строится в частном случае методом А.Б. Васильевой асимптотическое разложение решения задачи (20) по степеням е, определяется условие регулярности вырождения задачи.

Пункт 2.3.6 посвящен исследованию влияния различных возмущений операторов А и В на, поведение решений. Наряду с задачей (19) исследуются задачи

(1X1

А-^ = (В + еС1)х1(г,е), А = {В + ев + £ Л)х2 (*, е),

__ , , , ,, гл „,<1X4

л (В + А + еО)х 3(*,е), (А-еС)=£ = Вх&,е),

хДО.е) = ->• хЧ, г = {х4(г,е) - это х{Ь,е) задачи (20)).

Приводятся условия, необходимые и достаточные для малой чувствительности

системы (19) (то есть хЦ) при е -> 0, Ь 6 [О, Г], 1=1,2) и малой

(1х

чувствительности системы А— = (В + А)х{£) в терминах длин соответствующих жордановых цепочек и порядков полюсов соответствующих операторных пучков; а также полные условия наблюдаемости явления погранслоя в названных задачах.

Интересен не исследованный ранее случай, когда и возмущенная задача Коши, и предельная разрешаются неоднозначно. Теоремой 22 доказывается, что в случае неоднозначной разрешимости задач (21) для любого решения этих задач

(21) (22)

существует решение задачи (19) с начальным значением х° = х°, к которому Xi{t,e) сходится равномерно на [0,Т] при е 0, г = 1,2,4; x3(t,e) x(t),

— X|j.

В главе 3 разрабатывается каскадный метод для решения широкого круга обратных задач динамики систем.

В п. 3.1.1 рассматривается уравнение (5) с f(t) = 0. Задача состоит в построении u(t) такого, что решение x(t) уравнения (5) с этим u(t) обладает свойствами (7). Уравнение (5) расщепляем на уравнения в подпространствах lmD(t) и Coker D(t). В подпространстве Coker D(t) получаем уравнение: Q(D)(x(t) - B(t)x(t)) ~ 0. В предположении гладкости Q(D) это уравнение преобразуется к виду

¿1(i) = Bi(t)i1(i) + A-(i)y1(i), (23)

где xl{t) = Q(D)x(t)\ yl{t) = (I - Q{D))x(t)-, B^t) : Coker D{t) Coker D(t), Di(t) : Im D{t) Coker D(t). Условие (7) приводит к условиям

а:1^) G ШТСаг1), ¿»(i) е ОЯ^1). (24)

С уравнением (23) и условиями (24) производятся те же процедуры, что и с уравнением (5) и условиями (7), итак далее. В результате доказывается (теоремы 24, 25), что при определенной гладкости коэффициентов В(t), D(t) система (5) с условием (7) эквивалентна системе уравнений

u(t) = D-(t)(x(t) - B(t)x(t)) + z(t), Vz(i) e KerD(t), (25)

x(i)=a;1(i)+y1(i), (26)

2Ài) = Dj(t)(âj(t) - Bj{t)x^(t)) + (27)

¿(t) = x^(t) + ¿+1(t), j = (28)

ip(i) = Bp(t)x*(t) + Dp{t)y»(t) (29)

с условиями

xP(t)em(xn = {x"(t): = (30)

и произвольными вектор-функциями z}(t) e Ker Dj(t), удовлетворяющими лишь условиям

¿Юеял^нм*): = s = = (31)

и где Dp(t) или = 0, или сюръектпивно.

Приведены формулы для вычисления Bj(t), Dj(t), zjs.

При выполнении названных в теоремах 24, 25 условий в случае Dp(t) = О исходная задача неразрешима, система не является п. управляемой; в случае сюрьективности Dp(t) доказывается существование вектор-функций xp(t) и zj(t), удовлетворяющих условиям (30) и (31). По формулам (27), (28), (26) строится x(t), затем по формуле (25) определяется u(t) (программное управление).

В п. 3.2.2 подводится при выполнении определенных требований на гладкость B(t) и D(t) следующий итог (теорема 26):

Существует непрерывная вектор-фунщияи{1) е Rm, при подстановке которой в систему (5) решение x(t) системы удовлетворяет условию (7), в том и только том случае, когда существует р € N такое, что Dp(t) — сюръекция.

В частном случае k = 1 это критерий п.управляемости системы (5). В п. 3.3 доказывается для случая р = 1 эквивалентность этого критерия известному критерию, приведённому в монографии Г. Д'Анжело 1Э.

В п. 3.4 каскадный метод применяется для построения управляемого процесса для системы

x(t) = B(t)x(t) + D(t)u(t) + f{t)

с условиями X(ti) = , г = ОД, и достаточно гладкой вектор-функцией f{t) е К". В п. 3.5 дается алгоритм решения каскадным методом практических задач без построения проекторов. Приводятся блок-схемы процессов решения с поэтапной работой с многоточечными условиями (блок-схема 1, рис. 3.1), и без поэтапной работы с такими условиями (блок-схема 2, рис. 3.2).

В п. 3.6 описываются нелинейные динамические системы, для которых решается многоточечная задача управления каскадным методом. Приводится решение нелинейной задачи управления для системы, описывающей распространение в обществе инфекционных заболеваний 20 (пример 11).

В главе 4 исследуется разрешимость обратных задач для системы (6), в частности, исследуется п. управляемость системы. Полученные результаты (теорема 28, следствие 4.2.1) обобщают известный ранговый критерий п. управляемости регулярной дескрипторной системы, полученный в работе E.L. Yip, R.F. Sinco-vec 21, на случай псевдорегулярной системы.

"Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез". - М.: Машиностроение, 1974. - 287 с.

20Система приведена в монографии Р. Дорфа и 3. Бишопа "Современные системы управления". - М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. — 832 с.

21 Solvability, Controllability and Observability of Continuous Descriptor Systems. IEEE Trans. Automat. Control.

В п. 4.2.2. получен ещё один критерий п. управляемости системы (6) с/(£) = О (теорема 29):

система (6) с /(¿) = 0 п. управляема тогда и только тогда, когда выполняются условия

кц) 3 (А 6 С) [Кег(Л - А В) = {0}];

к2) V {V € К1) 3 ((у, г)) [Ау + Яг = Ву]\

к3) V (А е С) V (и £ К') 3 {(у, г)) [(В - АА)у + Бг = Аи].

£(аг,и)= 0

г

Д1(г',.т) = 0

х = х1 + у1

Г

и(х, Р[П)и) ■—® -©

) = 0 Ц £ОТ,(л-1> ям*1) 1

Рис. 3.1. Блок-схема 1

Из свойства к\) следует тест на неуправляемость дескрип-торной системы: если пара (А, В) не является псевдорегулярной, то система не является, п. управляемой, поскольку, в этом случае имеется веер траекторий системы, исходящих из начальной точки; среди них есть траектории, входящие в заданную конечную точку, но есть и траектории, следующие мимо этой точки (пример 12).

В п. 4.3 выявляется следующая особенность системы (6): при обратимой матрице А однородная и неоднородная системы п. управляемы или неуправляемы одновременно, но при необратимой матрице А это, вообще говоря, неверно: система с /(£) = 0 может быть п. управляемой, а система с /(£) ф 0 — некорректной. Приводится соответствующий пример 14.

Теорема 31 — это критерий

- 1981. - Уо1. 26. - Р. 702-707.

п. управляемости неоднородной системы (6):

система (6) с произвольной достаточно гладкой вектор-функцией f(t) б Мп п. управляема тогда и только тогда, когда выполняются условия fcj), кз) и условие ii) rank (A D) = п. (Условие ix) более жесткое, чем к2)).

В п. 4.4 исследуются системы

Г Ax(t) = Bx(t) + Du(t), ( Ax(t) = Bx(t) + Du(t), I y(t) = Cx(t), \ y(t) = Cx(t) + Hu(t),

С G L(Rl, Rs), H € L(Rm,Rs), y(t) G Ж5. Теоремой 32 выводятся полные условия п. управляемости первой из этих систем; задача о п. управляемости второй системы сводится к задаче п. управляемости системы (6).

В качестве примера приводится исследование динамической системы, описывающей работу ректификационной колонны по разделению бензино-толуоловой смеси на дистилляты 22 (пример 15).

Глава 5 посвящена решению каскадным методом обратных задач для динамических систем.

В п. 5.1.1 решается задача экспоненциальной стабилизации программного движения с контрольными точками. Разность y{t) между программным состоянием xpr(t) п. управляемой системы (5) и реальным состоянием х(t), и разность v(t) между программным управлением upr(t) и реальным управлением u(t) связаны уравнением y(t) = B(t)y{t) + D(t)v(t) и условием y(t0) = у°, Vy° G Kn (A.M. Ляпунов, В.И. Зубов, H.H. Красовский, М. Уонэм, Е.Л. Тонков, А. Нефёдов, Ф.А. Шолохович, В.Б. Колмановский и др., обзор работ можно найти в работе Юркова A.B.23).

Строим такое v(t), что не только \\y(t)\\ ^ се~ыЬ для любого наперёд заданного ш > 0, но и совпадают реальное и программное состояния в любом конечном количестве точек U, то есть, yfc) = 0, г = TJc. Описано построение y(t) и v(t), результат сформулирован в теореме 33.

В п. 5.1.2 решается задача инвариантности п. управляемой системы (5) к различным возмущениям (Г.В. Щипанов, E.H. Розенвассер, М. Уонэм, Ф.Л. Черно-усько, Я.В. Цыпкии, Б.Т. Поляк, И.Н. Буков, A.B. Куржанский, и др., обзор работ есть в монографии Б.Т. Поляка и П.С. Щербакова24).

"Система приведена в работе К. Буяхияуй, Л. Григорьева, Ф. Лаауада, А. Хелласи "Оптимальное нечёткое управление для снижения энергопотребления в дистилляционных колоннах ". — АиТ. — 2005. — №2,— С. 36-45.

233адачи стабилизации программных движений управляемых динамических систем. — Электронный журнал "Исследовало в России" , http://zhurnal.ape.i4;larn.ru/articles/2001/00I4.pdf.

иРобастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002.— 303 с.

Если в системе возникают внутренние возмущенияGi(t), Ga(i), и внешнее возмущение g(t), и если возможно применить блокатор D(t) к возмущениям так, что возмущенное уравнение принимает вид

(/ + Z?(i)G1(i))x„(i)= (32)

= (B(f) + D(t)G2{t))xv(t) + D(t)u0(t) + {I + D(t)G3(t))f(t) + D(t)g(t),

строим управление uv(t), под воздейтвием которого состояние xv(t) возмущенной системы (32) не отличается от состояния исходной системы (5): xv(t) = x(t), t £ Т. Разность uv{t) — u(t) мала, если малы Gi(t), g(t). Причем, P(D)Gi(t) и P(D)g(t) в построении uv(t) не участвуют, по отношению к этим возмущениям исходная система робастна. Полученный результат обобщает результат М. Уонэма 25 с одним возмущающим фактором G'i(t) в стационарной системе. Результат оформлен теоремой 34 и проиллюстрирован на примере 16 упрощённой модели продольного короткопериодического движения неманевренного самолёта26.

Рассматривается также инвариантность дискретной системы управления и системы наблюдения от возмущений определённого вида в этих системах.

В п. 5.1.3 доказывается, что стационарная п. управляемая однородная система (5) с Q(D) = const ф 0 не может иметь произвольное стационарное состояние. Выводятся условия для нестационарных систем, при выполнении которых любое стационарное состояние управляемо.

В п. 5.1.4 решается следующая задача: для системы (5) требуется найти u(t) со свойствами (8), и такое, чтобы состояние системы с этим u(t) удовлетворяло условиям (7). Существование таких x(t) и u(t) при выполнении определенных свойств коэфициентов системы утверждается теоремой 35. Даётся метод нахождения x(t) и u(t).

Раздел 5.2 посвящен исследованию свойств состояний стационарных п. управляемых динамических систем и решению задач для них.

В п. 5.2.1 дается метод определения "свободных" компонент стационарной системы управления, то есть компонент, которые не влияют на свойство п. управляемости системы. Эти компоненты находятся из условия 10 п. управляемости: rank(D BD ...BVD) = п. Приводится пример 18 работы многокамерной нагре-

25Линейные многомерные системы управления. — М.: Наука, 1980. — 375с.

20Модель приведена в работе A.M. Бронникова "Вложение систем. Условия строгой нечувствительности линейных систем к неэкстенсивным структурным изменениям". — Автоматика и телемеханика. — 2004. —№4. - С. 35-47.

вательной печи 27. Устанавливается: п. управляемость данной динамической системы не зависит от Х\ и от разности x-i — хз (i; — температура в i-й камере). В п. 5.2.3 исследуется п. управляемая система

exit, е) = Bx(t, е) + Du(t, е)

на отрезке [0,Т] с условиями х(0,е) = xq, х(Т,е) = хт, £ 6 (0,£о).

В случае, если D не сюръекция и Q{D)B ф 0, доказывается теорема 37, утверждающая, что для произвольной непрерывной управляющей функции ü(t) существует управляющая функция u(t,e), под воздействием которой

x(t,e) =x(t)+v{t,e), u(t,e) = ü(t)+w(t,e),

где каждая из функций v(t,e), w(t, е) является функцией погранслоя вблизи точек t = 0 и t = Г; x(t), ü(t) — состояние и управление предельной системы.

Доказательство — конструктивное, и отметим, что при этом не требуется выполнения каких-либо условий регулярности вырождения (типа условий на спектры некоторых матриц), которые фигурируют практически во всех исследованиях сингулярно-возмущенных задач 28.

В качестве примера рассматривается задача

Рис. 5.2. Функция x2(t, 6) управления материала

ной точкой массы т на отрезке времени [О, Т]

для внедрения в грунт сваи, на которую действует сила, вырабатываемая управляемым вибратором 29 (пример 19). Доказывается, что скорость x2{t,£)

"Аналогичная модель приведена в монографии Ю.Н. Андреева "Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — 424 с.

28Обзор работ по сингулярно возмущённым задачам в теории управления содержится в работе М.Г. Дмитриева, Г.А. Куриной "Сингулярные возмущения в задачах управления". — АиТ. — 2006. — №1. — С. 3-51.

"Система приведена в работе Е.А. Колпаковой, H.H. Субботиной "Об определении асимптотики одного класса сингулярно возмущённых задач вибрационной механики". — АиТ. — 2007. — № 11. — С. 150-163.

материальной точки является функцией погранслоя вблизи точек £ = 0 и £ = Т (рис. 5.2).

В п. 5.3 утверждается: рассмотренные в гл. 5 задачи разрешимы и для п. управляемой системы (6).

В разделе 5.4 на основании резуль- татов, полученных каскадным методом, предлагается решение обратных задач более простым, чем это дано в главе 3, способом, а именно, методом неопределённых коэффициентов, использующим свойство: для п. управляемой стационарной линейной динамической системы с /(£) = 0 и многоточечными условиями х(£) € Ш(х), и(Ь) £ 9Л(и) существуют х(¿) и м(£) в виде линейных комбинаций линейно независимых скалярных функций

Г Г

<р,-(£) с векторными коэффициентами: х({) = и(=

3=° 3=1

с*] € К", Р] € К7", 1— некоторое число, зависящее от к и р.

В п. 5.4.1 этим методом решается задача построения управляемого процесса с условиями на состояние и управление в контрольных точках. В качестве функций ^Pj(t) взяты Р. Выведена алгебраическая система для нахождения коэффициентов

Получена формула, связывающая х(Ь) с и Для вычисления коэффициентов и нахождения х(£), и(£) составлена программа в системе МаШсаФ Для системы, описывающей движение подводной лодки 20, решена задача 1 с условиями на состояние и управление в начальном и конечном моментах времени, приведены графические иллюстрации.

В п. 5.4.2 вследствие недостатка полиномиальных функций <#(£): компоненты состояния системы стремятся к оо при t —> оо, предлагается следующий вариант: Ф^Ь) = щщгя, Г;* 0,00. Для нахождения /3,- составлена система

(а + т)(а + т + 1)...(а + з){Ь + Т)^""^1 = * =

(33)

Получена формула для нахождения ж(£):

У^ + т - 1)! . ,

= 1,2-, {а + т + Т)*»» в Щ+1' (34)

j=Q тп—О 4 " 1 '

Для решения задачи экспоненциальной стабилизации стационарной системы с условиями х(Ь) = г = 0, к, £0 = 0 в качестве в п. 5.4.3 берутся функции 1р3{{) = Р е~аЬ, а > 0. Составлена система для нахождения коэффициентов/^,

получена формула для построения x(t). Составлена программа в системе Mathcad, применённая для решения задачи 2: управления самолетом "Боинг-747" при заходе на посадку 30 с контрольной точкой. Графики функций состояния показывают, что наличие контрольной точки меняет траекторию движения самолёта по сравнению с обыкновенно 5-образным маневром, а именно: вторичное отклонение от расчётной траектории значительно меньше, что важно при посадке на узкую полосу.

Далее в п. 5.4.3 решается задача управления движением материальной точки под действием реактивной силы по траектории, близкой к заданной (задача 3 пробивания тоннеля в горе Г2 31, которые выпускаются в целях безопасности за горой Г1, рис. 5.9). Для расчета горизонтальных составляющих движения точки в полиномиальим виде и вертикальных составляющих в экспоненциально-полиномиальном виде составлены программы в системе Mathcad, результаты расчётов проиллюстрированы графически (рис. 5.10, 5.11).

Рис. 5.11 Графики функций xz(t) — вертикальной компоненты траектории материальной точки, хц(t) — вертикальной скорости

Отметим, во всех алгебраических системах, составленных для нахождениях^) и u(t) в этом разделе, коэффициентами являются лишь матрицы D, BD, ... BPD, в отличие от систем других авторов 32, в которых участвуют преобразованные D, В и другие матрицы.

30Сисгема приведена в монографии B.H. Афанасьева, В.Б. Колмановского, В.Р. Носова "Математическая теория конструирования систем управления". — М.: Высшая школа, 1998. — 573 с.

31Система приведена в монографии H.H. Красовского .."Теория управления движением". — М.: Наука, 1968. - 476 с.

М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябчепко "Ленточные критерии и рекурсивные тесты полной управляемости и наблюдаемости линейных алгебро дифференциальных систем". — АиТ. — 2008. — № 9. — С. 44-61,

A. Ailon, G. Langholz "More on the controllability of linear time-invariant systems". — Int. J. Contr. — 1986. — Vol. 44, № 4. — P. 1161-1176.

В заключении сформулированы основные результаты, представленные в диссертационной работе.

Работы автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1.Зубова С.П. Решение обратных задач для линейных динамических систем каскадным методом / С.П. Зубова // Докл. АН. - 2012. - Т. 447, № 6. - С. 599-602.

2.Зубова С.П. Решение однородной задачи Коши для уравнения с нетеровым оператором при производной / С.П. Зубова // Докл. АН. — 2009. — Т. 428, № 4. - С. 444-446.

З.Зубова С.П. Решение задачи управления для линейной дескрипторной системы с прямоугольно-матричными коэффициентами / С.П. Зубова // Матем. заметки. - 2010. - Т. 88, вып. 6. - С. 884-895.

4.Зубова С.П. Решение задачи Коши для двух дифференциально-алгебраических уравнений с фредгольмовым оператором / С.П. Зубова // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41, № 10. - С. 1410-1412.

5.Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения / С.П. Зубова // Известия вузов. Математика. - 2000 . - N8 (459). - С. 76-80.

6.Зубова С.П. О частных решениях дифференциального уравнения в банаховом пространстве с малым параметром при производной / С.П. Зубова , В.П. Трофимов // Докл. АН. - 1992. - Т. 325, N6. - С. 1103-1106.

7.3убова С.П. О голоморфных решениях дифференциального уравнения с операторным коэффициентом при производной, зависящим от параметра / С.П. Зубова, В. П. Трофимов // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. XXI, № 2. - С. 328-330.

8.Зубова С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярными возмущениями в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Докл. АН СССР. — 1982. - Т. 264, N 2. - С. 286-290.

9.Зубова С.П. Об асимптотике решения одного класса дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 213, N 2. - С. 278-281.

Ю.Зубова С.П. О критериях полной управляемости дескрипторной системы. Полиномиальное решение задачи управления при наличии контрольных точек /

С.П. Зубова // Автоматика и Телемеханика. — 2011. — № 1. — С. 27-41.

И.Зубова С.П. Построение быстро убывающего решения неоднородной системы при наличии контрольных точек и условий на управление / С.П. Зубова, Чан Тхань Туан // Автоматика и телемеханика.— 2010,— № 11. — С. 29-37.

12.Зубова С.П. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Ле Хай Чунг // Автоматика и телемеханика. - 2008. — № И. - С. 41-47.

13.Зубова С.П. Критерий полной управляемости для линейной стационарной дес-крипторной системы / С.П. Зубова // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. : Физика. Математика. — Воронеж, 2010. — №2. — С. 84-88.

14.3убова С.П. Построение управления, генерирующего явление погранслоя в сингулярно возмущённой системе / С.П. Зубова, Е.В. Клочкова // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. : Физика. Математика. — Воронеж, 2010. — №2. - С. 89-96.

15.Зубова С.П. Построение полиномиального управления линейной стационарной системой с контрольными точками и дополнительными ограничениями / С.П. Зубова, Ле Хай Чунг // Системы управления и информационные технологии. Москва—Воронеж — 2008. - № 1.2 (31). — С. 225-227.

16.Зубова С.П. Построение затухающего управления в многоточечной задаче / С.П. Зубова // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. : Системный анализ и информационные технологии. — Воронеж, 2010. — № 2. — С. 27-32.

17.3убова С.П. Стабилизация линейной системы управления / С.П. Зубова // Учёные записки Российского гос. социального ун-та. Москва. — 2010. — № 8 (84). - С. 60-69.

18.Зубова С.П. Полная наблюдаемость нестационарной дифференциально-алгебраической системы / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Воронежск. гос. технич. ун-та. — Воронеж, 2010. — Т. 6, № 8. — С. 82-86.

19.3убова С.П. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Тамбовского ун-та. Сер. Естественные и технические науки. — Тамбов, 2010. - Т. 15, Выи. 6. - С. 1678-1679.

20.Зубова С.П. Об одном методе построения управления и состояний для дискретной стационарной системы управления / С.П. Зубова, Чан ТханьТуан //

Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер.: Экономика. Управление. — Воронеж, 2010. - № 2. - С. 162-168.

21.Зубова С.П. Исследование полной наблюдаемости динамической системы, моделирующей распространение информации в обществе/ М.В. Драпалкж, С.П. Зубова, Фам Туан Кыонг, Е.В. Раецкая // Вестник Воронежского гос. технического ун-та. Воронеж. - 2012. - Т.8, № 5. - С. 10-14.

Прочие публикации:

22.3убова С.П. Свойства возмущённого фредгольмовского оператора. Решение дифференциального уравнения с фредгольмовским оператором при производной / С.П. Зубова; Воронежский гос. ун-т. — Воронеж, 1991. — 17 с. — Деп. в ВИНИТИ 17. 06. 91, № 2516-В91.

23.Зубова С.П. Функции погранслоя. Явление погранслоя / С.П. Зубова; Воронежский гос. ун-т. - Воронеж, 1991. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 17. 06. 91, № 2517-В91.

24.Зубова С.П. О голоморфных решениях задачи Коши для дифференциальных уравнений с операторным коэффициентом, зависящим от параметра / С.П. Зубова, В. П. Трофимов; Воронежский гос. ун-т. — Воронеж, 1991. — 31 с. — Деп. в ВИНИТИ 18. 03. 91, № 1163-В91.

25.Зубова С.П. О характеристических значениях фредгольмова операторного пучка /С.П. Зубова, Ю.И. Кирсанова, В.П. Трофимов; Воронежский гос. ун-т. — Воронеж, 1987. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.11.87, № 7795-В87.

26.Зубова С.П. Исследование поведения решения сингулярно возмущённого дифференциального уравнения в "критическом случае"/ С.П. Зубова // Материалы научного семинара кафедры дифференц. ур-ний и матем. физики. — Ужгород, гос. ун-т. - 1982. - С. 88-111. - Деп. в Укр. НИИНТИ 25.01.84, №105-Д84.

27.3убова С.П. Полиномиальное решение линейной стационарной системы управления при наличии контрольных точек и ограничений на управление / С.П. Зубова, Jle Хай Чунг // Spectral and Evolution Problème: International Scientific Journal.Simferopol. Crimea, Ukraina. - 2008. - Vol. 18. - P. 71-75.

28.Зубова С.П. The Solution of the Cauchy Problem for a Singular Perturbed Equation / S.P. Zubova // Spectral and Evolution Problème: Proceedings of the Fourth Crimean Autumn Mathematical School—Symposium (Cromsh-IY), Sevastopol, Laspi, 1-12 Oct. 1993. - 1995. - Vol. 4. - P. 204-206.

29.Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром / С.П. Зубова // Прикладной анализ. — Воронеж. : изд-во Воронежского гос. ун-та. — 1979. — С. 51-60.

30.Зубова С.П. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения с полуфредгольмовским оператором при производной // Операторные методы и их приложения / Воронеж, гос. ун-т .— 1989. — С. 52—53 . — (Деп. в ВИНИТИ 19.10.89, N6385-889).

31.Зубова С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применение. Вып. 14. Вильнюс. Институт физики и математики АН Литовской ССР. 1976. - С. 21-39.

32.Зубова С.П. Решение неоднородного дифференциально-алгебраического уравнения с нётеровым оператором при производной / С.П. Зубова, С.А. Филатова // Труды матем. ф-та (новая серия). Воронеж, гос. уа^г. — Воронеж, 1999. — № 4. - С. 51-57.

33.Зубова С.П. Исследование свойств управляющей функции одной динамической системы / С.П. Зубова, Е.В. Клочкова // Актуальные проблемы математики и информатики (тр. матем. ф-та). — Воронеж, 2008. — № 2. — С. 21-28.

34.Зубова С.П. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с нётеровым оператором при производной / С.П. Зубова // Актуальные проблемы матем. и информатики (тр. матем. ф-та). — Воронеж, 2008. — № 4. — С. 15-23.

35.Зубова С.П. Об инвариантности состояния линейной системы управления относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Матем. методы и приложения. Часть 2. Труды XVII матем. чтений Рос. гос. социальн. ун-та. Москва, 2008. - С. 63-69.

36.Зубова С.П. Управление линейной динамической системой с частично заданными состоянием и управлением / С. П. Зубова, Е. В. Раецкая Е.В. // Матем. методы и приложения : тр. XV матем. чтений Рос. гос. социальн. ун-та. — Москва, 2006. - С. 56-60.

37.3убоваС.П. Управление линейной стационарной системой при наличии контрольной точки / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Матем. методы и приложения : тр. Х1У матем. чтений Рос. гос. социальн. ун-та. — Москва, 2005. — С. 34-39.

38.Зубова С.П. Структура решения одной сингулярно возмущённой задачи / С.П.

Зубова // Матем. методы и приложения : тр. XI матем. чтений Моск. гос. социальн. ун-та. — Москва, 2004. — С. 27-29.

39.Зубова С.П. О влиянии возмущений в задаче Коши для одного дифференциального уравнения /' С. П. Зубова // Матем. методы и приложения : тр. X матем. чтений Моск. гос. социальн. ун-та. — Москва, 2003. — С. 72-75.

40.Зубова С.П. Решение задачи Коши для одного класса сингулярно возмущённых уравнений /С.П. Зубова // Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений. Материалы зимней матем. шк. Москва, 1993. — С. 69-70.

41.Зубова С.П. Сравнение решений двух задач Коши в банаховом пространстве / С.П. Зубова // Математика. Матем. образование : Тр. Росс, ассоциации "Женщины-математики". — Воронеж, 2003. — Т. 11. — С. 35-39.

42.Зубова С.П. Решение неоднородного дифференциального уравнения с фредголь-мовским оператором при производной / С. П. Зубова, С. А. Филатова // Труды молодых учёных. — Воронеж, 2001.— Вып. 1. — С. 9-11.

43.Зубова С.П. О разрешимости задачи Коши для уравнения с нётеровым оператором при производной / С.П. Зубова // Воронежская зимняя матем. школа С.Г. Крейна — 2012. Материалы междун. конфер. Воронеж, 2012. — С. 74-81.

44.Зубова С.П. Инвариантность состояния динамических систем относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Современные проблемы математики, механики и их приложений : Междунар. конф., посвящ. 70—летию ректора МГУ акад. В.А. Садовничего. — Москва, 2009. — С. 150-151.

45.Зубова С.П. Решение задачи Коши для дескрипторной системы с нётеровым оператором / С. П. Зубова // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: тезисы докладов Международной конф. памяти академика A.A. Самарского к 90—летию со дня рождения (Москва, 16—18 июня 2009 г.). - Москва, 2009. - С. 175-176.

46.Зубова С.П. Решение задачи Коши для уравнения с полуфредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова // Дифференц. уравнения и смежные вопросы : Международная конференция, посвящённая 110 годовщине со дня рождения И.Г. Петровского. — Москва, 2011. — С. 217-218.

47.Zubova S.P. On the invariance of time—variable nonlinear system of observation with respect to special perturbations / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, Tuan Cuong Pham // The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applica-

tions, and Computation. — Moscow, 2011. — P. 397.

48.Зубова С.П. Решение задач управления для линейных динамических систем / С.П. Зубова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2012г. — С. 75.

49.3убова С.П. Влияние возмущений в задаче Коши для дескрипторного уравнения / С.П. Зубова // Международная конференция "Анализ и особенности посвящён-ная 75-летию со дня рождения В. И. Арнольда. Тезисы докладов. МИАН им. Стеклова. Москва. 2012. — С. 61-63. SO.Zubova S.P. Invariance of a nonstationary observability system under certain perturbations / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. — Springer Science+Business Media New York, 2013. - V. 188, № 3. - P. 218-226.

Следующие из перечисленных выше работы опубликованы в зарубежных изданиях:

1. Doklady Mathematics. - 2012. - Vol. 86, № 3. - P. 846-849.

2. Doklady Mathematics. - 2009. — Vol. 80, № 2. - P. 710-712.

3. Mathematical Notes. - Nework, 2010. - Vol. 88, № 6. - P. 844-854.

4. Differential Equations. - 2005. - Vol. 41, № 10. - P. 1486-1489.

5. Russ. Math. - 2000. - Vol. 44, № 8. - P.73-77

6. Russian Acad. Sci. Dokl. Math. - 1993. - Vol. 46, № 1 - P. 161-163.

8. Soviet. Math. Dokl. - 1982. - Vol. 25, № 3. - P. 621-626.

9. Soviet. Math. Dokl. - 1973. - Vol. 14, № 6. - P. 1691-1695.

10. Automation and Remote Control. - 2011. - Vol. 72, No. 1. - P. 23-37.

11. Automation and Remote Control. - 2010. - Vol. 71, No. 11. - P. 2283-2290.

12. Automation and Remote Control. - 2010. - Vol. 71, No. 5. - P. 971-975. 15. Automation and Remote Control. - 2008. - Vol. 69, No. 11. - P. 1852-1858.

Подписано в печать 21.06.13. Формат 60«84 Vi6. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 150 экз. Заказ 583.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

05201351621

ЗУБОВА СВЕТЛАНА ПЕТРОВНА МЕТОД КАСКАДНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОРЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы

и оптимальное управление

Диссертация

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж — 2013

Оглавление

Основные обозначения......................... 7

Введение 9

1 Исследование свойств решений дескрипторных уравнений в

банаховом пространстве 21

1.1 Определение и некоторые свойства нётеровых операторов ... 22

1.2 Исследование нестационарных дескрипторных уравнений .... 28

1.2.1 Построение фазового пространства нестационарного дескрипторного уравнения. Условия согласования. Решение задачи Коши....................28

1.2.2 О связи единственности решения задачи Коши и псевдорегулярности пары в частном случае . 39

1.3 Исследование стационарных дескрипторных уравнений.....44

1.3.1 Условия согласования. Решение задачи Коши. Фазовое пространство дескрипторного уравнения с постоянными коэффициентами.......................44

1.3.2 О связи псевдорегулярности пары (А, В) и единственности решения задачи Коши ..........46

1.3.3 О связи полноты жорданова набора и единственности решения задачи Коши....................52

1.4 О связи единственности решения задачи Коши, псевдорегулярности пары (А^), В(1;)) и полноты В(1;)~ жорданова набора для А(1;).....................56

1.5 Свойства фазового пространства дескрипторного

стационарного однородного уравнения ..............58

1.5.1 Построение оператора Ад..................59

1.5.2 Подпространства, инвариантные относительно оператора Ад.........................61

1.5.3 Решение начальной задачи в инвариантных подпространствах.......................70

1.6 Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с

нётеровым оператором под знаком производной.........73

1.6.1 Решение начальной задачи.................73

1.6.2 Сравнение решений двух задач ..............78

Исследование чувствительности линейных стационарных

дескрипторных уравнений в банаховом пространстве 80

2.1 Сингулярно возмущенные уравнения. Функции погранслоя . . 81

2.1.1 Определение функции погранслоя.............82

2.1.2 Критерий принадлежности функции классу функций погранслоя ..........................84

2.2 Исследование задачи Коши для уравнения с возмущённым

фредгольмовым оператором при производной ..........86

2.2.1 Решение допредельной задачи ...............87

2.2.2 Исследование обратимости возмущённого операторного пучка .............................90

2.2.3 Связь между единственностью решения задачи Коши для возмущённого уравнения и длинами жордановых цепочек............................93

2.2.4 Свойства оператора Аєд ..................97

2.2.5 Решение задачи Коши для допредельного уравнения в инвариантных подпространствах..............101

2.2.6 Исследование предельного уравнения...........103

2.3 Исследование поведения решения возмущённой системы при

стремлении параметра к нулю...................106

2.3.1 Диаграмма Ньютона.....................106

2.3.2 О робастности динамической системы относительно возмущений єС .......................110

2.3.3 Структура фазового пространства возмущённой системы 113

2.3.4 Построение асимптотического разложения решения возмущённой системы....................120

2.3.5 Исследование поведения решения допредельного уравнения при стремлении параметра к нулю.......129

2.3.6 О робастности дескрипторной динамической системы . 130

3 Метод каскадной декомпозиции в обратных задачах динамики систем 135

3.1 Редукция динамической системы .................136

3.1.1 Главный шаг редукции исходной системы ........136

3.1.2 Итерирование главного шага редукции для системы . . 138

3.1.3 Редукция обратной задачи с контрольными точками . . . 141

3.2 Решение обратной задачи с контрольными точками для линейной динамической системы .................145

3.2.1 Построение псевдосостояния и псевдоуправления последнего шага расщепления................145

3.2.2 Построение функций состояния и управления для исходной задачи. Каскадный критерий полной управляемости динамической системы с контрольными точками............................147

3.3 Об эквивалентности рангового и каскадного критериев п. управляемости ............................ 151

3.4 Решение обратной задачи с контрольными точками для неоднородной системы........................154

3.5 Алгоритм решения практических задач каскадным методом . . 157

3.6 Случай нелинейной динамической системы............159

4 Исследование разрешимости обратных задач для дескрипторных линейных стационарных динамических систем 162

4.1 Об одной обратной задаче .....................163

4.2 Обобщение критерия полной управляемости регулярной системы на случай псевдорегулярной системы........, . 165

4.2.1 Случай выполнения одного рангового условия......165

4.2.2 Критерий п. управляемости дескрипторной нерегулярной однородной системы.............171

4.3 Критерий п. управляемости

псевдорегулярной неоднородной системы.............175

4.4 Критерий п. управляемости по выходу стационарной дескрипторной системы.......................180

5 Решение обратных задач для линейных динамических

систем 186

5.1 Решение задач для нестационарных систем............187

5.1.1 Решение задачи экспоненциальной стабилизации программного движения с контрольными точками .... 187

5.1.2 Решение задачи инвариантности состояния системы относительно некоторых возмущений ...........190

5.1.3 Управление стационарными состояниями.........206

5.1.4 Решение задач с контролем за движением и управлением системы в заданные моменты времени...........209

5.2 Решение задач для стационарных систем.............211

5.2.1 Определение "свободных" компонент вектора состояний системы............................211

5.2.2 Построение управления, генерирующего явление погранслоя в сингулярно возмущенной задаче......214

5.3 О решении обратных задач для псевдорегулярных динамических систем ........................230

5.4 Метод неопределённых коэффициентов решения обратных

задач для стационарных динамических систем..........231

5.4.1 Полиномиальное решение обратной задачи с условиями

на состояние и управление в контрольных точках .... 232

5.4.2 Дробно-рациональное решение обратной задачи с контрольными точками...................236

5.4.3 Экспоненциально-полиномиальное решение обратной задачи для неоднородного уравнения ...........239

Заключение 248

Литература 251

Основные обозначения

* — знак сопряжения;

V — любой, всякий, каждый;

3 — существует, найдётся;

$ — не существует;

deg — показатель степени;

= des = — "обозначим";

X у — замена х на у\

N — множество натуральных чисел;

No = N U {0};

Кп — евклидово пространство размерности щ R+ = (0,+oo);

С — пространство комплексных чисел;

dim — размерность;

rank А — ранг матрицы А;

А : Е\ —> Е2 — оператор А действует из пространства Е\ в пространство

dom A, D(A) — область определения оператора А; domА — замыкание dorn А; Ker А — ядро оператора А\ Im А — образ оператора А;

Coker А = {у Є Е2 : І X Є Ах = у] — дефектное множество для А, коядро А;

Coim А — кообраз оператора А;

£е(А) = dim Кег А - dim Coker А — индекс оператора А;

/ — единичный оператор в соответствующем пространстве; --символ прямой суммы пространств;

L(E\, Е2) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Ei в Eï,

lin (i>i, г>2,..., vr) — линейная оболочка элементов vi, V2,vr;

U+(0) = (0,ô), ô> 0;

U(0) — окрестность в С точки 0;

U(0) — окрестность в С точки 0 без точки 0;

ÙxM = {А 6 С : 0 < |Л| < |А*|};

% — промежуток изменения скаляра £;

—> Е) — пространство непрерывных по t отображений F(t), действующих из X в Е, с равномерной нормой ||:F||c =

sup||F(£)IU;

iST

Ск{T —>■ Е) — пространство отображений F(t) таких, что

v(t,e) = 0{е) — бесконечно малая вектор-функция v(t,e) : % х (0, ео) Е2 с оценкой ||u(i, e)\\E:i < с • е, £ О, Vi е Т;

=4 — стремится равномерно;

£•) = о(е) — бесконечно малая более высокого порядка, чем е (е —> 0) вектор-функция v(t,e) : % X (0, £о) со свойством

l|p(t-g)ll*=to,tes.

Введение

В настоящей работе разрабатывается и применяется для решения различных задач метод каскадной декомпозиции уравнений на уравнения в подпространствах с целью перехода от исходной задачи к аналогичным задачам в подпространствах уменьшающихся размерностей.

В основу предлагаемого метода (для краткости: каскадный метод) положены следующие свойства линейного замкнутого плотно определённого нётерова оператора А, действующего из Е\ в Е2 {Е\, Е2 — банаховы пространства):

Ei = CoimA+KerA, Е2 = 1тЛ+СокегД (1)

где Coker А (коядро) — дефектное подпространство, Coim А (кообраз) — прямое дополнение к ядру Ker А в Е\, dim Ker А < со, dim Coker А < оо , и существует полуобратный ограниченный оператор А~ : Im А —> Coim А [4].

Эти свойства применяются для расщепления уравнения вида Av = w на уравнения в подпространствах Im А и Coker А.

Схожие расщепления пространств применяли М.И. Вишик и JI.A. Люстерник [21], М.М Вайнберг и В.А. Треногин [15] при построении собственных значений и векторов возмущенной матрицы; В.А. Уткин [171] при иследовании наблюдаемости стационарной системы; С.А. Краснова и В.А. Уткин [112] при построении функции состояния стационарной системы наблюдения; Ю.Е. Бояринцев [9], S. Campbell [199] для исследования дескрипторного 1 уравнения в конечномерных пространствах, С.Г. Крейн, В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова [188], [189] при исследовании дескрипторных уравнений в банаховых пространствах; A. Ailon [197], S. Campbell [199], V. Lovass-Nagy [219] для исследования конечномерных систем управления. При этом одни авторы ограничились одним этапом расщепления пространств

1Дескрипторным уравнением называют дифференциальное уравнение с необратимым оператором при производной от искомой функции по выделенной переменной.

(М.И. Вишик и JI.A. Люстерник, М.М Вайнберг и В.А. Треногин, С.Г. Крейн, V. Lovass-Nagy); у других авторов получение уравнений в подпространствах затруднительно (С.А. Краснова , В.А. Уткин, Ф.Р. Гантмахер, S. Campbell, В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова).

Предлагаемый каскадный метод вначале был разработан 2 для решения задачи Коши для уравнения

A^ = Bx(t) + f(t), (2)

t G X = [О, Т], В G L(Ei, Е2), в случае, когда Ег — оператор А — линейный замкнутый плотно определённый в Е\, имеющий число О нормальным собственным числом и dim Ker А — 1.

Под решением задачи Коши понимается дифференцируемая вектор-функция x(t), удовлетворяющая уравнению (2) при t G Т и заданному начальному условию

х(0) = х°€В1. (3)

Полученные в этом случае результаты были затем обобщены в работе [76] каскадным же методом на случай фредгольмовского оператора А с dim Ker А = dim Coker А ^ I3, и далее на случай постоянного нётерова А (ае(А) = dim Ker A- dim Coker Аф 0) [67].

Применение этого метода позволило получить результаты в случае, когда применение других методов ( преобразования Фурье-Лапласа, обобщённых проекторов Рисса) невозможно в силу необратимости операторного пучка А — А В быть может ни при каких A G С (нерегулярный случай).

Некоторые идеи каскадного метода были затем использованы в работе Е.И. Раецкой [153] для исследования системы управления

x(t) = Bx(t).+Du(t), (4)

В G Ь(Шп,Шп), D G Ь(Шт, Rn), с условиями ж(0) = х0, х(Т) = хт. Однако достаточно сложная поэтапная работа с краевыми условиями привела

2Зубова С.П. "Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешённых относительно производной". — Автореферат канд. диссерт., Воронеж. — 1973.

3Результаты приведены в Математической энциклопедии 3. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985 г. — с. 332.

к построению u(t) и x(t) в виде, недостаточно удобном для дальнейших исследований.

В настоящей работе каскадный метод разработан

— для решения задачи Коши для нестационарного уравнения (2) с линейными замкнутыми плотно определёнными на общем множестве в Е\, вообще говоря, неограниченными операторами A(t), B(t)\ нётеровым при каждом t G % оператором A(t) и некоторым f(t) G Е2;

— для исследования действий возмущений еС , eG коэффициентов А, В в задачах Коши для уравнений

(А-еС)Щ^ = ВХ(1,Е), (5)

аЩ= (В + с(е)А + eG)x(t, е), (6)

at

£ G (0, £Го), С, G:Ei —> Е2, с(е) = 0, = 1,= е и для других возмущённых уравнений;

— для решения обратных задач для конечномерных систем

x{t) = B(t)x(t) + D(t)u(t) + /(t), % = [¿0, h], (7)

E±(t) = Bx(t) + Du(t), (8)

Ax{t) = Bx{t) + Du{t) + f(t) (9)

с заданной входной вектор-функцией f(t) и условием x(t) G 9JÎ(x), где 9Я(х) — многообразие вектор-функций x(t), обладающих заданными свойствами.

Уравнением (2) описывается динамика и термоконвенкция несжимаемой вязкоупругой жидкости, фильтрационные процессы ( уравнение Буссинеска), межотраслевой баланс (уравнение Леонтьева), динамика манипуляционных роботов, гироскопических систем и др.

К дескрипторным уравнениям с частными производными относятся системы, исследовавшиеся выдающимся французским математиком А. Пуанкаре (1854-1912). К систематическому изучению таких уравнений привели фундаментальные работы акад. C.JI. Соболева (1908-1989), его последователи составляют в настоящее время новосибирскую

математическую школу (И.В. Кожанов, С.Г. Пятков, Г. В. Демиденко, C.B. Успенский и др.). Дескрипторные уравнения в частных производных традиционно называют уравнениями соболевского типа.

Проблема исследования уравнения (2) была поставлена в пятидесятых годах прошлого века на семинаре проф. Л.А. Люстерника в МГУ. В результате проф. В.А. Треногиным было разработано одно из направлений исследования разветвляющихся решений линейных и нелинейных уравнений с параметром, связанное со свойством конечности длин В-жордановых цепочек для А (метод Пуанкаре-Шмидта). В случае конечномерного уравнения значительные результаты были получены Ф.Р. Гантмахером (1967). В семидесятых-восьмидесятых годах прошлого века наибольшая активность в исследовании задачи Коши для уравнения (2) проявлялась в воронежской математической школе под руководством проф С.Г. Крейна. В дальнейшем это направление исследований было продолжено в работах Г.А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова и их учеников (челябинская математическая школа), в работах воронежцев А.Г. Баскакова, К.И. Чернышова и автора. В настоящее время в исследованиях задач для дескрипторных уравнений выделяются также иркутская математическая школа ( Ю.Е. Бояринцев, H.A. Сидоров, A.A. Щеглова, В.Ф. Чистяков, М.В. Фалалеев и их ученики) и екатеринбургская (И.В. Мельникова и её ученики). За рубежом активные исследования ведут A. Favini, A. Yagi, S. Campbell, Р. Kunkel, V. Mehrman, R. März, P.Chen, K.J. Engel, R. Nagel и многие другие авторы. Обзор работ с исследованием дескрипторного уравнения в конечномерном случае содержится в монографии В.Ф. Чистякова, A.A. Щегловой [189], обзор зарубежных публикаций — в монографии Р. Kunkel, V. Mehrmann [215]. Значительные библиографии по исследованиям задачи Коши для уравнения (2) содержатся в работах [208], [6].

Отметим, при исследовании уравнения (2) в конечномерных и банаховых пространствах практически все авторы рассматривали случай регулярного операторного пучка А — А В (случай регулярной пары (Д jВ), регулярной системы (2)), то есть случай существования оператора (А — АВ)~1 для Л € U(0), или случай существования этого оператора для Л из некоторого сектора

комплексной плоскости, или случай полноты £?-жорданова набора для оператора А. В нерегулярном случае, или в случае наличия бесконечных В-жордановых цепочек для А авторы отмечают лишь существование решения не при любых значениях х° £ Е\ и возможную неединственность решения (Ф.Р. Гантмахер, Н.А. Сидоров, Ю.Е Бояринцев, М.В. Фалалеев, S. Campbell

и др.).

Если А — нётеров оператор с ненулевым индексом, оператор А — ХВ необратим при А € U(0) [178], или даже ни при каких значениях А € С. Например, в очень важном для приложений случае Е\ = Мп, Е2 = п ф т, то есть операторов А, В с прямоугольными матрицами. Возникает актуальная задача выявления полных условий существования и единственности решения задачи Коши для случая нётерова при каждом t £ % оператора A{t), а также перехода от дескрипторного уравнения к уравнению, разрешённому относительно производной; и предлагаемый каскадный метод даёт возможность решения этих задач с привлечением свойства псевдорегулярности операторного пучка А — А В.

Пучок А — А В называем псевдорегулярным, если он инъективен при А Е U(0) (пара (А, В) псевдорегулярная, соответствующее уравнение псевдорегулярное).

Известна роль оператора А\ = {А — АВ)~1А для исследования разрешимости задачи Коши и исследования свойств решения стационарного однородного уравнения (2), если пучок А — ХВ регулярен. Свойство оператора А\ иметь число 0 нормальным собственным числом было выявлено в работе 2 (1973), и обобщено на случай фредгольмовского А в работе [76] (1976). Аналогичные результаты получены в работах Г. А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова (1994—2000), А.Г. Баскакова, К.И. Чернышова (2000, 2002) для регулярной пары (А, В) и для секториального оператора Л. Установлено, что в корневом подпространстве N оператора А\ стационарное однородное уравнение (2) может иметь лишь нулевое решение, все решения задачи Коши лежат в некотором подпространстве М.

Каскадный метод даёт возможность построения подпространств М и N

для оператора А\, введённого следующим образом:

[Ахх = у)+± (Ах = (А - ЛВ)у), х, у е Ei, и получения аналогичных свойств решения задачи Коши.

Каскадный метод весьма эффективен при исследовании поведения при £ —У 0 решений x(t,e) уравнений (5), (6) с условиями х(0, е) = ж0 + 0(е). Системами вида (5), (8), описывается процесс обтекания затупленного тела с�