Некоторые свойства голоморфных функций счетного множества переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный сонет К 063.52.03 по ♦изико-натематическим наукам

На прааах рукописи

ЛЕПСКИЙ АЛЕКСАНДР ЕВГЕНЬЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ СЧЕТНОГО МНОЖЕСТВА ПЕРЕМЕННЫХ

01.01.01-математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

• диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Ростов-на-Дону

1993

Г0(

РлОота выполнена в Ростовском государственной университете.

Научный руководитель - доктор фнлико-математических наук, профессор В. С. Рогожин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В. В. Жаринсв, кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Моржаки».

Ведущая организация - институт математики < г. Киев).

Зашита состоится "2." /ЛС* рТСл 1093 г. в "16" часов ма

»ас«дании специализированного совета К ООЗ. Я2. 03 по физико-математическим наукам в. РГУ по адресу: Э44СЮО, г. Ростов-на-Дону. ул. им. Р. Зорге,Б. мехмат.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ < ул. Пушкинская, 1 *вЭ . »

Автореферат' разослан " 2.5"- ^ИВфрй 1693 г.

Ученый секретарь сгюциялилироваиного совета. к&ндид-5т фи.5ико-мат<?матич>?ских наук, лонннт

В. Л. Кряквин

ОБЦАП ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Голоморфные функции, опеределенные на бесконечномерном пространстве, впервые стали рассматриваться в начале века в работах Д.Гильберта и В.Вольтерра. Современная же теория голоморфных отображений в локально-выпуклых пространствах (л.в.п.) берет свое начало с работ /1 .Нахбина 60-х годов. В дальнейшем эти исследования были продолжены многими математиками; С.Дайнином, П.Боландом, Р.Рианом, Дж.Муджайком и другими. При этом под голоморфной Функцией, заданной мл п.в.п. X понималась непрерывная G-голоморфная Функция, то есть голоморфная на любом конечномерном подпространстве из X. Распитие? теории бесконечномерной голоморфности на пространствах последовательностей естественным образом привело к рассмотрении наряду о основным - полиномиальным и мономиального разложения

m т.

Et k

a ■ z . . ■ z, ,

m . . . w. ft k

ft k

где суммирование осуществляется no всем Финитным последовательностям неотрицательных целых чисел (ш^). Впервые монпми-. альное разложение» в современной бесконечномерной голоморфности было использовано Р.Боландом и С .Дайннном при изучении голоморфных Функций на ядерных пространствах о базисом. В теории счетных систем дифференциальных уравнений задачу а существовании г*оломОрфного »решения- такой сйстемы, проходящего через заданную точку и представимого в виде мономиального рядд, впервые поставил К .П .Персидский". Им» же и его учениками были проведены другие исследования счетных систем дифференциальных уравнений: диФФеренцируемоОть решения ечетнрй оистемы по начальным данным, устойчивость решения задачи Коши для счетных систем ураонеий в частных производных чл т.д..Счетные системы

интегро—дифференциальных уравнений исследовались и применялись 3.И.Халиловым и Ю.Ф.Коробейником при решении смешанной задачи для уравнения в частных:производных с неразделяющимися переменными методом Фурье.

Цель работы. Получение критерия того, что G-голоморФная функция, заданная на пространстве последопательностей X, может быть представлена в виде мономиального ряда, абсолютно и рап-номерно сходящегося на компактных подмножествах из X ; исследование вложения пространства голоморфных Функций в прострдм-

ство Q-rоламорфных Функций, представимых в виде мономиального рида; изучение сходимости мономиального ряда ; изучение сходимости некоторых Функциональных рядов, имеющих важные приложения ; исследование топологий на пространствах голоморфных Функций .

Методика исследований. Систематически используются методы теории бесконечномерной голоморфности, основанные на синтезе идей функционального анализа и теории Функций многих комплексных переменных; привлекаются результаты и методы работ Р.Рианл для мономиальных разложений голоморфных Функций, определенных на пространстве последовательностей.

Теоретическая и практическая ценность. В работе получен ряд новых результатов по мономиальным рядам и Функциям, предстаан-мым такими рядами. Эти результаты носят теоретический характер . Они могут быть использованы при анализе решений счетных систем дифференциальных уравнеий, при анализе нелинейных псевдодиФФеренциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре им. M .Г .Хапланова Ростовского гоо-

университе (руководитель - профессор В.П.Эахарюта), на научног семинаре кафедры математического анализа РГУ (Руководитель профессор Ю.ф.Коробейник), на VI (1987 г.) и VII (1989' г. конференциях " Комплексный анализ и дифференциальные уравнения "в п. Черноголовка, Северо-Кавказской школе-конференци» "Функциональные пространства, сингулярные операторы и их приложения " в- г. Теберде (1988 г.), на расширенных заседания] ИПМ им. И.Н.Рекуа в г .Тбилиси в 1968 и 1990 годах, на XIV «ко ле по теории операторов, в функциональных пространствах (198' г.) о г.Новгороде, на семинаре отдела математической Физик|

Математического института им. В .А .Стеклова АН СССР (1990 г.).

Публикации, fib теме диссертации опубликовано 8 работ , спи сок которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа сос тоит из .введения, трех глав и списка литературы из названий Ойъем диссертации - 143 страница машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Do введении дан краткий обзор работ по диссертационной теме, излагаются основные результаты диссертации и проводится их сравнение о извготными ранее результатами. Приведем необходимые для дальнейшего изложения понятия и обозначения из теории беоконечномерной голоморфнооти.

Пусть X.Y - л.а .п.. Отображение f:X Y называется О-голо-

морфнын, голи £ голоморфно на любом конечномерном подмножестве

пространства X. Непрерывное Q-голоморфное отображение t назы-

■

вают голоморфным. Пространства всех Q-гпломорфных и голоморфных отображений из X в Y обозначают соответственно - Ha(X,Y) и

H(X,Y) .Символом 9С обозначим Фундаментальную систему всех ком-к

плктных абсолютно выпуклых множеств на полном л.в.п. X. Соли К

о»

« * ,то определим банахово пространство X : = и n' X о нормой Я . К

( ) - функционал Минковского и определим через J^X^-*- X

сужение тождественного отображения 1:Х —► X на Х^сХ. Пусть

й'*"- множество всех финитных последовательностей

неотрицательных целых чисел п=(п}) ; (в| := Е^'я^ и dira m : =

вир< J : и, > , когда n=(n,)« W,N>; ¡№":=< ее : |в|=п >.

t t «

Если z-(Z.) - пооледоват.ельноЬУь чисел и в|3(я.)« N . то m _» i

2 '• .

В первой главе вводится понятие оуперголоморфного отображения и исоледуются никоторые свойства таких отображений. Подробно рассматриваются суперголомоёФныв отображения на с . В

■ , о

этой ж» главе исследуются оопряженные радиусы сходимости мпно-ммальнсго ряда. Пуоть X - л.в.п. последовательностей ( л.в.п. п.), Y - произвольное. .1.» .п.. Будим говорить , что отображение £:Х Y яиляетоя оуперголоморфным из X в Y, если оно предста-вимо й виде мономиального ряда

f(z) = £ . а« V . (1)

meS» к

регулярно сходящегося на всех компактных множествах из X, то есть ряд (1) абсолютно сходится и абсолютно сходпнийся ряд fiy-

дет ограничен на любом компактном подмножестве К из X. Прт-т-

ранство всех суперголаморфных отображений иэ X в Y обозначим

через Н (X.Y). •р

Теорема 1.2.Пусть X - полное л.в.п.п. комплексных чиоел, имеющее канонический базис, У - нормированное пространство.

Дли того, чтобы fe Н (X,Y) необходимо и достаточно, чтобы £« *р 00 в H*p(J^,Y) для всех Ке *ж, где ^^„У^п-К, * н£р(Х,У) - подпространство пространства Н (X,Y), состояцее из отображений,

•J»

ограниченных на ограниченных подмножествах иэ X.

Этот результат часто используется в диссертации, в том числе и при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 1.3. Если fe H(co,Y), где Y - банахово пространство, то fe Н ( lim lnd (с„)„ ,Y), где ?=(?,) и множеотва V,: = ,р ?« ° "С , J *

:= ^ z=(aj)e с0 : Js^C, ( d« W ) J (? = <?,}« с*) образует

фундаментальную систему абсолютно выпуклых компактных множеств

» С . О

В этом исследовании используется подход, предложенный Р.Ри-аном.

В §2 рассматривается клаоо всох^ мономиальных рядов (1)' о комплексными коэффициентами и обсуждается вопрос о суцествоеа-ни и у них сопряженных радиусов сродимоотй'. Отметим, что

оопряженные. радиусы сходимости n-кратного момомиального

Ряда изучались; в ряде-работ С.Д.Окуня. При этом различается два понятия; а) положительные числа (lj) называйте* сопряженными радиусами сходимости ряда (1), если он абсолютно

сходится в области = £ (z^) : Iz^|<rj (Je Й) J и не сходится

абсолютно ни в какой области Вг, , ггде г^ , и хотя вы для

одного 3 в 1Н имеем г, < Г* ; б) положительные числа (г.)

о о '

называются сопряженными радиусами сходимости А-типа для

ряда (1),если он абсолютно сходится в области ^(у ) :вир(|^ I/

/г^ : '¿е М ]<1 ^ и абсолютно расходится в { 1

:,}<= И |>1|. Приведены примеры рядов, имеющих и ив

имрщцих сопрятенныв радиусы сходимости ( А-типа ). Показано, что хотя в брскомечномгрном случае нонониальный ряд может и не

иметь сопряженных радиусов сходимости даже А-типа, но расстояние между облаотями сходимости и расходимости этого ряда в некоторой метрике равно нулю. В общем случае положительные чиола (г^) являются сопряженными радиусами сходимости А-типа для ряда (1) тогда и только тогда, когда .-.<М> |а | ' Г™14Л>» 1. В §2 из класса всех

п —^ 00 1 п J

мономиальных рядов (1) выделяется такой под;ласс, чтобы выполнялось условие

115 вир Г dim m/lml6: me IN<K\ a^Q 1=0, (2)

n -»- «в L m J

где M(n)=Ç(n/ln{n)) .Для этого класса рядов доказан бесконечномерный аналог Формулы Коыи-Адамара.

Теорема 1.7. Если мономиальный ряд (1) удовлетворяет

условию (2),то положительные числа (г^) является сопряженными радиусами сходимости А-типа для ряда ( 1 ) тогда и только тогда, когда выполняется условие

п ф а> те И Ь **

п

В конце главы доказывается весовой аналог леммы Абеля.

Пусть ßf (Zj). : max[ l^l/r-j 5 d=T7k ] S \<_ 1 (*« «) }.

где <J=("Sk},r=(rt). , ' , •

Предложение 1.2. Пусть члены ряда (1) в точке пускамт оценку ; найдется M >0, для которого

(а гИ| s M (dim(m) ) .

где последовательность < XI k) >. такоиа, что <;хидитс;и ряд

■ k» i

Ц<>4 Х(к)/(1-<$к) , вели б=(6к)с (0,1).Тогда ряд (1) абсолютно

сходится в любой точке области • где I |С)•

Во второй главе находятся необходимые и достаточные условия сулерголоморфности на пространстве последовательностей.. Во* исследования проводятся на идеальных л.в.п.п., то есть 'на л.в.п.п., имеющих такой базис абсолютно выпуклых окрестностей S , относительна которого все преднормы • ) являются

покоординатно монотонными Функциями ((М Я Идеальные л.в.п.п.

вводятся и изучаются в §1. Пусть пространство последовательностей X является борнологическим и предотавимо в виде

X=Un ind \ , (4)

где Т^с X и нормированные пространства являются нормальными , то есть из того, что Х^ следует, что и (а^-а^)в для всех |аг|51 (J« №),

Теорема 2.1. Если л.в.п.п. X, имеет вид (4) и вов Х^ - идеальны, то и X - идеальна.

Пусть У - л.в.п. и 0у " сиатема преднорм, Определяющая локально-выпуклую топологию пространства У. В £2 изучается связь между суперголонорфноотью G-голаморфного отображения f : X Y и паведением"ряда ' ■ г ■

Е," (б)

где z=(z ), tr=(w-)e X, 4« Qy. Сходимооть этого' ряда изучал?"», в работах К.П.Персидского при исследовании существования и единственности решения задачи Коши для функционального уравнения , содержащего обобщенные производные вида v'= lim(v(t+&t,

(Sj+At-*j).)-v(lf (Sj)))<At, где v(t, ( а^) ) отображение с : областью значений из банахова пространства Y, t« К*, z-(z^), Ф-- точки банахова пространства X. Если для О-голоморфного отображения f:X -»-Y РЯД (Б) ограничен no г на любом компактном подмножестве пространства X для любого Фиксированного « X, то будем говорить, что f на X удовлетворяет R_-свойству.

Пространство последовательностей X назовем положительным, если

амрпте с (z^)« Хи (|z.|)e X. Для суперголоморФмого отображв-

ния заданного на идеальном положительном л.в .п.п., в котором оуцеотвует положительный абсцлютно выпуклый компакт, коэффициенты в разложении (1) определяются однозначно.

Теорема 2.2. Еоли X - идеальное положительное л.в.п.п., У -л.в.п. и 1Гр(Х,У)»1Н(Х,У), то £ удовлетворяет на X

^-свойству.

Творена 2.3. Если X, У удовлетворяют условиям теоремы 2.2

со

и .кроне того, х - полное и имеет вид (4), где Х^и^п'К, (Ке *х), а £в Н>р(Х,У),то для любых : компактного множества К-в X, ограниченного множества А и де верна оценка

в»р вир I £™ IV». | I < оо .

|» >в К (V >е А"- ' 4 ' i

> i

Одним из следствий И -свойства является справедливость для .с

отображения £в Н(Х,У) Формулы конечных приращений.

В 43 реыаится задача описания таких л.в.п.п. X, для которых было бы верным вложение

Н(Х,У)С Н.Р(Х,У) , (в)

где У - банахово пространство. Эта задача является в некотором смысле Обратной к решаемой в теореме 1.3 для случая Хк£ . Р.Рианом было доказано вложение (в), когда Х=' . Пусть <1^(0): = := вир< |г™| : г« в >, Где 0« Будем говорить , что л.в.п.п.

X удовлетворяет условию (А), роли "для любого компактного множестпа К' в X существует такое 0« Ж , что

виР I Е „ \zm^/d •((}) : 2« К I < оо . Пространство Х=/

«- : пкёИ ™

удовлетворяет условию (А), Используя метод, предложенный

Р.Риамом доказывается следующая

Теорема 2.4. Пусть X — вимахоыо иди^льнпе положительное

прост рамитво о кампничеиким би-»испм . удои Л1М »орнющге усзлоиию

(А) и У'- банахоио гч'П1-чр.1ничк1. Тиг да Н(Х,У)с Н (Х,У).

•Р

В §4 дики зим »<(>И1 срии 1:ум»'|'Г о/н »г-ч ||ит>»м и:! и дли {^.имхпии Идг> -

ального положительного пространства X (б.и.п.п.). В этом же

I _ ■

параграфе дано описание пространства оуперголоморфных отображений в терминах голоморфных отображений, а также найдена одно представление суперголоморфной функции в виде ряда Функций

)

ращению {е Н (Х,У) можно поставить в соответствие ряд (1), где

конечного числа переменных.Когда X - л .в.п.п ., то любому отоб-ажению

а ^в'1"'€(г)/(да'П'щ! Н Если У - нормированное пространство,

п ' '|хвО

то через обозначим мажоранту отображения £« На(Х,У) :

= Положим Н(Х,У):={ * С^Е^.н, *т «

На(Х,У) : Н(X) : = Н(Х.с')

Предложение 2.3. Если X - б.и.п.п, У - банахово пространство, то Н.р(Х,У)=Й(Х,У).

Следствие 2.3. Пусть X - б.и.п.п., У - банахово пространство и {е Нв(Х,У). Для того, чтобы £« Н>р(Х,У) необходимо и доо-

таточно равномерной сходимости ряда |I ' 1| на

любом компактном в X множестве. е

Предложение 2.4. Пусть ГХ - б.и.п.п., У - банахово пространство и ^а Н (Х,У). Тогда для £ справедливо представлениев ■р

•виде ряда ; Е »• • • . • гле £„ = ¿(0),

.....( "¿в И),

причем последний ряд сходится абсолютно и равномерна на любом

компакте из X. ' ...

В §5 уточняется й -свойство в одном частном случае.

Теорема 2.4. Если X - б.и.п.п. такое, что сильно сопряжено^ пространство X* имеет канонический базис и £« Нар(X), то д/1Н любого компактного множества К в X и X справедли-

ва оценка

' Л'1 *♦ ® при п 00 •

тог же рс? зу/»ьта1 доказывается относительна произвольного (»и* оЬи.ып'Льно канонического ) Оазиса Пиулера и X-

Н г ь*:'и г ламе щшдигом и и.*учается одно семейство прост—

>анотв голоморфных отображений. Пуоть Ь - некоторое простран-

>тво последовательностей, X и У - банаховы пространства, «оо

- последовательность непрерывных проекторов конечного >анга на X. Будем говорить, что отображение На(Х,У)

шляется У-голоморфным роота Ь (ограниченного типа), если для иобых компактных (ограниченных) множеств К и 5 из X справедли-

>о неравенство вир^Н £(Рп(г-и" )+\«* (Рп(г-зд")+м") ||у: 2«

1К»'-1«"|1Х. где «* в и Г.*. Простран-

зтво всех ^-голоморфных отображений из X в У роста Ь (ограни-«иного типа ) обозначим через Н^Ы(Х,У) ( (X, У ) ) . Исполи-

»уем также обозначения Н^(Х,У) :=Н^Со>Ь( Х.У) и Н^(Х,У): = :=Н^со'(Х.У). РГ^(Х,У):= { £(2)= Е На(Х,У) : 1е

> теМ

« Н^'(Х):=Н^1',(Х.С*) если Х- нормированное пространство.

Пространство Н^Сщ) рассматривал К ,П .Персидский, исследуя зчетные оиотемы дифференциальных уравнений : = £<(1,г1,г1,. . . ) (8« И). В частнооти, предполагая, что • Н^>(Х) , где Х=Я!^*'в'и при некоторых дополнительных ограничениях на 1, К,П.Персидский доказал существование и единственность решения задачи Коши для счетной системы дифференциальных уравнений и предложил метод нахождения этого решения - метод укороченной системы . Кроме того , К .Г) .Персидский исследовал и поведение ряда (5) е предположении, что ¿ч )•■■ В третьей

главе доказываются общие свойства отображений из Н^>Ы(Х,У) и Н^"'>'Ь(Х,У) исследуются вложения Й^,Ы(Х,У)с Н>р(Х,У) и

Н ' ( X, У)С Я1Ь>( Х,У) для широкого класса банаховых пространств ар Г

Х.У, побледовательности Т и Ь=Со,т (пространство ограниченных

последовательностей); находятся условия плотного ылижении и

строится оператор гтроектирооания проатранстна Н^л'сХ.У)

в ЙУ'г'сХ.У), когда I, и - некоторые различные нространояа

последовательностей; вводятся и исследую I он топологии на

Н>р(Х,У). Н^и(Х,У) и Н^Ы(Х.У).

В §1 определяю той мрог: т ране г н а Л * ( X, У > и и!.1"*' (Х,У).

Теорема 3.1. Луить В(Х,У ) - пространство всех отображении* иэ банахова пространства X в нормированное проотранотво .у, ограниченных на ограниченных множествах иэ X и X «опускает компактное исчерпывание единичного шаре (| . Для того чтобы

Н^(Х,У)=В(Х,У)лНу(Х,У), необходимо и достаточно, чтобы для любого отображения £е Н^»(Х,У), любого компактного исчерпывания

'.••'_„_— 1 '

единичного шара и.ги" К. (К.с К для аоех М) и Х>0 вы» ■ • * • . ** •

полнялооь л.„ (П):=11ш < «о и «¿.„^.„^00

+ 0 при П-» 00.

Теореме 3.2. Пуать X и У - банаховы пространства и отображение £« Нп(Х,У) удовлетворяет условию ; для любых компактных множеств К и О справедливо неравенство

вир|| £(Рп(г-и' )-£(Рп(г-«")+»")||у 3 в <п,, п« В»

для некоторой последовательности операторов конечного ранга *=<РГ)>п®1, где )-*• 0 при п-4. оо равномерно по м',

а. Тогда £* Н(Х,У). Следствие 3.1. Если X - банахово проотранотво о Базисом, Т

- последовательнооть канонических проекторов, связанных с ба-

,и

зисом, У - банахово пространство, то Н^ ( Х,У)=Н( Х,У)

В §2 находятся достаточные условия вложении Н>р(Х,У)с

Н^'СХ.У-) и Н (Х,У)с Я1"(Х,У) в двух случаях Ь=с и Ь-л; . на* вр .'О

холятся необходимые и достаточные условия вложений •

доказывается ■ плотность Ьложений пространства

Н^ЛЛх.У) В Й^^ЧХ.У), когда Цс Ц и отроится оператор про#-

ектировамия между этими пространствами, Если X - пространство

последовательностей и г=(г )« X, то пусть п<п>(г) : = (2 . . . . .2 •

/ О 4 г»

0, . . . ) (П« М> . '

Теорема 3*3. Пусть X - нормальное банахово пространство,

причем сильна сопряженное пространство X* к X имеет канони-

м.нжнй Ял-ЛИС. Тогда Н (Х,С*)с Х.С1 ) , где .

•р ' * о )*г

Лиалси ичмыи р»?эультат справедлив и для эложения Н (Х)С

•Р

Н5Л X) . Т1Ч)рема 3.3 доказывает си и и ел-.-и»? пространства поел«?-

довательноотей X о произвольным базисом Илу дар а и связанной с ' ним последовательность» проекторов Т.

Обличи» 3.3'. Если У - банахово пространство. У~<л<>>>00 ,

о

то Н(/.У).

В оледуищем предложении устанавливаются необходимые и достаточные условия вложения й1ь'(Х,У)с Н (Х,У). Пусть в,: = (0,...ЛЯ.)

Предложение 3.3- Соли X - б.и.п.п.. Ее X» У - банахово проотранотво, I, - некоторое пространство последовательностей, '>.**■, то для того чтобы Я1"(Х,У)с Н (Х,У), необходи-

В.|вЖ1. . ¿г *р

мо и достаточно выполнения для любого компактного множества Ое Х^ следующей оценки :

вир^ Е®, "^"к : а« в ^ < » ,

где = Ит " Ь*. воли &

' 5 О * ■ |

я;ы(х.у).

В этом ж» параграфе рассматривается семейство пространств Й^Ы(Х,У), когда (1£р5т), - проотранотво всех финит-

ных последовательностей. Если ^=<п'1>>.0в , то Я10>(Х,У) совпа-

О з*ш У

давт о пространством всех голоморфных на X отображении, зависящих только от. конечного числа переменных. Пусть то - топология равномерной оходимости на всех компактных подмножествах пространства X.

Предложение 3.4. Если X - б^и.п.п. , У - банахово пространство , то ^Й^С X,У) .т^) будет всюду плотным в

(Н^Х.У),^). ' :

Теорема 3.4. Пуоть У банахово проотранотво ,

15р<оо и / , . Тогда'проотранотво .У) .т„ ) будет всюду

плотным в (В^,>{/р.У>,то},

Далее,' отроится оператор проектирования И,

ставящий в соответствие отображению £е Н (ХД) вида (1) отображение р (£):= Г.® г" Г. , а « Н (Х.У). где п ■ ' "1*0 т ч>'

|ш| =|п| , если <Цт ш—^ • Пусть дли пространстыа последователь-

ностей Ь и (15р<ао) выполняется условие : существует поло-

жительная последовательность такая, что ' '

для всех (г^)« Ь. Обозначим через ¿(1<,р) множество всех положительных последовательностей для которых выполня-

ется условие (7) для всех Ь. Если 6т А(1*,р), то положим

^ (!,):={ (ип) : V (г.)« Ь 3 о>0 : |„п1*с »

Теорема 3.5. Пусть 1£р<оо , У - банахово пространство и пространство положительных последовательностей I/ такое, что верно (7). Тогда для любой 6=(6.)а А(Ь,р) существует последовательность ц=(п^)с П, для которой

Т) " Р *Р Р ■■ У р

В §3 вводятся различные топологии на пространствах Н(Х,У), Н„р(Х,У), {£Ы(Х,У) И Н^(Х,У).

Теорема 3.6. Пусть" б.и.п.п. X имеет канонический базис и удовлетворяет условию (А), У - банахово про^ранство. Тогда топология, задаваемая системой преднорм (1): =

:=вир< Иап1(£)||у-£11п(«) : Юв И<н> >, где £ имеет вид (1) и в« Ж , совпадает о компактно-открытой топологией т , то есть задаваемой преднормами рв(£):=еир< ||£(г)||у : х0 Я >.

Эта теорема обобщает соответствующий результат Р.Риана, доказанного для случая Х=*4. ; • ,

В этом же параграфе проводится сравнение 'топологий, задаваемых на Н<р(X,У) системами преднорм р^1'(£) , ^ (£ ) :=

: =вир< : И > +'.И£(в)||у, уа(£):=вир< '^(Я' «5Д :

зд (3, ¿еМ.> + ||£(0)Цу и ав(£):=виР< Ш/Ог.^- : гт Ч.

¿в И > + ||£(0)|1у, где 0« Хх, в случае б.и.п.м;с. X .

Предложение 3.В. Пусть X - б.и.п.п.,Бс X, У - банахово .

пространство, Ь — некоторое пространство последовательностей и

Г=<л'1>>со . Тогда семейства преднорм р (£):=Р (?(2 ,...,' о л*» о »

• ( ^(2, • • • • > 0,... )) и ао^£):=а|3(£(г>....,г1,0,...)) за-

дают на fl^ (X,Y) одну и ту же локально выпуклую топологию,

более слабую, чем т .

о

Результат предложения 1.1 получен совместно о D.А.Какичевым и принадлежат обоим авторам в равной мере.

Автор выражает глубокую благодарность научныму руководителю профессору В .С.Рогожину и научному консультанту профессору

В.А.Какичеяу за постоянное внимание и помоць в работе. Автор

выражает особую признательность профессору В.П.Эахарюте за ряд

ценным замечаний и предложений. ,

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Лепский А.Е./ Об одной характеристике роста голоморфной Функции от счетного числа аргументов'// Доклады расы. засед. оемий. Ин-та прикл. мат, им. . И.Н.Векуа. - Тбилиси,1968. -3,*1. - С.104 - 107,' - Руо.

2.Какичев В.А.,Лепский А.Г./ Некоторые саойотва голоморфных Функций от счетного числа аргументов// Изв. вузов. Математика.

-1989,ХМ. - С.35 - 46. - Руо.

3.Лепский а.е./ Проотранотва функций, голоморфных а банаховом пространстве// Рорт . ун-т.. - Ростов -н/Д ; 1989. - 35 с. - Библиогр . :8 назв Руо .- Д»п .'в ВИНИТИ 29.06. 89. >М318-В89, Р* Мат., igag, 106173. .. '

4.Лепский А.Е./ Пространства голоморфных функций в с„// XIV школа по'теории операторов Функциональных пространствах: тезисы докладов . .-Новгород, 19В9. Ч.Ц -С.56. - Руо .

5.Лепский А ,Е./ Об одном описании проотранотва голоморфных отображений, заданных на банаховом пространстве// Роот. ун-т. - Ростов н/Д,.1990. - 25 о. - Библиогр. :7 назв . -Руо. -Деп. -в ВИНИТИ 23.01.90, 5*476-890, РЯ Мат.,1990,БЕ169.

6.Лепский А.Е./ Оценки типа обобщенного условия Коши для Функций, голоморфных, на банаховом пространстве// Роот. ун-т. -Ростов н/Д,1990. - 27 о. - Библиогр7 назв. - Руо. - Деп. в ВИНИТИ 03.07.90,*3748-В90, РЖ Мат.,1990, 10Б194.

7.Лепский А.Е./ Необходимые и достаточные условия вложений пространств голоморфных отображений и топологии на этих пространствах// Рост, ун-т. - Ростов н/Д, 1990. - 29 с. - Библиогр.: 6 наэе. - Руо. - Деп. о ВИНИТИ 18.10.90. №5403-890, PI Мат.. 1091, 2Б200.

в.Лепокий A.C./ Разномерные разностные оценки функций, голоморфных на банаховом проотранотве// Доклады расы. засвд. семин. Ин-та приил. мат, им. И.Н.Векуа. - Тбилиси,1990. - Т.б, *1 - С.114 - 117. - Руо.

ОН ЦНТИ . ЗакJ Тир.100 1993 г.