Исключительные множества и асимптотические свойства голоморфных отображений в конечномерное и банахово пространство тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГб од

п „ гг,, АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

г! 1]

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

На правах рукописи

ФАВОРОВ Сергея Юрьевич .

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ В КОНЕЧНОМЕРНОЕ И БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков - 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Харьковского государственного университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.С.Азарин

доктор физико-математических наук профессор М. И. Кадец

доктор физико-математических наук профессор Р. С. Юлмухаметов

Ведущая организация - Львовский государственный университет

Защита диссертации состоится 1993 года

в часов на заседании специализированного совета Д 016.27.02 при Физико-техническом институте низких температур АН Украины /310164, Харьков, пр.Ленина, 47/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института низких температур АН Украины.

Автореферат разослан "JJJ года.

Ученый секретарь совета,

доктор физико-математических наук,

профессор

В. А. Ткаченко

Актуальность темы. Предмет исследования. Исследование асимптотического поведения голоморфных функций и отображений занимает одно из центральных мест в современном комплексном анализе. Актуальность работ в этом направлении обусловлена как внутренними потребностями комплексного анализа, так и тем, что теоремы о целых и мероморфных функциях имеют многочисленные приложения в смежных областях математики - теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, функциональном анализе и т.п. Для функций одной переменной в указанных вопросах очень плодотворным оказалось использование теории потенциала и субгармонических функций. Эти методы используются также при изучении характеристик поведения целых функций многих переменных по выделенной переменной. Первой в этом направлении была работа О.Сира С1911), где было доказано, что порядок роста целой функции /Сг, и) по переменной ы один и тот же для всех точек кроме, быть может, точек некоторого множества нулевой плоской меры, где он может понижаться. Этот результат неоднократно обобщался на более тонкие, чем порядок, характеристики роста функции и ее нулей, а также с целью получения точных оценок исключительного множества. Так, П.Лелон С1941) доказал, что в случае, рассмотренном 0.Сиром, исключительное множество имеет нулевую логарифмическую емкость. Л. И. Ронкин С1956) показал, что при определенных ограничениях подобный результат имеет место и для множества точек понижения типа, причем нулевая емкость есть точная характеристика этого множества. Точность упомянутой выше теоремы П. Лелона показал М.Ш.Ставский С1969). Случай функций от п>3 переменных существенно отличается от случая двух переменных, поскольку здесь уже исключительное множество лежит в чТ", п>2, и для его описания обычные емкостные характеристики недостаточны. Л. И. Ронкин (1966) распространил теорему П.Лелона на целые функции любого конечного числа переменных и описал возникающие при этом исключительные множества с помощью специально введенной характеристики массивности множеств в С?11 - Г-емкости. Далее, для описания поведения целых функций по выделенной переменной Л.И. Ронкин С1968) ввел специальный класс 8, состоящий из функций $Сг,О, определенных при геС?1, 1>0 и таких, что функция $Сг, |и|) плюрисубгармоническая СПСГ) в С^х С^. Этому классу принадлежит,

в частности, функция

sup (log j/(z,it>) |: где /Cz.iiO - целая функция в а также функция

гп

, J log |/Cz, teiö) I dB, О

которая вследствие формулы йенсена растет так же, как и считающая функция нулей по переменной w функции /Сz,u>). Л. И. Ронкин доказал, что для функций класса 8 порядок по переменной t

pCz) = Hi 1оЯ

t-» ов log t

один и тот же для всех z б Cf\£, где £ - множество нулевой логари^ мической емкости при т=1 и нулевой Г-емкости при т>1. Позднее П.Лелон С1968) усилил этот результат, доказав плюриполярность множества Е. Неулучшаемость этой оценки показал Б.И. Локшин С1982), см. также А.Зериахи С1989).

Простые примеры показывают, что тип функции § б 8 при порядке

atz) = Ilm §Cz, i) Гр

Ы оо

может расти при росте |z|. При условии конечности порядка функции §(z,t) по совокупности переменных Л.И.Ронкин (1971) дал оценку сверху роста величины сКг) через ее значения на произвольном множестве положительной Г-емкости, а также показал, что интеграл

00

J sup <§<z,¿):zeK> t~p"1dt С

1

сходится или расходится одновременно для всех компактов Keif1 положительной Г-емкости. Условие конечности порядка по совокупное переменных в этих теоремах снять нельзя СБ. И. Локшин (1973)).

Изучение роста функций класса 3 по переменной t позволяет описывать рост и распределение нулей, а также распределение значений целых и мероморфных функций по выделенной переменной (см. Л. И. Ронкин (1968), С. ¡0. Фаворов (1974)3. В связи с этим представляется естественным и актуальным изучение более тонких характеристик роста по переменной t - класса сходимости, нижнего порядка - и выяснение их зависимости от переменной z. Отметим, что до автора свойства нижнего порядка по выделенной переменной не рассматривались. Представляется также естественным доказать, что теорема о типе по переменной t функций класса ¡8 должна быть усилена заменой в ней множеств положительной Г-емкости на неплюриполярные множества.

Поведение ПСГ функций на комплексных лучах, проходящих через начало координат, допускает более точное описание. Приведем здесь только результат Сибони и Вонга (1979): любая ПСГ в шаре ВСЮ с if1 функция u(z) удовлетворяет неравенству

sup СтКгЭ: |z|< ВО < sup iu(z): \г\< t, n(z) € F>,

где F - произвольный компакт положительной Г-емкости в пространстве GFm,~1, тг(2) - каноническая проекция С171 на OF®--1, а константа Q определяется только множеством F и не зависит ни от функции viz), ни от teCO,Ю. Как показал Сичак (1982), множества положительной Г-емкости здесь можно заменить на неплюриполярные.

Теорема Сибони и Вонга имеет важные приложения, поэтому представляется актуальны^ описание классов функций, для которых справедливы аналоги этой теоремы для роста по выделенной переменной.

Асимптотика поведения функций на вещественных лучах, выходящих из начала координат, рассматривается в созданной Б.Я.Левиным и П.Пфлюгером теории целых функций вполне регулярного роста (ФВРР), которая была распространена В.С.Азариным (1961) на субгармонические функции в II?1, т>2.

По определению, субгармоническая функция и(х) конечного порядка р и уточненного порядка pCt) с регуляризованным индикатором

Л!!(х') = liin lira t~pi°vity) (2)

* у-»х' t-ки

является ФВРР, если

lim sup |t ^vCtx') - h*Cx') | = О, C3)

¿■ко ix'eS"1-1: ¿х'ёЕУ

где £ - множество в К"1, которое можно покрыть шарами В(хп,гд) так, что для а = ш-1 при R ■* œ

I Гд = оСК01). n: |xR|<ß

Как отметил В.С.Азарин С1976), для ФВРР множество Е можно выбрать так, что это условие будет выполнятся при любом а>ш-2.

При гп=2 в определении индикатора регуляризацию, т.е. внешний предел в С2), можно опустить; здесь также существует эквивалентное определение, при котором вместо соотношения СЗ) требуется, чтобы на каждом луче (¿х': te(0,œ)> при t-wo вне множества Ах,сСО.оо) нулевой относительной меры

Гр(0исгх') ЛуСх'Э.

Для целой функции /(г) на плоскости определение индикатора hÄ&) совпадает с определением индикатора og|/J^ПРИ целой функции / означает ВРР субгармонической функции 1од|/|.

Важную роль как в самой теории ФВРР, так и в ее приложениях к уравнениям типа свертки играет теорема о сложении индикаторов: Теорема. Пусть /Сг) - целая функция на плоскости нормального типа при уточненном порядке pCi). Для того, чтобы при любой целой функции g(z) нормального типа при том же уточненном порядке было справедливо соотношение

'V/9) = h/C83 + V93'

достаточно СБ.Я.Левин (1956)) и необходимо СВ.С.Азарин С1966)), чтобы /С г) было ФВРР.

Отметим, что использование аппроксимационной теоремы В.С.Азарина позволяет легко обобщить теорему о сложении индикаторов на

субгармонические функции в плоскости.

Теория целых ФВРР в С?1 начала развиваться позже СЛ. И Ронкин С1971), Л. Груман С1971, 1976), П.З.Агранович и Л. И. Ронкин С1976)). В связи с большим количеством различных определений стала актуальной задача изучения связей между ними. Существенное отличие этой ситуации от одномерной состоит уже в том, что исключительное множество может содержать весь луч или даже всю комплексную прямую. Далее, построение необходимых для сравнения определений целых функций требует применения 3-техники Л.Хермандера; отметим, что стандартное применение этой техники дает лишь верхние оценки для целых функций, в то время как в таких примерах необходимы и оценки снизу. Актуальной и важной для приложений является также получение многомерного аналога теоремы о сложении индикаторов.

В работах по теории операторов Сем, например, Луи де Бранж С1988)) возникает такой объект, как целые функции со значениями в гильбертовом пространстве. В то же время в аналитической теории вероятностей, в теории рядов со случайными коэффициентами возникают последовательности голоморфных функций, которые можно трактовать как голоморфные отображения в пространства последовательностей. С целью выработки единого взгляда на эти вопросы представляется актуальным изучать распределение значений голоморфных отображений конечномерного пространства в абстрактное банахово пространство.

Отправной точкой такого исследования, проведенного в диссертации, послужила разработанная Л.Альфорсом и В.Вейлем теория целых кривых, т.е. голоморфных отображений Г:С •* dP^-*. Рост такого отображения описывается с помощью неванлинновской характеристики, которую можно определить равенством

2л

ru.n- = Cl/2n)Jlog|FC te1"®) |dfj - log|FC0)|, О

где |F| - эвклидова норма в отображения, записанного в однородных координатах. Распределение значений отображения F описывается функцией

NCM.F) = J[n(s,i4,F) - nC0,i4,F)l s_1ds + n(0,/i,F) log t, О

где Áe&\ a n(s,A,F) - число корней скалярного произведения <F,A> в круге \z\¿s. Из формулы Иенсена легко следует, что при t-wo

Nít,A,n < T(.t,F) + 0(1).

Основной теоремой этой теории является так называемая вторая основная теорема, которая утверждает, что для любой системы из q>k векторов Aj, из которых любые k линейно независимы,

Cq-Ю TCt.F) < J NCt.Aj.n + QU.F),

где остаточный член Q(¿,F) при t-wo ведет себя как ОС log О в случае, когда характеристика Г(t,F) имеет конечный порядок роста. В общем случае для любого Х^О он оценивается как 0(log(íT(t,F)) вне множества значений i такого, что

J t*-_1dt < oo ; h

вне множества Eq остаточный член допускает оценку OClogFCt,F)).

Далее, согласно теореме о равнораспределении значений для целых кривых, для любого а>1/2 при í-wo

Kt.A.F) = TCt.F) + оСТ^С t.F)),

вне исключительного множества Е векторов АйС^ нулевой Г-емкости (С.Ю. Фаворов (1975D). Более того, множество Е плюриполярно в С^ (А. Садуллаев (1979)).

Отметим, что все эти результаты справедливы и для голоморфных отображений круга |z|<l в пространство IPC^-*, если только характеристика T(t,F) неограничена при t -> 1. Остаточный член во второй основной теореме в этом случае допускает оценку

X |1од(1-£) |), когда характеристика имеет конечный порядок, и в эбщем случае

0(1од[(1-1)~*Г( I ,П П ше множества Е^ значений I такого, что < оо.

ПСГ функции и плюриполярные (ПП) множества в топологических ¡екторных пространствах рассматривались многими авторами (С.Куаре 1970), Л. Груман (1974), П. Лелон (1974, 1978), Ф. Но'ерра 1978), О.Кизельман (1984) и др.). Однако использование слабой* ■опологии связано с выясением новых свойств, которые ранее не [зучались.

Научная новизна. При изучении роста целых и плюрисубгармоничес-:их функций по выделенной переменной впервые рассмотрен нижний по-ядок, а также впервые доказана плюриполярность множеств понижения ля нижнего порядка, типа, класса сходимости.' Впервые доказана еорема о сложении индикаторов для целых и субгармонических функций ногих переменных. Впервые изучена связь между плюриполярными ножествами в сопряженном банаховом пространстве и нормирующими ножествами в этом пространстве. Впервые определены величины, арактеризующие распределение значений голоморфных отображений в анахово пространство и доказаны основные соотношения между ними.

Приложения. Результаты диссертации, относящиеся к функциям ногих переменных, могут быть использованы и уже используются в межных областях; так, теорема о сложении индикаторов целых функций иогих переменных нашла применение в теории уравнений типа свертки, зорема о равнораспределении значений голоморфных отображений в анахово пространство используется в аналитической теории гроятностей, а теоремы о плюриполярных множествах в сопряженных шаховых пространствах позволяют доказывать новые теоремы о зометрических свойствах этих пространств.

Содержание работы. Первая глава диссертации посвящена изучению ;имптотики функций класса В § 1.1 для удобства чтения собраны $щие сведения об исключительных множествах в конечномерных прост-1нствах. Новым здесь является пример п. 1.1.7 кривой 2Ш: СО, 1

и ПСГ функции §(2) б <& таких, что Ш = -оо при 0<t<l и §CzCO))ji-oo. Этот пример опровергает гипотезу В. С.ВладимироваС1964). В §1.2 доказываются две вспомогательные леммы о последовательностях ПСГ функций в Cf\ которые используются при доказательстве основных теорем главы. В § 1.3 доказываются теоремы о нижнем порядке, типе, классе сходимости функций §(z,t)e$ по переменной t.

Теорема п. 1.3.7. Для всех неплюриполярных компактов Keif1 нижний порядок по переменной £ величины sup(§Cz,0:zeK> равен одному и тому же числу ХеСО.оо]. Если еще порядок по переменной z

т = ш 1оЯ S+C2rl) < ю, \г\-* оо 1од|г|

то при каждом фиксированном zeCf1, кроме, быть может, точек из некоторого плюриполярного множества, нижний порядок по переменной t функции §(г,Ü равен тому же

Теорема п. 1.3.10. Если тип функции §(z, i) при порядке р по переменной t конечен в точках некоторого неплюриполярного множества, а порядок по совокупности переменных

х = ш log sup<fC2,Ü: |2|<t> < ю> t-» оо logt

то тип функции sup<§(z,t):|z|<r> по переменной t при порядке р при любом г21 не превосходит величины Кг*~р.

Теорема п. 1.3.13. Если у функции §Сz,0 порядок т по переменной z конечен, то сходимость интеграла

00

J$CzfÜ t'^cit

1

в точках z из некоторого неплюриполярного множества влечет его сходимость при всех zeCf1, а также сходимость интегралов вида CID для любых компактов К.

Следствие п.1.3.17. Пусть /С2,и) -мероморфная функция в пространстве С^х С^ конечного порядка по переменной 2, а XflCzicO - решения уравнения /Сг,ь0=а при фиксированном z. Тогда сходимость ряда

2 1^03 Гр

п

в точках г из некоторого неплюриполярного множества влечет его сходимость при всех геС?1 таких, что /Сг,и) я? а.

Получить обобщение теоремы Сибони и Вонга на произвольные функции класса 8. по-видимому, нельзя: существуют, например, целые функции /Сг,ш), г,ш€(С, для которых при г<1 и ¿■♦00

шахаод|/С2,ь?)|: |г|<г, |и!<а = оСтахаод|/Сг,ы) |: |г|<1, |ш|<1>.

В § 1.4 рассматривается подкласс класса состоящий из тех функций §, для которых при некотором а>0 конечна величина

ЛС$,сО = Пт §Сг, |зГа)С1од|гр-1. |г|-м>

Для таких функций в диссертации доказывается следующая теорема.

Теорема п. 1.4.4. Для любого неплюриполярного компакта КсЛ?1 существует зависящая только от него константа у>со такая, что для любой §€$д, любых Э<00 И £>0

5ир<§(2,дО: |2|<5><5ир<$Сг, О: геЕ>+Сг+1одв)тх<АС$,сй ;0>, С4)

где в = Сэе2')"01.

Отсюда легко следует неравенство Сибони и Вонга для любого неплюриполярного множества £ с ОР"1-*.

Отметим некоторые применения этой теоремы. Пусть /Сг, и) целая функция вида - —

оо

- /(г,и) = Ь0+ ^ Ь^Сг) и*,

причем &0*0, а полиномы Ь^Сг), геС?\ для всех |2|>г0 и всех Л допускают при некотором М<оо оценку, вида

|ЬЛС2)| <

Тогда

supí j/Cz,w) |: |2|<S, |W|<öi> < supi|/(z,uO |:ze£, |u|£i>,

где E,s,t,8 такие же, как и в (4), и

supCNCflt.z): |z|<s> < supCNCt.zhzeE). t

Здесь H(.t,z) = J" nCs,z)s~*ds , a n(s,z) - число решений при фикси-0

рованном z уравнения /Cz,w)=0 в круге |ui|<s.

Если для функции §€¡B вьшолнено условие Ж$,0)<оо, то из (4) легко следует, что для любого t>0

|supí§Cz,t):zeD - mU;§)| < у'/1С$,0),

где через m(t;$) обозначен supífCz,t): \г\< 1>, а константа у' зависит только от компакта £. Впрочем, здесь справедлив более точный результат.

Теорема п. 1.4.14. Если для $е$ АС§,ОХш, то вне точек z из некоторого плюриполярного множества при любом í>l/2 и t ■* аз

§Cz,Ü = mít-.V + oCm.öCt;§)3.

Применяя эту теорему к функции

" 2п т fCz.í) = -i flogl lznfnCteie)\ de.

СП J „-i Q n-1

где fnCz) - целые функции в С, получаем новое, более простое доказательство теоремы о равнораспределении значений для целых кривых.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с асимптотикой ФВРР. В §§ 2.1 и 2.2 для удобства чтения собраны необходимые сведения из теории потенциала и из теории предельных множеств субгармонических функций. В § 2.3 доказываются вспомогательные

утверждения о последовательностях субгармонических функций. В частности, здесь доказывается, что сходимость по емкости равномерно ограниченной последовательности потенциалов Грина эквивалентна их сходимости по энергетической норме.

Эти результаты используются в § 2.4, где описывается, каким может быть множество £ в определении С33 ФВРР. В п.2.4.2 отмечается, что для любой ФВРР иСх) в i®u любой положительной и монотонной на (0,ю) функции pCt), удовлетворяющей условиям

1 1 m

lim = 0 и jpm r_nidt < оо,

U0 о

множество Е в СЗ) можно выбрать так, что оно покрывается шарами BCxRrn), для которых

Г (<-г„/Ю ■* 0 при R ■+ со.

Это несколько уточняет результат В. С. Азарина. Доказывается также, что в случае гармоничности индикатора Л^Сх) множество Е можно выбрать нулевой относительной емкости, т.е. таким, что при г ■» оо

СарСГпВСг)) = оССарВСг))

(где-Сар обозначает винеровскую при т>2 или логарифмическую при т=2 емкость множества). Интересно, что для целой функции на плоскости с негармоническим индикатором это всегда не так. Это следует из п.2.4.3, где доказывается, что для любой такой функции /(г) уточненного порядка рШ множество

{г€С: 1од|/(2)| < -ЛГ ¡г^^ У

имеет положительную относительную емкость при любом Ы<ю.

Константу N здесь нельзя заменить на сколь угодно медленно растущую функцию:

Теорема п. 2.4.5. Пусть иСх) произвольная субгармоническая функция в (й"1 нормального типа при уточненном порядке рСО. Если для какого-нибудь неограниченного борелевского множества Е

lim |xf ** |xl3u(x) = -и, |х|-к»,хе£

то множество E имеет нулевую относительную емкость.

Эта оценка множества Е близка к точной:

Теорема п.2.4.7. Для любого неограниченного замкнутого множества Е нулевой относительной емкости найдется субгармоническая функция тКх), имеющая любой наперед заданный (нецелый) порядок р и индикатор h*(x) при этом порядке, для которой

lim |xfpr(x) = -mfy. \х\-кв,хеЕ

В п. 2.5.2 строится пример субгармонической ФВРР и в D^71, m>2, у которой для каждого фиксированного xeiR"1

i-pu(tx) -оо при i-мю

по множеству Ехс(0,оо) относительной меры 1/2. Таким образом, прямое перенесение определения ВРР на луче с плоскости на случай пространства большей размерности не является естественным.

Отметим также, что для целой функции в С"1 вполне регулярный рост ее логарифма модуля может быть даже в том случае, когда его нет на почти всех комплексных плоскостях, проходящих через начало координат. Это показывает пример п. 2.6.2.

Из теории В.С.Азарина предельных множеств субгармонических функций легко следует, что если функция и(х) имеет ВРР при уточненном порядке p(t), а функция и(х) нормального типа при этом уточненном порядке, то

h*+uCx) = h*(x) + h*(x). (5)

Если же vC.x) не является ФВРР,то найдется луч iL>P: ООУ,

^После опубликования теорем этого параграфа В. Я.Эйдерман (1988) в терминах мер Карлесона дал точное описание исключителных множеств понижения роста.

x^eS"1-*, в сколь угодно малой окрестности которого функция v растет нерегулярно. В л. 2.5.10 доказывается, что в этом случае найдется последовательность шаров ВС tRx®,<5tn3, в точках которых

иСх) 1х|_рС |Х1Э < h*Cx°) - е.

Затем в п.2.5.12 строится субгармоническая функция и(х), для которой вне этих шаров

иСх) |хГ<*И> < h*Cx°) - с'.

Таким образом, для функций и,г; равенство С5) нарушается. Эти результаты обобщают соответствующие леммы В.С.Азарина (1966) о субгармонических функциях в

Если /Cz),gCz) целке функции в С"1 и субгармоническая функция .од|/| есть ФВРР в то из С5) следует

nlog|/*|Cz} = ^Год|/|С23 + hlog|g|C23-

)ерно также и обратное утверждение, а именно, если такое равенство (ьшолняется для любой целой функции § того же уточненного порядка, ito и /, то функция log|/| имеет ВРР. Это доказывается по той же :хеме, что и для субгармонических функций. Однако построение целой функции в С"1, которая вне объединения шаров растет' медленее своего [ндикатора, существенно сложнее; оно проводится в п. 2.7.2.

В третьей главе рассматривается асимптотика голоморфных отображений пространства С*5 С либо шара ВСЮ с<Л в произвольное !анахово пространство X.

В § 3.1 вводятся и изучаются ПСГ функции и-порождаемые ими ПП ножества в пространстве X*. Доказанные здесь результаты редставляют, на наш вгляд, самостоятельный интерес, а также спользуются в следующих параграфах.

ПСГ функция в X* определяется как отображение Р-. X*-» f-m,+оо), ужение которого на любую комплексную прямую ig^wg^wziD,

является субгармонической функцией переменного и, а ужение на любой шар в X* является полунепрерывной сверху функцией слабой* топологии пространства X*. В случае сепарабельного X оследнее условие означает, что для любой последовательности #„<=Х*.*

слабо* сходящейся к элементу

Пт < РСлО.

п-мю

Множество £сХ* называется плюриполярным, если £ с <й,еХ*:РСб')=-оо> для некоторой ПСГ в X* функции Р(#)2-оо.

Примером ПСГ функции может служить функция Р( = 1од|(#,х)+с| для фиксированных хеХ, сеС, или функция

РС*) = И1Сг;1од|С^/)р,

где / - голоморфное отображение шара ВСЮсС/11 в X, £<Р, а через 311С1;ФЗ обозначено усреднение функции ф по сфере {геЛ \г\=0. Примером Ш множества является гиперплоскость в X*, а также подпространство IР е пространстве при любых 1£р<с^со. Отметим, что, как доказывается в п. 3.1.17, пространство Банаха Сд не является ПП подмножеством в I00.

Свойства ПСГ функций и ПП множеств в сопряженном банаховом пространстве близки к соответствующим свойствам в конечномерном пространстве. Приведем здесь некоторые из них.

Теорема п.3.1.9. Если £ - выпуклое ограниченное слабо* замкнутое множество в X*, то ПСГ функция РС#) достигает своего максимума на £ в его с-крайней точке.

Теорема п.3.1.20. Счетное объединение ПП множеств также является ПП множеством.

Теорема п. 3.1.22. Если Е выпуклое-ПП множество, то натянутое н; него линейное многообразие также является ПП множеством.

ПП множества связаны с нормирующими подмножествами в Xх:

Теорема п. 3.1.25. Если £ не является ПП множеством в X*, то дл: любого ,4сХ из ограниченности всех множеств вида {(#,х): хйАУ, следует ограниченность А по норме в X.

Отсюда, в частности, следует, что множество с-крайних точек единичного шара в X* является нормирующим*7.

Теорема п. 3.1.27. Если / - отображение области ОсС"1 в банахово

П.Фонфу С1989) принадлежит точное описание банаховых пространств, где нормирующим является множество крайних точек шара

юстранство X и (#,/) есть голоморфная функция в 0 для ллюриполярного набора функционалов из то / голоморфное 'ображение из 0 в X.

В частности, если ряд из модулей комплекснозначных функций

гадится во всех точках из О и сумма £ \_/п(2) голоморфна в О для

п " п

1ЖДОЙ последовательности <).п> из некоторого неплюриполярного >дмножества в ¿ш, то и все функции /п голоморфны в й.

В § 3.2 доказывается новое неравенство типа обратных неравенств ;нчина, которое используется в следующих разделах.

Теорема п. 3.2.1. Для любой последовательности <ап>е1^

оо

1од1Кагг>И1г - 1од2 < ^од^с^е^п |р(сг«?) < 1од1Кагг>И1г, С6)

я=1

е мера ц равна бесконечному произведению мер <3<р/С2л) на

.гп)*

В § 3.3 вводятся и изучаются величины, характеризующие рост ломорфного отображения / шара ВСЮсСР1, К < оо, в банахово остранство X. Это прежде всего функция

Га,/) = 1ЦС£;1од11/Ю,

горую естественно назвать неванлинновской характеристикой збражения /, а также функция

. ТС1,/3 = 5ир<»С4;1од|Св,Р|):11вИ<1>.

трудно видеть, что ?(£,/) < К1,р. Кроме-того, в случае X = I1 осматривается еще функция

Тги,р = Ш а-, С1/2)1одЕ1/п|2).

)та теорема была опубликована автором в работе [8]; годом позже гльрих дал независимое доказателство этого неравенства.

где /RCz) координаты отображения / в естественном базисе. Как отмечается в п. 3.3.4,

T2Ct,p < fCt.P + loqZ. оо

Пусть, например, £ cnzn - степенной ряд в круге ВСЮdC. Рассмо-п=0

трим отображение /: ВСЮ-* 1Р вида j-z Ссп2,1)~=0. В этом случае

оо р рп TCt.p = Cl/p)log Г |cn| t , п=0 п

При р=2 для такого отображения, как показывается в п. 3.3.3,

tCt.p ^log шах C|cR| ta:n>0>.'

При p=l величина tCt.p допускает простую оценку. Это вытекает из следующего утверждения.

Теорема п. 3.3.5. Пусть / - голоморфное отображение шара ВСЮсС в пространство I* вида

гдekCrO, я=1,2,...- попарно различные мультииндексы. Тогда

ftt./Э < ret,/).

Как показывает пример п.3.3.7, условие попарного различия мультииндексов снять нельзя.

По хорошо известной теореме Ф. Гриффитса и Дж. Кинга С1973), голоморфное отображение <ПР^, неванлинновская характеристикг

" которого растет как ОС log t). является рациональным. Его обобщение на банаховозначные голоморфные функции является следующий результат.

Теорема п. 3.3.12. Если для голоморфного отображения X

lim ГСt,/)/Clogt) = у < оо,

t-HO

о отображение / имеет вид

/Cz)= ehCz)PCz), ' С7)

це hCz) - скалярная целая функция, a PC 2) - полином переменной ed"" с коэффициентами из X степени не выше у.

Основным результатом § 3.3 является следующая теорема.

Теорема п. 3.3.17. Для голоморфного отображения /•• BCR)-»X, R<m, лполняется нерав"енство

ГС4,/) < Ttt.fl + flCt./Э.

ie остаточный член QCt,/) допускает ту же оценку, что и во второй ;новной теореме для целых кривых.

Конечность порядка отображения / означает здесь, что

logTC t,/)=OClogt) при R=oo и logKt,/)=OClogCR-tD_1) при R<ю.

В п. 3. 3.11 строится пример отображения /:€ ■+ I1, показывающий, го в общем случае исключительное множество значений t в оценке ¡таточного члена GCi,/) существенно.

В качестве следствия из теоремы п. 3.3.17 получается гассическая теорема Вимана - Валирона о связи максимального члена ■епенного ряда с максимумом модуля этого ряда на окружности.

Теорема п. 3. 3.17 имеет смысл только для отображений в юконечномерное пространство: в п. 3.3.25 доказывается, что если .змерность линейной оболочки образа отображения / конечна, то ваточный член QCi,/) ограничен при t-*R.

В § 3.4 для голоморфного отображения /:BCR)-+ X рассматривается имптотическое поведение дивизоров скалярных голоморфных функций ,/)Cz), где g - функционал из X*. Поведение дивизора описывается о считающей функцией NC £,(#,/)), которую можно определить, напри-р., равенством

t

NCt,Cg,p: = mil; i[Rz(s) - П2CO)] s-1ds + nzC0) log t , 1 0

где усреднение берется по переменной ге^"1-1, a ns(s) означает число корней С с учетом кратности) функции С#,/)(ш) переменного ueC в круге |u>|<s С в случае т=1 усреднение, очевидно, можно опустить). Отметим здесь, что, как следует из формулы йенсена, для любого g<=X* при условии (g,/)(z)20

NCt,Cg,/)) < tí i,/) + ОШ Ct R).

Основным результатом этого параграфа является обобщение на голоморфные отображения в банахово пространство теоремы Альфорса о равнораспределении значений мероморфных функций.

Теорема. Для голоморфного отображения / шара ВСЮсСР1, Р<ш, в банахово пространство X с неограниченной при t-*R характеристикой TCt,/) для каждого а>С1/2) и каждого geX* вне некоторого ПП множества при 1+R

WCt,Cg,/)) = fCí,/) + оС Í^Ct,/)).

Если отображение / имеет конечный порядок, то при тех не а и g

NCt.Cs,/)) = TCt,/) + оС T^t,/) logCR-Ш Жсо,

N(t,(g,/)) = ret,/) + oCJ^Ct,/) logt) R=oo,

NCt.Cg,/)) = TCt,/) + oCTCt,/)) R=co,

Если отображение / имеет бесконечный порядок, то эти соотношения выполняются вне исключительного множества значений t. При R=oo вне множества значений t нулевой логарифмической меры

NCt,(g,/)) = TCt,/) + оС T^t,/)).

Из этой теоремы, в частности, следует, что для любых функционалов g, g' вне некоторого ПП .множества при 1-+R

NCt,(g:,/))/NCt,Cg',/)) + 1, WCt,Cg,/))/ÍCt,/)) 1.

---- -----,-----• * - , * о , j > > «nu 1алдс üUU'i'rtUilltiHJUi

una классической формулы Картана для мероморфных функций. Для гображения /=( : ВС К) I оно имеет вид

09 00

,Ct,/) = fwct.f 2 e^a/J) ^Cdp) + C1/2D log J |/nC03 |2 + ßU.p, n=l n=l

ie I/3C £,/) |<log2, а ц - та же мера, что и в неравенстве С63.

Это соотношение является новым и для голоморфных кривых, т.е. >гда /п= 0 для п>р.

В § 3.5 рассматриваются некоторые приложения полученных ;зультатов.

Пусть ГС 2) =2 а-)^ голоморфная функция в шаре ВСЮсС"1, RSоо,

[я которой величина JRCt;log неограничена при t+й. Для

■раниченной последовательности положим

FxCzD = 2 W-к^

евидно, f^C2)=Cg,/)C2) для голоморфного отображения /=Са^> из Ю в I1 и функционала gel00, отвечающего последовательности X. этому из результатов предыдущих параграфов следует асимптоти-ское соотношение для считающей функции дивизора F-X.z)=0:

Теорема п.3.5.2. Для каждого а>1/2 и каждого Xel, не лежащем в котором ПП множестве Е таком, что

и<р=с/): Сei(pW€E> = 0,

i £-»R выполняется соотношение

NCt,Fx)=Cl/2)HlCt;log^|aM|2|22M|)+oCJßaC£;log^ |aM|2|22*|:>3.

В случае ш=1 это соотношение принимает более простой вид

г гк п г гк

ЛК1,ГХ) = С1/г:)1одС I О + оС1од С £ |ам| I )).

Л к

Используя другие формы теоремы о равнораспределении значений, можно получить другие формы этих соотношений; все их можно рассматривать как обобщения классических теорем Литтлвуда - Оффорд; (1949) на голоморфные в шаре или многомерном пространстве функции со случайными коэффициентами без ограничений на порядок их роста.

Хорошо известно, что мероморфная в плоскости функция ГСг),для которой уравнение Дг)=а имеет конечное число решений для трех значений а, является отношением двух полиномов. Ее обобщение на голоморфные отображения Л ИХС^ выглядит следующим образом: если уравнение <Г,А>Сг)=0 имеет конечное число решений для &+1 векторов Ар из которых любые к линейно независимы, то компоненты ГСг) поел деления на общую функцию без нулей являются полиномами. Для голоморфных отображений плоскости в банахово пространство подобное утверждение места не имеет. Например, для отображения

/=С 1, гЛ! ,2^/2! ,..):€■»

целая функция С#,/) не обращается в нуль для функционалов вида С1 ,ы,ъг,и)3,.. иеС, при любом |ы|< 1.

В п.3.5.4 доказывается следующий результат.

Теорема. Пусть /¡С?1-» X - голоморфное отображение, и пусть для всех функционалов § из некоторого неплюриполярного множества дивизоры С#,/)=0 являются алгебраическими. Тогда отображение / имеет вид С7).

Следующее приложение теоремы о равнораспределении значений голоморфных отображений в банахово пространство связано с так называемыми неванлинновскими классами функций.

Теорема п. 3.5.8. Пусть / - голоморфное отображение круга ВСЮсС, К<оо, в банахово пространство X, и пусть для функционалов #€Х* из некоторого неплюриполярного множества нули функции (#,/)(: удовлетворяют условию Бляшке. Тогда это верно при всех яеХ*, при этом найдется голоморфная в круге ВСЮ функция Кг) такая, что норма отображения /1Сг) = е /(г) ограничена в этом круге.

Эту теорему можно рассматривать как обобщение классической теоремы Фростмана о множествах исключительных значений функций

^ограниченного вида.

Несколько более слабое утверждение получено также для эломорфных отображений из шара ВСЮсС"1.

Еще одно применение теории распределения значений голоморфных гображений в банахово пространство связано с функциональными гдами.

Прежде всего отметим, что, как показано в п. 3.5.10, :имптотика целых функций Cg,/DC2) одинакова для большинства гакционалов g. В частности, если для голоморфного отображения Лх субгармоническая функция logll/ll имеет ВРР при уточненном зрядке pCt) с индикатором h*(2), то для всех функционалов =Х*.кроме точек из некоторого ПП множества, целые функции Cg./KzD «еют ВРР при том же уточненном порядке с тем же индикатором.

Как показали А-. А. Гольдберг и И.В.Островский С1982), для любых $ух целых функций /jC2), /2Cz) ВРР при уточненном порядке pCt) индикаторами h^Cz), hgCz) найдется положительное а>0 такое, что Cz) + a/gCz) является ФВРР с индикатором maxCh^С2),hgC2)>. шечно, это нетривиально лишь в случае, когда индикаторы h^ и h^ »впадают на открытом множестве. Обобщение этого утверждения на шечное число функций трудностей не вызывает. Теорема п.3.5.13 ■вечает на поставленный А. А. Гольдбергом и И. В. Островским вопрос о )зможности его обобщения на бесконечное число функций.

Теорема. Пусть /nCz), zeif1, п = 1,2,.. целые ФВРР при знаковом уточненном порядке pCt), причем величина

"CZ3 = [sup h*og|^|C2)]*

сально ограничена сверху в if1. Тогда для некоторой последователь-юти Ьп>О целая функция

Я2) = ivnCz) п=1

:еет ВРР при том же уточненном порядке с индикатором НCz).

Апробация работы и публикации. Основное содержание диссертации убликовано в 11 работах. Список основных публикаций автора

приведен в конце автореферата.

Все результаты диссертации получены самостоятельно. Теорема п.3.2.1 анонсирована в статье [8] автора, ее доказательство опубликовано в качестве одного из параграфов в совместной статье [1С

Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций в Харьковском, Львовском, Московском университетах, Санкт-Петербургском и Башкирском отделениях института математики Российской АН. Отдельные результаты докладывались также на 6-ой конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" /г.Черноголовка, 1987/, на школе-семинаре "Комплексный анализ и математическая физика" /г.Красноярск, 1987/, на летней школе-семинаре по комплексному анализу /г.Ташкент, 1988/, на Всесоюзной конференции по теории вероятностей /г.Харьков, 1989/, Всесоюзной математической школе "Теория потенциала" /г. Кацивели, 1991/, на Международной конференции по анализу и его приложениям /г.Ороно, США, 1992/.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 159 странш и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списк; литературы С103 наименования).

Основные публикации автора:

1.Фаворов С.Ю. О сложении индикаторов целых и субгармоничесю функций многих переменных //Матем.сборник.-1978. - т.105, n 1,

с. 128-140.

2. Фаворов С. Ю. Об одном вопросе. B.C.Владимирова // Функциональный анализ и его прилижения.- 1978.- т.12, вып.3, с.90.

3. Фаворов С. Ю. О множествах понижения для субгармонических функций вполне регулярного роста // Сиб.мат.журнал. - 1979.- т.20 п. 6, с. 1294-1302.

4. Фаворов С. Ю. О целых функциях вполне регулярного роста мно: переменных // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - 1982,- вып.38, с. 103-111.

5. Фаворов С. Ю. О росте плюрисубгармонических функций // .Сиб. мат. журнал. - 1983,- т. 24, п. 1, с. 168-174.

6. Фаворов С. Ю. О множествах понижения роста для целых и субг монических функций // Матем. заметки.-1986.- т.40, вып.4, с.460-4

7. Фаворов С. КЗ. Об одной теореме Сибони и Вонга. // Теория фун

ций, функциональный анализ и их приложения.-1986.-вып.46,с. 117-122.

8. Фаворов С.Ю. Распределение значений голоморфных отображений ИЯ в банахово пространство. // Функциональный анализ и его прилижения. - 1987,- т. 21, вып.З, с.91-92.

9. Фаворов С. Ю. Распределение значений голоморфных отображений конечномерного пространства в банахово // Сиб.мат.журнал. - 1990,т. 31, п. 1, с. 161-171.

10. Горин Е. А., Фаворов С. Ю. Варианты неравенства Хинчина. //Исследования по теории функций многих вещественных переменных, -Ярославль,1990.- с.52-63.

11. Фаворов С. Ю. Плюрисубгармонические функции и плюриполярные множества в сопряженных банаховых пространствах // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, - 1992.- вып. 57, с. 101-107.

Ответственный за выпуск А. Ю. Рашковский

Подписано к печати 27.04.93 Физ. п. л. 2 Уч. -изд. л. 2 Заказ № 63. Тира* 100 экз.

Ротапринт ФТИНГ АН Украины, Харьков 164, пр.Ленина 47.