Аналитические свойства банаховозначных случайных процессов из пространств Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КМвськпп Ушверситет 1мен1 Тараса Шевченка

ОД

На правах рукопису

ВЕЛИКО IВ кНЕНКО Галина 1вашвна

УДК 519.21

АНАЛ1ТИЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 БАНАХОВОЗНАЧНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕС1В 3 ПРОСТОР1В ОРЛИЧА

01.01.05 —

теор!я ймов1рностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацИ на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

КиТв— 1995

Дпсертагосю с рукогшс.

Робота вше она па ма кафедр! теорн ймов1риостей та математич-цо! статистики Ктвського утверситету ¡м. Тараса Щевченка,

I

Науковий керлвник - доктор фгзмко-математичних наук, г.-рофееор

Козаченко Юрш Васильевич ' Офпцйш опоненти - доктор ф1зико-математичних наук,

Пров1дпа оргатзащя - шсгмтут кибернетики HAH Украпш

Захисг дисертаца вщбудеться "Л1 " пуюЬЩ 1995р. о "/У год. на засщашп спещал!зовано1 вчено! ради К 01.01.21 по присуди-«нню вчепого ступени кандидата ф1иико-математичних наук у Кишському утвер< «тета ш. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Кигв - 127, просп. акадеьпка Глушкова, 6, мехашко- • математичний факультет, ауд. 42.

3 дисертащею можна озпайомитись у б1б.тотещ Кщвського утверситету im. Тараса Шевченка, мКиш, вул.Володимирська, 58.

Автореферат ромслано " ¡Lp " 1995р.

Вченмй секретар

професор

Miinypa Ю.тя Степа швна кандидат ф^зико-математичних наук, Пашко Анатолш Олексмович

- I -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теыи. Дисертац1я присвячена .досл1дженню анал1тичних властивостей банаховозначних випадкових npoueciB з npocTopiB Орлича, знаходженню оц1нок для розпсуЦлу ix норм та умов штегровност! цих норм в певному сенс!.

Вивчення анал1тичних властивостей випадкових процес1в таких, наприклад, як неперервн1сть або обмежен!сть з ймов1р-nicTio одиниця ix траектор!й, розпочате Колмогоровым A.M., привело до створення сачостШюго напрямку в теорИ ^'випадкових npoueciB. До цього напрямку можна в!днести досл1дження локальних властивостей випадкових npoueciB, таких як супремум, вар!ац1Л i т.д., вивчення слабко1 зб!жност1 по£,л1дов-ностей випадкових npoueciB в функц!ональних просторах.

Досл1дження в цьому напрям! иай01льи 1нтенслвно розви-вались останн!м часом. Найб1льше розповсюдження отршав ентротйний метод, що був розроблений в роботах Дадл1, Фер-н!ка та Судакова. Цей метод ефективно використовувався для досл1дження гауссових npoueciB. Наприклад, використавши по-няття метрично! ентроп!'1,Дадл1 отримав свою в iдому ентроп1й-ну умову nenepepBHOCTi гауссових випадкових npoueciB. A nia-irirne Фернж дов1в необх;дн1сть ентропШих умов Дадл! для виб1рково1 неперервпост1 гауссових стац!онарних npoueciB.

Методами близькими до тих, якими досл1джуються локальн! ji.nacTiiBocTi випадкових npoueciB, можна отримуватн умови об-н^женост! та умови 1нтегровносг1 в певному роэум1нн1 норм ехшадкових npoueciB. Иершою роботою в цьому напрям! була робота Скорохода А.В.,який встановив експоненц!алъну 1нтегров-

Hicib piBHOMipHOI норми гауссових неперервних процес1в. Вив-ченгао розпод1лу р1вном1рно! норми гауссових процес1в присвя-чен1 роботь Беляева Ю. К. , Штербарга В. I. та Бермана С.

В к!нц1 60-х рок!в- з'явились роботи, вдэ вивчали анал1-. тичн1 властивост! клас1в випадкових процес!в б1льш широких Hi« гауссов!. Використавши поняття субгауссово! випадково'1 величини.яку вв1в Кахан Ж., Козаченксу Ю.В. вв1в поняття суб- гауссових випадкових процес1в та вивчив умови неперервност1 та деяк1 1нш1 властивост1 цих процес1в. ■ . В роботах Булдиг1на В.В. та Козаченка Ю.В. було введенс передгэуссов! . процеси та вивчено 1х властивост1. В робота» Козаченка Ю.В. га Островського е.Й. було введено клас sub ^ (Л) випадкових величин та процес1в.

Дал1 властивост1 субгауссових та передгауссових випадкових процес!в вивчались в роботах ВулдиПна В.В., Дмитров-ського В.А:, Дкейна Н. та Маркуса М.В роботах Козаченка Ю.В, були досл!джен1 анал!тичн1 властивост! та розпод1ли супрему-ы1в випадковйх процес1в г простор1в Орлича.

0станн1м часом г'явились роботи,в яких почали вивчатиа субгаусс! вськ1 випадков! елементи э значениями в банахов»; просторах. Це - роботя Галаграна, Хейнкеля та Фукуди. В ци роботах знайдено умови §кспоненц!ально1 1нтегровност1 нор субгауссових елемент!в.

Природньо лостала задача отримати под1бн! результат для випадкових елемент!в г б1льщ широкого класу, а саме дл sub ч (Si) та орличевих, а також досл!дити анал1тичн1 власти воет! таких банаховозначних випадкових процес1в.

Розв'язку ц1е! задач1 1 присвячена дисертац1йна роботг .Мета роботи полагай в тому, щоб ввести поняття банахс

- з -

возначних випадкових елемент!в з простор1в sub ^ (ft.) та дея-ких експоненц1альних "простор1в. Орлича, вивчити умови 1снуван- , ня експоненц1альних момент!в норм цих елемент1в в деяких конкретних банахових просторах, вивчити анал!тичн1 власти-вост! випадкових банаховозначних npoueciB X(t), fc«T, де X(t) - випадковий банаховозначний елемент.

Наукова новизна. В дисертацИ:

- знайдено умови ексггоненц1ально! 1нтегровност1 норм банаховозначних випадкових елемент1в з простор1в sub.v? , Pred (Я)^, Ly (S2) ь , М>(х)-ехр{1х1л >-1, О-сл < l,lxf>x»>0. у випадках В - Lp (T.^.ju ) та В - Lu (Т, Ъ, J4);

-доведено загальну теорему про обмежен1сть норм з ймов1рн!стю одиниця банаховозначних випадкових nponeqlB 8 простор1в Орлича Lv У випадку, коли функц!я U(x) на-

лежть класу Е, знайдено оШнки для розпод!лу супремуму норм таких банаховозначних випадкових процессе;

- знайдено умови обмеже.ност! норм з ймов!рн1стю одиниця банаховозначних випадкових процес!в з простор!в sub4

Pred та Ly (f2)B, (x)-expi lx\x >-1,0 * <*< i.l xi>x«>0,

знайдено оц1нки для розпод!лу супремуму норм таких npoqeciB;

- доведено загальну теорему про виб!ркову неперервн1сть э ймов!рн1стю одиниця банаховозначних випадкових ппоцес1в з простор!в Орлича Lu(i2)6, коли функц1я U(x) належить кда-су Е;

- знайденб умови виб!рково! неперервност! з ймов1рн1стю одиниця банаховозначних випадкових процес1в з простор1в sMy (ii )B,Pred(f2 \ та , Y (х) - expi ixiA> - 1, 0< A< i, ixi> xy>>0. .

Теоретична га. практична ц1нн1ста. Одержан! в дисертацИ

результата можуть бути використая! в р!аних розд1лах теорП випадкових процес!в, наприклад, при досл1дженн! розподШв числа виход!в випадкових процес1в та пол!в за ф1ксований pi-вень, в статистиц1 випадкових процес1в, в теорП статистич-• них випробувань, в теорП стохастичних диференц1альних р1в-

I

нянь. Кр1м того, хЦ результати в.икористовуються в сучасн1й квантов1й теорП поля,статистичн!й рад1оф1зиц1, метеорологи ' "1 т.1нш.

Апробац1я та публ!кац1Х. Матер1али дисертацИ пов1домля-лись на М1жнародн1й конференцП пам'ят1 М.П.Кравчука (Ки-1в, 1993 ), на науковому сем!нар1 з теорП ймов1рностей КП1 ( 1994 ), на Всеукра1нськ1й конференцП мододих вчених ( Ки-1в, 1994 ).

Структура та обся" дисертац! I. ЯисертаЩя складаеться з шести параграф1в.3агальний об'ем роботи 98 ст. машинописного тексту. В1бл1ограф1я м1стить Б8 найменувань.

ЗМ1СГ Р0Б01И '

У вступ1 дисертацИ обгрунтована актуальн!сть теми ди-. сертацИ, сформульоваиа мета роботи, м!ститься огляд д1тера-тури щодо теми дисертацИ,0коротко викладено зм!ст дисертацИ.

У §1-наведен! необх1дн1 в1домост1 з теорП яростор1в . Орлича та простор1в випадкових величин субгаусс1вського ти-■ пу, Сформульован! означения Б-функц1й та Н-функц1й Орлича та деяк1 властивост! цих функц1й; означения простору Орлича випадкових величин L\j(52) ; означення простору випадкових вь.личин субгаусс 1всь кого типу sub^(S2); означення прос-

тору передгауссових випадкових величин Ргес1 (5?); наведе-н1 необх1дн1 дал1 властивост1 простор1в эиЬ^(Гг)

та Ргес! (£2).

У §2 вводяться простори Ьу (Я)ь, Ргес! (Гг)е,

банаховозначних випадкових елемент!в.

Нехай (££,5Г,Р) стандартний ймов!рн1сний прост1р, В --(В, И «) д!йсний сепарабельнлй банах1в прост!р, В*- (В*,и и") спряжений прост1р до В, <•,•> канон!чна б!л1н1йна форма на В*« В.

Означения 2.1. Нехай 0(х) деяка 5-функц1я.' Будемо ка-зати, що В-вначний випадковий елемент X належить простору Ьу (Я )в , яйцо для будь-якого у ¿Б* 1снуе константа О така, що - ■

. Означення 2.2. Нехай функц1я оо - М-функц1я Орлича. Будемо казати, що В-значний випадковий елемент X належить простору £иЬ^(Я)& , якщо Е С< у,Х >] - 0, для будь-якого уаВ*, та 1снуе константа с>0 така. що

Е [ехР {<у, Х>]] * ехР (>?(с(Е (<у,Х>Ч)*)]<оо

для будь-якого у<=В*.

, : Означення 2.3. Будемо г^азати, що В-значний випадковий елемент X належить простору Ргес1 (Л)^ (е передгауссовим), якщо Е К у,Х >1 - О, для будь-якого у£ В* ,та 1снують кон-Ьтанти с>0 та л>0так1, що

цля кожного уёВ* такого, що ||у)|*<д.

I, аналог1чно означению 2.1, даеться визначення простору Lm>(î2)6 В-значних випадкових елемент1в у випадку, коли функц1я (х)-ехр{ | х >-1, 0< 1, ixl > xl > 0. (Дал1 п!д функщею V (х) будемо завади розум!т'и ^(х)-ехр{ i xi* >-1, О < 1,1x1 > ха > О. )

' Дал! для банаховозначних випадкових елемент!в з просто-piB subvf(SÎ)b, Pred (îi)e, , вводяться поняття

екслоненц1аш>но'1 1нтегровност1 та момента! норми ,

е(Х) та е'СХХ де

__А.

' ©ос)« s«p (£[»*•»"] У* 4-'"

hïi v 'П.

б-(Х) - SMP (Е[пхг3 Vм- rfv*.

В лемах 2.2 та 2.3 .доведен! властивост! норм ^ С^), 6(Х) , б"( X) ,.як! необх!дн1 для подальших досл!джень.

У §3 доведено експоненц1альиу хнтегровн1сть банахово: значних випадкових елемент!в з просторов-subvf (Л )е, Pred (ft .' та Lv у випадках B-L р (Т, B.jW) ; та В-ЬиСТ.З.ум)

коли функц1я Орлича U(x) задовольняе певним умовам.

Теорема 3.1. Нехай (Т,3>. jn) .- б" - ск1нченний npocTi] is зл!ченно породженою б"-алгеброю-Ъ , X - Lp(T, ft.yu )-знач ний випадковий елемент (li р < со ) такий. що Е С<у,Х>] - О для будъ-якого В*, та icHye константа с>0 така, що

Е lexpl<3,x>i3it*f (ч(с(Е1<^,х>г])гЯ<во

для будь-якото у£.в\ Тод1 для деякого £>0

£ U*p {^(£11X1033

Теорема 3.2. Нехай (Т, /ч(Т) < <х> , npocTip i3

зл1ченно породженою ^-алгеброю Ъ, фунгадя Орлича U(x) за-довольняе Д^-умов! та умов!:1снув п«>0 таке.що (U("°(x))n-опукла функц1я для будь-якого n >, n 0, X - Lu (Т, )-знач-ний виладковий елемент такий, що Е С< у,Х >3 - 0, для будь-якого уев*, та 1снуе константа с>0 така, що

Eiexp 1 <у,X>33 4exp^(t(E[<v;X^J)Vl)}<cc для будь-якого у 6 В*. Тод! для деякого > О Е (£ 1X1 )}] <вв.

У теоремах 3.3 та 3.4 отримано- результата аналог1чн1 теоремам 3.1 та 3.2 в!дпов1дно для простор!в Pred (Я. )tp та Pred(Sl )tvr-У теоремах 3.5 та 3.6 аналог 1чн1 результата доведен! для npocTopiB (Л )lp та Ly (Si )u .

У §4 досд1джуються анал1тичн! властивост1 банаховозначних випадкових процес!в X(t) з простор!в Орлича Lv(ii)b банаховозначних випадкових елемент!в, коли функц1я Орлича U(x) належить класу Е. . .

В теорем1 4.1 отримано умови, при яких i»X(t)R£Lu (Л),

t«{

отримано 0Ц1НКУ ДЛЯ (£SUp И X(t)(lB»Lw , ОЦ1НКИ для роз-подхлу supHX(t)Ub та умови обмеженост! з ймов!р"!стю

tfcT

одиниця норми процесу X(t).

'Нехай. m(t,s)-С<. II X(t) - X(sU6>>u, NU)-£-розм1рн!сть простору (T,m), £. - sup m(t,s).

- Теорема 4.1. Нехай функц!я U(x) належить класу Е, X(t)e Lv сепарабельний в!дносно метрики m(t,s) та

- 8 -

виконуеться умова :1снуе & > О, що

js

)0 l/t W(v)-) Av <00,

де и''4) (v) - функц!я обернена до U(x) при v>0. Тод1 :

а) su^HX(t)ll& <= Lu №) i виконуеться нер1вн1сть

Чг

«sup HX(t)ll »iB = S4f> « ||X(OIIA + h ftCuH>(Miv))olV

"UV О

( де R - деяка константа );

б) для вс1х г таких, що г > ^up ¿( II X(t)llb S>lu вико-t нуеться

Е [U (г-* sup HXCUlOl * >

tfcV

в) для будь-якого г >^sup« li X(t) Ц У> icHye константа Cf. , що для будь-якого х>0

Р { 11 x(oii>x] iCt и-Чх/р);

г) для Bpix X > О

р i tTv ^u~l (*/ь)>

де В задано в а}; >

д) U X(t)li з üMOBipHicTio одиниця обмежений.

В теорем! 4.2 розглядаеться с1мейство В-значних випадкових процес1в п ¿1, де- Г- не б!льш н1ж зл!чен-на многшна.' Нехай Bei процеси Xh(t), t£T , n & I , належать простору L у (5S)B, i(t,S)-SUp « II X rv (t)-Xn (s) u6i>u-

Vvfi I

псевдометрика iидуковала с!мейством npoyeciB X n (t) на Т. N(£) - -posbiipiiicTb простору (T,m). Справедлива теснена.

Теорема 4.г. Нехай кожен в процес!в Кn C]t) & L\j(S2 )й

сепарабельний на (T,m), функц!я U(x) задовольняе умов1 Е.

Ягацо виконуеться умова : 1снуе О, що ? '

)0 \}("\ N (v>) о* V < со,

то

а) sup « sup ИХ ^(t) - Хл (s)UB»LW О при

IX it ¡Шл>4-

б) вс! процеси X n (t), t ¿T, nel ви01рково! неперер-вн1 на CT,in) з ймов!рн1стю одиниця;

в) якщо Т - компактами метричний прост1р з метрикою

с

р , псевдометрика ш неперервна в!дносно pi X п (t) сепарабельний на. (Т,р), то

suc>«bup II -^>0

J>(l.S.Vi- B о

I

при Е- 0 i вс! прэцеси X n (t) виб!рково неперервн1 на (Т,р) з ймов1рн1стю одиниця.

В теорем1 4.3 отримано оц!нку для sup«sup II Xy.(t)-X.,.(t)US>,

«О,v>ti.

де XA(t) & Ly(il)b для вс1х n£l, а функц1я U(x) нале-яить класу Е. В насл!дку 4.3 аналог1чну оц1нку отримано для випадку, коли функц!я U(x) калежить класу А,'* .

У §5, за допомогою результат1в §4, доалдаен! анал!-тичн! властивост! В-значних випадкових прс?цес1в X(t) з простор1в sub^(ii)B, Pred та Ly(Si)a.

В теорем! 5.1 отримано умови, при яких для процесу X(t) з простору sub^>(Ti)b виконуеться: sujd ii X(t)llb <=■ ly (i£) . де.- U(x)-exp-fvp*(x)>-l.a такой отримано оц1нку для 4!supllX(t)!l>>

14.Т

та оц1нки для розпод1лу sup i|X(t)Hb . В теорэм1 Б.З отримано умови, при яких для процесу X(t) з простору Pred (Sl)a sup II X(t)IU £ Су (SL), де U(x) - exp{ ixi ) - 1, та оц1нкц

fcer

ДЛЯ « SUJ3 HX(t)lla»tw . i для рэзпод1лу |up HX(l) IIBВ -

теорем! 5.5 отримано умови, при яких для процесу X(t) з простору Ln»-(Si)b sup UX(t)ll6 <= L4; (i?) , та оц!нки для it sup IIX(ty!lBi>>b,' 1 для розпод1лу sup ||X(t)||e.

Теорема 5.2. •Нехай X*v(t)£ subvf (Л)ь, n £ I, cenapa-. бельн! в!дносно m(t,s) - su¡э i (WXh(t) - Xh(s)U ) 1 вико-нуеться умова: 1снуе $ > О таке, що

) 4м"0 ( Нг (v)) dv 0

де Н^ (V) - ln( N« (v)). Тод1 : '

а) * sup « sup II X„.(t) - XM(s>U » ^

ncx

" £ Q(p) K4 fV^VHt'(v+0)eiv =R(t>

Oiptl 0

де Q(p) задане в насл1дку 4.3, R( £)-* О при е-* 0; .

б) козкен з npoueclB Xn(t) виб!рково неперервний на (Т.т* ) з ймов1рн1стю одиниця;

в) для будь-якого х > О

• В теоремах 5.4 та 5,6 аналог!чн1 результати отримано для простор!в Pred(£l)b та

У §б, використовуючи результата §§ 3,5,отримано наступ-Hi результата для L р ([(Р.Ш-значних випадкових процес!в з експонешЦальних простор!в Орлича.

Теорема 6.1. Нехай X(t), t£T - Lp (СО,13) - гначний випадковий продес з простору subvf(ft)Lp такий, шр

£ В [ ) X(4:,U>-X(S,U>iPJ du i SUi'Si),

g(h') - строго монотонна, g(h)->0 при h-"»0, g(l) I °o . при-пустимо, що виконуеться умова : 1снуе £>0, то

•'a

де U(x) - exp-fvf* (x)> - 1. Тод1

а) sup 11 X(t)llL Ltf (ft) , де U(x) - expi^Wbl, i

t£T

виконуеться нер!вн!сть

a su p IIX .(* J B«.p»Lu * Kl ( 11 х(1М|ц> У+

оо , ^

де S(£.) - Uc'l)(T0(2g<-°(( £/c)p ))~l + 1, K\ -задан§ в те-opeMi 5.1, £ о - sup w ^

(t.s);

t,siT

б) для будь-якого x>0 виконуеться

в) для будь-якого R>sup l|X(t)I( ' 1снув Co > 0, що для

ttv

будь-якого x > 0 гиконуеться нер1вн1сть •

де Cr- To(2g("°((S/с)р И"1 + 1, a 6- максимально число, для якого виконуеться нер1вн1сть

' . во '

+ ^"'(О) ¿х) ¿ft -sxjp ИХ Ю11ц>

В теоремах 6.2 та б.З отримано аналог1чн1 результат -для L р ([0,13) - значних випадкових лроцес1в з простор1в Pred(5i)Lp та- Ls! (Si)Up. '

Шдсумков! висновки. В робот1 розглянуто банаховозначн! випадков! елементи та процеси з простор1в- Орлича випадкових величин. Знайдешо умови, при яких норма В-значного випад; кового елемента X з експонешЦального простору Орлича

- - 12 -

эиЬ^ (& , Ргес1(Л)ь або належить тому ж самому

простору Орлича у випадках'В-Ь р (Т. та В-Ьи (Т, ».д/).

Отримано улови обмеженост! норм та виб1рково! неперервност1 э ймов!рн1стю одиниця, оц!нки для роэпод1лу супремум!в норм випадкових продес1в з простор1в Ьу (й)е, У випадку, коли функц!я Щх) належить класу Е. За допомогою цих результат1в досл!джено анал1тичн1 властивост! банаховозначних випадкових процес!в з простор!в зиЬ^СЛ)^ , Ргес! (51 )ь та (Л )а .

Основн! результата дисертац1 X опу6л!кован1 в роботах:

1. Велико1ваненко ГЛ. Про 1снування експоненц!альних момен-т!в норм випадкових елемент1в 1з простор1в бцЬ ^ (й).//Теор1я ймов1рностей та математична статистика. - 1994. - вип. 50. -С. 61-65.

2. Велико1ваненко Г.I. 1снування експоненц!альних моментов норм передгауссових випадкових елеменИв. // Прац1 Всеукра-1нсько1 конфёренцП молодих вчених (математтса) С. 238-244. -Деп. В ДНТВ Укра1ни 20.07.94 N1302. Ук-94.

3. Великр1ваненко Г.I. Про 1снування експоненц!альних момен-т1в норц випадкових .елемент!в в просторах Орлича. // В1сник КУ.- 1994.- С.1-6. °

4. Велико!ваненко Г.I. Банаховозначн1 випадков1 процеси в просторам Орлича. // Деп. в ДНТБ УкраТни 25.01.95 N242. Ук.-95.- 12 с.

- 13 -

Velikoivanenko B.I. " Analltlcal properties of the Banach - valued random processes'from the Orlicz's spaces". Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, the spesiality 01.01.05-ProbabiHty Theory and Mathematical Statistics. Kiev University. Kiev. 1995.

The Banach - valued random processes X(t) from the Orlicz's spaces are considered. Exponential integrability of the norms of such random processes from the exponential Orlicz's spaces in the . ases, when Bahach space of the values of the processes is Lp - space or Orlicz's space, have been proved. Conditions of the boundednéss and sample path continuity with the probability 1 for Banach - valued random processes X(t) from the Orlicz's spaces have been. obtained. Estimations of distribution of the supremums of the norms for these processes have been received,

Великоиванеко Г. И, "Аналитические свойства банаховознач-ных случайных процессов из пространств Орлича". Рукопись. Диссертация на соискание ' ученой степени. кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория' вероятностей и- математическая статистика. Киевский университет» Киев. 1995.

В работе рассмотрены случайные процессы X(t) из пространств Орлича случайных величин со значениями в Банаховых пространствах. Доказана экспоненциальная интегрируемость норм таких случайных процессов из экспоненциальных пространств Орлича в случаях, когда банахово пространство значений процесса - это L$> - пространсво или некоторое пространство Орлича. Найдены условия ограниченности норм и выборочной непрерывности-с вероятностью единица процессов X(t). Получены оценки распределения супремумов норм и супремумов норм приращений этих процессов.

Ключов! слова: Санаховозначн1 випадков! процеси, експо-ненц1альна- 1птегровн1сть, простори Орлича.