Условия ограниченности и непрерывности случайных процессов из пространств Орлича в терминах мажорирующих мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Київський Університет імені Тараса Шевченка

На арапах рукопису

Багро Сергій Володимирович

УД1С 510.21

»

'мови обмеженості та неперервності випадкових процесів о просторів Зрлича в термінах мажоруючих мір

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат дисертації на одо буття наукового ступеня кандидата фізпко-математп'ших наук

Київ - 1994

Дисертація е рукопис.

І'оКотя пиконана іш кафедрі теорії ймовірногтей та математичної стагнстикії механіко-математичного факультету Київського університету .пені Тараса Шевченка.

Няур.овпІ! керівнії* - доктор фЬнко-матоматіпіпіх

наук, професор

Коваченко Юр!а Васильович

Офіційні опоненти - доктор фгніко-математичних

наук, професор

Самойленко Грій Стефанович

кандидат фіиико-математнчпих наук

ЕндиирглІ Нарина Володимир}яки

Провідна організація Інститут кібернетики НЛН України

Захист дисертації відбудеться _____________.........1994р.

В ..Із. пагоп напйгідашіі спеціалізованої вченої ради К 01.01.14 по присудженню вченого ступеня кандидата фіпнко математичних наук у Київському університеті ім. Тараса Шевченка па адресою: 252127, и. Київ, проеп. академіка Иіушковп, С, мехпніко-мз гематігіний фдкульгет.

У Дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського уііірергитс*'! у 'м. Тараса Шевченка, Київ, вул. Иолоднмирська,

58.

. , Зіґ

Дгісіррфсі'аг розісланий ’’___________________1Р94г.

Вчений секретар піенішіппмної вченої ради

О.О.КУРЧЕНКО

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена дослідженню методом малшруючих мір аналітичних властшюстей випадкових процесів широких класів, а саме, процесів п класів Орлича (процесів о просторів £р(0), просторів Орлнча Д2, Д' та інших).

Вивчення аналітпчгчх властивостей випадкових процесів таких, наприклад, як неперервність або обмеженість з ймовірністю одиниця їх траєкторій розпочате Колмогоровіш Л.Н., привело до створення самостійного папрямку в теорії випадкових процесів.

До нього напрямку можна віднести дослідження локальних властивостей випадкових процесів, таг ’їх як суиремум, варіації і т.д., вивчення слабої збіжності послідовностей випадкових процесів в функціональних просторах.

Дослідження в цьому напрямі найбільш інтенсивно розвивались останнім часом. Найбільше розповсюдження отримав ецтропійпий метод, що був розроблений в роботах Дадлі, форпіка та Судакова. •

Цей метод ефективно використовувався для дослідження га~ уссовпх процесів. Випадковий гауссів процес ЛГ(0,і Є Т можнн розглядати як криву в гильбертовому просторі випадкових величин. Норман цьому просторі породжує наТ метрику (Ц(, ш) —

(мк(0-^)!2),/2. _ _

Виявилось, що в термінах цієї метрики, а саме о термінах метричної ентропії простору (Т,с1) можна адекватно описувати аналітичні та інші властивості гауссовпх процесій. Форпік, наприклад, в термінах метричної ентропії отримав необхідні і достатні умови неперервності п ймовірністю одиниця стаціонарних гауссовнх процесів.

У роботах Булдпгіна В.В., Козаченка Ю.В., та Островсь-кого Є.ЇІ. буян поставлена та розв'язана задача побудови метрик асоційованих з випадковими процесами та адекватно відтворюючих їх властивостей.

В цих роботах задача розв’язувалась шляхом занурення ви-падкоьих процесів у відповідні їм банахові простори - субгаус сові, типа субгауссовнх, просторів Орлпча класу Б.

До останнього часу ентрошпннп метод вважався напбільп ефективним методом для дослідження аналітичних властиво стен випадкових процесів. При дослідженні цих властивосте! виявилось, то умови отримані в термінах метричної ентропі не можна покращити лише для стаціопарпнх процесів. В тої час, як для процесів нестаціонарних ентропійні умови далек від необхідних. К.Фернику та М.Талнграну пощастило розро бити новин метод - метод мажоруючих мір, яким, нарешті, ТЬ, лагран отримав необхідні і достатні умови неперервності гаусо вих процесів. З умов, отриманих в термінах мажоруючих мі] впплпвають всі відомі .умови в термінах метричної ентпропії.

Зауважимо, що до цього часу метод мажоруючих мір оасто совувпвся тільки для гауссовігх процесів. Лише в роботі Ко зіпака та Рязаицевої цей Метод був застосований (в де яком, чаотпяипму випадку) до випадкових процесів простору Орляч; з класу А2. .

Розв'язку цієї задачі і присвячена дисертаційна робота.

Мета роботи полягає в тому, щоб в термінах метричне ентропії отримати умови обмеженості з ймовірністю одішпц випадкових процесів о простору Орлича, отримати оцінки рс оподілу супремуму цих процесів, знайти умови ненерервноп з ймовірні*, тю пдшшпя їх траєкторії. а також застосувати і результати для знаходження умов слабкої збіжності послідг

з

вності випадкових процесів з класів Орлпча в С(Т).

Наукова новизна, В дисертації

' доведено нагальну теорему про вибіркову неперервність о ймовірністю одшшця випадкових проносів в термінах мажору-ючнх мір;

- знайдено умови в термінах мажоруючпх мір обмеженості о

Ймовірністю одиниця випадкових процесів о просторів Орлпча класу Д2, та інших;

- знайдено оцінки розподілу супремуму випадкових процесів о деяких класів просторів Орлпча;

-отримані нерівності для норм сум незалежних випадкових величин, що належать просторам Орлпча породженим функціями, які зростають не швидше степеневих;

- отримані умови п термінах мажоруючпх мір слабкої збіжності для послідовності випадкових процесів о просторів Орлп-ча у просторі неперервних функцій;

- доведено центральну граничну теорему у просторі неперервних функцій для послідовності шгпадковнх процесів з просторів Орлпча.

Теоретична та практична цінність. Одержані в дисертації резуЛ’татп можуть бути використані в різних розділах теорії випадкових процесів, наприклад при дослідженні числа виходів вппадкошіх процесів за фіксований рівень, прн рішенні задач статистики випадкових процесів, прн побудові оцінок ко-варіацішшх функцій вшіадковпх процесів, в дослідженнях пов’язаних з методом Монте-Карло, Крім того, результати данного напрямку можуть бути використані в сучасній квантовій теорії поля, теорії автоматизованого управління, статистичній радіофізіці, фізиці атмосфери, метеорології.

Апробація та публікації. Матеріали дисертації повідомлю-

лис it на 4G та 47 науково-технічних студентських конференціях КДУ, на конференції молодих математиків України (Київ, 1992), на науковому семінарі з теорії ймовірностей КПІ (1993), Міжнародній конференції пам’яті М.ГІ.Кравчука (Київ, 1993). За матеріалами дисертації опубліковано 4 роботп.

Структура та о б сиг дисертації. Дисертація складається о восьми параграфів. Бібліографія містить 56 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У першому параграфі обгрунтована актуальність теми дисертації, сформульована мета роботп, міститься огляд літератури щодо теми, коротко викладено зміст дисертації.

У §2 наведені необхідні означення. Наведемо деякі о них.

Оонамення 2.2. Функцію U(x), х £ R назвемо N— функцією Орлича, якщо U{x) неперервна, парна, опукла функція така, що U(x) > 0 прп х ф 0, 17(0) = 0 і виконуються властивості

U{x) п U{x)

lim------ — 0, lim---------= оо.

г—0 X *-*оо х

Означення 2.4. N— функція Орлича U{x) належить класу Д2, якщо існують такі константи zq > 0 і В > 1, що при х > zq виконується нерівність U2(x) < U(Bx).- Класу Д2 належать, наприклад, всі функції вигляду U{x) = ехр{у>(а;)} — 1, де <р(х)— N— функція Орлича.

Ооначеннл 2.6. Простором Орлпча Ьц{Т) називається простір вимірних функцій на (Т, Л,/0 таких, що для / Є Lu{T)

існує стала гу, для яко:

іи{іт)МІ)<ос'

Відомо, що Ьц{Т) банаховіш простір о нормою

IIЛІМП = inf {г > о: jf V (М) ,(,,(()< і}.

В третьому параграфі в термінах мажоруючпх мір пнайдено умовп обмеженості о ймовірністю 1 випадкових процесів шо належать просторам Орлнча класу Д2.

Нехай Т— деяка параметрична множина, X ~ {А'(/), t Є Т} випадковіш процес о Ьц(Q), d(u,v) = ||А'’(«) — П€<3*

вдометрнка на Т. Нехай />— деяка псевдометрика на Т така, що d(t,s) —► 0 при p{t,s) —► 0 і (Т,р)— компакт. Розглянемо А— борелевську сг— алгебру на (Т, р) і ft— д аку ймовірнісну міру на А. Введемо деякі позначення. Нехай 5— борелсвська множина о (Т,р), B(t,e)~ відкрита куля о центром в точці t і радіуса £, {е*, к > 1}- деяка мопотонноспадаїоча до нуля послідовність, Bk{t) = B(t,ek)nS, Hk(t) = n{Bk(t)), at(t) = siiptUil,)W)d(u,t;). Основним результатом параграфу с така теорема.

’ Теорема 3.1. Нехай X = Є Т} це сепарабельний в

(Т,р) випадковий процес з простору'Lii(Q), де U(x)~ функція з класу А2. Тоді при деяких припущеннях на підмножину S і при виконанні умови

з ймовірністю 1 мас місце нерівність

,п Л»-Л» ^ и„т{^( 1 \

ь 2------------— 8«р > *і(і)и[ ’ 7-----7-ГС2

'*(«.«) Мі*х5) <Є5 ^ \(ні+1(0) /

Наведемо деякі приклади оастосуваїїпя цієї теореми в більш частинних випадках. Розглянемо простір (Т, г/), с/(£, в) = ||Х(<)— Л*(в)||і,„(пь X = {Х(і),і Є Т} випадковий процес о простору £у(П), де V Є Д2. Нехай (Т,(і)— компакт, А - о~ алгебра борелсвськгіх множин в (Т,д), е\ — вир{сі(и, у) : и €Е Т, V Є ї1}, £к ~ є і • р1"1, 0 < р < 1. Тобто має місце ситуація попередньої теореші, де в ролі р виступає псевдометріка сі.

Теорема 3.2.Нехай випадковий процес X сепарабельний в просторі (2\ (І), в— борелевська множина з {Т, сі) така, «{О/іХ /і{(ч, »■) Є 5 х 8 : (і(и,у) ф 0} > 0. Лтцо в вимірному просторі (Т,А) існує ймовірпіспіа міра ц, що викопується умова

то з ймовірністю 1 виконується нерівність

<2 *(")-*(»)

<і(і і, V)

вир 2^

Іи^хЯ) <Є5 /=1

ТІ

З теореми 3.2 отримані умови обмеженості випадкового процесу в термінах е- вимірності. Нехай Л'('г)— мінімальне число відкритих куль радіуса є, що покривають Т {є- (анімісті).

ІЬорема 3,3. Нетаїї процес Я сепарабельний а (1\(і), де (1(и,и) = ||А"(її) - Лг(«)|І£„(п) V Є Л3 і викопується умова

СО.

■ ^2Єіи(-1НЩем))<оо, '

де {єі,1 — 1} визначена в теоремі 3.2. Тоді випадковий процес Х(і) обмежений з ймовірністю 1.

У теоремах 3.4 -3.8 отримані оцінки розподілу гупремумів випадкових процесів, що належать просторам Орлича класу Д2 та квадратичногаусовпх процесів. Наведемо деякі о цих теорем Теорема 3.4.Якщо процес X = {Аг(<),< Є Т} задовольняє умовам теореми 3.1 з и(х) — ехр{р(.т)} — 1, то при кожному 0 < а < 1,

1 - ^щр(тр|Л',,'|> г> -

+2,,!(5)«р{-ы(1 + /Л5)^—)}, .

де 5— будь тка борелєвськп множина з (Т, р), для .якої виконуються обмеження теоре.мп 3.1, ■

г = 20їїр|;ад^|»(|..(^ + і)).

&і(і) = 2 вир <і(<, »>).

/>(І,Ч)<(|

Осшачення 3.1 [22]. Випадковий процес X = {X(t)ft 6 Т} називатимемо квадратпчногауссовіш, якщо X(t) визначається

Нехай 0,-(/), і — 1,..., N сімейство сумісно гауссовнх випадкових процесів, в'(0 — (©*(<)» ©и(/),...»Ojv(^))» Ж0~ ™ме,--трптв! матриця. Тоді або

або Л'(і!) = Іл.гп.^^Х,-,(/), де І.і.га. означає границю в сере-дньоквадратпчпому, а А'/ДО послідовність процесів, шо мають вигляд (1),

ТПеорема 3.7.Нехай X — {X (/), ^ Є Т} квадратичпогауссо-всьтіЛ випадковий процес для .якого викопуються умови тсо-рґліч 3.1. ?/( г) — ехр{|а |} - |.г| — 1, 5— множина а А Тоді, при т > 1п.(1 4 /*?(-')) 4Тг м.ає місце нерівність

X(і) - Є'(і)Л(1)Є(і) - Ke'(t)A(t)Q(t), (1)

I (PS

де

ln(l -I- /i2(s))

Д " !n(l -f>(s))bf IV

DO

t1((t) — 2 slip Vo \г/ґЕ(ХУ) — X{v)f

rtzR[i ,fj)

У §4 о термінах мажоруючпх мір знайдено умови обмоле-пості о ймовірністю 1 випадкових процесів :з загальних просторів Орлігта, породжених ^-функціями Орлпча. які мають властивість V)/ > Ллц Ух > Л'о

де Щу) деяка монотопноспадна функція.

ТЬорема 4.1. При виконанні деяких умов для процесу X(і) з простору Орлича Ьу(Т) з ймовірністю І виконується нерівність

де, з— деяка вимірна підмпожипа Т ч константа С наведена у формулі (4.3).

Умови теореми 4.1 можна посилити у випадку Ьр{П), тобто коли и(т) = |іі'|р,р > 1. Детально розглянуто приклад для Т — [0,1]'* і (і— міра Лебега.

У теоремі 4.3 отримано оцінку розподілу супремуму процесу з простору Орлича Ь\;(Т), де

1 випадкових процесів з просторів Орлина класу А2. Основним результатом с така, теорема.

(Т,р) випадковий процес п Іг;(П), и Є А2. Якщо для деякого

ІІ(х, у) < и(.г)Щу),

ТЬоремй 5.1. Пехай X — {X(f), і Є 1’} сспарабельпий па

є > 0 викопується умова

то з ймовірністю одиниця випадковий процес X ~ і Є

7’) вибірково неперервний і виконується нерівність

Функція /і (є) та випадкова величина »/ визначені у §5.

У§6 досліджено умови слабкої обіжності сімейств випадкових процесів о просторів Орлича класу Д2. Наведемо основні поняття та твердження цього параграфу. Будемо вважати, що процеси Х„(і), ті > 1,( Є Г індпцпрують иа просторі неперервних функцій С(Т) ймовірнісні міри /<„(•) таким чином цп{А) — Р{Х„(-) Є А}, де Л борелевська множина о С(Т)

Ооначенпя 6.1. Будемо каоати, що послідовність випадкових лропесів {Агп(і), £ Є Т, п > 1} слабко збігається до випадкового процесу А'(<) з С(Т) (або послідовність мір /і„(Л) слабко збігається до міри ц{А)), якщо дп будь-яких неперервішх обмежених функціоналів /(у), а- Є С(Т) виконується

У теоремі 6.1 знайдено умови слабкої обіжності послідовності мір цп() в С{Т) породженої послідовністю сепарабельнпх випадкових па {Т, р) процесів Аг„(*),* Є Т таких, що Х„(і) є и € Д2. У теоремі 6.2 цеп результат узагальнено на клас функцій Орлича П(х) таких, що 3-го > 0 VI/,® > Хо

вир |Х(г) - Х(гу)| < гі/і(є).

р(г,иі)<е

виконується и(ху) < І1 (х)П(у), де /?(//) деяка монотоннонес-падна функція.

У §7 отримано ряд нерівностей для норми сум неналежних випадкових величин у просторах Орліпа £г(П), які породжуються Лг~ функціями Орліпа, що пристають не швидше за степеневі. Основним результатом є така теорема.

ТЬорема 7.1. ІГехаії и(х) — Дг— функція Орлича така, що 17(\/х) опукла та Зр > 2 таке, що (7((ж)1/р) вгнута, {£ь..., ц„} — довільний набір незалежних центрованих випадкових величин з Г^у(П). Тоді існують такі сталі с\ та с-і, що вірна нерівність '

/ п \ »/2

і/р

І=1

<ЦЕмї„

їй \*‘=1 /

У §8 знайдено умови, при яких для послідовності процесів з просторій Орлича класу виконується центральна гранична теорема.

Означення 8.1. Нехай Хп(і) послідовність незалежних однаково розподілених випадкових процесів з С(Т), де Т— компакт у метричному просторі. Будемо казати, що послідовність {Х„(<),п > 1} задовольняє центральній граничній теоремі, якщо випадковий процес 8„{і) ~ слабко збігається

до гауссопого вибірко»' те перервного процесу.

Оа результатами §6 та §7 доведено теорему.

Теорема 8.1. Нехай Хп(І), ЕХп(і = 0),п > 1, ( Є Т послідовність незалежних однаково розподілених сепарабельних

на Ц,р) випадкових процесів таких, що X„(t) € L(f(Q),-U Є Д2. • '

Нехсій для деякого є > 0 виконується умова

lim Ц{е) — О

t->0

де

/|(є) = sup Y^crj l^f-----------------------7—r

f(z,w)< tjr( \f'l+ «(«')/

де /і~ деяка ймовірнісна міра на (Т, А), А— борелєаська а— алгебра па (Т,р), /і/ = p(B(t,£i)), {еі,1 > 1}~ деяка монотои-v о спадаю >чг до нуля послідовність,

<7/(“1)(2)= svip . d(u,v)s= вир ||Хі(«) - Xi(i»)|j/,l;(tl)

{и.І'ІЄЯ^Сг)

Якщо о просторі £[/(П) для послідовності незалежних цен тровпних випадкових величин {£„,п > 1} виконується нерівність

- СХ^ІІІМП)

*=1 Іи(О) *=1 ‘

то послідовність Хп(ї) задовольняє ЦГТ.

Як і у §6 цю теорегу узагальнено для класу функцій 1/(х), и(ху)<і)(х)-Щу). . *

Аитор користується нагодою, щоб висловити щиру подяку спогму науковому корівнику доктору фізпко-математичних науЕ, професору Копатіенку Юрію Васильовичу ^а постановку оадачі, постійну увагу та цінні оауваження при виконанні даної роботи.

Основні результати дисертації опубліковані у роботах:

1. Багро С.В. Некоторые вероятностные неравенства и центральная предельная теорема в функциональных пространствах // Теория вероятностей п мат. статистика. 1991. Вып. 44. С. 8 - 16.

2. Багро С.В. Умовп обмеженості та неперервності випадкових процесів із просторів Орліпа. // Вісник КДУ. 2. 1991. С. 91 - 96.

3. Багро С.В., Козаченко 10. В. Мажору юті мірп та умовп обмеженості деяких випадкових процесів. // Теорія ймовірностей та математична статистика. 1993. Bun. 49. С. 45 - 54.

IK

■ Багро Сергей Владимирович ’’Условия ограниченности и непрерывности случайных процессов но пространств Орлича в терминах мажорирующих мер”

Диссертация (рукопись) на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.01.05 -теория вероятностей и математическая статистика, Киевских! политехнический институт, Киев, 1994.

Защищается диссертация, в которой рассмотрены случайные процессы X(t) из пространства Орлича. В терминах существования мажорирующих мер получены условия ограниченности процесса X{t) и выборочной непрерывности с вероятностью 1. Получены оценки распределения супремумов .этих процессов. Эти результаты использованы для нахождения условий слабой сходимости и центральной предельной теоремы для последовательности случайных процессов из классов Орлича. Ключевые слова: пространства Орлича, случайные процессы, мажорирующие меры. ■

Bagro Sergej Vladimirovich ’’Conditions of bounciness and continuity of raudorn processes from Orlicli spaces in terms of majorizing measures”

Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, the speciality 01.01.05 Probability Theory and Mathematical Statistics, Kiev, Politeclmical Institute, 1994. Thesis in which random processes X(t) from Orlich space are considered is defended. Conditions of boundedness and path continuity with the probability 1 for the process X(t) are obtained in terms of majorizing measure existence. Estimations of distribution of suprems of these processes are obtained. These results are used to find the conditions of the weak convergence and central limit, theorem for sequence of the random processes from Orlich classes. Key words: Orlich spaces, random processes, majorizing measures.