Задача Максвелла о тепловом скольжении для квантовых ферми-газов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

□□3440328

Любимова Наталия Николаевна

ЗАДАЧА МАКСВЕЛЛА О ТЕПЛОВОМ СКОЛЬЖЕНИИ ДЛЯ КВАНТОВЫХ ФЕРМИ-ГАЗОВ

Специальность 01 01 03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 СЕ» 2008

Москва - 2008

003446328

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного областного университета

Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор A.B. Латышев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Цурков,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Орлов

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

Защита состоится "14" октября 2008 г в 16 00 час на заседании диссертационного совета Д 212 133 07 при Московском институте электроники и математики по адресу 109028, Москва, Б Трехсвятительский пер, д 3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского института электроники и математики

РАН

Автореферат разослан "

2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета к ф -м н , доцент

ПВ Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работах основоположников статистической механики Дж Максвелла и Л Больцмана были получены уравнения, описывающие разреженный газ с короткодействующим бинарным межчастичным потенциалом В рамках кинетической теории разреженных газов были корректно описаны процессы перехода системы к равновесию и определены коэффициенты переноса (диффузии, вязкости, теплопроводности) через молекулярные характеристики вещества Подтвержденное на практике, уравнение Больцмана является в настоящее время основным инструментом теоретического анализа и численных расчетов самых разноплановых задач от проблем нестационарного обтекания тела в газовой динамике и описания химически реагирующих смесей до теории ядерных реакторов и релятивистских квантовых газов

Уравнение Больцмана - нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, и, как таковое, является очень сложным математическим объектом, аналитическое решение которого возможно только в простых частных случаях Поэтому усилия математиков были сосредоточены на анализе свойств этого уравнения, важнейшим из которых является закон возрастания энтропии, и разработке различных приближенных методов его решения К последним относятся и модификации уравнения Больцмана, упрощающие его математическую структуру, но сохраняющие свойства исходного уравнения и позволяющие получать явные решения Это простейшая модель газа без столкновений (столкновительный член равен нулю), модель с линеаризованным столкновительным членом по малому отклонению функций распределения от локально-равновесного состояния, а также релаксационное приближение, использующее характерную частоту парных соударений частиц как параметр, определяющий скорость релаксации системы к равновесию

Релаксационное приближение было предложено в 1954 г в работе П Бхатнагара, Е Гросса и М Крука (Bhatnagar Р L , Gross Е Р , Krook М

Model for collision processes in gases // Phys Rev , 1954, V 94, p 51 1-524) для линейной аппроксимации столкновительного члена в уравнении Больцмана, называемое теперь уравнением БГК Как и исходное уравнение, оно является диссипативным, а метод его решения в виде ряда по степеням малого параметра приводит к уравнениям гидродинамики в форме Навье-Стокса

Вследствие относительной простоты уравнение БГК приобрело большую практическую значимость как для проведения численных расчетов, так и для теоретического анализа, поскольку допускает широкий класс точных аналитических решений Построению и исследованию точных решений уравнения БГК посвящено большое число публикаций Обзор современного состояния в этой области содержится в книге А Латышева и А Юшканова (Латышев А В, Юшканов А А Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения - М МГОУ 2005 - 273с ) Успешное применение классического уравнения БГК для слабонеравновесных гидродинамических задач, таких, как описание стационарного погранслоя или отыскание стационарного решения для функции распределения газа во внешнем поле, естественным образом привело к идее обобщения метода релаксационного приближения на случай равновесных распределений, отличных от максвелловского В частности, интерес представляет релаксация к равновесным распределениям идеальных квантовых газов.

Как и в классическом случае, формальным основанием для изучения квантовых аналогов БГК-приближения должно быть соответствующее квантовое уравнение, описывающее бинарные столкновения Такое кинетическое уравнение, обобщающее классическое уравнение Больцмана на случай нерелятивистских квантовых газов, было выведено ЮлинГом и Уленбеком в 1933 г (Uehling Е , Uhlenbeck G - Phys Rev , 1933,v 43,р 552)

Задача о нахождении решений уравнения БГК для квантовых газов имеет теоретическую значимость и актуальность в связи с возросшим практическим значением микроэлектроники, требующей, в частности, умения решать граничные задачи для электронного газа в проводниках Постановка и точное решение граничной задачи для кинетического уравнения представляет не только теоретическую, но и практическую важность, поскольку может быть применено к решению реальной физической задачи Постановки граничных задач для ферми-газа изучались в работе А Латышева и А Юшканова (Латышев А В , Юшканов А А Граничные задачи для квантового ферми-газа II ТМФ 2001 Т 129 № 3 С 491-502 ) Решения одной из таких задач для случая полностью диффузного отражения о г границы и посвящена настоящая диссертация

Цель работы. Цель работы заключается в постановке граничной задачи для кинетического уравнения, описывающего квантовый ферми-газ, с условием полного диффузного отражения от стенки, и аналитическом решении соответствующей стационарной задачи для слабонеравновесного случая в релаксационном приближении Бхатнагара-Гросса-Крука

Научная и практическая ценность работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений граничных задач для кинетических уравнений Проведенное исследование имеет два аспекта методологический и прикладной Методологическая ценность работы состоит в переносе методики решения граничной задачи для классического кинетического уравнения Больцмана в БГК-приближении на квантовый случай, когда равновесное распределение отлично от максвелловского, и в обосновании предложенного метода ее решения с учетом ферми-статистики Эта методика может быть полезна для решения модельных задач кинетической теории квантовых газов и жидкостей при низких температурах, теории электронного газа в металлах, теории

переноса нейтронов в плотных средах (нейтронных звездах), а также в задачах теоретической астрофизики

Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что найдено явное аналитическое решение для стационарной функции распределения газа в полупространстве в задаче о тепловом скольжении с диффузным отражением Аналитическое решение позволило в явном виде определить физически важные параметры, характеризующие систему в целом коэффициент скольжения, массовую скорость газа и другие функционалы от функции распределения

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с постановкой задачи и нахождения решения в явном виде

В работе построено релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение квантовых ферми-газов в задаче о тепловом скольжении

Для решения граничной задачи в диссертации обосновано применение анзаца Кейза, получено и решено уравнение на собственные функции и собственные значения соответствующего интегрального оператора в пространстве обобщенных функций

В работе доказаны теоремы о факторизационных свойствах дисперсионной функции, с помощью которых доказана теорема о решении однородной краевой задачи Римана для рассматриваемого случая

Как основной результат, в диссертации найдено явное аналитическое решение поставленной граничной задачи для функции распределения и определены физически значимые функционалы -коэффициент теплового скольжения и массовая скорость газа в полупространстве

Проведен также анализ полученного решения, показывающий его правильную асимптотику в ряде предельных случаев - для классической

задачи Максвелла о тепловом скольжении газа с постоянной частотой столкновения молекул и в случае, когда частота столкновений пропорциональна молекулярной скорости В последнем случае дисперсионная функция задачи переходит в известную дисперсионную функцию плазмы

Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались соискателем на научных семинарах и конференциях

• ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2005 - 2007гг ),

• ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава ЕГУ им Бунина (Елец, 2004 -2007гг ),

• «Понтрягинские чтения - XVII» в рамках Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач» (3-9 мая 2006г , Воронеж, ВГУ, МГУ, МИ им В А Стеклова РАН),

• III Всероссийская школа-конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А Ф Сидорова (4-10 сентября 2006г , п Абрау-Дюрсо, ИММ Уральского отделения РАН (Екатеринбург) ),

• Международная научная конференция «Современные методы физико-математических наук», посвященная 75-летию ОГУ (Орел, 9-14 октября 2006г ),

• Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (27января - 2 февраля 2007г , Воронеж, ВГУ, МГУ, МИ им В А Стеклова РАН),

• Международная научная конференция«Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-

летаю со дня рождения академика И Н Векуа (28 мая - 2 июня 2007г,Новосибирск), • Семинар по математической физике ИПМ им М В Келдыша РАН (рук В В Веденяпин и М В Масленников) Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми Они опубликованы в 13 работах соискателя, из которых 9 выполнены самостоятельно, без соавторов Работы [1], [10], [11], [13] напечатаны в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, перечень которых определен ВАК РФ В этих изданиях должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук

Вклад автора в совместных работах. В работах [1, 5] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, а в работах [7, 9] соискателю принадлежат также и теоретические результаты о свойствах найденного аналитического решения и выводимого в работе дисперсионного уравнения

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии Объем работы составляет 140 страниц текста, в том числе 14 рисунков Библиография включает в себя 80 наименований, в т ч и публикации диссертанта по теме исследования Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф, при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы Рисунки имеют сквозную нумерацию

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор основных результатов исследований по математической теории теплового скольжения и формулируются проблемы, решению которых посвящена настоящая диссертация

В первой главе определяются основные понятия и выписываются исходные уравнения, необходимые для постановки задачи Выводится релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение ферми-газов в задаче о тепловом скольжении, и ставится соответствующая граничная задача

В параграфе 1 1 выписывается квантовое уравнение Больцмана для ферми-газа (уравнение Юлинга-Уленбека)

— + V — = ß[/,f ], dl dr и J1

где B[f,f\ - интеграл парных столкновений для ферми-частиц, V -скорость частицы, г - координата Вводятся локальные средние величины (моменты функции распределения) - соответственно плотность, скорость и внутренняя энергия как функции координат и времени

p(r,0= J/(r,V,0*7V,

V(r,t) = -±- [v /(г, V,/) cN, P(r,t) J

E(r,/) = ~i— f~(V - U(r,/))2/(r,V,/) dW. p{r,t) J 2

Релаксационным приближением (или приближением БГК) называется уравнение, в котором нелинейный интегральный оператор #[/,/] заменяется выражением

f -f х

где feq есть локально-равновесное распределение ферми-газа, а т

есть время релаксации, совпадающее по порядку величины с временем свободного пробега частиц газа В линейных моделях БГК время г является постоянной величиной или зависит от скорости V, а в более общих моделях г зависит также и от искомых параметров функции распределения Общее релаксационное уравнение имеет вид

д1 дг т

р. г

Далее рассматривается стационарный случай, когда — = 0

9/

Локально-равновесное распределение в (1) имеет

следующие параметры химический потенциал /^(г), среднюю скорость ие?(г) и температуру Тед(г)

(2)

где е = -1]едУ, т - масса частицы Для этого распределения (2)

связь между параметрами функции распределения и средними величинами плотности частиц, скорости и плотности внутренней энергии дается формулами

^ 2 еЧт{х)' где введены обозначения для интегралов от фермиевской функции

/ и)---- 1 Г ^

а Г(у) есть гамма-функция Эйлера

В параграфе 1 2 выводится стационарное уравнение БГК для ферми-газов в слабонеравновесном приближении, когда искомая функция распределения слабо отличается от равновесного состояния /д с глобальной температурой Гд, химическим потенциалом и нулевой средней скоростью В этом случае разность между глобальной и локально-равновесной функциями распределения может быть представлена как поправка к глобальному фермиану, линейная по параметрам ¿ц = Иед ~Ио> ^ ~ Представим / в виде

' 1

/ = /о - /о Ь, где штрих означает производную функции /0(г) = -г—-—^ по

Г+0

т(У-и)\ ц

аргументу г =-^^—¡и=о~~^ в точке глобального равновесия, а

к(г,У) есть неизвестная функция Тогда правая часть релаксационного уравнения (1) представляется в виде

f-f = — J /,„ kTQ

mV 12 ^ST + Sf, + mVVeq-hkT0

(3)

To

В задаче о тепловом скольжении газа по поверхности задается постоянное давление, а также локальный градиент температуры Из локального уравнения состояния квантового ферми-газа Р=2£73, где плотность

3 hn(x)

энергии Е определена выше как Ее (r,t) = —кТе 7 , х = f.iecllkTea,

2 /1/2(х)

можно найти соответствующий градиент химического потенциала Оставшаяся неопределенной искомая величина Ueg связывается с

функцией h из (3) условием, что средние величины, входящие в законы сохранения массы, импульса и энергии определяются по локально-

равновесному распределению Это приводит к тому, что искомая поправка Ъ к глобальному равновесному распределению удовлетворяет уравнению

' дг~

В уравнении (4) мы перешли к следующим безразмерным величинам

С^+/)(г,С)= |л(С,С',а)/!(г,С') сЮ.р(а,С) (4)

2 кТ0

В (4) введены также следующие обозначения а - числовой параметр,

с1ЪС '

dQ.F(a,C) = g^C,a)-, где g{C,a) есть производная /0 с обратным

1(а)

знаком

Функция 1(а) определяется как

/(в) = 2тЛ ехР(а"с2> ¿С = ;г3/21 ,/2(а) ¿1 + ехр(а-С ) ",/2

Ядро интегрального оператора в (4) имеет вид

Аг(С, С', а) = 1 + ЗСС +/2

/•„(а) />(а)

: *ьО)Ус,2 г0(а)

1(а) А /(«).

где

г0(аг) = Зл-|1п(] + ехр(с2 -а))с!С = ^-13/2(а) О 4

Кинетическое уравнение (4) и является предметом исследования настоящей диссертации

В параграфе 1 3 рассматривается применение кинетического уравнения (4) к задаче Максвелла о тепловом скольжении для квантового

ферми-газа Показано, что эта задача сводится к решению следующего линейного интегро-дифференциального уравнения

Я ™

(5)

где

1п[1 + ехр(а - /л2)] + ехр(аг - //2)]«'//

Граничные условия в рассматриваемой задаче имеют вид

ц/(0,ц,а) = 0, И > О

Ч;(х,ц,а) = 2£/0(а)-£г й -

Д(а)А 2 /

■ +со, ц. < О

(6) (7)

Здесь и0(а) - искомая безразмерная скорость скольжения, gг- известный логарифмический градиент температуры, Д(«) - величина, равная

А(а)= } С'3 /0 (- « + Са ^С /С'3 /01 (- а + Са )с1С о |_0

Во второй главе решается задача Максвелла о тепловом скольжении для квантового ферми-газа

В параграфе 2 1 выводятся граничные условия (6)—(7) в системе координат ХУХ с аксиальной осью Ъ, направленной перпендикулярно плоскости скольжения ХУ, и формулируется соответствующая граничная задача

В параграфе 2 2с помощью анзаца Кейза (Кейз К М , Цвайфель П Ф Линейная теория переноса -М Мир, 1972 - 384 с)

|//„(х,/1,а) = ехр

выводится характеристическое уравнение

/ \ х

и

Ф(?7 ,р,а)

(т1-ц)ф(г|,ц,а) = т1«(т1,а), t]eC, (8)

где

CO

В параграфе 2 3 находятся собственные функции и собственные значения соответствующего характеристического уравнения (8)

Собственные функции характеристического уравнения (8) непрерывного спектра ищутся в пространстве обобщенных функций и имеют следующий вид

Ф (jj,ju,a) = F(j],^,a)n(j},a), (9)

где

F(n^,a) = rJP~^— + ^\d(7?-M) (10)

Т) -ц К(ц,а)

Здесь Р- означает главное значение интеграла по Коши, S(x) - дельта-функция Дирака

В параграфе 2 4 показано, что собственные значения характеристического уравнения образуют дискретный спектр, состоящий из нулей дисперсионного уравнения A(z,a) = 0, где

с»

A(Z,«)=1 + Z (П)

J u-z

есть дисперсионная функция, введенная в работе А В Латышева и А А Юшканова (Граничные задачи для квантового ферми-газа // ТМФ 2001 Т.129 № 3 С 491-502 )

Показано, ч/о дискретному спектру собственных значений характеристического уравнения соответствуют два собственных решения исходного уравнения (5)

ц/+(х,|а,а) = 1 и ц/_(х,1л,а) = х~ц

В параграфе 2 5 рассматриваются свойства дисперсионной функции, ее мнимой и действительной частей на действительной оси, и строятся кривые Г4 и Г, где Г = Г+иГ~, определяемые как

Г+ [х,у х = КеА+(/и,а),у = 1тЛ+(р,а), 0 <н <+<»], Г~ х = Ке/С(/.1,а),у = 1шЯ~(р,а), -со<и<о| Эти кривые используются ниже для вычисления индекса коэффициента краевой задачи Римана Задача Римана возникает при решении уравнения (8), и в применении к рассматриваемому случаю теплового скольжения (вдоль оси абсцисс) с граничными условиями (6-7) состоит в следующем Требуется найти кусочно-аналитическую функцию Х(ц,а), предельные значения которой на контуре, которым является действительная ось, в верхней (верхний знак «+») и нижней (знак « - ») полуплоскостях удовлетворяют заданному краевому

условию Х+(/и, а) = Х~(/и,а)С(р1,а), где функция 0{/л,а) в данном

случае имеет вид и{/и,а) = —-

В параграфе 2 6 с помощью теории функций комплексного переменного доказывается теорема 6 1 о решении однородной краевой задачи Римана

Х*{ц,а) А+С",а)

;=-,-; ч» «е(-со, + оо) (12)

X (//,«) Л (/.г, а)

Теорема 6.1 Решение однородной краевой задачи Римана (12) при всех значениях параметра а е (-<», + <») имеет вид

Х(г,а) = -ехр У(г,а), г

где

00

У(г,а) = - [^^(¡и, С(и,а) = 0(г,а)-я

п J и-х о

Здесь 9(и,а) - непрерывная регулярная ветвь аргумента функции

X(и,а), такая, что 0(0,а) ~ argЛ+ (0,а) = О

В параграфе 2 7 доказываются теоремы об интегральных представлениях факторизующей функции

X{z, а) = — exp V(z, а), (13)

2

Теорема 7.1 Для функции X(z,a), определяемой формулой (13), справедливо интегральное представление при всех значениях параметра а, а е (-ао, + да)

00

(14)

2лi i u~z

о

Теорема 7.2 Для функции X(z,a) на разрезе (действительная положительная полуось) справедливо следующее интегральное представление при всех значениях параметра а, а е (-<», +оо)

00

v, s >-, \ 1 X (г,а) , п

2 Ж1 i T-Z

о

Теорема 7.3 Для функции X'l(z,a), справедливо интегра/гьпое представление при всех значениях параметра а, а е(-со,+°о)

dr

_[

X(z где

Z + Vt(a) = -L [

,а) 2ni J

1 1

_Х\т,а) Х'(т,а)

t-z

zeC\R+. (15)

Ч

,(а) = — п Л

о

Теорема 7.4 Для полуразности функций [х*(ц,а)]' и [Л"(ц,а)] справедливо следующее интегральное представление при всех значениях параметра а, а е(-оо,+ со)

2т \х+(т,а) Х~(г,а)\т-р

1_ Г __1___1__

I

В параграфе 2 8 устанавливается формула, представляющая факторизацию дисперсионной функции в верхней и нижней полуплоскостях Также выводится формула для факторизации граничных значений дисперсионной функции сверху и снизу на действительной оси Теорема 8.1 Для дисперсионной функции Х(г,а) везде в комплексной плоскости С, исключая действительную ось Л, справедлива формула

В параграфе 2 9 доказывается теорема о разложении решения по собственным функциям характеристического уравнения Теорема 9.1: Граничная задача (5) - (7) имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения при всех значениях параметра а, а е (-оо, +оо)

Здесь и0(а), а(т/,а) - неизвестные коэффициенты разложения соответственно дискретного и непрерывного спектров

В параграфе 2 10 находится скорость теплового скольжения для квантового ферми-газа, равная

Х(г, а) = -Х2 (а)Х(г, а)Х(-г, а)

(16)

(17)

где gт - известное значение градиента массовой скорости вдоль поверхности, заданное вдали от стенки При а-+~оо получается скорость

теплового скольжения для классического газа

и°~ 4

В параграфе 2 11 строится профиль массовой скорости в полупространстве и в явном виде находится функция распределения Массовая скорость IV (х,а)в полупространстве х>0 вычисляется по формуле

Гу(х,а) 1 % ( х

—-= Кг(а) + — ехр --

ёт V П)

1 00

где У,(а) =--и,а)с!и

т]Х(т],а)

Вводя обозначение Н + (/;) для тета-функции Хэвисайда, получаем явное представление искомой функции распределения на стенке по формуле

ёт ' ХО*>а)

При // < 0 из формулы (15) получается функция распределения летящих к стенке молекул

у (0 ,ц,а)= У]{а) + М gт Х{/и,а)

При //>0 из равенства (18) находим ^(О.^.а) = 0, что в точности совпадает с исходным граничным условием

В параграфе 2 12 проводится численный анализ полученного результата и рассматриваются предельные случаи уравнения (5) при а -> -оо и при а —» +оо Первый случай соответствует классической задаче Максвелла о тепловом скольжении газа с постоянной частотой столкновения молекул Второй случай соответствует задаче для газа с частотой столкновений, пропорциональной молекулярной скорости

При со мы получаем уравнение

ох л!л 1

-00

которое является следствием приближения БГК для одноатомных газов с постоянной частотой столкновений молекул (см Ферцигер Дж , Капер Г Математическая теория процессов переноса в газах М Мир, 1976 - 556 с) При этом дисперсионная функция Л(г) (11) переходит в известную дисперсионную функцию плазмы

рехрН^ -г

Коэффициент У\{а) из (15) переходит в известную формулу К Черчиньяни (Теория и приложения уравнения Больцмана - М Мир, 1978 -495с)

ООГ

и, (-00)= ]

X

.М- ' рэ£

Vл * и-:

о

1 1 Ас(и)

I л -<]лиехр\-и )

¿и = 1 01619

При а—> + ад коэффициент К,(а) имеет асимптотику К,(а)~У1"4ау где

У-^ определяется как интеграл 1

= 1

1 1

— + — агс1е .

2 л 0 757гы(1 —ы )

¿и = 0 58195,

а входящая в него функция

4 ^ и —

с1и

-1

есть дисперсионная функция задачи теплового скольжения для газов с частотой столкновений, пропорциональной молекулярной скорости

В заключении кратко подытоживаются основные результаты диссертации и указываются возможные области их применения Изложенные

методы позволяют распространить полученные результаты на квантовый бозе-газ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1 Поставлена краевая задача о тепловом скольжении квантового ферми-газа в предположении диффузного отражения и выведено стационарное линеаризованное кинетическое уравнение в релаксационном приближении, описывающее слабонеравновесный квантовый ферми-газ в полупространстве Этот результат представлен в работах соискателя [1-3]

2 В явном виде получено точное аналитическое решение и изучены его свойства для стационарной функции распределения слабонеравновесного квантового ферми-газа в полупространстве при условии диффузного отражения Этот результат представлен в работах соискателя [4-7]

3 Получены явные выражения для физических величин, характеризующих поведение квантового ферми-газа вблизи поверхности коэффициент и скорость теплового скольжения, а также массовая скорость газа в полупространстве Эти результаты содержатся в работах соискателя [6-13]

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Латышеву Анатолию Васильевичу за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы

Список рабог соискателя по теме диссертации

1 Латышев А В , Любимова Н Н, Юшканов А А Тепловое скольжение ферми-газа // «Известия вузов, Физика» Томск 2006 №7 С 11 - 17.

2 Любимова Н Н К теории теплового скольжения квантового бозе-газа // Электронный журнал «Исследовано в России» 173, М МФТИ, стр 1612 - 1621, 2006 http //zhurnal аре relarn ru / articles/ 2006/ 173 pdf

3 Любимова Н Н К теории решения граничных задач для квантовых газов // Вестник Елецкого государственного университета им И А Бунина Вып 11 -Елец ЕГУ им И А Бунина, 2006 - с 357-362

4 Любимова Н Н Аналитическое решение граничной задачи Максвелла о тепловом скольжении для квантовых ферми-газов // Современные методы краевых задач Материалы Воронежской весенней школы «Понтрягинские чтения - XVII» - Воронеж 2006 -С.110

5 Латышев А В , Любимова Н Н , Юшканов А А К теории теплового скольжения ферми-газа // Сборник научных трудов «Фундаментальные физико-математические проблемы и » М Изд ИММ РАН + «Станкин» вып 9 2006 - с 74-79

6 Любимова Н Н Распределение массовой скорости и функции распределения ферми-газа в задаче о тепловом скольжении // Современные методы физико-математических наук Труды международной научной конференции 9-14 октября 2006г , гОрел Т 2 - Орел Изд ОГУ, 2006г-с 127-131

7 Латышев А В , Любимова Н Н , Юшканов А А Граничная задача о тепловом скольжении ферми-газа // Сборник научных трудов, посвященный 100-летию со дня рождения Д А Райкова «Некоторые вопросы математики, информатики .. » М МПГУ 2006 - с 114123

8 Любимова H H Полупространственная граничная задача о тепловом скольжении квантового ферми-газа и ее аналитическое решение // III Всероссийская школа-конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А Ф Сидорова ИММ Уральского отделения РАН (Екатеринбург) Тезисы докладов - п Абрау-Дюрсо, 2006 - С 72 hppt //afsid imm uran ru /tesis php

9 Lyubimova N N , Latyshev A V , Yushkanov A A Thermal slip of Fermi gases // Russian Physics Journal, http // dx doi org/ 10 1007 /si 182- 006-0163-0

10 Любимова H H Решение задачи о тепловом скольжении ферми-газа с диффузным отражением // Вестник МГОУ Серия «Физика-Математика» №2 - M МГОУ, 2007 с 16-22

11 Любимова H H Решение задачи Максвелла о тепловом скольжении квантового ферми-газа// Динамика линейных и нелинейных систем Труды Института системного анализа РАН Т 25(2) - M КомКнига, 2006 - с 74-79

12 Любимова H H Аналитическое решение граничной задачи Максвелла о тепловом скольжении для квантового бозе-газа// Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика И H Векуа 28 мая - 2 июня 2007г., г Новосибирск, - Новосибирск Изд ,2007 - С 511

13 Любимова H H Точное решение граничной задачи о тепловом скольжении для квантового ферми-газа// «Доклады Академии Наук» 2008 т 422 №4 С 463-465

Подписано к печати " Ю_ " 09 2008 г Отпечатано в типографии МИЭМ Москва, ул М Пионерская, д 12 Заказ № 128 Объем 1.0 п л Тираж 100 экз

Введение

Глава 1 Кинетическое уравнение для квантовых ферми-газов

1.1. Релаксационное кинетическое уравнение.

1.2. Уравнение для ферми-газов.

1.2.1. Линеаризация нелинейного релаксационного кинетического уравнения.

Законы сохранения.

1.2.2. Кинетическое уравнение.

1.2.3. Векторное кинетическое уравнение.

1.3. Постановка задачи максвелла о тепловом скольжении квантового ферми-газа.

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Уравнение состояния в квантовых газах.

1.3.3. Линеаризация задачи.

1.3.4. Уравнение для квантового ферми-газа в задаче о тепловом скольжении.

Глава 2 Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении

2.1. Постановка задачи и основные уравнения.

2.2. Разделение переменных и характеристическое уравнение.

2.3. Собственные функции непрерывного спектра.

2.4. Дискретный спектр. Нули дисперсионной функции.

2.5. Свойства дисперсионной функции.

2.6. Теорема о решении однородной краевой задачи Римана.

2.7. Интегральное представление факторизующей функции.

2.8. Факторизация дисперсионной функции.

2.9. Теорема о разложение решения по собственным функциям характеристического уравнения.

2.10. Максвелловское приближение задачи о тепловом скольжении.

2.11. Массовая скорость и функция распределения.

2.12. Предельные случаи.

Актуальность темы. В работах основоположников статистической механики Дж. Максвелла и Л. Больцмана были получены уравнения, описывающие разреженный газ с короткодействующим бинарным межчастичным потенциалом.* В рамках кинетической теории разреженных газов были корректно описаны процессы перехода системы к равновесию и определены коэффициенты переноса (диффузии, вязкости, теплопроводности) через молекулярные характеристики вещества. Подтвержденное на практике, уравнение Больцмана является в настоящее время основным инструментом теоретического анализа и численных расчетов самых разноплановых задач: от проблем нестационарного обтекания тела в газовой динамике и описания химически реагирующих смесей до теории ядерных реакторов и релятивистских квантовых газов.

Уравнение Больцмана — нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, и, как таковое, является очень сложным математическим объектом, аналитическое решение которого возможно только в простых частных случаях. Поэтому усилия математиков были сосредоточены на анализе свойств этого уравнения, важнейшим из которых является закон возрастания энтропии, и разработке различных приближенных методов его решения. К последним относятся и модификации уравнения Больцмана, упрощающие его математическую структуру, но сохраняющие свойства исходного уравнения и позволяющие получать явные решения. Это простейшая модель газа без столкновений (столкновительный член равен нулю), модель с линеаризованным столкновительным членом по малому отклонению функций распределения от локально-равновесного состояния, а также релаксационное приближение, использующее характерную частоту парных соударений частиц как параметр, определяющий скорость релаксации системы к равновесию.

Релаксационное приближение было предложено в 1954 г. в работе П. Бхатнагара, Е. Гросса и М. Крука [59] для линейной аппроксимации столкновительного члена в уравнении Больцмана, называемое теперь уравнением БГК. Как и исходное уравнение, оно является диссипативным, а метод его решения в виде ряда по степеням малого параметра приводит к уравнениям гидродинамики в форме Навье-Стокса.

Вследствие относительной простоты уравнение БГК приобрело большую практическую значимость как для проведения численных расчетов, так и для теоретического анализа, поскольку допускает широкий класс точных аналитических решений. Построению и исследованию точных решений уравнения БГК посвящено большое число публикаций. Обзор современного состояния в этой области содержится в работе А. Латышева и А. Юшканова [39]. Успешное применение классического уравнения БГК для слабонеравновесных гидродинамических задач, таких, как описание стационарного погранслоя или отыскание стационарного решения для функции распределения газа во внешнем поле, естественным образом привело к идее обобщения метода релаксационного приближения на случай равновесных распределений, отличных от максвелловского. В частности, интерес представляет релаксация к равновесным распределениям идеальных квантовых газов.

Как и в классическом случае, формальным основанием для изучения квантовых аналогов БГК-приближения должно быть соответствующее квантовое уравнение, описывающее бинарные столкновения. Такое кинетическое уравнение, обобщающее классическое уравнение Больцмана на случай нерелятивистских квантовых газов, было выведено Юлингом и Уленбеком в 1933 г. [80].

Задача о нахождении решений уравнения БГК для квантовых газов имеет теоретическую значимость и актуальность в связи с возросшим практическим значением микроэлектроники, требующей, в частности, умения решать граничные задачи для электронного газа в проводниках. Постановка и точное решение граничной задачи для кинетического уравнения представляет не только теоретическую, но и практическую важность, поскольку может быть применено к решению реальной физической задачи. Постановки граничных задач для ферми-газа изучались в работе А. Латышева и А. Юшканова [34]. Решения одной из таких задач для случая полностью диффузного отражения от границы и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы. Цель работы заключается в постановке граничной задачи для кинетического уравнения, описывающего квантовый ферми-газ, с условием полного диффузного отражения от стенки, и аналитическом решении соответствующей стационарной задачи для слабонеравновесного случая в релаксационном приближении Бхатнагара-Гросса-Крука.

Научная и практическая ценность работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений граничных задач для кинетических уравнений. Проведенное исследование имеет два аспекта: методологический и прикладной. Методологическая ценность работы состоит в переносе методики решения граничной задачи для классического кинетического уравнения Больцмана в БГК-приближении на квантовый случай, когда равновесное распределение отлично от максвелловского, и в обосновании предложенного метода ее решения с учетом ферми-статистики. Эта методика может быть полезна для решения модельных задач кинетической теории квантовых газов и жидкостей при низких температурах, теории электронного газа в металлах, теории переноса нейтронов в плотных средах (нейтронных звездах), а также в задачах теоретической астрофизики.

Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что найдено явное аналитическое решение для стационарной функции распределения газа в полупространстве в задаче о тепловом скольжении с диффузным отражением. Аналитическое решение позволило в явном виде определить физически важные параметры, характеризующие систему в целом: коэффициент скольжения, массовую скорость газа и другие функционалы от функции распределения.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с постановкой задачи и нахождения решения в явном виде.

В работе построено релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение квантовых ферми-газов в задаче о тепловом скольжении.

Для решения граничной задачи в диссертации обосновано применение анзаца Кейза, получено и решено уравнение на собственные функции и собственные значения соответствующего интегрального оператора в пространстве обобщенных функций.

В работе доказаны теоремы о факторизационных свойствах дисперсионной функции, с помощью которых доказана теорема о решении однородной краевой задачи Римана для рассматриваемого случая.

Как основной результат, в диссертации найдено явное аналитическое решение поставленной граничной задачи для функции распределения и определены физически значимые функционалы — коэффициент теплового скольжения и массовая скорость газа в полупространстве.

Проведен также анализ полученного решения, показывающий его правильную асимптотику в ряде предельных случаев - для классической задачи Максвелла о тепловом скольжении газа с постоянной частотой столкновения молекул и в случае, когда частота столкновений пропорциональна молекулярной скорости. В последнем случае дисперсионная функция задачи переходит в известную дисперсионную функцию плазмы.

Обзор предшествующих результатов. Рассматриваемые в диссертации задачи возникают при решении физических проблем. Динамика разреженного газа, большинство ранних исследований которой в начале прошлого века касались, в основном, либо течений с очень малой скоростью [49], либо различного рода «внутренних» течений (в трубах, соплах, насадках и т.д.), связанных с проблемами получения глубокого вакуума, претерпела в середине прошлого столетия свое второе рождение, что обусловлено было в первую очередь развитием сверхзвуковой высотной авиацией, созданием ракетно-космической техники, разработкой новых химических технологий. Этим объясняется и то пристальное внимание, которое привлекает к себе в настоящее время классическая кинетическая теория, созданная в XIX веке выдающимся австрийским физиком Людвигом Больцманом и подвергшаяся многими научными школами того времени критике [48].

Но исторической датой возникновения кинетической теории газов следует считать 1859 год, когда Максвелл на заседании Британской ассоциации содействия развитию науки прочитал свой доклад, в котором был впервые использован статистический подход к проблеме. В 1860 году в серии из двух работ [74] Максвелл опубликовал результаты исследований, в которых установил закон распределения скоростей молекул в смеси газов (так называемое максвелловское распределение по скоростям) и закон равнораспределение средней энергии молекул в смеси газов. Эти результаты были впоследствии (в 1967г.) уточнены и улучшены Максвеллом в работе [75], посвященной кинетической теории неоднородных газов. В ней Максвелл вывел уравнения переноса, определяющие полную скорость изменения любой средней величины, характеризующей то или иное молекулярное свойство.

В 1875 году Кундт и Варбург при исследовании движения разреженного газа по трубам экспериментально доказали, что в достаточно разреженном газе молекулы «скользят» вдоль стенок. Скорость скольжения (разность между скоростью газа, полученной линейной экстраполяцией на стенку хода кривой зависимости скорости газа от расстояния до стенки вне слоя Кнудсена и скоростью самой стенки) пропорциональна градиенту массовой скорости вне слоя Кнудсена. Коэффициент пропорциональности при этом называется коэффициентом изотермического скольжения. Кундт и Варбург нашли, что коэффициент изотермического скольжения оказался порядка длины свободного пробега молекул и обратно пропорционален давлению. Кундт и Варбург также ввели первыми допущение температурного скачка [72]. Это явление было впервые экспериментально обнаружено Смолуховским, который предложил два метода теоретического расчета скачка температуры.

Теоретический анализ теплового скольжения с использованием кинетической теории впервые был дан Максвеллом. Явление теплового скольжение газа вдоль поверхности состоит в возникновении движения газа вблизи неравномерно нагретой поверхности. В этом случае поток газа возникает в результате столкновений молекул с неравномерно нагретой стенкой в узком поверхностном слое Кнудсена. Впервые выражение для скорости теплового скольжения было получено Максвеллом в работе [76]. Анализ, проведенный Максвеллом, основывался на предположении, что распределение падающих молекул вблизи стенки не отличается от распределения в прилегающем объеме газа. В действительности же молекулы газа, перед тем как удариться о поверхность испытывают в среднем не менее одного соударения с молекулами, покидающими поверхность и имеющими (при полной аккомодации) нормальное максвелловское распределение скоростей, в отличие от того модифицированного распределения скоростей, которое характерно для объема газа при наличии градиента температуры.

Кинетическое уравнение, выведенное в 1872 году [7] австрийским физиком Людвигом Больцманом и носящее его имя, обладает громадным физическим содержанием и, как следствие, сложной математической структурой. При этом трудности, встречающиеся при решении задач кинетической теории газов, основывающиеся на этом уравнении, и появляющиеся при осмыслении границ его применимости, объясняются не столько его математической сложностью, сколько отсутствием до последнего времени полной ясности в физической сущности процессов, которые описываются этим уравнением. Дело в том, что [46], хотя с помощью кинетического уравнения Больцмана оказалось возможным дать определенное истолкование второго начала термодинамики и перенести вопрос о причине необратимости неравновесных явлений теплоты на атомно-молекулярный уровень, вслед за этим сразу же встал вопрос о том, как объяснить тот факт, что динамические (механические) вполне обратимые закономерности движения отдельных частиц газа приводят к необратимым следствиям, вытекающим из кинетического уравнения Больцмана. Предпринятые в наше время попытки таких широко известных ученых, как Н.Н.

Боголюбов, М. Борн, Дж. Кирквуд и др. отказаться от ряда допущений, сделанных самим Больцманом при выводе этого уравнения, и получить его, исходя из самых общих положений механики и статистики, содержат ряд новых допущений и предложений, которые в некоторых отношениях оказались не более обоснованными, чем допущения самого Людвига Больцмана.

Для решения кинетического уравнения Больцмана в первой половине прошлого века было предложено несколько различных методов и большое число их различных вариаций. В 1912 году последнюю главу своей работы по теории линейных интегральных уравнений Гильберта посвятил кинетической теории газов, вид в ней блестящее применение теории разрешимости интегральных уравнений. Гильберт в этой работе предложил метод последовательных приближений (обычный метод малого параметра), который позволил свести решение кинетического уравнения к решению рекуррентной системы линейных неоднородных интегральных уравнений. Он показал, что уравнение Больцмана эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для которого оказалось возможным построить строгую математическую теорию. Таким образом, Гильберт смог доказать существование и единственность решения и установить некоторые из его свойств.

Затем в 1917 году Энског в своей докторской диссертации [65] и независимо от него Чепмен в работе [64] предложили другой метод решения уравнения Больцмана, который является некоторой модификацией метода Гильберта и который позволяет вывести как уравнение Эйлера, так и уравнение Навье-Стокса. В методе Чепмена-Энского [20], малый параметр по которому ведется разложение, входит в решение более сложным, вообще говоря, не аналитическим образом, поэтому при одинаковом числе членов разложения, входит в решение, полученное по методу Чепмена-Энского [20] может оказаться более точным, чем то, что было получено с использованием метода Гильберта. Хотя имеются примеры и того [20], что уравнения, полученные по методу Чепмена— Энского, могут не иметь решения, в то время как метод Гильберта позволяет построить решение в любом приближении. Следует отметить [49], что метод, предложенный Чепменом и Энскогом, не только позволил обоснованно вывести уравнение Эйлера и Навье-Стокса и их аналогов для релаксирующих сред, но и дал возможность установить область их применимости, снабдив их правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами переноса.

Как уже не раз отмечалось, основная трудность, возникающая при решении задач аэродинамики разреженных газов с использованием кинетического уравнения Больцмана, заключается в сложности самого этого уравнения, в особенности интеграла столкновений, стоящего в его правой части. Поэтому [11], начиная с 60х гг. XX века стал развиваться новый подход к исследованию уравнения Больцмана, суть которого состоит в следующем: используя определенные закономерности столкновений молекул, проводят упрощение правой, интегральной части уравнения Больцмана, а полученное таким образом уравнение рассматривается как его «модель», которая, сохраняя основные качественные особенности исходного уравнения, является в тоже время значительно более простым выражением.

Идея, лежащая в основе такой замены, состоит в том, что [54] многие детали взаимодействия двух тел, которые содержатся в интеграле столкновений, вряд ли существенно влияют на значение многих измеряемых в эксперименте величин. Иначе говоря, если речь идет не об очень детальных экспериментах, то можно не учитывать тонкую структуру оператора столкновений Больцмана, а ограничимся более грубым описанием, основанном на использовании более простого оператора, сохраняющего только качественные, средние свойства истинного оператора столкновений.

В определенном смысле, [50] интеграл столкновений Больцмана сам по себе может рассматриваться как статистическая модель, поскольку он включает в себя гипотезу молекулярного хаоса. Однако в интеграле Больцмана детально трактуется геометрия каждого бинарного молекулярного столкновения. Обсуждая ценность статистических моделей (термин «статистическая модель» был специально введен Холвеем [50] для обозначения таких моделей), можно прийти к заключению, что важные свойства оператора соударения может быть описаны путем статистического осреднения по всем соударениям. ,

Существует несколько причин, способствующих дальнейшему изучению модельных кинетических уравнений. Первое и значительное свойство модельных кинетических уравнений заключается в их относительной простоте [58]. Вторая причина лежит в строении самого уравнения Больцмана. Знание о дифференциальном сечении столкновения для описания взаимодействия сталкивающихся молекул требует некоторой дополнительной информации. Для многих типов взаимодействий такую информацию получить достаточно сложно. Часто выбираемый путь в этом случае состоит в допущении ряда предположений относительно деталей процесса столкновений, которые в большей степени обеспечивают максимальное упрощение, чем повышение точности. Так численные результаты в большинстве случаев могли быть получены лишь для модели, рассматривающей взаимодействующие частицы как твердые упругие сферы, не оказывающие силового воздействия на другие молекулы до тех пор, пока не произойдет столкновение, или для модели, рассматривающей молекулы как центры силового поля, причем сила взаимодействия предполагалась обратно пропорциональной пятой степени расстояния между ними (для так называемых максвелловских молекул). При этом определенные параметры [50] фиксируются посредством такого их выбора, при котором теоритически вычисляемые макроскопические величины согласуются с экспериментально найденными значениями.

Сама по себе идея замены больцмановского оператора столкновений более простым выражение не нова. Она заключается, как это уже отмечалось выше, [15] в замене интеграла столкновений Больцмана более простым выражением, которое тем не менее сохраняет число частиц, оставляет постоянным количество движения и энергии и ведет к необратимому поведению. Причем, это справедливо не только для одноатомных газов, но также и для газов, чьи молекулы имеют внутренние степени свободы [69]. Правомерность такой замены при отсутствии точного решения кинетического уравнения определяется совпадение теоретических и экспериментальных результатов.

Первая из статистических моделей уравнения Больцмана была предложена независимо друг от друга в работах [59], [79]. Соображения, которые привели к этой модели весьма просты [56]. А именно, поскольку больцмановский оператор столкновений представляет собой скорость стремления функции распределения к равновесной максвелловской, то можно попытаться в общих чертах представить эту скорость в виде отношения разности действительной функции и равновесной к некоторому характерному времени затухания начальных возмущений в однородном газе. В результате получается следующее модельное кинетическое уравнение: dt т где / - локально равновесная максвелловская функция распределения. В литературе его называют моделью БГК (Бхантагар, Гросс, Крук), БКВ -уравнением (Больцман, Крук, Веландер) или просто релаксационным кинетическим уравнением.

С тех пор как она была предложена в 1954 году, БГК-модель была использована для анализа многих проблем кинетической теории газа и плазмы. Различные свойства и достоинства этой модели обсуждаются в работах ([59], [79], [15]).

История точных решений модельных кинетических уравнений начинается с 1960 года, когда Кейз в работе [60] ввел в рассмотрение метод решения уравнений переноса, состоящий в разложении решения по дискретным и сингулярным обобщенным собственным функциям соответствующего оператора переноса и нахождении коэффициентов этого разложения с помощью техники сингулярных интегральных уравнений. Этот метод стал источником точных решений, получаемых аналитически в замкнутой форме. Работа Кейза в дальнейшем послужила основой для разработки данного метода в других областях физики.

Так в 1962 году Черчиньяни в работе [61] разработал метод Кейза применительно к задачам кинетической теории, в частности, к задаче о сдвиговом течении разреженного газа при постоянной температуре (задача Крамерса). При этом, на основе аналитического решения уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК модели, была получена точная формула для вычисления коэффициента изотермического скольжения газа вдоль плоской твердой поверхности. В работе [61] Черчиньяни решил задачу Крамерса с учетом аккомодации молекул, в [63] рассмотрел нестационарный случай и в [62] выяснил зависимость коэффициента скольжения от частоты столкновений. В последствии были получены точные решения уравнения Больцмана с более сложным оператором столкновений, чем БГК - модель ([23], [37], [38], [39]).

В работах ([66] - [68]) Э. Фриш предложила свой метод, названный ею методом интеграла Коши, для решения в замкнутой форме уравнений переноса и показала, что решения, полученные ее методом, можно преобразовать в решения, полученные с помощью метода краевых задач.

Значительный вклад в метод Кейза внес Латышев А.В., в работе [24] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК или эллипсоидально-статистической - модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана-Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного (ТФКП) ([12], [13], [45]). В работе Латышева А.В. и Юшканова А.А. [73] впервые был применен метод разложения решения по сингулярным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах ([25] - [32]). Далее в работах Латышева А.В. и Юшканова А.А. [33] появляется новый метод решения граничных задач для кинетических уравнений, который они назвали методом аппроксимационных функций.

Для решения кинетических уравнений применяется, также операторный подход, который изложен в [44]. Но одним из основных методов математической физики является метод решения граничных задач по собственным функциям [1].

Уравнение Больцмана до сих пор остается основой кинетической теории газов и оказывается плодотворным не только для исследования классических газов, которые имел в виду Больцман, но - при соответствующем обобщении — и для изучения переноса электронов в твердых телах и плазме, переноса нейтронов в ядерных реакторах, переноса фононов в сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в атмосферах звезд и планет.

Круг вопросов рассматриваемых в диссертации связан с выводом кинетического уравнения для квантового ферми-газа из обобщенного уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК-модели на случай квантового ферми—газа, а затем и с построением аналитического решения граничной задачи Максвелла о тепловом скольжении для ферми-газа.

Применение теплового скольжения в вопросах фотофореза и термодиффузнофореза аэрозольных частиц рассматривалось Н.В. Малаем [40], Н.В. Малаем, М.А. Аматовым, А.А. Плесканевым [42]. Вопросы влияния внутреннего тепловыделения на движение частиц изучались в работах [41], [43].

Квантовые ферми—газы изучались главным образом в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах (см., например, [16], [19]). Квантовые бозе-газы рассматривались при исследовании кинетики фононов, магнонов и экситонов в конденсированных средах [19].

Однако и электроны в твердых телах, и фононы относятся к квазичастицам, чье поведение отличается от поведения свободных частиц, а электроны, кроме того, обладают зарядом, так что в этом случае мы имеем дело с кинетикой плазмы.

В последние годы интерес к исследованию квантовых газов возобновился с открытием в 1986 году явления высокотемпературной сверхпроводимости с единой точки зрения, на механизм которой в настоящее время не существует [78]. Один из возможных подходов к построению модели явления основан на рассмотрении статистики Бозе низкой плотности. Интерес представляет изучение возможности перехода этой системы в состояние бозе—конденсата [57] и ее свойств в этом состоянии [70]. В работе [64] рассматривается возможность бозе-конденсации газа экситонов в полупроводниках.

Численное решение бозе-газов начали рассматривать несколько десятков лет назад. Например, в работах [51], [52], [53] найдены решения с бесконечной плотностью в некотором диапазоне показателей степени начальной энтропии (температуры) для вырожденного газа, подчиняющегося квантовой статистике Бозе -Эйнштейна вблизи абсолютного нуля температуры. В работе [70] рассматриваются перспективы бозе-конденсата.

В настоящее время теоретический интерес представляет изучение влияния квантовых эффектов на кинетические процессы в нейтральных газах. Наибольшее влияние эти эффекты должны оказывать на поведение легких газов, таких как гелий и водород. Отметим некоторые работы. Так в работе [36] рассмотрено модельное кинетическое уравнение для безмассового бозе-газа и построено его аналитическое решение в задаче о скачке температуры. В работе [35] рассмотрено релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение бозе-газов и полупространственная задача Крамерса об изотермическом скольжении. В работе [34] рассмотрено релаксационное кинетическое уравнение, описывающее поведение ферми—газов и полупространственная задача Крамерса об изотермическом скольжении. В работе [3] найдена зависимость химического потенциала фермионного газа от термодинамических переменных для широкой области их изменения. Работы [4], [10] посвящены термодинамике квантовых идеальных бозе— и ферми— газов в магнитном поле. Изложена методика получения в общем виде асимптотических разложений термодинамического потенциала этих систем.

Содержание работы по главам. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения.

Заключение

Настоящая диссертация посвящена выводу уравнения, описывающего поведение квантового ферми-газа и точному решению задачи Максвелла о тепловом скольжении.

В первой главе приводится уравнение Больцмана, введены основные характеристики газа. Далее строится кинетическое уравнение для квантовых газов, на основании релаксационного кинетического уравнения, путем его линеаризации. Формулируется задача Максвелла о тепловом скольжении для квантового ферми-газа вдоль плоской поверхности. Основная идея состоит в замене локально-равновесной функции Максвелла-Больцмана на локально-равновесную функцию Ферми-Дирака. Квантовый характер уравнения приводит к построению целого однопараметрического семейства уравнений переноса. Параметром семейства служит величина а - отношение химического потенциала к произведению постоянной Больцмана на абсолютную температуру. Построенное семейство уравнений в предельном случае при а —> - оо содержит классическое БГК - уравнение для одноатомного газа с постоянной частотой столкновений.

Во второй половине работы — глава 2 - рассмотрена задача о тепловом скольжении для ферми-газа. Она решена методом разложения решения по сингулярным обобщенным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса, который разработали Латышев А.В. и Юшканов А.А. на основе метода Кейза.

Аналитическое решение задачи по данному методу состоит из следующих основных моментов: • с помощью анзаца Кейза хЛ у/ О, ju,a) = ехр--Ф(77,//, а)

I Л) выводится характеристическое уравнение или уравнение на собственные значения для уравнения (1.7),

• отыскивается структура спектра собственных значений характеристического уравнения, и находятся собственные функции дискретного и непрерывного спектров, изучаются свойства дисперсионной функции,

• решение уравнения (1.7) ищется в виде разложения по собственным сингулярным обобщенным функциям соответствующего характеристического уравнения, что приводит к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши,

• последнее сводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного,

• сначала решается соответствующая однородная краевая задача, Х-функция - решение краевой задачи. Для Х-функции выводятся необходимые в дальнейшем интегральные представления, доказывается факторизация дисперсионной функции. Затем решается неоднородная краевая задача. Решение последней находится в классе мероморфных функций. Причем коэффициенты, отвечающие непрерывному спектру, находятся из формул Сохоцкого, а коэффициенты дискретного спектра - из условий разрешимости краевой задачи.

В конце главы строится профиль массовой скорости в полупространстве и в явном виде строится функция распределения.

Проведен численный анализ полученного решения.

В заключение, хочется выразить искреннюю благодарность Латышеву А. В. за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

1. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М.: ИВМ РАН. 2001. 400с.

2. Арсеньев А.А. Лекции по кинетической теории.—М.:Наука, 1992.

3. Багров В.Г., Вшивцев А.С., Николаев А.В., Халилов В.Р. Химический потенциал фермионного газа в магнитном поле. — Препринт № 19. Изд. Томского научного центра СО АНСССР. Томск, 1990.

4. Багров В.Г., Вшивцев А.С., Николаев А.В., Перес-Фернандес В.К. Термодинамические и эффективные потенциалы квантовых бозе-и ферми-систем в абелевом и неабелевом магнитном поле. — Препринт № 8. Изд. Томского научного центра СО АНСССР. Томск, 1988.

5. Бобылев А.В. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1987. - 253с.

6. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956.

7. Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука, 1984. - 590с.

8. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Ландау. — М.: Физматлит, 2001.

9. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 2000.- 280с.

10. Вшивцев А.С., Николаев А.В., Халилов В.Р. Термодинамика скалярных и ферми-частиц в сильном магнитном поле. Ред. ж. «Известия вузов, Физика», Томск, 1990, деп. в ВИНИТИ, per. № 3329 В90 от 19 июня 1990.

11. П.Галкин B.C. О пределах применимости релаксационной моделиуравнения Больцмана// Инж. журнал, 1961. Т.1. вып. 3. 12. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1997. - 640с.

12. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 269с.

13. Гермогенова Т.А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса. ИПМатем. Препринт №.103. 1976.-55с.

14. Гросс Е.П., Джексон Е.А. Кинетические модели и кинетическое уравнение Больцмана. В сб.: «Механика». //М.:ИЛ. вып.6. 1967.

15. Займан Дж. Электроны и фотоны. ИЛ, 1962. — 488с.

16. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат,1975. 288с.

17. Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. -384с.

18. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел.М.:Наука,1967.- 792с

19. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. -М.: Наука, 1967. 440с.

20. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функции комплексного переменного. -М.: Наука, 1973. 736с.

21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука,1976. 584с.

22. Латышев А.В. Аналитические аспекты решения модельных кинетических уравнений // ТМФ. 1990. Т.85. № 3. С. 428-441.

23. Латышев А.В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о тепловом скачке// ПММ. 1990. т.54. выпуск 4. С. 581-586.

24. Латышев А.В. Аналитическое решение задач скольжения бинарного газа. ТМФ. 1991. Т.86. № 3. С. 402-419.

25. Латышев А.В. Аналитическое решение задачи о тепловом скольжении для умеренно плотного газа.// Матем. моделирование. 1994. Т.6. № И. С. 41-48.

26. Латышев А.В. Юшканов А.А. Теория и точные решения задач скольжения бинарного газа вдоль плоской поверхности. ЖВММФ. 1991. Т.31. № 8. С. 1201-1210.

27. Латышев А.В. Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи Крамерса для плотного газа//Поверхность. 1994. № 6. С.45 51.

28. Латышев А.В. Юшканов А.А. Аналитическое решение неоднородных линейных кинетических уравнений в задаче теплового скольжения 2-го порядка//Матем. моделирование. 1992. Т.4. №4. С. 55-62.

29. Латышев А.В. Юшканов А.А. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу// Письма в журнал технической физики. 1997. Т.23.№14.С. 13-16.

30. Латышев А.В. Юшканов А.А. Аналитическое решение задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения // Письма в ЖВФ. 2000. Т. 26. Вып. 23. № 1. С. 16 23.

31. Латышев А.В. Юшканов А.А. Аккомодационные двухмоментные граничные условия в задачах о тепловом и изотермическом скольжении// Инж. физ. ж. 2001. Т. 74. № 3. С.63 - 69.

32. Латышев А.В. Юшканов А.А. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений//ЖВММФ. 2004. Т. 44. № 6. С. 1107 -1118.

33. Латышев А.В. Юшканов А.А. Граничные задачи для квантового ферми-газа// ТМФ. 2001. Т.129. № 3. С. 491-502.

34. Латышев А.В. Юшканов А.А. Граничные задачи для квантового бозе-газа//Известия вузов. Сер. Физика. 2002.№6. С. 51-56.

35. Латышев А.В. Юшканов А.А. Построение модельного уравнения переноса безмассового бозе—газа и его точное решение// ТМФ. 1997. Т. 111. № 3. С. 462-472.

36. Латышев А.В. Юшканов А.А. Точные решения граничных задач для молекулярных газов. Монография. — Отдел теоретических проблем РАН. Деп. в ВИНИТИ 4.06.1998 г., №1725-В98. 186с.

37. Латышев А.В. Юшканов А.А. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. М.: МГОУ. 2004. -286с.

38. Латышев А.В. Юшканов А.А. Кинетическое уравнение типа Вильямса и их точные решения// М.: МГОУ. 2005. 273с.

39. Малай Н.В. Фотофоретическое и термодиффузнофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц // Инж.-физ. ж. 1988. Т.54. №4. С. 628-634.

40. Малай Н.В. Обтекание неравномерно нагретой капли потоком жидкости при произвольных перепадах температуры в ее окрестности// Инж.-физ. ж. 2000. Т.73. №4. С. 1 — 11.

41. Малай Н.В., Аматов М.А., Плесканев А.А. К вопросу о фотофорезе в жидкости // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. №9. С. 42 47.

42. Малай Н.В., Плесканев А.А., Щукин Е.Р. К вопросу о влиянии внутреннего тепловыделения на движение нагретой твердой частицы в вязкой жидкости // ЖТФ. 2006. Т.76. №3. С. 25 29.

43. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука. 1993. 224с.

44. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.- 512с.

45. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию. — М.: Наука, 1971.-332с.

46. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. -М.: Высш. шк. 1991. 207с.

47. Струминский В.В. Единая кинетическая теория неоднородных газов. // Докл. АН СССР. 1993. т. 330. №5

48. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976.

49. Холвей JI. Новые статистические модели в кинетической теории: методы конструкций. В сб.:«Механика»//М.:ИЛ. вып.6. 1967.

50. Цурков В.И. Мажорантная катастрофа газодинамических уравнений Эйлера для бозонов.-М.:Наука,Физматлит. 1997.-90с

51. Цурков В.И. Свойства решений газодинамических уравнений Эйлера для бозонов при цилиндрической и сферической симметрии//ЖВММФ. 1998. Т. 38.

52. Цурков В.И. Об одном автомодельном решении уравнений газодинамики//ЖВММФ. 1971. Т. 11. вып. 4. С.1064- 1069.

53. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. - 245с.

54. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.-495с.

55. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. -М.: Наука, 1974.

56. Alexandrov A.S. Bose-Einstein condensation of charged bosons in a magnetic field. Phys. Rev. В., 1993.V.48. № 14. pp.10571-10574.

57. Anderson D.G.M., Baum H., Krook M. The current status of statistical models in kinetic theory // Rarefied gas dynamics, New York Academic Press, 1969. v.l.

58. Bhatnagar P.L., Gross E.M., Krook M. Modelfor collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems// Phys. Rev. 1954. V.94.P.511-525.

59. Case К. M. Elementary solutions of the transport equations and thir applications// Ann. Phys. V.9. № 1. 1960. P. 1-23.

60. Cercignani С. Elementary solutions of the linearized gas-dinamics Boltzmann equation and their applications to the slip-flow problem// Ann. Phys.(USA) 1962. V. 20. № 2. P. 219-233.

61. Cercignani C. The method of elementary solutions for kinetic models with velocity-dependent collision frequency//Ann. Phys. 1966. V. 40. P.469-481.

62. Cercignani C. Sernagiotto F. The method of elementary solutions for time-dependent problems in linearized kinetic theory// Ann. Phys. 1964. V. 30. P.154-167.

63. Chapman S. On the kinetic theory of a gas; Part 2, A composite monatomic gas, diffusion viscosity and thermal conduction// Phil. Trans. Roy. Sos. London, 1917. v.217. p. 118.

64. Enskog D. Kinetische Theorie der Vorgange in massing verdunnten Gasen. Diss. Uppsala, 1917.

65. Frish H. A Couchy Integral Equation Method for Analytic Solutions of Half-Space Convolution Equations.// J. Quat. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1988. v.39. № 2. pp. 149 162.

66. Frish H. Analytical solutions of the velocity-slip and diffusion-slip problems by a Couchy integral method.// Transp. Theory and statist. Phys., 1988. v. 17. №№ 5-6. pp. 615 633.

67. Frish H. Analytical solutions of the slip-flow problem by a Couchy integral method.//J.Quat.Spectrosc. Radiat. Transfer, 1988.

68. Giddens D.P., Huang A.B., Young V.Y.C. Evaluation of two statistical models using the shock structure problem. // Phys. Fluids, 1971. v.14. № 12.

69. Keith Burnett An intimate gathering of bosons. SCIENCE. V.269, 14 July. 1995. pp. 182- 183.

70. Korolev A.V., Liberman M.A. Bose condensation and super fluidity of excisions in a high magnetic field. Phys. Rev. B. 1994. v.50. № 19. pp.14077 14089.

71. Kundt A., Warburg E. // Pogg. Ann. 1857. v.156. p.177.

72. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Boundary value problems for a model Boltzmann equation with frequency proportional to the molecule velocity// Fluid Dynamics.- 1996.-V.31.-№> 3. -p.454-466.

73. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases// Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1867.

74. Maxwell J.C. On stress in rarefied gases, arising from inequalities of temperature//Phis. Trans. Roy. Soc. 1879. v. 170. pp. 231 -256.

75. Samarchenko D.A. Spectrum of a charged Bose gas in a quantizing magnetic field. JETP Letters, 1994. v.60. № 4. pp. 263 269.

76. Tinkham M. Introduction to super conductivity. New York, McGraw Hill. 1996.

77. Welander P. On the temperature jump in rarefied gas// Arkiv for Fysik. 1954. Bd. 7. № 44. P. 507-564.

78. Uehling E., Uhlenbeck G. Phys. Rev., 1933, v.43, p.552.

79. Список работ по теме диссертации

80. Латышев А.В., Любимова Н.Н., Юшканов А.А. Тепловое скольжение ферми-газа // «Известия вузов, Физика». Томск. 2006. №7. С. 11 17.

81. Любимова Н.Н. К теории теплового скольжения квантового бозе— газа // Электронный журнал «Исследовано в России» 173, М: МФТИ, стр. 1612 1621, 2006. http://zhurnal.ape.relarn.ru./ articles/ 2006/ 173.pdf.

82. Любимова Н.Н. К теории решения граничных задач для квантовых газов //Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. Вып. 11.- Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2006. с. 357-362.

83. Любимова Н.Н. Аналитическое решение граничной задачи Максвелла о тепловом скольжении для квантовых ферми-газов // Современные методы краевых задач: Материалы Воронежской весенней школы «Понтрягинские чтения — XVII». — Воронеж. 2006.-С.110.

84. Латышев А.В., Любимова Н.Н., Юшканов А.А. К теории теплового скольжения ферми-газа // Сборник научных трудов «Фундаментальные физико-математические проблемы и .». М.: Изд. ИММ РАН + «Станкин». вып. 9. 2006. с. 74 - 79.

85. Латышев А.В., Любимова Н.Н., Юшканов А.А. Граничная задача о тепловом скольжении ферми-газа // Сборник научных трудов, посвященный 100-летию со дня рождения Д. А. Райкова «Некоторые вопросы математики, информатики . М.: МПГУ.2006. с. 114- 123.

86. Lyubimova N.N., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Thermal slip of Fermi gases//Russian Physics Journal, http://dx.doi.org/10.1007/sl 1 82-006-0163-0.

87. Любимова H.H. Решение задачи о тепловом скольжении ферми-газа с диффузным отражением // Вестник МГОУ. Серия «Физика-Математика». №2 М.: МГОУ, 2007 с Л 6-22.

88. Любимова Н.Н. Решение задачи Максвелла о тепловом скольжении квантового ферми—газа// Динамика линейных и нелинейных систем: Труды Института системного анализа РАН. Т.25(2) М.: КомКнига, 2006. - с.74-79.

89. Любимова Н.Н. Точное решение граничной задачи о тепловомскольжении для квантового ферми-газа//«Доклады Академии Наук». 2008. т. 422. №4. С. 463 465.