Граничные задачи для бозе-газа в полупространстве и канале тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Бедрикова Екатерина Алексеевна

Граничные задачи для бозе-газа в полупространстве и канале

Специальность 01.04.02 -«Теоретическая физика»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

28 0КТ 2015

Москва —2015

005563859

005563859

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждение высшего профессионального образования Московском государственном областном университете на кафедре математического анализа и геометрии физико-математического факультета.

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор Латышев Анатолий Васильевич.

Потапенко Ирина Федоровна, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела №6 Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук.

Гурченков Анатолий Андреевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела сложных систем Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» Российской академии наук.

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технологический университет СТАНКИН.

Защита состоится « /У» effiuaSpjt 20_¿$" г. в ч. рр м. на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 по физико-математическим наукам на базе Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московского государственного областного университета по адресу: 105005, Москва, ул. Радио д. 10а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ по адресу: 105005, Москва, ул. Радио д. 10а, а также на сайте: http://mgou.ru

Электронная версия автореферата размещена на официальном сайте МГОУ www.mgou.ru и сайте ВАК Минобрнауки РФ http://www.vak2.ed.gov.ru

Автореферат разослан »

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.155.07,

кандидат физико-математических наук, доцент Н.Н. Барабанова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность работы. Кинетические явления в газах изучаются давно, еще со времен Больцмапа и Максвелла. Много работ посвящено поведению классических газов. Однако, в последнее время, все больше появляется интерес к изучению поведения квантовых газов. Наиболее рассматриваемыми квантовыми газами является третий и четвертый изотопы гелия, то есть Не3 и Не4. Не3 является газом Ферми, а Не4-газом Бозе.

В настоящей работе исследуется поведение газа Бозе в полупространстве над плоской поверхностью и в канале. Бозе-газ обладает уникальными квантовыми свойствами. Гелий-4 при температуре 2.17 К (-271С0) обладает сверхтекучестью. Это необычное свойство гелия было открыто советским ученым П.Л. Капицей в 1938 году. Явление сверхтекучести широко применяется в технике, например, для создания более чувствительных гироскопов.

Физики из калифорнийского университета в Беркли Р.Паккард и Э.Хоскинсон обнаружили еще одно необычное свойство сверхтекучего гелия-4 - квантовый свист. При прохождении через крохотные отверстия, диаметром не больше нескольких десятков нанометров Не4 вибрирует. Это свойство в будущем позволит создать сенсоры вращения высокой чувствительности, которые необходимы в сейсмологии и навигации.

Смесь Не3 и Не4 используется для получения сверхнизких температур и применяется при проведении физических экспериментов.

Бозе газ подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, которая описывает распределение частиц с целым спином, так называемых бозонов. К бозонам можно отнести не только Не4, но и атомы а также фотоны и фононы.

Цели и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение математических моделей, которые позволяют исследовать поведение газа Бозе над плоской поверхностью и в канале. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

-вывод кинетического уравнения и формулировка граничных условий, -нахождение функции распределения газа,

- с помощью полученного аналитического решения нахождение макропараметров газа (массовой скорости газа, скачка химпотенциала при испарении газа, потока массы, тепла и силы вязкого трения газа в канале),

- анализ результатов и сравнение с ранее известными результатами исследований.

Предметом исследования является решение задач с граничными условиями, которые описывают поведение газа в полупространстве и в канале.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту.

Найдено аналитическое решение задачи об изотермическом скольжении квантового газа Бозе с диффузно-зеркальными граничными условиями в случае постоянной частоты столкновения молекул.

Выведена формула скорости изотермического скольжения и построен профиль скорости газа Бозе.

Найдено аналитическое решение задачи об испарении с плоской поверхности газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул.

Получены формулы для скачка и профиля химпотенциала газа Бозе, а также формулы для скачка и профиля концентрации газа.

Найдено решение задачи Куэтта для газа Бозе с почти зеркальными граничными условиями. На основе полученной функции распределения, рассчитаны макропараметры газа Бозе в канале и дан их полный анализ.

Достоверность результатов исследования. Результаты, полученные в диссертации полностью достоверны, так как построенные математические модели соответствуют классическим представлениям в теоретической физике, используются апробированные методы теории краевых задач и теории функций комплексного переменного, а также полученные результаты в предельном переходе сравниваются с ранее полученными результатами для классических газов и с экспериментальными данными.

Практическая значимость результатов исследования. Можно рассмотреть два аспекта применения результатов исследования - это практический и методологический.

Полученные результаты находят применение в криогенной технике, в навигации, в авиации и космических исследованиях.

Результаты исследований, проводимые в настоящей работе, могут быть применены для вычисления так называемого сопротивления Капицы, а также для постановки граничных условий на стенке для уравнения Навье-Стокса. Скорость скольжения, определяемая в первой главе настоящей работы, необходима для постановки граничных условий уравнения Навье-Стокса.

Методологическая значимость работы заключается в переносе методики решения задач с граничными условиями для классических газов на квантовые газы, в частности на газ Бозе. Таким образом, расширяется область применения методики решения и показывается, что ранее полученные методы решения применимы не только для классических газов, но и для квантовых. Апробация работы.

Результаты настоящей работы докладывались на следующих конференциях:

1. Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2013. Москва, 30 января - 4 февраля 2013г.

2. Конференция МГОУ посвященная профессору Юрию Ивановичу Яламову «Физика конденсированных сред и дисперсных систем». Москва 2013г, 2014г.

3. Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2014. Москва, 30 января - 4 февраля 2014г.

4. VII Международной научно-практической конференции, «Наука и образование -2014». Мюнхен, Германия, 27-28 июня 2014г.

5. Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2015. Москва, 16февраля - 21 февраля 2015г.

6. Международная конференция МГОУ «Физические свойства материалов и дисперсных сред для элементов информационных систем, паноэлектронных приборов и экологичных технологий». Москва, 12-24 апреля 2015г. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список которых

приведен в конце автореферата. Из них б статей опубликованы в журналах, входящих в перечень высшей аттестационной комиссии.

Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи и взаимное обсуждение принадлежит авторам в равных долях. В диссертацию включены результаты, которые получены соискателем самостоятельно.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 107 страниц, в том числе' 13 рисунков и 3 таблицы. Список литературы состоит из 109 наименований, включая работы диссертанта по теме исследования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертации, сформулированы цель и задачи, научная новизна и положения, выносимые на защиту, указывается практическая значимость результатов исследования.

В первой главе исследуется изотермическое скольжение газа Бозе вдоль плоской поверхности.

Рассматривается плоская твердая неподвижная стенка, над которой в полупространстве х>0 находится газ Бозе. Задана декартова система координат с осью Ох, которая перпендикулярна плоскости Оуг. Плоскость Оуг совпадает со стенкой, поэтому начало координат находится на стенке.

Газ Бозе с массовой скоростью иу(х) движется вдоль оси Оу. Вдали от

неподвижной стенки дан постоянный градиент массовой скорости газа gv:

' с1иу{х)л

£у

с1х

Следовательно, профиль массовой скорости вдали от стенки может быть представлен следующим образом (рисунок 1):

Наличие градиента массовой скорости вызывает движение газа Бозе вдоль поверхности, которое называется изотермическим. Величина их1 называется скоростью изотермического скольжения и является фиксированной, ыу(0)- истинная скорость газа непосредственно у стенки.

Рисунок 1 - Зависимость массовой скорости газа от координаты При малых значениях градиента gy скорость скольжения щ, задается формулой:

где 1 является средней длиной свободного пробега молекул, К^ — коэффициентом изотермического скольжения.

Величина К„ определяется кинетическими процессами вблизи поверхности. Для нахождения Кч надо решить кинетическое уравнение в слое Кнудсена.

Зная скорость изотермического скольжения, можно построить граничное условие на стенке для уравнения Навье-Стокса. В качестве такого условия берется величина иг

определяемая формулой:

"г = + г»' •

Используя БГК-уравнение (Бхатнагар-Гросс-Крук), построим кинетическое уравнение:

M — + \KB(n\a)h{xx,!S)dfi', (I)

где Wa)-^-^-^», /»Л Jlna-eKa-C'))«.

Здесь С = V/?v - безразмерную скорость, /? = m/(2kT), a = ///W - безразмерный химпотенциал и л:, = xvV^ - безразмерная координата.

Далее формулируются граничные условия на плоской стенке:

й(0„ц) = (1-9)й(0,-/у), ju>0, (2)

где 0 < q < 1, q - коэффициент диффузности, то есть часть молекул, которая рассеивается границей диффузно, а (1 — <7) - часть молекул, которая рассеивается зеркально. Вдали от стенки: h(xl,/u) = 2Usl(a) + 2G4(xl-//), *,->+оэ. (3)

Таким образом, задача Крамерса задана полностью и заключается в решении уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3).

Решать задачу будем модифицированным методом источника. Для этого функцию распределения продолжим симметричным образом на сопряженное полупространство:

fit, х, v) = f(t-x- \x,vy,v!). Здесь так же сформулируем задачу Крамерса. Далее функцию h(x, fj) представим в виде:

h{x,/л) = й*(х,/i) + hc(x,u), если ±х>0, ГД<= h%{x,n) = 2Uil(q,a)±2Gv(x-ft), если ±*>0,

так называемая функция распределения Чепмепа-Энского, которая является решением кинетического уравнения (1). Здесь Ud(q,a) - искомая безразмерная скорость

изотермического скольжения, hc(x,fi) - функция распределения, отвечающая непрерывному спектру.

Граничные условия на стенке для функции hc(x,/j) будут иметь вид:

= + (1 - ч)К ("О, ц), М> 0, (4)

hc(.-0,M) = h-(/u) + (l-q)hc(+Q,fl), М<0, (5)

где h*(M) = -2qUd(q,a) + 2(2 - q)G,\n\. Включим граничные условия (4) и (5) в кинетическое уравнение:

&Г + hc(X'M) = + -#с(±0,//)]£(*), (б)

где функция Uc{x) является частью массовой скорости, которая отвечает непрерывному спектру, S(x) - дельта функция Дирака.

Кинетическое уравнение (б) решается во втором и четвертом квадрантах фазовой плоскости, как линейное дифференциальное уравнение первого порядка, считая известной массовую скорость газа Uc{x). Из полученных решений находятся граничные значения неизвестной функции И%х,/л) при * = 0.

Далее неизвестная функция hc(x,/j), а также неизвестная массовая скорость Uc(х) и дельта функция Дирака, раскладывается в интегралы Фурье:

^ —СО ^ -оо ^^ -СО

6

где Ф(к,ц) - спектральная плотность функции распределения, Е(к) - спектральная плотность массовой скорости.

Подставляя интегралы Фурье в кинетическое уравнение, приходим к характеристической системе уравнений.

1 + гкц 1 + \кц л ^ 1 + А:, ц

СО

Е(к) = $Ка(1,аЖк,1)Л.

-«о

Исключая из этой системы спектральную плотность Ф(к,/г) и функцию Ис{х,/Л), получаем интегральное уравнение Фредгольма 2-ого рода:

Е(к)Цк)^-2ди,1(д,а)Т1(к) + 2(2-д)ОуТ2(к)-^-"^(к,к,)Е(к^,

где

Ж-к) 2Т tK^dt Тдл 2"гrKB«,cc)dt „=01234

Считая градиент массовой скорости заданным, раскладываем неизвестную скорость скольжения, а также спектральные плотности массовой скорости и функции распределения в ряды по степеням коэффициента диффузности q:

Е(к) = Gv2(2- $)[£„(*) + qEx(k) + д2Е2(к) + ...j, Ф(к,/1) = в, 2(2 - 9)[ф0 (к, ц) + дФ,(к,ц) + д1Фг{к,ц) + ..\. Скорость скольжения Us,(q,a) будем искать в виде:

Usl(q,a)=G^[ua +дЦ +g2U2 +...+g"U„ +...].

q

В результате получаем счетную систему рекуррентных уравнений на коэффициенты рядов для спектральных плотностей. При этом все уравнения на коэффициенты спектральной плотности массовой скорости имеют особенности (полюс второго порядка в нуле). Исключая эти особенности последовательно, строим все члены ряда для скорости скольжения, а также для спектральных плотностей массовой скорости и функции распределения.

Таким образом, находим аналитическое решение исходного уравнения с граничными условиями в нулевом, первом, втором и так далее n-ом приближении.

Выпишем л-ые приближения U„, Еп(к) и <р„{к), выраженные через Е0(к)=~^~:

" л-" 0J 0J тт2(к,)..т2(кп)

n 0 0 12\lcl)—12\Kn)

где

Сравним скорость скольжения газа в нулевом, первом и во втором приближении при 9 = 1с точным значением. Рассмотрим случай газа Бозе, близкого к классическому газу (при а -со), и случай диффузного отражения частиц газа от плоской поверхности.

Точное значение скорости скольжения для диффузного отражения частиц газа Бозе в случае постоянной частоты столкновения от плоской поверхности таково:

и„(а,д = 1) = Я(аХ?„.

Здесь

где

Ух(а) =к(.г,а)с!т, *о

[яг_4г1п(1-еа-г ) х-г Составим относительную ошибку приближения:

Ух{.а)-и$\а,д = 1)

Оя(а) =

где и^(.а,д) = Хик(а)д". *=о

Результаты численных расчетов приведем в таблицах 1-3.

Таблица 1 - Значение основных параметров безразмерной скорости скольжения в нулевом

приближении

Химпотенциал Коэффициент Относительная ошибка в

а и0(а) нулевом приближении, %

0 0.7227 18.01

-1 0.8580 13.33

-2 0.8769 12.96

-3 0.8829 12.85

-4 0.8850 12.81

-5 0.8858 12.80

-6 0.8861 12.79

-7 0.8862 12.79

-8 0.8862 12.79

2 - Значение основных параметров безразмерной скорости скольжения приближении

Химпотенциал Коэффициент Относительная ошибка в

а и,(а) первом приближении, %

0 0.1775 2.12

-1 0.1431 1.12

-2 0.1413 1.06

-3 0.1408 1.05

-4 0.1406 1.04

-5 0.1406 1.04

-6 0.1405 1.04

-7 0.1405 1.04

-8 0.1405 1.04

Таблица 3

- Значение основных параметров безразмерной скорости скольжения во втором приближении

Химпотенциал а Коэффициент U2(a) Относительная ошибка во втором приближении, %

0 -0.0214 0.30

-1 -0.0121 0.11

-2 -0.0117 0.10

-3 -0.0116 0.10

-4 -0.0116 0.10

-5 -0.0116 0.10

-6 -0.0116 0.10

-7 -0.0116 0.10

-8 -0.0116 0.10

Сравнение безразмерной скорости скольжения в нулевом, первом и во втором приближении с точным результатом показывает высокую эффективность данного метода решения.

В разделе 1.8 первой главы найдена зависимость массовой скорости от координаты:

U(x) = U„(q,a) + G,x + Uc(x)> С7)

где Uc(x) - массовая скорость газа, отвечающая непрерывному спектру. Массовую скорость Uс{х) разложим в ряд по степеням коэффициента диффузности: Uc(x) = U?\x) + qU«\x) + q*U?\x) +...,

где {/<">(*) = Gt^-]e"lE„(k)dk, п - 0,1,2,....

2л1

Учитывая формулу (7), вычисляем скорость газа непосредственно у плоской неподвижной стенки:

U(0) = U„(q,a) +Г/<°>(0) + qU?\0) + q2U™(Q) + - ■ В случае диффузного отражения молекул от стенки (q = 1), имеем: ит (0) = Usl (1, а) + t/<°> (0), ит (0)|^ = 0.6747GV, t/m (0) = и,, (1, а) + i/<°> (0) + £/<"> (0), С/" (0)|аио = 0.7103GV, um (0) = U„(\,a) + i/<°>(0) +" (0) + f/<2> (0), г/'ЧО^ = 0.7068GV. Сравним эти результаты с точным значение скорости у стенки:

KV) V

где I"(а) = |дг" 1п(1 -ехр(а-хг))dx, и = 0;2.

о

Далее введем относительную ошибку: U( 0)-i/<">(0)

= - V/ -—^ .100%, п = 0,1,2,.... £/( 0)

В результате имеем в нулевом приближении относительную ошибку равную 4.6%, в первом приближении 0.45%, во втором приближения 0.044%. Переходя к размерным параметрам, получаем:

где = У" ^ - коэффициент изотермического скольжения.

Здесь С(<7, а) = ^ (а) + Ц (а)?+С/2 ...].

Отметим, что при а=-°о и д = 1 коэффициент изотермического скольжения равен:

= -00,5 = 1) = 1.1454 . (8)

В 70-х годах XX века М. Рейнольде, Дж. Смолдерн и Дж. Вендг провели ряд экспериментов, в результате которых было установлено изменение коэффициента скольжения от 1.14 до 1.38. Эксперименты проводились в воздухе при постоянной температуре 300 К. Коэффициент изотермического скольжения (8), найденный в настоящей работе и рассматриваемый при д = 1, то есть для полностью аккомодирующей поверхности и при а = -оо совпадает с экспериментальными данными. Это подтверждает достоверность проводимого исследования.

На рисунках 2,3, 4 построены графики зависимости коэффициента изотермического скольжения от коэффициента диффузности и от приведенного химпотенциала. Из анализа графиков на рисунках 2 и 4 видно, что при отрицательных значениях а графики функций К*(а>1) выходят на свою асимптотику, то есть при а <-4 коэффициент скольжения совпадает с асимптотическим значением, который соответствует классическому случаю. Таким образом, переход между квантовым и классическим случаем происходит на достаточно узком промежутке значений. Также из рисунков 2 и 3 можно заметить, что при уменьшении значения коэффициента диффузности увеличивается коэффициент изотермического скольжения.

На рисунке 5 показана зависимость коэффициента скорости газа Бозе у плоской стенки от химпотенциала. Здесь также хорошо видно, что при а < -4 коэффициент скорости газа Бозе совпадает с асимптотическим значением.

--1-■

-6 4 о

а

Рисунок 2 - График зависимости коэффициента изотермического скольжения от приведенного химпотенциала а при д = 1, д = 0.5 и д = 0.75

ОЛ 1.0

ч

Рисунок 3 - График зависимости коэффициента изотермического скольжения от коэффициента диффузности д при а = -\

1Я г

Рисунок 4 - График зависимости коэффициента изотермического скольжения от приведенного химпотенциала

Рисунок 5 - График зависимости

коэффициента скорости газа Бозе

непосредственно у стенки С(0,а) от приведенного химпотенциала

Во второй главе рассматривается задача об испарении газа Бозе с плоской поверхности конденсированной фазы в бинарную газовую смесь. Полагается, что концентрация испаряющегося газа пх много меньше, чем концентрация неконденсирующегося газа пг: пх « п2. Это случай разбавленной смеси.

Введем декартову систему координат, центр которой находится на поверхности испарения. Ось Ох, проведем перпендикулярно поверхности испарения. Вдали от поверхности имеется постоянный градиент концентрации первой составляющей смеси:

(АтГ

где п(х,) - концентрация (числовая плотность) первой составляющей газовой смеси. Будем считать испарение слабым, то есть |Ол|«1, С„=—где п, - концентрация

насыщенного пара на поверхности испарения для первой составляющей смеси, соответствующая температуре поверхности Т, = Т, I- длина свободного пробега молекул. Построим кинетическое уравнение:

1 = (9)

Ы г., ч дх 2/0(а]) ^

где

1 + ехр(С -а,)

Здесь С = - безразмерная скорость, р = т!(2кТ), х = у^Рх, - безразмерная координата и а(х) - ¿л(х)/(кТ) - безразмерный химпотенциал.

Отклонение безразмерного химпотенциала от его значения на стенке равно: 1 °°

Мх) = а(х) -а, = уГ^ (М,Ж*. , М = Сх,

где а, — безразмерный химический потенциал, который соответствует температуре поверхности Т,зТ и концентрации п,.

Вдали от поверхности - вне слоя Кнудсена - функция Ь(х,/л) имеет вид:

Ых,ц) = 11ш{х,ц) + о<У), ц = Сх, *->+<», (10)

11

гДе ha3(x,ti) = Aa+Ga(x-n\

Ga - заданный вдали от стенки градиент безразмерного химпотенциала,

(dcc{x)\

Jt=+00

Аа - скачок химпотенциала, который является неизвестной величиной. Второе граничное условие на плоской поверхности имеет вид:

h(0,/j) = B, /и>0, где В = Жа']-(И)

q ln(l-exp(as))

где l(at) = -Jln(l-ехр(аз -C.7)dC.

о

Итак, задача состоит в поиске такого решения уравнения (9), которое будет удовлетворять граничным условиям (10) и (11). Далее, а, будем обозначать через а.

Решение задачи ищем в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения:

°° ( Л (12)

Кх,А = Аа +Оа(х-ц)+ jexp|^-^jJS>(r],fS)A(T])dr!.

где A(rj) является коэффициентом непрерывного спектра - неизвестной функцией, а Аа является коэффициентом дискретного спектра - неизвестной постоянной. Причем коэффициенты Аа и Ga связаны соотношением:

Aa=C(.a,q)Ga, (13)

где C(a,q) является коэффициентом скачка химпотенциала. В разложении (12)

П-М fÀV,a)

где S(x) - дельта функция Дирака, Л(г)~ дисперсионная функхщя задачи,

Находим коэффициенты непрерывного и дискретного спектров. Для этого подставляем собственные функции (14) в разложение (12) и, учитывая граничные условия, получаем сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши:

¿1-м fait*,а) решая которое, находим неизвестные коэффициенты дискретного спектра:

Aa=B+GaVx{a), Vl(d) = --k(T,cc)dT, я о

и непрерьшного спектра:

ащХ(п)

где Х(ц) = , V(M) = , Ç(t,а) = в(т)-я = arcctg2fa(a)m -*.

/" я-0' т-fi

Итак, коэффициенты разложения (12) найдепы. Значит, функция распределения полностью построена и имеет вид:

Оа Ч 1п(1 -ехр(а))

В разделе 2.4 второй главы диссертации вычисляется коэффициент диффузии: 4 кТ

12 _ , г , ч >

и массовая скорости газа:

W, = -

3 mv, /0 (а)

-vA^ 2W 1 12 /(а)

3 ,

GL

где /(а) = -j"ln(l-exp(a-C2))rfC, g4(a) = -/(«)•

В разделах 2.5 и 2.6 на основе получепной функции распределения рассчитывается скачок и профиль химпотенциала и концентрации газа.

В результате коэффициент безразмерного химпотенциала равен:

4 ' ,w q ln(l - ехр(а)) В формуле (13) переходя к размерным величинам, получаем величину скачка химпотенциала газа Бозе:

где K(a,q) - коэффициент скачка химпотепциала,

\-q__2m_

Ka)

Г,(а)-

q ln(l-exp(a)) Строим распределение химпотенциала в пространстве:

<вд.

C(a,q) + x +

-Jexpí---*о Л П

УЩпаСШл.

Ga п j v Л J

Распределение концентрации газа N(x) в полупространстве х>0 задается равенством N(x) = Ns + п(х). Здесь Ns = N0l(a), где

= 2я-(2^ + 1

°~(2 тъШ?'

Отклонение концентрации газа от концентрации насыщенного пара имеет следующий вид:

где PN(х) - коэффициент профиля концентрации:

Л« =

С(а, q) + x + —

— fexpf- —-J я-о \ 1

К(7) sin an)dn

g2(cc), G„ = N0Ga

dC 1 ,, ,

exp(C -a) 2

Gn — безразмерный градиент концентрации,

¿20 к

О

°"5 д 1.0

Рисунок 6 - График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от коэффициента испарения д при значениях а = -0.5 (1-ая кривая), а = -3 (3-я кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при а = -0.5.

-1 а 0

Рисунок 7 - График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от а при значениях 9 = 0.5 (1-ая кривая), <? = 0.3 (3-я кривая), <7 = 0.2 (4-ая кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при <7 = 0.5.

При х - 0 находим величину скачка концентрации: т/ =С(а,д)^2(а) - коэффициент скачка концентрации.

Рисунок 8 - График зависимости коэффициента скачка концентрации от коэффициента испарения <7 при а: = -0.5 (1-ая кривая) и а = -3 (3-я кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при а =-0.5.

Рисунок 9 - График зависимости коэффициента скачка концентрации от величины а при значениях ц = 0.5 (1-ая кривая), <7 = 0.3 (3-я кривая), <7 = 0.2 (4-ая кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при <7 = 0.5.

Анализ графиков на рисунке б показывает, что значения коэффициента скачка химпотенциала тем больше различаются, чем меньше значения коэффициента испарения. При стремлении д к единице эти различия сглаживаются. Причем, значения коэффициента для ферми-газа меньше соответствующих значений коэффициента для бозе-газа во всем

диапазоне значений коэффициента испарения при любом фиксированном значении безразмерного химпотенциала.

На рисунке 7 видно, что уже при а <-1 значения коэффициента переходят на свою асимптотику, то есть квантовые свойства бозе-газа влияют на величину коэффициента скачка химпотенциала на сравнительно узком интервале значений безразмерного химпотенциала (-1 <а<0). Значения коэффициента для ферми-газа во всем диапазоне значений меньше соответствующих значений коэффициента для бозе-газа. Значения коэффициента К(а,д) тем больше, чем меньше значения коэффициента испарения, что хорошо видно из рисунка 6.

Поведение коэффициента скачка концентрации показано на рисунках 8 и 9. Из рисунка 8 видно, что значения коэффициента концентрации тем больше, чем больше значения безразмерного химпотенциала. При этом значения коэффициента для бозе-газа больше соответствующих значений коэффициента для ферми-газа во всем диапазоне значений коэффициента испарения при любом фиксированном значении безразмерного химпотенциала.

Рисунок 9 показывает, что при а < -1 все зависимости коэффициента выходят на свою асимптотику при всех значениях коэффициента испарения. И в этом случае квантовые эффекты сказываются в узком диапазоне значений -1<а<0. При этом значения коэффициента для ферми-газа во всем диапазоне меньше соответствующих значений коэффициента для бозе-газа.

В третьей главе решается задача о скачке химпотенциала при испарении газа Бозе в случае переменной частоты столкновения молекул. Выводится основное кинетическое уравнение:

^ + = (15)

ох 2

с диффузно-зеркальными граничными условиями вдали от поверхности:

Ь(х,р) = каг(.х,р) + о( 1), *->4со, (16)

где Иа!(х,ц) = Аа +Оа(х-/1),

в — градиент безразмерного химпотенциала,

Аа - скачок химпотенциала, который находится из решения задачи.

Вблизи плоской поверхности граничные условия будут иметь вид:

КО,М) = В, где Л = А>0. (17)

3?

Решение уравнения (15) с граничными условиями (16) и (17) ищем в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения:

о 4*7.

где А(г/) - коэффициент непрерывного спектра, а Аа - коэффициент дискретного спектра. В результате решения задачи находим коэффициент дискретного спектра:

Аа=В + ОаУ,(а), где У,(а) = -- [£(г,а)Л

л о

и коэффициент непрерывного спектра А(т}):

где

Л{ф=70а™Жш

а 7ЩХ{П)

Строим функцию распределения испаряющейся компоненты:

Х(2) = 1ехрК(2), =

г я* х-г

Далее вычисляем коэффициент диффузии:

где Яз (а) = -11п(1 - ехр(а)) ,/„(«) = ]_-^-

;-1 + ехр(С -а)

и массовую скорость газа:

2кТ ' 12 /(а) "

Зная функцию распределения, находим коэффициент скачка безразмерного химпотенциала:

<%) = +»«*),

3?

и строим профиль химпотенциала:

^ = С(9) + х +1 (ехрГ- •

Соотношение

Аа=С(а,д)ва, (18)

представляет собой величину скачка безразмерного химпотенциала. Переходя в формуле (18) к размерным величинам, имеем:

т „ ( г , У <&х Л,

где К(а,д) — коэффициент скачка химического потенциала,

¿р(0) = К(а,д)^Ц2

3 /„(а)

3?

2 &(а)

В разделе 3.5 третий главы построен профиль концентрации газа Щх) в «положительном» полупространстве (при *>0): Щх)-Л^ + п(х), где Л^ = ЛУ(я),

.. 2я-(25 + 1 )т3 °г ,

^-¡т-Ыа-с^с.

Отклонение концентрации газа от концентрации насыщенного пара следующее:

п(х) = Ры(х)0„, где коэффициент профиля концентрации РЛ-(х):

С(д) + х +

- /ехрГ---

Найдена величина скачка концентрации при х = 0: где С,, = C{q)g2{a) - коэффициент скачка концентрации.

Рисунок 10 — График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от а при 9 = 0.1 (1-ая кривая), д = 0.2 (2-ая кривая), <у = 0.3 (3-я кривая), д = 0.4 (4-ая кривая).

Рисунок 11 - График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от величины а при д = 0.6 (1-ая кривая), д = 0.7 (2-ая кривая), д = 0.8 (3-я кривая), д = 0.9 (4-ая кривая).

Рисунок 13 — График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от коэффициента испарения ^ при а = -0.1 (1-ая кривая), а--0.3 (2-ая кривая), а = — 1 (3-я кривая).

Рисунок 12 - График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от величины д, кривая 1 отвечает случаю переменной частоты столкновения молекул бозе-газа, кривая 2 отвечает случаю постоянной частоты столкновения молекул бозе-газа, кривая 3 отвечает случаю постоянной частоты столкновения молекул ферми-газ

Анализ графиков на рисунках 10 и 11 показывает, что значение коэффициента скачка химпотенциала тем больше, чем меньше значение коэффициента испарения. Кроме того, при а<~ 1 значения коэффициента скачка химпотенциала переходят на свою

асимптотику, а при -1 <а < 0 коэффициент резко возрастает при <2^0. Именно в этом диапазоне значений а сказываются квантовые эффекты.

Из рисунка 13 видно, что значения коэффициента скачка химпотенциала тем больше различаются, чем меньше значения коэффициента испарения, но при стремлении q к единице эти различия сглаживаются.

Сравнение коэффициента скачка химпотенциала отвечающего случаю газа Бозе с переменной частотой столкновения молекул с коэффициентами отвечающими случаям газа Бозе и газа Ферми с постоянной частотой столкновения показано на рисунке 12. При этом хорошо видно, что коэффициент скачка химпотенциала для газа Бозе с переменной частотой столкновения молекул больше соответствующих значений для коэффициента для бозе-газа и ферми-газа с постоянной частотой столкновения молекул во всем диапазоне значений коэффициента испарения при любом фиксированном значении безразмерного химпотенциала.

В четвертой главе находится решение задачи Куэтга для газа Бозе с почти зеркальными граничными условиями. Газ Бозе течет в плоском канале толщиной 2d (|x|<rf). Канал образован бесконечными параллельными стенками, которые движутся в своих плоскостях в противоположных направлениях со скоростями U и - U .

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, центр которой находится в середине канала. Ось х проведем перпендикулярно стенкам канала. Ось Z направим вдоль движения стенок канала.

Строим основное кинетическое уравнение:

зн 00

+ *(*!>/')= р^ОЛаЖ^.А'Ж, М = СХ. (19)

' -OD

При этом правая часть этого уравнения представляет собой удвоенную массовую скорость газа:

где = /0» = -1].п(1-ехр(а-С2)).С.

Граничные условия на стенках на функцию h(x,fj) имеют вид:

K-d,M) = (\-qi)h(-d-ti)-2qxUz(x), ц>0, (20)

Kd,f*) = Q--q1)Kd-fi) + 2q1U2(x), /¿<0. (21)

В уравнениях (20) и (21) параметр qn i = 1; 2. является вероятностью того, что частица отразится от стенки диффузно (0 <q,< 1), (1 - ^) - вероятностью того, что частица отразится от стенки зеркально.

Решение задачи (19), (20) и (21) будем искать в виде следующего разложения:

Кх,р) = а0 +al(x-fi)+ ]ехр^-^Ф(7,^)Л07)£?77, (22)

где A(rj) - неизвестный коэффициент непрерывного спектра, а а0, а, - неизвестные коэффициенты дискретного спектра. Здесь

Vtt rt-ц Кв(г},а)

где Рх~* - главное значение интеграла от х S(x) — дельта-функция Дирака, Mij,a) -дисперсионная функция:

Л, м-ч

Разложение (22) подставляем в граничные условия и получаем систему интегральных уравнений. Далее, подставляя в полученную систему собственные функции, находим сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши:

4, 4л П-ц л/л- K„(jj,a)

]+ = alfi(2-д2)-д2(аа+а^-2и2), //<0.

-Jxtj-M Vл KB(ji,a)

где ¿(т;, х) = ехр^- -^(7) - .

Решая интегральные уравнения, получаем коэффициенты дискретного спектра:

а =_2 £/,.(?, - <7,)_ а 2д,д1Цг(1?(а)11вг(а))

° д1+Я2+^(!1в(а)/12в(а))-1)д,д2' ' +д2 +(ЩВ (а)/!? (а))-

где = 1п(1 - ехр(а - /л1 ))й{ы, л = 1, 2, и коэффициенты непрерывного спектра:

о

V

Таким образом, все коэффициенты разложения (22) найдены. Следовательно, функция распределения полностью построена. Причем при а—>-<х> функция распределения молекул газа Бозе переходит в функцию распределения молекул классического газа.

С помощью функции распределения находим основные макропараметры газа. Вычисляем поток массы газа в канале в направлении оси г, приходящегося на единицу ширины канала. Будем использовать штрихованные переменные, как размерные, нештрихованные, как безразмерные.

3 _2р им -д2)(у°д,д2

1 10

где р - плотность числа частиц, = (У^т], а)1[(—ау^т;.

4л £

В формуле (23) перейдем к размерным переменным. Здесь иг=т[/31Г1, с1 = у^[рсГ= 4л/аКп, где Кп - число Кпудсена, т) = р/2ур — динамическая вязкость. Следовательно,

J Ь1Гп и'- -'ЯгУг'ЯгЯг ~ •»№&») (24)

" <?, +[(-^11в(а))/(4Кл1'(а))-\]Ч1д2 '

Совершая в формуле (24) предельный переход к классическим газам при а -> -оо , получаем поток массы газа равный:

у _ ^ Гп и\ (?, - ~ 4л¡ЛКп)

Эта формула в точности совпадает с соответствующей формулой для классических

газов.

Найдем теперь силу вязкого трения в направлении оси Ог, которая приходится на единицу площади поверхности стенок канала:

у. г^АСАУ)//») пЪгг ,„ „ (25)

В формуле (25) перейдем к размерным переменным:

Р_ Ъ&У.ШЧаМЮ) !.. (26)

+*2 ч(Мв(-))/(4*<(«»-%* РГ •

Рассмотрим формулу для силы вязкого трения (26) в предельном случай при а—>-оо. В этом случае имеем:

что совпадает с известным результатом для классических газов.

Найдем величину теплового потока в направлении оси г, приходящегося на единицу ширины канала:

3 - пкТ,.. ЖЛъ-Я,) (27)

® 1ВЛсс)4Р<Ь +Яг + [«/(','(«)/£ («))-1]ЗД,

2 ]|СХ 1п(1 - ехр(а-С* -ц^С^ц-51? (а)

Перейдем в формуле (27) к размерным координатам:

_ Р 2С/',(<?,-?,)_х (28)

° *(<*)/( 4/2У)/&0-1]<?,<72

2]]с,1п(1-ехр(а-с1 -^хФ-Я^Тг,'«,*

II. -«о 4лп ^ 4Кп I

где р = пкТ = - давление газа.

Рассматривая формулу теплового потока (28) в предельном случай при а-»-оо, получим:

Ри\ («7.

что совпадает с известным результатом для классических газов.

Когда коэффициенты аккомодации тангенциального импульса на обеих поверхностях совпадают (д, =д2 ). то поток массы газа и тепловой поток газа равны нулю, то есть совпадают.

Рассмотрим случай глубокого канала, когда число Кнудсена Кп=—« 1. Здесь

и

имеет место два режима течения газа в плоском канале. Первый режим соответствует случаю, когда Кп«д, д = тах(д,,д2). Это случай гидродинамического течения Куэтга для глубокого канала. При этом знаменатели дробей а0 и я, имеют вид:

Я,+42 + [<1 (Ай(«)//28(«)) -1^92 = (Ав(«)А2я («))?,+ ОО) ■ Следовательно, выражения для макропараметров имеют, следующий вид:

соответственно,

(lf(a)/l'2(a))q,q2 '

Р lUfa-qJ

Jq lB(a)Jfl d(l?(a)/lB(a))qiq2 x 2 J Jcx ln(l + exp(a-Cl-fx1)) dC±dfj - 51*(a)

-OQ 0

Переходя к размерным координатам, получаем:

J,

Л Ш ■

(lB(a)llB2{a))qxq2 '

Jo

"/„V)V^4AV)//2V))

2 '[¡С1 ln(l+exp(a -Cl~ ft2 ))dCLdfi - 51* (or)

Отсюда в пределе при а —> -со имеем: Я1Я2 а

Эти формулы в точности совпадают с соответствующими формулами для классических газов.

Существует и другой режим течения газа, который соответствует случаю, когда для числа Кнудсена выполняется неравенство д«Кп«1, д = тах(51,д,2). В этом случае знаменатели дробей а0 (34) и а, (35) имеют вид:

?,+<?;+ - 1]ЗД2 = 9. + ?2 +°(1) •

При этом макропараметры определяются следующими выражениями:

Я\+Яг Ях+Яг 4,

nkT 2ytq,q2U,(ql-q2)

е l0B{a)4fi q, +q2 Переходя к размерным координатам, находим:

2 J Jcx ln(l + exp(or -С\-ц2 )}lC±dM - 51* (a)

4я4рУМ-Яг) з

Kn qx+q1 P ¿■гТя&Ц', (q,-q2)

9l+?2 i

2 JJCj.ln(l + cxp(or-C*-SifiC^-Sl'ia)

Делая предельный переход к классическим газам при а —» —«>, имеем:

"Л •>д=~РГ° Я\Яг-

1 и,г(Я,-Я2) ^ „ г _ „лЯЦ\{Я\-Я2>.

Кп * ?|+?2

Эти формулы также в точности совпадают с соответствующими формулами для классических газов.

Таким образом, для почти зеркальных условий существует и другой режим, когда получаются результаты, отличные от соответствующих результатов для рассмотренного выше гидродинамического режима течения Куэтга. Этот режим называют гидродинамическим режимом со скольжением. Когда газ Бозе переходит в классический (

а ), макропараметры квантовых газов переходят в известные результаты для классических газов.

Основные результаты н выводы диссертации

В результате проведенного исследования

1. С помощью метода источника аналитически решена полупространственная граничная задача - задача Крамерса для газа Бозе с диффузно-зеркальными граничными условиями в случае постоянной частоты столкновения молекул. Найдена функция распределения молекул газа Бозе. Получено выражение скорости скольжения газа вдоль стенки и распределение массовой скорости в полупространстве.

2. Установлено, что метод источника обладает высокой эффективностью при решении данной задачи, поскольку сравнение полученных результатов с точным решением показывает, что ошибка в третьем приближении не превосходит 0.1%.

3. Проведено сравнение с экспериментальными данными. Показано что, коэффициент изотермического скольжения, вычисленный при q-1, и а=-ьо, дает качественный результат при сопоставлении с экспериментальными данными.

4. Аналитически решена задача об испарении газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул. Получено явное представление функции распределения, найдены выражения скачка и профиля химпотенциала, а также выражения скачка и профиля концентрации газа. Показано, что скачок химпотенциала газа Бозе и его распределение в полупространстве пропорциональны скачку и распределению концентрации газа соответственно.

5. Найдено решение задачи Куэтга с почти зеркальными граничными условиями. Построена функция распределения газа Бозе. С помощью функции распределения вычислены макропараметры газа, а именно, получено выражение для силы вязкого трения, потока массы и тепла газа в канале. Показано, что при предельном переходе полученные результаты переходят в известные результаты для классических газов.

6. Проведен анализ предельных режимов газа. Установлено, что для глубокого канала, наряду с классическим режимом течения существует другой режим, который реализуется для чисел Кнудсена, много меньших единицы, но много больших коэффициентов аккомодации.

Автор искренне благодарен научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору A.B. Латышеву за постановку задачи, участие в обсуждении работы и постоянную поддержку.

Список работ соискателя по теме диссертации

1. Бедрикова Е.А. Массовая скорость квантового Бозе-газа в задаче об изотермическом скольжении / Е.А. Бедрикова, A.B. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета (Электронный журнал) 2012. - № 4 - С. 227-240.

2. Bedrikova Е.А. Mass velocity of Bose-gas in the problem about isothermal sliding / E.A. Bedrikova, A.V. Latyshev// arXiv:1208.5231vl [math-ph] 26 Aug 2012. - 17p.

3. Bedrikova E.A. The Kramers problem for quantum bose-gases with constant collision frequency and specular-diffusive boundary conditions / E.A. Bedrikova, A.V. Latyshev // arXiv:1212.1270vl [math-ph] 6 Dec 2012. - 55 p.

4. Bedrikova E.A. Chemical Potential Jump during Evaporation of a Quantum Bose Gas / E.A. Bedrikova, A.V. Latyshev // arXiv:1301.1196vl [math-ph] 7 Jan 2013. - 22 p.

5. Бедрикова E.A. Распределение массовой скорости квантового Бозе-газа / Е.А.Бедрикова, A.B. Латышев // Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2013. - Аннотация

докладов. В 3 томах. - Т.З. Тематические конференции НИЯУ МИФИ. - М.: НИЯУ МИФИ. - 2013. - С. 160.

6. Бедрикова Е.А. Задача Крамерса для квантового Бозе-газа с постоянной частотой столкновений молекул и зеркально-диффузными граничными условиями / Е.А.Бедрикова, A.B. Латышев // Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2013. - Аннотация докладов. В 3 томах. — Т.З. Тематические конференции НИЯУ МИФИ. - М.: НИЯУ МИФИ - 2013.-С.160.

7. Бедрикова Е.А. Задача Крамерса для квантового Бозе-газа с постоянной частотой столкновений молекул и зеркально-диффузными граничными условиями / Е.А.Бедрикова, A.B. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета (Электронный журнал) - 2013. — № 3. - С. 33.

8. Бедрикова Е.А. Скачок химического потенциала при испарении бозе-газа / Е.А.Бедрикова, A.B. Латышев // Low Temperature Physics/Физика низких температур -2014. -Т.40 -№ 3 - С. 296-302.

9. Бедрикова Е.А. Аналитическое решение задачи о скачке химического потенциала Бозе-газа при испарении с переменной частотой столкновения молекул / Е.А.Бедрикова, A.B. Латышев //Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2014. - Аннотация докладов. В 3 томах-Т.2. Тематические конференции НИЯУ МИФИ - М.: НИЯУ МИФИ - 2014. - С. 117.

10. Бедрикова Е.А. Скачок химического потенциала при испарении Бозе-газа с переменной частотой столкновений молекул / Е.А. Бедрикова, A.B. Латышев //Известия высших учебных заведений, Серия Физика - № 5 - Май 2014 -С. 89-95.

11. Бедрикова Е.А. Задача о скачке химического потенциала при испарении ферми-газа с переменной частотой столкновения молекул. / Е.А. Бедрикова, A.B. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика и математика. - 2014. - №2 - С.ЗО-45

12. Бедрикова Е.А. Аналитическое решение задачи Куэтга для бозе-газа / Е.А. Бедрикова, A.B. Латышев // VII Международная научная - практическая конференция, Наука и образование - 2014. - Мюнхен, Германия. - 27-28 июня 2014 г- С. 399-405.

13. Бедрикова Е.А. Задача Куэтта для бозе-газа / Е.А. Бедрикова, A.B. Латышев // Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика и математика. -2014,-№4-С. 29-43.

14. Бедрикова Е.А. Решение задачи Куэтта для ферми-газа / Е.А. Бедрикова, А.В.Латышев // Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2015. - Аннотация докладов. В 3 томах- Т.2. Тематические конференции НИЯУ МИФИ,- М.: НИЯУ МИФИ,- 2015. - С. 264.

15. Бедрикова Е.А. Течение Куэтта для квантовых газов / Е.А. Бедрикова, A.B. Латышев // Сборник материалов Международной конференции «Физические свойства материалов и дисперсных сред для элементов информационных систем, наноэлектронных приборов и экологичных технологий»,— Москва. - 12-24 апреля 2015 г. С. 7.

Подписано в печать: 16.10.2015 г. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Формат бумаги 60x84/16. Усл. п. л. 1,5.

_Тираж 100 экз. Заказ № 269._

Изготовлено с готового оригинал-макета в ИИУ МГОУ. 105005, г. Москва, ул. Радио, д, 10а.