Влияние граничных условий на поведение вырожденной электронной плазмы

Грициенко, Наталия Вячеславовна

Влияние граничных условий на поведение вырожденной электронной плазмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Грициенко, Наталия Вячеславовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Влияние граничных условий на поведение вырожденной электронной плазмы»

Автореферат диссертации на тему "Влияние граничных условий на поведение вырожденной электронной плазмы"

На правах рукописи

Грициенко Наталия Вячеславовна

Влияние граничных условий на поведение вырожденной электронной плазмы

Специальность 01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 ИЮН 2011

Москва — 2011

4849694

Работа выполнена на кафедре математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шутяев Виктор Петрович доктор физико-математических наук, профессор Потапенко Ирина Фёдоровна

Ведущая организация:

МГТУ "СТАНКИН"

Кафедра прикладной математики

Защита диссертации состоится 28, сб. 11 в 46 часов на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан л1С1,ц Л011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 к.ф.-м.н, доцент

тм^е п в Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Работа посвящена аналитическому решению граничных задач кинетической теории о поведении вырожденной плазмы во внешнем электрическом поле — задач о колебаниях плазмы, заполняющей полупространство, и об отражении плазменных волн от границы полупространства.

Данные задачи являются классическими задачами кинетической теории плазмы, они имеют большое теоретическое и прикладное значение.

В последние годы плазма является объектом интенсивных исследований. Можно выделить четыре основных направления исследования. Во-первых, это проблема управляемого термоядерного синтеза, который может стать практически неисчерпаемым источником энергии. Во-вторых, создание плазменных преобразователей тепловой энергии непосредственно в электрическую. В-третьих создание плазменных ракетных двигателей с большой скоростью выброса струи. Наконец, теоретическое изучение поведения плазмы ведет к пониманию многих явлений в космосе, таких как Солнце, звезды и космические туманности.

Наиболее детальный метод описания плазмы в кинетической теории состоит в использовании системы уравнений Максвелла и Власова — Больцмана.

Предметом исследования являются граничные задачи теории плазмы и методы их аналитического решения.

Впервые аналитическое решение задачи о колебаниях бесстолкновительной плазмы в полупространстве, находящемся во внешнем продольном электрическом поле, и при зеркальном отражении электронов от границы, было получено Л.Д. Лаедау. Л.Д. Ландау впервые сформулировал граничное условие на границе плазмы. Таким образом, задача о колебаниях была корректно сформулирована как задача математической физики. В ряде работ других авторов рассматривались диффузные граничные условия отражения электронов от границы плазмы. A.B. Латышевым и A.A. Юшкановым проанализировано поведение электрического поля (для случаев зеркального и диффузного отражения электронов от поверхности) в металле вблизи резонанса, когда частота внешнего поля близка к плазменной частоте.

Поэтому актуальной задачей математической физики является развитие аналитического метода решения различных краевых задач кинетической теории, решение задач с новыми, более общими граничными условиями и анализ поведения электрического поля в плазме с учётом этих условий.

Цель диссертационной работы - аналитическое решение граничных задач о колебаниях и отражении волн в фермиевской плазме с использованием кинетическогоуравнения Власова — Больцмана с самосогласованным электрическим полем и уравнения Максвелла на электрическое поле, выяснение структуры электрического поля в металле и изучение характеристики падающей и отраженной волн для нового вида граничных условий отражения электронов от границы плазмы.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с аналитическим решением системы уравнений, описывающих поведение электронов и электрического поля в полупространстве фермиевской плазмы.

Как основной результат, в диссертации получено точное решение линеаризованной задачи о колебаниях в фермиевской плазме и отражении плазменных волн от границы с использованием кинетического уравнения Власова — Больцыана методом разложения по собственным функциям. В качестве граничных условий рассматриваются зеркально—аккомодационное и диффузно— аккомодационное условия отражения электронов от поверхности. При этом вводится коэффициент аккомодации нормального импульса электронов, характеризующий степень зеркальности отражения электронов, движущихся к границе. Ранее рассмотрение данной характеристики отражения электронов не проводилось. Учёт коэффициента аккомодации нормального импульса электронов позволяет решить более общую задачу и выявить зависимость поведения плазмы от данного параметра.

Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи колебаний плазмы и отражения плазменных волн, соответствующие предельным значениям коэффициента аккомодации нормального импульса электронов.

Исследована структура дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции.

Сформулирована и доказана теорема о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения.

Найдены точные выражения для электрического поля и функции распределения электронов на границе. Исследовано поведение электрического поля вблизи плазменного резонанса, когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты, а также в случае малых частот внешнего электрического поля. Выяснена структура электрического поля. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей вблизи резонанса.

Рассмотрено отражение электромагнитной волны вблизи границы плазмы. Получено точное выражение для коэффициента отражения волны, найден аргумент отражения волны, выяснены зависимости данных величин от коэффициента аккомодации нормального импульса. Показано, что рассмотренные в работе зеркально—аккомодационные граничные условия хорошо аппрокспмнруют зеркально—диффузные граничные условия отражения электронов, что имеет большое теоретическое и прикладное значение в науке о плазме.

Научная и практическая ценность. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Можно отметить по крайней мере два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (теории обобщенных функций), а также методов краевых задач теории функций комплексного переменного для решения кинетических уравнений и применение полученных результатов при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании процессов колебаний плазмы и отражения плазменных волн в фермиевской плазме.

Личное участие автора. Постановка задачи принадлежит профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи, анализ полученных результатов, изучение структуры

электрического поля, характеристик отражения плазменных волн проведены соискателем самостоятельно.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. Ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2007 - 2009 гг.);

2. XVI международная научная конференция "Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 25-30 января 2009 г.);

3. XVII международная научная конференция "Математика. Компьютер. Образование "(Дубна, 25-30 января 2010 г.);

4. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)" (Орел, Россия, 2007 г.);

5. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Современная математика и проблемы математического образования" (Орел, Россия, 2009 г.);

6. 3rd International conference in Applied Mathematics, Simulation, Modelling (Греция, Афины. 29-31 декабря 2009 г.);

7. XII научная конференция МГТУ "СТАНКИН"и Учебно-научного центра математического моделирования ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ СТАНКИН, Москва. Россия, 14-15 мая 2009 г.);

8. XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (РУДН, Москва, 19 - 23 апреля 2010 г.).

Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Они опубликованы в 13 работах соискателя. Причем 6 статей опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 139 страницы текста, в том числе 17 рисунков. Библиография включает в себя 110 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются основные результаты работы, а также дается краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе проводится постановка задачи. Показано, что задача сводится к решению системы уравнений Максвелла и Власова — Больцмана.

Пусть вырожденная плазма занимает полупространство х > 0, где х - координата, нормальная к границе плазмы. Внешнее электрическое поле вне плазмы перпендикулярно границе плазмы и меняется по закону: Е0 ехр(-г^). Тогда самосогласованное электрическое поле Е(г, внутри плазмы имеет одну ^-компоненту и изменяется только вдоль оси х: Е = {Ех(х, {), 0,0}. Возьмем кинетическое уравнение для функции распределения электронов:

та г <9р т

В уравнении (1) / = /(г,у,{) — функция распределения электронов, е - заряд электрона, р = шу - импульс электрона, ш - его масса, г - характерное время между двумя столкновениями, Е = Е(г, г) - самосогласованное электрическое поле внутри плазмы, Д, = /е?(г, ¿) - локально - равновесная функция распределения Ферми — Дирака, /е, = 9(ер(<,х) — Е), где 9(г) - единичная ступенька Хэвисайда, £р(их) = х) - возмущенная кинетическая энергия Ферми, Е = ¿ти2 - кинетическая энергия электрона.

Электрическое поле Е(г, ¿) удовлетворяет уравнению Максвелла:

«ЦуЕ(г,0 = 41ге /(/(г, у,() -/0(у))<Я]р, (2)

где

2 <Рр

d^F = (2-hy rf3p = dP*dPydPf

Линеаризуем локально - равновесное распределение Ферми — Дирака /^ и функцию распределения электронов / относительно невозмущённого распределения ME):

/„ = ME) + [eF(x, t) - E\5{eF - Е), где 5(х) - дельта - функция Дирака,

/ = /o(B) + /i(i,v,t).

Введём безразмерную функцию е(х, t) = ^-Ех(х, t), перейдём к безразмерной

U£F

координате Х\ = х/1, где I = vpr - средняя длина свободного пробега электронов, и введём безразмерное время ii = ut. Далее вместо Жь <i снова будем писать х, t. Тогда

уравнение (1) на функцию распределения и уравнение на поле (2) преобразуются к следующему виду:

Рдх + ^ = + \ / ^Х'

(3)

<к{х) _ 3

¡к{х,ц'№', го = 1 - (4)

(1x1 2и2

-I

47ге2и

Здесь и>р - ленгмюровская (собственная) частота колебаний плазмы, =-,

* т

N - числовая плотность (концентрация) электронов, тп - масса электрона.

Граничные условия в рассматриваемой задаче о колебаниях плазмы в случае зеркально-аккомодационного отражения электронов имеют вид:

Н{0,ц) = Ч0,-ц) + А0 + Аф, 0<ц<1, (5)

аР / - = ~ а")Л" (6)

где ар - коэффициент аккомодации нормального импульса электронов,

аР = 0 < Ор < 1. (7)

Р{ и Рг - потоки нормальных к поверхности импульсов падающих на границу и отраженных от нее электронов, величина Р, - поток нормального к поверхности импульса отраженных от границы таких электронов, которые находятся в термодинамическом равновесии со стенкой. Константы Ло и определяются из условий непротекания потока электронов через границу плазмы и определения коэффициента аккомодации (7).

В случае диффузно—аккомодационного отражения электронов граничные условия имеют вид:

Л(0, ц) = Л + Аф, 0 < ц < 1, (8)

ц2Ц0,11)с1ц - - — 0, 0<а,<1, (9)

-1

где

1 - (17/18)ар

А> = —г~:—'

Граничные условия для электрического поля на стенке и вдали от нее имеют вид: е(0) = е0, |е(+оо)| < +оо, (10)

где ео - константа. С помощью анзаца Кейза (Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. - М.: Мир, 1972. - 384 с.)

hr,[x,n) = ехр(-^)Ф(т?,^), ег,(х) = ехр(-—)Е(т)),

выводится характеристическая система уравнений:

-1

Из уравнений (11) в классе обобщенных функций находим собственные функции непрерывного спектра (-1 < т/ < 1):

Zo i Tj-ß Г] J

Здесь символ Рх~1 - главное значение интеграла по Коши, <5(х) - дельта-функция Дирака. В выражении (12) введена дисперсионная функция задачи:

-1

В параграфе 1.4 проведен анализ структуры дискретного спектра, который

А(л)

состоит из нулей дисперсионного уравнения —-— = 0, и исследован вопрос о существовании плазменной моды. Найдено дискретное собственное решение исходной системы уравнений:

/1со(х,м) = —, 600(1) = !,

называемое модой Друде. Построена двухсвязная область Dr, ограниченная контуром Г+ = Гд U 7£, состоящим из окружности {Г/г : |г| = R, R = 1/г,е > 0}, и контура 7г, охватывающего разрез [—1, +1], и отстоящего от него на расстоянии е.

Показано, что число нулей дисперсионной функции (13), лежащих в комплексной плоскости вне отрезка [—1,1] действительной оси, равно удвоенному индексу А +(г)

функции G(r) = . ., вычисленному на полуоси [0,+1]. А (г)

Согласно принципу аргумента разность между числом нулей N и полюсов Р дисперсионной функции равна деленному на 2п приращению ее аргумента вдоль контура Г+, охватывающего область DR по часовой стрелке. Тогда в силу принципа аргумента при е —> 0 число нулей N равно:

" = (14)

где символ Др 1 ]f(z) означает приращение функции /(г) на отрезке [0,1].

Под символом arg G(r) = arg понимается регулярная ветвь аргумента,

А (г)

фиксированная в нуле условием: argG(O) = 0.

Число нулей связано с индексом задачи формулой:

JV = 2*(G), x(G) = Ind[o,+4G(r)

где x(G) есть индекс функции G(t). Выделяя действительную и мнимую части функции G(n):

G{ß) = iM+№t

9(ß) 9{р)

приведём кривую L, определяемую неявно заданными параметрическими уравнениями:

L: 0i(/J;7>£)=O, 92{ß-, 7,<0 = 0, 0 ^ ц ^ 1.

Кривая L лежит на плоскости параметров задачи (7, г), где 7 = ———, е -

v Шр

—. При переходе через кривую L индекс функции G{p) на положительной полуоси ир

меняется скачком.

Из уравнений д\ = 0 ч д2 = 0 найдём, что

е = ^ЩГ), 7 = -1 + у/ьМ, (15)

где 2 2

ш = A°w = 1 + flnfrJ

, ,,л = 3^[^Ы + ЛоЫ(1 + ЛоЫ)]а hlW АоЫ^(д) + (1 + АоЫ)21 ■ Функции (15) определяют в явном параметрическом виде кривую L - границу области D+ (через D~ обозначим ее внешность). Можно доказать, что если (7,г) 6 D+, то x{G) = Ind[o,+iiG(n) = 1 (кривая L един раз охватывает начало координат), а если (7, г) е D~, то x(G) = Ind[o,+i)G(/j) = 0 (кривая L не охватывает начало координат).

Из выражения (14) видно, что число нулей дисперсионной функции равно двум, если (7, е) е D+, и равно нулю, если (7,е) G D~.

В силу четности дисперсионной функции ее нули различаются лишь знаком. Обозначим эти нули ±r¡0, причем за щ возьмем такой нуль, у которого Re щ >0. Нулям ±770 отвечает следующее решение

= ехр т—)— ' (х) = ехр(^—)Е0.

По ¿a Vo

Это решение естественно называют модой Дебая (это - плазменная мода).

Знание поведения индекса исходной граничной задачи дает возможность решить однородную краевую задачу Римана из теории функций комплексного переменного.

Эта задача позволяет вывести формулы факторизации дисперсионной функции, из которых можно в явном виде получить выражения для ее нулей. Кроме того,

Рис. 1: Области D+ и D разделены кривой L, при переходе через которую меняется индекс краевой задачи.

однородная краевая задача Римана лежит в основе решения исходной граничной задачи с диффузно-аккомодационным отражением электронов от границы плазмы.

Однородная краевая задача Римана формулируется следующим образом: требуется найти функцию Х(г), аналитическую везде в комплексной плоскости за исключением точек разреза [0; 1], имеющую ненулевой порядок во всех точках комплексной плоскости, а в бесконечно удаленной точке имеющую порядок, равный индексу задачи, и такую, что ее граничные значения в интервале (0; 1) сверху и снизу связаны линейным соотношением:

X+(fi) = G{ß)X~{n), 0 < ß < 1, (16)

где G(ß) = -^ггт ~ коэффициент задачи. A (/i)

В случае нулевого индекса, решение задачи (16) имеет вид:

vt ^ 1 лп \ \rt \ 1 fbiG(T)-2Ki>e(G). X(z) = -exp V(z), V(z) = — J-—-dr,

где x(G) - шщекс задачи, равный нулю либо единице в зависимости от значений параметров 7, е.

В конце главы проведена факторизация дисперсионной функции и выведены интегральные представления факторязующей функции. Доказаны следующие утверждения:

1. Если x(G) = 0, т. е. (7,е) е D~, то для дисперсионной функции справедлива следующая формула:

\(z) = \00X(z)X(-z), z в С\[—1,1].

2. Если >c(G) = 1, т. е. (7,е) € D+, то для дисперсионной функции справедлива

следующая формула:

= AooCto2 - z2)X(z)X(-*), г € С \ [-1,1].

Во второй главе получено аналитическое решение поставленной задачи о колебаниях плазмы во внешнем электрическом поле. Рассматриваются зеркально-аккомодационное и диффузно-аккомодационное отражение электронов от границы полупространства. Используется метод разложения по собственным функциям. Доказана теорема: Граничная задача (3) - (6) и (10) имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения:

= ^ + + I \w(-z£)F{w)Emri, (17)

zo zo t]q — fi \ rfo j z<3 j \ tj/

e(x) = Eoo+E0exp(- + J exp ( - z0^jE(v) dt], (18)

В (17) и (18) Ео и Boo - неизвестные коэффициенты, отвечающие дискретному спектру (Eq - амплитуда Дебая, Ei - амплитуда Друде), Е{т))~ неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра.

Доказательство разложения сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в интервале (—1, +1):

2Eco[i+Ео pLzM +1i±m + } mzJ&EWdn-

I ц~По Ц + Чо i J г)-ц -1

- z0Aifi = ~z0Ai sign ¿¡.

Последнее приводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного:

X+((i)[M+(ii) + 2Ехц + EoMv) ~ 2оАф\ - Х~{ц)[М~{р) + 2Ежц + ЕоЫа»)" 2 iff

-z0Ain] = ~ V2) sign ц, -1 < ц < 1.

¿TftZo

Условия разрешимости и формулы Сохоцкого позволяют найти все неизвестные коэффициенты разложения решения исходной граничной задачи. Доказана единственность разложения решения по собственным функциям непрерывного спектра.

Проведен анализ полученных результатов, показано, что учёт коэффициента аккомодации нормального импульса электронов не оказывает существенного влияния на поведение электронной плазмы в случае плазменного резонанса. При малых частотах внешнего электрического поля коэффициент аккомодации оказывает

Рис. 2: Зависимость действительной части дискретного спектра Не Е^(х) от расстояния до границы плазмы для случая е = 10-3 при и = 0Лир, во — 1. Кривые 1, 2, 3, 4 отвечают значениям коэффициента аккомодации ар = 0.001,0.25,0.5,1.

существенное влияние на поведение электронной плазмы во внешнем электрическом поле.

В третьей главе проведено изучение отражения плазменной волны от границы, найдена неизвестная амплитуда отраженной волны и исследованы её характеристики — коэффициент отражения и сдвиг фазы волны.

Поведение плазмы описывается системой уравнений (3) - (4). Падающая и

отраженная волны имеют вид е+(:гь*1) = ехр [ - г(—^ + 1 )1 и е-(гь = и I € -1

Егехр — соответственно. Амплитуда £а считается заданной, амплитуда

Е'2 неизвестна. Для электрического поля внутри плазмы на границе выполняется

условие:

е(0) = 0. (19)

В параграфе 3.1 получено аналитическое решение задачи с зеркально-аккомодационными граничными условиями отражения электронов. Доказана теорема: Система уравнений (3) и (4) с граничными условиями (5),(6) и (19) имеет решение, и притом единственное, которое представимо в виде разложения по собственным функциям характеристической системы:

ЕгЩЦ-тЦ (,кх\ Ещф + щ! { .Ц,

Ых, и) =----- ехр I—) +----ехр - I—) +

•го \ е / г0 щ + ц \ е I

+^У"ехр(-г0^(гЫЯ(7г)Л?, (20)

е(х) = Е2 ехр (¿у) + Е1 ехр ( - ¿у) + ^ ехр ( - 20^Е{т]) ¿.ц. (21)

В (20) и (21) величины Е1 и Е? (амплитуды Дебая) отвечают дискретному спектру, £(77) - неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра.

В параграфе 3.2 проведен асимптотический анализ полученного решения, рассмотрены предельные случаи значений коэффициента аккомодации нормального импульса электронов. Искомые величины — коэффициент отражения Н(к,ш,е) = \EifEil2 и сдвиг фазы волны ф{к,ш,г) = а^(Е2/Е1) выражены через малые параметры задачи 7, е, т.е. проведено изучение коэффициента отражения и сдвига фазы в длинноволновом пределе, когда волновое число к 0.

Построены графики зависимостей величины коэффициента отражения Я от величин к, г, ар, сдвига фаз ф от величины е. Показано, что значения угла ф слабо зависят как от волнового числа, так и от коэффициента аккомодации.

На рис. 2 изображена зависимость коэффициента отражения Я от волнового числа к для случая е = Ю-2. Кривые 1,2,3 отвечают значениям коэффициента аккомодации ар = 0.1,0.5,1.0. Кривая 4 отвечает диффузным граничным условиям. Из графика видно, что при малых значениях к кривая 3 (соответствующая ар = 1) практически сливается с кривой 4 (которой соответствует <7 = 1), которая получена линеаризацией величины коэффициента отражения по к. С учетом того, что при ар = 0 коэффициент отражения равен коэффициенту отражения для зеркальных граничных условий (т.е. при q = 0) можно сделать вывод, что зеркально-аккомодационные граничные условия хорошо аппроксимируют зеркально-диффузные граничные условия при ар = q.

В параграфе 3.3 решена задача об отражении плазменных волн с диффузно— аккомодационными граничными условиями. Доказательство теоремы о разложении решения задачи по собственным функциям непрерывного спектра соответствующей характеристической системы уравнений сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши и решению неоднородной задачи Римана.

В параграфе 3.4 проведен асимптотический анализ полученного решения в длинноволновом пределе. Для отношения амплитуд отражённой и падающей волн получено следующее выражение:

«"О"1* У- <22>

где величины Кь ^0,60,^1, входящие в (22), выражаются через исходные параметры задачи к,ы,е. Формула (22) показывает, что при условии чисто диффузного отражения электронов от границы плазмы из представления (22) получается приближение, полученное ранее в статье Латышева А.В., Юшханова А.А. "Отражение плазменной волны от плоской границы вырожденной плазмы" (Ж. технической физики. 2007. Т. 77. № 3. С. 17 - 22).

В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.

_[_

Рис. 3: Зависимость коэффициента отражения Я от волнового числа к для случая г = 10~2. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям коэффициента аккомодации ар = 0.1,0.5,1.0.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Аналитическое решение граничной задачи о колебаниях электронной плазмы, заполняющей полупространство.

2. Анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей для случая зеркально-аккомодационного отражения электронов вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля близка к собственной частоте колебаний плазмы.

3. Анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей для случая малых частот колебаний внешнего электрического поля при зеркально—аккомодационном отражении электронов.

4. Исследование отражения электромагнитной волны от границы плазмы в случае зеркально-аккомодационного и диффузно-аккомодационного отражения электронов от границы. Получение точного выражения для коэффициента отражения волны, сдвига фаз падающей а отражённой волн в обоих случаях.

5. Анализ зависимости характеристик отражённой волны от коэффициента аккомодации нормального импульса электронов, связь с предшествующими исследованиями.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя профессора Анатолия Васильевича Латышева и профессора Александра Алексеевича Юшканова за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список работ соискателя по теме диссертации

1. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. К теории колебаний вырожденной электронной плазмы // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика линейных и нелинейных систем. Выпуск 25(2). - М.: КомКнига, 2008. - С. 56 -61.

2. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи об отражении плазменных волн от границы с аккомодацией нормального импульса электронов / / Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика линейных и нелинейных систем. Под ред. Ю.С. Попкова. Выпуск 32(3). - М.: Издательство ЛКИ, 2009. - С. 74 - 79.

3. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. К теории отражения плазменных волн от границы с зеркально-аккомодационными граничными условиями // Вестник МГОУ. Серия "Физика-математика". №3 - М: Издательство МГОУ, 2009. - С. 3 - 14.

4. N. V. Gritsienko, А. V. Latyshev, A.A. Yushkanov On The Theory of Plasma Waves Reflection from the Boundary with Specular Accommodative Boundary Conditions// Proc. 3rd Intern. Conf. on Appl. Maths, Simulation, Modelling (ASM'09), Proc. 3rd Intern. Conf. on Circuits, Systems and Signals (CSS'09) Vouliagmeni, Athens, Greece. December 29-31, 2009. P. 68 - 75.

5. Грициенко H.B., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача об отражении плазменных волн от границы полупространства с зеркально-аккомодационными граничными условиями // ЖВММФ, 2010, т. 50, № 8, с. 1506 - 1519.

6. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. Отражение плазменных волн от границы с зеркально-аккомодационными граничными условиями // Письма в ЖТФ, 2010, т. 36, вып. 16, с. 27 - 33.

7. Грициенко Н.В. Колебания вырожденной плазмы с аккомодацией нормального импульса элеткронов / / Математика. Компьютер. Образование. XVI международная конференция. Пущино, 25-30 января 2009. Тезисы. Под ред. ПО. Ризниченко. - Москва-Ижевск, 2009. - С. 93.

8. Грициенко Н.В. Отражение плазменных волн от границы полупространства с аккомодацией нормального импульса электронов // Математика. Компьютер. Образование. XVI международная конференция. Пущино, 25-30 января 2009. Тезисы. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. - Москва-Ижевск, 2009. - С. 94.

9. Грициенко Н.В. Отражение плазменных волн от границы с аккомодацией нормального импульса электронов // Современная математика и проблемы

математического образования. Труды Всероссийской заочной научно-практической конференции/ Под общ. ред. Т.Н. Можаровой. - Орёл: Издательство ОГУ, 2009. - С. 39 - 45.

10. Грициенко Н.В. Отражение плазменных волн от границы с учётом аккомодации нормального импульса электронов // Материалы XII научной конф. МГТУ "Станкин"и Учебно-научн. центра матем. моделир. Российской академии наук по матем. моделированию и информатике./ - М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ "Станкин 2009. - С. 30 - 32.

11. Грициенко Н.В. К теории отражения плазменных волн от границы с зеркально-аккомодационными граничными условиями // Математика. Компьютер. Образование. XVII международная конференция. Дубна, 25-30 января 2010. Тезисы. Выпуск 17. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. - Москва-Ижевск, 2010. - С. 107.

12. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача об отражении плазменных волн от границы с зеркально-аккомодационными граничными условиями // XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. - М.: РУДН, 2010. - С. 29 - 30.

13. Грициенко Н.В. Новые граничные условия в задаче об отражении плазменных волн от плоской границы // Совр. образоват. технологии в системе матем. образования,- Материалы мсжд. научно-пракг. конф. (Коряжма, 21-22 октября 2010 г.) Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова, с. 396-407.

Статьи 1-6 опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Подписано к печати " 2Л " 2011 г.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, д. 12. Заказ № . Объем КР п.л. Тираж экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Грициенко, Наталия Вячеславовна

Введение

1 Поведение плазмы во внешнем электрическом поле

1.1 Постановка задачи и основные уравнения.

1.2 Постановка граничных условий.

1.3 Собственные функции непрерывного спектра.

1.4 Существование плазменной моды.

1.5 Однородная краевая задача Римана.

1.5.1 Однородная задача Римана.

1.5.2 Факторизация дисперсионной функции

1.5.3 Интегральные представления факторизующей функции.

1.5.4 Представление нуля дисперсионной функции в явном виде.

2 Колебания плазмы с учётом аккомодации нормального импульса электронов

2.1 Решение задачи с зеркально—аккомодационными граничными условиями методом разложения по собственным функциям

2.2 Коэффициенты непрерывного и дискретного спектров, единственность разложения.

2.3 Асимптотический анализ.

2.4 Случай диффузно—аккомодационных граничных условий

2.4.1 Решение задачи.

2.4.2 Коэффициенты непрерывного и дискретного спектров задачи. Функция распределения электронов и электрическое поле.

3 Отражение плазменных волн от границы. Характеристики отраженной волны

3.1 Решение задачи при зеркально—аккомодационных условиях отражения электронов от границы.

3.2 Асимптотический анализ решения.

3.3 Диффузно—аккомодационные граничные условия. Решение задачи.

3.4 Асимптотический анализ решения.

Введение диссертация по математике, на тему "Влияние граничных условий на поведение вырожденной электронной плазмы"

В последние годы плазма является объектом интенсивных исследований. Можно выделить четыре основных направления исследования. Во-первых, это проблема управляемого термоядерного синтеза, который может стать практически неисчерпаемым источником энергии. Во-вторых, создание плазменных преобразователей тепловой энергии непосредственно в электрическую. В-третьих создание плазменных ракетных двигателей с большой скоростью выброса струи Наконец, теоретическое изучение поведения плазмы ведет к пониманию многих явлений в космосе, таких как Солнце, звезды и космические туманности.

В настоящее время изучение плазмы является актуальным в связи с различным практическим применением, развитием астрофизики, космофизики (наблюдением космической плазмы и объяснением процессов в ней) и физики верхней атмосферы Земли, особенно в связи с полетами летательных аппаратов, а также интенсификацией исследований по проблеме управления термоядерным синтезом.

Предметом исследования являются граничные задачи теории плазмы и методы их аналитического решения.

Впервые аналитическое решение задачи о колебаниях бесстолкно-вительной плазмы в полупространстве, находящемся во внешнем продольном электрическом поле, и при зеркальном отражении электронов от границы, было получено Л.Д. Ландау. Л.Д. Ландау впервые сформулировал граничное условие на границе плазмы. Таким образом, задача о колебаниях была корректно сформулирована как задача математической физики. В ряде работ других авторов рассматривались диффузные граничные условия отраженш! электронов от границы плазмы. A.B. Латышевым и A.A. Юшкановым проанализировано поведение электрического поля (для случаев зеркального и диффузного отражения электронов от поверхности) в металле вблизи резонанса, когда частота внешнего поля близка к плазменной частоте.

Цель диссертационной работы - аналитическое решение граничных задач о колебаниях и отражении волн в фермиевской плазме с использованием кинетического уравнения Власова — Больцмана с самосогласованным электрическим полем и уравнения Максвелла на электрическое поле, выяснение структуры электрического поля в металле и изучение характеристики падающей и отраженной волн для нового вида граничных условий отражения электронов от границы плазмы.

Как основной результат, в диссертации получено точное решение линеаризованной задачи о колебаниях в фермиевской плазме и отражении плазменных волн от границы с использованием кинетического уравнения Власова — Больцмана методом разложения по собственным функциям. В качестве граничных условий при решении задач используются зеркально—аккомодационное и диффузио—аккомодационное условия отражения электронов от поверхности. При этом вводится так называемый коэффициент аккомодации нормального импульса электронов, характеризующий степень зеркальности отражения электронов, движущихся к границе. Ранее рассмотрение данной характеристики отражения электронов не проводилось. Учёт коэффициента аккомодации нормального импульса электронов позволяет решить более общую задачу и выявить зависимость поведения плазмы от данного параметра.

Исследована структура дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции.

Найдены точные выражения для электрического поля и функции распределения электронов на границе. В случае зеркально—аккомодационных граничных условий исследовано поведение электрического поля вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты, а также в случае малых частот внешнего электрического поля. Выяснена структура электрического поля. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей вблизи резонанса.

Рассмотрено отражение и поглощение электромагнитной волны вблизи границы плазмы. Получено точное выражение для коэффициента отражения волны, найден аргумент отражения волны, выяснены зависимости данных величин от коэффициента аккомодации нормального импульса. Показано, что рассмотренные в работе зеркально - аккомодационные граничные условия хорошо аппроксимируют зеркально-диффузные граничные условия отражения электронов, что имеет большое теоретическое и прикладное значение в науке о плазме.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение граничной задачи о колебаниях электронной плазмы, заполняющей полупространство.

4. Исследование отражения электромагнитной волны от границы плазмы в случае зеркально-аккомодационного и диффузно-ак-комодационного отражения электронов от границы. Получение точного выражения для коэффициента отражения волны, сдвига фаз падающей и отражённой волн в обоих случаях.

Предшествующие результаты. Понятие "плазма" впервые появляется в работах Тонкса и Ленгмюра (см. [95]-[97]), там же было введено понятие "плазменная частота" и рассмотрены первые вопросы о колебаниях плазмы. В этих работах уравнение на электрическое поле рассматривается отдельно от кинетического.

A.A. Власов [13] впервые ввел понятие "самосогласованного электрического поля" и добавил соответствующее слагаемое в кинетическое уравнение. Теперь уравнения, описывающие поведение плазмы, состоят из зацепленной системы уравнений Максвелла и Больцмана. Задача о колебаниях электронной плазмы рассматривалась А. А. Власовым [13] путем решения кинетического уравнения, включающего самосогласованное электрическое поле.

Л.Д. Ландау [30] предположил, что вне полупространства, содержащего вырожденную плазму, находится внешнее электромагнитное поле, вызывающее внутри плазмы колебания. Тем самым Ландау поставил на границе плазмы граничное условие. Теперь задача о колебаниях плазмы оказывается корректно сформулированной как граничная задача математической физики.

В [30] Л. Д. Ландау аналитически решил задачу о поведении бесстолкновительной плазмы в полупространстве, находящемся во внешнем продольном (перпендикулярно поверхности) электрическом поле, и при зеркальном отражении электронов от границы.

Затем задача о колебаниях электронной плазмы рассматривалась многими авторами [18], [19], [32], [35], [36], [41], [53], [65], [66], [80], [87], [90], [94], [81]. Ее полное аналитическое решение приведено в работах [56] и [58].

Данная задача имеет большое значение в теории плазмы (см., например, [9], [10] и имеющиеся там ссылки, а также [65], [66]).

С диффузным граничным условием задача была рассмотрена в работе [91], [92] методом интегральных преобразований. В работе [18], [19] был проведен общий асимптотический анализ поведения электрического поля на большом расстоянии от поверхности. В работе [18] указывалось на особое значение анализа поведения поля вблизи плазменного резонанса. При этом в работе [18] утверждалось, что поведение поля в этом случае для случаев зеркального и диффузного рассеяния электронов на поверхности существенно отличается.

В работах [35] и [41] рассматривались общие вопросы разрешимости данной задачи, но с диффузными граничными условиями. В работе [41] исследована структура дискретного спектра в зависимости от параметров задачи. Детальный анализ решения в общем случае в указанных работах не проводился ввиду сложного характера этого решения.

Настоящая работа является продолжением исследований поведения электронной плазмы во внешнем продольном переменном электрическом поле [35] - [60].

В работе [105] были рассмотрены вопросы отражения плазменных волн от плоской границы, ограничивающей вырожденную плазму.

В данной работе аналитически решена линеаризованная задача о колебаниях плазменных волн во внешнем продольном переменном электрическом поле и задача об отражении плазменной волны от границы. Рассматриваются зеркально-аккомодационные и диффуз-но - аккомодационные условия отражения электронов от границы. В [57]—[60] рассматривались диффузные граничные условия.

Отметим, что вопросы колебания плазмы рассматриваются и в нелинейной постановке (см., например, работу [94], [81]).

В диссертационной работе для исследования поведения плазмы во внешнем электрическом поле применяется метод решения систем нелинейных интегро-дифферепциальных уравнений, который заключается в разложении по собственным функциям соответствующей характеристической системы.

История точных решений модельных кинетических уравнений в виде разложений по собственным решениям начинается с 1960 года, когда К. Кейз [84] предложил метод, позволяющий в явном виде построить искомую функцию распределения.

Этот метод состоит в разложении функции распределения по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравj нению. Догадка Кейза [84] состояла в том, что он впервые предложил искать решение характеристического уравнения в классе обобщенных функций. Работа Кейза в дальнейшем послужила основой для разработки данного метода в других областях физики. Так К. Черчи-ньяни в 1962 г. использовал метод Кейза для получения аналитического решения БГК-модели (Бхатнагар, Гросс, Крук) уравнения Больцмана.

Значительный вклад в метод Кейза внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов. Так, в работе [33] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК или эллипсоидально - статистической модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана — Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного [14, 67]. Далее в работах Латышева A.B. и Юшканова A.A. продолжает развиваться метод решения граничных задач для кинетических уравнений. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах [32] - [60].

Для решения кинетических уравнений применяется также oneраторный подход, который изложен в [88]. Но одним из основных методов математической физики является метод разложения решения граничных задач по собственным функциям [56].

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. Ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2007 - 2009 гг.);

2. XVI международная научная конференция "Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 25-30 января 2009 г.);

3. XVII международная научная конференция "Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 25-30 января 2010 г.);

6. 3rd International conference in Applied Mathematics, Simulation, Modelling (Греция, Афины, 29-31 декабря 2009 г.);

7. XII научная конференция МГТУ "СТАНКИН" и Учебно-научного центра математического моделирования ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ СТАНКИН, Москва, Россия, 14-15 мая 2009 г.);

Вклад автора в совместных работах. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи получены совместно с научным руководителем A.B. Латышевым и A.A. Юшкановым. Анализ полученных результатов, изучение структуры электрического поля, отражения и поглощения плазменных волн проведены соискателем самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 139 страниц текста, в том числе 17 рисунков. Библиография включает в себя 110 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Заключение

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению системы уравнений, описывающих поведение вырожденной электронной плазмы в полупространстве проводящей среды.

В первой главе рассмотрена постановка задачи о колебаниях вырожденной плазмы во внешнем электрическом поле и получены собственные функции граничной задачи. Впервые рассмотрены новые граничные условия - зеркально-аккомодационные условия, показана связь между коэффициентом аккомодации нормального импульса электронов и рассматривавшимся в предыдущих исследованиях коэффициентом зеркальности.

Исследована структура дисперсионной функции, которая имеет либо два нуля, либо не имеет нулей, что зависит от свойств исходных физических параметров. Число нулей дисперсионной функции связано с индексом задачи. Знание поведения индекса на плоскости параметров (7, е) исходной граничной задачи позволяет решить однородную краевую задачу Римана из теории функций комплексного переменного. Данная задача дает возможность вывести так называемые формулы факторизации дисперсионной функции, из которых можно в явном виде получить выражения для ее нулей ±770- Кроме того, однородная краевая задача Римана лежит в основе решения исходной граничной задачи с диффузно-аккомодационным отражением электронов от границы плазмы. В дальнейшем в работе рассматривается общий случай, когда индекс задачи х(С) = 1, и дисперсионная функция имеет два нуля.

Во второй главе получено точное решение линеаризованной задачи о колебаниях электронной плазмы методом разложения по собственным функциям непрерывного спектра, доказана единственность разложения. В качестве граничных условий рассматривается зеркально-аккомодационное отражение электронов от поверхности. Рассмотрены случаи предельных значений коэффициента аккомодации нормального импульса электронов, показано, что в предельном случае задача сводится к задаче о колебаниях электронной плазмы с зеркально-диффузными граничными условиями, исследованными ранее [56]. Проведен анализ структуры электрического поля и функции распределения электронов. Для задачи с зеркально-аккомодационными граничными условиями проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей вблизи резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты, и в случае малых частот внешнего электрического поля. Впервые исследовано поведение вырожденной электронной плазмы с учётом коэффициента аккомодации нормального импульса электронов при малых частотах внешнего электрического поля, показано влияние коэффициента аккомодации нормального импульса электронов на величину электрического поля в плазме.

В третьей главе получено решение граничной задачи об отражении плазменных волн от границы с использованием зеркально-аккомодационных и диффузно-аккомодационных граничных условий, исследованы такие характеристики отраженной волны, как коэффициент отражения и аргумент отраженной волны. В конце главы проведен анализ предельных случаев отражения в длинноволновом пределе для различных значений коэффициента аккомодации нормального импульса электронов и в зависимости от различных значений параметров задачи 7, е. Построены графики зависимостей характеристик отражённой волны — коэффициента отражения и сдвига фазы волны от параметров задачи и коэффициента аккомодации нормального импульса. Показано, что с увеличением коэффициента аккомодации величина коэффициента отражения волны уменьшается. Исследованы предельные значения коэффициента аккомодации нормального импульса электронов, показано, что зеркально-аккомодационные граничные условия хорошо аппроксимируют зеркально-диффузные граничные условия, когда коэффициент отражения импульса равен коэффициенту зеркальности.

В работе используется метод разложения решения задачи по собственным функциям дискретного и непрерывного спектра, которое представляет собой сумму линейной комбинации дискретных (частных) решений, отвечающих дискретному спектру (определяющихся нулями дисперсионной функции), и интеграла по той части непрерывного спектра, которая содержит убывающие собственные решения. Данный метод состоит в экспоненциальном выделении пространственной переменной у функции распределения и поля с соответствующими весовыми функциями, в результате которого получается характеристическая система, исключив из которой одну из весовых функций, приходят к одному уравнению, содержащему так называемую дисперсионную функцию. Ее нули образуют дискретный спектр, которому отвечают частные (дискретные) решения. Решение характеристического уравнения в классе обобщенных функций дает собственные решения непрерывного спектра.

В заключение, выражаю искреннюю благодарность A.B. Латышеву и A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Грициенко, Наталия Вячеславовна, Москва

1. Абрикосов А.А. Основы теории металла. М.:Наука, 1977. Имеется перевод: A. A. Abrikosov. Fundamentals of the Theory of Metals (Nauka, Moscow, 1987; North-Holland, Amsterdam, 1998).

2. Александров А.Ф., Богданкевич JJ.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978.

3. Арсенъев А.А. Лекции по кинетической теории. М.: Наука, 1992.

4. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат. 1979.

5. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В., Ситенко А.Г., Степанов К.Н. Электродинамика плазмы. М.:Наука, 1974.

6. Бобылев А.В. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. -М.:ИПМ им. М.В.Келдыша, 1987.

7. Браун У. Диэлектрики. М.: Мир. 1961.

8. Ван Кампен. Дисперсионное уравнение для волн в плазме// Сб. статей под ред. Бернашевского Г. А. и Чернова 3. С. 1961. М.: ИИЛ. 360 с. (с. 57-70). К теории стационарных волн в плазме//Там же. С. 37-56.

9. Всдсняпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.:Физматлит, 2001.

10. Веденяпин В. В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову. М.:Изд-во МГОУ. 2005.

11. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.:Физматлит, 2000.

12. Владимиров В. В., Волков А. Р., Мейлихов E.3. Плазма полупроводников. М.: Атомиздат, 1979.

13. Власов A.A. О вибрационных свойствах электронного газа//Ж. эксперим. и теор. физ.1938. Т. 8. Вып. 3. С. 291-318.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.-.Наука, 1977.

15. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

16. Гинзбург В.Л., Рухадзе A.A. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1970.

17. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1977.

18. Гохфельд В.М., Гулянский М.А., Каганов М.И., Плявенек А.Г. Неэкспоненциальное затухание электро-магнитного поля в нормальных металлах // Ж. эксперим. и теор. физики. 1985. Т. 89. №3(9). С. 985-1001.

19. Гохфельд В.М., Гулянский М.А., Каганов М.И. Аномальное проникновение продольного переменного электрического поля в вырожденную плазму при произвольном параметре зеркальности // Ж. эксперим. и теор. физики. 1987. Т. 92. №2. С. 523-530.

20. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М.: Мир, 1975.

21. Займан Дж. Электроны и фононы. М.: Мир, 1962.

22. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974.

23. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат. 1975.

24. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука. 1976.

25. Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. -М.:Мир, 1972.

26. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

27. Кондратенко А.Н. Проникновение волн в плазму. М.: Атомиздат, 1979.

28. Котельников В. А., Улъданов C.B., Котельников М.В. Процессы переноса в пристеночных слоях плазмы. М.: Наука, 2004.

29. Кролл Н., Трайвеликс А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975.

30. Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы// Собрание трудов. М.: Наука, 1969. Т. 2. С. 7-25. (См. также Ж. эксперим. и теор. физ. 1946. Т. 26. Вып. 7. С. 547-586.)

31. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

32. Латышев A.B., Лесскис А.Г., Юшканов A.A. Точное решение задачи о поведении электронной плазмы в металле в переменном электрическом поле//Теор. и матем. физика. 1992. Т. 92. № 1 (июль). С. 127-138.

33. Латышев A.B., Попов В.Н., Юшканов A.A. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений. Монография. 2004. Архангельск. 266 с.

34. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных модельных кинетических уравнений//Теор. и матем. физика. 1992. Т.92. Ш (июль). С. 127-138.

35. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении электронной плазмы в полупространстве металлав переменном электрическом поле// Поверхность. Физика. Химия. Механика. 1993. №2. С.25-32.

36. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении столкновительной плазмы в полупространстве во внешнем переменном электрическом поле//Теор. и матем. физика. 1995. Т.103. №2 (май). С. 299-311.

37. Латышев A.B., Юшканов A.A. Нестационарная граничная задача для модельных кинетических уравнений при критических параметрах//Теор. и матем. физика. 1998. Т. 116, № 2 (август), с. 305-320.

38. Латышев A.B., Юшканов A.A. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах//Ж. экспер. и теор. физики. 1998. Т. 114. Вып. 3(9). С. 956-971.

39. Латышев A.B., Юшканов A.A. Применение метода Кейза к аналитическому решению обобщенной задачи о скин — эффекте в металле//Ж. выч. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 6. С. 989 1005.

40. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов//Ж. техн. физики. 2000. Т. 70. Вып. 8. С. 1-7.

41. Латышев A.B., Юшканов A.A. Электронная плазма в полупространстве металла в переменном электрическомполе//Ж. выч. матем. и матем. физики. 2001. Т. 41. №8. С.1239-1251.

42. Латышев A.B., Юшканов A.A. Точное решение задачи о прохождении тока через границу раздела кристаллитов в мсталле//Физика твердого тела. 2001. Т. 43, вып. 10. С. 17441750.

43. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для квантового ферми — газа//Теор. и матем. физика. 2001. Т. 129. т. С. 491-502.

44. Латышев A.B., Юшканов A.A. Моделирование кинетических процессов в квантовых бозе газах и аналитическое решение граничных задач//Математическое моделирование. 2003. №5. С. 80-94.

45. Латышев A.B., Юшканов A.A. Моментные граничные условия в задачах скольжения разреженного газа//Известия РАН. Сер. МЖГ. 2004. №2. С. 193-208.

46. Латышев A.B., Юшканов A.A. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений// Ж. выч. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. №6. С. 1107-1118.

47. Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на скачок температуры в металле// Ж. техн. физики. 2004. Т. 74. Вы. 11. С. 47-52.

48. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. М.: Изд-во МГОУ. 2004. 286 с.

49. Латышев A.B., Юшканов A.A. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения. Монография. М.:Изд-во МГОУ. 2004. 271 с.

50. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для молекулярных газов. Монография. М.:Изд-во МГОУ. 2005. 264 с.

51. Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Смолуховского для электронов в металле//Теор. и матем. физика. 2005. Т. 142. № 1. С. 92-111.

52. Латышев A.B., Юшканов A.A. Метод сингулярных уравнений в граничных задачах математической физики//Теор. и матем. физика. 2005. Т. 143. № 4. С. 855-870.

53. Латышев A.B., Юшканов A.A. Плазма в высокочастотном электрическом поле с зеркальным условием на границе//Изв. РАН. Сер. МЖГ. 2006. № 1. С. 165-177.

54. Латышев A.B., Юшканов A.A. Вырожденная плазма в полупространстве во внешнем электрическом поле// Теор. и матем. физика. 2006. Т. 144. № 1. 16 с.

55. Латышев A.B., Юшканов A.A. Скин-эффект в газовой плазме с частотой столкновений, пропорциональной скорости электронов//Физика плазмы. 2006. Т. 32. № 8.

56. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. М.:- Изд-во МГОУ, 2006. 274 с.

57. Латышев A.B., Юшканов A.A. Отражение и прохождение плазменных волн через границу раздела кристаллитов// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 7. С. 1229-1246.

58. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении вырожденной электронной плазмы. -Глава 10 в Энциклопедии низкотемпературной плазмы." Т. VII-I "Математическое моделирование в низкотемпературной плазме". С. 159 177. М.: Янус-К. 2008.

59. Латышев A.B., Юшканов A.A. Отражение плазменной волны от плоской границы // Теор. и матем. физ. 2007. Т.150, №3, с. 425-435.

60. Латышев A.B., Юшканов A.A. Отражение плазменной волны от плоской границы вырожденной плазмы // Ж. технич. физ. 2007. Т.77. №3. С. 17-22.

61. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитические решения в теории скин-эффекта. М.:МГОУ. 2008. - 285 с.

62. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). -М.: ТОО "Янус 1995.

63. Лифшиц И.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. М.:Наука, 1971.

64. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

65. Морозов А.И., Савельев В.В. Структура стационарных дебаевских слоев в разреженной плазме вблизи диэлектрической поверхности// Физика плазмы. 2004. Т. 30. № 4. С. 330-338.

66. Морозов И.В., Норман Г.Э. Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме// Ж. экспер. и теор. физики. 2005. Т. 127. Вып. 2. С. 412-430.

67. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физики. М.: Наука, 1968.

68. Недоспасов A.B., Хаит В.Д. Колебания и неустойчивости низкотемпературной плазмы. М.: Наука. 1979.

69. Пайнс Д. Элементарные возбуждения в твердых телах. М.: Мир, 1965.

70. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердых тел. М.: Мир, 1975.

71. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию. М.:Наука, 1971.

72. Силин В.П., Рухадзе A.A. Слабые взаимодействия в плазме. М.: Наука, 1971.

73. Соколов A.B. Оптические свойства металлов. М.: Г. И. Ф. М. Л. 1961.

74. Смирнов Б.М. Введение в физику плазмы. М.: Наука. 1982.

75. Смит Р. Полупроводники. М.: Мир, 1962.

76. Стикс Т.Х. Теория плазменных волн. М.: Атомиздат, 1965.

77. Физика металлов: Ч. 1. Электроны. Под ред. Дж. Займана. М., 1972.

78. Хиппелъ А. Диэлектрики и волны. М.: Мир, 1962.

79. Энциклопедия низкотемпературной плазмы// Энциклопедическая серия. 1997-2009. Т. 1-7. Под ред. В.Е. Фортова. М.:" Наука/Интерпериодика".

80. Arnold A., Carrillo J. A., Gamba I., Shu С. W. Low and high field scaling limits for the Vlasov- and Wigner-Poisson-Fokker-Planck systems//Transport theory and statistical physics, 2001. Vol. 30, pp. 121-153.

81. Bingham R., De Angelis U., Shukla P.K., Stenflo L. Large amplitude waves and fields in plasmas.// Proceedings, Workshop, Spring College on Plasma Physics, Trieste, Italy, May 22-26, 1989 (1990).

82. Blatt F.J. Theory of Mobility of Electrons in Solids. Acad. Press, New York (1957).

83. Boyd T.J.N., Sanderson J.J. The Physics of Plasmas// Cambridge Univ. Press. 2003. 546 pp.

84. Case K.M. Elementary solutions of the transport equations and their applications//Ann. Phys. V.9.№1. 1960. P. 1-23.

85. Cercignani C. Theory and application of the Boltzmann equation. Scottish Academic Press. Edinburgh and London, 1975. Имеется перевод: Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.

86. Dressel М., Griiner G. Electrodynamics of Solids. Optical Properties of Electrons in Matter. Cambridge. Univ. Press. 2003. 487 P

87. Forsmann F., Steschke H. Electrodynamics of metal boundaries with inclusion of plasma waves. Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. №23. P. 1365 1368.

88. Greenberg W., van der Мее C., Protopopescu V. Boundary value problems in abstract kinetic theory. Birkhauser Verlag. Basel, 1987.

89. Jones W.E., Kliewer K.L., Fuchs R. Nonlocal theory of the optical properties of thin metallic films// Phys. Rev. 1969. V. 178. №3. P. 1201-1203.

90. Kaganovich I. D., Polomarov О. V., Theodosiou С. E. Resisting the anomalous of field penetration into a warm plasma//ArXiv: physics/0506135.

91. Keller J.M., Fuchs R., Kliewer K.L. p-polarized optical properties of a metal with a diffusely scattering surface//Physical Review B. 1975. V. 12. №6. P. 2012-2029.

92. Kliewer K.L., Fuchs R. s-polarized optical properties of met- als//Phys. Rev. B. 1970. V. 2. №8. P. 2923-2936.

93. Liboff R.L. Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic description// 2003. Springer Verlag. New York, Inc. 587 pp.

94. Stenflo L. and Tsytovich V.N. Effect of Collisions on the Nonlinear Scattering of Waves in Plasmas// Comments on Plasma Physics and Controlled Fusion. 1994. Vol. 16, No. 2, pp. 105-112.

95. Tonks L., Langmuir I. Oscillations in ionized gases// Phys. Rev. 1929. V. 33 P. 195-210; Langmuir I. Phys. Rev., 1929. V. 33, p. 954; Tonks L., Langmuir I. Phys. Rev., 1929. V. 34, p. 876.

96. Tonks L. The high frequency behavior of a plasma // Phys. Rev. V. 37, 1931, pp. 1458-1483.

97. Tonks L. Plasma-electron resonance, plasma resonance and plasma shape// Phys. Rev. 1931. V. 38. P. 1219-1223.

98. Список работ по теме диссертации

99. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. К теории колебаний вырожденной электронной плазмы / / Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика линейных и нелинейных систем. Выпуск 25(2). М.: КомКнига, 2008. - С. 56 - 61. •

100. Грициенко Н.В. Колебания вырожденной плазмы с аккомодацией нормального импульса элеткронов / / Математика. Компьютер. Образование. XVI международная конференция. Пущино, 25-30 января 2009. Тезисы. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. Москва-Ижевск, 2009.

101. Грициенко Н.В. Отражение плазменных волн от границы с учётом аккомодации нормального импульса электронов //

102. Материалы XII научной конференции МГТУ "Станкин" и Учебно-научного центра матем. моделирования Российской академии наук по математическому моделированию и информатике. М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ "Станкин", 2009. - С. 30 - 32.

103. Грициенко Н.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. К теории отражения плазменных волн от границы с зеркально-аккомодационными граничными условиями // Вестник МГОУ. Серия "Физика-математика". №3 М.: Издательство МГОУ, 2009. - С. 3 - 14.

104. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача об отражении плазменных волн от границы полупространства с зеркально-аккомодационными граничными условиями // ЖВММФ, 2010, т. 50, № 8, с. 1506 1519.

105. Грициенко Н.В., Латышев A.B., Юшканов A.A. Отражение плазменных волн от границы с зеркально-аккомодационнымиграничными условиями // Письма в ЖТФ, 2010, т. 36, вып. 16, с. 27 33.