Граничные задачи теории скин-эффекта в максвелловской плазме тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Алабина Юлия Федоровна

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СКИН-ЭФФЕКТА В МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

-1 ок

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003478066

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Латышев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 20 октября 2009 г. в 16 часов па заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского института электроники и математики.

Автореферат разослан 18 сентября 2009 г.

профессор В.П. Шутяев;

доктор физико-математических наук,

профессор JI.A. Уварова.-

Ведущая организация: Вычислительный центр

Российской академии наук

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 к. ф.-м. п., доцент

П.В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Работа посвящена аналитическому решению граничных задач теории скин-эффекта для невырожденной электронной плазмы, заполняющей полупространство.

Скин-эффект обусловлен откликом электронного газа (в металлической или газовой плазме) на внешнее тангенциальное к поверхности переменное электромагнитное поле с постоянной амплитудой.

В настоящее время изучение плазмы является актуальным в связи с различным практическим применением, развитием астрофизики, космофизики (наблюдением космической плазмы и объяснением процессов в ней) и физики верхней атмосферы Земли, особенно в связи с полетами летательных аппаратов, а также интенсификацией исследований по проблеме управления термоядерным синтезом.

Наиболее детальный метод описания плазмы - кинетический, с использованием системы уравнений Власова-Максвелла.

Предметом исследования являются грапичные задачи теории скин-эффекта и методы их аналитического решения.

Впервые аналитическое решение аналогичных задач в полупространстве металла получала Ройтер а Зондгеймер. Одно из преимуществ их метода состоит в том, что полученная формула для вычисления импеданса не зависит от числа нулей дисперсионной функции, и, естественно, не требует их вычисления. К недостаткам метода следует отнести, например, тот факт, что электрическое поле и функция распределения электронов выражаются интегралами Фурье, что несколько затрудняет численные исследования.

Поэтому актуальной задачей математической физики является развитие аналитического метода решения различных краевых задач кинетической теории скип-эффекта.

Цель диссертационной работы - дать введение в аналитические методы решепия граничных задач о скин-эффекте в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власова с самосогласованным электрическим полем и уравнения Пуассона па электрическое поле.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с аналитическим решением системы уравнений, описывающих поведение электронов и электрического поля в полупространстве максвелловской плазмы.

Как основной результат, в диссертации получено точное решение линеаризованной задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власова — Максвелла . методом разложения по собственным функциям и методом источника. В качестве граничных условий используется зеркальное и диффузное отражение электронов от поверхности.

Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи скин-эффекта при нормальном и аномальном екнн-эффекте.

Исследовала структура дискретного спектра, который состоит из пулей дисперсионной фуцкции.

Сформулировала и доказала теорема о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложении по собственным функциям соответствующей характеристической системы уравнений.

Найдены точные выражения для импеданса в случае зеркальных и диффузных граничных условий. Исследовано поведения импеданса вблизи плазмеппого резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

Рассмотрено отражение и поглощение электромагпитпой волны вблизи границы плазмы. Выяснена структура электрического поля. В явном виде получено выражение для профиля функции распределения электронов в полупространстве и на границе плазмы. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи резонанса.

Научная и практическая ценность. Результаты работы отпосятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, по крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (теории обобщенных функций), методов краевых задач теории функций комплексного переменного для решения кинетических уравнений и применение полученных результатов .при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании явления скин-эффекта в максвелловской (неравновесной) плазме.

Личное участие автора. Постановка задачи и вывод системы уравнений принадлежат профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи; анализ полученных результатов, изучение структуры электрического поля, отражение и поглощение плазменных волн проведены соискателем лично.

В работах [1, 2] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, а в работах [3, 5] соискателю принадлежат также и теоретические результаты о свойствах найденного аналитического решения и исследование поведения импеданса.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2006 - 2008 тт.);

2. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МПГУ (Москва, 2006 - 2008 гг.);

3. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)" (Орел, Россия, 2007 г.);

4. XXI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (СГТУ, Саратов, Россия, 27-31 мая 2008 г.);

5. Пятая международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, Россия, 2008);

6. Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (РАН Сибирское отделение, Иркутск, Россия, 24-30 июня 2008 г.);

7. Международная научная конференция "Физико-химические основы формирования и модификации микро- и наноструктур" (НФТЦ МОН и HAH Украины, Харьков, Украина, 2008 г.);

8. Международная конференция, посвященной 100-летшо со дня рождения С.Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений." (Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, Россия, 512 октября 2008 г.);

9. Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем" (МГУП СТАНКИН, Москва, Россия, 14-18 октября 2008 г.);

10. IV Международная научно-практическая конференция "Predni védecke novinky - 2008" (Прага, Чехия, 1-15 сентября 2008 г.);

11. Пятая всероссийская конференция (МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 26-28 января 2009 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах соискателя, список которых приведен в конце автореферата. Статьи 1-5 опубликованы в изданиях, входящих в утверждеш!ый ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации па соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 126 страниц текста, в том числе 34 рисупков. Библиография включает в себя 103 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита па параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются основные результаты работы, а также дается краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе проводится постановка задачи. Показано, что задача сводится к решению системы уравнений Власова — Максвелла.

Предположим, что макозелловская плазма занимает полупространство х > О, где х - координата, нормальная к границе плазмы. Пусть впешнсс электрическое поле имеет одну ¡/-компоненту. Тогда самосогласованное электрическое поле внутри плазмы также имеет одну ^-компоненту Ey(x,t) — Е(х)е~^1. Возьмем кинетическое уравнение для функции распределения электронов:

| + 0)

В уравнении (1) v - частота столкновений электронов с ионами, eg - заряд электрона, /o(v) - равновесная максвелловская функция распределения,

/0(v)=„(g3/2exP(-^),

Здесь т - масса электрона, кв~ постоянная Больцмана, Т - температура плазмы, v - скорость электронов, п - концентрация электронов. Электрическое поле Е(х) удовлетворяет уравнению:

F(x) + JE = Jjt^JVyf{tiX,v)dЧ (2)

где и> - частота колебаний электрического поля, с — скорость света.

Предположим, что напряженность электрического поля такова, что применимо условие линейного приближения. Тогда функция распределения может быть представлена в виде:

/ = /о (1 + Cv exp(-iwt)h(x, ц)),

где С — i/flv - безразмерная скорость электронов, ¡1 = Сх. Пусть I = щ-т - длина свободного пробега электронов, vt = 1/\//5 - тепловая скорость электронов, т = \jv. Введем безразмерные величины:

tj = vt, х, = у, e(xj) =

I v\fmkBT

Далее вместо ij будем снова писать х. В новых переменных кинетическое уравнение (1) и уравнение на поле с учетом тока смещения (2) запишутся в виде:

t^ + A>h(x,n) = c(x), 2о = 1-^, (3)

ОО

+ Q2e(x) = -га— [ ехр(-^'2)h{x,ju')d/x', Q = —. (4)

V77 J c

cPe(x) dx1.

Граничные условия в рассматриваемой задаче в случае зеркального отражения электронов имеют вид:

И (0, ц) = й(0, -у), 0 < ц < +оо, (5)

в случае диффузного рассеяния электронов:

h{0,fi) = 0, 0 < fi< +00. (6)

В обоих случаях функция распределения ищется затухающей вдали от поверхности:

/»(+oo,/i) = 0, -oo</i<+oo. (7)

Граничные условия для электрического поля на степке и вдали от нее равны:

е'(0) = 1, е(+оо) = 0. (8)

С помощью анзаца Кейза (Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. - М.: Мир, 1972. - 384 с.)

/i,(i,(i) = ехр (- /0. e,(:r) = ехр (- E(ri),

выводится характеристическая система уравнений:

(ч-*|)Ф(ч,|0 = ^Я(ч), (9)

оо

(1 + %f)E(rj) = / ехр( V) *(*, Р) dp. (10)

—оо

Из уравнений (9) и (10) в классе обобщенных функций находим собствешгые функции непрерывного спектра (—оо <т] < +оо):

Ф(Ч> м) = + А(,) ехр(т)2)5(т1 - ß), (И)

V* 20

Здесь символ Рх~' - главное значение интеграла по Коши, 8(х) - дельта-фупкция Дирака.

В выражении (11) введена дисперсионная функция задачи:

□о

. / Ч Q2 1 az3 f ехр(—u2) ,

A(z) = 1 + + -= / 14 и'<1ц. Ч V* Jx P-z

В параграфе 1.3 проведен анализ структуры дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции. Построена область D граница которой задается параметрическими уравнениями dD+ — : Re А+(д) =

О, Im \+(ß) = 0}, где ü>i = ш/(исЧ>)> "i = 1>1Ь><^т)< vc = у/ъЦЫ/с) (рис. 1).

Согласно принципу аргумента разность между числом пулей N и полюсов Р дисперсионной функции равна деленному на 2тг приращению ее аргумента вдоль

Рис. 1: Неограниченные области на ((¿1, [/^-плоскости. Граница области -кривая £ = разделяет области и £>".

контура 7, охватывающего разрез (—оо, оо) по часовой стрелке, и отстоящего от него на расстоянии е:

#-P = i[argA(z)]7. (12)

Переходя к пределу в равенстве (12) при е —> 0, получаем:

JV = 2 + A[argG(r)](.00,00), = (13)

С использова1шем равенства (13) можно показать, что на плоскости fi) построена такая область D+ (см. рис. 1), что если точка (uii,i/i) 6 D+, то дисперсионная функция имеет четыре пуля ±7ja и ±7^, а если (ыь fi) 6 D~, D~ - внешность области D+, то дисперсионная функция имеет два нуля ±tj0-

Нулям ?/о и т]х отвечают следующие собственные функции характеристического уравнения, соответствующие дискретному спектру:

Гр1 ВЫ = fc = 0,1.

\fi{Vk - ч) yft

Число нулей связапо с индексом задачи формулой:

N - 2 = i [ arg G(i)] = 2*(G).

Знание поведения индекса исходной граничной задачи дает возможность решить однородную краевую задачу Римала из теории функций комплексного переменного.

Эта задача позволяет вывести формулы факторизации дисперсиошюй фупкции, из которых можно в явном виде получить выражения для ее нулей. Кроме того, однородная краевая задача Римана лежит в основе решения исходной граничной задачи с диффузным отражением электронов от границы плазмы.

Однородная краевая задача Римана формулируется следующим образом: требуется найти функцию Х(г), аналитическую везде в комплексной плоскости за исключением точек разреза (0;+оо), имеющую ненулевой порядок во всех точках комплексной плоскости, а в бесконечно удаленпой точке имеющую порядок, равный индексу задачи, и такую, что ее грапичные значения в интервале (0; +оэ) сверху и снизу связаны линейным соотношением:

= С?(/хрГ (/х), 0 < ц < оо, (14)

где С?(/*) = — коэффициент задачи.

А (ц)

В случае нулевого индекса, решение задачи (14) имеет вид:

оо

' 1и ¿Ц

¡1 — г

о

В случае, когда индекс равен единице, решение задачи (14):

о

В конце главы проведена факторизация дисперсионной функции и выведены интегральные представления факторизующей функции. Доказаны следующие утверждения:

1. Если индекс задачи Римана равен нулю: к((3) = 0, то имеет место следующая формула:

Л (г) = а(г£ - 2?)Х(г)Х(-г), г ф (-оо, +сс).

2. Если ивдекс задачи Римана равен едипице: = 1, то имеет место следующая формула:

А(г) = а(г,1 - - *)Х(г)Х{-х), г £ (-оо, +оо).

Во второй главе получено аналитическое решение поставленной задачи с зеркальным отражением электронов от границы полупространства.

В параграфе 2.1 используется метод разложения по собственным функциям. Доказана теорема: Гранича/ля задача (3) - (8) имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения:

1 з

II) = 4= У* А=—~ ехр(-т£ - г0—)+ А ££ Як ~ Ц Пк

+ ! ^М-^ШпШп,^, (15)

о

ФО = 5>ч2«р(-»Й+ ] ехрН,2 -(16)

Д:=0 о

Здесь Аь(*; = 0,1) - неизвестные коэффициенты, отвечающие дискретному спектру, причем Аг = 0, если а € Л(т;) - неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра, Ие (20/171) > 0 (& = 0,1).

Доказательство разложения сводится к решению сингулярного шггегральпого уравнения с ядром Коши:

I 00

У3А.{г]) ехр(—т;2) ¿т]

+А(/х)Л(д) = 0, -оо < ¡1 < оо.

Последнее приводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного:

А+(м)[ЛГ(м) + Ж)] = А-МЛГМ +

Условия разрешимости и формулы Сохоцкого позволяют найти все пеизвестные коэффициенты разложения решения исходной грапичной задачи:

00

л - ■А , , 1 Г ¿т

к ~ ~аг01г,1\'(пку *-0,1' Где 2ТГ У А(гг)'

ам = ехр^2) Г—1___!_1 = а7>

2аг0^г1Ч[Х+(п) А" (г,)] а20/А+(г;)А-(г?)'

Для характеристики свойств плазмы в электромагнитном поле, вводится понятие импеданса, или поверхностного сопротивления:

4тггш е(0) с2 е'(0)

В параграфе 2.1 получено выражение для импеданса удобное для численных расчетов, в зависимости от числа нулей дисперсионной функции. Так в случае, когда индекс задачи равен единице, импеданс имеет вид:

А'Ы + А'Ы + АА'ЫА'Ы о щУЫ+тХ'М + кщщХ'ЫХ^щ)'

1к~] А+(Ч)А-(Ч)

' г)2+1:ехр(-т;2)

о

В случае нулевого индекса:

4ти1г]0 1 + Л А'(тур)

с2г0 1 + /о)?оА'(1)о)'

В конце параграфа построепы графики модуля, аргумента, действительной и мнимой частей импеданса. Проведен анализ поведения импеданса вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

В параграфе 2.3 получено аналитическое решение задачи методом источника. В оспове метода лежит идея симметричного продолжения электрического поля па сопряженное полупространство. В явном виде найдены аналитические выражения для электрического поля, функции распределения электронов и импеданса.

В параграфе 2.4 проведеи анализ предельных случаев скин-эффекта. Рассматриваются нормальный скин-эффект, когда длина свободного пробега электронов много меньше характерной глубины скин-эффекта и аномальный скин-эффект, когда дайна свободного пробега электронов много больше характерной глубины скин-эффекта.

При аномальном скин-эффекте выражение для безразмерного импеданса таково:

При нормальном скин-эффекте безразмерный импеданс имеет вид:

Полученный результат совпадает с классическим результатом для вырожденной плазмы.

В параграфе 2.5 рассмотрено как отражение электромагнитной волны от границы плазмы, так и ее и поглощение. Исследовано поведение коэффициентов отражения и поглощения вблизи плазменного резонанса.

В третьей главе иайдеио аналитическое решеш!е поставленной задача с диффузными граничными условиями методом разложения по собственным функциям. Разложение (15) - (16) сначала сводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши:

оо

а Г ? ехрИМ,) + + а Л ца ехр(-д0) = ^ 0<(1<оо (п)

У Т1 - Ц уъ ча — Д

о

Уравнение (17) приводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного

А+(м) [ЛГ+&1) + ,рО0] = Л"01) [лг00 + ¥>00], О <11

< оо.

Сначала решается соответствующая однородная краевая задача, находится X— функция - решение краевой задачи. Для ^-функции выведены интегральные

представления и доказана факторизация дисперсиоппой функции. Затем решается неоднородная краевая задача. Решение последней находится в классе мероморфных функций. Причем коэффициенты, отвечающие непрерывному спектру, находятся из формул Сохоцкого, а коэффициенты дискретного спектра - из условий разрешимости краевой задачи.

В случае нулевого индекса коэффициент дискретного спектра

Л) = •

а2<,Х(%)1Й ехр(-т?§)' и коэффициент непрерывного спектра

Х(0)ехр(т?) _%_(_}■___1_\

Х-Ш'

Мп) = --

2^/Ип3аго Г) - г]0\Х+(г1) Выражение для импеданса при этом имеет вид:

4тгш:1

с2 ¿о

Х(0)

Для случая единичного индекса коэффициенты дискретного спектра имеют вид:

тгх(о)

к,^ ого^Г1 ~ По Чпо ®Ф(~Ч2)Х(г/0)' коэффициент непрерывного спектра равен:

А( =

ехр(т)2) Х(0)

Х(0) Г 1____1

1 _ 1'\ Ь - По

VI,

1

'По'

Х+(ц) Х-(ч)

При этом импеданс равен:

2 =

Ажш1

Х'(0) 1 1

*(0) тю Щ

В параграфе 3.3 в явном виде получено выражение для профиля функции распределения электронов, движущихся на границу плазмы (т.е. для случая —оо < /х<0):

■ +

оо

к] А(гг

т2с(г

тг7 А(гт)(т2 + /<2) и для электронов, отраженных от границы плазмы:

^¿т

-оо < ¡1 < О,

, 0 < ц < оо.

Профиль электрического поля в полупространстве представлен в явном виде с помощью найденных коэффициентов непрерывного и дискретного спектров:

. 1 / 2оХ\ 1 ( гоХ\

оо

а [ ( 20а;\ 773 схр(—т; ) о

Проведенный в параграфе аиализ показывает, что величина электрического поля в задаче о скин-эффекте определяется в основном дискретным спектром в случае сильно аномального скин-эффекта; величина мнимой части электрического поля при любых значениях параметра аномальности много меньше величины действительной части и с ростом параметра аномальности величина мнимой части поля резко убывает.

В параграфе 3.4 в случае аномального скин-эффекта выведено отношение импедапса при диффузном и зеркальном отражении электронов, равное 9/8. В случая нормального скин-эффекта данное отношение равно 1.

В заключение сформулированны в краткой форме основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

• Аналитическое решение грапичпой задачи теории скин-эффекта для электронной плазмы; зеркальные граничные условия. Анализ полученных результатов вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

• Аналитическое решение граничной задачи с диффузными граничными условиями. Анализ полученных результатов вблизи плазменного резонанса.

• Анализ структуры дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции. Построение области Д граница которой задается параметрическими уравнениями сШ+ = {(ш),^) : Ие А'1"(/0 = 0> Ьп ^(¡А = 0}.

• Исследование отражения и поглощения электромагнитной волпы вблизи границы плазмы. Структура электрического поля и функции распределения электронов. Анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи плазменного резонанса.

Автор искренне благодарен научному руководителю профессору Анатолию Васильевичу Латышеву и профессору Александру Алексеевичу Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список работ соискателя по теме диссертации

1. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Точное решение задачи о скин-эффекте в газовой плазме методом разложения по собственным функциям // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. Выпуск 10(2). - М.: КомКнига, 2006. - С. 66 - 72.

2. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решите задачи о скин-эффекте в газовой плазме // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. Т. 31(1).

- М.: Издательство ЛКИ, 2007. - С. 133 - 140.

3. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Решение задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме методом разложения по собственным функциям //Известия высших учебных заведений. Физика. Т. 52. № 2. - Томск, 2009. - С. 33 - 38.

4. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение системы уравнений Власова - Пуассона в задаче о скин-эффекте // Сибирский журнал индустриальной математики. T. XII. № 1(37). -Новосибирск, 2009. - С. 3 - 10.

5. Alabina Y.F., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Analytical solution of the skin effect problem with the displacement current in Maxwell plasma by the source method // Journal of mathematical physics. Vol. 50, 2009, 043516.

6. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Собственные функции характеристической системы, отвечающей уравнениям Власова-Максвелла // Актуальные проблемы математики, информатики и образования. - М.: МПГУ, 2007. - С. 111 - 115.

7. Алабина Ю.Ф. Электрическое поле в задаче о скин-эффекте // Современные образовательные технологии в системе математического образования. Часть И.

- Архангельск: Изд-во Поморского ун-та, 2008. - С. 403 - 406.

8. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Общее решение характеристической системы, отвечающей уравнениям Власова-Максвелла / / Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева): труды Всероссийской заочной нучно-практической конференции. - Орёл: Издательство ОГУ, 2007. - С. 386 - 389.

9. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Решение задачи о скин-эффекте в максвелловской плазме методом источника с использованием двухпараметрического уравнения // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 21: сб. трудов XXI Международ, науч. конф. в 10 т. Т. 2. Секция 2, 6 / Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. - С. 69 - 72.

10: Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Решение задачи о скип - эффекте в максвелловской плазме с диффузными граничными условиями // Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование. Т. 13: Сб. тр. Пятой международ, научно-практич. конф. "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" . СПб.: Изд. Политехи, ун-та, 2008. - С. 145 - 149.

11. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Точное решение задачи о скин-эффсктс с током смещения в максвелловской плазме // Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи". Российская академия наук. Сиб. отд. Институт динамики систем и теории управления. Иркутск, 2008. -С. 9.

12. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Скип-эффект с диффузными граничными условиями // Физико-химические основы формирования и модификации микро- и наноструктур. Сборник научных трудов международной конференции. - Харьков: НФТЦ МОИ и HAH Украины, 2008. - С. 444 - 445.

13. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Сюш-^ффскт в максвелловской плазме с диффузными граничными условиями // Моделирование нелинейных процессов и систем: Сб. тезисов международной научной конференции. - М.: МГУП, 2008. - С. 55 - 56.

14. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Скин-эффект с током смещения в максвелловской плазме // Моделирование нелинейных процессов и систем: Сб. тезисов международной научной конференции. - М.: МГУП, 2008. - С. 57 -58.

15. Алабина Ю.Ф. Структура электрического поля в максвелловской плазме // Materiäly IV mezinärodni vedecko - praktickä konference "Predni vedecke novinky - 2008". - Dil 6. Matematika. Moderni informaenf technologie. Fyzika. Vystavba а architektura. - Praha: Publishing House "Education and Science" s. г. о., 2008. -P. 30 - 33.

16. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная столетию со дня рождения C.JI. Соболева. Тез. докладов. - Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2008. - С. 92.

17. Алабина Ю.Ф. Особенности электрического поля в задаче о скип-эффекте // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Пятой Всероссийской конференции - М.: МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2009. - С. 174 - 177.

Подписано в печать:

08.09.2009

Заказ № 2499 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Объем: 1 усл.п.л. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 \vww.autoreferat. ги

Введение

Глава 1. Скин—эффект в максвелловской плазме

1.1. Постановка задачи и основные уравнения.

1.2. Собственные функции непрерывного спектра.

1.3. Плазменные моды в максвелловской плазме

1.4. Однородная краевая задача Римана.

1.5. Факторизация дисперсионной функции.

1.6. Интегральные представления факторизующей функции

Глава 2. Зеркальные граничные условия

2.1. Решение задачи методом разложения по собственным функциям

2.2. Вычисление импеданса

2.3. Аналитическое решение задачи методом источника.

2.4. Предельные случаи скин-эффекта.

2.5. Отражение и поглощение электромагнитной волны вблизи границы плазмы.

Глава 3. Диффузные граничные условия

3.1. Индекс задачи равен нулю. Вычисление импеданса в случае нулевого индекса.

3.2. Индекс задачи равен единице. Вычисление импеданса

3.3. Функция распределения электронов и электрическое поле

3.4. Соотношение импедансов в случае зеркального и диффузного граничного условия

Объект исследования и актуальность темы. Работа посвящена аналитическому решению граничных задач теории скин-эффекта для электронной плазмы, заполняющей полупространство.

Скин-эффект обусловлен откликом электронного газа (в металлической или газовой плазме) на внешнее тангенциальное к поверхности переменное электромагнитное поле с постоянной амплитудой.

В настоящее время изучение плазмы является актуальным в связи с различным практическим применением, развитием астрофизики, космофи-зики (наблюдением космической плазмы и объяснением процессов в ней) и физики верхней атмосферы Земли, особенно в связи с полетами летательных аппаратов, а также интенсификацией исследований по проблеме управления термоядерным синтезом.

Наиболее детальный метод описания плазмы - кинетический, с использованием системы уравнений Власова — Максвелла.

Предметом исследования являются граничные задачи теории скин-эффекта и методы их аналитического решения.

Впервые аналитическое решение аналогичных задач в полупространстве металла получили Ройтер и Зондгеймер. Одно из преимуществ их метода состоит в том, что полученная формула для вычисления импеданса не зависит от числа нулей дисперсионной функции, и, естественно, не требует их вычисления. К недостаткам метода следует отнести, например, тот факт, что электрическое поле и функция распределения электронов выражаются интегралами Фурье, что несколько затрудняет численные исследования.

Поэтому актуальной задачей математической физики является развитие аналитического метода решения различных краевых задач кинетической теории.

Цель диссертационной работы - дать введение в аналитические методы решения граничных задач о скин-эффекте в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власова с самосогласованным электрическим полем и уравнения Пуассона на электрическое поле.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с аналитическим решением системы уравнений, описывающих поведение электронов и электрического поля в полупространстве максвелловской плазмы.

Как основной результат, в диссертации получено точное решение линеаризованной задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме с использованием кинетического уравнения Власов — Максвелла методом разложения по собственным функциям и методом источника. В качестве граничных условий используется зеркальное и диффузное отражение электронов от поверхности.

Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи скин-эффекта при нормальном и аномальном скин-эффекте.

Исследована структура дискретного спектра, которая состоит из нулей дисперсионной функции.

Сформулирована и доказана теорема о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям соответствующей характеристической системы уравнений.

Найдены точные выражения для импеданса в случае зеркальных и диффузных граничных условий. Исследовано поведения импеданса вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

Рассмотрено отражение и поглощение электромагнитной волны вблизи границы плазмы. Выяснена структура электрического поля. В явном виде получено выражение для профиля функции распределения электронов в полупространстве и на границе плазмы. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи резонанса.

Научная и практическая ценность. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, по крайней мере два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (теории обобщенных функций), методов краевых задач теории функций комплексного переменного для решения кинетических уравнений и применение полученных результатов при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании явления скин-эффекта в максвелловской (неравновесной) плазме.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение граничной задачи теории скин-эффекта для электронной плазмы, с зеркальными граничными условиями. Анализ полученных результатов вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

2. Аналитическое решение граничной задачи с диффузными граничными условиями. Анализ полученных результатов вблизи плазменного резонанса.

3. Анализ структуры дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции. Построение области В граница которой задается параметрическими уравнениями дИ+ = {(ш^Уу) : 11е А+(/л) = 0, 1т А+О) - 0}. .

4. Исследование отражения и поглощения электромагнитной волны вблизи границы плазмы. Структура электрического поля и функции распределения электронов. Анализ величины модуля электрического I поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи плазменного резонанса.

Предшествующие результаты. Открытие явления скин-эффекта принадлежит Т. Хьюгсу в 1885 году. Оливер Хевисайд и Джон Рэлей были первыми, кто начал рассмотрение потоков энергии электромагнитного поля и описали вытеснение переменных полей и токов из толщи проводников, то, что теперь стали называть скин-эффектом (1886). В 1940 г. Гейнц Лондон открыл аномальный скин-эффект в металлах. Альфрен Брайн Пиппард построил теорию аномального скин-эффекта (1947). Он первым показал, что аномальный скин-эффект в металлах зависит от геометрических особенностей ферми-поверхности, а не от средней длины свободного пробега электрона [81].

В имеющихся к настоящему времени монографиях, посвященных различным вопросам поведения плазмы, теории скин-эффекта отводится немного места — несколько глав или параграфов.

Впервые аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольной степени аномальности было получено в работах [74] и [82] для плазмы в металле. Для газовой плазмы соответствующее решение приводится в [62].

В.П. Силиным исследована диэлектрическая проницаемость в изотропной плазме и получена эффективная глубина проникновения поля в случае зеркальных и диффузных граничных условий для нормального и аномального скин-эффектов.

В работе А.Н. Кондратенко [74] в кинетическом приближении ч вычислены глубины проникновения полей, коэффициенты трансформации в случае нормального и аномального скин-эффекта при зеркальном и диффузном отражении частиц в изотропной полуограниченной плазме или плазменных слоях.

В настоящее время проблема изучения явления скин-эффекта представляет интерес для многих авторов в плазме твердого тела и в газовой плазме - [19], [28], [29], [33], [54], [57], [76], [86], [87].

Во всех предшествующих работах исследование импеданса при наличии тока смещения вблизи резонанса не проводилось.

В диссертационной работе исследуются методы решения систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

История точных решений модельных кинетических уравнений в виде разложений по собственным решениям начинается с 1960 года, когда К. Кейз [21] предложил метод, позволяющий в явном виде построить искомую функцию распределения.

Этот метод состоит в разложении функции распределения по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравнению. Система собственных функций, отвечающая уравнению, должна быть полной в смысле метрики некоторого функционального пространства, но до Кейза в нее включали только регулярные собственные функции. Работа Кейза в дальнейшем послужила основой для разработки данного метода в других областях физики. Так К. Черчиньяни в 1962 году использовал метод Кейза для получения аналитического решения БГК-модели (Бхатнагар, Гросс, Крук) уравнения Больцмана.

Значительный вклад в метод Кейза внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов, в работе [30] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК или эллипсоидально - статистической — модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана — Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного (ТФКП) [12,59]. Далее в работах Латышева A.B. и Юшканова A.A. продолжает развиваться метод решения граничных задач для кинетических уравнений. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах [28] - [50].

Для решения кинетических уравнений применяется также операторный подход, который изложен в [53]. Но одним из основных методов математической физики является метод решения граничных задач по собственным функциям [2].

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2006 - 2008 гг.);

2. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МПГУ (Москва, 2006 - 2008 гг.);

3. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)" (Орел, Россия, 2007 г.);

4. XXI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (СГТУ, Саратов, Россия, 27-31 мая 2008 г.);

5. Пятая международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, Россия, 2008);

6. Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (РАН Сибирское отделение, Иркутск, Россия, 24-30 июня 2008 г.);

7. Международная научная конференция "Физико-химические основы формирования и модификации микро- и наноструктур" (НФТЦ МОН и HAH Украины, Харьков, Украина, 2008 г.);

8. Международная конференция, посвященной 100-летию со дня рождения C.J1. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений." (Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, Россия, 5-12 октября 2008 г.);

9. Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем" (МГУП СТАНКИН, Москва, Россия, 14-18 октября 2008 г.);

10. IV Международная научно-практическая конференция "Predni vedeeke novinky - 2008" (Прага, Чехия, 1-15 сентября 2008 г.);

11. Пятая всероссийская конференция (МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2009).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах соискателя, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [99, 104] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи и вывод уравнения принадлежат профессору A.B. Латышеву и профессору

А.А. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи; анализ полученных результатов, изучение структуры электрического поля, отражение и поглощение плазменных волн проведены соискателем лично.

В работах [88 - 97] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, а в работах [100 - 104] соискателю принадлежат также и теоретические результаты о свойствах найденного аналитического решения и выводимого в работе дисперсионного уравнения.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 125 страниц текста, в том числе 34 рисунков. Библиография включает в себя 104 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

Заключение

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению системы уравнений, описывающих явление скин-эффекта в полупространстве максвелловской плазмы.

В первой главе рассмотрена постановка задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме и получены собственные функции граничной задачи. Исследована структура дисперсионной функции, которая имеет либо два, либо четыре нуля, что зависит от величины исходных физических параметров. Число нулей связано с индексом задачи формулой (1.3.4). Знание поведения индекса >гг(С?) на плоскости параметров (7, г) исходной граничной задачи дает возможность решить однородную краевую задачу Римана из теории функций комплексного переменного. Данная задача позволяет вывести так называемые формулы факторизации дисперсионной функции, из которых можно в явном виде получить выражения для ее нулей ±7%, к = 0, 1. Кроме того, однородная краевая задача Римана лежит в основе решения исходной граничной задачи с диффузным отражением электронов от границы плазмы.

Во второй главе получено точное решение линеаризованной задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме методом разложения по собственным функциям и методом источника. В качестве граничного условия взято зеркальное отражение электронов от поверхности. Рассмотрены предельные случаи скин-эффекта. Проведен анализ поверхностного импеданса вблизи плазменного импеданса. Исследовано отражение и поглощение электромагнитной волны близи границы, а также проведен численный анализ полученного решения.

В третьей главе получено решение граничной задачи с использованием диффузных граничных условий. Найдены выражения для поверхностного импеданса в зависимости от индекса задачи. Проведен анализ структуры электрического поля и функции распределения электронов. В явном виде получено выражение для профиля функции распределения в полупространстве и на границе плазмы. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей в случае аномального скин-эффекта вблизи резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты. Оказалось, что величина электрического поля в задаче о скин-эффекте определяется в основном дискретным спектром в случае аномального скин-эффекта. В конце главы проведен анализ предельных случаев скин-эффекта и рассмотрено отношение импедансов в случае зеркальных и диффузных граничных условий.

В работе используется метод разложения решения задачи по собственным решениям дискретного и непрерывного спектра. Этот метод состоит в экспоненциальном выделении пространственной переменной у функции распределения и поля с соответствующими весовыми функциями. В результате получается характеристическая система, исключив из которой одну из весовых функций, приходят к одному уравнению, содержащему так называемую дисперсионную функцию. Ее нули образуют дискретный спектр, которому отвечают частные (дискретные) решения. Решение характеристического уравнения в классе обобщенных функций дает собственные решения непрерывного спектра.

Обратим внимание, что предлагаемый подход основан на разложении решения задачи по собственным решениям характеристической системы, отвечающей дискретному и непрерывному спектрам. Решение, отвечающее дискретному спектру, есть сумма убывающих частных решений, которые определяются нулями дисперсионной функции, а решение, отвечающее непрерывному спектру, представляет собой интеграл по этому спектру.

В заключение, хочется выразить искреннюю благодарность A.B. Латышеву и A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

1. Абрикосов A.A. Основы теории металла. - М.: Наука, 1977. - 520 с.

2. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М.: ИВМ РАН, 2001. - 400с.

3. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978. - 408 с.

4. Арсенъев A.A. О поведении фазового сдвига вблизи резонанса // ТМФ. Т. 15, № 2 (май), 1973. С. 259 - 265.

5. Арцимович JI.A., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат, 1979. - 320 с.

6. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В., Ситенко А.Г., Степанов К.Н. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974. - 719 с.

7. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1987. - 253 с.

8. Ван Кампен. Дисперсионное уравнение для волн в плазме // Сб. статей под ред. Бернашевского Г.А. и Чернова З.С. М.: ИИЛ. 1961. - 360 с. (С. 57-70). К теории стационарных волн в плазмет // Там же. С. 37 - 56.

9. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001. - 111 с.

10. Веденяпин В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову. М.: Изд-во МГОУ, 2005. - 286 с.

11. Владимиров B.C., Жартов В.В. Уравнения математической физики.- М.: Физматлит, 2000. 399 с.

12. Владимиров В.В., Волков А.Р., Мейлихов Е.З. Плазма полупроводников. М.: Атомиздат, 1979. - 254 с.

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.гНаука, 1977. - 640 с.

14. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.- 296 с.

15. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. -М.: Наука, 1967. 683 с.

16. Гинзбург В., Мотулевич Г.П. Оптические свойства металлов // Успехи физических наук. Т. LV. Вып. 4. М.: Наука, 1955. - С. 469535.

17. Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1970. - 208 с.

18. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1977. - 384 с.

19. Гохфельд В.М., Гулянский М.А., Каганов М.И. Аномальное проникновение продольного переменного электрического поля в вырожденную плазму при произвольном параметре зеркальности // Ж. эксперим. и теор. физики. Т. 92. №2. 1987. С. 523 - 530.

20. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1975. - 287 с.

21. Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. - 384 с.

22. Колебания сверхвысоких частот в плазме. / Сб. статей под ред. Бернашевского Г.А. и Чернова З.С. М.: ИИЛ, 1961. - 360 с.

23. Кондратенко А.Н. Проникновение волн в плазму. М.: Атомиздат, 1979. - 231 с.

24. Коте*п,ъпиков В.А., Улъданов C.B., Котельников М.В. Процессы переноса в пристеночных слоях плазмы. М.: Наука, 2004. - 422 с.

25. Кролл Н., Трайвеликс А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975. -528 с.

26. Ландау Л. Д. О колебаниях электронной плазмы // Собрание трудов. Т. 2. М.: Наука, 1969. - С. 7 - 25.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 623 с.

28. Латышев A.B., Юшкаиов A.A. Аналитические решения в теории скин—эффекта. Монография. — М.: МГОУ, 2008. 285 с.

29. Латышев A.B., Лесскис А.Г., Югиканов A.A. Точное решение о поведении электронной плазмы в металле в переменном электрическом поле // Теор. и матем. физика. Т. 92. № 1 (июль). 1992. С. 138 - 146.

30. Латышев A.B., Попов В.Н., Юшканов A.A. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений. Монография. Архангельск. 2004. - 266 с.

31. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных модельных кинетических уравнений // Теор. и матем. физика. Т.92. №1 (июль). 1992. С. 127 - 138.

32. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении электронной плазмы в полупространстве металла в переменном электрическом поле // Поверхность. Физика. Химия. Механика. №2.1993. G.25 - 32.

33. Латышев A.B., Юшканов A.A. Точные решения теории аномального скин-эффекта для слоя. Зеркальные граничные условия // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т.ЗЗ. №2. 1993. С. 259 - 270.

34. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о сопротивлении границы раздела кристаллитов // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т.ЗЗ. № 4. 1993. С. 600 - 610.

35. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении столкновительной плазмы в полупространстве во внешнем переменном электрическом поле // Теор. и матем. физика. Т. 103. №2 (май). 1995. С. 299 - 311.

36. Латышев A.B., Юшканов A.A. Нестационарная граничная задача для модельных кинетических уравнений при критических параметрах // Теор.' и матем. физика. Т. 116, № 2 (август), 1998. С. 305 - 320.

37. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в металле // Ж. техн. физики. Т. 73. Вып. 7.2003. С. 37 - 45.

38. Латышев A.B., Юшканов A.A. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 44. №6. 2004. С. 1107 - 1118.

39. Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на скачок температуры в металле // Ж. техн. физики. Т. 74. Вып. 11.2004. С. 47 - 52.

40. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. М.: Изд-во МГОУ, 2004. -286 с.

41. Латышев A.B., Юшканов A.A. Кинетические уравнения типа Ви-льямса и их точные решения. Монография. М.:Изд-во МГОУ, 2004. - 271 с.

42. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического уравнения. Диффузные граничные условия // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 45. № 4. 2005. С. 677 - 689.

43. Латышев A.B., Юшканов A.A. Плазма в высокочастотном электрическом поле с зеркальным условием на границе // Известия РАН. Сер. МЖГ. № 1. 2006. С. 165 - 177.

44. Латышев А.В., Юшканов A.A. Скин-эффект при конечной температуре и с диффузным условием на границе полупространства проводящей среды // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 46. № 1. 2006. С. 148 - 160.

45. Латышев A.B., Юшканов A.A. Скин-эффект в газовой плазме с частотой столкновений, пропорциональной скорости электронов // Физика плазмы. Т. 32. № 11. 2006. С. 1021 - 1026.

46. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. Монография. М.: МГОУ, 2006. 274 с.

47. Латышев A.B., Юшканов A.A. Вырожденная плазма в полупространстве во внешнем электрическом поле вблизи границы// Физика твердого тела. Т. 48. Вып. 12. 2006. С. 2113 - 2118.

48. Латышев A.B., Юшканов A.A. Отражение плазменной волны от плоской границы вырожденной плазмы // Ж. техн. физики. Т. 77. Вып. 3. 2007. С. 17 22.

49. Латышев A.B., Юшканов A.A. Невырожденная плазма с диффузным условием на границе в высокочастотном электрическом поле вблизи резонанса // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 47. № 1. 2007. С. 121 - 128.

50. Латышев A.B., Юшканов A.A. Поперечная и продольная диэлектрические проницаемости газовой плазмы с частотой столкновений электронов, пропорциональной их скорости // Физика плазмы. Т. 33. № 8. 2007. С. 762 - 768.

51. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО "Янус" , 1995. - 520 с.

52. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. - 528 с.

53. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука. 1993. - 224 с.

54. Моисеев И.О., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Влияние скин-эффекта на поглощение электромагнитного излучения мелкой металлической частицей //Ж. техн. физики. Т. 74. № 1. 2004. С. 87 - 92.

55. Моисеев И.О., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Использование двухпа-раметрического кинетического уравнения для вычисления электромагнитного поглощения мелкой металлической частицей // Оптика и Спектроскопия. Т. 101. № 5. 2006. С. 857 - 861.

56. Морозов А.И., Савельев В.В. Структура стационарных дебаевских слоев в разреженной плазме вблизи диэлектрической поверхности // Физика плазмы. Т. 30. № 4. 2004. С. 330 - 338.

57. Морозов И.В., Норман Г.Э. Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме // Ж. экспер. и теор. физики. 2005. Т. 127. Вып. 2. С. 412 - 430.

58. Мотулевич Г. 77. Оптические свойства непереходных металлов // Труды ФИАН. Т. 55. М.:Наука. 1971. - С. 3 - 150.

59. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физики. М.: Наука, 1968. - 600 с.

60. Рухадзе A.A., Силин В.П. Линейные электромагнитные явления в плазме // Успехи физических наук. Т. LXXI, вып. 1. 1962. С. 79 - 108.

61. Силич В.П. Введение в кинетическую теорию. М.: Наука, 1971. -332 с.

62. Силин В.П., Рухадзе A.A. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: Госатомиздат, 1961. - 244 с.

63. Смирнов Б.М. Введение в физику плазмы. М.: Наука, 1982. - 222 с.

64. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М.: Мир, 1965.- 212 с.

65. Стикс Т.Х. Теория плазменных волн. М.: Атомиздат, 1965. - 344 с.

66. Трубников Б. А. Теория плазмы: Учеб. пособие для вузов по направлению "Физика"и спец. "Физика плазмы". М.: Энергоатомиздат, 1996.- 462 с.

67. Цурков В.И. Мажорантная катастрофа газодинамических уравнений Эйлера для бозонов. М.:Наука, Физматлит. 1997. - 90 с.

68. Цурков В.И., Ковков Д.В. Нелинейная диффузия и подавление шумов. М.: Издательство физико-математической литературы, 2004. -88 с.

69. Энциклопедия низкотемпературной плазмы // Энциклопедическая серия. 1997-2000. Т. 1-4. / Под ред. В.Е. Фортова. М.: "Наука /Интерпериодика".

70. Bardos С., Degond P. Global existence for the Vlasov-Poisson equation in 3 space variables with small initial data. Annales de l'institut Henri Poincar // Analyse non linaire. T. 2, № 2. 1985,- P. 101-118.

71. Case K.M. Elementary solutions of the transport equations and their applications // Ann. Phys. V.9.№1. 1960. P. 1 - 23.

72. Cercignani C. Theory and application of the Boltzmann equation. Scottish Academic Press. Edinburgh and London, 1975. (Имеется перевод: Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. - 496 с.)

73. De Gennaro S., Rettory A. The low-temperature electrical resistivity of potassium: size effects and the role of normal electron-elcctron scattering //J. Physics. F. V. 14. 1984. L237 L242.

74. Dingle R.B. Anomalous skin effect // Physica. V. 19.1953. P. 311 - 329.

75. Donko Z., Hartmann P., Kalman G.J. Strongly Coupled Plasma Liquids //ArXiv:physics/0710.5229vlnucl-th.

76. Kaganovich I.D., Polomarov O.V., Theodosiou C.E. Revisiting the anomalous rf field penetration into a warm plasma // ArXiv: physics/0506135.

77. Kovalev V.F., Bychenkov V. Yu. Analytic solutions to Vlasov equations for expanding plasmas // Phys. Rev. Lett., V. 90, № 18, 2003, 185005-1/4.

78. Langmuir I., Tonks L. Oscillations in ionized gases // Phys. Rev. V. 33. 1929. P. 195 - 210.

79. Neunzert H, An Introduction to the nonlinear, Boltzmann-Vlasov equation: Kinetic Theories and the Boltzmann Equation // Lect. Notes in Math., 1984, P. 1048.

80. Nikitin A.YuLopez-Tejeira F., Martin-Moreno L. Scattering of surface plasmon polaritons by one-dimensional inhomogeneities // ArXiv.-physics/cond-mat/0609278.

81. Pippard A.B. The high frequency skin effect of metals at low temperatures // Physica. V. 15. № 1. 1949. P. 45.

82. Renter G.E.H., Sondheimer E.H. Theory of the anomalous skin effect in metals // Proc. Roy. Soc. V.A 195. 1948.- P. 336 352.

83. Tonks L. Plasma-electron resonance, plasma resonance and plasma shape // Phys. Rev. V. 38. 1931. P. 1219 - 1223.

84. Tonks L. The high frequency behavior of a plasma // Phys. Rev. V. 37, 1931, P. 1458 - 1483.

85. Zimbovskaya N.A. On the Theory of Magnetotransport in a Periodically Modulated Two-Dimensional Electron Gas (2008) // ArXiv: physics/cond-mat/0203179.

86. Zimbovskaya N.A. Fermi liquid theory of the surface impedance of a metal in a normal magnetic field // ArXiv:physics/cond-mat/0601600.

87. Ukai S. and Okabe T. On classical solutions in the large in time of two-dimensional Vlasov's equation // Osaka J. Math. Vol. 15, W 2. 1978. P. 245-261.

88. Список работ по теме диссертации

89. Алабина Ю.Ф., Латышев А.В., Юшканов А.А. Собственные функции характеристической системы, отвечающей уравнениям Власова-Максвелла // Актуальные проблемы математики, информатики и образования. М.: МПГУ, 2007. - С. 111 - 115.

90. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте в газовой плазме // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. Т. 31(1). М.: Издательство ЛКИ, 2007. - С. 133 - 140.

91. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Точное решение задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме // Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи".

92. Российская академия наук.Сибирское отделение. Институт динамики систем и теории управления. Иркутск, 2008. С. 9.

93. Алабина Ю. Ф. Скин-эффект с диффузными граничными условиями // Физико-химические основы формирования и модификации микро-и наноструктур. Сборник научных трудов международной конференции. Харьков: НФТЦ МОИ и НАН Украины, 2008. - С. 444 - 445.

94. Алабина Ю. Ф. Скин-эффект в максвелловской плазме с диффузными граничными условиями // Моделирование нелинейных процессов и систем: Сборник тезисов международной научной конференции. М.: МГУП, 2008. - С. 55 - 56.

95. Алабина Ю. Ф., Латышев А.В., Юшканов А.А. Скин-эффект с током смещения в максвелловской плазме // Моделирование нелинейных процессов и систем: Сборник тезисов международной научной конференции. М.: МГУП, 2008. - С. 57 - 58.

96. Алабина Ю.Ф. Особенности электрического поля в задаче о скин-эффекте // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Пятой Всероссийской конференции 26-28 января 2009 г. М.: МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2009. - С. 174 - 177. ■

97. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Решение задачи о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме методом разложения по собственным функциям // Известия высших учебных заведений. Физика. Т. 52. № 2. Томск, 2009. - С. 33 - 38.

98. Алабина Ю.Ф., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение системы уравнений Власова Пуассона в задаче о скин-эффекте // Сибирский журнал индустриальной математики. T. XII. № 1(37). -Новосибирск, 2009. - С. 3 - 10.

99. Alabina Y.F., Latysheu A. V., Yushkanov A.A. Analytical solution of the skin effect problem with the displacement current in Maxwell plasma bythe source method / / Journal of mathematical'physics. Vol. 50, 2009, 043516.