Отклонение от закона Видемана-Франца и скин-эффект в тонкой цилиндрической проволоке из металла тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РУСАКОВ ОЛЕГ ВЛАДИМИРОВИЧ

ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ЗАКОНА ВИДЕМАНА-ФРАНЦА И СКИН-ЭФФЕКТ В ТОНКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРОВОЛОКЕ ИЗ МЕТАЛЛА

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 5 СЕН 2013

Москва-2013

005532634

005532634

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Завитаев Эдуард Валерьевич

Официальные оппо- доктор физико-математических наук, профессор ненты: Латышев Анатолий Васильевич

кандидат физико-математических наук

Дудко Владимир Владимирович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технологический университет "СТАНКИН"

Защита состоится " ¿^аЖ/7^'2013 г. в /£<00часов на заседании

диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10-а.

С диссертацией в виде научного доклада можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.- мат. наук, доцент Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Известно, что электромагнитные свойства тонких металлических проволок существенно отличаются от свойств массивных образцов металла. Если линейный размер Я образца металла будет порядка Л - длины свободного пробега электронов или меньше её: Я < Л, то взаимодействие электронов с границей металлического образца начинает оказывать заметное влияние на их отклик на внешнее электромагнитное поле. Следствием этого и являются особые электромагнитные свойства образца (металлической частицы или проволоки). Поэтому, когда выполняется условие Я<Л, основные электромагнитные характеристики металлов - плотность тока, локальная и интегральная проводимости, сечение поглощения - обнаруживают нетривиальную зависимость от отношения Я /Л.

Развитие современных технологий приводит к уменьшению характерных размеров деталей микроэлектронных устройств, и рассматриваемые толщины металлических деталей становятся субмикронными, т.е. размером всего несколько нм. У металлов с хорошей проводимостью, таких как алюминий, медь, серебро и прочие, длина свободного пробега электронов составляет величину от десятка до сотен нм. Таким образом, условие Ж А легко достижимо на практике.

Возрастающий интерес к проблеме расчёта электрической проводимости тонких металлических проволок напрямую связан с бурным развитием нано и микроэлектроники, где такие проволоки широко применяются.

Целью данной работы является

изучение проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, с учетом отклонения свойств металлов от закона Видемана-Франца и изучение влияния скин-эффекта на распределение электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла. Исследования направлены на:

- Аналитический расчет электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в случаях зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца.

- Решение задачи о проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, учитывающей отклонение свойств металлов от закона Видема-

на-Франца, с учетом зеркально-диффузного характера рассеяния электронов на границе образца.

- Решение задачи о распределении электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта с учётом зеркально-диффузного характера отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

Научная новизна работы

1. Впервые моментным методом рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. В качестве граничного условия задачи принято условие зеркально - диффузного отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

2. Впервые решена задача о влиянии отклонения от закона Видема-на-Франца на электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. В качестве граничного условия задачи принято условие зеркально-диффузного отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

3. Впервые моментным методом решена задача о распределении электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта с учётом зеркально-диффузного характера отражения электронов от внутренней поверхности проволоки.

Практическая значимость

Кинетический расчёт электрической проводимости тонких проволок из металла с использованием моментного метода позволяет уточнить границы применимости известной из классической электродинамики формулы Друде, закона Видемана-Франца, а также позволяет получить аналитические выражения в случае построения теории скин-эффекта в тонкой проволоке.

В работе проведено сравнение результатов аналитического расчёта удельного сопротивления тонкой цилиндрической проволоки с учетом отклонения свойств металлов от закона Видемана-Франца с экспериментальными данными для меди и серебра.

На защиту выносятся:

- аналитический расчет электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, и анализ удельной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в зависимости от

обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего электрического поля и коэффициента зеркальности;

- решение задачи о проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, учитывающей отклонение свойств металлов от закона Видема-на-Франца, с учетом зеркально-диффузного характера рассеяния электронов на границе образца. Анализ удельной и интегральной проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в зависимости от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего электрического поля и коэффициента зеркальности;

- построение теории о распределении электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта, с учётом зеркально-диффузного характера отражения электронов от внутренней поверхности проволоки. Анализ распределения электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта, а также от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего электрического поля и коэффициента зеркальности.

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведён в конце автореферата.

Материалы диссертации докладывались на: международной конференции «Нанотехнологии и наноматериалы в лесном комплексе», на базе Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет леса» (г. Мытищи Московской области 2011г.); научной конференции преподавателей, аспирантов и молодых ученых Московской области «Связь времен и поколений. Наука, образование и искусство», посвященной 300-летию М. В. Ломоносова и 80-летию МГОУ на базе «Московского государственного областного университета» и «Естественно-экологического института» (Москва 2011г.); Шестой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» на базе «Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана» и «Физического института им. П. Н. Лебедева» (Москва 2011г.). Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета, Центра аэро-

гидродинамических исследований и Института прикладной механники РАН.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 110 страниц машинописного текста, включая 22рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, проведен обзор литературы и описана структура диссертации.

В первой главе решается задача нахождения электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла. Проводиться анализ удельной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в зависимости от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего поля и коэффициента зеркальности.

Рассматривается цилиндрическая проволока из немагнитного металла радиуса К и длины Ь (считаем, что I» К), к концам которой приложено переменное электрическое напряжение частоты со. Принимается, что направление электрического поля совпадает с осью цилиндра. Скин-эффект не учитывается (предполагается, что Я < 8 - глубины скин-слоя).

Однородное периодическое по времени электрическое поле

£ = £0ехр(-ш?) (1)

воздействует на электроны проводимости (они рассматриваются как вырожденный ферми-газ) внутри проволоки, что вызывает отклонение ^ их функции распределения/от равновесной фермиевской /0:

ту1

. /(№)=/„(*)+/(?,V,0, * ,

здесь г - радиус-вектор (начало системы координат выбирается на оси симметрии проволоки), V - скорость электрона, т - эффективная масса электрона в металле.

Д ля равновесной функции /0(£) далее используется ступенчатая аппроксимация:

где еР = ту) 12 - энергия Ферми (V, - скорость Ферми). Предполагается,

что ферми-поверхность имеет сферическую форму.

Поле (1) приводит к возникновению внутри проволоки высокочастотного тока плотности ], который связан с следующим соотношением

; = (2)

где е - заряд электрона, к — постоянная Планка.

В формуле (2) использована стандартная нормировка функции распределения/ при которой плотность электронных состояний равна 2//г3.

Концентрация электронов проводимости в металле п определяется по стандартной формуле, согласно которой

(3)

3

где h - постоянная Планка.

Связь между Ê и j в случае, когда радиус проволоки R сравним с длинной свободного пробега электронов в металле Л (или меньше её: R<A), оказывается существенно нелокальной. Для описания этой связи применим кинетическое уравнение (в приближении времени релаксации) к вырожденному ферми-газу электронов находящемуся внутри проволоки.

Для достаточно слабых внешних полей это уравнение можно линеаризовать по внешнему полю £ и по малым отклонениям fx от равновесной фермиевской функции распределения f0(s) :

dt дг v 'de г где предполагается гармоническая зависимость от времени (/¡~exp(-z"a>/)), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации электронов г (комплексная частота рассеяния v = \¡т-ico ):

dt J, г '

Взяв в уравнении (4) поле Ё в виде (1), найдем функцию как решение этого уравнения. Затем, используя выражение (2), определим плотность тока ] внутри проволоки, и воспользовавшись законом Ома, рассчитаем удельную ст и интегральную б электрическую проводимость.

Однозначное решение поставленной задачи возможно при выборе граничного условия для неизвестной функции £ на цилиндрической поверхности металлической проволоки. В качестве такого принимаем условия зеркально-диффузного отражения электронов от поверхности (г = Я): КЛ^К^ (5)

г, <0 »,<0

где соответственно, компоненты скорости электрона в плоскости

перпендикулярной к оси симметрии проволоки и вдоль оси симметрии проволоки; *7 - коэффициент зеркальности (вероятность зеркального отражения): 0 1.

При ^ = 0 получаем условие диффузного отражения электронов проводимости от внутренней поверхности металлической проволоки, а при ^ =1 условие чисто зеркального отражения. При значениях д Ф 0 и # ф 1 получаем различные варианты смешанного зеркально-диффузного отражения электронов.

Найденная функция распределения имеет вид = г /Я ):

где

А /7

/0(гл/7£) =—^ехр^л/Усовала, /,(гл/7£) = — |ехр(^гл/7сояа)со5ах/а, (6)

71 о Л" о

¿ =_8(<?-1)Л _ ±=вЕ°К

8(1 - д)10(гЛ) + Зл/7(1 + <?)/,(г>/7)' ^ 2V, " Найденная функция распределения позволяет определить ток (2) внутри проволоки:

у, (7)

т

Проинтегрировав выражение (7), определяем полный ток через поперечное сечение цилиндрической проволоки:

О т о

¿г =

Л

2 + 247

Воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме найдем

удельную электрическую проводимость

Л х с = — = сг„ —

Е

1 + -

где сг0=-

Ч

пе'г

= (8)

8

объёмная статическая проводимость металла, х-х — 1у,

т

Л ./?

г = — =-, у = 110/4безразмерная частота электрического поля, х

V, V,*

безразмерная обратной длина свободного пробега электронов, сг(х,у,^4) -безразмерная удельная электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла.

Формально воспользовавшись законом Ома в виде 1=0/, где Ц=ЕЬ — напряжение на концах проволоки, получаем формулу для расчета интегральной проводимости проволоки С:

г,

1+-

(<7-1)7,(2^7)

гл/7.

± (1 - д)10 (гл/7 )+^ (1+д)/, (*л/7 )

тегВ.гх лК а.

а интегралы 10(г47) и определены ра-

венствами (6) при £ = 1.

Из анализа хода кривых на рис. 1, следует, что модуль безразмерной М^ удельной проводимости &(х,у, ¿;,д) доминирует по величине для

проволок с наименьшим коэффициентом отражения электронов д. При увеличении безразмерной координаты проволоки £ все зависимости фактически сливаются.

Рис. 1. Зависимость модуля Рис. 2. Зависимость аргумента А^

удельной проводимости а(х,у,£,д) удельной проводимости а(х,у,%,ц) от # 0=1; *=0,01): 1 - $=0,01; 2 - от # 0=1; г=0,01): 1 - 9=0,01; 2 -9=0,5; 3-^=1. 9=0,5; 3-9=1.

Аргумент (фаза) А^ безразмерной удельной электрической проводимости а(х,у,^,д) (см. рис. 2) при любом значении безразмерной координаты внутри проволоки # больше у проволок, в которых электроны отражаются от границы чисто зеркально, и только у поверхности проволоки наблюдается противоположная картина.

Рис.3. Зависимость модуля Рис. 4. Зависимость аргумента

<7 о

удельной проводимости а(х,у,£,9) удельной проводимости а{х,у,%,ц)

от 9 (х=0,01; у=1): 1 - #=0,01; 2 - от 9 (х=0,01; у= 1): 1 - #=0,01; 2 -

#=0,5;3-#=1. #=0,5; 3 - #=1.

Анализ хода кривых модуля М& безразмерной удельной электрической проводимости на рис. 3, показывает, что кривые 1 и 2 монотонно убывают, а кривая 3 монотонно возрастает, при увеличении зеркальности проволоки <7 все зависимости сливаются.

Кривые 1 и 2 аргумента (фазы) безразмерной удельной проводимости а(х,у,£,д) (см. рис. 4) монотонно возрастают, кривая 3 монотонно убывает, при увеличении зеркальности все кривые сливаются в одну точку.

Вторая глава посвящена решению задачи о проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, учитывающей отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца, с учетом зеркально-диффузного характера рассеяния электронов на границе образца.

Для учета этого явления используется обобщение модели в виде двухпараметрического кинетического уравнения Больцмана для электронов проводимости (1.4) с измененным интегралом столкновений:

(9)

д! дг к 'де г^ да

где т - масса электрона, И - постоянная Планка, gй - числовой параметр. Введём безразмерный коэффициент IV, который назовем коэффициентом Видемана-Франца, равный XI(р Ь0Т)=\ -go. (Ь0 - число Лоренца, равное 3 '\nkfe2, к - постоянная Больцмана и Г - абсолютная температура). При выполнении закона Видемана-Франца 1 п go = О (уравнение (4)), это соответствует тому, что электроны при рассеянии полностью утрачивают свой первоначальный импульс, т.е. рассеяние становится изотропным. При go = 1 электроны в результате рассеяния сохраняют свой импульс, т.е. трение электронного газа о кристаллическую решетку отсутствует.

Перейдя в последнем уравнении к цилиндрическим координатам, выбираем направление полярной оси так, чтобы она совпадала с осью симметрии проволоки.

Решение (9), записанное в цилиндрической системе координат, проводится моментным методом с использованием граничного условия (5).

Найденная функция распределения имеет вид (£ = г/Я ):

где

а, (£) = А0 + А1а (г/З^), аг = (г/^,

/я о

тя ^ 2 гр^П )

А =__ А = в= 1 +

8(1 - <?)/0(2/?Т7) + 3/?Т7(1 + <?)/, ' 0 гу^2' V 2 0

Найденная функция распределения позволяет определить ток (2) внутри проволоки:

(И)

т

Проинтегрировав выражение (11), определяем полный ток через поперечное сечение цилиндрической проволоки:

Воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме найдем удельную электрическую проводимость

&=<?.—г 1+-V 0 V- -р^\ = стасг{х,у,^^Л, (12)

пег г „ ..

где <т0 ---объемная статическая проводимость металла при отсутст-

т

вии отклонения от закона Видемана-Франца, т — — = —, а(х,

у, У{Х

- безразмерная удельная электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла.

Формально воспользовавшись законом Ома в виде 1=017, где Ц=ЕЬ — напряжение на концах проволоки, получаем формулу для расчета интегральной проводимости проволоки б:

__щ-ШФ^)_1

2рг I 2р47 8(1 - <?)/„ +ър41{\ + д)1, (2Р-Л) /

тегВ?т _ лЯ'а, тЬ Ь равенствами (10) при 4 -1 •

где (?0 -ЕИ.-- =-—, а интегралы /0(г/?-\/7) и 1х(?.р41) определены

ш!, X

Рис. 5. Зависимость модуля М„ уд. Рис. 6. Зависимость аргумента

проводимости от £ уд. проводимости от

(у=1; г=1; <?=0,3): 1 - ^о=0,01; 2 - £ (у=1;*=1; 9=0,3): 1 -я0=0,01; 2-®=0,5), 3-^о=1. яо=0,5), 3-^=1 ■

Анализ хода кривых см. рис. 5 показывает монотонное уменьшение модуля безразмерной удельной проводимости для всех значений числового параметра go по мере приближения к поверхности проволоки (кривая 1 соответствует случаю отсутствия отклонения от закона Видема-на-Франца (^о = 0,01), кривая 2 соответствует частичному = 0,5), а кривая 3 наибольшему (£0 = 1) отклонениям от закона).

Анализ хода кривых на рисунке 6 показывает, что при любом значении числового параметра go, аргумент сначала монотонно уменьшается, а затем монотонно возрастает. Причём следует отметить наличие на всех кривых минимума аргумента безразмерной удельной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки.

При небольших х (рис. 7) (х ~ 0,1 - т.е. Я « А, т. к. х = К/А) отклонение от закона Видемана-Франца слабо влияет на величину модуля М^

безразмерной удельной проводимости. Однако, по мере возрастания радиуса проволоки отклонение от закона Видемана-Франца заметно сказывается на величине модуля М„. В частности при х > 2 отличие модуля безразмерной удельной проводимости проволоки в случае отсутствия отклонения от закона Видемана-Франца (#0 =0) (кривая 1) от модуля безраз-

мерной удельной электрической проводимости в случае наибольшего отклонения от закона (£0 = 1) (кривая 3) составляет около 50 %.

проводимости <?(*,от х уд. проводимости сг(х,у,£,д^а) от (у=1; д=0,3; £=0): 1 - аН>,01; 2-х 0=1; <7=0,3; #=0): 1 - #>=0,01; 2 -го=0,5; 3 - «г* • Яо=0,5; 3 - ®г=1.

Зависимость аргумента безразмерной удельной проводимости

а(х,у,^,д,ц0) (см. рис. 8) от х нетривиальная. При небольших х (х< 1) 1рафики аргумента в случае отсутствия отклонения от закона Видемана-Франца (¿о= 0) (кривая 1) и в случае частичного отклонения от закона (¿о = 0,5) (кривая 2) имеют выраженные максимумы, которые отсутствуют в случае наибольшего отклонения от закона Видемана-Франца = !)■ Дальнейшее возрастание радиуса проволоки К приводит к монотонному убыванию аргумента при всех значениях числового параметра go.

Из анализа хода кривых на рис. 9, следует, что все кривые монотонно убывают, при этом модуль М~ безразмерной интегральной электрической

проводимости доминирует по величине для наименьшего чи-

слового параметра #о = 0>01> что соответствует случаю отсутствия отклонения от закона Видемана-Франца. Причем это проявляется ярче при малой величине безразмерной частоты электрического поля (0 <у < 4). При увеличении безразмерной частоты электрического поля (4<у<10) все кривые фактически сливаются.

Рис.9. Зависимость модуля М5 Рис. 10. Зависимость аргумента А1

итегральной проводимости интегральной проводимости

оту(х=Ъ\ 9=0,3): 1 - в{х,у,я,г0) от у (х=3; 9=0,3): 1 -Яо=0,01; 2 ^=0,5; 3-2о=1- »г=0.01; 2-§0=0,5; 3 -®г=1.

Аргумент (фаза) А~ безразмерной интегральной электрической

проводимости §(х,;у,9,я0) (см. рис. 10) для всех кривых монотонно возрастает с ростом безразмерной частоты электрического поля у:

В заключение второй главы приведем сравнение результатов аналитического расчёта удельного сопротивления тонкой цилиндрической проволоки с учетом отклонения свойств металлов от закона Видемана-Франца с экспериментальными данными для меди и серебра.

Металл Д нм р , мкОм-см г теор * рэю1, мкОм-см

Аё 15 2,53 2,27

30 1,46 1,39

50 1,03 1,17

Си 15 2,46 2,2

30 1,35 1,27

50 0,9 1,02

В таблице представлено сравнение теоретического удельного сопротивления рт{ , рассчитанного с использованием формулы (12), с экспери-

ментальным удельным сопротивления ржсп для цилиндрических проволок диаметром £> из серебра и меди в случае стационарного электрического поля (у = 0) при абсолютной температуре 4,2 К.

Данные эксперимента не содержат частоту объёмных столкновений (длину свободного пробега) электронов в проволоке. Однако, сравнивая теоретический результат для удельного сопротивления с данными эксперимента, мы можем определить эту величину при заданной величине коэффициента зеркальности металла д. Принимая для серебра д = 0,6, а для меди д = 0,5, получим для длины свободного пробега электронов ЛАв= 319 нм» ^си= 459 нм, а числовые параметры, отражающие отклонение свойств металла от закона Видемана-Франца, соответственно равны go = 0,5 и Яо = 0,6.

Сопоставление экспериментальных и теоретических данных показывает, что расчёт интегральной проводимости вытянутой цилиндрической проволоки проведённый с использованием кинетического метода, согласуется с экспериментальными данными с точностью не хуже 12%, если учитывать отклонение свойств металла от закона Видемана-Франца и влияние зеркальносга поверхности металлической проволоки на отражение электронов.

В третьей главе диссертации проводится построение теории о распределении электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта, с учётом зеркально-диффузного характера отражения электронов от внутренней поверхности проволоки. Решается совместная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля и кинетического уравнения для электронов в металле. Проводится анализ распределения электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла при наличии скин-эффекта, а также в зависимости от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего поля и коэффициента зеркальности.

Задача сводится к отысканию отклонения /х функции распределения электронов от равновесной /0, возникающего под действием высокочастотного поля (1). В линейном приближении по электрическому полю, функция у; удовлетворяет кинетическому уравнению (4), где предполага-

ется стационарная зависимость от времени (/, ~ ехр(-10)1)), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации электронов т.

Перейдя в уравнении (4) к цилиндрическим координатам, выбираем направление полярной оси 2, так, чтобы она совпадала с осью симметрии проволоки.

Решение (4), записанное в цилиндрической системе координат, проводится моментным методом с использованием граничного условия (5).

Так как эта задача частично совпадает с задачей рассмотренной в главе 1, то уравнение связывающее моментные коэффициенты в обезраз-меренной форме и я2(£) (% = г/Я) будет определяться равенством:

, (13)

' д? £ Э<? V,

Кроме того, для решения поставленной задачи необходимо использовать уравнение для напряжённости электрического поля внутри проволоки. Такое уравнение получаем из системы уравнений Максвелла без учёта тока смещения, который пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости:

1 8 ( дЕ(г)Л .

г 1

Перейдем к безразмерной переменной # = — > = — дг, тогда последнее

К Л

выражение примет вид

I д (едЕ(£)\ . ,Ыч

Цд^ Ц )

где оператор Лапласа записан в цилиндрических координатах (индекс г у напряжённости мы опустили).

Для (14) будем использовать следующее граничное условие

Учитывая (7) равенство (14) примет вид: д2Е 1 дЕ

—г +--= (15)

э#2

, . п! ие . где А=-1 ацйВ. — = -»—

2 Я2

82 ет

ет

. Здесь учтено, что глубина скин-

слоя 5 связана с объёмной статической проводимостью металла <т0 =

пе2т

т

соотношением

1 1

Л

= — сг0 о , а «скин-параметр» Ц/ = о 2 £

Объединим в систему уравнения (13) и (15) предварительно обозначив константы С = 7г и В =--

э<?2 ' <г а#

32£ 1 ЗЕ

а?

Решение системы ищется в виде

где к- некоторая комплексная величина не зависящая от £ Тогда система примет следующий вид:

д

32£ 1 ЭЕ А

Откуда

-С±^С2+4ВА 25

подставляя в первое уравнение системы, получим

д2Е ЛдЕ

2 2 1,2 Решение модифицированного уравнения Бесселя (17)

где

(16)

(17)

/оа, £) = - Jexpfé X eosa)da, 1й(Хг & = - fexpfé cosaca. (19)

л-; я о

Применяя граничные условия находим коэффициенты Сг и С2:

г _ШЛ 3 4z

^а-МЫ+^О+МСь)

\

.3

T^rí^a -^ote)+f-0+

c = *ЛхЖ 3 _ii

•■o Vt2

где

1 * 1 * 1,(2, £) = - Гехр(^| «»а)«»£) = ~/ехР(£^соза)созас/а. (20)

Л о ^о

Амплитуду напряжённости электрического поля внутри тонкой цилиндрической проволоки, можно представить в виде

= Е0[с; 1й{Хх #) + С2- 1,{Хг = где С\г -Си/Е0, Ё(х,у,^,д,1//) - безразмерная величина амплитуды напряженности электрического поля внутри тонкой цилиндрической проволоки. Тогда из (16) моментный коэффициент

а, (#) = £«

к, К

и из (7) найдем выражение для амплитуды плотности тока в тонкой цилиндрической проволоке:

2ц/

где Лг=сг0£0, о^, 1г (*, У, Ч, у) - безразмерная величина амплитуды плотности тока.

Интегрируя последнее выражение, определяем полный ток через поперечное сечение тонкой цилиндрической проволоки:

/ = 2яЯ* [/, £^ = М^ЯМ*.) + = (21)

о V

гДе ^о- безразмерная величина полного тока, а А(X,)и /,{%г) определены равенствами (20) при % -1.

В случае отсутствия скин-эффекта (^ = 0) из (21) с помощью предельного перехода имеем

' /=/ *(и 2 Чч-т^) у

М гл/7 8(1 -^)/0(гл/7) + 3-77(1 + д)1,) У

Рис. 11. Зависимость модуля М~

Е

амплитуды безразмерной напряжённости электрического поля от £ 1 -(^ = 10; х = 1; у = 1; <7 = 0), 2-(^ = 10;*» 1).

Рис. 12. Зависимость модуля

н

амплитуды безразмерной плотности тока от £ 1 - (^ = 10; х - 5; у = 1; 4 = 0), 2 -(у/=0;* = 5;>>=1;4 = 0), 3-(у/= 10; х » 1).

Практически во всём объёме проволоки ход кривой 1 (рис. 11) модуля амплитуды безразмерной напряжённости электрического поля носит некоторый осциллирующий характер. Анализ хода кривой 2 (х» 1) показывает, что в случае сильного скин-эффекта электрическое поле отсутствует практически во всём объёме макроскопической проволоки, за исключением небольшого поверхностного слоя.

Анализ хода кривых 1 и 2 (рис. 12) модуля М-г амплитуды безразмерной плотности тока (результаты 1 и 2 получены с помощью кинетического подхода) показывает, что в приповерхностном слое имеет место некоторое увеличение плотности тока. Следует отметить наличие на кривой

1 максимума плотности тока. Анализ хода кривой 3, которая соответствует

классическому скин-эффекту, показывает монотонное убывание тока.

Внутри проволоки (# = 0,8) при малых у/« 1 графики 1 и 2 (см. рис.

13) модуля Л/, амплитуды безразмерной плотности тока, полученные с Уг

помощью кинетического подхода, совпадают, т. к. в этом случае скин-эффект практически не проявляется. По мере роста скин-параметра у/ кривая 1 асимптотически приближается к кривой 3, соответствующей классическому скин-эффекту в макроскопической проволоке, когда х» 1.

М-^уУ 1

\ ' ■ \

V :

\

\

-X—-.............

\ \ \ • : X . :

\

Щк) 1

Рис. 13. Зависимость модуля М~ Рис. 14. Зависимость модуля М~

амплитуды плотности тока от скин- амплитуды плотности тока от х: 1 -

параметра у/: 1 - (# = 0,8; х = 1; (# = 0,8; цг = 3; у = 1; ц = 0), 2 -

>>=1;<7 = 0), 2-(#=0,8;х=1;у=1; (#=0,8; у/ = 0; у =1; ц = 0), 3 -

? = 0;у/ = 0), 3 - (# = 0,8;л:» 1). (#=0,8; 3;х» 1).

При малых значениях радиуса проволоки (х « 1) кривые 1 и 2 (рис. 14) модуля М~ , полученные с помощью кинетического подхода, выходят

из нуля. Если радиус проволоки достаточно большой (х» 1), то имеет место классический скин-эффект. При этом кривая 1 асимптотически приближается к кривой 3, построенной для макроскопической проволоки.

Модуль М~ амплитуды безразмерной плотности тока ] А

(рис. 15) доминирует по величине для проволок с наименьшим скин-параметром (//= 0,01 (кривая 1). При увеличении координаты проволоки # кривые 1 и 2 монотонно убывают, а ход кривой 3 носит некоторый осциллирующий характер во всем объёме проволоки.

Рнс. 15. Зависимость модуля М~ Рис. 16. Зависимость аргумента А~

¡1

амплитуды плотности тока от £ амплитуды плотности тока от £ (И; *=1; 4=0,3): 1 - ^ =0,01; 2 - (у=1; х=\\ 4=0,3): 1 - у/ =0,01; 2 -^=1; 3 - ^=4. ^=1; 3 - у/=4.

Аргумент амплитуды безразмерной плотности тока

л(*,У,#,4>у) (см. рис. 16) при любом значении безразмерной координаты внутри проволоки £ больше у проволок, скин-параметр которых принимает наибольшее значение у/ = 4 (кривая 3).

Рнс. 17. Зависимость модуля М~ Рис. 18. Зависимость аргумента А~,

Зг ¡1

амплитуды плотности тока амплитуды плотности тока

7Хх'У>%>Я>У/) от скин-параметра у/ от скин-параметра ц/

(у=1; *=1; £=1): 1 - 4=0,01; 2 - (у=1;*=1; <?=1): 1 -4Ю,01; 2-4=0,5;

?=0,5; 3-^=1. 3-4=1.

Из анализа хода кривых на рис. 17, следует, что модуль амплитуды

безразмерной плотности тока доминирует по величине, вне

зависимости от скин-параметра у/, для проволок с наибольшей зеркальностью д. Все кривые монотонно убывают с увеличением скин-параметра.

Все кривые аргумента (фазы) Ау амплитуды безразмерной плотно-

сти тока (см- Рис- 18) имеют ярко выраженные максимумы в

точке у/ = 1,5, после чего монотонно убывают, сливаясь в одну кривую.

МвО)

---1-Г-'-'- 3

NN

\\

\\

\\

■ ■

\Ч

Рис. 19. Зависимость модуля М~ Рис. 20. Зависимость аргумента А^

электрического поля электрического поля Ё(х,у,4,д,Ц/)

от скин-параметра ц/ 0=1; х=3; от скин-параметра у/ (у= 1; х=3; <7=0,3): 1-^=0,01; 2 - £=0,5; 3- 9=0,3): 1-<?=0,01; 2 - £=0,5; 3-

4=1. ^

Модуль М~ (рис. 19) безразмерной амплитуды напряженности электрического, поля Ё доминирует по величине вблизи поверхности проволоки (кривая 3). С увеличением скин-параметра ^кривые 1 и 2 монотонно убывают, кривая 3 постоянна и не зависит от изменения скин-параметра.

Все кривые аргумента А~ безразмерной амплитуды напряженности

электрического поля Ё{х,у,4^,у/) (рис. 20) выходят из одной точки. По мере возрастания скин-параметра (// кривые 1 и 2 монотонно возрастают. Из анализа хода кривых на рис. 21, следует, что модуль М? полного

тока Т(х,у,д,ц/) доминирует по величине для проволок с наименьшим скин-параметром. Все зависимости монотонно возрастают с увеличение зеркальности проволоки.

Все кривые аргумента (фазы) Ау полного тока 7(х,у,д,Ц/) (см. рис.

22) монотонно возрастают с увеличением зеркальности проволоки д.

щ<1)

Л^ч)

о

'о

0.2 0.4

Об

1

0.2

0.4 : 0.6 . . 0.8 I

<7

Рис. 21. Зависимость модуля М~ Рис. 22. Зависимость аргумента Ау полного тока от д 0=0,1; х=0,1): 1 - полного тока от д 0=0,1; х=0,1): 1 -

Основные результаты и выводы:

1) Проведен анализ удельной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла. Рассмотрен случай зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца в зависимости от обратной длины свободного пробега электронов, частоты внешнего электрического поля.

2) Выполнено сравнение полученной локальной электрической проводимости с классическим результатом для цилиндрической проволоки (формула Друде), учитывающей столкновения электронов в объеме проволоки и с ее поверхностью.

3) Решено модифицированное кинетическое уравнение Больцмана для электронов с изменённым интегралом столкновений, учитывающим отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца при низких температурах в случае зеркально - диффузного характера отражения электронов от поверхности образца.

4) Приведено сравнение результатов аналитического расчёта удельного сопротивления тонкой цилиндрической проволоки с учетом отклонения свойств металлов от закона Видемана-Франца с экспериментальными данными для меди и серебра.

5) Проведён учёт влияния скин-эффекта на распределение электрического поля и электрического тока внутри тонкой цилиндрической прово-

Г=1; 2-г=3; 3-^=5).

ц/=\\2-^=3; 3-^=5).

локи из металла при произвольных соотношениях зеркальности, обратной длины свободного пробега электронов и частоты внешнего электрического поля. Дано сравнение найденных результатов с ранее известными результатами, полученными в рамках классической электродинамики. Показано, что учет кинетических эффектов приводит к существенной модификации известных результатов по скин-эффекту в цилиндрической проволоке.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Завитаев Э.В., Русаков О.В. Юшканов A.A. Применение момент-ного метода для расчёта электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла. // Труды Шестой Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (в трёх частях). Москва, 2011,4.1., с. 46-47.

2. Завитаев Э.В., Русаков О.В. Юшканов A.A. К вопросу о применении моментного метода для расчёта электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла. // Вестник МГОУ, Сер. «Физика -Математика», № 3, с. 83-89,2011.

3. Завитаев Э.В., Русаков О.В. Юшканов A.A. Влияние отклонения от закона Видемана-Франца на электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. // Сборник материалов научной конференции преподавателей, аспирантов и молодых ученых Московской области, посвящённой 300-летию М. В. Ломоносова и 80-летию МГОУ. Москва,

2011, с. 12-14.

4. Zavitaev E.V., Rusakov O.V., Yushkanov A.A. Effect of skin effect for distribution current density inside the cylindrical wire submicron. // Scientific Israel-technological advantages, y. 14, № 1, p. 20-23,2012.

5. Русаков О. В., Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Скин-эффект в тонкой цилиндрической проволоке из металла. // ФТТ, т. 54, вып. 6, с. 1041-1047,2012.

6. Завитаев Э.В., Русаков О.В. Юшканов A.A. К вопросу об отклонении от закона Видемана-Франца в тонкой цилиндрической проволоке из металла // Вестник МГОУ, Сер. «Физика - Математика», № 2, с. 122-131,

2012.

Корректура авторская

Подписано в печать: 22.07.2013 г. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Формат бумаги 60/84 Усл. п.л. 1,75.

_Тираж 100 экз. Заказ № 75._

Изготовлено с готового оригинал-макета в ИИУ МГОУ. 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10-а.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201361762 •

РУСАКОВ ОЛЕГ ВЛАДИМИРОВИЧ

ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ЗАКОНА ВИДЕМАНА-ФРАНЦА И

СКИН-ЭФФЕКТ В ТОНКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРОВОЛОКЕ ИЗ МЕТАЛЛА

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д. ф.- м. н. Э. В. Завитаев

Москва-2013

Оглавление

Введение 3

Список обозначений 15

Глава 1. Применение моментного метода для расчета электрической 17 проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла

1.1. Постановка задачи 17

1.2. Функция распределения 19

1.3. Расчёт проводимости 27

1.4. Обсуждение результатов 32

Глава 2. Влияние отклонения от закона Видемана-Франца на 38 удельную электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла

2.1. Постановка задачи 38

2.2. Функция распределения 41

2.3. Расчёт проводимости 49

2.4. Обсуждение результатов 53

Глава 3. Применение моментного метода для расчета напряженности 62 электрического поля и тока внутри тонкой цилиндрической проволоки из металла с учётом скин-эффекта

3.1. Постановка задачи 62

3.2. Функция распределения 64

3.3. Расчёт напряженности и тока 70

3.4. Обсуждение результатов 74

Заключение 90

Список литературы 92

Введение Актуальность работы

Известно, что электромагнитные свойства тонких металлических проволок существенно отличаются от свойств массивных образцов металла [1]. Если линейный размер К образца металла будет порядка Л - длины свободного пробега электронов [2] или меньше её: К < А, то взаимодействие электронов с границей металлического образца начинает оказывать заметное влияние на их отклик на внешнее электромагнитное поле. Следствием этого и являются особые электромагнитные свойства образца (металлической частицы или проволоки). Поэтому, когда выполняется условие Я < Л, основные электромагнитные характеристики металлов - плотность тока, локальная и интегральная проводимости, сечение поглощения - обнаруживают нетривиальную зависимость от отношения Я /Л.

Развитие современных технологий приводит к уменьшению характерных размеров деталей микроэлектронных устройств, и рассматриваемые толщины металлических деталей становятся субмикронными, т.е. размером всего несколько нм. У металлов с хорошей проводимостью, таких как алюминий, медь, серебро и прочие, длина свободного пробега электронов составляет величину от десятка до сотен нм. Таким образом, условие К< Л легко достижимо на практике.

Электромагнитные свойства мелких металлических частиц изучаются сравнительно давно. Основные результаты этих исследований довольно полно отражены в имеющихся монографиях [3-6] и монографических обзорах [1, 7, 8].

В последнее время интерес к проблеме взаимодействия электромагнитного излучения с мелкими металлическими частицами значительно возрос и в связи с рядом технологических приложений. В частности, при создании композитных материалов из несущей нейтральной (не поглощающей) среды и вкраплённых в неё металлических частиц [9].

Для определения электромагнитных свойств таких сред был проведён ряд экспериментов [10-13], которые привели к неожиданным результатам. Оказалось, что поглощение дальнего инфракрасного (ИК) излучения в таких средах существенно выше (на несколько порядков), чем следует из классической теории [14-16].

Общепринятого объяснения имеющихся экспериментальных данных до сих пор не существует [14, 17], хотя для описания данной аномалии был рассмотрен целый ряд моделей.

Среди исследователей работающих над данной проблемой наиболее популярной является теория, связывающая данное явление с коллективными эффектами в дисперсной системе [18, 19]. Но эта теория не в состоянии объяснить весь спектр имеющихся экспериментальных данных [14,20,21].

Возникшая ситуация делает необходимым тщательное теоретическое изучение электромагнитных свойств мелких металлических частиц. Из сказанного выше следует, что для этого нужно уметь описывать отклик электронов проводимости на внешнее электромагнитное поле в образце размером II при произвольном соотношении между ЯиЛ (т.е. с учётом взаимодействия электронов с границей образца) [22-24].

В качестве аппарата способного описывать отклик электронов на внешнее электромагнитное поле, с учётом взаимодействия электронов с границей образца, может быть использована стандартная кинетическая теория электронов проводимости в металле [22]. В этом случае ограничения на соотношение между длиной свободного пробега электронов и размером образца не накладываются.

Попутно заметим, что большое значение при кинетическом описании имеет точность решения интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Часто для решения этого уравнения применяется моментный метод. В связи с чем, отдельного внимания заслуживает работа [25], в которой изложена техника вычисления моментов интеграла столкновений для произвольного класса задач.

В некоторых экспериментальных работах исследователи опирались на классические представления теории Ми [26 - 29] для интерпретации наблюдаемых линейных оптических свойств частиц из золота, серебра, меди [28] и олова [29] различных размеров. Используя продольную диэлектрическую функцию, авторы объясняют полученную частотную зависимость, но не аномально большую величину наблюдаемого поглощения.

В рамках уравнения макроскопической электродинамики эта теория применима лишь для случая «массивных» образцов металла, для которых выполняется условие Я »Л. Впрочем, в ряде работ [9, 14, 30] был

предложен способ, как некоторый рецепт экстраполяции классических результатов теории Ми на случай выполнения условия Я<А. Введение явной зависимости диэлектрической проницаемости е от величины К /А позволяет грубо учесть влияние границ образца на релаксационные свойства электронов. В некоторых случаях, таким образом, удаётся довольно правильно оценить влияние указанного размерного эффекта даже для весьма мелких частиц. Впрочем, использование таких приёмов не представляется вполне обоснованным и не может заменить последовательный кинетический расчёт отклика электронов на внешнее электромагнитное поле в образце конечных размеров.

Ряд работ [31 - 37] посвящен применению известной обобщенной формулы Друде [38] для нелокальной оптической проводимости малых металлических частиц.

В работах [39, 40] высказывалось предположение о возможном существенном влиянии зеркального отражения электронов от поверхности на электромагнитные свойства мелких металлических частиц. Автор попытался связать возможное преобладание зеркального рассеяния с наблюдаемым аномальным поведением сечения поглощения мелких металлических частиц в дальнем ИК - диапазоне.

В работах [41,42] проанализировано ИК-поглощение мелких металлических частиц сферической формы с помощью упрощённой кинетической модели. Обнаруженное ИК-поглощение на несколько порядков превышает величину поглощения, полученного по обычной формуле Ми.

В работах [43, 44] в рамках классической теории проведена оценка поглощения электромагнитного излучения металлическими частицами. Авторы пытаются получить согласие расчётных и экспериментальных частотных зависимостей "эффективного фактора поглощения" частицами серебра, золота и алюминия. Также в работах рассматривается размерная зависимость поглощения электромагнитного излучения мелкими металлическими частицами в ИК-диапазоне. Проблема аномального поглощения инфракрасного излучения мелкими металлическими частицами обсуждается в работе [45].

В работах [46, 47] обсуждаются вопросы, связанные с нелокальностью оптической проводимости мелких металлических частиц,

а работах [48, 49] зависимость их электромагнитного поглощения от размера и температуры.

Альтернативный подход к проблеме предложен и развивается в работах [50-54]. В данных работах проведены численные расчёты "фактора эффективности поглощения" ультрадисперсной сферической частицы серебра (частица радиусом 14.2 нм) по соотношениям теории электрооптического эффекта и теории Друде (обобщённой на случай классического размерного эффекта) с рассмотрением влияния на "фактор эффективности поглощения" собственного теплового излучения частицы. К этой же серии можно отнести работы [55-57].

Однако при облучении мелких металлических частиц электромагнитными волнами, частоты которых принадлежат дальнему ИК-диапазону, превалирующим является их магнитное дипольное поглощение. Ряд работ посвящен теоретическому анализу этого эффекта.

В работах [58, 59], а также [60-69], рассмотрено взаимодействие электромагнитного излучения со сферической частицей.

В [58] авторами в дипольном приближении вычислено сечение поглощения электромагнитного излучения металлической частицы сферической формы. Расчёт выполнен для случая достаточно низких частот (ИК- диапазон и ниже), когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, и для сравнительно мелких частиц 10 нм), что позволяет пренебречь скин-эффектом. Авторами показано, что в пределе больших длин свободного пробега имеет место осциллирующая зависимость сечения поглощения от частоты внешнего излучения. Также в работе обсуждается возможность экспериментального наблюдения указанных осцилляций.

В [59] рассчитано сечение магнитного дипольного поглощения сферической частицы металла при условии, что отражение электронов от поверхности образца носит смешанный (зеркально-диффузный) характер. Проведён анализ связи данной теории с феноменологическим описанием, которое основано на нелокальной модификации известных формул Друде для проводимости и диэлектрической проницаемости металла. Проанализирована возможная связь между аномально высокой степенью зеркальности отражения электронов и аномально большим наблюдаемым сечением поглощения в дальнем ИК-диапазоне. При этом, как и в работе [58], считается, что радиус частицы мал по сравнению с характерной глубиной скин-слоя.

В предельном случае 11«Л на низких частотах (дальний РЖ-диапазон) этот результат совпадает с результатом, полученным в работах [30, 70]. В упомянутых работах применяется подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана для электронов проводимости в металле.

В работах [1, 3] по поглощению в металлической частице для вычисления оптических величин использовалось кинетическое уравнение для электронов в тау-приближении. При этом в расчетах не принимались во внимание возможные отклонения от закона Видемана-Франца, которые при низких температурах могут быть весьма существенны [71-73]. Решением данной проблемы является изменение правой части интеграла столкновения, учитывающее частичное сохранение импульса электронов при электрон-электронном столкновении. Уравнение Больцмана для электронов в таком случае превращается в двухпараметрическое [74, 75].

Работы [63-69] посвящены изучению особенностей взаимодействия электромагнитного излучения с малой металлической частицей. Проведен анализ плотности распределения вихревых токов в малой проводящей сферической частице в случаях зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца. Дано сравнение результатов для различных размеров частицы и частот падающей электромагнитной волны в отсутствии скин-эффекта. Разработан вариант моментного метода к вычислению оптических свойств малых металлических частиц. Приведено сравнение сечений поглощения в сферической частице, рассчитанных моментным методом со значением, полученным в точном кинетическом расчете. Решено модифицированное кинетическое уравнение с интегралом столкновений, учитывающим отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца при низких температурах, с учетом диффузного рассеяния электронов на границе образца. Проведен последовательный учет влияния скин-эффекта на сечение поглощения при произвольном соотношении длины свободного пробега электронов проводимости и размеров частицы.

Работы [76, 77] посвящены рассмотрению взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой цилиндрической частицей из металла с учётом аномального скин-эффекта. К сожалению, окончательных результатов, которые можно было бы сравнить с результатами других авторов, в этих работах нет. Аналитическое описание

скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического кинетического уравнения проведено в работе [78].

Отдельно можно отметить работы [79-81], в которых учитывается температурная зависимость плотности вихревого тока и сечения магнитного дипольного поглощения мелкой сферической проводящей частицы, а также работу, посвященную изучению поведения электронной плазмы внутри тонкой металлической пластины в переменном электрическом поле [82].

Сравнительно недавно возрос интерес к проблеме взаимодействия электромагнитного излучения с несферическими частицами [83]. Авторы [83] провели исследование зависимости сечения поглощения малой эллипсоидальной металлической частицы в ИК-диапазоне, но ими не учтены объёмные столкновения электронов внутри частицы.

Ряд работ [84-93] был посвящён описанию взаимодействия электромагнитного излучения с цилиндрической частицей. В этих работах подробно рассматривалось магнитное дипольное поглощение металлической частицы цилиндрической формы (в том числе и конечной длины) и было выполнено сравнение удельных (на единицу объёма) сечений поглощения сферической и цилиндрической частиц.

В работе [94] рассматривались системы ультратонких нитей металлов и полупроводников. Было проведено исследование высокочастотных свойств (СВЧ-излучение) этих систем в относительно широком диапазоне температур - от низких до комнатных.

Отметим также работы, в которых предпринята попытка учета квантовомеханических эффектов в данной проблеме, что особенно существенно при низких температурах [95, 96].

Аналитические решения граничных задач теории скин-эффекта для вырожденной (фермиевской) и невырожденной (максвелловской) электронной плазмы детально рассмотрены в монографии [97].

Влияние скин-эффекта на оптические свойства металлов уже давно привлекает внимание исследователей [98-102]. Проблеме скин-эффекта посвящено немало и теоретических работ. Вопросам скин-эффекта в плазме твердого тела посвящены монографии [103-105] и работы [106108]. Общие вопросы поведения электронной плазмы в металле подробно изложены в [71, 109]. Поглощение электромагнитного излучения металлическими частицами и влияние скин-эффекта на поглощение освещено в [110].

Не менее важно исследование электрической проводимости тонких проволок из металла. Дело в том, что в этой области существуют значительные теоретические пробелы.

В фундаментальной работе [111] впервые рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки (отношение ее радиуса к длине много меньше единицы). В первой части этой работы описаны приближённые методы для определения электрической проводимости металлических плёнок и проволок, размер которых сравним со средней длиной свободного пробега электронов. Во второй части построена строгая теория электрической проводимости тонких проволок на основании утверждения о том, что ферми-поверхность электронов является сферической, и, что на поверхности проволок происходят неупругие столкновения электронов. В третьей части эта теория обобщена на случай упругого рассеяния электронов. В заключительной части приведены экспериментальные результаты для тонкой проволоки из ртути и оценена средняя длина свободного пробега электронов. Однако в этой работе рассматривались только стационарные поля и не проводилось сравнение с экспериментом.

Позже подобные вопросы, относящиеся к тонким проводникам, не раз обсуждались в литературе [112-116].

В работе [117] приведено большое количество экспериментальных данных по исследованию температурной зависимости электрического сопротивления тонких цилиндрических проволок из серебра и меди.

Ряд работ [118-120] посвящён расчёту электрического сопротивления тонких металлических проволок прямоугольного сечения. Но говорить о том, что в этих работах проведено последовательное теоретическое описание электромагнитных свойств тонкой проволоки прямоугольного сечения не приходится. Приведённый результат написан по аналогии с результатом автора [112] для цилиндрической проволоки. При этом авторы [118-120] допустили неточности, которые не позволяют корректно описывать сопротивление прямоугольной проволоки. Кроме того, следует отметить, что влияние формы сечения проволоки на её проводимость изучено недостаточно и почти не отражено в научной литературе.

В работе [121] описан эксперимент по определению электрического сопротивления тонких проволок прямоугольного сечения. В металл, из которого �