Влияние кинетических процессов на электромагнитные свойства мелких частиц сложной структуры и тонких металлических проволок тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах<{>э*<гаиси

ЗАВИТАЕВ ЭДУАРД ВАЛЕРЬЕВИЧ

ВЛИЯНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МЕЛКИХ ЧАСТИЦ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ И ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРОВОЛОК

Специальность 01 04 02-теоретическаяфизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□□3 168919

Москва-2008

003168919

Работа выполнена на кафедре физики Московского государственного университета леса

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор Юшканов Александр Алексеевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Гладков Сергей Октябринович, доктор физико-математических наук, профессор Уварова Людмила Александровна,

Ведущая организация - Московский государственный технический университет им H Э Баумана

Защита состоится "19" июня 2008 г в 15 часов на заседании специализированного совета Д 212 155 07 в Московском государственном областном университете по адресу 105005, г. Москва, ул Радио, д 10-а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета

доктор физико-математических наук Кузнецова Ирина Александровна

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ - мат наук, доцент

Барабанова H H

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

На данном этапе развития физики наиболее востребованными являются результаты, полученные при описании нанометровых объектов, т к это имеет определяющее значение для практического внедрения нанотех-нологий В связи с чем, в научной литературе опубликовано большое количество теоретических и экспериментальных работ по указанной тематике В частности работ, посвященных исследованию электромагнитных свойств мелких частиц и тонких проволок Причем в основе только малой части из этих работ лежит физическая кинетика

Однако для корректного описания процесса диссипации энергии электромагнитного поля в мелкой частице или аналитического расчета электрической проводимости тонкой проволоки использование кинетического подхода необходимо, поскольку указанные процессы напрямую связаны с кинетикой электронов (с их объемньм и поверхностным рассеянием внутри частицы или проволоки)

Известно, что электромагнитные свойства мелких металлических частиц (тонкие металлические проволоки можно считать вытянутыми частицами) могут существенно отличаться от свойств массивных образцов металла [1] Если линейный размер II образца металла будет порядка Л -длины свободного пробега электронов или меньше ее: Я < Л, то взаимодействие электронов с границей металлического образца начинает оказывать заметное влияние на их отклик на внешнее электромагнитное поле Следствием этого и являются особые электромагнитные свойства образца (металлической частицы) Поэтому, когда выполняется условие Я < Л, основные электромагнитные характеристики частиц - плотность тока, локальная и интегральная проводимости, сечение поглощения - обнаруживают нетривиальную зависимость от отношения Я /Л

Возникшая ситуация делает необходимым тщательное теоретическое изучение электромагнитных свойств мелких металлических частиц Из сказанного выше следует, что для этого нужно уметь описывать отклик электронов проводимости на внешнее электромагнитное поле в образце

размером II при произвольном соотношении между К и Л (т е с учетом взаимодействия электронов с границей образца)

В качестве аппарата способного описывать отклик электронов на внешнее электромагнитное поле, с учетом взаимодействия электронов с границей образца, может быть использована стандартная кинетическая теория электронов проводимости в металле [2] В этом случае ограничения на соотношение между длиной свободного пробега электронов и размером образца не накладываются

Уравнения макроскопической электродинамики применимы лишь в случае «массивных» образцов II »Л Поэтому известная теория Ми [3], которая описывает взаимодействие электромагнитной волны с металлическими телами в рамках макроскопической электродинамики, непригодна для описания упомянутого размерного эффекта

Кроме того, в последнее время в литературе появились сообщения об экспериментальных исследованиях частиц со сложной внутренней структурой [4-7] Такие частицы состоят из диэлектрического (или металлического) ядра, окруженного металлической оболочкой, что, естественно, сказывается на электромагнитных свойствах этих частиц Важность рассмотрения частиц со сложной внутренней структурой становится очевидной в связи с технологическими приложениями, т к при создании композитных материалов часто используется чередование структур металл-диэлектрик и т п Здесь можно выделить следующие очень глубокие по содержанию и важные с теоретической точки зрения работы по данной тематике [8-10] Анализ содержания этих работ позволяет сделать вывод о том, что в них акцентируется внимание на решении целого ряда вопросов, возникающих при изучении свойств сильно неупорядоченных и сложных гетерогенных наноструктур Этот вывод в полной мере относится и к теоретическому описанию электромагнитных свойств мелких неоднородных частиц, изучению которых посвящена данная диссертационная работа

Не менее важно исследование электрической проводимости тонких проволок из металла Дело в том, что в этой области существуют значительные теоретические пробелы

Например, описанный в научной литературе расчет электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки [11] выполнен только для случая стационарного поля и не сопоставлялся с результатами экспериментальных исследований

В качестве другого примера можно привести проблему влияния магнитного поля на электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла В научной литературе есть статьи, посвященные этому вопросу (например, [12]) Однако автору [12] не удалось получить аналитическое выражение для расчета проводимости Им численными методами были получены результаты только для отдельных значений параметров задачи При этом автору также не удалось получить согласие результатов с экспериментальными данными

В заключении можно обратить внимание на работу, в которой приведен эксперимент по определению электрического сопротивления тонких проволок прямоугольного сечения [13] Однако последовательного теоретического описания электромагнитных свойств тонкой проволоки прямоугольного сечения в научной литературе нет Кроме того, следует отметить, что влияние формы сечения проволоки на ее проводимость изучено недостаточно и тоже почти не отражено в литературе.

Цель работы

Настоящая работа посвящена изучению влияния кинетических процессов на электромагнитные свойства мелких частиц сложной внутренней структуры и тонких металлических проволок (вытянутых наночастиц круглого или прямоугольного сечения) В диссертации подведены итоги исследований автора, направленных на

Описание взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой неоднородной сферической частицей, с использованием кинетической теории электронов в металлах

Изучение электромагнитных свойств неоднородной цилиндрической частицы с использованием кинетической теории электронов в металлах

Аналитический расчет электрической проводимости для тонких проволок из металла различной формы сечения с использованием кинетического метода

Исследование с помощью кинетического подхода влияния на электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла наличия продольного магнитного поля

Научная новизна работы

В работе впервые получено аналитическое решение задачи о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с мелкой сферической частицей сложной структуры

Впервые получено аналитическое решение задачи о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей, что позволяет провести сравнение сечений магнитного дипольного поглощения для частиц различной геометрической формы

Впервые получено аналитическое решение задачи о взаимодействии электрической компоненты электромагнитного излучения с мелкой цилиндрической частицей сложной структуры

Впервые получено аналитическое решение задачи по расчету электрической проводимости вытянутых тонких проволок из металла различных видов сечения прямоугольного и круглого, к концам которых приложено переменное электрическое напряжение

Впервые для проволоки круглого сечения, к концам которой приложено переменное электрическое напряжение, построена теория электрической проводимости, учитывающая характер рассеяния электронов на внутренней поверхности проволоки, что позволяет качественно объяснить влияние характера рассеяния электронов на электрическую проводимость проволок других видов сечения, а также определять коэффициент зеркальности металлов

Впервые рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки, помещенной в продольное магнитное поле, и проведено сравнение теоретического расчета с результатами эксперимента

Впервые на основе полученного аналитического решения найдено теоретическое объяснение для экспериментальных данных по магнитосо-противлению тонкой цилиндрической проволоки

Впервые на основе полученного аналитического решения задачи о магнитосопротивлении тонкой проволоки цилиндрической формы определен коэффициент зеркальности поверхности металла (натрия)

Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что рассмотренная в работе теория необходима для инициирования проведения новых экспериментов в области физики нанометровых объектов

Практическая значимость

работы заключается в том, что, кроме чисто научного интереса, особенности поглощения электромагнитного излучения мелкими частицами важны и для технологических приложений В частности, при нанесении на поверхность твердых тел лакокрасочных материалов, содержащих мелкие частицы сложной структуры, может резко изменится поглощение таких поверхностей и отражение от них Для управления упомянутыми процессами нужно знать свойства таких частиц

В связи с интенсивным развитием вычислительной техники и вредом излучения, возникающего в помещениях, где установлены компьютеры, может иметь место применение покрытий, с входящими в их состав мелкими частицами

Изучение электромагнитных свойств мелких частиц сложной структуры важно для физики атмосферы

В космосе мелкие частицы представляют серьёзную угрозу для летательных аппаратов Такие частицы можно разрушать лазерными пучками, зная основные закономерности поглощения этих частиц

Учет влияния на электрическую проводимость тонких проволок формы их поперечного сечения необходим при создании микроканалов в диэлектрических матрицах композиционных материалов

Аналитический расчет электрической проводимости тонких проволок, помещенных в продольное магнитное поле, позволяет определять такую важную кинетическую характеристику металлов как коэффициент зеркальности электронов

Заметим, что задачи о проводимости тонких металлических проволок становятся особенно актуальными в связи с бурным развитием микроэлектроники, где такие проволоки широко применяются

На защиту выносятся следующие результаты:

Построение теории взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной сферической частицей Построение теории взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей

Построение теории взаимодействия электрической компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей

Построение теории электрической проводимости тонких металлических проволок

Построение теории электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в продольном магнитном поле

Апробация работы

По теме диссертации опубликована 31 работа, список которых приведен в конце автореферата

Материалы диссертации докладывались на 21 международной конференции стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2004 г), на 6 международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004 г), на 3 всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике (Москва, 2004 г), на 3 международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, Крым, 2005 г.) и международной научно-практической конференции "Аэрозоли и безопасность - 2005" (Обнинск, 2005 г) Основные результаты диссертации обсуждались на научных конференциях и семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета и кафедры физики Московского государственного университета леса

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы Объем диссертации 278 страниц машинописного текста, диссертация содержит 70 рисунков

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации выполнен анализ современного состояния проблемы, которая составляет предмет диссертационного исследования, и проведен обзор литературы по теме диссертации

Во второй главе решена задача о магнитном дипольном поглощении мелкой неоднородной сферической частицы

Рассматривается сферическая частица, состоящая из диэлектрического (или металлического) ядра, радиус которого II , окруженного оболочкой из немагнитного металла радиуса II,, помещенная в поле плоской электромагнитной волны частоты со, которая ограничена сверху частотами ближнего ИК - диапазона (ш < 2 1015 с"1) Неоднородность внешнего поля волны и скин-эффект не учитываются (предполагается, что Я2 < б - глубины скин-слоя) Линейный размер частицы Я2 мал по сравнению с длиной волны X электромагнитного излучения В рассматриваемом диапазоне частот вклад токов дипольной электрической поляризации будет мал по сравнению с вкладом вихревых токов, которые индуцируются внешним магнитным полем волны Поэтому действие внешнего электрического поля волны не учитывается

Электроны проводимости в металлической оболочке (и в металлическом ядре, если частица биметаллическая) рассматриваются как вырожденный ферми-газ, и описывается их отклик на внешнее переменное магнитное поле с помощью уравнения Больцмана в приближении времени релаксации

Однородное периодическое по времени магнитное поле волны Н = Н0ехр(-юп) вызывает появление в частице вихревого электрического поля Оно, в силу симметрии задачи, определяется из уравнения индукции Максвелла

Вихревое электрическое поле воздействует на электроны проводимости в частице и вызывает отклонение их функции распределения Г от равновесной фермиевской ^

(1)

1(г,У) = Г0(е) + Г,(Г,УЬ~, (2)

где г - радиус - вектор (начало координат О в центре частицы), V и т -скорость и эффективная масса электрона

Это приводит к возникновению вихревого тока

(где Ь - постоянная Планка, е - заряд электрона), а также к диссипации в объеме частицы энергии Энергия (} диссипируемая в единицу времени равна

|(^ЁЯЩ"а3г=1ке ||Е'с13г, (4)

здесь чертой обозначено усреднение по времени, а звездочкой - комплексное сопряжение

Задача сводится к отысканию отклонения ^ функции распределения электронов от равновесной возникающего под действием вихревого электрического поля В линейном приближении по внешнему полю, функция ^ удовлетворяет кинетическому уравнению

Эг бе т

где х - электронное время релаксации

Для однозначного определения функции ^ необходимо задать для нее граничные условия на сферических поверхностях металлической оболочки и диэлектрического (или металлического) ядра частицы В качестве таковых принимаем условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от этих поверхностей

При вычислении интегралов (3) и (4) удобно перейти к сферическим координатам как в пространстве координат (полярная ось - ось Ъ, вектор Н0 параллелен оси Т), так и в пространстве скоростей

Сечение поглощения электромагнитного излучения ст находим, разделив среднюю диссипируемую мощность (] (см 4) на средний поюк энергии в волне сН^ /8п (Н0 - амплитуда магнитного поля волны)

Сечение поглощения неоднородной сферической частицы сг удобно представить в виде

а = ст0Р(х,у,К),

(6)

Сто =

2 я2 п е2 уг Я'

(7)

Здесь п - концентрация электронов в оболочке частицы, ус - скорость Ферми оболочки (и, - скорость Ферми ядра, если частица биметаллическая), Р(х,у,К) - безразмерное сечение поглощения частицы, которое является функцией следующих безразмерных переменных х = 112/т2уг - безразмерная обратная длина свободного пробега электронов, у = Л2 ш/уг - безразмерная частота внешнего поля, К. = Я, - отношение радиуса ядра к радиусу частицы В случае зеркально-диффузного граничного условия для неоднородной сферической частицы с диэлектрическим ядром к ним добавляются коэффициенты отражения электронов от внутренней и внешней границ частицы я, и я2 Если частица биметаллическая, то добавляются безразмерные переменные у = иг - отношение скоростей Ферми ядра и оболочки и 5 = т, / х2 - отношение времен релаксации ядра и оболочки

Результаты численных расчетов безразмерного сечения поглощения Б неоднородной сферической частицы представлены на рис 1-3

О.б

р(у)

0.5

0.4

О.З

0.2

0.1

О

О

2

4

б

8

Ю

У

РИСУНОК 1 Зависимость безразмерного сечения поглощения Б неоднородной сферической частицы от безразмерной частоты у 1 - (х = О, К = 0 8, ql= 0, я2 = 0), 2 - (х = О, К = 0 8, 11,= I, я2= 0), 3 - (х = 0, К = 0 8, я,= 0, я2=1)

X

РИСУНОК 2 Зависимость безразмерного сечения поглощения Р неоднородной сферической частицы от безразмерной обратной длины свободного пробега электронов х 1 -(у=1,К = 0 8, ч,= 0, я2=0),2-(у= 1,К = 0 8, я,= 1, я2= 0), 3 - (у = 1, К = 0 8, q1=0,

К

РИСУНОК 3 Зависимость величины в от отношения радиуса ядра к радиусу неоднородной сферической частицы К 1- (у = 3, х = 0, q1= 0, qг= 0), 2 - (у = 3, х = 0, q1= 0, Чг= 1)> 3 - (у = 3, х = 0, ч,= 1,ч,= 0)

Рисунок 1 выполнен для неоднородных сферических частиц малого размера по сравнению с длиной свободного пробега электронов, когда «л (х = 0) Каждая кривая построена при различных значениях коэффициентов отражения q| и я2 Наличие осцилляций частотной зависимости объясняется влиянием отношения времени пролета электрона между столкновениями с сферическими поверхностями к периоду изменения внешнего электромагнитного поля на диссипацию энергии внутри металлической оболочки частицы с диэлектрическим ядром Это влияние наиболее существенно при диффузном отражении электронов от границ металлического слоя частицы (я, = 0 или я2 = 0) Оно убывает по мере возрастания коэффициента отражения от поверхности Увеличение радиуса частицы приводит к сглаживанию осцилляций частотной зависимости из-за роста влияния объемных столкновений электронов С ростом коэффициентов отражения сечение поглощения уменьшается ввиду уменьшения роли поверхностных эффектов при диссипации энергии

На рисунке 2 отображены зависимости безразмерного сечения поглощения Р неоднородной сферической частицы от безразмерной обратной длины свободного пробега х Рисунок выполнен при заданной безразмерной частоте у и различных коэффициентах отражения ql и q2 Кривая 3 выходит из начала координат и имеет максимум Это зависимость близка к классическому результату, т к главный вклад в сечение поглощения вносят электроны, зеркально отражающиеся от границы неоднородной частицы При промежуточных значениях коэффициентов отражения (я и Я безразмерное сечение поглощения отлично от нуля даже для случая очень чистого металла, когда х = 0 С увеличением радиуса частицы все кривые сливаются, и результат переходит в классический При возрастании частоты сечение поглощения тоже возрастает, т к напряженность

вихревого электрического поля прямо пропорциональна частоте внешнего поля

Для анализа зависимости безразмерного сечения поглощения Р от отношения радиуса ядра к радиусу частицы К воспользуемся рисунком 3, на котором приведено безразмерное сечение поглощения металлической сферической частицы с диэлектрическим ядром приходящееся на единицу объема металла в(К) в частице

= ^ (8)

Ограничимся случаем частиц из чистого металла (х = 0) и фиксированного значения безразмерной частоты внешнего поля у У таких частиц (электроны в чистых металлах обладают большой длиной свободного пробега), в широком диапазоне значений К, удельное сечение поглощения может быть больше при зеркальном отражении электронов от наружной поверхности металлического слоя частицы При значениях К близких к единице сечение поглощения невелико на всех частотах и при всех значениях коэффициентов отражения потому, что металлическая оболочка частицы очень тонкая и электроны при своем движении между поверхностями оболочки не успевают существенно ускориться внешним электромагнитным полем (при этом плотность тока в оболочке стремится к нулю)

В третьей главе решена задача о магнитном дипольном поглощении мелкой неоднородной цилиндрической частицы

Рассматривается цилиндрическая частица длины Ь, состоящая из диэлектрического (или металлического) ядра, радиус которого К,, окруженного оболочкой из немагнитного металла радиуса Я2 Принимается, что направление магнитного поля в электромагнитной волне совпадает с осью неоднородного цилиндра Частица считается мелкой, неоднородность внешнего поля волны и скин-эффект не учитываются В рассматриваемом диапазоне частот вклад токов дипольной электрической поляризации будет

мал по сравнению с вкладом вихревых токов, которые индуцируются внешним магнитным полем волны, если оно ориентировано вдоль оси симметрии частицы Поэтому действие внешнего электрического поля волны не учитывается.

При решении кинетического уравнения (5) задаются граничные условия на цилиндрических поверхностях металлической оболочки и диэлектрического (или металлического) ядра частицы В качестве таковых принимаются условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от этих поверхностей

Сначала мы считаем, что длина частицы значительно больше ее радиуса I» II2 В этом случае можно пренебречь рассеянием электронов на торцах неоднородного цилиндра Затем расчет сечения поглощения неоднородной цилиндрической частицы производится с учетом рассеяния электронов на торцах

При вычислении интегралов (3) и (4) теперь удобно перейти к цилиндрическим координатам в пространстве координат (полярная ось - ось Ъ, вектор Н0 параллелен оси Z) и в пространстве скоростей (полярная ось - ось у2) Ось цилиндра совпадает с осью Ъ

Сечение поглощения неоднородной цилиндрической частицы снова представляем в виде (6) с коэффициентом

®о=-- з

тс

Безразмерные переменные х, у, К, у, ч,, q2, 5 вводятся аналогично тому, как это делается в главе 1 Кроме того, появляется новая безразмерная переменная Г = Я2 /Ь - отношение радиуса частицы к ее длине Результаты численных расчетов безразмерного сечения магнитного дипольного поглощения Б неоднородной цилиндрической частицы представлены на рис 4-6

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

02

РИСУНОК 4 Зависимость безразмерного сечения поглощения Р неоднородной цилиндрической частицы от коэффициента отражения 1 - (у = 1, х = О, К = 0 95, 0), 2 -(у=1, х = О, К = 0 95, я,= 0 5), 3 -(у= 1,х = 0, К = 0 95, 1)

РИСУНОК 5 Зависимость безразмерного сечения поглощения Б неоднородной (биметаллической) цилиндрической частицы от отношения скорости Ферми в ядре к скорости Ферми в оболочке частицы у 1- (х = 0, у = 7, 8 = 1, К = 0 6), 2 - (х = 0, у = 7, 8 = 1, К = 0 65), 3 - (х = 0, у = 7,8 = 1, К = 0 7)

РИСУНОК 6 Зависимость безразмерного сечения поглощения Р неоднородной цилиндрической частицы от отношения радиуса частицы к ее длине Г 1- (х = 0, у = 3, К = 0), 2 - (х = 0, у = 3, К. = 0 5), 3 - (х = 0, у = 3, К = 0 71)

Рисунок 4 показывает, как безразмерное сечение поглощения неоднородной цилиндрической частицы Б зависит от коэффициента отражения Я 2 Практически при любых значениях (за исключением узкой области вблизи единицы) сечение поглощения становится больше при возрастании степени зеркальности отражения электронов от внутренней границы цилиндрического металлического слоя частицы

На рисунке 5 отображена зависимость безразмерного сечения поглощения биметаллической цилиндрической частицы Б от отношения скоростей Ферми в ядре и оболочке частицы у Рисунок выполнен для случая разного отношения радиуса ядра к радиусу частицы К (считается, что оболочка частицы изготовлена из чистого металла, и частица находится во внешнем электромагнитном поле некоторой фиксированной частоты) При

каждом значении у безразмерное сечение поглощения больше для частиц имеющих оболочку, объем которой превосходит объем внутреннего ядра.

Зависимость безразмерного сечения поглощения неоднородной цилиндрической частицы конечной длины Р от отношения радиуса частицы к ее длине Г представлена на рисунке 6 В случае очень мелких частиц (или очень чистого металла оболочки), когда х = 0 (свободно-электронный режим поглощения), безразмерное сечение поглощения больше для частиц, у которых больше объем металлической оболочки (т е меньше К), при значениях Г > 2.

В четвёртой главе решена задача о электрическом дипольном поглощении мелкой неоднородной цилиндрической частицы, помещенной в поле плоской электромагнитной волны частоты со, которая по порядку величины много меньше частоты плазменного резонанса гар в металлах (сор ~Ю,6сч) Принимается, что направление электрического поля в электромагнитной волне совпадает с осью неоднородного цилиндра В рассматриваемом диапазоне частот при данной ориентации электрического поля вклад токов дипольной электрической поляризации доминирует по сравнению с вкладом вихревых токов, которые индуцируются внешним магнитным полем волны Поэтому в этой главе не учитывается действие внешнего магнитного поля волны

Однородное периодическое по времени электрическое поле волны Е = Ееехр(-1йп), воздействует на электроны в частице и вызывает отклонение ^ их функции распределения { от равновесной фермиевской Г0 Это приводит к возникновению внутри частицы высокочастотного тока и к диссипации в объеме частицы энергии При решении задачи с помощью кинетического метода снова используются условия диффузного или зеркально-диффузного отражения электронов от внутренней и внешней границ частицы

Сечение поглощения (6) (его расчет проводится в цилиндрической

системе координат) с коэффициентом

24 яп е2 Я; Ь .

а0=-2— (10)

шсу,

является функцией безразмерных переменных х, у, К, у, ql, §, которые введены в третьей главе диссертации

Результаты численных расчетов безразмерного сечения электрического дипольного поглощения Б неоднородной цилиндрической частицы представлены на рис 7-9

р(у)1

0.8

О.б 0.4 0.2

О

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

У

РИСУНОК 7 Зависимость безразмерного сечения поглощения И неоднородной цилиндрической частицы от безразмерной частоты у (у = Я 2 ш / V,., где Я 2 - радиус частицы, ш - угловая частота внешнего поля, уЕ - скорость Ферми электронов в оболочке частицы) 1 -(х = 03,К = 07, 0, я3=0),2-(х = 0 3, К = 07, = я2= 1), 3 - (х = 03,К = 0 7, ц,= 1, q2 = 0), 4 - (х = О 3, К = 0 7, Ч]= 1, 1)

Р(Х) 0 5

0.4 О.З 0.2 0.1 О

О 0.2 0.4 О.б 0.8 1 1.2 X

РИСУНОК 8 Зависимость безразмерного сечения поглощения И неоднородной цилиндрической частицы от безразмерной обратной дайны свободного пробега электронов х (х = Я2/туг, где Я2- радиус частицы, т - электронное время релаксации, V,. - скорость Ферми электронов в металлическом слое частицы) 1 - (у = 0 3, К = 0 7, 0, Я2=0),2-(у = 03,К = 07, ч,= 0. я2=1),3-(у = 03,К = 0 7, я,= 1, Чг=0),4- (у = 03, К = 07,Ч,= 1,Ч2=1)

О(К)1

0.8

О.б 0.4 0.2 О

О 0.2 0.4 О.б 0.8 1

К

РИСУНОК 9 Зависимость величины в от отношения радиуса ядра к радиусу неоднородной цилиндрической частицы К (К = 11, /Л2, где Я,- радиус ядра, Я,- радиус частицы) 1- (у = 0 3, х = 0 3, я,= 0, я2= 0), 2 - (у = 0 3, х = 0 3, 0, я2= 1), 3 - (у = 0 3,х = 0 3, я,= 1, я2= 0),4 - (у = 0 3, х = 0 3, я,= 1, я2 = 1)

На рисунке 7 помещены зависимости безразмерного сечения поглощения Р неоднородной цилиндрической частицы от безразмерной частоты внешнего поля у Рисунок выполнен для частиц небольшого (по сравнению с длиной свободного пробега электронов Л) радиуса Фиксированными для каждой кривой является безразмерная обратная длина свободного пробега электронов х и отношение радиуса ядра к радиусу частицы К Каждая кривая построена при различных значениях коэффициентов отражения я, и ч2 Как видно из рисунка в области низких безразмерных частот у (когда у < 0 6) безразмерное сечение поглощения Р наиболее велико для частиц, в которых происходит зеркальное отражение электронов проводимости от внешней и от внутренней границ металлического слоя В другой области безразмерных частот (у > 0 6) безразмерное сечение поглощения всех частиц быстро убывает с ростом частоты внешнего поля и слабо зависит от коэффициентов отражения я, и

На рисунке 8 приведены зависимости безразмерного сечения поглощения Р неоднородной цилиндрической частицы от безразмерной обратной длины свободного пробега электронов х Рисунок выполнен при заданных значениях безразмерной частоты у и отношения радиуса ядра к радиусу частицы К (они одинаковы для всех кривых на рисунке) и различных коэффициентах отражения q1 и Кривая 4 выходит из начала координат и имеет максимум Эта зависимость совпадает с классическим результатом для цилиндрического слоя из металла из-за отсутствия поверхностных эффектов при поглощении. С увеличением радиуса частицы все кривые сливаются, и результат переходит в классический

Для анализа зависимости безразмерного сечения поглощения Р от отношения радиуса ядра к радиусу частицы К воспользуемся рисунком 9, на котором приведено безразмерное сечение поглощения металлической цилиндрической частицы с диэлектрическим ядром приходящееся на еди-

ницу объёма металла в(К) в частице (удельное безразмерное сечение поглощения)

Ограничимся случаем частиц, для которых одинаковы значения безразмерных величин х и у и различны коэффициенты отражения я, и я2 Прямая линия 4 на рисунке соответствует классическому случаю, когда удельное безразмерное сечение поглощения частицы не зависит от отношения радиуса ядра к радиусу частицы К. Для остальных режимов поглощения, при значениях К близких к единице, удельное безразмерное сечение поглощения невелико на всех частотах и при всех значениях коэффициентов отражения

В пятой главе с помощью кинетического метода решены задачи по расчету интегральной электрической проводимости тонких прямых проволок круглого и прямоугольного сечений

В качестве граничных условий используются стандартные условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от внутренней поверхности проволок

Интегральная проводимость проволоки (заметим, что она является комплексной величиной) представляется как

где вид размерной величины С0 зависит от формы сечения проволоки, а безразмерная интегральная проводимость проволок Р зависит от безразмерной длины свободного пробега электронов х (обезразмеривание проводится по разному в зависимости от формы сечения), безразмерной частоты электрического поля у, коэффициента отражения электронов от поверхности проволоки q (в случае проволоки прямоугольного сечения к перечисленным параметрам добавляется отношение поперечных размеров проволоки К)

(П)

О = О0 Р(х,у,ч),

(12)

У

РИСУНОК 10 Зависимость модуля М безразмерной интегральной проводимости от безразмерной частоты электрического поля у 1 - (х ~ 0), 2 - (х = 0 5), 3 - (х = 1)

А(у)15 1 1 1 _.......-—

/ «■' *

1 -

/ * '

/•'''/

05 - //

//

О г 1 1... 1 .. 1

2 3

У

РИСУНОК 11 Зависимость аргумента А (фазы) безразмерной интегральной проводимости тонкой цилиндрической провочоки от безразмерной частоты электрического поля у 1 - (х и 0), 2 - (х = 0 5), 3 - (х = 1)

В качестве примера на рисунках 10-11 представлен численный расчет модуля М(х,у) и аргумента А(х,у)(фазы) безразмерной интегральной проводимости Р(х,у) вытянутой тонкой цилиндрической проволоки в случае диффузного отражения электронов (q = 0).

Из анализа хода кривых на рисунке 10 следует, что модуль М безразмерной интегральной проводимости Р доминирует по величине для проволок с наибольшей длиной свободного пробега электронов (тес наименьшим х), если рассматривать проволоки одинакового радиуса При больших безразмерных частотах электрического поля (у > 3) все зависимости сливаются Это объясняется тем, что электроны внутри проволоки за период не успевают значительно ускориться под действием электрического поля Аргумент (фаза) безразмерной интегральной проводимости Р (см рисунок 11) при любом значении безразмерной частоты у больше у проволок, в которых электроны обладают наибольшей длиной свободного пробега (при больших безразмерных частотах электрического поля для всех проволок ток опережает напряжение по фазе на л / 2, таким образом в этом пределе проводимость становится чисто мнимой величиной)

В случае стационарного электрического поля (когда у = 0) теоретические результаты, полученные для проволок цилиндрического и прямоугольного сечений сравниваются с экспериментальными

Сопоставление экспериментальных и теоретических данных для проволок круглого сечения показывает, что расчет интегральной проводимости G(x,y,q), проведенный с использованием кинетического метода, согласуется с экспериментальными данными с точностью не хуже 10 %, если учитывать влияние зеркальности поверхности металла на отражение электронов В результате проведенных исследований удалось определить значение коэффициента зеркальности q металлов, из которых изготовлены проволоки его значение равно 0 6 для серебра и 0 25 для меди Это позво-

ляет оценить среднюю длину свободного пробега электронов При температуре 295 К ее значение составляет около 38 нм для серебра и 31 нм для меди

Прямое сравнение для проволоки прямоугольного сечения затруднено, т. к в металл, из которого изготавливалась проволока, добавлялись различные примеси (для прямого сравнения необходимы эксперименты с чистыми металлами, для которых точно известно значение средней длины свободного пробега электронов) Однако и такое сравнение является полезным, потому что оно позволяет провести оценку длины свободного пробега электронов в конкретном сплаве (около 48 нм для проволоки из серебра при заданной температуре эксперимента)

В шестой главе решена задача по расчету интегральной электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки, помещенной в продольное магнитное поле

К перечисленным в пятой главе зависимостям добавляется зависимость безразмерной интегральной проводимости проволоки Р от безразмерной индукции внешнего магнитного поля и

На рисунке 12 представлено сравнение экспериментально измеренного размерного (в мОм) интегрального магнитосопротивления Б тонкой цилиндрической проволоки в случае стационарного электрического поля (у = 0) и интегрального магнитосопротивления рассчитанного для того же случая теоретически при различных значениях безразмерной индукции внешнего магнитного поля р. При проведении эксперимента использовались натриевая проволока диаметром 30 мкм и длиной 4 5 см Измерение магнитосопротивления проволоки проводилось при разных абсолютных температурах (от 15 5 К до 4 2 К) Это эквивалентно тому, что в проволоке изменялась длина свободного пробега электронов, т к при изменении абсолютной температуры изменяется частота объемных столкновений электронов в металле

7 6 5

43 2 -1 -

—I—

1,0

—I—

1,5

1 2

—I—

2,0

0,0

0,5

РИСУНОК 12 Зависимость теоретического (кривые) и экспериментального (обозначенного квадратами, треугольниками и ромбами) размерного интегрального магнито-сопротивления Б (в мОм) тонкой цилиндрической проволоки в случае стационарного электрическою поля (у = 0) от безразмерной индукции внешнего магнитного поля ц 1 -(х = I 06, ц = 0 3), 2 - (х = 0 88, я = 0), 3 - (х = 0 65, ц = 0 3), 4 - (х = 0 45, ц = 0), 5 - (х = 0 35,Ч = 0 3),6-(х = 0 14, ч = 0)

Кривые 1, 3, 5 на рисунке построены для случая, когда отражение электронов от границы проволоки носит зеркально-диффузный характер Чтобы подчеркнуть принципиальную важность учета зеркальности при отражении, на рисунке 2 также приведены кривые 2,4, 6, которые построены для случая чисто диффузного отражения электронов Данные эксперимента не содержат частоту объемных столкновений электронов в проволоке Однако, сравнивая теоретический результат с данными эксперимента, мы можем определить эту величину при заданной величине коэффициента зеркальности металла я Соответственно на рисунке приведены два типа

кривых (сплошные для q=0 3; пунктирные для q=0) Из выше сказанного следует, что при малых значениях безразмерной индукции внешнего магнитного поля |! теоретические результаты 1, 3, 5 и 2, 4, 6 должны совпадать

Сравнение хода экспериментальных и теоретических кривых показывает, что расчет интегральной проводимости С(х,у,ц,я) вытянутой цилиндрической проволоки, помещенной в продольное магнитное поле, проведенный с использованием кинетического метода, согласуется с экспериментальными данными с точностью не хуже 5 % , если учитывать влияние зеркальности поверхности металла на отражение электронов В результате проведенных исследований удалось определить значение коэффициента зеркальности я Для натриевой проволоки его значение равно 0 3

Из приведенных результатов следует, что измерение продольного магнитосопротивления является эффективным методом определения коэффициента зеркальности металлов Отметим, что параметр q - важная кинетическая характеристика металла, измерение которой наталкивается на серьезные экспериментальные трудности

Из изложенного выше непосредственно вытекает, что особенно актуальным является применение этого метода для определения коэффициента зеркальности поверхности металлических образцов, у которых линейный размер сравним с длиной свободного пробега электронов

Используя результаты, полученные в главах 5 и 6 можно сделать вывод о том, что коэффициенты зеркальности для разных металлов отличаются и варьируются в пределах от 0 25 (для меди) до 0 6 (для серебра)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1) Решена задача о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с мелкой неоднородной сферической частицей

Отклонение функции распределения электронов от равновесной найдено из решения уравнения Больцмана, которое проведено методом характеристик В качестве граничных условий приняты условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от внешней и внутренней поверхностей частицы

2) Показано, что одна из основных оптических характеристик - сечение поглощения - обнаруживает нетривиальную зависимость от отношения радиуса частицы к длине свободного пробега электронов, а также отношения радиуса ядра к радиусу неоднородной сферической частицы

3) Получены аналитические выражения для сечения магнитного ди-польного поглощения в случае, когда частота внешнего поля и частота столкновений электронов в объеме металла низки по сравнению с частотой столкновения электронов с внутренними поверхностями неоднородной сферической частицы (свободно-электронный режим)

4) Решена задача о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с мелкой неоднородной цилиндрической частицей Рассмотрены условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от внешней и внутренней поверхностей неоднородной цилиндрической частицы

5) Выявлено влияние конечности продольного размера неоднородной цилиндрической частицы на ее электромагнитные свойства

6) Решена задача о взаимодействии электрической компоненты электромагнитного излучения с вытянутой цилиндрической частицей В качестве граничных условий приняты условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от внешней и внутренней поверхностей частицы

7) Получены выражения в квадратурах для расчета сечения электрического дипольного поглощения вытянутого неоднородного цилиндра в

случае произвольных частот, а также аналитические выражения для сечения поглощения вытянутого цилиндра при свободно-электронном режиме

8) Выполнен расчет интегральной электрической проводимости тонких проволок из металла различных видов поперечного сечения в нестационарном случае В стационарном случае проведено сравнение результатов теоретического расчета с экспериментальными данными

9) Для случая тонкой проволоки круглого сечения, когда к ее концам приложено переменное электрическое напряжение, показано как на интегральную электрическую проводимость влияет характер взаимодействия электронов с внутренней поверхностью проволоки.

10) Проведено сравнение экспериментально измеренного интегрального электрического сопротивления тонкой цилиндрической проволоки, помещенной в продольное магнитное поле, с интегральным сопротивлением той же проволоки рассчитанным с использованием кинетического метода при различных значениях индукции внешнего магнитного поля

11) Предложены новые независимые методы для определения коэффициента зеркальности поверхности металлов

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1 Морохов И Д, Петинов В И , Трусов J1 И и др Структура и свойства малых металлических частиц //УФН, 1981, т133,с 653-692

2 Зайчан Дж Электроны и фононы M ИЛ, 1962,488 с

3 БорнМ, Вольф Э Основы оптики M Наука, 1973, 720 с

4 Aventt R D , Westcott S L, Halas N J J Linear optical properties of gold nanoshells //J Opt Soc Amer В, 1999, v 16,№10,p 1824-1832

5 Henglem A Preparation and optical absorption spectra of Aucore Ptsheii and Ptcore Ausheii colloidal nanoparticles m aqueous solution Hi Physs Chem B, 2000, v 104, №10, p 2201-2203

6 Ясников И С , Викарчук А А К вопросу о существовании полостей в икосаэд-рических малых металлических частицах электролитического происхождения // Письма в ЖЭТФ, 2006, т 83, выл 1,с 46-49

7 Сидоров А И Инверсия поглощения и рассеяния при плазмонном резонансе в наночастицах с металлической оболочкой // ЖТФ, 2006, т 76, вып 10, с 136139

8 Гладков СОК теории осцилляционной зависимости проводимости двухкомпо-нентных диэлектрических композитов при комнатных температурах // ЖТФ, 1999, т 69, №3, с 31-35

9 Гладков С О Физика композитов М Наука, 1999

10 Гладков СОК вопросу о температурной зависимости числа Лоренца в металлической неоднородной среде //ФММ, 2006, т 101, №3, с 242-246

11 Dingle R В The electrical conductivity of thin wires //Proc Roy Soc A, 1950, v 201, p 545-560

12 Chambers R G The conductivity of thin wires in a magnetic field //Proc Roy Soc A, 1950, v 202, p 378-394

13 F Pierre et al Dephasing of electrons in mesoscopic metal wires // Phys Rev B, 2003, v 68, № 20, p 85413-1-15

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1 Завитаев Э В , Юшканов А А, Яламов Ю И Особенности поглощения электромагнитного излучения цилиндрической частицей // Оптика и спектроскопия, т 92, №5, с 851-856,2002

2 Завитаев Э В , Юшканов А А, Яламов Ю И Влияние характера отражения электронов от поверхности на электромагнитные свойства цилиндрических частиц // ЖТФ, т 73, вып 3, с 16-22,2003

3 Завитаев Э В , Юшканов А А , Яламов Ю И О взаимодействии электромагнитного излучения с цилиндрической частицей конечной длины // ЖЭТФ, т 124, вып 5 (11), с 1112-1120,2003

4 Завитаев Э В , Юшканов А А Поглощение электромагнитного излучения неоднородной сферической частицей // Оптика и спектроскопия, т 97, № 1, с 131-138, 2004

5 Завитаев Э В , Юшканов А А Влияние характера отражения электронов на электромагнитные свойства неоднородной сферической частицы // ЖЭТФ, т 126, вып 1(7), с 203-214,2004

6 Завитаев Э В , Юшканов А А Поглощение электромагнитного излучения неоднородной цилиндрической частицей // Письма в ЖТФ, т 30, вып 16, с 7481,2004

7 Завитаев Э В Влияние характера отражения электронов на электромагнитные свойства неоднородной цилиндрической частицы // Дисперсные системы 21 конференция стран СНГ Тезисы докладов Одесса, Украина, с 112-113,2004

8 Завитаев Э В , Юшканов А А Поглощение электромагнитного излучения неоднородной цилиндрической частицей // Дисперсные системы 21 конференция стран СНГ Тезисы докладов Одесса, Украина, Украина, с 114-115,

2004

9 Е V Zavitaev Electromagnetic absorption by bimetallic spherical particle // 6 International congress on mathematical modeling, book of abstracts, Nizhny Novgorod Russia, p 223,2004

10 E V Zavitaev Electrons reflection character influence on electromagnetic properties of heterogeneous spherical particle 11 б International congress on mathematical modeling, book of abstracts, Nizhny Novgorod, Russia, p 224,2004

11 E V Zavitaev, A A Yushianov Absorption electromagnetic radiation by the nonuniform spherical particle // 6 International congress on mathematical modeling, book of abstracts, Nizhny Novgorod, Russia, p 225, 2004

12 Завитаев Э В Электромагнитное поглощение биметаллической цилиндрической частицей //Оптический журнал, т 72, №1,с 32-38,2005

13 Завитаев Э В Этектромагнитное поглощение биметаллической цилиндрической частицы конечной длины // Оптика и спектроскопия, т 98, № 1, с 74-82,

2005

14 Завитаев Э В, Юшканов А А Поглощение электромагнитного излучения неоднородной сферической частицей (низкочастотный предел) // Вестник МГУ-Ла (Лесной вестник), специализированный выпуск «Физика», 2004, № 3 (34), с 42-47

15 Завитаев Э В, Юшканов А А Расчет плотности тока в тонкой цилиндрической проволоке из металла // 3 Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" Тезисы докладов Москва, с 80-81,2005.

16 Завитаев Э В Электромагнитное поглощение биметаллической цилиндрической частицы // 3 Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" Тезисы докладов Москва, с 80-81,2005

17 Завитаев Э В , Юшканов А А Высокочастотная проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла // 14 Международная конференция по вычислительной механике и прикладным программным системам, Алушта, Крым, с 174-175,2005

18 Завитаев Э В , Юшканов А А Влияние характера отражения электронов на высокочастотную проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла //14 Международная конференция по вычислительной механике и прикладным программным системам, Алушта, Крым, с 177-178,2005

19 Завитаев Э В Электрическое поглощение биметаллической цилиндрической частицы // 14 Международная конференция по вычислительной механике и прикладным программным системам, Алушта, Крым, с 175-176, 2005

20 Завитаев Э В, Юшканов А А Электрическое поглощение неоднородной аэрозольной цилиндрической частицы // Международная научно-практическая конференция "Аэрозоли и безопасность -2005" Тезисы докладов Обнинск, с 132-133,2005

21 Завитаев Э В , Юшканов А А Влияние характера отражения электронов на электрическое поглощение неоднородной аэрозольной цилиндрической частицы // Международная конференция "Аэрозоли и безопасность-2005" Тезисы докладов Обнинск, с 134-135,2005

22 Завитаев Э В , Юшканов А А Электромагнитные свойства неоднородной цилиндрической частицы конечной длины // Математическое моделирование, т 17, №4, с 105-124,2005

23 Завитаев Э В Электромагнитное поглощение биметаллической сферической частицы // ФНТ, т 31, №7, с 774-783,2005

24 Завитаев Э В , Юшканов Л А Влияние характера отражения электронов на электромагнитные свойства неоднородной цилиндрической частицы // ФТТ, т 47, вып 7, с 1153-1161,2005

25 Завитаев Э В , Юшканов А А Электрическое поглощение мелкой металлической частицы цилиндрической формы //ЖТФ, т 75, вып 9, с 1-8,2005

26 Завитаев Э В , Юшканов А А Влияние характера отражения электронов от поверхности на электрическое поглощение цилиндрической частицы // ФНТ, т 31, №12, с 1381-1387,2005

27 Завитаев Э В , Юшканов А А Электрическое поглощение неоднородной цилиндрической частицы // Квантовая электроника, т 35, № 6, с 547-553, 2005

28 Завитаев Э В, Юшканов А А Влияние характера отражения электронов на электрическое поглощение неоднородной цилиндрической частицы // Оптический журнал, т 72, № 10, с 3-11,2005

29 Завитаев Э В Электрическое поглощение биметаллической цилиндрической частицы // ФТТ, т 48, вып 1,с 4-13,2006

30 Завитаев Э В , Юшканов А А Высокочастотная проводимость тонкой проволоки из металла прямоугольного сечения // ЖЭТФ, т 129, № 5, с 938-944, 2006

31 Завитаев Э В, Юшканов А А Зависимость электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки в продотьном магнитном поле от характера отражения электронов//ЖЭТФ, т 130, №5 (11), с 887-894,2006

Отпечатано в полном соответствии с качеством

представленного оригинал-макета Подписано в печать 05 05 2008 Формат 60x90 1/16 Бумага 80 г/м2 Ризография Уел печ л 2,0 Тираж 100 экз Заказ № 249

Издательство Московского государственного университета песа 141005, Мытшци-5, Московская обл, 1-ая Институтская, 1, МГУЛ E-mail izdat@fflgul ас ru

Введение.

Глава 1 Анализ современного состояния проблемы.

Глава 2 Магнитное дипольное поглощение неоднородной сферической частицы.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Случай диффузного рассеяния электронов на поверхностях сферической частицы из металла с диэлектрическим ядром.

2.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на поверхностях сферической частицы из металла с диэлектрическим ядром.

2.4 Магнитное дипольное поглощение биметаллической сферической частицы

Глава 3 Магнитное дипольное поглощение неоднородной цилиндрической частицы.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Случай диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром.

3.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром.

3.4 Магнитное дипольное поглощение биметаллической цилиндрической частицы.

3.5 Магнитное дипольное поглощение неоднородной цилиндрической частицы конечной длины.

Глава 4 Электрическое дипольное поглощение неоднородной цилиндрической частицы.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Случай диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром.

4.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром.

4.4 Электрическое дипольное поглощение биметаллической цилиндрической частицы.

Глава 5 Электрическая проводимость тонких металлических проволок.

5.1 Постановка задачи.

5.2 Случай диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой цилиндрической проволоки.

5.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой цилиндрической проволоки.

5.4 Случай диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой проволоки прямоугольного сечения.

Глава 6 Электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла в продольном магнитном поле.

6.1 Постановка задачи.

6.2 Случай диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой цилиндрической проволоки.

6.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой цилиндрической проволоки.

Актуальность работы

На данном этапе развития физики наиболее востребованными являются результаты, полученные при описании нанометровых объектов, т. к. это имеет определяющее значение для практического внедрения нанотехноло-гий. В связи с чем, в научной литературе опубликовано большое количество теоретических и экспериментальных работ по указанной тематике. В частности работ, посвященных исследованию электромагнитных свойств мелких частиц и тонких проволок. Причём в основе только малой части из этих работ лежит физическая кинетика.

Однако для корректного описания процесса диссипации энергии электромагнитного поля в мелкой частице или аналитического расчёта электрической проводимости тонкой проволоки использование кинетического подхода необходимо, поскольку указанные процессы напрямую связаны с кинетикой электронов (с их объёмным и поверхностным рассеянием внутри частицы или проволоки). Поэтому выбранная тема исследования является актуальной.

Цель работы

Настоящая работа посвящена изучению влияния кинетических процессов на электромагнитные свойства мелких частиц сложной внутренней структуры и тонких металлических проволок (вытянутых наночастиц круглого или прямоугольного сечения). В диссертации подведены итоги исследований автора, направленных на:

Описание взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой неоднородной сферической частицей, с использованием кинетической теории электронов в металлах.

Изучение электромагнитных свойств неоднородной цилиндрической частицы с использованием кинетической теории электронов в металлах.

Аналитический расчёт электрической проводимости для тонких проволок из металла различной формы сечения с использованием кинетического метода.

Исследование с помощью кинетического подхода влияния на электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла наличия продольного магнитного поля.

Научная новизна работы

В работе впервые получено аналитическое решение задачи о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с мелкой сферической частицей сложной структуры.

Впервые получено аналитическое решение задачи о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей, что позволяет провести сравнение сечений магнитного дипольного поглощения для частиц различной геометрической формы.

Впервые построена теория взаимодействия электрической компоненты электромагнитного излучения с мелкой цилиндрической частицей сложной структуры.

Впервые получено аналитическое решение задачи по расчёту электрической проводимости вытянутых тонких проволок из металла различных видов сечения: прямоугольного и круглого, к концам которых приложено переменное электрическое напряжение. Результаты теоретического расчёта сравниваются с экспериментальными данными.

Впервые для проволоки круглого сечения, к концам которой приложено переменное электрическое напряжение, построена теория электрической проводимости, учитывающая характер рассеяния электронов на внутренней поверхности проволоки, что позволяет качественно объяснить влияние характера рассеяния электронов на электрическую проводимость проволок других видов сечения, а также определять коэффициент зеркальности металлов (с помощью этой теории в работе определены зеркальности меди и серебра).

Впервые рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки, помещённой в продольное магнитное поле, и проведено сравнение теоретического расчёта с результатами эксперимента.

Впервые на основе полученного аналитического решения найдено теоретическое объяснение для экспериментальных данных по магнитосо-противлению тонкой цилиндрической проволоки.

Впервые на основе полученного аналитического решения задачи о магнитосопротивлении тонкой проволоки цилиндрической формы определён коэффициент зеркальности поверхности металла (натрия).

Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что рассмотренная в работе теория необходима для инициирования проведения новых экспериментов в области физики нанометровых объектов.

Практическая значимость работы заключается в том, что, кроме чисто научного интереса, изучение влияния кинетических процессов на электромагнитные свойства мелких частиц сложной внутренней структуры и тонких металлических проволок важно и для технологических приложений.

В частности, при нанесении на поверхность твёрдых тел лакокрасочных материалов, содержащих мелкие частицы сложной структуры, может резко измениться поглощение таких поверхностей и отражение от них. Для управления упомянутыми процессами нужно знать свойства мелких частиц.

В связи с интенсивным развитием вычислительной техники и вредом излучения, возникающего в помещениях, где установлены компьютеры, может иметь место применение покрытий, с входящими в их состав мелкими частицами.

Изучение электромагнитных свойств мелких частиц сложной структуры важно для физики атмосферы.

В космосе мелкие частицы представляют серьёзную угрозу для летательных аппаратов. Такие частицы можно разрушать лазерными пучками, зная основные закономерности поглощения этих частиц.

Кинетический расчёт электрической проводимости тонких проволок из металла позволяет уточнить границы применимости известной из классической электродинамики формулы Друде, а также закона Видемана-Франца.

Учёт влияния на электрическую проводимость тонких проволок формы их поперечного сечения необходим при создании микроканалов в диэлектрических матрицах композиционных материалов.

Аналитический расчёт электрической проводимости тонких проволок, помещённых в продольное магнитное поле, позволяет определять такую важную кинетическую характеристику металлов как коэффициент зеркальности электронов.

Теоретические результаты, полученные в данной работе, могут быть применены и при расчёте рабочих параметров реальных технических устройств.

Например, при использовании наночастиц с ядрами ("с усилением") появляется возможность создания новых типов оптических переключателей.

Заметим, что задачи о проводимости тонких металлических проволок становятся особенно актуальными в связи с бурным развитием микроэлектроники, где такие проволоки широко применяются.

На защиту выносятся следующие результаты:

Построение теории взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной сферической частицей.

Построение теории взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей. Построение теории взаимодействия электрической компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей.

Построение теории электрической проводимости тонких металлических проволок.

Построение теории электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в продольном магнитном поле.

Апробация работы

По теме диссертации опубликованы следующие работы: [99-129].

Материалы диссертации докладывались на 21 международной конференции стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2004 г.), на 6 международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004 г.), на 3 всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике (Москва, 2004 г.), на 3 международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, Крым, 2005 г.) и международной конференции "Аэрозоли и безопасность - 2005 " (Обнинск, 2005 г.). Основные результаты диссертации обсуждались на научных конференциях и семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета и кафедры физики Московского государственного университета леса.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации 276 страниц машинописного текста; диссертация содержит 70 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе диссертации выполнен анализ современного состояния проблемы, которая составляет предмет диссертационного исследования, и проведён обзор литературы по теме диссертации.

Во второй главе диссертации построена теория взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с мелкой неоднородной сферической частицей. Отклонение функции распределения электронов от равновесной найдено из решения уравнения Больцмана, в котором интеграл столкновений записан в приближении времени релаксации. Решение уравнения Больцмана проведено методом характеристик. В качестве граничных условий поставленной задачи приняты условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от внутренних поверхностей частицы.

Показано, что одна из основных оптических характеристик - сечение поглощения - обнаруживает нетривиальную зависимость от отношения радиуса частицы к длине свободного пробега электронов, а также отношения радиуса ядра к радиусу частицы.

Получены аналитические выражения для сечения поглощения в случае, когда частота внешнего поля и частота столкновений электронов в объёме металла низки по сравнению с частотой столкновения электронов с внутренними поверхностями частицы (свободно-электронный режим).

В третьей главе диссертации построена теория взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с мелкой неоднородной цилиндрической частицей. Рассмотрены условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от внутренних поверхностей частицы.

Из полученных выражений для расчёта сечения поглощения следует полная аналогия в процессах диссипации энергии внешнего электромагнитного поля внутри неоднородных сферической и цилиндрических частиц, если радиус цилиндрической частицы мал по сравнению с её длиной.

Кроме того, в главе обсуждается влияние конечности продольного размера цилиндрической частицы на её электромагнитные свойства.

В четвёртой главе диссертации с помощью кинетического метода построена теория поглощения энергии электрической компоненты электромагнитного излучения вытянутой цилиндрической частицей. Отклонение функции распределения электронов от равновесной найдено с использованием уравнения Больцмана. В качестве граничных условий задачи приняты условия диффузного и зеркально-диффузного отражения электронов от внутренних поверхностей частицы.

Проведён анализ влияния отношения радиуса частицы к её длине на экранировку внешнего электромагнитного поля.

Получены выражения в квадратурах для расчёта сечения поглощения вытянутого неоднородного цилиндра в случае произвольных частот, а также аналитические выражения для сечения поглощения вытянутого цилиндра при свободно-электронном режиме.

Проведён учёт влияния на сечение поглощения частицы характера рассеяния электронов на её внутренних поверхностях. Проанализировано влияние коэффициентов отражения электронов на сечение поглощения энергии внешнего электромагнитного поля.

Получено аналитическое выражение для сечения поглощения в пределе чисто зеркального отражения электронов. Показано, что высокочастотный ток внутри зеркально отражающего вытянутого неоднородного цилиндра удовлетворяет локальному закону Ома при любом соотношении между радиусом цилиндра и длиной свободного пробега электронов. Также установлено, что независимо от характера отражения электронов с ростом размера частицы результат совпадает с классическим (теория Друде).

В пятой главе диссертации построена теория электрической проводимости тонких проволок из металла различных видов поперечного сечения. Проведён численный расчёт безразмерной интегральной электрической проводимости тонких проволок.

Для случая тонкой проволоки круглого сечения, к концам которой приложено переменное электрическое напряжение, показано как на интегральную электрическую проводимость влияет характер взаимодействия электронов с внутренней поверхностью проволоки.

В случае стационарного электрического поля, полученные теоретические результаты для проволок круглого и прямоугольного сечений, сопоставляются с результатами лабораторных экспериментов.

В шестой главе диссертации с помощью кинетического метода построена теория электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла, помещённой в продольное магнитное поле.

Выделены две части полной проводимости: поверхностная и объёмная, что позволяет более детально изучить влияние кинетических процессов на механизм проводимости.

Проведено сравнение экспериментально измеренного интегрального электрического сопротивления тонкой цилиндрической проволоки, помещённой в продольное магнитное поле, с интегральным сопротивлением той же проволоки рассчитанным с использованием кинетического метода при различных значениях индукции внешнего магнитного поля.

Сделан вывод о том, в каких пределах варьируется коэффициент зеркальности для различных металлов.

Автор диссертации выражает огромную благодарность своему научному консультанту - доктору физ.- мат. наук, профессору А. А. Юшканову за ценные советы и всестороннюю помощь при написании данной работы.

1. Морохов И. Д., Петинов В. И., Трусов Л. И. и др. Структура и свойства малых металлических частиц. // УФН, 1981, т. 133, с. 653-692.

2. Петров Ю. И. Физика малых частиц. М.: Наука, 1982.

3. Петров Ю. И. Кластеры и малые частицы. М.: Наука, 1986.

4. Лифшиц И. М., Азбель М. Я., Каганов М. И. Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971.

5. Киттель Ч. Квантовая теория твёрдых тел. М.: Наука, 1967.

6. Falkovsky L. A. Transport phenomena of metal surfaces. // Adv. Phys., 1983, v. 32, № 5, p. 753-789.

7. Нагаев Э. Л. Малые металлические частицы. // УФН, 1992, т. 62, № 9, с. 49-124.

8. Морохов И. Д., Трусов Л. П., Лоновой В. Н. Физические явления в ультрадисперсных средах. М.: Энергоиздат, 1984, 224 с.

9. Granqvist С. G., Hunderi О. Optical properties of ultrafïne gold particles. // Phys. Rev. B, 1977, v. 16, № 8, p. 3513-3534.

10. Sen P. N., Tanner D. B. Far-infrared absorption by fine-metal-particle composites. // Phys. Rev. B, 1982, v. 26, № 7, p. 3582-3587.

11. Tanner D. B. Comment about the far-infrared absorption by small particles. // Phys. Rev. B, 1984, v. 30, № 2, p. 1042-1044.

12. Cummings К. D., Garland J. C., Tanner D. B. Optical properties of a small-particle composite. // Phys. Rev. B, 1984, v. 30, № 8, p. 4170-4182.

13. Baltes H. P., Simanek E. Physics of microparticles. // Top. Curr. Phys., 1982, v. 29, p. 7-53.

14. Tanner D. B. et al. Anomalous absorption in random small particles composites. // 4 th Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves and Their Appl., Viami beach, 1979, p. 221-222.

15. Carr G. L., Henry R.L., Russell N.E., Garland J. C., Tanner D.B. Anomalus far-infrared absorption in random small-particle composites. Phys. Rev. B, 1981, v. 24, №2, p. 777-786.

16. Tanner D. В., Kim Y.H., Carr G. L. Infrared absorption by granular metals. // Mat. Res. Soc. Symp. Proc., 1990, v. 195, p. 3-14.

17. Schadt C. F., Cadi R. D. Thermal forces on aerosol particles in a thermal precipitator. // J. Coll. Sci., 1957, v. 12, № 2, p. 356-362.

18. Simanek E. Mechanism for far-infrared absorption of small metallic particles. // Solid State Commun., 1981, v. 37, № 2, p. 97-99.

19. Granqvist C. G. Optical properties of ultrafine gold particles. // Elec. TranSp. And Opt. Properties InhomogeneouS Media. Conf. Ohio State Univ., N. Y., 1978, p. 196-221.

20. Devaty R. P., Sievers A. J. Far-infrared absorption by small metal particles. // Phys. Rev. Lett., 1984, v. 52, № 15, p. 1344-1347.

21. Займан Дж. Электроны и фононы. М.: ИЛ, 1962, 488 с.

22. Абрикосов А. А. Введение в теорию нормальных металлов. М.: Наука, 1979, 288 с.

23. Ландау J1. Д. Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. 10. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979, 528 с.

24. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973, 720 с.

25. Савков С. А., Юшканов А. А. Аналитическое решение кинетического уравнения в задаче о точечных источниках в двухатомном газе. // Теоретическая и математическая физика, 2002, т. 133, № 1, с. 132-134.

26. Trodahl Y. J. Far-infrared absorption by eddy currents in ultrafine metal particles. //J. Phys. C., 1982, v. 15, № 35, p. 7245-7254.

27. Mal'shukov A. G. Far-infrared absorption in small metal particles: non- local theory. // Sol. State. Commun., 1982, v. 44, № 8, p. 1257-1260.

28. Малыдуков А. Г. Инфракрасное поглощение в малых металлических частицах. // ЖЭТФ, 1983, т. 85, № 2(8), с. 700-707.

29. Дыхне А. М., Плюхин А. В., Сарычев А. К. Инфракрасное поглощение в малых металлических частицах. // Препр./ ИВТАН-1998, № 1,с. 1-11.

30. Plyukhin А. V., Sarychev А. К., Dykhne А. М. Far-infrared absorption in small metal particles. // Phys. Rev. B, 1999, v. 59, № 3, p. 1685-1688.

31. Погосов В. В. К вопросу о низкочастотном поглощении электромагнитного излучения малыми металлическими частицами. // Металлофизика и новейшие технологии, 2000, т. 22, № 3, с. 40-42.

32. Курбацкий В. П., Погосов В. В. Низкочастотное оптическое поглощение малыми металлическими частицами. // Письма в ЖТФ, 2000, т. 26, вып. 22, с. 84-89.

33. Grechko L. G., Pinchuk А. О., Kurshoi Yu. S., Lesjo А. О проблеме аномального поглощения инфракрасного излучения малыми металлическими частицами. // Радиофиз. и радиоастрон., 2000, т. 5, № 1, с. 95-99. Англ.

34. Didier М. Genaralized drude formula for the optical conductivity of quasi-crystals. // Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, № 6, p. 1290-1293.

35. Wilkinson M., Mehlig B. Non-local conductivity and the effective potential in small metal particles. // Eur. Phys. J. В., 1998, v. 1, № 4, p. 397-398.

36. Кондаков О. В., Иванов К. Г., Собченко С. О. Температурная зависимость магнитооптических осцилляций в висмуте. Деп. в Винити, №-3271-В2000.

37. Emory S. R., Haskins W. Е., Shuming N. Direct observation of size-dependent optical enhancement in single metal nanoparticles. // J. Amer. Chem. Soc., 1998, v. 120, № 31, p. 8009-8010.

38. Бондарь E. А. Роль поверхностного внутреннего электрического поля в низкочастотном фотопоглощении малых металлических частиц. // Опт. и спектр.,1993, т. 74, вып. 5, с. 887-892.

39. Бондарь Е. А. Аномальное низкочастотное фотопоглощение ультрадисперсных металлических частиц. // Опт. и спектр.,1993, т. 75, вып. 4, с. 837-840.

40. Бондарь Е. А. Размерные зависимости оптических характеристик малых частиц серебра в высокочастотной области спектра. // Опт. и спектр.,1994, т. 77, № 3, с. 414-420.

41. Бондарь Е. А. О характере скин-эффекта в малых металлических частицах в высокочастотной области спектра. // Опт. и спектр., 1994, т. 77, № 4, с. 651-655.

42. Бондарь Е. А. О природе квазиполупроводникового характера малых металлических частиц. // Опт. и спектр., 1996, т. 80, № 1, сс. 89-95.

43. Martinos S. S. Virtual surface plasmons in cylinders. // Phys. Rev. B, 1983, v. 28, №6, p. 3173-3181.

44. Bouqhton R.I. Size-induced deviations from Mattehiessens rule in gallium single crystals. Phys. Rev. B, 1984, v. 29, № 8, p. 4205-4210.

45. Melikyan A., Minassian H. On surface plasmon spectrum in noble metal nanoparticles rods and spheroids. // cond-mat, № 0412302.

46. Лесскис А. Г., Пастернак В. E., Юшканов А. А. Поглощение инфракрасного излучения в мелкой металлической частице. // ЖЭТФ, 1982, т.83, вып. 1, с. 310-317.

47. Лесскис А. Г., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Магнитное дипольное поглощение инфракрасного излучения мелкой металлической частицей. // Поверхность, 1987, № 11, с. 115-121.

48. Юшканов А. А. Диссертация доктора физико-математических наук. Московский педагогический Университет, 1999.

49. Trodahl Н. J. Eddy currents in ultrafine metal particles. // Phys. Rev., 1979, v. 19, №2, p. 1316-1317.

50. Van de Braak H. P., Van de Kludert L. J. M. Anomalous skin effect in cylindrical samples. // Physica. Nort-Holland Publishing C., 1974, v. 77, p. 532542.

51. Van de Kludert L. J. M., Van de Braak H. P. Anomalous skin effect in cylinders. // Journal de Physique, 1978, v 39, p. 1133-1134.

52. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического кинетического уравнения. // Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 2004, т. 44, № 10, с. 1861-1872.

53. Кузнецова И. А., Юшканов А. А. Влияние температуры на сечение поглощения мелкой проводящей частицы. // Опт. и спектр., 2003, т. 94, № 4, с. 613-617.

54. Берёзкина С. В., Кузнецова И. А., Юшканов А. А. К вопросу о магнитном дипольном поглощении электромагнитного излучения мелкой проводящей частицей. // ЖТФ, 2004, т. 74, вып. 12, с. 67-71.

55. Берёзкина С. В., Кузнецова И. А., Юшканов А. А. Кинетический расчёт плотности вихревого тока в малой проводящей частице. // ФТТ, 2007, т. 49, вып. 1, с. 6-10.

56. Берёзкина С. В., Кузнецова И. А., Юшканов А. А. Поведение электронной плазмы в тонкой металлической пластине в переменном электрическом поле. // ЖТФ, 2006, т. 76, вып. 5, с. 1-7.

57. Томчук П. М., Томчук Б. П. Оптическое поглощение малых металлических частиц. // ЖЭТФ, 1997, т.112, вып. 2(8), с. 661-678.

58. Яламов Ю. И., Юшканов А. А., Завитаев Э. В. Влияние характера отражения электронов от поверхности на электромагнитные свойства цилиндрических частиц. // Дисперсные системы. 19 конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса, 2000, с. 65-66.

59. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения цилиндрической частицей. Случай диффузного рассеяния электронов на поверхности. Деп. в Винити, № 2139-В2001. 23 с.

60. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения цилиндрической частицей. Случай зеркально-диффузного отражения электронов от поверхности. Деп. в Винити, № 2138-В2001. 19 с.

61. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения цилиндрической частицей конечной длины. Деп. в Винити, № 2140-В2001. 24 с.

62. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Поглощение электромагнитного излучения металлической частицей цилиндрической формы. // ЖТФ, 2001, т. 71, вып. 11, сс. 114-118.

63. Завитаев Э. В. Диссертация кандидата физико-математических наук. Московский педагогический Университет, 2001.

64. Богомолов В. Н., Бутко В. Ю., Павлова Т. М., Фокин А. В. Поглощение СВЧ-излучения в ультратонких нитях проводников. // ФТТ, 1996, т. 38, вып. 4, с. 983-986.

65. Лушников А. А., Максименко В. В., Симонов А. Я. В сб.: Диспергированные металлические пленки. Киев: изд. АН УССР, 1976, с. 72.

66. Маныкин Э. А., Полуэктов П. П., Рубежный Ю. Г. Теория поглощения электромагнитного излучения частицами малых размеров. // ЖЭТФ, 1976, т. 70, вып. 6, с. 2117-2126.

67. Averitt R. D., Westcott S. L., Halas N. J. J. Linear optical properties of gold nanoshells. //J. Opt. Soc. Amer. В, 1999, v. 16, № 10, p. 1824-1832.

68. Henglein A. Preparation and optical absorption spectra of Aucore PtSheu and PtCore Ausheii colloidal nanoparticles in aqueous solution. // J. Physs. Chem. B, 2000, v. 104, № 10, p. 2201-2203.

69. Ясников И. С., Викарчук А. А. К вопросу о существовании полостей в икосаэдрических малых металлических частицах электролитического происхождения. // Письма в ЖЭТФ, 2006, т. 83, вып. 1, с. 46-49.

70. Сидоров А. И. Инверсия поглощения и рассеяния при плазмонном резонансе в наночастицах с металлической оболочкой. // ЖТФ, 2006, т. 76, вып. 10, с. 136-139.

71. Anantram М. P., Datta S. Coupling of carbon nanotubes to metallic contacts. // Phys. Rev. B, 2000, v. 61, № 20, p. 14219-14224.

72. Smolyaninova V. N. et al. Metal-insulator transition in colossal magnetoresistance materials. // Phys. Rev. B, 2000, v. 62, № 5, p. 3010-3013.

73. Bhattacharrya S. et al. Nanowire formation in a polymeric film. // Appl. Phys. Lett., 2000, v. 76, № 26, p. 3896-3898.

74. Grechko L. G., Pustovit V. N., Whites K. W. Dielectric function of aggregates of small metallic particles embedded in host insulating matrix. // Appl. Phys. Lett., 2000, v. 76, № 14, p. 1854-1856.

75. Yang Yong et al. Preparation and optical properties of gold nanoparticles embedded in barium titanate thin films. // J. Mater. Sci., 2003, v. 38, № 6, p. 1243-1248.

76. Сидоров А. И. Оптические свойства композита с наночастицами серебра в диапазоне 8-12 мкм. // Оптический журнал, 2003, т. 70, № 2, с. 9-14.

77. Dingle R. B. The electrical conductivity of thin wires. // Proc. Roy. Soc. A, 1950, v. 201, p. 545-560.

78. Chambers R. G. The kinetic formulation of conduction problems. // Proc. Phys. Soc. A, 1952, v. 65, p. 458-459.

79. De Gennaro S., Rettori A. Thelow-temperature electrical resistivity of potassium. // J. Phys. F, 1984, v. 14, № 12, p. 237-242.

80. Sambles J. R., Elson K. C. Thickness effects and the T dependence of resistivity of aluminium.//J. Phys. F., 1985, v. 15, № l,p. 161-167.

81. Deschacht D., Boger A. Experimental verication of new theoretical eqwation describing electrical conductivity of thin films. // J. Mater Sei Lett., 1985, v. 4, № l,p. 25-28.

82. Akhtar S. M. J., Khawaja E. E. A study of no resistivity and thermoelectric power of thin films of Sb and Bi. // Phys. Status Sol. A, 1985, v. 87, № 1, p. 335-340.

83. Bid A., Bora A., Raychaudhuri A. K. Temperature dependence of the resistance of metallic nanowires. // Phys. Rev. B, 2006, v. 74, p. 035426-1-9.

84. Durkan C., Weiland M. E. Size effects in the electrical resistivity of polycrys-talline nanowires. // Phys. Rev. B, 2000, v. 61, № 20, p. 14215-1-4.

85. Steinhögl W., Schindler G., Steinlesberger G., Engelhardt M. Size-dependent resistivity of metallic wires in the mesoscopic range. // Phys. Rev. B, 2002, v. 66, p. 075414-1-4.

86. Steinhögl W., Schindler G., Steinlesberger G., Traving M., Engelhardt M. Comprehensive study of the resistivity of copper wires with lateral dimensions of 100 nm and smaller. // J. of Appl. Phys., 2005, v. 97, p. 023706-1-7.

87. F. Pierre et al. Dephasing of electrons in mesoscopic metal wires. // Phys. Rev. B, 2003, v. 68, № 20, p. 85413-1-15.

88. MacDonald D. К. C. Influence of a magnetic field on the size-variation of electrical conductivity. // Nature, 1949, v. 163, p. 637-638.

89. Chambers R. G. The conductivity of thin wires in a magnetic field. // Proc. Roy. Soc. A, 1950, v. 202, p. 378-394.

90. MacDonald D. К. C. The magneto-resistance of the alkali metals. // Proc. Phys. Soc. A, 1950, v. 63, p. 290-292.

91. White G. K, Woods S. B. Electrical and thermal magneto-resistance in thin rods of pure sodium. // Phill. Mag., 1956, v. 1, p. 846-853.

92. Gold A., Ghazali A. Analytical results for semiconductor quantum-well wire. // Phys. Rev. B, 1990, v. 41, № 11, p. 7626-7640.

93. Bruus H., Flensberg K., Smith H. Magnetoconductivity of quantum wires with elastic and inelastic scattering. // Phys. Rev. B, 1993, v. 48, № 15, p. 11144-11155.

94. Синявский Э. П., Хамидуллин P. А. Электропроводность квантовых проволок в однородном магнитном поле. // Физика и техника полупроводников, 2006, т. 40, вып. 11, с. 1368-1372.

95. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Особенности поглощения электромагнитного излучения цилиндрической частицей. // Оптика и спектроскопия, 2002, т. 92, № 5, с. 851-856.

96. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. Влияние характера отражения электронов от поверхности на электромагнитные свойства цилиндрических частиц. // ЖТФ, 2003, т. 73, вып. 3, с. 16-22.

97. Завитаев Э. В., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. О взаимодействии электромагнитного излучения с цилиндрической частицей конечной длины. // ЖЭТФ, 2003, т. 124, вып. 5 (11), с. 1112-1120.

98. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Поглощение электромагнитного излучения неоднородной сферической частицей. // Оптика и спектроскопия, 2004, т. 97, № 1, с. 131-138.

99. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Влияние характера отражения электронов на электромагнитные свойства неоднородной сферической частицы. // ЖЭТФ, 2004, т. 126, вып. 1 (7), с. 203-214.

100. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Поглощение электромагнитного излучения неоднородной цилиндрической частицей. // Письма в ЖТФ, 2004, т. 30, вып. 16, с. 74-81.

101. Завитаев Э. В. Влияние характера отражения электронов на электромагнитные свойства неоднородной цилиндрической частицы. // Дисперсные системы. 21 конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса, Украина, 2004, с. 112-113.

102. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Поглощение электромагнитного излучения неоднородной цилиндрической частицей. // Дисперсные системы. 21 конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса, Украина, 2004, с. 114-115.

103. Е. V. Zavitaev. Electromagnetic absorption by bimetallic spherical particle. // 6 International congress on mathematical modeling, book of abstracts. Niz-hny Novgorod, Russia, 2004, p. 223.

104. Е. V. Zavitaev. Electrons reflection character influence on electromagnetic properties of heterogeneous spherical particle. // 6 International congress on mathematical modeling, book of abstracts. Nizhny Novgorod, Russia, 2004, p. 224.

105. E. V. Zavitaev, A. A. Yushkanov. Absorption electromagnetic radiation by the non-uniform spherical particle. // 6 International congress on mathematical modeling, book of abstracts. Nizhny Novgorod, Russia, 2004, p. 225.

106. Завитаев Э. В. Электромагнитное поглощение биметаллической цилиндрической частицей. // Оптический журнал, 2005, т. 72, № 1, с. 32-38.

107. Завитаев Э. В. Электромагнитное поглощение биметаллической цилиндрической частицы конечной длины. // Оптика и спектроскопия, 2005, т. 98, № 1, с. 74-82.

108. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Поглощение электромагнитного излучения неоднородной сферической частицей (низкочастотный предел). // Вестник МГУЛа (Лесной вестник), специализированный выпуск «Физика», 2004, № 3 (34), с. 42-47.

109. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Расчёт плотности тока в тонкой цилиндрической проволоке из металла . // 3 Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике". Москва, 2005, с. 80-81.

110. Завитаев Э. В. Электромагнитное поглощение биметаллической цилиндрической частицы. // 3 Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике". Москва, 2005, с. 90-91.

111. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Высокочастотная проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла. //14 Международная конференция по вычислительной механике и прикладным программным системам. Алушта, Крым, 2005, с. 174-175.

112. Завитаев Э. В. Электрическое поглощение биметаллической цилиндрической частицы. //14 Международная конференция по вычислительной механике и прикладным программным системам. Алушта, Крым, 2005, с. 175-176.

113. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Электрическое поглощение неоднородной аэрозольной цилиндрической частицы. // 1 Международная конференция "Аэрозоли и безопасность". Обнинск, 2005, с. 132-133.

114. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Влияние характера отражения электронов на электрическое поглощение неоднородной аэрозольной цилиндрической частицы. // 1 Международная конференция "Аэрозоли и безопасность". Обнинск, 2005, с. 134-135.

115. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Электромагнитные свойства неоднородной цилиндрической частицы конечной длины. // Математическое моделирование, 2005, т. 17, № 4, с. 105-124.

116. Завитаев Э. В. Электромагнитное поглощение биметаллической сферической частицы. // ФНТ, 2005, т. 31, № 7, с. 774-783.

117. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Влияние характера отражения электронов на электромагнитные свойства неоднородной цилиндрической частицы.//ФТТ, 2005, т. 47, вып. 7, с. 1153-1161.

118. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Электрическое поглощение мелкой металлической частицы цилиндрической формы. // ЖТФ, 2005, т. 75, вып. 9, с. 1-8.

119. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Влияние характера отражения электронов от поверхности на электрическое поглощение цилиндрической частицы. // ФНТ, 2005, т. 47, № 12, с. 1381-1387.

120. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Электрическое поглощение неоднородной цилиндрической частицы. // Квантовая электроника, 2005, т. 35, № 6, с. 547-553.

121. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Влияние характера отражения электронов на электрическое поглощение неоднородной цилиндрической частицы. // Оптический журнал, 2005, т. 72, № 10, с. 3-11.

122. Завитаев Э. В. Электрическое поглощение биметаллической цилиндрической частицы. // ФТТ, 2006, т. 48, вып. 1, с. 4-13.

123. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Высокочастотная проводимость тонкой проволоки из металла прямоугольного сечения. // ЖЭТФ, 2005, т. 129, № 5, с. 938-944.

124. Завитаев Э. В., Юшканов А. А. Зависимость электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки в продольном магнитном поле от характера отражения электронов. // ЖЭТФ, т. 130, № 5 (11), с. 887894, 2006.

125. Харрисон У. Теория твердого тела. Пер. с англ. М.: Мир, 1972.

126. Курант Р. Уравнения с частными производными. Пер. с англ. М.: Мир, 1964. гл.2.

127. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965, 703 с.

128. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики М.: Наука, 1966, 724 с.