Аналитические решения теории скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений

Терешина, Татьяна Викторовна

Аналитические решения теории скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Терешина, Татьяна Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Аналитические решения теории скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений»

Автореферат диссертации на тему "Аналитические решения теории скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений"

На правах рукописи

604614127 Терешина Татьяна Викторовна

Аналитические решения теории скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений

Специальность 01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 НОЯ ?0Ю

Москва - 2010

004614127

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Уварова Людмила Александровна

Защита диссертации состоится 7 декабря 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Юрий Николаевич

Ведущая организация: Вычислительный центр

Российской академии наук

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 к.ф.-м.н, доцент

П.В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Работа посвящена аналитическим решениям граничных задач теория скин-эффекта, учитывающим электрон-электронные столкновения. Рассматривается невырожденная электронная плазма, заполняющая полупространство.

Скин-эффект обусловлен откликом электронного газа (в металлической или газовой плазме) на внешнее тангенциальное к поверхности переменное электромагнитное поле с постоянной амплитудой.

Недавние эксперименты, опубликованные в западных периодических изданиях Journal of Physics F: Metal Physics и Physical Review, показали, что для для описания свойств плазмы необходимо учитывать электрон-электронные столкновения. При межэлектронных столкновениях импульс электронной подсистемы сохраняется. Это обстоятельство оказывает существенное влияние на динамику плазмы, особенно на ее электропроводность. А именно электропроводность плазмы определяет характеристики скин-эффекта.

Наиболее детальный метод описания плазмы - кинетический, с использованием системы уравнений Власова-Максвелла.

Предметом исследования являются граничные задачи теории скин-эффекта, учитывающие межэлектронные столкновения, и методы их аналитического решения.

Впервые аналитические решения аналогичных задач в полупространстве металла получили С. Де Дженаро и А. Ретгори. Дня учета влияния межэлектронных столкновений на поведение плазмы ими был разработан двухпараметрический интеграл столкновений, являющийся обобщением релаксационной т-модели. Этот обобщенный интеграл столкновений был успешно применен для исследования электропроводности топких пленок, а также при изучении аномального скин-эффекта в металле.

В настоящее время отсутствуют аналитические решения граничных задач о скин-эффекте в максвелловской плазме, для случая когда электрон-электронные столкновения оказывают существенное влияние па ее динамику.

В связи с этим актуальной задачей математической физики является разработка аналитических решений теории скин-эффекта для максвелловской плазмы, позволяющих учитывать межэлектронные столкновения. Именно такие решения получены для конкретных граничных задач в настоящей диссертации.

Цель диссертационной работы - построение аналитических решений граничных задач кинетической теории скин-эффекта, учитывающих межэлектронные столкновения.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с постановкой задачи и нахождением аналитического решения.

Как основной результат, в диссертационном исследовании получено точное решение линеаризованной граничной задачи о скин-эффекте в максвелловской плазме методом разложения по собственным функциям и методом источника. В качестве граничных условий используется зеркальное и диффузное отражение электронов от поверхности.

Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи скин-эффекта при нормальном и аномальном скин-эффекте.

Сформулирована и доказана теорема о том, что граничная задача имеет единственное решение, предегавимое в виде разложении по собственным функциям соответствующей характеристической системы уравнений.

Найдены точные выражения для импеданса в случае зеркальных и диффузных граничных условий. Исследовано поведение импеданса вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты. Установлено влияние нормального электрон-электронного рассеяния на величину аномального импеданса.

В явном виде представлены выражения для комплексной диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы. Проведен анализ вклада межэлектронных столкновений в диэлектрическую проницаемость.

Научная и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер.

Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что найдены явные аналитические выражения для функции распределения и электрического поля в полупространстве в задачи о скин-эффекте с зеркальным и диффузным отражениями электронов. Аналитическое решение позволило в явном виде определить влияние электрон-электронных столкновений на физически важные параметры: импеданс и диэлектрическую проницаемость.

. Результаты диссертации могут представлять интерес для специалистов в области аналитических методов решения задач физикп плазмы, математической физики и кинетической теории. Они также могут быть использованы в качестве теоретической основы экспериментальных исследований явления скин-эффекта в газовой плазме.

Личное участие автора. Постановка задачи принадлежат профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи; анализ полученных результатов; изучение импеданса и диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы с учетом электрон-электронных столкновений проведены соискателем самостоятельно.

Особо отметим личный вклад соискателя в совместных публикациях. В работах [1, 2] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, в работах [3, 4] соискателю принадлежат вывод аналитических формул для диэлектрической проницаемости с учетом электрон-электронных столкновений и анализ полученных выражений, в работах [5, 6] соискателю принадлежат аналитическое решение поставленной граничной задачи, анализ свойств найденного решения, а также исследование поведения импеданса.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих научных конференциях и симпозиумах:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2006 - 2008 гг.);

2. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МПГУ (Москва, 2006 - 2008 гг.);

3. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)" (Орел, Россия, 2007 г.);

4. XXI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (СГТУ, Саратов, Россия, 27-31 мая 2008 г.);

5. Пятая международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, Россия, 2008);

6. Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (РАН Сибирское отделение, Иркутск, Россия, 24-30 июня 2008 г.);

7. Международная научная конференция "Физико-химические основы формирования и модификации микро- и наноструктур" (НФТЦ МОН и HAH Украины, Харьков, Украина, 2008 г.);

8. Международная конференция, посвященной 100-летию со дпя рождения С.Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений." (Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, Россия, 512 октября 2008 г.);

9. Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем" (МГУГ1 СТАНКИН, Москва, Россия, 14-18 октября 2008 г.);

10. IV Международная научно-практическая конференция "Predni vf.decke novüiky - 2008" (Прага, Чехия, 1-15.сентября 2008 г.);

11. Пятая всероссийская конференция (МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 26-28 января 2009 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах соискателя, список которых приведен в конце автореферата. Статьи 1-6 опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 116 страниц текста, в том числе 18 рисунков. Библиография включает в себя 107 наименования, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются основные результаты работы, а также дается краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе определяются основные понятия и выписываются исходные уравнения, необходимые для постановки задачи. Показано, что задача сводится к решению системы уравнений Власова — Максвелла.

В параграфе 1.1 приводится вывод двухпараметрического нелинейного кинетического уравнения, в котором учитываются электрон-электронные столкновения. Далее в параграфе 1.2 проводится его линеаризация.

Линеаризованное кинетическое уравнение, учитывающее особенности столкновения электронов, имеет вид:

где безразмерные время, координата, числовой параметр и электрическое поле введены соответственно следующими равенствами:

Здесь fj - частота столкновений электронов с ионами и нейтральными атомами, V2

- частота столкновений электронов с электронами, E(f, г) - электрическое поле, р -

7Т1

импульс электрона, С = \fftv - безразмерная скорость электронов, 0 = функ-

¿к±

ция hi связана с функций распределения равенством / = /0[ 1 + /¿i(i,r, v)], где fo(v)

- равновесная максвелловская функция распределения электронов по скоростям.

Параметр Ь характеризует отношение частоты межэлектронных столкновений к полной частоте рассеяния электронов. Для слабоионизованной плазмы b 1. Для сильноионизованной плазмы 6 ~ 1. Этот параметр будем называть столкновитель-ным параметром частотности, или кратко, параметром частотности.

В параграфе 1.3 формулируется граничная задача для описания скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений.

Рассмотрим полупространство, заполненное максвелловской плазмой. Введем де-картову систему координат с центром на границе плазмы и осью х, перпендикулярной границе и направленной вглубь плазмы (я > 0). Ось у проведем вдоль направления электрического поля Е(t,x), а ось г. - вдоль направления магнитного поля.

Электрическое поле будем рассматривать в следующем виде: Е = (0,£(s),0). Тогда уравнение Максвелла - Пуассона после перехода к безразмерным переменным, имеет вид:

Ж + С¥Г+ hl{tl'Tu с) =

-НГ3/2 У ехр(—С'2) [l + 2ЬСС] гъ С') d3C',

дК

(1)

ti = ut, ti — l/y/Pr, V = Vi +1>2, Ь =

= r-C'2C'Mtu*uC)SC>. (2)

Функцию h\ далее будем искать в виде

hi(ti,xi,C) = CvH{ti,xi,Cx),

а переменные t\ и xi будем обозначать снова через t, х.

Выделяя в функциях e(t, х) и H{t,x,n) временную переменную, будем искать решение задачи о скин-эффекте в виде:

H{t,x,tA = ехр ( - ¡1),

e(t, х) = ехр ^ — е[х)-

Тогда систему уравнений (1) и (2) запишем следующим образом:

+ Щh(x, р.) = ф) + ~ J ехр(~na)h(x, ¡з!) d/t', (3)

d?e(x) dx1

СО

= I ехр(-/2Щх,ц')<1ц'. (4)

—оо

Здесь а = Сх - проекция безразмерной скорости на ось абсцисс, а — -

параметр аномальности или, в стандартном виде, а = 21"/б2, где I - длина свободного пробега электронов, I = ътг, ы - тепловая скорость электронов,

1 1 Л _ „ .ш

у/0 V 2жи>пег и

Граничные условия в рассматриваемой задаче в случае зеркального отражения электронов имеют вид:

Л(0, ¡г) = /¡(0, -й), 0 < (I < +оо, в случае диффузного рассеяния электронов:

/г(0, /х) = О, 0 < ц < +оо. В обоих случаях функция распределения ищется затухающей вдали от границы:

Л(+оо, ц) = 0, —оо < ¡1 < +оо. Граничные условия для электрического поля на границе и вдали от нее равны: е(0) = 1, е(+оо) = 0.

Во второй главе главе описывается математический аппарат аналитического решения задачи о скин-эффекте в максвелловской плазме, на свойства которой оказывают влияние электрон-электронные столкновения.

С помощью анзаца Кейза (Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. - М.: Мир, 1972. - 384 с.)

hn{.г,(I) = ехр ( -Ц'о~)ф(Л,еч(г) = ехр (- £(г/), выводится характеристическая система уравнений:

(V - ß) = т?) + -~Ь7=п{г,1 (5)

Wo ш0утг

оо

wtEW^-^JeM-^mV^'W. (6)

—00

Из уравнений (5) и (6) в классе обобщенных функций находим собственные функции непрерывного спектра (-оо < т] < +оо):

ß) — ~~7=(arl2 + ФР + •Мч) exp(i)2)<5(rj — ц), (7)

, . aw0 о . a , b

■А Щ wo

Здесь символ p(—-—означает главное значение интеграла по Коши от выражения (г/ — , 5(х) - дельта-функция Дирака.

В выражении (7) введена дисперсионная функция задачи:

00 ^

A(z) = 1 + (аг2 + ¿)4= [ еХР,('М V ■А У ß' - z

—оо

Собственные решения исходной системы уравнений (3) и (4), отвечающие непрерывному спектру —оо <т] < +оо характеристической системы, имеют вид:

-—(щ2 + tf)P— + A(17) exp(?72)% - M) yf »?" ß

/ x\aw0 2 ^W-CXp^-U'o-J-^TJ.

Здесь х>0, ft, rj е (-оо,-|-оо).

В параграфе 2.3 проведен анализ структуры дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции.

Согласно принципу аргумента разность между числом нулей N и полюсов F дисперсионной функции равна деленному ш 2тг приращению ее аргумента вдоль контура 7, охватывающего разрез (—оо, оо) по часовой стрелке, и отстоящего от иего на расстоянии е:

AT-P=A;[argA(Z)]7. (8)

Переходя к пределу в равенстве (8) при s —> 0, получаем:

N = 2 + ¿[arg G( r)]^), G(r) = (9)

Из комплексно-зиачного уравнения Д+(а) •"= 0 получаем на плоскости (е, 7), где 7 = w/tOp, е — wp = 4тге2п/га, два действительных уравнения:

е3 - Зет2 + г7а + 7 ^ = b[2e27P(/i)] - (т^чУ - £3 + e-f)q{ß), (10)

73 - Зг2 - 7\V + 7v2cP(fi) = Ь[(е3 - 7ЧУ - £72Ш ~ 2е27?(/# (11)

Уравнения (10) и (11) определяют в неявной и параметрически заданной форме кривую Л

Л: 7 = 7 (fi,vc,b), 5 = s(fi, vc, b), 0 < ц < +оо.

Внутренность кривой Л обозначим через Z>+(uc, Ь), а ее внешность через D~(vc, b).

С использованием равенства (9) можно показать, что если точка (7, г) £ D+, то дисперсионная функция имеет четыре нуля ±ífo и ±т?1; а если (7, е) € D~ -внешность области Z7+, то дисперсионная функция имеет два нуля ±r¡o.

Нулям % и t]i отвечают следующие собственные функции характеристического уравнения, соответствующие дискретному спектру: {dtr¡¡¡: — 0, к — 0,1} :

. 1 Vk(<"ll + d) г,/ ч awo 2 VK Vk ~ fi

Число нулей связано с индексом задачи формулой:

N-2 = i[argG(t)]*°°=2x(G). (12)

Знание поведения индекса исходной граничной задача дает возможность решать однородную краевую задачу Римана из теории функций комплексного переменного.

Однородная краевая задача Римана формулируется следующим образом: требуется найти функцию X(z), аналитическую везде в комплексной плоскости за исключением действительной положительной полуоси, имеющую ненулевой порядок во всех точках комплексной плоскости, а в бесконечно удаленной точке имеющую порядок, равный индексу задачи, и такую, что ее граничные значения в интервале (0; +оо) сверху и снизу связаны линейным соотношением:

Х+М = 0 < ¡i <оо, (13)

ОС

где £7(р) = | - коэффициент задачи.

В параграфе 2.4 доказывается теорема о решении однородной краевой задачи Римана.

Теорема 1. Решение однородной краевой задачи Римана (Ц) имеет вид

Х(*) = 1ехрУ(*),

где

оо

¿¡1 ■ 2

Эта задача позволяет вывести формулы факторизации дисперсионной функции, из которых можно в явном виде получить выражения дая ее нулей. Кроме того, однородная краевая задача Римана лежит в основе решения исходной граничной задачи с диффузным отражением электронов от границы плазмы.

В параграфе 2.5 доказываются теоремы об интегральных представлениях факго-ризующей функции

Х(2)=Дехр У{г). (14)

Теорема 2. Для функции Х(г), определяемой формулой (Ц), справедливо интегральное представление

. 1 ГХЦт)-Х~М,

= 2^У т-г 26

Теорема 3. Для функции Х(ц) на разрезе (действительная положительная полуось} справедливо следующее интегральное представление

г- 1С

Теорема 4. Для функции Х~ (г) справедливо интегральное представление

с1т

Х(г) г + 2тгг/|Х+(г)-Х-(г) о

г е С/К+.

В конце главы проведена факторизация дисперсионной функции. Доказана следующая теорема:

Теорема 8. Для дисперсионной функции А(г) везде в комплексной плоскости С, исключая действительную ось К, справедливы утверждения

1. Если индекс задачи Римана равен нулю: = 0, то имеет место формула:

Л (г) = о(т?2 - х2)Х(г)Х{-г), г $ (_<», +00). 10

2. Если индекс задачи Римат равен единице: x(G) = 1, то справедлива формула: \(z) = a(vl-z2M-z2)X{z)X(-z), zi(-оо,+со).

В третьей главе находятся аналитические решения поставленной задачи с зеркальным и диффузным отражением электронов от границы полупространства.

В параграфе 3.1 получено аналитическое решение граничной задачи с зеркальным отражением электронов. Используется метод разложения по собственным функциям. Доказана теорема 7: Граничная задача,состоящая в решении уравнений (3) и (4) с зеркальными граничными условиями, имеет единственное решение, представи-мое в виде разложения по собственным функциям характеристической системы, автоматически удовлетворяющее условиям на бесконечности:

1 00

h{х, ff) = 4= Ё ехр + [ехр (-U'o-4) Ф(т/, ß)A(n)dV, (15)

v^t^o 1k-М \ f)kj У V T]J

i 00 е(х) = — + ^ехр т? A(V)di^. (16)

Здесь At (к ~ 0,1) - неизвестные коэффициенты, отвечающие дискретному спектру, причем Ах = 0, если а 6 D~\ A(rj) - неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра, Re (u-'o/ife) > О (к -- 0,1), Re wo — 1.

Доказательство разложения сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши:

1 00

" ' i){arf + d)A(i1) dii+

Ц-ß

-+А(/*)ехр(-7;?)/1(^) = 0, —оо<д<оо.

Последнее приводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного:

оо

Л 4ti)\N+(ß) + 4>{ß)} = b-(ß)[N-(ß) + v(ß)}, где Niß)

tj(ar)2 + d)A{r}) dr)

общее решепие которой

i - . _

C\Z

* 0

Z-T]k z + щ

Условия разрешимости и формулы Сохоцкого позволяют найти все неизвестные коэффициенты разложения решения исходной граничной задачи:

С1 = —\=Акщ{агЦ 4- d)X'(r]к) (к = 0,1), 11

С1

атр +

[Л+И \-(Л)\

Для характеристики свойств плазмы в электромагнитном поле, в параграфе 3.2 вводится понятие импеданса, или поверхностного сопротивления:

7 =

е(0) с2 е'(0)'

В конце параграфа находится выражение для импедапса, не зависящее от числа нулей дисперсионной функции:

Яо =

А-кгиз с%о

А+« /

а тг г у

г2йт

А(г)(аг2 +

Проведен анализ модуля, аргумента, действительной и мнимой частей импеданса.

В параграфе 3.3 проведен анализ предельных случаев скин-эффекта. Рассматриваются нормальный скин-эффект, когда длина свободного пробега электронов много меньше характерной глубины скин-эффекта и аномальный скин-эффект, когда длина свободного пробега электронов много больше характерной глубины скин-эффекта.

При аномальном скин-эффекте выражение для безразмерного импеданса таково:

2 - (1 - г\/3)

Полученный результат при 6 = 0 совпадает с классическим результатом дня вырожденной плазмы.

В параграфе 3.4 получено алалитическое решение задачи методом источника. В основе метода лежит идея симметричного продолжения электрического поля на сопряженное полупространство. В явном виде найдены аналитические выражения для электрического поля, функции распределения электронов и импеданса. Проведен анализ поведения импеданса вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты.

В параграфе 3.5 найдено аналитическое решение поставленной задачи методом разложения по собственным функциям, используя диффузные граничные условия. Разложение (15) - (16) сначала сводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши:

оо

4= [г,{аг? + - + АМ ехр(~тЦ)А(ц) = О, 0 < /х < оо, (17)

у/Ж ] Ц-й

1 1 1 <р(р) = "7=53 АкПк{о,гЦ + <9—— V к=о ^

где

■Пк

где

Формула (17) приводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного

Л+М [ЛГ+О») + = А-(д) [ЛГ ^ + <р(ц)], 0 < /1 < оо.

оо

ч/т J о

Сначала решается соответствующая однородная краевая задача, находится X-функция - решение этой задачи. Для Л'-функции были выведены интегральные представления и доказана факторизация дисперсионной функции. Затем решается неоднородная краевая задача. Решение последней находится в классе мероморфных функций. Причем коэффициенты, отвечающие непрерывному спектру, находятся иэ формул Сохоцкого, а коэффициенты дискретного спектра - из условий разрешимости краевой задачи.

В случае единичного индекса коэффициент дискретного спектра

2сь

(в1й + 4хы

(к = 0,1)

и коэффициент непрерывного спектра

2 т

__1__V

+ ¿) ^ ц

л/5гСк

где

со :

-С1 =

Ч>[ФЫ + Ф(-7Ь)]'

ф(т0) =

ХЫ

- То щ- т0

Линейное выражение по т0 (т0 = у/-й/а) для импеданса имеет вид: 20 = -

4тгр {гит + ^)Х(О) ~ т|(77с + ^)Х'(О)

(18)

Из формулы (19) при Ь —> 0 (или, что все равно, т0 слабоиопизованной плазмы:

■ 0) получаем формулу для

2Г„ =

4тгг

ги0

Х'(0)

Х(0)

По

Для случая нулевого индекса приведем следующез точное выражение для импеданса :

4-7Г¿т0 Х{-т0)(Т0 + Г)о) - Х(то)(то - щ) изо Х(-то)(то + По)+Х{то){то~ПоУ В последнем параграфе третьей главы с помощью двухпараметрического кинетического уравнения изучается диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы с учетом электрон-электронных столкновений.

В явном виде найдены аналитические выражения для продольной диэлектрической проницаемости

¿(П, к,Ь) = 1 + ~<то/'(П, к, 6), (19)

где «то - стандартная проводимость плазмы, а /'(П, к, Ь) - безразмерная продольная

1 0 5

проводимость /'(П, к, Ъ) = ■ г—-, Ф(П, Л)

Ф(П,Л)-6' ' ' ' Т2(П,к)+Т?(П,к)/(1-Т0(П,{:))' и поперечной диэлектрической проницаемости

ш2

£tr = l + j_£/fr (П,Л,Ь), (20)

где ii'j, = Aitern/m - плазмепная частота, /1г(П, А, Ь) — -—° ' . - безразмерная

I — OJ л)

поперечная проводимость. Здесь

» —оо

Проводится анализ различных предельных случаев диэлектрической проницаемости с учетом межзлектронных столкновений.

Следует отметить, что для плазмы с однозарядными ионами (u = 0,fc = 0,6 = 0.5) формула (20) принимает вид:

е"- = 1 + 2 Д. (21)

Сравнение с известной формулой (см. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Ру-хадзе A.A. Основы электродинамики плазмы. - М.: Высшая школа, 1978. - 408 с.)

etr = 1 + 1.96iu%/(uv),

полученной на основе кинетического уравнения с интегралом столкновений Ландау, показывает, что коэффициент при ее мнимой части на 2 % отличается от коэффициента го формулы (21), полученной на. основе кинетического уравнения данной работы.

В заключении сформулированы в краткой форме основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

• Доказана разрешимость граничной задачи теории скин-эффекта для электронной плазмы с зеркальными и диффузными граничными условиями в т-приближении уравнений Власова - Максвелла, учитывающей межэлектронные столкновения, и построены ее аналитические решения.

• Исследован вклад электрон-электронных столкновений в полученные решения. Проведен анализ предельных случаев скин-эффекта. Показано, что для силь-ноиокизованной плазмы действительная часть импеданса уменьшается, причем в низкочастотном режиме выявлена ее сильная зависимость от параметра частотности.

• Получено обобщение формулы для импеданса па случай учета электрон-электронных столкновений. Исследовано поведение импеданса вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты. Выявлено, что вблизи плазменного резонанса у модуля и действительной части импеданса наблюдается резкий максимум, который отсутствует в низкочастотном пределе или в теории нормального скин—эффекта.

• Получено обобщение формул для комплексной диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы на случай учета электрон-электронных столкновений. Полученные выражения позволяют исследозать данную физическую величину в широком диапазоне ионизации плазмы.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список работ соискателя по теме диссертации

1. Латышев A.B., Никитина Т.В., Юшканов A.A. Скин-эффект в сильно ионизованной плазме // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика лилейных и нелинейных систем. Т. 25(1). -М.: КомКнига, 200S. - С. 82 - 91.

2. Латышев A.B., Никитина Т.В., Юшканов A.A. Решение задачи о скин-эффекте в сильноионизованной плазме с зеркальными граничными условиями // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. Т. 31(1). - М.: Издательство ЛКИ, 2007.

- С. 187 - 193.

3. Латышев A.B., Терешина Т.В., Юшканов A.A. Изучение продольной диэлектрической проницаемости с использованием двухпараметрического уравнения // Письма в Журнал Технической Физики. Т. 35. Вып. 17. 2009. - С. 10

- 17.

4. Латышев A.B., Терешина Т.В., Юшканов A.A. Исследование поперечной диэлектрической проницаемости плазмы с помощью двухпараметрического уравнения // Вестник Санкт-Петербургского университета Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. Вып. 1. 2010. - С. 87 - 92.

5. Латы шее A.B., Терешина Т.В., Юшканов A.A. Исследование скин-эффекта в плазме с использованием двухпараметрического кинетического уравнения // Известия высших учебных заведений. Физика. Т. 53. № 8. - Томск, 2010.

- С. 90 - 95.

6. Латышев A.B., Терешина Т.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение уравнений Власова - Максвелла в задаче о скин-эффекте с учетом электрон-электронных столкновений // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. XIII. № 3(43). - Новосибирск, 2010. - С. 76 - 85.

7. Латышев A.B., Никитина Т.В., Юшканов A.A. Точные решения уравнений Власова — Максвелла для сильноионизованой плазмы // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Вып. 10. - М.: МГТУ "Станкин", 2007. - С. 66 - 68.

8. Латышев A.B., Никитина Т.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте в сильноионизованной плазме // Актуальные проблемы обучения математике (К 155 - летию со дпя рождения А.П. Киселева): Труды Всероссийской заочной кучно-практической конференции. - Орёл: Издательство ОГУ, 2007. - С. 444 - 448.

9. Латышев A.B.. Никитина Т.В., Юшканов A.A. Собственные функции уравнений Власова — Максвелла для сильноионизованной плазмы // Актуальные проблемы математики, информатики и образования. - М.: МПГУ, 2007. - С. 106 - 110.

10. Латышев A.B., Никитина Т.В., Юшканов A.A. Решение задачи о скин-эффекте с учетом тока смещения в сильноионизованной плазме методом источника // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 21: сборник трудов XXI Международной научной конференции в 10 томах. Т. 2. Секция 2, 6 / Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. - С. 157 - 160.

11. Никитина Т.В. Задача о скин-эффекте в сильноионизованной плазме с учетом тока смещения // Моделирование нелинейных процессов л систем: Сборник тезисов Международной научной конференции - М.: МГУП, 2008. - С. 68 - 69.

12. Никитина Т.В. О скин-эффекте в сильноионизованной плазме // Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование. Т. 13: Сборник трудов Пятой международной научно-практической конференции "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности". СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - С. 217 - 218.

13. Никитина Т.В. Общее решеяие системы уравнений Власова — Максвелла для сильноионизованной плазмы // Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи". Российская академия наук. Сибирское отделение. Институт динамики и теории управления. Иркутск, 2008. - С. 48.

14. Никитина Т.В. Задача о скин-эффекте с током смещения в максвелловской плазме // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная столетию со дня рождения C.JI. Соболева. Тезисы докладов. - Новосибирск: Ик-т математики СО РАН, 2008. - С. 92.

15. Терешина T.B. Исследование скип-эффекта в сильнокояизованной невырожденной плазме вблизи резонанса // Materidly IV mezinarodni vSdecko - praktickä konference "Predni vCdecke novinky - 2008". - Dil 6. Mateinatika. Modcrni inform aini technologie. Fyzika. Vystavba a architektura. - Praha: Publishing House "Education and Science" s. r. o., 2008. - P. 34 - 35.

16. Терешина T.B. Задача о скин-эффекте в сильпоионизоваиной плазме // Физико-химические основы формирования и модификации микро- и наноструктур: Сборник научных трудов международной конференции Т. 2. - Харьков: НФТЦ МОН и HAH Украины, 2008. - С. 444 - 445.

17. Терешина Т. В. Описание явлений скин-эффекта в сильноионизованной плазме // Современные образовательные технологии в системе математического образования. Часть II. - Архангельск: Изд-во Поморского ун-та, 2008. - С. 435 -438.

18. Терешина Т.В. Продольная диэлектрическая проницаемость сильноионизованной плазмы /'/ Труды Пятой Всероссийской конференции.- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - С. 87 - 91.

Подписано к печати " _05_" октября 2010 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ

Москва, ул. М. Пионерская, д. 12 Заказ № 173 . Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Терешина, Татьяна Викторовна

Введение

Глава 1. Уравнения для описания скин-эффекта учитывающие электрон—электронные столкновения

1.1. Вывод двухпараметрического кинетического уравнения

1.2. Линеаризация нелинейного двухпараметрического кинетического уравнения

1.3. Постановка задачи.

Глава 2. Математический аппарат теории скин-эффекта в максвелловской плазме

2.1. Собственные функции непрерывного спектра.

2.2. Дисперсионная функция и ее свойства.

2.3. Структура дискретного спектра.

2.4. Однородная краевая задача Римана.

2.5. Интегральное представление факторизующей функции

2.6. Факторизация дисперсионной функции.

Глава 3. Аналитические решения теории скин—эффекта с учетом электрон-электронных столкновений

3.1. Решение задачи с зеркальными граничными условиями методом разложения по собственным функциям

3.2. Вычисление импеданса

3.3. Анализ предельных случаев скин-эффекта.

3.4. Решение задачи о скин-эффекте вблизи резонанса методом источника.

3.5. Анализ импеданса вблизи плазменного резонанса.

3.6. Решение задачи с диффузными граничными условиями методом разложения по собственным функциям.

3.7. Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы с учетом межэлектронных столкновений

Введение диссертация по математике, на тему "Аналитические решения теории скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений"

Актуальность темы. Работа посвящена аналитическим решениям граничных задач теории скин-эффекта, учитывающим электрон-электронные столкновения. Рассматривается невырожденная электронная плазма, заполняющая полупространство.

Впервые аналитические решения аналогичных задач в полупространстве металла получили С. Де Дженаро и А. Реттори. Для учета влияния межэлектронных столкновений на поведение плазмы ими был разработан двухпараметрический интеграл столкновений, являющийся обобщением релаксационной т-модели. Этот обобщенный интеграл столкновений был успешно применен для исследования электропроводности тонких пленок, а также при изучении аномального скин-эффекта в металле.

В связи с этим актуальной задачей математической физики является разработка аналитических решений теории скин-эффекта для максвелловской плазмы, позволяющих учитывать межэлектронные столкновения. Именно несколько таких решений разработано и обосновано для конкретных граничных задач в настоящей диссертации.

Как основной результат, в диссертационном исследовании получено точное решение линеаризованной граничной задачи о скин-эффекте в максвелловской плазме методом разложения по собственным функциям и методом источника, которое учитывает электрон-электронные столкновения. В качестве граничных условий используется зеркальное и диффузное отражение электронов от поверхности.

Сформулированы и доказаны теоремы о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложении по собственным функциям соответствующей характеристической системы уравнений.

Научная и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер.

Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что найдено явное аналитическое выражения для функции распределения и электрического поля в полупространстве в задачи о скин-эффекте с зеркальным и диффузным отражениями электронов. Аналитическое решение позволило в явном виде определить влияние электрон-электронных столкновений на физически важные параметры: импеданс и диэлектрическую проницаемость.

Результаты диссертации могут представлять интерес для специалистов в области аналитических методов решения задач физики плазмы, математической физики и кинетической теории. Они также могут быть использованы в качестве теоретической основы экспериментальных исследований явления скин-эффекта в газовой плазме. Положения, выносимые на защиту:

1. Доказана разрешимость граничной задачи теории скин-эффекта для электронной плазмы с зеркальными и диффузными граничными условиями в т-приближении уравнений Власова - Максвелла, учитывающей межэлектронные столкновения, и построены ее аналитические решения.

2. Исследован вклад электрон-электронных столкновений в полученные решения. Проведен анализ предельных случаев скин-эффекта. Показано, что для сильноионизованной плазмы действительная часть импеданса уменьшается, причем в низкочастотном режиме выявлена ее сильная зависимость от параметра частотности.

3. Получено обобщение формулы для импеданса на случай учета электрон-электронных столкновений. Исследовано поведение импеданса вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты. Выявлено, что вблизи плазменного резонанса у модуля и действительной части импеданса наблюдается резкий максимум, который отсутствует в низкочастотном пределе или в теории нормального скин—эффекта.

4. Получено обобщение формул для комплексной диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы на случай учета электрон-электронных столкновений. Полученные выражения позволяют исследовать данную физическую величину в широком диапазоне ионизации плазмы.

Предшествующие результаты. Явление аномального скин-эффекта в металлах впервые экспериментально обнаружил Г. Лондон в 1940 г.

Качественная теория этого эффекта была построена А.Б. Пиппардом в 1947 г. Он первым показал, что аномальный скин-эффект в металлах зависит от геометрических особенностей ферми-поверхности, а не от средней длины свободного пробега электрона [78]. Этот результат позволяет предсказать точную форму ферми-поверхности.

В процессе развития представления о скин-эффекте менялись и методы его теоретического описания. Рассмотрим основные теоретические направления в изучении скин-эффекта в металле.

Первая модель количественного описания данного эффекта в металлической плазме представлена Ройтером и Зондгеймером в работе [80]. Они методом Винера—Хопфа, основанного на теории комплексного переменного, решили задачу об аномальном скин-эффекте для случая, когда глубина проникновения электромагнитного поля в металл сравнима с длинной свободного пробега электрона. Одно из преимуществ данного метода состоит в том, что полученная формула для вычисления импеданса не зависит от числа нулей дисперсионной функции. Одним из недостатков существующей теории является грубо приближенный учет рассеяния электронов на поверхности.

Асимптотический подход к решению данной задачи предложен в работах В.И. Окулова и В.В. Устинова [47], [52], [53]. Они доказали, что корректное описание поверхностного рассеяния в кинетических явлениях должно основываться па последовательной формулировке граничного условия для функции распределения электронов. Предложенный подход позволил выяснить ряд особенностей зависимости импеданса от параметра аномальности. Прежде всего, удалось строго обосновать асимптотическое поведение импеданса в условиях нормального и предельно аномального скин-эффекта. В.И. Окулов и В.В. Устинов также провели исследование поправки, обусловленной рассеянием на шероховатостях, в зависимости от параметра аномальности.

Аналитическими методами в металлической плазме A.B. Латышев и A.A. Юшканов получили решение задачи о скин-эффекте. Ими решена обобщенная задача о скин-эффекте в металле [25], получены аналитические решения задачи о скин-эффекте в металлической плазме при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов [26] и при конечной температуре и с диффузным условием на границе полупространства проводящей среды [32].

Для газовой плазмы первое аналитическое решение задачи о скин-эффекте получено В.П. Силиным в работе [49]. Им найдено выражение для диэлектрической проницаемости изотропной плазмы и исследована эффективная глубина проникновения поля для случаев нормального и аномального скин-эффектов.

Вывод коэффициентов отражения и поглощения для нормального и аномального скин-эффектов при зеркальном и диффузном отражении частиц в изотропной полуограниченной плазме и плазменных слоях представлен в монографии А.Н. Кондратенко [19]. Исследования скин-эффекта в газовой электронной плазмы проведены в работах A.B. Латышева и A.A. Юшканова [33], [40].

В конце XX столетия исследователями Б. Леви, М. Синвани, Н.Г. ван Кампеном, Д.Л. Милсом и др. был накоплен богатый экспериментальный материал, демонстрирующий существенное влияние межэлектронных столкновений на динамику плазмы [76]- [89]. Эти результаты легли в основу большого количества теоретических работ, в которых были предложены различные механизмы, объясняющие аномальное поведение импеданса при различных значениях температуры, и отмечено значение вклада нормального электрон-электронного рассеяния в импеданс [63]-[74].

Для описания электрон-электронных столкновений в 1984 г. учеными С. Де Дженаро и А. Реттори был разработан двухпараметрический интеграл столкновений [63]. Этот обобщенный интеграл столкновений был успешно применен для описания электропроводности тонких пленок (см. [63], [79]), а также при изучении аномального скин-эффекта в металле (см. [64], [70], [29], [30]).

В настоящее время проблема скин-эффекта в плазме твердого тела и газовой плазме представляет большой научный интерес — [1], [4], [13], [51], [33], [45], [48], [62], [65], [77].

Во всех предшествующих работах аналитическое решение задачи о скин-эффекте в электронной плазме, учитывающее межэлектронные столкновения и наличие тока смещения вблизи резонанса, не проводилось.

Круг вопросов рассматриваемых в диссертации связан с построением аналитических решений нелинейных интегро-дифференциальных систем с граничными условиями.

В 1960 г. К. Кейз предложил метод для решения задач теории переноса нейтронов, позволяющий в явном виде построить искомую функцию распределения. Этот метод состоит в разложении решения граничной задачи по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравнению. Кейз установил, что система собственных функций, отвечающая уравнению, должна быть полной в смысле метрики некоторого функционального пространства. Работа [58] в дальнейшем послужила основой для разработки данного метода в других областях физики [59], [60].

Значительный вклад в метод Кейза внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов, в работе [22] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК или эллипсоидально - статистической модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана — Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного (ТФКП) [10, 46]. Близкие проблемы теории переноса нейтронов были рассмотрены Г.И. Марчуком, В.И. Агошковым, В.П. Шутяевым и др. [43], [3], [2]. Далее в публикациях A.B. Латышева и A.A. Юшканова продолжает развиваться метод решения граничных задач для кинетических уравнений. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах [24] - [40].

В настоящем диссертационном исследовании рассматриваются аналитические методы. В частности, применяется один из основных методов математической физики — метод разложения решений граничных задач по собственным функциям [2]. Для решения кинетических уравнений применяется также операторный подход, который изложен в [43], [57].

Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались соискателем и обсуждались на научных семинарах и конференциях:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2006 - 2010 гг.);

2. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МПГУ (Москва, 2006 - 2010 гг.);

3. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)"(Орел, 2007 г.);

4. XXI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях"(СГТУ, Саратов, 27-31 мая 2008 г.);

5. Пятая международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности " (Санкт-Петербург, 2008);

6. Школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи"(РАН, Сибирское отделение, Иркутск, 24-30 июня 2008 г.);

7. Международная научная конференция "Физико-химические основы формирования и модификации микро- и наноструктур "(НФТЦ МОН и HAH Украины, Харьков, Украина, 2008 г.);

8. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения C.J1. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. "(Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.);

9. Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем"(МГТУ СТАНКИН, Москва, 2008 г.);

10. IV Международная научно-практическая конференция "Predni vedecke novinky - 2008"(Прага, Чехия, 1-15 сентября 2008 г.);

11. Пятая всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике"(МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2009 г.).

Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Они опубликованы в 18 работах соискателя. Причем 6 статей опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи принадлежат профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи; анализ полученных результатов; изучение импеданса и диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы с учетом электрон-электронных столкновений проведены соискателем самостоятельно.

Особо отметим личный вклад соискателя в совместных публикациях. В работах [90], [91] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, в работах [92], [93] соискателю принадлежат вывод аналитических формул для диэлектрической проницаемости с учетом электрон-электронных столкновений и анализ полученных выражений, в работах [94], [95] соискателю принадлежат аналитическое решение поставленной граничной задачи, анализ свойств найденного решения, а также исследование поведения импеданса.

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Заключение

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению интегро-дифференциальных систем уравнений с граничными условиями, описывающих явление скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом межэлектронных столкновений.

В первой главе рассмотрено двухпараметрическое кинетическое уравнение для газовой плазмы, которое учитывает частичное несохранение импульса электронов, претерпевших рассеяние в объеме. Проведена его линеаризация относительно равновесной максвелловской функции распределения электронов по скоростям (или по абсолютному максвеллиану) и выделен столкновительный параметр частотности Ъ.

Параметр Ь характеризует отношение частоты межэлектронных столкновений к полной частоте рассеяния электронов. Для слабоионизо-ванной плазмы 6 С 1, Для сильноионизованной плазмы Ь ~ 1. В конце главы проведена постановка задачи о скин-эффекте в плазме с учетом электрон-электронных столкновений.

Во второй главе с помощью разделения переменных исходная система интегро-дифференциальных уравнений сведена к характеристической системе. Решение последней в пространстве обобщенных функций представляет собой собственные функции непрерывного спектра. Определена структура дискретного спектра как множество нулей дисперсионной функции.

Сформулировано утверждение о связи индекса задачи и числа нулей дисперсионной функции.

Доказана теорема о решении однородной краевой задачи Римана. Выведены интегральные представления факторизующей функции.

Доказана теорема о факторизации дисперсионной функции в зависимости от индекса краевой задачи Римана и в явном виде найдены выражения для ее нулей.

В третьей главе получены аналитические решения задачи о скин-эффекте в максвелловской плазме с зеркальным и диффузным отражением электронов от границы полупространства методом разложения по сингулярным обобщенным собственным функциям соответствующей характеристической системы и методом источника. Показано, что полученные результаты зависят от параметра частотности Ь и совпадают с классическими в случае 6 = 0.

Рассмотрены случаи нормального и аномального скин-эффектов. Найдены аналитические выражения для импеданса. Проведен анализ величины импеданса в зависимости от отношения частоты межэлектронных столкновений к полной частоте рассеяния электронов 6. Установлено, что при Ь —» 0, когда сильноионизованная плазма переходит в слабоионизован-ную, полученные формулы переходят в классические.

С помощью численных расчетов построены графики составляющих поверхностного сопротивления (импеданса) вблизи плазменного резонанса. Выяснено, что когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты модуль и действительная часть импеданса испытывают резкий максимум.

С помощью кинетического уравнения исследована комплексная диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы. Получены формулы для вычисления комплексной диэлектрической проницаемости в невырожденной плазме. Установлено существенное влияние межэлектронных столкновений на эту характеристику плазмы.

В заключение, хочется выразить искреннюю благодарность профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Терешина, Татьяна Викторовна, Москва

1. Абрикосов A.A. Основы теории металла. - М.: Наука, 1977. - 520 с.

2. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М.: ИВМ РАН, 2001. - 400 с.

3. Агошков В.И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988. - 240 с.

4. Александров А.Ф., Богданкевич JI.C., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978. - 408 с.

5. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат, 1979. - 320 с.

6. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В., Ситенко А.Г., Степанов К.Н. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974. - 719 с.

7. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001. - 111 с.

8. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. - 399 с.

9. Владимиров В.В., Жаринов В.В. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 2000. - 280 с.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

11. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.- 296 с.

12. Гермогенова Т. А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса. Препринт. - 1974. - № 103. -55 с.

13. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. -М.: Наука, 1967. 683 с.

14. Гинзбург В., Мотулевич Г.П. Оптические свойства металлов // Успехи физических наук. T. LV, вып. 4. М.: Наука, 1955. - С. 469 -535.

15. Гохфельд В.М., Гулянский М.А., Каганов М.И. Аномальное проникновение продольного переменного электрического поля в вырожденную плазму при произвольном параметре зеркальности // Ж. эксперим. и теор. физики. Т. 92. №2. 1987. С. 523 - 530.

16. Кампен ван Н.Г. Дисперсионное уравнение для волн в плазме // Сб. статей под ред. Бернашевского Г.А. и Чернова З.С. М.: ИИЛ. 1961.- 360 с. (С. 57-70). К теории стационарных волн в плазмет // Там же. С. 37 56.

17. Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.' - 384 с.

18. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 624 с.

19. Кондратенко А.Н. Проникновение волн в плазму. М.: Атомиздат, 1979. - 231 с.

20. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функци комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 623 с.

22. Латышев A.B., Лесскис А.Г., Юшканов A.A. Точное решение о поведении электронной плазмы в металле в переменном электрическом поле // Теор. и матем. физика. Т. 92. № 1 (июль). 1992. С. 138 - 146.

23. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации) // Известия РАН. Сер. МЖГ. №6. 1993. С. 143 - 155.

24. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении столкновительной плазмы в полупространстве во внешнем переменном электрическом поле // Теор. и матем. физика. Т.103. №2 (май). 1995. С. 299 - 311.

25. Латышев A.B., Юшканов A.A. Латышев A.B., Юшканов A.A. Применение метода Кейза к аналитическому решению обобщенной задачи о скин-эффекте в металле // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 39. № 6. 1999. С. 989 - 1005.

26. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов // Ж. техн. физики. Т. 70, вып. 8. 2000. С. 1 - 7.

27. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. М.: Изд-во МГОУ, 2004.- 286 с.

28. Латышев A.B., Юшканов A.A. Кинетические уравнения типа Ви-льямса и их точные решения. Монография. М.: Изд-во МГОУ, 2004.- 271 с.

29. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического кинетического уравнения // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 44. № 10. 2004. С. 1861 - 1872.

30. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического уравнения. Диффузные граничные условия // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 45. № 4. 2005. С. 677 - 689.

31. Латышев A.B., Юшканов A.A. Плазма в высокочастотном электрическом поле с зеркальным условием на границе // Известия РАН. Сер. МЖГ. № 1. 2006. С. 165 - 177.

32. Латышев A.B., Юшканов A.A. Скин-эффект при конечной температуре и с диффузным условием на границе полупространства проводящей среды // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 46. N2 1. 2006. С. 148 - 160.

33. Латышев A.B., Юшканов A.A. Скин-эффект в газовой плазме с частотой столкновений, пропорциональной скорости электронов // Физика плазмы. Т. 32. № 11. 2006. С. 1021 - 1026.

34. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. Монография. М.: МГОУ, 2006. - 274 с.

35. Латышев A.B., Юшканов A.A. Вырожденная плазма в полупространстве во внешнем электрическом поле вблизи границы // Физика твердого тела. Т. 48, вып. 12. 2006. С. 2113 - 2118.

36. Латышев A.B., Юшканов A.A. Отражение плазменной волны от плоской границы вырожденной плазмы // Ж. техн. физики. Т. 77, вып. 3. 2007. С. 17 - 22.

37. Латышев A.B., Юшканов A.A. Невырожденная плазма с диффузным условием на границе в высокочастотном электрическом поле вблизи резонанса // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т. 47. № 1. 2007. С. 121 - 128.

38. Латышев A.B., Юшканов A.A. Поперечная и продольная диэлектрические проницаемости газовой плазмы с частотой столкновений электронов, пропорциональной их скорости // Физика плазмы. Т. 33. № 8. 2007. С. 762 - 768.

39. Латышев A.B., Юшканов A.A. Кинетическое уравнение для сильно-ионизованной плазмы // Фунд. физ. матем. проблемы и моделирование технико-технол. систем: Сб. науч. тр. М: "Янус - К" , вып. 11. 2008. - С. 80 - 83.

40. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитические решения в теории скин-эффекта. Монография. — М.: МГОУ, 2008. 285 с.

41. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО "Янус" , 1995. - 520 с.

42. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. - 528 с.

43. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993. - 224 с.

44. Моисеев И.О., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Использование двухпа-раметрического кинетического уравнения для вычисления электромагнитного поглощения мелкой металлической частицей // Оптика и Спектроскопия. Т. 101. № 5. 2006. С. 857 - 861.

45. Морозов И.В., Норман Г.Э. Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме // Ж. экспер. и теор. физики. Т. 127, вып. 2. 2005. С. 412 - 430.

46. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физики. М.: Наука, 1968. - 600 с.

47. Окулов В.И., Устинов В.В. Влияние поверхностного рассеяния электронов проводимости на импеданс металла // Физика металла и металловедение. Т. 41, вып. 2. 1976. С. 231 - 242.

48. Рухадзе A.A., Силин В.П. Линейные электромагнитные явления в плазме // Успехи физических наук. Т. LXXI, вып. 1. 1962. С. 79 - 108.

49. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию. М.: Наука, 1971. -332 с.

50. Силин В.П., Рухадзе A.A. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: Госатомиздат, 1961. - 244 с.

51. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М.: Мир, 1965. - 212 с.

52. Устинов В.В., Окулов В.И. Влияние поверхностного рассеяния электронов проводимости на импеданс металла // Физика металлов и металловедение. Т. 41. №2. 1976. С. 231 - 242.

53. Фельдман И.А. О конечности дискретного спектра характеристического уравнения теории переноса излучения // ДАН СССР. Т. 214. №6. 1974. С. 1280 - 1283.

54. Цурков В.И. Мажорантная катастрофа газодинамических уравнений Эйлера для бозонов. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 90 с.

55. Цурков В.И., Ковкое Д.В. Нелинейная диффузия и подавление шумов. М.: Издательство физико-математической литературы, 2004. - 88 с.

56. Шутяев В.П. Итерационные методы восстановления начальных данных в сингулярно возмущенных эволюционных задачах // Ж. выч. матем. и матем. физики. Т.37 (9). 1997. С. 1078 - 1086.

57. Case К.M. Elementary solutions of the transport equations and their applications // Ann. Phys. V. 9. №1. 1960. P. 1 - 23.

58. Cercignani C. Elementary solutions of the linearized gas-dinamics Boltzmann equation and their applications to the slip-flow problem // Ann. Phys. (USA) V. 20. № 2. 1962. P. 219 - 233.

59. Cercignani C. The method of elementary solutions for kinetic models with velocity-dependent collision frequency // Ann. Phys. V. 40. №3. 1966. -P. 469 481.

60. Cercignani C. Theory and application of the Boltzmann equation. Scottish Academic Press. Edinburgh and London, 1975. (Имеется перевод: Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. - 496 с.)

61. Dingle R.B. Anomalous skin effect // Physica. V. 19. 1953. P. 311 - 329.

62. De Gennaro S., Rettory A. The low-temperature electrical resistivity of potassium: size effects and the role of normal electron-electron scattering // J. Phys. F: Metal Phys. V. 14. 1984. P. 237 - 242.

63. De Gennaro S., Rettory A. Normal electron-electron contribution to the anomalous surface impedance //J. Phys. F: Metal Phys. V. 15. 1985. -P. 227 230.

64. Kaganovich I.D., Polomarov O.V., Theodosiou C.E. Revisiting the anomalous rf field penetration into a warm plasma // ArXiv: physics/0506135.

65. Kempen N. van, Lass J.S., Ribot J.H.J.M., Wyder P. The electrical resistivity of potassium at low temperatures // Phys. Rev. Lett. V. 11. 1981. P. 597 - 614.

66. Kaveh M., Wiser N. Effect of anisotropy on electron-electron scattering // J. Phys. F: Metal Phys. V. 10. 1980. P. 37 - 42.

67. Kempen N. van, Lass J.S., Ribot J.H.J.M., Wyder P. Low-temeperature limit of the temperature-dependent part of the resistivity potassium // Phys. Rev. Lett. V. 37. 1976. P. 1574 - 1577.

68. Kampen N. van Stochastic processes in physics and chemistry (North Holland, Amsterdam, 1981; Vysshaya Shkola, Moscow, 1986).

69. Kaveh M., Wiser N. Effect of electron-electron scattering on the anomalous surface impedance //J. Phys. F: Metal Phys. V. 15. 1985. P. 1085 - 1092.

70. Khoshnevisan M., Pratt W.P.Jr., Schroeder P.A., Steenwyk S., Uher C. Low-temeperature resistivity and thermoelectric ratio of copper and golg // Phys. Rev. B. V. 19. 1979. P. 3873 - 3878.

71. Kliewer K.L., Fuchs R. Anomalous skin effect for specular electron scattering and optical experiments at non-normal angles of incidence // Phys. Rev. V. 172. № 3. 1968. P. 607 - 624.

72. Khoshnevisan M., Pratt W.P.Jr., Schroeder P.A., Steenwyk S., Uher C.Low-temeperature resistivity of silver //J. Phys. F: Metal Phys. V. 9. 1979. P. 1 - 5.

73. Kovalev V.F., Bychenkov V.Yu. Analytic solutions to Vlasov equations for expanding plasmas // Phys. Rev. Lett. V. 90. № 18. 2003. P. 185005 - 185014.

74. Latyshev A.A., Yushkanov A.A. Boundary value problems for- a model Boltzmann equation with frequency proportional to the molecule velocity // Fluid Dynamics. V. 31. № 3. 1996. P. 140 - 153.

75. Levy B., Sinvani M., Greenfield A.J. Sample Dependence of the electron-electron contribution to the Electrical Resistivity of Sodium and Potassium // Phys. Rev. Lett. V. 43. 1979. P. 1822 - 1825.

76. Opher M., Morales G.J., Leboeuf J.N. Krook collisional models of the kinetic susceptibility of plasmas // Phys. Rev. V. 66 (2). №1. 2002. P. 016407.1 - 016407.10.

77. Pippard A.B. The high frequency skin effect of metals at low temperatures // Physica. V. 15. № 1. 1949. P. 45.

78. Qiant Y.J., Pratt W.P., Schroedert P.A., Movshovitz D., Wiser N. Size effects in the resistivity of thin films of potassium //J. Phys. C: Solid State Phys. V. 3. 1991. P. 9459 - 9466.

79. Reuter G.E.H., Sondheimer E.H. Theory of the anomalous skin effect in metals // Proc. Roy. Soc. V.A 195. 1948. P. 336 - 352.

80. Ribot J.H.J.M., Bass J., Kempen H. van, van Vucht R.J.M., Wyder P. Further evidence for electron-electron scattering in aluminium //J. Phys. F: Metal Phys. V. 11. 1979. P. 117 - 122.

81. Rowlands J.A., Woods S.B. Further evidence for electron-electron scattering in aluminium // J. Phys. F: Metal Phys. V. 8.1978. P. 1929 - 1940.

82. Schroeder P.A., Blumenstock B., Heinen V., Pratt W.P.,Jr., Steenwyk S. D. Resistivity measurements of high purity Cu, Ag and Al between 40 mK and 1.5 K // Physica. B: Condensed matter. V. 107. 1981. P. 137 - 138.

83. Schulze R., Bluhm M., Kämpfer B. Plasmons, plasminos and Landau damping in a quasiparticle model of the quark-gluon plasma // ArXiv:physics/0709.226vl5hep-ph.

84. Sinvanit M., Greenfieldt A.J., Daninot M., Kaveh M., Wiser N. Anomalous electron-electron scattering contribution to the electrical resistivity of lithium // J. Phys. F: Metal Phys. V. 11. 1981. P. 73 -78.

85. Steenwyk S.D., Rowlands J.A., Schroeder P.A. Effect of impurities and dislocations of the temperature-dependent resistivity of the noble metals // J. Phys. F: Metal Phys. V. 11. 1981. P. 1623 - 1633.

86. Ziman J.M. Electrons and Phonons (Clarendon, Oxford, 1990).

87. Zimbovskaya N.A. Fermi-liquid theory of the surface impedance of a metal in a normal magnetic field // ArXiv:physics/cond-mat/0601600.

88. Zhao J., Bass J., Pratt Jr.P.W., Schroeder P.A. Electron-electron scattering in Li // J. Phys. F: Met. Phys. V. 16. 1986. P. 271 - 274.

89. Список работ по теме диссертации

90. Латышев A.B., Никитина Т.В., Юшканов A.A. Скин-эффект в сильно ионизованной плазме // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика линейных и нелинейных систем. Т. 25(1). М.: КомКнига, 2006. - С. 82 - 91.

91. Латышев A.B., Терешина Т.В., Юшканов A.A. Изучение продольной диэлектрической проницаемости с использованием двухпараметриче-ского уравнения // Письма в "Журнал технической физики". Т. 35, вып. 17. 2009. С. 10 - 17.

92. Латышев A.B., Терешина Т.В., Юшканов A.A. Исследование скин-эффекта в плазме с использованием двухпараметрического кинетического уравнения // Известия, высших учебных заведений. Физика. Т. 53. № 8. Томск, 2010. - С. 80 - 92.

93. Латышев A.B., Никитина Т.В., Юшканов A.A. Собственные функции уравнений Власова — Максвелла для сильноионизованной плазмы // Актуальные проблемы математики, информатики и образования. М.: МПГУ, 2007. - С. 106 - 110.

94. Никитина Т.В. Задача о скин-эффекте в сильноионизованной плазме с учетом тока смещения // Моделирование нелинейных процессов и систем: Сборник тезисов Международной научной конференции М.: МГУП, 2008. - С. 68 - 69.

95. Терешина Т.В. Задача о скин-эффекте в сильноионизованной плазме // Физико-химические основы формирования и модификации микро-и наноструктур: Сборник научных трудов международной конференции Т. 2. Харьков: НФТЦ МОН и НАН Украины, 2008. - С. 444 -445.

96. Терешина Т.В. Описание явлений скин-эффекта в сильноионизованной плазме // Современные образовательные технологии в системе математического образования. Часть II. Архангельск: Изд-во Поморского ун-та, 2008. - С. 435 - 438.

97. Терешина Т.В. Продольная диэлектрическая проницаемость сильноионизованной плазмы // Труды Пятой Всероссийской конференции.-М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. С. 87 - 91.