Функции распределения надтепловых электронов в плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОГО СИНТЕЗА

БАКУНИН ОЛЕГ ГЕННАДЬЕВИЧ

УДК 533.95

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАДТЕПЛОВЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В ПЛАЗМЕ.

(01.04.08,- физика и химия плазмы)

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

МОСКВА 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Актуальность проблемы.

2. Обзор литературы.

3. Общая характеристика работы.

ГЛАВА 1. Аномальная диффузия и функция распределения надтепловых электронов в токамаке.

1.1 Модельное кинетическое уравнение и автомодельные переменные.

1.2 Решение кинетического уравнения.

1.3 Область сильного искажения функции распределения.

ГЛАВА 2 Влияние на функцию распределения быстрых электронов в условиях пространственной неоднородности плазмы.

2.1 Область применимости кинетических моделей и влияние

2.2 Решение автомодельного кинетического уравнения для умеренных

2.3 Характер поведения функции распределения для умеренных

ГЛАВА 3. Функция распределения быстрых электронов при высоких 2ец в условиях пространственной неоднородности плазмы.

3.1 Кинетическое уравнение.с явной нелокальностью.

3.2 Автомодельное уравнение для высоких

3.3 Характер поведения функции распределения для высоких 2ец . ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

1.Актуальность проблемы .

Наиболее удобным и распространенным способом расчета параметров пристеночной плазмы токамака является использование гидродинамических моделей. Получающиеся в этом случае уравнения относительно просты и для их решения разработано большое число алгоритмов, адаптированных к использованию ЭВМ. Гидродинамические уравнения применимы для описания плазмы, если ее параметры мало меняются на расстояниях, сравнимых с длиной пробега заряженной частицы с тепловой энергией,т.е. число Кнудсена мало

Кп = X/ I « 1

Известно, что в области взаимодействия плазмы со стенкой (диверторные пластины или лимитер) уравнения гидродинамики становятся не применимы, т.к. Кп = 1. В этих областях , где коэффициенты становятся нелокальными, т. к. в формировании потоков принимают участие области, отстоящие от изучаемой на расстоянии порядка нескольких длин пробега . В описанной ситуации, наряду с пространственным переносом, возникает ускорение частиц, поэтому необходимо кинетическое рассмотрение распределения частиц, как по пространству ,так и по энергиям, с учетом влияния на коэффициенты переноса надтепловых частиц с энергией е* =7-8Те . Это влияние надтепловых частиц объясняется кулоновским характером столкновений.

Хоршо известно, что длина свободного пробега электронов в сильно ионизованной плазме резко возрастает с ростом их энергии

х = v(v) ос v4

Благодаря этому, уже в слабом электрическом поле возникают значительные отклонения от равновесной функции распределения Максвелла. Энергичные электроны слабо удерживаются плазмой и возникает поток "убегающих" электронов. Аналогичные, сильные искажения функции распределения электронов в области высоких скоростей могут возникать при наличии градиентов электронной температуры или "источников" неравновесности. Вызвавшие это искажение, надтепловые электроны переносятся сами и переносят энергию конвективным образом, свободно перемещаясь между существенно различающимися своими свойствами областями пространства. Качественные оценки дают:

v4

Я(й^) — Ят 4

Локальный подход применим, если Х(е)«Ь т.е. ( ) «1

е

Вводя число Кп получаем условие применимости гидродинамики

( - Г « —

Кп

Фактически, это условие на энергию е > е* =Т/(Кп)1/2,при которой частицы свободно движутся между областями, имеющими различные свойства.

Указанная проблема не является новой и ей посвящено большое число работ ,многие из которых относятся к динамике не ионизованного, разряженного газа , где задачи с Кп«1 систематически изучаются с 30 -х годов [6] и определились основные аналитические подходы:

1.Использование асимптотических рядов для функции распределения по параметру е= Кгг1

¡=¡0 + е ^ + е ¡2 +...

2.Использование упрощенных интегралов столкновений релаксационного типа.

3.Получение гидродинамических уравнений более точных ,чем уравнения Навье -Стокса-Фурье.

В кинетической теории сильно ионизованной плазмы используют кинетическое уравнение с интегралом столкновений в форме Фоккера-Планка. Среди работ, посвященных поведению электронов в условиях сильной неравновесности, можно выделить несколько направлений:

-Полное численное моделирование на базе уравнений Фоккера-Планка

-Создание гибридных кодов и "оценочных" формул для гидродинамических кодов .

-Использование метода моментов Греда.

-Аналитическое решение кинетического уравнения Фоккера-Планка с использованием упрощающих предположений.

2.Обзор литературы.

Обзор посвящен, в основном, аналитическим решениям кинетического уравнения с интегралом столкновений в форме Фоккера-Планка, для случая существенной неоднородности температуры или электрического поля.

Классические работы

Уравнение типа Фоккера-Планка было систематическим образом использовано для описания электронов в газах и плазме Давыдовым в 1934-1937 годах [1-4] и Ландау в 1937 году [5]. Давыдов получил

аналитическое выражение для функции распределения электронов в однородном, слабо ионизованном газе, находящемся во внешнем электрическом поле и строго установил диффузионный характер набора энергии в электрическом поле. В работе Ландау получено выражение для электрон-электронного интеграла столкновений, которое при использовании потенциалов Розенблюта приобретает форму Фоккера-Планка.

Использование уравнения Фоккера-Планка для задач с пространственной неоднородностью уже в простейшем одномерном случае встретило трудности при получении выражений для потоков.В 1940 году их преодолел Крамере [7], получивший корректное описание потоков для уравнения^названного впоследствии его именем:

А р(х)/м -ь v 1/!=(к т <В1>

где Р(х) - неоднородная в прострастве сила, Ь - коэффициент трения, М - масса броуновской частицы

Уравнение Крамерса используется в задачах химической физики, однако, по форме оно почти совпадает с уравнениями, используемыми в кинетике неоднородной, сильно ионизованной плазмы [15,16] Поэтому важно отметить истоки широко используемых сейчас асимптотических методов. Так использованный первоначально Крамерсом способ получения уравнений для потоков, основывался на малых изменениях функции распределения для расстояний 1^Цорм^Своб.проб • Его метод осреднения кинетического уравнения по скоростям подробно рассмотрен Уленбеком в [76], где показано, что оно справедливо лишь в отсутствии нелокальных эффектов и совпадает с формулой Смолуховского. Однако, более строгий подход [69,70,77], использующий разложение функции распределения в ряд Гильберта по

параметру малости е«Кп«0 ,уже для членов второго порядка, приводит к появлению нелокальных эффектов. Важно отметить, что уже в вырожденном случае отсутствия рассеяния невозможно получить квадратуру для функции распределения. Первым уточнил гидродинамику Крамерса-Смолуховского Давыдов, получив

модифицированное уравнение Смолуховского для плотности телеграфного типа, отражающее эффекты временной нелокальности[71 ].

Позже появились поправки Стратановича, Ито и Климонтовича. Все они обусловлены наличием значительных корреляций или эффектов памяти,отражением которых становится использование квазилинейных коэффициентов диффузии.

Важно отметить, что уравнение Крамерса имеет однозначную интерпретацию на языке стохастических дифференциальных уравнений. Современные задачи используют квазилинейный коэффициент диффузии в пространстве скоростей, предложенный Гуревичем, и связаны с мультипликативным шумом, что затрудняет их интерпретацию. Здесь можно отметить и то, что Крамере впервые использовал расширение числа независимых переменных, с целью добиться марковости диффузионного процесса в условиях пространственной неоднородности. Таким же образом можно использовать фактор рассеяния для описания пространственно нелокальных задач. Однако, получить гидродинамические уравнения на этом пути пока не удалось.

1942 в работе Джаффе [6] была показана расходимость ассимптотических рядов в методе Чепмена для Кп«1, приводящая к парадоксам при вычислении потоков.

1950-1953 годах в работах Коэна, Спитцера, Роутли [8], Спитцера [9], Спитцера, Хэрма [10] были решены уравнения Фоккера-Планка для полностью ионизованной плазмы в присутствии постоянного электрического поля и пространственной неоднородности температуры. Учитывалось рассеяние в электрон-электронных столкновениях на основе интеграла столкновений Ландау. Определены коэффициенты теплопроводности и электропроводности. Однако, полученные решения были численными и использовали предположения о малом отклонении от максвелловской функции распределения.

В сферической системе координат решаемые интегро-дифференциальные уравнения имели вид

^f •-^f^f^^l-M (В.З)

fe (v, ju, x) = F0(v,x) + F, (v, х)/л; ju = cos в

Результаты представлялись в форме таблиц, содержащих поправки к формулам Лоренца для коэффициентов теплопроводности и электропроводности в зависимости от заряда йонов плазмы.

Для Z,. = 1; = 0.225; — = 0.582

Л.

Снижение коэффициентов переноса качественно объяснялось симметризацией функции распределения электронов в электрон-электронных столкновениях.

Серьезным препятствием при получении аналитических решений кинетического уравнения для функции распределения электронов в

полностью ионизованнои плазме является сложный вид выражения для электрон-электронного интеграла столкновений Ландау.

1960 году Гуревич [11] аналитически решил задачу об определении функции распределения электронов в "хвосте", образованном "убегающими" электронами, при постоянном электрическом поле для случая малого отношения Е/Ес. Стационарное уравнение с упрощенным интегралом столкновений для частиц с высокой энергией имело вид :

т ay v дц v дл>

vV,(v) vf +

т dv

д

(1-/0

дц

(В.4)

Он так же получил формулу для потока "убегающих" электронов. С помощью тщательного асимптотического анализа было выяснено, что высоко энергетический "хвост" функции распределения "убегающих" электронов имеет сложную структуру с меняющейся степенью анизотропии. Этот подход получил дальнейшее развитие в работах [1218]

Использование интеграла столкновений в предложенной Гуревичем форме позволяет сразу получить оценки для пределов применимости расчетов Спитцера, Хэрма, Роутли

f е ^ fmz.х veil f\ f пах veil

I —4МУ

Г г\ъ mv

v2 Ь

К Те2 д\пТе 7 ~ L ~ 2яелКп дх ' eff"

Видим, что малая, по Спитцеру, поправка быстро возрастает с ростом энергии за счет резкого увеличения длины пробега электрона.Поэтому условием применимости этого численного расчета

можно считать ^ = ф-<10"2

Современные работы

Метод, предложенный Гуревичем был использован для решения пространственно неоднородных задач теплопроводности и диффузии в работах Гуревича, Истомина, в 1979 году [15] и Гуревич, Цыбин, Истомин в 1983 году [16], где авторы использовали автомодельные переменные для нестационарной задачи, в сочетании с граничными условиями.

Решаемое в [15] уравнение по форме напоминает уравнение Крамерса с учетом рассеяния и мультипликативного шума.

v

а/ _ \ д

дх

V ду

Т д/

V. гп <7У,

+Pv.tr)

д/л

0-А2)^-ф

(В.5)

где £ = v2, , р= (1+геК)/2,

Здесь не учитывалось амбиполярное электрическое поле и решения для функции распределения надтепловых электронов находились отдельно для областей с разным характером зависимости Т(х). Использовалось предположение о полной автомодельности вида

V л

Полученная функция распределения надтепловых электронов имела разрыв ^названный авторами кинетическим.

В работе [16] кратко рассмотрена задача об аномальной диффузии в стохастическом магнитном поле с коэффициентом диффузии Б. Оценены деформации функции распределения надтепловых электронов

V Ы V

д2/ _ дх2 V2

( Т 3 /* еК \ т д\

у

ф

ф

(В.6)

Здесь так же использовалось предположение о полной автомодельности частного вида

/ = /

\х у

Деформация^хвостгР функции распределения электронов, так же имела характер кинетического разрыва.

В 1982г. в работе Цендина [30] рассматривалась задача с продольной неоднородностью плотности плазмы и электрического поля. В приближении малого поля, и определяющей роли упругих соударений, получено уравнение для симметричной части функции распределения надтепловых электронов в слабо ионизованной плазме. Для его решения используется метод характеристик развитый в [31] , с помощью которого получены выражения для "хвоста" функции распределения электронов, определяющиеся значениями в предшествовавшие моменты времени и выше по течению.Однако, этот

анализ носит приближенный характер и основывается на сильно упрощенном уравнении с постоянными коэффициентами

= , + ЁА \

(В.7)

Возможно, что именно этим определяется близость полученной функции распределения электронов к максвелловской, даже в области ^хвоста? Идея использования характеристик расширяет возможности описания эффектов нелокальности,традиционно описываемых интегральным представлением величины.

1983-1986 в работах Албритна [118] было предложено упрощенное уравнение для симметричной части функции распределения электронов. Оно получено в предположении больших Zeff и в отсутствии учета "тонкой структуры" функции распределения, обнаруженной в работах Гуревича. Однако, здесь рассматривались одновременно прстранственная неоднородность и электрическое поле.

v jli

df eEitSf\-n2df

) =

дх т dv v д/и

(В.8)

Полагая справедливым двухчленное приближение

/О, ju, х) = F0(v, х) + Fj (v, x)ju

получаем систему двух уравнений для F0 , Fj

Л * ^ _ 4

Ъ дх д?

3 дх 3 % + 3 ■ 4 1

где я=2р , £,=ту2/Те(х) ,

Сохраняя во втором уравнении только первый и последний члены и подставляя результат в первое уравнение, получим

(В.9)

Введем \\^=пгу2/2, тогда получим уравнение Албритна, приведенное в его работе

+ = 0 (В.10)

дг м>' дм V дм)

Квазилинейное уравнение было сведено к неоднородному линейному уравнению диффузионного типа с источником частиц, аналогично предложенному Блаузиусом в теории пограничного слоя. Источник создавался "хвостом" максвелловского распределения, что заметно меньше, чем в реальной ситуации

дг1 и*3 дм ч?3 д,\> ч дм

Используя функцию Грина для дифференциального оператора в частных производных, Албритн получил решение в интегральной форме.

Ро =М

Ч*) ¿гъ

(У

4 4 \

-м/ )

<2

ехр

|\2

г')

■ 4 4

(В.11)

Этот подход был затем использован в целом ряде работ [120128,100]. Однако, отсутствие конвективного члена в уравнении для Ро ,использование максвелловского "хвоста" в качестве источника быстрых частиц и изменение типа дифференциального оператора, требует уточнения допустимости этих упрощений.

В работах Дятко, Напартовича, Старостина и др. [60-62] в 1983 г. решалось кинетическое уравнение для симметричной части функции распределения электронов ,полученное в двухчленном приближении с модельным интегралом столкновений, имевшим дивергентную форму. Ими были получены автомодельные решения, для случая зависящей от времени напряженности электрического поля.

Этот подход был перенесен в Александровым, Напартовичем, Старостиным и др. в 1988 г.на задачу описания функции распределения электронов в условиях продольной неоднородности, обусловленной зависимостью электрического поля от пространственной переменной [17]. Очевидно, что "хвост" функции распределения электронов формирует плотность и потенциал, но они в свою очередь так же влияют на "хвост" функции распределения. В этой работе предложена простая модель явления. Для интеграла столкновений в [17] использовалась та же модельная дивергентная форма. Симметричная часть функции распределения электронов представлялась в виде

X

F IV J

= (В.12)

Зависимость электрического поля принималась в форме

Е(х) = хс , где а,Ь,с - константы Подробно рассматривался случай b = 1

Е(х) ос х ; п(х) ос - . (В. 13)

В работе Крашенинникова [18], выполненной в 1988 г., с целью учета вклада надтепловых электронов в теплопроводность, были использованы автомодельные переменные аналогичные [17] для решения уравнения рассмотренного Албритном. Однако, специфика использования конкретного интеграла столкновений в форме Гуревича привела к более конкретной замене переменных

= (В.14)

9 2 Т(х) Т(х)

.. Используя технику работ, посвященных "убеганию" электронов [11-14], были найдены решения, которые в области высоких энергий приводили к сильно анизотропным степенным "хвостам". В этом подходе удается получить форму "хвоста" с учетом сильной анизотропии.

В работах Кондратенко и др. [95-97] изучалась кинетика кулоновского торможения быстрых электронов в неоднородной плазме. Анализировался случай сферической геометрии со степенным профилем плотности и случай плоской геометрии с произвольным профилем плотности, что необходимо для задач лазерного

термоядерного синтеза. Использовался лине