Теоретическое исследование термодинамических функций, состава и кинетических характеристик плотной атомарной и атомарно-молекулярной плазмы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

РГБ Ой

УДК 533.9

; 3 д Д-' На правах рукописи

ХОМКИН АЛЕКСАНДР ЛЬВОВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, СОСТАВА И КИНЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОТНОЙ АТОМАРНОЙ И АТОМАРНО-МОЛЕКУЛЯРНОЙ

ПЛАЗМЫ

01.04.08-физика и химия плазмы

АВТОРЕФЕРАТ Аиссертацяи на соискание ученой степени доктора физико -математических паук

Москва 1996

Работа выполнена в Объединенном институте высоких температур Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических

наук, профессор Рухадзе А.А.

Доктор физико-математических наук, профессор Старостин А.Н.

Доктор физико-математических наук, профессор Якубов И.Т.

Ведущая организация: Московский физико-технический

институт

Защита состоится " ■ "_ь_1996 г. в час. на

заседании Диссертационного совета Д 002.53.01 при Объединенном институте высоких температур РАН по адресу: 127412, Москва, Ижорская 13/19, ИВТАН; Fax: 485-99-22.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИВТ РАН.

Автореферат разослан "_"_1996 г.

Заместитель председателя Диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

© Объединенный институт

А.П. Нефедов температур РАН, 1996.

Предметом исследования настоящей работы является плотная низкотемпературная плазма, под которой мы будем понимать такое плазменное состояние вещества, при котором в плазме присутствуют электроны, ионы, атомы, молекулы и молекулярные ионы. Конкретно, рассматриваются термодинамические свойства, состав и проводимость плазмы инертных газов, плазмы щелочных и простых металлов, плазмы паров воды в условиях существенного межчастичного взаимодействия.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Значительный интерес к исследованию свойств плотной низкотемпературной плазмы обусловлен с одной стороны общефизическим интересом к новым явлениям, возникающим при переходе от идеально газового к плотному состоянию вещества, а с другой стороны потребностями современной техники и технологии. В значительной степени всплеск исследований свойств плотной низкотемпературной плазмы был обусловлен проектом создания газофазного ядерного реактора, в котором рабочее" тело и плазма паров урана должны находиться при давлении до сотни атмосфер и при температуре в несколько десятков тысяч градусов.

С общефизической точки зрения значительную роль сыграла идея о возможном плазменном фазовом переходе. Эта идея стимулировала многочисленные теоретические и

экспериментальные исследования.

В настоящее время можно отметить определенный рост интереса к исследованию свойств плотной плазмы связанный с астрофизическими проблемами внутризвездного состояния вещества, проблемой получения металлического водорода и следовательно поиску его критических параметров; непрекращающимся интересом к окрестности критической точки практически всех металлов и в особенности щелочных; реализацией ряда перспективных проектов управляемого термоядерного синтеза и т. д. Кроме этого значительный интерес к исследованию физических свойств неидеальной

низкотемпературной плазмы связан с различными прикладными проблемами: разработкой и применением импульсных источников энергии, проблемой перспективных МГД генераторов, импульсной обработкой материалов и т. д.

Следует признать, что потребность в надежных и аппробированных методах расчета термодинамических и кинетических характеристик плазмы в максимально широком диапазоне параметров в последнее время заметно возросла

поскольку в настоящее время на первый план выходят методы математического моделирования физических процессов, происходящих в ряде перспективных энергетических и других устройств с высокими плотностями энергии, создание которых требует очень высоких затрат.

К числу наиболее важных проблем физики плазмы можно отнести расчет ее термодинамических функций, состава и электропроводности. Знание этих величин позволяет замкнуть систему уравнений газовой динамики, рассчитывать особенности поведения плазмы при взаимодействии с различными потоками энергии. Расширение границ применимости идеально газовых приближений связан с учетом взаимодействия между частицами плазмы. Успех теоретических исследований свойств плазмы в условиях, когда взаимодействие частиц не является малым обусловлен наличием экспериментальных данных, полученных как в физических так и численных экспериментах.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является теоретическое исследование влияния сильного межчастичного взаимодействия на термодинамические и переносные свойства плотной атомарной и атомарно-молекулярной плазмы с использованием развиваемых в работе аналитических методов, лежащих вне рамок традиционной теории возмущений. Создание на основе проведенных исследований комплекса широкодиапазонных методов расчета термодинамических функций, состава и кинетических коэффициентов плотной низкотемпературной плазмы различных элементов с учетом взаимодействия всех частиц плазмы. Аппробация предложенных методов на имеющихся результатах физических и численных экспериментов. Проведение расчетов термодинамических и переносных свойств плотной низкотемпературной плазмы для условий представляющих практический интерес. ДОСТИЖЕНИЕ ЭТИХ ЦЕЛЕЙ ПОТРЕБОВАЛО:

1. В методе исходных частиц учесть влияние кулоновского взаимодействия на термодинамические функции атомарной плазмы: с выходом за рамки полученных ранее методами теории возмущений результатов.

2. Для решения задачи о расчете состава неидеальной плазмы выполнить исследование распределения электронов по энергиям -плотности состояний, особенно промежуточной между свободными и связанными состояниями области, которая с ростом неидеальности испытывает наибольшие изменения. На основе

данного исследования развить традиционные способы расчета состава неидеальной плазмы.

3. Построить серию широкодиапазонных уравнений состояния для атомарной и атомарно-молекулярной плазмы различных элементов, описывающих в пределах их области применимости переход от конденсированной к ионизованной фазам вещества и учитывающих взаимодействие между всеми частицами плазмы.

4. Решить уравнение Больцмана для полностью ионизованной плазмы, с использованием короткодействующего потенциала взаимодействия между зарядами, так называемого muffin-tin потенциала, который можно рассматривать в качестве альтернативы дебаевскому потенциалу в той области параметров, где нарушаются основные предположения дебаевской теории.

5. Решить уравнение Больцмана для частично ионизованной плазмы и на этой основе выполнить исследование точности различных приближенных формул расчета проводимости плазмы на примере плазмы инертных газов.

6. На основе проведенных исследований провести сравнение с прямыми результатами экспериментов по измерению термодинамических и переносных характеристик неидеальной плазмы, уделяя главное внимание их одновременному сравнению. НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

1. Предложено новое каноническое преобразование для исследования систем, в которых происходят процессы диссоциации и ассоциации частиц. Это преобразование является обобщением канонического преобразования Н.Н. Боголюбова на случай конечных температур. Вариационным методом учтено влияние кулоновского взаимодействия на термодинамические функции атомарной плазмы с выходом за рамки ранее полученных вириальными методами результатов.

2. Получена плотность состояний электрона в атомарной плазме, описывающая непрерывный переход от связанных состояний к свободным. При этом предложен новый вариант группового разложения для функций распределения микропотенциала плазмы, особенностью которого является явное выделении взаимодействия пробной частицы с ближайшим соседом.

3. Впервые в теории атомарной плазмы рассмотрены корреляционные электрон-ионные пары с положительной энергией относительного движения. Предложена новая схема разделения

электронных состояний в плазме, на основе которой развиты модели, заметно расширяющие границы применимости традиционного дебаевского приближения.

4. Построена серия широкодиапазонных термодинамических потенциалов учитывающая все виды взаимодействия в низкотемпературной плазме. При этом для учета сильного взаимодействия между зарядами использовано представление об электрон-ионных парах, а для сильного взаимодействия между тяжелыми частицами -приближение Ван-дер-Ваальса ( притяжение между частицами учитывается в приближении второго вириального коэффициента, а отталкивание в приближении исключенного объема ). Уравнение состояния, полученное на основе таких термодинамических потенциалов аналитически описывает состояния вещества от конденсированного ( Ван-дер-Ваальсовская жидкость ) до плазменного.

5. На основе предложенных термодинамических потенциалов проведены массовые расчеты термического и калорического уравнения состояния плазмы инертных газов, щелочных и простых металлов. Проведено сопоставление с имеющимися экспериментальными данными.

6. Получено решение уравнения Больцмана в четвертом приближении Чепмена-Энскога для полностью ионизованной плазмы, в которой частицы взаимодействуют посредством короткодействующего кулоновского потенциала. На основе этого решения найдены электронные коэффициенты переноса.

7. С использованием несимметричной модификации метода Чепмена-Энскога численно решено уравнение Больцмана для частично ионизованной плазмы. Проведено исследование точности широко используемых приближенных формул для электропроводности плазмы с использованием реальных сечений рассеяния эле^ронов на атомах путем сопоставления расчетов по ним с результатами, полученными на основе решения уравнения Больцмана. Проведено сопоставление с имеющимися экспериментальными данными.

8. Выполнен расчет уравнения состояния состава и проводимости неидеальной плазмы паров воды с учетом кулоновской неидеальности в широком диапазоне параметров, где эти данные ранее отсутствовали.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

1. Каноническое преобразование предложенное в работе можно использовать при исследовании термодинамических и кинетических свойств систем, в которых возможно образование связанных состояний.

2. Развитый метод группового разложения функций распределения при явном выделении взаимодействия с ближайшим соседом можно использовать в теории уширения спектральных линий, теории растворов сильных электролитов, т.е. там, где приближение ближайшего соседа используется в качестве первого приближения.

3. Введенное представление об электрон-ионных парах с положительной энергией относительного движения может оказаться полезным в кинетической теории плазмы и газов для приближенного учета тройных столкновений.

4. Предложенные в работе различные варианты широкодиапазонных термодинамических потенциалов будут полезны при математическом моделировании процессов, протекающих в перспективных энергетических установках и для обработки экспериментальных данных.

5. Полученные в работе решения уравнения Больцмана для полностью и частично ионизованной плазмы позволят вести расчеты ее переносных характеристик с контролируемой точностью и могут служить основой приближенных методик.

6. Развитая методика и результаты расчета уравнения состояния, состава и электропроводности плазмы инертных газов,паров воды и металлов могут быть использованы для моделирования процессов, происходящих при электроразряде в воде и других конденсированных средах, взрыве металлических проволочек, при прохождении ударных волн и для других процессов, где происходит концентрация большой энергии в веществе.

АВТОР ВЫНОСИТ НА ЗАЩИТУ:

1. Каноническое преобразование для выделения связанных состояний из гамильтониана для исходных частиц. Уравнение состояния полученное вариационным методом с использованием канонического преобразования.

2. Групповое разложение функции распределения потенциала в плазме с явным выделением взаимодействия с ближайшим соседом. Полученную на основе этого приближения плотность состояний электрона в атомарной плазме, аналитически

описывающую переход от связанных состояний к свободным и рассчитанные на ее основе концентрации частиц в различных интервалах энергии.

3. Предложенную в работе модель новых квазичастиц -электрон-ионных пар с положительной энергией относительного движения.

4. Серию широкодиапазонных термодинамических потенциалов и полученных на их основе термических и калорических уравнений состояния, а также уравнений ионизационного равновесия, описывающих состояния вещества от конденсированного до плазменного.

5. Результаты расчета термодинамических функций и состава плазмы инертных газов, паров металлов, паров воды и сравнение расчетов с имеющимися экспериментальными данными.

6. Решение уравнения Больцмана для полностью и частично ионизованной неидеальной атомарной плазмы, а также основанные на этих решениях приближенные формулы для массовых расчетов.

7. Результаты расчетов проводимости плазмы инертных газов и плазмы паров воды в широком диапазоне внешних параметров и результаты сравнения этих расчетов с имеющимися экспериментальными данными.

АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на: Всесоюзной конференции по свойствам веществ при высоких температурах (Одесса,1971); III,IV,VII,VIII Всесоюзных конференциях по физике низкотемпературной плазмы (Москва, 1971; Киев, 1975; Ташкент, 1987; Минск, 1991); Всероссийской конференции по физике низкотемпературной плазмы (Петрозаводск, 1995); XIV и XX Международных конференциях по явлениям в ионизованных газах ICPIG (Минск,1981; Пиза,1991); III,IV Всесоюзных научно-технических конференциях по электрическому разряду в жидкостях и его применению в промышленности; Всесоюзных школах "Физика импульсных процессов в конденсированных средах" в период 1982-1995 гг.; сессиях по физике неидеальной плазмы- Научного совета РАН "Физика низкотемпературной плазмы" в период 1985-1994 гг.(Москва).

ПУБЛИКАЦИИ. Список публикаций содержит 55 работ. По материалам диссертации опубликовано 40 печатных работ, автор принял участие в подготовке монографии "Transport and optical properties of nonideal plasmas", New-York, Plenum Press, 1995.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, литературного обзора, шести глав, содержащих оригинальные результаты и заключения, содержит 321 страницу машинописного текста, включает 45 рисунков, 13 таблиц и 210 наименований литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, определены основные направления и цель исследования, сформулированы результаты, отражающие новизну и практическую ценность работы, перечислены основные положения, которые автор выносит на защиту, кратко излагается структура и содержание диссертации.

В первой главе содержится литературный обзор, в котором обсуждаются основные теоретические и экспериментальные работы по термодинамике и кинетическим коэффициентам неидеальной низкотемпературной плазмы, выполненные как к началу настоящей работы так и в процессе ее выполнения.

Во второй главе, посвященной расчету термодинамических функций атомарной плазмы вариационным способом, предлагается новый для плазмы теоретический метод исследования - метод канонического преобразования Боголюбова H.H., который ранее был использован в теории сверхпроводимости для описания образования куперовских пар, а также в теории полупроводников для описания бозе-конденсации зкситонов.

Нами было обращено внимание на аналогию рассмотренных явлений с процессом образования атомов в плазме. Действительно, спаренные электроны и ионы, образующие атомы, можно рассматривать как некоторое состояние взаимодействующих зарядов, обладающее свойствами, близкими к идеальному бозе-газу. Однако, поскольку температура велика, он не находится в конденсатном состоянии и средние числа заполнения не являются макроскопически большими. Последнее обстоятельство не позволяет заменить операторы: рождения атомов на с - числа. Необходимо обобщение канонического преобразования Боголюбова на случай конечных температур.

Рассмотрение ведется в представлении вторичного квантования для системы взаимодействующих ферми-частиц разного сорта с гамильтонианом:

v vaxo'V

v,co- индексы, характеризующие в общем случае импульс, спин и сорт фермиона; щ-химический потенциал, определяемый из условия = N для фермионов каждого сорта (N-число

фермионов определенного сорта), V- энергия взаимодействия пары частиц, матричный элемент (^{К^/г') удовлетворяет обычным условиям симметрии и эрмитовости. В дальнейшем предполагается, что V допускает образование связанных состояний ферми-частиц различного сорта.

Для выделения парных связанных состояний фермионов предлагается каноническое преобразование следующего вида:

s = eF = ехр{£ <ь,0"О/«[ев«>: - «»«vG;]i» (2)

L a v<o J

где av- фермиевский оператор; Qa - бозевский оператор; /а-произвольная вещественная функция; <pa(va>) -ортонормированная система собственных функций, удовлетворяющая уравнению Шредингера для двух фермионов v и со, взаимодействующих через потенциал V

Старые операторы а,выражаются через новые сц,, по соотношению:

Предложенное каноническое преобразование гамильтониана системы электронов и ионов приводит к гамильтониану, который описывает взаимодействующую смесь электронов, ионов и атомов, и в этом смысле соответствует трехкомпонентной модели. Когда взаимодействие между фермионами и бозонами мало, преобразованный гамильтониан можно записать в виде:

SHS+ =YÍE*^ L+т* + (4)

(vrajFjíuVj -Та) sin2 fa<pa{vco)<pJ^(d)

olmjx a. -

® 03 V

Первое слагаемое описывает идеальный газ атомов, второе идеальный газ электронов и ионов, третье соответствует взаимодействию зарядов с новым потенциалом взаимодействия. Последующие слагаемые описывают взаимодействия более высоких порядков. Оказывается, что взаимодействие между

с

aval

"свободными" электронами и ионами отличается от кулоновского и в наибольшей степени это проявляется на малых расстояниях.

Наличие в каноническом преобразовании свободных параметров позволяет использовать вариационный метод расчета термодинамических функций. В качестве вариационного параметра выбирается энергия е=Е/Т последнего связанного уровня, выделенного в идеальную подсистему атомов. При расчете термодинамического потенциала выбрана традиционная схема учета взаимодействия между заряженными частицами: суммирование лестничных диаграмм с новым потенциалом взаимодействия и одновременная коррекция первых лестничных диаграмм с помощью суммирования кольцевых диаграмм. Отличительной особенностью нашей схемы является учет не кулоновской добавки в потенциале взаимодействия разноименных зарядов в приближении Хартри (среднего поля) при расчете функций Грина для электронов и ионов. В результате полученные выражения оказываются зависящими от свободного параметра, который определяется из условия минимума термодинамического потенциала. Тем самым учитывается влияние на дебаевскую энергию изменения электрон-ионного потенциала на малых расстояниях. В методе исходных частиц усилиями многих авторов и в первую очередь Веденова А.А., Ларкина А.И., В.Эбелинга и Ю.Г.Красникова (ВЛЭК) получены первые члены разложения термодинамических функций атомарной водородной плазмы по степеням активности % до членов вида г5/2, г21пг, учитывающие кулоновское взаимодействие.

Окончательный результат для термодинамического потенциала О представлен нами в традиционном виде, только дебаевский член умножается на некоторую поправочную функцию, которая с ростом плотности уменьшает его.

- = + г, + + г,у\{г') + пл, (5)

где Р=1/Т, - активности электронов и ионов, Хе тепловая длина волны электрона, ^(г')- поправочная функция к дебаевскому члену, график которой приведен на рис.1.

В тех же приближениях получено выражение для полной концентрации частиц (электронов, ионов):

и = 2, + + • (6)

Из графика видно, что поправочная функция уменьшает дебаевский член при больших плотностях. Физически это уменьшение связано с тем, что электроны, кинетическая энергия которых меньше или порядка средней энергии взаимодействия, с большой вероятностью захватываются ионами и образуют атомы. Тем самым они не участвуют в дебаевском экранировании. С ростом плотности доля таких электронов растет.

Вариационный метод расчета не является регулярным, поэтому для проверки полученных результатов проведено сопоставление с данными численных экспериментов по расчету термодинамических функций некоторых "модельных" кулоновских систем в области существенной кулоновской неидеальности.

Проведенное в главе II исследование влияния кулоновского взаимодействия на термодинамику неидеальной плазмы позволяет сделать вывод, что термодинамические результаты (ВЛЭК) полученные в методе исходных частиц имеют достаточно широкую область применимости по кулоновскому взаимодействию.

Поэтому в третьей главе посвященной плотности электронных состояний, приближению ближайшего соседа и электрон-ионным парам в атомарной плазме мы переходим к рассмотрению проблемы расчета равновесного состава плазмы -следующей по важности характеристики плазмы.

Большинство существующих методик расчета состава плазмы основаны на "связанно-свободной" модели, основным недостатком которой является расходимость статсуммы атома и отсутствие связи между расчетом последней и учетом взаимодействия в непрерывном спектре. Кроме того, возникающая при последовательном подходе в большом каноническом ансамбле статистическая сумма Планка-Ларкина:

2п*(е-Ч'-1 + />Бя) (?)

п= I

формально учитывает вклад связанных состояний с энергиями связи большими температуры, что вообще говоря не соответствует эксперименту. Известно, что этот результат является следствием компенсации вкладов высоко возбужденных атомов и вкладов состояний непрерывного спектра электронов и ионов, каждый из которых расходится. Для уточнения и развития традиционной трехкомпоненгной модели атомарной плазмы необходима более детальная информация о вкладе различных состояний электронного спектра в термодинамические и другие характеристики плазмы.

Такая информация содержится в функциях распределения микропотенциала плазмы р{и) и одночастичной плотности состояний электрона g(£). Исследованию последних и посвящены первые параграфы главы III. В большом каноническом ансамбле функция р(и) определяется следующим образом:

05 7n , ( ы \ (8) n-iV^1 Глп А .. VWA

«w-Jiä^

р-ръ»

I их \rLSI И — / г г инг

ЛП J [

В (8) Н"1-большая статистическая сумма, ¿Г„ -элемент конфигурационного пространства системы, Фк -энергия взаимодействия частиц.

Через р(у) выражается плотность состояний:

2 т>

Оказывается, что прямой расчет функции распределения микропотенциала, плотности электронных состояний, приводит к расходимости в области малых энергий. Эта расходимость, однако, является интегрируемой и приводит к конечным результатам в термодинамике. Для устранения этой расходимости нами предложена иная, более детальная схема учета взаимодействия, в основу которой положено приближение ближайшего соседа (ПБС): предлагается сначала учитывать взаимодействие пробной частицы со своим ближайшим соседом, а затем взаимодействие образованной таким образом пары с самосогласованным полем всех остальных частиц.

Для р(и) вводится характеристическая функция Х(г):

1 - «5>(0 (10)

для которой, после выделения потенциала ближайшего соседа, получено следующее представление:

ехр(* ^(Л, ))5, (/, Н,). (11 >

Для расчета статистический средних с явным выделением взаимодействия с ближайшим соседом развит метод групповых разложений, который позволил регулярным образом получить разложение по степеням активности для 1п

£,((,/?,)= exp

В результате для р(ы) получено следующее представление:

00 (13)

р(и) = z JdR F(ä) jdu'ö(и - + и') рх(гг') ,

2

Под знаком 6-функции W- потенциал ближайшей частицы, и' -потенциал частиц, находящихся дальше ближайшей. F(Rj-вероятность ближайшего соседа, функция P(t,R) характеризует потенциал наведенный окружающими частицами и его дисперсию.

Развитый метод использован для расчета функции распределения микропотенциала и плотности состояний, при этом, дополнительно к взаимодействию с ближайшим соседом, взаимодействие с остальными частицами учтено в кольцевом приближении. В результате для функций F(R) и P(t,R) получены следующие выражения:

P{t,R) = ±it егк / (1+kR)- i1 ег к/2(1 + *Я),

(14)

(15)

к2 = %жРегг, а = Ре2к .

Окончательное выражение для плотности электронных состояний является достаточно громоздким и в дальнейшем рассчитывалось численно. Основным результатом является конечность как полной плотности состояний, так и ее отдельных слагаемых, связанных с электрон-ионным, электрон-электронным и ион-ионным .взаимодействием. Результирующая плотность состояний всюду конечна и описывает переход от связанных состояний к свободным. Безразмерная плотность электронных состояний, нормированная при положительных энергиях на зависимость 4е, где е—ЕУТ показана на рис.2. При больших отрицательных и больших положительных энергиях плотность состояний переходит соответственно в водородную зависимость и в известную ранее зависимость для свободных электронов, находящихся во флуктуирующем поле окружающих частиц.

Полученная плотность состояний при малых энергиях конечна, линейно зависит от энергии и с уменьшением параметра неидеальности стремиться к нулю.

Г(%)л/3е] (16)

>~ 2-3^ [ 2Г(^| .

В работе показано, что термодинамические функции, вычисленные на основе полученной плотности состояний, в соответствующих пределах по плотности совпадают с таковыми, полученными прямыми методами.

В области отрицательных энергий плотность состояний определяется взаимодействием электрона с ближайшим ионом. В области положительных энергий, где традиционно спектр электрона считается свободным, плотность состояний формируется за счет взаимодействий электрона с ближайшим зарядом и самосогласованным полем далеких частиц. На основе полученных в главе результатов предложена новая схема разделения электронных состояний в плазме, учитывающая электрон-ионные корреляции в непрерывном спектре. Различаются две основные группы состояний: электрон-ионные пары, возникающие при взаимодействии электрона с ближайшим ионом, причем как с отрицательной, так и с положительной энергией относительного движения и свободные. Предложенный способ деления электронных состояний приводит к конечным значениям равновесных концентраций электронов в любом интервале энергий. Предлагаются различные способы деления всей совокупности ЭИ-пар на группы. Неоднозначность такого деления связана с неопределенностью размера пары. В первом варианте предлагается разбиение ЭИ-пар на 4 группы: атомы (А), возбужденные атомы (ВА), квазисвязанные состояния (КС) и столкновительные комплексы (СК). Две последние группы являются новыми и ранее в теории атомарной плазмы не рассматривались. В заключение получены формулы для равновесных концентраций А, ВА, КС, СК и свободных электронов.

" 2 а I 4Г(1/б) а5"1 (1?)

Зл/з \5-Лггщ

п.. +и„

п ="„ ,+Пгг+Пп

Г(2/3)аУЗ , Г(1/3)

(18)

-ГГ1* т--Г *

_ 2 • 3 4-32Д

Введение понятий о квазисвязанных состояниях и столкновительных комплексах, в определенной мере, снимает

традиционные трудности при расчете состава плазмы. Действительно, теперь можно вычислить равновесные концентрации электрон-ионных пар в любом интервале их относительной энергии, т.к. плотность их внутренних состояний всюду конечная величина. Можно говорить о продолжении понятия атома в непрерывный спектр. Тем самым оказывается, что и в полностью ионизованной (или заряженной компоненте частично - ионизованной) плазме имеется своеобразное ионизационное равновесие между свободными электронами и КС,

В четвертой главе, посвященной развитию химической модели атомарной плазмы, строится серия широкодиапазонных модельных термодинамических функций для неидеальной атомарной плазмы, в которой учитываются все виды взаимодействия в различных приближениях. В первом параграфе для плазмы с сильным кулоновским взаимодействием предлагается в явном виде учитывать наличие электрон-ионных пар как дополнительную нейтральную компоненту. Тем самым взаимодействие двух разноименных зарядов на малых расстояниях учитывается в парном приближении (аналогично учету взаимодействия зарядов в атомах), а не в линейном приближении, характерном для дебаевской теории. Кроме того эта нейтральная компонента замедляет уменьшение дебаевского радиуса с ростом плотности и тем самым расширяет границы применимости традиционной дебаевской теории.

Для проверки предложенной модели мы обратились к результатам расчетов методом Монте-Карло термодинамических функций модельной кулоновской системы выполненных Зеленером Б.В.. Норманом Г.Э. и Филиновым B.C. (ЗНФ). В этой системе одноименные заряды взаимодействуют по кулоновскому потенциалу, взаимодействие же разноименных описывается потенциалом:

Для такой системы при е=2 и 4 выполнены подробные численные расчеты термодинамических и корреляционных функций методом Монте-Карло в широком диапазоне изменения параметра неидеальности Гс вплоть до Гд <7.

В модели Зеленера-Нормана-Филинова отсутствуют атомы в традиционном понимании и эта модель фактически описывает

СК.

(19)

заряженную компоненту атомарной плазмы. Применяя к описанию свойств такой модели представления об электрон-ионных парах мы предполагаем, что состояние такой системы представляет собой смесь электрон-ионных пар с концентрацией пр и свободных зарядов с концентрациями пе , п^ В результате свободную энергию смеси можно представить в следующем виде:

еу рУ еЪ

Б = я, 1п—'т

»А, пЛ по1о

(20)

Слагаемые в фигурных скобках соответствуют идеальным газам электронов, ионов и пар, с соответствующими статистическими суммами Е;, Хр и длинами волн Де-Бройля Хе, Я^ Яр. Последнее слагаемое описывает взаимодействие свободных зарядов. Взаимодействие пара-пара и заряд-пара предполагаются малыми. К электрон-ионным парам мы относим все состояния, имеющие энергию относительного движения большую -еТ и размер меньший некоторого г0. В результате для статистической суммы пар имеем:

¿рс!г

гехр -

— + к00 2т 4 '

(21)

£1: - еТ < — +К(г)<«, г <г0 2т

Поправка на взаимодействие между свободными зарядами вычисляется методом корреляционных функций с учетом того, что взаимодействие между электроном и ионом уже учтено в статистической сумме пар. Дополняя обычные термодинамические соотношения условием ионизационного равновесия и условием минимума свободной энергии по отношению к вариациям размера пары г0 получим в безразмерных параметрах необходимые соотношения:

з[2-(2+2^>-*]1 (22)

Л^орр =

Ев з

Гй = Рег /Гд, 8 = га/г0, г02 = 8л/3егпе

Расчет средней потенциальной энергии зарядов и результаты ЗНФ представлены на рис. 3. Проведенное сравнение показывает, что предложенная модель уверенно фиксирует отклонения от дебаевской теории, полученные в численных расчетах. Далее выполнено обобщение предложенной модели для атомарной плазмы: дополнительно к традиционно рассматриваемым

2

свободным электронам, ионам и атомам рассматриваются электрон-ионные пары, при этом к атомам относятся состояния с энергиями связи меньшими некоторой величины -еТ. Выбор параметра £ по сути определяется той областью состояний, где необходимо квантовое рассмотрение, а поскольку в кулоновском потенциале квазиклассика применима практически до основного состояния, то выбор граничной энергии будет определяться скорее удобством дальнейших расчетов. Как правило, мы будем использовать е=1, что фактически соответствует статсумме Планка-Ларкина. Электрон-ионные пары при этом представляют собой классические состояния, внутри которых частицы взаимодействуют по закону Кулона. Полная энергия электрона в паре лежит в пределах: -еГ<р2 /(2ш)-е2 /Кто, и ее размеры не превышают величины г0, которая была определена выше. Взаимодействие между ионами и электронами при г>т0 описывается в рамках дебаевской теории.

На рис. 4 показано поведение снижения потенциала ионизации в рамках предложенной модели. Учет электрон-ионных пар приводит к существенному уменьшению влияния неидеальности на ионизационное равновесие в атомарной плазме.

В следующем параграфе для учета взаимодействия между тяжелыми частицами в плазме предложена экстраполяционная процедура учета сильного межчастичного отталкивания, аналогичная используемой в модели Ван-дер-Ваальса для плотных газов и жидкости. Вернемся вновь к рассмотрению атомарной плазмы, состоящей из N3 атомов и Ие = ^ электронов.

На первом этапе рассматривается свободная энергия атомарной плазмы, в которой взаимодействие с участием атомов записано в вириальном приближении:

1231

Г-а.) ,

где АРкорр -добавка к свободной энергии, связанная с взаимодействием между зарядами, а для вторых вириальных коэффициентов использовано традиционное представление: В(Т) = Ъ-а/Т, где Ь и а - коэффициенты Ван-дер-Ваальса, характеризующие эффективное двухчастичное притяжение (а) и эффективное двухчастичное отталкивание (Ь) для соответствующих видов взаимодействия, тип которых определяется индексами у этих

з

коэффициентов. В дальнейшем для АР,,,, мы будем использовать различные приближения, в частности известное дебаевское:

Группируя соответствующим образом отталкивательные слагаемые в (23) получим, используя экстраполяционную процедуру

= \My-Nb), выражение д\я свободной энергии частично ионизованной плазмы в приближении Ван-дер-Ваальса:

^„(У-М^-Н^-Ы^)) ^ _ (25)

МЛ I *°РР

1 ' »Л I 1 "А

Полученное выражение для свободной энергии плазмы в приближении Ван-дер-Ваальса имеет прозрачный физический смысл. Исключенный объем для атомарной компоненты формируется за счет отталкивания атома от всех частиц плазмы. Соответственно исключенный объем для ионной и -электронной компонент определяется их взаимодействием с атомарной компонентой. Притяжение между тяжелыми компонентами учтено в вириальном приближении, а взаимодействие между зарядами в дебаевском. Данное уравнение описывает состояния плазмы от жидкого до плазменного. Действительно, если степень ионизации мала, то останется лишь первое слагаемое в (25) и член, описывающий притяжение между атомами, что полностью соответствует классическому уравнению Ван-дер-Ваальса. При высоких температурах и достаточно низких давлениях можно пренебречь всеми слагаемыми с взаимодействиями и мы приходим к традиционной трехкомпонентной модели. Полученное выражение для свободной энергии позволяет вычислить все термодинамические функции и записать уравнение состояния и ионизационного равновесия в плазме.

Полученные формулы показывают, что влияние межчастичных взаимодействий на термодинамические функции и состав плазмы достаточно сложное. Отталкивание частиц от плазмы в целом ведет к дополнительному снижению потенциала ионизации, в чем можно убедится, рассматривая простейший замкнутый цикл Борна для. ионизации атома. Вместе с тем, наличие исключенного объема в выражении д\я давления и других термодинамических функций приводит к уменьшению полного

числа частиц, в том числе и электронов, так как для установления того или иного давления требуется меньшее число частиц. Последнее обстоятельство приводит к увеличению удельного объема плазмы при заданных внешних параметрах по сравнению с таковым для идеального газа. Притяжение же зарядов наоборот требует большего по сравнению с идеально газовым числа частиц и приводит к уменьшению удельного объема. Конкуренция указанных эффектов подробно исследована в последующих параграфах. Отметим также, что слагаемые ответственные за притяжение тяжелых* частиц оказываются малыми для плазмы инертных газов, но могуг оказаться весьма значительными для плазмы паров металлов при определенных условиях.

Полученные в предыдущем параграфе соотношения носят общий характер. Для выполнения конкретных численных расчетов термодинамических параметров неидеальной плазмы какого-либо химического элемента необходимо знать потенциалы межчастичного взаимодействия. Поскольку в плазме имеет место взаимодействие между различными сортами частиц, необходимо вычислить коэффициенты Ван-дер-Ваальса Ь и а для всех возможных видов этих взаимодействий. В рамках нашей модели расчет коэффициентов Ван-дер-Ваальса сводится к вычислению второго вириального коэффициента В(Т).

При вычислении коэффициентов Ь и а для взаимодействий нейтрал-нейтрал и заряд-нейтрал можно использовать различные потенциалы. Наиболее часто используется потенциал Леннарда-Джонса (12,6), (12,4), который характеризуется параметрами: е, тт и а - энергетической глубиной потенциальной ямы, точкой минимума потенциала и расстоянием между частицами при нулевом значении потенциала соответственно. В работе анализируются различные способы разбиения В(Т) на отталкивательную и притягивательную части. Большинство из них для потенциалов типа Леннарда-Джонса в первом приближении имеют одинаковую зависимость от характерных параметров потенциала о и е:

Ь = Ь0; а = СЬ0е, (26)

где:

Коэффициенты Ь и а могут быть вычислены и для других

типов потенциалов. Например, в плазме паров металлов мы

проанализировали влияние выбора потенциала межатомного взаимодействия на термодинамические функции используя в качестве альтернативного потенциал Морзе. Важно подчеркнуть, что выбранная нами схема позволяет использовать различные потенциалы межчастичного взаимодействия и различные представления для коэффициентов Ван-дер-Ваальса. Взаимодействие электрона с атомом, как правило, не описывается потенциалом типа Леннарда-Джонса, хотя на достаточно больших расстояниях от атома совпадает с таковым для ион-атомного потенциала. На малых расстояниях следует использовать квантовомеханический подход к расчету второго вириального коэффициента. Поскольку далее мы рассматриваем в основном плазму при достаточно высоких температурах, когда квантовые эффекты на малых расстояниях малы, мы будем полагать Ьае =0 ,а для вклада притяжения использовать приближение: аае = аа, .

В следующем параграфе нами выполнено объединение обеих моделей: электрон-ионных пар для учета сильного кулоновского взаимодействия и приближения Ван-дер-Ваальса для взаимодействия тяжелых частиц. Используя известные термодинамические соотношения находятся все необходимые термодинамические функции: энтальпия Н, внутренняя энергия Е, давление Р и т.д. Эти соотношения дополняются уравнениями ионизационного равновесия и уравнением для определения радиуса пары.

Из полученных соотношений следует, что в рамках модели Ван-дер-Ваальса и электрон-ионных пар состояние плазмы, вообще говоря, уже не характеризуется только одним плазменным параметром Гс =е2 /(rD 7). Начинают играть важную роль другие параметры взаимодействия вида nabaa и паЪш. Эти параметры всегда должны быть меньше единицы, так как иначе мы приходим к нефизическому результату, когда объем системы окажется меньше исключенного объема. Предельным значением параметра nb можно считать величину 0.7, соответствующую параметру плотной упаковки. С учетом этого обстоятельства величина исключенного объема -0.3 может считаться большой, хотя с точки зрения вириального разложения это величина малая. С увеличением концентрации частиц в плазме растет и ее ван-дер-ваальсовская неидеальность, но рост кулоновской неидеальности несколько ослабляется по сравнению с классической дебаевской плазмой. Это связано с тем, что сильное межчастичное отталкивание замедляет рост концентрации всех частиц плазмы при фиксированном

давлении или удельном объеме плазмы, что приводит, как уже отмечалось, к ослаблению кулоновских корреляций в плазме.

Далее в диссертации проведены массовые расчеты термодинамических функций плазмы инертных газов. Расчеты проводились как в области, где отсутствуют экспериментальные данные так и в области, где они имеются. Для аргона, например, развитая нами модель на изотерме 20000К позволяла вести расчеты удельного объема до давлений «106атм. в то время как традиционное дебаевское приближение теряло устойчивость при давлениях «104атм. При сравнении с экспериментом нами рассмотрены известные данные Грязнова В.К., Жерноклетова М.В., Зубарева В.Н., Иосилевского И.Л., Фортова В.Е. для плазмы аргона и ксенона. Результаты расчета сведены в таблицы, которые занимают в диссертации 23 страницы. Расчеты велись по различным термодинамическим моделям: идеального газа, дебаевском приближении для атомарной плазмы в рамках химической модели и большом каноническом ансамбле, приближении Ван-дер-Ваальса с учетом и без учета электрон-ионных пар. Сравнение расчетных и экспериментальных данных показывает их удовлетворительное согласие при давлениях Р<5 103 атм. При больших давлениях наблюдается систематическое отклонение расчетов по рассмотренным нами моделям от экспериментальных данных. Дебаевская теория дает систематически заниженный удельный объем, а модели с учетом исключенного объема завышенный. Тоже самое можно сказать и о расчетной температуре плазмы при обработке данных по термическому уравнению состояния.

Нами была проведена работа по коррекции исключенного объема тяжелых частиц на основе экспериментальных данных для инертных газов.

Эта коррекция практически не меняет данные по каллорическому уравнению состояния, но заметно улучшает согласие с экспериментом расчетной температуры для термического уравнения состояния. На рис.5 представлены расчетные и экспериментальные изоэнтальпы плазмы аргона.

Пятая глава посвящена развитию химической модели для неидеальной атомарной-молекулярной плазмы.

Применительно к плазме паров металлов и плазме паров воды построены термодинамические функции, учитывающие наличие различных молекулярных компонент и взаимодействие между

частицами плазмы. Выполнены массовые расчеты уравнения состояния и состава плазмы в широком диапазоне условий.

Сложный состав рассматриваемой плазмы и связанные с этим расчетные сложности определяют набор и способ учета различных видов взаимодействия. Он различен применительно к плазме паров металлов и плазме воды.

Так, при исследовании плазмы паров металлов, включая в рассмотрение молекулярные компоненты и учитывая взаимодействие между всеми частицами плазмы, мы несколько упростили схему учета кулоновских взаимодействий. Мы на данном этапе исследования не вводим в номенклатуру плазменных компонент электрон - ионные пары, но при расчете дебаевской поправки приняли во внимание конечность ионных размеров и слабое вырождение электронов, что обусловлено достаточно низкими температурами существования такой плазмы.

При исследовании свойств плазмы паров воды мы существенно расширили номенклатуру компонент, рассмотрев практически все существенные фрагменты распада молекулы воды и молекулярные ионы. При учете неидеальности при этом мы ограничились учетом лишь кулоновских взаимодействий в БД-приближении.

Первые три параграфа посвящены плазме паров металлов. Рассмотрение ведется в достаточно общем виде. Рассматривается неидеальная многокомпонентная частично ионизованная система взаимодействующих частиц: молекул, атомов, молекулярных и атомных ионов и электронов (атомарно-молекулярная плазма), вообще говоря содержащая т сортов частиц. Поправки к термодинамическим функциям, обусловленные взаимодействием свободных заряженных частиц, вычисляются в дебаевском приближении, при этом, однако, учитывается, что атомные и молекулярные ионы всех сортов (за исключением ионов водорода и электронов) не являются точечными частицами. Такой подход позволяет приближенно учесть влияние внутренних электронных оболочек ионов на равновесные свойства плазмы. В результате используется следующая поправка к свободной энергии:

Е "л2 1>аЧ

т

(28)

т

М М Гш \3/2

(И

В (28) суммирование формально производится по всем сортам частиц, поскольку для нейтральных частиц зарядовое число для нейтралов г, = 0.

Взаимодействия всех сортов нейтральных частиц между собой, а также нейтральных частиц с заряженными учитывается в приближении Ван-дер-Ваальса, подробно обсуждавшегося в предыдущей главе. В качестве модельного потенциала взаимодействий, в которых участвуют нейтральные частицы выбран потенциал Леннарда-Джонса. Взаимодействие электронов с атомами и молекулами вычисляется в поляризационном приближении. Электронная компонента плазмы предполагается частично вырожденной. Окончательно, свободная энергия неидеальной многокомпонентной атомарно-молекулярной плазмы имеет вид:

]£" "Л

^ rtt 1 (29)

1 I--1 >i 2-

2 к орр|

1-2>А

Первое слагаемое в (29) соответствует идеально-газовой части свободной энергии с учетом исключенного объема, следующий член описывает ван-дер-ваальсово пригяжение, далее следует слагаемое, учитывающее вырождение электронной компоненты плазмы и последний член характеризует вклад в свободную энергию от взаимодействия свободных заряженных частиц.

Далее в работе обсуждается процедура расчета статистических сумм всех частиц, учитываемых нами. Затем на основе известных термодинамических соотношений получены основные термодинамические функции плазмы: энтальпия Н, внутренняя энергия Е, давление Р и т.д. Термодинамическая модель многокомпонентной плазмы замыкается уравнениями ионизационного и химического равновесия, позволяющими определить компонентный состав плазмы.

В рамках развитой выше термодинамической модели был выполнен расчет равновесных характеристик плазмы для случаев термического и калорического уравнения состояния. Результаты расчета параметров плазмы цезия в рамках калорического уравнения состояния сравниваются с экспериментальными данными Бушмана A.B., Ломакина Б.Н., Сеченова В.А., Фортова В.Е., Щекотова O.E., и Шарипджанова И.И. Согласие расчетных и экспериментальных данных как по удельному объему, так и по температуре является достаточно удовлетворительным. При

небольших значениях параметра кулоновской неидеальности Го <1 среднее по всему массиву точек отклонение расчетных значений удельного объема от экспериментальных составляет »2,4%, для температуры Т »1,5% соответственно, что лежит в пределах погрешности экспериментальных измерений. При больших значениях Гс расхождение с экспериментом достигает 10-20 %, что указывает на необходимость уточнения способа учета кулоновского взаимодействия.

В модели термического уравнения состояния по заданным давлению Р и температуре Т вычислялись энтальпия и удельный объем V, либо плотность плазмы. Результаты расчетов для плазмы лития и плазмы натрия сравниваются с расчетом A.M. Семенова выполненных методом групповых разложений в рамках теории исходных атомов в приближении четырехчастичных взаимодействий. В области давлений Р»20 атм результаты наших расчетов практически совпадают с данными A.M. Семенова, которые в свою очередь наилучшим образом объясняют экспериментальные данные Stone J.R. по термодинамическим свойствам пара натрия при низких температурах

На рис 6. представлены изобары натрия для давлений 5 и 20 атм в интервале температур Т= (1-^-3)103К, вычисленные по различным моделям, а также экспериментальные данные. Учет молекул и молекулярных ионов и взаимодействия последних с окружающими частицами плазмы заметно улучшает согласие с экспериментом по сравнению с нашими результатами в приближении атомарной плазмы (кривая 1).

В рамках разработанной модели был проведен расчет параметров плазмы ряда металлов (Li, Na, К, Cs, Al, Си, Mg, Са) в широком диапазоне изменения температур Т = (1+50) 103К и давлений Р= 1-И03атм.

На основе массовых расчетов термодинамических свойств плазмы паров металлов в работе анализируются причины потери системой термодинамической устойчивости, в том числе и в окрестности критической точки..

В последних двух параграфах рассматривается плазма паров воды. Для условий, характерных для плазмы подводных разрядов, впервые рассмотрена многокомпонентная плазма паров воды с развитой кулоновской неидеальностью. Для учета последней используются соотношения, полученные в методе исходных частиц. Рассчитано уравнение состояния, состав и электропроводность

плазмы в диапазоне температур Т от 1000К до 50000К и давлений Р до 40000 атм. Рассмотрены также термодинамические свойства смеси плазмы паров воды и некоторых металлов. При расчете уравнения состояния и состава учтено 11 атомарных и молекулярных компонент, что позволило впервые в рамках единых соотношений выполнить расчеты в достаточно широком диапазоне внешних параметров.

Характерная картина состава плазмы паров воды для давления 1000 атм, представлена на Рис.7.

В последнем параграфе обсуждаются некоторые проблемы расчета электропроводности водяной плазмы, при этом используется рассчитанный нами состав. Развитая нами методика расчета уравнения состояния и электропроводности водяной плазмы нашли применение в Проектно-конструкторском бюро электрогидравлики (г. Николаев) при моделировании работы и конструировании широкого класса установок, использующих подводные разряды.

В шестой главе, посвященной кинетическим коэффициентам полностью ионизованной неидеальной плазмы, в четвертом приближении Чепмена-Энскога решено уравнение Больцмана и найдены значения электронных коэффициентов переноса для плазмы, находящейся в условиях, когда нарушены основные предположения дебаевской теории. Для этого в начале главы рассмотрен короткодействующий кулоновский потенциал, совпадающий с последним на расстояниях меньших среднего межчастичного и равный константе для больших расстояний. Такой потенциал, известный в теории твердого тела как muffin-tin (МТ)-потенциал, можно рассматривать как альтернативный дебаевскому в той области параметров, где дебаевский радиус становится меньше среднего межчастичного.

В работе показано, что использование такого потенциала эквивалентно рассмотрению задачи рассеяния электрона внутри ячейки радиуса гср = (3/4яП|)1/3. Найдены дифференциальное и транспортные сечения рассеяния для этого потенциала, необходимые для реализации процедуры Чепмена-Энскога. Проанализирована чувствительность полученных сечений к вариациям радиуса ячейки.

В постоянном поле Е кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения электронов в стационарном состоянии записывается в виде:

t=s ЯДf.{r;HV)-rtr№hbdbdKdv> ■

(30)

дг т1

Уравнение (30) является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением относительно функции распределения /е Это уравнение не может быть решено в общем виде. Когда функция распределения /е слабо отличается от равновесной, используется метод Чепмена и Энскога.

Согласно этому методу, решение кинетического уравнения (30) ищется в виде:

(31)

где:

<2яТ) еХР1 2Т .

Ф,(к) -вектор возмущения, пропорциональный полю Е и градиентам температуры и концентрации. Вектор возмущения разлагается в ряд по полиномам Сонина порядка 3/2:

. 1321

Неизвестные векторы Р' определяются из линеаризованного уравнения:

: = ехр| -!-функция распределения Максвелла,

д\пп,Т еЕ

Я Г/ где 5т - символ Кроннекера,

2

<71п Т <Эг

L' =-

2_ щ п. 2 Т

V'S

2 Т

321 mtV;1 \ у ^з/зГ

2 Т

(33)

(34)

2 Г

2 Г

dKdVtdV,d<p

В работе получены выражения для коэффициентов L'm, необходимые для решения кинетического уравнения в четвертом приближении по полиномам Сонина. При этом не делаются упрощающие предположения относительно зависимости транспортных сечений рассеяния зарядов от угла рассеяния и относительной скорости.

Результаты расчета приведенной проводимости полностью ионизованной плазмы представлены на Рис.8, где изображена зависимость безразмерной ст* = ае/ст0 от параметра неидеальности плазмы Г0 для muffin-tin потенциала (кривая 2), где ст0 =

0,591(кАт/фп^е2). Для сравнения приведены расчеты по формуле Спитцера (кривая 1). На Рис.8 также схематично представлена кулоновская составляющая проводимости плазмы инертных газов выделенная из экспериментально измеренной.

Видно, что использование в качестве модельного МТ-потенциала при вычислении проводимости полностью ионизованной плазмы позволяет получить регулярную, не содержащую расходимостей, зависимость а от Гс. При вычислении о для полностью ионизованной плазмы нами было использовано приближение [4x4], при этом погрешность, связанная с пренебрежением слагаемыми высших порядков составляет менее 0,5%.

Довольно часто, для расчета проводимости полностью ионизованной плазмы, использовав формулу Лоренца, учитывающую столкновения с ионами, умножают ее на спигцеровский множитель у, учитывающий электрон-электронные столкновения. Для однократно ионизованной плазмы в спитцеровском приближении величина 7 = 0,582. Величина у определяется как отношение проводимосгей, рассчитанных путем решения уравнения Больцмана с учетом и без учета электрон-электронных столкновений. В модели, использующей МТ-потенциал, нами получен аналог спигцеровского множителя. Выполненные расчеты показали, что отношение проводимостей с учетом и без учета электрон-электронных столкновений в (МТ)-приближении слабо зависит от параметра неидеальности Гс. В достаточно широкой области параметра Гп= [0*3] это отношение с хорошей точностью остается постоянным и равным у = 0,71.

В последнем параграфе данной главы проведен расчет других электронных коэффициентов полностью ионизованной плазмы, связанных с тепловыми и диффузионными потоками различной природы. Предложена универсальная аппроксимационная зависимость для приведенных кинетических коэффициентов плазмы К от параметра кулоновской неидеальности Гс, в диапазоне изменения последнего 0.5<Го<10: К= 1 +с1(ГЕ-Г0), где с1 = 0.155, Г0 = 3.6.

В седьмой главе рассмотрена электропроводность частично ионизованной плазмы. Решение кинетического уравнения Больцмана для частично ионизованной плазмы требует учета столкновений электрона с атомами. Это достигается добавлением в электронный матричный элемент 1'п слагаемого, описывающего

электрон-атомное рассеяние. Таким образом, для частично ионизованной плазмы величины L'm запишутся в следующем виде:

L' = Г, + С 4- L" . (35>

гп гп гп гп

Если в случае е-а и e-i - рассеяния коэффициенты L'„ можно представить в аналитическом виде для произвольных г,п, то для случая е-е рассеяния подобной общей формулы записать не удается. Вместо произведений полиномов Сонина в выражение для 1'т входит многочлен, являющийся результатом интегрирования по углам произведения степенных рядов, соответствующих полиномам Сонина. Коэффициенты этого полинома рассчитаны в литературе лишь для спитцеровской аппроксимации сечения рассеяния зарядов. Расчет коэффициентов более высокого порядка для иных сечений требует многостраничных алгебраических преобразований.

При расчете кинетических характеристик частично ионизованной плазмы возникает дополнительная сложность, связанная с неравномерной сходимостью рядов по полиномам Сонина для e-e, e-i - столкновений с одной стороны, и е-а -столкновений - с другой. Этот факт известен в литературе и связан с наличием минимума Рамзауэра в сечении рассеяния электронов на атомах инертных газов, что приводит к появлению растущей зависимости сечения рассеяния электрона от энергии. В 4-ом приближении по полиномам Сонина вопрос о сходимости этих рядов исследован лишь для некоторых степенных зависимостей сечения (е-а) рассеяния от скорости электрона. Если 4-ое приближение в случае полностью ионизованной плазмы дает точность порядка 0,5%, то для слабо ионизованной плазмы инертных газов она составляет величину «50%. Для получения количественных оценок нами было выполнено специальное исследование сходимости рядов по полиномам Сонина для случая слабо ионизованной плазмы инертных газов с использованием реального сечения электрон - атомного рассеяния. Расчетные значения проводимости плазмы, полученные в n-ом приближении по полиномам Сонина сравнивались с результатами, полученными в 20-ом приближении, которое совпадает в наших условиях с точным для этого случая лоренцевским решением. Была выбрана характерная для последующего обсуждения область внешних условий: Т= (1:2)10 К г Р= (1:100) атм. Оказалось, что для достижения точности, »1*2/6 необходимо использовать по меньшей мере 10 полиномов Сонина и более. Для повышения точности расчета полной электропроводности и других кинетических

коэффициентов частично ионизованной плазмы в работе предлагается использовать большее число полиномов Сонина для коэффициентов электрон-атомных и электрон-ионных столкновений (от 8 до 12 в зависимости от степени ионизации и параметра неидеальности), оставляя неизменным 4-ое приближение для электрон-электронных столкновений. Такой вариант решения кинетического уравнения в дальнейшем мы будем называть несимметричным.

Ценой за такой подход к расчету коэффициентов переноса является некоторое общее ухудшение точности метода, связанное с выбором различного числа полиномов Сонина. В проводимых нами расчетах число полиномов Сонина для е-а и е-и столкновений выбиралась таким образом, чтобы увеличение этого числа на единицу приводило бы к изменению результата менее чем на 1-2%.

Далее в работе на основе решения уравнения Больцмана проведен анализ точности, даваемой наиболее распространенными приближенными методиками расчета проводимости частично ионизованной плазмы. В качестве таковых мы остановились на аддитивной формуле и формуле Фроста.

Результаты расчета электропроводности частично ионизованной плазмы с использованием muffin-tin приближения для сечения столкновения электронов с зарядами приведены на Рис.9. Как видно, в достаточно большом интервале различные методики расчета проводимости плазмы дают заметно отличающиеся результаты. Вместе с тем формула Фроста в пределах 1С-15% дает близкие к полученным численно решениям уравнения Больцмана. Аналогичные результаты показали и контрольные расчеты для ксеноновой плазмы. При этом точность расчета по формуле Фроста в МТ- приближении заметно выше. Расчет по аддитивной формуле дает заметно завышенное значение электропроводности плазмы в обоих приближениях для е-и сечения.

В следующих двух параграфах проведено сравнение результатов расчета проводимости низкотемпературной плазмы с экспериментом. В случае разреженной и слабо неидеальной плазмы, когда взаимодействие между частицами практически не влияет на ее равновесный состав, основное внимание уделяется проверке выбранной нами методики расчета собственно проводимости плазмы. Здесь все расчеты выполняются на основе решения уравнения Больцмана.

Число работ, посвященных экспериментальному определению проводимости разреженной (давление =1атм.) и слабо неидеальной (давление <50агм.) частично ионизованной плазмы довольно велико. В работе Devoto R.S. приводятся данные по проводимости плазмы аргона при давлении Р=1атм в интервале температур Т= (10:20)* 103 К. Параметр дебаевской неидеальности при этом составляет Гс = 0,03+0,07. На Рис.10 приведена зависимость проводимости плазмы аргона от температуры при Р = 1атм. Как видно из графика, хорошее приближение к эксперименту дает кривая 1 (приближение Спитцера). МТ-приближение (кривая 2) дает завышенные значения проводимости в случае слабо неидеальной плазмы. Этого и следовало ожидать, поскольку при rD <1 в сфере Дебая находится большое число частиц и использование МТ-приближения не оправдано. Достигнутая точность расчета позволяет убедительно зафиксировать отличие результатов с использованием различных сечений рассеяния заряженных частиц. Хорошее согласие с экспериментом позволяет говорить об оправданности использованной для решения уравнения Больцмана методики. Пунктирными линиями изображены соответствующие приближениям Спитцера (кривая 1) и МТ (кривая 2) расчеты по формуле Фроста.

При повышенных давлениях плазмы (Р<50атм) выполнено значительное количество экспериментов. В настоящей работе мы обратились к экспериментам, выполненным сравнительно недавно группой Popovic М.М., Vitel Yu., Mihajlov A.A. для плазмы аргона и ксенона в диапазоне давлений 10-1-50 атм. Следует отметить, что в данной работе была использована весьма совершенная методика измерения параметров плазмы, предусматривающая независимые измерения температуры и состава плазмы. Эксперименты были выполнены в разрядных лампах высокого давления и измерения велись по всему профилю разряда. Использовалась специальная процедура пересчета измеренной интегральной по профилю проводимости к локальной на оси разряда. Значения параметра неидеальности достигали величин rD = 0,1-5-0,3.

Результаты нашего расчета и эксперимента иллюстрируются на Рис. 11,12. Здесь приведены результаты эксперимента и расчетов проводимости плазмы аргона и ксенона, выполненных путем решения кинетического уравнения в приближении [10x4] (10 полиномов Сонина для е-а и е-и столкновений и 4 для е-е столкновений) с использованием спитцеровского приближения для

сечения рассеяния зарядов. В случае слабо неидеальной плазмы такое приближение оказывается вполне достаточным. На рисунках показаны также результаты расчета по формуле Спитцера для полностью ионизованной плазмы (кривая 2), а также расчет по формуле Фроста (кривая 3). Различие между кривыми 2 и 1,3 демонстрируют роль электрон-атомных столкновений. Нами было обращено внимание на то, что недооценка последних в ранних экспериментальных работах неоправданно относилась к влиянию кулоновской неидеальности на проводимость плазмы.

Экспериментальное определение проводимости плотной сильно неидеальной частично ионизованной плазмы инертных газов выполнено в работе Иванова Ю.В., Минцева В.Б., Фортова В.Е., и Дремина А.Н. Измерения проводились для аргона и ксенона в широком диапазоне изменения термодинамических параметров плазмы: Г0 =0,5-5-4,7. В этих условиях, как показывают расчеты, свойства плазмы определяются достаточно сложным характером взаимодействия образующих ее частиц.

Основное внимание было уделено прямому расчету проводимости в зависимости от внешних параметров, в которых находится плазма: давления Р и температуры Т. Для расчета состава плазмы использованы модельные термодинамические потенциалы, полученные в Главе ГУ. Массовые расчеты проведены с использованием формулы Фроста, с контролем их точности выборочными расчетами с использованием кинетического уравнения. Для проверки чувствительности расчета к выбору того или иного приближения для сечения рассеяния зарядов мы, дополнительно к ранее рассмотренным спитцеровскому и МТ-приближениям, использовали приближение Митчнера-Крюгера (сохраняется зависимость от скорости в выражении для кулоновского логарифма) и интерполяционную формулу для кулоновского логарифма рекомендуемую в ряде работ для условий Г0 >1. Целью такого анализа является выявление из экспериментальных данных собственно плотностных эффектов. Важно отметить, что различные упрощения при расчете кинетических коэффициентов плазмы, мало сказываясь на результатах для слабо неидеальной плазмы, приводят к существенно различным результатам для плазмы с развитой неидеальностью.

На Рис.13,15 состав плазмы, необходимый для расчета проводимости рассчитывался с использованием термодинамической модели идеальной плазмы. На рисунках 14,16 для расчета состава

использовалась термодинамическая модель Ван-дер-Ваальса и электрон-ионных пар. В рамках данной методики расчета состава плазмы использовались различные приближения для электрон-ионного сечения.

На всех рисунках дана зависимость электропроводности плазмы (1/От ст) от параметра кулоновской неидеальности Гс. Поскольку при заданных Р и Т в различных моделях получаются разные концентрации электронов, го естественно экспериментальные данные отнесены к различным значениям Гр.

Сравнение рисунков 13-16 показывает важную роль учета взаимодействия при расчете состава плазмы. Действительно, из всех использованных термодинамических моделей, модель идеального газа дает наиболее заметное расхождение с экспериментальными данными. При Гд <1 в аргоне наблюдается небольшое превышение расчетных данных над экспериментально измеренными. Для плазмы же ксенона эффект скорее обратный. Это обстоятельство позволяет сделать вывод, что в этой области параметров влияние плотностных эффектов невелико. При Г0 >1.5, особенно это проявляется в ксеноне, расчетные значения проводимости лежат ниже экспериментально измеренных. Поскольку в ксеноне достигнуты рекордные значения Г0 < 4, здесь особенно видна чувствительность расчета к выбору приближения для сечения рассеяния зарядов. Если допустить, что использование МТ - приближения в данных условиях оправдано, то избыточная проводимость весьма значительна. Нами обсуждаются возможные механизмы такой избыточной проводимости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПОЛУЧЕННЫЕ В Д ИССЕРТАЦИИ

( ВЫВОДЫ )

1. Предложен новый для физики плазмы теоретический метод исследования - метод канонического преобразования. Предложенное каноническое преобразование гамильтониана системы электронов и ионов приводит к гамильтониану, который описывает взаимодействующую смесь электронов, ионов и атомов.Показано, что взаимодействие между "свободными" электронами и ионами отличается от первоначального кулоновского.

2. Вариационным методом рассчитаны термодинамические функции атомарной плазмы, неидеальной по кулоновскому взаимодействию . При расчете термодинамического потенциала учтено влияние на дебаевскую энергию изменения электрон-

ионного потенциала на малых расстояниях. Получены поправочные функции к дебаевскому вкладу в термодинамические соотношения, которые с ростом плотности уменьшают его.

3. Получена плотность электронных состояний в атомарной плазме, описывающая непрерывный переход от связанных состояний к свободным. Для этого предложен новый вариант группового разложения для функции распределения микропотенциала, особенностью которого является явное выделение взаимодействия с ближайшим соседом. Полученная плотность электронных состояний всюду конечна и описывает переход от связанных состояний к свободным.

4. Предложена новая схема разделения электронных состояний в плазме, учитывающая электрон-ионные корреляции в непрерывном спектре. Предлагается разбиение ЭИ-пар на 4 группы: атомы (А), возбужденные атомы (ВА), квазисвязанные состояния (КС) и столкновительные комплексы (СК). Две последние группы являются новыми и ранее в теории атомарной плазмы не рассматривались. Получены формулы для равновесных концентраций А, ВА, КС, СК и свободных электронов. Для трех компонентной, химической модели плазмы реализована процедура одновременного определения размера и концентрации электрон-ионных пар. Получено удовлетворительное согласие расчета с использованием данной модели с результатами численного моделирования Монте-Карло для модельной кулоновской системы.

5. - Построена серия модельных термодинамических потенциалов, учитывающая характерные для неидеальной низкотемпературной плазмы взаимодействия в различных приближениях. .Для плазмы с сильным кулоновским взаимодействием предлагается в явном виде учитывать наличие электрон-ионных пар с положительной энергией относительного движения как дополнительную нейтральную компоненту, что позволило учесть взаимодействие двух разноименных свободных зарядов на малых расстояниях в парном приближении. Для учета взаимодействия между тяжелыми частицами в плазме предложена экстраполяционная процедура учета сильного межчастичного отталкивания, аналогичная используемой в модели Ван-дер-Ваальса для плотных газов. Это приводит к появлению в выражении для свободной энергии эффективного исключенного объема, зависящего от состава плазмы. Притяжение между тяжелыми частицами учтено в приближении второго вириального коэффициента. Данная схема учета межчастичных взаимодействий

реализована в серии широкодиапазонных термодинамических ютенциалах применительно к атомарной (инертные газы, пары металлов при высоких температурах) и к атомарно-молекулярной (пары металлов при околокритических температурах) плазме.

6. Рассмотрена многокомпонентная плазма паров воды с развитой кулоновской неидеальностью. Для учета последней использованы соотношения полученные в методе исходных частиц. Рассчитано уравнение состояния, состав и электропроводность плазмы в диапазоне температур Т от 1000К до 60000К и давлений Р до 40000 атм.

7. Проведено сопоставление расчетов с имеющимися экспериментальными данными для плазмы инертных газов и плазмы щелочных металлов. Сравнение с расчетами, выполненными в рамках моделей, учитывающих те или иные факторы неидеальности позволило проанализировать их роль.

8. В четвертом приближении Чепмена-Энскога решено уравнение Больцмана и найдены значения электронных коэффициентов переноса для плазмы с короткодействующим кулоновским потенциалом. Найдены дифференциальное и транспортные сечения рассеяния для этого потенциала, необходимые для реализации процедуры Чепмена-Энскощ. Полученные решения для кинетических коэффициентов представлены в безразмерном виде и описаны простой аппроксимационной формулой.

9. Численно решено уравнение Больцмана для частично ионизованной плазмы. Проведено исследование точности широко используемых приближенных формул для электропроводности плазмы с использованием реальных сечений рассеяния электронов на атомах. Проведено сопоставление с имеющимися экспериментальными данными, как для разреженной плазмы так и для плазмы с умеренной и сильной кулоновской неидеальностью. При этом использованы как различные термодинамических модели так и различные модели для сечений рассеяния электронов на зарядах.

Рис. 1. Зависимость вариационного параметра £ и функций С, и ^ от т3.

Рис. 2. Плотность электронных состояний в атомарной плазме при Го=0.1.

Рис. 3. Средняя потенциальная энергия заряда. Точки -численные данные: 1-е =2; 2-Б=4;кривые- расчет.

Рис. 4. Снижение потенциала ионизации атома. 1-теория Дебая, 2-в большом ансамбле, 3-модель ЭИ пар.

Р-20атм

Р = 5а/т>м

г-ю~5к

гг м

Р ■ /Осгтм

*.2

0

16

Г,8

Рис. 5. Изоэнталыш аргона. Н= Рис. 6. Изобары плазмы паров

12.3 Ю10(эрг/г). 1 —ид. газ, 2—теор. Дебая, 3 — мод. Ван—дер —В. и ЭИ пар. 4—то же, но с коррекцией Ь.

натрия. Расчет: 1,3—модель атомарной и атомарно — молекулярной плазмы, 2-расчет А.М.Семенова.

ГОО Л

/0-

КМ*

/,0 ¡,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Г./Ск

Рис. 7. Состав плазмы паров воды при Р= 1000 атм.

Рис. 8. Приведенные кинетические коэффициенты полностью ионизованной плазмы. 1 —по Спитцеру; 2 — данная работа. Эксперимент—О

/ог го3 го* Р,атм

¿,0м

Г/О3*

—г-1-1-1-1

О 5 /О /5 20 25

Рис. 9. Расчет проводимости по: Рис. 10. Проводимость плазмы 1-формуле Фроста, 2-методу аргона при Р= 1атм. кин. уравнения, 3-амитивной формуле.

т

1оо-

90 \

80

70 60

Ю

80

60-

40

О Нчтн 20

20 30 40 50

<о , Ом ~ с г?

Ег

□

Л

20

30

□

Р>атм

40 50

Рис. 11. Изотерма Рис 12. Изотерма проводимости

проводимости плазмы аргона. плазмы ксенона.

0,5 0,7 0,9 и /,3 Рис. 13. Проводимость аргона. Термодинамика и состав - по модели идеального газа. 1-сечение по Спитцеру, 2-по Митчнеру, 3-МТ приближение; 4-эксперимент.

300

0,5 О,? 0,9 V 1,,3 1,7

Рис. 14. Проводимость аргона. Термодинамика по модели 5. Расчет и эксперимент аналогично рис. 13.

и -,-,-,-,-,-,-,-г—>0

0,5 0,9 /,3 /,7 2.1 2,5 2,9 3,3 3,7

Рис. 15. Проводимость ксенона.

Термодинамика и состав - по модели

идеального газа. 1-сечение по Спитцеру, 2-по

Митчнеру, 3-МТ приближение; 4-эксперимент

0,5 0,9 /,3 Г,7 2~1 ~2~,9

Рис. 16. Проводимость ксенона. Термодинамика по модели 5. Расчет и эксперимент аналогично рис. 15

Литература

1. Воробьев B.C., Хомкин A.A., Метод канонического преобразования в термодинамике ионизированной плазмы.// Теоретическая и математическая физика, 1971, том 8, N1, с. 109118.

2 Воробьев B.C., Хомкин A.A., Особенности дебаевского экранирования и уравнение состояния частично ионизованной плазмы. // Теплофизика высоких температур , 1972, том 10, N5, с.939-949.

3 Хомкин A.A., Об электропроводности плазмы аргона и ксенона. // Теплофизика высоких температур , 1974, том 12, с. 879881.

4 Воробьев B.C., Хомкин A.A.,К термодинамике кулоновских систем.// Теплофизика высоких температур , 1976, том 14, с. 204207.

5 Воробьев B.C., Хомкин A.A., Приближение ближайшего соседа в термодинамике кулоновских систем и плазмы.// Теоретическая и математическая физика, 1976, том 26, N3, с.364-375.

6 Воробьев B.C., Хомкин A.A., Электрон-ионные коррелированные пары в плазме и их влияние на электропроводность.// Теплофизика высоких температур, 1977, том 15, с. 188-190.

7 Воробьев B.C., Хомкин A.A. Столкновительные комплексы в плазме и их влияние на электропроводность.// Физика плазмы, 1977, том.З, N4, с. 885-893.

8 Воробьев B.C., Хомкин A.A. К расчету состава атомарной плазмы.// Теплофизика высоких температур, 1977, том 15, с. 13041306.

9 Хомкин A.A. К расчету термодинамических функций, :остава и электропроводности атомарной плазмы.// Теплофизика высоких температур, 1978, том 16, N1, с. 37-42.

10 Хомкин A.A. Квазисвязанные электронные состояния и их локализация в плазме с сильным кулоновским взаимодействием.// Теплофизика высоких температур, 1981, том 19, N4, с. 673-679.

И Воробьев B.C., Хомкин A.A. Влияние флуктуаций потенциала на состояние атомов в плазме.// Физика плазмы, 1982, том.8, N6, с. 1274-1284.

12 Вовченко А.И., Рыбка О.М., Хомкин A.A. К расчету электропроводности плазмы разрядного канала ЭГИ установок.//

Сб. Физика и технол. электрогидроимп. обр. материалов, Наукова думка, Киев, 1984.

13 Вовченко А.И., Иванов В.В., Рыбка О.М., Хомкин A.A. Состав вещества в канале ПИР ЭГИ установок.// Сб. Электроразрядные процессы: теория, эксперимент,практ. Наукова думка, Киев, 1984.

14 Вовченко А.И., Воробьев B.C., Гулый Г.А., Хомкин A.A. Влияние примесей металла на свойства вещества в канале ПИР.// Тезисы III Всесоюзн. научно-техн. конфер. Электрический разряд в жидкости и его применение в промышленности, Николаев, 1984.

15 Вовченко А.И., Иванов В.В., Хомкин A.A. О металлизированной плазме мощных ПИР.// Сб. Совершенств, расчетных и экспер. методов исследования имп. процессов, Наукова думка, Киев, 1985.

16 Иванов В.В., Рыбка О.М., Хомкин A.A., Щербак А.Н. Электропроводность плазмы канала искровых разрядов с учетом образования молекул и молекул, ионов.// Сб. Новое в электроимпульсной обработке, Наукова думка, Киев, 1986

17 Беляев A.M., Воробьев B.C., Хомкин A.A. Широкодиапазонное уравнение состояния воды.// Теплофизика высоких температур, 1988, том 28, 13, с. 467-472.

18 Муленко И.А., Хомкин A.A. Развитие трехкомпонентной модели неидеальной низкотемпературной плазмы.// Препринт ИВТАН N1-307, Москва, 1990

19 Муленко И.А., Хомкин A.A. Электрон-ионные пары в термодинамике неидеальных кулоновских систем.// Теплофизика высоких температур, 1991, том 29, 11, с. 72-78. 11

20 Муленко И.А., Хомкин A.A. Кинетические коэффициенты неидеальной низкотемпературной плазмы.// Препринт ИВТАН N1-326, Москва, 1991

21 Khomkin A.L., Mulenko I.A. Van-der-Vaals Type Equation of State for Three-component Plasmas.// Contr. Papers 2 XX ICPIG, Piza, Italy, 1991

22 Муленко И.А., Хомкин A.A. Электропроводность полн. ионизованной плазмы с короткодействующим пот. взаимод. между зарядами.// Труды 8-ой Всесоюз. конф. Физика низкотемпературной плазмы, Ч 1, Минск, 1991

23 Муленко H.A., Хомкин A.A. Решение уравнения Больцмана для полностью ионизованной плазмы с короткодействующим пот. взаимодействия.// Теплофизика высоких температур, 1991, том 29, 16, с. 1234-1238.

24 Вовченко А.И., Муленко ИА., Савченко С.И., Хомкин A.A., Щербак А.Н. Термическое и калорическое уравнение состояния неидеальной плазмы инертных газов.// Препринт Института импульсных процессов и технологий HAH Украины, Николаев, 1993.

25 Власов Г.П., Гроднов В.М., Муленко И.А., Хомкин A.A. Уравнение состояния сильновзаимодействующей одно- и двухкратно ионизованной плазмы.// Препринт Института импульсных процессов и технологий HAH Украины, Николаев, 1993

26 Вовченко А.И., Муленко И.А., Хомкин A.A., Цуркин А.Г. Теплофиз. св-ва плотной низкотемпер. плазмы в прибл. парных столкновений.//Украинский физ. журнал, 1994, том 39, 11-12, с. 1095-1109.

27 Гроднов В.М., Муленко И.А., Хомкин A.A. Термодинамические функции плазмы паров щелочных металлов.// Теплофизика высоких температур, 1995, том 33, 12, с. 200- 209.

28 Муленко И.А., Хомкин A.A. Расчет коэффициентов перенос слабонеидеальной плазмы методом кинетического уравнения.// Сб. Теория, экспер., практика электрораз. технологий, HAH Украины, Наукова думка, 1995

29 Муленко И.А., Хомкин A.A. Проводимость неидеальной част, ионизованной плазмы инертных газов.// Сб. Теория, экспер., практика электрораз. технологий, HAH Украины, Наукова думка, 1995

30 Муленко И.А., Хомкин A.A. Электропроводность плазмы инертных газов. Теор. расчет и анализ эксперим. данных.// Труды Всеросс. конф. Физика низкотемп. плазмы, часть 1, Петрозаводск, 1995

31 Выжол Ю.А., Гроднов В.М., Муленко И.А., Хомкин A.A. Равновесные свойства плазмы паров металлов с учетом взаимодействия молекулярных частиц.// Теплофизика высоких температур, ( принято к печати )