Алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Рогазинский Сергей Валентинович

АЛГОРИТМЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНОВСКОГО ТИПА

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 8 НОЯ 2010

Новосибирск - '2010

004613386

Работа выполнена в Учреждении Российской академии паук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН

Научный консультант: член корреспондент РАН

Михаилов Геннадий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Смелов Владислав Владимирович

доктор физико-математических паук, профессор Черемнспп Феликс Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Григорьев Юрий Николаевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт теплофизики Сибирского отделения РАР

Защита состоится ноября 2010 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 003.001.01 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН по адресу:

630090. Новосибирск, проспект Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Автореферат разослан^^,-^Г^ 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.п.

^ Рогазпнскпй С.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Многие задачи динамики разреженного газа, приводят к необходимости решения кинетических уравнении. Часто они формулируются как соответствующие начально-краевые задачи для нелинейного кинетического уравнения Вольцмапа пли коагуляции. В случае задач, связанных с рассмотрением процессов коагуляции, сталкиваются с необходимостью решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского. Оба этих уравнения имеют одинаковый тип нелинейности, поэтому ,в дальнейшем, будем называть эти уравнения нелинейными уравнениями больцмаиовского типа.

Сложная нелинейная структура этих уравнений делает, в подавляющем большинстве случаев, невозможным их аналитическое решение, поэтому численные методы, практически, являются единственным способом нахождения решения таких задач. Отсюда следует, что построение численных алгоритмов для решения нелинейных кинетических уравнений больцмаиовского типа является важной ii актуальной задачей.

Хорошо известно, что физическая интерпретация нелинейных кинетических уравнении больцмаиовского типа носит вероятностный характер. Основываясь на этом, с начала 60-х годов прошлого века к численному решению задач для уравнений этого типа началось применение статистического моделирования па эвристическом уровне с использованием, так называемой Х-частичиой модели газа. Наибольшую известность, например, в динамике разреженного газа для проведения практических расчетов получила эвристическая схема 'счетчик времени' , которую предложил Г.Берд (G. Bird).

Целью диссертационной работы является построение и обоснование алгоритмов статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмаиовского типа, основанных на использовании N-частпчнон модели газа, эволюция которой описывается уравнением Колмогорова. Применение разработанных алгоритмов к решению некоторых задач динамики разреженного газа.

Методы исследования базируются на уравнениях Колмогорова, оппсыва-

гащих эволгошпо ансамбля взаимодействующих частиц, теории интегральных уравнений второго рола и теории весовых методов Монте-Карло.

Научная новизна.

• Построен и обоснован новый алгоритм статистического моделирования решения задачи Коши для уравнения Смолуховского. Этот алгоритм основан па предложенном автором методе дополнительной переменной, что дает возможность имитировать процесс коагуляции при фиксированном числе модельных частиц.

• Построен и обоснован новый алгоритм статистического моделирования решения задачи Коти для уравнения коагуляции с источником, причем в качестве вспомогательных уравнений использовалась система уравнений Колмогорова.

• Предложен и обоснован метод мажорантной частоты, па основе которого построена эффективная схема моделирования решения задачи Коши для основного кинетического уравнения Каца. Этот метод сочетает в себе идеи метода максимального сечения и метод дополнительной рандомизации.

• Теоретически обоснована схема. Берда для случая пространственно однородной релаксации химически нейтрального газа, т.е. получено интегральное уравнение на плотность взаимодействий, которое описывает эволюцию Д-частичной модели газа. Доказано, что при определенных условиях и при N —» оо одпочастпчная плотность распределения удовлетворяет обобщенной задаче Коши для уравнения Больцмана.

• Построены и обоснованы алгоритмы статистического моделирования однородной по пространству релаксации газа и смеси химически нейтральных газов. Эти алгоритмы основаны па. предложенном автором методе дополнительной переменной.

• Разработаны новые алгоритмы весового моделирования эволюции ансамблей взаимодействующих частиц для оценки функционалов от решения пространственно-однородных кинетических уравнении Больцмана и Смолуховского.

• Предложены и апробированы алгоритмы для частичного ценностного моделирования элементарных переходов при решении кинетических уравпе-

ппй. Для моделирования длины свободного пробега Л'-частнчной системы использовано несколько приближений к известной функции ценности, которые могут быть использованы в реальных задачах.

• Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Болышана от числа модельных частиц. Для модельных Л'-частпчпых кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности l.'.V

Практическая значимость работы. Разработанные алгоритмы могут применяться при решении практических задач коагуляции и динамики разреженного газа: для моделирования обтекания выпуклых тел потоками разреженного газа, моделирование течения газа в соплах различной геометрии. Личный вклад соискателя заключается в построении и обосновании алгоритмов статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмаповского типа, основанных па использовании N-частнчной модели газа, эволюция которой описывается уравнением Колмогорова. А также применение разработанных алгоритмов к рететио некоторых задач динамики разреженного газа.

Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно или при его непосредственном участии. Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН(1985-2010г.г.), а также на ряде всероссийских и международных конференций, в том числе:

- Всесоюзных конференциях по динамике разреженного газа (1985, 1987, 1989. 1991 г. г.);

- Всесоюзных школах-семинарах по методам механики сплошной среды (1985, 1987, 1989 г.г.);

- Всесоюзной конференции по методам Монте-Карло (1985);

- Всесоюзных конференциях по прикладной аэродинамике (Днепропетровск 198G, 1988 г.г.);

- Советско-Японских симпозиумах по вычислительной аэродинамике (Хабаровск, 1988 и Цукуба, 1990);

- III Лэрокосмнческом симпозиуме (Брауашвайг, Германия, 1991 г.);

- XVI, XVII, XVIII, XXIV, XXV Международных симпозиумах по динамике разреженного газа ( Цукуба, Япония, 1984; Стэпфорд, США, 1988; Аахен, Германия, 1990; Ванкувер, Канада, 1992, Бари, Италия 200G, С.Петербург, Россия 2008 );

- Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ (г. Новосибирск 2007. 2009);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 53 печатные работы, в том числе одна монография. Основные результаты содержатся в журналах из списка ВАК [1-16].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы 231 страница, включая 23 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 264 наименования.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, цель и задачи исследований, дается краткий обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам. Изложено краткое содержание диссертации по главам и параграфам.

Первая глава посвящена известному методу прямого статистического моделирования, предложенному Г. Бердом. В данном главе излагается один из возможных вариантов теории этого метода. С помощью построенной теории удалось показать, используя условия применимости метода Берда, непосредственную связь этого метода с уравнением Больцмана в пространственно однородном случае.

Вторая глава посвящена прямому статистическому моделированию кинетических процессов, основанному па использовании уравнений Колмогорова.

В целях удобства запишем нелинейное уравнение Больцмана в форме, в которой явно представлены законы сохранения импульса и энергии при столк-

повеппп двух частиц. Для этого воспользуемся следующим выражением

—> УЬ У2) =

п г мои , +

= -=—----и3 '

2 7 4 2 где <>!( .. ) и 6:\(...) - одномерная н трехмерная дельта-функции. Тогда 'задача Кошп для уравнения Больцмаиа, записанного в повой форме, примет вид:

= ^ *) - /(V. 0} dv'dv'ídvl. 1>0.

(2.1)

/(V, 0| =/оМ- (2.2)

(=0

При построении метода Монте-Карло для решения задачи Кошп (2.1) — (2.2) в соответствие с общим подходом, можно сформулировать вспомогательное уравнение и начальные условия к нему для эволюции ансамбля взаимодействующих частиц. Однако, проще воспользоваться известным в кинетической теории газов Лт-частпчным уравнением Каца (в данном случае оно совпадает с уравнением Колмогорова), которое запишем в тех же обозначениях, что и уравнение (2.1):

у« ...

X {Р(У1.....V;.....t> 0. (2.3)

Присоединяя к этому ураппеншо начальные условия

РЫ1.....=Ро(у1,....уДг), у,£113, г € (О, Г], (2.4)

(=0

получим задачу Кошп для ТУ-частичного уравнения Каца.

Зададим па решении Р(\\,.... /■) задачи (2.3) — (2.4) линейный функционал

/"(v. <) = | .....vN,t)dv2...dvN_= Р{1](лг^.)„

для пего справедлива следующая теорема соответствия.

Теорема 2.1. Функционал /"(v./,). как функция параметров (v, t), при условии молекулярного хаоса, удовлетворяет задаче (2.1),(2.2).

Данная теорема устанавливает связь между решением задачи (2.3),(2.4) и решением задачи (2.1),(2.2). Используя ее, можно строить методы Монте-Карло для решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана в пространственно однородном случае. В п. 2.1. описывается известный процесс моделирования, который носит название "основной марковский процесс". Трудоемкость этого метода пропорциональна TV3, где N — число модельных частиц. В случае максвеллосских молекул реализация этого алгоритма (основного марковского процесса) для моделирования парных столкновений в модельном ансамбле частиц является самым простым и быстродействующим алгоритмом. Это обстоятельство связано с тем, что величина, определяющая случайное время между столкновениями в модельном ансамбле частиц

, = 1 J = 1J-1 !=1 j = i+1

так как g<rM(g) = const для максвелловеких молекул, и нет необходимости вычисления этой величины после каждого столкновения.

Построение марковского процесса, основанное па другом принципе, позволяет сохранить указанные выше свойства алгоритма для максвелловеких молекул. Этот принцип использует специфику W-частнчной модели газа и основан па идеях метода "максимального сечения "и дополнительной рандомизации. В п. 2.2. вводится метод мажорантной частоты, который реализует этот принцип.

В п. 2.3. рассмотрен вопрос о корреляционной функции двух частиц в методе прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае. В системе с конечным числом взаимодействующих частиц, когда фазовые координаты частиц после взаимодействия вычисляются с учетом выполнения определенных законов сохранения, неизбежно возникает зависимость между фазовыми координатами частиц. Это приводит к нарушению условия молекулярного хаоса. Для описания этого нарушения вводится корреляционная функция двух частиц

<?( Vь v2, i) = p(v1; v2: f) - p(1)(vь 0pU)(v2. t),

где pll)(vi, t) = J p(vb v2, i)('v2-

В данном пункте для уравнения Колмогорова при слабых ограничениях на сечение взаимодействия двух частиц, получено равновесное решение и показано. что оператор двухчастичных столкновений обладает полным набором собственных функций- Эти два факта, дают возможность представить в виде сходящегося ряда, решение 'задачи Копш для уравнения Колмогорова и определить временную асимптотику корреляционной функции двух частиц. Нахождение равновесного решения уравнения Колмогорова опирается /га следующую теорему.

Теорема 2.2. В классе непрерывных функций, удовлетворяющих условиям:

1. p,v(vj_____v,v) >0 V = (vi.....Vjv) e RiX.

2. J'p.viV t)dV = 1,

3. f (Jr^ vf'j px(V. t)(iv = / v<) 0)dV = A' • E, Ё = const > 0.

-1. /;,v(vi:. . . , v,',. . . \'j----,\jf.t) = Pn(v j.....vv,<). l-J £ [1.----N], i ф].

максимум функционала

H(p) = - j p(vi, ..., vN) lnp(vj----, vN)dVi... dvN

реализуется на еОинапиенюй функции

= n/"(v4). />) = (¿У

Далее рассматривается оператор двухчастичных столкновений

Kp(vi. v2) = j w{v[. Vg—>Vj. v2) |p(vj, v2) - p{Vj, Vj)] flv[dV2.

Показано, что оператор К обладает полной ортонормнрованной системой собственных функций {ç't(v)}.

Опираясь на этот факт, получено асимптотическое по времени выражение для корреляционной функции двух частиц

</(vbv2.î) ~ ехр( —Aii) [F^fvx.va) - f'U (vi)F£>(v2) - f1'(yoJF^iv^ ,

здесь Fx(vi-Vj) = ci^'î(vi. v2)- где i/-,!(vi. v2) - собственные функции двухчастичного оператора столкновений, относящиеся к собственному числу Aj.

В третьей главе представлен метод дополнительной переменной для решения уравнения Больцмана в пространственно однородном случае и его обобщение па смеси химически нейтральных газов. Приведено его обоснование.

Метод дополнительной переменной основан па использовании уравнений Колмогорова в качестве уравнений, описывающих эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц. В п. 3.1. описывается построение данного метода для простого одноатомного газа в пространственно однородном случае.

Пусть имеется система, состоящая из N частиц. Состояние каждой частицы будем описывать совокупностью фазовых координат х = (ги.у) 6 7, где v - скорость частицы, иг — дополнительная фазовая координата. Состояние всей системы будем описывать вектором X = (х\,..., х^). Введем в рассмотрение р(Х, <) — плотность распределения вероятностей по состояниям системы в момент времени £, заданной на 7 х ■ • • х 7 х[0,оо). Функция

N

р{хь..., хк, 0 в силу своего определения удовлетворяет условию нормировки:

У р( X, 1)с1Х = /..,/р(хь----хк.1,)(1.х1 ... Лхя = 1.

4 N '

Подчиним эволюцию плотности распределения р(Х. во времени уравнению Колмогорова, полагая, что характер взаимодействия частиц в ансамбле — парный:

др(х 1. ..., 2\\. <) _

ЛГ-1 л:

= £ £ .....х\.....

1 = 1 ./'=1+1 7 1

-Е £ II к(-< ь • •. - (3.5)

¿=1 ,у = *+1 7 7

р{х 1.....*лг.*)| =Рп{хи...,хк).

(=0

В (3.5) взаимодействие частиц описывается функцией к(х[, х'2 —> х'ь жа). Для сохранения общности изложения ее вид не конкретизируется.

klr> г' -л г ,1- Í Л"(К - .,,

На решении .... ..rjv, /.) задачи (3.5) определим функционал f"Jv.t,) = I j ... j ip(w)p{x,x2, ■. ■ ,xN. 1)dx.2 .. .dxNdw.

В нашем распоряжении имеются две произвольные функции ip(w) и к(х[. х2 -> x¡,X2). первая из которых определяет функционал /¿(v. а вторая описывает взаимодействие частиц в (3.5). Выберем эти функции таким образом, чтобы /*(v, í) удовлетворял при условии молекулярного хаоса нелинейному уравнению Больцмана. В частности, положим

Лп(К-^П), 1)

X {0(ш; - a^)[yi(s', u')á(V] - ví)á(v2 - - wi(a'V"'))<5(™2 - и>2(У,и'))+

+ q2(s'. u')rt(Vl - íi)á(v2 - - - "■'))] +

+ 8(w'2 - w[) [9i(s'.u')á(v! -íi)«5(v2 - V2)5(Wl - ü^s'.u'))^ - wl(s',«'))+ 4- q2(s'. ¡i')d(Vi - ?J)á(v2 - Q6{Wi - cj4(s'. u').Ww2 - w2(s', u'))] + + [1 - 0(u'i - u/2) - 0(г^ - w[)} x

X [gi(s\ u') + <j2(s', u')] á(v, - íi)5(v2 - QH^i - w')S(w2 - u/)} díl, (3.6)

где ,s = niax{ w¡. u>>}, u = miníwi, w?} и в{г) — i

[ 0, г < 0.

Далее положим <p(w) = —, где a = fwp^(u), v, í) | diudv. тогда a f=o

/*(v.¿)= jjp(1\iu,v.t)dw (3.7)

(далее индекс y /^(v. £), опускается, так как вид ^ уже фиксирован).

Теорема 3.1.Пусть величины do(lvi ~ Va|, О). q\(s.u), q2{s,u), uj,(s,u)., где i = 1,2,3,4, , входящие в к(х'1,х'2 x¡,x2). неотрицательны и связаны соотношениями

i¿з(г>. u)q2(s. и) = и>з(и, $)q2(u. а), (3.8)

M\vi - Ы П) = na(|vi - v2|,í2)|vi - v2|, (3.9)

u.';j(i. u)q2(s, и) + uj2(s.u)qi(s,u) + «4(3, u)<?2(s>u) = 2su. (3.10)

[s - w)¡ fyi(i. u) + sq2(s. u) = su, qi(s, u) -f ^(s, w) = 1. (3.11) Тогда в приближении молекулярного хаоса функционал /*(v, í) удовлетво-

ряет задаче Коша

=пЦу1 -УМЫ {ЛСьОЛСг, О-Г^ь ОЛ^г.О}

,Г(УЬ<) I = ■Ро1>(«'1.Ух)й?«1.

Очевидно, что соотношений (3.8) — (3.11) недостаточно для однозначного определения к(х\, х'2 —> 11,12). Таким образом, существует целый класс-функций к(х\,х'2 хг, х2). который определяется видом (3.0) и соотношениями (3.8) — (3.11). С каждой функцией из этого класса связан соответствующий столкновительный процесс. В частности,

Численные эксперименты, проведенные по схемам 1 и 2 показали, что дисперсия оценок в случае схемы 2 примерно в 1.5 раза выше, чем в случае схемы 1. В п.3.2. производится обобщение метода дополнительной переменной па смеси химически нейтральных газов.

В четвертой главе производится построение весовых и ценностных модификаций оценок, используемых в методе статистического моделирования для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана. В п.4.1. для построения и обоснования алгоритмов прямого статистического моделирования с целью приближенного решения нелинейного квиетического уравнения Больнмаиа предлагается использовать линейное интегральное уравнение, которое эквивалентно ^-частичному уравнению Леоптовича с регулярнзо-ваиным по пространственным переменным эффективным сечением парных столкновений. Однако использовать это уравнение непосредственно для построения стандартных весовых модификаций прямого моделирования невозможно. так как его ядро представляет собой сумму взаимно сингулярных слагаемых. В настоящей главе это затруднение преодолевается путем введения номера взаимодействующей пары частиц в число координат фазового

Схема 1,

Ч1( ъ. и) = -Ч — и, (й, и) = е. и) = в.

</2(А. и) = Ч, ^(и, и) = и; <^4(6', и) = и.

Схема 2.

и) = а. и) = в — и, ц;з(в, и) = а — и,

д>(з,и) = 0. Ш2(ь,и) = 2и, и14(5,11) — 2и.

пространства системы, в результате чего в ядре остается лишь один сингулярный сомножитель. Для такого ядра оказывается возможным построение алгоритма с "глобальным"весом, который после каждого элементарного перехода в моделируемой цепи Маркова домпожается па стандартный весовой множитель. Это позволяет распространить хорошо разработанную теорию весовых методов на рассматриваемый класс задач и , в частности, дает возможность оценивать параметрические производные от решения, что особенно важно при численном исследовании влияния различных параметров па ре-теине нелинейного уравнения Больцмапа.

В п.4.2 и п.4.3. формулируется математическая модель стохастической кинетики многочастичной системы и, после "расслоеиия"распределе1Шя столкновений в системе по номеру пары взаимодействующих частиц, построено базовое интегральное уравнение в расширенном фазовом пространстве. Оно имеет следующий внд t

F(Z.I) =11 F(Z' l')K(Z'. 1' -> Z, l)dZ'd(' + F0(Z. t). (4.12)

о z

здесь dZ = dXdii0{n). причем интегрирование по мере ¡iq означает суммирование по всем различным парам 7Г = (г./), пли F = КF + fij, где К — интегральный оператор с ядром

K(Z\t' 2J.) = K(Z\t' Zj.)a'{v)A-\R, V'.S'), K{Z', /' -> /•) = A(R, V\ S')E(R', V1. S', t - t')S(R - R' - (I. - t')V')x xKi(V'. S' V,S\R.ir),

N

Ki(V. # V. S\R, 7Г) = fc(v;. si v(, Vj, Sj\Ti, Tj) Д ~ <,),

.•n = J

v—. , - [ A{R'+t'VXS)dt'

A{R.V ,S) = E(R*.V,S.t) = e °

л

Обычно при решении методом прямого статистического моделирования вычисляют не само решение, а функционалы от пего вида

Jntt) = JII(X)p(X.t)dX.

Для mix имеем следующее утверждение.

<

Лемма 4.1. Справедливо представление Jн(t)= / / Н(X. 1—1')Р{2. ,

о г

где ¿ = #(А'Д) = Н(В, + IV, V, Б)Е(И., V. Я, £).

В п.4.4. вводится цепь Маркова {Zn, /.„}. п = 0,1. • • • нормированной плотностью перехода

рп\г'. I' гл) = Рмх': ¿>"(я - я' - - О^'кМя. V, 5')х

N

хр2(К5|Л,7Г.К'.5') Ц ¿К, - у;„) и нормированной плотностью распределения начального состояния (¿Го. ¿о) :

Далее, производится построение случайного веса по формулам:

сцг'А'^гл) = {Д(я, V, о/р1(г|х',/,')}х

х{о,'(тг)Д"1(й. V". 5')}х

хст(£ЧК 5|Я. V, 5", тг) л 1 (, ,х'.) /р2 (V, 51Я, я-, V. 5');

Вес в отличие от использованных в главе 3 нестандартных весов отдельных частиц, можно назвать "глобальным". Для вычисления величины Зн{1) введем случайные величины — функционалы от траектории системы

£ = ЯпН(Хп. t - ¿„), 77 = д„Я(А'„, г - *„).

/1=0

(

где д(Х,ь') = 1 — У р1(т|Х, 1')с1т. В теории методов Монте-Карло величину о

£ принято называть оценкой по столкновениям, а величину г/ - оценкой по поглощениям.

Теорема 4.1 .При выполнении условий

Р0{г) ф 0, если Р0(г) ф 0;

<3(7,'А'-ЛА) < +оо, Z. Z' б Ъ\ и' 6 [0.Т]. 14

хшеш Е£ = .1л(1!). Если, дополнительна, д(Х, I.) > О, А' € X, / 6 [0. 7'), то Ег/ = ,;я(0.

В п.4.5. рассматриваются вопросы, связанные с копечпостыо введенных оценок £ п »?.

Весовой метод дает возможность эффективно изучать зависимость результатов от параметров задачи (п.4.6.), например, от параметров {с;,} дифференциального сечения <т(.г,..г;), в том числе параметра регуляризации 5. В частности, с помощью стандартных приемов теории весовых алгоритмов построены опенки соответствующих параметрических производных с конечной дисперсией.

В п.4.Т. построенные в предыдущих пунктах весовые методы применяются к приближенному решению нелинейного кинетического уравнения Больцма-па в пространственно однородном случае. Подробно, с применением весового метода, исследуется зависимость решения от количества частнн в модельном ансамбле.

Рассмотрим какой-либо функционал Оц от решения уравнения

(2.3). Предполагая аналитическую зависимость йц от представим его в следующем виде:

= + (4.13)

Первый член в правой части описывает предельное значение рассматриваемого функционала и соответствует бесконечному числу частиц в модельной системе. Коэффициент 7 от N не зависит, поэтому можно провести два расчета при А'] и Д'2, а затем, считая А'ьЛГг достаточно большими ( в смысле справедливости разложения (4.13) ), исключить линейное по ^ слагаемое из (4.13) и получить приближение к С^,:

N.

С^ ев 6'л'2 + —-Гг(Сл'2 - СдО- (4-14)

Значение разности — может оказаться малым по сравнению со значениями С'д-_,,Сд-,, поэтому для ее вычисления необходимо применять метод коррелированной выборки. В данном случае особенностью его применения является одновременное построение траекторий /V-частичного случайного процесса при различных N с положительной корреляционной зависимостью.

Оказалось, что наиболее эффективно с помощью веса учитывать лить различие параметров распределения случайного временного интервала между последовательными столкновениями для ансамблей частиц объемом N\ и N2. Алгоритм такого учета состоит в следующем. Временной шаг т моделируется соответственно плотности стехр(-стг), причем aN2/2 < а < aN\/2. После выбора т веса Q1.Q2, соответствующие ансамблям объемов Ni, .No пересчи-тываются по формулам :

Qi = exp(-(a/Vi/2 - a)r). Q2 = Q',^1 exp(-(ajV2/2 - a)r)

¿и ~ ¿0

Очевидно, что целесообразно подобрать а так, чтобы достигался следующий

мнппмакс:

minmax{EQï(i).EQ;;(0} .

Откуда вытекает, что минимаксное значение а* = a(Ni + Nî)/4.

Для достижения большей корреляционной зависимости между ансамблями частиц требуется дополнительно коррелировать парное взаимодействие частиц. Для этого целесообразно выбирать номер взаимодействующей пары без использования метода исключения. Приводятся два таких способа розыгрыша : простой н сложный выбор пар.

Численные эксперименты проводились для решения задачи Копш (2.1), (2.2) с известным решением Боболева:

где параметры г(£) и Л определяются соотношениями т(£) = 1 - ße~xt\

TT

Л = ¡/<7(cos0)sin5Wö, д(р) = (27т)"1; -1</л<1, 0 = 1.1. ' о

Использовалось два ансамбля частиц с Ni = 11. N2 = 10, при этом осреднение результатов производилось по 107 траекторий случайного процесса. Оценивался функционал z$(t) — 10-ый момент скоростей частиц. На рис. 4.1., 4.2. хорошо видно (в пределах доверительного интервала), что компенсация линейной зависимости по jj па основе результатов расчетов для Ni и Аз позволяет значительно повысить точность аппроксимации решения уравнения Больцмана решением N—частичного уравнения по параметру -i.

Фактически, такая процедура по точности получаемых результатов эквивалентна проведению вычислений с количеством частиц равным Л^* в модельной системе.

IV .4.1. По1 ¡елеи/и: 2ц от нрсыенп. 1'ис.-4.2. Поведение ^ от времени.

Просто!! выбор пар. Сложный иыбор нар.

В п.4.8. рассматриваются "ценностные" модификации весового статистического моделирования для численного решения нелинейного кинетического уравнения Вольцмана в пространственно-однородном случае. В данном случае использовалось частичное ценностное моделирование, в частности, оптимизировалось распределение длины свободного пробега при моделировании цепи Маркова. Для оценки функционалов ■!//(() применялась оценка по столкновениям. Поскольку при моделировании используются нормированные приближения к функции ценности, то вероятность обрыва цепи Маркова при этом тождественно равна нулю, следовательно, необходимо дополнительно моделировать обрыв траектории с малой вероятностью. Один из вариантов обрыва цепи связан с введением поглощения, начиная с гп-го состояния. В настоящей пункте был использован следующий вариант обрыва. Продолжаем временной промежуток, на котором строится цепь, на величину г > 0. Функция Н, определяющая запуляется после пересечения уровня Г,

а. распределение столкновений моделируется па расширенном временном интервале 1 6 [0,У + г]. Формально, на этом интервале цепь Маркова имеет бесконечное число переходов, по функция II отлична от 0 только в интервале [0. Т], поэтому обрыв траектории при £ > Т оставляет оценку несмещенной.

В качестве приближений к функции ценности свободного пробега рассмат-

рпвалпсь:

1- = 2. ■ф,3(1) = г5(Т + Е-1)-1£{1),

где 1С{1) - индикатор временного интервала [О, Г + е].

Численные эксперименты проводились для задачи Кошн, сформулированной в п.4.7.. для значений Т = 1, Т — 5, и Т = 10. Модельный ансамбль содержал А = 100 частиц и осреднение проводилось по 10ь траекториям. Параметр продолжения временного промежутка, на котором строилась непь Маркова был равен £ = 10 5. При применении обоих приближений наблюдалось снижение трудоемкости в указанных временных точках приблизительно в два раза по сравнению с трудоемкостью прямого моделирования.

Пятая глава посвящена статистическому моделированию решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского. В п.5.1. описывается статистическое моделирование решения задачи Конш для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского с источником. При наличие источника кластеров уравнение коагуляции имеет следующий вид:

^¡¡Г = 5 ^ 1)п(з, <) - п(1, <) ^ к(1, г)п(г, I) + ч(1.I) (5.15)

"" 1=1

где п(1,1) - числовая плотность кластеров размера I в момент времени ь. к(г,]) - коэффициенты коагуляции, которые являются заданными величинами, ц{1Л.) - источник кластеров размера I. В предыдущих главах для описания эволюции ансамбля взаимодействующих частиц использовалось уравнение Колмогорова с постоянным числом модельных частиц. Для учета источника с заданным спектром в нелинейном кинетическом уравнении Смолуховского , при построении метода Монте-Карло, необходимо использовать Л'-частнчное уравнение Колмогорова с переменным числом частиц. В данном пункте получена система уравнений Колмогорова, описывающая эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц и учитывающая источник частиц с заданным спектром по размерам. Доказано, что при условии молекулярного хаоса, функционал

ос ОС ОС

№=0/г = 1 1ц = 1

где 1\..... 1ц. £) — решение системы Колмогорова, как функция пара-

метров (/./.), удовлетворяет уравнению (5.15) с соответствующими начальными условиями. Далее система уравнений Колмогорова записывается в пп-тегроалгебранческом виде и формулируется метод прямого моделирования. Приводятся результаты численного эксперимента, демонстрирующие хорошее согласие с тестовым решением.

В п.5.2. рассматривается случай нелинейного кинетического уравнения Смолуховского без источника. При применении уравнения Колмогорова для построения метода прямого статистического моделирования возникают определенные затруднения, связанные с вырождением количества частиц в модельном ансамбле. Использование метода дополнительной переменной (метод локальных весов) позволяет избежать этого нежелательного эффекта. В данном пункте сформулировала схема статистического моделирования с дополнительной переменной и приводится ее обоснование. Приведены результаты численного эксперимента.

В п.5.3. рассматриваются весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции без источника в пространственно однородном случае. Сформулировано уравнение Колмогорова, описывающее эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц и учитывающее переменный характер количества частиц в ансамбле. Используя шгтегроал-гебрапчсскую форму данного уравнения, произведено расслоение столкнови-тельиого процесса по номеру взаимодействующей пары. Это приводит к формулировке базового интегрального уравнения в модифицированном фазовом пространстве. На основе это уравнения введение весов н построение оценок для параметрических производных осуществляются также как и в главе 4.

В качестве задачи, для решения которой использовались построенные алгоритмы, была выбрана следующая задача Кошп:

~п(1-'-) = 1 £ k(i,j)n(i.t)n(jj.) - n(l.t) £ k(l,i)n{i.t). (5.16) dt 2 ,+J=i i—i

n(i.t) | = «Si,!. (5.17)

(=0

где n(i.t) - объемные концентрации частиц из г мономеров, зависящие от времени £; k{i,j) - коэффициенты коагуляции. Эта задача с k(i,j) = 1 имеет

точное решение. Оно имеет вид:

n(k.t) = (0,5í)*' V(1 + 0,5í)*+1- к > 1, t > 0.

В численных экспериментах были реализованы алгоритмы для вычисления параметрических производных. С целыо получения параметрической зависимости функционалов в рассматриваемой задаче Коши вводился параметр а посредством замены коэффициента коагуляции на k(i,j) = а. Для определенности рассматривался функционал, имеющий физический смысл — среднего количества, частиц в коагулирующей системе в момент времени t. Статистическая опенка производной среднего количества частиц по коэффициенту коагуляции, полученная из оценки по-поглощениям ij имеет вид

Результаты расчетов, с использованием этой оценки, для задачи Коши (5.16), (5.17) с начальным количеством частиц Na = 200, представлены на рис. 5.2. . В расчетах использовалось 106 траекторий. Максимальное значение средпе-квадратпческон погрешности относительно среднего значения оценки (5.18) в расчетных точках на всем временном интервале (0,10] не прнвосходит 2%. На рис.5.2. пунктиром указан доверительный интервал, соответствующий утроенному максимальному значению среднеквадратической погрешности.

N¿20

значения производной, 1 ■■■■ N, =21

полученные на основе оценки (4 5) 1 '

оценка решения по формуле (3 2), на основе оценок для К"=20 и N'„=21

точное значение производной - '

i ( формула (4.4))

Nlt>¡ I точное решение

Рис. 5.2. Результаты численных расчетов производной но коэффициенту коагуляции функции А'(') (.' использованием оценки (5.18), Рис. 5.3. Приближенное решение уравнения Смолуховекого глопалыю-вссовым метолом : проверка порядка погрешности О(Д'п~1).

В численных экспериментах, в которых использовались построенные в данном пункте весовые алгоритмы, было выбрано значение к = 2 и решение

рассматривалось па временном интервале (0, 10). Целью численных экспериментов было подробное исследование зависимости решения /^-частичной задачи от числа начальных частиц. Поведение значения функционала п(2, 0. па выбранном временном интервале, рассматривалось для модельных ансамблей, имеющих разное количество начальных частиц Ло = 20,21. Для численных расчетов использовались как коррелированные алгоритмы прямого моделирования, так и весовые модификации. В каждом случае осуществлялся выбор номера пары без применения метода исключения. Одновременно строились две траектории, то есть моделировались ансамбля с начальным количеством частиц .V,,1' и Л'(>2) (Л^,1' > Л','2)). Было реализовано два варианта моделирования. В первом варианте для разных ансамблей с начальным количеством частиц /V« проводилось прямое моделирование с использованием одипх н тех же псевдослучайных последовательностей. Во втором варианте использовались, введенные выше, глобальные веса. При этом с помощью веса учитывалось различие параметров распределения случайного временного интервала между последовательными взаимодействиями при совместном моделировании ансамблей с начальным количеством частиц Л^1' и ¿V,',2* (А'//' > До2'). Поскольку при моделировании Л^-частнчных траекторий количество частиц изменяется, то временной шаг г следует моделировать соответственно плотности ап ехр(-сг„т), где оа зависит от состояния траекто-,,(2) , , ,(1) „

рнп, причем А,, < <т„ А„ . Далее для определенности, в качестве оценки для вычисления указанной разности, будет рассматриваться оценка, г]. После выбора г веса С^п'-С^пК соответствующие ансамблям с начальным объемов Л^1'. /У,!2' пересчитывают«! по формулам :

А(г)

У!;' = — «ФН'Л^ - а^Ж - („_!)), * = 1.2 (5.19) 1

Во втором варианте моделируемая цепь строилась па основе рассмотренного в п. 1.7. мпшшакса, а результаты для обоих ансамблей вычислялись с помощью весов. В обоих случаях рассчитанное решение, приближенно соответствующее бесконечному числу начальных частиц, практически совпало с аналитическим. Это подтверждает эвристически предполагаемый порядок погрешности 0(Л^-1).

Второй, т.е. весовой вариант, оказался несколько более эффективным. По-

лучешгые с помощью этого варианта моделирования результаты расчетов п(2Л) представлены на рис. 5.3. Две верхние кривые, соответствующие па-чатьиым значениям частиц Л^1' = 21 и Л^2' = 20 практически совпадают. Нижние кривые представляют собой решение, рассчитанное по формуле (4.14) (кривая, показанная точками), и аналитическое решение, показанное сплошной линией. В приведенных расчетах использовалось 10(' траекторий. Максимальное значение средпеквадратической погрешности на всем временном интервале для верхних кривых равно 8.3 ■ 10"5, а для решения, рассчитанного по формуле (4.14). - 1.2 - 10 '

При использовании весового моделирования время между взаимодействиями разыгрывалось по экспоненциальному закону с параметром равным

Ак +Ак

В п. 5.4. рассматриваются ценностные модификации статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховско-го в пространственно однородном случае. Рассмотрено подробно "частичное ценностное" моделирование времени между столкновениями, когда осуществляется ''ценностное моделирование только по временной координате, а для моделирования остальных координат используются физические плотности.

Для уравнения Смолуховского решается задача оценки величины = щ{Т), т.е. среднего числа мономеров в момент времени Т. В качестве статистической оценки использовалась оценка по столкновениям. Рассматривались два приближения к функции ценности свободного пробега:

1. Ф 1(1) = 1Л0; 2. т = + '

где 1. (0 - пндпка.тор отрезка [0,7" + г], г - величина продолжения временного промежутка, на котором строится цепь Маркова.

В данном пункте также рассмотрен случай частичного ценностного моделирования номера пары (при этом временная координата имеет физическое распределение) н случай полного ценностного моделирования (когда, наряду с ценностным выбором номеров сталкивающихся частиц, происходит ценностное моделирование временной координаты). Результаты численных экспериментов для Ао=100, с = Ю-5, число траекторий 10е приведены в таблице 5.3.

Таблица 5.3. Оценка функционала / [С Г) с использованием ценностного моделирования номера пары п различных "ценностей" свободного пробега для уравнения Смолуховекого

Моделирование 1 1 <т | /,(сек.) ! у '

свободного пробега ! "/'=1, "1 (1) = 4.44+144 • 10"'

прямое I 4.4005 -К)-' ! 3.1 ■КГ1! 51 ! 1 |

ценностное с ,?; | 4.40928 • Ю-1 ' 4.9 • 1С)--'5 ! 74 27.0

ценностное с | 4.409229 ■ 10"1 ! 2.5 ■ 1(ГГ' ' 87 9014 ! . / • 5. «1(5) = 8.10327 • К)"2 :

прямое ' 8.2420 • КГ 2 , 5.0 - 10 | 88 1

ценностное с 1 8.2380- 10"2 \ 1.6- ИГ5 \ ИЗ ¡' 9 5 [

ценностное с Ц ; 8.23824 - Ю-2 \ 1.1 • К)"" | 142 : 1000 1 ! Г = 10. «,(10) = 2.777778-10"2

' прямое ; 2.800» .1(1-' 1 1.Н - 10"г> ' 97 1

ценностное е •»; | 2.80473 ■ 10 2 1 6.6 • 10 "« '• 124 ' 5 8 I

ценностное с ¿1 2 804415' 1(Г2 | 5.9- 10"7 : 153 ,590 ! Т = 29. «1(29) = 8.20440 ■ 10 :> ;

прямое I 8.3443 ■ 10"я 1 5.2 ■ 1П"'1 , 102 ', 1

ценностное с . 8.3410-10"' . 2 1 • 129 ' 3 7

ценностное е ! 8.34050 ■ 1(Г3 ; 2.7 ■ 10"7 ' 101 1 235

В шестой главе описан метод прямого моделирования для решения уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае. Рассмотрены вопросы, связанные с регуляризацией по пространственным переменным взаимодействия двух частиц. Получены приближенные экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени. В п. 6.1. излагается вводная информация. Далее в и. С.2. формулируется иптегродифферепцналыюе уравнение Колмогорова для эволюции ансамбля взаимодействующих частиц в пространственно неоднородном случае, учитывающее переменный характер количества частиц в модельном ансамбле.-В качестве причины изменения числа частиц в ансамбле рассматриваются граничные условия, описывающие вход и выход частиц из модельного пространственного объема (он предполагается конечным). Граничные условия, описывающие вход частиц внутрь модельного объема, рассматриваются как источник частиц. Для сохранения общности изложения конкретизация функции V7 —> г,), описывающей

взаимодействие частиц ансамбля, при построении уравнения Колмогорова не

производиться. Данная функция является регуляризацией взаимодействия по пространственным переменным и удовлетворяет условию ( А — совокупность параметров регуляризации )

Здесь предел понимается в слабом смысле, Vу -»• - физическая

плотность рассеяния.

В п.6.3. начально-краевая задача для уравнения Колмогорова, сформулированная в предыдущем пункте, записывается в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода. С использованием полученного интегрального уравнения формулируется метод прямого моделирования для приближенного решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмаиа. В п.6.4. представлены два традиционных вида регуляризации взаимодействия по пространственным переменным и в п.6.5. анализируются погрешности, связанные с ними. В п.6.6. производится приближенная минимизация трудоемкости алгоритма прямого моделирования при заданном уровне ошибки.

В п.6.7.-п.6.9., описываются экономнчные(т.е. с трудоемкостью, пропорциональной полному числу частиц в системе) точные и приближенные алгоритмы статистического моделирования, использующие дискретный шаг по времени.

В численных расчетах методом прямого статистического моделирования всегда используется конечная система модельных частиц, и поэтому естественно исходить непосредственно из основного ^-частичного кинетического уравнения для построения схем моделирования. Будем использовать основное кинетическое уравнение Леоптовича, для которого многими авторами подробно исследован переход к уравнению Больцмаиа. Такой подход существенно проясняет вопрос об адекватности результатов моделирования решению уравнения Больцмаиа.

Представим регулярнзовапное основное кинетическое уравнение Леоптовича в следующем эквивалентном виде:

к\ЩУ> V,. У3|Г„Г,') V' -> у1: ^)<5(г.; - гу),

Л—'

д

ж-

+ (К-],» - >',,((/, iK rj. р))бЫ - viWvj - v^Jrfv^v;. (0.20)

где

Щj(Uij\г.■ г,, p) = I w(v.,, Vj -э . v'j|r,, Tj, p)dv\dv'j; •

f , NM- Or ,

\и,;\ш= max \ ^1(0ч\гг,Т1,р)\. um =-----[;/,,],„.

ij, (.1',.Г , I. ) z '

где p — параметр регуляризации.

Вероятностная трактовка интегральной формы уравнения (6.20) позволила полупить общую схему прямого статистического моделирования. В зависимости от вида пространственной регуляризации взаимодействия частиц получен ряд точных алгоритмов реализации общей схемы моделирования:

• безъячеечпыи алгоритм, в котором возможны столкновения лишь тех частиц. расстояние между которыми не превосходит параметра регуляризации;

• ячеечный алгоритм, в котором сталкиваются только частицы, принадлежащие одной пространственной ячейке;

• ячеечный алгоритм с дополнительной сортировкой частиц по ячейкам.

Отметим, что в первых двух алгоритмах необходим дополнительный отбор столкновнтельных пар в зависимости от пространственного положения обеих частиц. Для этих алгоритмов среднее время реализации одной N-частичпой траектории непрерывного по времени случайного процесса пропорционально среднему числу час-тип в системе. Заметим, что, в отличие от традиционной реализации метола ПСМ, в этих алгоритмах свободно-молекулярный перепое частиц должен выполняться после каждого столкновения. Для сохранения линейной зависимости трудоемкости от числа, частиц была использована специальная организация вычислительного процесса (отложенный перенос).

Приближенные экономичные алгоритмы моделирования пространственно неоднородных течений разреженного газа, использующие пришит расщепления па шаге Д£, представлены в данном пункте. Реализация процесса столкновении в этих алгоритмах соответствует точным алгоритмам, а свободно-молекулярный перенос всех частиц производится только один раз иа шаге At.. Основным отличием всех этих алгоритмов от традиционных является использование единой временной шкалы для всей N-частнчной системы. Повышение эффективности предложенных алгоритмов достигается разбиением

области моделирования на ряд подобластей, что всегда приводит к уменьшению числа фиктивных столкновений. Использование переменного параметра регуляризации позволяет получить требуемое пространственное разрешение, в том числе и в зоне сильных градиентов течения.

В п.6.10. получены асимптотические выражения для дисперсий оценок основных функционалов в методе прямого статистического моделирования в пространственно неоднородном случае.

В седьмой главе приведены результаты применения полученных алгоритмов к решению прикладных задач.

В п. 7.1. приводятся результаты расчетов с использованием предложенных алгоритмов к решению двух классических задач динамики разреженного газа: структура ударной волны и теплопередача между двумя параллельными пластинами. Кроме этого приводятся результаты моделирования продольного обтекания плоской пластины и трехмерного обтекания затупленного полуконуса с крыльями.

В задаче о теплопередаче в широком диапазоне чисел Кпудсена (от 1 до 0,01) получено практическое совпадение результатов по всем шести алгоритмам. Приведены результаты сравнения расчетов с при T'i/'-A = 1.0. Кп = 0.05 и ц ~ у/Г. Расчеты структуры ударной волны для чисел Маха М = 3; 5; 7; 8 были в основном проведены по алгоритму 4, но для проверки работоспособности в части расчетов использовались и остальные алгоритмы.

В п.7.2. приводятся результаты моделирования течения газа в MEMS.

Ниже приведены отдельные результаты моделирования трехмерного течения газа в мнкросопле с высокой статистической точностью. Необходимые данные микросопла приведены в таблице 7.1.. Газ вытекает из микросопла в вакуум.

Геометрическая конфигурация микросопла показана на Рис. 7.7. , где схематично представлено разбиение трехмерной области моделирования. Отметим, что число Кпудсена, определенное здесь как отношение средней длины свободного пробега к размеру входного отверстия, равно 0.01. Температура стенок 300/\ и взаимодействие частиц газа со стенкой микросопла - диффузное ( полная аккомодация ).

Таблица 7.1 Размеры микросопла и данные газа на входе в микросопло.

длина 2.44 мм

высота входа 3.0мм

высота среза 0.3мм

высота выхода 1.5мм

ширина 1.2мм

газ

давление газа на входе 0.1 атм

температура на входе 2000К

У горловика

\ \

1 входное отверстие

Рис. 7.7. Строение области моделирования для расчета течения газа в микросопле.

Х[М]

Рис. 7.8. Распределение числовой плотности в установившемся течение газа в

микросопле.

ХГМ1

Рис. 7.1.4. Контуры температуры в установившемся течение газа в мнкросоплс.

Заключение содержит перечень основных результатов диссертационной работы.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Теоретически обоснована схема Берда для случая пространственно однородной релаксации химически нейтрального газа, т.е. получено интегральное уравнение па плотность взаимодействий, которое описывает эволюцию .Л'-частичной модели газа. Доказано, что при определенных условиях и при N —ь оо одиочастичная плотность распределения удовлетворяет обобщенной задаче Коти для уравнения Больцмаиа.

2. Используя уравнения Колмогорова, построены весовые и ценностные алгоритмы моделирования для пространственно однородного случая нелинейных кинетических уравнений Больцмаиа и Смолуховского. Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, были применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Больцмаиа и Смолуховского от числа модельных частиц. Для модельных Л'-частичпых кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности 1 / N.

•3. Для пространствепно неоднородного случая предложен новый алгоритм прямого моделирования, исследованы погрешности полученного алгоритма, получены оптимальные соотношения между параметрами алгоритма, влияющими на порядок погрешности. Построены экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени. Получены асимптотические выражения

для дисперсии основных гидродинамических характеристик газа. С использованием разработанных алгоритмов были решены тестовые задачи и задачи, имеющие важное практическое значение.

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах из списка ВАК.

[1] Рогазинский С.В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больцмапа /./ Ж. вычпсл. матем. и матем.фнз. 1987. Т. '27. N 4. С. 5С4-574.

|2| Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа.// Ж. вычпсл. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28. № 7. С. 1058-1070.

[3] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical techniques of the direct simulation Monte Carlo method in the rarefied gas dynamics // Soviet Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling. 1988. Vol. 3. № 6. P. 453-465.

]4| Иванов M.C.. Рогазнискнй С.В. Экономичные схемы статистического моделирования течений разреженного газа// Математическое моделирование. 1989. Т. 1. № 7. С. 130-145.

|5] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Статистическое моделирование течений разреженного газа, на основе принципа мажорантной частоты // Докл. АН СССР. 1990. Т. 312. № 2. С. 315-320.

[G] Михайлов Г. А., Рогазинский С.В. Весовые методы Монте-Карло для решения многочастпчпых задач, связанных с уравнением Больцмапа// Докл. РАН. 2002. Т. 383. № 3. С. 731-734.

|7] Михайлов Г. А., Рогазинский С.В. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмапа/ / Сибирский матем. журнал. 2002. Т. 43. № 3. С. 620-G28.

¡8] Ivanov M.S., Korotchenko М.А., Mikhailov G.A., Rogazinsky S.V. New Monte Carlo global weight method for the approximate solution of the nonlinear Boltzmann equation /,' Rus. J. Numer. Analys. and Math. Modelling. 2004. Vol. 19. № 3. P. 223-240.

|9] Коротчепко M.A., Михайлов Г.А., Рогазинский C.B.. Иванов М.С. Глобально- весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмапа// Журнал вычпсл. матем. и матем. физики. 2005. Т. 45. № 10. С. 1860-1870.

[10| Михайлов Г.А., Рогазинский С.В., Урева. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции/ / Журнал вычнсл. матем. и матем. физики. 2006. Т. 4G. № 4. С. 714-725.

|11| Mikhailov G.A., Rogasinsky S.V., Ureva N.M. Global weight Monte Carlo method for nonlinear coagulation equation,/'/ Russ. J. Numer. Analys. and Math Modelling. 2006. Vol. 21. № 1. P. 53-C6.

¡12] Korotchenko M.A., Mikhailov G.A., Rogazinskii S.V. Value modifications of weighted statistical modeling for solving nonlinear kinetic equations/,' Russ. .1. Numer. Analys. and Math. Modelling. 2007. Vol. 22. № 5. P. 471-486.

|13] Коротченко M.A.. Михаилов Г.А., Рогазинскнп С.В. Модификации весовых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений. // Ж. выч. матем. и матем. физики. 2007. Т. 47. № 12. С. 2116-2127.

[14| Михайлов Г.А., Рогазнпский С.В., Коротченко М.А. Ценностные алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений; / Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 1. С. 26-30.

|15) Titov Е., Levin D., Rogazinsky S. V. Analyses of Numerical Errors in the Kinetic Modeling of Microthruster Devices// JOURNAL OF THERMOPHYSICS AND HEAT TRANSFER. 2007. Vol. 21. № 3. P. 616-627.

[16| Rogasinsky S.V. Statistical modelling of the solution of the nonlinear Boltzmann equation in the spatially inhomogeneous case /7 Russ. .1. Numer. Analys. Math. Modelling. 2009. Vol.24. № 5. P. 495-513.

Прочие публикации

[17 ] Пащенко С.Э., Рогазинский С.В., Сабельфельд К.К., Карасев В.В. Статистическое моделирование процессов коагуляции высокодисперсных систем 7 препринт N 574, ВЦ СОАН, Новосибирск, 32С., 1985

[18 | Рогазинский С.В. Метод Монте-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции // Сб.Теория и приложение статистического моделирования, Новосибирск, стр. 137-147, 1985

[19 [ Пащенко С.Э., Карасев В.В., Дул ни М.Н., Сабельфельд К.К., Рогазинский С.В. Исследование быстропротекающих процессов образования аэрозо-

лей D высокотемпературном факеле /7 Сб. Актуальные вопросы теплофизики физической гпдрогазодипампкп. ИТ СОАН, Новосибирск, стр.227-235, 1985 (20 I Рогазипскнй C.B. Об одном подходе к решению нелинейных кинетических уравнений типа Больнмана методом Монте-Карло // 8 Всесоюзное совещание Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Тезисы докладов. Новосибирск 1985, С. 37G-379

[21 ] Рогазннский C.B. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больмапа / / препринт N (¡17, ВЦ СОАН. Новосибирск, 1985, 28С.

|22 I Иванов М.С., Рогазннский C.B. Сравнительный анализ численных схем метода прямого статистического моделирования течений разреженного газа ' 8 Всесоюзное совещание Методы Монте-Карло в вычислительной математике H математической физике.Тезисы докладов. Новоснбнрк 1985, стр. 360-364

[23 I Рогазннский C.B. Применение МДП-метода к однородной релаксации смеси химически нейтральных газов // препринт N 640, ВЦ СОАН, Новосибирск, 198G, 20С.

[24 I Иванов М.С., Рогазннский C.B. О связи метода прямого статистического моделирования с уравнением Больнмана / Сб. Статистическая механика. Численные методы в кинетической теории газов. НТПМ СОАН, Новосибирск, 1986, стр. 17-27

¡25 I Pashenko S.E.. Sabelfeld К.К., Rogasinsky S.V. Monte Carlo simulation of coagulation processes , , Fifteenith International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Grado, Italy, 1986,pp.55-57

|2G ] Рогазннский C.B. Метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больнмана в пространственно неоднородном случае // Сб. Методы статистического моделирования. ВЦ СОАН, Новосибирск, 1986

|27 I Рогазннский C.B. Теория метода прямого статистического моделирования для решения уравнения Больнмана ( метод Берда ) / ,< препринт N 706, ВЦ СОАН, Новосибирск. 1986, 20с.

[28 I Иванов М.С., Рогазипскнй C.B. Сравнительный апалпз эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженных газов /7 Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по

динамике разреженных газов. Свердловск. 1987, т.1, стр.12

[29 ] Иванов М.С., Рогазппский С.В. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа/;' препринт N 19-87, ИТПМ СОАН, Новосибирск, 1987, 18с.

[30 | Рогазппский С.В. Построение метода Моите-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции с источником// Сб. Численные методы статистического моделирования , ВЦ СОАН, Новосибирск, 1987, стр. 148-159

[31 | Рогазипскнй С.В. К теории метода прямого моделирования в динамике разреженного газа // Тезисы докладов Всесоюзной конференции 'Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики', Новосибирск, 1987,стр.152

¡32 1 Иванов М.С., Рогазппский С.В. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа // ВЦ СОАН, Новосибирск, 1988, 120с.

[33 | Рогазппский С.В. К решению краевых задач для уравнения Больц-маиа метолом Монте-Карло/,/ Сб. Теория и приложения статистического моделирования, ВЦ СОАН, Новосибирск, 1988, стр.101-106

[34 | Ivariov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical schemes of direct statistical simulation method of rarefied gas dynamics/ / 16 International Simposium of Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Pasadena, California, USA, 1988, pp.14-16

[35 j Иванов M.C., Рогазппский С.В. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа/,/ Труды IX Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов, т.1 Кинетическая теория газов. Аналитические н численные методы. Свердловск 1988, стр. 83-97

[36 | Karasev V.V., Pashenko S.E., Sabelfeld К.К., Rogasinsky S.V. Investigation of the gas-cluster jet expansion from a capillary to vacuum and the deposition of clusters on a surface/,' XVI International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Pasadena, California, USA, 1988, pp. 145-146

[37 [ Иванов M.C., Рогазипскни С.В. Экономичные схемы статистического

моделирования пространственно неоднородных течений разреженного газа// препринт N 29-88, ИТПМ СОАН, Новосибирск. 1988, 34с.

[38 | Карасев В.В. , Герасъкпи А.А., Камбалпп С.А., Пащенко С.Э.. Са-бельфельд К.К., Рогазннскнй С.В. Высокоэффективные методы отбора проб аэрозолей для морфологического и элементного анализа индивидуальных частиц ' XV Всесоюзная конференция. Актуальные вопросы физики аэродпс-персных систем. Одесса 1989. т.1, стр.137

[39 | Иванов М.С., Рогазннскнй С.В. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа// X Всесоюзная конференция. Динамика разреженных газов.Тезисы докладов. Москва 1989, стр.17 |40 ] Ivanov M.S.. Rudyak V.Ja.. Rogasinsky S.V. The direct statistical simulation method and the master kinetic equation/-'' Proceeding of Soviet Union-Japan Symposium on Computational Fluid Dynamics. Khabarovsk 1988. Computing Centre of the USSR Academy of Sciences. Moscow 1989, pp.133-141

[41 j Рогазннскнй С.В. Решение краевых задач для уравнения Больцмапа методом Монте-Карло// препринт N 843. ВЦ СОАН, Новосибирск, 1989, 24с.

[42 | Рогазннскнй С.В. Метод Монте-Карло решения краевых задач для уравнения Больцмапа// Сб. Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск, 1989, стр.108-117

[43 | Ivanov M.S., Rogasinsky S.V., Gimelshein S.F. Investigation of shock wave structure by majorant cell and free cell schemes of DSMC /,' XVII International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts, vol.2. Aachen. FRG, 1990, pp.568-570

[44 [ Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Theoretical analysis of traditional and modern numerical schemes of the DSMC method /7 XVII International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts, vol.1. Aachen. FRG. 1990, pp. 10-12 [45 | Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Theoretical analysis of traditional and modern schemes of the DSMC method. ( invited Paper )// Proceeding of the 17th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, FRG, 1990, pp. 629-C42

[46 [ Ivanov M.S., Rogasinsky S.V., Gimelshein S.F. Investigation of shock wave structures by majorant cell and free cell schemes of DSMC /7 Proceeding of the

17th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, FRG, 1990, pp. 717-726

|47 J Иванов M.C., Рогазинский C.B. Статистическое моделирование течений разреженного газа на основе схем мажорантной частоты // Тезисы докладов Всесоюзной конференции 'Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики', Новосибирск 1990, стр.68-69

[48 ) Rogasinsky S.V. On the pair correlations of particle evolution in the direct statistical simulation// Monte Carlo methods and applications,vol.2, No.l, 1996, pp.25-40

[49 ] Sabelfeld K.K.. Rogasinsky S.V., Kolodko A.A., Levykin A.I. Stochastic algorithms for solving Smolouchovsky coagulation equation and applications to aerosol growth simulation// Monte Carlo methods and applications.,vol.2, No.l, 199C, pp.41-87

[50 ] R.ogasinsky S.V. Solution of boundary value problems for nonlinear Boltzmar equation by Monte Carlo method / /' International Workshop on Numerical Methods for Kinetic Equations. Book of abstract. Berlin, VVIAS Institute, 1997

[51 I Rogasinsky S.V. Solition of stationary boundary value problems for nonlinear Boltzniann equation by Monte Carlo method // Monte Carlo methods and applicatic vol.5, No 3, 1999, pp.263-280

[52 ] Rogasinsky S.V. Direct simulation Monte Carlo method for stationary nonlinear Boltzniann equation// Bulletin of the Novosibirsk computing center. Series: Numerical Analysis; Issue: 9(2000); NCC Publisher, Novosibirsk, pp.77-84 [53 J Mikhailov G.A., Korotchenko M.A., Rogasinsky S.V., Ivanov M.S. Monte Carlo global weight method for the nonlinear Boltzniann equation// Proceedings of the Fifth Workshop on Simulation. St. Petersburg (2005) 493-498. edited by S.M.Ermakov, V.B.Meia-s and A.N.Pepelyshev.

Подписано в печать 29.06.2010г. Формат 60x84 1\16 Усл. печ. л. 2,25 Заказ № 145_Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО « Омега Принт» 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6, оф.3-022 . тел/факс ( 383) 335-65-23 email: omegap@yandex.ru

Введение.

Глава 1. Метод Г. Берда для статистического моделирования динамики разреженного газа

1.1. Алгоритм Г. Берда.

1.2. Обоснование алгоритма метода прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае.

Глава 2. Прямое статистическое моделирование кинетических процессов, основанное на использовании уравнений Колмогорова.

2.1. Основной марковский процесс

2.2. Метод мажорантной частоты.

2.3. О корреляционной функции двух частиц в методе прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае.

Глава 3. Метод локальных весов для моделирования пространственно однородной релаксации газа.

3.1. Метод дополнительной переменной для уравнения Больцмана в случае однокомпонентного газа.

3.2. Метод дополнительной переменной для релаксации смеси химически нейтральных газов

Глава 4. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана

4.1. Введение.

4.2. Математическая модель стохастической кинетики многочастичной системы

4.3. Построение базового интегрального уравнения

4.4. Весовые оценки.

4.5. Дисперсии оценок.

4.6. Параметрические оценки.

4.7. Глобально-весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана.'.

4.8. Ценностные модификации весового статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений.

Глава 5. Статистическое моделирование решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского.

5.1. Статистическое моделирование решения задачи Коши для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского с источником

5.2. Статистическое моделирование решения задачи Коши для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского без источника.

5.3. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции.

5.4. Ценностные модификации статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского.

Глава 6. Статистическое моделирование решения нелинейного уравнения Больцмапа в пространственно неоднородном случае

6.1. Введение.

6.2. Уравнение Колмогорова с переменным числом частиц для решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмапа в пространственно неоднородном случае

6.3. Интегральное уравнение и алгоритм прямого моделирования

6.4. Регуляризация взаимодействия двух частиц по пространственным переменным

6.5. О погрешности, вносимой регуляризацией взаимодействия частиц по пространственным переменным

6.6. Приближенная минимизация трудоемкости алгоритма прямого моделирования

6.7. Экономичные приближенные алгоритмы статистического моделирования, использующие дискретный шаг по времени

6.8. Алгоритмы реализации общей схемы

6.9. Приближенная схема моделирования.

6.10. Асимптотические выражения для дисперсий оценок основных функционалов в методе прямого статистического моделирования в пространственно неоднородном случае.

Глава 7. Применение разработанных алгоритмов к решению задач динамики разреженного газа

7.1. Применение алгоритмов к расчету классических течений газа и к расчету трехмерного обтекания затупленного полуконуса с крыльями.

7.2. Расчет течения газа в MEMS.

Метод прямого статистического моделирования является наиболее распространенным среди численных методов решения задач динамики разреженного газа. В настоящее время он практически вытеснил все иные подходы к решению прикладных задач в этой области. Более того, как показывают материалы международных симпозиумов по динамике разреженного газа [1,2,3], наметилась тенденция применения этого метода к расчету всего спектра течений — от сплошной среды до свободомолекулярного течения и с учетом физико-химических превращений в газе ( см. обзоры [4,5]).

В основе описания динамики разреженного газа и молекулярных процессов, протекающих в разреженном газе, лежит нелинейное кинетическое уравнение Больцмана. Для случая простого газа оно имеет вид: где /(¿, г, V) — плотность числа частиц, то есть /(¿, г. v)<ir<iv — среднее число частиц в элементе физического пространства с/г около точки г, обладающих скоростями в элементе пространства скоростей сЫ около точки V. В правой части уравнения находится интеграл столкновений

Здесь ег(/$, ¡V — У1|) — дифференциальное сечение рассеяния двух частиц со скоростями (V. ух); сЮ — телесный угол, в котором находится вектор относительной скорости частиц после рассеяния (в системе центра масс частиц); 'д — угол поворота вектора относительной скорости частиц в плоскости рассеяния; () и (у'.у^) — скорости частиц до и после столкновения.

Часто используется другое, эквивалентное представление интеграла столкновений [69]:

ЛЛ Л Г> Г, VI) - /(¿, Г, у)/(*, г, V!)} \v-vM0, )(1ШлГ1 л/,л = ///ч у;,^ -» VI,у2){/К, ь)/к,г)-/(VI,¿)/(у2, Ь)}сЫ[(1^2,

Характерной особенностью этого уравнения является нелинейность правой части, которая описывает парные взаимодействия частиц газа.

Методы статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана появились в начале 60-х годов и сразу же привлекли к себе внимание своей физической наглядностью. Условно их можно разделить на три группы. К первой следует отнести метод пробных частиц [6], который является естественным развитием классического метода Монте-Карло и основан на специальном итерационном процессе для нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Ко второй группе относится метод [7] прямого моделирования разреженного газа конечным набором взаимодействующих модельных частиц. Численные алгоритмы в этом случае строятся, исходя из физической модели газа, лежащей в основе вывода нелинейного кинетического уравнения Больцмана. В [8] описан метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана, основанный на теории ветвящихся случайных процессов, который определяет третью группу методов. Однако он не получил широкое распространение, поскольку расчеты типичных задач динамики разреженного газа этим методом весьма трудоёмки.

Первоначально методы первой и второй групп основывались на эвристических представлениях, и их связь с нелинейным кинетическим уравнением Больцмана была недостаточно ясна. Метод пробных частиц получил теоретическое обоснование в [9], где показана прямая связь процесса моделирования, предложенного в [6], с соответствующим итерационным процессом (точнее, на каждом итерационном шаге) решения краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмана. Реализация этого метода требует хранения в памяти ЭВМ значений решения в двух последовательных итерациях, что накладывает существенные ограничения па его практическое применение. Метод пробных частиц для модельного кинетического уравнения был построен в [10], его эффективный вариант для максвелловских молекул — в [11].

Хорошо известно, что метод расщепления (дробных шагов) является эффективным численным методом решения многомерных задач математической физики [148]. Для кинетических уравнений, в частности, линейного кинетического уравнения переноса нейтронов, в [149] впервые было предложено расщепление по физическим процессам.

Для нелинейного кинетического уравнения Больцмана специальный вариант метода расщепления по физическим процессам можно представить следующим образом. На конечном промежутке времени [О, Т] вводится сетка ¿г- = гД£, г = 0,. , п и решение начально-краевой задачи для уравнения Больцмана заменяется последовательным решением следующих задач: о(г,у) =/(¿,г,у) I ; о, г,<г<4,+1 дС дг (0.1) и, г, V) = /г(г, V); т (0.2) /(¿г-,г, V) = /(¿г+1,Г, V); г+1 (Г, V) = /(гт,Г, V).

Условия на границах расчетной области и обтекаемого тела учитываются при решении задачи (0.1). В дальнейшем будем предполагать сходимость решения задачи (0.1), (0.2) при Д£ —> 0 к решению начально-краевой задачи для уравнения Больцмана.

По-видимому, впервые на такую двухэтапную аппроксимацию решения уравнения Больцмана из физических соображений указал Г.Грэд [150]. На малом временном шаге Д£ <С т\ ( т\ — среднее время свободного пробега частиц в газе) он предложил разделить процесс решения на два этапа: решение задачи свободного молекулярного переноса (0.1) и затем задачи пространственно однородной релаксации (0.2).

В общем случае доказательство сходимости расщепленной задачи к решению уравнения Больцмана в настоящее время отсутствует. Если же полагать, что решение уравнения Больцмана существует и единственно при обычных предположениях [129,130], то, как доказано в [151], решение (0.1), (0.2) сходится к решению нелинейного уравнения Больцмана при АС —> 0. При этом имеется в виду, что каждая из расщепленных задач (0.1),(0.2) решается точно.

Использование метода расщепления для численного интегрирования уравнения Больцмана предложено в [152]. В частности, там построена консервативная схема расщепления: интеграл столкновений </(/,/) на шаге At вычисляется методом Монте-Карло, а для вычисления функции распределения используется конечно-разностная схема с коррекцией, обеспечивающей выполнение законов сохранения.

При численном интегрировании уравнения Больцмана с использованием метода расщепления, как видно из (0.1), (0.2), необходимо запоминать функцию распределения на каждом таге At, что предъявляет высокие требования к ресурсам ЭВМ. В частности, при решении одномерных задач динамики разреженного газа необходимо помнить двумерную функцию распределения во всех точках разбиения пространственной переменной, а в случае двух пространственных переменных в узлах сетки необходимо запоминать трехмерный массив значений функции распределения. Дополнительная сложность также возникает в вычислении значений функции распределения в точках, не совпадающих с узлами сетки в скоростном пространстве, при вычислении интеграла обратных столкновений.

Несмотря на эти сложности, применение метода расщепления при прямом численном интегрировании уравнения Больцмана позволило получить численные решения ряда задач динамики разреженного газа [153, 154]. Описанный метод, принадлежащий к первой группе методов продолжает развиваться.

В 1963 году Г. А. Берд ( G. A. Bird ) [114] предложил вероятностный подход для численного моделирования столкновительных процессов в разреженном газе. Следующим этапом развития этого подхода было введение сетки в координатном пространстве (скоростное пространство остается непрерывным) и с введением принципа расщепления для моделирования физического движения частиц газа, то есть раздельного моделирования свободомолекулярно-го движения частиц и их столкновений. Введенный таким образом принцип расщепления отличается от описанного выше, тем, что здесь расщепляется не уравнение, а процесс статистического моделирования на шаге At. Окончательное объединение принципа расщепления с моделированием столкновений в ячейках по схеме "счетчик времени"(time counter scheme) было сформулировано в [12], где была прослежена связь предложенной методики с нелинейным уравнением Больцмана. В качестве критерия соответствия численных результатов моделирования по схеме "счетчик времени"решению нелинейного уравнения Больцмана использовался критерий равенства частоты столкновений в модельном газе с ее теоретическим значением, соответствующем нелинейному уравнению Больцмана. Наиболее полное описание данного подхода приведено в [86]. В работе [13] также было введено разбиение физического пространства на ячейки, по для моделирования столкновений в ячейках использовалась схема "частота столкновений"[14]. Данный метод относится ко второй группе методов.

Расщепление непрерывного процесса движения молекул и их столкновений в разреженном газе на два последовательных этапа на временном шаге At впервые было предложено в [114,12]. Сформулируем основные положения этого метода.

Область течения разбивается на ячейки размером Ах так, что изменения параметров течения в каждой ячейке должно быть малым. Временной шаг At должен быть мал по сравнению с т\ — средним временем между столкновениями молекул. На этом временном шаге At свободное движение молекул и межмолекулярные столкновения рассматриваются последовательно:

1. Все молекулы, находящиеся в области течения, перемещаются на расстояние, определяемое их скоростями в данный момент времени и шагом по времени At. Если в процессе этого перемещения молекула выходит за границу расчетной области, то она изымается из моделирования. Если в процессе движения молекула попадает на поверхность обтекаемого тела, то в соответствии с граничными условиями вычисляется ее новая скорость. На этом же шаге At производится генерация новых частиц, входящих в область течения, в соответствии с заданной на границах расчетной области функцией распределения.

2. В каждой ячейке физического пространства независимо проводятся столкновения частиц, принадлежащих только данной ячейке, т.е. столкновения частиц из соседних ячеек не рассматриваются. Так как изменение фупкции распределения считается малым в данной ячейке, то при выборе пары частиц для расчета столкновений их относительное расстояние не учитывается. Скорости молекул после столкновения вычисляются в соответствии с законами сохранения импульса и энергии.

Параметры течения газа в моменты времени = /сД£, где к — 0,1.??, определяются осреднением но Ь траекториям.

Для решения стационарных задач в [86] предложено использовать следующий вариант метода установления: прослеживается только одна траектория и после достаточно большого значения к — ко параметры течения определяются осреднением по Ь выборочным значениям в моменты времени Ь = (к0 + /)Д£. 1 = 1,.,Ь.

Обычно реализация этапа свободномолекулярного переноса не вызывает принципиальных затруднений: каждая частица системы смещается на расстояние, пропорциональное ее скорости, и её новые координаты равны г' = г vД£.

Принципиальным моментом метода прямого статистического моделирования является реализация этапа столкновптельпой релаксации, который также имеет и самостоятельное значение при решении пространственно однородных задач динамики разреженного газа.

Отметим различие в использовании принципа расщепления в методе прямого статистического моделирования и метода расщепления (дробных шагов) при численном интегрировании уравнения Больцмана, основанном на системе (0.1), (0.2). Использование указанной системы, как уже отмечалось выше, предполагает запоминание функции распределения на каждом шаге по времени, что, естественно, требует больших ресурсов ЭВМ. В методе же прямого статистического моделирования (и в этом его кардинальное отличие) не требуется вычисление функции распределения на каждом временном шаге. Состояние модельной системы частиц в каждый момент времени определяется значениями координат и скоростей всех частиц. Осреднение по Ь траекториям такого частичного случайного процесса позволяет получать в заданные моменты времени различные функционалы от функции распределения.

Описанный выше феноменологический метод, использующий вероятностные представления для численного моделирования решения нелинейного уравнения Больцмана — метод прямого статистического моделирования — в основном сформировался в начале 70-х годов. Этот метод постоянно развивался и модифицировался. При своем развитии метод сохранил свою структуру и основные принципы, лежащие в его основе.

В основном, развитие метода шло по пути предложения различных вариантов моделирования столкновений в модельном газе [14-29]. Большинство этих численных схем моделирования проанализировано с точки зрения эффективности в [30]. Качественный анализ распространенных численных схем реализации прямого статистического моделирования был проведен в [31], где отмечен их общий характер, связанный с использованием 1\-частичной модели газа. Основное кинетическое уравнение, описывающее такую модель газа на уровне ^-частичной плотности распределения, хорошо известно [32-34]. Впервые связь между моделированием траектории модельной системы N частиц в ЗА-мерном пространстве скоростей с моделью Каца [32| отмечалось в

16], где из физических соображений был предложен "основной"марковский процесс для численной реализации этой модели газа. Детальнее эта связь прослежена в работах [17-19], где модель Каца введена феноменологически на основе постулированного вероятностного описания случайного процесса эволюции системы N частиц.

Приближенный алгоритм реализации модели Каца, основанный на схеме испытаний Бернулли с разными вероятностями успеха, был предложен в

17]. На основе этого алгоритма построена интегро-конечпо-разностная схема основного кинетического уравнения. В [29,221-227] также постулируется вероятностное описание процесса эволюции системы частиц и на его основе выписывается интегральное уравнение.

Следует отметить общность всех подходов к построению численных схем второй группы методов. Все схемы используют принцип расщепления. Реализация столкновений в модельном газе производится следующим образом: сначала из некоторых представлений о столкновительном процессе частиц в реальном газе постулируется случайных характер процесса эволюции модельной системы частиц и строится численный алгоритм прямого статистического моделирования, в отдельных случаях, формулируется некоторое "кинетическое"уравненис. Методы данной группы, как легко видеть, реализуют эволюцию конечного ансамбля взаимодействующих частиц, поэтому построение численных алгоритмов статистического моделирования должно основываться на "кинетических"( управляющих ) уравнениях, которые описывают эволюцию этого ансамбля. Слово "кинетические"взято в кавычки, поскольку речь идет о численных алгоритмах, использующих такое количество частиц и искусственно введенное взаимодействие между ними, что говорить о кинетических уравнениях в классическом смысле [58, 68, 71, 75] не приходится. Эти управляющие /У-частичноп моделью уравнения должны сопо-ставлятся нелинейному кинетическому уравнению. Такое сопоставление даст возможность получить необходимые соотношения между величинами, характеризующими нелинейные кинетические уравнения и модельные уравнения. По-видимому, исторически первыми, кто использовал модельные уравнения, описывающие эволюцию ансамбля с конечным количеством взаимодействующих частиц, для исследования кинетических уравнений, были для неоднородного по пространству случая — М. А. Леонтович [34] и для однородного — М. Кац [32]. В обоих случаях это были уравнения Колмогорова, записанные для парного взаимодействия частиц в ансамбле, причем рассматривался ансамбль с конечным числом частиц.

Использование статистического моделирования для решения нелинейного уравнения коагуляции [35], то есть уравнения Смолуховского [36], базируется на аналогичных идеях, на которых строятся схемы прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа, причем применяется сходный математический аппарат [35-40]. Поэтому целесообразно на основе единого подхода разрабатывать алгоритмы метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений Больцмана и коагуляции.

В начале 80-х годов появляются методы прямого статистического моделирования для построения которых не используется принцип расщепления. Ю.Н. Кондюрин [25-28, 164] предложил новый подход к моделированию пространственно неоднородных течений разреженного газа, в котором использован бТУ-мерный непрерывный по времени марковский случайный процесс, п предложен алгоритм реализации этого процесса [96-97]. В нем вводится "некоторая регуляризация больцмановского сечения столкновений "и при взаимодействии частиц учитывается их взаимное расположение. В [97] отмечается, что эволюция такой модели газа управляется линейным интегродиф-ференциальным уравнением Колмогорова - Феллера, и "если рассматривать моделируемую совокупность частиц как одну гипотетическую частицу в Аг-мерном фазовом пространстве то предложенный марковский процесс моделирования "аналогичен марковскому процессу известного метода статистического моделирования уравнения переноса" [8]. Для уменьшения трудоемкости моделирования времени свободного пробега частиц в такой модели газа было предложено использовать известный метод максимального сечения, и оценка трудоёмкости алгоритма, проведенная в [96], показала, что для реализации каждого столкновения требуется ~ М2 операций. В [221] введен аналогичный случайный процесс, в котором использовалась другая модель взаимодействия частиц. Данный подход с введением случайного марковского процесса эволюции взаимодействующих частиц с последующим установлением связи с нелинейным уравнением Больцмана получил развитие в работах [221-227].

Учет специфики Д^-частичпой модели газа позволил в пространственно однородном случае сформулировать принцип мажорантной частоты [52,30], который сочетает в себе идеи метода максимального сечения [8] и метода дополнительной рандомизации [228] . В работе [167] этот принцип был распространен на пространственно неоднородный случай, что позволило построить новые точную ( без дискретизации времени ) и приближенную ( с дискретизацией времени ) экономичные схемы моделирования, исходя непосредственно из основного кинетического уравнения Леонтовича [34].

В [169,170] построены и обоснованы весовые модификации метода прямого статистического моделирования (ПСМ) для приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Следует отметить, что ранее уже были построены модификации ПСМ, в которых отдельным частицам присваивались веса, связанные с искусственным перераспределением типов частиц в начальный момент времени [86,54,178]. Соответствующие весовые оценки не являются статистически эквивалентными оценкам ПСМ. Их состоятельность, т. е. асимптотическая (по числу взаимодействующих частиц) эквивалентность оценкам ПСМ, достигается путем специальной рандомиза цпи на основе физических соображений баланса. В работе [54] рассмотрена наиболее общая и в значительной степени обоснованная весовая модификация ПСМ такого типа под названием метода дополнительной переменной. С точки зрения общей теории весовых статистических методов решения интегральных уравнений [179, 180] эта модификация также является методом прямого моделирования для модифицргрованного интегрального уравнения [54], определяющего математическую модель эволюции ансамбля взаимодействующих частиц.

Для построения и обоснования алгоритмов ПСМ с целью нахождения приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана может быть использовано линейное интегральное уравнение [167], которое эквивалентно N-частичному уравнению Леонтовича [34], с рсгуляризованным по пространственным переменным эффективным сечением парных столкновений [181]. Однако использовать это уравнение непосредственно для построения стандартных весовых модификаций прямого моделирования невозможно, так как его ядро представляет собой сумму взаимно сингулярных слагаемых. Работе [170] это затруднение преодолевается путем введения номера взаимодействующей пары частиц в число координат фазового пространства системы, в результате чего в ядре остается лишь один сингулярный сомножитель. Для такого ядра оказывается возможным построение алгоритма с глобальным весом, который после каждого элементарного перехода в моделируемой цепи Маркова домножается на стандартный [179, 180] весовой множитель. Это позволяет распространить хорошо разработанную теорию весовых методов [179, 180] на рассматриваемый класс задач и. в частности, дает возможность оценивать параметрические производные от решения, что особенно важно при численном исследовании влияния различных параметров на решение нелинейного уравнения Больцмана.

Дальнейшее развитие этого направления \171-177] позволило построить эффективные ценностные модификации для приближенного решения пелиценных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского.

В настоящей диссертационной работе используется подход, предложенный в [41-42], согласно которому в качестве уравнений, описывающих эволюцию модельного газа, выбираются уравнения Колмогорова ( вслед за Кацем, но шире ). Решение нелинейного кинетического уравнения при этом рассматривается как линейный функционал, заданный на решении соответствующей задачи для уравнения Колмогорова. При таком подходе к решению нелинейных кинетических уравнений уравнения Колмогорова играют роль вспомогательных. Для установления соответствия между построенным специальным образом линейного функционала на решении вспомогательной задачи с решением соответствующего нелинейного кинетического уравнения используется известное условие молекулярного хаоса [32-33]. Вопросы, связанные с исследованием этого условия в диссертации не рассматриваются. В частном случае, если в качестве вспомогательного уравнения использовать уравнение Каца, которое в данном случае является уравнением Колмогорова, то данный подход совпадает с подходами [25-28,32].

Диссертация посвящена построению и обоснованию алгоритмов статистического моделирования для приближенного решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа.

Первая глава диссертатиции посвящена обоснованию известного метода Берда для пространственно однородного случае. Показано, что в рассматриваемом случае он является приближенным методом решения уравнения Каца.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [30, 49, 53].

Во второй главе па основе уравнения Каца выведен алгоритм моделирования для приближенного решения уравнения Больцмана известный как "основной марковский процесс". Основываясь на идеи метода "максимального сечения "и учитывая специфику уравнения Каца для эволюции Н-частичиой модели газа, получен алгоритм "мажорантной частоты". Показано, что он имеет линейную по числу модельных частиц трудоемкость. В пункте 2.3. данной главы получено асимптотическое по времени выражение корреляционной функции двух частиц.

Результаты второй главы опубликованы в работах [30, 48, 50-53, 56,57, 137, 138, 144].

В третьей главе представлен метод дополнительной переменной для решения уравнения Больцмана в пространственно однородном случае и его обобщение на смеси химически нейтральных газов. Приведено его обоснование.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [41, 42, 54, 55, 209].

В четвертой и пятой главах на основе уравнений Колмогорова производится построение весовых и ценностных модификаций, используемых в методе статистического моделирования для решения уравнений Больцмана и Смолуховского.

Результаты четвертой и пятой глав опубликованы в работах [43-40, 169177, 191, 208,].

В шестой главе описан метод прямого моделирования для решения уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае. Рассмотрены вопросы, связанные с регуляризацией по пространственным переменным взаимодействия двух частиц. Получены приближенные экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени.

Результаты шестой главы опубликованы в работах [102, 167, 168, 206, 207, 230].

В седьмой главе приведены результаты применения полученных алгоритмов к решению прикладных задач.

Результаты седьмой главы опубликованы в работах [102, 167, 229 ].

Настоящая работа выполнена в учреждении Российской академии наук, Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск (ИВМиМГ СО РАН). Изложенные в пей результаты были представлены и докладывались па следующих конференциях. VII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск. 1985: Всесоюзная конференция 'Актуальные проблемы вычислительной и прикладной,математики Новосибирск, 1987; Третья республиканская конференция 'Интегральные уравнения в прикладном моделировании, Одесса, 1989; Актуальные проблемы статистического моделирования и его прнложения, Ташкент. 1989; VIII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1991; Международная конференция ЛМСА-95, Новосибирск, 1995; Математические модели и численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1996; The 2nd St. Petersburg Workshop on simulation, St. Petersburg, 1996; GAMM Annual Meeting, Regens- burg Germany. 1997; The 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg. 1998; SiblNPRIM- 2000, Новосибирск, '2000; Международная конференция rio вычислительной математике ICCM-2002, Новосибирск, 2002; The International Conference он Computational Science 1CCS-2003. St. Petersburg, Russia, 2003; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2004, Новосибирск, 2004; SIAM Conference on Computational Science and Engineering, Orlando. USA, 2005; Всероссийская конференция но вычислительной математике ICCM-2007. Новосибирск, 2007;

Результаты регулярно, начиная с 1984 года, докладывались и обсуждались па семинарах отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН. Выражаю благодарность и признательность основателю новосибирской школы методов Монте-Карло и многолетнему руководителю отдела СМФ члену-корреспонденту Российской Академии наук Г.А.Михайлову, д.ф.-м.н. профессору М.С. Иванову (ИТПМ СО РАН), а также всем сотрудникам отдела за поддержку и создании творческой атмосферы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Теоретически обоснована схема Берда для случая пространственно однородной релаксации химически нейтрального газа, т.е. получено интегральное уравнение на плотность взаимодействий, которое описывает эволюцию ^-частичной модели газа. Доказано, что при определенных условиях и при N —> оо одночастичная плотность распределения удовлетворяет обобщенной задаче Коши для уравнения Больцмана.

2. Используя уравнения Колмогорова, построены весовые и ценностные алгоритмы моделирования для пространственно однородного случая нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского. Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, были применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Больцмана и Смолуховского от числа модельных частиц. Для модельных //-частичных кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности 1/М.

3. Для пространственно неоднородного случая предложен новый алгоритм прямого моделирования, исследованы погрешности полученного алгоритма, получены оптимальные соотношения между параметрами алгоритма, влияющими на порядок погрешности. Построены экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени. Получены асимптотические выражения для дисперсий основных гидродинамических характеристик газа. С использованием разработанных алгоритмов были решены тестовые задачи и задачи, имеющие важное практическое значение.

1. Rarefied Gas Dynamics / Eel. by H. Oquchi. — University of Tokyo. Press, 1984: 640p. — (Proc. of the 14-th 1.ternational Symposium; vol. 1,2).

2. Rarefied Gas Dynamics / Ed. by C. Cercignani. — Studgard, 1986. — 780p. — (Proc. of the 15-th International Symposium; vol. 1, 2).3. 25-th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, St.-Petersburg, Russia, July, 2006

3. Иванов M.C., Черемнсип Ф.Г. Чнсленное моделирование течении разреженного газа // Механика неоднородных систем. — Новосибирск, 1985. — С. 281-306.

4. Иванов М.С., Черсмисин Ф.Г. Яницкий В.Е. Статистическое моделирование кинетических уравнений с физико-химическими процессами // Моделирование в механике. Вычислительные методы в механике. — Новосибирск, 1987,- Т. I, № 3. С. 62-83.

5. Iiaviland J. К., Lavin M.L. Application of the Monte-Carlo method heat transfer in a rarefied gas // Phys. Fluids. 1962. - vol. 5, № 11. - p. 1399 - 1405.

6. Bird G.A. Approach to translational equilibrium in a rigit sphere gas //Phys. Fluids. 1963. - vol. 6, № 10. - p. 1518 - 1519.

7. Ермаков C.M. , Михаилов Г.А. Статистическое моделирование. — M. : Паука, 1982.

8. Григорьев 10.Н., Иванов М.С., Харитонова Н.Н. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнении разреженных газов методом Моптс-Карло // Численные методы механики сложной среды. — Новосибирск, 1971. — Т. 2, № 4. С. 101-107.

9. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова Н.Н. Решение задачи о течении Куэтта для кинетического уравнения БГК методом Монте-Карло // Вероятностные методы решения задач математической физики. — Новосибирск, 1971. С. 16-34.

10. Власов В. И. Улучшение метода статистических испытаний Монте-Карло для расчета течений разреженного газа // Докл. АН СССР, 1966. — Т. 167. № 5. С. 1016-1018.

11. Bird G.A. Direct simulation and the Boltzmann equation // Phys. Fluids. —1970. vol. 13, № 11. - p. 2677-2681.

12. Koura K., Konclo J. Solution of unsteady nonlinear molecular flow problems by the Monte-Carlo methods // Rarefied Gas Dynamics. — 1969. — vol. 1. — p.181-184.

13. Koura K. Transient Couette flow rarefied binary gas mixtures // Phys. Fluids. 1970. - vol. 13, № 6. - p, 1457-1466.

14. Решение задач физической п химической кинетики методом Монте-Карло ! С.А.Денисик, Ю.Г.Малама, С.Н.Лебедев, Д.С.Полак // Примеиеипе вычислительной математики в химической и физической кинетике. — М., 1969. — С. 179-231.

15. Применение метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов / С.А.Денисик, С.Н.Лебедев, Ю.Г.Малама, А.И. Осипов // Физика горения и взрыва. 1972. - Т. 8, № 3. - С. 331-349.

16. Белоцерковский О.М. , Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячецках для решения задач динамики разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. - Т. 15, 16, № 5, 6. - С. 1195-1208; 15531567.

17. Белоцерковский О.М., Ерофеев А.И. , Яницкий В.Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1980. — Т. 20, № 5. — С. 1174-1204.

18. Яницкий В.Е. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистического моделирования столкновительпых процессов в разреженном газе // Дополнение I: Берд Г. Молекулярная газовая динамика. — М., 1981. — С. 279-302.

19. Koura К. Null-collision technique in the direct simulation Monte-Carlo method // Phys. Fluids. 1986. - vol. 29, № 11. - p. 3509-3511.

20. Dcshpande S.M. An unbiased and consistent Monte-Carlo game simulating the Boltzmann equation. — Indian Inst. Science, 1978. — ( Report 78 FM4 ).

21. Nunbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. Г. Monoeomponent gases //J. Phys. Soc. Japan. — 1980. — vol. 49, № 5. — p. 2042-2049.

22. Nunbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation. 11.

23. Multicomponent gas mixtures //J. Phys. Soc. Japan. — 1980. — vol. 49, № 5. — p. 2050-2054.

24. Babovsky H. On a simulation scheme for the Boltzmann equation // Math. Meth. in the Appl. Sei. 1986. - vol. 8. - p.223-233.

25. Кондюрин 10.H. Некоторые применения метода Мстрополиса // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. — Свердловск, 1983. С. 69-77.

26. Кондюрин Ю.Н. Об одном имитационном методе Монте-Карло решения уравнения Больцмана // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск, 1985. - С. 126-136.

27. Кондюрин Ю.Н. Об одной процедуре Монте-Карло решения уравнения Больцмана, связанной с методом Мстрополиса // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. — С. 3245.

28. Кондюрин Ю.Н. Об одном статистическим подходе к решению уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и матем. физики. — 1986. — Т. 26, № 10. С. 1527-1534.

29. Хисамутдинов А. И. Обоснование имитации и псимитационные методы статистического моделирования кинетики разреженных газов, — Новосибирск 1985. 18 с, - (Препринт/АН СССР, Сиб.отд-ние. ВЦ, 565).

30. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Метод прямого статистического моделирование в динамике разреженного газа, — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988, с. 117.

31. Nunbu К. Interrelations between various direct simulation method for solving the Boltzmann equation //J. Phys. Soc. Japan. — 1983. — vol. 52, № 10. p. 3382-3388.

32. Кац M. Вероятность и смежные вопросы в физике. — М. : Мир, 1965.

33. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — М. : Мир, 1964.

34. Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов// Журн.эксперим. и теорстич. физики, 1935. - Т. 5. - С. 211-231.

35. Домиловекий Е.Р. , Лушников A.A. , Пискунов В.II. Моделирование ripoцессов коагуляции методом Монте-Карло // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 240, № 1. С. 108-110.

36. Смолуховский М. Три доклада о диффузии, броуновском молекулярном движении и коагуляции коллоидных частиц // Броуновское движение. — М.: 1936. С. 332-415.

37. Marcus А.H. Stochastic coalescence // Technometrics. — 1968. — vol. 10, № 1. p. 133-143.

38. Gillespie D.T. The stochastic coalescence model for clond droplet growth // J. of the atmospheric sciences. 1972. - vol. 29, № 8. - p. 1496-1510.

39. Лушнпков А. А. Некоторые новые аспекты теории коагуляции// Изв. АН СССР, Сер. физика атмосферы и океана. 1978. - Т. 14, № 10. - С. 10481055.

40. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. — Л.Гидрометсоиздат, 1984.

41. Рогазинский С. В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больцмана. — Новосибирск, 1985. — 28 с. — (Препринт/АН СССР, Сиб.отд-пис:ВЦ, 617).

42. Рогазинский С. В. Об одном подходе к решению нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана методом Монте-Карло// Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. — Новосибирск, 1985,- С. 376-379.

43. Пащенко С.Э., Рогазинский С. В., Сабельфельд К.К. , Карасев В. В. Статистическое моделирование процессов коагуляции высокодисперсных систем.- Новосибирск, 1985, 30с. - (Препринт/АН СССР, Сиб . отд-ние, ВЦ, 574 )•

44. Рогазинский С. В. Метод Монте-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции // Теория и приложение статистического моделирования. — Новосибирск, 1985. С. 137-147.

45. Pashenko S.E., Rogasinsky S.V., Sabelfeld K.K., Monte Carlo Simulation of Coagulation Processes / Ed. by С. Cercigriani. — Studgard, 1986. — p.55-57. — (Proc. of the 15-th International Symposium; vol. 1).

46. Рогазинский C.B. Построение метода Монте-Карло для решения нелинейпого уравнения коагуляции с источником // Численные методы статистического моделирования. — Новосибирск, 1987. — С. 148-159.

47. Михайлов Г.А. Метод моделирования длины свободного пробега частицы // Атомная энергия. 1970. - Т. 28, № 2. — С. 175.

48. Иванов М.С., Рогазпнский C.B. О связи метода прямого статистического моделирования с уравнением Больцмана// Статистическая механика. Численные методы в кинетической теории газов. — Новосибирск, 1986. — С. 1727.

49. Рогазпнский C.B. Теория метода прямого статистического моделирования для решения уравнения Больцмана (метод Берда). — Новосибирск, 1986. — 20 с. (Препринт/ АН СССР, Спб.отд-ние, ВЦ, 706).

50. Иванов М.С., Рогазпнский C.B. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. — Новосибирск, 1987. — 18 с. — (Препринт/АН СССР, Спб.отд-ние, ИТПМ, 19-87).

51. Иванов М.С., Рогазпнский C.B. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1988. — Т. 28, № 7. — С. 1058-1070.

52. Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical techniques of the direct simulation Monte Carlo method in the rarefied gas dynamics // Soviet journal of numerical analysis and mathematical modeling. — 1988. — vol. 3, № 6. — p. 453-465.

53. Рогазпнский С. В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1987. — Т.27,4. С. 564-574.

54. Рогазпнский С. В. Применение МДП метода к однородной релаксациисмеси химически нейтральных газов. — Новосибирск, 1986. — 20 с. — (Препринт/ АН СССР, Сиб.отд.-иис, ВЦ, 640).

55. Иванов М.С., Рогазиискпй С. В. Ср авнптельныи анализ численных схем метода прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. — Новосибирск, 1985. — С. 360-364.

56. Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical schemes of direct statistical simulation methods of rarefied gas dynamics //16 International simposium of rarefied gas dynamics. Book of abstract,. — Pasadena, California, USA, 1988. — p. 14-16.

57. Коган M.H. Динамика разреженного газа. — M. : Наука, 1967.

58. Grunbaum F.A. Propagation of chaos for the Boltzmann equation // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1971. - vol. 42, № 5. - p. 323-344.

59. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М. : Мир, 1972.

60. Колмогоров А.Н. , Фомин С. -В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1968.

61. Coleman W.A. Mathematical verification of a certain Monte Carlo sampling technique and applications of the technique to radiation transport problem // Nucl. Sci. Engng. 1968. - vol. 32, № 1. - p. 76-81.

62. Селезнева E.C. Атмосферные аэрозоли. — Л.: Гидрометеоиздат, 1960.

63. Кондратьев К.К., Москаленко Н.И., Поздняков Д.В. Атмосферный аэрозоль. — Л.: Гидрометеоиздат, 1983.

64. Хршаи АД. Физика атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1978, Т. 2.

65. Волощук В.М. , Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. — Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

66. Гусачеико Е.И. и др. Исследование конденсированных продуктов горения молниевых порошков // Физика горения и взрыва. — 1974. — № 4. — С. 458554.

67. Сутугин А.Г., Фукс Н.А. Образование конденсационных аэрозолей при быстроменяющихся внешних условиях // Коллоид, журн. — 1970. — № 2. — С. 255-260.

68. Трэд Г. Кинетическая теория газов // Термодинамика газов. — М.: 1970.- С. 5-109.

69. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М. : Наука, 1984.

70. Лифншц Е.М., Питаевскпй Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.

71. Яницкий В.Е. Теоретико-вероятпостпый анализ прямого статпстп- ческо-го моделирования столкновительных процессов в разреженном газе// Дополнение I: Берд Г. Молекулярная газовая динамика. — М., 1981. — С. 279-302.

72. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981.

73. Рыков В.А. Релаксация газа, описываемого кинетическим уравнением Больцмана// Прикл. матем. и мехап. 1967. — Т. 31, Вып. 4. — С. 756-762.

74. Cercignani С. Theory and Application of the Boltzmann Equation. Scot. Acad. Press, Edinburgh, 1975.

75. Rudyak V. Ya. Physical aspects of the direct statistical simulation method. Preprint No. 1(3) The Academy of Design, Novosibirsk, 1994.

76. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. AT: Наука, 1973.

77. Люстерипк Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Физматгиз., 1951.

78. Рисс М., Секельфальвп-Падь Б. Функциональный анализ. М.: Ин. Лит., 1954.

79. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука, 1972.

80. Термодинамика газов // под редакцией Зуева B.C. М.: Машиностроение, 1970.

81. Больцман Л. Лекции по теории газов. Гостехиздат, 1956.

82. Rarefied Gas Dynamics. Book of abstract// Pasadena. California. 1983.

83. Иванов M.C., Черемисин Ф.Р. Численное моделирование течении разреженного газа // Механика неоднородных сред. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1985. - С. 281 - 306.

84. Иванов М.С., Черемисин Ф.Г., Яницкий В.Е. Статистическое моделирование кинетических уравнений с физико-химическими процессами // Моделпрование в механике. Новосибирск, 1987. - Т.1,№ 3. - С. 62 - 83.

85. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

86. Koura К., Kondo J. Solutions of unsteady nonlinear molecular flow problems by the Monte Carlo method // Rarefied Gas Dynamics. 1969. - Vol. 1. - P. 181-184.

87. Koura K. Null-collision technique in the direct-simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids. 1986. - Vol. 29. № 11. - P. 3509-3511.

88. Deshpande SM. An unbiased and consistent Monte Carlo game simulating the Boltzmann equaton. Indian Institute of Science, 1978. - (Report 78 FM4).

89. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation // J. Phys. Soc. Japan. Vol. 49. - 1980. - P. 2042-2049.

90. Babovsky II. On a simulation scheme for the Boltzmann equation // Math. Mech. in the Appl. Sci. 1986. - Vol. 8. - P. 223-233.

91. Лукшин А.В., Смирнов CH. Об одном эффективном стохастическом алгоритме решения уравнения Больцмапа // ЖВМ и МФ. 1989. - Т. 29. № 1. -С. 118-124.

92. Nanbu К. Computation of rarefied flows by stochastic method based он kinetic equation // Book of Abstracts, Soviet-Japan Symposium on Compul. Fluid Dynamics. USSR, Khabarovsk, 1988.-P. 163-165.

93. Ivanov M.S., Rudyak V.Ya. The direct statistical simulation method and the master kinetic equation // Book of Abstracts, Soviet-Japan Symp. on Compt. Fluid Dynamics. USSR, Khabarovsk, 1988. - P . 68. - 6 0 .

94. Bird G. The perception of numerical methods in rarefied gas dynamics // Book of Abstracts, 16th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. -1988. P. 194-196.

95. Кондюрин Ю.Н. Об одной процедуре Монте-Карло решения уравнения Вольцмана, связанной с методом А4етрополиса // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 32-45.

96. Кондюрин Ю.Н. Об одном имитационном методе Монте-Карло решения уравнения Больцмана // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985.-С. 126-136.

97. Климонтович Ю.Л. Диссипатпвные уравнения для многочастпчных функций распределения // УФЫ. 1983. - Т. 139, вып. 4. - С. 689-700.

98. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

99. Ермаков СМ., Некруткин В.В., Сипин А.С Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. — М.: Наука, 1984.

100. Франк-Каменецкий А.Д. Моделирование траекторий нейтронов при расчете реакторов методом Монте-Карло. М.: Атомиздат, 1978.

101. Иванов М.С., Рогазинский СВ. Экономичные схемы статистического моделирования пространственно — неоднородных течений разреженного газа: Препринт № 29—88. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1988.

102. Nanbu К., Watanabe Y. Analysis of the internal structure of shock waves by means of the direct simulation method // Rep. Inst. High Speed Mecli. Tolioku Univ. 1984. - Vol. 48.

103. Jen S.M. Temperature overshoot in shock waves // Phys. Fluids. 1966. -Vol. 9. - P. 1417-1418.

104. Крюкова С.Г. Некоторые особенности обтекания затупленного полу конуса и полуконуса с крыльями в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Тр. ЦАРИ. М., 1981, №2111.- С. 176-184.

105. Иванов М.С, Басс В.П., Шелконогов АЛ. и др. Пакет прикладных программ "Высота". 1350 СИВ 21. Москва: ГОНТИ 1, 1983.

106. Nanbu К., Igarash S., Watanabe Y. False collisions in the direct simulation Monte-Carlo method // Phys. Fluids. 1988. - Vol. 31. - P. 2047-2048.

107. Rarefied Gas Dynamics/ Ed. by Oquchi. — University of Tokyo. Press, 1984: 640 p. — (Proc. of the 14-th International Symposium; Vol. 1,2).

108. Rarefied Gas Dynamics/Ed. by C. Ccrcignani. — Studgard, 1986. — 780 p. — (Proc. of the 15-th International Symposium; Vol. 1,2).

109. Иванов M.C., Черемисип Ф.Г. Численное моделирование течений разреженного газа // Механика неоднородных систем. — Новосибирск, 1985. — С.281.30G.

110. Иванов M.С., Черсмиснп Ф.Г., Яннцкнй В.Е. Статистическое моделирование кинетических уравнений с физико-химическими процессами Д Моделирование в механике. Вычислительные методы в механике. — Новосибирск, 1987. Т. 1, № 3. - С.62-83. 93

111. Haviland J.K., Lavin M.L. Application of the Monte-Carlo method to heat transfer in a rarefied gas//Phys. Fluids. 1962. - Vol. 5, N 11. - P. 1599-1405.

112. Bird G.A. Approach to translational equilibrium in a rigit sphere gas//Phys. Fluids. 1963. - Vol. 6, N 10,- P. 1518-1519.

113. Григорьев 10.H., Иванов M.С., Харитонова II.И. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнений разреженных газов методом Мопте-Карло // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1971. - Т.2, № 4. - С. 101-107.

114. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова II.И. Решение задачи о течении Куэтта для кинетического уравнения БГК методом Монте-Карло // Вероятностные методы решения за дач математической физики. Новосибирск, 1971. - С. 16-34.

115. Власов В.И. Улучшение метода статистических испытаний Монте-Карло для расчета течений разреженного газа // Докл. АН СССР, 1966. Т. 167, № 5. - С. 1016-1018.

116. Решение задач физической и химической кинетики методом Монте-Карло / С.А.Денисик, Ю.Г.Малама, С.Н.Лебедев, Д.С.Полак // Применение вычислительной математики в химической и физической кинетике. М., 1969. -С. 179-231.

117. Применение метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов / С.А.Денисик, С.Н.Лебедев, Ю.Г.Малама, А.И.Осипов // Физика горения и взрыва. 1972. - Т. 8, № 3. - С. 331-349.

118. Белоцерковский О.М., Ерофеев Л.И., Яницкий В.Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Журн. вычисл. математики и матсм. физики. 1980. - Т.20, № 5. - С.1174-1204.

119. Яницкий В.Е. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистическогомоделирования столкновительных процессов в разреженном газе // Дополнение I: Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М., 1985. - С. 279-302.

120. Nanbu К. Interrelations between various direct simulation methods for solving the Boltzmann equation//! Pliys. Soc. Japan. 1983. - Vol. 52, N 10. - P. 33823388.

121. Коган M.H. Динамика разреженного газа. M.: Наука, 1967.

122. Гиршфельдер Дж., Кертпсс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Иностр. лит., 1961.

123. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М.: Иностр. лит., 1960.

124. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

125. Гудман Ф., Вахман Г. Динамика рассеяния газа поверхностью. М.: Мир, 1980.

126. Баренцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975.

127. Маслова Н.Б. Теоремы о разрешимости нелинейного уравнения Больц-мана // Дополнение: Чсрчпньяни К. Теория и приложения уравнения Больц-мана. М., 1978. - С. 451-480.

128. Маслова Н.Б. Стационарные задачи для уравнения Больцмана при больших числах Кнудсеиа // Докл. АН СССР. 1976,- Т. 229, № 3. - С. 593-596.

129. Bird G.A. Direct simulation and the Boltzmann equation// Phys. Fluids. -1970. Vol. 13, N 11. - P. 2677-2681.

130. Koura K., Kondo Л. Solutions of unsteady nonlinear molecular How problems by the Monte Carlo met,hod//Rarcfied Gas Dynamics. 1969. - Vol. 1. - P, .181184.

131. Koura K. Transient Coueite flow rarefied binary gas mixtures// Phys.Fluids.-1970,- Vol.t3,N 6,- P. 1457-1466.

132. Перепухов В.А. Решение методом Монте-Карло модельного кинетического уравнения // Уч. зап. ЦАГИ / Центр, аэрогидродинам: ин-т. 1973; -Т. 4, № 4. - С. 12-18.

133. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа // Уч. зап. ЦАРИ / Центр, аэрогидродинам, ин-т. 1975. - Т. 6, № 3. - С. 51-57.

134. Deshpande S.M. An unbiased and consistent Monte Carlo game simulating the Boltzmann equation.- Indian Inst. Science, 1978. (Report 78 FM4).

135. Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистичсского моделирования в динамике разреженного газа. Новосибирск, 1987. - 18 с. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ИТПМ; 19-87).

136. Nanbu К. Direct simulation scheme derived from the nmnn equation. I. Monoeomponent gases//J. Phys. Soc. Japan. 1980. - Vol. 49, N 5- -P. 20422049.

137. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzniaim. equation.1.. Mnlticomponent gas mixtures//J. Phys. Soc. Japan. 1980. - Vol. 49, N 5. -P. 2050-2054,

138. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation.

139. I. Rough Sphere Gas//J. Phys. Soc. Japan'. 1980. Vol. 49, N 6. - P. 2055-2058.

140. Nanbu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann. equation. IV4 Correlation of velocity//J. Phys. Soc. Japan. 1981. - Vol. 50, N 9. - P. 2829 -2836.

141. Nanbu K. Theoretical basis of the direct simulation Monte Carlo methods // Rarefied Gas Dynamics. 1986. - P. 563-382.

142. Иванов M.C., Рогазинский С.В. О связи метода прямого статистического моделирования с уравнением Больцмана // Статистическая механика. Численные методы в кинетической теории газов. Новосибирск, 1986. - С. 17-27.

143. Nanbu К. Analysis of the CoueUe flow by means of the new direct simulation method//J. Phyjs. Soc. Japan. -1983. Vol. 52, N 8. - P. 1602-1608.

144. Nanbu K. Analysis of the internal structure of shock waves "by means of the exact direct simulation method. Tohuku Univ, 1984. - P. 20. - (Rep. Inst. High Speed Mech. ; 4-8).

145. Babovsky H. On a simulation scheme for the Boltzmann equation//Math. Meth. in the Appl. Sei. 1986. - Vol. 8. - P. 223-233.

146. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных за дач математической физики. Новосибирск : Наука, 1966.

147. Марчук Г.И., Яненко H.H. Решение многомерного кинетического уравнения методом расцепления // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, Л 6. - С. 1291-1292.

148. Грэд Г. Кинетическая теория газов // Термодинамика га зов. М., 1970.- С. 5-109.

149. Богомолов C.B. О сходимости метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана. М., 1979. - 25 с. - (Препринт / АН СССР. ИПМ; 184).

150. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Журн. вычисл, математики и мат. физики.- 1980. Т. 20, Л I. - С.191- 207.

151. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенциалах взаимодействия // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982,- № 6. - С. 179-183.

152. Чзремисин Ф.Г. Численные методы прямого решения кинетического уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1985. - Т. 25, m 12. - С. 1840-1855.

153. Yanenko N.N. et al. Methods of statistical modelling and direct numerical integration of kinetic equations of gas theory: development and application to problems of rarefied gas dynamics // Rarefied Gas Dynamics. — 1985. — vol. 1.- P. 371-384.

154. Боровков A.A. Теория вероятностей. M.: Наука, 1976.

155. Михайлов, Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.

156. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

157. Спапье Дк., Гелбард Б. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М.: Атомизда,т, 1972.

158. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

159. Пригожий И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1964.

160. Grunbaum P.A. Propagation of chaos for the Boltzmaim equation.//Arch. Rat. Mech. and Anal. 1971. - Vol. 42, N 5. - P. 323-344.

161. Климонтович 10.JI. Диссипативные уравнения для многочастич ных функций распределения // Успехи физ. наук. 1983. - Т. 139, вып. 4. - С. 689-700.

162. Кондюрин Ю.Н. Об одном статистическом подходе к решению уравнения Больцмана // Журн. вычпсл. математики и мат. физики. 1986. - Т. 26, № 10. - С. 1527-1534.

163. Koura К. Null-collision technique in the direct simulation Monte Carlo method// Fluids. 1986. - Vol. 29, N 11. - P. 3509-3511.

164. Белоцерковский О.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.

165. Иванов Ad.С., Рогазинский C.B. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Математическое моделирование. 1989. - Т.1, № 7. - С. 130-145.

166. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Статистическое моделирование течений разреженного газа на основе принципа мажорантной частоты. Докл.АН СССР, 1990, Т.312, N 2, стр. 315-320

167. Михайлов Г.А., Рогазинский C.B. Весовые методы Монте-Карло для решения многочастичных задач, связанных с уравнением Больцмана. Докл.РАН, 2002,т.383, по. 3,с. 731-734

168. Михайлов Г.А., Рогазинский C.B. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана. Сиб. мат. журнал, 2002, т. 43,110.3, с. 620-628.

169. Коротченко М.А., Михайлов P.A., Рогазинский C.B., Иванов М.С. Глобальнс весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана// Журнал Выч. мат. и матем. физики, 2005, Т. 45, № 10, С. 1860-1870.

170. P.A. Михайлов, C.B. Рогазинский, Н.М. Урева. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции// Журнал Выч. мат. и матем. физики, 2006, Т. 46, № 4, С. 714-725.

171. G.A. Mikhailov, S.V. Rogasinsky, N.M. Ureva. Global weight Monte Carlomethod for nonlinear coagulation equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 200G. - Vol. 21, No. 1. - P. 53-66

172. M.A. Korotchenko, G.A. Mikhailov, S.V. Rogazinskii. Value modifications of weighted statistical modeling for solving nonlinear kinetic equations// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2007. - Vol. 22, No. 5. - P. 471-486

173. M.A. Коротченко, Г.А. Михайлов, С.В. Рогазииский. Модификации весовых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнении. // Журнал Выч. мат. и матсм. физики. 2007. - Т. 47, №12 - С. 2116-2127.

174. Г.Л. Михайлов, С.В. Рогазинскпй, М.А. Коротченко. Ценностные алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кппетпче-скнх уравнении.// Доклады Академии Наук. 2007, - Т. 415, № 1, - С. 26-30.

175. Ivanov M.S., Korotchenko М.А., Mikhailov G.A., Rogasinsky S.V. New iVlonte Carlo global weight method for 1 he approximate solution of the nonlinear Bollzmann equation // Rus. J. Numer. Anal, and Math. Modell.-2004.-Vol. 19, №3 -P.223-238.

176. Королев A. E., Яницкий В. E. Прямое статистическое моделирование столкновительной релаксации в смесях газов с большим различием в концентрациях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1983. — Т. 23, № 3. С. 674-680.

177. Mikhailov G. A. Parametric estimates by the Monte Carlo method. Utrecht: VSP, 1999.

178. Михайлов Г. А. Весовые методы А4онте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

179. Повзнер А. Я. Об уравнении Больцмана кинетической теории газов // Мат. сб. 1962. Т. 58. С. 65-86.

180. Королев А.Е., Яницкий В.Е. Прямое статистическое моделирование столкновительной релаксации в смесях газов с большим различием в концентрациях // Ж. вычисл. матсм. и матем.физ. — 1983. — т.23, N 3. — С. 674-680.

181. Mikhailov G.A. Parametric estimates by the Monte Carlo method. Utrecht: VSP,1999.

182. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

183. Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.18G. Бобылев A.B. О точных решениях уравнения Больцмана // Доклады Академии наук СССР. 3975. Т. 225, № 6. С. 1296-1299.

184. Бобылев A.B. Точные решения нелинейного зфавнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа // Теоретическая и математическая физика. Том 60, № 2 август, 1984. С. 280-310.

185. Королев А.Е., Яницкин В.Е. Прямое статистическое моделирование етолк-иовительной релаксации d смесях газов с большим различием в концентрациях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 3383. Т23, № 3. С. 674-680.

186. Mikhailov G.A. Parametric estimates by the Monte Carlo method. Utrecht,: VSP, 1699.

187. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

188. Рогазинский C.B. Алгоритмы статистического моделирования для решения некоторых кинетических уравнений: Дис. на соискание учён. степ. канд. физ.-мат. наук,- Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН, 19891.

189. Деписик С.А., Малама 10.Г., Лебедев С.Ii., Полак Л.С. Решение задач физической и химической кинетики методом Монте-Карло. // Применение вычисл. матем. в хим. и фпз. кинетике. М., Наука, 1969, С. 179-231.

190. Деписик С.А., Лебедев С.Н., Малама Ю.Г. Об одной проверке нелинейной схемы метода Монте-Карло. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1921. Т. 11, № 3. С. 783-785.

191. Бобылев A.B. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа // Теоретическая и математическая физика. 1984. - Т. 60, № 2. - С. 280-310.

192. Вологцук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Ленинград: Гидроме-теоиздат, 1984.

193. Домиловский K.P., Лушпиков А.А, Пискунов В.Н. Моделирование процессов коагуляции методом Монте-Карло // Докл. АН CCCP.-1978.-t.240,.N"°41.с.108-110.

194. Gillespie D.T. The stochastic coalescence model for cloud droplet growth // J. of the atmospheric science.-1972.-v.29,№8.-p. 1496-1510.

195. Лушников А.А. Некоторые новые аспекты теории коагуляции // Изв. АН СССР, Сер. физика атмосферы и океана.-1978.-т.14,№10.-с.1048-1055.

196. Marcus ATI. Stochastic coalescence // Technometrics.-1968.-v.l0,№l.-p.l33-143.

197. Михайлов P.А. Весовые алгоритмы статистического моделирования.- Новосибирск: Изд. ИВМиМГ Со РАН, 2003.

198. Михайлов Р.А. Весовые методы .Монте-Карло. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ Со РАН, 2000.

199. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Ленинград: Гидроме-теоиздат, 1984.

200. К. Кейз, П. Цвайфель. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

201. Ю.Н. Кондюрин, Об одной процедуре Монте-Карло решения уравнения Больцмана, связанной с методом Метрополией // Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды. Свердловск, 1985. - С. 32-45.

202. А/1ихайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 248с.

203. S.V. Rogasinsky, M.S. Ivanov, D.A. Levin. Analysis of statistical errors of DSMC results for rarefied gas flows. 25-th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, St.-Petersburg, Russia, July, 2006

204. C.B. Рогазинский, Метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае // Методы статистического моделирования. Новосибирск, 1986. - С. 91-96.

205. С.В. Рогазинский, Построение метода Монте-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции с источником // Численные методы статистического моделирования. Новосибирск, 1987. - С. 148-159.

206. С.В. Рогазинский, Об одном подходе к решению нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана методом Монте-Карло // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Новосибирск, 1985. С. 376-379.

207. G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Clarendon Press, Oxford 1994, pp. 458.

208. M.S. Ivanov, G.N. Markelov, and S. F. Gimelshein, "Statistical simulation of reactive rarefied flows: numerical approach and applications", AIAA Paper 982669, June 1998.

209. D. A. Levin, S. F. Gimelshein, N. E. Gimelshein, "Examination of Wafer Dissociation Models in Shock Heated Air", J. Thermophys. and Heat Trans., Vol. 16, No. 2, April-June 2002, pp. 251-260.

210. M. Kac, "Probability and Related Topics in Physical Sciences", Interscience Publishers, London-New York 1959, pp. 266.

211. Gang Che and I. D. Boyd "Statistical error analysis for the direct simulation Monte Carlo technique."Jornal of Computational Physics 126(1996) 434-448.

212. N. G. Nadjiconstantinou, A.L. Garcia, M.Z. Bazant, Gang Che "Statistical error in particle simulations of hydroclynamic phenomena. Jornal of Computational Physics 187(2003) 274-297.

213. L. Landau, E. Lifshitz, Statistical physics, Part 1, Butterworth-Heinemami, Oxford, 1980.

214. M. N. Kogan, "Rarefied gas dynamics", Plenum press, New York 1969, pp. 515.

215. E. Parzen, "Modern Probability Theory and Its Applications", John Wiley & Sons, Inc., New York-London 1960, pp. 414-423.

216. S. M. Ermakov, G. A. Michailov, "Course of statistical modeling", Naulm. Moscow 1984, pp. 307

217. Yu. A. Shreider. "Method of statistical testing (Monte Carlo method)", Elsevier publishing company, Amsterdam London - New York 1964, pp. 303.

218. Хисамутдинов А.И. Об имитационном методе статистического моделирования разреженных газов // Докл. АН CCCP.-1986.-t.291, № 6.-е. 1300-1304.

219. Хисамутдинов А.И. Имитациоиное статистическое моделирование кинетического уравнения разреженных газов // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 302, № 1 - С. 75-79.

220. Хисамутдинов А.И. Алгоритмы с "разновременными координатами"методо!

221. Монте-Карло для нелинейного "сглаженного"уравнения Вольцмапа // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, № 4 - С. 829-833.

222. Хисамутдинов А.И., Кобелева Н.Ф. "Несимметричные "взаимодействия в методах Монте-Карло с непрерывным временем и аппроксимация уравнения Больцмана // Математическое моделирование. — 1992. — Т.4, К2 2. — С. 110-119.

223. Хисамутдинов А.И. Алгоритмы с фиктивными соударениями методов Монте-Карло с непрерывным временем для уравнения Больцмана // Докл. АН СССР. 1993. - Т. 328, № 6 - С. 662-665.

224. Хисамутдинов А.И., Сидоренко Л.Л. Алгоритмы метода Монте-Карло с непрерывным временем для кинетического уравнения разреженных газов // Математическое моделирование. — 1994. — Т.2, № 2. — С. 47-60.

225. Khisamutdinov A. I. On some properties of Markov processes and Monte Carlo methods for inhomogeneous Boltzmaim equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2005. — Vol. 20, No. 2. P. 131-160

226. А4ихайлов P.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование (Метод Монте-Карло). М., Издательский центр "Академия 2006

227. Titov Е., Levin D., Rogazinsky S. V. Analyses of Numerical Errors in the Kinetic Modeling of Microthruster Devices// JOURNAL OF THERMOPH YSICS AND HEAT TRANSFER. 2007. Vol. 21. No. 3. P. 616-627.

228. Rogasinsky S.V. Statistical modelling of the solution of the nonlinear Boltzmarm equation in the spatially inhomogeneous case // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 2009. Vol.24. No. 5. P. 495-513.

229. Reed В., De Groot W. and Dang L., "Experimental Evaluation of Cold Flow Micronozzles," AIAA Paper 2001-3521 , July 2001.

230. Alexeenko A., Collins R., Gimelshein S., Levin D. and Reed В., "Numerical Modeling of Axisym- metric and Three-Dimensional Flows in MEMS Nozzles"

231. AIAA Journal , Vol. 40, No. 5, 2002, pp. 897-904.

232. Alexeenko A., Levin D., Fedosov D., Gimelshein S. and Collins R., "Coupled Thermal-Fluid Modeling of Micronozzles for Performance Analysis in MEMS-based Thruster" AIAA Paper 2003-4717 .

233. Bayl R. and Breuer K., "Viscous Effects in supersonic MEMS-fabricatcd micronozzles," Proceedings of the 3rd Microfluids Symposium, Ahaheim, CA, November 1998.

234. Chen K. Winter M. and Huang R., "Supersonic flow in miniature nozzles of the planar configuration," Journal of Micromechanics and Microengineering, Vol. 15, March 2005, pp. 1736-1744.

235. Bird G., Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows, Clarendon Press, Oxford, 1994.

236. Ivanov M. and Gimelshein S., "Current Status and Prospects of the DSMC Modeling of Near-Continuum Flows of Non-reacting and Reacting Gases" Proceeding! of the Rarefied Gas Dynamics 23rd Int. Syrnp., AIP Conference, Vol. 663, 2003, pp. 339-348.

237. Ivanov M. and Rogasinsky S., "Analysis of numerical techniques of the Direct Simulation Monte Carlo method in the rarefied gas dynamics," Sov. J. Num. Anal. Math. Modelling, Vol. 3, No. 6, 1988, pp. 453-456.

238. Васс В. П. Расчет обтекания тел потоком сильно разреженного газа с учетом взаимодействия с поверхностью // Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1978, № 5,

239. Нусинзон J4. М., Породнов П. Г., Суэтин П. Е. Решение задачи о течении газа в цилиндрическом капилляре в промежуточном режиме методом Монте-Карло // Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, № 6.

240. Власов В. И. Улучшения метода статистических испытаний (Монте

241. Карло) для расчета течении разреженного газа. ДАН СССР, 1966, т. 1G7, № 5.

242. Власов В. И. Расчет методом Монте-Карло обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа// Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газодинамике, 1977, Изд-во ЦАГИ.

243. Власов В. И., Хлопков 10. И. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа// Ж. вычислит, матем. и матем физики, 1973, № 3.

244. Власов В. 14., Горелов С. Л., Коган М. Ii. Математический эксперимент, для вычисления коэффициентов переноса // ДАН СССР, 1968, т. 176. АГо 6.

245. Горелов.С. Л., Коган М. Н. Течения разреженного газа между двумя параллельными пластинками // Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 6.

246. Горелов С. Л. Течения разреженного газа в трубе // Изв. АН СССР, Мсхан. жидкости и газа, 1974, № 1.

247. Коган М. Ii. Динамика разреженного газа. М., Наука, 1967.

248. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло// Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1968, № 6.

249. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение задачи о скачке температуры // Изв. АН СССР, Механ. жидкости и газа, 1968, № 4.

250. Горелов С. Л. Термофорез и фотофорез в разреженном газе // Изв. АН СССР, Мехап. жидкости и газа, 1976, № 5.

251. Rogasinsky S.V. On the pair correlations of particle evolution in the direct statistical simulation// Monte Carlo methods and applications,vol.2, No.l, 1996, pp. 25-40

252. Колмогоров A.II. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1968.

253. Васильева A.B., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2002

254. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1979

255. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.:ФИЗМАТЛИТ, 1959

256. Гохберг И. Ц., Крени М.Г. Теория Вольтерровых операторов в Гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1967

257. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. — М.: Наука, 1991

258. Иоспда К. Функциональный анализ. — М.: МИР. 1967

259. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972

260. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975

261. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Иностранная литература, 1962