Решение задачи Коши и нестационарной начально-краевой задачи для уравнения Больцмана методом Монте-Карло тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

■< о «

. Л -; *, ■••! *

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НОСШЁВЛ Нина Мнхвйловнв

УДК 519.676

РЗИЕНИЕ ЗАДАЧИ К011М и нестационарной НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЩША МЕТОДОМ ШНТК-КАРЛО

01.01.07 - Вычислительная математика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидате физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете .

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор ЕРМАКОВ Сергей Михайлович

Официальные оппоненты - доктор физико-цатвматических наук, профессор БАРАНЦМ* Рэм Георгиевич

кандидат физико-математических наук, ст.научный сотрудник СМИРНОВ Сергей Николаевич

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной механики СО АН

Защита состоится " ¡4 » _1992 г. в /^ час.

на заседании специализированного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук » Санкт-Петербургском государственном уннварск-, тете: 193904, Санит-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл., 2. Цатематико-мэхвничвский фа культет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.М.Горького О-Пегербургского университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан а 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 063.57,30 доцент

Ю.А.Сушков

0Б1ДАЯ ХАРА1СГКРИСТ11КА РАБОТЫ

Вероятностные вычислительные методы а настоящее время являются наиболее распространенными и элективными при решении задач динамики разреженных гззов (ДРГ). Ото объясняется вероятностной природой кинетических уравнений, высокой размерностью задеч и сложной постановкой граничных условий.

Современное состояние метода прямого статистического моделирования полно представлено п [I]. Там :ие обсуждаются преимущества метода и возникающие проблемы. Значительное развитие получил метод Монто-Карло, о котором для решения задач ,ЦРГ используются ветвящиеся процессы и марковские процесса с взаимодействием ("столиновигельнке" процессы), в некотором смысле двойственные ветвящимся. Для зто.Ч группы методов характерно то, что моделирование "решающего" процесса вытекяет непосредственно из уравнения и связь численного алгоритма с решением уравнения очевидна. Конструктивное построение "столкновительного" процесса и исследования в этом направления принадлежат В.В.Некруткину и , изложены а [21. Там же описаны вычислительные процедуры, использующие вероятностное представление решения и "столкновительнве" процессы.

Общая теория подхода, основанного на сопоставлении нелинейному уравнению ветвящегося процесса, подробно разработана С.М.Ермаковым ГЗ]. Соответствующая вычислительная "сопряженная" схема для решения уравнения Больцмвна требует обращения времени ветвящегося процесса и рассматривает "обращенное" движение молекул. В свяли с использованием "сопряженной" схемы появляется возможность оценивания репення уравнения Бэльцмана в области больших сигроотей, что является актуальным вопросом кинетической теории.

I. Ипонов М.С., Рогаэииский C.B. Метод прямого статистического моделирования п динамике разреженного газа. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1988, е.117. ?.. Ермаков С.И., Нпкрутким В.В., Сипик Л.С. Случайные процессы цлч решения кллгсичрс'кпх уравнений математической физики. М. Наука, I»}.

3. Ep'.-aiton С.а. Ее год ЯоИтМйрло и сметные вопросы. М., Наука,

"Сопряженная" схема может быть применена к реыению обобщенного уравнения Больцмана, описывающего смеси и многоатомные газы. Обобщение можно продолжить, включив химические реакции. Всё сказанное выше определяет важность дальнейшего развития данного подхода для решения задач ДРГ.

Отсутствие достаточно эйективиьгх способов реализации этой численной схемы обусловлено трудностями, связвннимя с необходимостью выполнения некоторого мажорантного условия для существования оценки решения. Для известных оценок это условие оказывается весьма ограничительным. В диссертации развитие метода подразумевает построение несмещенных оценок с более слабыми мажорантными условиями и создание на их основе эффективных алгоритмов решения задачи Ко^и и начально-краевой задачи для уравнения Больцмана.

ЦКЛЬ РАБОТЫ. Диссертационная работа посвящена.

- построению алгоритма метода Монте-Карло для решении нелинейных интегральных уравнений, к которым сводятся основные задачи для уравнения Больцмана,

• - теоретическому и численному анализу возможности применения "сопряженной" схемы для решения уравнения Больцмана, ч

- построению несмеденннх оценок функционалов от р?мений задачи Каши и начально-краевой задачи для уравнения Больцмана о расширенной областью применимости метода Конте-Карло,

- конструированию алгоритмов решения отих задач но основе полученных оценок.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. На защиту выносятся следующие новые результаты:.

- построена несмещенная оценка "с расщеплением" для решения одного класса нелинейных интегральных уравнений с менее ограничительными мажорантными условиями,

- получена при некоторых предположениях оценка временного интервала, на котором существует и имеет конечную дисперсию оценка "по поглощению" для решения уравнения Больцмана,

- описаны ветвящиеся процессы и предложены способы численной реализации оценок "с расцеплением" для решения задачи Коти и начально-краевой задачи для уравнения Больцмана,

- построены, теоретически и численно исследованы алгоритмы решения уравнения Больцмана.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Построены численные схемы метода .Монте-Карло, применимость которых обеспечивается сходимостью мажорантного итерационного процесса, отличного от известного ["3] и сходящегося для более широкого класса исходных данных. Предложенные алгоритмы могут быть использованы для решения задач динамики разреженных газов.

АПРОБАЦИЯ РАБОЙ. Результаты диссертационной работы были доложены

1) на УС! и XI Зсесоюзнкх конференциях по динамике разреженных газов (1985, 1991),

2) на УП и ХШ Всесоюозных совещаниях "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике" (1985, 1991),

3) на школах-семинарах "Актуальные проблемы статистического моделирования и его приложения" (1987, 1989),

4) на заседаниях семинара кафедры статистического моделирования

и опубликованы в работах ["I - 5].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трах глав, приложения, 17 таблиц. Общий объём работы составляет II машинописных страниц, библиография содержит 59 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дается обзор вероятностных численных методов в ДРГ, обосновывается выбранное направление для ревения поставленных задач и кратко излагаются результаты диссертации.

Первая глава посвяцена построению алгоритма метода Монте-Карло для решения нелинейных интегральных уравнений типа

+ ]¿(сГр!I £7*.у) (у>) + У Г1 у (I)

* с.г(х. у) Я + к'щ)^,^) ,

где д- с X , 'У <~ Ч 1 X - конечные мери на )( и Ч ■

•г

(2)

У X , -I, ¿4... т , ^"(х)- задан-

ная измеримая функция.

Известными преобразованиями уравнение Больцмина сводится к уравнениям вида (I).

Для оценивания функционала ¡<-Г(х)-/1(х)Ха/л) от итерационного решения уравнения (I) можно использовать вычислительную схему, разработанную в Г3 ] , если'сходится итерационный процесс

у _ а"

Здесь К/зК/(*. у) , ^ :4>(чсу>).

3 глава I строится несмещенная оценка функционала с более'слабым, чем (2), мажорантным условием.

В § 1.1 дается описание ветвящегося процесса, "решающего" уравнение (I). Для каждой его траектории , содержащей как точки из у , так и точки из У , вводится множество её "подтраекторий" специального вида, называемого расщеплением СО •

В § 1.2 каждой траектории сопоставляется значение

^ (£> ) случайной величины у . Искомая оценка Н на траектории и) определяется формулой *

В основе как представления (3), тек и построения ^ лежит теорема 1,2.1. Согласно Г3 I имеется соответствие между членами обобщенного ряда Неймана и множеством Р графов определенной структуры (деревьев), связанного со строением рассматриваемого уравнения. Графическая структура любой траектории сС также может быть очевидным образом отражена с помощь» дзрева ^ При этом оказывается, что ¿"¿Л . Так полученные деревья образуют подмножество Г ¿Г • Недостающие деревья из Г получаются, если вместо со всяким деревом $ £ Г рассмотреть всевоэ-

моемые его поддеревья с тем же числом "поколений", содержащие все вершины дерева ', соответствующие точкам траектории из пространства У . Число таких вершин обозначим I I ■ Сумма членов ряда Неймана, соответствующих множеству Г? таких поддеревьев дерева р £ , может быть записана в виде интеграла

] .к(й)^^^Сс) *

по множеству редукций траектории, графы которых лежат в Г^ Здесь под редукцией траектории понимается получаемая из неё траектория после выбрасывания всех её точек, лежащих в X < кроме начальной, Функция .Л- и мера^ ~ определяются деревом ? и исходным уравнением.

Значение случайной величина ^ на траектории сГ £/?/со} полагается равным значению на редукции ¿о производной' Радона-Никодима меры по мере на > определяемой с помо-

щью начальной и переходной вероятностей, описывающих основной ("решающий") ветвящийся процесс, а - это граф траектории й •

Содержание теоремы 1.2.1 состоит в следующем. Если обобщенный ряд Неймана для допускает указанную перегруппировку своих членов, для чего достаточным условием может служить его абсолютная сходимость, то ^ продетавимо в виде

Нг/'У"'1 ■

В §1.3 доказывается

Теорема 1.3.1. Справедливо равенство , если выполняет-

ся мажорантное условие О

) ] ¿р (¿)< СЮ (4)

НГ Х-У"' '

В'заключении параграфа приводится удобный для практических целей алгоритм конструирования оценки ^•

в

Вторая глава посвящена изучению условий применимости метода Монте-Каряо к реиению задачи Коши для уравнения Больцмана и конструированию алгоритмов решения данной задачи.

В § 2.1 дана постановка задачи. Задача стандартным образом сводится к интегральному уравнению относительно функции <~f , где V - отклонение больцмановской функции распределения I от глобального максвелловского распределения ,

Без ограничения общности можно считать, что -(йЛ Интегральное уравнение записывается в виде, удобном для изложения алгоритма

Wt.j.x): LC, 71*Я**!?-— i-i, <*>),

i

x/i iS

* i 4 о о ¡-'■i

Ы, = Zr) + J=,) -r X,) Xj)t

cf>№gy = - xt) - Wt.j.x,) W.j;, xt),

/ Xf:X- j(i-7).

Здесь J , jt " J i Jt - скорости двух частиц до столкновения и после него,

частота столкновений, соответствующая мэ"~велловсной функции распределения.

Pf, Н • ~ имеют смысл плотностей распределения ? Г

О, £ соответственно.

Исходя из вероятностей трактовки ядра и свободного члена уравнения (5), задается ветвящийся процесс, на траекториях.которого вычисляется оценка по поглощению ^ функционала

i (i) * \ча,ух)1 tj) (г(ук\¿J с/х Для степенных потенциалов Кр с о< ; X п проетрянстве

С (Гр.ТЬЯ*. Ц ) с нормой [№11.- >>«-Р ,х)/1 имеет

11 1 ' е 1£[сП х.

место

Теорема 2.2.1. Существует (¡1 ) такое, что для Ьб [о.Т^] случайная величина ^ является несмещенной оценкой и

имеет ограниченную дисперсию.

Теорема 2.2.1 позволяет на временном интервале [0,7^] обоснованно применять для оценивания "сопряженную" схему с использованием оценки £

§ 2.3 посвящен применению результатов главы I для построения алгоритма оценивания ревения Ч' на основе оценки "с расщеплением" .

Для рассматриваемого уравнения (5) значение функционала $ из § 1.2 есть ^И.^х) , и в лемме 2.3.1 доказывается, что мажорантное условие (4) выполняется для ^ £ Г ] , где Поэтому справедлива

Теорема 2.3.1. Для г С [С>:Ту]*/\*«А* Ег/гЧ>(х) , если ряд Неймана для Ч(х) абсолютно сходится, что заведомо выполняется при И. [С, 7^2 .

Оба алгоритма апробирован^ на решении двух задач динамики разреженного газа. Результаты вычислений приведены в приложении.

Глава Ш посвящена построении алгоритмов метода Монте-Карло для решения нестационарной начально-краевой задачи для уравнения Больцмана. В § 3.1 приводится формулировка задачи [4]: требуется найти функцию ¿гх) , удовлетворявшую уравнению Волыд-мана

*£+ ¿Л:а/{,/), 1>с,]ся3. хсъ, (б)

начальному условию р ' ^е , Ь'С, • (7)

граничному условию < гР, х 6 Э , (8)

где д % - граница области Я) , £ - функции распределения падающих и отраженных частиц, Д - линейный оператор.

После подстановки в (б - (8), задача иэвес.тннм

4. Квслоаа Н.Б. Теоремы о разрешимости нелинейного уравнения Болыдаяна. В кн. Черчшьяни К. Теория н приложения уравнения Больцмана. П., Мир, 1970.

способом преобразуется к эквивалентной системе интегральных уравнений, которая записывается в форме, позволяющей использовать "сопряженную" схему ;

а яь

зи лГ

//] 21 ^ «г;, ¡с яъ.*).

г1*

£ О)

Л1 « О

-- к к.IX, г^./л) -

'РЛМ'.х^Ч'Ъу.х,)^. (Ю)

Здесь Г,* 8 «/>/7: 0 } , где р(.

уравнение поверхности 55}.

Р ,р р р^ Ср. (<-Р, <-Л) - определяется точно так же,

как в § 2.1.

P(j,j - имеет смысл плотности вероятности того, что частица падает на поверхность в точке х, со скорость» j ' , при условии, что её скорость отражения от поверхности равна J

В § 3.2 вводится ветвящийся процесс и строится алгоритм Ш оценивания итерационного решения ( с помощью известной оценки "по поглощению" ^J t

В § 3.3 результаты главы I обобщаются на случай решения системы (9), (10). Переходная плотность f//*) ветвящегося процесса, сопоставляемого системе (9), (10), определяется следующим образом; если X & <Ъ , то

' f(i,j)Pr а,;, r)Pp (J, рpcpt , j eSl'd, £ и,J. *.)R(].j: Po pt,

Если ч: С О Я) , то "

и /. rs) - вероятности поглощения частицы внутри обла-

сти ® и на границе ,

~ вероятность долететь до границы из точки (t.],*)-На траекториях процесса строится аналог оценки "с расщеплением", для которой в теореме 3.3.2 сформулированы достаточные условия несмещенности. Основой доказательства этой теоремы служит теорема 3.3.1 о представлении итерационного решения системы (9), (10) в виде 21 Sjr . Как и в § I.I, Sy - сумма членов обоб-

г

щенного ряда Неймана, соответствующих деревьям из ' £ • Однако теперь наличие граничных условий (8) приводит естественным образом к введению в "решающий" процесс взаимодействия частицы с поверхностью , состоящего либо в её поглощении с вероятностью

, либо в отражении согласно плотности вероятности Р3 . Но этой причине для Цс 'Г множество Г; в данном случае состоит из всех тех подцерерьев дерева к - , множество вершин каждого из которых содержит в скбе начальную вершину дерева X и множество

V^ вершин % , отвечающих всем точкам траектории, п которых произошло столкновение между частицами или отражение частицы от поверхности. Сумма записывается в виде интеграла по фазовому пространству лишь тех точек траекторий структуры X , которые соответствуют вершинам из

И, наконец, рассматриваются вычислительные аспекты моделирования оценки ¡^

В § 3.4 сформулированы основные положения алгоритма реализации столкновительной релаксации, который может быть использован при решении начально-краевых задач с помощью метода, основанного на идее расщепления движения молекул на два последовательных этапе, свободное движение и столкновения (см., например,[1]). Использование результатов главы II с более точным приближением максвеллов-ской части к функции распределения ^ позволяет с достаточно высокой точностью оценить ив области больших скоростей.

В приложении проведенс численное исследование предложенных в главе П алгоритмов на решении нелинейной задачи о релаксации мак-свелловгкого газа (ВКИ/ - уравнение) и газа из твердых шаров. Полученные результаты подтверждают работоспособность алгоритмов и дают основание заключить, что алгоритм, построенный на основе оценки "с расщеплением" экономичнее алгоритма с применением оценки "по поглощению". При изучении возможностей алгоритмов для получения решений с высокой точностью основное внимание уделено решению ВКи/- уравнению, поскольку для него построено аналитическое решение [5,6]. Сравнение результатов расчетов с точным решением показало ик хорошее совпадение.

Аитор глубока признателен проф. С.М.Ермакову за постаногку задачи и постоянное внимание к работе.

5. Бобылев Pi.В. Докл. АН СССР, 1975, Т.225, № 5, с. I04I-I044.

6. Krook М. , Wu Т. Т. // Ihye.Fluids. 1977. Vol. ¿0, 1/ 10, P.

1589-1J95-

Публикации по темэ диссертации

1. Ермаков С.«., Москалева Н.М. Моделирование ветвящихся процессов для решения уравнения Больцмэна. В'сб.: ЛГ1Ш и СО АН СССР. Статистич. механика. Численные методы в кинетической теории газов. 1985, с. 9-14.

2. Ермаков С.М., Москалева Н.М. Ветвящиеся процессы и уравнение Больциана. Вычислительные аспекты. - Вес.тник ЛГУ, сер.1, 1987, вып. 3, № 5, с.38-43.

3. Москалёва Н.М. О повышении эффективности алгоритмов, основанных на моделировании ветвящихся процессов.'- Тезисы докладов школы-семинара "Актуальные проблемы статистич.моделированкя

и его приложения", Ташкент, 1989, с. 25.

4. Москалёва Н.М. Несмещенные оценки решений задачи Коти и начально-краевой задачи для уравнения Больцмана. - Труды XI Все-союзк. конф. по динамике разреженного газа. М., 1991.

6. Москалёва Н.М. Ветвящиеся процессы для решения нестационарной начально-краевой задачи для уравнения Еольцмяна. Тезисы докл. на УШ Всесоюзен.совещ. "Методы Монте-Карло в вычислит, матем. и матем. физике", Новосибирск, 1991, с.201-203.