Начально-краевые задачи для системы моментных уравнений Больцмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

г г ^

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

На правах рукописи

САКАБЕКОВ АУЖАН

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Алматы-1993

Работа выполнена в Казахском политехническом институте имени В.И.Ленина и Институте теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Республики Казахстан

Научный консультант- академик НАН Республики Казахстан, доктор физико-математических наук, профессор Султангазин У.М,

Ведущая организация - Математически? институт имени

В.А.Стеклова

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

член корреспондент НАН Республики Казахстан Отелбаев М.

доктор физико-математических наук, снс Бобылев А.В.

доктор физико-математических наук, снс Смелов В.В.

Защита состоится "J?/" ЪС,(£Р^&р£с 1993 г. в " » час. на -заседания—специализированного совета J.u4.u1 в институте-теоретической и прикладной математики НАН РК: 480021, г. Алматы, ул. Душкина, 125-

С диссертацией ыохао ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной математики НАН РК.

Автореферат разослан "б " ИОЯ-^Я 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат фазяко-матеиатическах наук

А.. Т. Ку лахиетова

I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одним из основных уравнений математи-ской физики является уравнение Вольцмана, которое описывает по-дение разряженного газа в пространстве по времени и скоростям. В учае одноатомного газа любая макроскопическая система в процессе оей эволюции к состоянию равновесия проходит три этапа: началь-й переходной период-описывается в терминах полной функции рас-еделения системы, кинетический период - с помощью одночастичной нкции распределения, гидродинамический период - с помощью пяти рвых моментов функции распределения. В динамике разряженных га-в принято выделять четыре раздела в соответствии с четырьмя раз-чными режимами течения, названными "свободномолекулярным", очти свободномолекулярным", "переходным" и "течением со скольже-ем". Эти режимы соответствуют очень сильно разряженным,сильно зряженным, умеренно разряженным и слабо разряженным течениям 13а. Такое деление целесообразно, поскольку каждый режим характеру ет различные явления и фундаментальный теоретический подход к : исследованию совершенно различен. Так как понятие "разряженный" относительное, разграничение на четыре режима течения характери-ется не абсолютными уровнями давлений или плотностей газов, а >едней длиной свободного пробега частиц. В соответствии с выше-1званными режимами приходится рассматривать начальную, начально->аевую и граничную задачи для уравнения Вольцмана без столкнови-!Льного члена или со столкновительным членом. Кроме того, кинети->ские уравнения, к которым относится уравнение Вольцмана, приме-[ются и для изучения переноса нейтронов в ядерных реакторах, феноса фононов в сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в гмосферах звезд и планет.

Из газовой динамики известно, что в большинстве встречающихся )дач нет необходимости использовать детальное микроскопическое шсание газа с помощью функции распределения. Поетому естественно шскать менее детальное описание, используя макроскопические газодинамические переменные (плотность, гидродинамическую скорость, ;мпературу). Поскольку эти переменные определяются через моменты гнкции распределения, мы сталкиваемся с проблемой анализа раз-тчных моментов уравнения Вольцмана.

Изучая моментные уравнения, мы получим некоторую информацию о амой функции распределения и в случае сходимости моментного мето-

да полную информацию о ней. Заметим, что моментные уравнения Бо цмана являются промежуточным между Больцмановеким (кинетичес теория) и гидродинамическими уровнями описания состояния разряж ного газа и образует ранее не изученный класс нелинейных уравне в частных производных. Существование такого класса уравнений за1 чено Градом (Grad Н., Conam.Pure and Appl.Math. 2, N4 (1949). Ру перевод в сб. "Механика", N4,N5 (1952)) еще в 1949 году. Им по. чека моментная система путем разложения функции распределения ч тиц по полиномам Эрмита около локального максвелловского распре, левия. Но момеятная система Грэда не была использована на практ! и не изучена из-за сложности дифференциальной части.

Из вышеизложенного следует, что изучение начальной и нача. но-краевой задач для уравнения Больцмана и моментной системы яв. ется весьма актуальным.

Целью работа является: 1)подучение системы моментных урав1 ний Больцмана в случае максвелловских молекул, способы обрыва б< конечной системы уравнений; 2)постановка как внешних, так и вн; решшх граничных условий для конечной системы моментных уравне! И вопросы корректности полученных задач; 3)изучение начально- к] евой задачи для линейной и нелинейной систем моментных уравне! Больцмана и вопросы сходимости моментного метода; 4)изучение i чальной задачи для нелинейной системы моментных уравнений и воп] сы сходимости, а также краевые задачи для стационарной нелинеШ системы моментных уравнений; 5)вопросы существования глобальнс решения начально-краевой задачи для уравнения Больцмана.

За исключением последнего пункта во всех этих задачах рг

трисы рассеяния предполагается, что о(%)еЬ' ([о,it]), а(% VXefo.u:.

В диссертации получены следующие новые научные результат 1)выведена система момантиих уравнений Больцмана для максвеллс ских молекул, отличная от моментной системы Грэда; 2)привед£ постановка как внешних, так и внутренних граничных условий 1 конечной системы моментных уравнений Больцмана; Э)доказаны олл! тичность стационарной системы моментных уравнений Больцмана и i полнение условия Шапиро Лопатинского; 4)показана диссипативно( внешних и внутренних граничных условий для нестационарной сист( моментных уравнений; 5)аппроксимированы неоднородное и общее i'l нкчные условия, поставленные для уравне!шя Больцмана; б)доказ; существование единственного решения начально-краевых задач ; линейной и нелинейной систем моментных уравнений Больцмана i

»бщенных условия* Владимирова-Маршака и сходимость моментного эда, из которого следует существование единственного решения )тветствующей задачи для линеаризованного и нелинейного уравне-I Больцмана; 7)доказано существование единственного решения на-1ьной задачи для нелинейной системы моментных уравнений и нели-tooro уравнения Больцмана, а также существование в малом решения щионарной системы моментных уравнений Больцмана при обобщенных ювиях Владимирова-Маршака; 8)получена теорема существования >бального решения начально-краевой задачи для уравнения Больц-ia в пространстве С ( [о,Т] jL1 (GxRg ) ) при естественных ограниченные начальную и граничную функции.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы но-■ теоретический характер. Они могут быть использованы в дальней: исследованиях задач динамики разряженного газа (структура фной волны, теплопередача между параллельными пластинками и .). теории переноса нейтронов в ядерных реакторах и переноса 1учения в атмосферах звезд и планет, а также в задачах переноса :ктронов в твердых телах и плазме. Кроме того в диссертационной 5оте впервые решена проблема постановки граничных условий для шчной системы моментных уравнений Больцмана, доказана разрешись начально-краевой и начальной задач для моментной системы, а асб получена теорема о существовании глобального решения началь--краевой задачи для уравнения Больцмана.

Апробация работа. Результаты работы докладывались на Всесо-юй конференции по численным методам решения уравнения переноса Тарту, 1986г. и 1988г.), на Всесоюзной научной конференции по !ссическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных шнений с частными производными (г.Куйбышев, 1987г.), на II рес-!ликанекой конференции по проблемам вычислительной математики и ■оматиэации научных исследований (г.Алма-Ата, 1988г.), на 10-м [ословацко-советском совещании по применению функциональных ме-|рв и методов теории функции к задачам математической физики Стара-Тура (Чехословакия), 1988г.), на XIV шкоде по теории опе-гороа в функциональных пространствах (г.Новгород, 1989г.), на IX ¡публиканской межвузовской конференции по математике и механике Алма-Ата, 1989г.), на Всесоюзной конференции по условно-третным задачам математической физики (г.Алма-Ата, 1989г.), на Í Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных про->анствах (г.Нижний Новгород, 1991г.), на международном совещании дискретным моделям уравнения Больцмана (г.Алма-Ата, 1992г.), а еже на семинаре МИАН СССР им.В.А.Стеклова (рук. акад. В.С.Влади-

миров), на семинаре института прикладной математики АН СССР и М.В.Келдыша (рук. зав. ла <5. М.В.Масленников), на семинаре циститу математики и механики АН Казахстана(рук.акад. У.М.Султангаэин), семинаре КаэГУ им. Аль-Фараби (рук. член корр. АН Казахстг М.О.Отелбаев, член корр. АН Казахстана Т.Ш.Кальменов), на семина ВЦСО АН СССР(рук.д.ф.м.н.,снс В.В.Смелов).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ввел ния, трех глав, заключения и приложения. Объем работы - 257 маш нописных страниц, включающих два рисуика и библиографию из 1 наименований.

•II СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Одним из приближенных методов решения уравнения Больцма является моментный метод. Если функцию распределения частиц разл жим в бесконечный ряд по полной ортогональной системе функций, уравнение Больцмана окажется еквивалентным бесконечной сйсте дифференциальных уравнений в частных производных относительно м ментов функций распределения в силу полноты базисных функций, решить бесконечную систему уравнений не представляется возможны Поэтому на практике ограничиваются изучением конечной системы м ментных уравнений, соответствующей частичной сумме функций распр деления. Это приводит к большой неопределенности в функции распр деления, так как только бесконечная система уравнений с заданны начальными и граничными условиями может определить функцию распр деления частиц. Здесь возникают следующие взаимосвязанные вопрос 1)как оборвать бесконечную систему уравнений ?; 2)как апроксямир вать граничное условие ?; 3)будет ли таким образом полученн задача корректной ?; 4)сходится ли решение начально-краевой начальной задач для моментной системы к решению соответствуют задач для самого уравнения Больцмана.

Заметим, что частичный ответ на второй вопрос предложен Гг дом (см. цитированнную выше работу), где приведена бесконечн последовательность граничных условий, апроксимиругацих услови поставленное для самого уравнения Больцмана. Но он не ответил вопросы а)сколько граничных условий надо поставить для того и иного разложения функции распределения ? б)как эти граничные усд вия должаы быть связаны смоментными уравнениями ? ¡Вопросы пост новки граничных условий для 13-моментной системы Града обсужде Р.Г.Баренцевым и М.О.Луцетом (Вестник ЛГУ, серия матем.мех.19б5

N1, с.92-101), а для уравнений макроскопической газовой динамики -И.Г.Неудачиным, В.А.Поддубным, В.Т.Породновым (¡Курн.вычисл.матем. и матем.физ., 1988, т.28, N9, с.1346-1353). Тем самым проблема постановки граничных условий для моментной системы до сих пор оставалось открытой.

Из .сходимости моментного метода следует существование и единственность решения соответствующих задач для уравнения Вольцмана. Приведем краткий обзор результатов по вопросам существования и единственности решения той или иной задачи для уравнения Больцма-на. Самая простейшая задача о релаксации газа к равновесии описывается пространственно-однородным уравнением Вольцмана

|| = J(r.í), Г = f(t.v) (1)

Первая теорема существования в целом задачи Коши для уравнения (1) доказана Т.Карлеманом (Математические задачи кинетической теории газов. - М.:ИЛ, 1960). Позже етот результат обобщался и развивался в работах Н.Б.Масловой и Д.П.Чубенко (ДАН СССР, 1972, т.202, N4, с.800-803; Вестник ЛГУ, 1976, N7, в.2, с.109-113), Мор-генштерна (Proo.Nat.AJcad.Soi., 1954, 40, 719-721), А.Я.Повзнера (Матем.сб. 1962, т.58, N1, с.65-86), Аркерида

(Arch.Rat.Meoh.Anal., 1972, 45, 1-16, 17-34), см. также обзоры (Неравновесные явления: Уравнения Вольцмана. - М: Мир,1986; Масло-ва Н.Б. Итоги науки и техники. М. ВИНИТИ, 1985, т.2). А.В.Бобылевым (ДАН СССР, 1975, 225, N5, с.1041-1044) и В.В.Веденяшгаым (ДАН СССР, 1981, 256, N2, с.338-342) получены моментные системы для уравнения (1) и условия представимости решения уравнения (1) в виде ряда Пуанкаре (отсутствие резонансов). Грэд (Термодинамика газов. - М.: 1970, с.5-109) доказал первую теорему существования в малом решения задачи Коши для пространственно неоднородного уравнения Вольцмана

II + (V, II ) = J(f, X), 1 = í(t, а, у), (2)

в случае максвелловских молекул. .А.Я.Повзнер (цитировано выше), Моргенштерн (Journ.Rat.Meoh.Anal., 1955, 4, 533-555) доказали глобальную теорему существования задачи Коши для уравнения Вольцмана со сглаживанием. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (2) получены в работах Укай (Ргоо.Japan.Aoad., 1974, 50, N3, 179-184; Aoad.Boi.Parie, 1976,

282, Кб, ser А, АЭ17-АЭ20), Н.Б.Масловой и А.Н.Фирсова (Вестник ЛГУ, 1975, N19, с.83-88), Тоскани (Trans.theory and stat.phys. 1987, 16, N2 and 3, 223-230). Р.Диперна и П.Лионе (С.R.Acad.Soi.Parie, 1988, 306, serl, 343-346) доказали существование глобального решения задачи Коши для уравнения (2) с ядром столкновения более общего типа, принадлежащее пространству C(ÍO,+a>); Ь1 (RjJxRjJ) ), где N>1. Однако в этой работе единственность решения задачи Коши для уравнения (2) не доказана. В.А.Галкиным (ДАН СССР, 1990, 310, N4, .--34-039) доказано существование единственного решения задачи Коши для уравнения (2). Полная теорема существования и единственность решения начально-краевой задачи для уравнения (2) до сих пор не подучена. Глобальная разрешимость начально-краевой задачи для уравнения (2) доказана только для ситуаций, близких к равновесным, в ограниченной области и при однородных граничных условиях.

Вопросы существования решения начальной задачи для дискретной модели уравнения Больцмана изучены С.К.Годуновым и У.М.Султангази-ным (Успехи мат.нэук, 1971, 36, N3, с.1-51), У.М.Султангазиным (Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана. - Алма-Ата,г Наука, 1985), В.В.Веденяпиным (ДАН СССР, 1974, 215, N1, с.21-23), Л.Тартар (Some oxistenoe theorems for semilinear hyperbolio systems in one space variable. MRC. Report N2164, 1980), К.Хацдаш (Journ.de Meoan. Theor. et Appl., 1984, 3, N5, 761-785), С.Кабанец (C.R.Acad. Sei. serl, 1988, 307, N9, 507-511).

Переходим к изложению содержания диссертации.

изучаемой тематике, обосновывается актуальность темы и излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе приведены постановка начально-краевой задачи для уравнения Больцмана, вывод системы моментных уравнений (СМУ) Больцмана, постановка как внешних,.так и внутренних граничных условий для моментной системы и изучены вопросы корректности полученных начально-краевых и краевых задач для СМУ Больцмана. При этом начально-краевая задача имеет вид (рассматривается случай максвелловских молекул)

мй+ 8>+ (1 -<*мг)С1 + ФИ« + <■». i»] »

f0[Ií{). + .J(<p, <p)J, (t, а,- v)e(0, TbGxBg, ' . (3)

Ф1 -ь=0 = 'Vх' (4)

ф(*, хд0, V) = О, (V, пза) < О, (5)

где ф(-ь,г,т) связана с функцией распределения соотноше-

нием £ = Г0(а|т| Ю-кр^.х,-?)], ) = (аг/г%)3/гехр(-<хг\у|г/2)

-локальное максвелловское распределение; (ч ,&<р/дх) = ¡V] (з1п9созф1?<р/йт1 + з1п6а1п({)(Ур/(?гг + сояО<?ф/дх3 ); {ч,даУдх) имеет аналогичную структуру; = /Х0(<х|»г| )[ф^')-кр(«') - <р(т) -ф(*0 ]0(%)<1п<1у» - линеаризованный оператор; <Х(ф,ф) н )[ф(*' )ф(»»') - ф(у)ф(«)]а(%)с1па№ - интеграл столкновеш1й; .к»') - скорости частиц до (после) столкновения, причем ско-

± 1 У'п, п - единичный вектор относительной скорости после столкновения; ^1п=з1пХйХйе - элемент телесного угла; о(%), <ро (х,т) заданные функции; С - ограниченная выпуклая область из И* с границей да, внешний единичный нормальный вектор границы ■ дС,,

хдаед0; 0<т<®-

§1 посвящен выводу СМУ Больцмана для максвелловских молекул 11].Функция , представляющая отклонение от локального мак-

свелловского распределения, разлагается в ряд Фурье по системе собственных функций линеаризованного оператора столкновений Ь, которая образует полную ортогональную систему функций в пространстве Ь2«ф о весом Х0(а|т|). В силу полноты системы собственных функций оператора Ь уравнение Больцмана еквивалентно бескояеч!гой системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В §2 указаны два способа обрыва бесконечной системы уравнений. При атом СМУ Больцмана в (2Ы+1) - приближении можно записать в векторно- матричном виде

Ш + «+ £ £ V 4а! ь Ш; ^ 2 6 А» -у>

3=1 3 ТС и. Л=1 Д

ш

аt

V

1'Й °г%

— 5 А' Р +

Уг а

3=1

® И'и^(и.и), (б) дх3 3

где А., Ы -прямоугольные числовые матрицы размерности

2(И+1 )г (£N+1 )х 2(Ы+1 )г(2и+3).; Л0 и Л, -диагональные матрицы размерности 2(Ы+1)г(2Ы+1) и 2(N+1)г(2Ы+3) соответственно; С1 и Сг -квадратные числовые матрицы размерности 2(Ы+1)г(2Ы+1) и 2(N+1)г(2Ы+3) соответственно; - транспонированные матрицы;

и(И) - вектор четных(нечетных) по второму индексу (по 1) коэффициентов разложения

п, 1=0 т=1 "1=1

-'п1

- собственные функции оператора Ь

размерности 2 (N+1 )г (2№И ) (2(N+1 )г (2Ж-3 ) ); 1(и,«)(.1(г1.1>)) - вектор четных(нечетных) по второму индексу (по г) моментов интеграла столкновений размерности 2 (N+1 )2 (2Ы+1 )(2(М+1 )* (2Ы+Э)). Если а - постоянная, то система уравнений (6) упрощается и имеет вид

3

~~ + Л и + —1— у А «и,»)

£ + А.» + I А', = ¿(и,*). (8) д* 1 Уг а * 3 Й3з_

СМУ Больцмана в четном 2Ы - приближении также можно записат! в векторно-матричном виде. Далее приведена [2],[3] постановка каь внешних, так и внутренних граничных условий для СМУ Больцмана I произвольном приближении, -апроксимирующих соответственно внешнее однородное граничное условие (5) и внутреннее граничное условие

= 0, (9)

где - единичный вектор к поверхности разрыва 7 функцш

а=а(-Ь,а), [Х„ф] |х еТ~ скачок функции 10<Р при переходе через по

верхность Число и вид внешних граничных условий зависят от спо соба обрыва бесконочной системы уравнений и от четности и нечет

ности приближения. Если к-е приближение СМУ Больцмана определим при помощи суммы (7), то условия (5) и (9) можно апроксимировать следующим образом:

f ^.^G)(p2N+1(t.xdG,v)fo(a|v|) U,nda)<o

n,2 J

dv = О,

n=o,i,...,2N4i, i=o,i,...,n, m=( ?)г|!!!!г! ] при k=2N+1,

(10)

(v.n3a)<о

Ф(с> (av)

п,21-И,п

dv = O,

n=0,1,.•.,2N, l=0,1,...,N-1,

при k=2N,

J (v.n^, )[<pk (t.»7.v)f0(a|v| )

R'

(av) nlm '

(av)

nln

dv = 0,

_f 0,1.....I i

I 1,2,...,! J

(12)

n=0,1,...,k,■ 1=0,1,•.•,k,

при любом k.

Условия (10) и (11) будем называть обобщенными граничными условиями Владимирова-Маршака в нечетном и четном приближениях соответственно, так как они аналогичны условиям Владимирова-Маршака, поставленным для системы уравнений метода сферических гармоник в случае односкоростного уравнения переноса излучения (В.С.Владимиров, Тр.МИАН СССР им.В.А.Стеклова, 1961, т.61; Г.Я.Румянцев, Атомная энергия, 1961, т.10,'в.1, с.26; Годунов С.К., Сул-тангазин У.М., ЖБМ и МФ, 1971, т.11, N3, с.688-704; Акишев А.Ш., Автореферат канд.дисс., 1983, Новосибирск; Грынь В.И., ЖВМ и МФ, 1984, т.24, N1, с.75-91). Если бесконечную систему уравнений оборвем следующим образом

2n+l=0 т=0

1 I

т=0

ТО в условиях (10), (11), (12) индексы п,1,т примут значения

2(п+Х)=0, 2,...,2И, т= 0,21 при к=2И+1, 2(п+1)+1=1,Э.....211-1,

I 1.2^

«4 °'2Н при к=2Н, 2п+1=о7к. «=[ И

соответственно.

Параграфы 3 и 4 посвящены вопросам корректности подученных задач для СМУ Больцмана. В §3 доказано [2],[3], что стационарная СМУ Больцмана в нечетном (2К+1) - приближении при обобщенных условиях Владимирова-Маршака.(10) сводится к сильно елиптической системе уравнений второго порядка относительно и с граничными операторами, удовлетворяющими условиям совместного накривания оператора сильно елиптической системы. В §4 показано, что обобщенные условия Владимирова-Маршака и внутренние граничные условия, поставленные для нестационарной СМУ Больцмана, являются диссипативны-ми [4].

В §5 приведена [5] постановка внешних граничных условий для СМУ Больцмана в произвольном приближении, апроксимиругацих неоднородное граничное условие

¿и.х^.т^в^.а^.-О, <т,паа)<0 (14)

или"граничное условие более общего вида

Г~(1;.®ао.%) = / К(у4,-»г)Г+(*,ааа,Т4)аТ1, (^.п^ХО, (15) Ыгпд0)>о

где й^.я^.т) - заданная функция; хд(}сд0, Г~(1>,®0а,тг) - функция распределения отраженных от границы—частицу—£ (ь,»^,^) функция распределения падающих на границу частиц; пда -.внешний единичный нормальный вектор границы дС;

) - вероятность того, что частица, надапцая на поверхность а0 со скоростью отлетит со скоростью Если к-е приближение СМУ Больцмана определим при помощи суммы

к 1 I-

п, 1=0 т=0 18=1

-ч

то условия (14) и (15) можно апроксимировать следующим образом:

dv=0.

1 ' dO'

„ (av>

rip21 »m ri»с 1»то

n=0,1,...,2N+1, 1=0,1... .fi, ">=( ]

при k=2N+1,

(16)

(v,n30)<O

Гфй1 + 1,И

dv=0,

n=°'1.....2N- »-1. ">=( ?:2::::;aî+î ) <17>

при k=2N и

( S v <v'n<?G)[r2N+i(t'*<?a'v) - f ,^vi'v)f2N+1(t'Tda'v<)dvlb

dv=0.

n=0,1.....2N+1, 1=0,1,.. .N, m=[ 'Il }

при k=2N+1,

(18)

(cTv)

(v,nâ0)<0

<VW>0

ГФ(о)

п.,21+1 ,m

ЛЫ

(cfv)

dv=0,

(19)

u,2l+1,ш

.....г». 1=о,1,...N-1, m=[ ]

при k=2N, где

n,1=0 m=0

,± (m) ni

= J" îk±(t'I5a'v)

m=1

dv.

I0(a|v|) - локальное максвелловское распределение, причем в точках границы аГ*а+, т.е. функция a(t,®) в граничных точках терпит

разрыв первого рода. Если частичную сумму определим следующим образом

гк и.*.,)=г0(а|т|) I ( I «ЙЧЙУ'».

2т»+1=0 ж=0 14=1

то в условиях (16), (18) и (17,19) индексы п,1,т принимают значения соответственно 2 (п+1 )=0,2,... ,21Г, т= 0,21 и

I 1.21.

2(тИ-1)+1=1,3....,2Г1-1, т= °'г1+1|.

I 1.21+0

Вторая глава посвящена изучению начально-краевой задачи для линейной. СМУ Больцмана при обобщенных условиях Владимирова-Маршака. При атом (§1) искомую задачу в (2М+1)-приближении можно записать в виде (а-постоякная) 3

йа д*

Уг а

3=1 3

йа

+ —1—7 А'. + Л V = У_ (1;, х ), (1;,х)е(О,Т]х0, (20) Уг а 3 " -«

3=1

и|1.=о=и0(х), ■и|.4=0=1>в(»), хев

± В3и)|з =+а = 0, 3=0. *е[О.Т],

(-

Уг а

(21) (22)

где У1 (-ь.х),Рг(г,х) -векторы, состоящие из коэффициентов раложения источника излучения в ряд Фурье по системе собственных функций

уравнения Больцмана источник излучения равен нулю, однако сохраняется здесь ради общности), ис (х),' и 0 (х) - коеффициенты разложения начальной функции ф («.▼) в ряд Фурье. Система (20) является симметрической гиперболической по Фридрихсу с дассипативными граничными условиями. Для задачи (20)-(22) справедлива '

Теорема 1 [б]. Если Р, ,?геС(Со,Т]; Ьг(а)), и0,и0еЬг(а),

то задача (20)-(22) имеет единственное слабое решение и=(и,г>)'.

р

принадлежащее пространству С([о,Ф];Ь (а)), причем

1 и "с([о.тЗ;ьг(а))5С1(тП1 и0»ьг(а)+| р »с<[о.т];ьг<а)>>' где и0=(ио,ио)', Р=(Р1,?2)', С1(т) - постоянная, не зависящая от и

и номера приближении £N+1.

Аналогичная теорема справедлива и в четном к=2Н приближении. Далее доказана слабая сходимость (§2) решений начально-краевой задачи для СМУ Еольцмана к решении соответствующей задачи для линеаризованного уравнения Вольцмана, а именно

*„<|? + (23)

Фи=0=Фо(»«■»). . (24)

■ ф(-Ь,®го,у)=0, ^,пйо)<0 (25)

Этот результат сформулирован в виде теоремы. Теорема 2 [6]. Пусть <р еЬ2 1/г), РеСЦо.Т];

Ьг(ахЯз;Х01/г)). Тогда задача (?Э)-(25) имеет единственное слабое решение <р, принадлежащее пространству С( [0,1] ;Ьг (0x1^; 10 1/<г)), причем

" <р »с([о.Т];Ьг(а^);г;/г)) 50г(т)[| <Р<> 1ьг(ах^:Г1/г)+

' Р "с([о,т];ь2(о^; Г^/г))]'

где С2 ((Г) - постоянная, не зависящая от <р, <ро

В третьей главе изучены начально-краевая, начальная и краевая задачи для нелинейной СМУ Еольцмана в произвольном приближении, вопросы сходимости моментного метода и существования глобального решения начально-краевой задачи для уравнения Вольцмана.

В §1 рассмотрена начально-краевая задача для нестационарной СМУ Вольцмана при обобщенных условиях Владимирова-Маршвка (а-постоянная). При к=2Ы+1 имеем систему уравнений (8) йри условиях (21), (22)(к-е приближение определяется при помощи суммы (13) и размерности матриц А^, Л0, Л( и векторов и, и, 1(и,«), <Х(и,и) системы (8), записанных для сумм (7) и (13), будут разными). Для задачи (8), (21), (22) доказана [7,8,10]

Теорема 3. Если ио = (и0,«0 )'еЪг(о), то существует такое Т1, что задача (8), (21), (22) имеет в области [0,Т(]хС единственное решение и=(и,и)', принадлежащее пространству С([О.Т];Ь2(а)),

г

причем

« и «с([0,Т);х,г(0))^з» ио»ьг(а)'

где С'3 - постоянная, не зависящая от и; ^Х 0(в ^о" х,г(а)^' Аналогичная теорема справедлива и при к=21>1.

В §2 доказана слабая сходимость решений начально-краевой задачи для нестационарной СМУ Больцмана к решению соответствующей задачи для нелинейного уравнения Больцмана, а именно

Го(|? + (о.ТЬахйз, (26)

^и^^о^-'Э' (27)

фи.а^.тЬО, (т,пда)<0. ' (28)

Этот результат сформулирован в виде теоремы [7,10,14]. Теорема 4. Пусть ФоеЬ2(СхИд";:^2). Тогда существует такое Т, что задача (26)-(23) имеет в области [о.ОМхО'хК* единственное слабое решение ф("Ь,а,т), принадлежащее пространству С([0,Т];Ьг(ахК^;Г,/г)), причем

1 <Р »С([о,т);ьг(ох^ ;г1/2)) <Ро"ьг(ахР^;Г1/2)' где С^ - постоянная, не зависящая от ф(1;,х,V);

*Х0» Ф0Г£г<ахфг;Л>>-

Задачу (2б)-(28) относительно функции распределения можно записать в виде

|£ + (у- II } = ,1(Г» (29)

^1г=0=Г°(я,у), (*,т)еахНз, (30)

Г(г,3:а0.1г)=го(а|^|), (т.п^хо, (31)

где £о(х.т)=Г0(1+фо(д,у)). Теорему 4 сДормулируем относительно функции Г в виде

Теорема 5 [10,14).Пусть Г~1/г X1/2 е и через

границу области в попадает вовнутрь ее максвелловский поток. Тогда задача (29)-(Э1) имеет единственное решение принадлежащее пространству С([0,Т];Ъг(ОхЯ^)), причем

< * 'с([о,Т]-.ьг(ах^)) Л^'ь^а^)'-

где С5~постоянная, независящая от I; Т ^¡0( I д''2!^(д^р*)) •

Из теоремы 5 следует, что Т->оо, если начальное распределение незначительно отличается от равновесного состояния.

В 53 рассмотрена начально-краевая задача для одномерной

нестационарной СМУ Больцмана и доказана теорема, аналогичная теореме 4 [11,12].

В }4 доказано [14] существование единственного глобального решения начально-краевой задачи для одномерной СМУ Больцмана в третьем приближении при условии, что индикатриса рассеяния 0(Х)=0>>0, где О^ - постоянная величина. Кроме того показано, что моментные уравнения Больцмана при к=3 сложнее уравнений Эйлера и Навье-Стокса.

В 55 начальная задача для уравнения (26) при условии (27) сведена к соответствующей задаче для нестационарного СМУ Больцмана н доказана

Теорема б. [13,14]. Пусть ф^еЬ2 (Rj^Rg: Г¿/г), причем <Po(i,vbO при х,Тогда существует такое Т, что начальная задача (26)-(27) в области [O.IJxR^xRg имеет единственное с-лабоэ решение, принадлежащее пространству С ([о,Т] ;LZ (r^xR^; Г)), причем

I <Р I р „ „ . /, <С, II ф II , ^

с([о,т]<нз><кз)• ro )^ 0 ь >'

где С,-постоянная, не зависящая от ф; ТИ0(1 Ф I '-> _ , )• 6 ^(фи^*;'2)

В §6 доказано существование в малом решения стационарной СМУ Больцмана при обобщенных условиях Владимирова-Маршака [2].

В §7 доказано существование глобального решения начально-краевой задачи (29)-(31), где в (31) функция fQ (a|v|) заменена функцией g(t,x^G,T), в пространстве С([о,Т];Ъ* (G*R^)) для любого Т (0<Т<со) с ядром стокновения более общего типа. Более точно, имеет место

Теорема 7 [153« Пусть ядро столкновения Beb1 (f<3xS2), где -поверхность единичной сферы, и функции f0 Mg удовлетворяют следующим ограничениям;

(GxFjjn f°>0. J f°(1 + |x|2+|v|2+| lnf°| )dxdv<co, G*R3

| v|0eC ([o,T] ;Ь1 ((JGxR~) ), g»0,

sup J" |v|g(1 + |x|2 + |v|2+| lng| )dxdv<oo,

tetO.T] öGxR"

где R'^iveR^; (v,n^G)<o}r G - ограниченная выпуклая область с

границей aG, пусть r(tf*,v).»0 при |v|-«со. Тогда задача (29)-(Э1) имеет слабое решение f(t,s,y), принадлежащее пространству 0([О,Т]?Ь1 (GxRp). причем

sup f X(1 + (a|2+|v|2+| Jnf| )d3cdv<co.

te[0,Tj G*r]J

Однако в атой теореме не утверждается единственность решения.

В приложении приведены матрицы А^.

В заключении хочу выразить благодарность научному консультанту У.М.Султангазину за постоянное внимание к работе и ценные советы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Сакабеков А. Вывод системы моментных уравнений Больцмана. Деп. в ВИНИТИ, N1670-90, Алма-Ата, 1990, 36 с.

2.Сакабеков А. Краевые задачи для стационарной системы мо-ментвых уравнений Больцмана. - ДАН СССР, 1989, т.309. N4, с.860-863.

Э-Сакабеков А. 0 граничных условиях для системы моментных уравнений Больцмана. - Изв.АН КазССР, сер.физ.матем., 1990, КЗ, с.30-35.

4.Сакабеков А. Диссипативность внешних и внутренних граничных условий для нестационарной системы моментных уравнений Больцмана. - Изв.АН.КазССР, сер.физ.матем., 1991, N3, с.49-53.

5.Сакабеков А. Выбор граничных условий для моментных уравнении ьольцмана• — язв.ш! i\330wl'cop«rjíi3 .mí-itrm., iyyi » го» с.эс jo•

6.Сакабеков А. Моментный метод для линеаризованного уравнения Больцмана. - Сиб.матем.журн., 1991, т.32, НЗ. с.132-140. * '

7.Сакабеков А. Слабая сходимость решений системы моментных уравнений Больцмана. - Сиб.матем.журн., 1992, т.33, N1, ч.105-114.

б.Сакабеков А. Моментный метод для нелинейного уравнения Больцмана. - ДАН СССР, 1991,т.316, N4, с.890-893-

9.Сакабеков А. Начально-краевая задача для системы моментных уравнений Больцмана в первом приближении. - Условно-корректные задачи математической физики, Красноярск, 1989 (Тезисы докладов).

10. Сакабеков А. Начально-краевые задачи для системы моментных уравнений Больцмана в произвольном приближении. - Математический сборник, 1992, т.183, N 9, с.67-88.

11.Сакабеков А.Смешанная задача для одномерной системы мо-

ментных уравнений Больцмана в нечетном приближении. - Диф. урав., 1992, т.28, N5, с.892-900.

12.Сакабеков А. Начально-краевая задача для одномерной системы моментных уравнений Больцмана в нечетном приближении. - Скб.ма-тем.журн., 1991, т.32, 16, с.187-192.

13.Сакабеков А. Начальная задача для системы моментных уравнений Больцмана. - Изв.АН КазССР, сер.физ.матем., 1991, N1, с.57-61.

14-Сакабеков А. Начально-краевая и начальная задачи для уравнения Больцмана. - Изв. АН КазССР, сер.физ.матем., 1992, N1,с.62-66.

15-Сакабеков А. О существовании глобального решения начально-краевой задачи для уравнения Больцмана. - ДАН СССР, 1991,т.321,N1, с.75-78.

Диссертацияда Больцманннц тендеу1 жэнэ момэнт-Т1к Т9вдеулер оиотемаоы уш1н крйылган алгашцы-шекп есептердщ б:р гана шепивдер1 Оар екэш дэлелденгеи.

Хп ргевепЪ »огк яв рг>оте вх^в^эпоо

оХ а ип1чие во1и^10п Тог -ЬЬе initial апб. ЬсипЛагу ргоЫешв о1 ^е Во^ятапп'в тотаг^ eyвteп^ е^иа^оп апй ВоЗЛипапп едиа1;1оп.