Новый подход к построению и анализу алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ



ЖОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

зькультет вычислительной математики и кибернетики

кафедра вычислительных методов

На правах рукописи

ЛУКШИН АНДРЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ УДК 519.6:621.382

НОВЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ И АНАЛИЗУ АЛГОРИТМОВ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

01.01.07 - вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1997

Содержание

Основные обозначения 4

0 ВВЕДЕНИЕ 6

1 Основные понятия и принципы построения алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана 29

1.1 Основы математической теории кинетического уравнения Больцмана..........................................................29

1.2 Математические основы метода частиц решения уравнения Больцмана..........................................................36

1.3 Метод частиц как метод численной реализации динамических схем ............................................................39

2 Пространственно-однородное уравнение Больцмана 47

2.1 Уравнение Больцмана для смеси газов ........................47

2.2 Каноническое представление оператора столкновений .... 62

2.3 Динамические схемы для системы уравнений Больцмана. . . 66

2.4 Численные методы реализации динамических схем......76

3 Пространственно-неоднородное уравнение Больцмана 83

3.1 Каноническая аппроксимация оператора столкновений в пространственно-неоднородном случае ........................83

3.2 Динамические схемы метода частиц............................89

3.3 Метод расщепления как метод численной реализации динамических схем......................................................90

3.4 Стохастические алгоритмы метода частиц решения уравнения Больцмана......................................................96

3.5 Стохастические алгоритмы решения уравнения Больцмана

для смеси газов...........................104

4 Математическое моделирование течений многокомпонентного разреженного газа. 116

4.1 Учет внутренних степеней свободы. Модель Ларсена - Бор-гнакке................................116

4.2 Решение задачи температурной релаксации..........134

4.3 Решение задачи о релаксации реагирующей смеси.......136

4.4 О выборе ветвей рассеяния....................139

4.5 Решение задачи о структуре ударной волны..........149

4.6 Решение задачи обтекания транспортного аппарата разреженным газом...........................154

5 Стохастические алгоритмы математического моделирования полупроводниковой плазмы 166

5.1 Постановка задачи ........................166

5.2 Обобщенное уравнение Больцмана для многодолинного полупроводника ...........................172

5.3 Основные свойства уравнения Больцмана...........175

5.4 Динамическая схема метода пропорционального представительства ..............................190

5.5 Динамическая схема с индивидуальными весовыми множителями................................205

5.6 Численная реализация динамических схем в случае многодолинного полупроводника....................214

5.7 Результаты численных расчетов в рамках многодолинной модели ...............................242

5.8 Приложения к главе 5.......................248

Литература 262

Основные обозначения

А

1(р)

IRm

N°

Vi

д(т-1)

М(Жт)

Мое \\Ф\\ыР

IHI

IHI*

с([о,пм)

НЫ1к

¡i{ d x <S> d y) Ц® v

{{Ф

i m

>m

<L dt

функция булевой переменной p, f(true) = 1, if(false) = 0

m-мерное евклидово пространство скалярное произведение в Иг евклидова норма в IRr г-я координата вектора i)£Rr единичная сфера в ]Rm

пространство непрерывных ограниченных функций на Ита

пространство мер Радона на Ит с борелев-ской £Т-алгеброй Б(Кт) / ф{и)ц(dv) ]Rm

sup {\ф{у)\ vgIR3

MU+ sup3M^M липшицева

sup{|(<^) ; \\ф\\ыР < 1}

sup{|(^,yu> ; Моо<1}, Ы\ < ИНГ

Ф

множество непрерывных на [О , Т] функций со значениями в М.

sup II

О <t<T

мера на произведении пространств X и Y,

элементы которых х и у прямое произведение мер ¡i m ъ>

(ф(х,у): (/л ® v)(dx ® dy))

для ф е С(И3)

для ф G C(IRTO), ф

Е оператор математического ожидания

сг(с1£) стандартная инвариантная мера на сфере

¿>(2)(мера Хаара),

и=1

Т1 универсальная газовая постоянная

Глава О

ВВЕДЕНИЕ

Более чем столетняя история кинетического уравнения Больцмана [9], [126] подобна величественному айсбергу. Вершину его украшают блестящие математически строгие результаты по существованию, единственности, асимптотическим свойствам решения, начиная с Д.Гильберта [148], С.Чэпмена [35], Т.Карлемана [18] и Г.Греда [140] и вплоть до ярких результатов последних лет, принадлежащих А.А.Арсеньеву [3], А.В.Бобылеву [8], Н.Б.Масловой [40], Р.Кэфлишу [132], О.Э.Ланфорду [87], К.Бардошу и С.Укаи [118], Р.Ди Перне и П.Лионсу [135] . Другая, не столь известная, но наиболее значительная, часть этого айсберга, олицетворяет собой огромный труд сотен исследователей по численному и аналитическому решению уравнения Больцмана и его обобщений во многочисленных приложениях. Именно эти приложения, число которых постоянно растет, и обеспечивают фундаментальность, значимость и непотопляемость в мировом океане науки такого неординарного явления как уравнение Больцмана.

Хорошо известно, что многолетний опыт по аналитическому и асимптотическому исследованию уравнения Больцмана обобщен в классических книгах С.Чэпмена и Г.Каулинга [35], Дж.Ферцигера и Г.Капера [33], М.Н.Когана [20], К.Черчиньяни [36] и современных монографиях [3], [40], [39]. Что же касается опыта и методов численного решения уравнения Больцмана, построения вычислительных алгоритмов на основе строгих с математической точки зрения следствий уравнения и его аналогов, исследования свойств сходимости, то эта проблематика не так полно отражена в литературе и мы не можем назвать какой-нибудь одной монографии, в которой с единой точки зрения достаточно полно и строго рассматрива-

лись бы наиболее известные подходы к численному решению кинетического уравнения Больцмана, от регулярных сеточных методов до алгоритмов метода частиц и алгоритмов прямого статистического моделирования. По всей видимости, единственной монографией, посвященной регулярным и полурегулярным методам численного решения кинетического уравнения Больцмана, сочетающим сеточную аппроксимацию дифференциального оператора переноса со специальной техникой вычисления многомерных интегралов столкновений, является монография В.В.Аристова и Ф.Г.Черемисина [2]. В настоящее время этот подход активно развивается также в работах Ж.Шнайдера и Ф.Роже [183] с использованием фундаментального результата [179], A.B. Бобылева и С.Рязанова [123] и других.

Более подробно отражен в литературе подход к численному решению уравнения Больцмана, связанный с использованием так называемого метода частиц. Метод частиц является одним из основных алгоритмов математического моделирования кинетических процессов. Существует две точки зрения на метод макрочастиц в кинетической теории. Согласно первой точке зрения метод макрочастиц - это метод имитационного моделирования процессов на микроуровне [6, 5, 16, 34]; согласно второй точке зрения - это метод численного решения кинетических уравнений [3, 178]. Кинетические уравнения являются математическим аппаратом кинетической теории, описывающей эволюцию макроскопических систем, состоящей из большого « 10(10) - -10(26)) числа частиц. При классическом подходе основным объектом в кинетической теории является од-ночастичная функция распределения f(x,v,t) фазовых координат {ж;г>}, где V - скорость и времени t. Утверждается, что функция распределения / при определенных условиях, в частности при Л^физ. —> оо, удовлетворяет кинетическому уравнению

%-Cif).

Оператор С в типичных приложениях представляет собой нелинейный интегро-дифференциальный оператор. Существенная особенность кинетических уравнений состоит в том, что их решения в любой фиксированный момент времени можно интерпретировать как плотность некоторой меры (меры Радона) ¡it{ da; (g) dv) относительно меры Лебега в фазовом

пространстве

/Лг(с1сс<8> с1г>) = /(ж,г»,с!зг с!г».

С практической точки зрения интересны имеющие физический смысл моменты этой меры по переменной V (макропараметры)

Мф(х,ь) = а| ^(у)$¿у,

ж3

связанных с молекулярными признаками ф{у). Метод частиц как имитационный метод прямого статистического моделирования (метод Монте-Карло) имеет богатую историю. По всей видимости, впервые он был предложен Н.Метрополисом и С.Уламом в 1949 году [171]. В дальнейшем метод прямого статистического моделирования успешно использовался для решения важнейших прикладных задач, в частности, задачи переноса нейтронов в ядерных реакторах [15, 32], переноса носителей заряда в полупроводниках и полупроводниковых приборах [17, 34] и других задач, приводящих к кинетическим уравнениям с линейными интегралами столкновений. Были созданы теоретические основы метода статистического моделирования для решения широкого класса задач, разработаны эффективные способы построения схем метода частиц решения линейных интегральных уравнений, основанный на использовании ряда Неймана и соответствующей итерационной процедуры [14]. Позднее были разработаны методы частиц решения нелинейных уравнений газовой динамики [5, 144] и уравнения Власова [29, 3].

Метод частиц постепенно превратился в "промышленный" алгоритм решения широкого класса задач. К достоинствам этого подхода следует отнести его относительную "нечувствительность" к размерности задачи, ясную интерпретируемость и физическую наглядность, простоту программирования, возможность эффективного распараллеливания. Все это обусловило стремление исследователей использовать преимущества метода частиц при моделировании сред, описываемых на основе кинетического уравнения Больцмана.

Основной трудностью при разработке алгоритмов прямого статистического моделирования течений разреженного газа являлась эффективная организация учета парных столкновений. Здесь под эффективным учетом

парных столкновений мы понимаем такую процедуру, которая в единицу времени требовала бы числа арифметических действий, пропорционального числу макрочастиц. С точки зрения имитационного эвристического подхода в общем случае разработать такую процедуру оказалось достаточно сложно, поскольку она не отвечала естественным комбинаторным представлениям о числе пар. Этим объясняется развитие в шестидесятые годы методов типа метода пробных частиц [147, 68], основанных на приближенной итерационной процедуре для нелинейного уравнения Больц-мана и позволяющая в определенном смысле избежать перебора пар сталкивающихся частиц. К сожалению, не приводили к эффективным вычислительным алгоритмам и методы, основанные на точном представлении решения кинетического уравнения Больцмана с помощью ветвящихся случайных процессов специального вида [15], так как требовали значительного числа арифметических действий. Следует отметить, что в последнее время достигнут заметный прогресс в оптимизации соответствующих вычислительных схем [72].

В 1963-1970 гг. был предложен первый алгоритм прямого статистического моделирования течений разреженного газа, известный как схема Дж.Берда [6], основанная на методе расщепления по физическим процессам и позволяющая эффективно учитывать влияние парных столкновений. Метод основывался на эвристических соображениях и его связь с уравнением Больцмана была не ясна. Тем не менее подход Берда явился этапом в развитии алгоритмов метода частиц, с его помощью был решен ряд принципиальных задач динамики разреженного газа, имеющих большое практическое значение.

Метод прямого статистического моделирования постоянно развивался и совершенствовался как самим Дж.Бердом, так и другими авторами. При этом особое внимание уделялось формальному вероятностному обоснованию методов типа Берда и их анализу с позиций общей теории методов Монте-Карло [14, 31], что позволило не только обратиться к известным способам повышения их эффективности, но и создать принципиально новые подходы к прямому статистическому моделирования течений разреженного газа. Здесь прежде всего следует назвать фундаментальную работу О.М.Белоцерковского и В.Е.Яницкого [55, 56], положившую начало моделированию течений разреженного газа на основе схемы испытаний

Бернулли. В [54, 113] был проведен теоретический анализ схемы Берда и схемы испытаний Бернулли, построен аналог ТУ-частичного основного кинетического уравнения.

В динамике разреженного газа при исследовании методов прямого статистического моделирования с позиций общей теории методов Монте-Карло принято основываться не на уравнении Больцмана, а на линейном уравнении Леонтовича-Каца [19, 88] относительно ^-частичной функции распределения. Это означает, что в качестве базовой математической модели рассматривается не уравнение Больцмана, а некоторый случайный процесс, уравнением Колмогорова для которого является Л/^-частичное уравнение. Уравнение Леонтовича сыграло большую роль в развитии и анализе методов частиц моделирования течений разреженного газа, на основе уравнения Леонтовича-Каца с использованием общей теории методов Монте-Карло М.С.Ивановым и С.В.Рогазинским в 1988-1990гг. был разработан один из наиболее эффективных алгоритм этого класса - метод мажорантной частоты [16], так же, как и метод Берда, предполагающий построение всей траектории соответствующего случайного процеса.

Вместе с тем, связь уравнения Леонтовича-Каца с уравнением Больцмана установлена в простейших ситуациях на физическом уровне строгости. Решающим предположением при этом является требование "молекулярного хаоса" [20, 26]. Это условие не выполнено при прямом статистическом моделировании посредством конечного числа частиц [16]. Отметим также, что не существует аналога уравнения Леонтовича-Каца как математической модели для исследования классических кинетических процессов в полупроводниковой плазме, в то время как моделирование методом частиц играет играет при изучении полупроводников и полупроводниковых приборов ведущую роль [34].

Кинетическое уравнение Больцмана служит основой математических моделей в различных приложениях. В то же время ведущим алгоритмом математического моделирования в этих приложениях является метод частиц, который в каждом конкретном случае развивался самостоятельно

^ 55 55

и независимо от других приложении как правило на основе своих эвристических представлений. Это объясняет актуальность и целесообразность разработки алгоритмов построения схем метода частиц решения непосредственно уравнения Больцмана, справедливых для большинства

приложений, причем доказательство сходимости таких методов не должно базироваться на гипотезе "молекулярного хаоса".

Настоящим прорывом в создании эффективных алгоритмов решения уравнения Больцмана и моделирования течений разреженного газа ознаменовалась вторая половина восьмидесятых годов. Этот прорыв был обусловлен появлением работ К.Нанбу [176], предложившим новый подход к построению схем метода частиц непосредственно из уравнения Больцмана, работ А.В.Скорохода [30] и Х.Танаки [192], о приближении к решению уравнения Больцмана для псевдомаксвелловских молекул, фундаментальной работы А.Шнитмана [190] о свойствах пространственно-однородного уравнения Больцмана в случае произвольного закона межмолекулярного взаимодействия. Особое значение в этом ряду имеет работа А.А.Арсеньева [45, 46], где он впервые высказал идею о возможности построения алгоритмов стохастического моделирования решения уравнения Больцмана как алгоритмов, реализующих систему стохастических дифференциальных уравнений по случайной мере Пуассона.

Основной целью диссертации является разработка новых способов построения алгоритмов метода частиц как численного метода математической теории кинетического уравнения Больцмана. В качестве приложений рассматриваются динамика многокомпонентного разреженного газа и перенос заряда в многодолинных полупроводниках.

Предлагаемый в диссертации подход к построению алгоритмов метода частиц восходит к идеям А.В.Скорохода [30] и А.А.Арсеньева [45, 46, 47] о приближении обобщенного решения уравнения Больцмана решением некоторой системы стохастических уравнений по мере Пуассона и к идее А.А.Арсеньева о возможности использования таких систем для построения алгоритмов типа схемы Берда, при этом речь идет уже не о эвристической схеме прямого моделирования, а о численных алгоритмах решения непосредственно нелинейного уравнения Больцмана. Таким образом разрабатываемый в диссертации подход заключается в следующем. Кинетическое уравнение рассматривается как уравнение для плотности некоторой меры. Процесс построения метода частиц разбивается на два этапа. Во-первых, следует указать метод построения разностного аналога кинетического уравнения. В качестве разностного аналога уравнения выбирается система разностных стохастических уравнений по мере Пуас-

сона на случайной временной сетке относительно узлов кубатурной формулы, аппроксимирующих меру - решение исходного уравнения. При этом разностным параметром является величина где N - число узлов кубатурной формулы, интерпретируемых как макрочастицы. Во-вторых с�