Применение методов кинетической теории для решения задач разреженных газов и плазмы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§1. Уравнение Больцмана.

§2. Методы кинетической теории и связь с термодинамикой.

§3. Взаимодействие молекул газа с поверхностью.

§4. Модельные кинетические уравнения.

§5 Основные результаты диссертации.;.;.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАЗМЕННОЙ СТРУИ, ВЫХОДЯЩЕЙ ИЗ СТАЦИОНАРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ ОЦЕНКИ И УРАВНЕНИЯ.

§1. Основные оценки.

§2. Модельное кинетическое уравнение для резонансной перезарядки.

§3. Математическая постановка задачи о струе.

Глава 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СТРУЕ.

§1. Общие вопросы построения численной схемы решения задачи.

§2. Численные схемы для учета влияния f{ и gj.

§3. Численные схемы для нахождения функций f2, f3, g2, g3.

Глава 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СТРУЕ ПЛАЗМЫ, ВЫХОДЯЩЕЙ ИЗ СТАЦИОНАРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ.

§1. Решение задачи о струе в осесимметричной постановке.

§2. Сравнение с экспериментом.

§3. Задача о распылении стенки вакуумной камеры.

§4. Трехмерный вариант задачи о струе.

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЛИНЕЙНОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.

Глава 4. МИНИМАКСНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ.!.

§1 Н-теорема для стационарного уравнения Больцмана.

§2. Соотношения симметрии Онзагера в разреженном газе.

§3. Минимаксный вариационный принцип на основе четной части функции распределения.

§4. Минимаксный вариационный принцип на основе нечетной части:функции распределения.

Глава 5. ПРИМЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ К РАСЧЕТУ КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТОВЛЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ

СФЕРЫ.

§1. Двойственные вариационные принципы для модели Крука.

§2 Выбор пробных функций при использовании построенных вариационных принципов.

§3. Вычисление коэффициента сопротивления с помощью вариационного принципа максимума.

§4. Вычисление коэффициента сопротивления на основе принципа минимума.,.

§1. Уравнение Больцмана

Кинетическая теория газов основывается на уравнении, которое было предложено в 1872 году Больцманом [1], и которое носит его имя. Оно имеет следующий вид df df X df + £. — +-J--= У(/>/) = П J (/,'/' - fj)gbdbdsd^ , ij= 1,2,3 (1.1) dt dxi m 0 0

Искомой функцией в (1.1) является f(t,x,%)- функция распределения молекул, аргументами которой являются время t и переменные 6™ мерного фазового пространства , где х = {ха}, а = 1,2,3 координаты положения молекулы, а £ = } - компоненты ее скорости (в [2] это фазовое пространство названо у-пространством). X. в (1.1) есть компонента внешней силы, действующей на частицу массы т. Формально функцией распределения является нормированная на число частиц плотность вероятности, т.е. AN = f(t,x,-есть вероятное число молекул в бесконечно малом объеме фазового пространства dy = dxd%, имеющих координаты и скорости в промежутках [ха,ха + Аха] + А£а], а = 1,2,3 соответственно. Больцман полагал, что в dy находится настолько большое число частиц, что, пренебрегая флуктуациями, можно считать AN средним значением числа молекул в dy. Тогда функция распределения f есть числовая плотность молекул в фазовом пространстве, и для нее можно написать уравнение баланса, чем и является (1.1) при движении молекул, находящихся в dy. Стоящий в правой части (1.1) J{f,f) называется интегралом столкновений. Это есть источниковый член в уравнении баланса, т.е. пропорционален изменению числа молекул в dy за счет столкновений. Под столкновением понимается процесс взаимодействия молекул между собой, в результате чего мгновенно изменяется их скорость. Если, следуя Больцману, считать, что молекулы взаимодействуют как точечные центры отталкивания и учитывать только двойные столкновения и , согласно гипотезе о молекулярном хаосе, полагать, что

F(t,xlJl,x2J2) = Fl(t,xugl)F2(t,x2,£2), (1.2) где F-плотность вероятности нахождения первой молекулы в dyx, а второй в dy2, то можно получить правую часть (1.1). При этом //,/',/, , входящие в интеграл столкновений есть соответственно f{ = f(t,xj[) , /' = да,|') ,/, = f(t,x,l) , где I/ и I' есть скорости, которые будут иметь молекулы, которые сталкиваются с прицельным параметром b в плоскости, определяемой углом 8 и имеющими скорости до столкновения ^ и g соответственно, при этом g = — По заданным и , b и е и однозначно определяются законами механики, если известен потенциал межмолекулярного взаимодействия (см. [3]).

После опубликования Больцманом своего уравнения вокруг него сразу развернулась дискуссия, продолжающаяся в какой-то мере и по сей день. Принципиальным фактом явилось то, что уравнение (1.1) описывает необратимые процессы. Рассмотрим следующие функции

H=\f In (/ / e)dl ,HD=\Hdx (1.3) D

Первая формула (1.3) есть обобщение Н-функции Больцмана на случай систем с переменным числом частиц ([4]). Повторяя приведенный в [2] вывод, можно получить, что, если поток Н-функции через границу области D равен нулю, то

1.4) dt

Равенство (1.4) составляет основное содержание Н-теоремы Больцмана, откуда следует, что система заключенных в области D взаимодействующих молекул является необратимой во времени, что находится в явном противоречии с классической механикой Ньютона, в частности с известной теоремой Пуанкаре о возвращении к своему состоянию находящейся в ограниченной области фазового пространства системы (в [5] приведены сама теорема и ее доказательство). При объяснении возникшего противоречия (его называют "парадоксом обратимости") указывают либо на вероятностный характер уравнения Больцмана и использование гипотезы молекулярного хаоса, либо на то, что при выводе уравнения (1.1) предопределенность хода времени возникает из-за введения состояния молекул до столкновения и после него. Оценку времени возвращения макроскопической системы к своему состоянию можно получить на известном примере сосуда, разделенного перегородкой на две части, в одной из которых находится 1 Моль газа, а в другой вакуум. Если в момент t=0 убрать перегородку, то грубая оценка времени возвращения системы к состоянию, когда половина ю23 сосуда заполнена газом, а в другой ничего нет составит tr ~ 10 секунд. Это время настолько огромно, что его нельзя сравнить даже с возрастом солнечной системы (Ю10 лет), поэтому позиция автора в этом вопросе близка к тем ([6]), кто считает, что на самом деле "парадокса обратимости" нет, ибо сказать что-либо о применимости классической механики на временах такого масштаба не представляется возможным. В масштабе реального времени практически все процессы в природе являются необратимыми, поэтому описание их на основе уравнения Больцмана будет наиболее адекватным.

Уравнение Больцмана, как это видно из (1.1) не содержит явно размер молекулы или радиус межмолекулярного взаимодействия, который обычно принимается за масштаб размеров молекулы. Объяснение этого можно получить, если рассмотреть другие выводы уравнения (1.1). Н. Н. Боголюбов получил уравнение Больцмана (этот вывод можно найти в [3] в разделе "Приложение" ), исходя из уравнения Лиувилля (см. [2]), которое положено в основу статистической механики. Для системы из N взаимодействующих частиц оно имеет следующий вид f + Z^+M^O 0.5) dt j=x dxj 7=i ы m dgj д д

В (1.5) принято, что если а = {а1} ,х = {х1}, то а— = а' —г с суммированием дх дх' по повторяющимся индексам. FN есть плотность вероятности распределения ансамблей из N частиц в 6№М фазовом пространстве Г, т. е.

FN(t,zx,.zN}dz , zk ={xk,, k=\,2,.N есть вероятность того, что координаты и скорости первой молекулы будут находится в пределах второй в [х2,х2 + dx2],[g2,g2+dg2] и. т. д., №й в [xN,xN+dxN] +dgN] соответственно. FN есть функция от 6N+1 переменных и jFNdz}dz2.dzN = 1. FN называется N-частичной функцией г распределения, и, если частицы тождественны, то FN является симметричной функцией от переменных zl.zN. Ху = X(J(jjc,- -Xj|)- есть сила взаимодействия i°a и j0H молекул (Ха =0). Определив s-частичную функцию распределения, как Fs(t,zv.zs) = N\/(N — s)\\FNdzs+x.dzN, Н. Н.

Боголюбов получил бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений. Она имеет следующий вид dt Р dxj м т dgj м J т

Эта система носит название BBGKI цепочки (Боголюбов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон иеархия). Основное предположение, сделанное при выводе уравнения Больцмана состоит в том, что силы межмолекулярного взаимодействия являются короткодействующими, т.е. Ху (|3с,- - Xj |) ~0, если d, где d есть размер молекулы. При таких предположениях функции распределения в BBGKI цепочке будут зависеть от "быстрого времени взаимодействия" т и "медленного времени свободного движения" t, причем xi~xj т 11 = nd3 = Б «1, где n-числовая плотность среды. Разлагая одночастичную функцию распределения, зависящую от t, в ряд по 8 и используя гипотезу молекулярного хаоса, Боголюбов получил уравнение Больцмана.

В работе [2] этот вывод был проделан, используя формализм асимптотических методов многих масштабов. В отличии от работы X

Боголюбова в [2] были использованы координатные масштабы: xd =—d d х 1 масштаб и хл = —X масштаб, где Л = —- есть длина пробега молекулы. Л nd

Ясно, что этом случае s = d I /1.

Из приведенного в [2] следует: во-первых, уравнение Больцмана является уравнением для члена нулевого порядка в асимптотическом разложении по параметру разреженности одночастичной функции распределения в X масштабе, поэтому оно никак не может содержать размер молекулы. Предпринятые в последнее время попытки "исправить" уравнение

Больцмана за счет введения таких членов лежат вне формализма асимптотических методов. Во- вторых: надо помнить, что интегрирование по р в Jj в пределах от нуля до бесконечности осуществляется в d масштабе. На самом деле подинтегральная функция отлична от нуля только в узкой зоне перекрытия разложений. В [7] показано, что для сил отталкивания, затухающих как ~ хх — х " при п > 2 интегрирование в бесконечный пределах не приводит к ошибкам, большим, чем порядок отброшенных членов в асимптотическом разложении. В [7] также указывается, что динамическая система с большим числом взаимодействующих частиц за время порядка нескольких столкновений становится неустойчивой. Это обстоятельство может являться причиной такого громадного масштаба времени возврата системы к своему состоянию в теореме Пуанкаре и обоснованности гипотезы молекулярного хаоса.

Отметим также, что в [8] А. А. Власов получил уравнение Больцмана из построенной им статистической механики, где использовал при выводе практически те же предположения, что и были использованы Боголюбовым или в [2]. Там же в [8] он дал объяснение необратимости уравнения Больцмана, исходя из введения таких понятий, как состояние системы до столкновения и после него.

Для обобщения уравнения Больцмана на случай смеси не реагирующих между собой газов, нужно ввести для каждого сорта частиц свою функцию распределения fk(t,x,£k) в своем скоростном пространстве. В этом случае будем иметь следующую систему кинетических уравнений для определения fkfoxJk)

Dt тк д£к J=, где п- число компонент в смеси, Jks-интеграл столкновений молекул кго и sro сортов газов, Хк есть внешняя сила, действующая на молекулы газа кг0 сорта. В [2] показано, что стоящее под знаком суммы выражение в правой части (1.10), можно записать в виде

J* = \Wkfs-fkfs) % ~ £ (Z, gb ) sin Xdxdsdlk gks -|s|, где GksiZigks)-дифференциальное сечение столкновений, %-угол рассеяния, однозначно связанный с прицельным параметром Ь. Такой вид удобен тем, что, вводя соответствующие сечения столкновений, можно к системе уравнений для смеси газов свести описание поведения газа, состоящего из молекул с внутренними степенями свободы. Вид такой системы приведен в [2]. Аналогичные уравнения можно выписать для смеси газов, где происходят химические реакции, если под соответствующими Gks понимать эффективные сечения реакций.

Уравнение Больцмана является интегродифференциальным уравнением, левая часть которого есть действие оператора переноса вдоль траектории молекул на функцию распределения. Найдем вид оператора переноса в «ковариантном виде» (см. [8] или [9]). Пусть qj>v.qmPm система параметров, определяющих состояние молекулы (для одноатомной молекулы ш=3 и цхрх—църъ-обобщенные координаты и импульсы, определяющие поступательное движение молекулы). Тогда фазовое пространство есть {Я\Р\-ЯтРт)- В момент времени to в элементе фазового объема dV(t0) будет dN(t0) = f(t0,qxpx.qmpm)dV молекул. Элемент объема (см. [8]) определяется, как где (gij)q,(Sij)p соответствующие метрические тензора. В момент времени t0+At в этом объеме будет dN(t0 + At) = f(t0 + At,qk + +qtAt,pk + pkAt)dV(tQ + At), к = l,.m молекул. Введем вектор R = {qi,pi} / = l,.m, и пусть имеет место следующая система уравнений dR. = j = l,2,.m. Тогда (см. [5]) dV(t0+At)д(р,

-dV(t0) = —J-dV(t0)At с точностью до О(Дг), и dRj

AN = dN(t0 + At) - dN(t0) = М- + + Д. + f^)dVAt. Откуда ot oqi opi oRi получаем «ковариантное» представление оператора переноса в виде

Df df д df д df rd(D, — = — + q, — + P, — + f— (1.7)

Dt dt ' dq. 1 ад. dR, dcpj

Если система имеет гамильтониан H(t,q;,p;) (см. [5]), то, —^- = 0, и

8Rj последнее слагаемое в (1.7) выпадает. Приведем оператор переноса в цилиндрической системе координат r,(p,z,pr,p(p,p2. В этом случае

1 р1 гамильтониан есть Н = П +—{р2г + ), где П - потенциальная

2т г энергия поля, в котором находится система. Тогда

Df = ¥ ,Pr V , />, а/ i df ая) а/ ая а/ аяа/

Dt dt r mdr mr1 dqy 2 mdz mr1 dr dpr dq) dpv dz dz

Обычно вместо импульсов используют скоростные переменные с Рг * Р<р с Pz г? d d d . Если учесть, что — = -----—то оператор m mr m or or г og^ переноса в цилиндрической системе координат имеет следующий вид

Df Jf еп) а/ еп а/

Dt dt r dr r dq) 2 dz r mdr d%r r mrdq> mdz d%z

Это выражение совпадает с выражением, приведенным в [2]. Схема вывода кинетических уравнений в релятивистском случае приведена в [9].

Заключение

В Первой части диссертации была рассмотрена задача о струе плазмы, выходящей в окружающее пространство из стационарного плазменного двигателя. Было показано, что при номинальных режимах работы СПД возникающее течение должно описываться на кинетическом уровне, поэтому для его моделирования были предложены соответствующие модельные уравнения, которые вкупе с обобщением гипотезы "термолизованного потенциала" позволили получить замкнутое описание задачи для функций распределения ионов и нейтралов. Первоначально используемая модель Хамеля была по настоянию экспериментаторов (в частности В. Кима) заменена на модель, которая учитывала специфику резонансной перезарядки. Из свойств этой модели видно, что она ничуть не хуже, чем известная модель Крука. Сведение описания задачи к решению системы модельных уравнений позволило при ее решении использовать различные модификации численных методов динамики разреженных газов применительно к задачам, имеющим несколько температурных масштабов, сингулярные граничные условия и нелинейные силовые члены. Из-за того, что моделирование происходит на микроуровне (на основе функций распределения), а в экспериментах измеряются в основном макроскопические величины, провести корректное сравнение результатов моделирования и эксперимента довольно трудно. Тем не менее такое сравнение было произведено, и оно показало хорошее качественное, а если подобрать некоторые величины, масштабы значений которых известны плохо, так, чтобы добиться совпадений теории и эксперимента в какой-либо точке, то и количественное совпадение уже в достаточно широкой области течения. Поэтому проведенные исследования нашли достаточно широкое практическое применение. Об этом свидетельствует во-первых, факт продажи не модифицированного комплекса "Jet" фирмам "Marco Marconi Space" и "Aerospacial", во-вторых, некоторые результаты расчетов были переданы по договору РКА "Энергия", в-третьих, расчеты, проведенные по модифицированной программе "Jet", составили основу проектов, которые дважды выигрывали "IN-TAS", в-четвертых, выполненные в диссертации исследования с 1987 (год начала работы) и где-то по 2001 год всегда использовались в качестве годовых отчетов отдела, где работает автор.

Научная значимость этой части диссертации определяется тем, что в ней решен ряд принципиальных и методических проблем моделирования динамики разреженной плазмы с помощью кинетических уравнений. Для подтверждения сказанного приведем достаточно вольный перевод соответствующего места в работе [80]. ". работа [56] является значительным улучшением всех существовавших ранее эмпирических моделей струи, хотя она не учитывает некоторые детали взаимодействия ионов и нейтралов.". Со второй частью фразы нужно в принципе согласиться, ибо, как уже отмечалось, построенная в диссертации модель перезарядки по своим свойствам не хуже модели Крука, но и не лучше, т.е. она заведомо не учитывает некоторые детали взаимодействия ионов и нейтралов. Из первой части приведенной выше цитаты можно заключить, что в диссертации решена важная проблема разработки основ моделирования динамики ускоренных потоков разреженной плазмы путем применения методов кинетической теории, и, что автор является одним из пионеров этого научного направления. О том, что направление, использующее методы кинетической теории для моделирования процессов в ускорительных каналах ЭРД и их струях, интенсивно развивается, свидетельствует большое количество работ, посвященных решению этой проблемы. Большинство из них использует методы статистического моделирования, хотя на данном этапе число частиц в методах статистического моделирования не обеспечивает нужный размер дебаевского радиуса, что заметно повышает роль направления, которое использует модельные кинетические уравнения.

Если в первой части диссертации методы кинетической теории применялись для решения задачи, имеющей не только научное, но и большое практическое значение, то вторая часть диссертации была посвящена теоретическим проблемам динамики разреженного газа. Новые результаты здесь следующие.

Более детально проанализировав процесс взаимодействия газа с поверхностью тела, было получено выражение, которое трактовалось как производство энтропии при взаимодействии молекул газа с поверхностью тела, т. е. было дано кинетическое определение производства энтропии, возникающего при взаимодействии существенно неравновесной части системы с равновесной или квазиравновесной ее частью. Это позволило доказать в стационарном случае Н-теорему и получить в неравновесном случае выражение для производства энтропии всей системы. В тех случаях, когда движение газа описывалось линеаризированным уравнением Больцмана, полученное выражение для производства энтропии позволило определить интегральные величины, являющимися аналогами определенных в термодинамике необратимых процессов коэффициентов Онзагера и доказать их симметрию. Это позволило установить, как проявляет себя сформулированный И. Пригожиным закон симметрии коэффициентов Онзагера в существенно неравновесных случаях.

Вторым важным результатом этой части диссертации явилось создание вариационных принципов. Уже при доказательстве соотношений симметрии оказалось удобным, отказавшись от обычного способа описания движения на основе функции распределения, перейти к описанию на основе четной относительно вектора скорости части функции распределения или соответственно на основе нечетной ее части. Проведя до конца такое разбиение, удалось получить эквивалентное обычному описание движения газа на основе только четной части функции распределения (в линейном случае добавки к функции распределения) и компонент макроскопической скорости газа или же на основе только нечетной ее части и добавок к давлению и соответственно к температуре газа. Такое описание в отличие от обычного содержало в левой части кинетического уравнения дифференциальный оператор второго порядка, что существенно облегчало построение функционалов в вариационных принципах, одним из которых был знакоопределенный функционал, принимающий на решении значение производства энтропии во всей системе. Были построено два вариационных принципа- один на основе четного описания, другой использовал нечетное описание. Уравнения Эйлера в первом вариационном принципе совпадали со всеми уравнениями и граничными условиями в случае четного описания, а во втором давали все уравнения и граничные условия, которые соответствовали нечетному описанию движения. Было показано, что при определенном способе варьирования оба вариационных принципа являются минимаксными.

Четные и нечетные части функции распределения связаны между собой соотношениями c^L^cf-f^W) (1) дх, дх.

Соотношения (1) можно рассматривать, как аналог преобразования Лежандра ( см. [81]) для величин, входящих в варьируемые функционалы. Возможность замены "min" на "шах" и наоборот, как это рекомендуется в [81], в построенных принципах не была обнаружена, но из этих минимаксных принципов удается сформулировать два вариационных принципа, являющихся двойственными по отношению друг к другу. Из минимаксного вариационного принципа на основе (х, с) удается получить вариационный принцип максимума для функционала К(<р+), являющегося разностью между удвоенной мощностью напряжений в газе и производством энтропии, при условии сохранения импульса в системе, а из минимаксного вариационного принципа на основе <р~(х,с) получить вариационный принцип минимуму для производства энтропии S, при условии сохранения в системе числа частиц и энергии, а на границе условия непротекания и непрерывности потока энергии. Таким образом для мощности силы воздействия потока на тело FiSi имеет место оценка К(<р+) < < S((p ), т. е. требование, которое в [81] предъявляется к вариационным принципам в механике сплошных сред, оказывается выполненным в построенных в диссертации вариационных принципах для линейного уравнения Больцмана. При этом принцип минимума есть обобщение принципа минимума производства энтропии Пригожина [75] на существенно неравновестные системы, поэтому можно высказать предположение, что, принцип минимума производства энтропии является фундаментальным законом, т. е. его можно применять к неравновесным системам, которые не описываются уравнением Больцмана. В диссертации построен двойственный ему принцип максимума величины, являющейся разностью между удвоенной мощностью напряжений в газе и производством энтропии.

Значительное место в диссертации уделяется использованию построенных вариационных принципов для расчета коэффициента сопротивления теплопроводной сферы (одного из коэффициентов Онзагера). Принципиальным здесь оказалось, что в построенных вариационных принципах можно применять только такие пробные функции, которые обладают свойством равномерной пригодности, т. е. они должны давать при любых числах Кнудсена с какой-либо точностью правильную картину обтекания во всей области течения. Примеры с грэдовской и свободномолекулярной пробными функциями ясно указывают на это. Для построения пробных функций потребовалось разработать технику вычисления в тензорном виде интегралов в пространстве скоростей от различных частей свободномолекулярного решения.

Используя эту технику, а также методику нахождения частного решения уравнений Пуассона и неоднородного уравнения Гельмгольца, были построены пробные функции, с помощью которых были реализованы вариационные принципы максимума и минимума. Пробные функции в принципе максимума и минимума согласованы не были, поэтому "истинное" решение, которое сравнивалось с экспериментом, определялось как F = c^Fmax + (1 — a)Fmin. Коэффициент а определялся из условия совпадения точного свободномолекулярного значения F с полученным в расчете по формуле, представленной выше. После сравнения результатов расчета с экспериментом (Рис.2 и Рис.3 Главы 5) было решено не находить для принципа минимума пробную функцию, согласованную с пробной функцией (3.1) Главы 5. С помощью развитой техники это сделать можно, но потребовало бы значительных вычислительных усилий, результатом которых было бы приближением числа а к значению 0.5, так как заметно улучшить совпадение эксперимента с теорией, как это видно из рисунков, вряд ли бы удалось. Оно и так вполне удовлетворительное.

Из всего изложенного выше следует, что на защиту выносится следующее:

На защиту выносятся:

1. Моделирование течения струи разреженной плазмы, выходящей из стационарного плазменного двигателя, основанное на применении предложенной в диссертации системы модельных кинетических уравнений. Математическая постановка задач как в осесимметричном, так и в трехмерном случаях.

2. Созданные для решения поставленных задач численные методы их решения, позволяющие проводить изучение влияния различных входных параметров на поведение струи и сравнение результатов расчета с экспериментальными данными.

3. Метод определения значений тех входных параметров, о которых отсутствует достоверная информация.

4. Моделирование процесса распыления с использованием построенной в диссертации модели струи.

5. Метод доказательства Н-теоремы для стационарного движения газа. Для движения, которое описывается линеаризированным уравнением Больцмана, определение коэффициентов Онзагера и доказательство их симметрии

6. Сформулированные как минимаксные вариационные принципы, так и двойственные условные вариационные принципы для случая обтекания теплопроводного тела потоком разреженного газа, который описывается линеаризированным уравнением Больцмана.

7. Методы построения пробных функций, принадлежащих заданным классам варьирования.

8. Использование идеи двойственности вариационных принципов для расчета коэффициента сопротивления теплопроводной сферы.

209

1. J1. Больцман. Лекции по теории газов. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва, 1956.

2. М. Н. Коган. Динамика разреженного газа. Главная редакция физико-математической литературы. Москва, 1967.

3. С. Чепмен, Т. Каулинг. Математическая теория неоднородных газов. Изд. иностранной литературы. Москва, 1960.

4. Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский Физическая кинетика. Москва, «Наука», 1979.

5. Арнольд В. И. Математические методы классической механики,. Москва «Наука» Главная редакция физико-математической литературы,. Москва, 1979.

6. К. Хуанг. Статистическая механика. Изд. «Мир», Москва, 1966.

7. Черчиньяни К. Теория и приложение уравнения Больцмана. Изд. «Мир», Москва, 1976.

8. Власов А. А. Статистические функции распределения. Москва, «Наука», 1966.

9. Веденяпин В. В. Кинетическое уравнение Больцмана и Власова. Москва, Физматлит, 2001.

10. Седов Л. И. Механика сплошных сред. Москва, «Наука», 1973.

11. Бишаев А. М.,. Рыков В. А. Решение стационарных задач кинетической теории газов при умеренных и малых числах Кнудсена. ЖВМ и МФ, №1 1975.

12. Бобылев А. В. О точных решениях уравнения Больцмана. Докл. АН СССР, 225, №6; 1296-1299, 1975; Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана. Докл. АН СССР, 231, №3; 571-577, 1976.

13. Рыков В. А. Релаксация газа, описываемого кинетическим уравнением Больцмана. Прикл. матем. и мех., т. 31, вып. 4, 1967.

14. Рыков В. А., Чуканова Т. Н. Решение кинетических уравнений Больцмана в случае релаксации смеси газов. Сб. "Численные методы в теории разреженных газов", Труды Вц. АН СССР, Москва, 1969.

15. Bhatnagar P. L., Gross Е. P., Krook М. Phys. Rev., 94,51,1954; русский перевод сб. "Проблемы современной физики", №2, стр. 82, М., Ил., 1954.

16. Welander P. Arkiv Fysic, 507, 1954; русский перевод (сокращенный); дополнение в кн. Девиен М., "Течение и теплообмен разреженных газов", М., Ил.,1962.

17. Шахов Е. М. Метод исследования движений разреженного газа. Вц. АН СССР, Москва, изд. «Наука», 1974.

18. Перминов В. Д., Фридлендер О. Г. Моменты интеграла столкновений для максвелловских молекул. Ж. прикл. мех. и техн. физ.,т. 5, №6, 1965.

19. Lowell Н., Holway Jr. New statictical Models for Kinetic Theory: Methods of Constraction. Phys. Fluids, v. 9, № 9,1966, p. 1657-1671. Русск. Перевод в сб. "Механика", вып. 6,1967.

20. Sirowich G., YorkН. Effect of the Collision Frequency on Boundary value problem in kinetic theory. Phys. Fluids, v. 13, № 7,1970,.

21. Любарский Г. Я. К кинетической теории ударных волн. ЖЭТФ, 1961, Т. 40, в. 4, стр 1050-1057.

22. Жук В. И., Рыков В. А., Шахов Е. М. Кинетические модели и задача о структуре ударной волны. Изв. АН СССР, МЖГ., №4, 1973.

23. Bird G. A. The velocity distribution function within a shock wave. Journal of Fluid Mechanics, 30, part 3, p. 479-487, 1967. Русск. перевод в "Вычислительные методы в динамике разреженных газов" Изд. Мир, Москва, 1969.

24. Рыков В. А. Об осреднении кинетического уравнения Больцмана по поперечной скорости для случая одномерных течений газа. Изв. АН СССР, МЖГ. №4, 1969.

25. Бишаев А. М., Рыков В. А. Теплопередача между бесконечными параллельными пластинами в разреженном газе. Изв. АН СССР, МЖГ. №1, 1972.

26. Лимар Е. Ф. Расчет обтекания цилиндра разреженным газом. ЖВМ и МФ., 15, №1, стр. 266-269, 1975.

27. Рыков В. А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы. Изв. АН СССР, МЖГ. №6, 1975.

28. Ларина И. Н, Рыков В. А. О потоках энергии к сфере в разреженном газе. Изв. АН СССР, МЖГ. №2, 1982.

29. Бишаев А. М., Рыков В. А. Переконденсация одноатомного газа при малых числах Кнудсена. ЖВМ и МФ., №3, 1978.

30. Градобоев М. И., Рыков В. А. ЖВМ. и МФ., т. 34, в. 2, стр. 246-266, 1994.

31. Борисов Б. С., Корсун А. Г. Тез. докл. 5Ш Всесоюз. конф. по плазменным и ионным инжекторам. М: Наука, 1982.

32. Волков Б. И.,. Морозов А. И., Свешников А. Г., Якунин С. А. Численное моделирование ионов в системе с замкнутым дрейфом. Ж. Физ. плазмы, 1981. Т. 7. Вып. 2. С.245-253.

33. Жевандров П. И., Морозов А. И., Якунин С. А. Динамика плазмы, образующейся при ионизации разреженного газа. Физика плазмы, 1984, т. 10, вып. 2, с. 353.

34. Райзер Ю. П. Физика газового разряда. Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987.

35. Loylka S. К. Kinetic theory of thermal transpiration and mechanocaloric effect. I.-J. Chem. Phys., 1971, v. 55, p. 4497-4503.

36. Lang H. Second-order slip effects in Poiseuille flow.- Phys. Fluids, 1976, v. 19, №3, p. 366-371.

37. Фридлендер О. Г. Применение алгебры тензоров в задачах аэродинамики разреженного газа. В кн.: Динамика разреженного газа. Ч. II. Новосибирск: СО АН СССР, 1980, с. 110-113.

38. Рыков В. А. Об описании стационарных течений газа на основе четной функции распределения. ЖВМ и МФ, т. 22, №1, 1982, с. 244-246.

39. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме. Вопросы теории плазмы. 1963. Вып. 1.С. 183-272.

40. Ларина И. Н. Сопротивление сферы в сильно разреженном газе. Сб. «Численные методы в динамике разреженных газов» Москва Вц. АН СССР, 1973, с. 22-30.

41. Ларина И. Н., Рыков В. А. Численное решение кинетического уравнения Больцмана методом симметричного расщепления. ЖВМ и МФ, 2003,т. 43, №4, с. 601-613

42. Жук В. И. Решение кинетического уравнения для газа в поле тяготения планеты. Докл. АН СССР, 1977. Т. 233, №3. С.325-328.

43. Новиков В. Н. О решения самосогласованных кинетических уравнений. ЖВМ и МФ, т. 26, №12, с. 1855-1867.

44. Уиллис Теоретические решения некоторых проблем почти молекулярного течения. Газодинамика разреженных газов. Ред. Девиен, М. 1963, с. 385-400.

45. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М. Наука, 1967.

46. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978.

47. Бишаев А. М., Девашова Л. Н. Приближенные вычисления параметров струи ускорителя с замкнутым дрейфом электронов. Физика и техника высокотемпературного газа. Сб. трудов МАИ, ред. "МАИ", 1991.

48. Бишаев А. М. Численное моделирование струи разрешенного слабо ионизованного газа, выходящего из кольцевого отверстия. ЖВМ и МФ, 1993, т. 33, №7, с.1109-1118.

49. Бишаев А. М., Шавыкина А. В. Определение параметров струи плазмы, выходящей из стационарного плазменного двигателя. Мат. Модел. Т. 11, №4, 1999г. стр. 117-125.

50. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М. Наука, Гл. ред. физ. мат. лит. 1978.

51. Hamel В. Kinetic model for binary gas mixtures. Phys. Fluids. 1965. V. 8, №3, p. 418-425.

52. Бишаев А. М., Калашников В. К., Ким В. Численное исследование струи разреженной плазмы стационарного ускорителя с замкнутым дрейфом электронов (НЗДП). Физ. плазмы. 1992, т. 18. Вып. 6, с. 698-708.

53. Abramomowitz М Ш Math, and Phys. 32,188, 1953.

54. Бишаев А. М., Калашников В. К., Ким В. Numerical modeling of rarefied plasma plume in neutral environment gas. Proceeding of the 23rd international electric-propulsion conference. V2. IEPC-93-137, p. 1275-1281.

55. Бишаев A. M., Калашников В. К., Ким В., Шавыкина А. В. Numerical modeling of rarefied plasma plume in neutral environment gas. Proceeding of the 23rd international electric-propulsion conference. V2. IEPC-95-173, p.1187-1190

56. Бишаев A. M., Калашников В. К., Ким В., Шавыкина А. В. Численное моделирование плазменной струи стационарного плазменного двигателя, рас-прстроняющейся в среде низкого давления. Физ. плазмы, 1998, т. 24, №11, стр. 989-995.

57. Manzella D. Н., Sancovic J. М. Thruster Ion Beam Characterization. AIAA-95-2927. San-Diego (USA), 1995.

58. Absalamov S.K. et. Al. Measurement of the plasma parameters in the Stationary plasma Thruster (SPT-100) plume and its effect on spacecraft component. AIAA-92-3156. Nashvile. 1992.

59. Бишаев A. M., Ким В., Титова E. M. Процесс распыления стенки камеры стационарного плазменного двигателя. Ж. Мат. Модел. Т. 12, №6,2000г.

60. Гусев К. Н., Рыжов Ю. А., Стриженков Д., Е., Шкарбан И. И. Расчет на ЭВМ коэффициентов аккомодации энергии и импульса между атомными потоками и поверхностями. Тез. докл. Зий Всесоюз. конф. по плазменным ускорителям. Минск, ИФАНБССР, 1976, с.180-181.

61. Егоров В. В., Ким В., Шкарбан И. И. Пристеночные процессы и их влияние на работу ускорителей с замкнутым дрейфом электронов. Сб. статей Ионные инжекторы и плазменные ускорители. Москва, энергоатомиздат, 1990, с. 56-57.

62. Бишаев А. М., Ким В., Титова Е. М. Процесс распыления стенки камеры стационарного плазменного двигателя. Ж. Мат. Модел. Т. 12, №6,2000г.

63. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1954.

64. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О возмущениях, которые связаны с созданием подъемной силы, действующей на тело в трансзвуковом потоке диссипи-рующего газа.-Прикл. матем. и механ.,1967, вып. 6, с. 1035-1049.

65. Рыжов О. С., Диесперов В. Н. Затухание возмущений, которые вносятся телом вращения в сверхзвуковой поток вязкого теплопроводного газа.-Докл. АН СССР, 1967, т. 175, №1, с. 51-54.

66. Маслова Н. Б. Стационарные решения уравнения Больцмана в неограниченных областях. Докл. АН СССР, 1981, т. 260, с.844-848.

67. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976.

68. Бишаев А. М., Рыков В. А. Н-теорема и принцип Онзагера для стационарного уравнения Больцмана. ЖВМ и МФ, т. 23, №4, 1983, с.952-964.

69. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.

70. Бишаев А. М., Рыков В. А. О соотношении симметрии Онзагера в линейной задаче обтекания теплопроводного тела. МЖГ, №6, 1983, с. 140-146.

71. Бишаев А. М., Рыков В. А. О симметрии кинетических коэффициентов Онзагера в разреженном газе. МЖГ, №6, 1984.С. 106-112

72. Бишаев А. М. Рыков В. А. О матрице сопротивления частицы в неоднородном потоке газа. МЖГ, №1,1988, с. 101-108.

73. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр. Матем. ин-та АН СССР. М: Наука, 1961, №61.

74. Грынь В. И. О вариационных принципах для уравнения переноса и их связи с Рм-приближением сферических гармоник. ЖВМ. и МФ., 1984, Т. 24, №1, с. 75-91.

75. Фридлендер О. Г. Вариационный метод в динамике разреженного газа. Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. М: Изд. отдел ЦАГИ, 1981, Вып. 2111, с. 63-77.

76. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М: Мир, 1973.

77. Бишаев А. М., Рыков В. А. Вариационные принципы линейной кинетической теории. ЖВМ. и МФ., Т. 90, №4, 1990, с. 570-585.

78. Бишаев А. М., Рыков В. А. Вариационные принципы для линейного уравнения Больцмана. ЖВМ. иМФ.,Т. 32, №11, 1992, с. 1803-1813.

79. Бишаев А. М., Рыков В. А. Применение вариационных принципов к расчету коэффициента скольжения газа. ЖВМ. и МФ., Т. 37, №2, 1997, с. 230238.

80. Бишаев А. М., Рыков В. А. "Двойственные вариационные принципы линейного уравнения Больцмана." Всероссийский семинар «Кинетическая теория и динамика разреженных газов». Новосибирск, 2-7 дек. 2002г. Тезисы докладов, с. 36-37.

81. Andrenuce М., Biagioni L., Passaro A. PIS/DSMC model for Hall thruster plumes: present status and waves forwards. Proc. 38st. AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conf. And Exhibit, Indianapolis, Indiana, 2002, paper AIAA-2002-4254.

82. Бердичевский В. JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

83. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука 1966.