Взаимодействие заряженных тел в плазме тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

И04616327

На правах рукописи

Гаранин Сергей Борисович ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ В ПЛАЗМЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АФТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ДЕК 2010

Москва - 2010

004616327

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственный технический университет)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профе'

Котельников Михаил Вадимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Киреев Владимир Иванович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Гордеев Олег Анатольевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

приборостроения и информатики

Защита состоится 24.12.2010 в 10:00 на заседании диссертационного сове1 Д 212.125.14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: Москва, Волоколамское ш, д.4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета)

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.125.14, к.ф. -м.н.

В.Ю. Гидасг

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Взаимодействие заряженных тел, помещенных в плазму, имеет место в ионосферных" условиях, когда заряженное тело попадает в возмущенную зону (след), образующийся с теневой стороны космического летательного аппарата (КЛА). Аналогичная ситуация возникает при движении гиперзвуковых летательных аппаратов (ГЛА) в более плотных слоях атмосферы. Учет взаимодействия тел со следом актуален при расчете переноса на тело, попавшее в область следа, массы импульса, количества теплоты, заряда, что необходимо знать при конструировании различных образцов авиационно-космической техники. В представленной работе основное внимания уделено развитию зондовых методов диагностики в возмущенных зонных КЛА и ГЛА. Электрический зонд - это типичный случай заряженного тела заданной геометрии, помещенного в возмущенную зону другого тела. Задача исследования несколько упрощается в следствии того, что размер зонда можно считать малым по сравнению с характерными размерами тела, образующего возмущенную зону. Не смотря на это исследование тока на зонд, помещенный в след - достаточно сложная задача, состоящая из нескольких взаимосвязанных этапов. Например, при исследовании зонда в возмущенной зоне спутника предварительно нужно провести расчет этой возмущенной зоны. Анализ показывает, что функции распределения (ФР) заряженных частиц в теневой области спутника сложным образом зависит от диаметра спутника, его потенциала, направленной скорости и параметров окружающей плазмы. В боковой и лобовой областях спутника ФР так же не максвелловские, но они отличаются от ФР в следе. На втором этапе необходимо сформировать систему начальных и граничных условий на внешней границе возмущенной зоны зонда и только после этого приступить к третьему этапу - решению собственно зондовой задачи. В диссертации исследуются зонды цилиндрической геометрии и плоские пристеночные зонды ленточного типа. Такие зонды наиболее удобно использовать в практике зондовых измерений.

Цель работы заключается в построении физических математических и численных моделей работы электрических зондов различной геометрии в возмущенных зонах КЛА и ГЛА, разработке компьютерных кодов для проведения численных экспериментов в рамках построенных моделей, а так же создание соответствующих зондовых методик.

Научная новизна работы.

Впервые созданы математические и численные модели для- решения зондовых задач в возмущенной зоне спутника и гиперзвукового летательного аппарата.

Впервые решена задача о взаимодействии двойных плоских пристеночных зондов ленточного типа, расположенных на боковой поверхности КЛА и ГЛА. .

Создана серия компьютерных кодов, предназначенных для численного моделирования четырехмерных (в фазовом пространстве) зондовых задач, предназначенных для исследования в следе спутника на основе совместпого решения уравнений Власова и уравнений Максвелла.

Создана так же серия компьютерных кодов для численного моделирования двумерных зондовых задач, предназначенных для исследования в возмущенной зоне ГЛА.

На основе построенных моделей получены зависимости зондового тока от потенциала и других безразмерных параметров задачи. Получены и проанализированы функции распределения заряженных частиц, их моментов, профилей электрических полей в возмущенной зоне спутника.

Практическая значимость.

Полученные в работе теоретические зависимости для зондовых токов от потенциала и других параметров задачи позволяют расширить возможности зондового метода и применять его для измерения параметров плазмы в возмущенной зоне спутника, в частности, в области следа, а так .же в следе ГЛА.

Решение задачи по взаимодействии двойных плоских пристеночных зондов, расположенных на боковой поверхности КЛА и ГЛА, позволяют минимизировать весовые и габаритные размеры зондового устройства, а так же оценить систематические ошибки, связанные с взаимным влияние двойных зондов и перекрытием их возмущенных зон.

Разработанный метод решения зондовых задач в возмущенной зоне КЛА позволил рассчитать зависимость зондового тока от вида функций распределения заряженных частиц, который существенно отличается сгс максвелловского. Возникающие при этом погрешности могут достигать 50% и более. Таким образом, полученные в работе результаты не только расширяют возможности зондового метода, но и существенно повышают его точность.

Практическая значимость полученных результатов не ограничивается только зондовой тематикой. Результаты по взаимодействию заряженных тел в плазме могут быть полезны при анализе поведения различных образцов авиационно-космической техники, работающих в возмущенных лонах КЛА и ГЛА.

Достоверность и обоснованность результатов диссертации подтверждается физической обоснованностью постановок задач, строгостью математических моделей и применяемых численных методов, а так же хорошим качественным и количественным соответствием полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными и численными решениями других авторов, использующих другие программные комплексы.

Методы исследования.

В ходе исследования применяются следующие математические методы. В разреженной плазме в условиях ионосферы кинетическое уравнение Власова решалось методом характеристик, либо методом крупных частиц Ю.М. Давыдова. Алгоритм обоих методов основан на том, что функции

распределения оказываются постоянными вдоль характеристик, которые одновременно являются траекториями движения крупных частиц в фазовом пространстве. В зондовых задачах токи проводимости и смещения относительно малы и поэтому можно пренебречь собственными электромагнитными полями. В этих условиях система уравнений Максвелла сводится к уравнению Пуассона. Его решение на каждом временном слое осуществлялось численно-аналитическим методом, основанном на методе разделения переменных Фурье. Он позволяет перейти к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решались методом прогонки.

В режиме сплошной среды в случае слабой степени ионизации плазмы система уравнений Эйлера для нейтральной компоненты решалась с использованием явной схемы метода крупных частиц. Уравнение неразрывности для ионов и электронов так же решались методом крупных частиц.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту.

1. Физико-математические модели взаимодействия тел плоской и цилиндрической геометрии в потоках разреженной и плотной слабоионизованной плазмы.

2. Численные модели взаимодействия тел плоской и цилиндрической геометрии в потоках разреженной и плотной слабоионизованной плазмы.

3. Метод зондовых измерений цилиндрическими зондами в следе спутника, включая исследования функций распределения заряженных частиц в возмущенной зоне, моментов функций распределения, профилей электрических полей, а так же оценки возможных систематических ошибок, возникающих при использовании классических зондовых методик для измерений в следе.

4. Уточненная методика двойных плоских пристеночных зондов, расположенных на боковой поверхности КЛА и ГЛА.

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных конференциях:

- Международная научная конференция "Метод крупных частиц: теория и приложения" под руководством Ю.М. Давыдова. Москва (2000-2010г).

- Международная научная конференция по "Физике низкотемпературной плазмы и УТС", Звенигород (№36-2008г., №38-20 Юг).

- Международная научная конференция по "Неравновесным процессам в соплах и струях" (Санкт-Петербург №4-201 Ог, Алушта №7-2007г, №8-20 Юг).

- Международная молодежная научная конференция "Гагаринские чтения", Москва 2007г.

- Международная научная конференция по "Вычислительной механике и современным прикладным программным системам", Владимир №12-2003г.

- Международная научная конференция "Моделирование и исследование сложных систем", Севастополь (2000-2003г).

- Международная научная'конференция "Актуальные проблемы физики газа и плазмы", Абхазия 2008г. .

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, в числе которых 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 8 - в трудах международных конференций.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 165 стр. Диссертация содержит 1 таблицу, 121 рисунок, список литературы содержит 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, перечислены представленные в диссертации новые результаты, их практическая ценность и положения, выносимые на защиту, кратко изложена структура диссертации.

1 Первая глава диссертации посвящена исследованию взаимного влияния двух плоских пристеночных зондов ленточного типа, расположенных на диэлектрической поверхности обтекаемой бесстолкновительным потоком плазмы. Плоские электроды параллельны друг другу и удлиненной стороной параллельны передней кромке плоскости (рис.1).

Рис.1. Расположение плоских пристеночных зондов 1- зонды, 2 - диэлектрическая пластина Потенциалы электродов <рР1 и <рр> относительно потенциала пространства, их геометрические размеры гл и гр%. Вектор направлений скорости V«, параллелен плоскости и перпендикулярен удлиненной стороне электродов. Если

расстояние между электродами относительно велико, то возмущенные зоны около электродов не пересекаются и взаимного влияния нет. Начиная с некоторого расстояния возмущенные зоны начинают пересекаться, появляется взаимное влияние и оно нарастает вплоть до соприкосновения электродов.

Если гп =г и<рп -<рл =&<рр то рассматриваемая система двух электродов есть двойной пристеночный зонд плоской геометрии. Подобные двойные зонды неоднократно использовались в космических экспериментах, проводившихся в рамках научной школы кафедры Прикладной физики МАИ.

Математическая модель задачи включает уравнения Власова для ионов и электронов, уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля (система Власова-Пуассона), а так же начальные и граничные условия.

Запишем систему в декартовой системе координат (ось х||уш ; у -перпендикулярна плоскости электродов; ъ - направлена вдоль их удлиненной стороны):

ЭГ 54 ЭГ а„ д1 дх ду та

"Эууу

= 0

92ф Э2ю 1 -г^

г 2кТ,

п =

т„

2 +СО +-00

{ /^(Х'У^х^уфУх^у. (1)

/ —со —оо

I

\ КК.Ур.^.^.Ом^у.

т

Начальные условия

$.(0,х,у,ух>уу) = (гио/л)(та/(2кТа))зд • ехр [-та {(ух + ущ)2 + уу2}/(2кТа)], (2) Граничные условия

г=гр: 5а(1,х,у,ух,уу)=0; (3)

1=г.: ЫЪЬУМу) = (пм/тг)(ша/(2кТа))3/2-ехр[-та{(у1 + V»)2 + уу2}/(2кТа)],

В системе (1)-(3) введены следующие обозначения: - функция распределения заряженных частиц сорта а.; я^т^По,,^ - заряд, масса, концентрация и плотность тока частиц сорта а. Индексом "р" отмечены параметры на электроде, "со" - параметры в невозмущенной плазме.

После приведения к безразмерному виду система (1)-(3) решалась итерационным методом. Для этого в начальный момент времени задавался скачек потенциала на одном из зондов и моделировался процесс перехода от начального стационарного состояния к конечному. При этом уравнение Власова решалось методом характеристики, а уравнение Пуассона на каждом временном слое - методом разделения переменных Фурье. Выбор шага по времени, шагов по фазовым переменным, размера расчетной области, границ

обрезания "масквелловского хвоста", числа гармоник разложения в ряд Фурье осуществлялся с помощью методических расчетов.

На рисунках 2-5 приведены некоторые результаты численных экспериментов. На рисунке 2 дан профиль скоростей ионов в возмущенной зоне вблизи заряженной пластины. Параметры расчета указаны на рисунке. На рисунке 3 приведены изолинии потенциала. Рисунок 4 показывает то минимальное расстояние Д^п, при котором не наблюдается взаимного влияния, т.е., нет перекрытия возмущенных зон зондов. Рисунок 5 позволяет оценить систематическую относительную ошибку зондового эксперимента, который возникает при уменьшении расстояния между зондами меньше Дт;п. Безразмерные параметры, указанные под рисунками, получены с помощью следующих масштабов: г0=гр/го, 9о-е фр/кТь е=Т;/Те,ио=УаУ(2кТ!/т01/2.

■......■" 11 . ьм;щм

................................ " 1 "и!...... '| ' .....................

Рис.2. Профиль скоростей ионов вблизи пластины (г0 = 10; ф0 = -10; 8=1; ио= 5)

•) Д/гв=20

Рис.3. Изолинии потенциала. (гг10,<ро=-10,е=1)

Во второй главе диссертации рассматривается взаимодействие двух заряженных цилиндров в потоке разреженной плазмы. Оси цилиндров параллельны, причем радиус второго цилиндра гр2 много меньше радиуса первого цилиндра грь на который набегает поток плазмы со скоростью ум (рис. 6).

Э-

Рис.б. Расположение цилиндров в потоке плазмы

Место расположения второго (малого) цилиндра может изменяться как по радиальной, так и по азимутальной координате.

Большой цилиндр можно рассматривать как спутник (или его часть), движущийся в ионосферной плазме с первой космической скоростью, а малый цилиндр как цилиндрический зонд, предназначенный для измерения параметров плазмы в возмущенной зоне спутника, в частности, в следе.

Решение поставленной задачи состоит из нескольких последовательных этапов. На первом этапе решается задача обтекания большого цилиндра потоком разреженной плазмы. Математическая модель включает уравнения Власова для ионов и электронов и уравнение Пуассона для потенциала электрического поля. Система записывается в цилиндрической системе координат (гДуг,уо) и имеет вид

at.

0f„ . v„ Sf„

f ,Л

dt ' dr r 30

r m„ J Svr

qa £ v,v9

Ёк 9vft

= 0

а2ф l sm i s2m I ^

na(r,G,t)= —J-] J~Jf„ (r>6>vr,v0,t)dvrdv0_

(4)

j.(t.e) =

j^2kTa

1

i и +co

4« 1 {^р'^г'^^К^Ае.

a J —oo -co

Ia (t)=rp Jja(t,e)de

Система граничных и начальных условий аналогична гл.1 (формулы (2) и (3))

Численная модель данной задачи так же соответствует гл.1.

Разработанный программный блок написан на языке программирования ТМТ Pascal v.3.50, есть так же вариант, написанный на языке программирования С++. Блок состоит из двух частей. Первая часть -это программа непосредственного численного моделирования данной задачи. Вторая часть - графическая часть. Если экран монитора установить в графическом режиме, то на экране в режиме реального времени счета выводится зависимость параметров плазмы от времени. В этом случае вычислитель имеет возможность визуально изучать ход эволюции пристеночной области.

На рисунке 7-10 приведены некоторые результаты расчетов на этом этапе комплексной задачи взаимодействия двух цилиндров в потоке разреженной плазмы.

Все приведенные на рис.7-10 функции распределения ионов (ФРИ) существенно отличается от максвелловских. При нулевой направленной скорости (рис.7.) ФРИ имеют подковообразный вырез, связанный с поглощением ионов поверхностью большого тела. По мере удаления от тела вырез уменьшается, а наполнение купола ФРИ возрастает.

д/ч

Рис. 7. Зависимость ФРИ от расстояния до оси цилиндра в покоящейся плазме (г0 = 3; еро = -6; у0 = 0; е = 1).

уму

Уг/м

V.

Рис.8. Зависимость функции распределения ионов от расстояния до оси цилиндра в движущейся плазме (г0 = 3; (р0 = -6; у0 = 5; е = 1; 0 = тс) 1 - г = 4,8; 2 - 8,4; 3 - 13,8.

Рис.9. Зависимость функции распределения ионов от угловой координаты 9 (г0 = 3; фо = -6; Уо = 5; е = 1; г = 9 г0)

Рис.10. Зависимость функции распределения ионов от расстояния до оси цилиндра (лобовая область) (г0 = 3; фо= -6; Vо= 5; е = 1; 6 = 0) 1-г = 4,8; 2-8,4; 3-13,8.

На рисунке 8 представлены ФРИ при тех же условиях, но при наличии направленной скорости потока у0=5 в теневой области. В этих условиях ФРИ раздваивается на два отстоящих друг от друга купола, которые соответствуют двум потокам, огибающим цилиндр с разных сторон. Наполнение куполов связаны с концентрацией заряженных частиц и с удалением от стенки возрастают. На рисунке 9 дана зависимость формы ФРИ от угловой координаты. Если при угле 8=180° оба купола ФРИ равновелики, то при перемещении точки наблюдения в боковую область цилиндра один из куполов уменьшается и постепенно исчезает, а оставшийся купол растет. На рисунке 10 представлены профили ФРИ в лобовой части цилиндра. По своей форме они близки к ФРИ при отсутствии скорости.

На втором этапе решения поставленной задачи формулируются граничные условия на внешней границе возмущенной зоны малого цилиндра (зонда) по информации, полученной в первой части задачи.

На третьем этапе по изложенному выше алгоритму проводится счет зондовой задачи для малого цилиндра. Некоторые результаты вычислительных экспериментов приведены на рисунке 11-13.

На рисунках 11,12 даны токи на единицу длины цилиндрического зонда в зависимости от радиальной (рисунок 11) и угловой координаты (рисунок 12) в системе координат, связанной с большим цилиндром.

—.-.-.-.-.-----г—

о 12 И 16 18 20 22 24 ^ Зя/4 ж

Рис. 11 Зависимость зовдового тока от радиальной Рис. 12 Зависимость зондового тока координаты. от угловой координаты 0

С^о = 6; фош,, = -6; Гою,а = 10; 8 = я; £ = 1; (у0 = 6; фо™, = -6; г^щ, = 10; г/г0 = 12,9;

ф«зояда = -15; ГозОШИ = 0,1) Е = 1; фозошв = -15; Гозоида = 0,1)

1 - расчет по алгоритму диссертации. 2- расчет по теории Ленгмкзра

Из рис. 11,12 следует, что результирующий ток на единицу длины зонда растет по мере удаления от поверхности тела по радиальной координаты и с удалением от оси следа по угловой координате. Эти зависимости полностью согласуются с распределением концентрации ионов в следе от большого цилиндра по переменным (г, б). Расхождение с теорией Ленгмюра наиболее существенны на оси следа (8 = к) и вблизи поверхности большого цилиндра (г —> Готела)- Эти расхождения естественны. Они связаны с тем, что теория Ленгмюра применима только в режиме орбитального движения, а диссертации дано строгое решение системы уравнений Власова-

Пуассона, которое справедливо в любом режиме. Однако есть области в которых строгое решение с хорошей точностью повторяет результаты теории Ленгмюра (только при значениях безразмерной скорости направленного движения у0 > 3).

На рисунке 13 дано поле скоростей ионов вблизи зонда, полученные по строгой теории, изложенной в диссертации (рисунок 13 а), и в тех же условиях по теории Ленгмюра (рисунок 136).

а) б)

Рис.13 а,б. Поле скоростей ионной компоненты. (У0 = 0,93; (го^щи = 0,1)

Длина черных отрезков пропорциональна модулю скорости, а их направление совпадает с направлением вектора скорости. Наблюдаемые на рисунках рис 13а, 136 поля скоростей существенно отличаются друг от друга, что связано с тем, что в строгой теории профиль ФРИ имеет вид, приведенный на рисунке 8,9, а у Ленгмюра они макселловские.

Из приведенных на рисунках 11-13 результатов следует, что строгая зондовая теория, основанная на решении уравнений Власова-Пуассона, может внести поправки в результаты зондовых измерений в следе 50% и более.

Третья глава диссертации посвящена взаимодействию заряженных тел плоской геометрии в столкновителыюм режиме. Геометрия тел полностью соответствует рисунку 1. Плоские электроды ленточного типа расположены на диэлектрической пластине, обтекаемой континуальным потоком слабоионизованной плазмы. Характерные размеры электродов гР1 и гр2, их потенциалы <рР1 и срр2, величина направленной скорости ум. Вектор у„ направлен вдоль диэлектрической пластины по координате х, нормаль к пластине по оси у, удлиненная сторона электродов по оси г.

Математическая модель задачи включает в себя

• систему уравнений Эйлера (или Навье-Стокса) для нейтральной компоненты плазмы;

• уравнения неразрывности для заряженных компонент;

• уравнения движения для заряженных компонент;

• систему уравнении Максвелла • для самосогласованных электромагнитных полей (в решаемых ниже задачах эта система сводилась к уравнению Пуассона).

Уравнение энергии, для ионов не использовалось, т.к. ввиду слабой степени ионизации T¡=Ta. Уравнение энергии для электронов заменялось соотношением E=T¡/T0=const, причем величина б варьировалась.

В представленной ниже математической модели для тел плоской формы учтены также следующие допущения:

• химические реакции заморожены;

• вязкостью пренебрегается;

• собственное магнитное поле много меньше внешнего. Суммарная скорость заряженных частиц складывается из трех компонент: конвективной, диффузионной и составляющей, связанной с электрическим полем.

3n¡/3t + 3(п^ь<)/3х 4- 3(n¡viy)/9y = О dnjdt + фЛхУЙХ + ЗООсУеуУЗу =0

(5)

dVöx2 + Э2ф/<ЭУ2 = e(ne - n¡)/s0, V = у«, + vD + vE,

где Veo — V„(y) - скорость набегающего потока в пограничном слое,

• vD = (Da/rictX [SnJSxji + [¿WSylj)- диффузионная составляющая скорости, "

• vE = sign(-qa)eDa( [5ф/9х]1 + [«Зф/oyjj )/(kTa), а = i,e - составляющая скорости, связанная с подвижностью.

Функция у«,(у) получается решением уравнений пограничного слоя для нейтральной компоненты. Кроме того, сохраняются все предположения, сформулированные для системы (5).

Уравнения (5) дополняются стандартной системой начальных и граничных условий. В большинстве опубликованных работ граничное условие на поверхности тела n¡c(x,0) полагалось равным нулю. В работе показано, что при отрицательном потенциале электродов граничное значение n¡(x,0) может меняться в пределах 0,Зп1Ш< n¡(x,0) < 0,75n¡m где индексом "со" отмечено значение концентрации на внешней границе расчетной области. В работе предложен метод расчета граничного значения концентрации притягивающихся частиц на поверхности тела.

Численная модель задачи обтекания плоских пристеночных электродов близка к численной модели в режиме бесстолкновительной плазмы (гл.1). Задача решалась в двумерной постановке для электрода ленточного типа и в трехмерной постановке для электродов в виде прямоугольника.

Уравнения для нейтральной компоненты и уравнения неразрывности для заряженных компонент решались методом крупных частиц Ю.М.Давыдова. В работе показано, что выбор шага по времени из условия Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ) оказывается слишком жестким. Согласно этому условию шаг по времени Дг< Ax/Iv^d, где vmax — максимальная скорость крупных частиц, Дх - шаг по пространственной координате. Условие

КФЛ означает, что шаг по времени должен быть меньше наименьшего характерного времени, задачи. Многочисленные вычислительные эксперименты показали, что vmax , входящее в условие КФЛ, имеет место вблизи поглощающей поверхности электрода и за времена ~ Д/ выбывает из рассмотрения. Иными словами, в условии КФЛ входят скорости очень малого числа короткоживущих частиц, не отражающих движение всего массива. Вычислительные эксперименты показали, что At может быть увеличен в 3-5 раз по сравнению с его величиной, вытекающей из условия КФЛ, без нарушения устойчивости и точности решения. Поэтому шаг по времени выбирался из методических расчетов, а условие КФЛ служило лишь для выбора начального значения. Такой подход обоснован еще и тем, что условие КФЛ, имеющее наглядный физический смысл, выведено для линейных систем гиперболических уравнений, а в условиях нашей задачи (системы 5) уравнения не линейны. Уравнения Пуассона на каждом временном слое решалось итерационными методами.

На рисунке 14 даны некоторые результаты расчетов для электрода ленточного типа с указанием установившихся значений токов на единицу длины электрода (на разные его сегменты). Токи на сегменты, расположенные сбоку пластины, всегда больше токов на аналогичные центральные сегменты за счет краевого эффекта. Токи на сегменты, примыкающие к передней кромке пластины всегда меньше аналогичных токов на сегменты, примыкающие к задней стенке пластины. Здесь проявляется влияние концевого эффекта. На рисунке 14 го,фо - безразмерные значения толщины и потенциала электродов, М - число Маха, £ = T¡/Te. На рис 15а дана зависимость минимального расстояния между электродами Am¡„ от параметров плазмы, где Amin - это расстояние, при котором отсутствует взаимное влияние электродов. На рисунке 156 оценены те систематические ошибки, которые возникают при несоблюдении условия Д < Amin.

Рис.14. Токи на сегменты плоских электродов (Фо =-5;М = 0,5;^ = 1;е = 0,3;)

Рис. 15а. Зависимость ДшП от г0, фо Рис. 156. Максимальная систематическая

ошибка при измерении двойными зондами, вызванная взаимным влиянием. В четвертой главе рассматривается взаимное влияние тел цилиндрической геометрии, расположенных в потоке столкновительной плазмы. В целях развития зондовых методов диагностики в следе большого тела рассматриваются два параллельных цилиндра, причем диаметр одного цилиндра много больше диаметра второго. Геометрия задачи соответствует рисунку 6. Математическая модель задачи близка к модели,

сформулированной в главе 3 и имеет вид ' '

•—-+ с!гУ(ПсУе) = О 81

¿у кТ

--^п; + ге(Е + V, х В) - циУи (у, - V.)

тс^Ь-= -■—-е{Е + У5хВ)-ц V (у - V )

А<р = е(пс-2п,)/Е0,Е = -Уф ^

%- + ШУ(Р.У.) = 0

от

^)+сЙу(раУаУа) = -7Ра

Ра=(Еа-у^/2)ра(7-1), Еа =СуТа+Уа/2

В приведенной системе уравнений (6) п,у,Т,р,Р,ц,у,<р,Е - концентрация, скорость, температура, плотность, давление, приведенная масса, потенциал и напряженность электрического поля. Индексы \,е,а - относятся к ионам,

электронам и нейтральным частицам. Система начальным и граничных условий для системы (6) стандартна.

Нестационарная двумерная система (6) решалась методами, аналогичными изложенным в главе 3.

Некоторые результаты численных экспериментов представлены на рисунке 16-19.

На рисунке 16-17 представлено характерное поле скоростей нейтральных частиц и ионов при условии слабой степени ионизации и отрицательном заряде цилиндра. Электрическое число Рейнольдса 11еэ=10, число Маха М=0,5. Отчетливо просматривается обтекание цилиндра нейтральным газом и зарождение в теневой области вихревого движения. Ионы, как малая добавка, увлекаются нейтральными частицами и одновременно притягиваются электрическим полем, вследствие чего потоки на тело в теневой области оказываются достаточно высокими.

Рис. 16. Поле скоростей нейтрального газа. (Ке,=25; М=0,5; г„=3;)

Рис 17. Поле скоростей ионов. (З1е3=25; М=0,5; г0=3; <р0—45;) На рисунке 18а,6 приведены изолинии концентрации ионов и электронов.

= 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 75 85

Рис. 18а. Изолинии концентрации ионов

(ц = 10, йе3 = 25, М= 0.6, ф0 = ■-45).

Рис. 186. Изолинии концентрации

электронов (ц = 10,Кез =25,М=0.6,ф„ =-45).

Из рисунка 18 видно, что в лобовой области происходит накопление ионов и их разрежение в теневой области, где образуется характерный след.

Имея параметры плазмы в области следа и рассматривая их как параметры на внешней границе возмущенной зоны для малого зонда, вычисляются токи на зонд, которые необходимы для обработки зондового эксперимента в следе ГЛА.

В таблице 1 приведены данные расчетов для зондовой задачи в следе ГЛА. Зонды располагались на оси следа:

1 - на расстоянии одного радиуса Дебая от поверхности тела;

2 - на расстоянии трех радиусов Дебая от поверхности тела;

3 - на расстоянии двенадцати радиусов Дебая от поверхности тела;

4 - за пределами возмущенной зоны (следа).

Таблица 1

№ Го <Ро М Б-е, п; на Пг на фОзонда ГОзонда Ионный Электронный

внешней внешней ток на ток на

границе границе единицу единицу

расчетной расчетной длины длины зонда

области области зонда

1 100 -1 0,6 25 0,5 0,47 -45 од 1,52 0

2 100 -1 0,6 25 0,83 0,8 -45 од 1,92 0

3 100 -1 0,6 25 1 1 -45 од 2,23 0

4 100 -1 0,6 25 1 1 -45 од 2,78 0

Основные результаты и выводы

1. Разработаны математические и численные модели взаимодействия заряженных тел плоской и цилиндрической геометрии в потоках разреженной и плотной плазмы.

2. Создана серия компьютерных кодов, предназначенных для численного моделирования зондовых задач для следующих случаев

- плоские пристеночные зонды в молекулярном режиме;

- плоские пристеночные зонды в режиме сплошной среды;

- цилиндрические зонды в разреженной плазме;

- цилиндрические зонды в режиме сплошной среды;

3. По результатам численных экспериментов проведена оценка влияния на зондовый ток немаксвелловского характера ФРИ при измерениях в следе спутника.

4. Проведено комплексное исследование зондовой задачи в следе спутника. Создан оригинальный компьютерный код для решения зондовой задачи в следе и проведены обширные вычислительные эксперименты.

5. Получены рекомендации по оптимальному расположению двойных пристеночных зондов на боковой поверхности КЛА и ГЛА. Оценены возможные ошибки, связанные с уменьшением расстояния между зондами меньше оптимального

6. Показано, что условие КФЛ оказывается слишком жестким для задач пристеночной плазмы и даны физические обоснования этому эффекту.

7. Показано, что условия Пце=0 на границе тела не всегда выполняется. Даны рекомендации по выбору более корректного граничного условия.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Взаимное влияние плоских пристеночных электродов, обтекаемых плазмой // Мат.моделирование. 2003г, т.15, с.64-68

2. Гаранин С.Б., Котельников М.В. О применимости условия КФЛ к задачам электродинамики пристеночной плазмы // Вестник МАИ, 2007г, т.14, №2, с.37-40.

3. Гаранин С.Б., Котельников М.В. ВАХ цилиндрического зонда в поперечном потоке плотной слабоионизованной плазмы // Электронный журнал МАИ, серия "Механика", 2007г.

4.-Гаранин С.Б., Котельников М.В. Плоский пристеночный зонд для ЛА в разреженной плазме. Доклад в сб. трудов 6 Международной конф. "Моделирование и исследование сложных систем". г.Севастополь, 2000г, т.1, с.68-69.

5. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Взаимодействие плоских пристеночных зондов, обтекаемых плазмой. В сб. трудов 4 Международной конф. по "Неравновесным процессам в соплах и струях". С.-Петербург, 2002г., с.282-283.

6. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Применение условия КФЛ к задачам электродинамики пристеночной плазмы. Тезисы докл. 12 Международной конф. по "Вычислительной механике и современным прикладным программным системам". Г.Владимир, 2003г, т.2., с.278-279.

7. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Математическое моделирование процессов переноса вблизи цилиндрического зонда в потоке столкновительной плазмы, г. Москва., "Гагаринские чтения". 2007г, с.181.

8. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Цилиндрическое тело в потоке бесстолкновительной плазмы. Тезисы доклада 36 Международной конф. "Физика низкотемпературной плазмы и УТС" Звенигород, 2009г, с.220.

9. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Цилиндрический зонд а теневой области спутника. Тезисы доклада 37 Международной конф. "Физика низкотемпературной плазмы и УТС", Звенигород, 201 Ог, с. 193.

10. Гаранин С.Б., Котельников М.В., Сидоренко Е.К. Зондовые измерения в затопленной струе плазмы. 37 Международной конф. "Физика низкотемпературной плазмы и УТС", Звенигород, 201 Ог, с.117.

11. Гаранин С.Б., Котельников М.В., Морозов А.Е. Зондовые измерения в следе спутника. Тезисы доклада 8 Международной конф. "Неравновесные процессы в соплах и струях". г.Алушта, 2010г, с.281-282.

Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ от // 2016? г. Тираж (00 экз.

Введение.'.

Глава 1. Взаимное влияние плоских пристеночных электродов в бесстолкновительном режиме.

1.1. Физическая постановка и математическая модель задачи.

1.2. Вычислительная модель задачи.

1.2.1. Метод численного решения уравнения Власова.

1.2.2. Метод численного решения уравнения Пуассона.

1.2.3. Методические исследования и сравнение с результатами других авторов.

1.3. Результаты вычислительных экспериментов по взаимному влиянию плоских пристеночных электродов.

1.3.1. Функции распределения заряженных частиц вблизи плоских пристеночных электродов.

1.3.2. Интегральный ток на плоский пристеночный электрод. Распределение плотности тока.

1.3.3. Распределение концентраций заряженных частиц и электрического поля в пристеночной области.

1.3.4. Поле скоростей ионов.

1.3.5. Взаимное влияние двойных пристеночных электродов ленточного типа.

Глава 2. Взаимодействие заряженных тел цилиндрической геометрии в разреженной плазме.

2.1. Физическая и математическая модель задачи.

2.2. Вычислительная модель задачи.

2.2.1. Метод крупных частиц Ю.М. Давыдова.

2.2.2. Метод характеристик.

2.2.3. Методы решения уравнения Пуассона.

2.3. Вычислительные эксперименты по обтеканию заряженного тела цилиндрической геометрии разреженной плазмой.

2.3.1. Описание вычислительного алгоритма.

2.3.2. Методические расчеты и сравнение с экспериментом.

2.3.3. Функции распределения ионов и электронов.

2.3.4. Эволюция интегрального тока на тело, зависимость установившегося значения тока от основных параметров расчета.

2.3.5. Распределение плотности ионного тока по обводу цилиндра.

2.3.6. Распределение концентраций ионов, электронов и потенциала самосогласованного электрического поля в пристеночной области.

2.3.7. Поля средних скоростей ионов в пристеночной области.

2.4. Вычислительные эксперименты по взаимодействию заряженных тел цилиндрической геометрии в разреженной плазме. 2.4.1. Описание программного блока.

2.4.2. Результаты расчетов для случая покоящейся плазмы.

2.4.3. Результаты расчетов для случая движущейся плазмы.

2.4.3.1. Радиальное исследование следа за цилиндрическим телом.

2.4.3.2. Азимутальное исследование следа за цилиндрическим телом.

2.4.4. Особенности зондовых измерений в «следе» спутника.

Глава 3. Взаимодействие плоских пристеночных электродов в столкновителыюй плазме.

3.1. Физическая и математическая модели задачи.

3.2. Вычислительная модель задачи.

3.2.1. Метод крупных частиц применительно к расчету взаимодействия плоских пристеночных электродов в столкновительной плазме.

3.2.2.Методы решения уравнений

Максвелла.

3.3. Методические исследования и тестовые задачи.

3.4. Результаты вычислительных экспериментов.

Глава 4. Взаимодействие тел цилиндрической геометрии в потоке слабоионизованной плотной плазмы.

4.1. Физическая, математическая и численная модели задачи.

4.2. Система начальных и граничных условий.

4.2.1. Начальные условия.

4.2.2. Граничные условия.

4.3. Результаты математического моделирования взаимодействия цилиндрических тел в потоке слабоионизованной столкновительной плазмы.

4.3.1. Профиль скорости нейтральной компоненты.

4.3.2. Поле скоростей электронов и ионов по обводу цилиндра.

4.3.3. Поле концентраций заряженных частиц.

4.3.4. Изолинии потенциала и распределения напряженности электрического поля.

4.3.5. Распределение плотности тока по обводу цилиндра.

4.3.6. Взаимодействие двух цилиндров, помещенных в поток слабоионизованной плотной плазмы.

При внесении заряженного тела в плазму распределение потенциала и напряженности электрического поля в его окрестности существенно отличается от аналогичного распределения в вакууме. Это связано с экранировкой заряда тела зарядами противоположного знака, которые приближаются к поверхности тела из окружающей плазмы за счет кулоновских сил. Вследствие этого около тела возникает слой объемного заряда и далее квазинейтральная возмущенная зона. На внешней границе возмущенной зоны потенциал становится равным потенциалу пространства, а концентрации заряженных частиц — равными концентрациям в невозмущенной плазме. Распределение электрического потенциала вблизи заряженного тела вытекает из решения уравнения Пуассона [1]

А<р =ге(пе-п,)/£0, (1) где <р — самосогласованный потенциал, п,е — концентрации ионов и электронов, е= 1.6'1СГ19Кл — заряд электрона, ео= 8.85-10"12 Ф/м— электрическая постоянная, 2 — степень ионизации ионов.

Разделение зарядов имеет место в слое объёмного заряда. В квазинейтральной возмущенной зоне л, = пг и уравнение (1) превращается в уравнение Лапласа.

Экранирующее действие плазмы аналогично экранирующему действию электролита при внесении в него электрода под определенным потенциалом. Последнее явление подробно изучалось Дебаем [2], поэтому масштаб экранирования электрического поля в плазме получил название радиуса Дебая. Радиус Дебая г а— это характерный размер, на котором возможно разделение зарядов в плазме за счет теплового движения. Выражение для Гс] в зависимости от концентрации и температуры плазмы можно получить из следующего частного примера [2].

Рассмотрим низкотемпературную плазму, состоящую из электронов и однозарядных ионов. Каждая заряженная частица в вакууме имеет потенциал

Р а = I, е, где (2) qa - заряд частицы сорта а.

В плазме около заряженной частицы возникает «атмосфера» из частиц противоположного знака, которая экранирует поле данной частицы. Самосогласованное поле около данной частицы определяется решением уравнения (1). В случае равновесия концентрации ионов и электронов выражаются законом Больцмана па = па0схр(-дац)/(кТа)), а = 1,е; <у,-=е;де=-е (3)

Т, может не совпадать с Те (равновесие имеет место в пределах одного сорта); ?1с0 — концентрации частиц в точке с нулевым потенциалом (её обычно приравнивают к средней концентрации по объёму). Средние концентрации удовлетворяют условию квазинейтральности л« = п. (4)

Подставляя (3) в (1), получаем нелинейное уравнение самосогласованного поля 1

Дф =—епа0 о екТ' -ект

5)

После линеаризации уравнения (5) получим

Г1 П

6)

Со т. т

О V"1' 'еУ

Учитывая сферическую симметрию задачи, решение запишем в виде

V = т^техр(-г/г0), (?) где

7 = I ч Vе; характерная длина экранирования или дебаевская длина.

Во многих практически важных случаях (тлеющий разряд, дуга низкого давления, различные виды плазменных движителей и т.д.) выполняется условие

Т,«Те, (9) поэтому выражение для га (8) переписывается в виде го (МВ-У (Ю)

На рис.1 приведена зависимость г а от концентрации ионов при трех значениях Т, (3-103К;5-103К; 104К)

Из рис.1 следует, что значение га в практически важных случаях изменяется в широких пределах (10"7м — 1м) в зависимости от параметров низкотемпературной плазмы.

Многочисленные физические и вычислительные эксперименты [2-6] показали, что размер возмущенной зоны вблизи КЛА, ГЛА, элементов плазменных движителей, технологических плазмотронов и т.д. может достигать десятков, а иногда и сотен радиусов Дебая и более. Возмущенная зона в теневой области обтекаемого плазмой тела (в «следе») составляет несколько сотен калибров самого спутника [7]. 1

Рис.1. Зависимость г а от и Т,. [«,] = м" , [г^] = м

Взаимодействие заряженных тел, помещенных в низкотемпературную плазму, необходимо учитывать при проведении в плазме различных физических экспериментов; при разработке теории двойных зондов; теории зондовых экспериментов в возмущенной зоне КЛА и ГЛА; при исследовании поведения тел, попавших в «след», образовавшийся за КЛА и т.д.

Рассмотрим более подробно двойные зонды, которые располагают на боковой поверхности КЛА. Взаимное расположение двойных зондов определяется из компромиссных соображений. Зонды нужно располагать максимально близко друг к другу, чтобы сохранить принцип локальности измерений. Кроме того, разнесенные достаточно далеко зонды ведут к усложнению теории, поскольку потенциал пространства в точках расположения зондов может существенно отличаться. Однако приближение зондов друг к другу ведет к появлению их взаимного влияния, что также связано с появлением дополнительных систематических ошибок в зондовых измерениях. Исследованию взаимного влияния плоских пристеночных зондов в различных режимах течения посвящены гл. 1 и гл. 3 диссертации. Компактность расположения двойных зондов на боковой поверхности КЛА необходима и по соображениям уменьшения габаритов и веса зондового прибора.

Методика зондовых измерений в следе спутника или в теневой области тела, требует учета взаимодействия зонда и обтекаемого плазмой тела. Граничные условия на внешней границе возмущенной зоны зонда зависят от параметров плазмы в точке расположения зонда. Следовательно, прежде чем рассчитывать зондовую характеристику, необходимо рассчитать параметры плазмы в области следа, где проводятся измерения (гл. 2 и 4 диссертации).

Основные результаты и выводы из диссертации

1. Разработаны математические и численные модели взаимодействия заряженных тел плоской и цилиндрической геометрии в потоках разреженной и плотной плазмы.

2. Создана серия компьютерных кодов, предназначенных для численного моделирования зондовых задач для следующих случаев:

- плоские пристеночные зонды в молекулярном режиме при наличии направленной скорости;

- плоские пристеночные зонды в режиме сплошной среды при наличии направленной скорости;

- цилиндрические ориентированные зонды в потоке разреженной плазмы;

- цилиндрические ориентированные зонды в потоке плотной плазмы.

3. Впервые проведено комплексное исследование зондовой задачи в следе спутника. Создан оригинальный компьютерный код для решения зондовой задачи в следе и проведены обширные вычислительные эксперименты.

4. Исследовано влияние формы ФРИ на внешней границе расчетной области на результаты обработки зондовых характеристик. Показано, что использование максвелловских функций на внешней границе расчетной области при обработке зондовых характеристик в следе может привести к ошибкам в 50% и более.

5. Получены рекомендации по оптимальному расположению двойных пристеночных зондов на боковой поверхности КЛА и ГЛА. Оценены возможные систематические ошибки, вызванные уменьшением расстояния между зондами меньше оптимального.

6. Показано, что условие КФЛ оказывается слишком жестким для задач пристеночной плазмы, и даны физические обоснования этому эффекту.

7. Показано, что граничные условия на поверхности зонда не всегда выполняется. Получены рекомендации по выбору более корректного граничного условия

1. Котельников В.А., Ульданов C.B., Котельников М.В. Процессы переноса в пристеночных слоях плазмы. М.: Наука, 2004, 422 с.

2. Франк-Каменецкий Д.А. Лекции по физике плазмы. М.: Атомиздат, 1968,286 с.

3. Алексеев Б.В., Котельников В.А. Зондовый метод диагностики плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1988, 239 с.

4. Котельников В.А., Ульданов C.B., Котельников М.В. Процессы переноса в пристеночных слоях плотной плазмы. М.: изд-во МАИ, 2003, 225 с.

5. Котельников В.А., Турина Т.А., Демков В.П., Попов Г.А. Математическое моделирование электродинамики летательного аппарата в пристеночной плазме. М.: Изд. Нац. акад. прикл. наук, 1999, 265 с.

6. Чан П., Телбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. (Теория и применение) М.: Мир, 1978,202с.

7. В.А. Котельников, В.П. Ким, М.В. Котельников. Взаимодействие тел с потоками разреженной плазмы. М.: Изд-во МАИ, 2010, 186 с.

8. Демков В.П. Математическое моделирование процессов переноса в плазме с учетом поверхностных эффектов. Дисс. . канд. физ.-мат. Наук. М., 1989.

9. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов. УФН, т. 170, №6, с. 649 679, 2000.

10. Алексеев Б.В. Физические принципы обобщенной кинетической теории ионизованных газов. УФН, т. 173, №2, с. 145-174, 2003.

11. Alexeev B.V. Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A394. 417 (1994).

12. Турина Т.А. Потоки заряженных частиц и структура возмущенной зоны в окрестности заряженных тел, движущихся в плазме. -Дисс. . к. ф.-м. н. М.: МАИ, 1987, 158 с.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Т.Н. Численные методы. М.: Наука, 1989, 608 с.

14. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989, 608 с.

15. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975, 329 с.

16. Киреев В.И., Пантелеев A.B. Численные методы в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2006 г., 376 с.

17. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Метод крупных частиц: вопросы аппроксимации, схемной вязкости и устойчивости. М.: ВЦ АН СССР, 1978. 71 с.

18. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Исследование дробных ячеек в методе крупных частиц. М.: ВЦ АН СССР, 1978. 71 с.

19. Hester S.D., Sonin A.A./ Rarefied Cas Dynamics, 6 Composium. Vol 11, Academic Press. 1966, №4,1659-1670.

20. Турина T.A. Применение конформных отображений в моделях разреженной плазмы. Сборник «Исследования по прикладной математике и физике», М.: Деп. ВИНИТИ 16.05.90 № 2665 1390, 39-46.

21. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1982. 392 с.

22. Новиков В.Н. Применение методов математического моделирования для решения зондовых задач -Дисс. . к. ф.-м. н. М.: МАИ, 1979, 117 с.

23. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, 280 с.

24. Колмогоров А.П., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544.

25. Чан П., Телбот JL, Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. (Теория и применение) М.: Мир, 1978, 202с.

26. Петерсон Е., Телбот JL Измерение одиночными и двойными электростатическими зондами в бесстолкновительной плазме // Ракетная техника и космонавтика. 1970. т.8, №12, с. 126-132.

27. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Плоский пристеночный зонд для JIA в разреженной плазме. Доклад в сб.трудов 6 Международной конф. "Моделирование и исследование сложных систем". г.Севастополь, 2000г, т.1, с.68-69.

28. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Взаимодействие плоских пристеночных зондов, обтекаемых плазмой. В сб. трудов 4 Международной конф. по "Неравновесным процессам в соплах и струях". С.-Петербург, 2002г., с.282-283.

29. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Взаимное влияние плоских пристеночных электродов, обтикаемых плазмой // Мат.моделирование. 2003г, т. 15, с.64-68.

30. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Цилиндрическое тело в потоке бесстолкновительной плазмы. Тезисы доклада 36 Международной конф. "Физика низкотемпературной плазмы и УТС" Звенигород, 2009г, с.220.

31. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Цилиндрический зонд а теневой области спутника. Тезисы доклада 37 Международной конф. "Физика низкотемпературной плазмы и УТС", Звенигород, 20 Юг, с. 193.

32. Гаранин С.Б., Котельников М.В., Сидоренко Е.К. Зондовые измерения в затопленной струе плазмы. 37 Международной конф. "Физика низкотемпературной плазмы и УТС", Звенигород, 20 Юг, с. 117.

33. Гаранин С.Б., Котельников М.В., Морозов А.Е. Зондовые измерения в следе спутника. Тезисы доклада 8 Международной конф. "Неравновесные процессы в соплах и струях". г.Алушта, 20 Юг, с.281-282.

34. М.В. Котельников. Механика и электродинамика пристеночной плазмы. -Дисс. . д.ф.-м.н. -М.: Издательство МАИ, 2008, 276 с.

35. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988, 424 с. ,

36. Давыдов Ю.М. Исследование трансзвуковых и сверхзвуковых течений методом крупных частиц // Исследование современных задач газовой динамики. М.: Наука, 1974 г., с 83-181.

37. Давыдов Ю.М. Численный эксперимент в гидродинамике по исследованию срывных вязких потоков методом крупных частиц // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. с 227239.

38. Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц для задач газовой динамики: Дисс. . канд. Физ.-мат. Наук, М., 1970,183 с.

39. Исследование актуальных проблем механики и машиностроения. / под редакцией Ю.М. Давыдова, М.: Изд. НАПН, том 1-5,1995.

40. Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц // Математическая энциклопедия. М.: Сов. Энциклопедия, 1985. т.З, с 125-129.

41. Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975, 329 с.

42. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989, 608 с.

43. Гаранин С.Б., Котельников М.В. О применимости условия КФЛ к задачам электродинамики пристеночной плазмы // Вестник МАИ, 2007г, т.14, №2, с.37-40.

44. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Применение условия КФЛ к задачам электродинамики пристеночной плазмы. Тезисы докл. 12 Международной конф. по "Вычислительной механике и современным прикладным программным системам". г.Владимир, 2003г, т.2., с.278-279.

45. Бойер, Турян. Ракетная техника и космонавтика, №12, 143, (1972).

46. Burke A.F., AIAA, Paper №68-166, 6th Aerospace Sciences Meeting, New York, 1968.

47. Lederman S, Avidor J., Izrael J. Tech., 9 (1971).

48. Шерфман, Бредфелдт. Ракетная техника и космонавтика, №4, 67, (1970).

49. Bershtein I.B., Rabinovich I. Theory of Electrostatic Probes in a low-Density Plasma// Phys. Fluids. 1959. Vol.2.P. 112-115.

50. Котельников B.A., Ульданов С.Б. Электрический зонд в турбулентном потоке плазмы. // Мат. моделирование. 2000. т. 12, №7, с. 23-28.

51. Persson К.В., Phys-Fluids, 5, 1625, 1962 г.

52. Гаранин С.Б., Котельников М.В. ВАХ цилиндрического зонда в поперечном потоке плотной слабоионизованной плазмы // Электронный журнал МАИ, серия "Механика", 2007г.

53. Гаранин С.Б., Котельников М.В. Математическое моделирование процессов переноса вблизи цилиндрического зонда в потоке столкновительной плазмы, г. Москва., "Гагаринские чтения". 2007г, с. 181.