Уравнения неравновесной статистической механики броуновского движения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГ6 од

- 8 л Е К Ш7

На правах рукописи

Ершов Игорь Валерьевич

Уравнения неравновесной статистической механики броуновского движения

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1997

Работа выполнена в Новосибирском государственном архитектурно -строительном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев Ю.Н., доктор физико-математических наук, профессор Воскобойников Ю.Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Васенин И.М. (Томский государственный университет, ФТФ, г. Томск), доктор физико-математических наук, профессор Ривин Г.С.

(Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск).

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, г.Новосибирск.

Зашита состоится

заседании диссертационного совета ¿..л!^ ного университета по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36, ТГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

1997 года в

часов на

I омского государствен-

Автореферат разослан: "26 » " 199?

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

К. ф.- М.Н., АОЦЕ ИТ Немирович-Данченко М.М.

Актуальность темы

Задача описания броуновского движения является классической задачей физики м механики жидкостей п газов. Впервые ее удовлетворительное решение на основе молекулярной кинетики было дано А.Эйнштейном (1905 г.) и П.Ланжевеном (1908 г.). Однако с современной точки зрения созданная 8 их работах картина броуновского движения является непоследовательной, поскольку в ней отсутствует связь коэффициентов переноса с процессами взаимодействия молекул среды с броуновскими частицами и смешиваются два разных уровня описания: гидродинамический и молекулирно-кинетический. Альтернативный подход к объяснению броуновского движения в 1915 году был предложен М.Смолуховским, который рассматривал это движение, как стохастический (вероятностный) процесс. В основе теории М.Смолуховского лежат гипотезы о марковском и гаус-совском характере данного стохастического процесса. Эти два предположения позволяют вывести для одночастичной функции распределения частиц уравнение Фоккера-Планка и обосновать уравнение диффузии А.Эйнштейна. Тем не менее, данный подход также не дает ответа о связи коэффициентов переноса с динамикой взаимодействия молекул с частицами. Кроме того, остаются открытыми вопросы о границах применимости этой теории. Таким образом, теория М.Смолуховского также содержит эвристические постулаты.

Получить ответы на указанные выше вопросы можно только в рамках строгой статистической (из первых принципов) теории броуновского движения. Впервые такой подход к описанию динамики броуновской частицы в 1963 году был предложен Лейбовицем и Рубиным. Однако в этой работе изучался лишь пространственно однородный случай. Позднее появились работы Соколовского и Цейтлина, Монтгомери, Фернандеса де ла Море и Мерсера, Писецкого и Хансена, посвященные также статистическому описанию броуновского движения. К сожалению, в этих публикациях имеется ряд недостатков:

1) Не исследуется влияние малого параметра отношения характерных размеров молекулы среды »у и частицы /?о, а = ra/R0, на динамику системы. Хотя именно этот параметр определяет характер взаимодействия молекул среды с частицами.

2) Часто для вывода кинетических уравнений броуновской частицы и ансамбля таких частиц предполагают взаимодействие.среды с частицей или частицами слабым ( см работу Соколовского и Цейтлина). В связи с этим следует за-

3

метить, что взаимодействие частицы или ансамбля частиц с молекулами среды нельм считать слабым в обычном смысле.

3) В работах Монтгомери, Фернандеса де ла Море и Мерсера для описания эволюции броуновской частицы авторы исходят из кинетического уравнения Больц-мана. Такой подход является не вполне корректным, поскольку уравнение Больц-мана не может описать реального коллективного характера взаимодействия молекул среды с броуновской частицей.

4) В работах Писецкого и Хансена для вывода кинетического уравнения броуновской частицы используют метод многих масштабов. Этот подход также нельзя считать удовлетворительным, поскольку он приводит к разбиению временной шкалы системы на характерные времена системы, которые имеют не вполне ясный физический смысл.

Цель работы

- Построение замкнутых кинетических уравнений для ансамбля броуновских частиц и одной частицы в жидкой и разреженной газовой средах методами кинетической теории газов.

- Построение кинетических уравнений для уединенной броуновской частицы, в которых в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей.

- Исследование процессов диффузии частицы в равновесной среде, а также в представленном в диссертации модельном случае.

- Изучение влияния парных и многочастичных столкновений молекул с броуновской частицей на динамику последней.

Эта общая цель включает в себя решение следующих задач: 1. Общее динамическое описание броуновской частицы и ансамбля таких частиц; 2. Вывод кинетических уравнений для системы взаимодействующих частиц и одной частицы в жидкой среде; 3. Исследование на основе полученных кинетических уравнений частицы процесса ее диффузии в равновесной среде; 4. Построение замкнутого кинетического описания ансамбля броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в неравновесной газовой среде; 5. Вывод кинетического уравнения броуновской частицы, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей;

б. Исследование зависимости коэффициента трения в интеграле столкновений

к

Фоккера-Планка от отношения характерных размеров молекулы среды и частицы а = г0/Я0; Изучение на основе полученного кинетического уравнения для броуновской частицы процесса ее диффузии в рамках модели твердых сфер.

Основные научные результаты и их новизна.

1. Дано общее динамическое описание броуновской частицы и системы таких частиц, основанное на введении корреляционной функции, учитывающей динамические корреляции между частицей или системой частиц и несущей средой.

2. Построены кинетические уравнения для броуновской частицы и системы взаимодействующих броуновских частиц в равновесной несущей среде, включающие в себя некоторые из известных в литературе математические модели движения броуновской частицы.

3. На основе полученных кинетических уравнений исследован процесс диффузии частицы в равновесной среде. Найден структурный вид коэффициента диффузии с точностью до членов второго порядка по малому параметру е = у/т/М (т и М - массы соответственно молекулы среды и частицы), который в нулевом приближении совпадает с полученным Эйнштейном.

4. Представлен вывод кинетических уравнений для частицы и ансамбля частиц в неравновесном разреженном газе.

5. Используя модель твердых сфер, построены кинетические уравнения для частицы, в которых в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей.

6. Исследована зависимость коэффициента трения в интеграле столкновений Фоккерз-Планка от отношения характерных размеров молекул среды и частицы. Показано, что, если размер частицы порядка длины свободного пробега молекул среды и несущая среда разрежена, то наиболее существенный вклад в коэффициент трения вносят многочастичные столкновения молекул с частицей. Если размер частицы и молекул одного порядка, то доминирующий вклад в коэффициент трения вносят парные столкновения молекул с частицей. Когда же среда является умеренно разреженной, то вклады от парных и многочастичных столкновений молекул с частицей становятся одного порядка.

7. На основе кинетического уравнения уединенной броуновской частицы исследован процесс ее диффузии в рамках модели твердых сфер. Используя результаты исследования коэффициента трения, изучена зависимость коэффициента диффу-

5

зии от параметра отношение характерного размера молекулы к характерному размеру частицы. Показано, что учет коллективного характера взаимодействия молекул среды с частицей приводит к уменьшению коэффициента диффузии частицы и к увеличению коэффициента сопротивления частицы.

Научная и практическая ценность результатов.

Построены кинетические уравнения для броуновской частицы и системы взаимодействующих броуновских частиц в жидкости и неравновесном разреженном газе. На основе полученных кинетических уравнений исследован процесс диффузии частицы в равновесной среде. Получены поправки к коэффициенту диффузии Эйнштейна. Исследованы границы применимости указанного описания.

С использованием модели твердых сфер выведено кинетическое уравнение для броуновской частицы, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей. Получен коэффициент трения в интеграле столкновений Фоккера-Планка, который учитывает коллективный характер взаимодействия молекул среды с частицей. Исследована зависимость этого коэффициента трения от отношения характерных размеров молекулы среды и частицы. На основе полученного кинетического уравнения исследован процесс диффузии частицы в рамках модели твердых сфер. Изучена зависимость коэффициента диффузии от параметра отношение размера молекулы к размеру частицы.

Результаты диссертации могут быть использованы в качестве основы для построения модельных кинетических уравнений ансамбля частиц в равновесной и неравновесной газовой среде; для решения задач экологии; в задачах описания динамики космических объектов; при изучении процессов диффузии ансамбля частиц в неравновесном разреженном газе; при построении гидромеханики дисперсных сред.

По теме диссертации выполнялись договорные работы в рамках ЕЗН (с 1993 г. по 1997 г.) и региональной программы "Фундаментальные науки как основа современных технологий" ( с 1995 г. по 1997 г.) в Новосибирском государственном архитектурно - строительном университете.

Достоверность результатов диссертации основывается на использовании апробированных методов статистической механики и кинетической теории газов с применением строгого математического аппарата. Она подтверждается

6

сравнением результатов диссертации с результатами других авторов, которые использовали другие подходы к решению задач, рассматриваемых в данной работе, а также сопоставлением с существующими предельными случаями.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Общее динамическое описание ансамбля броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в жидкой несущей среде.

2. Кинетическое описание системы взаимодействующих броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в равновесной несущей среде.

3. Результаты исследований процессов диффузии броуновской частицы в равновесной несущей среде.

4. Кинетическое описание системы взаимодействующих броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в разреженной газовой среде.

5. Вывод кинетического уравнения для уединенной броуновской частицы, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей. Результаты исследования зависимости коэффициента трения в интеграле столкновений Фоккера-Планка от параметра отношения характерных размеров молекулы среды и частицы а = г0/Я0.

6. Результаты исследований процесса диффузии броуновской частицы в рамках модели твердых сфер.

Апробация результатов

Основные результаты, полученные в диссертации, представлены и опубликованы в работах [1 - 12], а также докладывались на: 13-ой Школе-семинаре по моделям механики сплошной среды, Санкт-Петербург, июнь - июль 1995 г.; 3-ем Международном семинаре по устойчивости гомогенных и гетерогенных жидкостей, Новосибирск, апрель 1996 г.; European Aerosol Conference (EAC - 96), Paris, France, June - July, 1996; 20-th International Sympozium on Rarefied Gas Dynamics, Beijing, China, September, 1996; Международной конференции " Всесибирские чтения по математике и механике", Томск, июнь 1997 г.; Международной конференции Математические модели и методы их исследования ( задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)", Красноярск, август 1997 г.; Международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий", Новосибирск, сентябрь 1997 г.

7

Личный вклад автора в публикации [1 - 7] состоит в построении кинетических уравнений для ансамбля броуновских частиц в равновесной несущей среде; кинетических уравнений для уединенной броуновской частицы в неравновесном разреженном газе; кинетических уравнений для разреженной мелкодисперсной газовзвеси твердых сфер.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, Приложения, изложенных на 149 страницах машинописного текста, и списка литературы, содержащего 102 наименования.

Содержание работы

В Введении обосновывается актуальность темы исследования. Сформулирована цель и ставятся основные задачи исследования. Раскрывается научная новизна и практическая ценность работы. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий обзор современного состояния теории броуновского движения, начиная с первых феноменологических подходов до современного кинетического описания этого движения.

Задача построения кинетического описания броуновского движения в настоящее время все еще не имеет достаточно полного решения. Возникающие здесь трудности имеют принципиальный характер: эволюция броуновской частицы или ансамбля таких частиц определяется их взаимодействием со средой, которое всегда является коллективным. Поэтому эта задача легче решается, когда частицы взвешены в жидкости. В жидкости практически отсутствует кинетический этап эволюции, поэтому такую среду е этом смысле можно считать равновесной. В связи с этим нет необходимости исследовать эволюцию среды, что существенно облегчает вывод кинетических уравнений для частиц.

Во второй главе рассматривается система, состоящая из N бесструктурных молекул несущей среды массы т и радиуса го и п бесструктурных броуновских частиц массы М » т и радиуса До >> го. Предполагается, что в системе отсутствуют процессы коагуляции и разрушения частиц. Гамильтониан

8

такой системы имеет вид

n

¿=1

+ £

¿=1

n п

+ £ £ Щ- (1) {=1 ; = 1

Здесь (р,,^) и (Р]У импульсы и координаты центра масс г-ой молекулы и _?-ой частицы, Фц-, Фу - потенциалы взаимодействия между г-ой и ^'-ой соответственно молекулами и частицами, - потенциал взаимодействия между г-ой молекулой и ]-ой частицей. В простейшем случае, когда частицы являются крупными молекулами, их взаимодействие с молекулами несущей среды описывается парным потенциалом — г,|). Если же частица является большой, то она

состоит из очень большого количества молекул. Поэтому взаимодействие молекул с частицами всегда является коллективным. Однако такое взаимодействие также можно моделировать некоторым эффективным парным потенциалом. При этом следует только иметь в виду, что эффективный радиус взаимодействия такого потенциала в несколько раз превышает эффективный радиус взаимодействия молекул среды с изолированной молекулой вещества, из которого состоит частица, а коллективные силы притяжения вблизи поверхности частицы создают потенциальную яму, глубина которой существенно больше ( в 10 15 раз) глубины ямы соответствующего парного потенциала.

Динамика такой системы описывается (УУ + п)-частичной функцией распределения которая удовлетворяет уравнению Лиувилля

+ {ЬЦ + Ьп + ЬНп)Гц+п = 0, (2)

~\\тп дгг ^ ') дг,_ \др1 др}

п~Ь\м сШ, ¿ 'Т 4 " д!1> иР1 дР3

N п , . ятт.. я ятт.. я

ь. = - + П-.) - П-, п„ = ^ - А, П-. = || - А.

Далее исследуется уравнение Лиувилля (2) и выявляются малые параметры, содержащиеся в нем. На масштабах / ~ Ь ~ тс ~ Л о уравнение (2) содержит малый параметре = ^тп/М. Здесьт-характерный масштаб изменения времени в системе, I и Ь-характерные линейные масштабы изменения пространственных

3

переменных среды и "газа" частиц, с ~ у/кТ/т, Т - температура системы, а к - постоянная Больцмана. Формально уравнение (2) можно записать в виде

дГК+п/д1 + {Ьи - + е(Ьп - П= 0. (3)

Если частица предполагается твердой, а значит молекулы, из которых она состоит, плотно упакованы, то е ~ а3^2 = (го/До)3^2- Дл» рассматриваемой системы массы и размеры молекулы и частицы существенно различаются, поэтому параметры е и а являются малыми г « 1, а « 1.

Дается общее динамическое описание системы п частиц в среде, основанное на введении корреляционной функции Сдг+я. которая учитывает динамические корреляции между молекулами среды и частицами. Показано, что эволюция ансамбля частиц описывается уравнением

дУп!Ы + Ьг^ = П / + + еС$+„ + + ...),

¿=1 V

где функции г = 0,1,2 имеют вид

^(0 = - } + Ьы- пхадОг,

^+„(0 = - /- 1Г)[(^„)Г - ¡¿туБ^Л^ + ^ -= / - п*) }<1тЖ)1(ьп - ]

о о о 2

+ЬЫ - П)(/^Г„)Г5], = ехр[±{Ь„ - П)т].

Здесь Б^г ~ динамический оператор сдвига ансамбля молекул среды, осуществляющий сдвиг на ±г фазовой точки вдоль фазовой траектории системы ТУ взаимодействующих молекул среды, а V - объем системы.

Строится п-частичное кинетическое уравнение ансамбля броуновских частиц. Несущая среда предполагается равновесной, а ее функция распределения имеет вид

/а„ = (^ехрНЯлг + ицп]/кТ), (4)

10

Нц - гамильтониан несущей среды и - нормировочный множитель, п - частичное кинетическое уравнение ансамбля броуновских частиц записывается тогда следующим образом

где З1} - сила, действующая на ]-ую частицу со стороны молекул несущей среды, а < ... >] и ":" означают соответственно усреднение по ансамблю (4) и свертку тензоров второго ранга. Интеграл столкновений в уравнении (5) появляется в первом порядке по параметру е. В общем случае нельзя предполагать изменение функции распределения частиц Рп за времена корреляции силы Т малым, поскольку время корреляции силы 3- порядка времени взаимодействия молекул среды с частицей 7/р ~ Яо/с. С другой стороны, это минимальный масштаб изменения функции распределения Поэтому уравнение (5) является нелокальным.

Исследован также случай слабого взаимодействия частиц с молекулами несущей среды. В результате было показано, что га-частичное кинетическое уравнение ансамбля частиц описывает диффузию частиц в пространстве импульсов, но не учитывает сил сопротивления, которые испытывают частицы при движении в несущей среде.

На основе полученного тг-частичного кинетического уравнения ансамбля частиц (5) рассмотрен переход к одночастичному описанию системы п взаимодействующих частиц. Оказалось, что кинетика разреженной системы броуновских частиц ( разреженность здесь понимается в смысле выполнения условия

С 1, ЕР ~ вириальный параметр "газа" частиц) в равновесном термостате описывается системой кинетических уравнений для одно- и двухчастичной функций распределения частиц. Кроме того, к одночастичному кинетическому уравнению удается перейти только, если принять выполнение условия полного ослабления начальных корреляций Боголюбова. Тогда кинетическое уравнение ансамбля броуновских частиц примет вид

т, т

и=|1/<гт <Ъ(0)Ъ(т) уп(т), (5)

Ъ = - ^(т) = з = 1,2,.., га,

оо

О

¡=1

(б)

Здесь интеграл столкновений Зр_р представляет собой нелокальный интеграл столкновений Фоккера-Планка

- ¡¿тПпп{г) : + В, =< >ь

который в локальном пределе переходит в обычный интеграл столкновений Фоккер Планка. - интеграл столкновений Больцмана для частиц. Интеграл столкновений З^1) описывает связь между частицами, обусловленную наличием среды, и определяет вклад специальных последовательностей парных столкновений. Интеграл столкновений Дописывает корреляции между частицами обусловленные наличием молекул среды.

В общем случае интеграл столкновений 3^^ порядка или даже больше, чем интеграл столкновений Больцмана З^Р [5, 6]. Он определяет специфический "обменный" механизм взаимодействия частиц, когда они взаимодействуют через среду. Это указывает на то, что частицы, погруженные в среду, являются связанными, и условие полного ослабления начальных корреляций оказывается грубым приближением. При выводе кинетического уравнения следует поэтому использовать условие частичного ослабления начальных корреляций и учета существующих в подобной дисперсной среде длинноволновых флуктуаций.

Рассмотрен переход от п частиц к одной частице и построено кинетическое уравнение для уединенной броуновской частицы в равновесной среде. Это уравнение получено с точностью до членов второго порядка по параметру е и имеет вид

д1•Р

~дГ + м (7)

7» 2 7, п ± р П ^(Г)

М ¡$ дРдЯ М ^ дЛдРдР

В локальном пределе для изотропной среды кинетическое уравнение (7) сводится к уравнению

д1+м дя~1дР [у+к1МдрГр+гъ1' дРди+^ъ длдР2Л)

-1 ОС 1 00

7 = зШ 1*г< по)'Т{т) >ь 71 = ш!йт т < "Пт) >х ■

Здесь I есть единичный тензор второго ранга. Отметим, что первый член в правой части уравнения (8) появляется в первом порядке по параметру е, а последние два - во втором порядке по параметру е.

Кинетическое уравнение броуновской частицы с точностью до членов порядка е2 выводилось ранее в работах Лейбовица и Рубина, Соколовского и Цейтлина. Однако в работе Лейбовица и Рубина изучался лишь пространственно однородный случай, поэтому члены J2 не были получены. В работе же Соколовского и Цейтлина в интеграле столкновений отсутствует второй член, а в первом числовой коэффициент 2.

На основе кинетического уравнения (8) с помощью метода сокращения описания исследован процесс диффузии частицы. При временах < >> т\ » Щ/с функция распределения частицы Рр является функционалом от функции распределения частицы в пространстве <рр(Д,£) таким, что

^ЛРРр(Х,<рр) = <рр{П), 1, (9)

а функционал Рр{Х,^рр(К,1)) удовлетворяет уравнению

[I ¡¿рЛр])--* ^ +

д<рр\ди'[V } М т\) ~ м'0Я

г) / 8 \ гР Р г)3 V

Здесь V - объем системы. Наличие характерного времени т\ связано со слабой неоднородностью состояния системы. В силу того, что по смыслу сокращенного описания при £ >> гх функция 0 полностью описывает состояние части-

цы, можно утверждать, что Рр{Х,<рр) слабо зависит от К, если рр{И) слабо зависит от Д. Будем искать решение уравнения (10) для рр(Х,<рр) в виде ряда по градиентам <рр{Щ

где функции ) = -^''Н^яУр)' ' = 0,1,2,3,... . Этап эволюции, наступающий при I » т\, называется гидродинамическим. Показано, что функции к =

0.1 имеют вид

^ = 9Р(РЫЯ), Яр(Р) = (2*кТМ)-У2Уехр(-Р2/2МкТ).

Функция распределения частицы в пространстве в рассматриваемом при-

ближении удовлетворяет уравнению диффузии, в котором коэффициент диффузии Б имеет вид

7 З7 М

Первый член в правой части формулы (11) является коэффициентом диффузии, который впервые был получен Эйнштейном. Второй член в правой части выражения (11) появляется в первом порядке по е и представляет собой малую поправку к эйнштейновскому коэффициенту диффузии. Показано, что коэффициент диффузии (11) является величиной строго положительной, О > 0.

Кинетические уравнения броуновской частицы (7) и ансамбля таких частиц (б) имеют чрезвычайно сложную структуру. Сложность полученных уравнений не позволяет исследовать влияние парных и многочастичных столкновений молекул среды с броуновской частицей или частицами на динамику последних. Для решения этой задачи в Главе 2 изучается динамика системы, состоящей из N твердых сферических молекул и твердой сферической броуновской частицы. Использование такой простой модели позволяет разделить вклады от парных и многочастичный столкновений молекул с частицей и исследовать их влияние на динамику частицы.

Динамика такой системы описывается (Л^-Ы)-частичной функцией распределения которая удовлетворяет псевдолиувиллев-скому уравнению [б, 10, 12]

дГл/лл ' / н 8 ы м 8 й \

-эг-+ • ^- =(12)

Здесь (И,У) и - координаты и скорости частицы и г-ой молекулы,

Тп(г,з) и Т)р(г, 1) - операторы парных столкновений твердых сфер для сталкивающихся молекул и молекул с частицей соответственно. Оператор Т}Р определяется следующим образом

Г/р(«\ 1) = (Я0 + го)2 / ¿е (ди ■ е)0(ди • е) [б(ри - (До + г0)е)6/р(г\ 1)-

-5(ри + (По + г0)е) , ди = V - ри = Я - гь 14

где е - единичный вектор, направленный из центра частицы в точку соударения с ней г-ой молекулы, а - функция Хевисайда, которая при х > 0 равна единице и в противном случае - нулю. Оператор Ь/Р(г, 1), действуя на произвольную функцию от скоростей г-ой молекулы и частицы /¡(и,-, V), переводит скорости и V в их значения после столкновения

2 2ег

Ь/р(г, 1)Л(|»,-, V) = Л(1>,- + г—¿(Зн ' е)е> У ~ ТТЛ^и ' е)е)'

1+е Iт с

Аналогично определяется оператор Т//(г,;').

С помощью теории возмущения по параметру е выводится кинетическое уравнение броуновской частицы, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул с частицей. Несущая среда снова предполагается равновесной и ее функция распределения имеет вид [6, 10, 12]

( 171 \ 2

n n

Л, = ] й П ©(К'|-2г0) Д ©(|Рп|-№+го))ехр

§ 2 кТ

■ (13)

: 1=1 ¿=1

Уравнение частицы получено с точностью до членов второго порядка по параметру е. Эволюция частицы описывается уравнением Фоккера-Планка, в котором коэффициент трения с\2 учитывает коллективный характер взаимодействия молекул газа с частицей,

дРр _ д кТ 8

т, аа /,г кг о \ _

дь " ек~ идУ \ т мдуг»

С1 = + г0)2(27гт^Г)1/2> с2 - ^—/¿г < Г1+){0) • Ян(г) >е„

о

= £№ + го)2 / ¿е 2т{ь{ ■ е)гЭ(±ы ■ е) е 6(Я - п - (До + г0)е). ¡=1 7

Здесь < ... >е? означает усреднение по ансамблю (13), а п/ есть плотность числа молекул среды в единице объема. Коэффициент с\ появляется в результате учета парных столкновений молекул с частицей, а Сг - в результате учета многочастичных столкновений молекул с частицей при выводе уравнения (14).

Далее исследуется зависимость коэффициента трения с\2 от отношения размера молекулы среды к размеру частицы, а = го//?о- Показано, что отношение С1/С2 ~ ст3/е/. где £/ — п/г^ - вириалькый параметр несущей среды. Тогда,

если несущая среда разрежена, т.е е/ << 1, а характерный размер броуновской частицы Яо порядка длины свободного пробега молекул несущей среды X/,

Я0 ~ то

С1 /сг ~ ч3/е/ ~ (г0/А/)3/е/ ~ £/ « 1. (15)

Данная оценка указывает на то, что многочастичные столкновения молекул с частицей вносят наиболее существенный вклад в коэффициент трения с^. С другой стороны, если характерный размер частицы Яо ~ т^/а, где а — 0.14-0.5 и го ~ Ю-8 см ( такая ситуация соответствует молекулярным газовзвесям и суспензиям), то

с\ /с'2 ~ о-3/^/ ~ (16)

Оценка (16) показывает, что, если несущая среда является разреженной £/ ~ 10~е, то с\!сч 1, т.е. в этом случае парные столкновения молекул с частицей вносят наиболее существенный вклад в коэффициент с¡2- Многочастичные столкновения молекул среды с частицей будут вносить малую поправку Если же несущая среда является умеренно разреженной £/ ~ Ю-4-г Ю-3, то с\/сг ~ 1, т.е. вклады от парных и многочастичных столкновений молекул с частицей в си становятся соизмеримыми.

Коэффициент трения сг ранее изучался в работе Писецкого и Хансена. Для его исследования применяли метод молекулярной динамики с периодическими граничными условиями. Но в работе Писецкого, Хансена моделировались лишь системы, в которых параметр <т изменялся в пределах от единицы до 0.25. В результате было показано, что отношение с\/с2 изменяется в пределах порядка единицы, что согласуются с оценкой (16). Однако Писецкий и Хансен отмечают, что увеличение вклада от сч в коэффициент трения сц будет проявляться только, если размеры молекулы и частицы будут отличаться е десятки раз, что и подтверждает оценка (15).

На основе уравнения (14) с помощью метода сокращения описания изучается диффузия твердой сферической частицы в среде твердых сферических молекул. Функция распределения частицы имеет вид

Здесь <£>(!£,£) есть функция распределения частицы в пространстве, которая удовлетворяет уравнению диффузии. Коэффициент диффузии в этом уравнении по-

16

лучен с учетом коллективного характера взаимодействия молекул среды с частицей и имеет вид

Пнз. = кТ/М(С1+с2). ■ (17)

Далее изучается зависимость коэффициента диффузии (17) от параметра а. Для этой цели используются оценки (15) и (16). Проведенные исследования показали, что, если несущая среда разрежена, а размер броуновской частицы то, согласно (15), коэффициент диффузии (17) примет вид

~ - £/)/Мс2 = кТ/Мс2. (18)

Формула (18) указывает на то, что многочастичные столкновения молекул с броуновской частицей вносят наиболее существенный вклад в коэффициент диффузии (17). Парные столкновения молекул с частицей будут вносить малую поправку порядка е2, которой в приближении разреженной несущей среды можно пренебречь. Тогда коэффициент диффузии (17) в рассматриваемом случае будет определяться формулой (18). Если размер частицы ~ г0/а, а = 0.1 4-0.5, го ~ Ю-8 см, то коэффицент диффузии (17), согласно (16), можно представить так

0$5ккТ/Мс1(1+е1/а3). (19)

Анализ формулы (19) показал, что, если несущая среда является разреженной, т.е. £f ~ 10~б, то £//а3 ~ 10_3 << 1 и соотношение (19) упрощается и принимает вид

« кТ/Мс,.

Таким образом, в рассматриваемой ситуации парные столкновения молекул с частицей вносят наиболее существенный вклад в коэффициент диффузии (17), а многочастичные столкновения молекул с частицей - поправку порядка 10~3, которой можно пренебречь. Если несущая среда является умеренно разреженной, т.е. еу ~ 10"3, то е//а3 ~ 1. Тогда соотношение (19) может быть представлено' в виде

« кгГ/2Мс\ = П^/2.

В случае же когда несущая среда разрежена, а размеры частицы и молекулы одного порядка, т.е. йо ~ гд, то коэффициент диффузии (17) переходит в

£>я.5. » (ЗА//32)(^Г/2тгт),

п

который совпадает с коэффициентом диффузии бинарной газовой смеси, если параметр е = фп/М мал.

Отношение (17) к коэффициенту диффузии Эйнштейна имеет вид

0н.в.10Е ~ (Л/£г3/Д0е/)(1 + а)"2(1 + (а3/^))"1-

Если среда разрежена £/ « 1 и размер частицы До ~ V' то получим Пн^./Ов •• е^ « 1. Таким образом, учет коллективного характера взаимодействия молекул с частицей приводит к уменьшению коэффициента диффузии, а следовательно, к увеличению коэффициента сопротивления.

Более сложное решение имеет задача построения кинетического описания броуновского движения в разреженном газе. В этом случае при изучении броуновского движения необходимо учитывать кинетические процессы, происходящие в газе, поскольку рассматриваемая система структурирована сложным образом. Масштабы ее структурных элементов значительно отличаются друг от друга. Поэтому флуктуации, микроскопические для элементов среды с одним характерным размером, оказываются макроскопическими для элементов среды с другим характерным размером, т.е. здесь мы сталкиваемся с проблемой учета "долгожи-вущих" корреляций. Примером может служить распространение ударной волны в запыленном слое. В этой ситуации характерный размер броуновских частиц оказывается порядка ширины ударной волны, распространяющейся в несущем газе, поскольку ширина ударной волны в газе и характерный размер броуновских частиц порядка длины свободного пробега молекул газа . В результате имеем, что характерный масштаб течения для несущего газа ( т.е. ширина ударной волны в газе) совпадает по порядку величины с характерным размером броуновских частиц. Таким образом, при выводе кинетических уравнений для частицы и ансамбля частиц в газе нужно одновременно исследовать как динамику ансамбля частиц или одной частицы, так и несущего газа.

В третьей главе представлено построение кинетического описания движения уединенной броуновской частицы и ансамбля таких частиц в разреженной газовой среде. Для определенности считается, что размер частицы До порядка длины свободного пробега молекул несущего газа Хд, До ~ Динамика данной системы снова описывается ^ + гг)-частичной функцией распределения которая удовлетворяет уравнению Лиувилля (2). Однако для разреженного газа пространственно-временные масштабы порядка эффективного радиуса молекул

16

го и времени их взаимодействия тдд ~ го/с неразличимы. Поэтому, чтобы перейти к разреженному газу, необходимо усреднить функцию распределения -Рл>+П по физически бесконечно малым масштабам г' и времени т' [7]. Математически такое усреднение достигается введением оператора усреднения "Рц-к такого, что

[71

Т>Ы-кРц+п = /н+п'к)(г1 + г1>—> г* + т'к> г* + Ь •••, Ни —, Дп, р 1, ...,

1 т', . n

о

Дп,Рь...,Рп,г4-5), V" = (4/3)1гг'3, Л = 0,1,2.....

Функция распределения представляет собой функцию распределения си-

стемы Рдг+п. усредненную с указанными выше масштабами по времени и по пространственным фазам (./V — Л) молекул несущего газа.

Проведенные исследования показали, что замкнутое кинетическое описание ансамбля броуновских частиц в газовой среде возможно построить только, если предположить, что несущий газ является разреженным, т.е. £, < 1. В этом случае эволюция ансамбля частиц описывается системой двух уравнений: уравнением для п-частичной функции распределения частиц

& + ЬпРп = V* I dTNIltfN+n

и уравнением

а/д,+я/3*+(40) - П)/*+„ = ^ - е(1п - П* ))/„+гг -

Здесь операторы

и определяются следующим образом

= Е Е /Л> //^'¿г'в^^х -¿ЕЕ/-

-/лч»(гьРь ■■■,ri,pi,...,rj,pj,...,rN,pN,RuPu...,Rn,P„,io)|, = exp{±Lf)r), u±T = exp^Tlr), = exp[±{L^ - 0i;-)r), Q. = lim S(H]S^Sij\ i,j = 1,2,3, ...,ЛТ,

г» Го/с

где - оператор Лиувилля системы N невзаимодействующих молекул газа, das - дифференциальное сечение рассеяния, (p\,p*j) - импульсы г-ой и j-ой молекулы после их столкновения. В отсутствии частиц оно сводится к основному кинетическому уравнению разреженного газа {1, 2]

dfN/dt + L^fN=,J^fN. (20)

Эту систему можно представить в форме одного уравнения для п-частичной функции распределения ансамбля частиц. Однако это уравнение требует задания функции распределения всей системы что связано с наличием в подобной

системе иерархии релаксационных процессов.

Рассмотрен случай, когда в "удаленном прошлом" частицы не взаимодействовали с молекулами несущего газа. Математически такая ситуация реализуется с помощью условий

u,„siN)fN+n(tQ) = w^SiN)fN(t0)Pn(t)V-

N-n

и- =■ lim Si^ = lim S1"

Физически эти условия соответствуют тому, что мы пренебрегли начальными корреляциями между молекулами газа и частицами. Также мы предположили, что "газ" частиц является разреженным, т.е. £р С 1. В результате получили, что эволюция ансамбля частиц в рассматриваемом случае описывается системой двух уравнений: уравнением (20) и уравнением

+ LnFn = ~^tjdrNFj ■ ^r\x(t)Fn(t) - е/dt^l^u^x

3 ¿0

lUif■ m -+^• jk)xM+(21)

i&\M dRk dPk

2.0

хО) = и.31Ы)Ь(1й) + / л^-«

1о

'' «=и>»<в

Если несущий газ находится в состоянии равновесия, уравнение (21) сводится к уравнению (5).

На основе уравнения (21) рассмотрен переход к одночастичному описанию ансамбля частиц в неравновесном разреженном газе. Оказалось, что кинетика ансамбля броуновских частиц в неравновесном разреженном газе описывается системой трех уравнений: уравнениями для одно- и двухчастичной функций распределения частиц и основным кинетическим уравнением разреженного газа (20). К одночастичному кинетическому уравнению ансамбля частиц удается перейти только, если принять выполнение условия полного ослабления начальных корреляций, и оно имеет вид

дР1р/д1 + Ь1р(Х,)Г1р = + + 3$ + 3$ + 3$.

3$ описывает связь между частицами обусловленную наличием молекул газа, учитывая при этом его состояние. 3^ учитывает влияние состояния газа на эволюцию частиц. 3$ описывает взаимодействие молекул с чатицами, а 3$ - корреляции между частицами обусловленные наличием молекул газа, учитывая его состояние. Когда газ находится в состоянии равновесия, интеграл 3$ обращается в нуль, а 3$ и 3$, г = 2, 3 переходят соответственно в интегралы столкновений 3$^ и •/"_/->, Л уравнения (6).

В заключение Главы 3 рассмотрен переход от п частиц к одной частице. В результате было показано, что эволюция броуновской частицы в неравновесном разреженном газе описывается системой двух уравнений:

^жШ-^^-М^О- (Я)

-/а, „,*-„-„,[(£ Ш + г' Яг)*™ + ^"^"(«К«')]

'о

и основным кинетическим уравнением разреженного газа (20). Если несущий газ находится в состоянии равновесия, уравнение (22) сводится к нелокальному уравнению Фоккера-Планка.

В Приложении представлено разложение оператора межфазного взаимодействия Т1р(ц]) в ряд по Малому праметру е.

В Заключении подводятся итоги проведенных исследований и формулируются основные результаты работы, которые сводятся к следующему:

1. Впервые представлено общее динамическое описание ансамбля броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в несущей среде, основанное на введении корреляционной функции, учитывающей динамические корреляции между ансамблем частиц, частицей и средой.

2. Построено замкнутое статистическое описание ансамбля броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в равновесной среде. Исправлены неточности, допущенные в работе Соколовского и Цейтлина, при построении аналогичного описания для уединенной броуновской частицы.

3. Исследован на основе полученного кинетического уравнения частицы процесс диффузии ее в равновесной среде. Получены поправки к коэффициенту диффузии А.Эйнштейна.

4. Впервые построено замкнутое статистическое описание ансамбля броуновских частиц и уединенной броуновской частицы в неравновесной разреженной газовой среде.

5. Построено кинетическое уравнение для уединенной броуновской частицы в равновесной среде, в котором в явном виде разделены вклады от парных и многочастичных столкновений молекул среды с частицей.

6. Исследована зависимость коэффициента трения С]2 в интеграле столкновений Фоккера-Планка от параметра отношения размеров молекулы и частицы, а = Гц/До.

7. Изучен в рамках модели твердых сфер процесс диффузии броуновской частицы. Получен коэффициент диффузии частицы О//..?., учитывающий многочастичные столкновения молекул с частицей. Исследована зависимость коэффициента диффузии частицы ¿>я.5. от малого параметра а.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих

работах:

flj Рудяк В.Я., Ершов И.В. - Статистическая механика гетерогенных сред. II. Кинетические уравнения для броуновской частицы. - Препринт НГАС, N3(5) 94, Новосибирск. 1994г., 30с.

[2] Рудяк В.Я., Ершов И.В. - Кинетические уравнения броуновской частицы. -ЖТФ, 1995г., Т.65, N11, с.65 - 76.

[3] Rudyak V.Ya., Ershov I.V.- Kinetic equations of interacting Brownian particles. -Physica, 1995, v. A219, N3-4, p. 351 - 360.

[4] Rudyak V.Ya., Ershov i.V. - Kinetic theory of Brownian motion. - J. of Aerosol Sein., 1995, v.26, Suppl. 1, p. S320 - S322.

[5] Rudyak V.Ya., Ershov I.V. - Kinetic equations of gas suspensions. - J. of Aerosol Sein., 1996, v.27, Suppl. 1, p. S269 - S271.

[6] Ершов И.В., Рудяк В.Я. - Кинетические уравнения разреженной мелкодисперсной газовзвеси твердых сфер. - Тр. Ill Межд. семин. по устойчивости гомогенных и гетерогенных жидкостей, НГАС, 1996г., с. 37 - 40.

[7] Ershov I.V., Rudyak V.Ya. - Kinetic theory of Brownian motion in a rarefied gas. - Book of abs. 20-th Int. Simp. RGD, Beijing, China, 1996, p. 249 - 251.

[8] Ершов И.В. - Неравновесная кинетика ансамбля броуновских частиц в равновесной среде. - Тез. док. Межд. конф. " Всесибирские чтения по математике и механике", Механика, Изд.: ТГУ, Томск, 1997г., с. 143 - 144.

[9] Ершов И.В. - Кинетические уравнения уединенной броуновской частицы в неравновесном разреженном газе. - Там же, с. 144 - 145.

[10] Ершов И В. - Модельное кинетическое уравнение броуновской частицы. -Док. Межд. конф. "Математические модели и методы их исследования ( задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)", Изд.: КрасГУ, Красноярск, 1997г., с. 31 - 33.

[11] Ершов И.В. - Кинетические уравнения ансамбля броуновских частиц в не-равнонвесном разреженном газе. - Там же, с. 33 - 35.

[12] Ершов И.В. - Модельные кинетические уравнения броуновской частицы. -Тр. Межд. науч.-тех. конф. "Научные основы высоких технологий", Математика и физика, Изд.: НГТУ, Новосибирск, 1997г., с. 123 - 128.