Кинетика флуктуационных процессов в нелинейных системах, далеких от равновесия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

САФОНОВ Алексей Владимирович

КИНЕТИКА ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ, ДАЛЕКИХ ОТ РАВНОВЕСИЯ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Нижний Новгород - 2006

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (ИНГУ).

Научный руководитель:

кандидат физ.-мат. наук Агудов Н.В.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-маг. наук, проф. Музычук О.В. доктор физ.-мат. наук Силаев А.М.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.Б.Ломоносова Сг.Москва), С-V

Защита диссертации состоится АЗ " ^ЛкО^/лЛ _200б г. в ч. на

заседании диссертационного совета Л 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. П.И.Лобачевского по адресу: 603600,1[.Новгород. ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп./, радиофизический факультет, ауд.4?С>

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

ко.Ща

Автореферат разослан " О " ИЦЗОИьЛ 2006 г.

Ученый секретарь е^

диссертационно! о совета В.В.Череиенников

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Во многих разделах радиофизики (например, физика джозефсоповских переходов и СКВИДов, бифуркационные переходы под действием флуктуации и шумов, кинетика мпогомодовых или мультистабильных систем, эволюция стохастических систем и др.) возникает задача о статистических и временных характеристиках флуктуационных нелинейных динамических систем, находящихся в сильно неравновесных состояниях. Большой интерес и физическую значимость представляют исследования таких неравновесных состояний и кинетики переходных процессов в соответствующих системах. Кроме того, использование моделей неравновесных динамических систем, находящихся под действием флуктуаций, находит свое применение в целом ряде задач химии и биологии (нейробиология, динамика популяций, динамика обмена веществ в клетках).

Фундаментальная научная проблема, на решение которой направлена данная работа, может быть сформулирована в следующем общем виде: рассматривается макроскопическая нелинейная динамическая система, представленная заданным эквивалентным потенциальным профилем, определяющим ряд локально устойчивых состояний системы, и находящаяся под воздействием флуктуаций. Известно (см., напр., Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Статистическая физика, 41. - М.: «Наука». - 1976), что в случае достаточно малой интенсивности шума в системах с единственным устойчивым состоянием равновесия флуктуации приводят лишь к незначительным отклонениям некоторой физической величины от ее среднего значения. При наличии же внешних воздействий или в случае неравновесных начальных условий динамическая система выходит из равновесного состояния, в ней возникают различные потоки (массы, заряда, тепла н др.), и ее поведение резко меняется. Изменяются, прежде всего, статистические характеристики движения, появляются качественно новые особенности ее усредненного и флуктуацнонпого поведения: возникают индуцированные шумом переходы от одного состояния к другому, задержки

распада метастабильных состояний, появляются новые стационарные неравновесные состояния, зависящие от внешних воздействий, и т.д., изучение которых представляет в настоящее время значительный ннтерес. Примерами подобных неравновесных состояний нелинейных динамических систем могут служить различные амплитуды колебаний напряженности электромагнитного поля в лазерах, разность фаз двух генераторов в системах фазовой автоподстройкн частоты, нестабильные и метастабильные состояния, возникающие при бифуркационных переходах, различные фазовые состояния вещества и др.

Эффективной моделью для исследования особенностей поведения описанных систем является модель движения броуновской частицы (представляющей изображающую точку динамической системы в фазовом пространстве) в заданном потенциальном профиле в сильно-вязкой среде при наличии тех или иных воздействий. В данной модели координата броуновской частицы х(1) подчиняется уравнению Ланжевена (1):

= + (1) Л Т)с1х

где У(х) - потенциал, описывающий систему, г\ - коэффициент эквивалентной вязкости, £(») — белый гауссовый шум, < ((I) > = О, < £(') > = 0<5(г), О - интенсивность шума, обычно принимаемая пропорциональной некоторой эквивалентной температуре О = 2кТ1г].

В настоящее время опубликовано большое количество работ, посвященных исследованию статистических характеристик движения броуновских частиц, однако, несмотря па это, па данный момент существует целый ряд открытых вопросов, связанных с особенностями поведения описываемых данной моделью систем. В частности, при исследовании времен достижения броуновскими частицами поглощающих границ или времен переходов через потенциальные барьеры, являющихся в присутствии флуктуаций случайными величинами, большинство авторов в своих работах ограничивалось изучением лишь средних значений указанных величин,

оставляя в стороне вопрос об их высших статистических характеристиках. В результате оставался невыясненным вопрос о возможности экспериментального обнаружения полученных данных, поскольку в реальном эксперименте возможно получить лишь некоторую оценку среднего значения случайной величины, состоятельность которой определяется ее дисперсией.

Помимо этого, в работах, опубликованных в последние годы (см., напр., P.Reimann, С.Van den Broeck, H.Linke, P.Hanggi, M.Rubi, and A.Perez-Madrid, Phys.Rev.Lett. -2002. -V.S7. -P.Ol 0602 и B.Linder, M.Kostur, and L.Schimanky-Geier, Fluct-Noise Lett. -2001. -V.l. -P.R25), при исследовании эффективного коэффициента диффузии в наклонных периодических потенциалах, являющихся адекватной моделью, успешно используемой, например, при исследованиях в твердотельной и джозефсоновской электронике, впервые было показано, что он выражается не только через среднее, но и через дисперсию времени жизни метастабильных или нестабильных состояний, описываемых периодическим потенциалом. Таким образом, знания лишь среднего значения временных характеристик движения броуновских частиц для решения данной задачи недостаточно.

Еще одной проблемой является, например, задача выяснения особенностей поведения времен жизни динамических систем, находившихся в начальный момент времени в неустойчивом состоянии. В самом общем виде данная задача была решена еще в 1933 году в работе Поптрягина и др., однако результатом данной работы являются довольно громоздкие квадратурные формулы, в которые как параметры входят нелинейный потенциальный профиль, описывающий систему, интенсивность флуктуаций и начальное положение броуновской частицы. Непрозрачность выражений для статистических характеристик индуцированных шумом переходных процессов привела к тому, что хотя сами точные формулы известны уже давно, некоторые принципиальные особенности поведения времен переходов через барьер, времен жизни нестабильных и метастабильных состояний и связанных с ними физических величин были обнаружены сравнительно недавно. Так, например, долгое время считалось.

что присутствие аддитивного шума способно лишь уменьшать время жизни нестабильного состояния так же, как это происходит в случае распада метастабнлыюго сос.ояния. И лишь несколько лет спустя в ряде работ было продемонстрировано, что при определенных условиях аддитивный шум может стабилизировать нелинейную систему, увеличив среднее время жизни описываемого сю нестабильного состояния, что получило название эффекта задержки распада шумом нестабильных состояний (ЗРШ).

Целыо настоящей работы является:

• детальное исследование поведения статистических характеристик индуцированных шумом переходных процессов (как среднего, так и дисперсии времен переходов) аналитическими и численными методами, изучение их зависимости от формы потенциальных профилей, интенсивности флуктуации и начальных положений броуновских частиц.

• разработка метода получения времен установления стационарной неравновесной концентрации броуновских частиц в системах с источниками и стоками частиц, описываемых потенциальными профилями произвольной формы.

• применение полученных результатов для исследования зависимости эффективного коэффициента диффузии в наклонном потенциале от формы потенциального профиля и интенсивности флуктуаций.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

Детально проанализировано поведение среднего времени первого достижения (СВГ1Д), нелинейного времени релаксации (ПВР) и дисперсии времени первого достижения (ДВПД) поглощающих границ броуновскими частицами из неустойчивых состояний, описываемых потенциальными профилями, в которых возникает эффект ЗРШ. Обнаружено различие между

теорией и результатами численного эксперимента в случае распада нестабильного состояния, описываемого потенциальнь' i профилем с ямой в той области интенсивности флуктуаций, где наблюдается эффект ЗРШ. Предложен физический механизм для объяснения этого различия. Найдены оптимальные условия для наблюдения эффекта ЗРШ, когда среднее время распада нестабильного состояния максимально, а дисперсия времени распада - минимальна.

Выявленные при исследовании СВПД и ДВПД особенности их поведения позволили обнаружить эффект ускорения диффузии броуновских частиц в ступенчатом кусочно-линейном потенциальном профиле и предложить физический механизм его возникновения. Кроме того, полученное аналитическое выражение для эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале для случая малого шума и большого наклона дало возможность вычислить максимальное значение эффективного коэффициента диффузии при возникновении эффекта ускорения диффузии, получить условия на параметры потенциала и интенсивность шума, при которых данный эффект возникает, и обобщить полученные результаты на случай произвольной формы потенциального профиля.

Ранее известный метод нахождения точных временных характеристик нестационарной броуновской диффузии (см., напр., Н.В.Агудов, А.Н.Малахов, Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1993, Т.Зб, С.148) обобщен на случай систем с источниками и стоками частиц. С помощью этого метода в данной работе впервые определены времена установления стационарной, неравновесной концентрации броуновских частиц в ряде потенциальных профилей.

В дополнение к этому, на основе выявленной связи между временными характеристиками систем нулевым и ненулевым стационарным потоком частиц предложена модификация хорошо известного метода Крамерса для нахождения СВПД и НВР в системах с потенциалом произвольной формы, справедливая для произвольного соотношения высоты потенциального барьера и интенсивности флуктуаций.

Практическая ценность.

Данная работа посвящена изучению поведения статистических характеристик флук.уационных процессов в нелинейных динамических системах. Аналитическими и численными методами исследованы их зависимость от формы потенциального профиля, описывающего конкретную физическую систему, интенсивности флуктуаций и начального положения броуновских частиц.

Полученные результаты имеют как теоретическую, так и практическую значимость. Они могут могут быть использованы при анализе широкого круга физических (а так же химических и биологических) нелинейных систем, описываемых с помощью модели броуновской диффузии в потенциальных полях.

Известно, например, что наличие флуктуации в устройствах джозефсоновской электроники приводит к конечному времени жизни единицы информации, записанной в джозефсоновскую ячейку памяти, к случайным срабатываниям логических элементов и к разбросу времени прихода сигналов по джозефсоновским линиям передачи, к ошибкам измерения магнитного потока, к конечности ширины линии и падению мощности джозефсоновских генераторов. Поэтому проведенное в настоящей работе исследование зависимости среднего и дисперсии времени переходов, а так же эффективного коэффициента диффузии броуновской частицы в наклонных периодических потенциалах, являющейся часто используемой моделью при изучении джозефсоновских контактов, от величины интенсивности теплового шума может быть использовано производителями устройств джозефсоновской электроники с целью улучшения их свойств. Кроме этого, модель броуновской диффузии в наклонных периодических потенциалах используется при исследовании влияния шумов на работу систем фазовой автоподстройки частоты. Таким образом, полученные в данной диссертации результаты могут быть использованы так же для оптимизации параметров данных систем.

В дополнении к этому, предложенный в настоящей работе метод получения точных временных характеристик в системах с источниками и

стоками частиц может быть использован для исследования ьремен установления неравновесных стационарных сост яний в подобных системах, а так же для решения проблемы с их численным моделированием, возникающей вследствие невозможности их описания с помощью уравнения Ланжевена.

Апробация результатов работы.

Основные результаты работы доложены диссертантом на четырех научных конференциях по радиофизике в ННГУ (2000-2004 гг.) и трех международных конференциях SYNCRO-2002 (Саратов, Россия), Noise in Condensed Matter and Complex Systems (Palermo, Italy), Complexity, Metastability and Nonextensivity (Erice, Italy). Результаты докладов опубликованы в Трудах конференций.

По теме диссертации опубликованы: две статьи в журнале "Fluctuations and Noise Letters" (2003, 2005), одна статья в журнале "Journal of Physics Letters А" и одна статья в журнале "Изв. ВУЗов. Радиофизика" (2003).

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в работах [1]-[14].

Структура и объем работы: Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы составляет 100 страниц печатного текста, включая 45 рисунков и список литературы из 81 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована постановка задачи в общем виде, освещено современное состояние проблемы изучения флуктуационных процессов в нелинейных динамических системах, обоснована актуальность темы исследования и кратко изложено содержание работы.

В первой главе диссертации аналитическими и численными методами проведено исследование эффекта ЗРШ нестабильных состояний, описываемых полиномиальными потенциалами.

В разделе 1.1 дано определение эффекта ЗРШ, заключающегося в увеличении среднего времени жизни нестабильного состояния с ростом интенсивности шума в системе, и приведены примеры простейших систем, в которых он возникает.

В разделе 1.2 для систем, описываемых симметричными потенциальными профилями вида

г К \ - в**

и<-х) ^ , где а > 0, к - четное, (2)

вычислены точные значения СВПД и IIBP, выраженные через гипергеометрические и гамма функции и справедливые для произвольной интенсивности шума и любого начального положения системы. Показано, что времена распада нестабильных состояний, для которых хоф 0, являются немонотонными функциями интенсивности флуктуаций, и содержат участки, где с ростом интенсивности шума происходит увеличение среднего времени жизни этих состояний. В случае большой интенсивности флуктуаций для СВПД и НВР получены асимптотические выражения в виде ряда по параметру !/<?, где q — интенсивность шума. Проведено сравнение полученных результатов с данными численного эксперимента, показано их полное согласование.

В разделе 1.3 аналогичные результаты получены для систем, описываемых антисимметричными потенциальными профилями вида

г и ч _

и W ^ , где а > 0, к - нечетное. (3)

В разделе 1.4 рассмотрен особый класс систем с метастабильным состоянием, описываемых потенциальным профилем с барьером вида

U(x) = ~+x

(4)

Известно, что СВПД и НВР, как функции интенсивности флуктуации, в подобных системах при определенных начальных условиях имеют особенность поведения: при интенсивности шума, стремящейся к нулю, времена распада начального нестабильного состояния такой системы стремятся к бесконечности. В разделе 2.4 показано, что для такого случая возникает расхождение между данными численного эксперимента и теоретическими предсказаниями и предложен физический механизм его возникновения. На основе полученных результатов сделан вывод о том, что эффект ЗРШ, предсказанный теоретически, не всегда может быть обнаружен в реальном эксперименте.

С целью выяснений условий, при которых такое обнаружение возможно, в разделе 1.5 проводится исследование зависимости ДВПД от интенсивности флуктуации и начального положения системы на примере эффекта ЗРШ, возникающего параболическом потенциале

В обоих случаях показано, что ДВПД может быть немонотонной функцией интенсивности шума, причем для случая кусочно-линейного потенциального профиля это возможно даже, если первоначально частица располагалась внутри потенциального барьера. Для потенциального профиля (б) получены асимптотические выражения для ДВПД в пределе малого шума для различных начальных положении броуновской частицы. Это дало возможность обнаружить ту область начальных условий, где стандарт времени первого достижения значительно превосходит СВПД в

•X2

(5)

и в кусочно-линейном потенциальном профиле с барьером вида:

(6)

области малого шума, что позволяет объяснить отсутствие в численном эксперименте эффекта ЗРШ, который, должен был возникнуть согласно теоретическим расчетам. Так же в настоящем разделе найдены такие начальные положения броуновских частиц, при которых условия наблюдения эффекта ЗРШ становятся оптимальными.

В разделе 1.6 приведены выводы к первой главе.

Во второй главе проведено исследование временных характеристик в системах с источниками и стоками частиц, в которых при определенных условиях могут возникать стационарные неравновесные распределения плотности вещества. Подобные системы, описываемые неоднородным уравнением Фоккера-Планка (УФП) используются в качестве моделей при описании, например, процессов ядерного синтеза, диффузии протеинов в микропорах, фотопроцессов на поверхности раздела "газ - твердое тело" и пр.

В разделе 2.1 получено точное нестационарное решение неоднородного УФП в модельной задаче с постоянным потенциалом, и с его помощью определены времена установления стационарной плотности и потока частиц в подобной системе.

В разделе 2.2 рассмотрены системы, описываемые потенциальным профилем произвольной формы. В этом случае общее нестационарное решение УФП неизвестно, поэтому в данном разделе для нахождения временных характеристик разработан метод, являющийся обобщением и дальнейшим развитием подхода, предложенного ранее в работах Малахова А.Н., позволяющий находить точные времена установления стационарной плотности частиц без использования нестационарного решения неоднородного уравнения УФП.

В разделе 2.3 на основе выявленной связи временных характеристик в системах с фиксированным числом частиц и с постоянным во времени источником частиц, предложена модификация хорошо известного метода Крамерса, позволяющая отыскивать времена перехода броуновских частиц через потенциальный барьер. Упомянутый метод справедлив лишь в случае

малой по сравнению с высотой барьера интенсивности шума, в то время как предложенная модификация дает точное значение времени перехода для произвольного соотношения между интенсивностью флуктуаций и высотой потенциального барьера.

В разделе 2.4 проведены вычисления времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц в конкретных потенциалах.

В разделе 2.5 приведены выводы ко второй главе.

В третьей главе исследован эффективный коэффициент диффузии описывающий расплывание броуновских частиц, диффундирующих в наклонных периодических потенциалах. В работах Л.Шемапского-Гейера (Ь.5сЫтап5ку-Ос1сг) и П.Хенгги (Р.Наг^!), опубликованных в последние годы, впервые было получено точное выражение для Д./г, связывающее его со средним и дисперсией времен перехода броуновских частицам через барьер, описываемый наклонным периодическим потенциалом. Кроме того, в указанных работах было продемонстрировано, что эффективный коэффициент диффузии в некоторых случаях может иметь немонотонную зависимость от величины наклона периодического профиля и интенсивности флуктуаций. Однако вследствие математической сложности задачи авторам работ не удалось найти ни условия возникновения обнаруженной немонотонности, ни механизма ее появления.

В разделе 3.1 сформулирована постановка задачи исследования эффективного коэффициента диффузии в модельном кусочно-линейном наклонном потенциале 11(х) = У(х)-Гх, где У(х) - периодическая функция с периодом и

0. 0 < х < а,

Е, а<х<а + Ь, ^

0, а + Ь < х< Ь.

В разделе 3.2 найдено асимптотическое выражение для Drjj в случае малой интенсивности шума и большой величины наклона потенциального барьера. Предложен физический механизм возникновения немонотонности в поведении эффективного коэффициента диффузии, как функции интенсивности флуктуаций, сформулированы условия на параметры потенциала, при которых немотонность возникает и вычислено максимально возможное значение эффективного коэффициента диффузии, как функции интенсивности шума, превосходящее значение коэффициента диффузии в свободному [ространстве.

В разделе 3.3 полученные результаты обобщены на случай потенциального профиля произвольной формы.

В разделе 3.4 приведены выводы к третьей главе.

В заключении приведены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Выведены точные аналитические выражения для среднего времени первого достижении (СВПД) и нелинейного времени релаксации (НВР) распада неустойчивых состояний, описываемых полиномиальными потенциальными профилями, в которых возникает эффект ЗРШ. Обнаружено различие между теорией и результатами численного эксперимента в случае распада нестабильного состояния, описываемого потенциальным профилем с ямой. Предложен физический механизм для объяснения этого различия.

2. Исследована дисперсия времени первого достижения (ДВПД) для ряда конкретных потенциалов, в которых возникает эффект ЗРШ. Показано, что ДВПД является немонотонной функцией интенсивности флуктуаций. Предложен физический механизм для объяснения этой немонотонности. Найдены оптимальные условия для наблюдения эффекта ЗРШ. когда среднее время распада нестабильного состояния максимально, а дисперсия времени распада - минимальна.

3. Получено точное нестационарное решение неоднородного уравнения диффузии в модельной задаче с постоянным потенциалом, источником и стоком частиц. На основе полученного решения исследованы времена установления стационарных неравновесных плотности и потока броуновских частиц в системе с постоянным потенциалом, источником и стоком частиц. Показано, что во внутренних точка среды поток устанавливается быстрее, чем плотность частиц.

4. Получены точные аналитические выражения для времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц, диффундирующих в произвольном потенциале в присутствии источника и стока частиц.

5. На основе выявленной связи между временными характеристиками систем нулевым н ненулевым стационарным потоком частиц предложена модификация хорошо известного метода Крамерса для нахождения СВПД и НВР в системах с потенциалом произвольной формы, справедливая для произвольного соотношения высоты потенциального барьера и интенсивности флуктуаций.

6. Обнаружен эффект ускорения диффузии броуновских частиц в ступенчатом кусочно-линейном потенциальном профиле и предложен физический механизм его возникновения.

7. Получено аналитическое выражение для эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале для случая малого шума и большого наклона. Для данного потенциала вычислено максимальное значение эффективного коэффициента диффузии при возникновении эффекта ускорения диффузии и получены условия на параметры потенциала и интенсивность шума, при которых данный эффект возникает. Полученные результаты обобщены на случай произвольной формы потенциального профиля.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Агудов Н.В., Сафонов А.В. Связь временных характеристик в системах с нулевым и ненулевым стационарным потоком. // Актуальные проблемы статистической радиофизики. -2002.-Т.1.-С.89-94.

2. Агудов Н.В., Сафонов А.В. Время установления стационарной неравновесной плотности броуновских частиц в среде с источником и стоком. // Изв. ВУЗов. Радиофизика -2003. -Т.46. -С.82-90.

3. Агудов Н.В., Сафонов А.В. Среднее и дисперсия времени неустойчивых и метастибильных состояний //Актуальные проблемы статистической радиофизики. -2003. -Т.2. -С. И 8-124.

4. Agudov N.V. and Safonov A.V. Relaxation times in systems with zero and non-zero stationary flow // Fluct-Noise Lett. -2003, - V.3. - P.L107-L112.

5. Agudov N.V., Mannella R., Safonov A.V., Spagnolo B. Noise delayed decay of unstable states: theory versus numerical simulations // J.Phys. A: Math.Gen. -2004. -V.37. -P.6213-6218.

6. Agudov N.V. and Safonov A.V. Acceleration of diffusion in subcritically tilted periodic potentials. // Fluct-Noise Lett. -2005. -V.5. - P.L283-L290.

7. Агудов H.B., Сафонов А.В. Времена установления стационарного неравновесного распределения броуновских частиц//Труды (пятой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова. Ред. А.В.Якимов. - Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2001. -2001. -С.201-202.

8. Агудов Н.В., Сафонов А.В., Маннелла Р., Спаньоло Б. Увеличение времени жизни неустойчивых состояний под действием шума // Труды (шестой) научной конференции по радиофизике. 7 мая 2002 года. Ред. А.В.Якимов. - Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2002. -С. 270-272.

9. Agudov N.V. and Safonov A.V. Relaxation time characteristics in systems with zero and non-zero stationary flow // Proceedings of the International

Conference on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations 2002. September 22-28, 2002 Saratov, Russia, p.51.

10. Agudov N.V., Mannella R., Safonov A.V., Spagnolo B. Noise delayed decay of unstable states: theory versus numerical simulations // Proceedings of the International Conference on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations 2002. September 22-28,2002 Saratov, Russia, p. 13.

II-Агудов H.B., Сафонов A.B., Якимов A.B. Среднее и дисперсия времени распада неустойчивого состояния линейной системы // Труды (седьмой) научной конференции по радиофизике. 7 мая 2003 года. Ред. А.В.Якимов. - Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2003. - С. 218-220.

12. Агудов Н.В., Сафонов А.В. Коэффициент диффузии в наклонном переодическом потенциале // Труды (восьмой) научной конференции по радиофизике. 7 мая 2004 года. Ред. А.В.Якимов. - Нижний Новгород: ТАЛАМ, 2004. - С. 160-161.

13. Agudov N. and Safonov A. Diffusion coefficient in tilted potentials in a small noise limit// Proceedings of the International Workshop on Noise in Condensed Matter and Complex Systems. July 26-29, 2005 Palermo, Italy, p.20.

14. Safonov A. Influence of shape of barrier on diffusion in periodic potentials // Proceedings of the 31" International Workshop on Complexity, Metastability, and Nonextensivity. July 20-26, 2005 Erice, Italy, p.20.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

0.1 Постановка задачи.

0.2 Современное состояние проблемы.

0.3 Содержание работы.

Глава 1. Статистические характеристики эффекта задержки распада шумом неустойчивых состояний

1.1 Эффект задержки шумом распада нестабильных состояний.

1.2 Времена распада в случае симметричного потенциала.

1.3 Времена распада в случае антисимметричного потенциала.

1.4 Потенциальный профиль с барьером.

1.5 Дисперсия времени первого достижения.

1.6 Выводы.

Глава 2. Времена установления стационарной неравновесной плотности броуновских частиц в среде с источниками и стоками частиц

2.1 Точное решение уравнения ЭФП в случае постоянного потенциального профиля с учетом источника и стока частиц.

2.2 Обобщение метода отыскания временных характеристик на случай систем с источниками и стоками частиц.

2.3 Связь временных характеристик в системах с нулевым и ненулевым стационарным потоком.

2.4 Примеры вычисления времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц в конкретных потенциалах.

2.5 Выводы.

Глава 3. Эффект ускоренна диффузии в наклонных периодических потенциалах

3.1 Постановка задачи.

3.2 Эффективный коэффициент диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале.

3.3 Произвольный потенциал. Случай высоких барьеров.

3.4 Выводы.

Заключение Литература

Подисано в печать 01.11.2006 г. Формат 60x84 Х!\Ь. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. п. л. 1. Заказ 1570. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Нижегородского госуниверситета им. II.И. Лобачевского. Лиц. ПД № 18-0099 от 4.05.01. 603000, г. Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

1 Введение

1.1 Постановка задачи.

1.2 Современное состояние проблемы.

1.3 Содержание работы.

2 Статистические характеристики эффекта задержки распада шумом неустойчивых состояний.

2.1 Эффект задержки шумом распада нестабильных состояний.

2.2 Времена распада в случае симметричного потенциала

2.3 Времена распада в случае антисимметричного потенциала

2.4 Потенциальный профиль с барьером.

2.5 Дисперсия Времени Первого Достижения

2.6 Выводы.

3 Времена установления стационарной неравновесной плотности броуновских частиц в среде с источниками и стоками.

3.1 Точное решение уравнения ЭФП в случае постоянного потенциального профиля с учетом источника и стока частиц.

3.2 Обобщение метода отыскания временных характеристик на случай систем с источниками и стоками частиц.

3.3 Связь временных характеристик в системах с нулевым и ненулевым стационарным потоком.

3.4 Примеры вычисления времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц в конкретных потенциалах.

3.5 Выводы.

4 Эффект ускорения диффузии в наклонных периодических потенциалах.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Эффективный коэффициент диффузии в кусочно-линейном наклонном периодическом потенциале.

4.3 Произвольный потенциал. Случай высоких барьеров.

4.4 Выводы.

Задача об исследовании влияния шума на характеристики различных физических систем представляет в настоящее время значительный интерес (см., напр., [1]-[10]). Это связано с тем, что его присутствие в сложных нелинейных системах становится причиной существенных изменений в их поведении. Только в случае достаточно малой интенсивности шума и для систем, имеющих единственное устойчивое состояние равновесия, флуктуации являются мало возмущающим фактором, приводящим лишь к незначительным отклонениям некоторой физической величины от своего среднего значения [11]. Однако, в широком круге задач физические системы имеют несколько локально устойчивых и неустойчивых состояний равновесия. В этом случае под воздействием шума может произойти переход из одного состояния равновесия в другое, распад метастабильного или нестабильного состояния и т.д. Таким образом, роль флуктуаций в неравновесных системах во многом становится определяющей. Одной из эффективных моделей для анализа индуцированных шумом переходных процессов в подобных системах является модель броуновского движения частиц в вязкой среде в потенциальном поле сил [6], [8]-[10],[12].

В настоящей работе изучается кинетика флуктуационных процессов в нелинейных динамических системах, далеких от равновесия, в рамках модели одномерной броуновской диффузии. 4

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим динамическую систему, описываемую уравнением Ланжеве-на: где х - изображающая точка (некоторая физическая величина), характеризующая состояние системы, U(x) - потенциал, характеризующий саму систему, 7] - коэффициент эквивалентной вязкости, £(<) белый гауссо-вый шум, < £(t) >= 0, < £{t)£(t + в) >= 2qS(e)/r], q - интенсивность шума. Поведение такой системы определяется воздействием двух сил -регулярной dU(x)/r]dx и случайной £(t).

Если х - это координата броуновской частицы, то уравнение (1.1) описывает броуновское движение в потенциальном поле сил U(x), в среде настолько вязкой, что инерционностью (массой) частицы можно пренебречь. Поэтому уравнение (1.1) называют уравнением броуновской диффузии.

Данное уравнение описывает множество различных процессов в таких областях физики как лазерная физика [7],[8],[13], динамический хаос [14],[15], радиотехника [8],[9],[16],[17], обработка сигналов [18],[19], физика диэлектриков [8],[20], динамика солитонов [21],[22], фазовые переходы [23], [24], геофизика [25], физика джозефсоновских переходов [2], [26], [27] диффузия в твердом теле [28], физика плазмы [29] и пр. Кроме того, оно широко используется в химии [30],[31] и биофизике [32],[33].

В большинстве интересных с физической точки зрения случаев потенциал U{-г), описывающий конкретную систему, имеет ряд минимумов и максимумов, которым соответствуют устойчивые состояния динамических систем (см. Рис.1.1). Это могут быть, например, различные амплитуды колебаний напряженности электрического поля в лазерах, или различные фазовые состояния вещества, или различные режимы динамических систем (хаотический и ламинарный) и т.д. В отсутствии флук-туаций попавшая в один из локальных минимумов броуновская частица оставалась бы там бесконечно долгое время. Однако под воздействием случайной силы <f(/) она может преодолеть потенциальный барьер и попасть в соседний минимум потенциала. Совершая таким образом индуцированные шумом переходы, частица будет диффундировать в потенциальном профиле, большую часть времени находясь вблизи его ми5 нимумов. Таким переходам броуновской частицы через потенциальные барьеры соответствуют переходы динамических систем из одного состояния в другое (смена режимов генерации, фазовые переходы, переходы из ламинарного режима в хаотический, глобальные изменения климата и т.д.) Их также называют термически активированными переходами, имея ввиду, что во многих задачах и, в частности, в случае задачи о броуновской диффузии, интенсивность шума берется пропорциональной температуре: q = кТ.

Из-за воздействия флуктуаций время, за которое происходит индуцированный шумом переход, или, другими словами, время пребывания системы в одном из устойчивых состояний является случайной величиной. Поэтому при решении различных физических задач возникает вопрос о ее статистических характеристиках, которые определяются нестационарной плотностью вероятности W(x,t) нахождения броуновской частицы в точке х в момент времени t. Как известно (см., напр., [8],[9]), функция W(x,t) описывается уравнением Фоккера-Планка, соответствующим уравнению (1.1): dW{x,t) dt д dU(x)

W(x,t), (1.2) дх rjdx 2 дх2 где введено обозначение D = 2q/rj, с соответствующими граничными условиями, например, W(±oo,f) = 0. 6

Уравнение (1.2) в литературе известно также как уравнение Смолу-ховского. Дело в том, что уравнением Фоккера-Планка (УФП) иногда называют уравнение соответствующее более общему случаю, когда, интенсивность белого шума в (1.1), а следовательно и величина D, является некоторой функцией от координаты D = D{x). Тогда уравнение для плотности вероятности будет иметь следующий вид: dW(x,t) dt д dU(x) 02 D{x) дх rjdx дх2 2

W(x,t). (1.3)

Однако, в силу того, что при помощи известной замены переменных [8],[9] уравнение (1.12) сводится к уравнению (1.2) где D = const (произвольная константа) мы можем без потери общности рассматривать только уравнение (1.2) и называть его уравнением Фоккера-Планка.

Если предположить, что в начальный момент времени t = 0 броуновская частица находилась в точке с координатой х = хо, то за начальное условие УФП (1.2) следует взять: W(x, 0) = 6(х — х0). В этом случае решением УФП будет плотность вероятности переходов W{x, t) = W(xo\x, t), являющаяся функцией Грина этого уравнения. Поэтому если за начальное условие взять некоторое произвольное распределение 0) Wo(a:), то решением УФП будет со

Wo{xo)W(xo\x,t)dxo.

-оо

Таким образом зная решение УФП (1.2) с дельтаобразными начальными условиями, т.е. плотность вероятности переходов, мы можем определить решение УФП с любыми заданными начальными условиями.

УФП (1.2) есть линейное уравнение в частных производных параболического типа с переменными коэффициентами. С помощью замены переменных (см., напр., [34]) это уравнение сводится к уравнению Шре-дингера: dW(x,t) dt и к уравнению диффузии: 7

Стационарное решение УФП (1.2) легко найти из условия dW(x,t)/dt -0. В результате, как и следовало ожидать, мы получим распределение Больцмана, где вместо температуры стоит интенсивность шума:

1.4)

Помимо систем, описываемых уравнением (1.1) и соответствующим ему УФП (1.2) для плотности вероятности W(x,t), в данной работе рассматриваются системы с источниками и стоками частиц, часто используемые в качестве моделей при описании, например, процессов ядерного синтеза [35, 36], диффузии протеинов в микропорах [37], фотопроцессов на поверхности раздела "газ-твердое тело" [38] и пр. Основная проблема, возникающая при исследовании подобных систем, связана с невозможностью введения для них уравнения, подобного уравнению Ланжевена (1.1) для систем без источников, что приводит, в частности, к значительным сложностям при численном моделировании происходящих в них физических процессов [39]. Вместо уравнения Ланжевена описание подобных систем происходит на языке концентрации броуновских частиц p[x,t), диффундирующих в заданном потенциальном профиле U(x), которая при наличии внешнего источника -s(ir, t) описывается неоднородным УФП (см., напр., [40], [41]):

1.5) которое в таком виде называют еще неоднородным уравнением диффузии. Здесь G(x, t) - поток вещества:

G(x,t) = -j p{x,t) + dx дх

1.6)

D - коэффициент диффузии (во многих задачах принимается, что D = 2kT/h), <р(х) = ^^ = - безразмерный потенциальный профиль, а s(x,t) - функция источника или стока. Будем считать, что s(x,t) > 0. Тогда s(x, t) это число частиц в единицу времени, рождающихся в точке х в момент времени t. Пусть в такой системе задан сток при х —> +оо (т.е. U(x) —>■ —оо при х -4 +оо). В этом случае в ней может возникнуть 8 стационарная неравновесная концентрация частиц pst(x), зависящая от источника и стока [40], которая, в силу неравновесности системы, уже не будет совпадать с распределением Больцмана (1.4), как это было в случае систем с конечным числом частиц. Другим отличием систем с источником и стоком частиц является тот факт, что стационарный поток вещества в них будет отличен от нуля.

Задачей данной работы является исследование особенностей поведения статистических характеристик индуцированных шумом переходных процессов в сильно неравновесных динамических системах, описываемых различными потенциальными профилями U(x), их зависимость от интенсивности шума и начального пложения броуновской частицы. Для различных типов потенциалов и начальных положений броуновских частиц вводят различные временные характеристики переходных процессов: время первого достижения броуновскими частицами заданных границ, время перехода через потенциальный барьер, время жизни мета-стабильного состояния, время распада нестабильного состояния и др. Поясним более подробно, что подразумевается под каждой из этих временных характеристик.

Время релаксации - есть характерное время за которое в системе устанавливается стационарное распределение (1.4) если в начальный момент времени распределение W(x, 0) не совпадало со стационарным. Обратимся к потенциальному профилю изображенному на Рис.1.1. Пусть изначально система находилась в состоянии Л, то есть W(x, 0) = $(х — А), тогда вероятность того, что частица находится в области минимума А равна:

С течением времени начальное распределение W(x, 0) будет расплываться, при t оо установится больцмановское распределение (1.4) и вероятность Ра{Ь —> оо) станет равной:

Таким образом, в процессе релаксации исходного распределения к стационарному вероятность Ра{1) меняется от Ра(0) = 1 до некоторого значения Ра{оо) (см.Рис.1.2). Назовем временем релаксации характерное с 9 время установления стационарного значения вероятности Разумеется, вместо вероятности Ра{1) можно взять вероятность того что частица будет находится и на другом интервале, например, вблизи минимума В. Тогда при тех же начальных условиях VK(x,0) = 8(х — А) вероятность Pe(t) = J^cW(x,t)dx будет увеличиваться от Pg(0) = 0 до стационарного значения Pg(oo). В любом случае будем считать, что время релаксации есть характерное время установления стационарного значения вероятности того, что броуновская частица находится в некотором заданном интервале. Определим его, пользуясь правилом равновеликого прямоугольника: j?(P(t)-P(oo))dt

Р(0)-Р(оо) ' W U j

Аналогично можно ввести время релаксации и для систем с источниками и стоками частиц . Только в этом случае будет происходить установление не вероятности Рл(0, а стационарной неравновесной концентрации броуновских частиц pst(x), которая возникает в подобных системах.

Время первого достижения - есть время за которое броуновская частица стартующая из некоторой точки х = xq впервые пересечет одну или две заданные границы расположенные в некоторых произвольных точках ху и х2 (zi < х0 < х2). Время первого достижения (ВПД) есть

10 случайная величина для которой можно ввести плотность вероятности w(t) и определить (см., напр., [42]) среднее время первого достижения (СВПД): уоо t>=Ti(x0,xl,x2) = J tw(t)(It, (1.8) и его дисперсию (ДВПД): а2 = T2{xo,xl,x2) - 7i(xo,xi, л;2)2, (1.9) где со

T2(x0,xi,x2) = / t2w(t)cIt. Jo

Рис. 1.3:

Пусть в потенциальном профиле изображенном на Рис. 1.1 броуновская частица в начальный момент находится в точке х = А и требуется найти СВПД границ С1 и С. Можно показать (см., напр., [9]), что если найти решение УФП Wi(x,t) для потенциального профиля U\(x), который при С < х < С совпадает с исходным потенциальным профилем, а за границами х = С и х = С имеются бесконечно глубокие потенциальные ямы (или, другими словами, в точках х = С ш х = С находятся поглощающие границы, см. Рис.1.3), то искомое СВПД будет равно:

Г00

Т(А,С,С) = / PM(t)dt, (1.10)

Jo

11 где fUi(0 = f. Wi(x,t)dx j с есть вероятность того, что броуновская частица будет находится вну

Рис. 1.4: три интервала [С1,С] потенциального профиля Ui(x). Эта вероятность меняется от РАх(0) = 1 до РЛ1(оо) = 0 (см. Рис.1.4) и СВПД (1.10) есть характерное время релаксации вероятности Ра\(1) к стационарному значению, определенное по правилу равновеликого прямоугольника.

Кроме того, можно показать (см., напр., [9]) что упомянутое выше распределение ВПД w(t) равно производной от вероятности Рм(1) : i \ dPAlt \ w{t) =

Заметим, что поскольку аналитическое выражение в квадратурах для СВПД в случае произвольной формы потенциального профиля давно известно (о чем подробнее будет сказано в следующем пункте), именно эта временная характеристика чаще всего используется авторами при изучении флуктуационных процессов в различных динамических системах. При этом зачастую остается без внимания тот факт, что СВПД дает о них весьма ограниченную информацию. Действительно, как следует из определения, при вычислении СВПД пренебрегается возможностью того,

12 что частица может вернуться в интервал решения, после того, как однажды покинет его. Подобная идеализация, как это было показано, например, в работе [43], в некоторых задачах может приводить к серьезным ошибкам. Поэтому, для того, чтобы учесть обратный поток вероятности, вводят еще одну временную характеристику, называемую нелинейным временем релаксации (НВР), являющуюся средним временем пребывания частицы внутри интервала решения и вычисляемую независимо от того, как много раз броуновская частица покидала интервал и возвращалась обратно. Определяется НВР следующим образом: пусть P(t) -это вероятность того, что частица находится внутри интервала решения. В начальный момент Р(0) = 1. Со временем частица покинет неустойчивое состояние, поэтому Р(оо) = 0. Чтобы учесть тот факт, что во время процесса распада частица может несколько раз пересекать границу интервала решения, определим НВР как время установления вероятности

Если частица пересекает границу интервала решения лишь однажды, время (1.11) совпадает с СВПД. В противном случае выражение (1.11) учтет обратный поток вероятности через границу интервала решения и будет существенно отличаться от СВПД. Таким образом, СВПД является частным случаем IIBP (1.11), а именно случаем, в котором мы пренебрегаем обратным потоком вероятности.

Под временем перехода через потенциальный барьер обычно подразумевают СВПД границы, находящейся за потенциальным барьером, если в начальный момент броуновская частица находится в добарьерной области. Например, для потенциального профиля U(x), изображенного на Рис. 1.1 за время перехода А В через потенциальный барьер С можно принять СВПД Т(А, -оо, В) границы расположенной в х = В из точки х = А. В этом случае временем перехода через потенциальный барьер С будет характерное время установления стационарного значения вероятности

P(i) :

1.11)

МО

Ра 2(0) = 1,

РА2( оо) = 0,

13 в потенциальном профиле Ui(x) полученном из исходного U(x) путем добавления бесконечно глубокой потенциальной ямы в точке х = В (см.Рис.1.5)

U2(x) С А

С В х

Рис. 1.5:

Время жизни метастабильного состояния есть характерное время нахождения броуновской частицы вблизи локального минимума, который находится намного выше остальных минимумов мультистабиль-ного потенциального профиля. Рассмотрим, например, двухуровневую бистабильную систему, описываемую потенциальным профилем U^x), изображенном на Рис. 1.6. В таком потенциальном профиле при t -4 оо состояние А можно считать менее устойчивым, чем состояние В, потому что из стационарного распределения (1.4) следует, что Рм{оо) < РвДоо), где

Но это не значит, что броуновская частица, перескочив из минимума А в В, никогда не вернется назад. Просто время ее пребывания вблизи В будет больше, чем вблизи А. При достижении динамического равновесия

14

Ц(х)

А С В

Рис. 1.6: в системе число переходов из Л в В и назад приблизительно одинаково, так как поток вероятности через барьер равен нулю. Однако, если минимум А расположен намного выше В, так что Ра4(00) <С Рв^оо), то время пребывания броуновской частицы в минимуме В будет намного больше, чем в А. Тогда состояние А можно назвать метастабильным, в том смысле, что совершив переход из А в В броуновская частица практически никогда не вернется из более стабильного состояния В. В этом случае характерное время пребывания броуновской частицы в минимуме А есть время жизни метастабильного состояния. Поскольку минимум В находится намного ниже Л, то можно вообще исключить его из рассмотрения и заменить исходный потенциальный профиль Ui{x) профилем Us(x), имеющим бесконечно глубокую яму при х —> оо (см.Рис.1.7).

За время жизни метастабильного состояния можно, таким образом, принять характерное время релаксации вероятности к своему стационарному значению Раь(оо) = 0. Если исходный потенциальный профиль имеет больше двух локальных минимумов, то мета-стабильному состоянию может соответствовать профиль имеющий два потенциальных барьера (см.Рис.1.8). В этом случае, за время жизни метастабильного состояния принимается характерное время релаксации с

15

Рис. 1.7: вероятности Pa6(i) соответствующей потенциалу Ue(x), изображенному на Рис.1.8:

PM(t) = Jc W6(x,t)dx, к стационарному значению Рле(оо) = 0.

Нестабильные состояния образуются из метастабильных, если положить равной нулю высоты потенциальных барьеров в потенциальных профилях Ub(x) и U6(x), описывающих метастабильные состояния (см. Рис.1.9,1.10).

Времена распада нестабильных состояний определяются аналогично временам жизни метастабильных состояний, как характерные времена установления стационарных значений вероятностей РА7{1) и PA%{t):

МО = f° w7(x,t)dx, РА7{0) = 1, РА7{оо) = о

J—со

PM(t) = £ Ws(x, t)dx, PAS{0) = 1, Pas(oo) = 0

Границы С и С выбираются согласно условиям конкретной задачи. Кроме того, в некоторых задачах времена распада нестабильных состояний определяются как СВПД границ С и С.

Таким образом, любая из вышеперечисленных временных характеристик, используемых для решения различных задач, может быть опре

16

Рис. 1.8: делена, как время установления стационарного значения вероятности нахождения броуновской частицы (либо стационарного значения концентрации броуновских частиц) на соответствующем интервале потенциального профиля.

Кроме самих временных характеристик случайных процессов, происходящих в системах, далеких от равновесия, в настоящей работе исследуется выражаемый через них эффективный коэффициент диффузии броуновских частиц, диффундирующих в наклонных периодических потенциалах, являющихся адекватной моделью, успешно используемой при исследованиях в твердотельной [8] и джозефсоновской [44] электронике, химической физике [45] и биофизике [46], [47]. Для его определения вновь рассмотрим модель одномерного сверхвязкого движения броуновских частиц, в периодическом потенциале V(x) с периодом L в присутствии белого гауссовского шума и постоянной внешней силы F, описываемого уравнением Ланжевена (1.1), в котором U(x) = V(x) — Fx. Соответствующая плотность вероятности W(x,t) подчиняется уравнению Фоккера-Планка: dW(x,t) д dt дх

Vb)-F + glx

W(x,t) (1.12) с граничными условиями 1У(±оо,<) = 0. Если первоначально все частицы были сосредоточены в точке х = х0, то со временем начальная

17

Рис. 1.9: дельтаобразная плотность вероятности W(x, 0) = 6(х — х0) начнет смещаться под действием постоянной внешней силы и расплываться из-за наличия шума. На больших временах можно рассмотреть плотсность вероятности Was(x,t) (см. Рис.1.11), усредненную по многим периодам потенциала V(x), которая будет ассимптотически стремиться к гауссов-скому распределению:

Was{x,t) = exp [~(x-vt)2/4Defft]

1.13)

4тг Defft где v - это скорость сноса, a De/f - эффективный коэффициент диффу x2(t) >-< x(t) >2 зии:

Def / = lim

1.14) являющийся предметом нашего интереса. Его величина может быть определена, если известны СВПД Tt(x0 х0 + L) и ДВПД Ат2(х0 Хо + L), о чем подробнее будет сказано в следующем пункте.

4.4 Выводы

Итак, в настоящей главе впервые:

Обнаружен эффект ускорения диффузии броуновских частиц в ступенчатом кусочно-линейном потенциальном профиле и предложен физический механизм его возникновения.

Получено аналитеческое выражение для эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале для случая малого шума и большого наклона.

Вычислено максимальное значение эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале.

Получены условия напараметры потенциала и интенсивность шума, при которых возникает эффект ускорения диффузии.

Полученные результаты обобщены на случай произвольной формы потенциального профиля.

91

Глава 5 Заключение.

Итак, в настоящей работе впервые:

1. Выведены точные аналитические выражения для СВПД и НВР распада неустойчивых состояний, описываемых полиномиальными потенциальными профилями, в которых возникает эффект ЗРШ. Обнаружено различие между теорией и результами численного эксперимента в случае распада нестабильно состояния, описываемого потенциальным профилем с ямой. Предложен физический механизм для объяснения этого различия.

2. Исследована ДВПД для ряда конкретных потенциалов, в которых возникает эффект ЗРШ. Показано, что ДВПД является немонотонной функцией интенсивности флуктуаций. Предложен физический механизм для объяснения этой немонотонности. Найдены оптимальные условия для наблюдения эффекта ЗРШ, когда среднее время распада нестабильного состояния максимально, а дисперсия времени распада - минимальна.

3. Получено точное нестационарное решение неоднородного уравнения диффузии в модельной задаче с постоянным потенциалом, источником и стоком частиц. На основе полученного решения исследованы времена установления стационарных неравновесных плотности и потока броуновских частиц в системе с постоянным потенциалом, источником и стоком частиц. Показано, что во внутренних точка среды поток устанавливается быстрее, чем плотность частиц.

92

4. Получены точные аналитические выражения для времен установления стационарных неравновесных плотностей броуновских частиц, диффундирующих в произвольном потенциале в присутствии источника и стока частиц.

5. На основе выявленной связи между временными характеристиками систем пулевым и ненулевым стационарным потоком частиц предложена модификация хорошо известного метода Крамерса для нахождения СВПД и НВР в системах с потенциалом произвольной формы, справедливая для произвольного соотношения высоты потенциального барьера и интенсивности флуктуаций.

6. Обнаружен эффект ускорения диффузии броуновских частиц в ступенчатом кусочно-линейном потенциальном профиле и предложен физический механизм его возникновения.

7. Получено аналитическое выражение для эффективного коэффициента диффузии в ступенчатом кусочно-линейном потенциале для случая малого шума и большого наклона. Для данного потенциала вычислено максимальное значение эффективного коэффициента диффузии при возникновении эффекта ускорения диффузии и получены условия на параметры потенциала и интенсивность шума, при которых данный эффект возникает. Полученные результаты обобщены на случай произвольной формы потенциального профиля.

93

1. H.Hofmann, F.A.1.anyuk, Mean First Passage Time for Nuclear Fission and the Emision of Light Particles //Phys.Rev.Lett. -2003. -V.90 -P.132701-1-132701-4.

2. A.Pankratov, Form and width of the spectral line of a Josephson flux-flow oscillator //Phys.Rev.B -2002. -V.65 -P.054504-4-054504-9.

3. J.Ankerhold and P.Pechukas, Quantum fluctuating barriers //Europhys. Lett. -2000. -V.52 -P.264-270.

4. P.J.Colmenares and W.Olivares-Rivas, Smoluchowski hypernetted chain theory descriptionof the dynamics of ions confined in charged micropores //Phys.Rev.E -1999. -V.59 -P.841-849.

5. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к порядку через флуктуации.- М: "Мир". -1979.-512 Р.

6. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. -М.: "Мир" -1987. -397 С.

7. Хакен Г., Синергетика.- М.: "Мир". -1980. -404 С.

8. Risken Н. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications Berlin: Springer-Verlag. -1989. -472 P.

9. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.- М: Сов. радио -1961. -558 С.

10. Hanggi P., Talkner P., Borkovec М. Reaction rate theory: fifty years after Kramers //Rev.Mod.Phys. -1990. -V.62. -P.251-341.94

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Статистическая физика, Ч.1.- М.: "Наука". -1976. -584 С.

12. Гардинер К.В., Стохастические методы в естественных науках, М.:"Мир" -1986. -526 С.

13. Colet P., et al. Relaxation from a marginal state in optical bistability //Phys.Rev.A -1989. -V.39 -P.149-156.

14. Hirsch J.E., Iluberman B.A., Scalapino D.T. Theory of intermittency //Phys.Rev.A -1982. -V.25. -P.519-532.

15. Аишценко B.C., Нейман А.Б. Статистические свойства эффекта перемежаемости в квазигиперболических системах //ЖТФ -1990. -Т.1 Вып.1 -С.3-14.

16. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику- М.:"Наука". -1981. -640 С.

17. Малахов А.Н., Флуктуации в автоколебательных системах.-М. "Наука" -1968. -660 С.

18. Dykman M.I., et al. Stochastic resonance: linear response and giant nonlinearity //J.Stat.Phys. -1993. -V.70 -P.463-478.

19. Shulgin В., Neiman A., Anishchenko V.S. Mean switching frequency locking in stochastic bistable systems driven by periodic force //Phys.Rev.Lett. -1995. -V.75 -P.4157-4163.

20. Gerling R.W. Langevin model for rotational diffusion of molecules unaxial rotator in an N-fold potential //Z.Phys.B. -1981. -V.45 -P.3948.

21. Marchesoni F., Sodano P., Zannetti M. Supersymmetry and bistable soft potentials //Phys.Rev.Lett. -1988. -V.61. -P.1143-1146.

22. Risken H., Leiber Th. Decay rates for a class of bistable potentials: parabolic to welge-shaped form //Phys.Rev.A -1989. -V.40 -P.1582-1589.95

23. Nicolis C. Long term climatic transitions and stochastic resonance //J.Stat.Phys. -1993. -V.70 -P.3-14.

24. Barone A., Cristiano R., Silvestrini P. Supercurrent decay in underdumped Josephson junctions: nonstationary case //J.Appl.Phys. -1985. -V.58 -P.3822-3826.

25. А.Л.Панкратов, М.М.Цветкова, Индуцированные шумом переходы в точечном джозефсоновском контакте, //Актуальные проблемы статистической радиофизики. -2004. -Т.З -С.???.

26. Бокштейн Б. С., Бокштейн С. 3., Жуховицкий А. А. Термодинамика и кинетика диффузии в твердых телах. -М.: "Металлургия" -1974. -280 С.

27. Биберман Л.М., Воробьев B.C., Якубов И.Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. -М.: "Наука" -1982. -186 С.

28. Туницкий Н.Н., Каминский В.А., Тимашев С.Ф. Методы физико-химической кинетики. -М.:"Химия". -1972. -198 С.

29. Samanta A., Ghosh S.K. Exact results on diffusion from a piecewise linear potential well //J.Chem.Phys. -1992. -V.97 -P.9321-9323.

30. Ewens W.T. Matematical population genetics.- Berlin: Springer. -1979. -251 P.

31. Jung P. Threshold devises: fractal noise and neural talk //Phys.Rev.E -1994. -V.50 -P.2513-2522.

32. Miyazava T. Theory of the one-variable Fokker-Planck equation //Phys.Rev.A -1989. -V.39 -P.1447-168.96

33. J.D. Bao and Y.Jia, Determination of fission rate by mean last passage time //Phys.Rev.C -2004. -V.69. -P.027602-1-027602-4.

34. D.Boilley, B.Jurado, and C.Schmitt, Simple relations between mean pssage times and Kramers' stationary rate //Phys.Rev.E -2004. -V.70. -P.056129-056133.

35. J.T.Hynes //Annu.Rev.Phys.Chem. -1985. -V.36.

36. М.Г.Кучеренко, К вопросу о кинетике молекулярной десорбции //Вестник ОГУ -2002. -Т.5. -С.92-97.

37. P.Reimann, G.J.Schmid, P.Hanggi, Universal equivalence of mean frst-passage time and Kramers rate //Phys.Rev.E -1999. -V.60. -P.R1-R4.

38. А.А.Дубков, А.Н.Малахов, О стационарном неравновесном распределении плотности числа частиц, формируемом источниками и стоками. //Изв. ВУЗов. Радиофизика -2000. -Т.43. -С.814-822.

39. Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис Элементыматематической физики. -М.: Наука, 1973.

40. Тихонов В.И. Достижение границ марковским случайным процессом //Известия вузов. Радиоэлектроника -1972. -Т.15 -С.413-422.

41. N.V. Agudov and A.N. Malakhov, Decay of unstable equilibrium and nonequilibrium states with inverse probability current taken into account //Phys.Rev.E-1999. -V.60 -P.6333-6342.

42. К.К.Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов. -М.: "Наука". -1985.

43. P.Fulde, L.Pietronero, W.R.Schneider, and S.Strassler, Problem of Brownian motion in a periodic potential. //Phys.Rev.Lett. -V.35. -1975. -P. 1776-1779.

44. K.Wiesenfeld, D.Pierson, E.Pantazelou, C.Dames, and F.Moss, Stochastic resonance on a circle. //Phys.Rev.Lett. -V.72. -1994. -P.2125-2129.97

45. Ch.Kurrer and K.Shulten, Noise-induced synchronous neuronal oscillations //Phys.Rev.E -V.51. -1995. -P.6213-6218.

46. Понтрягин JI.C., Андронов A.A., Витт A.A. О статистическом рассмотрении динамических систем //ЖЭТФ. -1933. -Т.З. -Вып.З. -С.165-121.

47. Н.В. Агудов, А.Н. Малахов //Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1993 Т.36, С.148-166.

48. A.N.Malakhov and A.L.Pankratov //Physica A, 1996, 229

49. Malakhov A.N., Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in arbitrary potential profiles, //CHAOS. -1997. -V.7 -P.488-504.

50. A. N. Malakhov and A. L. Pankratov //Adv. in Chem. Phys., -2002. -V. 121, -P.357-438.

51. Arecchi F.T., Politi A., Ulivi L. Stochastic-time Description in unstable and multistable systems //II Nuovo Cimento В -1982. -V.71 -P.119-154.

52. Dayan I., Gitterman M., Weiss G.H. //Phys.Rev.A -1992. -V.46 -P.757.

53. Casado J.M., Morillo M. Distribution of escape times in driven stochastic model //Phys.Rev.E -1994. -V.49 -P.1136-1139.

54. Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system //Phys.Rev.Lett. -1996. -V.76 -P.563-566.1. Gammaitoni1., Hanggi P., Jung P. and Marchesoni F., //Rev.Mod.Phys., -1998. -V.70. -P.223.

55. Mantegna R.N., Spagnolo B. and Trapanese M. //Phys.Rev.E, -2001. -V.63. -P.011101. //Rev.Mod.Phys., -1998. -V.70. -P.223.

56. B.И.Тихонов, В.И.Доронин, В.А.Сатосин // Изв. Вузов МВССО СССР (Радиотехника и электроника), -1974. -Т.19, -СЛ.

57. B.Linder, M.Kostur, and L.Schimanky-Geier, Optimal diffusive transport in a tilted periodic potential //Fluct.Noise Lett. -2001. -V.l. -P.R25-R39.98

58. P.Reimann, C.Van den Broeck, H.Linke, P.Hanggi, M.Rubi, and A.Perez-Madrid, Giant acceleration of free diffusion by use of tilted periodic potentials //Pliys.Rev.Lett. -2002. -V.87. -P.010602.

59. R.L.Stratonovich, Oscillator synchronization in the presense of noise, in Non-linear transformations of stochastic processes ed. by P.I.Kuznetzov, R.L.Stratonovich, and V.I.Tikhonov, Pergamon Press, Oxford, 1965.

60. P.Reimann, C.Van den Broeck, H.Linke, P.Hanggi, M.Rubi, and A.Perez-Madrid, Thermal diffusion in a tilted periodic potential: enhancement, universality, and scaling //Phys.Rev.E -2002. -V.65. -P.0311104.

61. G.Costantini and F.Marchesoni, Threshold diffusion in a tilted washboard potential, Europhys. Lett. 48 (1999). 491-497.

62. E.IIeinsalu, R.Temmelo, and T. Ord, Diffusion and current of Brownian particles in tilted piecewise linear potentials: Amplification and coherence, Phys. Rev. E 69 (2004) 021111.

63. E.Heinsalu, T. Ord, and R.Temmelo, Diffusion and coherence in tilted piecewise linear double-periodic potentials, Phys. Rev. E 70 (2004) 041104.

64. N.V.Agudov, R.Mannella, A.V.Safonov, B.Spagnolo, Noise delayed decay of unstable states: theory versus numerical simulations //J.Phys.A -2004. -V.37. -P.5279-5287.

65. Н.В.Агудов, А.В.Сафонов, Среднее и дисперсия времени неустойчивых и метастибильных состояний //Актуальные проблемы статистической радиофизики. -2003. -Т.2. -С. 118-124.

66. Н.В.Агудов, А.В.Сафонов, Времена установления стационарного неравновесного распределения броуновских частиц //Труды (пятой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова. -2001. -с.201-202.99

67. H.В.Агудов, А.В.Сафонов, Время установления стационарной неравновесной плотности броуновских частиц в среде с источником и стоком. //Изв. ВУЗов. Радиофизика -2003. -Т.46. -С.82-90.

68. Kramers Н. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions //Physica -1940. -V.7. -P.284-304.

69. N.V.Agudov and A.V.Safonov, Relaxation times in systems with zero and non-zero stationary flow. //Fluct.Noise Lett. -2003. -V.3. -P.L107-Ll 12.

70. N.V.Agudov and A.V.Safonov, Acceleration of diffusion in subcritically tilted periodic potentials. //Fluct.Noise Lett. -2005. (в печати)

71. N. V. Agudov and A. N. Malakhov, Int. J. Bifurcation and Chaos, 5, 531 (1995)

72. N. V. Agudov, Phys. Rev. E, 57, 2618 (1998)

73. Haake F., Haus J. W., Glauber R. Passage-time statistics for decay of unstable equilibrium states //Phys.Rev.A -1981. -V.23 -P.3255-3271.

74. Suzuki M. Theory of instability, nonlinear brownian motion and formation of macroscopic order //Phys.Lett.A -1978. -V.67A -P.339-341.

75. S. Grandshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, New York, 1980.

76. N. V. Agudov and B. Spagnolo, AIP Conference Proseedings, v. 502, 272-277, eds. D. S. Broomhead, E. A. Luchinskaya, P. V. E. McClintock, T. Mullin, Melville, New York (1999).

77. N. V. Agudov and B. Spagnolo, Phys. Rev. E 64, 035102(R) (2001).

78. А.Н.Малахов //Изв. ВУЗов. Радиофизика, Время релаксации концентрации вещества в среде с произвольно меняющимся в пространстве коэффициентом диффузии. 1997. -Т.40. -С.886-895.100