Дисперсионные эффекты фононного трения электронов в конденсированных средах

Мареева, Ольга Владимировна

Дисперсионные эффекты фононного трения электронов в конденсированных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Мареева, Ольга Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Дисперсионные эффекты фононного трения электронов в конденсированных средах»

Автореферат диссертации на тему "Дисперсионные эффекты фононного трения электронов в конденсированных средах"

На правах рукописи

Мареева Ольга Владимировна

ДИСПЕРСИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ФОНОННОГО ТРЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ

01.04.07 — физика конденсированного состояния

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2006

Работа выполнена в Нижегородском государственном педагогическом университете (г. Нижний Новгород).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Г. Ф. Ефремов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г. А. Вугальтер,

член-корреспондент РАН В. В. Кочаровский.

Ведущая организация:

Институт физики микроструктур РАН

Защита состоится 2006 г. в часов на заседа-

нии диссертационного совета Д 212.166.01 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан

2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

А. И. Машин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблема взаимодействия электронов с фо-нонным полем решетки продолжает оставаться одной из наиболее актуальных в физике конденсированного состояния [1*] - [3*]. Интерес к данной проблеме связан с ролью электрон-фононного взаимодействия в описании таких фундаментальных физических явлений, как процессы переноса в упорядоченных и неупорядоченных средах, флуктуации, сверхпроводимость, динамика дислокаций. Являясь основным механизмом диссипативных и флуктуационных процессов в твердом теле, элек-трон-фононное взаимодействие определяет характеристики электронов-квазичастиц, ведет к диссипации их импульса и энергии, изменению закона дисперсии электронов, флуктуациям плотности тока и т.д. Сложность и разнообразие возникающих при этом задач диктует поиск новых моделей, удобных для использования в той или иной физической ситуации.

Цель данной работы состоит в исследовании эффектов фононного трения электронов-квазичастиц в конденсированных средах с учетом воздействия на электрон флуктуаций фононного поля и запаздывания электрон-фононного взаимодействия на основе микроскопической флуктуационно-диссипационной теории. Предложена и изучена модель, основанная на концепции пробной квазичастицы и позволяющая вычислять частотные зависимости времени релаксации импульса электрона (вследствие его взаимодействия с фононами) в ковалентных и ионных полупроводниковых кристаллах в достаточно широком диапазоне температур, скоростей и амплитуд внешнего постоянного и переменного электрического поля. Мы ограничились подробным анализом средних характеристик пробной квазичастицы, хотя полученное стохастическое уравнение в рамках предложенной модели позволяет рассчитывать статистические характеристики шумов в полупроводниках, в том числе негауссовы флуктуации скорости и эффекты высших корреляций, связанные с запаздыванием электрон-фононного взаимодействия.

Используемый нами подход, основанный на концепции пробной частицы, позволяет определить времена релаксации квазичастицы и кинетические коэффициенты, ограничившись весьма простым математическим аппаратом. В рамках традиционного подхода в теории электрон-фононного рассеяния указанная концепция наиболее последовательно использовалась в монографии Гантмахера и Левинсона [4*]. Там же детально проанализирована роль экранирования в задачах рассеяния и проведено разделение возмущения кристаллического потенциала на макрополе и микрополе. Поэтому в методическом отношении наша мо-

дель опирается на работу [4*], но вместо теории возмущений первого порядка для матричных элементов рассеяния мы используем усредненное уравнение Ланжевена для пробной квазичастицы, что позволяет учесть запаздывание взаимодействия и найти частотные зависимости коэффициента релаксации импульса. Что касается слагаемого, описывающего взаимодействие квазичастицы с решеткой в гамильтониане, он выбран в кулоновском виде с экранированием и, с учетом возможного отличия диэлектрической проницаемости остова решетки от единицы, переходит в предельных случаях в гамильтониан Фрелиха (используемый, в частности, при изучении транспорта поляронов [5*]) или в обычный гамильтониан взаимодействия электрона с длинноволновыми фононами в ковалентных кристаллах, к которому приводит модель деформационного потенциала.

При выводе стохастического уравнения движения пробной квазичастицы используется статистическая теория нелинейных открытых квантовых систем [6*], [7*]. Данная теория, являясь обобщением линейной теории броуновского движения квантовых систем, развитой Ю. Швин-гером и Р. Сеницким [8*], [9*], дополняет известные методы квантовой кинетики [4*], [10*] и квантовой теории поля [11*], [12*] возможностями одновременного совместного исследования кинетики и флуктуаций как в квазиравновесных, так и в неравновесных состояниях динамической подсистемы, в том числе и применительно к конденсированным средам [13*] - [15*]. В нашей задаче, как уже подчеркивалось, данный подход позволяет учитывать запаздывание электрон-фононного взаимодействия и, таким образом, не ограничиваться рамками марковского приближения, условием применимости которого является малость времени корреляции флуктуаций термостата (времени элементарного акта рассеяния) по сравнению со временем изменения импульса квазичастицы. так что за это время импульс частицы не меняется, то запаздывания электрон-фононного взаимодействия существенно влияет на релаксацию. В связи с миниатюризацией электронных приборов и развитием физики мезоскопических систем анализ немарковских кинетических и флуктуационных эффектов приобретает особую актуальность. В частности, значительное внимание теоретиков и экспериментаторов привлекает исследование электронного транспорта и флуктуаций в субмикронных полупроводниковых структурах.

Анализ проблемы взаимодействия электронов с фононным полем решетки требует в общем случае полевого подхода. В рассматриваемых в диссертационной работе задачах рассеяния электрона на колебаниях кристаллической решетки целесообразно воспользоваться более про-

стым одноэлектронным подходом, а именно, концепцией пробной частицы. Если ввести в равновесный кристалл неравновесную пробную квазичастицу с заданным импульсом, то можно вычислить, с какой скоростью различные ее характеристики (энергия или направленный импульс) приближаются к равновесным. Темп приближения к равновесию описывается временем релаксации т, которое позволяет оценить кинетические коэффициенты. В этом приближении можно определить такие характеристики квазичастицы-электрона, обусловленные его взаимодействием с фононным полем решетки, как время жизни (затухание), закон дисперсии, в частности, эффективную массу. При этом характеристики электрона в отсутствие взаимодействия с фононами (например, закон дисперсии) считаются известными. Одночастичное приближение справедливо для невырожденного электронного газа в однородных полупроводниках и в различных мезоскопических структурах, когда в процессах проводимости принимает участие малое число носителей тока.

В диссертации предложена модель, позволяющая находить релаксационные характеристики и поправки к закону дисперсии пробной частицы в конденсированной среде. Выполнен микроскопический вывод стохастических уравнений для квазичастицы, находящейся в контакте с диссипативным окружением в присутствии внешней детерминированной силы, с учетом запаздывания взаимодействия и флуктуаций фо-нонного поля. Полученные уравнения использованы для исследования фононной силы трения, действующей на пробную квазичастицу в конденсированных средах.

жения в кристалле в приближении квазивязкого скольжения, обусловленного фононным трением, а также эффекты динамики дислокационных скоплений в условиях нелинейного фононного торможения.

Актуальность выбранной темы диссертационной работы, таким образом, определяется как современным развитием экспериментальных возможностей, когда становится реальным наблюдение флуктуацион-ных и кинетических эффектов, обусловленных конечностью времени корреляции флуктуаций термостата, так и развитием теоретических моделей (последовательный учет статистики, немарковских эффектов, упрощение, где это возможно, математического аппарата).

Цель настоящей работы состояла в теоретическом исследовании характеристик электрона-квазичастицы, обусловленных влиянием фононного трения, с учетом флуктуаций фононного поля и запаздывания взаимодействия, в конденсированных средах при наличии однородных слабых электрических полей, и в изучении динамики непрерывно распределенных дислокаций с учетом фононного трения. Основное внимание уделено решению следующих задач:

- построение микроскопической модели кинетики пробной частицы в фононном термостате, позволяющей единым образом учесть релаксационные и флуктуационные процессы, в том числе запаздывание электрон-фононного взаимодействия и влияние флуктуаций фононного поля;

- теоретическое исследование частотной и температурной зависимостей коэффициента релаксации импульса квазичастицы, определяющего фо-нонное трение в случае слабого периодического внешнего электрического поля;

- исследование динамики непрерывно распределенных дислокаций в кристаллах с учетом фононного трения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построена микроскопическая модель кинетики пробной частицы, взаимодействующей с фононным полем, позволяющая единым образом учесть запаздывание электрон-фононного взаимодействия и влияние флуктуаций фононного поля.

2. Впервые проведено последовательное разделение двух составляющих фононной силы трения, действующей на пробную частицу, которые обусловлены соответственно реакцией фононного поля на внешнее возмущение (движущийся электрон) и влиянием на электрон флуктуаций фононного поля.

3. Исследована частотная зависимость коэффициента релаксации импульса электрона в случаях малой (по сравнению со скоростью звука) и большой скоростей электрона при высоких и низких температурах термостата.

4. Найдена температурная зависимость коэффициента релаксации электрона-квазичастицы с учетом воздействия на электрон флук-туаций фононного поля. Показано, что в случае предельно низких температур электрон-фононное взаимодействие имеет чисто квантовый характер и релаксация импульса определяется флуктуаци-ями фононного поля.

5. Выявлены особенности частотной зависимости формы линии поглощения излучения электроном, находящимся в квантовой точке и взаимодействующим с фононным полем кристаллической решетки в высокочастотном электрическом поле.

6. Исследована динамика непрерывно распределенных дислокаций, формирующих в кристалле полосу скольжения, контролируемого фононным трением. Найдены квазистационарные решения типа бегущей волны и нестационарные неоднородные распределения дислокационного заряда. В условиях нелинейной зависимости силы фононного торможения от скорости дислокаций построена автоволновая модель формирования полосы скольжения, интерпретируемой как волна переключения плотности дислокаций.

Теоретическая и практическая значимость результатов диссертации определяется следующими обстоятельствами. Разработка и применение микроскопического метода совместного исследования кинетических и флуктуационных процессов в конденсированных средах на примере движения электрона в поле кристаллической решетки позволяет выявить различные немарковские эффекты (например, частотная зависимость коэффициента релаксации электрона-квазичастицы). Теоретический анализ этих эффектов, проведенный в диссертации, может оказаться полезным при объяснении результатов экспериментальных исследований, связанных с влиянием электрон-фононного взаимодействия на характеристики электронов-квазичастиц. Одновременный учет вклада в электронные процессы флуктуаций фононного поля и запаздывания электрон-фононного взаимодействия особенно важен при исследовании электронного транспорта в наноструктурах. Этим определяется прикладное значение работы для современной электроники, в частности, для наноэлектроники. Полученная в диссертации фононная

функция Грина, учитывающая нелинейный характер взаимодействия электронов по фононным переменным, может быть полезна при объяснении физических явлений, связанных с многофононными процессами.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

1. Последовательная статистическая теория движения электрона, взаимодействующего с фононным термостатом, позволяет:

построить микроскопическую модель кинетики пробной квазичастицы в фононном поле кристаллической решетки, единым образом учитывающую запаздывание электрон-фононного взаимодействия и влияние флуктуаций фононного поля на движение квазичастицы в невырожденных полупроводниках;

последовательно выделить два механизма фононной силы трения, обусловленные соответственно реакцией фононного поля на внешнее воздействие (электрон) и влиянием на электрон флуктуаций фононного поля, и получить выражение для обобщенной силы трения, которое, в отличие от феноменологического выражения, соответствующего марковскому приближению, содержит частотную зависимость, связанную с учетом запаздывания взаимодействия;

установить частотную зависимость времени релаксации импульса квазичастицы в случае ее малой (по сравнению со скоростью звука) скорости при высоких и низких температурах кристаллической решетки в переменном электрическом поле;

определить коэффициент фононной силы трения, действующей на пробную квазичастицу в квантовой точке.

2. Дисперсия коэффициента релаксации импульса медленно движущейся (по сравнению со скоростью звука) квазичастицы в области низких температур эффективно расширяет частотную зависимость проводимости в область высоких частот. В случае низкой температуры на низких частотах коэффициент релаксации импульса медленной квазичастицы пропорционален четвертой степени частоты, а на высоких частотах в зависимости от параметров кристалла может выходить на постоянное значение или достигать максимума, а затем падать как квадрат частоты.

3. Дисперсия коэффициента релаксации импульса быстрой квазичастицы в области высоких температур приводит к существенному

увеличению проводимости в области высоких частот по сравнению с ее значением, определяемым временем релаксации на нулевой частоте. Коэффициент релаксации при высокой температуре на нулевой частоте имеет конечное значение (пропорциональное скорости частицы), а затем с ростом частоты растет по параболическому закону, достигает максимума и падает как полуторная степень частоты.

4. Форма линии поглощения (излучения) электрона, находящегося в квантовой точке с параболическим профилем потенциала, оказывается несимметричной относительно собственной частоты колебаний электрона. Ширина линии монотонно увеличивается с ростом частоты электронного перехода и выходит на постоянное значение в области частот, на которых экранирование ядер решетки не существенно.

5. Анализ динамики непрерывно распределенных дислокаций, движение которых контролируется фононным трением, позволяет определить и описать возможные режимы движения дислокаций, формирующих в кристалле полосу скольжения, включая квазистационарные решения типа бегущей волны, нестационарные неоднородные распределения дислокационного заряда, автоволновые режимы динамики полосы скольжения, интерпретируемой как волна переключения плотности дислокаций.

Апробация работы. Диссертация выполнена в Нижегородском государственном педагогическом университете в период с 1993 по 2006 г. Основные положения и результаты работы докладывались на научно-преподавательских конференциях и семинарах кафедр теоретической физики НГПУ и ННГУ, на четвертой Нижегородской сессии молодых ученых (1999). Отдельные задачи и результаты, рассмотренные в диссертации, вошли в разработанный автором элективный курс "Моделирование физических явлений в конденсированных средах"для магистрантов-физиков НГПУ [10].

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 10 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Основные результаты опубликованы в 8 статьях в отечественных журналах, из них 3 статьи - в центральных журналах [1] -[3] и 5 статей - в рецензируемых сборниках [4] - [8].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, Приложения и списка литературы из 142

наименований. Объем диссертации составляет 166 страниц, включая 21 рисунок.

Краткое содержание работы

Во Введении рассматривается актуальность темы, кратко излагается содержание работы, формулируются ее цели и основные результаты, представленные к защите. Обсуждаются методы решения поставленных задач, описывается новизна и практическая значимость полученных результатов. Первая глава имеет методический характер и посвящена краткому изложению исходных положений, с помощью которых описываются флуктуационно-диссипационные процессы в открытых квантовых системах и на которых основано дальнейшее исследование. В разделе 1.1 приведены некоторые результаты нестационарной теории возмущений, опирающейся на формализм - матрицы. Определено используемое в дальнейшем понятие линейного и нелинейного откликов (функции Грина), возникающих в системе при наложении внешних сил (полей), и проанализированы их свойства. Введено понятие обобщенной восприимчивости. В разделе 1.2 представлено описание статистических свойств макроскопических систем с использованием временных и спектральных характеристик флуктуаций как в классической, так и в квантовой областях. Основу теории составляют флуктуационно-диссипационные соотношения и флуктуационно-диссипацион-ная теорема. В разделе 1.3 введено понятие гауссовых переменных и приведены их основные свойства.

Во второй главе получено стохастическое уравнение движения пробной квазичастицы с учетом запаздывания электрон-фононного взаимодействия [5], которое используется для решения задачи о релаксации импульса пробной квазичастицы в квантованном фононном поле кристаллической решетки. Анализ основан на микроскопической флу-ктуационно-диссипационной теории в одноэлектронном приближении. Основным механизмом рассеяния электронов считалось их взаимодействие с акустическими фононами. Раздел 2.1 представляет собой краткое содержание главы 2. В разделе 2.2 приведен вывод классических стохастических уравнений для нелинейных систем, взаимодействующих с гауссовым термостатом, с использованием основных положений микроскопической флуктуационно-диссипационной теории [4]. Классические уравнения переходят в известные квантовые [6*] на основе принципа соответствия. В разделе 2.3 в общем виде поставлена задача о движении пробной квазичастицы, взаимодействующей с диссипативным окружением во внешнем электрическом поле. Считалось, что свойства

квазичастиц-электронов при фиксированном положении ядер известны, а электрон может находиться в любом неравновесном состоянии. В этом случае наиболее важный механизм диссипации и флуктуаций при электронном переносе обусловлен взаимодействием электронов с колебаниями решетки - фононным термостатом.

Для решения поставленной задачи использовалось одноэлектронное приближение, при этом считалось, что невозмущенные фононные переменные подчиняются гауссовой статистике с корреляционной функцией М(к,<—¿1) и фононной функцией Грина С?(к,£—£1). В приближении эффективной массы получено квантовое стохастические уравнения с учетом запаздывания электрон-фононного взаимодействия, подобное уравнению Ланжевена, которое описывает как кинетику, так и флуктуации электрона [5]:

ГОО

х ^[ехр(гкг(£)),ехр(-гкг(<1))]++ М(к,£ - £1) х

х ^[ехр(гкг(£)),ехр(-гкг(£1))]_г7(£ - £1)) + е£,(£) +

где ей т - заряд и эффективная масса электрона, гу(4 — £1) - функция Хевисайда, Тг - постоянная Планка, -Е^(£) - внешнее однородное электрическое поле, - строго определенный флуктуационный источник, являющийся случайной величиной с равным нулю средним значением. С учетом принципа соответствия данное уравнение переходит в квазиклассическое стохастическое уравнение, описывающее транспорт классического электрона в квантовом поле кристаллической решетки. В разделе 2.4 предложена модель гамильтониана взаимодействия квазичастицы с решеткой в кулоновском виде с экранированием, что позволило рассматривать приближения большого и малого радиуса экранирования и, кроме того, эффективно включить в теорию коллективное влияние электронов на их взаимодействие с фононным полем решетки в одноэлектронном приближении. С учетом возможного отличия диэлектрической проницаемости остова решетки е от единицы, он переходит в предельных случаях в гамильтониан Фрелиха для ионных кристаллов или в гамильтониан взаимодействия электрона с длинноволновыми фо-нонами в ковалентных кристаллах, который дает теория деформационного потенциала. С использованием выбранного гамильтониана найдено выражение для функции Грина и коррелятора невозмущенных фонон-ных переменных [6]. В случае линейного взаимодействия по фононным

переменным, что справедливо при малом ангармонизме невозмущенных колебаний ядер решетки, функция Грина равна

G(k, t — ti) = sin Mk)(t - h)) Ф - h),

где

A2=f££lVM 1

\aire J MN

— константа электрон-фононного взаимодействия. Здесь >с — величина, обратная радиусу экранирования, и>3(к) - закон дисперсии s-й фонон-ной ветви, а - период решетки, ze - заряд ядра решетки, М - суммарная масса ядер в элементарной ячейке, N — число элементарных ячеек, kd = 7Г/а. Найдена спектральная плотность флуктуаций фононного поля, которая в соответствии с флуктуационно-диссипационной теоремой Каллена-Велтона определяется мнимой частью функции Грина

hiij к2 S( k,w) = ЯсШ(^)А2 * 2тг5(и>д(к) — и2), ¿i \k¿ -+- )

где Т - температура решетки. В разделе 2.5 получено выражение для среднего значения обобщенной фононной силы трения, действующей на пробную частицу в изотропном кристалле во внешнем слабом электрическом поле:

L(t-h) = ^^k2(G(kit-tl)^([exp(jkr(t)),exp(-ikr(h))]+) +

+ M(k,¿-í1)^([exp(¿kr(í)),exp(-¿kr(í1))]_)77(í-íi)). (2)

Введен обобщенный коэффициент фононной силы трения 7(cj):

= L(cü) - L(0), (3)

принципиальное отличие которого от феноменологического заключается в его частотной зависимости. Полученный обобщенный коэффициент фононной силы трения определенным образом учитывает запаздывание электрон-фононного взаимодействия, причем его действительная часть определяет время релаксации импульса электрона, а мнимая часть - поправку к массе квазичастицы, в общем случае зависящую от частоты.

Выражение (2) позволяет исследовать временную и частотную зависимости среднего значения фононной силы трения для различных параметров задачи. Получено выражение для среднего значения фононной

силы трения для случая, когда скорость электрона V мало меняется на временах, определяющих запаздывание взаимодействия:

1 Х2к4 eos2 в Г . ,IN hk2 L(T) = +*»)»„,(*) C0S2^r+ ^

+ eosws(fc)r sin~—r cth^f 1 r](r)exp(¿A:Vrcos0).

2m 2i J

Здесь 0 - угол между направлением движения электрона и импульсом фонона. Получен коэффициент релаксации импульса быстрой квазичастицы (скорость которой больше скорости звука в конденсированной среде с) в случае высоких температур решетки без учета запаздывания электрон-фононного взаимодействия. Сопоставление полученного результата с коэффициентом релаксации в методе деформационного потенциала в случае сильного экранирования дает выражение для константы деформационного потенциала через микроскопические параметры задачи

47Г ze2

а — э-.

>c¿a£ еа

В квазиклассическом приближении для предложенной в разделе 2.4 модели электрон-фононного взаимодействия получено выражение коэффициента фононной силы трения, действующей на медленный электрон (V с) в переменном электрическом поле [6]. Данное выражение позволяет выделить две составляющих фононной силы трения и исследовать особенности частотной и температурной зависимостей обобщенной фононной силы трения. Основные результаты главы 2 сформулированы в разделе 2.6.

Вопросы, рассмотренные в третьей главе, связаны с исследованием частотной и температурной зависимостей коэффициента релаксации импульса пробной частицы, взаимодействующей с фононным полем. После краткого введения (раздел 3.1) в разделе 3.2 получено выражение для коэффициента релаксации импульса медленной (по сравнению со скоростью звука) квазичастицы в переменном электрическом поле, позволяющее исследовать его частотную зависимость при высоких и низких температурах термостата. При низких температурах

о / ч fkd Jt к5 , \

ттХ2 k¡ ( 2 2ЛаЛ~1/2 6cjc {к2 + х2)2 V + тп )

где

тс ( Г 2Тчо Л

На низких частотах (когда со и>* ,соо, где и>* = 1тЦ-, с^о = хс) коэффициент релаксации пропорционален четвертой степени частоты. На частотах порядка или больше минимальной из частот и>*, шо дисперсионная зависимость существенно меняется. В случае и>о > и>* при и> > и>* коэффициент релаксации линейно растет с частотой, достигает максимума 7тах = 7гА2т2/12/12сх2 при штах ~ Ях2/2т и затем падает как и>~2. В обратном случае и>о < и* (2Ьх < тс) коэффициент релаксации при ш > ыо выходит на постоянное значение 7гА2/6с3 7тах, а при при и> > и>* также падает как о»-2. Обсуждается влияние дисперсии коэффициента релаксации импульса электрона на проводимость полупроводника в рамках теории Друде. Показано, что дисперсия коэффициента релаксации импульса медленного электрона в области низких температур эффективно расширяет зависимость реальной части проводимости аг (и) в область высоких частот.

Выявлены особенности расчета коэффициента релаксации медленной квазичастицы в переменном электрическом поле в квазиклассическом приближении [1]. Показано, что фононная сила трения, обусловленная только реакцией фононного поля на электрон, слабо зависит от температуры решетки через радиус экранирования потенциала ядер решетки и имеет сильно выраженную зависимость от частоты. Исследована температурная зависимость коэффициента релаксации импульса электрона-квазичастицы с учетом воздействия на электрон флуктуа-ций фононного поля.

В разделе 3.3 изучена частотная зависимость коэффициента релаксации импульса быстрой (по сравнению со скоростью звука) квазичастицы при высоких и низких температурах термостата. Коэффициент релаксации при высокой температуре на нулевой частоте имеет конечное значение (пропорциональное скорости частицы), а затем с ростом частоты растет по параболическому закону. При и ~ тУ2/2Н (но и < Нк2,/2т) рост замедляется (Яеу а и1/2). Наконец, при штах ~ ~ Ьх2/2т коэффициент релаксации достигает максимума и затем падает как ы-3/2. Показано, что дисперсия коэффициента релаксации импульса быстрого электрона в области высоких температур приводит к увеличению проводимости по сравнению с сгг0 (и>), определяемым временем релаксации на нулевой частоте, в области высоких частот.

В разделе 3.4 исследованы особенности дрейфа квазичастицы во внешнем постоянном электрическом поле, определяемые ее взаимодействием с акустическими и оптическими фононами. Показано, что в случае рассеяния на акустических фононах дрейфовая скорость квазичастицы в сильном внешнем поле растет пропорционально корню квадратному из напряженности поля. Такая зависимость является весьма типичной для полупроводников в сильных электрических полях. В полярных кристаллах наибольший интерес представляет расчет другой составляющей постоянной силы трения, обусловленной рассеянием на оптических фононах. В случае рассеяния квазичастицы на оптических фононах частоты П сила растет пропорционально дрейфовой скорости при У,1г < V*, где V* = (2Ш/т)1/2. При > V*, когда частица может излучать и поглощать оптические фононы, рост силы становится существенно более быстрым, но уже при У^г ^ ЗУ* этот рост насыщается.

В разделе 3.5 проведено исследование высокочастотных свойств фононного трения и диссипации энергии электрона, находящегося в квантовой точке с параболическим профилем потенциала и взаимодействующего с фононным полем [7]. При анализе особенностей фононного трения учитывалась только реакция фононного поля, определяющая запаздывание взаимодействия, что справедливо на относительно высоких частотах. Показано, что диссипация энергии электрона, находящегося в связанном состоянии и взаимодействующего с фононным полем, зависит от соотношения собственной частоты электрона и частоты ио, связанной с экранированием ядер решетки. Коэффициент затухания определяет смещение резонансной частоты колебаний электрона в квантовой точке относительно собственной частоты колебаний электрона . С увеличением частоты собственных колебаний электрона ы\ ширина линии поглощения увеличивается и становится максимальной при шх шо. Основные результаты главы 3 сформулированы в разделе 3.6.

В Приложении рассмотрен ряд эффектов фононной силы торможения, определяющей поведение другого вида квазичастиц - дислокаций в кристаллах. Исследована динамика непрерывно распределенных дислокаций, формирующих полосу скольжения в кристалле в приближении квазивязкого скольжения, обусловленного фононным трением. Показано, что в условиях, когда силой взаимодействия дислокаций можно пренебречь, а процессы их рождения и аннигиляции играют определяющую роль в динамике скопления, распределение плотности дислокаций может быть описано в рамках нелинейного уравнения Бюргерса. Найдены квазистационарные решения типа бегущей волны и нестационарные неоднородные распределения дислокационного заря-

да [2]. Построена автоволновая модель формирования полосы переключения скорости пластической деформации, основанная на нелинейной зависимости силы фононного торможения от скорости дислокаций [3]. динамики винтовых дислокаций, которая может быть использована для применения дислокаций в кристаллах [8].

В Заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты и выводы

1. Построена микроскопическая модель кинетики пробной квазичастицы в фононном поле кристаллической решетки, позволяющая единым образом учесть запаздывание электрон-фононного взаимодействия и влияние флуктуаций фононного поля на движение квазичастицы в невырожденных полупроводниках.

2. Проведено последовательное разделение двух составляющих фо-нонной силы трения, действующей на пробную частицу, которые обусловлены соответственно реакцией фононного поля на внешнее возмущение (движущийся электрон) и влиянием на электрон флуктуаций фононного поля. Получено выражение для обобщенной силы трения, которое, в отличие от феноменологического выражения, соответствующего марковскому приближению, содержит частотную зависимость, обусловленную запаздыванием взаимодействия.

3. Установлена частотная зависимость времени релаксации импульса квазичастицы в случае ее малой (по сравнению со скоростью звука) скорости при высоких и низких температурах кристаллической решетки в переменном электрическом поле. В наиболее важном случае низкой температуры на низких частотах коэффициент релаксации пропорционален четвертой степени частоты, а на высоких частотах в зависимости от параметров кристалла может выходить на постоянное значение или достигать максимума, а затем падать как квадрат частоты. В рамках теории Друде показано, что дисперсия коэффициента релаксации импульса медленной квазичастицы в области низких температур эффективно расширяет частотную зависимость проводимости в область высоких частот.

параболическому закону, достигает максимума и падает как полуторная степень частоты. Показано, что дисперсия коэффициента релаксации импульса быстрой квазичастицы в области высоких температур приводит к существенному увеличению проводимости в области высоких частот по сравнению с ее значением, определяемым временем релаксации на нулевой частоте.

5. Найдены аналитические выражения для силы торможения и скорости дрейфа квазичастицы во внешнем постоянном электрическом поле, определяемые ее взаимодействием с акустическими и оптическими фононами.

6. Найден асимптотический профиль линии поглощения излучения электроном, находящимся в квантовой точке и взаимодействующим с фононным полем кристаллической решетки в высокочастотном электрическом поле, и показано, что ширина линии монотонно увеличивается с ростом частоты электронного перехода и выходит на постоянное значение в области частот, на которых экранирование не существенно.

7. Определены возможные режимы движения непрерывно распределенных дислокаций, формирующих в кристалле полосу скольжения, контролируемого фононным трением, в том числе: квазистационарные решения типа бегущей волны, нестационарные неоднородные распределения дислокационного заряда, автоволновые режимы динамики полосы скольжения, интерпретируемой как волна переключения плотности дислокаций.

Список работ по теме диссертации

Ефремов Г.Ф., Мареева О.В., Воробьев Д.А.Статистическая теория фононной силы трения, действующей на электрон проводимости // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2005. Т. 48. №3. С. 249-268.

Мареева О.В., Сарафанов Г.Ф., Нагорных С.Н. Кинетические механизмы образования дислокационных скоплений // Физика металлов и металловедение. 1993. Т. 75. Вып. 4. С. 137-141.

Сарафанов Г.Ф., Мареева О.В., Нагорных С.Н. Полоса Чернова-Людерса как волна переключения // Физика металлов и металловедение. 1995. Т. 80. Вып. 2. С. 13-19.

Ефремов Г.Ф., Мареева О.В. Модель броуновского движения классического электрона в фононном термостате // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 1999. Вып. 1(20). С. 114-122.

[5] Ефремов Г.Ф., Мареева О.В., Воробьев Д.А. Броуновское движение электрона проводимости в фононном поле кристаллической решетки // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2001. Вып. 1(23). С. 127-135.

[6] Ефремов Г.Ф., Мареева О.В., Воробьев Д.А., Шарков В.В. Статистическая теория радиационной силы трения электрона в фотонном и фононном полях // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). Т. 2. Н. Новгород. 2003. С. 5-41.

[7] Ефремов Г.Ф., Мареева О.В., Воробьев Д.А. К теории фононной силы трения //Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. Вып. 1(27). С. 103-118.

[8] Сарафанов Г.Ф., Мареева О.В. Полевые модели динамики дислокаций в кристаллах // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. Вып. 1(27). С. 95-102.

[9] Ефремов Г.Ф., Мареева О.В. Броуновское движение классического электрона, взаимодействующего с фононным термостатом в высокочастотном электрическом поле. Четвертая нижегородская школа молодых ученых. Сборник тезисов докладов. Секция физики. Н. Новгород. 1999. С. 115.

[10] Мареева О.В. Программа элективного курса "Моделирование физических явлений в конденсированных средах"// Материалы по теории и методике обучения физике. Вып. 4. Н. Новгород: Изд-во НГПУ. 2004. С. 3-7.

Список цитированной литературы

[1*] Rammer J. Quantum transport theory. Reading, Massachusetts: Perseus Books. 1998. P. 377-410.

[2*] Максимов Е.Г., Саврасов Д.Ю., Саврасов С.Ю. Электрон-фононное взаимодействие и физические свойства металлов // УФН. 1997. Т. 167. JV« 4. С. 353-376.

[3*] Гантмахер В.Ф. Электроны в неупорядоченных средах. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. 2005.

[4*] Гантмахер В.Ф., Левинсон И.Б. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках. М.: Наука. 1984.

[5*] Janseen N., Zwerger W. Nonlinear transport of polarons // Phys. Rev. B. 1995. V.52. N13. P.9406-9417.

[6*] Ефремов Г.Ф., Смирнов А.Ю. К микроскопической теории флуктуа-ций квантовых систем, взаимодействующих с гауссовым термостатом // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. С. 1Ù71-1086.

[7*] Ефремов Г.Ф. Стохастические уравнения для открытых квантовых систем. Горький: Изд-во ГГУ. 1982. 120 с.

[8*] Швингер Ю. Броуновское движение квантового осциллятора. Сб. статей.

М.: ИЛ. 1962. С. 96-167. [9*] Senitzky R. Phys. Rev. 1960. V. 119. P. 670-679; Ibid: 1961. V. 124. P. 642650.

[10*] Абрикосов А.А. Основы теории металлов. M.: Наука. 1987.

[11*] Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой

теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз. 1962. [12*] Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Мир. 1967.

[13*] Ford G.F., Lewis J.T., O'Connell R.F. Quantum Langevin equation // Phys.Rev.A. 1988. V.37. N11. P.4419-4428.

[14*] Eckern U., Schon G., Ambegaokar V. Quantum dynamics of a superconducting tunnel junction // Phys. Rev. B. 1984. V. 30. №11. P. 6419-6431.

[15*] Efremov G.F., Mourokh L.G., Smirnov A.Yu. Noise-induced relaxation of quantum oscillator interacting with a thermal bath // Phys. Lett. A. 1993. V. 175. P. 89-92.

[16*] Судзуки Т., Есинага Ч., Такеути С. Динамика дислокаций и пластичность. М.: Мир. 1989.

МАРЕЕВА Ольга Владимировна

ДИСПЕРСИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ФОНОННОГО ТРЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ

Автореферат

Подписано к печати 09.10.2006 г. Формат 60 х 901/хб- Бумага офсетная №1. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ №119(2006).

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 Н. Новгород, ул. Ульянова, 46

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мареева, Ольга Владимировна

Введение

1 Описание флуктуационно-диссипационных процессов в конденсированных средах

1.1 Отклик (функция Грина) и обобщенные восприимчивости в теории электронного транспорта.

1.2 Связь диссипативных и флуктуационных характеристик в конденсированной среде.

1.3 Свойства гауссова термостата, используемые для анализа кинетики пробных квазичастиц.

1.4 Выводы.

2 Стохастическое уравнение движения пробной квазичастицы с учетом запаздывания электрон-фононного взаимодействия

2.1 Введение.

2.2 Вывод немарковских уравнений движения нелинейной динамической подсистемы (квазичастицы).

2.3 Стохастическое уравнение движения пробной квазичастицы в фононном термостате

2.4 Гамильтониан электрон-фононного взаимодействия. Функция Грина (отклик) и коррелятор фононного поля.

2.5 Релаксация импульса пробной частицы с учетом запаздывания электрон-фононного взаимодействия.

2.5.1 Обобщенный коэффициент фононной силы трения

2.5.2 Квантовая модель. Предельный переход к нулевой частоте

2.5.3 Квазиклассическое приближение.

2.6 Выводы.

3 Дисперсия времени релаксации импульса электрона

3.1 Введение.

3.2 Частотная зависимость коэффициента релаксации медленного электрона.

3.2.1 Низкие температуры кристаллической решетки

3.2.2 Высокие температуры кристаллической решетки

3.2.3 Квазиклассическое приближение.

3.3 Частотная зависимость коэффициента релаксации быстрого электрона

3.3.1 Высокие температуры кристаллической решетки

3.3.2 Низкие температуры кристаллической решетки

3.4 Зависимость подвижности электрона от напряженности постоянного электрического поля.

3.5 Особенности частотной зависимости восприимчивости электрона в квантовой точке.

3.6 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Дисперсионные эффекты фононного трения электронов в конденсированных средах"

Проблема взаимодействия электронов с фононным полем решетки продолжает оставаться одной из наиболее актуальных в физике конденсированного состояния [1]- [3]. Интерес к данной проблеме связан с ролью электрон-фононного взаимодействия в описании таких фундаментальных физических явлений, как процессы переноса в упорядоченных и неупорядоченных средах, флуктуации, сверхпроводимость, динамика дислокаций. Являясь основным механизмом диссипативных и флуктуа-ционных процессов в твердом теле, электрон-фононное взаимодействие определяет характеристики электронов-квазичастиц, ведет к диссипации их импульса и энергии, изменению закона дисперсии электронов, флук-туациям плотности тока и т.д. Сложность и разнообразие возникающих при этом задач диктует поиск новых моделей, удобных для использования в той или иной физической ситуации.

Цель данной работы состоит в исследовании эффектов фоногшого трения электронов-квазичастиц в конденсированных средах с учетом воздействия на электрон флуктуаций фононного поля и запаздывания электрон-фононного взаимодействия на основе микроскопической флук-туационно-диссипационной теории. Предложена и изучена модель, основанная на концепции пробной квазичастицы и позволяющая вычислять частотные зависимости времени релаксации импульса электрона (вследствие его взаимодействия с фононами) в ковалентных и ионных полупроводниковых кристаллах в достаточно широком диапазоне температур, скоростей и амплитуд внешнего постоянного и переменного электрического поля. Мы ограничились подробным анализом средних характеристик пробной квазичастицы, хотя полученное стохастическое уравнение в рамках предложенной модели позволяет рассчитывать статистические характеристики шумов в полупроводниках, в том числе негауссовы флуктуации скорости и эффекты высших корреляций, связанные с запаздыванием электрон-фононного взаимодействия.

Обычно при изучении кинетики носителей тока используется уравнение Больцмана, при этом вероятности элементарных актов рассеяния вычисляются на основе теории возмущений [4]- [6]. Во втором порядке теории возмущений эта методика позволяет исследовать дисперсию коэффициента релаксации импульса [7]. В частности, данный подход широко применяется при изучении вопросов проводимости в полупроводниках и полупроводниковых сверхрешетках [8]- [11]. В последнее время, однако, проявляется также повышенный интерес к задачам, где в той или иной мере нарушаются условия применимости указанных подходов.

Так, если характерное время элементарного акта рассеяния (время столкновения тс) нельзя считать бесконечно малым, т.е. импульс частицы за это время существенно изменяется, то нарушается лежащее в основе кинетического уравнения марковское приближение и становится необходимым учет запаздывания электрон-фононного взаимодействия. Учет запаздывания требуется для расчета наблюдаемых в экспериментах частотных зависимостей коэффициента релаксации импульса и эффективной массы носителей [12]. Особенно актуальной данная задача становится в связи с быстрым освоением коротковолновой части инфракрасного диапазона длин волн [13], что приводит к необходимости ее рассмотрения также применительно к полупроводникам, для которых анализ частотных зависимостей коэффициента релаксации импульса ранее практически не проводился.

Если константа электрон-фононного взаимодействия достаточно велика, то, кроме марковского приближения, нарушаются также условия применимости стандартной теории возмущений. Примером подобной ситуации является формирование автолокализованного состояния электрона (полярона) в ионных кристаллах. Для изучения проблемы полярона

Фейнманом с соавторами была предложена модель, основанная на использовании интегрирования по траекториям [14]- [16]. Данная модель впоследствии активно развивалась применительно к проблеме нелинейного транспорта поляронов [17]. В настоящее время интегрирование по траекториям стало одним из наиболее широко применяемых методов при изучении электронного транспорта [1].

Другой метод, особенно широко применяемый при изучении металлов, - это многочастичная теория электрон-фононного взаимодействия, описывающая как нормальное, так и сверхпроводящее состояние металла [18]- [21]. В рамках этого подхода все эффекты, связанные с элек-трон-фононным взаимодействием, выражаются в конечном итоге через так называемые спектральные плотности электрон-фононного взаимодействия. Одна из них, а именно функция Элиашберга, описывающая изменение одночастичных свойств электронов в нормальном состоянии и фононный вклад в сверхпроводимость, может быть определена экспериментально [22]. Определение функции Элиашберга имеет, однако, некоторые ограничения, поэтому актуальным является вычисление спектральной плотности электрон-фононного взаимодействия в рамках последовательного микроскопического подхода [2]. В соответствующих расчетах используются различные феноменологические модели и методы, например, метод функционала плотности [23] (который в его стандартной форме предназначен для описания свойств только основного состояния взаимодействующих систем), метод зависящего от времени функционала плотности [24], теория ферми - жидкости Ландау [25], [26]. Для нас эти расчеты представляют интерес возможностью сравнения дисперсионных зависимостей коэффициента релаксации и эффективной массы электронов в металлах с результатами, получающимися с помощью развиваемого нами статистического подхода для полупроводников.

Следует заметить, что методы, связанные с использованием функций Грина и диаграммной техники, а также интегрирования по траекториям, требуют очень громоздких расчетов. Кроме того, с их помощью трудно в явном виде учитывать флуктуации кристаллической решетки. Используемый нами подход, основанный на концепции пробной частицы, позволяет определить времена релаксации квазичастицы и, соответственно, кинетические коэффициенты, ограничившись весьма простым математическим аппаратом. В рамках традиционного подхода в теории электрон-фононного рассеяния указанная концепция наиболее последовательно использовалась в монографии Гантмахера и Левинсона [6]. Там же детально проанализирована роль экранирования в задачах рассеяния и проведено разделение возмущения кристаллического потенциала на макрополе и микрополе. Поэтому в методическом отношении наша модель опирается на работу [6], но вместо теории возмущений первого порядка для матричных элементов рассеяния мы используем усредненное уравнение Ланжевена для пробной квазичастицы, что позволяет учесть запаздывание взаимодействия и найти частотные зависимости коэффициента релаксации импульса.

Что касается слагаемого, описывающего взаимодействие квазичастицы с решеткой в гамильтониане, он выбран в кулоновском виде с экранированием и, с учетом возможного отличия диэлектрической проницаемости остова решетки от единицы, переходит в предельных случаях в гамильтониан Фрелиха (использованный, в частности, Фейнманом и его последователями при изучении транспорта поляронов [14]- [17]) или в обычный гамильтониан взаимодействия электрона с длинноволновыми фононами в ковалентных кристаллах, к которому приводит модель деформационного потенциала. Заметим, что в случае простой зонной структуры электронов модель деформационного потенциала [25], [28], [29] при вычислении времени релаксации на нулевой частоте приводит к результатам, совпадающим с теми, какие получаются из модели деформируемых ионов [27] или модели жестких ионов Нордгейма [31]- [33], но простота модели деформационного потенциала позволяет легко обобщать ее на более сложные случаи [34], [35].

При выводе стохастического уравнения движения пробной квазичастицы используется статистическая теория нелинейных открытых квантовых систем [36] - [39]. Данная теория, являясь обобщением линейной теории броуновского движения квантовых систем, развитой Ю.Швин-гером [40] - [42] и Р.Сеницким [43], [44], дополняет известные методы квантовой кинетики [6], [46] и квантовой теории поля [47] - [49], [ИЗ] возможностями одновременного совместного исследования кинетики и флуктуаций как в квазиравновесных, так и в неравновесных состояниях динамической подсистемы, в том числе и применительно к конденсированным средам [50] - [57]. В нашей задаче, как уже подчеркивалось, данный подход дает возможность не ограничиваться рамками марковского приближения, условием применимости которого является малость времени корреляции флуктуаций термостата (времени элементарного акта рассеяния тс) по сравнению со временем изменения импульса квазичастицы [5], [58] - [60]. Выход за рамки марковского приближения, таким образом, позволяет учитывать эффекты запаздывания электрон-фонон-ного взаимодействия, существенно влияющие на релаксацию [61], [62]. Естественно, что в связи с миниатюризацией электронных приборов [63] и развитием физики мезоскопических систем [64], [65] анализ немарковских кинетических и флуктуационных эффектов приобретает особую актуальность. В частности, значительное внимание теоретиков и экспериментаторов привлекает исследование электронного транспорта и флуктуаций в субмикронных полупроводниковых структурах [66] - [69].

Во всех рассматриваемых в настоящей работе задачах объектом изучения является система с малым числом степеней свободы, находящаяся в контакте с некоторой макроскопической системой, имеющей большое число степеней свободы и называемой далее термостатом. Таким образом, полная (замкнутая) физическая система подразделяется на две взаимодействующие части - динамическую подсистему и термостат, являющийся диссипативной подсистемой с заданным распределением по квантовым состояниям и температурой [70], [71]. Важно заметить, что при этом как релаксация, так и флуктуации динамических переменных обусловлены взаимодействием микроскопического объекта с диссипатив-ным окружением. Единство кинетических и флуктуационных процессов находит непосредственное отражение в линейных и нелинейных флукту-ационно-диссипационных соотношениях и теоремах [72] - [77]. Этими соотношениями особенно удобно пользоваться при расчете флуктуаций в состояниях, достаточно близких к состоянию термодинамического равновесия. С установлением флуктуационно-диссипационной теоремы получила разрешение проблема написания уравнения движения микросистемы в форме некоторого стохастического уравнения - динамического уравнения с флуктуационными источниками и параметрами - уравнения Ланжевена [78] - [80].

Заметим, что толчком к созданию теории флуктуаций послужило исследование явления броуновского движения, причем для исследования броуновского движения электрона проводимости в фононном термостате применялся метод уравнений Ланжевена. Различные квантовомеха-нические системы, взаимодействующие с термостатом, рассматривались в работах [36], [41] - [44], [81] - [93].

Анализ сильно неравновесных ситуаций требует развития микроскопического подхода к эволюции динамической подсистемы, взаимодействующей с термостатом. При разбиении замкнутой физической системы на динамическую подсистему и диссипативное окружение приходится жертвовать общностью, которой отличается флуктуационно-диссипаци-онная термодинамика, ради возможности изучения кинетики и флуктуаций малого числа степеней свободы в сильно неравновесном состоянии. Кроме этого, микроскопический подход требует более детальной информации о статистике, функциях отклика и функциях корреляции невозмущенных переменных термостата. Однако для многих механизмов релаксации, встречающихся в конкретных задачах, можно записать собственный гамильтониан термостата и, исходя из него, вычислить необходимые характеристики диссипативного окружения [72] - [77].

Существенным шагом в развитии микроскопического метода Ланже-вена явилась работа [37], где флуктуационные силы были выделены непосредственно из квантовых уравнений движения динамической подсистемы после процедуры исключения невозмущенных переменных диссипативного окружения. Как в работе [37], так и всюду в диссертационной работе статистика невозмущенных переменных термостата считается гауссовой, то есть термостат полностью характеризуется моментами второго порядка. Этому соответствует широкий круг физических задач. Гауссову статистику имеет, к примеру, квантованное фононное поле и квантованное электромагнитное поле (фотонный термостат), гауссовыми являются флуктуации операторов рождения и уничтожения фононов (при малом ангармонизме колебаний решетки). При этом, в силу нелинейности взаимодействия динамической подсистемы с термостатом, флуктуационные источники, входящие в микроскопические уравнения Ланжевена, будут описываться негауссовой статистикой. Точное выражение для флуктуа-ционных источников, полученное в [37], позволяет найти их корреляционные функции любого порядка.

Анализ проблемы взаимодействия электронов с фононным полем решетки требует в общем случае полевого подхода [39], [47]. В рассматриваемых в диссертационной работе задачах рассеяния электрона на колебаниях кристаллической решетки целесообразно воспользоваться более простым одноэлектронным подходом, а именно, концепцией пробной частицы. Если ввести в равновесный кристалл неравновесную пробную квазичастицу с импульсом р, то можно вычислить, с какой скоростью эта частица термализуется, точнее говоря, с какой скоростью различные ее характеристики (энергия или направленный импульс) приближаются к равновесным. Темп приближения к равновесию описывается временем релаксации т, которое зависит от импульса. Время релаксации имеет различный смысл в зависимости от того, какая характеристика пробной частицы анализируется, и позволяет оценить кинетические коэффициенты. В этом приближении можно определить такие характеристики квазичастицы-электрона, обусловленные его взаимодействием с фо-нонным полем решетки, как время жизни (затухание), закон дисперсии, в частности, эффективную массу. При этом характеристики электрона в отсутствие взаимодействия с фононами (например, закон дисперсии) считаются известными. Одночастичное приближение справедливо для невырожденного электронного газа в однородных полупроводниках и в различных мезоскопических структурах, когда в процессах проводимости принимает участие малое число носителей тока [94].

Другим видом квазичастиц в конденсированных средах, характеристики которых в значительной степени определяются фононным торможением, являются дислокации. Сложность и разнообразие эффектов, связанных с взаимодействий дислокаций-квазичастиц и фононного поля кристаллической решетки, делают актуальным применение флуктуаци-онно-диссипационная теории к исследованию этих эффектов. Как показывает выполненный в диссертации анализ механизмов фононного торможения, постановка задачи о взаимодействии дислокации-квазичастицы с фононным термостатом в рамках микроскопической флуктуационно-диссипационной теории является адекватной для- изучения подобных задач. Развитие последовательной микроскопической флуктуационно-дис-сипационной теории применительно к взаимодействию дислокаций с фононами кристаллической решетки является отдельной крупной проблемой, далеко выходящей за рамки настоящей работы. Перед нами стояла здесь задача проанализировать некоторые механизмы и эффекты фонон-ного торможения дислокаций в кристаллах, а также наметить возможные пути подхода к развитию указанной теории. В частности, в заключительном разделе диссертации - Приложении - исследуется динамика непрерывно распределенных дислокаций, формирующих полосу скольжения в кристалле в приближении квазивязкого скольжения, обусловленного фононным трением, а также эффекты динамики дислокационных скоплений в условиях нелинейного фононного торможения.

В диссертации предлагается модель, позволяющая находить релаксационные характеристики и поправки к закону дисперсии пробной частицы в конденсированной среде. Выполнен микроскопический вывод стохастических уравнений для квазичастицы, находящейся в контакте с диссипативным окружением в присутствии внешней детерминированной силы, с учетом запаздывания взаимодействия и флуктуаций фононного поля. Полученные уравнения используются, в частности, для исследования фононной силы трения, действующей на пробную квазичастицу в конденсированных средах. Актуальность данной проблемы определяется как современным развитием экспериментальных возможностей, когда становится реальным наблюдение флуктуационных и кинетических эффектов, обусловленных конечностью времени корреляции флуктуаций термостата, так и развитием теоретических моделей (последовательный учет статистики, немарковских эффектов, упрощение, где это возможно, математического аппарата).

Решению перечисленных выше проблем и посвящена диссертационная работа, основные цели которой можно сформулировать следующим образом:

1. Построение микроскопической модели кинетики пробной частицы в фононном термостате, позволяющей единым образом учесть релаксационные и флуктуационные процессы, в том числе запаздывание электрон-фононного взаимодействия и влияние флуктуаций фононного поля.

2. Теоретическое исследование частотной и температурной зависимостей коэффициента релаксации импульса квазичастицы, определяющего фононное трение в случае слабого периодического внешнего электрического поля.

3. Исследование динамики непрерывно распределенных дислокаций в кристаллах с учетом фононного трения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

4. Выявлены частотная и температурная особенности фононного трения, обусловленного реакцией фононного поля на внешнее возмущение.

5. Найдена температурная зависимость коэффициента релаксации электрона-квазичастицы с учетом воздействия на электрон флук-туаций фононного поля. Показано, что в случае предельно низких температур электрон-фононное взаимодействие имеет чисто квантовый характер и релаксация импульса определяется флуктуация-ми фононного поля.

6. Выявлены особенности частотной зависимости формы линии поглощения излучения электроном, находящимся в квантовой точке и взаимодействующим с фононным полем кристаллической решетки в высокочастотном электрическом поле.

7. Исследована динамика непрерывно распределенных дислокаций, формирующих в кристалле полосу скольжения, контролируемого фононным трением. Найдены квазистационарные решения типа бегущей волны и нестационарные неоднородные распределения дислокационного заряда. В условиях нелинейной зависимости силы фононного торможения от скорости дислокаций построена автоволновая модель формирования полосы скольжения, интерпретируемой как волна переключения плотности дислокаций.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Последовательная статистическая теория движения электрона, взаимодействующего с фононным термостатом, позволяет: построить микроскопическую модель кинетики пробной квазичастицы в фононном поле кристаллической решетки, единым образом учитывающую запаздывание электрон-фононного взаимодействия и влияние флуктуаций фононного поля на движение квазичастицы в невырожденных полупроводниках; последовательно выделить два механизма фононной силы трения, обусловленные соответственно реакцией фононного поля на внешнее воздействие (электрон) и влиянием на электрон флуктуаций фононного поля, и получить выражение для обобщенной силы трения, которое, в отличие от феноменологического выражения, соответствующего марковскому приближению, содержит частотную зависимость, связанную с учетом запаздывания взаимодействия; установить частотную зависимость времени релаксации импульса квазичастицы в случае ее малой (по сравнению со скоростью звука) скорости при высоких и низких температурах кристаллической решетки в переменном электрическом поле; определить коэффициент фононной силы трения, действующей на пробную квазичастицу в квантовой точке.

3. Дисперсия коэффициента релаксации импульса быстрой квазичастицы в области высоких температур приводит к существенному увеличению проводимости в области высоких частот по сравнению с ее значением, определяемым временем релаксации на нулевой частоте. Коэффициент релаксации при высокой температуре на нулевой частоте имеет конечное значение (пропорциональное скорости частицы), а затем с ростом частоты растет по параболическому закону, достигает максимума и падает как полуторная степень частоты.

5. Анализ динамики непрерывно распределенных дислокаций, движение которых контролируется фононным трением, позволяет определить и описать возможные режимы движения дислокаций, формирующих в кристалле полосу скольжения, включая квазистационарные решения типа бегущей волны, нестационарные неоднородные распределения дислокационного заряда, автоволновые режимы динамики полосы скольжения, интерпретируемой как волны переключения плотности дислокаций.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и Приложения. Во Введении рассматривается актуальность темы, кратко излагается содержание работы, формулируются ее цели и основные результаты, представленные к защите. Обсуждаются методы решения поставленных задач, описывается новизна и практическая значимость полученных результатов.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

4 Выводы

• Анализ динамики непрерывно распределенных дислокаций в приближении квазивязкого скольжения, обусловленного фононным трением, позволяет описать формирование и распространение дислокационных скоплений и полос скольжения дислокаций в кристаллах.

• Показано, что в условиях, когда силой взаимодействия дислокаций можно пренебречь, а процессы их рождения и аннигиляции играют определяющую роль в динамике скопления, распределение плотности дислокаций может быть описано в рамках нелинейного уравнения Бюргерса. Найдены квазистационарные решения типа бегущей волны и нестационарные неоднородные распределения дислокационного заряда. Обсуждена возможность реализации полученных решений в эксперименте.

• В условиях нелинейной зависимости силы фононного торможения от скорости дислокаций построена автоволновая модель формирования полосы скольжения, интерпретируемой как волна переключения плотности дислокаций.

• Сложность и разнообразие эффектов, связанных с взаимодействием дислокаций-квазичастиц и фононного поля кристаллической решетки, делают весьма актуальным применение флуктуационно-диссипационной теории к исследованию этих эффектов. На основе проведенного анализа механизмов фононного торможения показано, что постановка задачи о взаимодействии дислокации - квазичастицы с полем фононного термостата в рамках микроскопической флу-ктуационно-диссипационной теории является адекватной для изучения подобных проблем. При этом могут быть использованы развитые ранее методы, включающие гамильтониан взаимодействия дислокации с фононным полем, а также полезные для дальнейших обобщений способы квантования упругого поля дислокаций, в частности, полевая модель динамики винтовых дислокаций.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты диссертации:

2. Проведено последовательное разделение двух составляющих фо~ нонной силы трения, действующей на пробную частицу, которые обусловлены соответственно реакцией фононного поля на внешнее возмущение (движущийся электрон) и влиянием на электрон флуктуаций фононного поля. Получено выражение для обобщенной силы трения, которое, в отличие от феноменологического выражения, соответствующего марковскому приближению, содержит частотную зависимость, обусловленную запаздыванием взаимодействия.

3. Установлена частотная зависимость времени релаксации импульса квазичастицы в случае ее малой (по сравнению со скоростью звука) скорости при высоких и низких температурах кристаллической решетки в переменном электрическом поле. В наиболее важном случае низкой температуры на низких частотах коэффициент релаксации пропорционален четвертой степени частоты, а на высоких частотах в зависисмости от параметров кристалла может выходить на постоянное значение, или достигать максимума, а затем падать как квадрат частоты. В рамках теории Друде показано, что дисперсия коэффициента релаксации импульса медленной квазичастицы в области низких температур эффективно расширяет частотную зависимость проводимости в область высоких частот.

4. Найдена частотная зависимость коэффициента релаксации импульса квазичастицы в случае ее высокой (по сравнению со скоростью звука) скорости при высоких и низких температурах кристаллической решетки. Коэффициент релаксации при высокой температуре на нулевой частоте имеет конечное значение (пропорциональное скорости частицы), а затем с ростом частоты растет по параболическому закону, достигает максимума и падает как полуторная степень частоты. Показано, что дисперсия коэффициента релаксации импульса быстрой квазичастицы в области высоких температур приводит к существенному увеличению проводимости в области высоких частот по сравнению с ее значением, определяемым временем релаксации на нулевой частоте.

7. Определены возможные режимы движения непрерывно распределенных дислокаций, формирующих в кристалле полосу скольжения, контролируемого фононным трением, в том числе: квазистационарные решения типа бегущей волны, нестационарные неоднородные распределения дислокационного заряда, автоволновые режимы динамики полосы скольжения, интерпретируемой как волны переключения плотности дислокаций.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Мареева, Ольга Владимировна, Нижний Новгород

1. Rammer J. Quantum transport theory. Reading, Massachusetts: Perseus Books. 1998. P.377-410.

2. Максимов E.Г.,Саврасов Д.Ю., Саврасов С.Ю. Электрон фонон-ное взаимодействие и физические свойства металлов // УФН. 1997. Т.167. №4. С.353-376.

3. Гантмахер В.Ф. Электроны в неупорядоченных средах. М.: ФИЗ-МАТЛИТ. 2005.

4. Влатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир. 1971.

5. Конуэлл Э. Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях. М.: Мир. 1970.

6. Гантмахер В.Ф., Левинсон И.Б. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках. М.: Наука. 1984.

7. Allen Р.В. Electron-phonon effects in the infrared properties of metals // Phys. Rev. B. 1971. V.3. N2. P.305-320.

8. Эпштейн Э.М. Воздействие сильной электромагнитной волны на электронные свойства полупроводников // Изв.ВУЗов Радиофизика. 1975. Т.18, №6. С.785-811.

9. Каган В.Д. Влияние кулоновской корреляции на прыжковую проводимость // ФТТ. 2000. Т.42, вып.5. С.805-808.

10. Кулеев И.Г. Нормальные процессы рассеяния квазичастиц и кинетические эффекты в полупроводниках с вырожденной статистикой носителей тока // ФТТ. 2002. Т.44, вып.2. С.215-225.

11. И. Романов Ю.А. О дифференциальной проводимости полупроводниковых сверхрешеток // ФТТ. 2002. Т.45, вып.З. С.529-534.

12. Rotter L.D., et al. Dependence of the infrared properties of singledomain УВа2СщОт^у on Oxigen content // Phys. Rev. Lett. 1991. V.67. N19. P.2741-2745.

13. Горшунов Б.П., Прохоров А.С., Спектор И.Е., Волков А.А. Субмиллиметровая спектроскопия материалов с коррелированными электронами // Изв.ВУЗов Радиофизика. 2005. Т.48. N10-11. С.926-932.

14. Feynman R.P. // Phys.Rev. 1955. V.97. Р.660.

15. Feynman R.P., Hellwarth R.W., Iddings С.К., Platzman P.M. Mobility of slow electrons in a polar crystal // Phys.Rev. 1962. V.127. N4. P.1004-1017.

16. Thornber K.K., Feynman R.P. Velocity acquired by an electron in a finite electric field in a polar crystal // Phys.Rev. B. 1970. V.l. N10. P.4099-4114.

17. Janseen N., Zwerger W. Nonlinear transport of polarons // Phys. Rev. B. 1995. V.52. N13. P.9406-9417.

18. Scalapino D.J. In: Superconductivity. Vol.1. Ed. R.D.Parks. New York: Dekker. 1969. P.449-468.

19. Rainer D. In: Progress in Low Temperature Physics. Ed. D.F.Brewer. Amsterdam: Elsevier. 1986. P.371-385.

20. Allen P.B., Mitrovic B. In: Solid State Physics. Vol.37. Eds. F.Zeitz, D.Turnbull, H. Ehrenreich. New York: Acad.Press. 1982. P.l-24.

21. Долгов O.B., Максимов Е.Г. Труды ФИАН. 1983. Т.148. Вып. 3.

22. McMillan W.L., Rowell J.M. In: Superconductivity. Vol.1 Ed. R.D.Parks. New York: Dekker. 1969. P.561-578.

23. Lundqvist S., March S.N., Eds. Theory of the Inhomogeneous Electron Gas. New York: Plenum Press. 1983. Рус.пер. под ред. Д.А.Киржница, Е.Г.Максимова. М.: Мир. 1987.

24. Gross E.K.U., Dobson J.F., Petersilka M. In: Density Functional Theory. Ed. R.F.Nalewaiski. Berlin: Springer Series, Topics in Current Chemistry. 1996. P. 71.

25. Пайнс Д., Нозьер П. Теория квантовых жидкостей. М.: Мир. 1967.

26. Shulga S.V., Dolgov O.V., Maksimov E.G. Electronic states and optical spectra of HTSC with electron phonon coupling // Physica C. 1991. V.178. P.266-274.

27. Bloch F. // Zs. f. Phys. 1928. V.52. P.555.

28. Bardeen J., Shockley W. Deformation potential and mobilities in nonpolar crystals // Phys. Rev. 1950. V.80. P.72.

29. Дейген М.Ф., Пекар С.И. О состояниях электрона проводимости в идеальном гомеополярном кристалле // ЖЭТФ. 1951. Т.21. С.803.

30. Bardeen J., Pines D. // Phys. Rev. 1955. V.99. P. 1140.

31. Nordheim L. // Ann. d. Phys. 1931. (5) V.9. P.607.

32. Peterson E.L., Nordheim L.W. // Phys. Rev. 1937. V.51. P.355.

33. Пикус Г.Е. // ЖТФ. 1958. Т.28. С.2390.

34. Давыдов A.C. Теория твердого тела. М.: Наука. 1976. 640 с.

35. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука. 1978. 616 с.

36. Ефремов Г.Ф., Казаков В.А. К выводу нелинейного уравнения с флуктуирующими параметрами для открытой динамической подсистемы // Изв.ВУЗов Радиофизика. 1979. Т.22. С.1236-1245.

37. Ефремов Г.Ф., Смирнов А.Ю. К микроскопической теории флук-туаций квантовых систем, взаимодействующих с гауссовым термостатом // ЖЭТФ. 1981. Т.80. С.1071-1086.

38. Бочков Г.Н., Ефремов Г.Ф. Нелинейные стохастические модели процессов и систем. Горький: Изд-во ГГУ. 1978. 112 с.

39. Ефремов Г.Ф. Стохастические уравнения для открытых квантовых систем. Горький: Изд-во ГГУ. 1982. 120 с.

40. Schwinger J.J. Browinian motion of a quantum oscillator // Math. Phys. 1961. V.2. N3. P.407.

41. Швингер Ю. Броуновское движение квантового осциллятора. Сб. статей. М.: ИЛ. 1962. С.96-167.

42. Мартин П., Швингер Ю. Теория систем многих частиц. Сб. статей. М.: ИЛ. 1962. С.7-95.

43. Senitzky R. Dissipation in quantum mechanics. The harmonic oscillator // Phys. Rev. 1960. V.119. P.670-679.

44. Senitzky R. Dissipation in quantum mechanics. The two-level system // Phys.Rev. 1963. V.131. P.2827-2838.

45. Senitzky R. Phys. Rev. 1961. V. 124. P.642-653.

46. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. M.: Наука. 1987.

47. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз. 1962.

48. Каданов Р., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. М.: Мир. 1964.

49. Келдыш JT.B. Диаграммная техника для неравновесных процессов // ЖЭТФ. 1964. Т.47. С.1515-1527.

50. Ford G.F., Lewis J.Т., O'Connell R.F. Quantum Langevin equation // Phys.Rev.A. 1988. V.37. N11. P.4419-4428.

51. Feynman R.P., Vernon F.L.,Jr. The theory of a general quantum system interacting with linear dissipative system // Ann.Phys.(N.Y.) 1963. V.24. P.118-173.

52. Caldeira A.O., Legget A.J. Quantum tunneling in dissipative system // Ann.Phys.(N.Y.) 1983. V.149. P.374-456,

53. Eckern U., Schon G., Ambegaokar V. Quantum dynamics of a superconducting tunnel junction // Phys. Rev. B. 1984. V.30. N11. P.6419-6431.

54. Legget A.J. The quantum mechanics of a macroscopic variable: some recent results and current issues. Proc.Int.Sch.Phys. "Enrico Fermi". Course 104. 1987., Bologna, Amsterdam. 1988. P.276-329.

55. Efremov G.F., Mourokh L.G., Smirnov A.Yu. Noise-induced relaxation of quantum oscillator interacting with a thermal bath // Phys. Lett. A. 1993. V.175. P.89-92.

56. Smirnov A.Yu. Generalized Bloch equations and dissipation of longitudinal magnetic field energy // Phys. Rev. E. 1997. V.56. P.1484-1489.

57. Smirnov A.Yu., Mourokh L.G. Electrophonon resonance and localization in a superlattice miniband // Phys.Lett.A. 1997. V.231. P.429-433.

58. Барейкис В., Катилюс P., Милюшите P. Флуктуациониые явления в полупроводниках в неравновесных условиях. Вильнюс: Москлас. 1989.

59. Бонч-Бруевич B.JL, Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука. 1990.

60. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука. 1979.

61. Fain В. Relaxation via spontaneous emission of bosons: non-Markovian approach // Phys.Rev.A. 1988. V.37. P.546-558.

62. White J.A., Velasco S. Non-Markovian effects on an anharmonic oscillator stochastically coupled to a thermal bath // Phys.Rev.A. 1989. V.40. P.3156-3168.

63. Пожела Ю.К. Физика быстродействующих транзисторов. Вильнюс: Москлас. 1989. 264 с.

64. Imry Y. Physics of mesoscopic systems // Com. Condensed Matter Phys. 1989. V14. N6. P.367-373.

65. Al'tshuler B.L., Levitov L.S., Yakovets A.Yu. Non-equilibrium noise in a mesoscopic conductor: microscopic analysis // Письма в ЖЭТФ. 1994. T.59. С.821-826.

66. Beenakker C.W.J., van Houten H. Quantum transport in semiconductor nanostructures // Solid State Phys.: Adv. Res. Appl. V.44. Boston. 1990. P. 1-228.

67. Datta S., McLennan M.J. Quantum transport in ultrasmall electronic devices // Rep.Prog.Phys. 1990. V.53. P.1003-1048.

68. Gefen Y., Entin-Wohlman 0. Noise spectrum and the fluctuation-dissipation theorem in mesoscopic rings // Ann.Phys. 1991. V.206. P.68-89.

69. Hwang S.W., Tsui D.C., Shayegan M. Charge transport in a low-disorder, low-density one-dimensional electron system // Phys.Rev.B. 1994. V.49. P.16441-16458.

70. Апанасевич П.А. Основы взаимодействия света с веществом. Минск: Наука и техника. 1977. 495 с.

71. Файн В.М. Фотоны и нелинейные среды. М.: Советское Радио. 1972. 472 с.

72. Callen Н.В., Welton Т.A. Irreversibility and generalized noise // Phys.Rev. 1951. V.83. P.34-40.

73. Ефремов Г.Ф. Флуктуационо-диссипационная теорема для нелинейных сред // ЖЭТФ. 1968. Т.55. С.2322-2333.

74. Стратонович P.JI. К квантовой теории нелинейных тепловых флук-туаций // ЖЭТФ. 1970. Т.58. С.1612-1622.

75. Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Флуктуационно диссипационные соотношения для неравновесных процессов в открытых системах // ЖЭТФ. 1979. Т.76. С.1071-1088.

76. Bochkov G.N., Kuzovlev Yu.E. Nonlinear fluctuation-dissipation relations and stochastic models in nonequilibrium thermodynamics I,II // Physica A. 1981. V.106. P.443-520.

77. Стратонович P.JI. Нелинейная неравновесная термодинамика. M.: Наука. 1985.

78. Левин M.Л., Рытов С.М. Теория равновесных тепловых флуктуа-ций в электродинамике. М.: Наука. 1967.

79. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. М.: Наука. 1975. 352 с.

80. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1982.

81. Могу H. Transport, collective motion and Brownian motion // Progr.Theor.Phys. 1965. V.33. P.423-455.

82. Могу H. A quantum statistical theory of transport processes // J.Phys.Soc.Japan. 1956. V.ll. P.1029.

83. Zwanzig R. Memory effects in irreversible thermodynamics // Phys.Rev. 1961. V.124. P.983-992.

84. Ефремов Г.Ф., Казаков В.А. Уравнение с флуктуирующими параметрами для открытой динамической системы // Изв.ВУЗов -Радиофизика. 1979. Т.22. С.458-461.

85. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем //

86. Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). 1980. Т.11. Вып.2. С.245-300.

87. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Введение в квантовую статистическую механику. М.: Наука. 1984.

88. Дягилев С.А., Цареградский В.Б. Неравновесные корреляционные функции флуктуационных сил в квантовой теории обобщенных уравнений Ланжевена // Изв.ВУЗов Радиофизика. 1981. Т.24. N3.

89. Дягилев С.А. О кинетическом уравнении для корреляционной функции квантовой системы, взаимодействующей с гауссовым термостатом // Изв.ВУЗов Радиофизика. 1982. Т.25. N12. С.1455-1463.

90. Лось В.Ф. Кинетические уравнения для подсистемы, взаимодействующей с термостатом, в неоднородном внешнем поле // ТМФ. 1989. Т.78. N3. С.434-443.

91. Петров Э.Г., Тесленко В.И. Кинетические уравнения для квантовой системы, взаимодействующей с термостатом и случайным полем // ТМФ. 1990. Т.84. N3. С.446-458.

92. Smirnov A.Yu., Mourokh L.G., Zheltov S.N. Quantum Brownian motion in small disordered rings: low temperature effects. In: Proc. 30th Workshop on Low-Temperature Physics. Part 2. Dubna (Russia). 1994. P.290-291.

93. Smirnov A.Yu., Mourokh L.G., Zheltov S.N. Nonlinear transport of a quantum particle in small dissipative systems. In: Proc. 30th Workshop on Low-Temperature Physics. Part 2. Dubna (Russia). 1994. P.292-293.

94. Mourokh L.G., Smirnov A.Yu. Brownian motion in submicron rings. In: "Quantum Dynamics of Submicron Structures". Eds. H.Cerdeira,

95. B.Kramer, and G.Schon. NATO ASI Sériés. 1995. V.291. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht. P.727-735.

96. Rammer J. Quantum transport theory of electrons in solids: a single-particle approach // Rev.Mod.Phys. 1991. V.63. P.781-817.

97. Ефремов Г.Ф., Мареева О.В., Воробьев Д.А.Статистическая теория фонониой силы трения, действующей на электрон проводимости // Изв. ВУЗов Радиофизика. 2005. Т.48. N3. С.249-268.

98. Мареева О.В., Сарафанов Г.Ф., Нагорных С.Н. Кинетические механизмы образования дислокационных скоплений // Физика металлов и металловедение. 1993. Т.75. Вып.4. С.137-141.

99. Сарафанов Г.Ф., Мареева О.В., Нагорных С.Н. Полоса Чернова-Людерса как волна переключения // Физика металлов и металловедение. 1995. Т.80. Вып.2. С.13-19.

100. Ефремов Г.Ф., Мареева О.В. Модель броуновского движения классического электрона в фононном термостате // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1999. Вып.1(20). С.114-122.

101. Ефремов Г.Ф., Мареева О.В., Воробьев Д.А., Шарков В.В. Статистическая теория радиационной силы трения электрона в фотонном и фононном полях // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). Т.2. Н.Новгород. 2003. С.5-41.

102. Ефремов Г.Ф., Мареева О.В., Воробьев Д.А. К теории фононной силы трения //Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. Вып. 1(27). С.103-118.

103. Сарафанов Г.Ф., Мареева О.В. Полевые модели динамики дислокаций в кристаллах // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. Вып. 1(27). С.95-102.

104. Мареева О.В. Программа элективного курса "Моделирование физических явлений в конденсированных средах"// Материалы по теории и методике обучения физике. Вып.4. Н.Новгород: Изд-во НГПУ. 2004. С.3-7.

105. Kirkwood J.G. // Journ. Chem. Phys. 1946. V.14. P.180.

106. Green M.S. // Journ. Chem. Phys. 1952. V. 20. P.1281.

107. Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. // J.Phys.Soc.Jap. 1957. V.12. P.570-586.

108. Kubo R. Brownian motion and nonequilibrium statistical mechanics // Science. 1986. V.233. P.330-334.

109. Gantsevich S.V., Gurevich V.L., Katilius R. Theory of fluctuations in nonequilibrium electron gas // Rivista del Nuovo Cimento. 1979. V.2, P. 1-87.

110. Барейкис В., Матуленис A., Пожела Ю. и др. Диффузия горячих электронов. Вильнюс: Москлас. 1981.

111. Barker J.R. Fundamental aspects of quantum transport // Handbook on semiconductors. ed. W.Paul. Amsterdam. ChllC. 1982. V.l. P.617-659.

112. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов.радио. 1961.

113. ИЗ. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Мир. 1967.

114. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука. 1972. 280 с.

115. Абрикосов А.А. Введение в теорию нормальных металлов. М.: Наука. 1972. 288 с.

116. Ефремов Г.Ф. Квантовая теория радиационного затухания релятивистского электрона // ЖЭТФ. 1996. Т.110. Вып.5(11). С.1629-1640.

117. Демиховский В.Я., Вугальтер Г.А. Физика квантовых низкоразмерных структур. М., Логос, 2000.

118. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. Киев.: Наукова думка. 1978. 220 с.

119. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат. 1972. 600 с.

120. Бойко B.C. Динамика плоских скоплений дислокаций. В кн.: Динамика дислокаций. Киев.: Наукова думка. 1975. с.161-168.

121. Владимиров В.И., Клявин О.В., Кусов A.A. Распределение дислокаций вблизи поверхности кристалла при пластической деформации // ФТТ. 1985. Т.27. Вып. 10. С.2926-2930.

122. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 736 с.

123. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 1973. 420 с.

124. Алыпиц В.И., Инденбом В.Л. Динамическое торможение дислокаций // УФН. 1975. Т.115. Вып.1. С.3-39.

125. Алышщ В.И., Малынуков А.Г. // ЖЭТФ. 1972. Т.63. С.1849.

126. Al'shits V.l., Sandler Yu.M. // Phys. State Sol. 1974. Ь64. P.45.

127. Ninomiya T. // Phys. Soc. Japan. 1974. V.36. P.399.

128. Фридель Ж. Дислокации. M.: Мир. 1967. 643 с.

129. Физическое металловедение. Вып.З. М.: Мир. 1968. 484 с.

130. Коттрелл А.Х. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Металлургиздат. 1958. 267 с.

131. Трефилов В.И., Моисеев В.Ф., Печковский Э.П. и др. Деформационное упрочнение и разрушение поликристаллических материалов. Киев: Наукова думка. 1987. 245 с.

132. Дударев Е.Ф. Микродинамическая деформация и предел текучести поликристаллов. Томск: Изд-во Томского ун-та. 1988. 256 с.

133. Jonston W.G. Yield point and delay times single crystals //J. Appl. Phys. 1962. V.33. N9. P.2716-2730.

134. Нагорных C.H., Сарафанов Г.Ф. Автоволновая модель эффекта Портевена-ЛеШателье // Изв. АН Металлы. 1993. Вып.З. С.199-204.

135. Судзукн Т., Есинага Ч., Такеути С. Динамика дислокаций и пластичность. М.: Мир. 1989. 296 с.

136. Frohlich Н., Pelzer Н., Zienau S. Properties of slow electrons in polar materials // Phil. Mag. 1950. V.41. P.221.

137. Frohlich H. Electrons in lattice fields // Adv. Phys. 1954. V.3. P.325.

138. Давыдов Б.И. // ЖЭТФ. 1937. T.7. C.1069.

139. Herring C. Effect of time-reversal symmetry on energy bands of crystals // Phys. Rev. 1937. V.52. P.361.

140. Борн M., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М., ИЛ, 1958.

141. Каганов М.И., Лифшиц И.М., Танагаров Л.В. // ЖЭТФ. 1956. Т.31. С.239.

142. Займан Дж. Электроны и фононы. М., ИЛ, 1962.