Ангармонические процессы рассеяния фононов и кинетические эффекты в кристаллах германия и кремния с изотопическим беспорядком тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Кулеев Иван Игоревич

АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ РАССЕЯНИЯ ФОНОНОВ И КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ ГЕРМАНИЯ И КРЕМНИЯ С ИЗОТОПИЧЕСКИМ БЕСПОРЯДКОМ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2005 г.

Работа выполнена в Институте физики металлов Уральского отделения РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Танкеев А П

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Никифоров А Е , доктор физико-математических наук, Б Н Филиппов,

Ведущая организация - Российский Научный Центр "Курчатовский

институт"

Защита состоится ^и-Л 2005 г в _|_Чч ¡2£. мин на заседании диссертационного совета Д 004 003 01 Института физики металлов УрО РАН по адресу 620041, г Екатеринбург, ул С Ковалевской, 18

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики металлов УрО РАН

Автореферат разослан _ ¿¿ и^^^МЛ _2005г Ученый секретарь диссертационного

совета, доктор физ -мат наук,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Интенсивное развитие полупроводниковых технологий в настоящее время требует поиска материалов с новыми физическими свойствами В связи с этим особую актуальность приобретает понимание на фундаментальном уровне физических процессов, происходящих в этих материалах Одной из важных проблем физики конденсированного состояния является исследование процессов электронного и фононного переноса в изотопически разупоря-доченных кристаллов германия кремния и алмаза Интерес к этим исследованиям стимулируется потребностями современной микроэлектроники, в которой широко используются эти полупроводниковые материалы Недавно были успешно выращены высококачественные монокристаллы германия и кремния с различным изотопным составом, включая химически уникально чистый кристалл с обогащением 99 99% по изотопу '°Ое [1] Экспериментальные исследования теплопроводности [1-2] этих кристаллов показали, что для моноизотопных образцов максимальные значения теп-

лопроводности на порядок выше, чем для кристаллов с природным изотопным составом Авторы [1] для описания теплопроводности кристаллов Ge с различной степенью изотопического обогащения воспользовались обобщенной моделью Каллавея (ОМК), в которой кинетическое уравнение для фонон-ной функции распределения не решалось а выражение для теплопроводности постулировалось в виде аддитивной суммы вкладов от продольных и поперечных фононов Предложенная модель позволила удовлетворительно описать экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов Ge с природным составом изотопов и со сравнительно невысокой степенью изотопического обогащения (до 70Се 96 3%) Однако для изотопически и химически чистых кристаллов 70Се (99 99%) в области максимума рассчитанные значения теплопроводности для ОМК [1] превосходили экспериментальные данные более, чем в 1 5 раза Введение дополнительного механизма рассеяния фононов на дислокациях не могло исправить ситуацию, так как концентрация последних, согласно [3], оказалась на четыре порядка меньше, чем требовалось в [2] для согласования рассчитанных и измеренных значений теплопроводности 70Ое(99 99%) в области максимума Дальнейшее развитие теории решеточной теплопроводности сдерживалось отсутствием корректного анализа роли ^процессов рассеяния фононов, принадлежащих различным колебательным ветвям Итак, первая проблема, которая рассматривается в данной работе, заключается в исследовании механизмов релаксации фононов в нормальных процессах рассеяния и их влияния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом

Другая проблема возникла в связи с интерпретацией экспериментальных данных термоэдс изотопически обогащенных кристаллов германия Дело в том, что экспериментальные исследования [4] показали двукратное увеличение абсолютных значений термоэдс при низких температурах в изотопически чистых кристаллах германия (70Се 99 99%) по сравнению с кристаллами

германия с природным составом изотопов Попытка объяснить изотопический эффект в термоэдс электрон-фононного увлечения в рамках теории Хер-ринга [5] оказалась неудачной, поскольку расчеты этого эффекта согласно теории Херринга [5] давали очень слабую зависимость 0^,(7) от изотопического состава кристаллов германия, что не соответствовало экспериментальным данным [4] Очевидно, что эффект значительного увеличения решеточной теплопроводности в изотопически чистых кристаллов германия, кремния и алмаза [1,2] связан с увеличением длины свободного пробега тепловых фо-нонов из-за уменьшения рассеяния на «примесных» изотопах Следовательно, уменьшение степени изотопического беспорядка должно приводить к увеличению абсолютных значений термоэдс фононного увлечения, которая явным образом зависит от длины свободного пробега

Третья проблема, которая решается в данной работе, заключается в расчете частот релаксации тепловых и высокочастотных фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка Дело в том что, при анализе теплопроводности и термоэдс электрон-фононного увлечения в рамках релаксационного метода [1,2,4-7] обычно используются выражения для частот релаксации фононов в Ы-процессах рассеяния, полученные в длинноволновом приближении = На>г 1кйТ «1 - энергия фонона с волновым вектором q и поляриза-

цией Л) Это приближение является вполне оправданным при расчете коэффициента поглощения длинноволнового ультразвука, а также термоэдс элек-трон-фононного увлечения, так как в полупроводниковых кристаллах электроны могут взаимодействовать только с длинноволновыми фононами Однако в решеточную теплопроводность кристаллов Ое и основной вклад вносят тепловые фононы с Поэтому длинноволновое приближение для

частот релаксации фононов не является корректным для расчета теплопроводности В рамках этого метода параметры, определяющие интенсивность ангармонических процессов рассеяния, являлись подгоночными параметрами теории, которые определялись из сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными [1,2,4-7] Для оценки вероятности ангармонических процессов рассеяния обычно использовалась модель изотропной среды Эта модель не является адекватной для кристаллов германия, кремния, алмаза и GaAs, имеющих кубическую симметрию с существенной анизотропией упругих модулей как второго, так и третьего порядков Поэтому актуальной проблемой для кубических кристаллов является расчет частот релаксаций в ангармонических процессах рассеяния, исходя из экспериментально определенных упругих модулей второго и третьего порядка

Учитывая сказанное выше, можно сформулировать цель данной работы Цель работы заключается в следующем а) исследовать влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния, а также изотопического беспорядка на теплопроводность и термоэлектрические явления в кристаллах германия и кремния с различным изотопическим составом, б) проанализировать

механизмы релаксации квазичастиц, определяющих зависимости кинетических эффектов в этих кристаллах от температуры и степени изотопического беспорядка, в) рассчитать частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи

1 Решить систему кинетических уравнений для функций распределения фо-нонов различных поляризаций Рассмотреть два возможных варианта нормальных процессов фонон-фононного рассеяния (механизмы Херринга и Саймонса) и исследовать влияние дрейфового движения фононов на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом

2 Определить механизмы релаксации фононов, эффективно ограничивающие максимальные значения теплопроводности в изотопически чистых кристаллах германия и кремния Определить оптимальный предел изотопического обогащения кристаллов германия и кремния для получения максимальных значений теплопроводности

3 Исследовать влияние изотопического беспорядка на термоэдс увлечения в кристаллах германия Проанализировать влияние дрейфового движения фононов на термоэдс увлечения кристаллов германия с различным изотопным составом

4 Рассчитать частоты релаксации фононов различных поляризаций в модели анизотропного континуума для кубических кристаллов германия, кремния, алмаза, и GaSb, исходя из экспериментально определенных упругих модулей второго и третьего порядка Проанализировать их зависимости от волнового вектора и температуры

5 Научная новизна работы. В работе получены следующие новые результаты

1 Дано обобщение теории Каллавея решеточной теплопроводности, последовательно учитывающее перераспределение импульса фононов в нормальных процессах рассеяния как внутри каждой колебательной ветви, так и между различными колебательными ветвями фононов Предложенная модель перераспределения импульса фононов в механизме Херринга позволила адекватно описать экспериментальные данные теплопроводности кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом

2 Показано, что нормальные процессы фонон-фононного рассеяния Херринга являются эффективным механизмом, ограничивающим максимальные значения теплопроводности в изотопически чистых кристаллах германия и кремния Установлено, что оптимальным пределом для получения максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния является изотопическое обогащение до 99 99% по одному из изотопов

3 Развита теория увлечения электронов фононами для невырожденных полупроводников, учитывающая особенности релаксации импульса в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния Показано, что изотопический эффект в термоэдс обусловлен дрейфовым движением фононной системы, которое сильно зависит от изотопического беспорядка в кристаллах

4 Получено выражение для ангармонической энергии кристаллов кубической симметрии, через вектора поляризаций, волновые вектора фононов и упругие модули второго и третьего порядка Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов, необходимые для перехода к модели изотропной среды

5 Рассчитаны частоты релаксации фононов различных поляризаций в ангармонических процессах рассеяния в широкой области изменения волновых векторов как для изотропной среды, так и для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза Из известных значений упругих модулей второго и третьего порядка найдены параметры, определяющие величины частот релаксации фононов различных поляризаций для рассмотренных кристаллов Показано, что их зависимости от волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в кубических кристаллах Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза, МЬ и GaSb в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, они имеют немонотонный характер с двумя максимумами, один из них находится в высокочастотной области Установлено, что обнаруженные особенности частот релаксации в кубических кристаллах обусловлены угловой зависимостью вероятности ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств

Научная и практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты позволили (а) дать корректное обобщение теории Каллавея решеточной теплопроводности, последовательно учитывающее перераспределение импульса фононов различных поляризаций в нормальных процессах рассеяния, (б) адекватно описать экспериментальные данные теплопроводности кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом, (в) объяснить изотопический эффект в термоэдс электрон-фононного увлечения в кристаллах германия Показано, что обобщенная модель Каллавея, которая ранее широко использовалась при интерпретации экспериментальных данных, является некорректной для описания теплопроводности кристаллов германия, кремния и алмаза

Практическая ценность заключается в определении оптимального предела изотопического обогащения кристаллов германия и кремния для получения максимальных значений теплопроводности Проведенный нами расчет частот релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния через упругие модули позволяет во-первых, избавиться от произвола, связанного с выбором подгоночных параметров теории при расчете теплопроводности этих кри-

сталлов, а во-вторых, найти коэффициенты поглощения как длинноволнового, так и коротковолнового ультразвука

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается использованием хорошо проверенных и апробированных современных методов теории кинетических явлений, строгой обоснованностью приближений и допущений, согласием рассчитанных зависимостей кинетических эффектов с известными экспериментальными данными, совпадением асимптотик и предельных переходов с известными ранее результатами

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на П-ом молодежном семинаре "Проблемы физики конденсированного состояния вещества" (г Среднеуральск 2001), на XIV Уральской международной зимней школе по физике полупроводников "Электронные свойства низкоразмерных полу- и сверхпроводниковых структур" (г Екатеринбург 2002г), на IX международном семинаре "Дислокационная структура и механические свойства металлов и сплавов» (г Екатеринбург 2002г) на XXXIII совещании по физики низких температур Екатеринбург, 2003, стр 251-252, на VI Российской конференции по физике полупроводников Санкт-Петербург, 2003, стр 64-64, на международной конференции «РЬэпош-2004» (Санкт-Петербург, 2004), на семинарах и научных сессиях Института Физики Металлов УрО РАН Екатеринбург

Личный ВКЛЙД автора Вошедшие в диссертацию результаты получены автором совместно с научным руководителем Танкеевым А П , а также с соавторами Кулевым И Г , Араповой И Ю , Талденковым А Н , Инюшкиным А В Ожогиным В И., Ито К, Халлер Ю Автором проделаны все аналитические расчеты, изложенные в диссертации, выполнен большой объем численных расчетов по обработке и анализу экспериментальных данных Автор принимал участие в обсуждении постановки задач и полученных результатов

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 статьях в отечественных и зарубежных научных журналах Список этих публикаций приведен ниже [А1-А6]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения (общих выводов по диссертации) и библиографии Полный объем работы составляет ПО страниц, включая 27 рисунков, 8 таблиц и 78 наименований цитированной литературы

СОДЕРЖАНИЕДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируется цель исследования, приводится аннотация полученных новых результатов и описывается структура диссертации

В первой главе приведены результаты исследования влияния нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом [А1-А2] При описа-

нии неравновесной фононной системы при наличии градиента температуры мы исходим из системы кинетических уравнений для функций распределения фононов N которая имеет следующий вид [8]

Здесь = ! ч /<7 - групповая скорость акустических фононов с поляризацией Д Л^ - функция П л а - частота релаксации фононов в N процессах рассеяния, - резистивная частота релаксации фононов, обусловленная рассеянием фононов на фононах в процессах переброса, изотопическом беспорядке и границах образца Частота релаксации фононов при рассеянии на изотопическом беспорядке имеет вид V. „ ^„(АМ.

АМ = М

М

(2)

г" " 2 л- " , \ М

Здесь g - фактор изотопического беспорядка, ¥о - объем, приходящийся на один атом, М — масса 1-го изотопа, М = М — средняя масса изотопной композиции, а Г, — концентрация /-го изотопа В (1) учтено, что "ГУ-процессы рассеяния приводят фононную подсистему к дрейфовому локально равновесному состоянию с дрейфовой скоростью которое определяется смещенной функцией Планка[7]

'Гшч1 - йчи ; 1) ' __ х;0 /ци

схр

А л

-1

'К

к„Т

(3)

Скорости дрейфа фононов различных поляризаций ид находятся из уравнения баланса импульса, которое учитывает сохранение импульса фононов в нор-мальньж процессах фонон-фононного рассеяния

(4)

Известны два механизма релаксации импульса фононов в К-процессах рассеяния механизм Херринга [9] и механизм Саймонса [10] (см рис 1) В механизме К-процессов Херринга участвуют фононы различных поляризаций Этот механизм релаксации обеспечивает перераспределение дрейфового импульса между продольными и поперечными фононами (см рис 1а) Поэтому трехфононные процессы Херринга в неравновесной фононной системе стремятся установить локально равновесное состояние со средней дрейфовой скоростью, одинаковой для фононов обеих поляризаций В механизме релаксации Саймонса [10] участвуют фононы одной поляризации (см рис 1Ь) Для этого механизма рассеяния закон сохранения импульса в Т\-процессах выполняется для каждой из ветвей фононного спектра, и скорость дрейфа продольных и поперечных фононов будет различной Таким образом, релаксация импульса фононов в нашем подходе описывается не двумя параметрами 1^рн (ц) - полными частотами релаксации фононов, как это было принято ранее, а шестью четырьмя частотами релаксации

Рис 1 Схемы, иллюстрирующие перераспределение импульса в фононной системе для двух вариантов релаксации фононов в М-процессах рассеяния (а) - механизм Херринга, (Ь) - механизм Саймонса

средними скоростями дрейфа и^ для фононов различных поляризаций.

Выражение для решеточной теплопроводности в случае, когда перераспределение импульса фононов идет преимущественно между различными колебательными ветвями • • и( = 1ц, = иРь (механизм Херринга [9]), имеет вид:

Кг й

з

к

(г)4 ехр(г)

„ (еХр(г)-1)2у^(?)

к ТУЧ .-44 - - (

(ск-

1+ХУ

рШ

+^^ЛК )

т)

Я А

(5) Ьа>„

квТ

Для механизма Саймонса (перераспределение импульса фононов идет только внутри каждой колебательной ветви) имеем:

где - дебаевская частота фононов с поляризацией

Заметим, что в (5)-(6) первые слагаемые определяют вклад диффузионного движения фононов под действием градиента температуры. Вторые - учитывают дрейфовое движение фононов и обусловлены нормальными процессами фонон-фононного рассеяния. Выражение (6) соответствует обобщённой модели Каллавея [1], широко используемой при расчете теплопроводности изо-топически обогащенных кристаллов германия, кремния и алмаза [1,2]. Таким образом, ОМК соответствует механизму релаксации Саймонса, и является некорректной для кристаллов германия и кремния, поскольку для них основным механизмом нормальных процессов является механизм Херринга.

Ниже приведен анализ экспериментальных данных теплопроводности Ое и 81 для двух вариантов релаксации импульса фононов в К-процессах рассея-

ния Значения параметров, определяющих частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов Ge, взяты из работы [1] На рис 2(а) приведены рассчитанные зависимости теплопроводности и вкла дов в нее поперечных и продольных фононов для кристалла Ое с содержанием 99 99% изотопа 7°0е Как видно из рис 2, на этих кристаллах особенности связанные с ангармоническими процессами рассеяния проявляются достаточно четко два варианта релаксации импульса фононов в нормальных процессах рассеяния, дают различные результаты как для максимальных значений теплопроводности (^„х), так и для положения максимумом теплопроводности {Ттт) Для обобщенной модели Каллавея значения ктса определяются пре имущественно продольными фононами

180

Рис 2 (а) Зависимость полной теплопроводности (1) а также вкладов поперечных (2) и про дольных фононов (3) от температуры кристалла Ое с содержанием 99 99% изотопа "Ое [1] для механизма релаксации Херринга (Н) и обобщенной модели Каллавея (Ь) Зависимости по ной теплопроводности от температуры для кристаллов Ое с различным изотопическим соста юм 1 -95 8% 740е g = 3 6*10 5 2-96 3% 70Ое g= 7 57*10 5 3 ""Ое 5 87*104 ™760е |= 1 53*10 3 Символы - экспериментальные данные [1] сплошные линии - результаты расче та для механизма Херринга

Перераспределение импульса между продольными (Ц) и поперечными (Т) фононами в механизме Херринга приводит к существенному подавлению вклада продольных фононов в теплопроводность Для этого механизма доминирующий вклад в теплопроводность (и, соответственно, в вносят Т-фононы Таким образом, два варианта релаксации импульса фононов в N процессах приводят к качественно различным результатам Результаты расчетов теплопроводности для кристаллов германия с невысокой степенью изотопического обогащения, приведенные на рис 2 (Ь) при тех же значениях параметров, для механизма релаксации Херринга (как и для ОМК) хорошо согласуются с экспериментальными данными [1] Очевидно, что в этом слу

чае рассеяние фононов на изотопическом беспорядке «смазывает» различие между двумя вариантами релаксации импульса фононов в К-процессах рассеяния Как видно из рисунка, с увеличением изотопического рассеяния значения полной теплопроводности к(Т) уменьшаются, при этом различие между двумя вариантами уменьшается и для Ое с натуральным составом изотопов становится меньшим 1 %.

Для кристалла 99 86%, как видно из рис. 3, положение максимумов теплопроводности для вариантов (Н) и (8) отличается незначительно, в пределах погрешности эксперимента Максимальные значения теплопроводности ^тахС^тах) для ОМК заметно выше (на 11%), чем для механизма Херринга. Однако, вариацией параметров, связанных с энгармонизмом колебаний решетки,

Рис 3 Температурные зависимости полной теплопроводности кристаллов с различным изотопическим составом 1 -с обогащением 99 86% по изотопу г851, 2 - кремний с природным изотопическим составом , для двух механизмов релаксации импульса в Ы-процессах рассеяния фононов (Н- механизм Херринга, Б-обобщенная модель Каллавея) Символы +, • - экспериментальные данные [6]

можно добиться согласия рассчитанных и измеренных значений теплопроводности. Таким образом, экспериментальные данные не позволяют сделать однозначный вывод в пользу одной из модели, хотя согласно общепринятым представлениям [1,2,6,7] в кристаллах как и в Ое, основным механизмом релаксации тепловых фононов является механизм Херринга Ситуация качественно изменяется при дальнейшем уменьшении степени изотопического беспорядка (см рис.4) Как видно из рисунка, два варианта релаксации импульса фононов в К-процессах приводят к качественно различным результатам для изотопически обогащенных кристаллов кремния. Для ОМК вклад Ь-фононов в максимальные значения полной теплопроводности кта> резко возрастает с уменьшением степени изотопического беспорядка g, и при^ <7-10" значения ктах(^) определяются преимущественно Ь-фононами Для механизма Херринга во всей области изменения параметра максимум тепло-

проводности определяется преимущественно Т-фононами Перераспределение импульса между Ь-фононами и Т-фононами в К-процессах Херринга приводит к существенному подавлению дрейфового движения Ь-фононов и, соответственно, их вклада в к(Т) Таким образом, К-процессы фонон-фононного рассеяния Херринга являются эффективным механизмом, ограничивающим максимальные значения теплопроводности изотопически

Рис 4 Температурные зависимости полной теплопроводности кристаллов Sl для механизма Херринга - кривые 1 2 3, 4, для ОМК - кривые ¡Б, 25 33, 4Б кривые 1 1Б -£=201*106 кривые 2, 2581284 [6] £=2 33*106 кривые 3, ЗЬ- ¿=7*107, кривые 4, 4Б-для моноизотопического кремния 0

обогащенных кристаллов Ое и 81 При этом вид зависимости к(Т) в окрестности максимума для двух вариантов релаксации фононов в 1Ч-процессах рассеяния при 10 6 качественно различается увеличение вклада продольных фононов в области максимума теплопроводности к(Т) приводит к изменению вида зависимости к(Т) Это приводит к существенному отличию в зависимостях положений максимума теплопроводности для двух вариантов релаксации фононов в К-процессах рассеяния в изотопически обогащенных кристаллах (см рис 5) Для механизма Херринга определяются главным образом поперечными фононами, и величина уменьшается примерно с 22-23 К для кремния с натуральным составом до 19 К для изотопически чистого кремния В случае обобщенной модели Каллавея с уменьшением g величина Тщи сначала уменьшается (для кремния с натуральным составом 7,та,=22 К) до значений ^«105, а затем резко возрастает при g = 7 107 В изотопически чистом кремнии ^=0) величина Ттаз = 32К Это различие в поведении для двух вариантов релаксации фононов в К-процессах рассеяния допускает возможность экспериментальной проверки

Рисунок 6 иллюстрирует зависимости значений теплопроводности в

Рис 6 Зависимости максимальных значений теплопроводности кшх от степени изотопического беспорядка £ для кристаллов германия (кривые 1, 3) и кремния (кривые 2 4), для двух вариантов релаксации импульса фононов в N процессах рассеяния (кривые 4, 3- МХ, кривые 1, 2 - ОМК) Символы + •, Д- экспериментальные значения [1,6]

точке максимума от степени изотопического беспорядка для кристаллов германия и кремния с различной частотой релаксации фононов на границах образца Очевидно, что предложенная нами модель межветвевого перераспределения импульса фононов в ^процессах рассеяния Херринга позволяет описать экспериментальные данные теплопроводности Хтах(§) кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом [1,2] существенно лучше (кривые 3 и 4), нежели обобщенная модель Каллавея [1] (кривые 1 и 2) Как видно из рисунка, при значениях^? меньше 10"6 (что соответствует содержанию изотопа значения выходят на

насыщение при увеличении степени изотопического совершенства кристаллов Ge, однако существенно зависят от величины и характера граничного рассеяния фононов Итак, предел изотопического обогащения 99 99% в кристаллах германия и кремния является оптимальным для получения максимальных значений теплопроводности

Вторая глава посвящена исследованию термоэдс электрон-фононного увлечения в кристаллах германия с различным изотопическим составом Основная теоретическая проблема, которая исследуется здесь поиск физического механизма, который приводит к зависимости термоэдс от изотопического состава Дело в том, что в невырожденных проводниках электроны взаимодействуют только с длинноволновыми фононами, волновой вектор которых существенно меньше волнового вектора тепловых фононов, дающих основной вклад в теплопроводность Поскольку вероятность изотопического рассеяния фонона пропорциональна четвертой степени его волнового вектора д, то термоэдс, рассчитанная в рамках теории Херринга, оказалась независящей от степени изотопического беспорядка В ней не учитывалась особая роль нормальных процессов фонон-фононного рассеяния, а частота релаксации фононов в нормальных процессах включалась в полную частоту релаксации фононов, которая являлась единственным параметром, определяющим неравновесную функцию распределения фононов Такой однопараметрический подход является оправданным для «грязных» полупроводников, в которых частота релаксации фононов в ^процессах гораздо меньше частоты релаксации фононов в резистивных процессах рассеяния В случае достаточно чистых полупроводников и тем более для изотопически высокообогащенных кристаллов необходимо учитывать дрейф фононной системы, обусловленный ^процессами фонон-фононного рассеяния

В данной главе решена система кинетических уравнений для неравновесной электронной и фононной функций распределения с учетом особенностей релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния Для простоты рассматривался полупроводник с изотропным законом дисперсии носителей тока Учитывалось, что ^процессы рассеяния приводят фононную подсистему к дрейфовому локально-равновесному состоянию Скорость дрейфа фононов находилась из закона сохранения импульса в нормальных процессах рассеяния фононов Предполагалось, что она не зависит от волнового вектора фононов С учетом сделанных приближений предложенная теория может претендовать лишь на качест-

венное объяснение изотопического эффекта в термоэдс В отличие от ранее выполненных исследований, при описании термоэдс увлечения мы выделили вклады продольных и поперечных фононов и рассмотрели два механизма нормальных процессов рассеяния механизм Херринга и Саймонса Полученное выражение для термоэдс увлечения может быть разделено на два вклада

а = а + а" " ph " ph ^ и ph

(7)

первый из которых обусловлен диффузионным движением фононов и слабо зависит от изотопического состава, поскольку рассеяние длинноволновых фононов на изотопическом беспорядке мало Второе слагаемое обусловлено дрейфом фононной системы Оно пропорционально скорости дрейфа и>, которая для механизмов Херринга и Саймонса имеет вид

Kvr)

-(-AeVr)

(8)

Как видно из выражений (6) и (8), в дрейфовую скорость вносят вклад все термически возбужденные фононы, однако основной вклад в нее вносят тепловые фононы с hwjx ~ kgT, рассеяние которых на изотопическом беспорядке играет важную роль Анализ полной термоэдс увлечения api, показал, что учет нормальных процессов рассеяния сводится к перенормировке частоты релаксации импульса фононов Дрейфовое движение фононов, обусловленное N-процессами, приводит к уменьшению эффективной частоты релаксации фононов, и эта перенормировка различна для механизмов релаксации Херринга и Саймонса В предельном случае «грязных» полупроводников vpW(q) « vp¡,n(q) вкладом дрейфового движения фононов можно пренебречь и использовать выражение для ар),, полученное ранее в рамках однопараметрического приближения В противоположном случае частота релакса-

ции Vphb¡(q) «выпадает» из термоэдс увлечения, и^йлностью определяется усредненной частотой релаксации фононов в резистивных процессах рассеяния Напротив, в однопараметрическом приближении ap¡, определяется частотой релаксации и не зависит от степени изотопического беспорядка

При расчете термоэдс увлечения значения параметров, определяющих частоты релаксации фононов, взяты из анализа данных по теплопроводности кристаллов Ge с различным изотопным составом Использование этих параметров позволило нам согласовать результаты расчетов теплопроводности для механизма релаксации Херринга с экспериментальными данными в широком температурном интервале во всем исследованном диапазоне изотопического обогащения В данном расчете эти параметры не варьировались Подгоночным параметром теории являлась константа деформационного потенциала При фиксированной эффективной массе электронов она выбиралась из условия совпадения рассчитанного значения термоэдс в точке максимума с экспериментальным значением для германия с природным изотоп-

ным составом и затем использовалась для расчета термоэдс моноизотопного образца70Се Поскольку в кристаллографическом направлении [111] те одного из четырех эллипсоидов равняется 1 7 т0 (то - масса свободного электрона) то ее средняя величина варьировалась от значения эффективной массы плотности состояний до значения т„ Рассмотрим вклады дрейфового и диффузионного движения фононов в термоэдс увлечения Как видно из рисунка 8, для германия с природным составом изотопов преобладающий вклад в

Рис 8 Температурные зави симости термоэдс (кривые 1 2) а также вкладов диффу знонного (кривые 1а 2а) и дрейфового (кривые lb 2b) движения фононов от тем пературы для германия с различным изотопическим составом

эВ) Кривые 1 la lb для германия с натуральным изотопическим составом

Шг=4»1012) 2 2а 2Ь для °Ge с содержанием 99 99% (Л^2»1013)

термоэдс вносит диффузионное движение фононов Вклад дрейфового движения мал в максимуме термоэдс он в 5 раз меньше диффузионного вклада В противоположность этому, для 70Ge с обогащением (99 99%) дрейфовый вклад в термоэдс увлечения доминирует Он превышает диффузионный в 6 раз Следует отметить, что диффузионные вклады в термоэдс этих образцов практически совпадают Из этого следует, что действительно изотопический эффект в термоэдс германия связан с дрейфовым движением тепловых фоно-нов Этот вклад увеличивается более, чем на порядок при переходе от при родного германия к моноизотопному образцу Физическая основа этого эффекта проста основной вклад в дрейфовое движение, как и в теплопроводность вносят тепловые фононы, которые хорошо «чувствуют» изотопический беспорядок и эта «чувствительность» передается длинноволновым фононам через дрейфовое движение фононной системы Благодаря этому термоэдс рассчитанная в нашем подходе, в отличие от теории Херринга, оказывается зависящей от степени изотопического беспорядка

На следующем, 9-ом рисунке, приведены теоретические и экспериментальные температурные зависимости термоэдс для природного германия и моноизотопного J0Ge Как видно из рисунка, представленная теория качественно объясняет изотопический эффект в термоэдс максимальные значения рассчитанных величин термоэдс при переходе от германия с природным составом изотопов к изотопически обогащенному до 99 99 увеличиваются в 2 2 раза для те = то, что фактически совпадает с экспериментально наблюдаемым увеличением в направлении [111] Для эффективной массы электро-

нов, равной 0 22 ш„, это увеличение составило 30%, что может указывать на преобладающую роль одного из четырех эллипсоидов с максимальной эффективной массой в направлении [111] При расчете термоэдс в направлении [100] (см рис 9, кривая 3) константа деформационного потенциала не варьировалась, а скорости звука были взяты для этого направления В этом случае

Рис9 Зависимости термоэдс увлечения от температуры (Eol = 4 эВ) Кривая i — для германия с натуральным изотопным составом (mL - т0 Nd = 4 1012 см 3) 2 — для ™Ge с содержанием 9999% (те = то Nj = 2 1013 см J) в направлении [111] 3 — для wGe с содержанием 99 99% (тс и 0 9 т0, Nd = 2 10'2 см 3) в направлении [100] Символы ДО — экспериментальные данные [4]

изотопический эффект оказался на 35% меньше, что также согласуется с экспериментом Однако положения рассчитанных максимумов термоэдс оказываются сдвинутыми в область низких температур для природного германия примерно на 10 К, а для 70Ое с обогащением 99 99 - на 5 К

По нашему мнению, приближение изотропной зоны для электронов проводимости в германии, а так же предположение о равенстве дрейфовых скоростей длинноволновых и тепловых фононов не позволило добиться количественного согласия с экспериментальными данными по термоэдс увлечения, в отличие от расчетов теплопроводности

В третьей главе приведены результаты расчетов частот релаксаций фо-нонов в ангармонических процессах рассеяния во всей области волновых векторов для кубических кристаллов, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка [А4-А6] Исходным для расчета частот релаксации является выражение [11]

(9)

Здесь р - плотность, V- нормировочный объем, Т- температура, - частота фонона с волновым вектором д и поляризацией волны ) Матричный элемент определяющий вероятности рассеяния фононов в кубических

кристаллах через модули упругости второго с,к и термодинамические модули третьего порядка счк, имеет вид [А4-А5]

=?ш1Х<7|.е2,92,<? 3|<7„ +с123(е1ч,)(е2ч2)(е3д3) +

+ ?м 2 Е [(е |Ч IК Чьег,Яг, + (е2Я 2 К <7.,'Чг, + (£зЯ з К Ч^ьЧь ]+ + с|44[(е,д1)(е2Ч,)(е3д2) + (е2ч2)(е,Чз)(е,ч,) + (е3ч3)(е|ЧгХе2ч1)] +

+ \С|2 + С|44

+ сАМ [(е^,)(е2Ч|)(е3ч2) + (€,42X6243X634,)]+ + {с44+С4ч)[(е|Ч2КЧ,Я1Хе2ез) + (е24зХ41Ч2)(е1ез) + (езЧ1)(Ч2ЯзХе1е2) + + (е|Чз)(Я]Ч2)(е2ез) + (е2Я1)(Ч2Яз)(е!ез) + (е1Ч2)(Ч|ЧзХе]е2 )] + + с„55]ке2,ез,(9ь(Я2Яз) + 92,(Я1Яз) + <?з,(Я1Я2))+ (Ш)

+ Ми[е2Лз, (е3Я2) + «з,<?2<(е243)]+еьЯь[е„9з,(езЧ,) + е3,9] (е|Ч,)]+ + ез,?з,к'72,(е2Я|) + «2,?|,(е|Я2)] }+[?1!5+дС] Х<7„<?2,<7, к(е2ез)+ + е2,(е,ел)+е1,(е,е2)]

Здесь е„ и д„ вектора поляризации и волновые вектора фононов Выражение (10) позволяет исследовать различные механизмы трехфононных процессов рассеяния и рассчитать соответствующие частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния в кубических кристаллах Слагаемые, содержащие модули упругости АС с,,,, сш и ?,„, отличают кубические кристаллы от изотропной среды

Равенство нулю этих модулей обеспечивает переход к модели изотропной среды Проведенный анализ показал (см таблицу 3 2), что для рассматриваемых кристаллов равенство нулю выражений (11) не выполняются как для упругих модулей второго порядка, так и для упругих модулей третьего порядка для Ое, и алмаза величина | ДС| - С]2, а значение модуля ст составляет порядка 20-60% исходного модуля С\ц Наибольшее отклонение от модели изотропной среды имеет место для модуля упругости он не только значительно превосходит остальные модули третьего порядка для Ое, и алмаза, Таблица 3 2 Значения упругих моделей ЛС Сш С1|2 С|51 А^ь (в единицах 1013 дин/см!)

Ое 81 Алмаз 1пЭЬ ОаБЬ

дс -0 54 -0 57 -2 01 -0 29 -0 385

-3 25 -4 I -10 24 -2 09 -3 64

С!П 28 01 32 4 138 1 18 19 31 5

с 155 -1 63 -1 9 -5 4 -1 29 -216

но и имеет знак, противоположный знаку исходного модуля В этой главе рассмотрены следующие процессы рассеяния (1) 74<+г<2+<,

(2) Ь +1 и й> ' = со' + (О' , £ I + со' = й/ + да'.

чу ч ч ч\ я 41

О) (12)

Первый из процессов релаксации поперечных фононов ТЬЬ носит название механизма Ландау-Румера [12]. Для него могут иметь место только процессы слияния ^-процессы) поперечного фонона с продольным. Для релаксации продольных фононов в механизмах ЬЬЬ и ЬТЬ (второй и третий процессы в (12)) могут иметь место как процессы слияния фононов, так и процессы распада (Я-процессы) продольного фонона на два продольных (2), или на поперечный и продольный (3).

Полученные выражения для частот релаксаций в этих механизмах мы не приводим из-за их громоздкости, а перейдем сразу к результатам численного анализа их для кубических кристаллов. Проанализируем зависимость частоты релаксации от приведенного волнового вектора для механизма

Ландау-Румера, который считается основным механизмом релаксации поперечных фононов [1-2] Рассмотрим сначала, насколько велико отклонение от линейной зависимости Ландау-Румера для случая изотропной среды Для этого рассмотрим зависимость функции:

от параметра г| при низких температурах. Коэффициент Д;0 зависит от упругих модулей второго и третьего порядка и определяет величину частот релаксации в длинноволновом приближении. Как видно из рисунка 10, только при 2) < 1 эту зависимость можно аппроксимировать линейной функцией, соответствующей приближению Ландау-Румера. При2) ~4 величина

Рис 10 Зависимость у'ги от приведенного волнового вектора 21 при температуре 1 К, для изотропного случая линейное приближение Ландау-Румера - кривая 1, наш расчет - кривая 2, аппроксимация (16) - кривая 3, аппроксимация (15) -кривая 4, для скоростей звука 5^=4 92* 105 см/сек и 57=3 55* 105см/сек

достигает максимума, затем резко убывает, в интервале выходит

на «плато», а при > 20 является монотонно убывающей функцией 2\. Такое сильное отклонение от классической зависимости Ландау-Румера оказалось неожиданным Анализ, проведенный в работах [13,14], показал, что при Г| »

1 (Ьыф» кцТ) частота релаксации экспоненциально уменьшается с

ростом в соответствии с выражением

где /7=3, согласно [13], и п= 5, согласно [14]. Поэтому можно было ожидать появления только одного максимума на кривой и монотонного убы-

вания при 2\ » 1 Нами показано, что, возникновение новой особенности -«плато» при 10 < г] < 20 на зависимости частоты релаксации от волнового вектора фононов обусловлено угловой зависимостью вероятности рассеяния фонона, которая, в отличие от [12-14], нами учтена строго. В области высокочастотных фононов учет угловой зависимости вероятности рассеяния фонона, в отличие от работ [13-14], приводит к предэкспоненциальному фактору в виде полинома третьей степени, который не может быть сведен к простой степенной зависимости (14):

Как видно из рисунка 10 (кривая 4), этот способ дает надежную оценку величины для высокочастотных фононов.

Рассмотрим зависимость частоты релаксации фононов от приведенного волнового вектора в кубических кристаллах в кристаллографическом направлении [100] Как видно из рис 11а и 116, эти зависимости качественно отличаются от случая изотропной среды, для кристаллов Ое, 81, алмаза, 1п8Ъ и

Рис 11 Зависимость ^от приведенного волнового вектора 1\ в кристаллографическом направлении 100] (а) 1 - германий, 2 - кремний, 3- алмаз, (Ъ) 1 - ЬЙЪ, 2 - ОаЯЪ Штриховые линии - аппроксимация(16)

ОавЬ они имеют немонотонный характер - вместо «плато» на зависимостях возникают минимум и второй максимум. Причем, для кристаллов Ое, 81, 1п8Ъ, Оа8Ъ в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, она имеет немонотонный характер с двумя максимумами,

второй из которых находится в области высокочастотных фононов Ь(оят » квТ. Наиболее ярко отмеченная аномалия проявляется на кристаллах Для в отличие от Ge, Si, GaSb, в направлении [100] амплитуда второго максимума на зависимости частоты релаксации фононов от волнового вектора превосходит первый, а в направлении [111] эта зависимость имеет двугорбый характер, причем амплитуды первого и второго максимума практически совпадают. Для остальных рассмотренных кристаллов зависимость у'Т1±(г[:Т) от волнового вектора фононов в направлении [111] подобна изотропному случаю: вместо второго максимума наблюдается интервал более медленного убывания частоты релаксации Проведенный анализ показал, что появление второго максимума связано с кубической анизотропией кристаллов. Частота релаксации тепловых фононов у'ги(г1,Т). актуальных для теплопроводности кубических кристаллов (г1<4-5), может быть аппроксимирована выражением.

ВгоГ\[ехр(-вд)+ех|:(-а2()г,)], (16)

ще коэффициент В = 0,65 для кристаллов Ое, 81, 1п8Ь, ОавЬ и алмаза Как видно из рис. 11 (аД штриховые линии), в интервале значений 0 < 2\ < 8 аппроксимация (16) хорошо согласуется с результатами точных расчетов

Зависимости частот релаксации продольных фононов от волнового вектора для механизма в кубических кристаллах и изотропных средах совпадают. Для этого механизма частота релаксации является монотонно возрастающей функцией г\. причем при 7| < 2.5 доминирующий вклад в нее вносят S-процессы, и она может быть аппроксимирована линейной функцией Однако с увеличением волнового вектора фононов роль процессов распада быстро возрастает, и для кристаллов Ge, Si и алмаза при 2\ > 6.3 они вносят доминирующий вклад в частоту релаксации, пропорциональный пятой степени волнового вектора фононов, как и в изотропных средах.

Рис 12 Зависимости частот релаксации фононов в механизме ЬТЬ от приведенного волнового вектора г1 для Ое в кристаллографическом направлении [100] кривые 1 - функция , кривые 2 - вклад в частоту релаксации от в-процессов, 1фивые 3 -вклад Я-процессов, штриховые линии 1а соответствуют аппроксимации (18) - для тепловых фононов

35

Частота релаксации фононов в механизме ЬТЬ является аддитивной суммой процессов слияния и распада: При этом величина

(17)

является функцией только приведенного волнового вектора фононов Zi На рис 12 приведены зависимости величин f,*„ (г,), ^(г,) И •'^(г,) от Z) для кристаллов Ge, Si и алмаза Как видно из рисунка 12, вклад S-процессов i) Для этих кристаллов является немонотонной функцией г/ Величина vf}' (г,) сначала резко возрастает как (Z|)4, достигает максимума при Z|»4, затем уменьшается, достигая минимума при Z|k10 для Ge, Si и для алмаза, а при больших значениях Z\ монотонно возрастает В отличие от кубических кристаллов, в изотропных средах эти зависимости являются монотонно возрастающими функциями волнового вектора фононов Очевидно, что для механизма LTL приближение изотропной среды является некорректным Что касается процессов распада, то величина (г ) является монотонно возрастающей функцией Z| при Z\ «1 она возрастает как {z{f, а при Z|>10 возрастает пропорционально {z\f, как и в изотропных средах [13]

Частота релаксации тепловых фононов актуальных для теплопроводности, может быть аппроксимирована выражением

где а параметры

маза равны, соответственно

0 98, 0 Как видно из рисунка 12 (кривая 1а), аппроксимация (18) в интервале значений О <Z|< 6 практически совпадает с результатом точных расчетов (кривая 1) Заметим, что для тепловых фононов частоты релаксации фононов в механизмах LTL и ILL имеют один порядок величины и должны учитываться при расчете теплопроводности кристаллов Ge, Si и алмаза

НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 Дано обобщение теории Каллавея решеточной теплопроводности, последовательно учитывающее перераспределение импульса фононов в нормальных процессах рассеяния как внутри каждой колебательной ветви, так и между различными колебательными ветвями фононов Предложенная модель перераспределения импульса фононов в механизме Херринга позволила адекватно описать экспериментальные данные теплопроводности кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом

2 Показано, что нормальные процессы фонон-фононного рассеяния Херринга являются эффективным механизмом, ограничивающим максимальные значения теплопроводности в изотопически чистых кристаллах германия и кремния Установлено, что оптимальным пределом для получения максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния является изотопическое обогащение до 99 99% по одному из изотопов

3 Развита теория увлечения электронов фононами для невырожденных полу-

проводников, учитывающая особенности релаксации импульса в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния Показано, что изотопический

эффект в термоэдс обусловлен дрейфовым движением фононной системы, которое сильно зависит от изотопического беспорядка в кристаллах

4 Получено выражение для ангармонической энергии кристаллов кубической симметрии через вектора поляризаций, волновые вектора фононов и упругие модули второго и третьего порядка Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов, необходимые для перехода к модели изотропной среды

5 Рассчитаны частоты релаксации фононов различных поляризаций в ангармонических процессах рассеяния в широкой области изменения волновых векторов, как для изотропной среды, так и для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза Из известных значений упругих модулей второго и третьего порядка найдены параметры, определяющие величины частот релаксации фононов различных поляризаций для рассмотренных кристаллов Показано, что их зависимости от волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в кубических кристаллах Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза, 1пБЬ и ОаБЬ в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, они имеют немонотонный характер с двумя максимумами, один из них находится в высокочастотной области Установлено, что обнаруженные особенности частот релаксации в кубических кристаллах обусловлены угловой зависимостью вероятности ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

А 1 Кулеев И Г, Кулеев И И Нормальные процессы фонон - фононного рассеяния и теплопроводность кристаллов германия с изотопическим беспорядком // ЖЭТФ - 2001 - Т 120 - 3 - С 649 - 660

А 2 Кулеев И Г, Кулеев И И Влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на максимальные величины теплопроводности изо-топически чистых кристаллов кремния // ЖЭТФ - 2002 - Т 122 - 3 - С 558 - 569

А 3 Кулеев И Г, Кулеев И И , Талденков А Н , Инюшкин А В , Ожогин В И , Ито К , Халлер Ю Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и термоэдс увлечения в кристаллах германия с изотопическим беспоряд-ком//ЖЭТФ -2003 -Т 123 -6 -С 1227-1238

А 4 Кулеев И Г, Кулеев И И Механизм релаксации Ландау - Румера тепловых и высокочастотных фононов в кубических кристаллах германия, кремния и алмаза//ЖЭТФ -2004 - Т 126 -1 -С 129-141

А 5 Кулеев И Г, Кулеев И И Механизмы релаксации продольных фононов в кубических кристаллах германия, кремния и алмаза I // ФТТ - 2005 -Т47 -2 -С 300-310

A 6 Kuleyev I G , Kuleyev 11, Tankeyev A P , Arapova I Yu Landau-Rumer relaxation mechanism of the thermal and high-frequency phonons in cubic crystals // Phys Stat Sol (c) - 2004 - 11 - P 2963 - 29966

Цитированная литература

[1] Asen-Palmer M, Bartkowski К Gmelin E, Cardona M, Zhernov АР, Inyushkin A V , Taldenkov A N, Ozhogin V I, Itoh К M , Haller E E Thermal conductivity of germanium crystals with different isotopic compositions // Phys Rev В - 1997 - V 56 - 15 - P 9431 - 9447

[2] Жернов А П , Инюшкин А В Изотопические эффекты в твердых телах -Москва Российский научный центр "Курчатовский Институт", 2001 -216с

[3] Itoh К Low Temperature Carrier Transport Properties in Isotopically Controlled Germanium PhD Thesis, University of California at Berkeley Dis -1994

[4] Талденков А H , Инюшкин А В , Ожогин В И , Itoh К M , Haller E E Влияние изотопического беспорядка на эффект фононного увлечения в Ge // lV-я конференция Физико-химические процессы при селекции атомов и молекул тез док -Москва Наука, 1999 С 18-19

[5] Herring С Theory of the Thermoelectric Power of Semiconductors // Phys Rev -1954 - V 96 - P 1163-1187

[6] Ruf T , Henn R W, Asen-Palmer M , Gmelin E , Cardona M , Pohl H -J , Devyatych G G , Sennikov P G Thermal conductivity of isotopically enriched silicon//Sol St Commun -2000 -V 115 -5 -P 243-247

[7] Callaway J Model for lattice thermal conductivity at low temperature // Phys Rev -1959 -V 113 -4 - P 1046- 1051

[8] Кулеев И Г Нормальные процессы рассеяния квазичастиц и кинетические эффекты в полупроводниках с вырожденной статистикой носителей тока//ФТТ -2002 -Т44 -2 -С 215-225

[9] Herring С Role of low-energy phonons in thermal conduction // Phys Rev -1954 - V 95 -4 -P 954-965

[10] Simons S On the mutual interaction of parallel phonons//Proc Phys Soc -1963 - V 82 - 3 - P 527 - 401, On the interaction of long wavelength phonons with thermal phonons // Proc Phys Soc - 1964 - V 83 - 5 - P 749 -753

[11] Могилевский Б M , Чудновский А Ф Теплопроводность полупроводников - Москва Наука, 1972 - 536с

[12] Ландау Л Д Сборник трудов «О поглощении звука в твердых телах» -Москва Наука, 1972 -Т 1 -С 227-223

[13] Orbach R and Vredevoe L A The attenuation of high frequency phonons at low temperatures//Physics -1964 -T1-2-P 91-94

[ 14] Зырянов П С , Талуц Г Г К теории поглощения звука в твердых телах // ЖЭТФ 1965 - T 49 -6 -С 1942-1949

Отпечатано на Ризографе ИФМ УрО РАН тираж 85 э.44

объем 1 п.л.фбрмат 60x84/16 620041 г.Екатеринбург ГСП-170 ул. С.Ковалевской, ■

ш ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ГЛАВА I. Теплопроводность полупроводниковых кристаллов с различным изотопным составом

1.1. Влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на 18 релаксацию импульса в неравновесной фоионной системе

1.2. Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и решеточная 22 теплопроводность

1.3. Частоты релаксации фононов в кристаллах германия

1.4. Результаты расчёта теплопроводности кристаллов германия с 26 различным изотопическим составом

1.5. Ангармонические процессы рассеяния фононов и решеточная 33 теплопроводность кристаллов Si с различным изотопическим составом

1.5.1. Частоты релаксации фононов в кристаллах Si

1.5.2. Результаты расчёта теплопроводности кристаллов кремния с 37 различным изотопическим составом

1.6. Обсуждение результатов

1.7. Выводы

ГЛАВА II. Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и термоэдс увлечения в кристаллах германия с изотопическим беспорядком

2.1. Результаты эксперимента

2.2. Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и релаксация 51 импульса электронов и фононов в неравновесной электрон-фононной системе

2.3. Термоэдс увлечения в полупроводниках с невырожденной 55 статистикой носителей тока

2.4. Результаты расчёта термоэдс увлечения кристаллов германия с 58 различным изотопическим составом

2.5. Обсуждение результатов

2.6. Выводы

ГЛАВА III. Механизмы релаксации тепловых и высокочастотных фононов в ^ ангармонических процессах рассеяния для кристаллов кубической симметрии

3.1. Упругая энергия кристаллов кубической симметрии

3.2. Механизм релаксации Ландау-Румера для поперечных тепловых 70 и высокочастотных фононов в кубических кристаллах

3.2.1. Частота релаксации поперечных фононов в механизме Ландау

Румера для кубических кристаллов

3.2.2. Результаты численного анализа частоты релаксации фононов в 75 механизме Ландау-Румера для кристаллов Ge, Si, алмаз, InSb и GaSb

3.3. Механизмы релаксации продольных фононов в ангармонических 85 процессах рассеяния в кубических кристаллах

3.3.1. Частота релаксации продольных фононов для процессов рассеяния с участием трех продольных фононов

3.3.2. Частота релаксации продольных фононов в трехфононных 87 процессах рассеяния с участием поперечного фонона и двух продольных

3.3.3. Результаты численного анализа частот релаксации продольных фононов для кристаллов германия, кремния и алмаза

3.4. Обсуждение результатов

3.5. Выводы

НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

Интенсивное развитие полупроводниковых технологий в настоящее время требует поиска материалов с новыми физическими свойствами. В связи с этим особую актуальность приобретает понимание на фундаментальном уровне физических процессов, происходящих в этих материалах. Одной из важных проблем физики конденсированного состояния является исследование процессов электронного и фононного переноса в изотопически разупорядоченных кристаллах германия, кремния и алмаза. Интерес к этим исследованиям стимулируется потребностями современной микроэлектроники, в которой широко используются эти полупроводниковые материалы.

Хорошо известно, что большинство химических элементов имеют ряд своих изотопов. Согласно современным представлениям изотопы представляют собой атомы одного и того же химического элемента с разным количеством нейтронов. Тем самым изотопы данного элемента обладают одинаковыми химическими свойствами, но отличаются друг от друга массами атомов. Многие твердые тела состоят из нескольких изотопов, хаотически распределенных по узлам кристаллической решетки. В твердых телах параметры силового межатомного взаимодействия практически не зависят от композиции изотопов, поскольку конфигурация электронной оболочки атома очень слабо зависит от массы ядра: масштаб эффекта - порядка отношения массы электрона к массе ядра ~ 10~4. Зависимость от изотопического состава возникает из-за того, что движение атома в поле, созданном соседними атомами, определяется, помимо всего прочего, также его массой. Колебание атомов в узлах кристаллической решетки можно рассматривать, как движение в гармоническом потенциале, параметры которого зависят от объема элементарной ячейки кристалла, в квазигармоническом приближении частота колебаний атома пропорциональна Миг. Поэтому, как правило, влияние изотопов на колебательные спектры кристаллов сравнительно слабое, однако некоторые характеристики кристаллов могут меняться существенным образом. Дело в том, что изотопический беспорядок нарушает трансляционную инвариантность решетки и приводит к рассеянию фононов. Влияние «примесных» изотопов на фононы можно описать в терминах температурно-независимого изотопического рассеяния фононов. Частота релаксации для этого механизма пропорциональна фактору изотопического беспорядка g и четвертой степени волнового вектора фононов. Физические свойства таких кристаллов могут в значительной степени различаться в зависимости от их изотопического состава. В последние десятилетия исследования в области изотопической инженерии [1] и изучения физических свойств изотопически обогащенных кристаллов [2] приобрели особую актуальность. В первую очередь необходимо отметить давно уже известный факт - изменение величины энергии межзонных переходов Eg при изотопическом замещении. Если в Ge при ф изотопическом замещении Eg изменяется на ~1мэВ, то в алмазе и в кристаллах LiHxD|.x на 13 и 104 мэВ соответственно. Это довольно большие величины, и они легко измеряются. Заметные эффекты наблюдаются при изотопическом замещении и в фононном спектре, особенно в спектральном диапазоне продольных оптических фононов (LO). Сдвиг LO линий в алмазе лежит в пределах 50 см'1, тогда как в кристаллах LiHxD|.x он превосходит 200 см'1. В 50-х годах были открыты такие изотопические эффекты, как сдвиг критической температуры сверхпроводящего перехода ртути [3,4] и значительный (в три раза) рост теплопроводности в изотопически обогащенном кристалле германия [5]. <# Первый из этих эффектов послужил решающим фактором для построения микроскопической теории низкотемпературной сверхпроводимости [6]. В то же время изотопический эффект в теплопроводности Ge, наглядно продемонстрировал, сколь велико может быть влияние изотопического разупорядочения кристаллической решетки, и подтвердил теорию И.Я. Померанчука [7], согласно которой именно случайное распределение изотопов в решетке является причиной ограничения роста теплопроводности диэлектрических кристаллов при низких температурах. Исключительно высокая теплопроводность изотопически чистых кристаллов имеет хорошие перспективы использования в технике в тех случаях, когда имеются большие тепловые нагрузки.

Исследования изотопических эффектов в теплопроводности диэлектрических кристаллов, таких как Ge, Si, GaAs, LiF и т.п., начались еще в середине прошлого века с экспериментальной работы Джебала и Халла [5] и теоретических работ [8-9]. Вслед за работой [5] в 1959 г. вышла теоретическая работа Каллавея [10], в которой были проанализированы экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов Ge с натуральным изотопическим составом и изотопически обогащенного 74Ge [5]. Интерес к этой работе связан с тем, что в ней впервые учтена нетривиальная роль нормальных процессов (//-процессов) рассеяния фононов. В работе [10] было показано, что N-процессы фонон-фононного рассеяния не дают непосредственного вклада в релаксацию импульса фононной системы, а приводят ее к дрейфовому локально равновесному состоянию. При этом был сделан ряд упрощающих предположений, а именно: была 'Ь использована одномодовая дебаевская модель [11] фононного спектра без разделения фононов на продольные и поперечные. Таким образом, неравновесная функция распределения фононов в теории [10] определялась тремя параметрами: частотами релаксации импульса фононов в резистивных и нормальных процессах рассеяния и средней скоростью дрейфа. Каллавею удалось описать экспериментальные данные теплопроводности Ge в широком температурном диапазоне, однако, в области максимума теплопроводности результаты расчета значительно превосходили экспериментальные ф значения. По этой причине Холланд [12] отказался от модели Каллавея [10]. Он показал, что при расчете теплопроводности кристаллов Ge и Si необходимо выделять вклады продольных и поперечных фононов, поскольку поперечные фононы имеют сильную дисперсию, и дебаевские температуры для обеих колебательных ветвей существенно различаются. Однако он включил частоты релаксации нормальных процессов фонон-фононного рассеяния в резистивные частоты релаксации. Ему удалось удовлетворительно описать температурные зависимости теплопроводности Ge и Si с натуральным изотопическим составом в широком температурном интервале, однако при этом число подгоночных параметров теории увеличилось в два раза. Однако, теория Холланда [12] в определенном смысле является шагом назад по сравнению с теорией Каллавея [10]. поскольку ома не учитывала особую роль нормальных процессов фонон-фононного рассеяния. Отметим, что в теории [12] неравновесная функция распределения фононов описывалась полными частотами релаксации продольных и поперечных фононов. В последующих работах [13-17] для описания экспериментальных данных по теплопроводности кристаллов Ge, Si, алмаза и т.п. использовались некоторые модификации теории Холланда и Каллавея.

Недавно были успешно выращены высококачественные монокристаллы германия с различным изотопным составом, включая уникально чистый, как химически, так и изотопически, кристалл с обогащением 99.99% по изотопу 70Ge [18], обозначаемый далее как 70Ge(99.99%). Экспериментальные исследования теплопроводности [2,18] этих

7П кристаллов показали, что для моиоизотопных образцов Ge(99.99%) максимальные значения теплопроводности на порядок выше, чем для кристаллов с природным изотопным составом. Авторы [18] для описания теплопроводности кристаллов Ge с различной степенью изотопического обогащения воспользовались обобщенной моделью Каллавея (ОМК), в которой кинетическое уравнение для фононной функции распределения не решалось, а выражение для теплопроводности постулировалось в виде аддитивной суммы вкладов от продольных и поперечных фононов. В рамках этой модели в работе [18] были определены параметры, характеризующие различные механизмы 4 релаксации импульса фононов. Предложенная модель позволила удовлетворительно описать экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов Ge с природным составом изотопов и со сравнительно невысокой степенью изотопического обогащения (до 70Ge 96.3%). Однако для изотопически чистых кристаллов 70Ge (99.99%) авторы [18] столкнулись с той же трудностью, что и Каллавей [10]. В области максимума теплопроводности рассчитанные значения для ОМК превосходили экспериментальные данные более, чем в 1.5 раза. Авторы ввели дополнительный механизм рассеяния фононов на дислокациях. Однако, введение дополнительного механизма релаксации фононов, только для изотопически высокообогащенного образца 70Ge (99.99%) не могло исправить ситуацию, так как концентрация дислокаций, согласно [19], оказалась на четыре порядка меньше, чем требовалась в [18] для согласования экспериментальных данных и результатов расчета. Обобщенная модель Каллавея широко использовалась для описания экспериментальных данных по теплопроводности Ge, Si [2,20-24]. Дальнейшее развитие теории решеточной теплопроводности сдерживалось отсутствием корректного анализа роли N-процессов рассеяния фононов, принадлежащих различным колебательным ветвям.

Учет особой роли N-процессов фонои-фонониого рассеяния необходим в условиях, когда частота релаксации фононов в нормальных процессах - vpj,\(q) будет больше либо сравнима с частотой релаксации в резистивных процессах рассеяния vphii(q), которая обусловлена релаксацией фононов в процессах переброса, на границах, примесях и электронах проводимости. Хорошо известно [10,25-26], что в //-процессах импульс фононов, участвующих в столкновениях, сохраняется, и эти процессы рассеяния не дают непосредственного вклада в релаксацию импульса фононов и, соответственно, в теплосопротивлеиие. Однако N-процессы формируют неравновесную функцию распределения фононов и обеспечивают релаксацию фононной системы к локально-равновесному состоянию со средней скоростью дрейфа. Перераспределяя энергию и импульс между различными фононными модами, они препятствуют сильному отклонению от равновесного распределения каждой фононной моды. При этом изменяется относительная роль различных резистивных процессов релаксации импульса фононов (рассеяние на дефектах, границах образца и в процессах фонон-фононного переброса). Таким образом, этот механизм играет существенную роль в релаксации полного импульса фононной системы и оказывает значительное влияние на величины теплопроводности в изотопически чистых образцах Ge при низких температурах, когда процессы фонон-фононного переброса в значительной степени выморожены. Отметим, что двухпараметрическое приближение Холланда [12] является справедливым в случае, когда для каждой из ветвей фононного спектра Я частоты релаксации фононов в N-процессах {v^phsiq)) гораздо меньше резистивных частот релаксации фононов (i^pi,R(q)). В противоположном предельном случае, который, согласно данным [18], реализуется для продольных фононов в исследованных образцах германия, необходимо учитывать дрейф фононной системы, связанный с ^-процессами фонон-фононного рассеяния. В этом случае неравновесность фононной подсистемы должна описываться шестью параметрами: четырьмя частотами релаксации i^phiiiq) и ^Ph\{q) и средними скоростями дрейфа ид для фононов различных поляризаций. Как будет показано в настоящей работе, описание ф неравновесности фононной системы в расширенном базисе позволяет более корректно рассмотреть процессы релаксации импульса фононов и теплопроводность в изотопически чистых образцах Ge и Si. Итак, одна из проблем, которая рассматривается в данной работе, заключается в исследовании механизмов релаксации фононов в нормальных процессах рассеяния и их влияния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом.

В данной работе решена система кинетических уравнений для фононов различных поляризаций. Рассмотрено два механизма релаксации фононов в //-процессах рассеяния, Л обеспечивающих перераспределение импульса фононов как внутри каждой колебательной ветви (механизм Саймонса [27]), так и между различными колебательными ветвями фононов (механизм Херринга [28]). Проанализировано влияние нормальных процессов рассеяния фононов на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим содержанием. Показано, что обобщенная модель Каллавея (ОМК) [18] фактически соответствует механизму Саймонса и не является корректной, поскольку основным механизмом релаксации импульса фононов в //-процессах для кристаллов германия и кремния является механизм Херринга (MX) [28].

Показано, что проблема, поставленная Холландом [12], и те проблемы, которые возникли при обработке экспериментальных данных [18,24], снимаются, если корректно учесть //-процессы релаксации Херринга. В этом случае перераспределение импульса ^ между продольными и поперечными фононами в нормальных процессах приводит к значительному подавлению дрейфового движения продольных фононов в изотопически чистых образцах Ge (99.99%) за счёт их взаимодействия с поперечными фононами. Этот механизм перекачки импульса обеспечивает существенное уменьшение вклада продольных фононов в теплопроводность. В результате, при тех же значениях подгоночных параметров, что и [18], максимальные значения полной теплопроводности изотопически чистых образцов Ge (99.99%) уменьшаются примерно в 1.5 раза по сравнению с величинами, полученными в [18] в рамках обобщённой модели Каллавея. Таким образом, отпадает необходимость введения дополнительного механизма рассеяния •Ь фононов на дислокациях [18] и ещё одного подгоночного параметра теории.

Другая проблема возникла в связи с интерпретацией экспериментальных данных термоэдс изотопически обогащенных кристаллов германия. Дело в том, что экспериментальные исследования [21] показали двукратное увеличение абсолютных значений термоэдс при низких температурах в изотопически чистых кристаллах германия

70Ge 99.99%) по сравнению с кристаллами германия с природным составом изотопов. При низких температурах основной вклад в термоэдс вносит эффект электрон-фононного увлечения. Попытка объяснить изотопический эффект в термоэдс электрон-фононного увлечения ар/, в рамках теории Херринга [29] оказалась неудачной, поскольку расчеты этого эффекта согласно теории Херринга [29] давали очень слабую зависимость арн(Т) от изотопического состава кристаллов германия, что не соответствовало экспериментальным данным [21].

Очевидно, что эффект значительного увеличения решеточной теплопроводности в изотопически чистых кристаллов германия, кремния и алмаза [2,5,14-18,22-23] связан с увеличением длины свободного пробега тепловых фононов из-за уменьшения рассеяния на «примесных» изотопах. Поэтому изменение изотопного состава кристаллов должно сказываться и на таком термоэлектрическом явлении, как термоэдс электрон-фононного увлечения api,(T), которая явным образом зависит от длинны свободного пробега. Следовательно, уменьшение степени изотопического беспорядка должно приводить и к увеличению абсолютных значений термоэдс фононного увлечения. Однако теория Херринга [29] предсказывала очень слабую зависимость api,(T) от концентрации примесей в случае достаточно чистого полупроводника (см., также [30-32]). В этой теории релаксация импульса фононной системы рассматривалась в рамках стандартного однопараметрического приближения. В этом приближении частота релаксации фононов в нормальных процессах (^-процессах) фонон-фононного рассеяния включалась в полную частоту релаксации фононов, которая являлась единственным параметром, определяющим неравновесную функцию распределения фононов. Такой подход является оправданным для «грязных» полупроводников, когда частота релаксации фононов в iV-процессах -Vphsiq) гораздо меньше частоты релаксации фононов в резистивных процессах рассеяния -VphR{q), обусловленной рассеянием фононов на фононах в процессах переброса, на дефектах и границах образца. В противоположном предельном случае достаточно чистых полупроводников, как это уже отмечалось (см. также [33-34]), необходимо учитывать дрейф фононной системы, обусловленный //-процессами фонон-фононного рассеяния, и его влияние на термоэдс электрон-фононного увлечения.

Следует отметить, что в невырожденных проводниках электроны взаимодействуют только с длинноволновыми фононами, волновой вектор которых существенно меньше волнового вектора тепловых фононов, дающих основной вклад в теплопроводность: z д =ТшчК/кнТ «1 (ЬсоцХ - энергия фонона с волновым вектором q и поляризацией Л).

Поскольку вероятность изотопического рассеяния фонона пропорциональна четвертой степени волнового вектора q, то термоэдс, рассчитанная в рамках однопараметрического приближения, оказалась нечувствительной к степени изотопического беспорядка. На

4 аномалии термоэдс, возникающие в такой ситуации, обращали внимание Козлов и Нагаев еще 30 лет тому назад [35]. Они показали, что в случае совершенных кристаллов увлечение длинноволновых фононов тепловыми фононами может вызвать аномально высокие значения термоэдс. Эта термоэдс (термоэдс двухступенчатого увлечения) в отличие от херринговской обратно пропорциональна концентрации примесей [36] и связана с механизмом релаксации длинноволновых фононов на тепловых в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Однако, авторы [36] использовали гидродииамическое описание для одномодовой дебаевской модели фононной системы.

Эти приближения не позволяют воспользоваться теорией [36] для описания изотопического эффекта в термоэдс. Как следует из анализа теплопроводности [18], одномодовое приближение не является корректным для описания фононной системы в кристаллах германия и кремния.

Впервые попытка обнаружить влияние изотопического рассеяния фононов на термоэдс была предпринята Оскотским и др. [37], которые исследовали теплопроводность и термоэдс кристаллов Те с двумя разными изотопными составами, один из которых был ир обогащен до 92% по изотопу Те. Изотопическое обогащение приводило к трехкратному увеличению максимальных величин теплопроводности, однако авторы не обнаружили влияния изотопического беспорядка на термоэдс фононного увлечения при низких температурах. Этот негативный результат, возможно, обусловлен либо различной концентрацией заряженных примесей в исследованных образцах, либо сравнительно слабым вкладом N-процессов в суммарную частоту релаксации фононов.

В отличие от результатов, полученных в работе [37], в выполненных недавно измерениях термоэдс на кристаллах германия с разным изотопным составом [21] было обнаружено почти двукратное увеличение термоэдс при низких температурах в

7П моноизотопном образце Ge(99.99%) по сравнению с Ge природным составом изотопов [21]. Этот результат свидетельствует о важной роли //-процессов в релаксации фононной системы для изотопически обогащенных кристаллов германия. Поэтому в работе рассмотрено влияние дрейфового движения фононов, обусловленного нормальными процессами рассеяния фононов, на термоэдс электрон-фононного увлечения. В дрейфовую скорость фононов, как и в теплопроводность, основной вклад вносят тепловые фононы, рассеяние которых на изотопическом беспорядке играет важную роль. Таким образом, при учете дрейфа фононов термоэдс становится зависящей от степени изотопического беспорядка.

Третья проблема, которая решается в данной работе, заключается в расчете частот релаксации тепловых и высокочастотных фононов в ангармонических процессах ф рассеяния для кристаллов германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка. Дело в том что, при анализе теплопроводности и термоэдс электрон-фононного увлечения в рамках релаксационного метода [2,15,18,22,25-26] обычно используются выражения для частот релаксации фононов в /^-процессах рассеяния, полученные в длинноволновом приближении: zqX =Ьа>чХ1 квТ «1 {ТшчХ - энергия фонона с волновым вектором q и поляризацией Л). Это приближение является вполне оправданным при расчете коэффициента поглощения длинноволнового ультразвука, а также термоэдс электрон* фононного увлечения, так как в полупроводниковых кристаллах электроны могут взаимодействовать только с длинноволновыми фононами. Однако в решеточную теплопроводность кристаллов Ge и Si с природным составом изотопов основной вклад вносят тепловые фононы с zqA « 1, а в изотопически обогащенных кристаллах - тепловые фонолы с :^ «2-4. Поэтому длинноволновое приближение для частот релаксации фононов не является корректным для расчета теплопроводности. В рамках этого метода параметры, определяющие интенсивность ангармонических процессов рассеяния, являлись подгоночными параметрами теории, которые определялись из сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными [2,15,18,22,25-26]. Однако при этом возникает вопрос: «Насколько однозначна процедура нахождения параметров, ^ определяющих частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния из данных по теплопроводности при вариации четырех подгоночных параметров теории?» Для оценки вероятности ангармонических процессов рассеяния обычно использовалась модель изотропной среды. Эта модель не является адекватной для кристаллов германия, кремния и алмаза, а также таких популярных объектов исследования, как InSb, GaAs, CaF2 и т. д., имеющих кубическую симметрию с существенной анизотропией упругих модулей как второго, так и третьего порядков. Такие расчеты позволят, во-первых, определить эффективные механизмы релаксации тепловых фононов и избавиться от произвола, связанного с выбором подгоночных параметров теории при расчете теплопроводности 6 этих кристаллов, а, во-вторых, найти коэффициенты поглощения как длинноволнового, так и коротковолнового ультразвука. Эти исследования являются особенно актуальными для структурно совершенных, химически чистых и изотопически высокообогащенных кристаллов, поскольку именно в этих кристаллах проявляются в полной мере особенности релаксации фононных мод в ангармонических процессах рассеяния.

Итак, цель работы заключается в следующем: а) исследовать влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния, а также изотопического беспорядка на теплопроводность и термоэлектрические явления в кристаллах германия и кремния с различным изотопическим составом; б) проанализировать механизмы релаксации квазичастиц, определяющих зависимости кинетических эффектов в этих кристаллах от температуры и степени изотопического беспорядка; в) рассчитать частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов кубической симметрии гермаиия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дано корректное обобщение теории Каллавея решеточной теплопроводности, последовательно учитывающее перераспределение импульса фононов в нормальных процессах рассеяния как внутри каждой колебательной ветви, так и между различными колебательными ветвями фононов. Показано, что перераспределение импульса между продольными и поперечными фононами в нормальных процессах рассеяния Херринга приводит к существенному подавлению дрейфового движения продольных фононов и, соответственно, их вклада в теплопроводность. Предложенная модель позволила адекватно описать экспериментальные данные теплопроводности кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом.

2. Рассчитаны зависимости максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния от степени изотопического беспорядка g для двух вариантов релаксации импульса фононов в нормальных процессах. Показано, что изотопическое обогащение до 99.99% кристаллов германия и кремния является оптимальным пределом для получения максимальных значений теплопроводности. Дальнейшее увеличение изотопической чистоты кристаллов приведет к увеличению максимальных значений теплопроводности не более одного процента.

3. Развита теория увлечения электронов фононами для полупроводников с невырожденной статистикой носителей тока, учитывающая особенности релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Показано, что изотопический эффект в термоэде обусловлен нормальными процессами фонон-фононного рассеяния, приводящими к дрейфовому движению фононной системы, которое оказывается очень чувствительным к изотопическому беспорядку в кристаллах.

4. Получено выражение для упругой энергии, обусловленной энгармонизмом колебаний решетки для кристаллов кубической симметрии, через упругие модули второго и третьего порядка. Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов необходимые для перехода к модели изотропной среды.

5. Рассчитаны частоты релаксации фононов различных поляризаций в ангармонических процессах рассеяния в широкой области изменения волновых векторов как для изотропной среды, так и для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза Из известных значений упругих модулей второго и третьего порядка найдены параметры, определяющие величины частот релаксации фононов различных поляризаций для рассмотренных кристаллов. Показано, что их зависимости от волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в кубических кристаллах. Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза, InSb и GaSb в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, они имеют немонотонный характер с двумя максимумами; один из них находится в высокочастотной области. Установлено, что обнаруженные особенности частот релаксации в кубических кристаллах обусловлены угловой зависимостью вероятности ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств.

1. Плеханов В.Г. Изотопическая инженерия//УФН.-2000.-Т. 170.- 11. - С. 1245-1252.

2. Жернов А.П., Инюшкин А.В. Изотопические эффекты в твердых телах. Москва:

3. Российский научный центр "Курчатовский Институт", 2001.-216с.

4. Maxwell Е. Isotope effect in the superconductivity of mercury // Phys. Rev. 1950. - V.78.4.-P. 447.

5. Reynolds C.A., Serin В., Wright W.H., and Nesbit L.B. Superconductivity of isotopes ofmercury // Phys. Rev. 1958. - V.l 10. - 3. - P. 773-775.

6. Geballe Т.Н., Hull G.W. Isotopic and Other Types of Thermal Resistance in Germanium //

7. Phys.Rev.- 1958.-V.l 10.-3.-P. 773-775.

8. Bardeen J., Cooper L.N., and Schrieffer J.R. Theory of superconductivity // Phys. Rev.1957.-V.108.-5.-P. 1175-1204.

9. Померанчук И.Я. О теплопроводности диэлектриков при температурах, меньшихдебаевской // ЖЭТФ. 1942. - Т. 12. - С. 246-254.

10. Berman R., Foster E.L., Ziman J.M. The thermal conductivity of dielectric crystals: theeffect of isotopes // Proc. R. Soc. London. 1956. - Ser.A. - V.239. - P. 344.

11. Slack G.A. Effect of isotopes on low-temperature thermal conductivity // Phys.Rev. 1957.-V.105.-3.-P. 829-831.

12. Callaway J. Model for lattice thermal conductivity at low temperature // Phys.Rev. 1959. -V.l 13. -4. - P. 1046-1051.щ 11. Займан Дж. Электроны и фононы. Москва: Иностранная Литература, 1962. - 488с.

13. Holland M.G. Analysis of lattice thermal conductivity // Phys.Rev. 1963. - V.l 32. - 6. P. 2461-2471.

14. Berman R. Thermal Conductivity of Isotopically Enriched Diamonds // Phys.Rev.B. -1992. V.45. - 10. - P. 5726-5728.

15. Lanhua Wei, Kuo P.K., Thomas R.L., Anthkny T.R. and Banholzer W.F. Thermal Conductivity of Isotopically Modified Single Crystal Diamond // Phys.Rev.Let. 1993. -V.70.-24. -P. 3764-3767.

16. Olson J. R., Pohl R.O., Vandersande J.W., Zoltan A., Anthony T.R., Banholzer W.F., ^ Thermal conductivity of diamond between 170 and 1200 and the isotope effect // Phys.

17. Rev. B. 1993. - V.47. - 22. - P. 14850-14856.

18. Berman R. Interpretation of the thermal conductivity of isotopically depleted diamonds // J. Phys. Chem. Solids. 1998. - V.59. - 8. - P. 1229-1234.

19. Haller E.E. Isotopically engineered semiconductors // J. Appl. Phys. 1995. - V.77. - 7. -P. 2857-2878.

20. Itoh K. Low Temperature Carrier Transport Properties in Isotopically Controlled Germanium: Ph.D. Thesis, University of California at Berkeley. Dis. 1994.

21. Ожогин В.И., Ишошкин А.В., Талденков А.Н., Тихомиров А.В., Попов Г.Э., Халлер 10., Ито К. Изотопический эффект в теплопроводности монокристаллов германия // Письма в ЖЭТФ. 1996. - Т.63. - 6. - С. 463-467.

22. Ruf Т., Henn R.W., Asen-Palmer М., Gmelin Е., Cardona М., Pohl H.-J., Devyatych G.G., Sennikov P.G. Thermal conductivity of isotopically enriched silicon // Sol. St. Commun. -2000. V.l 15. - 5. - P. 243-247.

23. Capinski W.S., Maris H.J., Bauser E., Silier I., Asen-Palmer M., Ruf Т., Cardona M. and Gmelin E. Thermal Conductivity of Isotopically Enriched Si // Appl. Phys. Lett. 1997. -V.71.- 15.-P. 2109-2111.

24. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. Москва: Мир, 1979. - 286с.

25. Могилевский Б.М., Чудновский А.Ф. Теплопроводность полупроводников. Москва: Наука, 1972.-536с.

26. Simons S. On the mutual interaction of parallel phonons // Proc. Phys. Soc. 1963. - V.82.- 3. P. 527-401; On the interaction of long wavelength phonons with thermal phonons // Proc. Phys. Soc. - 1964. - V.83. - 5. - P. 749-753.

27. Herring C. Role of low-energy phonons in thermal conduction // Phys. Rev. 1954. - V.95. -4.-P. 954-965.

28. Herring C. Theory of the Thermoelectric Power of Semiconductors // Phys. Rev. 1954. -V.96.-P. 1163-1187.

29. Аскеров В.М. Электронные явления переноса в полупроводниках. Москва: Наука,1985.-318с.

30. Цидильковский И.М. Термомагнитные явления в полупроводниках. Москва: Наука,160. 396с.

31. Зырянов П.С., Клингер М.И. Квантовая теория явлений электронного переноса вкристаллических полупроводниках. — Москва: Наука, 1976. 480с.

32. Козлов В.А., Нагаев Э.Л. Аномалии термоэде при фонон-фононном увлечении // Письма в ЖЭТФ. 1971.-Т.13.-С. 639-643.

33. Бельчик А.А., Козлов В.А. Фонон-фононное увлечение в полупроводниках // ФТП.1986. Т.20. - С. 53-58.

34. Оскотский B.C., Погарский A.M., Тимченко И.Н., Шалыт С.С. Влияние изотопического состава на решеточную теплопроводность и термоэде теллура // ФТТ. 1968. - Т.10. - С. 3247-3253.

35. Кулеев И.Г., Кулеев И.И. Нормальные процессы фонон фононного рассеяния и теплопроводность кристаллов германия с изотопическим беспорядком // ЖЭТФ. -2001. - Т. 120. - 3(9). - С. 649-660.

36. Кулеев И.Г., Кулеев И.И. Влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на максимальные величины теплопроводности изотопически чистых кристаллов кремния // ЖЭТФ. 2002. - Т.122. - 3(9). С. 558-569.

37. Кулеев И.Г., Кулеев И.И., Талденков А.Н., Инюшкин А.В., Ожогин В.И., Ито К., Халлер Ю. Нормальные процессы фонон-фононного рассеяния и термоэде увлечения в кристаллах германия с изотопическим беспорядком // ЖЭТФ. 2003. - Т. 123. - 6. -С. 1227-1238.

38. Кулеев И.Г., Кулеев И.И. Механизм релаксации Ландау Румера тепловых и высокочастотных фононов в кубических кристаллах германия, кремния и алмаза // ЖЭТФ. - 2004. - Т. 126. - 1 (7). - С. 129-141.

39. Kuleyev I.G., Kuleyev I.I., Tankeyev А.P., Arapova I.Yu. Landau-Rumer relaxation mechanism of the thermal and high-frequency phonons in cubic crystals // Phys. Stat. Sol.(c). 2004. - 11. - P. 2963-29966.

40. Кулеев И.Г., Кулеев И.И. Механизмы релаксации продольных фононов в кубических кристаллах германия, кремния и алмаза I // ФТТ. 2005. - Т.47. - 2. - С. 300-310.

41. Soffer В. Statistical model for the size effect in electrical conduction // J. Appl. Phys. -1967.-V.38.-4.-P. 1710-1715.

42. Hamilton R. A. H., Parrot J. E. Variational calculation of the thermal conductivity of germanium // Phys. Rev. 1969. - V.178. - 3. - P. 1284-1292.

43. Slack G.A., Glassbrenner C.J. Thermal conductivity of germanium from 3K to 1020K// Phys. Rev. I960,-V.120.-3.-P. 782-786.

44. Nilsson G., Nelin G. Study of the homology between silicon and germanium by thermal-neutron spectrometry // Phys. Rev. B. 1972. - V.6. - 10. - P. 3777-3786.

45. Werner Weber Adiabatic bond charge model for the phonons in diamond, Si, Ge, and a-Sn // Phys. Rev. B. 1977. - V. 15. - 10. - P. 4789-4803.

46. Srivastava J.P. Phonon conductivity of insulators and semiconductors // J. Phys. Chem. Solids. 1980. - V.41. - P. 357-368.

47. Оскотский B.C., Смирнов И.А. Дефекты в кристаллах и теплопроводность.

48. Ъ Ленинград: Наука, 1972. -205с.51 . Baxter Н. Armstrong N processes, the relaxation-time approximation, and lattice thermal conductivity // Phys. Rev. B. 1985. - V.32. - 6. - P. 3381-3390.

49. Гуревич Л.Э., Коренблит И.Я. Влияние увлечения электронов фононами и их «взаимного» увлечения на кинетические коэффициенты полуметаллов // ФТТ. 1964. -Т.6.-С. 856-863.

50. Ланг И.Г., Павлов С.Т. Теория увлечения электронов фононами в магнитном поле // ЖЭТФ. 1972. - Т.63. - С. 1495-1502.

51. Кулеев И.Г. Эффекты взаимного увлечения электронов и фононов и электронный перенос в вырожденных проводниках // ФММ. 1999. - Т.87. - С. 5-17.

52. Кулеев И.Г. Влияние взаимного увлечения электронов и фононов на термомагнитные и термоэлектрические явления в проводниках с вырожденной статистикой носителей тока // ФТТ. 2000. - Т.42. - С. 979-985.

53. Kaden E., Giinter H.-L. The thermoelectric power of p-Ge at low temperatures // Phys. Stat. Sol. В. 1984. - V. 126. - P. 733-740.

54. Geballe Т.Н., Hull G.W. Seebeck Effect in Germanium // Phys. Rev. 1954. - V.94. - P.1134-1140.

55. Samoilovich A.G., Buda I.S., and Dakhovski I.V. Anisotropy of thermomagnetic effects in n-Ge // Phys. Stat. Sol. 1967. - V.23. - P. 229-236.

56. Truel В., Elbaum C., Chick B.B Ultrasonic methods in solid state physics. Academic Press: New York and London, 1969. - 307c.

57. Birch F. Finite Elastic Strain of Cubic Crystals // Phys. Rev. 1947. - V.71. - 11. - P. 809824.

58. Зарембо Jl.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.-520с.

59. Такер Дж., Рэмптон В. Гиперзвук в физике твердого тела. М.: Мир, 1975. 455с.

60. Brugger К. Thermodynamic Definition of Higher Order Elastic Coefficients // Phys. Rev.1964.-V.133.-6.-P. A1611-A1612.

61. Grimsditch M. H., Anastassakis E., and Cardona M. Effect of uniaxial stress on the zone-center optical phonon of diamond // Phys. Rev. B. 1978. - V. 18. - 2. - P. 901-904.

62. Mason W.P. Effect of impurities and phonon processes on the ultrasonic attenuation of germanium, crystal quartz, and silicon // Phys. Acoustics Ill-Part B. 1965. - P. 235-286.

63. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута C.A. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. Киев: Наукова Думка, 1982. 355с.

64. Thurston R. N. Wave propagation in fluids and normal solids // Phys. Acoustics I-Part.1964A. P.2-110.

65. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - 245с.

66. Ландау Л.Д. Сборник трудов. «О поглощении звука в твердых телах». Москва: Наука, Т. 1, 1972. С. 227-223.

67. Graebner J.E., Reiss М.Е., Seibles L., Hartnett T.M., Miller R.P. and Robinson C.J. Phonon scattering in chemical-vapor-deposited diamond // Phys. Rev. B. 1994. - V.50. - P. 3702-3713.

68. Maris H.J. Interaction of sound waves with thermal phonons in dielectric crystals// Phys. Acoustics VII. 1971. - P. 279.

69. Orbach R. and Vredevoe L.A. The attenuation of high frequency phonons at low temperatures//Physics. 1964.-T.l.-2.-P. 91-94.

70. Зырянов П.С., Талуц Г.Г. К теории поглощения звука в твердых телах // ЖЭТФ. 1965.- Т.49. 6(9). - С. 1942-1949.

71. Тиман Б.Л. К теории поглощения высокочастотного поперечного звука в диэлектриках // ФТТ. 1964. - 6. - 3. - С. 950-952.

72. Гуревич В.Л. Кинетика фононных систем. М.: Наука, 1980. -400с.

73. Tamura S. Spontaneous decay rates of LA phonons in quasi-isotropic solids // Phys. Rev. В- 1985. V.31. - 4. - P. 2574-2577.

74. Слонимский Г.Л. К вопросу об абсорбции звука в твердых телах // ЖЭТФ. 1937. -Т.7. - 12. - С. 1457-1462.