Описание броуновского движения и диффузии как немарковских случайных процессов

Скрипкин, Алексей Владимирович

Автореферат диссертации на тему "Описание броуновского движения и диффузии как немарковских случайных процессов"

На правах рукописи

00346745 1

Скрипкин Алексей Владимирович

Описание броуновского движения и диффузии как немарковских случайных процессов

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г Г р Г.

О [-, I I I —

Москва 2009

003467451

Работа выполнена на кафедре физики Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Морозов Андрей Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Дадиванян Артем Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Полуэктов Павел Петрович

Ведущая организация: Научно-исследовательский физико-технический

институт Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Защита диссертации состоится «I V » 2009 г. в ¡S~часов на

заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан « С\*ууСА& 2009 Ученый секретарь

г.

диссертационного совета

Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение броуновского движения является одной из важных задач теоретической физики. Хаотическое движение взвешенных в жидкости или газе частиц было открыто в 1827 г. Р. Броуном, а первое последовательное объяснение такого движения было дано А. Эйнштейном и М. Смо-луховским в 1905 г. на основе молекулярно-кинетической теории.

Развитие теории броуновского движения и диффузии продолжались на протяжении всего XX века. В 1918 г. В. Шоттки теоретически предсказал и получил основные закономерности «броуновского движения» тока электровакуумных приборов (дробовой эффект), которое вскоре было обнаружено и исследовано экспериментально. У. Вейсс, П.С. Райзеборо, П. Хангги, Р. Моргадо, Ф.А. Оливьера, А. Хансен в 1960—1990-е гг. занимались обобщениями динамического уравнения броуновского движения (уравнения Ланжевена), в том числе изучая хаотическое перемещение взвешенных частиц при воздействии внешних потенциальных полей.

Теория броуновского движения в сильной степени способствовала обоснованию и развитию статистической физики. Кроме того, она имеет важное практическое значение. В частности, указанные выше шумы электронных приборов определяются случайным движением переносчиков заряда. Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Например, «броуновское движение» зеркальца оптического гальванометра определяет предел точности данного прибора. Увеличение сопротивления растворов электролитов по сравнению с теоретическим во многом объясняется хаотическим движением ионов. Диэлектрические потери в диэлектриках определяются случайным движением молекул, обладающих дипольным моментом. Теория броуновского движения играет все большую роль в задачах физической кинетики, гидродинамики, радиофизики и других разделах теоретической физики.

Однако хорошо разработанная за последнее столетие теория броуновского движения и диффузии является приближенной. И хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория дает удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведенные в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молекулярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна—Смолуховского, что было особенно заметным при увеличении размеров частиц. Исследования затрагивали также анализ движения окружающих частиц среды и показали существенное взаимное влияние движения броуновской частицы и вызываемое ею движение частиц среды друг на друга, то есть наличие «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость ее статистических характеристик в будущем от всей предыстории ее поведения в прошлом. Данный факт не учитывался в теории Эйнштейна—Смолуховского.

Таким образом, становится актуальной разработка теории броуновского движения и диффузии, которая бы учитывала указанные выше экспериментальные факты. Это, однако, требует изменения математического метода теоретического описания броуновского движения. Так, наличие «памяти» в движении броуновской частицы не может быть описано с помощью дифференциальных уравнений, в связи с чем необходимо использовать интегральные операторы, ядра которых принципиально могут учесть указанную «память» броуновской частицы. Актуальность исследования повышается важностью модели броуновского движения при исследованиях во многих областях теоретической физики.

Цель работы состоит в изучении броуновского движения, распространения тепла, поведения осциллятора в вязкой среде и в среде с флуктуирующим коэффициентом трения, изучении процессов диффузии и случайных процессов, происходящих в реологических средах, при помощи интегральных стохастических уравнений, и получении статистических характеристик изучаемых немарковских случайных процессов.

Научная новизна. В диссертации получила развитие теория броуновского движения и диффузии.

1. Показано, что использование интегральных операторов точнее описывает поведение броуновской частицы и осциллятора при учете увлечения ими частиц среды, а также в случае флуктуирующего кинетического коэффициента трения.

2. Проведено описание испарения с поверхности плоскости и капли при наличии флуктуаций потока частиц.

3. Найдены статистические характеристики для реологических сред, подверженных случайным напряжениям и деформациям.

Практическая значимость. Результаты исследований могут служить теоретическим обоснованием при разработке новых методов, использующих модели броуновского движения или осциллятора. В частности, полученные результаты могут иметь существенное значение при описании и разработке устройств демпфирования колебаний, при получении сред с микроструктурой, объектов нанотехнологий или высоконадежных электронных компонентов и др.

Полученные результаты статистического описания процессов диффузии могут служить основой при изучении объектов, находящихся в состоянии капельного аэрозоля, для анализа или прогнозирования их поведения. В частности, найденные результаты имеют значение при оценке среднего времени исчезновения тумана в метеорологических исследованиях.

Исследование реологических сред, подверженным случайным воздействиям, может найти применение при техническом или технологическом анализе объектов, обладающих вязкоупругими свойствами и подверженных случайным воздействиям, например, при исследовании изменения свойств бетона, находящегося во флуктуирующем температурном поле, например при резких перепадах температуры, или изучении концентрированных растворов полимеров, используемых при получении новых материалов с заданными свойствами.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями статистической физики, физической кинетики, теории вязкоупругости, теории колебаний, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования одномерного броуновского движения и явлений теплопроводности при наличии внешних случайных динамических или тепловых воздействий.

2. Результаты описания броуновского движения сферической частицы и движения осциллятора в вязкой среде при учете увлечения ими частиц среды.

3. Результаты статистического описания процессов испарения частиц пара с плоской поверхности жидкости или сферической капли, учитывающие флуктуации потока частиц через поверхность раздела фаз, вызванные случайными изменениями температуры, концентрации и др.

4. Результаты исследования поведения стержней из реологических материалов, подверженных воздействию случайных одномерных воздействий (напряжений или деформаций).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на Второй Всероссийской молодежной научной школе «Микро-, нанотехнологии и их применение» (Черноголовка, ИПТМ РАН, 2005 г.); Четвертой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007 г.); Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007 г.); Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2009 г.); научных семинарах кафедры физики МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из которых 9 статей, в том числе 5 - из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и заключения. Общий объем составляет 127 стр., включая 47 рисунков, 7 стр. библиографии, содержащей 83 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, определены цели, научная новизна и практическая ценность работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика и структура диссертации.

В первой главе приведен обзор работ, посвященных теории броуновского движения и диффузии. В главе рассматриваются как классическая теория (теория Эйнштейна - Смолуховского), так и современные исследования (построение обобщенного уравнения Ланжевена, прецизионное экспериментальное изучение взаимодействия броуновской частицы и окружающих ее частиц среды, развитие «фрактальной» теории броуновского движения и др.) В главе также проведен анализ работ, изучающих испарение и рост аэрозольных капель

в газообразной среде. Особое внимание уделяется тем работам, в которых процессы броуновского движения и диффузии предполагаются немарковскими.

Во второй главе диссертации рассматриваются общие математические модели, применяемые при исследовании случайных физических процессов. Первый параграф главы посвящен анализу теории стохастических дифференциальных уравнений, использующихся при описании случайных процессов, имеющих марковский характер (например, классического броуновского движения и диффузии). Во втором параграфе построена математическая модель описания немарковского случайного физического процесса, использующая интегральные стохастические уравнения. В такой модели случайный процесс Z(t) описывается уравнением вида

Z(t)='jG(t,z)dW( т), (1)

о

в котором G(t, т) - непрерывная функция переменной т, W(t) - случайный процесс с независимыми приращениями.

Считая, что преобразование (1) является интегралом Ито, когда функция W(t) представляет собой винеровский или пуассоновский процесс.

Третий параграф посвящен иллюстрации полученных выше общих соотношений. В качестве ядра интегрального преобразования (1) выбиралась функция абелевого типа

G(f,x) = (2)

а процесс W(t) считался винеровским. Найдены статистические характеристики рассматриваемого случайного процесса, в частности, показано, что его спектральная плотность обратно пропорциональна частоте, что характерно для фликкер-шума.

В третьей главе рассматривается процесс одномерного броуновского движения (а также распространения тепла) в безграничной среде. Показано, что даже в таком простейшем случае его описание как марковского процесса является лишь первым приближением.

Рассмотрим движение плоской поверхности в вязкой жидкости, занимающей полупространство (х> 0). Будем считать, что плоскость расположена в начале координат (при х = 0), а её движение со скоростью V(t) происходит в направлении, перпендикулярном оси X и лежащем в плоскости. На плоскость действуют сила вязкого трения F{t) со стороны среды и случайная сила c,y(t) (на единицу площади).

Движение плоскости в вязкой жидкости будет описываться уравнением

M^- = FS) + F,{t)Hy{t), (3)

dt

где V(t) - скорость плоскости, М-ее масса, отнесенная на единицу площади, \y{t) - случайная сила, Fc(t)— сила сопротивления, F0(t)- сумма остальных

внешних заданных сил, действующих на плоскость вдоль направления ее движения.

В рассматриваемом одномерном случае, считая скорость жидкости малой, уравнение для и(хпри х > О принимает вид

ди д2и ...

— = у—(4) Э* 5х2

Граничное и начальное условия для уравнения (8) имеют форму

и(х,0) = 0, и(0,0 = У((). (5)

Из (4), (5) и определения силы вязкого трения , действующего со стороны жидкости, находится зависимость силы от скорости

РМ-Ъ)-1 ^к (6)

Система уравнений (3) и (6) может быть записана в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода

г(о+л\г( = (7)

где

^ = = (8) ш Мыт М

Решение интегрального уравнения (7) имеет вид

<

|(5(Г-т)-Л(Г,Х)Х(Т)А, (9)

о

где резольвента

к

Здесь Г(х) - гамма-функция.

С помощью метода, изложенного во второй главе, найдены статистические характеристики случайных процессов Х{1) и (характеристические функции, корреляционные функции, спектральные плотности). В частности, для спектральных плотностей процессов получены выражения

— ™ су(ф)=-{— ° и (11)

где а - интенсивность процесса !;(?), равная ст ~ ' ^десь * ~ постоянная Больцмана, Г-температура, у - коэффициент вязкого трения.

Из второго выражения (11) следует, что флуктуации скорости движения К(/) плоской поверхности в вязкой жидкости представляют собой фликкер-шум, для которого характерна обратная зависимость от частоты для диапазона малых частот. На рис. 1 приведены зависимости спектральной плотности, рассчитанные для классического случая, при котором сила сопротивления считается пропорциональной скорости (кривая 1), и по формуле (11) (кривая 2). Хорошо видно, что для больших частот характер этих двух зависимостей аналогичен, а при малых - наблюдается существенное отличие, связанное с наличием фликкер-шума в случае, описываемом формулой (11).

0 1 23456789 10

Рис. 1. Зависимости спектральной плотности, рассчитанные для классического случая, при котором сила сопротивления считается пропорциональной скорости (кривая 1), и

по формуле (11) (кривая 2).

Отметим, что флуктуации температуры плоской поверхности в задаче о одномерной теплопроводности так же имеют спектральную плотность вида (11), а, следовательно, для них характерно наличие фликкер-шума. Это в свою очередь, учитывая зависимость кинетических коэффициентов от температуры, должно приводить к флуктуациям указанных коэффициентов в низкочастотной области спектра вида фликкер-шума.

Четвертая глава диссертации посвящена описанию броуновского движения шарообразной частицы и осциллятора в неограниченной вязкой среде с учетом увлечения ими окружающих частиц жидкости. Такое взаимовлияние броуновской частицы и окружающих ее частиц среды приводит к следующему выражению для силы сопротивления

1 аГГ(0 , ЗУ т +1 ^ '^У(х) А

рс(1) = - 2прЯ-

3 Л

Я'

л

(12)

В последнем выражении момент времени I = О принят за начало движения частицы. Формула (12) получается путем нахождения силы сопротивления, испытываемой сферической частицей, совершающей гармонические колебания в вязкой жидкости (при малых числах Рейнольдса), с последующим использованием этого решения для нахождения силы сопротивления, действующей на частицу, совершающей произвольное движение со скоростью , разлагаемой в интеграл Фурье.

Подставляя (12) в (3) и вводя замены

ш

бтср уЯ

М+^-крЯ3 3 Р

_ т

М+^прЯ3 3

М+-ярД3 3

придем к выражению

ь

В

(13)

Выражение (13) описывает процесс 2{1), являющийся в этом случае немарковским процессом. Таким образом, использование для силы сопротивления выражения (12) место используемого обычно, в котором сила сопротивления пропорциональна скорости, приводит к необходимости применения интегральных уравнений, а, следовательно, и теории немарковских процессов.

С помощью метода, изложенного во второй главе, и в предположении ^ (/) = 0 найдены одномерная и ¿-мерная характеристические функции процесса 2(0 и его статистические характеристики, а также статистические характеристики флуктуаций скорости броуновской частицы У(0- В частности, Ь-мерная характеристическая функция флуктуаций скорости бу (со) определяются соответственно выражениями. В частности, для Ог (со) имеем

где

©2 + АВ^2п(й3 + А2 В2 яю + А2В^2ш + А2 12тсру КкТ

М + |тфД3

(14)

(15)

Сравнение формулы (24) с классической, имеющей в знаменателе помимо постоянной лишь слагаемое, пропорциональное второй степени частоты, показывает, что использование для силы сопротивления выражения (12) вместо классического, пропорционального скорости, приводит к существенному различию спектральных плотностей флуктуаций скорости частицы, в особенности, в полосе низких и средних частот. На рис. 2 показаны в сравнении графики спектральных плотностей, даваемые формулами (24) (кривая 1) и в классическом случае (кривая 2).

4 10

зю" 2 10'" 110"

Рис. 2. Графики спектральных плотностей, даваемые формулами (24) (кривая 1) и в классическом случае (кривая 2).

Если на сферическую частицу вдоль оси X кроме случайной силы и силы сопротивления действует возвращающая сила Гд(() = -кХ^), добавляемая в ~ к

правую часть (13). Здесь к =--.

М + ~лрЯ3

Тогда для спектральной плотности флуктуаций отклонения осциллятора от положения равновесия Сх(а>) получим

Ог(®)=-г=--:-=—!- - аг (Щ

со4 +ЛВ^2ш7 +АгВ1ш3 +Л2Ву2т5 +(А2 -2к)а2 -МвЬш3 5

Сравним последнее выражение со спектральной плотностью классического осциллятора

1

= —-г—-—-—г-— С',

х ' а* +(Л'г - 2к')®2 +к'2 г

бпруЯ ,, к \2zpvКкТ

где теперь А =—^—, к = —, =■

(17)

М

м

м1

На рис. 3 и 4 изображены спектральные плотности, задаваемые выражениями (26) и (27) при V = 10"6 м2/с, р = 103 кг/м3, к = 10"2 Н/м, К=\0 мкм (рис. 3), 7? = 100 мкм (рис. 4). Плотность частицы при этом принимается равной плотности среды.

Сх(о>)

С. (о)

1-10

4-10"

Рис.3

810"

1,2-105

Графики спектральных плотностей, задаваемые выражениями (26) и (27) при V = 10 м2/с, р = 103 кг/м3, А = 10"2 Н/м, К = 10 мкм (рис. 3), Л = 100 мкм (рис. 4)

Из графиков видно, что с увеличением размера частиц формы кривых становятся похожими, при этом классическому случаю соответствует большее амплитудное значение спектральной плотности. Этот эффект становится наиболее заметным при больших размерах частиц. Из графиков видно также, что максимум спектральной плотности в классическом случае соответствует более высокой резонансной частоте. Этот факт является следствием того, что при неклассическом описании к массе частицы добавляется некоторая «эффективная» 2

масса — тс рЛ.

Таким образом, проведенное описание движения броуновской частицы шарообразной формы в неограниченной вязкой среде позволило установить, что флуктуации её скорости представляют собой немарковский случайный процесс. Полученные резонансные кривые для механического осциллятора, размещенного а вязкой безграничной среде, по своей форме отличаются от классической. Последний результат может иметь существенное значение для устройств демпфирования колебаний.

В пятой главе проведено описание броуновского движения при учете флуктуаций коэффициента трения. Построена математическая модель флук-туаций кинетического коэффициента. Показано что спектральная плотность таких флуктуаций имеет характер фликкер-шума. Проведено описание осциллятора, подверженного воздействию детерминированной, случайной и возвращающей сил, а также флуктуирующего коэффициента трения.

Показано, что учет флуктуаций коэффициента трения вместо классического уравнения Ланжевена приводит к интегральному уравнения вида

J t-\ dx МквТ Ы

о

учитывающее флуктуации коэффициента трения броуновской частицы.

Численное решение уравнения (18) позволило установить особенности движения броуновской частицы в среде с флуктуирующим коэффициентом вязкого трения. При численном решении этого уравнения считалось, что интенсивность винеровского процесса W(t) была равна v = 2 (дисперсия 23 = 1), произведение МквТ = 1, а шаг по времени Ai = 0,3. Величина шага At ограничивалась устойчивостью расчетов. Внешняя сила варьировалась в диапазоне F = 0,00... 1,00 с шагом AF = 0,05. Всего в расчетах для одного значении силы было получено 100000 значений импульса P(t), по которым определялись математическое ожидание Мр, дисперсия Dp и спектральная плотность Gp(ш) процесса P(t).

Рис. 5 иллюстрируют зависимость математического ожидания Мр и дисперсии Dp флуктуаций импульса броуновской частицы P{t) от внешней приложенной силы F.

Mr, Dr 2.5 i--------

0.0 С ,2 0.4 ОД ОД 1Д

Рис. 5. Зависимость математического ожидания Мр и дисперсии Ир флуктуаций импульса броуновской частицы /5(?) от внешней приложенной силы Р.

Из этого рисунка видно, что зависимость Мр {р) имеет линейный характер с коэффициентом пропорциональности близком к единице, что совпадает с традиционным описанием при ц = 1. Дисперсия флуктуации импульса Ор(р)

имеет зависимость от силы Р близкую к квадратичной, что связано с приближением средней скорости движения броуновской частицы к средней квадратичной скорости её хаотического движения.

На рис. 6 приведена спектральная плотность С7р(а>) флуктуаций импульса Р(?) при внешней силе ^ = 1,0. Спектр рассчитан по 2-106 точкам. Из полученной зависимости СтДсо) следует, что при приложении внешней силы флуктуации импульса броуновской частицы приобретают характер фликкер-шума. Вычисленная функция аппроксимации дает зависимость С р (со), близкую к обратно пропорциональной.

б»

О,ОООЯ 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 о

1

№.и» .1,11............ .j.,.1 .. и.1. . .... - .

Рис. 6. Спектральная плотность Gр (со) флуктуаций импульса P(t) при внешней силе

F= 1,0.

Таким образом, описание броуновского движения в среде с флуктуирующим коэффициентом вязкого трения как немарковского случайного процесса является более реалистичным,, чем традиционное, с использованием уравнения Ланжевена. При этом флуктуации импульса броуновской частицы содержат не только составляющие, описываемые белым шумом, но и флуктуации со спектром типа фликкер-шума, возникающие при приложении к частице

внешнего детерминированного воздействия p(t).

Dy(k) алш)

\

\ \

Л'

2 \\

ч

1

1 "¡J Ill

¡It ill

1 flf »'4tf mu.

0,2 0,4 0,6 0,й 1

Рис. 7 Рис. 8

Зависимость дисперсии флуктуаций осциллятора от коэффициента к.

Далее в главе путем добавления возвращающей силы в правую часть уравнения (18) рассматривается движение осциллятора в вязкой среде при учете флуктуирующего коэффициента трения. Полученные для осциллятора зависимости согласуются с аналогичными зависимостями классической модели, но являются более точными, учитывающими флуктуирующий характер коэффициента трения. В частности, рисунки 7 и 8 изображают соответственно зависимость дисперсии флуктуаций осциллятора от коэффициента к, характеризующего упругие свойства среды ^ = 0), и график спектральной плотности флуктуаций координаты У при к = 0,4 и силе Р = 0,0. Кривая 2 на рис. 7 соответствует классическому осциллятору. Заметно совпадение поведения кривых для осциллятора с учетом флуктуирующего коэффициента трения и классического осциллятора. Однако график спектральной плотности флуктуаций координаты У обладает особенностью в области низких частот, имеющую характер флик-кер-шума.

Полученные в главе результаты могут найти применение в различных задачах, использующих модели броуновского движения и осциллятора, в том случае, если параметр, характеризующий «сопротивление» описываемой физической или технической системы, испытывает флуктуации, имеющие вид фликкер-шума.

В шестой главе рассмотрены процессы диффузии частиц пара над плоской поверхностью жидкости и поверхностью сферической капли. Исследованы особенности испарения пара с указанных поверхностей с учетом флуктуаций потока частиц, вызванных случайными изменениями температуры, концентрации и др. Найдены статистические характеристики флуктуаций соответствующих величин, в том числе потока массы через границу раздела жидкости и пара, а также концентрации у поверхности жидкости. Найдено распределение количества исчезнувших (полностью испарившихся) капель в зависимости от времени.

Рассмотрим пространство, одна половина которого заполнена жидкостью, а во второй находится испарившийся с её поверхности пар. Поверхность жидкости примем за плоскость X = 0. Ось X направим перпендикулярно плоскости раздела сред от жидкости к пару. Концентрацию насыщенного пара обозначим через п0, концентрацию пара у поверхности жидкости будем считать некоторой функцией времени и обозначим как й(г). Коэффициент диффузии £> для пара считается постоянным. Будем в дальнейшем рассматривать случай, когда начальная концентрация пара над поверхностью жидкости постоянна и равна концентрации насыщенного пара п0.

Поставленная задача диффузии решается совместно с выражением для потока массы частиц цт (7), для которого принимается выражение

^ =-та(т-пй) + т, (19)

1=0

ох

где а - характерный коэффициент, зависящий в общем случае от рода вещества, температуры и др., Е,(() - флуктуации массового потока.

Показано, что поставленная задача приводит к стохастическому интегральному уравнению Вольтерра первого рода

пг . \

+ а

где

¿(0 =

Л '

5п(е) = п(()-п0.

(20)

(21)

Таким образом, случайный процесс 7.(1) описывается с помощью интегрального оператора Вольтерра первого рода (20) с ядром, являющимся суммой слагаемого абелевого типа и постоянной величины. Описание случайного процесса 2(/) с использованием интегрального уравнения приводит к тому, что процесс Z(f) является в общем случае немарковским случайным процессом. Величина Ьп(1), очевидно, также в общем случае является немарковским случайным процессом.

Найдены статистические характеристики процессов дт(0 и 8и(/)(одномерные и 1-мерные характеристические функции, спектральные плотности и Др.).

На рис. 9 в качестве примера приведен график спектральной плотности массового потока б (со) для воды (кривая 1) и этилового спирта (кривая 2).

«л-

Рис.9. График спектральной плотности массового потока (? (со) для воды (кривая 1) и этилового спирта (кривая 2).

Далее рассматривается диффузия пара над поверхностью сферической капли жидкости. Задача решается для двух случаев: квазистационарный (радиус капли предполагается неизменным) и случай капли с изменяющимся в результате испарения (конденсации) частиц радиусом.

Действуя аналогично предыдущему случаю записываются уравнение диффузии с начальными и граничными условиями, а также выражение для массового потока со случайной составляющей. Легко показать, что такая задача сводится к одномерной задаче диффузии путем замены Р(г,0 = гп(г,г), где г -расстояние от центра капли. Решая одномерную задачу для функции Р(г,() и

возвращаясь затем снова к концентрации п(г,(), получаем решение искомой задачи.

Для квазистационарного случая получаем окончательно

mD

i-

1

V Л Г^ I-+ 2кт)А = ?(г),

R0 0JWnZ) V/-t /

(22)

где приняты те же обозначения, что и раньше. Легко видеть (см. выражение (20)), что интегральное уравнение для случайного процесса Z(f) с точностью до постоянных совпадает с полученным ранее уравнением, так что статистические характеристики указанных случайных процессов будут иметь сходный характер.

Далее рассматривается случай, учитывающий изменение радиуса капли в процессе испарения. Ввиду сложности задачи, она решается численными методами. Примером одной из реализаций процесса испарения капли служат рис. 10 и 11, где показаны изменение радиуса капли от шага итерации и спектральная плотность массового потока для этого случая. Показанная белой кривая аппроксимации представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс, что говорит о том, что флуктуации массового потока представляют собой белый шум.

№ А 1 и

И Ai

/ к

V \ V Hi X

V)

г I

200 400 600 800 ( 000 1200

Рис. 10

2000 4000 6000 8000 10000

Рис. 11

В седьмой главе проведено статистическое описание реологических сред, подверженных одномерной случайной нагрузке для случая, когда связь между напряжением и деформацией е(/) реологического материала при линейной деформации может быть выражена интегральными операторами Вольтерра второго рода:

1 Г ' ^ ( ' }

т)сг(г)А , (24)

^Ч о ) V о /

Здесь К^ - т) - ядро ползучести, Я(г - т) - ядро релаксации, Е - модуль упру-

Ае-Х")

гости. В работе выбиралось ядро вида K(t - т) =

(f-xT

Рассмотрим теперь среду из реологического материала, представляющую собой ограниченное плоскостью полупространство. Связь между напряжением ст(г) и деформацией в этой среде задается интегральными уравнениями (24). Пусть на одну из границ среды действует случайная нагрузка пред-

ставляющая собой белый шум интенсивности V. Находятся статистические ха-

Графики спектральной плотности для различных Р и единичных

значениях Е и V приведены на рис. 12 (где р = Ос-1 (1), (3 = 0,5с"1 (2), Р = 1с"1 (3)).

Рассмотренные в главе процессы в реологических средах, в которых связь между деформациями и напряжениями дается интегральным уравнением Воль-терра второго рода, могут послужить основой для более точного описания технических систем, компоненты которых состоят из материалов, обладающих вязкоупругими свойствами.

Основные результаты диссертации

1. Проведено общее математическое описание кинетических процессов, задаваемых с помощью линейных интегральных преобразований. Рассмотрен пример описания такого процесса (фликкер-шум, встречающийся в физических системах различной природы), в котором использован интегральный оператор с ядром абелевого типа.

2. Рассмотрена задача о движении плоской поверхности в среде, занимающей полупространство, а также задача о теплопроводности в такой среде. При учете случайных динамических (или соответственно тепловых) воздействий на поверхность (в виде белого шума) найдены статистические характеристики флуктуаций скорости (или температуры) поверхности, такие как характеристическая функция, спектральная плотность и др. Показано, что даже в таких, относительно простых, случаях рассматриваемые флуктуации требуют применения немарковской теории случайных процессов, а спектральная плотность флуктуаций скорости и температуры поверхности имеет характер флик-кер-шума.

3. Проведено описание движения сферической броуновской частицы, учитывающее увлечение такой частицей окружающих ее частиц вязкой среды. Показано, что эти флуктуации представляют собой немарковский случайный процесс и имеют характерные особенности, отличающие их от флуктуаций при классическом рассмотрении. Проведено также описание находящегося в вязкой среде осциллятора и сравнение резонансных кривых для осцилляторов в классическом случае и при описании с помощью получаемых в работе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

4. Выполнено исследование броуновского движения при учете флуктуа-ций коэффициента трения. Построена математическая модель флуктуаций кинетических коэффициентов, спектральная плотность которых имеет экспериментально наблюдаемый характер фликкер-шума. Проведено описание осциллятора, подверженного воздействию детерминированной, случайной и возвращающей сил, и находящегося в среде с флуктуирующим коэффициентом трения.

5. Рассмотрены процессы диффузии частиц пара над плоской поверхностью жидкости и поверхностью сферической капли с учетом флуктуаций. потока частиц с указанных поверхностей, вызванных случайными изменениями температуры, концентрации и др. Исследованы статистические особенности испарения пара с поверхностей при данных условиях. Найдены соответствующие характеристики флуктуаций физических величин, описывающих рассматриваемые процессы, в числе которых поток массы через границу раздела жидкости и пара, а также концентрация у поверхности жидкости и масса испарившейся жидкости с единицы площади к некоторому моменту времени. Найдено распределение количества исчезнувших (полностью испарившихся) капель аэрозоля в зависимости от времени.

6. С использованием интегральных моделей реологических сред найдены статистические характеристики деформаций и напряжений в реологическом стержне при наличии случайных динамических воздействий. Проведено сравнение найденных характеристик с аналогичными величинами, получаемыми при использовании широко распространенных дифференциальных моделей (таких, как модель Фойхта-Кельвина).

Публикации по теме диссертации

1. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. К вопросу об описании кинетических процессов в средах с микроструктурой // Микро-, нанотехнологии и их применение: Тезисы Второй Всероссийской молодежной научной школы. -Черноголовка: ИПТМ РАН, 2005. - С. 44 -45.

2. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Применение уравнения Вольтерра второго рода для описания вязкого трения и теплопроводности // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2006. №3. С. 62 - 71.

3. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Движение сферической броуновской частицы в вязкой среде как немарковский процесс // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2006. №4. С. 3 - 15.

4. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Использование уравнения Вольтерра второго рода для описания движения плоской поверхности и сферической броуновской частицы // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции 29-31 января 2007 г. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - С. 22 - 25.

5. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Применение линейных интегральных преобразований для описания немарковских случайных процессов // Электронный журнал «Исследовано в России». 2007. Т. 10. С. 1243-1251. http://zhurnal.ape. relarn.ru/articles/2007/l 19.pdf

6. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Описание упругих волн в реологических средах с использованием интегральных преобразований // Волновая динамика машин и конструкций: Тезисы Второй Всероссийской конференции. - Нижний Новгород, 2007. - С. 66.

7. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Статистическое описание осциллятора, находящегося под воздействием флуктуирующего коэффициента трения // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2008. №2. С. 3 - 15.

8. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Броуновское движение как немарковский случайный процесс // Необратимые процессы в природе и технике: Сборник научных трудов. Вып. II. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. С. 108 - 145.

9. Михеева H.A., Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Использование линейных интегральных операторов для описания процессов диффузии // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Пятой Всероссийской конференции 26-28 января 2009 г. Ч. I. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. С. 27 - 30.

10. Михеева H.A., Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Описание процессов диффузии при помощи линейных интегральных операторов // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 2009. №1. С. 3 - 20.

11. Морозов А.Н., Скрипкин A.B. Применение интегральных преобразований для описания броуновского движения как немарковского случайного процесса // Известия вузов. Физика. 2009. №2. С. 66 - 74.

Подписано к печати 17.03.09. Заказ №200 Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 263-62-01

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Скрипкин, Алексей Владимирович

Введение.

Глава 1. Теоретическое описание броуновского движения и диффузии.

1.1. Классическое описание броуновского движения.

1.2. Обобщенное уравнение Ланжевена. Броуновское движение как немарковский процесс.

1.3. Современные исследования испарения капель аэрозоля и процессов диффузии.

Глава 2. Математическое описание немарковских процессов, задаваемых линейными интегральными преобразованиями.

2.1. Стохастические дифференциальные уравнения.

2.2. Описание немарковского процесса, задаваемого линейным интегральным преобразованием.

2.3. Описание немарковского процесса типа фликкер-шума.

Глава 3. Применение интегральных операторов Вольтерра второго рода для описания одномерного броуновского движения и флуктуаций температуры поверхности.

3.1. Вязкость и теплопроводность в полупространстве.

3.2. Статистические характеристики флуктуаций скорости и температуры поверхности.

Глава 4. Движение сферической броуновской частицы в вязкой среде как немарковский процесс.

4.1. Сферическая частица в вязкой среде.

4.2. Движение свободной частицы в вязкой среде.

4.3. Описание движения осциллятора в вязкой среде.

Глава 5. Статистическое описание осциллятора, находящегося под воздействием флуктуирующего коэффициента трения.

5.1. Уравнение броуновского движения, учитывающее флуктуации коэффициента трения.

5.2. Спектральная плотность флуктуаций кинетических коэффициентов.

5.3. Математическое моделирование движения броуновской частицы под действием постоянной силы.

5.4. Осциллятор в среде с флуктуирующим коэффициентом трения.

Глава 6. Описание процессов диффузии при промощи линейных интегральных операторов.

6.1. Диффузия пара, находящегося над поверхностью жидкости, занимающей полупространство.

6.2. Диффузия пара, находящегося над поверхностью капли жидкости, имеющей сферическую форму (общая постановка задачи).

6.3. Квазистационарный случай.

6.4. Случай диффузии над поверхностью сферической капли с изменяющимся радиусом.

Глава 7. Случайные процессы в реологических средах, описываемых интегральными преобразованиями.

7.1. Описание реологических сред с помощью идеальных элементов.

7.2. Интегральные модели.

7.3. Реологические среды при наличии случайных напряжений.

7.4. Реологические среды при наличии случайных деформаций.

Введение диссертация по физике, на тему "Описание броуновского движения и диффузии как немарковских случайных процессов"

Актуальность темы. Изучение броуновского движения является одной из важных задач теоретической физики. Хаотическое движение взвешенных в жидкости или газе частиц было открыто в 1827 г. Р. Броуном, а первое последовательное объяснение такого движения было дано А. Эйнштейном и М. Смолуховским в 1905 г. на основе молекулярно-кинетической теории.

Развитие теории броуновского движения и диффузии продолжались на протяжении всего XX века. В 1918 г. В. Шоттки теоретически предсказал и получил основные закономерности «броуновского движения» тока электровакуумных приборов (дробовой эффект), которое вскоре было обнаружено и исследовано экспериментально. У. Вейсс, П.С. Райзеборо, П. Хангги, Р. Мор-гадо, Ф.А. Оливьера, А. Хансен в 1960—1990-е гг. занимались обобщениями динамического уравнения броуновского движения (уравнения Ланжевена), в том числе изучая хаотическое перемещение взвешенных частиц при воздействии внешних потенциальных полей.

Теория броуновского движения и диффузии была развита А.Н. Колмогоровым, Н. Винером, Ю.Л. Климонтовичем, Г.Г. Батруни, А.Н. Морозовым, Ю.И. Яламовым и др.

Теория броуновского движения в сильной степени способствовала обоснованию и развитию статистической физики. Кроме того, она имеет важное практическое значение. В частности, указанные выше шумы электронных приборов определяются случайным движением переносчиков заряда. Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Например, «броуновское движение» зеркальца оптического гальванометра определяет предел точности данного прибора. Увеличение сопротивления растворов электролитов по сравнению с теоретическим во многом объясняется хаотическим движением ионов. Диэлектрические потери в диэлектриках определяются случайным движением молекул, обладающих дипольным моментом. Теория броуновского движения играет все большую роль в задачах физической кинетики, гидродинамики, радиофизики и других разделах теоретической физики.

Однако хорошо разработанная за последнее столетие теория броуновского движения и диффузии является приближенной. И хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория дает удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведенные в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молеку-лярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна—Смолуховского, что было особенно заметным при увеличении размеров частиц. Исследования затрагивали также анализ движения окружающих частиц среды и показали существенное взаимное влияние движения броуновской частицы и вызываемое ею движение частиц среды друг на друга, то есть наличие «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость ее статистических характеристик в будущем от всей предыстории ее поведения в прошлом. Данный факт не учитывался в теории Эйнштейна - Смолуховского.