О гиперболических регуляризациях законов сохранения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико - математический факультет.

На правах рукописи УДК 517.956

Палин Владимир Владимирович

О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва, 2008

003464159

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико - математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор Е.В. Радкевич.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор А.Л. Афендиков -ИПМ имени М.В. Келдыша РАН; доктор физико - математических наук, профессор М.И. Зеликин -МГУ имени М.В. Ломоносова

Ведущая организация: Московский энергетический

институт (технический университет).

Защита состоится "13" марта 2009 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП - 1, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико - математический факультет, аудитория 16 - 24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико - математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "13" февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико - математических наук, профессор

И.Н. Сергеев

Общая характеристика работы Актуальность работы. Диссертация посвящена исследованию поведения на больших временах решений задачи Копти для гиперболических регуляризации законов сохранения (в терминологии С. Ваг-dos) или систем законов сохранения с релаксацией в терминологии Gui-Qiang Chen, Levermore С. D1. Проблема Максвелла вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов2 определила математические проблемы кинетики для гиперболических регуляриза-ций законов сохранения3:

dtUi + divj /'(u,v) = О, г = 1,...,m, (1)

dtvk + divx gk(u,v) + bh{u)v = 0, k = m+l,...,N.

Здесь x € M.d, u(x, t) : Rd x M+ — Rm, v[x, t) : Rd x M.+^ R-^-"1, b -матрица релаксации порядка (N — m) x (N — m), потоки

f{u,v) G Rd, г = 1,... ,m; gk(u,v) € Rd, к = 1,..., N - m,

и - консервативные переменные, v - неравновесные переменные, тп - число консервативных переменных . Главная часть системы (1) -нестрого гиперболична. Примерами таких систем являются момент-ные аппроксимации кинетических уравнений (например, кинетического уравнения Больцмана, Фоккера-Планка, Больцмана-Пайерлса), простейшая гиперболическая регуляризация трением системы уравнений Эйлера изотермической модели газовой динамики4, расширение Дирака-Швиндлера системы уравнений Максвелла и т.д.

Изучению гиперболических регуляризации систем законов сохранения (системы законов сохранения с релаксацией) посвящено много работ как российских, так и зарубежных авторов. Прежде всего это

1 Gui-Qiang Chen^Lcvermorr. C. D. and Tai-Ping Luui Hyperbolic conservation laws with stiff -relaxation terms and entropy// Comm. on Pure and Appl. Math., v. XLVII (1994), pp. 787-830

2L. Boltzmati//Rep. Brit. Assoc., 1894, S. 579.- Пер. О-В. Кузнецовой в сб. "Людвиг Больц-ман. Избранные труды". М. Наука, 1984, стр. 307

3Ckapman S. On Certain Integrals Occurring in the Kinetic Theory of Gases// Manchester Mem., 66, I, 1922; 5. Chapman, T. Cowling Mathematical Theory on Non-uniform Gases// 3nd.ed.(Univ.Press, Cambridge, 1970)

4 Thomas C. Sideris, Becca Thomases, and Dthua Wang, Long Time Behavior of Solutions to

the 3D Compressible Euler Equations with Damping// Comm. in Partial Differential Equations, 2003, vol.28, Nos 3&4, pp. 795-816

касается исследования феномена релаксации5, в частности вопросов устойчивости и сингулярного предела при стремлении времени релаксации к нулю в работах С. Bardos6, С. D. Levermore7, R. Е. Caffish. G. С. Papanicolaou8, G. Q. Chen, Н. Frid9, Е. Yu. Panov10 и т.д.. С исследованиями Чепмена11, порожденными проблемой Максвелла о выводе уравнений гидродинамики из кинетического уравнения, связана задача о существовании "промежуточного аттрактора" для систем вида (1). При выводе уравнений гидродинамики из кинетической теории весьма существенно получить простую функциональную зависимость коэффициентов переноса от вида потенциала взаимодействия и, тем самым, упростить анализ получающихся уравнений. Чепмен и Энског12 выдвинули гипотезу, что для "физически корректных" моделей механики сплошных сред влияние моментов высшего порядка, т.е. большей части переменных v," несущественно". Они предположили, что существует операторное уравнение состояния

v = Qu, (2)

выражающее неравновесные переменные через консервативные (проекция в фазовое пространство консервативных переменных), которое замыкает систему законов сохранения в (1)

dtw + dxf{w, Qu(w)) = 0. (3)

6 С. Bardos, F. Golse, С. D. Levermore, Fluid dynamics limits of discrete velocity kinetic equations//, pp. 57-71 in: Advences in Kinetic Theory and Continuum Mechanics, R. Gatignol and Soubbaramayer, eds., Springer-Verlag, Berlin-New-York, 1991

6 C. Bardos, C. D. Levermore, Fluid dynamic of kinetic equation II: convergence proofs for the Boltzmann equation//, Comm. Pure Appl. Math. 46,1993, pp. 667-753

7C. Bardos, F. Golse, C. D. Levermore, Fluid dynamics limits of discrete velocity kinetic equations//, pp. 57-71 in: Advences in Kinetic Theory and Continuum Mechanics, R. Gatignol and Soubbaramayer, eds., Springer-Verlag, Berlin-New-York, 1991

E. Caffish, G. C. Papanicolaou, The fluid dynamical limit of nonlinear model Blotzmann equations//, Comm. Pure and Appl. Math. 32, 1079, pp. 103-130

Q. Chen, H. Frid, Divergence-measure fields and hyperbolic conservation laws//, Arch. Ration. Mech. Anal. 147(1999) 89-118

WE. Yu. Panov, Existence of Strong Traces for Quasi-Solutions of Multidimensional Conservation Laws//, J. of Hyperbolic Diff. Eq., v. 4, N 4(2007)

11 Chapman S. On Certain Integrals Occurring in the Kinetic Theory of Gases// Manchester Mem., 66,1,1922.

S. Chapman, T. Cowling Mathematical Theory on Non-uniform Gases// 3nd.ed.(Univ.Press, Cambridge, 1970)

12 Gui-Qiang Chen, Levermore C. D. and Tai-Ping Luui Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy// Comm. on Pure and Appl. Math., v. XLVII (1994), pp. 787-830Chapman S.

так, что специальные решения UchEns = {и = w, v = Qw} задачи Коши для системы (1), определяемые решениями w системы проекции (3). образуют инвариантное притягивающее многообразие MchEns (промежуточный аттрактор). Т.е. для любого решения U = (u,v) задачи Копти (1) с начальными данными U\t=o = (u°,v°) существуют начальные данные Wq = Т(щ,Уо) для системы проекции (3), так что в некоторой норме невязка U — UchEns между U и специальным решением UchEns = {w, Qw) стремится к нулю при t —> оо. Более того, если в фазовом пространстве консервативных переменных

w —► 0, когда t —► оо,

то невязка {/# стремится к нулю быстрее чем UchEns■ Существенно то, что мы остаемся в классе гиперболических систем с релаксацией (возможно псевдодифференциальных).

Много попыток обоснования гипотезы Чепмена-Энскога связано с построением формальных асимптотических разложений для операторного уравнения (2) для систем (1) с жесткой релаксацией, когда матрица B(u)v во втором уравнении в (1) заменяется на £ € 1 (см. например литературу в монографии Gorban А. N., Karlin I. V.13). Однако, при таком подходе возникла проблема устойчивости получаемых приближений. Первое приближение (порядка е1), названное Навье-Стокс приближением, подтвердило гипотезу - для систем моментов Грэда кинетического уравнения Больц-мана оно в точности совпало с системой Навье-Стокса сжимаемой жидкости, более того, необходимым и достаточным условием правильного знака вязкости явилось условие устойчивости линеаризованных на состояниях равновесия систем моментов. Однако, следующие приближения оказались неустойчивыми14, несмотря на устойчивость исходной системы моментов, что привело к проблемам в обосновании асимптотических раложенийГВпервые обоснование гипоте^ зы Чепмена-Энскога было получено Gui-Qiang Chen, Levermore С. D.

13 Gorban A. N., Karlin I. V., Invariant manifoids for Physical and Chemical Kinetic// SpringerVerlag, 2005.

"Бобылев А. В., Методы Чепмена — Энскога и Грэда решения уравнения Больцмана// Докл. АН. СССР 27 (1982), по. 1, 29-33.

and Tai-Ping Luui15(1994) для одномерных систем размера 2x2 вида (1) с жесткой релаксацией (как иллюстрация общего результата были рассмотрены р— система законов сохранения с жесткой релаксацией и система уравнений паводковой воды). При выполнении условия устойчивости Лакса на характеристические скорости уравнения проекции и характеристические скорости исходной системы в этой работе было доказано, что невязка между рещением задачи Коти для исходной системы и соответствующим специальным решением в слабом смысле стремится к нулю при стремлении к нулю времени релаксации. Задача рассматривалась на конечном временном интервале [0,Т], и предполагалось, что время релаксации стремится к нулю. В работе J-F. Coulombei и T. Goudon16 глобальные гладкие решения многомерной изотермической системы уравнений Эйлера с жесткой релаксацией были построены также на конечном временном интервале [О, Г]. Показано, что при стремлении времени релаксации к нулю плотность сходится к решению уравнения теплопроводности. В терминологии проектора (2) здесь существует проекция в фазовое пространство консервативной переменной - плотности. В этом случае Навье-Стокс приближение совпадает с уравнением теплопроводности, но построения проектора и инвариантного притягивающего многообразия специальных решений UchEns = (w, Qw) в работе J-F. Coulombei и T. Goudon не проведено, хотя при опенке невязки между плотностью и соответствующим решением уравнения теплопроводности неявно используется некоторая аппроксимация оператора (2). Позднее (2005-2007), в работах Е.В. Радкевича17 для некоторых конкретных моделей, например, систем моментов не выше третьего порядка и систем моментов не выше четвертого порядка газа

lsGui-Qiang Chen, Levermore С. D. and Tai-Ping Luui Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy// Comm. on Pure and Appl. Math., v. XLVII (1994), pp. 787-830

,eJ.-F. Coulombei, T. Goudon The strong relaxation limit of the multidimensional isothermal Euler equation//Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007) 637-648

Radkevich E. V. Irreducible Chapman-Enskog Projections and Navier-Stokes Approximations// Instability in Models Connected with Fluid Flows. II. Edited by Claude Bardos and Andrei Fursikov; International Mathematical Series, Vol. 6, pp. 85-151, Springer, New York(2007)

E. В. Радкевич Проекта™ Чепмена-Энскога и проблемы Навье-Стокс приближения.// Труды Мат. Инст. им. Стеклова, т. 250(2005), стр. 219-225 Перевод: Proceedings of the Steclov Institute of Mathematics, Vol. 250(2005), pp. 1-7

Радкевич E. В. Математические вопросы неравновесных процессов//Издат. Тамара Рожков-ская, Белая серия, т. 4(2007), Новосибирск, ISSN 1817-3799

фононов для глобальных гладких решений задачи Коши (на бесконечном временном полуинтервале [0, оо)) построен проектор (2). Проблема существования операторного уравнения (2) сведена к задаче о существовании гладкого решения параметрической системы алгебраических уравнений для символа псевдодифференциального по пространственным переменным оператора О,. Условия разрешимости этой системы алгебраических уравнений определяются соотношением времен релаксации. Оказалось, что коэффициенты символа матричного оператора О, являются функциями с внутренним слоем (типа кинка), плохо приближаемыми полиномами. Последнее объясняет природу неустойчивости пост-Навье-Стокс приближений. Более того, показано, что неприводимые проекции (2) определяют на больших временах основьте динамики моделируемого неравновесного процесса.

Цель работы. Целью диссертации является исследование условий существования притягивающего многообразия специальных гладких глобальных решений задачи Копти для гиперболических регуляризации систем законов сохранения, определяемого оператором проекции Чепмена-Энскога в фазовое пространство консолидированных переменных при условии малости норм начальных данных, построение этого оператора в ситуациях, когда он существует, и исследование его свойств.

Методы исследования. При исследовании автор применяет методы теории псевдодифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, а также методы линейной алгебры, функционального анализа и теории пространств Соболева.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, приведены с полным доказательством и состоят в следующем:

1. Для линейных задач (линеаризаций систем законов сохранения

с релаксацией) получены достаточные условия^существования при-— тягивающего многообразия специальных гладких глобальных решений задачи Коши, определяемого оператором проекции Чепмена-Энскога в фазовое пространство консолидированных переменных, и показана близость этих условий к необходимым.

2. Получены необходимые и достаточные условия существования

решений матричных уравнений Риккати, получены оценки числа решений. Сформулированы и доказаны необходимое условие существования бесконечного количества решений, и достаточные условия, близкие, к необходимым.

3. Выделен класс слабо нелинейных систем (1) общего вида, для которых получены условия существовании притягивающего многообразия специальных гладких глобальных решений, близкие к необходимым18

4. Для ряда физических задач - гиперболической регуляризации системы уравнений Максвелла, двумерной 13-моментной аппроксимации для кинетического уравнения Больцмана, трехдиагональных систем - доказано существование проекции Чепмена-Энскога.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть исполь-зовны для исследования поведения решений при £ —> оо задачи Коти и начально-краевых задач для нестационарных систем уравнений, а также в вопросах стабилизации этих решений. Разработанные в диссертации методы будут полезны специалистам в теории уравнений математической физики.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре по уравнениям в частных производных под рук. Кондратьева В.А. и Радкевича Е.В. (2008), на научном семинаре по обыкновенным уравнениям под руководством профес-. сора М.И. Зеликина МГУ (2008), на научном семинаре по уравнениям математической физики под руководством профессора Ю.А. Дубинского в Московском Энергетическом Институте (2008), на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского в Университете Дружбы Народов (2008), на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. В.В. Жикова и проф. Ю.В. Алхуто-ва Владимирского государственного педагогического университета (2008), на конференции им И.Г. Петровского (2007), конференциях "Понтрягинские чтения - XVIII" (Воронеж, 2007), "Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим

18 О.Д. Акосовщ Инвариантные многообразия и динамические бифуркации// УМН, т.60 (2005), в. 1, стр. 157-158.; N.Fenichel Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows. Indiana University Math. J. 1971. Vol. 21, N 3. P.193-226.

системам" (Суздаль, 2008), The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Москва, август 2008).

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 3 работах автора, из них 2 из перечня ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 22 параграфа, а также из списка цитированной литературы. Параграфы, пункты, формулы, теоремы и замечания имеют двойную нумерацию. Диссертация содержит 25 теорем и 24 леммы. Список литературы включает 34 наименования, общий объем диссертации 111 страниц.

Краткое содержание диссертации. В первой главе сформулирована математическая формализация гипотезы Чепмена-Энскога о существовании проекции для линеаризованных задач. В первом параграфе показано, что существование проектора (операторного уравнения состояния (2)) эквивалентно разрешимости квадратного матричного уравнения

P2i(An + Л12Р21) = Л21 + Л22Р21,

где Л = + В, матрица Л - квадратная размера N х N, матрица Ли - квадратная размера mxm, остальные блоки матрицы Л имеют соответствующий размер.

Основным результатом второго параграфа первой главы является следующая теорема:

Теорема. Пусть |Л| ф 0. Пусть, кроме того, найдутся векторы vi,..,vm такие, что:

1. V = Lin{i7j}™ - собственное подпространство матрицы А, т.е. AV = V.

2. Векторы их,.., um,em+i,едг образуют базис. Тогда квадратное матричное уравнение

Р2 i(An + Л12Р21) = Л21 + Л22Р21

разрешимо и наоборот.

Третий параграф первой главы посвящен обобщению этой теоремы на случай det(A) = 0. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:

Теорема. Пусть система векторов задает базис линей-

ного пространства V, инвариантного для матрицы Л и такого, что Ып{у 1,..., г>т, ет+1, ...,е„} - базис К". Запишем эти векторы

этому набору векторов (с учетом порядка) решение матричного уравнения записывается в виде

Далее в этом параграфе изучается важное следствие приведенной выпте теоремы - вопрос о числе решений матричного квадратного уравнения. Сформулированы и доказаны необходимое условие существования бесконечного количества решений, и достаточные условия, близкие к необходимым.

В четвертом параграфе первой главы исследуется вопрос о том, при каких условиях построенные в предыдущих параграфах решения квадратного матричного уравнения непрерывно зависят от параметра Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:

Теорема. Пусть матрица Л непрерывно зависит от параметра обратима при всех £ € Но и ее собственные значения являются однократными Е*, где множество Е* конечно. Тогда для того, чтобы квадратное матричное уравнение, соответствующее матрице А, имело решение, непрерывно зависящее от параметра необходимо и достаточно, чтобы существовало собственное подпространство V размерности т такое, что Ып^, ет+1, ...,елг} = С" при всех £ € НоВ пятом параграфе получено условие разрешимости матричного уравнения Ляпунова АХ — ХВ = С более слабое, чем условие несовпадения множеств собственных значений матриц А и В. С помощью этого результата доказано необходимое и достаточное условие полного разделения динамик, т.е. приведения матрицы А к блочно-диагональному виду:

Теорема. Пусть матрица А обратима, и существует базис «1,..., V, собственного подпространства V такого, что

по .столбцам в виде матрицы

соответствующее

Р21 — С21 Сц1

V не может быть расширено до собственного подпространства матрицы Л размерности т+1 путем добавления к базису VI, ...,ьт присоединенного вектора матрицы Л. Тогда существуют матрицы Р21, £12 такие, что

( Е -Яп \( Е 0 \ А / Я О \ ( Е <Э12 \ = ( Мп О \ \ О Е ) V -Р21 Е ) Л V Р21 Е )\ О Е ) \ О М22 ) '

Эта теорема является одним из основных результатов первой главы. В случае, когда матрица Л допускает описанное выше представление, будем говорить, что существует полное разделение динамик.

Шестой параграф первой главы содержит пример исследования линеаризованной системы с использованием теоремы о полном разделении динамик.

В седьмом параграфе первой главы с помощью теоремы о полном разделении динамик выписывается представление решения задачи Коши для системы уравнений

дьи + Лдхи + Ви = О

в виде суммы трех слагаемых. После замены переменных в образах Фурье и = Я"1 и, и если существует полное разделение динамик, то решение может быть представлено в виде

и = иСн + иСог + ия.

Далее сформулировано основное определение: Определение. Будем говорить, что проектор Р удовлетворяет условию Ь2-корректности по Чепмену-Энскогу в классе Н — {(¿¿о, Уо)} начальных данных, если для всех начальных данных (1/о, "Уо) е Н

найдется То > 0 такое, что для всех Ь>% выполнена оценка

--

1М(4)

<~Ке Г £ > То,~

где К, 5 > 0 - некоторые константы.

Восьмой параграф первой главы посвящен исследованию вопроса о том, какие условия на начальные данные матрицу Л необходимо наложить для того, чтобы существовал проектор Р в про-

странство консолидированных переменных, удовлетворяющий условию ¿2-корректности по Чепмену-Энскогу в некотором классе ТС начальных данных. Для того, чтобы сформулировать ответ на этот вопрос более кратко, вводится следующее условие: Условие. Будем говорить, что для пары множеств Г^), Г2(£) выполнено жесткое условие щели, если

Э7>0: А>(Г2)-^о(Г1)>7.

Основным результатом этого параграфа (и одним из центральных результатов диссертации) является следующая теорема: Теорема. Пусть матрица А такова, что найдется такое ко > О, что : |£| > ко все собственные значения матрицы А являются алгебраически однократными и на них выполнена оценка

|А(£)1< ^(1 + 1^,

где с1\ - некоторые константы. Пусть, кроме того, Г1 - множество всех собственных значений матрицы А, соответствующих задающему разделение динамик собственному подпространству V, Гг - все остальные собственные значения А, и для Гх, Гг выполнено жесткое условие щели. Тогда, если (Ыо, Уо) - образы Фурье от начальных данных - принадлежат множеству

Н = {(Но, V«,) : \\Щ\ ф 0, (1 + ^ЧМа!^»)-1^ е Ь2(Щ},

т.е. начальные данные для неравновесных переменных достаточно гладкие, а начальные данные для консервативных переменных не равны нулю, то соответствующий разделению динамик проектор Р удовлетворяет условию Ь2-корректности по Чепмену-Энскогу в классе Н начальных данных. При этом для констант К, 6 из определения 1/2-корректности по Чепмену-Энскогу верно следующее: К зависит от ||Мо||> ||Уо||; 6 зависит от 7 и свойств собственных подпространств матрицы А.

В оставшихся параграфах первой главы описываются различные пути ослабления условий сформулированной выше теоремы и приводятся примеры, которые показывают близость условий теорем о ¿2-корректности по Чепмену-Энскогу к необходимым.

Вторая глава посвящена переносу описанной для линейного случая техники на нелинейные уравнения. А именно, для систем вида

где fi(v) и f2(v, w) - нелинейные члены, /(0,0) = 0, показано, что (при условии существования глобального решения из класса С([0, -foo), Н2) П С*([0,+оо),Л1)) для достаточно малых начальных данных ф.€ Н2 из существования проекции для линеаризованной задачи следует существование проекции для нелинейной задачи. Во втором параграфе с помощью метода последовательных приближений показывается существование решений задачи (4) для малых начальных данных. Третий и четвертый параграфы этой главы посвящены построению нелинейного оператора проекции Чепмена-Энскога и изучению его свойств. Принципиально в диссертации вопрос существования проекции Чепмена-Энскога рассматривается для глобальных гладких траекторий, что приводит к условию существования достаточно широкой щели. Условие вырожденной щели приводит к необходимости исследовать задачу для глобальных слабых решений с дополнительной гладкостью (например, для глобальных слабых решений в пространствах Орлича).

Третья глава посвящена использованию описанной в первых двух главах техники для исследования ряда конкретных физических задач а также содержит различные дополнительные факты, связанные с рассматриваемым классом систем. Так, в первом параграфе изучается гиперболическая регуляризация системы уравнений Максвелла19.

Второй параграф посвящен исследованию двумерной 13-моментной аппроксимации для кинетического уравнения Больцмана20.

Третий^параграф содержит необходимые^и^достаточные условия— существования проекции Чепмена-Энскога. удовлетворяющей условию ¿г-корректности, для трехдиагональных систем. К системам

19Жура Н. А.,. Ораевский А.Н., Задача Копт для гиперболических систем// Дохл. РАН 396 (2004), по. 5, 509-594.

Maxwell J. С., A Treatise on Electricity and Magnetism// N.Y., Dover Publ. 1954.

20 G. Q. Chen, H. Frid, Divergence-measure fields and hyperbolic conservation laws//, Arch. Ration. Mech. Anal. 147(1999) 89-118

этого типа относятся, в частности, гиперболическая регуляризация уравнения Хопфа и моментные аппроксимации одномерного уравнения газа фононов.

В четвертом параграфе обсуждается вопрос о связи между существованием симметризатора для системы законов сохранения и существованием энтропийного уравнения.

В пятом параграфе третьей главы приводится пример построения энтропийного уравнения, и выписываются условия на коэффициенты в параметрической одномерной 13-моментной системе, при которых такое уравнение существует. Этот вопрос связан с хороню известной, но плохо изученной проблемой существования дополнительного закона сохранения с диссипацией по неравновесным переменным.

Шестой параграф третьей главы посвящен формулировке условий, при которых элементы матрицы оператора проекции Р в образах Фурье могут быть представлены в виде (г£)аР(1£|2)> где а £ р - ветцественнозначная функция, что позволяет упростить линейный анализ проблемы ¿г-корректности по Чепмену-Энскогу. Тем более, такую структуру символов имеют многие задачи механики сплошных сред.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Евгению Владимировичу Радкевичу за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также доктору физико-математических наук профессору Ирине Викторовне Асташовой за полезные замечания.

Список литературы

|1| В. В. Палин, О разрешимости квадратных матричных уравне-ний//Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. N0. 6. 2008. с. 36-42

|2| В. В. Палин О разрешимости матричных уравнений Рикатти// Труды семинара И.Г. Петровского, т.27(2008), стр. 281-298

|3| В. В. Полин Разделение динамик в системах законов сохранения с релаксацией//Вестник СамГУ-естественнонаучная серия, (2008), N6(65), стр. 407-427

)!

I

Издательство ЦИПИ при механико - математическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова. Подписано в печать 40,02.09

Формат 60 х 90 1 / 16. Усл. печ. л. 1

Тираж 100 экз. Заказ

1 Линейный анализ. Уравнение состояния и Ьг-корректность по

Чепмену-Энскогу.

1.1 Постановка за,дачи и гипотеза Чепмеиа-Энскога. Сведение к матричному квадратному уравнению.

1.2 Построение решения матричного квадратного уравнения при

А| ф 0.

1.3 Обобщение на случай необратимой матрицы А. Явная формула для решений и их число.

1.3.1 Явная формула для решений матричного уравнения Ри-катти.

1.3.2 О числе решений.

1.4 Непрерывность решений матричного квадратного уравнения.

1.5 Уравнение Ляпунова и метод построения корректора (полное разделение динамик).

1.0 Пример: существование полного разделения динамик для гиперболической регуляризации уравнения Хопфа.

1.7 Разложение решения в сумму трех слагаемых. Определение, Ь2-корректности по Чепмену-Энскогу.

1.8 Условие щели и существование притягивающего многообразия.

1.9 Ослабление жесткого условия щели. Условие согласования носителей для начальных данных.

1.10 Ослабление жесткого условия щели. Равномерное условие вырожденной щели.

1.11 Ослабление жесткого условия щели. Условие разделения фаз.

1.12 Примеры задач, для которых существует разделение динамик, но нет притяжения решений.

2 Проекция Чепмена-Энскога в нелинейном случае.

2.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

2.2 Метод последовательных приближений.

2.3 Построение нелинейного оператора проекции Чепмена-Энскога.

2.3.1 Случай слабой нелинейности.

2.3.2 Более общий случай.

2.4 Свойства нелинейного проектора.

Диссертация посвящена исследованию поведения на больших временах решений задачи Копти для гиперболических регуляризации законов сохранения (в терминологии С. Bardos) или систем законов сохранения с релаксацией (в терминологии Gui-Qiang Chen, Levermore С. D) см. например [7]. В одной из последних работ Максвелла была поставлена задача вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов, т.е. системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости из кинетического уравнения. JI. Болъц-ман в статье "О максвелловском методе вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов" делает следующее предположение: "явствует с очевидностью, что незадолго до смерти он, должно быть, предпринял длинное и детально разработанное исследование этого вопроса, которое, однако, не было опубликовано." Насколько известно, если это исследование и существовало, то так и осталось в виде рукописей. Важность подхода Максвелла была понятна специалистам высокого уровня, каким, безусловно, был Больц-ман, по могла быть не оценена "широкой научной общественостыо". Повторит!. вычисления, о которых говорит Больцман, физикам, по видимому, в то время не удалось, поскольку первая работа Чепмена, в которой ставилась та же задача и проводился анализ интеграла столкновений появилась спустя 28 лет после указанной статьи Больцмана (и через 43 года после самой работы Максвелла). Задача вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов определила математические проблемы кинетики для гиперболических регуляризации законов сохранения: dtUi + divx f\u, v) = 0, i = 1,., т., (1) dtvk + div® gk{u, v) + bk(u)v = О, к = m + 1,., N.

Здесь x G u{x, t) : McZ Rm, v(x,t) : Rd RN~m, b - матрица релаксации порядка (N — m) x (N — m), потоки f{u, v)eRd, i = 1,., m; gk{u, v) eRd, k = l,.,N- rn, и - консервативные переменные, V - неравновесные переменные, т - число консервативных переменных . Главная часть системы (1) - нестрого гиперболична:

Определение. Система называется нестрого гиперболической, если, характеристическая матрица имеет только вещественные (возможно кратные) корни т = г/,, v), j =

Это условие выполнено, если система (1) - симметризуема. Примерами таких систем являются момснтные аппроксимации кинетических уравнений (например, кинетического уравнения Больцмана, описывающего неравновесные процессы гидродинамики, Фоккера-Планка, описывающего динамику броуновских частип,, Больцмана-Пайерлса, описывющего процессы теплопе-реноса в кристалах), простсйптая гиперболическая регуляризация трением системы уравнений Эйлера изептропической модели газовой динамики [21], расширение Дирака-Швиндлера системы уравнений Максвелла и т.д.

Изучению гиперболических регуляризации систем законов сохранения (системы законов сохранения с релаксацией) посвящено много работ как российских, так и зарубежных авторов. Прежде всего это касается исследования феномена релаксации [2], в частности вопросов устойчивости и сингулярного предела при стремлении времени релаксации к нулю в работах С. Bardos, С. D. Levormore [1], [2], R. Е. Caffish, G. С. Papanicolaou [4], G. Q. Chen, Н. Frid [8], Е. Yu. Panov [16] и т.д. С исследованиями Чепмена (см.[5], [G]), порожденными проблемой Максвелла о выводе уравнений гидродинамики из кинетического уравнения, связана задача о существовании "промежуточного аттрактора" для систем вида (1). При выводе уравнений гидродинамики из кинетической теории весьма существенно получить простую функциональную зависимость коэффициентов переноса от вида потенциала взаимодействия и, тем самым, упростить анализ получающихся уравнений. Чепмен и Энског в работе [7] выдвинули гипотезу, что для "физически корректных" моделей механики сплошных сред влияние моментов высшего порядка, т.о. большей части переменных г?, "несущественно". Они предположили существование операторного уравнения состояния fu{u,v) fv{u,V) 9u(u,v) 9v(u,v)

1 ,.,iV. v = Qu

3) выражающее неравновесные переменные через консервативные (проекция в фазовое пространство консервативных переменных), которое замыкает систему законов сохранения в(1) dtw + dxf(w,Qu{w)) = 0. (4) так, что специальные ретттсттия UchEns = {и = w, v — Qw} задачи Копит для системы (1), определяемые решениями w системы проекции (4), образуют инвариантное притягивающее многообразие MchEns (промежуточный аттрактор). Т.е. для любого решения U = (u,v) задачи Коти (1) с начальными данными (J\t=o = (u°,v°) существуют начальные данные wq — T(iio,vo) для системы проекции (4), так что в некоторой норме невязка U — UchEns между U и специальным решением UchEns — Сw> Qui) стремиться к нулю при t —» оо. Более того, если в фазовом пространстве консервативных переменных w —> 0, когда I —> оо, то невязка С/я стремится к нулю быстрее чем UchEns■ Существенно то, что мы остаемся в классе гиперболических систем с релаксацией (возможно псев-додифференциальньтх). Целью диссертации является обоснование гипотезы Чепмена-Энскога для некоторого класса систем вида (1).

Много попыток обоснования гипотезы Чепмена-Энскога связало с построением формальных асимптотических разложений для операторного уравнения (3) для систем (1) с жесткой релаксацией, когда матрица B(u)v во втором уравнении в (1) заменяется на ^B(u)v, еС 1 (см. например литературу в монографии Gorban A. N., Karlin I. V. [12]). Однако, при таком подходе возникла проблема устойчивости получаемых приближений. Первое приближение (порядка е1), названное Навье-Стокс приближением, подтвердило гипотезу -для систем моментов Грэда кинетического уравнения Больцмана оно в точности совпало с системой Навье-Стокса сжимаемой жидкости, более того, необходимым и достаточным условием правильного знака вязкости явилось условие устойчивости линеаризованных на состояниях равновесия систем моментов. Однако, следующие приближения оказались неустойчивыми (см. Бобылев А. В. [23]), несмотря на устойчивость исходной системы моментов, что привело к проблемам в обосновании асимптотических раложений. Впервые обоснование гипотезы Чепмена-Энскога было получено Gni-Qiang Chen, Levermore С. D. and Tai-Ping Luui [2](1994) для одномерных систем размера,

2x2 вида (1) с жесткой релаксацией (как иллюстрация общего результата были рассмотрены р— система законов сохранения с жесткой релаксацией и система уравнений паводковой воды). При выполнении условия устойчивости Лакса на характеристические скорости уравнения проекции и характеристические скорости исходной системы в этой работе было доказано, что невязка между ретцением задачи Копти для исходной системы и соответствующим специальным решением в слабом смысле стремится к нулю при стремлении к нулю времени релаксации. Задача рассматривалась на конечном временном интервале [О.Т]. и предполагалось, что время релаксации стремится к нулю. В работе ,1-Р. Сои1отЬе1 и Т. Соис1оп [9](2004) глобальные гладкие решения многомерной изотермической системы уравнений Эйлера с жесткой релаксацией были построены также на конечном временном интервале [О, Т]. Показано, что при стремлении времени релаксации к нулю плотность сходится к решению уравнения теплопроводности. В терминологии проектора (3) здесь существует проекция в фазовое пространство консервативной переменной - плотности. В этом случае Навье-Стокс приближение совпадает с уравнением теплопроводности, но построения проектора и инвариантного притягивающего многообразия специальных решений (/сьЕпв = (м, (2и)) в работе [9] не проведено, хотя при оценке невязки между плотностью и соответствующим решением уравнения теплопроводности неявно используется некоторая аппроксимация оператора (3). Позднее (2005-2007). в работах Е.В. Радкевича [8], [22], [32] для некоторых конкретных моделей, например, систем моментов не выше третьего порядка и систем моментов не вытпе четвертого порядка газа фононов для глобальных гладких решений задачи Копти (на бесконечном временном полуинтервале [0, оо)) построен проектор (3). Проблема существования операторного уравнения (3) сведена к задаче о существовании гладкого решения параметрической системы алгебраических уравнений для символа псевдодифференциального по пространственным переменным оператора О,. Условия разрешимости этой системы алгебраических уравнений определяются соотношением времен релаксации. Оказалось, что коэффициенты символа матричного оператора О, являются функциями с внутренним слоем (типа кинка), плохо приближаемыми полиномами. Последнее объясняет природу неустойчивости пост-Навье-Стокс приближений. Более того, показано, что неприводимые проекции (3) определяют на больших временах основые динамики моделируемого неравновесного процесса.

В диссертации впервые для общей системы (1) проведен линейный анализ задачи о существовании притягивающего многообразия специальных решений (промежуточного аттрактора). Впервые выделен класс слабо нелинейных систем (1) общего вида, для которых получены условия существовании притягивающего многообразия специальных гладких глобальных решений. По теме диссертации опубликовано шесть статей (три из них совместно с Е.В. Радкевичем). Выносимые к защите результаты опубликованы в трех статьях автора [29]-[31].

Используемые обозначения. Опишем обозначения, которые будут использоваться в дальнейшем. Буквой Е будем обозначать единичную матрицу. Под ., едт будем понимать единичные векторы-столбцы линейного пространства См, т. е. еь - /г-тый столбец матрицы Е. Линейную оболочку множества векторов г>1, ., ипг (не обязательно линейно независимых) будем обозначать Ып{г;1, .,г>то}- Матрицу алгебраических дополнений к матрице А будем обозначать со/(А). Определитель матрицы А будем обозначать ¿/е/,(/1) либо |А|. Во всех случаях, когда размеры матриц, участвующих в некотором выражении, не указаны ранее явно, будем предполагать, что они таковы, что операции матричного сложения и умножения в этом выражении определены корректно.

Основные результаты.

В первой главе сформулирована математическая формализация гипотезы Чепмена-Энскога о существовании проекции для линеаризованных задач. В первом параграфе показано, что существование проектора (онера,торного уравнения состояния (3)) эквивалентно разрешимости квадратного матричного уравнения

А 1(Ац + Л12-Р21) — Л21 + Л02 А,, где Л = В. матрица Л - квадратная размера N х N ^ матрица Лц - квадратная размера т х т, остальные блоки матрицы Л имеют соответствующий размер.

Основным результатом второго параграфа нерпой главы является следующая теорема:

Теорема. Пусть |Л| ф 0. Пусть, кроме того, найдутся векторы ., у,}) такие, что:

1. V = Ьт{и/}]" - собственное подпространство .матрицы Л, т.е. АУ = V.

2. Вект.оры vi,., vm, em i-i, образуют базис. Тогда квадратное матричное уравнение

Лп(Лц + Л12Р21) = А21 + А22Р21 разрешимо и наоборот.

Третий параграф первой главы посвящен обобщению этой теоремы на, случай с1е1(А) = 0. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:

Теорема. Пусть система векторов и\. ут задает базис линейного пространства V, инвариантного для лштрицы А и такого, что Ып{у 1,., г>гп, ети,., еп} - базис Жп. Запишем эти векторы по столбцам, в виде .матрицы ^ ^. Тогда соответствующее этому набору векторов с учетом порядка) решение матричного уравнения, записывается в виде

-^21 = С21СП1

Далее в этом параграфе изучается важное следствие приведенной выше теоремы - вопрос о числе решений матричного квадратного уравнения. Сформулированы и доказаны необходимое условие существования бесконечного количества решений, и достаточные условия, близкие к необходимым.

В четвертом параграфе первой главы исследуется вопрос о том, при каких условиях построенные в предыдущих параграфах решения квадратного матричного уравнения непрерывно зависят от параметра Основным результатом этого параграфа является следующая теорема: Теорема. Пусть матрица Л непрерывно зависит от, параметра обратима. 'при всех £ С Но и ее собственные значения являются, однократными ф. где мно-жество Е* конечно. Тогда для того, чтобы квадратное матричное уравнение, соответствующее матрице А, имело решение, непрерывно зависящее от параметра необходимо и достаточно, чтобы существовало собственное подпространство V размерности т такое, что 1лп{У, ет+1,., ем} = См при всех (еЕ0.

В пятом параграфе получено условие разрешимости матричного уравнения Ляпунова АХ — ХВ = С более слабое, чем условие несовпадения множеств собственных значений матриц А и В. С помощью этого результата доказано необходимое и достаточное условие полного разделения динамик, т.е. приведения матрицы А к блочно-диагональному виду:

Теорема. Пусть матрица Л обратима, и существует базис Vi. vm собственного подпространства V т.акпго, что Linjui,., vm, ет+\,., ejy} = Мд'; V не может быть расширено до собственного подпространства матрицы Л размерности m + 1 путем добавления к базису vi,.,vm присоединенного вектора матрицы Л. Тогда сугцествуют матрицы Р>i. Qy> такие, чт,о ( Мп 0 \ V о м2о J '

Эта теорема является одним из основных результатов первой главы. В случае, когда матрица Л допускает описанное выпте представление, будем говорить, что существует полное разделение динамик.

Шестой параграф первой главы содержит пример исследования линеаризованной системы с использованием теоремы о полном разделении динамик.

В седьмом параграфе первой главы с помощью теоремы о полном разделении динамик выписывается представление решения задачи Коши для системы уравнений д,и + Лдхи + Ви = О в виде суммы трех слагаемых. После замены переменных в образах Фурье U — S~1u, и если существует полное разделение динамик, то решение может быть представлено в виде

U = UCh + Ucor + UH.

Далее сформулировано основное определение:

Определение. Будем говорить, тпо проектор Р удовлетворяет условию i^о-корректности по Чепмену-Энскогу в классе Н = {(¿/о. Уо)} начальных данных, если для всех начальных данных (Uq, Vo) Е 7t найдется Т0 > О такое, что для всех I > Tq выполнена оценка ин\т ^ ~ тыт Ке~°\ t > То, где К, 5 > 0 - некоторые константы.

Восьмой параграф первой главы посвящен исследованию вопроса о том, какие условия на начальные данные матрицу Л необходимо наложить для того, чтобы существовал проектор Р в пространство консолидированных переменных, удовлетворяющий условию /^-корректности по Чепмену-Энскогу в некотором классе Ц, начальных данных. Для того, чтобы сформулировать ответ на этот вопрос более кратко, вводится следующее условие: Условие. Будем говорить, что для пары мно'.нсеств Г\(£), Го(£) выполнено 'жесткое условие щели, если

37 > 0 : /0(Го) - ¿о(Г1) > 7

Основным результатом этого параграфа (и одним из центральных результатов диссертации) является следующая теорема:

Теорема. Пусть .матрица А т.акова, что найдется такое ко > 0, что : |£| > ко все собственные значения матрицы А являются, алгебраически однократными и на них выполнена оценка где С], (1\ - некоторые конглпантпы. Пусть, кроме того, Г\ - множество всех собственных значений матрицы А, соответствующих задающему разделен/не динамик собственному подпространству V, То - все остальные собственные значения А, и для Гх, Го выполнено жесткое условие щели. Тогда, если {Ыо, Уо) - образы Фурье от начальных данных - принадлежат множеству т.е. начальные данные для, неравновесных переменных достаточно гладкие, а начальные данные для консервативных переменных не равны нулю, то соответствующий разделению динамик, проектор Р удовлетворяет, условию Ьо-корректности, по Чепмену-Энскогу в классе ТС начальных данных. При, этом, для констант К, 5 из определения Ьо-корректности по Чепмену-Энскогу верно следующее: К зависит от \\Ыо\\, ||Уо||; 5 зависит от 7 и свойств собственных подпространств матрицы А.

В оставшихся параграфах первой главы описываются различные пути ослабления условий сформулированной выше теоремы и приводятся примеры, которые показывают близость условий теорем о /^-корректности по Чепмену-Энскогу к необходимым.

Вторая глава посвящена переносу описанной для линейного случая техники на нелинейные уравнения. А именно, для систем вида где (у) и /о(у,ги) - нелинейные члены, /(0,0) = 0, покапано, что (при условии существования глобального решения из класса С([0, +оо), Н2) П С1([0, +схэ), для достаточно малых начальных данных ф е Н2 из существования проекции для линеаризованной задачи следует существование проекции для нелинейной задачи. Во втором параграфе с помощью метода последовательных приближений показывается существование решений задачи (5) для малых начальных данных. Третий и четвертый параграфы этой главы посвящены построению нелинейного оператора проекции Чепмена-Энскога и изучению его свойств. Принципиально в диссертации вопрос существования проекции Чепмена-Энскога рассматривается для глобальных гладких траекторий, что приводит к условию существования достаточно широкой щели. Условие вырожденной щели приводит к необходимости исследовать за,дачу для глобальных слабых решений с дополнительной гладкостью (например, для глобальных слабых решений в пространствах Орлича).

Третья глава посвящена использованию описанной в первых двух главах техники для исследования ряда конкретных физических за,дач а, также содержит различные дополнительные факты, связанные с рассматриваемым классом систем. Так, в первом параграфе изучается гиперболическая регуляризация системы уравнений Максвелла [27, ?, 14].

Второй параграф посвящен исследованию двумерной 13-моментной аппроксимации для кинетического уравнения Больцмана [8].

Третий параграф содержит необходимые и достаточные условия существования проекции Чепмена-Энскога, удовлетворяющей условию Ьо-корректности, для трехдиагональньтх систем. К системам этого типа относятся, в частности, гиперболическая регуляризация уравнения Хопфа и мо-ментные аппроксимации одномерного уравнения газа фононов.

В четвертом параграфе обсуждается вопрос о связи между существованием симметризатора для системы законов сохранения и существованием энтропийного уравнения.

В пятом параграфе третьей главы приводится пример построения энтропийного уравнения, и выписываются условия на коэффициенты в параметрической одномерной 13-моментной системе, при которых такое уравнение существует. Этот вопрос связан с хорошо известной, но плохо изученной проблемой существования дополнительного закона сохранения с диссипацией по неравновесным переменным.

Шестой параграф третьей главы посвящен формулировке условий, при которых элементы матрицы оператора проекции Р в образах Фурье могут быть представлены в виде гЛе а ^ V ~ ветцественнозначная функция, что позволяет упростить линейный анализ проблемы ./^-корректности по Чепмену-Энскогу. Тем более, такую структуру символов имеют многие задачи механики сплошных сред.

Благодарности. Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Евгению Владимировичу Радкевичу за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также доктору физико-математических наук профессору Ирине Викторовне Лсташовой за полезные замечания.

1. С. Bardns, С. D. Levermore, Fluid dynamic of kinetic equation 1.: convergence proofs for the Boltzmann equation//, Comm. Pure Appl. Math. 46, 1993, pp. 667-753

2. C. Bardos, F. Golse, С. D. Levermore, Fluid dynamics limits of discrete velocity kinetic equations/'/, pp. 57-71 in: Advences in Kinetic Theory and Continuum Mechanics, R. Gatignol and Soubbaramayer, eds., SpringerVerlag, Berlin-New-York, 1991

3. Boltzman L.jjRep. Brit. Assoc., 1894, S. 579.- Пер. O.B. Кузнецовой в сб. "Людвиг Вольцман. Избранные труды". М. Наука,, 1984, стр. 307

4. R. Е. Caffish, G. С. Papanicolaou, The fluid dynamical limit of nonlinear model Blotzmann equations//, Comm. Pure and Appl. Math. 32, 1079, pp. 103-130

5. Chapman S. On Certain Integrals Occurring in the Kinetic Theory of Gases// Manchester Mem., 66, I, 1922.

6. S. Chapman, T. Cowling Mathematical Theory on Non-uniform Gases// 3nd.ed.(Univ.Press, Cambridge, 1970)

7. Gui-Qiang Chen, Levermore C. D. and, Tai-Ping Luui Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy// Comm. on Pure and Appl. Math., v. XLVII (1994), pp. 787-830

8. G. Q. Chen, H. Frid, Divergence-measure fields and hyperbolic conservation laws/'/, Arch. Ration. Mech. Anal. 147(1999) 89-118

9. J.-F. Coulombei, T. Goudon The strong relaxation limit of the multidimensional isothemal Euler equation//(2004)

10. W. Dreyer, H. Struchtrup, Heat pulse experiments revisted// Continuum Mech. Thermodyn. 5 (1993), pp. 3-50

11. Goodman J., Lax P. D. On dispersive difference schemes. I.//Comm/ on Pure and Appl. Math., v. XLI, pp. 591-613(1988)

12. Gorban A. N., Karlin I. K, Invariant manifolds for Physical and Chemical Kinetic// Springer-Verlag, 2005.

13. Levermore C. D., Moment closure hierarchies for kinetic theories// J. Statist. Phys. 1996. - 83. - C. 1021-1065

14. Maxwell J. C., A Treatise, on Electricity and Magnetism// N.Y., Dover Publ. 1954.

15. Miiller I., Ruggeri T. Extended Thermodynamics. — Springer-Verlag, 1993

16. E. Yu. Panov, Existence of Strong Traces for Quasi-Solutions of Multidimensional Conservation Laws//, J. of Hyperbolic Diff. Eq., v. 4. N 4(2007)

17. R. Peierls, Zur kinetischen throne der warmeleitung in kristallen// Ann. Phys. 3 (1929), 1055

18. Reissig M. and Wij-th J., LP —> Lq estimate for wave equation with monotone time-dependent dissipation// Proceedings of the RIMS Symposium on Mathematical Models of Phenomena and Evolution Equations, Kyoto, 0ctober(2005).

19. Ruzansky M., Smith J. Global time estimates for solutions to equations of dissipative type// Jpurnees Equations aux derivees partielles XXX (1982)

20. Thomas C. Sideris. Becca Thomases, and Dehua Wang, Long Time Behavior of Solutions to the 3D Compressible Euler Equations with Damping// Comm. in Partial Differential Equations, 2003, vol.28, Nos 3&4, pp. 795-816

21. Struchtrup E., Weiss W. Temperature jurnp and velocity slip in the momont method// Contin. Mech. and Therinodyn. — 2000. — 12— C. 1-18

22. Бобылев А. В. Методы Чепмена — Эттскога и Трэда, решения уравнения Больцмана// Докл. АН. СССР 27 (1982), по. 1, 29-33.

23. J1. Р. Волевич, Е. В. Радкевич Равномерные оценки решений задачи Копти для гиперболических уравнений с малым параметром при старших производных// Дифф. уравн. т. 39, N4 (2003), стр. 1-14

24. Волевич Л. Р., Радкевич Е. В. Устойчивые пучки гиперболических полиномов. Задачи Кош и для гиперболических уравнений с малым параметром. Приложения// Труды ММО, т. 65, стр. 69-113 (2004)

25. С.И. Гельфанд О числе решений квадратного уравнения.// В сб. ГЛОБУС. Обтцематема,тический семинар, вьтп. 1, МЦНМО, М., 2004, стр. 124-133

26. Жура Н. А., Ораевский А.Н., Задача Копти для гиперболических систем// Докл. РАН 396 (2004), по. 5, 509-594.

27. В.В. Козлов Ограничения квадратичных форм на лагранжевы плоскости, квадратные матричные уравнения и гироскопическая стабилиза-ция//Функционалъньтй анализ и его приложения, 39 (2005), по. 4, 32-47

28. В. В. Палин, О разрешимости квадратных матричных уравне-ттий/'/Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. No. 6. 2008. с. 36-42

29. В. В. Палин О разрешимости матричных уравнений Рикатти// Труды семинара И.Г. Петровского, т.27(2008)? cnh/ 281-298

30. В. В. Палин Разделение динамик в системах законов сохранения с релаксацией// Вестник СамГУ-естественнонаучная серия, (2008), N6(65), стр. 407-427

31. Е. В. Радкевич Проекции Чепмена-Энскога и проблемы Навье-Стокс приближения.// Труды Мат. Иттст. им. Стеклова, т. 250(2005), стр. 219225 Перевод: Proceedings of the Steclov Institute of Mathematics, Vol. 250(2005), pp. 1-7

32. Радкевич Е. В. Математических вопросы неравновесных процессов/ /Издат. Тамара Рожковская, Белая серия, т. 4(2007), Новосибирск, ISSN 1817-3799 1

33. Л. Хермандер Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 3// Псевдодифференциальные операторы, М., Мир, 1987