Некоторые методы решения некорректно поставленных задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.02 -Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 8 НОЯ 2012

ДУШАНБЕ -2012

005054458

005054458

Работа выполнена в Таджикском национальном университете

Официальные оппоненты: Танаиа Виталий Павлович

доктор физико-математических наук, профессор, Южно-Уральский государственный университет, заведующий кафедрой вычислительной математика

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В.Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

Защита состоится 28 декабря 2012 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан, 734063, г. Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте математики Академии наук Республики Таджикистан.

Мухамадиев Эргашбой

доктор физико-математических наук, чл.-корр. АН РТ, профессор, Вологодский государственный технический университет, профессор кафедры информационных систем и технологий

Сафаров Джумабой

доктор физико-математических наук, доцент, Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава, заведующий кафедрой математического анализа

Автореферат разослан <<

»

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Многие задачи прикладного характера, такие как reo- и биофизические, электродинамические, газо-, гидро- и аэродинамические, задачи физики плазмы и другие сводятся к уравнениям математической физики. Фактически само построение уравнения математической физики, адекватно описывающего те или иные физические закономерности окружающего нас мира, представляет собой решение некоторой задачи, которую естественно назвать «обратной». Исследователь наблюдает, явление и пытается построить такое уравнение, решение которого обладает наблюдаемыми свойствами. Обычно в основе получаемых уравнений лежат физические законы, которые позволяют сформулировать общий вид дифференциальных соотношений. Как правило, в них присутствует некоторое число произвольных функций, определяющие свойства физической среды. Если свойства среды известны, то уравнение математической физики в сочетании с краевыми и начальными условиями позволяет предсказать развитие физического явления в пространственно-временной области. Это классическая задача для уравнений математической физики. В теории обратных задач подобные задачи называются «прямыми». В современном естествознании очень часто возникают следующие обратные задачи: известен общий вид уравнения математической физики, но характеристические свойства среды неизвестны, их требуется определить по наблюдаемым решениям уравнения. Типичной является ситуация, когда непосредственные измерения внутри некоторой области невозможны по тем или иным причинам, однако возможно косвенное наблюдение и качественно и количественно измерять физические поля на границе или вне этой области. В математическом отношении такие задачи должны обеспечить корректность постановки задачи.

Понятие корректности постановки задачи математической физики было сформулировано в начале XX века известным французским математиком Ж. Адамаром. Задача математической физики называется поставленной корректно, если выполняются следующие условия: 1) решение задачи существует; 2) решение задачи единственно; 3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи. Сформулировав понятие корректности, Ж.Адамар привел пример некорректной задачи для уравнения математической физики, которая, по его мнению, не соответствовала никакой реальной физической постановке. Ж.Адамар показал это на примере задачи Коши для уравнения Лапласа, который стал классическим примером некорректной задачи.

Необходимость рассмотрения некорректных в классическом смысле (по Адамару) задач математической физики в связи с проблемами интерпретации данных геофизических наблюдений была впервые указана в 1943 г., дважды

' Адамар Ж. Задачи Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. -М.: Наука, 1978,-357 с. Первое издание этой книги на английском языке вышло в 1932 г

Героем Социалистического труда, академиком АН СССР А.Н.Тихоновым . Он показал, что если сузить класс возможных решений до компакта, то из существования и единственности решения следует его устойчивость.

Пути развития теории и методы решения некорректных задач связаны с именами видных математиков А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, а также с созданными ими научными математическими школами, во многом определившими пути развития теорий и приложений некорректных задач.

Большое число задач математической физики, не удовлетворяющих условиям корректности по Адамару, сводится к операторному уравнению первого рода, то есть к уравнению вида

Az = u, (*)

где z -искомая характеристика модели, и (следствие -величина сопоставляемая с реально наблюдаемой, а А - оператор связи между этими

TT г

величинами (z и и элементы некоторых пространствах u > г соответственно, а А. непрерывное отображение V в F у

Такая постановка задачи исследована многими авторами. В частности, развитию теории решения некорректных задач значительно способствовал метод регуляризации, предложенный А.Н.Тихоновым3. Метод основан на радикальной идее о стабилизации минимума уклонения значений Az от заданной правой части & при помощи некоторого вспомогательного неотрицательного сглаживающего функционала, определенного на некоторой части Ua с DA, которая сама является метрическим пространством. Требуется, чтобы множества Мс г {г е Uü :fi(z)< С} были компактны в U при любом С > О. Относительно решения (*) предполагается, что оно содержится в Мс при некотором значении С<+<». Тогда решается задача минимизации по z е U0 параметрического функционала Тихонова

A/Jz,«] з р1.(Л:,Я) + а[П(к)}2, а > 0. Решение этой задачи za при определенном выборе параметра регуляризации а =а(<5) принимается за приближение к искомому решению z. Доказывается,

8

что при равномерной по S ограниченности отношения элементы

2а - z в пространстве U при S -» 0. В дальнейшем В .Я. Арсенин, А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский, A.C. Леонов, И.К. Лифанов, А.Г. Ягола и другие рассматривали разные уравнения (*), и доказывали сходимость z„ z

о

в основном пространстве U0, если -=-»0 и U0 - банахово (гильбертово и

л/а

другие).

2 Тихонов А.Н. 06 устойчивости обратных задач. //ДАН СССР. -1943.-T.39.N95.

3 Тихонов А.Н. 1) О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. //ДАН СССР. -1963 -Т 151,№3 2) О регуляризации некорректно поставленных задач. //ДАНСССР.-1963-Т.153,№1.

М.М.Лаврентьев4 показал, что при определенном условиях, наложенных на оператор А, можно заменить задачу (*) на близкую, но уже разрешимую при любых ueF. При этом существенным моментом приближенного решения (*) являлось необходимое знание как точности задания элемента и, то есть оценка уклонения рр(и,и)<8, так и функции корректности ш(а) (модуля непрерывности оператора А'1 на образе множества U). Это позволило М.М. Лаврентьеву указать алгоритм построения таких приближений zeU, для которых pF(u,u)->0, когда Pf/О (где Z-точное решение (*), принадлежащее компакту М), для достаточно широкого класса задач. В этом направлении вели исследования В.Г. Васильев, С.И. Кабанихин, В.Г. Романов, С.И. Шишатский и многие другие представители этой научной школы.

В.К.Иванов, используя некоторые идеи математического программирования, избавился при приближенном решении (*) от задания функции корректности а(а). Вместе с тем не требовалось и знания S, характеризующего точность задания правой части (*). Однако метод В.К.Иванова требовал задания компактного множества М, то есть множества корректности задачи (*). Полученные В.К.Ивановым приближенные решение, определялись как элементы г е А/ с U, на которых

Ри(Az,и) = min рц(Av,и) .

veA/

Такое решение называется квазирешением, а сам метод - методом квазирешения. Метод квазирешений имеет наглядную геометрическую интерпретацию, что послужило отправным пунктом для ряда исследований. В данном направлении исследования вели В.В. Васин, Ж. Лионе, В.П. Танана и другие.

Если уравнение (*) является обыкновенным дифференциальным уравнением, то операторное уравнение содержит один «главный» член, который и определяет корректную разрешимость задачи. Если же (*) является уравнением в частных производных, то соответствующие операторные уравнения содержат, как правило, уже несколько неподчиненных друг другу неограниченных операторов.

Такая ситуация возникает, например, при изучении задачи определения гравитационного поля; задачи обтекания тел сверхзвуковым потоком; ряд reo- и биофизических задач; ряд гидро-, аэро- и газодинамических задач. Задачи из области естествознания в целом приводят к необходимости решения краевых и начальных задач для уравнений эллиптических, гиперболических и параболических типов. Для этих задач не имеет место непрерывная зависимость решения от исходных данных, то есть решение этих задач неустойчивы по отношению к возмущению исходных данных.

4 Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнения первого рода. //1) ДАН СССР -1959 -T 127 К») 2) ДАН СССР.-1960.-Т.133,№2. ......

Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. //ДАН CCCP.-1962.-T 145,№2

5

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для построения регуляризирукяцих алгоритмов (РА), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, легко реализуемым на компьютере.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию этих проблем, то есть разработке алгоритмов приближенных решений ряда некорректных задач математической физики, легко реализуемых на ЭВМ.

Отметим, что В.К.Ивановым6 было построено регуляризированное решение задачи Коши для уравнения Лапласа в полосе, используя стабилизирующий множитель вида ехр(-яУ). М.М. Лаврентьевым было предложено исполь-зование классической формулы Грина для построения регуляризированного решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Используя идеи М.М. Лаврентьева, ШЛрмухамедовым8 было построено регуляризированное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. И.О. Исломовым9, на основе работы Ш. Ярмухамедова, было построено регуляризированное решение задачи Коши для уравнения Гельмгольца. В работе И.В. Мельниковой, А.Ю. Фрейберга 10 построено регуляризированное решение первой краевой задачи для волнового уравнения. В качестве регуляризирующего алгоритма взят конечный отрезок ряда.

В.Я.Арсениным" был предложен способ построения класса регуляризирукяцих операторов для интегральных уравнений первого рода типа свертки с помощью интегральных преобразований, легко реализуемых на ЭВМ.

В данной диссертационной работе, изучается задача Коши для уравнения эллиптического типа, когда решение не имеет непрерывную зависимость от исходных данных. Для обеспечения непрерывной зависимости решения от исходных данных, задачи рассматриваются на классе данных Коши, состоящих из быстро убывающих вместе со всеми производными функций при Используя метод В.Я.Арсенина,

построено семейство таких приближенных решений иа(х,у), что при а-»О равномерно по * для каждого фиксированного у сходятся к решению и{х,у). Другой проблемой, изучаемой в данной работе, являются краевые задачи для

6 Иванов В.К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе.//Дифференциалъные уравнения. -1965. -Т. 1,№1.

7 Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. -Новосибирск: СО АН СССР, 1962. -93 с.

8 Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа //Автореф. дис. доктора физ.-мат.наук. -Новосибирск, 1983. -19 с.

9 Исломов И.О. О задаче Коши для уравнения Гельмгольца //Автореф. дис. канд. физ.-мат.наук. -Новосибирск, 1986. -16 с.

10 Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. О регуляризации краевой задачи для уравнения колебаний. //Журнал вычислительной матем. и матем. физики. -1985.-Т.25,№5.

11 Арсенин В.Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток. //Математическая логика, теория алгоритмов и теория множеств.—Труды МИ АН СССР: Наука—1973,—Т. 133.-С.33-51.

гиперболических уравнений. Характерной особенностью таких задач является некорректность, то есть не имеет место непрерывная зависимость решения от исходных данных. На основе регуляризирующих методов строится класс приближенных решений краевых задач для гиперболического уравнения. Также, используя эти методы, строятся семейства приближенных решений смешанных задач для уравнения эллиптического и гиперболического типов.

М.М.Лаврентьеву12 принадлежит идея замены исходного интегрального уравнения первого рода близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части. Используя идею М.М.Лаврентьева, в работе построен метод приближенных решений задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Целью работы является построение семейства (класса) регуляризирующих алгоритмов (РА), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных.

Основные задачи, решаемые для достижения поставленной цели, следующие:

- построение класса приближенных решений задачи Коши для уравнения эллиптического типа, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, с помощью интегральных преобразований Фурье;

- построение класса РА решения краевых задач для гиперболического уравнения, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье;

- построение приближенных решений смешанной задачи для эллиптического и гиперболического уравнения, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье;

-построение приближенных решений задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД), исходя из возмущенной задачи;

- построение приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода, исходя из возмущенной задачи;

- исследование условий стабилизации и согласования параметра регуляризации с погрешностью;

- выбор сглаживающей функции и последовательности множителей.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с

применением теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач. При построении регуляризированных решений задач,

" Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнения первого рода. ИХ) ДАН СССР -1959 -Т 127 №1 2) ДАН СССР.-1960.-Т. 133, Ш.

изучаемых в работе, используется метод регуляризации для интегральных уравнений первого рода типа свертки, разработанный В.Я. Арсениным. Также используется методика М.М. Лаврентьева, разработанная для операторного уравнения первого рода, исходящая из возмущенной задачи.

Научная новизна. Впервые показана возможность аналитического метода построения семейства РА для: задачи Коши для уравнения эллиптического типа на основе интегрального преобразования Фурье; задачи Коши для уравнения эллиптического типа на основе метода разделенных переменных (метода Фурье); краевой задачи для гиперболического уравнения на основе суммирования рядов Фурье; смешанной задачи для эллиптических и гиперболических уравнения, на основе суммирования рядов Фурье; задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу исходя из возмущенной задачи; сингулярного интегрального уравнения первого рода исходя из возмущенной задачи.

Кроме того, в работе впервые исследованы условия стабилизации и согласования параметра регуляризации для этих задач. Показаны способы выборов сглаживающих функций и последовательности сглаживающего множителя. Установлена зависимость параметра регуляризации от погрешности.

Научная ценность работы состоит в том, что полученные в ней результаты расширяют и углубляют представления о построении приближенных решении задач математической физики, имеющих прикладное значение.

Практическая значимость результатов исследования связана с возможностью их использования для создания принципиально новых, более эффективных технологий в различных областях: геофизике, радиофизике, биофизике, гидравлике, аэродинамике, газодинамике и другие.

Задачи, поставленные в ходе диссертационного исследования, решались в рамках фундаментальных и поисковых НИР, проводимых в Таджикском национальном университете (Президентского фонда фундаментальных исследований научных проектов в 2005-2007 и 2008-2010, проект 0108ТД745).

Достоверность результатов работы определяется использованием обоснованных методов построения семейств РА, способа выборов сглаживающих функций, способа выбора последовательности сглаживающего множителя и установления зависимости параметра регуляризации от погрешности.

Личный вклад автора. Выбор темы, цели и задач для диссертационного исследования осуществлялись автором лично. В совместных публикациях [11-13, 20, 23, 24, 29, 35, 46] автору в основном принадлежат: математическая постановка задач, идеи решений, общее руководство, а соавторам -конкретные выкладки и расчеты. В диссертацию не включены результаты работ [20, 23,24,29,46].

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных, республиканских конференциях и семинарах, в том числе: международной конференции по "Теории приближения и вычислительной математики" (Днепропетровск, 1993); международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Ташкент, 2002); 3-ей международной конференции по "Математическому моделированию и вычислительному эксперименту" (Душанбе, 2002); международной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярным» коэффициентами" (Душанбе, 2003); международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" (Душанбе, 2005); научно-теоретической конференции "Проблемы современной физики" (Душанбе, 2006, 2008); международной научно-практической конференции "Перспективы развития науки и образования в XXI веке" (Душанбе, март, 2007, 2009, 2010, 2011); научно-теоретическля конференция "Проблемы современной физики конденсированных сьсд1' (Душанбе, май, 2007, 2010, 2011); семинаре совещания "Наука-производстну" (Душанбе, июнь, 2007); международной научно-теоретической конференштн "Математические проблемы технической гидромеханики, теории фильтрации и орошаемого земледелия" (Душанбе, май, 2008); Республиканской научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Душанбе, сентябрь, 2008); международной конференции по "Математической физик я ее приложениям" (Самара, сентябрь, 2008, 2010, 2012); Республиканской научно-методической конференции (Душанбе, 2009); 7-ой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010); городском научном семинаре ТНУ (под руководством академика АН РТ, профессора Н. Раджабова); в Институте математики АН РТ (под руководством член-корр. АН РТ, профессора З.Х. Рахмонова) и на семинаре кафедры вычислительной математики ЮУрГУ (под руководством профессора В.П. Танана).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 научных работ, в том числе 26 работ в журналах, рекомендованных ВАК для защиты докторских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка использованных источников из 132 наименований, объемом 208 страниц текста.

Основные положения, выносимые на защиту:

а) Построен класс регуляризирующих операторов решения задач математической физики, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных с помощью интегральных преобразований Фурье.

б) Построено семейство регуляризирующих операторов решения задач математической физики, обладающих свойством устойчивости к малым

изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье.

в) Построено приближенное решение задач математической физики, исходя из возмущенной задачи. При этом важную роль играют условия стабилизации и согласования параметра регуляризации.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Приведем основные определения и полученные результаты в том порядке, в каком они расположены в представляемой работе.

Введение содержит обзор основных публикаций и монографий, посвященных некорректным задачам и методам их решения. В этом пункте обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и основные результаты исследований, показана научная новизна и дана общая характеристика работы.

Первая глава диссертации посвящена изложению нового аппарата построения РА для одномерной задачи Коши в верхней полуплоскости, то есть рассматривается задача Коши для уравнения

^у) + аЬ^+ЪЩ& + Си(х,у) = Ах,у), -оо<*<»,У>0 (0.1.1) дх су

с начальными условиями

и(х,0) = ф), = (0-1-2)

у->0 Оу

Здесь д = —г - оператор Лапласа, а,Ъ,с - заданные числа, /(*,>•) дх ду

<р\х), у/О) - заданные функции.

Задача (0.1.1)-(0.1.2) является некорректно поставленной по Адамару, то есть не выполняются условия непрерывной зависимости решения от исходных данных. В подразделах 1.0.1 и 1.0.2 приведены примеры, в которых задача (0.1.1)-(0.1.2) будет некорректной, то есть решение неустойчиво относительно малых возмущений исходных данных.

Пусть К класс данных Коши, /(х,у) (при любом фиксированном у > 0), 'р(х) и !//(*) такие, что:

1) /(х,у) (при любом фиксированном у>0), <р(х) и у(х) бесконечно

дифференцируемые функции;

2) производные /™{х,у) (при любом фиксированном у> 0), <р(к}(х) и

у"" (х) (к = 0,1,2, - •) стремятся к нулю при \х\ -> «> быстрее любой степени .

Обозначим через (/совокупность решений и(х,у), удовлетворяющих условиям:

а) функции и(х,у),их(х,у) и ы„(л\у) абсолютно интегрируемы на всей оси д: при любом фиксированном у > 0;

б) функции иу(х,у) и иуу(х,у) имеют в каждом конечном интервале 0< у <у0 интегрируемую мажоранту п(х).

В общем случае, когда /(х,у) (для любого фиксированного у>0), <р(х) и цНх) только ограничена, мы будем их рассматривать как функционал над пространством К - бесконечно дифференцируемых финитных функций.

Эти предположения дают возможность построения таких алгоритмов приближенных решений задачи (0.1.1)-(0.1.2), которые дают решения, обладающие свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, то есть к начальным условиям при любом фиксированном у > о.

Пусть и класс функций одной или двух переменных бесконечно дифференцируемых по одной переменной. Рост последовательных производных этих функций будем характеризовать некоторым числом р > 0.

Пусть Л = (-со, со) - действительная ось, О = {(х,у): х е 1?, у > 0} -полупространство, Сф) - пространство непрерывных функций и(х,у): (*,>')е£)с нормой ||«(д:^)| = 8ир[й(*>4 сн№) = Нх,У)Мх,У)*Сф),\и{х,у)\<н},

— пространство функций и(х,у) е С(О), бесконечно дифференцируемых по х на Л и дважды дифференцируемых по у на [0, >0 ], обращающаяся в нуль вне некоторого интервала (-/,/) е Л, причем

Пусть в (0.1.2) функции <р(х) ^ ц/(х) и /(х,у) (для каждого _>>б[0, >-„]), из

и (С(К)) равномерно ограничены, то есть существует такое число м, что \р(х)\<М, ¡1//(х)1<М для всех хеЛ и всех <р(х) *[/(х) И /(х,у) из

£,(Я) (£2(К)). Тогда существует решение задачи (0.1.1)-(0.1.2) и{х,у) такое,

/ ч Зи 52М :

что и(х,у), —, — принадлежит пространству С"лф,р)\ и(х,у)

удовлетворяет уравнению (0.1.1) и условиям (0.1.2). Однако можно указать начальные условия, то есть функции ср(х) ^ ц>(х) и правой части (0.1.1) /(х,у),

которые не обладают свойствами бесконечной дифференцируемое™, например, зададим графики исходной функций в виде ломаной линии. Она не обладает свойством бесконечной дифференцируемости. Тогда вместо нахождения и(х,у) можно ставить лишь задачу о нахождении приближенного решения. В качестве приближенного решения будем брать регуляризированное решение вида

К <Ху) = Л(/,<р,у/,х,у,а) зависящее от параметра а, где а, зависит от д.

Для построения РА вводятся следующие определения.

Определение 1.1. <р,у/, х, у, а) называется приближенным решением задачи Коши для уравнения эллиптического типа в окрестности заданной

11

точности условия Коши в Ц(К) (12(й)), если существует функционал 5(а,.х,у) из Сф), удовлетворяющий условию

\И{/,<1>,у,х,у,а)-и{х,у% < ${а,х,у) длялюбого а е(0,а0] и ¡(а,х,у)->0 при а0 длявсякого х еЯ и 0<у<уа.

Здесь а - параметр регуляризации, и{х,у) - точное решение задачи Коши для уравнения эллиптического типа, а0 и у0 - заданные числа (а0>0, у0 >0).

Определение 1.2. называется вполне приближенным

решением задачи Коши для уравнения эллиптического типа в 8-окрестности заданной точности условия Коши в ¿¡(К) (12(Я)), если существует функционал с(а,8,х,у) из с (О), удовлетворяющий условию

|й(/, <р,у?,х,у,а)-Щ/, <р, у, У, а)\ £ Ф, 8, х, у) длялюбого а е(0,а„] и с{а,8,х,у) -> 0, а(<5)-*0 при 5-»О для всякого дгей и

О<у<у0-

Здесь Дх,у) (для любого фиксированного у > 0), - 8 -приближения

правой части уравнения, а <р{х) и у{х) есть 8 -приближения начальных

данных соответственно.

Задачу (0.1.1)-(0.1.2) разбиваем на две задачи:

1) Задача Коши для однородного уравнения

Афуу)+аЁ^Ы1+ЬЁ}^У1+а1(х,у]=:0 (0.1.3)

дх ду

с заданными начальными условиями

>"*а ду (0.1.4)

2) Задача Коши для исходного уравнения

Д^ХгУ)+аЁ!^ + ь^^ + <Мх,у) = Ях,у) (0.1.5)

дх ду

с нулевыми начальными условиями

»■(*,0)=0), 11т = О (0.1.6)

У-Х> ду

Тогда решение задачи (0.1.1)-(0.1.2) запишется в виде

и(х,у)=у(х,у) + и>(х,у).

В разделе 1.1 рассматривается задача (0.1.3)-(0.1.4). В зависимости от коэффициентов а, Ъ, с уравнение (0.1.3) определяется как уравнение Лапласа или как уравнение Гельмгольца. Если 4с = а2 +Ь2, то уравнение (0.1.3) является уравнением Лапласа, а задача (0.1.3)-(0.1.4) -задачей Коши для уравнения Лапласа. Если +Ь2, то уравнение (0.1.3) является

уравнением Гельмгольца. Точнее, задача (0.1.3)-(0.1.4) есть задача Коши для уравнения Гельмгольца.

В подразделе 1.1.1 рассматривается уравнение

Щх,у) = 0 (0.1.7)

в области D с начальными условиями

dz(x,y)

Z(xfl) = p(x),

= ?(•*), (0.1.8)

r=0

sy

где Д - оператор Лапласа, а р(х) и q(x) - заданные функции. Тогда

1 °°

Г('Т' У)=И У) ' exP(ixs)ds, (0.1.9)

где @(s,y) = P(s)Ck(sy) + Q(s)¥&$-, a P(s) и Q{s) -преобразование Фурье соответственно функций р(х) и q(x) .

Пусть r(s,a) - некоторая заданная стабилизирующая функция, определенная для всех неотрицательных значений параметра а, любых seR и обладающая следующими свойствами:

1)0s r(s,a) < 1 для всех значений а > 0 и se Л;

2) г(«,0)в1;

3) для всякого а> 0 r(s,a) четная по s и r(s,a)eL2(R);

4) для каждого а > 0 ф, а) -> 0 при |.sj -> да ;

5) при а-*0 ф,а)->1, не убывая, причем на всяком отрезке |s|<s, эта сходимость равномерная;

6) для любого î ф 0 /"(s, а) -монотонно убывающая по а функция и r(s,a) о при и эта сходимость равномерная на каждом отрезке [s„s2];

7) для всякого а >0 r(s,a)-Ch(sy) и принадлежат £,(/?) при любом фиксированном (у > 0).

Этим условиям отвечает, например, стабилизирующий фактор , . Ch(sy)

'ch^sy) + ^(s), где P(j) заДанная неотрицательная четная функция,

кусочно-непрерывная на любом конечном отрезке оси R, причем P(j)>0,РО #0)>0 и при достаточном больших значениях : P(s) >const> 0.

Далее, в качестве примера функции r(s,a) обладающей свойствами 1)-7) можно рассматривать стабилизирующий множитель вида r(s,a) = ехр(-сф|), r(i,a) = exp(-aV"), r(i,a) = exp(~(as)2") (п>1).

Для каждой заданной сглаживающей функции r(s,a) рассмотрим однопараметрическое семейство R(p,q,x,y,a) вида:

R{p,q,x,y,a) = ~ jr(s, а) ■ в (s, у) ■ exp(ixs)ds,

~ (0.1.10)

Обозначим:

/, = °fch(sy)exp(ixs)ds, f" (x, y) = j- ^r(s,a)Ch(sy)exp(ixs)ds,

f2(x,y) = -L f^e^é, П (x,y) = ~ )r(s,a)^expWJs. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть функция z(x,y) вида (0.1.9) есть точное решение задачи (0.1.7)-(0.1.8). Тогда справедлива оценка

¡R(p,q,x,y,a) - фг,>0|| < s(a,x,y),

где R(p,q,x,y,a) -регуляризирующее решение вида (0.1.10) для задачи (0.1.7)-

(0.1.8), 1(а,х,у) = п(а,у)\\р(.х)\\^ ||v

-00

п{а,у) и т(а,у) - модули непрерывности соответственно функций /, (х, у) и /2 (.г, у), а - параметр регуляризации.

Теорема 1.2. Пусть выполняются неравенства ||£(лг) - р(х)\^ <S,

¡¡g (х) - q(x)|j/_ <5 и у - заданное число (у > 0). Тогда для регуляризирующего

решения задачи (0.1.7)-(0.1.8) имеет место оценка

\R(p,q,x,y,a)-R{p,q,x,y,a)\ < с(а,8,х,у),

где R(p,q,x,y,a) - функция вида (0.1.10) с заменой р(х) и q(x) на р(х) и q{x),

а с(а, х, у) = 5 (|/," (х, >')j ^ + ЦЛ" (».^Ц ).

!/"(*»= te" ML,=

Теорема 1.3. Параметр а = а(о) является корнем уравнения

Причем, если lima(<5) = 0, то

lim R{p, q, х, у, а) - zíx, у).

5-И)

При IpW-pWII^ и ¡|9(x)-q(x)||^ <5 имеет место: Теорема 1.4. Если функция r(s,a) удовлетворяет условиям 1)-7), то функция R{p,q,x,y,a) вида (0.1.10) является регуляризирующим решением для

задачи (0.1.7)-(0.1.8).

В подразделе 1.1.2 методика, разработанная в подразделе 1.1.1, применяется для задачи: найти z(x,y) из уравнения

Дг +A2z = 0, ¿ = const (0.1.11) в области D с начальными условиями

Ф,0) = р(*), = «<*), (0-1-12)

ЭУ U

14

где Д - оператор Лапласа, а р(х) и д(х) - заданные функции.

Подраздел 1.1.3 посвящен изучению задачи (0.1.3)-(0.1.4). Сделав в (0.1.3)-(0.1.4) замену

получим задачи (0.1.11)-(0.1.12). Здесь Я = -~(4с-а2 -Ь1), а р(х) = ,р(х)ехр^

?(*) = ^ (*) + ^ ехр^

Итак, решение задачи Коши для однородного уравнения эллиптического типа есть решение задачи (0.1.3)-(0.1.4), которое имеет вид:

у) = ехр(- j Ц|){/, (, - лг, + /2 _ + ^.

В качестве приближенного решения принимаем значение однопараметрического семейства решения вида

у, х, у, а) = expj^- ELt^L j. ^ a)

Здесь R(p,q,x,y,u) - приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа или Гельмгольца в зависимости от коэффициентов а, Ь, с, а

р(*) = Р(*)ехр^уj, q(x) = ^U) + -^Т-^ехр^ j - Приближенные Значения

начальных данных.

В разделе 1.2 рассматривается задача Коши для неоднородного уравнения эллиптического типа, то есть уравнения (0.1.5), в полупространстве D с начальными условиями (0.1.6). Уравнение (0.1.5) определяется свойством коэффициентов а, Ъ, с как уравнение Пуассона или Гельмгольца. Если 4е = а2+62, то уравнение (0.1.5) является уравнением Пуассона. В этом случае задача (0.1.5)-(0.1.6) является задачей Коши для уравнения Пуассона. Если 4с*а2+Ъ\ то уравнение (0.1.5) является неоднородным уравнением Гельмгольца. Точнее, задача (0.1.5)-(0.1.6) есть задача Коши для неоднородного уравнения Гельмгольца.

Решение задачи (0.1.5)-(0.1.6) можно представить в виде:

у

о

где Q(x,y,r) - решение задачи Коши для однородного уравнения эллиптического типа с начальными данными

= fix,т).

ду

Методика, разработанная в разделе 1.1 применяется в разделе 1.2 для изучения задачи Коши неоднородного уравнения эллиптического типа, то есть задачи (0.1.5)-(0.1.6). В подразделах 1.2.1 и 1.2.2 применяется методика

15

подраздела 1.1.1. Показано, что построенное приближенное решение является регуляризирующим для задачи Коши уравнения Пуассона и неоднородного уравнения Гельмгольца соответственно.

В разделе 1.3 рассматривается задача Коши для уравнения

■ л>0 (0.1.13)

У &

в области D с начальными условиями

и(х,0,д> = <?«. (0.1.14)

су J

где Д - оператор Лапласа, а <р(х) и щ(х) заданные функции.

Получено решение

1 Ä

и(х, у, р) = — fv(j, у, р) exp(ixs)ds, (0.1.15)

1к -t

где v(s, у, р) = a{s,y,p)<b{s) + y'~"b(s, у, fiy¥(s),

ЙГ(2А + 1 + я)Г(1 + |) ' = Л:!Г(2Аг + 2-,и)Г(1 -§) '

а ФО) и преобразования Фурье функций <р(х) и уф) соответственно.

Методика подраздела 1.1.1 применяется для изучения задачи (0.1.13)-(0.1.14). Показано, что класс однопараметрических решений вида

!<(<?, ц/,х,у,р,а) = -^~ fr(.5, a)v(i, у, ß) exp(ixs)ds

2 7t

является регуляризирующим решением для задачи (0.1.13)-(0.1.14).

Все результаты настоящей главы, то есть методы построения устойчивого к малым изменениям исходных данных решения одномерных задач Коши, можно распространять на многомерный случай.

Вторая глава диссертации посвящена изложению краевых задач для гиперболического уравнения второго порядка, то есть решение уравнения

Ыг дх{ ax ) (0.2.1)

в области G = {{x,t):0<x<h,0<t< т}, удовлетворяющее граничным условиям

'0, при х = 0 и x = h, г е [0,Г] <р{х) при t =0, хе[0,Л], (0.2.2)

ц/(х) при t = T, Х€[0,А].

. Здесь коэффициенты р{х), к(х) и q{x) определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс, свободный член f(x,t) выражает интенсивность внешнего воздействия, Г- граница прямоугольника G, и у2 - числа, а <р(х) и ц/(х) - граничные скорости смещения. Если у, = 0, то имеем первую краевую задачу, если =0, то вторую, а при и уг * 0 -третью.

у, +

Краевые задачи (0.2.1)-(0.2.2) являются некорректно поставленными по Адамару, то есть не выполняются условия непрерывной зависимости решения от исходных данных. Некорректность задачи (0.2.1)-(0.2.2) изучена в подразделе 2.0.3. Приведены примеры, в которых решения задачи (0.2.1)-(0.2.2) являются неустойчивыми относительно малых возмущений исходных данных.

Величины Pix), kix), qix), f(x,t) (для каждого fe[0,T]), tp(x) и ц>(х) будем считать неотрицательными кусочно-непрерывными функциями на [0.А]. Причем р(х) > 0, Цх)>с > 0, q(x) > 0, *(д) е С(»(0,Л), р(х), q(x), f(xj) (для каждого ге[0,Г]) еС(0,й). При таких условиях можно доказать, что решение задачи (0.2.1)-(0.2.2) существует и единственно. Нашей задачей является обсуждение вопросов, связанных с построением приближенных решений обладающими свойствами устойчивости к малым возмущениям исходных данных.

Примем F = (0, Л), F, = (0, Т). Будем предполагать, что решение u(x,t) задачи (0.2.1)-(0.2.2) для каждого t принадлежит множеству D(A) (оператор д2 д

йТ"^^ ~ действует на функции u(x,t)) с областью определения F.

Каждый элемент множества ЩА) непрерывен, имеет непрерывно

дифференцируемую производную q(x)u(x,t), к(х)~ такую, что квадратично

суммируема на FxF,. Кроме того, все функции множества D(A) удовлетворяют однородньш граничным условиям (0.2.2). Предполагается также, что решение «(x,i) задачи (0.2.1)-(0.2.2) обладает производными

г

~dF' квадРатично суммируемыми на FxF,. Множество DiÄ) есть класс

возможных решений. Однако нельзя брать в качестве приближенного решения задачи (0.2.1)-(0.2.2) с приближенными исходными данными произвольный элемент и(*,0 из D(A), так как такое приближенное решение не будет устойчивым относительно малых возмущений исходных данных. Поэтому в настоящей главе построен регуляризирующий алгоритм решения рассматриваемой задачи (0.2.1)-(0.2.2) в обычном для некорректных задач предположении, что решение при точно заданных исходных данных существует. В качестве приближенного решения будем брать регуляризированное решение вида

uaix,t) = R(f,<p,y,x,t,a) зависящее от параметра а, где а, зависит от 5. При этом используются условия стабилизации и согласования параметра регуляризации для задачи (0.2.1)-(0.2.2). Эти понятия можно ввести следующим образом:

Определение 2.1. R(J,<p,y,x,t,a) называется регуляршируемым решением для краевой задачи гиперболического уравнения второго порядка в

окрестности заданной точности краевых данных в Ьг(0,И), если существует функционал s(a,x,t) из C(G), удовлетворяющий условию

\\R(f,<p,if/,xj,a)-u(x,t)\\ < s(a,x,t) для любого а, принадлежащего (О,ос0] (а0>0) и s(a,x,t)-*Q при аО для всякого х е [О, А] и О < t < tl.

Определение 2.2. R( f,$,(p,xj.a) называется вполнерегуляризируемым решением для краевой задачи гиперболического уравнения второго порядка в S-окрестности заданной точности краевых данных в L2{0,h), если существует функционал c(a,ö,x,t) из C{G), удовлетворяющий условию

у, х,1,а)~ R(f, <p,i>',x,t,a)j<c(a,S,x,t) для любого а, принадлежащего (0,ао] и c(a,S,x,t) -> 0, a(S) -> 0 при ¿>->0 длявсех хе[0,Л] и 0<t<t1.~

В разделе 2.1 рассматривается уравнение

= (0-2.3)

дх J dt

в области G, удовлетворяющее краевым условиям

[О, при х = 0 и x = h, ге[0,Г]

(У1Ёа^+Гги{х,1) 1 = W) при i = 0, *e[0,/i], (0.2.4)

^ 8" ^г [¡/(х) при 1 = Т, хе[0,й].

Здесь Г - граница прямоугольника G, г,, Гг ~ числа, а <?(*) и цг{х) заданные непрерывные функции на [0, И]. Предполагается, что к{х)>с>0, q(x) > 0, к(х) б Cm(0,h), q(x)eC(0,l). Если ^ = 0, то имеем первую краевую задачу, если уг = 0 - вторую, а при -д * 0 и уг * 0 - третью.

Решение задачи (0.2.3)-(0.2.4) можно представить в виде

«(*,/) = |>„(г,А„)в„(*Д„) (0-2.5)

где v„(t,X„) = A„F„(t) + B„G„(t), причем

+(Я„у,)2]8к,(А„Г) " „J

(Л +(Я„"л) ]sin(/.„r) „'

а числа Я„ и функции 0„(хД„) являются собственными значениями и

собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля: .......

Здесь А„, В„ - коэффициенты Фурье функций <р(х) и ц/(х) по системе {е„(х,А„)}, ЛПТ - иррациональные числа.

Регуляризирующий алгоритм можно представить в виде

Ä(9>,V,*,i,a) = £r(M,e)v„(i,A„)0„(x,A„) (0.2.6)

Здесь r(n,a) стабилизирующий множитель, обладающий следующими свойствами:

1) г(п,а) определено для всех а>0 и любого натурального и;

2) 0 <г(п,а) <1 для любых «>0 и л =

3) г(и,0)з1;

4) {г(п ,а)}е/г, для всякого а;

5) Hmi-(«,aj = 0 равномерно для любого ае(0,а0], где а0 - любое

фиксированное положительное число;

6) Umr(n,a) = l доя всякого п не убывая;

7) для любого п г(п,а) - монотонно убывающая по а функция и lira г(п,а) = 0;

«—»со

8) для каждого а>0 {r{n,a)FJc)\ и {r(n,a)G„(t)} принадлежат 12 при всяком фиксированном t е [0, Т].

Если положить, например, r{n,a) = —^ +(Ку,У KT)

ф,а) = ехр(-а£„) или г(«,а) = (1+ «£„)-, где - последовательность

положительных чисел, порядок роста которых при и->оо не ниже, чем я',

где J > -, то условия 1)-8) для таких г(п, а) выполняются.

Пусть м - постоянная равномерной ограниченности {®„{х,А„)}, то есть |®Л(*>А,)| ^ М, тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть функция u(x,t)euda (0.2.5) является точным решением задачи (0.2.3)-(0.2.4), а <р(*) и у7(х) непрерывные 5-приближения к ф{х) и ц/{х) в ¿2(О,И) и t ~ заданное положительное число из [О,Г]. Тогда для каждой последовательности {г{п,а)}, удовлетворяющей условиям 1)-8), однопараметрическое семейство вида (0.2.6) является регуляризирующим алгоритмом задачи (0.2.3)-(0.2.4) и для любого t е [О,Г]

причем lim а (J) = 0. Параметр а = а(8) является корнем уравнения

Ja>(<x,t)+ijl(a,t) =■

е

' Ш8'

где ш(о,0 = ¿|r(«,a)F„(0|2, Ka.t) = £

Л=1

В разделе 2.2 рассмотрено уравнение с частными производными, объяснившее многие физические явления:

Щй+ф^Ькьа+к&м-ф)?^, (0.2.7)

дх дх ог

Оно соответствует свободным колебаниям материальных тел (скорости сигналов в линии при одновременном способе управления). Считая, что а(х) >а0 > 0, Ъ(х)> 0, с(л) > с0 > 0 - непрерывно заданные на [0,А] функции и связанные определенными соотношениями с упругими характеристиками и плотностью неоднородной среды, будем искать решение уравнения (0.2.7) при предельных условиях

[0, при * = 0 и х = к ге[0,Г] + при г = 0> (0.2.8) у )г \¥{х) при / = Г, *б[0,й].

Здесь Г -границапрямоугольника в, у„ уг - числа, а <р(х) и у(х) -заданные непрерывные функции на [0,й]. Если у1=0, то имеем первую краевую задачу, если Гг = 0 _ вторую, а при уг * 0 и уг * 0 - третью.

Применяя методики раздела 2.1, построен класс РА решения (0.2.7)-(0.2.8) с приближенными исходными данными.

Методика раздела 2.1 применяется в разделе 2.3 для изучения уравнения с частными производными, также объясняющего многие физические явления:

+ + = + (0.2.9)

дх дх £я и'

Оно соответствует свободным колебаниям электромагнитного поля (скорости сигналов в линии при последовательном способе управления). Считая, что А(х) >А^>0, й(1) >О0> 0, В(х) > 0, С(х) > 0, £(<) > 0 - непрерывные заданные на [0,Г] и [0,й] функции соответственно, будем искать решение

уравнения (0.2.9) при предельных условиях:

Г0, при * = 0 и х = И, ?е[0,Г] + = их) при / = 0, лге[М], (0.2.10)

^ Ы ^ [у/(х) при г = Т, х е [0, А].

Здесь Г -граница прямоугольника <7, ух, уг - числа, а <р(х) и ч/(х) -заданные непрерывные функции на [0, А]. Если у1 = 0, то имеем первую краевую задачу, если у2=0 - вторую, а при у1 * 0 и уг * 0 - третью.

Показано, что класс однопараметрических решений вида

иа(х,1)=Я(<р,у/,х,1,а)

является регуляризирующим алгоритмом для задачи (0.2.9)-(0.2.10).

Третья глава состоит из трех разделов и в ней приведен РА смешанной задачи для уравнения Лапласа и для гиперболического уравнения.

В разделе 3.1 рассматривается следующая смешанная задача для уравнения Лапласа

Ли(х,у) = 0, G = {(x,y):0<x<l,y>u},

Sy

y,v(x,y) + y2

Su(x,y)

8x

О при x = 0:

(0.3.1) (0.3.2)

y>0.

1« (0.3.3)

[0 при х = 1, 4 '

Здесь постоянные уг таковы, что г1+г1 *0, а <р{х) и у/(х) непрерывные на [0,/] функции (данные задачи).

Проведя рассуждения, аналогичные разделу 2.1, получим решение задачи (0.3.1)-(0.3.3) в виде

Ф,у) = £

<f>kCh{lky) + v,/k-

(0.3.4)

где (рл 1[/к = - коэффициенты Фурье функций <р(х), у/(У) по

системе

В качестве приближенного решения (0.3.1)-(0.3.3) с приближенными исходными данными будем брать значение однопараметрического семейства операторов

Ы(Хку)

R(ç>ys, X, у, а) = ^Гг(к,а)

<ркСЩку) + у/, -

К

(0.3.5)

где г {к,а) - стабилизирующие множители, определенные для всех а> 0 и к= 1,00. Кроме этого, предположим, что они удовлетворяют еще условиям 1)-

7) раздела 2.1 и свойству:

8) для всякого а> 0 \г(к,а)СЫХку)} и принадлежат /2 при любом фиксированном у > 0.

Теорема 3.1. Пусть функция и(х,у) является точным решением задачи (0.3.1)-(0.3.3) вида (0.3.4), а <р(х) и <р(х) непрерывные 5-приближения к <р(х) и ч'(х) в Lt (0, h) и у - заданное положительное число. Тогда для каждой последовательности {r(k,aj\, удовлетворяющей вышеприведенным условиям 1)-8), однопараметрическое семейство вида (0.3.5) является регуляризирующим решением задачи (0.3.])-(0.3.3) и для любого у>0 выполняется равенство

)imR{<p,\j/,x,y,a) = u(x,y),

причем lima(5) = 0.

Раздел 3.2 посвящен изучению смешанной задачи для уравнения гиперболического типа второго порядка, то есть

(0.3.6)

При *б[0,/], ге[0,г0], в предположении достаточной гладкости коэффициентов A(t) >А0> 0, С(х) >С0> 0, D(t) > 0, Е(х) > 0, Fx(t) > 0, F2(x) > О

рассмотрим задачу нахождения его решения, удовлетворяющего краевым условиям

и(*,0) =?>(*), = Ч'(х), Ь<х<1, (0.3.7)

üo„(0j() + ft^M = 0; + 0 < f < i0 (0.3.8)

где постоянные а,,/?, таковы, что а,2 + Д2 *0, i=0;l а ?>(*) и у/(х) -непрерывные на [0,/] функции (данные задачи).

Методика, разработанная в разделах 2.1 и 3.1 применяется для изучения задачи (0.3.6)-(0.3.8). Показано, что построенное приближенное решение является регуляризирующим для задачи (0.3.6)-(0.3.8).

В разделе 3.3 методика, разработанная в разделе 3.1, применяется к задаче Коши для уравнения Лапласа в области G = {(r,q>):ra <r<R, 0<ф<я}, то есть для неустойчивых задач о продолжении потенциального поля.

В четвертой главе построено приближенное решение задачи Коши для уравнения эллиптического типа исходя из возмущенной задачи. А также этим методом исследовано сингулярное интегральное уравнение первого рода. При этом важную роль играют условия стабилизации и согласования параметра регуляризации.

В раздела 4.1 рассмотрено уравнение (0.1.13) в полупространстве D с начальными условиями (0.1.14).

Заметим, что решение задачи (0.1.13)-(0.1.14) можно представить в виде (0.1.15). В практических задачах начальные значения получаются в результате измерений, то есть

u(x$,fi)^y{x), lim v" — = у(х) ■

ду)

Здесь <р(х) и ц/{х) суть - 8 -приближения <р(х) и у/(х) соответственно, которые понимаются в следующем смысле:

Щх)-<р{х%<5, |i?(*)-<K*)||<<S. (0.4.1)

Введем вспомогательные задачи

А , ч , М Sua(x,y,ß) п ц>0 , (0.4.2)

(0.4.3)

, ч У- 8"ЛХ>У>/*) п &иа{х,у,ц)+ • -0, у+а ду ß>0 , (0.4.4)

= ¥(х), (0.4.5)

где а е(0,а0] (ао>0).

Введем понятие условия стабилизации и согласования параметра регуляризации для задачи (0.1.13)-(0.1.14), то есть замены задачи (0.1.13)-(0.1.14) возмущенной (0.4.2)-(0.4.5) следующим образом:

Определение 4.1. Задача (0.4.2)-(0.4.3) называется стабилизуемой для задачи (0.1.13)-(0.1.14), а соответственно иа(х,у) - регуляризируемым решением, если существует функционал ¡{а,х,у), удовлетворяющий условию:

1к (*> У,/')- Ф, У, Д)|| 5 ¡(а,х, у) для любого а е (0,а0] и я(а,х,у) -> 0 при а -> 0 для каждого хеЯ и 0<у <у0.

Определение 4.2. Задача (0.4.4)-(0.4.5) называется вполне стабилизуемой для задачи (0.1.13)-(0.1.14), а соответственно иа(х,у) -вполне регуляризируемым решением, если существует функционал с(а,5,х, у,), удовлетворяющий условию

||"„ У,М)-"а (х, у, л)| <с(а,3,х, у) для каждого ае(0,ао] и с(а,5,х,у,) ->0, «(<>)-> О при <5-^-0 для любого хеК и 0 < у < у0.

Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям в разделе 1.3, получим решение задачи (0.4.2)-(0.4.3) в виде

Ж) дэ

"Л* ,у,ц)= ¡/1а(х-1,у,/иМ1)Л+ 0<л, (0.4.6)

1 " 1 »

где (х,У,Ц)= — \а{5,у + а, ц)ехр(та№, /« (х,у, ц) = — у + а, ц)ехр(ж№. т 2я-

Функцию иа(*,у,,и), определяемую (0.4.6), можно рассматривать как приближенное решение задачи (0.1.13)-(0.1.14).

Теорема 4.1. Пусть и(х,у,ц) вида (0.1.15) есть точное решение задачи (0.1.13)-(0.1.14). Тогда справедлива оценка

¡К (х.у,м) - и(х.у. /1)|| £ ¿(а,*, у) где иа(х,у,/.1) -региение задачи (0.4.2)-(0.4.3),

К<*,х,у) = а(а,у)\\(р(х)1^ + Ка.У№*^ Ы*\ = И*)^ =

На,у) - модули непрерывности функций /¡(х,у,^) и /г(х,у,^) соответственно, а ~ параметр регуляризации.

Следствие. Для того, чтобы решение задачи (0.4.2)-(0.4.3) "а(х>У>н)-*и(ад/О при а ->0, где и{х,у,ц) - решение задачи (0.1.13)-(0.1.14), необходимо и достаточно, чтобы 4а,.г,у) О при а-» 0.

Теорема 4.2. Пусть иа{х,у,ц) - решение задачи (0.4.2)-(0.4.3). Тогда имеет место оценка

К (х, у,ц)-иа (х, у, < с(а, 8, х, у) где с(а,6, х, у) = <у(]|/« (*, у, ^ +|/» {X, у, /г)||А ],

\/Пх,у,ц)\и = ^(х-Г.у.лОК \\/'{х,у,ц)\ = \ /2Чх-{,у,Мр.

—да

Теорема 4.3. Параметр а = <х (8) является корнем уравнения

23

причем, если Шпа(<5) = 0, то

Пт иа (х, = и(х, у, ¡1). В разделе 4.2 рассматривается сингулярное интегральное уравнение

первого рода

'i^^-dx = v(/), -/</</, (0.4.7)

где функция v(/) удовлетворяет условию Гельдера с показателем X (0 < А < 1; v(t) е H1) в области интегрирования.

Введем вспомогательные сингулярные интегральные уравнения

(;-/)(/+;-«) + VjfeM.^ v(0, (0.4.8)

а (l+t)(t-l-a) Jx-t + a

g,(0h VT'rV jP^U-УМ. (0.4.9)

(/+/)(/-/-a)

где a s (0,ao] (a0 > 0).

Понятие условия стабилизации и согласования параметра регуляризации для уравнения (0.4.7), то есть понятие замены уравнения (0.4.7) возмущенным уравнением (0.4.8), ((0.4.9)), введем следующим образом:

Определение 4.3. Уравнение (0.4.8) называется стабилизуемым для уравнения (0.4.7), а соответственно ua{t) - регулярюируемым решением, если существует такой функционал s(a,t), что

\\u„(t)-«(.t)\\<s(.a,t) для каждого а е (0,аа] и s(a,t) -» 0 при а -> 0, для всех t € [-/,/].

Определение 4.4. Уравнение (0.4.9) называется вполне стабилизуемым для уравнения (0.4.7), а соответственно Ù^(/) - вполне регуляризируемым решением, если существует такой функционал c{a,6,t), что

для любого а е (0,а,,] и с(а, S, t) -> 0, а(8) 0 при 8-у0 для каждого t е [-/, /].

Теорема 4.4. Пусть u(t) - некоторое решение уравнения (0.4.7) га пространства С[-1,Г\. Тогда справедлива оценка

(н,,(0-и(0Н*(а,0

где ua{t) ~ решение уравнения (0.4.8), s(a,t) = a-M

. i-l-a la-

, t-l-a

In-

_t + l-a_

, (t-l)(t + l-a) , t-l-a -ii-i + lj,-

(.t + l){t~l-a) t + l-a

или s{a,i) = a-M—■ а M> 0 - постоянная Гельдера, а - параметр

In — t+l

регуляризации.

Теорема 4.5. Пусть иаU) - решение уравнения (0.4.9) при заданной максимальной абсолютной погрешности S для v(i). Тогда имеет место оценка

\pAt)-uAt)\\lc(a,ö,t)

(t + [)(t-l-a) l + t-a t + i

Теорема 4.6. Параметр а = а(8) является корнем уравнения

а-М-=Js, t + l-a

причем, если lim а (5) = 0, то lim и„ (t) = и(1).

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в работе.

Ш. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. С помощью интегральных преобразований Фурье построены классы приближенных решений задач Коши для уравнений эллиптического типа в полупространстве, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных.

2. Построен класс приближенных решений краевых задач для гиперболического уравнения в прямоугольной области, то есть РА, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье.

3. Построено семейство приближенных решений смешанной задачи для уравнения Лапласа, а также для уравнения гиперболического типа второго порядка в прямоугольной области, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье.

4. Построено приближенное решение задачи продолжения потенциального поля, то есть задачи Коши для уравнения Лапласа в ограниченной области.

5. Построено приближенное решение задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу исходя из возмущенной задачи в полупространстве.

6. Построено приближенное решение сингулярного интегрального уравнения исходя из возмущенного уравнения.

7. Представлен способ выбора сглаживающей функции и последовательности множителей, метод построения РА и стабилизации задач, метод определения и согласования параметра регуляризации с погрешностью.

Полученные результаты являются основой для построения приближенного решения задач, имеющих важное прикладное значение, реализуемого на компьютере.

IV. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Содержание диссертации опубликовано в работах:

ПУБЛИКАЦИИ В ВЕДУЩИХ РЕЦЕНЗИРУЕМЫХ ИЗДАНИЯХ, РЕКОМЕНДОВАННЫХ ДЕЙСТВУЮЩИМ ПЕРЕЧНЕМ ВАК РФ

1. Джураев Х.Ш. О решении задачи Коши для уравнения Лапласа /Х.Ш.Джураев //ДАН Тадж. ССР. -1986. -Т.29, №9. -С.506-509.

2. Джураев Х.Ш. О решении задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона - Дарбу /Х.Ш.Джураев //ДАН Тадж. ССР. -1988. -Т.31, №7. -С.432-436.

3. Джураев Х.Ш. О решении задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) в многомерном случае /Х.Ш.Джураев //ДАН Тадж. ССР. -1989. -Т.32, №5. -С.292-295.

4. Джураев Х.Ш. О решении задачи Коши для уравнения Пуассона в многомерном случае /Х.Ш.Джураев //ДАН Тадж. ССР. -1989. -Т.32, №6. -С.292-295.

5. Джураев Х.Ш. О решении задачи Коши для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) /Х.Ш.Джураев //Изв. АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат.-хим.-геолог. наук. -1990. -№1. -С.9-12.

6. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризирующем алгоритме построения приближенных решений задачи Коши для уравнения Гельмгольца /Х.Ш.Джураев //ДАН Тадж. ССР. -1991. -Т.34, №2. -С.292-295.

7. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризирующем алгоритме решений задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) /Х.Ш.Джураев //Изв. АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат.-хим.-геолог. наук. -1991. -№4. -С.16-20.

8. Джураев Х.Ш. О регуляризации решения задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона -Дарбу (ЭПД)} /Х.Ш.Джураев //ДАН РТ. -1993. -Т.36, №67. -С.65-70.

9. Джураев Х.Ш. Об одном решения задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона -Дарбу /Х.Ш.Джураев //ДАН РТ. -2002. -Т.45, №5-6. -С.55-60.

10. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризуещем алгоритме решения сингулярного интегрального уравнения 1-го рода /Х.Ш. Джураев //ДАН РТ -2003. -Т.46,№3-4. -С.53-58.

11. Джураев Х.Ш. О регуляризации задачи Дирихле для гиперболического уравнения /Б.Алиев, Х.Ш.Джураев //ДАН РТ. -2004 -Т 47 №3. -С.51-55.

12. Джураев Х.Ш. О регуляризации граничных задач для гиперболического уравнения /Б.Алиев, Х.Ш.Джураев //Вестник национального университета, ТГНУ. -2005. -№2. -С.13-16.

13. Джураев Х.Ш. О регуляризации решения краевой задачи для гиперболического уравнения /Б.Алиев, Х.Ш.Джураев //ДАН РТ. -2006. -Т.49 №4. -С.301-305.

14. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризирующем алгоритме неустойчивой задачи о продолжении потенциального поля /Х.Ш.Джураев //Вестник национального университета, ТГНУ. -2006. -№5. -С.40-43.

15. Джураев Х.Ш. Об одном подходе к проблеме регуляризации задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу /Х.Ш.Джураев //Дифференциальные уравнения. -2007. -Т.43, №5. -С.701-705.

16. Джураев Х.Ш. Об одном подходе к проблеме регуляризации краевых задач для гиперболического уравнения /Х.Ш.Джураев //Вестник Самарского госуниверситета, Естественнонаучная серия. -2008. -№8/2(67). -

17. Джураев Х.Ш. О регуляризации скорости сигналов в линии при одновременном управлении /Х.Ш.Джураев //ДАН РТ. -2009. -Т.52,№1 _ С.23-29.

18. Джураев Х.Ш. Об одном подходе к проблеме регуляризации задачи Коши для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами /Х.Ш.Джураев //Вестник Таджикского национального университета, серия естественных наук. -2010. -3(59). -С.16-27.

19. Джураев Х.Ш. О регуляризации задачи распространения волн в анизотропной неоднородной среде /Х.Ш.Джураев //ДАН РТ. -2010. -Т.53 №2. -С.104-109.

20. Джураев Х.Ш. Об одном устойчивом методе определения приближенного решения уравнения тепло- и массопереноса /Х.ШДжураев, З.С.Норматов //Вестник Таджикского национального университета, спецвыпуск, посвящен. Году образования и технических знаний. -2010 -С.50-57.

21. Джураев Х.Ш. О регуляризации стационарного поля температуры в среде /Х.Ш.Джураев //Известия АН РТ. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. -2010. -№2(139). -С.27-33.

22. Джураев Х.Ш. О решениях смешанной задачи для уравнения Лапласа /Х.Ш.Джураев //ДАН РТ. -2011. -Т.54,№4. -С.27-33.

23. Джураев Х.Ш. Искусственная гиперболизация уравнения теплопроводности /Х.Ш.Джураев, З.С.Норматов, Г.К.Собирова //Вестник Таджикского национального университета. -2011. -4(68). -С.3-7.

24. Джураев Х.Ш. Метод искусственной гиперболизации для обратной задачи теплопроводности /ХЖДжураев, З.С.Норматов //Вестник Таджикского технического университета. -2011. -2(14). -С.3-7.

25. Джураев Х.Ш. Регуляризация краевых задач для гиперболического уравнения /Х.Ш.Джураев //Научно - технический вестник Поволжья. -2011. -№6. -С.33-36.

26. Джураев Х.Ш. О решениях краевых задач для волнового уравнения /Х.Ш.Джураев //В мире научных открытий. Математика. Механика. Информатика. -2012. -№1.1(25). -С.129-142.

ПРОЧИЕ ПУБЛИКАЦИИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

27. Джураев Х.Ш. О приближенных решениях краевых задач для уравнения диффузии /Х.Ш.Джураев //Теории приближения и вычислительной математики: тезисы докл. междун. конф. -Днепропетровск, 26-28 мая 1993 г. -С.74.

28. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризирующем алгоритме решения интегрального уравнения Абеля /Х.Ш.Джураев //Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения: сб.науч.тр., выпуск 3. -Душанбе: Изд-во ДГТГУ им. К. Джураева, 1995. -С.15-17.

29. Джураев Х.Ш. Модель и решения обратной задачи определения мощности утеплителя из условия обеспечения требуемых температурных режимов в пахотном слое почвы /Х.Ш.Джураев, Б.Хамидов //Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: тезисы докл. междун. конф. -Ташкент, 25-27 марта 2002 г. -С.46.

30. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризирующем алгоритме построения решений задачи Коши для эллиптического уравнения /Х.Ш.Джураев //Математическое моделированию и вычислительный эксперимент: материалы 3-ей междун. конф. —Душанбе, 10-12 декабря 2002 г. -С.35-42.

31. Джураев Х.Ш. О построении регуляризирующего алгоритма решения общего линейного гиперболического уравнения второго порядка с регулярными и сингулярными коэффициентами /Х.Ш.Джураев //Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами: труды междун. конф. -Душанбе, 25-28 октября 2003 г. -С.66-70.

32. Джураев Х.Ш. О решениях задачи Коши для сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами /Х.Ш.Джураев //Перспективы развития науки и образования в XXI веке. 4.2: материалы II междун. научно-практической конф. -Душанбе: Изд-во ТТУ им. М.С. Осими, 2006. -С.21-23.

28

33. Джураев Х.Ш. Об одном регуляризирующем алгоритме неустойчивой задачи о продолжении потенциального поля /Х.Ш.Джураез //Проблемы современной физики: прог. и тезисы докл. научно-теоретической конф. посвященной 65-летию д.ф.м.н., профессора Д.С.Саидова. -Душанб:- 9 декабря 2006 г. -С.40-41.

34. Джураев Х.Ш. Регуляризация задачи Коши для уравнения Эйле; а-Пуассона-Дарбу в многомерном случае /Х.ШДжураев //Современные проблемы физики конденсированных сред: прог. и тезисы докл. научно-теоретической конф. посвященной памяти заслуженного деятеля нзу сп Таджикистана, профессора Б.Н. Нарзуллоева. -Душанбе. 4-5 мая 2007 г, -С.51-56.

35. Джураев Х.Ш. Построения типа метода регуляризации ;; ;я некоторых теоретических и прикладных задач /Б.Алиев, Х.Ш.Джураеп // Наука - производству: материалы семинара-совещания. -Душанбе: Изд-зо ТГНУ, -2007. -С.34-39.

36. Джураев Х.Ш. О регуляризации решения краевой задачи дпя гиперболического уравнения с сингулярной точкой /Х.ШДжураев //Математические проблемы технической гидромеханики, теории фильтрации и орошаемого земледелия: материалы междун. научно-практической конф. посвященной 70-летию д.ф.м.н., профессора М.А. Саттарова. -Душанбе, 27-28 мая 2008 г. -С.26.

37. Джураев Х.Ш. Об одном подходе к проблеме регуляризации краевой задачи для гиперболического уравнения /Х.Ш. Джураев /Математическая физика и ее приложения: тезисы докл. междун. конф. -Самара, 8-13 сентября 2008 г. -С.65.

38. Джураев Х.Ш. Регуляризации задачи Коши для эллиптического уравнения на основе теории возмущений /Х.Ш.Джура ев //Дифференциальные и интегральные уравнения: материалы респуб. научной конф. посвященной 60-летию образования ТГНУ и 70-летию академика АН РТ Н.Раджабова. -Душанбе, 25-26 сентября 2008 г. -С.28-30.

39. Джураев Х.Ш. О решении некоторых некорректных задач математической физики /Х.ШДжураев //Наука и современное образование: проблемы и переспективы: материалы междун. научно-практической конф. посвященной 60-летию ТГНУ. -Душанбе, 24-25 октября 2008 г. -С.106-108.

40. Джураев Х.Ш. О регуляризации решения граничных задач для уравнения колебания сигналов в линии /Х.ШДжураев //Проблемы современной физики конденсированных сред: прог. и тезисы докл. научно-теоретической конф. посвященной 80-летию академика АН РТ A.A. Адхамова. -Душанбе, 15-ноября 2008 г. -С.59-62.

41. Джураев Х.Ш. О регуляризации решения граничных задач для уравнения колебания /Х.ШДжураев //Современные проблемы физики конденсированных сред и астрофизики: материалы междун. кокф.

посвященной 70-летию профессора Н.С. Султонова. -Душанбе, 21-22 мая 2010 г. -С.76-77.

42. Джураев Х.Ш. Об одном подходе к проблеме регуляризации задачи Коши для уравнения Лапласа /Х.Ш. Джураев //Перспективы развития науки и образования: материалы IV междун. научно-практической конф. -Душанбе, 20-22 мая 2010 г. -С.182-183.

43. Джураев Х.Ш. О регуляризирующем алгоритме задачи распространения волн в анизотропной неоднородной среде /Х.Ш.Джураев //Математическое моделирование и краевые задачи: труды седьмой Всероссийской научной конф. с международными участием. 4.3. -Самара: Изд-во СамГТУ, 3-6 июня 2010 г. -С.88-92.

44. Джураев Х.Ш. О регуляризирующем алгоритме решений задачи Коши для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами /Х.Ш.Джураев //Современные проблемы математического анализа и их приложений: материалы междун. Научной конф. посвященной 60-летию академика К.Х. Бойматова. -Душанбе, 23-24 июня 2010 г. -С.33-34.

45. Джураев Х.Ш. О регуляризирующем алгоритме решений многомерных задач Коши для эллиптических дифференциальных уравнений /Х.Ш.Джураев //Математическая физика и ее приложения: материалы второй междун. конф. -Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г. -С.109-110.

46. Джураев Х.Ш. Искусственная гиперболизация уравнения теплопроводности /Х.Ш.Джураев, З.С.Норматов //Современный научный вестник.-2011.-№15 (111).-С.90-94.-№16 (112). -С.92-98.

47. Джураев Х.Ш. Задачи Коши для аналога уравнения Лапласа в бесконечной полосе /Х.Ш.Джураев //Перспективы применения инновационных технологий и усовершенствования технического образования в высших учебных заведениях стран СНГ. Ч.2.: материалы V междун. научно-практической конф. -Душанбе, 13-15 октября 2011 г. -С.8-9.

Поступило в печать 19.10.2012. Подписано в печать 20.10.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл.печ.л.2,0. Тираж 100 экз. Заказ №282.

Отпечатано в типографии ООО «Эр-граф». 734036, г.Душанбе, ул.Р.Набиева 218.