Об инвариантных регуляризациях в квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СГЕКЛОВА

На правах рукописи

МАЛОКОСТОВ АНДРЕИ МИТРОФАНОВЙЧ

ОБ ИНВАРИАНТНЫХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В КВАНТОВОЙ.ТЕОРИИ ПОЛЯ (01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических науй.

Москва 1992

Работа выполнена в отделе квантовой теории . поля Математического института им. В.'А. Стеклова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор 0. И. Завьялов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук Д.А.Славнов; доктор физико-математических наук В.А.Смирнов.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский Государственный университет (НИИ физики).

Защита состоится "45/ ел^-М^Л 1992 г. в ■14 часов на заседании специализированного совета Д. 002.38.01 в Математическом институте им. В. А.Стеклова РАН (Москва, ул. Вавилова, д. 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИРАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

А.К.Гущин

й'ЛВШчи'^'лЛ

__ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

^ . -1 Актуальность темы. • Важнейшая проблема современной теории —перенормировок - это проблема согласования вычитательной процедуры с требованиями внутренней симметрии рассматриваемой модели. Один из способов решения этой проблемы состоит в построении инвариантных регуляризации, го есть регуляризация, сохраняющих тождества Уорда.

Обычно в теориях с нетривиальными аиммотриями используются либо размерная регуляризация0', либо регуляризация с помощью высших ковариантных производных'2\

Метод высших коваряантных производных наиболее удобен для общих доказательств (например, для доказательства унитарности паренормировакной теории). В таких доказательствах используется, по сути, лишь существование инвариантного регуляризованного действия.

В большинстве конкретных расчетов применяется сейчас размерная регуляризация. Это, безусловна, удобная и корректная процедура. Она сохраняет калиОровечную симметрию в теориях Янга-Миллса. Однако известно. что возможности размерной регуляризации на самой деле ограничены. Например, она нарушает суперсимметрию' 3'.

Уместен вопрос, существуют ли иные схемы регуляризации, которые "столь же хороши", как и размерная регуляризация, по отношению к калибровочным теориям, но имеют шансы "обслужить" также и другие теории (суперсимметричные и т.д.).' В настоящей

(,)'t Hooft G. , Vel-tman M. Nucl.Phys. (1972) V.B44, р.189.

<2)Славнов A.A., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных шлей, М., Наука, 1988

(3>Avdeev L.V., Vladimirov A.A. Nuel.Phys. <1983) V.B219 р.262.

диссертации рассматриваются задачи, связанные с построением таких регуляризация.

Научная новизна и практическая ценность. Диссертация содержит следующие результаты.

1)0писан класс регуляризация (т. е. класс регуляризованных операторов хронологического упорядочения тгед). сохраняющих такие основные свойства формального ряда теории возмущений, как коммутативность операций хронологического упорядочения и вариационного дифференцирования по полям, возможность интегрирования по частям в фэйнмановских интегралах и редукционные формулы. Наличие этих свойств необходимо для любой инвариантной регуляризации.

2)Показано, что любая регуляризация из рассмотренного класса сохраняет калибровочную инвариантность в абелевых . калибровочных теория?;.

3)Выявлены механизмы компенсаций на диаграммном уровне в товдествах Уорда для неабелевых калибровочных теорий. Это позволяет анализировать нелагранжевы регуляризации, в частности, регуляризации из нашего класса,

4)Предложен вариант регуляризации (отличной от размерной регуляризации и метода высших ковариантных производных) из описанного класса, который сохраняет калибровочную инвариантность в однопетлевом приближении (в этом приближении она совпадает с регуляризацией, предложенной в работе*4а также в двухпетлевом приближении, по крайней мере, для поляризационного оператора.

5)Изучена взаимосвязь полных тождеств Славнова-Тейлора (эквивалентных БРСТ-симметрии действия) и т.н. "линеаризованного"

НОО^ в. Яас1. РЬуэ. (1971) УОХ.ВЗЭ р.173

тождества Славнова. Показано, что при некоторых естественных ограничениях на регуляризацию теория, удовлетворяющая "линеаризованному" тождеству Славнова, оказывается ВРСТ-инвариантной после некоторой линейной замены переменных.

б)Введена новая параметризация детерминанта Фёддеева-Попова при помощи "естественной" системы гостов, позволяющая придать неформальный смысл "линеаризованному" тождеству Славнова.

Как показал И. Новотны(!:\ регуляризации из нашего класса не нарушают инвариантности суперсимметричной электродинамики.

Полученные результаты являются новыми и могут быть использованы для построения и исследования инвариантных регуляризаций в моделях с высокой внутренней симметрией.

О методе исследования. Основную роль в формулировке наших рецептов играют массовые параметры, которые мы называем "мягкими массами" и которые специальным образом вводятся в интегралы, соответствующие диаграммам Фейнмана- Чтобы пояснить роль, которую играют массовые параметры в процедурах регуляризации и перенормировки, заметим, что, например, регуляризованную сильносвязную скалярную диаграмму можно представить в следующем виде:

;гед

(р1г...,рп) = /а^.-.ач,, /«^...ф^ x

I

х р{ц1,...,и1) И

1*1 л.^ - и»^ — и 2

Здесь ь - число внутренних линий в диаграмме, я - число независимых петель; по параметрам и , называемым "мягкими

МоуоЬпу, J. Мой. РЬув. А 7 (1992) р. 41-59.

массами", производится интегрирование с весовой функцией р(и имеющей носитель в области ц.го. При этом

предполагается, что функция р(ц uL) имеет достаточное число равных нулю первых моментов, то есть i i,

fdnt. • -àuh ■ • p(Hi,..,UL) =0, i^..,^ S K.

Снятие регуляризации осуществляется предельным переходом P(nt,... —>s ).. .а в смысле обобщенных функций.

"Глубина" регуляризации определяется числом n, то есть тем, сколько именно первых моментов функции р(ц ,иь) равно нулю.

Понятно, что проблема построения инвариантных регуляризации будет решена, если научиться вводить в теорию "мягкие массы" п., не нарушая ее внутреннюю симметрию - каждый набор подходящих весовых функций,' сопоставленных диаграммам Фейнмана, определит кап конкретную регуляризационную схему. В моделях, где внутренняя симметрия нетривиальна, "мягкие массы" должны вводиться в различные диаграммы согласованным образом.

Проблема инвариантной перенормировки также сводится целиком к проблеме инвариантного введения "мягких масс". Действительно, "мягкие массы" в диаграммах теории .можно использовать как массивные параметры, фиксирующие конкретную схему так называемой "перенормировки с мягкой массой"(6•7'. Таким образом, результатом данной работы, фактически, являются также рецепты инвариантной перенормировки.

Обьем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения," трех глав основного текста, заключения и приложения,

'6'Zavialov o.I. Renormalized Quantum Field Theory. Kluwer Academic Publishers, 1990.

<7>Lowenstein J.H. Commun.Math.Phys. (19"?6) v.47 p.53.

4

содержит список литературы из 23 наименований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах отдала квантовой теории поля МИРАН, а также на следующих конференциях: "Адронные взаимодействия" (Прага,1988), сессия Отделения ядерной физики АН СССР (Москва, 1990), IX Международное совещание яо проблемам квантовой теории поля (Дубна, 1990).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приводится в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

. Первая г л ава содержит рецепт регуляризации абелевых калибровочных теорий: скалярной и спинорной электродинамики. Описан оператор регуляризованного хронологического произведения тге9, определенный на произведениях вершин взаимодействия. Основные положения, фиксирующие этот оператор, таковы.

1-Оператор тред определен на всех произведениях билинейных и трилинейных по полям вервия взаимодействия (которые будут называться вершинами типа ч>3) и, по линейности, на произвольных функционалах 4 <£), которые зависят от полей лишь через такие вершины.

(Таким образом, регуляризацию можно применять только к диаграммам, составленным лишь из билинейных и трилинейных вершин. По существу, однако, это не является ограничением, так как любую теорию можно привести к такому виду, вводя вспомогательные поля с тривиальными хронологическими спариваниями.)

2.Оператор тгвд, - действуя на произведение вершин типа <р3, преобразует его в диаграммы Фейныана (графически те хе самые, что и. в керегулярнзованной теории), в которых нетривиальной регуляризации подвергнуты только сильно связные блоки этих диаграмм. Несвязные и слабосвязные диаграммы строятся из сильносвязных по обычным правилам (с помощью стандартных пропагаторов полей).

Чтобы описать сильносвязные регуляризованные диаграммы из произведения ^гед • ' требуются два понятия - "скелет;" и "раскраска скелета". Скелетом называется картинка, которой ив сопоставляется аналитическое выражение, но которая графически совпадает с какой-либо сильюсвязной вакуумной диаграммой скалярной теории г>3 или с единственной замкнутой линией без вершин (для однопетлевых диаграмм). Любой сильносвязной диаграмме однозначно сопоставляется некоторый скелет. Чтобы получить его, нужно стереть внешние "хвосты" диаграммы, превратить все ее внутренние линии в пунктирны» и, наконец, убрать все двойные вершины, в том числе и те. которые получились из тройных в результате удаления внешних "хвостов". То, что останется, и будет скелетом данной диаграммы.

Различным диаграммам могут .соответствовать . одинаковые скелеты. Поэтому вся совокупность диаграмм разбивается на классы эквивалентности, в каждой .из которых входят диаграммы, обладающие одним и тем жэ скелетом (такой класс образуют,. например, все однопетлевые диаграммы).

з.Рассмотрим все скелеты с числом вервин причем к^к <здесь к :-. число ~ трилинейных по полям вершин в произведении в2...5п). В кахлои скелете заладим произвольным образом

траектории петлевых импульсов ч, >ч21• • - «ч^ гхе - число

.в

независимых петель с номерами 1,2,...,После этого сопоставим

каждой 1-й патле "мягкую массу" а скелету в целом -

произвольную функцию р(ц1,иг,...,ц]1 ) с носителем в области и^о

для всех 1, имеющую достаточное число нулевых первых моментов, то есть чтобы для кахлого в выполнялись, равенства типа:.

1

/ад^д^.-.д,, р{и1,..,чп) - о, 1,+...^, $ ».

Чтобы получить теперь сильносвязные диаграммы из величины Тгвд(а1яг...8п), нушо\ "раскрасить" все " эти скелеты. Соответствующая процедура в некотором смысле обратна процедуре получения скелета из диаграммы. "Раскраска" каадого скелета дает все диаграммы, принадлежащие одному классу эквивалентности.

4.Чтобы "раскрасить" данный скелет, имеющий Кз вершин, нухно:

а) на его внутренних линиях всеми возмохными различными способами разместить п-кз двойных вервия;

б)всеми возмохными различными способами пририсовать х к-кз двойным вершинам внешние пунктирные "хвосты" (в результате получатся диаграммы, имехкие к-кз внешних пунктирных линий, к тройных и п-к двойных вершин);

г)пунктирные внутренние линии каждой полученной диаграммы всеми возмохными различными способами преобразовать в линии, отвечающие пропагаторан а внешние - в линии, отвечайте

полян <р1. Из полученной совокупности диаграмм нухно исключить все диаграммы, не согласованные, с реальными правилами. Фейнмана для произведения я*а...» .

5.По построению, каждая петля диаграммы, полученной в результате той или иной раскраски, отохдествляется с "породившей" . ее петлей скелета. Выберем в каждой диаграмме такую хе

конфигурации петлевых импульсов ч1.чг> •••/Чц > чт0 и в исходном

^ 5

скелете.

Напишен в импульсном представлении выражения, соответствующие всем возникшим так диаграммам. Под знаком интеграла "удлиним" петлевые импульсы, т.е. проведем замену

чп " "п1 Тем самым в подинтегральном выражении появятся "мягкие массы" ип. Регуляризация достигается посредством интегрирования (до интегрирования по импульсам) полученого выражения по "мягким массам" с весом р{и1,иг,...,,

В спинорных цепях типа о^а^а^а^. • -чап (где а,- - это произведение вида к^...*;^ , причем к^к^» , а к. - это, так сказать, "короткий" вектор, то есть такой, что скалярное произведение ч^ не подлежит "удлинению"), рецепт "удлинения" о—»5 величины о дается специальной "теоремой Вика". Именно, каждому сомножителю а4 в о приписывается грассманова четность (-1)г по числу г матриц г в нем, а каждому сомножителю д -четность (-1). "Нормальному упорядочению" в о подвергаются

I—I

Л А -А .

величины ч, а их "спаривание ч ч полагается равным (-м ), причем каждое спаривание умножается на совокупную четность сомножителей, разделяющих эти два д. "Удлиненная" величина 5 записывается как сумма , членов тина о со всевозможными спариваниями, включая и член без спариваний. Так. например,

I—;-1 I—I I-1

5=дА^АгдАз. . -ЧАп+. . . . -ЧАп+.. . +ЧА1ЧА2ЧА3.. -ЧА^. . . =

А , Г +1+Г л

=дА,ЧА2дА3...ЧАп+... + (-рг) (-1) 2 дА1АгЧАэ...Ап+...

Г +г +___

---+ (-цг)г(-1) 1 3 А1АаАз...Ап+...

Оператор. тред обладает рядом "естественных" свойств, которые

используются для доказательства тождеств Уорда. Во-первых, он коммутирует с вариационной производной; во-вторых, под знаком Тгез сохраняются равенства типа 1 (*-у)=5 (х-у), то есть что пропагатор - это ядро оператора, обратного по отношению, к оператору кинетической энергии; в-третьих, под знаком Тгед можно интегрировать по частям, отбрасывая внеинтегральный член. В абелевых теориях эти три свойства позволяют доказать инвариантность регуляризации.

Если в спинорной электродинамике ввести в рассмотрение аксиальные токи (то есть вершины, содержащие матрицу г5). то процедура выделения квадратов импульсов становится неоднозначной (это относится к спинорным циклам, содержащим нечетное число г ..-матриц). Поэтому в первой главе описан также рецепт "удлинения" импульсов в данной ситуации. Он сводится к упомянутой выше "теореме Вика" с той лишь поправкой, что "разрывать" такой цикл (то есть начинать писать след г-матриц) следует тленно на матрицах г5, симметризовав полученное выражение по всем .7..-матрицам, после чего к полученным спинорным цепям следует применить "теорему Вика" (грассманова четность матрицы полагается равной (-1)). Регуляризация же, как и ранее, осуществляется путем интегрирования по "мягким массам", появляющимся в результате "удлинения". Продемонстрировано, что данное предписание приводит к стандартному значению для аксиальной аномалии.

Во второй 1\лаве описан рецепт регуляризации неабелевой теории Янга-Миллса в двухпеглевом приближении. Он во многом аналогичен регуляризации из главы I;(и для однопетлевых диаграмм совпадает с ней). Для сильносвязных двухпетлевых диаграмм, . '

которые получаются в результате "раскраски" единственного скелета, содержащего•три внутренних линии, этот рецепт состоит в следующем. Внутренние импульсы- ч1.ч2.я3. текущие по трем линиям скелета, "удлиняются" так, чтобы не нарушить закон сохранения импульса qi+-qj+qj«o: g^ заменяется на а скалярные

произведения этих импульсов "удлиняются" на линейную комбинацию квадратов "мягких масс" д*. например, (q.qj —►(«J,q

1 12 12^1 2 3

и т.п. Регуляризация достигается интегрированием ш этим "мягким

массам* с весовой функцией р(и1,иг,из), симметричной по своим

аргументам и имеющей достаточное число нулевых первых моментов.

Как и в первой главе, соответствующий оператор тгёд"обладает трми

же "естественными" свойствами. Доказано, что данная регуляризация

сохраняет поперечность поляризационного оператора.

Доказательство состоит в явной проверке "линеаризованного"

тождества Славнова для .сильносвязных диаграмм с двумя внешними

линиями, которое имеет вид

с г es ■ „„ es i dríade»(х) -+ (n^Vli)) :-r-1 - 5.

От функционала о требуется, чтобы он был представим в форме

Ó » Jd*'(ос® (*)) ob(y) cd(z) ФаЬ<*{дг,у,г|А,с,с),

где »abd - любой функционал, допускающий регулярное разложение■по нормальным произведениям шлей и антисимметричный по индексам a,b,d. для удобства перепишем это тождество в "токовой* форме:

т

rej

АЧА"-А +2Д +АЧА"-Д

J 1 1 О С с с

Здесь токи ti заданы формулами:

в*

ю

V /* V

Д^Л^А.А,^ » ^аг^А^-^х^), (оА.А.^-^д^ОА^).-(АмХ55),

д ; д(в ( ЗА) , А, ОИк) • '

V А г у

Лс.Дс ¿с) -¿д еже с• (сх^с),

Ь'СШЬ'С (схё),

Л "»Л "(5с, 0с,^)».4дГ(1хд с* (Л сх55) .

С С J Ц Ц

"Крышка" над полем обозначает; что оно непременно участвует в спаривании под знаком т-произведения, а "перевернутая крышка" -что поле не участвует в спариваниях и всегда вндтупает в качестве внешнего "хвоста". Антисимметричное тензорное поле сД1> -вспомогательное поле, имеющее «-образный пропагатор - вводится для "трилиневризации" действия: вершина —^(а^ха^) • (А^хАр> заменяется вершиной дсгЦ1,'(АдхАу).

В левой части симметрийного тождества содержатся слагаемые.

л л

двух типов: одни содержат факторы оа, ас или о и пороадают стянутую линию (тем самим две тройные вершины преобразуются в одну четверную), а другие - нет. Соответственно, компенсации в тождествах Уорда будут также двух типов: локальные и нелокальные.

Анализ нелокальных компенсаций базируется на нескольких ключевых соотношениях. Эти соотношения связывают между собой различные токи, • которые одним "хвостом" (именно, полем с "крышкой") спарены с какой-нибудь вершиной, например:

"а, (А,А,А) Т~уТшк\ ,А,с) - »^»^А^А.с) ас(<?с,сгА),

Бд.(<Г, А, А) А ,А,С) «= 2Аа(<г,А,ас) 8с(<?С,С,А),

- 1-г;-« - '--

г (¿с,с,А) А (д(дК) ,А,с) =Л (<?с,с,<?с) а (<?с,с,А).

С 1 с с

Здесь в , ес и ®<7 ~ обычные вершшш взаимодействия теории Янга-Мшшса (в "трилинейной' формулировке).

Похожие равенства, в которых участвуют токи, содержащие факторы оа, ос, позволяют проанализировать локальные компенсации. Для этого типа компенсаций требуется, чтобы процедура получения регуляризованных диаграмм обеспечивала т. н. "перекладывание" внутренних линий диаграммы. Наличие такого "перекладыванья" позволяет применять под знаком Тгед тождество Якоби для четверных вершин.

Такого рода ключевые соотношения, представленные в графической форме, связывают между собой различные элементы диаграмм. Поэтому они дают возможность исследовать компенсации в тождествах Уорда в любом порядке теории возмущений непосредственно на графическом уровне, не обращаясь к явным выражениям, соответствующим той или иной диаграмме. Таким образом, все, что требуется для проверки инвариантности регуляризовакной • теории - это показать, что регуляризация сохраняет ключевые соотношения. Данная техника пригодна для анализа любой нелагранжевой регуляризации.

Третья глава посвящена исследованию связи между "линеаризованным" тождеством Славнова и традиционными критериями калибровочной инвариантности теории, такими, как полные тождества Славнова (которые эквивалентны БРСТ-симметрии действия теории Янга-Миллса). Для инвариантной перенормируемости теории

достаточно, чтобы регуляризация сохраняла именно "линеаризованное" тождество. Поскольку, однако, оно слабее полных тождеств Славнова, то может оказаться, что "какая-то часть" калибровочной симметрии будет утеряна в результате той или иной не слишком удачной "инвариантной" регуляризационной процедуры. Иначе говоря, исследуется вопрос, насколько регулярп'.тяпппсе действие, порождающее матрицу рассеяния с "линеирн-хч^ппюй" симметрией, может "отклоняться" от БРСТ-шшариантного ;<нлл. С этой целью получено условие симметрии действия, эквивалентное "линеаризованному" тождеству.

При выводе этого условия используется тот факт, что функционал ехр(э) является обратным функциональным Фурье-преобразованием производящего функционала (который легко строится по нормальному символу в-матрицы). Однако здесь возникает сложность - как придать смысл вариационной проп.-водной по градиенту антигоста. Ее можно понимать как результат ампутации э-матричных диаграмм по антигостовым внешним хвостам, которые всегда соответствуют именно градиенту а^с". Другая, эквивалентная возможность состоит в том. чтобы заменить градиент <з с новым векторным (грассмановым) полем с , все компоненты которого считаются независимыми, а единственное ненулевое хронологическое спаривание имеет вид:

<си(г)с(у)> = 1д*о-'1(х-у),

где р"1 - это ядро оператора, обратного к даламбертиан.у. Тогда, если в лагранжиане взаимодействия заменить гост-глюонную вершину ^аь^-адЬ^ на верШиад д1;аЬ(1сальсс1< го ШТр,ща рассеяния Ни

существу не изменится, то есть будет восстанавливаться при замене е^ на д^с. При этом следует положить по определению

£в «8 ...... ■ ■ ■ ая — ——

а{дрЪ) аср

с с, р Р

так что введение векторного .антигоста ср позволяет придать вариационной производной го "градиенту" антигоста неформальный смысл. Однако нам приходится манипулировать векторным антигостовым полем ср и в континуальном интеграле, представляющем производящий функционал. Для непротиворечивости таких манипуляций наивная. замена —>ср в лагранжиане оказывается недостаточной. Дело в том, что если подвергнуть этой замене и квадратичную часть гостевого лагранжиана, то она станет вырожденной, и стандартная процедура квантования такой системы с помощью континуального интеграла будет несостоятельной. Действительно, при таком квантовании в континуальном интеграле нужно делать сдвиг переменных интегрирования, призванный устранить линейные по полям члены в показателе экспоненты. Для вырожденных лагранжианов соответствующие уравнения на параметры сдвига неразрешимы.

Чтобы преодолеть трудность с вырождением и придать строгий смысл вариационной производной по градиенту антигоста, была введена т.н. "естественная" система гостов, содержащая, кроме обычного скалярного госта, еще векторный гост, играющий роль градиента антигоста, а также набор антисимметричных тензорных гостов высших рангов: второго, третьего и т, д. до ранга а, где а' - размерность пространства-времени (все эти поля грассмановы). В новых терминах гостобнй лагранжиан теории имеет вид

Ь" %{Х) (Х) +сд»(х) (г) +с«хА {Г) ^^ (*) + +"'+си и и (г)/1сДг""'1<1(г)+дСа,"1с*(х)А^(х)с,1(г).

Он определяет пропагаторы тестовых полей (по построению

соответствующая квадратичная форма невыроадена), причем

которых число индексов различается на единицу. В частности.

Поскольку вершина гост-глюонного взаимодействия при этом осталась фактически неизменной (старая вершина получается из новой заменой сд —>ддс), то набор фейнмановских диаграмм, представляющих матрицу рассеяния, также не меняется. Сохранится и детерминант Фаддбева-Попова. Поэтому вся конструкция дает лишь новую параметризацию старой теории.

Эта параметризация обладает, однако, большей гибкостью. Так, она позволяет без оговорок писать выражения типа гэ/ас^ (поскольку старшие госты не взаимодействуют с глюонами, матрица рассеяния зависит по-прежнему только от трех полей - Ад, сд и с), и условие симметрии действия может быть получено безо всяких затруднений. Оно имеет вид:

где функционал б обладает специальными свойствами, унаследованными от о. (Интегрирование по х подразумевается.) .

Это условие было решено явно для широкого класса лагранжианов. Требования, выделяющие, этот класс, сводятся к.тому, чтобы тестовая часть лагранжиана содержала лишь стандартные вершины, в которые, однако, могут быть включены нелокальные

ненулевые пропагаторы возникают лишь при спариваниях полей, у

<СД (X) с (у) >=1<^0-1 (х-у),

фор(.(факторы. Иначе говоря, требуется, чтобы лагранжиан представлялся в виде

где ел но зависит от гостовых полей (на него мы не накладываем никаких априорных ограничений ), а дается формулой:

(здесь по подчеркнутым переменным производится интегрирование; точки символизируют стандартные члены со старшими гостами). Делокализущая трансляцийнно инвариантная функция й есть формальный степенной ряд вида

00

с<х,}',2) ~ «(г-у)5(дг-г) +[ дпв<п>(х,у,2),

Л - 2

причем фурье-образ сзСп> является непрерывно дифференцируемой функцией, которая на бесконечности полиномиально ограничена. Для данного класса лагранжианов условие симметрии принимает более

простую форму:

г . 55 «Б «5

аса(х)

Было доказано, что каждый лагранжиан, обладающий этой симметрией, имеет стандартный вид, то есть либо представляется в виде суммы калиброючно-инвариантной глюонной части, фиксирующего калибровку члена и обычного локального гостевого лагранжиана, либо приводится к такому виду посредством специального линейного

преобразования полей с некоторой функцией и:

к(х) —► а"(*)=к(*-2)м2)вк*а, с(х) —> с'

сц{х)—-> ....

Функция в при этом выражается через к:

Это означает, что если ультрафиолетовая регуляризация сохраняет "линеаризованное" симмвтрийнов условие, то ее естественно считать калибровочно-инвариантной в том смысле, что регуляризованный производящий функционал возникает в результате квантования некоторой калибровочно-инвариантной физической системы (а именно, системы полей а', с', с^, ... ).

Результаты главы х опубликованы в работах [1] и [2], главы и - в работе [4], а главы ш - в работе [3].

ЖГЕРАГУРА.

1.Завьялов 0.И., Малокостов А.М. ТМФ (1990) т. 84, n 1 стр. 46. 2.Завьялов 0.И., Малокостов А.М. ГМФ (1990) т. 84, N 2 стр.195.

з.Завьялов 0. И., Малокостов А.М. ГМФ (1990) т. 84, N з стр. 398. 4.Завьялов О. И., Малокостов А. М. ТМФ в печати.

Сдано в набор II. 08.1992 г. Подп. » печать 11.08. 1992 г. Формат 60x90/16. Печать офсетная. Бумага дл« множ. аппаратов. Усл. печ. л. 1,00. Усл. кр. отг. 1,25. Уч.-изд. л. 0,95. Тираж 100 экз. Заказ № 257 Изд. № АР-352.

ЦНИЭИуголь. Типография. Моск»а, 103012, пр. Сапунова, д. 13/15