Построение гамильтониана квантовой теории поля в координатах светового фронта тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I Метод построения гамильтониана в координатах светового фронта.

1. Приведение результатов светоподобного и ковариантного расчетов диаграммы к виду, удобному для сравнения.

2. Приведение разницы между ковариантным и светоподобным расчетами к сумме конфигураций.

3. Поведение конфигурации при £ —> 0.

4. Процедура исправления гамильтониана и анализ возникающих контрчленов.

3. Сравнение светоподобной и лоренцевой теорий возмущений.74

4. Канонический гамильтониан в координатах светового фронта.82

Приложение 1 .87

Приложение 2 .89

Приложение 3 .92

Приложение 4 .94

Заключение.99

Список литературы.101

Введение

Поиск подходов к решению задач квантовой теории поля в случае большой константы взаимодействия остается актуальным в течение длительного времени. Сейчас в рамках квантовой хромодинамики (КХД) для этой цели часто применяются расчеты на пространственно-временных решетках. Таким путем получены существенные результаты. Тем не менее, эти расчеты остаются весьма трудоемкими и обеспечивают невысокую точность, причем, как правило, трудно оценить погрешность расчетов теоретически. Поэтому представляет интерес изучение других возможных подходов к проблеме.

Задолго до появления КХД была предпринята попытка исследовать взаимодействие пионов и нуклонов, решая уравнение Шредингера в лоренцевой системе координат в рамках квантовой теории пионового и нуклонного полей. При этом состояния описывались способом, найденным ранее В. А. Фоком [1], с помощью векторов пространства, которое теперь носит его имя. Математический вакуум пространства Фока в данном случае совпадал с вакуумом свободной теории. Этот подход, известный теперь под названием метода Тамма-Данкова [2, 3], не привел к успеху. Причина состояла, прежде всего, в сложности физического вакуумного состояния, которое не совпадает с математическим вакуумом. Не описав физический вакуум, нельзя было исследовать какие-либо другие состояния. Если ввести ультрафиолетовое и инфракрасное обрезание, сделав число степей свободы конечным, то, в принципе, можно представить физический вакуум вектором пространства Фока над вакуумом свободной теории. Но такое представление оказывается необозримо сложным, поскольку нужно обеспечить трансляционную инвариантность физического вакуума и удовлетворить требованию "разделения на пучки" (cluster decomposition property) в отношении средних по этому вакууму. В силу такого положения вещей уравнение Шредингера в лоренцевых координатах, где развитие идет по обычному времени, трудно применить для каких-либо расчетов в квантовой теории поля с большой константой взаимодействия.

Еще в 1949 г Дирак указал способ, позволяющий обойти трудности, связанные с описанием физического вакуумного состояния [4]. Он предложил применить координаты светового фронта (к. с. ф.) х± = (ж0 ± х3)/л/2, х1, ж2, где ж0, х1, х2, х3 - лоренцевы координаты, и использовать х+ в качестве времени. При таком подходе теория квантуется канонически на поверхности х+ = const, а генератор Р+ сдвига вдоль оси х+ играет роль гамильтониана Н. С другой стороны, генератор сдвига вдоль оси х~, т. е. оператор импульса Р, не смещает поверхности х+ = const, на которой ведется квантование, и, по терминологии Дирака, является кинематическим (в отличие от динамического генератора Р+). Поэтому структура оператора Р в теории со взаимодействием такова же, как в теории без взаимодействия, т. е. оператор Р всегда квадратичен по операторам рождения и уничтожения an+(p,pi), ап(р,р±) и, как правило, имеет вид (после нормального упорядочения): оо

Р = J d2p± J dp- p- ^2an+(p-,p1)an(p^,p1), (B.l) о n где p± = (pi,p2), а индекс n нумерует типы операторов рождения и уничтожения. В то же время, в соответствии с условием спектральности оператор Р положительно определен, в связи с чем в приведенной формуле интегрирование по р ведется только от 0 до со. На физическом вакууме Q оператор Р обращается в нуль, так что Р-|П) = 0, откуда получается ап(р,р|)|Г2) = 0.

В силу этого физический вакуум \Q) может быть использован в качестве математического вакуума пространства Фока, образованного с помощью операторов ап+. Вопрос об описании структуры физического вакуума не возникает. Спектр связанных состояний можно находить, решая уравпение Шредингера

Р+|ф) = р'+|Ф>

В.2) при условиях

Р|Ф)=р'|Ф), Р±\Я!) = 0,

В.З) где р'+, р' - числа, причем квадрат массы определяется из равенства

Здесь |Ф) - вектор только что упомянутого пространства Фока. Удовлетворить условиям Р-|Ф) = р'|Ф), = О, где р' выбирается произвольно, не составляет труда. Проблема состоит в решении уравнения Шредингера. Такой подход обычно называют "гамильтоновым подходом в координатах светового фронта".

Описанная схема встречается со значительными трудностями из-за возникающих расходимостей и из-за отсутствия явной Лоренц-инвариантности. Но возможность избежать непосредственного описания структуры физического вакуума есть столь существенное преимущество, что этот подход продолжает привлекать к себе внимание. Интерес к нему возрос с появлением квантовой хромодинамики.

Следует отметить, что координаты светового фронта и близкая по характеру "система бесконечно большого импульса" используются в квантовой теории поля не только в рамках гамильтонова подхода, основанного на непосредственном решении уравнения Шредингера. Многие результаты были получены путем изучения предельного случая быстро движущихся систем отсчета в рамках явно Лоренц-инвариантной теории матрицы рассеяния или функций Грина [5, б, 7, 8, 9, 10]. Но в диссертации рассматривается только гамильтонов подход.

Построение гамильтониана Н = Р+ в к. с. ф. для теории с заданным лоренц-инвариантным исходным действием оказывается нетривиальной задачей. Это связано, прежде всего, с наличием специфических расходимостей при т = 2р+р.

В.4) нулевых значениях импульса виртуальных квантов. В частности, инвариантный элемент объема при интегрировании по гиперболоиду р^ = т2 имеет вид d2p]dp-/p и содержит в знаменателе. Положение усложняется в калибровочных теориях. Уже в первых работах по этому вопросу [11, 12] выяснилось, что каноническое квантование на поверхности х+ = const можно выполнить только в калибровке = 0 или в близких по характеру калибровках (например, <9А = 0). Последнее связано с тем, что в теории возникают связи второго рода, решение которых, в частности, требует обращения ковариантной производной = д- + igA. С другой стороны, пропагатор Фейнмана в калибровке = 0 имеет лишнее в знаменателе, что усиливает сингулярности при р- = 0 (во всяком случае в теории возмущений).

Вследствие сказанного требуется специальная регуляризация, которая заключается в вырезании окрестности значения р- = 0 в пространстве импульсов тем или иным способом, что ведет к нарушению Лоренц-инвариантности (до снятия регуляризации). Этого при гамильтоновом подходе в к. с. ф. избежать нельзя. Калибровочную инвариантность можно, в принципе, сохранить, если вместо вырезания окрестности значения р — 0 применить ограничение пространства-времени по координате х~ (-L < х~ < L) при периодических граничных условиях по х~ для всех полей [13]. В этом случае спектр импульса Р становится дискретным, и четко выделяются "нулевые моды" полей Л, т. е. фурье-моды, отвечающие значению р- = 0. Чтобы сохранить калибровочную инвариантность, следует учесть эти нулевые моды. В той же работе было показано, что в теории возникают вторичные связи второго рода, из которых нужно найти указанные нулевые моды как функции других мод и подставить в гамильтониан. Эти связи столь сложны, что их решение оказывается невозможным. Поэтому приходится отбрасывать нулевые моды с самого начала в лагранжиане, что, ведет к нарушению калибровочной инвариантности. Таким образом, нарушения калибровочной инвариантности при регуляризации все равно избежать не удается.

В связи с изложенным формальное каноническое квантование на гиперповерхности х+ = const может порождать гамильтониан, который даже в пределе снятия регуляризации соответствует теории, не эквивалентной исходной Лоренц-инвариантной. Эквивалентность можно обеспечить, как правило, только добавляя к гамильтониану в к. с. ф. необычные контрчлены [14, 15].

В последние несколько лет появился ряд работ, в которых приближенный регуляризованный гамильтониан КХД строится непосредственно в координатах светового фронта (см. [16, 17] и цитированные там работы). Вид гамильтониана подбирается с помощью теории ренормгруппы на основе требования слабой зависимости результатов от предела ультрафиолетового обрезания, причем связь с обычной Лоренц-инвариантной теорией детально не прослеживается. Здесь предложены также методы упрощения гамильтониана и решения уравнения Шредингера. Техника, описанная в этих работах, представляет существенный интерес и продолжает развиваться. Однако остается неясным, до какой степени полученная таким образом теория в к. с. ф. соответствует обычной Лоренц-инвариантной КХД.

В связи со сказанным возникает задача построения такого гамильтониана в к. с. ф., который в пределе снятия регуляризации порождает теорию, эквивалентную обычной Лоренц-ковариантной. Эту эквивалентность в качестве необходимого условия нужно обеспечить, прежде всего, в рамках теории возмущений. Затем можно применить, в частности, технику, описанную в работах [16, 17] для упрощения полученного гамильтониана и последующих непертурбативных расчетов на основе уравнения Шредингера. При этом будет видна связь с обычной Лоренц-ковариантной теорией. Не исключено, разумеется, что эквивалентности в рамках теории возмущений недостаточно, так как может оказаться необходимым учет чисто непертурбативных эффектов. Однако построение гамильтониана, правильного в рамках теории возмущений, представляется необходимым шагом.

Диссертация посвящена построению такого гамильтониана. Предлагается метод его получения. Метод состоит в следующем. За основу берем канонический гамильтониан в к. с. ф. Кроме регуляризации ультрафиолетовых (УФ) расходимостей применяем регуляризацию особенностей при= 0 с помощью обрезания |р| > е > 0, т. е. путем исключения из теории тех Фурье-компонент каждого поля, для которых < е (будем называть такую регуляризацию "светоподобной"). Затем в данном порядке теории возмущений по константе связи находим в пределе г —» 0 все отличия между функциями Грина, порожденными гамильтонианом в к. с. ф. и вычисленными в лоренцевых координатах. После чего добавляем к гамильтониану в к. с. ф. контрчлены, компенсирующие найденные различия, и переходим к следующему порядку. Реально нет необходимости делать какие-либо вычисления в данном порядке, так как в диссертации разработан способ нахождения всех диаграмм Фейн-мана (во всех порядках теории возмущений), дающих вклад в упомянутые отличия, и оценки этого вклада. Таким образом, метод позволяет получить гамильтониан в к. с. ф. в общем случае в виде бесконечного ряда по константе связи. Однако, часто удается представить этот ряд в виде небольшого числа слагаемых с неизвестными коэффициентами, т. е. получить гамильтониан в к. с. ф. в замкнутом виде. Предложенный метод применим для широкого класса теорий, в том числе к теории поля Янга-Миллса (и значит, для КХД) в калибровке = 0.

В диссертации рассмотрено применение описанного метода к четырехмерной модели с взаимодействием типа Юка-вы, к двумерной скалярной теории с экспоненциальным взаимодействием (типа модели синус-гордон), которая получается в результате бозонизации двумерной квантовой электродинамики (КЭД) [18, 19, 20, 21, 22], а также к четырехмерной КХД. В последнем случае для получения гамильтониана в замкнутом виде оказалось необходимым введение дополнительной инфракрасной (ИК) регуляризации, нарушающей калибровочную инвариантность. В результате получен гамильтониан КХД в к. с. ф., содержащий вместо одной константы связи десять неизвестных коэффициентов, причем доказано, что гамильтониан порождает правильную теорию возмущений только при некотором, неизвестном соотношении между этими коэффициентами.

Результаты диссертации опубликованы в работах [23, 24, 25, 26].

Материал изложен в диссертации следующим образом:

В главе I описан метод построения по заданному лагранжиану гамильтониана в к. с. ф., порождающего теорию возмущений, совпадающую в пределе снятия "светоподобной" регуляризации с соответствующей ковариантной теорией возмущений. Изложен лежащий в основе этого метода способ нахождения всех диаграмм Фейнмана, дающих в указанном пределе вклад в разницу между функцией Грина, полученной с помощью гамильтониана в к. с. ф. и соответствующей ковариантной функцией Грина.

В главе II приведены примеры применения метода к некалибровочным теориям. Во-первых, рассмотрена теория с взаимодействием типа Юкавы в четырех измерениях, для которой построен гамильтониан в к. с. ф. в замкнутом виде. Результат согласуется с выводами работы [14], сделанными на основе анализа диаграммы собственной энергии во всех порядках теории возмущений и прочих диаграмм Фейнмана в низших порядках. Во-вторых, рассмотрена скалярная теория, являющаяся результатом бозонизации двумерной КЭД. Эта теория является модификацией модели синус-гордон и нетривиальна из-за наличия неполиномиального взаимодействия. Получен гамильтониан в к. с. ф., порождающий теорию возмущений, совпадающую с ковариантной теорией возмущений по массе фермиона (которая после бозонизации играет роль константы связи).

В главе III показано, что прямое применение предложенного метода к КХД (а также к теории Янга-Миллса и КЭД) в калибровке А = 0 дает гамильтониан в к. с. ф., содержащий сколь угодно высокие степени полей, что не позволяет записать его в замкнутом виде. Для решения проблемы предложена дополнительная ИК регуляризация КХД, после введения которой применение упомянутого метода приводит, при специальном способе снятия регуляризации, к гамильтониану, пертурбативно эквивалентному ковариант-ной теории. Эта регуляризация, равно как и необходимые "светоподобная" и УФ регуляризации, нарушает калибровочную инвариантность, что приводит, в процессе УФ перенормировки, к появлению десяти неизвестных коэффициентов в гамильтониане.

Основные результаты, полученные в работе, могут быть сформулированы в следующем виде.

1. Разработан метод построения по заданному лагранжиану гамильтониана в к. с. ф., порождающего теорию возмущений, которая совпадает во всех порядках в пределе снятия регуляризации с соответствующей ковариант-ной теорией возмущений. Искомый гамильтониан строится с помощью добавления к каноническому гамильтониану (который может порождать теорию возмущений, отличную от ковариантной) исправляющих контрчленов. Процедура построения исправляющих контрчленов основывается на предложенном способе нахождения всех диаграмм Фейн-мана, дающих в указанном пределе вклад в разницу между функцией Грина, полученной с помощью гамильтониана в к. с. ф. и соответствующей ковариантной функцией Грина. Метод применим к широкому классу теорий, в том числе калибровочных. Полученный гамильтониан в к. с. ф. может быть использован для непертурбативного вычисления спектра связанных состояний, что актуально для теорий с сильной связью при низких энергиях.

2. Рассмотрены примеры применения предложенного метода к некалибровочным теориям. Для теории с взаимодействием типа Юкавы в четырех измерениях удалось построить гамильтониан в к. с. ф. в замкнутом виде. Результат согласуется с выводами работы [14], сделанными на основе анализа диаграммы собственной энергии во всех порядках теории возмущений и прочих диаграмм Фейнмана в низших порядках. Получен гамильтониан в к. с. ф. для скалярной теории, являющейся результатом бозонизации двумерной КЭД. Такая теория представляет собой модификацию модели синус-гордон и нетривиальна из-за наличия неполиномиального взаимодействия. Найденный гамильтониан в к. с. ф. порождает теорию возмущений, совпадающую с ковариантной теорией возмущений по массе фер-миона (которая после бозонизации играет роль константы связи). Спектр этого гамильтониана должен совпадать со спектром двумерной КЭД.

3. С помощью предложенного метода построен гамильтониан в к. с. ф. для четырехмерной КХД в калибровке А = 0 (именно в этой калибровке возможна гамильтоно-ва формулировка теории в к. с. ф.). Оказалось, что прямое применение метода к КХД (а также к теории Янга-Миллса и КЭД) в калибровке А = 0 дает гамильтониан в к. с. ф., содержащий сколь угодно высокие степени полей, что не позволяет записать его в замкнутом виде. Проблема решена с помощью введения дополнительной ИК регуляризации КХД, что дает возможность применить упомянутый метод и приводит, при специальном способе снятия регуляризации, к гамильтониану, который порождает теорию возмущений, эквивалентную ковариантной. Введенная ИК регуляризация и необходимая УФ регуляризация нарушают калибровочную инвариантность, что приводит в процессе УФ перенормировки к появлению десяти неизвестных коэффициентов в гамильтониане.

Заключение

1. V. A. Foci. Zs. f. Phys. 1932. V. 75. N. 9-10, P. 622-647; 1932. V. 76, N. 11-12, P. 852. Пер. в сб.: "Работы по квантовой теории поля", JI. Изд-во Ленингр. ун-та. 1957.

2. И. Е. Тамм. Journ. Phys. (USSR) 1945. V. 9. P. 449. Пер. в сб.: "Проблемы современной физики", N. 10. ИЛ. 1955. С. 219.

3. S. М. Daneoff. Phys. Rev. 1950. V. 78. P. 382.

4. P. A. M. Dirac. Rev. Mod. Phys. 1949. V. 21. P. 392.

5. A. A. Logunov, A. N. Tavkhelidze. Nuovo cimento. 1963. V. 29. N. 2. P. 370-399.

6. В. Г. Кадышевский, A. H. Тавхелидзе. Проблемы теоретической физики. Сб. посвященный Н. Н. Боголюбову. М.: Наука. 1969. С. 261-277.

7. Р. Н. Фаустов. ТМФ. 1970. Т. 3. Вып. 2. С. 240-254; Ann. of Phys. 1973. V. 78. N. 1. P. 176-189.

8. В. P. Гарсеванишвили, A. H. Квинихидзе, В. А. Матвеев и др. ТМФ. 1975. Т. 23. Вып. 3. С. 310-321.

9. В. А. Карманов. ЭЧАЯ. 1988. Т. 19. Вып. 3. С. 525.

10. L. N. Lipatov. Nucí. Phys. 1991. V. В365. P. 641.

11. E. Tomboulis. Phys. Rev. 1973. V. D8. P. 2736-2740.

12. A. Cacher. Phys. Rev. 1976. V. D14. P. 452-465.

13. V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, E. V. Prokhvatilov. Lett. Math. Phys. 1981. V. 5. P. 437-444.

14. M. Burkardt, A. Langnau. Phis. Rev. 1991. V. D44. P. 1187, 3857.

15. M. Burkardt. Adv. Nucl. Phys. 1996. V. 23. P. 1.

16. К. G. Wilson, Т. S. Walkout, A. Harindranath,

17. W.-M. Zhang, R. J. Perry, S. D. Glazek. Phys. Rev. 1994. V. D49. P. 6720.

18. В. H. Allen, R. J. Perry. Phys. Rev. 1998. V. D58. 125017.

19. S. Coleman. Phys. Rev. 1975. V. Dil. P. 2088.

20. S. Coleman, R. Jackiw, L. Susskind. Annals Phys. 1975. V. 93. P. 267.

21. S. Coleman. Annals Phys. 1976. V. 101. P. 239.

22. I. Affleck. Nucl. Phys. 1986. V. B265. P. 409.

23. E. V. Prokhvatilov, H. W. L. Naus, H.-J. Pirner. Phys. Rev. 1995. V. D51. P. 2933-2943.

24. С. А. Пастон, В. А. Франке. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лорен-цевых координатах. Теоретическая и математическая физика. 1997. Т. 112. N 3. С. 399-416. hep-th/9901110.

25. С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке. К построению гамильтониана КХД в координатах светового фронта. Теоретическая и математическая физика. 1999. Т. 120. N 3, С. 417-437.

26. S. А. Paston, Е. V. Prokhvatilov, V. А. Franke. QED2 LightFront Hamiltonian reproducing all orders of covariant chiral perturbation theory. Preprint SPbU-IP-99-13. hep-th/9910114.

27. V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, S. A. Paston,

28. E. V. Prokhvatilov. Quantum Field Theory in Light-Front coordinates, in book: Quantum Theory in honour of Vladimir A. Fock. Part 1. Unesco. St. Petersburg University. Euro-Asian Physical Society. 1998. C. 38-97. hep-th/9901029.

29. W.-M. Zhang, A. Harindranath. Phys. Rev. D. 1993. V. 48. P. 4868, 4881, 4903.

30. N. E. Ligterink, В. L. G. Bakker. Phys. Rev. D. 1995. V. 52. P. 5954.

31. S. Mandelstam. Nucl. Phys. B. 1983. V. 213, P. 149.

32. G. Leibbrandt. Phys. Rev. D. 1984. V. 29. P. 1699.

33. H. H. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука. 1984.

34. S. Weinberg. Phys. Rev. 1960. V. 118. P. 838.

35. M. Burkardt. Phis. Rev. 1993. V. D47. P. 4628-4633.

36. A. M. Анненкова, E. В. Прохватилов, В. А. Франке. Вестник СПбГУ. 1985. N 4. С. 80-83.

37. Т. Eller, Н.-С. Pauli, S. J. Brodsky. Phys. Rev. 1987. V. D35. P. 1493-1507.

38. C. Adam. Annals Phys. 1997. V 259. P. 1-63, hep-th/9704064.

39. E. V. Prokhvatilov, V. A. Franke. Physics of Atomic Nuclei. 1996. V. 59. P. 2105-2112.

40. A. Basseto, M. Dalbosko, R. Soldati. Phys. Rev. 1987. V. D36. P. 3138.

41. A. Basseto; G. Nardelli, R. Soldati. "Yang-Mills theories in algebraic non covariant gauges". World Scientific, Singapore 1991.

42. B. J. Warr. Ann. of Phys. (N.Y.) 1988. V. 183. P. 1-58,59-79.

43. A. H. Пронин, В. А. Франке. Вестник СПбГУ. 1999. Сер. 4. Вып. 1 (N4). С. 18-24.

44. С. Acerbi, A. Basseto. Phys. Rev. 1994. V. D49. P. 1067-1076.