Интегрируемые системы кирального типа

Кащеева, Ольга Николаевна

Интегрируемые системы кирального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Кащеева, Ольга Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Интегрируемые системы кирального типа»

Автореферат диссертации на тему "Интегрируемые системы кирального типа"

ииоиььб7Э

На правах рукописи

Кащеева Ольга Николаевна

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ КИРАЛЬНОГО ТИПА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2007

003056679

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского и Волжской государственной академии водного транспорта.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Баландин Александр Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Уткин Геннадий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Галкин Владимир Михайлович

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН

Защита состоится "/77 ." . . . . . . 2007 г. в

. часов на

заседании диссертационного совета Д 212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950 г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан "А. ." . 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

|В.И. Лукьянов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из наиболее эффективных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время является метод обратной задачи рассеяния. Поэтому актуальной остается задача описания систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым применим данный метод. Как известно, необходимым условием применения метода обратной задачи является наличие представления Лакса, т.е. представления изучаемой нелинейной системы в виде условий совместности некоторой вспомогательной линейной системы дифференциальных уравнений. Кроме того, представление Лакса часто оказывается полезным для построения преобразований Бэклунда и бесконечных наборов законов сохранения.1,2

В диссертации изучаются системы кирального типа, т.е. специальный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными. Системы такого вида находят применение при описании ряда моделей теории поля, в математической физике, а также в теории гармонических отображений.3

Интегрируемая система4,5 в диссертации понимается как система, допускающая представление Лакса.

Исторически одним из первых интегрируемых примеров рассматриваемого класса, для которого был применен метод обратной задачи, является уравнение sin-Gordon. Представление Лакса для этого уравнения построено в работах Л.А. Тахтаджяна и M.J. Ablowitz'a, D.J. Kaup'a, A.C. Newel'a, H. Segur'a. В качестве других известных примеров интегрируемых систем кирального типа можно указать уравнения n-поля,6 уравнения главных киральных полей на груп-

'Sasaki R. Soliton equations and pseudospherical surfaces.// Nucl. Phys. B. - 1979. - V. 154. -P. 343-357.

2Демской Д.К., Мешков А.Г. Представление Лакса для триплета скалярных полей.// ТМФ. - 2003. - Т. 134, No. 3. - С. 400-415.

^Fordy А.P., Wood J.С. Harmonic maps and integrable systems.// Aspects of Mathematics. -vol. E23, by Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 1994. - 323 p.

4Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. - М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. лит, 1986. - 528с.

^Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход.- Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. - 352с..

6Pohlmeyer К. Integrable Hamiltonian systems and interaction through quadratic constraints, // Comm. Math. Phys. - 1976. - V. 46, No. 3. - P. 207-221.

пах Ли,7 которые дали название всему классу систем, и модифицированных киральных полей, а также нелинейные сигма-модели на двумерном пространстве Минковского.

Отметим важные для теории поля системы WZNW (Wess-Zumino Novikov-Witten), которые являются частным случаем уравнений модифицированных киральных полей, и их различные обобщения.8

Интегрируемые редукции систем WZNW изучались в работах J.L. Miramontes'a, О.А. Castro Alvaredo, C.R. Fernandez-Pousa, T.J. Hollowood'a, M.V. Gallas'a.

Среди систем кирального типа значительный интерес также представляет система Лунда-Редже,9 которая является двукомпонент-ным интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon.

В 1983 году А.Н. Лезнов и М.В. Савельев10 предложили конструкцию для построения достаточно большого класса интегрируемых систем, с помощью которой можно каждому локально симметрическому пространству G/H сопоставить представление Лакса некоторой системы кирального типа. В частности, с помощью конструкции Лезнова-Савельева можно получить хорошо известные двумерные цепочки Тода11 и двумерные неабелевы аффинные модели Тода.12 Особенно важно для физических приложений, что эти системы в случае полупростой группы H оказываются вариационными, т.е. являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для некоторого функционала. Такие системы и их вариационные редукции активно изучались в последнее время в работах следующих авторов: I. Bakas, J.L. Miramontes, Q.H. Park, H.J. Shin, A. Bilal.

Необходимо отметить, что для изучения интегрируемых систем

7 Захаров В.Е., Михайлов А.В. Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи, //ЖЭТФ. - 1978. - Т.74, No. 6. - С. 1953-1973

®См., например, К. Sfetsos, А.А. Tseytlin. Antisymmetric tensor c-oupling and conformai invariance in sigma models corresponding tо gauged WZNW theories.// Phys.Rev. D. - 1994. -V. 49. - P. 2933-2956. (hep-th/9310159)

9Lund F,, Regge T. Unified approach to strings and vortices with soliton solutions.// Phys.Rew. D. - 1976. - V. 14, No. 6. - P. 1524-1535.

10Leznov A. N., Saveliev M. V. Two-dimensional exactly and completely integrable dynamical systems. Monopoles, instantons, dual models, relativistic strings, Lund-Regge mode!, generalized Toda lattice, etc.// Comm. Math. Phys. - 1983. - V. 89, No. 1. - P. 59-75.

^Михайлов A.В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода.// Письма в ЖЭТФ. - 1979. - Т. 30, No. 7. - С. 443-448.

12См., например, Underwood J. Aspects of Non-Abelian Toda Theories, Jmperial/TP/92-93/30. (hep-th/9304156)

используется также симметрийный подход. В работах А.Г. Мешкова и Д.К. Демского13 этот подход был использован для изучения трех-компонентных систем кирального типа. С использованием компьютерных вычислений ими найдены все системы с лагранжианами специального вида, допускающие полиномиальные симметрии не выше 5-го порядка. Для большинства таких систем ими также построены представления Лакса.

Целью работы является решение следующих задач:

1. Изучение представлений Лакса систем кирального типа;

2. Исследование дополнительных возможностей конструкции Лезнова-Савельева, позволяющей ассоциировать с симметрическими пространствами интегрируемые системы кирального типа;

3. Построение новых интегрируемых систем кирального типа другими способами.

Методы исследования. Использованы методы теории дифференциальных уравнений и теории алгебр Ли, а также методы дифференциальной геометрии.

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, которые выносятся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены условия, необходимые для того, чтобы система дифференциальных уравнений кирального типа допускала представление Лакса со значениями в компактной алгебре Ли;

2. Найдена модификация конструкции Лезнова-Савельева, позволяющая ассоциировать с симметрическими пространствами G/{Н\ х #2 х ••■ х Нк) новые интегрируемые лагранжевы системы;

3. Построена четырехкомпонентная система, которая является новым интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях, связанных с интегрируемыми системами дифференциальных уравнений, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов.

Апробация. Результаты диссертационной работы были

13Demskoi D.K., Meshkov A.G. New integrable stñng-like fields in 1+1 dimensions // Proc. Second Int. Conf. Quantum Field Theory and Gravity, July 28 - August 2, 1997. Tomsk, Russia. Tomsk Pedagogical University, Tomsk. - 1998. - P. 282 - 285. См. также ссылку 2

представлены на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2003, 2005); на Международной конференции БГЛ-4(Бояи-Гаусс-Лобачевский) (Нижний Новгород, 2004); на X междисциплинарной научной конференции "Нелинейный мир"(Нижний Новгород, 2005); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006); на Международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук" (Орел, 2006).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре по геометрии и топологии кафедры геометрии и высшей алгебры Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (ННГУ) (рук. проф. Е.И. Яковлев и доц. Н.И. Жукова), на семинаре кафедры математики Волжской государственной академии водного транспорта (рук. проф. В.Н. Белых), на объединенном семинаре кафедры математической физики и кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин и проф. М.В. Долов), на семинаре кафедры математики радиофизического ф-та ННГУ (рук. проф. Г.А. Уткин), на семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (рук. проф. Л.А. Калякин и проф. В.Ю. Новокшенов).

Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.

В совместной статье [1] теоремы 1 и 2 доказаны A.B. Баландиным, теорема Л доказана Г.В. Потеминым. Автору диссертации принадлежат вычисления законов сохранения, которые включены в параграф 3.1 диссертации.

В совместных статьях [2|,[7],[8],[10] научному руководителю A.B. Баландину принадлежит постановка задач и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Работы [2],[6|,[8] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертаций до 1 января 2007 г.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 73 наименования. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе сформулированы условия, необходимые для того, чтобы система кирального типа допускала представление Лакса со значениями в компактной алгебре Ли.

Системами трального типа14 называются системы дифференциальных уравнений в частных производных вида

+ + = О, (5)

где х,у — независимые переменные; С^, О" — гладкие функции от и1,..., ип\ индексы а, /3,7 принимают значения от 1 до п. Все функции и многообразия в работе предполагаются достаточно гладкими.

Непосредственная проверка показывает, что любая невырожденная замена V" = Vе* (¡7") в системе (5) приводит к системе того же вида, причем функции изменяются по закону преобразования коэффициентов аффинной связности, а 0° — как координаты векторного поля. Таким образом, можно считать, что система (5) определяет аффинную связность и векторное поле на некотором многообразии V™ с локальной системой координат (£/а).

Связность на многообразии Vй, которая в локальной системе координат (II1,..., ип) задается коэффициентами С*^, будем называть связностью, ассоциированной с системой (5).

Говорят, что система (5) допускает представление Лакса со значениями в матричной алгебре Ли д, если существуют функции А, В со значениями в д, зависящие от х, у, функций I/1,..., 1/п, их частных производных и некоторого параметра А, такие, что условие

АУ-ВХ = [В,А} (1)

эквивалентно системе (5). Заметим, что (1) есть условие совместности системы линейных уравнений

Фх = Аф,

14Мешков А.Г. К симметрии двумерных скалярных полей кирального типа. - Препр. N0. 28. - Томск: Изд-во Томского научного центра СО АН СССР., 1991. - 22с.

Фу = Вф.

В диссертации изучаются представления Лакса только со значениями в полупростой алгебре Ли, поскольку именно такие представления оказываются полезными для решения нелинейных дифференциальных уравнений методом обратной задачи.15

Во втором параграфе первой главы приводится несколько эквивалентных определений представления Лакса. Чтобы сформулировать полученные результаты, удобно использовать следующее

Определение 1.7 Пусть g — полупростая алгебра Ли, ,..., ег — базис в g и Cl — структурные константы алгебры g относительно данного базиса (индексы а, Ь, с принимают значения от 1 до г = dirng). Будем говорить, что система (5) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре JIu g, если существуют функции Аа,Ва, зависящие от х,у, функций t/1,..., Un, их частных производных и некоторого параметра А, такие, что подстановка 1-форм

©а = Aadx + Bady (а = T~r)

в уравнения

dQa = -l-Cl& AQb

приводит к системе, эквивалентной системе (S).

В диссертационной работе ограничимся изучением представлений Лакса, для которых функции Аа и Ва зависят от производных не выше первого порядка. Более того, будем предполагать, что

Аа = AasUsx + Ма, Ва = Щи' + Na,

где Bg, Ма, № — гладкие функции от U1,..., U" и некоторого параметра А. Это ограничение объясняется тем, что все известные автору представления Лакса имеют такой вид.

Представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли g для системы (S) будем называть расширенным представлением, если dimg > п и rang\\Aa6 — В%\\ > п. В работе доказано, что если система допускает представление Лакса со значениями в некоторой полупростой алгебре Ли g над R, то всегда можно построить расширенное

15См., например, Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория соли-тонов: Метод обратной задачи. - М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. лит, 19S0 - 320с.

представление Лакса, выбирая в качестве 0 прямое произведение конечного числа экземпляров алгебры д.

Пусть система (£) допускает представление Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли 0. Обозначим

= 1-{А1 - В|).

Для любого симметричного полилинейного отображения / : 5 х 0 х ... х К

4-1 1 V

определим тензорное поле на V™ при помощи равенства

^...<5, = /(&,, •■•> 5«,), (2)

где — вектор с координатами (г = 1, д), индексы ^ принимают значения от 1 до п. Заметим, что ¿'^ (г = 1, д) линейно независимы, если представление Лакса является расширенным.

Основными результатами первой главы являются теорема 1.1 [10] и теорема 1.2 ([7],[10]).

Теорема 1.1 Пусть система (Б) допускает представление. Лакса со значениями в полупростой алгебре Ли 0.

Тогда тензор, определенный равенством (2), удовлетворяет условию

= о, (3)

т.е. является тензором Киллинга ранга с/, если отображение / Ас1-инвариантно. Здесь — ковариантная производная тензора

^...бд относительно связности на V", определенной коэффициентами С?|7.

Заметим, что условие (3) совпадает с условием существования полиномиального интеграла геодезических на пространстве \/п аффинной связности, ассоциированной с системой.

В общем случае тензор, определенный равенством (2), может оказаться вырожденным и даже нулевым. В третьем параграфе первой главы показано, что если алгебра 0 компактна, то, используя расширенное представление Лакса, можно определить положительно определенный тензор Киллинга ранга 2. Кроме того, этот тензор удовлетворяет некоторому дополнительному условию, если существуют коэффициенты системы (5), отличные от нуля.

Таким образом, получены следующие необходимые условия существования представления Лакса со значениями в компактной алгебре Ли для системы (S):

Теорема 1.2 Пусть система (S) допускает представление Лакса со значениями в компактной алгебре Ли.

Тогда на пространстве Vn аффинной связности, ассоциированной с системой, существует поле положительно определенного тенора Киллинга Faß ранга 2, удовлетворяющего условию

Fa[0n]Qa + Fa[0Q% = Q.

Здесь и далее запятая в индексах обозначает частную производную по U\ т.е. Q^ =

Во второй главе исследуются представления Лакса систем уравнений киральных полей со значениями в пространствах аффинной связности.

Системой уравнений киральных полей со значениями в пространстве аффинной связности Vn называется система дифференциальных уравнений в частных производных вида

щу + g^u; = о,

где х, у -- независимые переменные, Gßy — коэффициенты аффинной связности пространства Vй в локальной системе координат U1,..., Un, индексы а, ß, 7 принимают значения от 1 до п.

Хорошо известно, что для ряда пространств аффинной связности уравнения киральных полей являются интегрируемыми системами. Так, например, интегрируемыми являются уравнения киральных полей со значениями в симметрических пространствах, уравнения главных киральных полей и модифицированные уравнения главных киральных полей.4,7

Во второй главе показано, что, следуя работе16, можно получить представление Лакса модифицированных уравнений главных киральных полей, отличное от указанного в работе4. В четвертом параграфе второй главы при помощи этого представления Лакса для

*®Баландин A.B. Представление Лакса уравнений киральных полей.// Вестник ННГУ, сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1998 г. - Т 19, вып. 2. - С. 118-120.

систем модифицированных уравнений главных киральных полей со значениями в группе SO(3) построены бесконечные серии законов сохранения.

В третьей главе предложена модификация конструкции Лезнова-Савельева, позволяющая ассоциировать с симметрическими пространствами вида G/{H\ х Яг х ... х Я*.) новые интегрируемые системы кирального типа. Построены примеры таких систем, ассоциированных с симметрическими пространствами SO(6)/(SO(3) х 50(3)) и G2/(SO(3) х S0{3)).

Следуя работе17, будем искать представление Лакса в следующем виде.

Пусть G/H — локально симметрическое пространство, структурные уравнения которого имеют вид

(4)

dea = c%eri лв$ + Щ,^' л/. (5)

Здесь индексы а, ß, 7 принимают значения от 1 до п, индексы а', ß', 7' изменяются от п 4- 1 до г. Положим

и>а' = А Ma'dx + —Na'dy, (6)

' ва = TXßU^dx + T2ßUydy, (7)

где Ма', Na',Tiß,T2ß — гладкие функции от U1,..., Un, удовлетворяющие условиям

= c^TigTiy (*' = 1.2). (8)

det\\T$-T$\\iOt (9)

= Щ = (10)

Тогда равенства (4)-(7) определяют представление Лакса системы (5), для которой коэффициенты G^ и Qa имеют вид

Gp-, = Ps[P{ßa) + 2C^SßSy - (11)

17Баландин A.B. Представление Лакса обобщенной цепочки Тода.// Вестник ННГУ, сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1999 г. - T 20, вып. 1. - С. 83-90.

<Э™ = (12)

где = + == - 7^) и Р - матрица, обратная к

Р.

При таком подходе для построения интегрируемых систем ки-рального типа необходимо указать набор функций Т^, Ма', А!а', удовлетворяющих условиям (8)-(10). Желательно также, чтобы полученная интегрируемая система являлась лагранжевой. Одно из возможных решений этой задачи можно получить, полагая Т^ = ТЦ, = 0 (или = О, Т2% = Т|0> где коэффициенты определяются базисом левоинвариантных форм Ф° = Т^сШ^ на группе Я, причем (1Фа = С^Ф7 Л Ф". В этом случае равенства (4)-(7) определяют представление Лакса системы (5), коэффициенты С'^ которой являются коэффициентами левой (или правой) плоской канонической связности на группе Ли Я, а С}а имеют вид (12).

Представление Лакса для таких систем в 1983 году было получено А.Н. Лезновым и М.В. Савельевым9 в инвариантном виде, из которого переходом к локальным координатам можно получить представление Лакса, приведенное выше. А.Н. Лезновым и М.В. Савельевым также показано, что такие системы являются лагранжевыми в случае полупростой группы Н.

Во втором параграфе третьей главы для случая, когда Я = Ну х ... х Нр — прямое произведение простых групп Ли (г = 1, р), найдены другие решения уравнений (8)-(10) и соответствующие им интегрируемые системы. Этот результат является основным результатом третьей главы и сформулирован в теореме 3.3 ([6],[8],[9]).

Пусть С?/Я — локально симметрическое пространство, Я = Я} х ... х Яр, где Н\,..., Яр — простые группы Ли и (11а) — локальная система координат на Я. Разделим координаты (11а) на группы (иа1,иа2,...,иар) в соответствии с разложением группы Я и перепишем структурные уравнения симметрического пространства С/II в виде

¿ва< = А 0* + А ш0\ (» = 1ТР).

Введем следующие обозначения:

1) 0! Ьь Ь = 'К® •■■ ФЬр ~~ алгебры Ли групп Ли <7, #¿,/7 соответственно (г = 1,р);

2) С^ ~ структурные константы группы Щ относительно базиса левоинвариантных дифференциальных форм Фа* = Т^йП^.

3) Ь?аф. — коэффициенты формы Киллинга •) алгебры Ли 1),, заданные относительно базиса, двойственного к базису Фа\

4)з°(-!') ~~ форма Киллинга алгебры Ли д.

5) 5г — константы, удовлетворяющие условию

Такие константы существуют, если алгебра 0 полу простая.

6) — метрика Киллинга группы Н{ относительно локальных координат иа\ т.е.

Кл = Ь^тут*, {г = Ш

7) ст* — А йи!)г (г = 1,р) — 2-формы, удовлетворяющие условию

^^ЦС^Ф^АФ^АФ^.

Такие формы существуют, по крайней мере локально, так как 3-формы = |/г°1<5.С^71Фа1 А Ф7' А Ф0, замкнуты в силу тождества Якоби для структурных констант.

Теорема 3.3 Пусть С/Н — локально симметрическое пространство, (7 — полупростая группа Ли и Н — Н\ х ... х Нр, где #1,..., Нр — простые группы Ли.

Тогда системы уравнений Эйлера-Лаграижа для лагранжианов

1 = Е ¿КА^7') + + 4<$,уМ/3'ЛГ7'

г=1 1

допускают представление Лакса. Здесь е* = ±1; функции , И1' удовлетворяют условиям

= (г = Т7р).

В первом параграфе четвертой главы найдено представление Лакса для четырехкомпонентной системы, которая является новым интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon ([2],[4],[8]).

Пусть системы уравнений Эйлера для лагранжианов

Li = 9<,л(и5Ж%Р' + QÁUSi) (г = 1,2)

допускают представление Лакса со значениями в алгебрах Ли Jj¿ групп Ли Н{ соответственно. Пусть также существует локально симметрическое пространство G/(Hi х //2). Оказывается, что в ряде случаев, используя представление Лакса для этих систем, можно построить представление Лакса для системы с лагранжианом

2 ¿=i

где Si — некоторые константы и Q — Q(U¡1 ,U62) — гладкая функция такая, что система уравнений Эйлера для лагранжиана L не распадается на независимые системы.

Таким способом в диссертационной работе построено представление Лакса для системы

V1 + 1 у*у2 + 1 уу1 = О v sin V2 v sin V2 y

к - +*sin 1/20031/4=

, , .i—V^V4 H--- .

xy sin V4 v x sin V4 v

К - + + fccosl/2sitlV4 = °>

V3 + —-—V3V4 + —-—V4V3 = 0 (13)

xy 1/4 У X ' oír» 1/4 V х

где к — произвольная константа. Данную систему можно рассматривать как новое интегрируемое обобщение уравнения sin-Gordon, т.к. подстановка V3 = V4 — 0 приводит к системе Лунда-Редже. Далее, полагая V1 = 0, V2 = V, получим уравнение sin-Gordon.

Система (13) явлется системой уравнений Эйлера для лагранжиана

L = vTXtg2Y + vxX + vx3vy3tg2Y + W +2fc v2 cos У4.

В первом параграфе четвертой главы показано, что систему (13) можно получить при помощи редукции и преобразования Бэклунда из системы Лезнова-Савельева, ассоциированной с симметрическим пространством 50(6)/(50(3) х 50(3)).

Во втором параграфе четвертой главы построены новые интегрируемые системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида 50(р + 3)/(50(р) х 50(3)) и 50(р + 2)/{SO{p) x 50(2)).

Теорема 4.1 Пусть (Uai) — локальная система координат на группе 50(р),р > 3. Определим матрицы hai0l,aai0l так же, как в теореме 3.2 для группы Нi — 50 (р).

Тогда система уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана

L = [hai01(Uh) + aai01(Us>)}U?Uy^ - 2(р - + VX2V2}-

—4(р - 2)mhnb cos V2

допускает представление Лакса. Здесь индексы а, Ь принимают значения от 1 до р; индексы а', Ь' изменяются от р + 1 до р + 3; тъ — произвольные константы, а функции пь = nb(Us) удовлетворяют условиям

«А =

где коэффициенты = — Н^ определяются вложением алгебры Ли so(р) в gl(р).

Теорема 4.2 Пусть (Uai) — локальная система координат на группе 50(р),р > 3,. Определим матрицы h^^.a^^ так же, как в теореме 3.2 дм группы Н\ — 50 (р).

Тогда система уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана

L =[K101{U^) + aaib{jr*))V?Ub - 2(р - 2)k2VxVy+ + 4(р-2)МХ6'

допускает представление Лакса. Здесь индексы а, Ь изменяются от 1 до р, индексы а' и V принимают значения р -Ь \,р + 2; к — произвольная константа; M¡¡, = —M¡{, Nj¡, = —Njf и

Mp+i = mi cos kV + sin kV, Mp+2 = —m" sin kV + cos kV,

где то J, — произвольные константы. Функции N°, = N°,(USl) являются решениями системы уравнений

N$a = H^Nba„

где коэффициенты = определяются вложением алгебры

Ли so(p) в gl(р).

Во втором параграфе четвертой главы построено представление Лакса для системы, соответствующей случаю р = 3 в теореме 4.2. Лагранжиан данной системы имеет вид

1 = YL и"1 uvl+VxVv+2 cos и?'иуи*+21 cos 1/3 cos v-

ai = l

Показано, что эта система допускает редукцию и преобразование Бэклунда, которые приводят к системе уравнений Эйлера для лагранжиана

L = VxlV¿tg2Y + + VxVv + 21 cos V2 cos V.

Для последней системы в диссертационной работе также построено представление Лакса. Заметим, что она совпадает с одной из интегрируемых систем, найденных А.Г. Мешковым и Д.К. Демским.13

Основные публикации по теме диссертации

1. Balandin А. V., РакЬагеуа(Кащеева) О. N., Potyomin G. V. Lax representation of the chiral-type field equations.// Phys. Lett. A. - 2001. - V. 283, No 3-4. - P. 168-176.

2. Баландин A.B., Пахарева(Кащеева) O.H. Интегрируемые системы кирального типа с приводимыми метриками.// Вестник ННГУ, сер. Математика. - 2004. - Вып. 1(2). - С. 5-17.

3. Пахарева(Кащеева) О.Н. Интегрируемые системы кирального типа с приводимыми метриками.// Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. / Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции (Казань, 1-4 декабря 2003 г.) - Казань: Изд-во Казанского математического общества. - 2003. -Т. 21. - С. 180-182.

4. Пахарева(Кащеева) О.Н. Представление Лакса нелинейных сигма-моделей с приводимыми метриками.// Неевклидова геометрия в современной физике и математике - труды международной конференции БГЛ-4 (Бояи-Гаусс-Лобачевский)(Н.Новгород, 7 -- 11 сентября 2004 г.) - Н.Новгород-Kiev: 1ТФ HAH Украши, 2004 г. - С. 197-204.

5. Пахарева(Кащеева) О.Н. Уравнения киральных полей со значениями в группах Ли.// Нелинейный Мир. Десятая междисциплинарная научная конференция (Н.Новгород, 27 июня - 2 июля 2005 г.). Тезисы докладов. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2005 г. - С. 106-106.

6. Пахарева(Кащеева) О.Н. Представление Лакса систем кирального типа с приводимыми метриками. //Вестник ННГУ, сер. Математика. - 2005. - Вып. 1(3). - С. 114-122.

7. Баландин A.B., Кащеева О.Н. Необходимые условия существования представления Лакса со значениями в компактных алгебрах Ли.// Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского / Материалы четвертой всероссийской молодежной научной школы-конференции (КазанЬ, 16 - 18 декабря 2005 г.). - Казань: Изд-во Казанского математического общества. - 2005. - Т. 31. - С. 25-27.

8. Balandin A.V., Kashcheeva O.N. Lax representation of WZNW-like systems.//Regular and chaotic dynamics. - 2006. - V. 11, No 4. -P. 435-453.

9. Кащеева О.Н. Интегрируемые системы типа WZNW.// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10-15 июля 2006 г.). Тезисы докладов,- Владимир. - 2006 г. - С. 117-119.

10. Баландин A.B., Кащеева О.Н. Необходимые условия интегрируемости систем кирального типа.// Труды Международной научной конференции "Современные методы физико-математических на-ук"(Орел, 9-14 октября 2006 г.). - Орел. - 2006 г. - С. 12-16.

Подписано к печати 03.07г. _

Формат 60x90 1/16. 1 усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ № {QO_______

ГОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Н. Новгород, Ильинская ул., 65._

11оли!рафинеский центр ННГЛСУ бОЗОЗО, Н. Новгород, Ильинская ул., 65.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кащеева, Ольга Николаевна

Введение

1 Необходимые условия существования представления

Лакса со значениями в компактных алгебрах Ли

1.1 Системы уравнений кирального типа.

1.2 Представление Лакса систем кирального типа.

1.3 Необходимые условия существования представления Лакса.

2 Представление Лакса уравнений киральных полей

2.1 Киральные поля со значениями в пространствах аффинной связности.

2.2 Модифицированные уравнения главных киральных полей.

2.3 Преобразования Бэклунда.

2.4 Законы сохранения модифицированных уравнений главных киральных полей.

3 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/(Hi х . х Hp)

3.1 Модификация конструкции Лезнова-Савельева

3.2 Лагранжевы системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/(H\ х . х Нр)

3.3 Примеры систем, ассоциированных с симметрическими пространствами 50(6)/(50(3) х 50(3)) и G2/(50(3) х 50(3)).

4 Системы с приводимыми метриками

4.1 Интегрируемое расширение уравнения sin-Gordon

4.2 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида 50 (р + 3)/(50 (р) х 50(3)) и

S0(p + 2)/(S0(p) х 50(2)).

Введение диссертация по математике, на тему "Интегрируемые системы кирального типа"

Одним из наиболее эффективных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время является метод обратной задачи рассеяния. Поэтому актуальной остается задача описания систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым применим данный метод. Как известно, необходимым условием применения метода обратной задачи является наличие представления Лакса, т.е. представления изучаемой нелинейной системы в виде условий совместности некоторой вспомогательной линейной системы дифференциальных уравнений. Кроме того, представление Лакса часто оказывается полезным для построения преобразований Бэклунда и бесконечных наборов законов сохранения (см., например, [9],[13],[66]).

Интегрируемая система (см., например, [28],[31]) в диссертации понимается как система, допускающая представление Лакса.

Исторически одним из первых интегрируемых примеров рассматриваемого класса, для которого был применен метод обратной задачи, является уравнение sin-Gordon. Представление Лакса для этого уравнения построено в работах Л.А. Тахтаджяна [30] и M.J. Ablowitz'a, D.J. Kaup'a, А.С. Newel'a, Н. Segur'a [62]. В качестве других известных примеров интегрируемых систем кирального типа можно указать уравнения п-поля [65], уравнения главных ки-ральных полей на группах Ли [14], которые дали название всему классу систем, и модифицированных киральных полей [31], а также нелинейные сигма-модели на двумерном пространстве Минковско-го.

Отметим важные для теории поля системы WZNW (Wess-Zumino-Novikov-Witten), которые являются частным случаем уравнений модифицированных киральных полей, и их различные обобщения (см., например., [67]).

Интегрируемые редукции систем WZNW изучались в работах J.L. Miramontes'a, О.А. Castro Alvaredo, C.R. Fernandez-Pousa, T.J. Hollowood'a, M.V. Gallas'a ([43],[50],[51],[52],[57]).

Среди систем киралыюго типа значительный интерес также представляет система Лунда-Редже, которая является дву-компонентным интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon ([45],[59],[60],[64]).

В 1983 году А.Н. Лезнов и М.В. Савельев предложили конструкцию для построения достаточно большого класса интегрируемых систем, с помощью которой можно каждому локально симметрическому пространству G/H сопоставить представление Лакса некоторой системы кирального типа [58]. В частности, с помощью конструкции Лезнова-Савельева можно получить хорошо известные двумерные цепочки Тода и двумерные неабелевы аффинные модели Тода (см., например, [20],[69]). Особенно важно для физических приложений, что эти системы в случае полупростой группы Я оказываются вариационными, т.е. являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для некоторого функционала. Такие системы и их вариационные редукции активно изучались в последнее время в работах следующих авторов: I. Bakas, J.L. Miramontes, Q.H. Park, H.J. Shin, A. Bilal ([38],[41],[42],[44], [55],[63],[68]).

Необходимо отметить, что для изучения интегрируемых систем используется также симметрийный подход. В работах А.Г. Мешкова и Д.К. Демского этот подход был использован для изучения трехкомпонентных систем кирального типа ([13],[19],[48],[49],[61]). С использованием компьютерных вычислений ими найдены все системы с лагранжианами специального вида, допускающие полиномиальные симметрии не выше 5-го порядка. Для большинства таких систем ими также построены представления Лакса.

Целью работы является решение следующих задач:

1. Изучение представлений Лакса систем кирального типа;

3. Построение новых интегрируемых систем киральпого типа другими способами.

2. Найдена модификация конструкции Лезнова-Савельева, позволяющая ассоциировать с симметрическими пространствами G/(H\ х #2 х . х Hk) новые интегрируемые лагранжевы системы;

3. Построена четырехкомпопентная система, которая является новым интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon.

Апробация. Результаты диссертационной работы были представлены на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения "(Казань, 2003, 2005); на Международной конференции БГЛ-4(Бояи-Гаусс-Лобачевский) (Нижний Новгород, 2004); на X междисциплинарной научной конференции "Нелинейный мир"(Нижний Новгород, 2005); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006); на Международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук "(Орел, 2006).

Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]-[8],[16],[22]-f25], [39],[40].

В совместной статье [39] теоремы 1 и 2 доказаны А.В. Баландиным, теорема 3 доказана Г.В. Потеминым. Автору диссертации принадлежат вычисления законов сохранения, которые включены в параграф 3.1 диссертации.

В совместных статьях [6],[7],[8],[40] научному руководителю А.В. Баландину принадлежит постановка задач и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Работы [7],[25],[40] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертаций до 1 января 2007 г.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кащеева, Ольга Николаевна, Нижний Новгород

1. Абловиц, М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, X. Сигур. - М.: Мир, 1987. - 480 с.2J Базылев, В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий / В.Т. Базылев. М.: Мир, 1989.

2. Баландин, А.В. Система дифференциальных уравнений, допускающая представление нулевой кривизны /А.В. Баландин // Успехи Мат. Наук. 1990. - Т. 45, № 6(270). - С. 125-126.

3. Баландин, А.В. Представление Лакса уравнений киральных полей / А.В. Баландин // Вестник ННГУ, сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. - Т. 19, вып. 2. - С. 118-120.

4. Баландин, А.В. Представление Лакса обобщенной цепочки То-да / А.В. Баландин // Вестник ННГУ, сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. - Т. 20, вып. 1. - С. 83-90.

5. Баландин, А.В. Необходимые условия интегрируемости систем кирального типа / А.В. Баландин, О.Н. Кащеева // Труды Международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук"(Орел, 9-14 октября 2006 г.). -Орел. 2006 г. - С. 12-16.

6. Баландин, А.В. Интегрируемые системы кирального типа с приводимыми метриками / А.В. Баландин, О.Н. Пахаре-ва(Кащеева) // Вестник ННГУ, сер. Математика. 2004. -Вып. 1(2). - С. 5-17.

7. Буллаф, Р.К. Солитоны /Р.К. Буллаф, П.Дж. Кодри. -М.; Мир, 1983.

8. Винберг, Э.Б., Семинар по группам Ли и алгебраическим группам /Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. М.: Наука, 1988. - 344 с.

9. Гетманов, Б.С. Интегрируемая модель нелинейного комплексного скалярного поля с нетривиальной асимптотикой солитон-ных решений / Б.С. Гетманов // ТМФ. 1979. - Т. 38, № 1. -С. 13-23.

10. Гетманов, Б.С. Интегрируемая двумерная лоренц-инвариантная нелинейная модель комплексного скалярного поля (комплексный синус-Гордон-Н) / Б.С. Гетманов // ТМФ -1981. Т. 48, № 2. - С. 186-195.

11. Демской, Д.К. Представление Лакса для триплета скалярных полей / Д.К. Демской, А.Г. Мешков // ТМФ 2003.- Т. 134, № 3. - С. 400-415.

12. Захаров, В.Е. Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи /B.Е. Захаров, А.В. Михайлов // ЖЭТФ. 1978. - Т. 74, № 6. C. 1953-1973.

13. Картан, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства / Э. Картан. М., 1949. - 384 с.

14. Кащеева, О.Н. Интегрируемые системы типа WZNW /О.Н. Ка-щеева //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10 15 июля 2006 г.). Тезисы докладов - Владимир. - 2006 г. - С. 117-119.

15. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии, т. II / Ш. Кобаяси, К. Номидзу- М: Наука, 1981 416 с.

16. Лезнов, А.Н. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем /А.Н. Лезнов, М.В. Савельев. М: Наука, 1985. - 280 с.

17. Мешков, А.Г. К симметрии двумерных скалярных полей ки-рального типа /А.Г. Мешков// Препр. № 28. Томск: Изд-во Томского научного центра СО АН СССР., 1991. - 22с.

18. Михайлов, А.В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода / А.В. Михайлов// Письма в ЖЭТФ. -1979. Т. 30, № 7. - С. 443-448.

19. Новиков, С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса / С.П. Новиков // Успехи Мат. Наук. 1982. -Т. 37, № 5(227) - С. 3-49.

20. Пахарева(Кащеева), О.Н. Представление Лакса систем кирального типа с приводимыми метриками / О.Н. Пахарева //Вестник ННГУ, сер. Математика. -2005. Вып. 1(3). - С. 114-122.

21. Попов, А.Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики /А.Г. Попов// ФПМ. 2005. - Т. 11. № 1. - С. 227-239.

22. Попов, А.Г. Аналитические подходы к исследованию уравнения sin-Гордон и псевдосферических поверхностей/ А.Г. Попов, Е.В. Маевский // Современная математика и ее приложения. -2003. Т. 31. - С. 13-52.

23. Рейман, А.Г. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход / А.Г. Рейман, М.А. Семенов-тян-Шанский. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. - 352 с.

24. Рождественский, B.JI. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике /Б.Л. Рождественский, Н.Н. Янепко. -М.: Наука, 1978. 667 с.

25. Тахтаджян, Л.А. Точная теория распространения ультракоротких оптических импульсов в двухуровневых средах / Л.А. Тахтаджян // ЖЭТФ. 1974. - Т. 66, № 2. - С. 476-489.

26. Тахтаджян, Л.А. Гамильтонов подход в теории солитонов / Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев.-М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит, 1986 528 с.

27. Теория солитонов: Метод обратной задачи / В.Е. Захаров и др.]. -М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. лит, 1980 320 с.

28. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер и др.]. -М: Энергоиздат, 1982. 416 с.

29. Трофимов, В.В. Введение в геометрию многообразий с симмет-риями / В.В. Трофимов. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 359 с.

30. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон. М.: Мир, 1964.

31. Acosta, J. Generalized sine-Gordon massive Thirring models and soliton particle correspondences / J. Acosta, A. Bilal// J.Math.Phys. 2002. - V. 43. - P. 1916-1937. (hep-th/0107248)

32. Amery, G. Higher order symmetries and the Koutras algorithm / G. Amery, S.D. Maharaj // International Journal of Modern Physics D. 2002. - V. 11, № 3. - P. 337-351.

33. Bakas, I. Lagrangian formulation of symmetric space sine-Gordon models / I. Bakas, Q.-H. Park, H.J. Shin // Phys. Lett. B. 1996.- V. 372. P. 45-52. (hep-th 19512030)

34. Balandin, A. V. Lax representation of the chiral-type field equations / A.V. Balandin, O. N. Pakhareva, G. V. Potemin // Phys. Lett. A. 2001. - V. 283, № 3-4. - P. 168-176.

35. Balandin, A.V. Lax representation of WZNW-like systems /A.V. Balandin, O.N. Kashcheeva //Regular and chaotic dynamics.- 2006. V. 11, № 4. - P. 435-453.

36. Bilal, A. Non-abelian Toda theory: a completely integrable model for strings on a black hole background / A. Bilal // Nuclear Physics.B. 1994. - V. 422, № 1-2 - P. 258-288.

37. Bilal, A. Consistent string backgrounds and completely integrable 2D field theories / A. Bilal // Nucl.Phys.Proc.Suppl. A. 1996. -V. 45. - P. 105-111 (hep-th/9508062)

38. Castro Alvaredo, O.A. Massive Symmetric Space sine-Gordon Soliton Theories and Perturbed Conformal Field Theory / O.A. Castro Alvaredo, J.L. Miramontes. (hep-th/0002219)

39. Chao, L. Integrable Systems And Two-Dimensional Gravity Prom Conformally Reduced Wznw Model / L. Chao // Commun. Theor. Phys. 1993. - V. 20. - P. 221.

40. Chen, Ch. The Lund-Regge surface and its motion's evolution equation /Ch. Chen, Li Yi. //J. Math. Phys. 2002. - V. 43, № 4. - P. 1938-1955.

41. Collinson, C.D. Generalized Killing tensors. / C.D. Collinson, L. Howarth // Relativity and Gravitation. 2000. - V. 32, № 9. -P. 1767-1776.

42. Dijkgraaf, R. String propagation in a black hole geometry / R. Dijkgraaf, H. L. Verlinde, E. P. Verlinde // Nuclear Physics B. 1992. - V. 371. - P. 269-314.

43. Demskoi D. K. Zero-curvature representation for a chiral-type three-field system / D.K. Demskoi, A.G. Meshkov // Inverse Problems. 2003. - V. 19, № 3. - P. 563-571.

44. Ferreira, L.A. Tau-functions and Dressing Transformations for Zero-Curvature Affine Integrable Equations / L.A. Ferreira, J.L. Miramontes, J. Sanchez Guillen // J.Math.Phys. 1997. -V. 38. - P. 882-901. (hep-th/9606066)

45. Fernandez-Pousa, C.R. The Symmetric Space and Homogeneous sine-Gordon Theories / C.R. Fernandez-Pousa, M.V. Gallas, T.J. Hollowood, J. L. Miramontes // Nucl.Phys. B. 1997. -V. 484. - P. 609-630. (hep-th/9606032)

46. Fernandez-Pousa, C.R. Solitonic Integrable Perturbations of Paraferrnionic Theories / C.R. Fernandez-Pousa, M.V. Gallas, T.J. Hollowood, J.L. Miramontes // Nucl.Phys. B. -1997. -V. 499. P. 673-689. ( hep-th/9701109)

47. Fordy A.P. Harmonic maps and integrable systems / A.P. Fordy, J.C. Wood // Aspects of Mathematics, vol. E23, by Vieweg, Braunschweig Wiesbaden, 1994. - 323 p.

48. Gawedzki, K. G/H conformal field theory from gauged WZW model / K. Gawedzki, A. Kupiainen // Phys. Lett. B. 1988. - V. 215. -P. 119-123.

49. Gomes, J.F. Classical Integrability of Non Abelian Affine Toda Models / J.F. Gomes, E.P. Gueuvoghlanian, G.M. Sotkov, A.H. Zimerman // XXIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Dubna, August 2000.

50. Hollowood, T.J. Massive Integrable Soliton Theories / T.J. Hollowood, J.L. Miramontes, Q. Han Park // Nucl. Phys. B.- 1995. V. 445. - P. 451-468.

51. Miramontes, J. L. Tau-Functions generating the Conservation Laws for Generalized Integrable Hierarchies of KdV and Affine-Toda type /J.L Miramontes / (hep-th/9809052)

52. Lund, F. Unified approach to strings and vortices with soliton solutions / F. Lund, T. Regge// Phys.Rew. D. 1976. - V. 14, № 6. - P. 1524-1535.

53. Lund, F. Example of a Relativistic, Complete Integrable, Hamiltonian System / F. Lund // Phys. Rew.Lett. 1977. - V. 38, № 21. - P. 1175-1179.

54. Meshkov, A.G. Tools for Symmetry Analysis of PDEs / A.G. Meshkov // Differential equations and control processes. Electronic Journal, 2002. V. 1. http://www.neva.ru/journal (см. также http://www.orel.ru/meshkov).

55. Method for solving the Sine-Gordon equation /M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C. Newel, H. Segur// Phys. Rev. Lett. 1973.- V.30, № 25. - P. 1262-1264.

56. Park, Q.H. Nonabelian sine-Gordon theory and its application to nonlinear optics / Q.H. Park, H.J. Shin // Proceedings of the 2nd Sakharov Conference on Physics, Moscow, May, 1996. (hep-th/9606094)

57. Park, Q.H. Vortex Strings and Nonabelian sine-Gordon Theories / Q.H. Park, H.J. Shin // Phys.Lett. B. 1999. - V. 454. - P. 259. (hep-th/9907069)

58. Pohlmeyer, K. Integrable Hamiltonian systems and interaction through quadratic constraints / K. Pohlmeyer // Comm. Math. Phys. 1976. - V.46, № 3. - P. 207-221.

59. Sasaki, R. Soliton equations and pseudospherical surfaces / R. Sasaki // Nucl. Phys. B. 1979. - V. 154. - P. 343-357.

60. Sfetsos, K. Antisymmetric tensor coupling and conformal invariance in sigma models corresponding to gauged WZNW theories / K. Sfetsos, A.A. Tseytlin // Phys.Rev. D. 1994. -V. 49. - P. 2933-2956. (hep-th/9310159)

61. Tsutsui, I. Global Aspects of the WZNW Reduction to Toda Theories / I. Tsutsui, L. Feher // Prog.Theor.Phys.Suppl. 1995. - V. 118. - P. 173-190. (hep-th/9408065)

62. Underwood, J. Aspects of Non-Abelian Toda Theories Imperial/TP/92-93/30. (hep-th/9304156)

63. Wahlquist, H.D. Prolongation structures of nonlinear evolution equations / H.D. Wahlquist, F.V. Estabrook //J. Math. Phys. -1975. V.16, № 1. - P. 1-7.

64. Wess, J. Consequences of anomalos Ward identities / J. Wess, B. Zumino // Phys. Lett. B. 1971. - V. 37. - P. 95-97.

65. Witten, E. Nonabelian bosonization in two-dirnenisions / E. Witten //Commun. Math. Phys. 1984. - V. 92. - P. 455 472.

66. Witten, E. On string theory and black holes / E. Witten // Phys. Rev. D. 1991. - V. 44. - P. 314-324.