Применение методов теории групп к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати

Егоров, Михаил Александрович

Применение методов теории групп к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Егоров, Михаил Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Долгопрудный МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Применение методов теории групп к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати»

Автореферат диссертации на тему "Применение методов теории групп к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати"

На правах рукописи

Р г* ОД

ЕГОРОВ Михаил Александрович! 3 »»од

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ГРУПП К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ

Специальность: 01.01.09. Дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Долгопрудный 2000

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московско физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор

Официальные оппоненты: член корр. РАН,

доктор физ.-мат. наук, профессор доктор физ.-мат. наук, профессор

Ведущая организация:

Уфимский государственный авиационный технический университет

Защита состоится " " ^¿^С? 2000 г. в 1° ч. на седании диссертационного совета К 063.91.03 при МФТИ в Моек ском физико-техническом институте (государственном университе по адресу: 141700, г. Долгопрудный, Моск. обл., Институтский т д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

Ибрагимов Н.

Павловский Ю, Яковенко Г,

^/¿г/. $></03

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена применению методов теории групп Ли к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати. Выбор уравнения Рик-кати в качестве объекта исследования не случаен. Это уравнение с самого своего появления в 1724 году является предметом пристального внимания ученых. В настоящее время название "уравнение Риккати" обычно применяется к любым системам обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью.

Каждая новая идея в исследовании дифференциальных уравнений непременно апробировалась на уравнении Риккати. Например, при работе над теорией нелинейных суперпозиций Софус Ли показал, что уравнение Риккати является наиболее общим уравнением первого порядка, которое имеет фундаментальную систему решений.

Давно замеченная связь уравнения Риккати с группой дробно-линейных преобразований, его геометрическая природа и проективные свойства определяют причины, по которым уравнения этого типа с неизбежностью возникают в различных и далеких друг от друга областях естествознания (алгебраическая геометрия, теория конформных отображений, теория вполне интегрируемых гамильтоновых систем, применение теории Бэклунда в квантовой теории поля, вариационное исчисление). Уравнение Риккати занимает особое место в теории оптимального управления.

Принципиально новый этап в использовании уравнений Риккати при решении прикладных задач наступил во второй половине уходящего века. Возникновение и стремительное развитие теории управления породило массу принципиально новых математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния, другие задачи). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати вида

^ = P(t) + A(t)X + XB(t) + XR(t)X, (1)

где A(t), B{t), P(t) и R(t) — заданные квадратные матрицы, а X — искомая матрица.

Ряд задач теории управления приводит к уравнениям вида (1), но с постоянными матрицами А, В, Р и R. В этом случае актуальным оказывается вопрос о существовании, свойствах и единственности решения алгебраического уравнения Риккати

Р + AX + XB + XRX = 9, (2)

где в — квадратная матрица, все элементы которой являются нулями.

Исследование многих физических процессов показало, что роль уравнения Риккати определяется физической интерпретацией его решений. В теории упругих колебаний, электродинамике слоистых сред, в теории многоволновых линий электропередачи, в гидравлике трубопроводов, и т.д. решение уравнения Риккати задает основной параметр линейной системы - импеданс или коэффициент отражения, матрицу рассеяния электромагнитных волн, либо стохастическую матрицу диффузионного процесса. Анализ и исследование различных свойств уравнений Риккати проводились в работах JI. М. Бреховских, В. Б. Лидского, Radon J., Redheffer R.M., Reid W.T., Sternberg R.L., Whyburn W.M.,

Интенсивное развитие вычислительной техники породило множество новых идей, связанных с приближенными методами решений дифференциальных уравнений. Широко используемый метод прогонки для решения граничных задач дифференциальных и разностных уравнений основывается~на~сведении многоточечной граничной_задачи к задаче Коши для уравнения Риккати.

Методы квазилинеаризации и инвариантного погружения, также при водящие к уравнению Риккати, можно трактовать как вариационный вариант метода прогонки. Достаточно подробное описание получениих в этих направлениях результатов отражено в работах И. М. Гель-фанда, О. В. Локуциевского, Р. Беллмана, М. X. Захар-Иткина, Р. Ка-лабы.

В ряде прикладных наук (теория управления, электротехника), а также в различных разделах прикладной и вычислительной математики (вариационное исчисление и приближенные методы решения краевых задач) возникла необходимость детально исследовать различные свойства матричных и операторных уравнений Риккати.

В частности, в теории управления основные трудности в решении задач об оптимальной стабилизации и об аналитическом конструирова-

нии регуляторов для линейных систем возникают при решении задачи Коши для соответствующих матричных уравнений Риккати.

С развитием теории управления системами с распределенными параметрами возникла необходимость рассматривать различные обобщения уравнения Риккати в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциальные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении тепловыми и диффузионными процессами (А. И. Егоров).

Аналогичные краевые задачи Риккати необходимо изучать при решении оптимизационных задач для волновых процессов. В настоящее время сделаны лишь первые шаги в практическом решении этих .краевых задач и их теоретическом исследовании. Некоторые вопросы теории уравнения Риккати в гильбертовых пространствах в связи с проблемами управления разработаны А .В. Балакришнаном, уравнения Риккати в других функциональных пространствах рассмотрены и .Ж.-Л. Лионсом. Исследованию матричного уравнения Риккати посвящены работы М. И. Зеликина.

Таким образом, изучению различных свойств уравнений Риккати, а также поиску различных практических методов решения задач теории управления посвящены многие работы российских и зарубежных авторов. Однако автору не известны работы по применению аппарата группового анализа дифференциальных уравнений к матричным и операторным уравнениям Риккати, возникающим в задачах управления.

Цель работы. Для аналитического решения различных задач теории оптимального управления (синтез оптимального управления, оптимальный фильтр Каллмана-Бьюси и т.д.) разработать подход, основанный на применении методов теории групп Ли к матричным дифференциальным уравнениям Риккати, разработав соответствующие методы и процедуры.

Достижение этой цели связано с решением ряда задач:

- применить и при необходимости расширить общий аналитический аппарат группового анализа на случай анализа матричных уравнений;

- выделить группы, допускаемые матричными дифференциальными уравнениями Риккати ;

- исследовать случай матричного уравнения с постоянными коэффициентами;

- исследовать матричное уравнение Риккати как систему скалярных дифференциальных уравнений с точки зрения теории нелинейных суперпозиций.

Научная новизна. Научную новизну отражают следующие основные результаты, полученные в работе:

1. Проанализированы задачи теории управления, приводящие к матричным дифференциальным и операторным уравнениям Риккати.

2. Для решения различных задач оптимального управления предложена процедура группового анализа на матрицах. Введены новые понятия (инфинитезимальный оператор на матрицах, определяющее уравнение на матрицах, коммутаторы на матрицах и т.д.). Для аналитического решения задач оптимального управления с помощью этой процедуры выполнен групповой анализ матричных дифференциальных уравнений Риккати.

3. Получены различные достаточные условия, при выполнении которых уравнения Риккати для задач управления динамическими системами интегрируется заменой переменных.

4. Получены условия линеаризуемое™ матричных дифференциальных уравнений Риккати, которые обобщают известный критерий ли-неаризуемости скалярного уравнения Риккати. С помощью полученных результатов аналитически решена задача оптимального управления движением вращающейся антенны.

5. Для решения задачи оптимального управления стационарными системами выполнен полный анализ алгебраических матричных уравнений Риккати. На основе этого анализа предложены различные процедуры практического решения типичных для теории управления уравнений Риккати. Связь между алгебраическим уравнением Риккати и системой линейных матричных уравнений для динамических систем используется для практического построения решения уравнения Риккати. Предложенная процедура иллюстрируется решением примеров.

6. Показано, что матричное дифференциальное уравнение Риккати обладает фундаментальной системой решений и получена оценка необходимого числа частных решений. Получены ангармонические отношения решений матричных дифференциальных уравнений Риккати.

7. Полученные результаты применены к решению практических задач теории управления.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы группового анализа, теории матриц, теории функций от матриц, функционального анализа, а также теории нелинейных суперпозиций.

Практическая ценность работы. Разработан подход, основанный на применении методов теории групп Ли к матричным дифференциальным уравнениям Риккати, определены соответствующие методы и процедуры для решения задач теории управления.

Разработан аппарат группового анализа матричных дифференциальных уравнений Риккати для решения различных задач теории управления, при исследовании которых возникает необходимость решать такие уравнения.

Выполненный групповой анализ матричных дифференциальных уравнений Риккати прежде всего дает групповую классификацию таких уравнений. Он также указывает процедуры, с помощью которых можно получать достаточные условия интегрируемости и линеаризу-емости матричных уравнений Риккати. Эти условия, вообще говоря, являются конструктивными и дают непосредственно поцедуры решения различных залач теории управления. Работа содержит иллюстративные примеры, на анализе которых можно просмотреть применение теоретических результатов в конкретных случаях.

Полученные результаты проиллюстрированы решением практических задач на примере задачи об оптимальной стабилизации вращающейся антенны и других примерах. Результаты работы показывают целесообразность и перспективность применения методов теории групп к решению разнообразных задач теории управления и ее приложений, а также дальнейшего развития предложенного подхода.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре профессора Н. X. Ибрагимова "Групповой анализ уравнений математической физики" на факультете ВМиК МГУ, семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета, международном семинаре "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования", (г. Уфа, июнь 1991 года), международной конференции MO-GRAN 2000 (г. Уфа, октябрь 2000 года).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

шести работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Сквозная нумерация основного текста содержит_страниц, список литературы

включает 81 название.

Краткий обзор работы

Работа состоит из трех глав.

В первой главе ("Уравнения Риккати в задачах управления") излагаются прикладные задачи, приводящие к уравнениям Риккати.

В § 1.1. рассмотрены три задачи теории управления, решение которых приводит к матричным уравнениям Риккати. Это задачи об оптимальной стабилизации, об аналитическом конструировании регуляторов и об оптимальном: фильтре Каллмана-Быоси. При решении всех этих задач появляется уравнение Риккати вида (1), где В = А*, если рассматривается процесс описываемый обыкновенным дифференциальным уравнением

где х Е Еп — фазовый вектор, а и € Ег — вектор управления. Главная особенность этих задач состоит в том, что требуется находить положительные решения задачи Коши для уравнения (1). В частных случаях, когда матрицы Л и С постоянны, возникает необходимость решать уравнение (2).

Методам решения таких уравнений посвящена обширная литература. Однако их групповой анализ не выполнялся.

В § 1.2 показано, что некоторые краевые задачи для нелинейны? уравнений в частных производных можно сформулировать как урав нения Риккати в специально построенных функциональных простран ствах. Излагаемая процедура продемонстрирована на примере крае вых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравне ний теплопроводности. Ее можно повторить и в более общих случаях Тем самым показано, что групповой анализ операторных уравнении Риккати можно использовать для анализа различных краевых зада' для нелинейных уравнений в обыкновенных и частных производных.

В § 1.3 показано, что для управляемых процессов, описываемых краевыми задачам для уравнения теплопроводности, задача об аналитическом конструировании регуляторов приводит к специфичной краевой задаче (так называемой интегро-дифференциальной краевой задаче), которая может быть сформулирована как уравнение Риккати в соответствующем функциональном пространстве.

Материал этой главы иллюстрирует актуальность различных задач для матричного дифференциального урапвнения Риккати в теории управления и необходимость рассмотрения аналогичных задач для операторных уравнений Риккати.

Вторая глава ("Алгебраическое уравнение Риккати") посвящена различным методам решения алгебраического уравнения вида (2). Как уже отмечалось выше, необходимость анализа такого уравнения в данной работе связана с тем, что его решения являются постоянными решениями дифференциального матричного уравнения (1).

В § 2.1 дается общий анализ уравнения (2) с позиций теории матриц. Согласно этой теории, уравнение

= АтХт + А™-!*™-1 + --- + А1Х + А0 = 9,

где 9 — матрица, все элементы которой нули, решается с помощью скалярного уравнения

д(р) = <1ег(Р(р)) = 0.

В общем случае такой способ решения необычайно грмоздок и мало что дает для практического решения задачи. Однако, как показано в работе, для уравнения Риккати эта процедура вполне обозрима и позволяет получать все решения уравнения (2). Этот факт иллюстрируется анализом сравнительно простых примеров.

В § 2.2 изложенная процедура применяется к общему уравнению вида (2). Такое поэтапное решение уравнений вида (2) позволяет упростить решение задачи в общем случае. Это проиллюстрировано решением конкретных примеров.

В § 2.3 предлагается иной способ решения уравнения вида (2), основанный на использовании связи между уравнением (2) и системой линейных матричных уравнений

(\Е - В)х - Лр = 9Л

Рх+{\Е+А)р=в]'

Полученный здесь результат сформулирован в виде теорем 3.1 и 3.2. Предложенная процедура применяется при решении конкретных примеров, что позволяет более полно оценить ее достоинства и недостатки.

Глава 3 ("Группы, допускаемые матричным уравнением Риккати, применение теории нелинейных суперпозиций ") является центральной в работе.

В § 3.1 описываются простейшие свойства дифференциальных уравнений Риккати (1), среди которых следует отметить свойство, сформулированное в замечании 1. Оно является одним из обобщений известной теоремы об ангармоническом отношении четырех решений скаляр ного уравнения Риккати.

Выполнен также полный анализ дифференциальных уравнений Рек кати с постоянными матрицами, который проиллюстрирован решение1\ уравнений

аг

Среди свойств уравнений с постоянными матрицами следует отметит: полезный для дальнейшего анализа результат, основанный на свой ствах ортогоналных матриц. Он состоит в том, что если уравнени можно представить в виде

f = <y-A)0r-B),

то, кроме постоянных решений у = А и Y = В, это уравнение мс жет иметь решение, которое получается из условия ортогональност матриц Y — А и Y — В. Пример такого типа в работе приведен.

Рассмотрен также вопрос о существовании решения общего уравн< ния Риккати. Его анализ основывается на связи уравнения Риккати системой линейных матричных дифференциальных уравнений.

Во втором параграфе, посвященном групповому анализу уравнени Риккати, вводятся основные понятия, необходимые для групповых оп раций на матрицах (инфинитезимальный оператор и его продолжени коммутаторы и т.д.). Рассматривается уравнение вида

F(t,Y, ^ = ^ - P(t) - Q^Y - YQ2(t) - YR(t)Y = (

где P(t), Qi{t), Qa(t) и R(t) — заданные квадратные матрицы порядка п, а У — искомая матрица того же порядка, в — матрица с нулевыми элементами.

В пространстве Мп х Ех (Мп — пространство квадратных матриц) задана группа Ли локальных однопараметрических преобразований

t' = f(t,Y,a), /(i,y, 0) = t, (4)

Y' = g(t,Y,a), g(t,Y,0) = Y, (5)

где fug — вообще говоря, нелинейные операторы. Очевидно, что при фиксированных t и У отображение (4) представляет собой скалярную функцию скалярного аргумента, а отображение (5) — матричную функцию скалярного аргумента.

Если инфинитезимальный оператор применяется к функции F(t,Y), то этот факт записывается в виде

XF = £(i, У)+ Dy(F(t,У); v{t, У)), (6)

где Dy(F(t,Y); tj) — дифференциал Фреше функции F, определяемый формулой

F(t, Y+т,)- F(t, У) = Dy(F(t, У); v) + "(t,г,), lim ^ПГ =

При этом важно, что такие понятия удается вводить и в случае матричного группового параметра. В этом случае в преобразованиях (5) и (6) вместо числового параметра а берется матричный параметр К и группа преобразования задается соотношениями

t' = t + Z(t,Y)*K + ..., Y' = Y + Q * К + ..., (7)

где

E(t,Y) =

( ill fl2 ■ • • £ln \

£21 £22 • • • £271

, 6(i,y) =

(mi П12 ■■■ ihn

V21 Ц22 ■■ ■ Ц2п ml Vm2 • * ♦ "Птп '

E(t, Y)*K = ^2tijhj, 9(i,y) * К = Viftii' Vij ~ матрицы.

г>У

При этом каждому скалярному параметру кij соответствует свой инфинитезимальный оператор

Хц + г = 1,..., п; .7 = 1,...,га.

Следовательно, матричному групповому параметру К можно поставить в соответствие матрицу-оператор

/Хп Х12 Х\п

= Х21 Х22 Х-1 п

Хт2 ■ Х-тп

Имея в виду, что оператор (6) представляет собой иную форму за писи инфинитезимального оператора однопарамегрической группы (4 и (5), можно определить коммутатор операторов вида (6). Пусть

Хк = + Яу(*; !/*(»,У)), к = 1,2.

Тогда по определению

Отсюда очевидным образом определяем колигутаторы вектор-опе раторов и матриц-операторов. Если Хк = {.Х^,... ,Хр}, к = 1,2

то

Аналогично, если

(Х\х Х\2 ■ хк Л1п

хк = Ук -ук 22 ■ Ук ■ Л2п

Ук Лт2 ■ Ук ■ Лтп

то

[Х1,Х2] =

( [^п > х1 [х12,

[^211 Х21] [Х22, х|2] 10

к = 1,2,

[Х1т, \

Хпт] /

Определенные таким образом коммутаторы, очевидно, удовлетворяют свойству антисимметрии (косой симметрии)

[Х\Х2] = -[Х2,Х1]

и тождеству Якоби

[[X1,*2],*3] + [[X3,*1],*2] + [[Х2,^3],*1

= 0/

Введенные таким образом инфинитезимальные операторы служат основой для построения соответствующих алгебр Ли и групп, допускаемых уравнением Риккати. С помощью различного типа определяющих уравнений удается построить конкретные группы, допускаемые уравнением Риккати.

В случае однопарамтрической группы с оператором

где £(t) — скалярная функция, матрица fi(t, У) выбирается в виде

fi(fc, У) = Li (t)YL2(t) + Mi(t)Y + YM2 (t) + N(t).

Здесь L{(t), Mk[t) и N{t) — подлежащие определению матрицы.

Для построения определяющих уравнений выписывается первый продолженный оператор

х = т | + IV(*; ii(i, У)) + at, У, У)),

где

с(t, Y,Y) = ^+ DY(Q{t, У); У) - ¿(t)Y. Теперь £(i) и П(t,Y) ищем из условия

= 9,

F=0

где Р — левая часть уравнения (3).

Это условие дает определяющие уравнения, с помощью которых строится группа, допускаемая уравнением (3). Приводятся иллюстративные примеры. Теоретические выводы формулируются в виде ряда теорем. Одна из них формулируется следующим образом.

Теорема 2.1. Если существует скалярная функция £ = £(£) такая, что

а матрицы Р, Я, С}1 и <52 удовлетворяют условиям

йг ¿а

— -г----— л <у2+

<Й (И

2<И\ йЬ Л /

то уравнение (3) допускает однопараметрическую группу с оператором в котором матрица N определяется формулой

Предложенный аппарат группового анализа позволяет получать достаточные условия, при выполнении которых можно укзать замену переменных, обеспечивающую интегрируемость уравнеия Риккати. Этот результат сформулирован в виде теорем и проиллюстрирован решением конкретных примеров. Проанализирован также вопрос об инвариантных решениях уравнения Риккати.

В § 3.3 рассматривается вопрос о линеаризации матричного уравнения Риккати.

Один из способов решения дифференциальных уравнений, основанный на применении групп Ли, состоит в том, что находится замена переменных, с помощью которой нелинейные уравнения линеаризуются. К настоящему времени накоплен достаточно богатый опыт такого решения скалярных и векторных дифференциальных уравнений. Здесь используется тот же прием линеаризации матричных дифференциальных уравнений. Получены необходимые и достаточные условия ли-неаризуемости такого уравнеия. Они обобщают известный критерий линеаризуемости скалярного уравнения Риккати и сформулированы ь виде следующей теоремы.

Теорема 3.1. Матричное дифференциальное уравнение (3) линеаризуется тогда п только тогда, когда оно допускает постоянное решение.

Указана также процедура преобразования переменных. Полученный результат иллюстрируется решением содержательного примера. В заключение доказывается теорема об ангармоническом отношении четырех решений уравнения.

Заключение

2. Для решения различных задач оптимального управления предложена процедура группового анализа на матрицах. Введены новые понятия. С целью аналитического решения задач оптимального управления с помощью предложенной процедуры выполнен групповой анализ матричных дифференциальных уравнений Риккати.

3. Получены условия линеаризуемости матричных дифференциальных уравнений Риккати, которые обобщают известный критерий линеаризуемости скалярного уравнения Риккати. С помощью полученных результатов аналитически решена задача оптимального управления движением вращающейся антенны.

4. Для решения задачи оптимального управления стационарными системами выполнен полный анализ алгебраических матричных уравнений Риккати. На основе этого анализа предложены различные процедуры практического решения типичных для теории управления уравнений Риккати. Связь между алгебраическим уравнением Риккати и системой линейных матричных уравнений для динамических систем используется для практического построения решения уравнения Риккати. Предложенная процедура иллюстрируется решением примеров.

5. Доказано, что матричное дифференциальное уравнение Риккати обладает фундаментальной системой решений и получена оценка необходимого числа частных решений. Получены ангармонические отношения решений матричных дифференциальных уравнений Риккати. Получены различные достаточные условия, при выполнении которых уравнения Риккати для задач управления динамическими системами интегрируется заменой переменных.

6. Полученные результаты применены к решению практических задач теории управления.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Егоров М. А. Некоторые свойства матричного уравнения Риккати // Препринт № 147 института прикл. матем. АН СССР, 1990. — 20 с.

2. Егоров М. А. Об одном критерии линеаризуемости матричного уравнения Риккати и некоторых свойствах его решений // Диф. уравнения. — 1993. — № 10. — 1684-1688 с.

3. Егоров М. А. Уравнение Риккати в функциональных пространствах // Труды международного семинара "Современный групповой анализ". —Уфа, 1991.

4. Егоров М. A. On group analysis of Riccati equations // Proc. of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000.

5. Егоров M. A. Integration of matrix Riccati equations // Proc. of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000.

6. Егоров M. A. Matrix and operator Riccati equations: symmetries, solutions, linearization // Abstracts of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000. — P. 28.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Егоров, Михаил Александрович

Введение.2

Глава 1. Уравнения Риккати в задачах управления.8

1.1. Уравнение Риккати в теории управления.8

1. Задачи об аналитическом конструировании регуляторов и об оптимальной стабилизации. .8

2. Оптимальный фильтр Каллмана-Быоси.14

1.2. Уравнения Риккати в математической физике.20

1. Краевые задачи и операторы.21

2. Операторное уравнение Риккати в математической физике.25

1.3. Краевая задача Риккати в управляемых системах с распределенными параметрами.27

1. Задачи об оптимальном распределенном управлении.28

2. Интегро-дифференциальная краевая задача Риккати.30

3. Задача оптимизации с управляющей функцией,зави- сящей только от времени.31

4. Бесконечные системы дифференциальных уравнений Риккати.32

5. Построение формального решения краевой задачи Риккати.36

6. Управление системой с неконтролируемыми возмущениями.38

Глава 2. Алгебраическое уравнение Риккати.39

2.1. Общий анализ. Примеры.39

2.2. Уравнение вида Y2 + AY + YB + P = 9.46

2.3. Связь уравнений Риккати с линейными уравнениями.54

Глава 3. Группы, допускаемые матричным уравне нием Риккати, применение теории нелинейных суперпозиций.67

3.1. Матричное дифференциальное уравнение Риккати.67

1. Простейшие свойства уравнения.67

2. Уравнение с постоянными коэффициентами.71

3. Существование решения. .75

3.2. Групповой анализ матричного уравнения Риккати. 78

1. Однопараметрические группы преобразований и их операторы.78

2. Многопараметрические группы и их операторы. . 82

3. Определяющее уравнение. Алгебра Ли.83

4. Интегрирование уравнения Риккати заменой переменных.90

5. Инвариантные решения.96

3.3. Линеаризация матричного уравнения Риккати. . 99

1. Условия линеаразуемости.99

2. Ангармоническое отношение решений уравнения. .104

Заключение диссертации по теме "Дискретная математика и математическая кибернетика"

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты работы.

1. В диссертации проанализированы задачи теории управления, приводящие к матричным дифференциальным и операторным уравнениям Риккати.

4. Получены условия линеаризуемости матричных дифференциальных уравнений Риккати, которые обобщают известный критерий линеаризуемости скалярного уравнения Риккати. С помощью полученных результатов аналитически решена задача оптимального управления движением вращающейся антенны.

7. Полученные результаты применены к решению практических задач теории управления.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Егоров, Михаил Александрович, Долгопрудный

1. Амбарцумян В. А. К вопросу о диффузии отражения света мутной средой // ДАН СССР. — 1943. —Т. 38, № 8. С. 257-261.

2. Андреев Ю. А. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — 424 с.

3. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.383 с.

4. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М.: Изд. АН СССР, 1957. — 519 с.

5. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов.

6. М.: Гостехиздат, 1956. — 334 с.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. — 575 с.

8. Гайшун И. В. Линейные уравнения в полных дифференциалах. — Минск: Наука и техника, 1989. — 254 с.

9. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1962. — 340 с.

10. Герценштейн М. Е., Васильев В. В. Волноводы со случайными неоднородно-стями и броуновское движение в плоскости Лобачевского // Теор. вероят. и ее примен. — 1959. — №4. — с. 424-432

11. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. — М.: Мир, 1965.275 с.

12. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. — М.: ОНТИ, ГТТИ, 1934. — 359 с.

13. Джонсон Б. Л., Вендлинг Д. Е. Передаточные функции и входные импедансы систем трубопроводов, находящихся под давлением // Теор. основы инж. расчетов.1967. — Т. 2. — С. 291-303.

14. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. — 463 с.

15. Егоров М. А. Некоторые свойства матричного уравнения Риккати // Препринт № 147 института прикл. матем. АН СССР, 1990. — 20 с.

16. Егоров М. А. Об одном критерии линеаризуемости матричного уравнения Риккати и некоторых свойствах его решений // Диф. уравнения. — 1993. — № 10.1684-1688 с.

17. Егоров М. А. Уравнение Риккати в функциональных пространствах и некоторые его свойства / / Труды международного семинара " Современный групповой анализ". — Уфа, 1991.

18. Егоров М. A. On group analysis of Riccati equations // Proc. of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000.

19. Егоров M. A. Integration of matrix Riccati equations // Proc. of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000.

20. Егоров M. A. Matrix and operator Riccati equations: symmetries, solutions, linearization // Abstracts of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000. — P. 28.

21. Еругин H. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1970. — 570 с.

22. Журавлев В. Ф., Климов В. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988. — 325 с.

23. Захар-Иткин М. X. Методы численного решения граничных задач для матричных телеграфных уравнений // Электричество. — 1971. — Т. 2. — С. 33-37.

24. Захар-Иткин М. X. Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных преобразований // УМН. — 1973. — Т. XXVIII, вып. 3 (17/1). — С. 83-120.

25. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998. — 350 с.

26. Зеликин М. И. К теории матричного уравнения Риккати // Матем. сборник.1991. — Т. 182, № 7. — с. 970-984.

27. Зеликин М. И. К теории матричного уравнения Риккати // Матем. сборник.1991. — Т. 183, № 10. — С. 87-108.

28. Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. — М.: ИЛ, 1954. — 167 с.

29. Ибрагимов Н. X. Азбука группового анализа // Математика кибернетика. — М.: Знание, 1989. — 8. — 46 с.

30. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа // Математика и кибернетика. — М.: Знание, 1991. 7.-48 с.

31. Калаба Р. Инвариантное погружение и анализ процессов // Общая теория систем. Под ред. М.Д. Месаровича. — М.: Мир, 1966.

32. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М.: Мир, 1977. — 650 с.

33. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 496 с.

34. Красовский Н. Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 475 с.

35. Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ, 1957. — 456 с.

36. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. — 1960. — Т. 21, № 4, 5 ,6; 1961. — Т. 22, № 2,4; — 1962. — Т. 23, № 11.

37. Лидский В. Б. Вопросы спектральной теории, связанные с системой дифференциальных уравнений второго порядка: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. 01.01.02. Моск. гос. ун-т. — М., 1954.

38. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.

39. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М.: Высшая школа, 1982. — 271 с.

40. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 340 с.

41. Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1961.576 с.

42. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 398 с.

43. Овсянников Л. В., Ибрагимов Н. X. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники. Общая механика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — 2. — С. 5.-52.

44. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды, 3. — М.: Наука, 1988. — 342 с.

45. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1978. — 551 с.

46. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.

47. Сагитов М. С. Об одной модификации метода Шура решения матричного алгебраического уравнения Риккати // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 1992. — Т. 32, № 3. — С. 348-357.

48. Сазанов В. В., Тутубалин В. Н. Распределение вероятностей на топологических группах // Теор. вероят. и ее примен. — 1966. — Т. 11, № 1. — С. 3-55.

49. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГТТЛ, 1953. — 468 с.

50. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.

51. Хуа Ло-кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях. — М.: ИЛ, 1959. — 163 с.

52. Brockett R. W. Dinamical systems that sort lists, diagonalize matrices and solve linear programming problems // Proc. 27-th IEEE Conference on Decision and Control.

53. Austin, TX, 1988. — P. 779-803.

54. Bucy R.S. Structural stability for the Riccati equation // SIAM J. Control and Optimization. — 1975. — V. 13. — P. 749-753.

55. Bunse-Gerstner A., Mehrmann V. A symplectic GR like algorithm for the solution of the real algebraic Riccati equation // IEEE Trans. Automat. Control. — 1986. — V. 31.—P. 1104-1111.

56. Byers R. A Hamiltonian-Jacobi algorithm // IEEE Trans. Automatic. Control. — 1990. — V. 35. — P. 566-570.

57. Curtain R.F., Pritchard A.J. The infinite-dimensional Riccati equation for systems defined by evolution operators // SIAM J. Control and Optimization. — 1976. — V. 9.1. P. 950-983.

58. Gibson J. S. The Riccati integral equation for optimal control problems on Hilbert space // SIAM J. Control and Optimization. — 1979. V. 17. — P. 537-565.

59. Laub A. L. A Schur method for solving algebraic Riccsti equations // IEEE Trans. Automat. Control. — 1979. — V. 5, № 24. — P. 913-921.

60. Mycieski J., Paszkowski S. Sur une probleme du calcul de probabilite.i If Studia Math. — 1956. — V. 15, № 2. — P. 134-144.

61. Levin J. J. On the matrix Riccati Equation, // Proc. Amer. Math. Soc. — 1959.1. V. 10, № 4. — P. 519-524.

62. Lie S. Vorlesungen uber differenzialgleichungen mit bekannten infinitesimale trans-formationen. — Leipzig, 1891.

63. Lie S. Beruhrungstransformation Gruppen. — Leipsig, 1893.

64. Ibragimov N. H. Elementary Lie Group Analysis and ordinary differential equations.

65. Chichester, GB, John Wiley к Sons, 1999. — 347 p.

66. Paige Ch., Van Loan Ch. A Shur decomposition for Hamiltonian matrices // Linear Algebra and its Appl. — 1981. — V. 41. — P. 11-32.

67. Paszkowski S. Sur une probleme du calcul de probabilite // Studia Math. — 1953.1. V. 15, № 3. — P. 273-299.

68. Radon J. Uber die oszillationstheoreme der konjugierten punkte beim probleme von Lagrange. — Muncher Sitzungsberchte, 1927. — P. 243-257.

69. Radon J. Zum problem von Lagrange // Abhandlungen aus dem Math. Sem. Hamburg Univ. — 1928. — V. 6. —P. 273-299.

70. Redheffer R. M. Remark on basis of network theory // J. Math, and Phys. — 1950.1. V. 28, № 4. — P. 237-258.

71. Redheffer R. M. On solutions in Riccati equation of the initial values // J. Rat. Mech. Anal. — 1956. — V. 5, № 5. — P. 835-848.

72. Redheffer R. M. The Riccati equation: initial values and inequalities // Math. Ann.1957. — V. 133, № 3. — P. 235-250.

73. Redheffer R. M. Inequalities for a matrix Riccati equation // J. Math. Mech. —1959. — V. 8, № 3. —P. 349-367.

74. Redheffer R. M. Supplementary note on matrix Riccati equation // J. Math. Mech.1960. — V. 9, № 5. — P. 745-748.

75. Redheffer R. M. The Mycielski-Paszkowski diffusion problem // J. Math. Mech. —1960. — V. 9, № 4. — P. 607-621.

76. Redheffer R. M. On a certain linear fractional transformation // J. Math, and Phys. — 1960. — V. 39, № 4. — P. 269-286.

77. Redheffer R. M. The relation of transmission-line theory to scattering and transfer // J. Math, and Phys. — 1962. — V. 41, № 1. — P. 1-41.

78. Reid W.T. Riccati differential equations. — New-York, London: Academpress, 1972. — 216 p.

79. Riccati J. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus // Acto-rium eruditorium quae Lipsiae publicantur. — 1724. — Supplementa 8. — P. 66-73.

80. Shayman M. A. Phase portrait of the matrix Riccati equations // SIAM J. Control and Optimization. — 1986. — V. 24. — P. 1-65.

81. Siegel K. L. Symplectic geometry // Amer. J. Math. — 1943. — V. 65. — P. 1-85.

82. Sternberg R. L. Application of the theory of systems of differntial equations to vibrating bims // Portugaliae Mth. — 1954. — V. 13, № 3.

83. Whyburn W. M. Matrix Differential Equations // Amer.J. Math. — 1934. — V. 54, № 1. — P. 587-592.