Обобщенная задача Н°° оптимизации для непрерывных, дискретных и гибридных линейных систем в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

]' \ ''"> 'и Д 1 з *лАП 1ЯЯ7

о т На правах рукописи

ГУЛЬЧАК Андрей Михайлович

Обобщенная задача Н°° оптимизации для непрерывных, дискретных и гибридных линейных систем в гильбертовом пространстве

01.01.09 — математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1997

Работа выполнена яа кафедре теоретической кибернетики матеыатико-мехаш ческого факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент А.Е. БАРАБАНОВ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.А. БРУСИН, кандидат физико-математических наук, доцент С.М. ХРЯЩЕВ.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет.

ч „ ¿5"„ моя 10П, н

Защита состоится _ ___\С1_ 1997 года в ' ' часов н;

заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертаций на соис кание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственно! университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Бибилио течнаяпл., 2, математико-мехалический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке СПбГУ по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

апгВлр

Автореферат разослан _1997 года

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук, доцент А.й. Шепелявый

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В течение последнего десятилетия большой и неослабевающий интерес проявляется специалистами по теории управления во всем мире к задачам Н°° оптимизации для динамических систем, который подтверждается потоком публикуемых статей и специальных секций на крупнейших международных конференциях. Постановка задачи Н00 оптимизации обладает следующими преимуществами в применении к прикладным задачам: гарантируется грубость решения на классе спектральных возмущений и оптимизируются запасы устойчивости замкнутой системы. С точки зрения теоретической популярность данной постановки состоит в том, что задача допускает эффективный критерий (необходимые и достаточные условия) разрешимости и аналитическое представление самого решения.

Теория 3ю оптимального управления возникла на рубеже 70-х - 80-х годов в работах Дж. Зеймса, М. Сафонова и Дне. Дойла как развитие теории синтеза грубых систем управления. Задача управления была сведена к проблеме равномерного приближения в теории аналитических функций, восходящей к работам П.Л. Чебьттпева, A.A. Маркова, К. Каратеодори, Р. Неванлинны, Г. Пика. Существенный вклад в развитие этой теории был сделан М.Г. Крейном, Д. Сарасоном и 3. Нехари. Их результаты непосредственно использовались в окончательных алгоритмах решения задачи управления линейной стационарной системой дифференциальных уравнений с положительным квадратичным функционалом качества, названной позднее стандартной задачей Н°° оптимального управления.

В 80-е и 90-е годы среди огромного потока публикаций выделим монографию Б. Френсиса о спектральном методе синтеза Н°° оптимальных регуллторов, работы К. Гловера и Дж. Дойла о методе двух уравнений Риккати, статью П.П. Кар-гонекера по синтезу дискретных во времени управлений и, наконец, совместную работу последних четырех авторов о решении стандартной задачи методом уравнений Риккати в пространстве состояний. В отечественной литературе этой тематике посвящены обзорные работы A.C. Позняка, Г.Г. Себрякова, A.B. Семенова, Е.А. Федосова, статья А.Е. Барабанова и A.A. Первозванского о параметризации всех нелинейных решений стандартной задачи, работы В.А. Брусина о бесконечномерных системах управления, И.Г. Владимирова, А.П. Курдюкова и A.B. Семенова об информационных свойствах Н°° оптимальных систем. Среди других подходов к задачам Н°° оптимального управления отметим спектральный метод X. Кимуры и полиномиальный подход Х.Квакернаака.

В диссертации разработан новый метод расчета Н°° оптимальных регуляторов, который применим как к стандартным задачам Н™ оптимального управления, так и к бесконечномерным системам, в том числе со смешанным непрерывно-дискретным управлением. При этом не предполагается положительная определенность квадратичной формы в функционале качества. Задачи Н00 оптимального управления с квадратичной формой общего вида были названы обобщенными, поскольку они не могут быть сведены к минимизации нормы ото бражения от входных переменных к выходным в метрике пространства Харди Н°°. Все известные ранее методы существенно опираются на свойства упомянутого отображения и сопряженного к нему и не могут быть приспособлены для решения обобщенной задачи. Решение задачи в столь общей постановке получено впервые.

Актуальность решения новой, обобщенной задачи Н°° оптимизации продиктована, в частности, последними результатами по 5-процедуре, при помощи которой задачи условной оптимизации сводятся к задачам безусловной оптимизации с новой квадратичной формой, которая может не быть положительной. Таким образом, в рамки обобщенной задачи полностью укладывается новый важный класс задач П°° оптимизации с интегральными квадратичными ограничениями, решение которых в стандартной постановке возможно лишь в некоторых специальных случаях.

Кроме того, задача решается для систем в абстрактном гильбертовом пространстве, поэтому полученные результаты могут быть перенесены на некоторые типы систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, задача оптимизации для которых тоже является актуальной.

Цель работы состоит в решении обобщенной задачи Я™ оптимизации, то есть задачи Н°° оптимизации со знаконеопределенной квадратичной формой в функционале качества, для трех типов линейных объектов управления в гильбертовом пространстве: систем с непрерывным временем, систем с дискретным временем и гибридных (непрерывно-дискретных) систем. Как и в стандартном случае под решением задачи понимается получение необходимых и достаточных условий непустоты множества стабилизирующих 7-субопгимальпых регуляторов при всех 7 > 0 и параметрическое описание этого множества.

Метод исследования. В диссертации используются методы линейно-квадратичной теории с дифференциальными уравнениями Риккати, методы функций Ляпунова и общие свойства линейных операторов в гильбертовом пространстве. Они являются развитием метода двух уравнений Риккати, предложенного К. Гло-вером и Дж. Дойлом, метода В.А. Якубовича решения линейно-квадратичных задач со знакопеременным функционалом качества, метода П.П. Каргонекера анализа гибридных систем при помощи уравнений Риккати со скачками. Методы основаны на базовых свойствах дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, описанных М.Г. Крейном и В.А. Якубовичем.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие новые результаты:

• решение обобщенной задачи Ноптимизации для линейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве;

• решение обобщенной задачи оптимизации для линейных разностных уравнений в гильбертовом пространстве;

• решение обобщенной задачи оптимизации для линейных дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве;

• обобщение теоремы о малом коэффициенте усиления.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты могут быть использованы при решении прикладных задач условной Н°° оптимизации, например, для задач Н°° оптимизации с интегральными квадратичными ограничениями, задач абсолютной устойчивости для конических неливейностей и т. п. Возможно непосредственное перенесение результатов диссертации на линейные системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые принадлежат классу Притчарда-Соломона.

Апробация работы. Результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ; на 3-ем Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложения.", СПб, Рос-

сия, Июнь, 1995; на 3-ей Европейской конференции по управлению, Рим, Италия, Сентябрь, 1995; на 4-ом Международном: семинаре "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности", Орехово-Зуево, Россия, Сентябрь, 1996; на 35-ой Международной конференции по управлению и принятию решений, Кобе, Япония, Декабрь, 1996.

Публикации. Результаты работы отражены в статьях [1-5]. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы на 71 наименование. Общий объем работы составляет 145 страниц.

Краткое содержание диссертации

Первая глава носит, в основном, вспомогательный характер. Большинство понятий заимствовано из конечномерной теории и касающиеся их результаты являются обобщением своих конечномерных аналогов.

Сначала вводится понятие внутренней и внешней устойчивости линейной системы, и понятие допустимого регулятора для линейной системы, основным определяющим свойством которого является внутренняя устойчивость замкнутой системы. После этого доказывается операторная версия теоремы о малом коэффициенте усиления для случая знаконеопределенных квадратичных форм, на основе которой в дальнейшем обосновывается принцип разделения в обобщенной задаче II°° оптимизации. Для ее формулировки введем несколько обозначений.

Пусть II -— гильбертово пространство и Ь С Н — его (замкнутое) подпространство. Обозначим чер**з С(Н —> II) алгебру линейных непрерывных операторов на Н. Пусть А(Н —> Н) — некоторая подалгебра алгебры £.(11 —> II) и В(Н —> Я) — подалгебра А(Н Я), состоящая из тех операторов, для которых подпространство Ь является инвариантным, то есть РЬ С V/3 6 В(II —> Н).

Пусть теперь исходное пространство распадается в произведение двух пространств II — IIт ж Ни и, соответственно, Ь = х Ьи. Рассмотрим операторы

Р = [Л Рг\ € А{Н — Яш) и <2 е Л(Я„ -» Я«).

Определение: Пара (Р, СЦ) называется хорошо обусловленной и ¿-устойчивой, если определен оператор

и он принадлежит В(Н —> II).

Теорема 1 Рассмотрим систему г = Р¡ш + Р2у, V = фг, где Р = [Р1 Р2] € В(Н —» Я»), Я £ А(Нт —» Я«). Предположим, что Р2 есть оператор сжатия и оператор

дмг тех из 6 Н1Л1 при которых имеет смысл данное выражение, то есть при которых существует релление системы г = г(ш) и V = и(ю). Тогда следующие утверждения равносильны.

{1-Р*ЯУ1 (1~Р20)-1Р2\ (ЗУ-РЯГ* (/-(ЗРз)-1 )

(1) Пара (Р, Q) является хорошо обусловленной и L-устойчивой и

sup F(w,v) < 1; i»i<i

(2) Q € В{Ни - #«) « HQII < 1.

Данная теорема составляет основную часть принципа разделения для обобщенной задачи Н°° оптимизации, при помощи которого задача сводится к стандартной. В конце первой главы рассматриваются и обсуждаются некоторые частные случаи стандартной постановки задачи и доказывается их эквивалентность, ввиду которой, как доказано в следующих главах, для решения обобщенной задачи оптимизации оказывается достаточным решение одного из этих частных случаев, а именно, задачи при полном наблюдении.

Вторая глава содержит решение обобщенной задачи оптимизации для систем, динамика которых описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами1 в некотором гильбертовом пространстве. Отказ от положительной определенности квадратичной формы в функционале стоимости делает невозможным обобщение распространенного подхода, основанного на использовании операторов Ганкеля-Теплица. Более того, в этом случае для исходной задачи нет эквивалентной двойственной постановки, наличие которой делает результат более симметричным.

Рассмотрим следующий линейный стационарный обьект управления, который описывается дифференциальным уравнением:

Г ¿(f) = Ax(i) + Bww(t) + Buu(t), i€[0,+oo), [ V(t) = Cx(t) + Dw(t), l1)

где i — состояние, w — возмущение, u — управление, у — измерение. Предполагается, что в каждый момент времени f эти переменные принадлежат вещественным гильбертовым пространствам X, W, U и К, соответственно. Все операторы, входящие в уравнение, предполагаются линейными и ограниченными2.

Обобщенная задача оптимизации состоит в параметризации всех допустимых регуляторов, для которых значение функционала качества не превышает некоторого наперед заданного уровня 7

ЛЧ0)= SUP ЛО,г(-).Ч-).«(0)<7г, (2)

IM-)lb<i

где функционал Jr(a:,a:(-),uj(-),u(-)) имеет вид

Я*,*(■).«>(■).«(•)) = ( F(x(t),w{t),u(t))\x^ dt, (3)

Jo

( X у ( Fx FIW Fxu \ / х\ F(x,w,u) = I 10 J I Fmx Fw Fw J I to I , (4)

Vй/ Fu J \ u J

'Предположение стационарности сделано исключительно из соображений простоты изложения. Результаты первой главы остаются справедливыми и, например, для систем с периодическими операторами, если в формулировке результата алгебраические уравнения Риккати заменить на их дифференциальные аналоги.

'Данное условие может быть ослаблено на случай некоторых неограниченных операторов, а именно, если предполагать, что система (1) является системой Притчарда-Соломона. Однако такое ослабление требует больших технических затрат и затемняет основную идею доказательства.

причем оператор квадратичной формы Р предполагается ограниченным и самосопряженным.

Основной аппарат доказательства основал на стабилизирующих решениях уравнений Риккати.

Определение-. Пусть 2 — гильбертово пространство. Ограниченный оператор X: 2 —» 2 называется стабилизирующим решением алгебраического уравнения Риккати

А'Х + ХА + ХЯХ + Я^О, (5)

где операторы А: 2 2, Я = Я': 2 —> 2, = <3": 2 2 являются ограниченными, если он удовлетворяет уравнению, самосопряжен, и оператор А + КХ является устойчивым.

Известно, что решение алгебраического уравнения Риккати связано с инвариантными подпространствами соответствующего ему гамильтониана. Множество всех гамильтонианов, для которых уравнение Риккати имеет стабилизирующее решение, обычно обозначается ¿от(Шс), а соответствующее гамильтониану решение — Шс(-).

Введем следующие обозначения.

1гт = н2+(_)г,-1 (Д1) ,хаа = тс(11с„),

П = ИТ-1!)-, Т = -Т-'П-Ь^БТ-1, Т2 = я, -п2 = В^ТР^, 52 = Рги + Х„Ви - С'П-'ОТ-^^ + (Д, + Х^^ТР^, А = А + ДДГЧЙ! + Х^У, С=С + ЛТГЧЯ! + Х^)*, (к--стп~Лт?В1 -с'й^с \ 1/2 - V -д^гв; -А + В^О'З^С) '

= Л + ( Д ) Г,-1 ,У2 = 1ВД), к» = Шс(7оо).

Сформулированная выше задача решена при следующих предположениях:

(А1) оператор Х> является оператором "на";

(А2) пара (А — В,иО"(ВО")~1С, В^Р^о) стабилизируема;

(АЗ) выполнено условие строгой положительной определенности функционала качества на суммируемых с квадратом решениях системы с нулевыми начальными данными и ш(-) = О

Зе > 0 : Я0,х(-),0,и(.)) > е(||*(.)|8 + НОШ)- (в)

Все эти предположения наследуются из стандартной задачи оптимизации для конечномерных систем управления. Последнее предположение является необходимым и достаточным условием для существования оптимального регулятора при всех начальных данных в соответствующей линейно-квадратичной задаче.

Теорема 2 Пусть выполнены, условия (Al)-(AS). Тогда для существования допустимого регулятора и(-) = Ку(-), обеспечивающего заданный уровень функционала качества (£) J(u{-)) < 7' необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий

(1)Тх-> 0, Нг,Ноо 6 dom(Ric) и Хж > Х2; (&) Т2 » О, J2, JM € dom(Ric) «Ум> У2.

Более того, при выполнении этих условий множ-ество всех допустимых регуляторов, дающих уровень 7, допускает следующую параметризацию:

¿(0 = (Л - + BIX^ + FuwTr\R! + Хе^ПЖО -

- (BuF~lFuwTïlD' - BWT~XD" - YxC-)D'l(y(t) - Cx(t)) +

+ (BaF:\Tl'y + (R2 + YcaS2)(T-1/2y)Û(t),

u(i) = -F-\FUI + B-uXx + F,wTîl{Ri + Х^ГЖО -

- F~l FUWT{1 D'D'1 (y(t) - Cx(t)) + K\TÏ/2yû(t),

y(t) = î>-1/2(y{t) - Cx(t)),

fi(-) = <Ж0,

где параметр Q:L2+(Y) —» L7+(U) есть произвольный линейный дробно-рациональный неупреждающий оператор, который коммутирует с оператором сдвига по времени и ||Q|| < 1.

Сравним полученные необходимые и достаточные условия разрешимости со стандартными. Условие существования стабилизирующих решений уравнений Рик-кати для Я,*, и Jco полностью аналогично соответствующему условию в стандартной задаче. Разница лишь в самих уравнениях Риккати. Коэффициент при квадрате и свободный член в новых уравнениях Риккати оба являются знаконе-определешшми, тогда как в стандартной задаче таковым был лишь один. Это на первый взгляд небольшое различие оказывается очень значительным при доказательстве разрешимости уравнений. Действительно, уравнение Риккати с одним знакоопределенным членом соответствует линейно-квадратичной задаче и для его разрешимости необходимо и достаточно выполнения частотного условия. В нашем случае нет такого простого критерия, и для доказательства разрешимости пришлось разрабатывать специальные методы. Условие ограниченности решения снизу в смысле квадратичных форм > Х2 сильно отличается от соответствующего условия в стандартной задаче, где требовалась лишь его неотрицательность Хх > 0. Даже простые примеры показывают, что последнее условие может нарушаться в случае знаконеопределенных функционалов качества.

Основные этапы доказательства аналогичны по смыслу имеющимся решениям стандартной задачи (хотя методика совершенно различна). Сначала решается поставленная задача при условии полного наблюдения (Full Information) у — col(x,tu), после чего при помощи теоремы разделения исходная задача разбивается на две подзадачи, первая из которых есть задача при полном наблюдении, а вторая является задачей оценивания выхода (Output Estimation), который является оптимальным управлением для первой задачи. Доказательство завершается теоремой двойственности, в которой утверждается эквивалентность задач FI и ОЕ. Таким образом, по сути решение исходной задачи есть двойное применение результатов для случая полного наблюдения.

В третьей главе приводится решение аналогичной задачи для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Рассматривается следующий линейный стационарный объект управления, описываемый системой разностных уравнений:

Г х(к + 1) = Ах(к) + В^{к) + Вии(к),

\у(к) = Сх(к) + Вю(к). V)

Предполагается, что в каждый момент дискретного времени к векторы состояния системы х(к), управления и(к), возмущения ю(к) и наблюдения у(к) принадлежат вещественным гильбертовым пространствам X, £/, IV и У, соответственно. Операторы А:Х -> X, Вю: IV -> X, Ви-М -* X, С:Х являются

линейными и ограниченными.

Обобщенная задача Н°° оптимизации состоит в нахождении всех допустимых регуляторов и(-) = Ку(-), которые обеспечивают заданный уровень 7 функционала качества ./(«(•))> определенного в (2), где

«*).«(•)) = 2 *•(*(*). «>(*), «(*)) ко)=х, ¿=0

а Р(х, и;, и) определена в (4). Предполагается, что оператор квадратичной формы Р является ограниченным и самосопряженным.

Определение: Пусть — два гильбертовых пространства. Ограниченный оператор X: 2 —► 2 называется стабилизирующим решением алгебраического уравнения Риккати

А'ХА -Х- (А'ХВ + д)(Л + ВтХВ)-1(В'ХА + д') + <5=0, (8)

где А, ф: 2 —2, В, д: 2' —> 2 и В.: 2' —* 2' являются ограниченными, если оператор К + В'ХВ обратим, X удовлетворяет уравнению и самосопряжен, и оператор А - В(П + В'ХВ)~г(В'ХА + д') является устойчивым.

Задача решается при тех же предположениях (А1)-(АЗ).

Введем в рассмотрение следующие алгебраические уравнения Риккати

А'Х2А - Л'2 + РГ- = 0, (9)

А'Х^А-Хсь+Р:-^ Я1,)ВГ1 =0,

где = = В:Х2А + <эи = р» + в:х2ви,

^ Щслп = В^А + Рюп = -^хи ~ АДсоА + Рих,

Обозначим дополш1тельно = П^чН'1 В^ — Дш,

(10)

(12)

и рассмотрим еще два алгебраических уравнения Риккати

АУ2А' - У3 + В„Р-*В: - Т„Г-1Г« = 0, (11)

АУ^А- -Ую + В„Р-ГВ: - ( 5ХУ) 5хи) 5"1 ( ) = О,

где Т^ = Т^ = СУ2А- + ПР-1В^ Ти = ВР~1В' + СУ2С',

Л _ ( ЯишР^Я™ - Ви Яи^в' \

ВР-1^ ВР-'В' )

+

Имеет место следующий результат.

Теорема 3 Пуст.» выполнены предположения (А1)-(АЗ). Тогда для существования допустимого регулятора и(-) = Ку(-), обеспечивающего уровень 7 функционала качества (&), необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.

(1) • существует стабилизирующее решение Х2 уравнения Риккати (9) и >> 0; в существует стабилизирующее решение X& уравнения Риккати (10) и Рш = Лип.Д-1^«, - В^, » 0;

• Хоо > Х2;

(2) • существует стабилизирующее решение У2 уравнения Риккати (11) и Ти >• 0;

• существует стабилизирующее решение У^ уравнения Риккати (12) и Рш = 5ши5и ^ 0;

• Уоо > Уг.

При выполнении атих условий множество всех допустимых регуляторов, гарантирующих заданный уровень функционала качества, имеет следующее параметрическое представление:

¿(к +1) = (А-(В. + +

+ (^(ДУ2)-1 - АШ*)(Р,№(*:), «(*) = -(А- - *..*«)*(*) - (Л1'2Г1к1Мк) - Сх(к)) + (Н1/2Т\Р1,2Уй(к),

№ = ^ш-СхЮ), Ч-) = <Ж-),

где Л„г = Л„1Дих, Лиш = И^1!^^,, = Р^ {ЯшпВ^1 Вих — Вых)>

и параметр (¿:£2+(}¥) —► £2+(и) ест» произвольный линейный дробно-рациональный кеупреждающий теплицев оператор с ||<5|| < 1.

Последняя четвертая глава посвящена решению обобщенной задачи Н°° оптимизации для гибридных систем, а именно, для систем с непрерывным временем и дискретными наблюдениями, поставляемыми периодическим квантователем. Данная задача является новой по многим параметрам, поскольку до сих пор в литературе встречались лишь стандартные задачи Н°° оптимизации для конечномерных стационарных систем.

Математический аппарат решения задачи не выходит за рамки разработанного в предыдущих главах подхода, и является хорошим примером его успешного перенесения на нестационарный случай, где частотные методы уже не работают. В полной мере специфика гибридных систем проявляется в наличии у дифференциальных уравнений Риккати скачков в точках квантования выхода.

В отличие от существующих подходов доказывается, что существуют периодические стабилизирующие решения дифференциальных уравнений Риккати, при помощи которых и оказывается возможным дать параметризацию всех субоптимальных допустимых регуляторов.

Рассмотрим следующий объект управления

Г i{t) = A(t)x(t) + Bw(tMt) + Ba(t)u(t),

\ у{к) = Cx(kh) + Dvik), К >

где h > 0 — фиксированный период квантования и при всех t € [0,+00), к € Z+ вектор состояния x(t), управления u(t), внешнего возмущения w(t), наблюдения у(к) и шума измерения rj(k) принадлежат вещественным гильбертовым пространствам X, U, W, Y и Н соответственно. Операторная функция Л(-) предполагается А-периодической и суммируемой на [0,/г], а Вт и Ви А-периодическими и существенно ограниченными на [О, Л]. Операторы С и D предполагаются ограниченными.

Для определения допустимого регулятора для таких систем рассмотрим операцию лифтинга. Лифтингом называется линейный оператор Wh, который каждой функции /(•), заданной на интервале [0, +оо) ставит в соответствие последовательность ее сужений на промежутки [kh,(k + 1)А], то есть

f(t), t € [о, +00) {/(¿), t е [kh, (к + i)h]

При помощи лифтинга моясно определить понятие /i-теплицевого оператора. Определение: Линейный оператор Т

1. из пространства функций в пространство последовательностей,

2. из пространства последовательностей в пространство функций,

3. из пространства функций в пространство функций

называется А-тешшцевым, если оператор 1. TW^1, 2. W/,T, 3. W^TW^1 является тешпщевым.

В данной главе рассматриваются допустимые регуляторы и(-) = Ку(-), которые являются дробно-рациональными неупреждающими А-теплицевыми операторами, то есть операторами, которые имеют следующее представление

Г 9(fc + l) = AKq(;k)+BKy(k), • I №«(-))(*) = CKq(k) + DKy(k),

где фазовый вектор принадлежит вещественному гильбертовому пространству С}, все операторы являются ограниченными, причем Ск'-Я -+.£2[0,Ь](и) и Бк'У —► ¿2[0, Л](1/), и реализация предполагается минимальной.

Обобщенная задача Н00 оптимизации состоит в параметрическом описании множества всех допустимых регуляторов, обеспечивающих уровень 7 функционала качества

Л«(-))= вир {ЯО,*О.Ч),«(0)11К-)Иа + Ш1»<1}<-72, ,(")

где ^г(а;,а;(-),ад(-),11(-)) определен в (3). Обозначим Д(0 =

и рассмотрим следующее гамильтоновое

дифференциальное уравнение

= (15)

которое может быть переписано как дифференциальное уравнение со скачками

Ф (АА+) = ^)ф(И-), Ф(0) = /,

где используется обозначение = Нше—оФ^ ± с). Рассмотрим также следующее уравнение Риккати со скачками

*(0 + А(г)-Х(1) + ХЦ)Щ + хщъущг) + 0(0 = о,

Х(кк+)-Х{кк-) + Х(к^)1{2Х{кк-) = 0, . >

где Л(-), 7?1(-) и <Э(-) есть Л-периодические операторные функции,. причем А(-) интегрируема на [0,Л], а и существенно ограниченны на [0,Л], =

И^)', С}{1) = (¿^У при всех i £ [0, Л], а. В.2 = Щ есть ограниченный оператор. Определение: Будем говорить, что кусочно-непрерывная функция Х(-) есть стабилизирующее решение уравнение Риккати со скачками (16), если А'(-) периодична с периодом /¡, удовлетворяет уравнению (16) при всех I 6 [0,+оо), является самосопряженным оператором при всех 4 6 [0,-|-оо), и система

Г ¿(0 = (Л(0 + Д1(0Х(0М0, ,17ч

\ = (/ + Д2Х(а-))х(^-), ^^

является устойчивой.

Множество всех гамильтонианов, для которых соответствующее уравнение Риккати со скачками имеет стабилизирующее решение, будем обозначать по прежнему с1от(Шс).

Обозначения для и Я«, приводятся на странице 7. Обозначения для гамиль-тоновых операторов и •/„, двойственной задачи даменяются на следующие.

Та := Д. — ДииЗ^'Д»:= + Х<хВи + (Д] + Хто51 ^¡""'Д™,

В.? — А = А 4- ВШТ11(К1 + Х^БгУ,

Задача решена при следующих предположениях: (Al) DD" = I;

(А2) непрерывная система (А,ВЮ) стабилизируема; Предположение (A3) остается тем же.

Теорема 4 Пуст» выполнены условия (Al)-(AS). Тогда для существования допустимого регулятора, ы(-) = Ку(-), обеспечивающего данный уровень f функционала качества jT(u(-)) < -у2, необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

(1) Vf € [О, А]: Г](г) > 0, H2(t),Hm(t) 6 dom(Ric) ti XTO(i) > X2(i);

(2) Vi £ [0,A].* r2(i) > 0, J2(-i), Joo(-i) e dom(Ric) « Гто(г) > Ylit).

Если smu два условия выполнены, то множество всех допустимых регуляторов, обеспечивающих уровень 7 допускает следующее представление:

£ = {A-B^SDx + {BuF;\Tl'7y + {R2 + rj52)(T-1/2)-)u, £(kh+) = £(kh-) + Y-C'(y(k)-Cx(kh-)), « = -F-'^'i + F:\Tl1'2)-й,

y{k) = [(J+ СТ£С")1'2Г,(»(*)-«(**")). ¿(0 = Qy(-)

где Y^{t) — Y^—t) и параметр Q:(?+(Y) —> L7+(U) есть произвольный линейный дробно-рациональный неупреждающий h-теплицев оператор, удовлетворяющий условию ||£2Ц < 1.

Публикации по теме диссертации

[1] Barabaaov А.Е., Ghulchak A.M., II00 optimization problem with sign-indefinite quadratic form, Systems and Control Letters, Vol. 29 (1996), 157-164.

[2] Ghulchak A., H°° Optimization Problem with Sign-Indefinite Quadratic Form, Proc. 3d Europ. Contr. Conf., September 5-8, 1995, Roma, Italy, vol. 1, 207-211.

[3] Ghulchak A., Parametrization of All Suboptimal Controllers in Generalized H00 Sampled-Data Control Problem, Proc. 35th Conf. Decision Contr., December 11-13, 1996, Kobe, Japan, 434^39.

[4] Ghulchak A., Parametrization of All 7-Suboptimal Controllers in H°° Sampled-Data Control Problem, Abstracts of the Fourth International Workshop "Multiple Criteria and Game Problems Under Uncertainty", September 8-14, 1996, Orehovo-Zuevo, p. 33.

[5] Барабанов A. E-, Гульчак A. M., Равномерно-частотная оптимизация с квадратичной формой общего вида, Тезисы докладов 3-его Международного семи-

нара "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их прило-

жения.", Санкт-Петербург, 1995, часть 2.