Характеристические кольца Ли интегрируемых дифференциально-разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САКИЕВА Альфия Ураловна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ

УРАВНЕНИЙ

005047929

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 ч яна т

Уфа - 2012

005047929

Работа выполнена в:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт математики с вычислительным центром"УНЦ РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Исмагил Талгатович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Газизов Рафаил Кавыевич; кандидат физико-математических наук, доцент Картак Вера Валерьевна

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится 25 января 2013 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан J. / декабря 2012 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, , л>

кандидат физико-математических наук J/7 C.B. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию интегрируемых дифференциально-разностных уравнений вида

+ 1, х) = fix, t(n, x),t(n + l,x), ^í(n, х)) . (1)

Здесь t = t(n,x) - искомая функция дискретного переменного п и непрерывного переменного х. Предполагается, что функция / = f{x, t, ti, tx) является локально аналитической, и не равна нулю тождественно.

Уравнения и системы уравнений вида (1) встречаются в конформной теории поля1 и других разделах физики. Последовательное применение преобразования Бэклунда к интегрируемому уравнению в частных производных порождает дифференциально-разностные уравнения вида (I)2. Отметим, что в знаменитом эксперименте Ферми-Паста-Улама, предшествовавшем открытию солитона, также исследовалась динамическая система, описываемая дифференциально-разностным уравнением.

В научной литературе существует несколько подходов к определению интегрируемости. В данной работе под интегрируемостью мы понимаем интегрируемость по Дарбу. Напомним, что уравнение в частных производных гиперболического типа

иху = f{x,y,u,ux,uy) (2)

называется интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные аг-интеграл и п-интеграл.

Определение 0.1. Функция W(x,y,u, иу, ...,dku/dyk) называется х-интегралом порядка к для уравнения (2), если DXW = 0 и 0.

'R.Inoue, K.Hikami, The lattice Toda field theory for simple Lie algebras: Hamiltonian structure and T-junction. Nuclear Physics В 581 [PMI(2000)761-775.

2A. P. Veselov and A. B. Shabat, Dressing chains and the spectral theory of the SArodingcr operator, Functional Analysis and Its Applications, 1993, 27:2. 81-96.

D. Levi, Nonlinear differential difference equations as BEacklund transJoTmations, J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098.

Определение 0.2. Функция W(x, у, и, их, ихх,..., дти/дхт) называется у-интегралом порядка то для уравнения (2) если DyW = 0 и Wdmnidxm ф 0.

Здесь Dx и Dy- операторы полного дифференцирования по переменным X и у соответственно.

Наиболее известный пример уравнения гиперболического типа, интегрируемого по Дарбу, - уравнение Лиувилля иху - еи, интегралами которого являются функции W — иуу - 0.5иу2 и W = ихх - 0.5их2. Гиперболические уравнения занимают важное место в теории интегрируемости. Эффективным методом изучения этих уравнений является подход, основанный на понятии так называемого характеристического кольца.

Понятие характеристического кольца Ли впервые появилось в работе Гурса3, где оно было использовано для решения задачи классификации уравнений гиперболического типа, имеющих нетривиальные интегралы по обоим направлениям. В современном контексте теории интегрируемости понятие характеристического кольца было переоткрыто в работах А.Б.Шабата, Р.И.Ямилова, А.Н.Лезнова, В.Г.Смирнова4. Это направление получило дальнейшее развитие в работах А.В.Жибера, Ф.Х.Мукминова, Р.Д.Муртазиной, A.A. Бормисова, Е.С. Гудковой5.

Позже было введено понятие характеристического кольца Ли для дифференциально-разностных и полностью разностных уравнений,что позволило провести классификацию дифференциально-разностных уравнений

3Goursat Е. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2' série, tome 1. n° 1 (1899) p.31-78.

<Ша6ат А.Б.. Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I ы матрицы Картина /7 Препринт

БФАН СССР, Уфа.-1981.-23 е.,

Лезяов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем /./ Теоретическая и математическая физика.-1982.-Т.51.-М. 1.-С.10-22

5 A.A. Бормисов, Е.С. Гудкова, Ф.Х. Мукминов, Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати//Теорет. п мат. физика, 1997, т. 113, N. 2, с. 261-275.

Жибер A.B., Мукминов Ф.Х.Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа:БНЦ УрО АН СССР,-1991.-С.14-32

Жибер A.B., Муртаэина Р.Д.О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник yrATY.-2006.-X7.-N. 2.-С.131-136

вида tix — tx + d(t, <i) имеющих интегралы по обоим направлениям6.

Целыо работы является исследование класса уравнений вида (1) с помощью характеристических колец Ли.

Методы исследования. В работе применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Структура интегралов для гиперболических уравнений в частных производных была исследована в работах А.В.Жибера, а для дифференциально-разностных уравнений эта задача решена в диссертации.

2. Необходимое и достаточное условие существования нетривиального n-интеграла дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа в терминах характеристических алгебр Ли было известно ранее, для х-интеграла это условие доказано в диссертации.

3. Известны различные способы дискретизации интегрируемых уравнений: с помощью преобразования Бэклунда, метод дискретизации Хироты-Кимуры и др.. которые имеют свои области применимости. В диссертации разработан метод дискретизации с сохранением интегралов, который эффективен в случае интегрируемых по Дарбу гиперболических уравнений.

4. Полное описание базиса характеристической алгебры уравнения синус-Гордон было получено A.B. Жибером и Ф.Х. Мукминовым в 1991г. Для уравнения Цицейки эта задача решена в диссертации

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут иметь применения в исследовании интегрируемости нелинейных уравнений и систем гиперболического типа и их дискретных аналогов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались к об-

б1. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan, On the classification of Darboux integrable chains, Journal of Math. Phys., 49, Issue: 10, 102702 (2008)

суждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященная 110-летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2011).

2. VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова (Уфа, 2011).

3. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании "(Уфа, 2011).

4. Международная конференция "Спектральная теория операторов и ее приложения посвященная памяти профессора А.Г.Костюченко (Уфа, 2011).

5. Семинар по дифференциальным уравнениям математической физики ИМВЦ УНЦ РАН под руководством Л.А.Калякина и В.Ю.Новокшенова (Уфа, 2011).

6. Семинар по динамическим системам ИМВЦ УНЦ РАН под руководством проф. А.В.Михайлова, проф. А.В.Жибера, проф. И.Т.Хабибуллина (Уфа, 2010, 2011, 2012)

.Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, из них статьи [1]-[4] опубликованы в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 64 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Введем необходимые обозначения и определения. Нижний индекс обозначает сдвиг дискретного аргумента:

tk = t(n + k,x),k в Z, либо производную по переменной х:

= tx- —f(n,x),

<i2 , X

t[ 2] = txx — dm

В данных обозначениях мы может записывать уравнение (1) в более краткой форме:

tlx = f(x,t,ti,tx). (3)

Введем набор динамических переменных, состоящий из

—оо'

т=1'

Переменные вида ^t(n + т) можно выразить через динамические переменные в силу уравнения (3). Например,

= f(x, tu t2, hx) = f{x, tu t2, f(x, t, tu ix))-

При этом сами динамические переменные рассматриваются как независимые переменные.

Обозначим через D оператор сдвига по п, например,

Dh(n,x) — h(n+ 1,х).

Пусть Dx обозначает оператор полного дифференцирования по х.

Определение 0.3. Функции I и F, зависящие от х,п и конечного числа динамических переменных, называются, соответственно, п- и х-иптегралами уравнения (1), если DI = / и DXF — 0 . 7

Очевидно, что любая функция, зависящая только от п, является х-интегралом, и любая функция, зависящая только от х, является n-интегралом. Такие интегралы называются тривиальными интегралами. Заметим также, что любой n-интеграл I не зависит от переменных im, то € Z\{0}, и любой i-интеграл F не зависит от переменных i[m], m е N.

7V. Е. Adler, S. Ya. Startsev, On discrete analogues о] the Liouville equation, Teoret. Mat. Fizika, 121, no. 2, 271-284 (1999), (English translation: Theoret. and Math. Phys. , 121, no. 2, 1484-1495, (1999)).

Определение 0.4. Уравнение (1) называется интегрируемым по Дарбу, если оно допускает нетривиальный п-интеграл и нетривиальный х-интеграл.

В параграфе 1 главы 1 доказаны теоремы о структуре х- и п-интегралов уравнения (1). А именно доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.1. Предположим, что уравнение (1) допускает нетривиальный п-интеграл. Тогда для любого нетривиального п-интеграла ¡"(х, п, £, ¿х,..., ¿щ) наименьшего порядка и для любого п-интеграла I имеем

1 = ф{х,Г,ОхГ,1%Г,...), (4)

где ф-некоторая функция.

Теорема 1.2. Предположим, что уравнение (1) допускает нетривиальный х-интеграл. Тогда для любого нетривиального х-интеграла F*(x, п, ¿1,..., ¿ж) наименьшего порядка и для любого х-интеграла F имеем

*■ = £(»», Г', £>Г*,£>аР-,...), (5)

где некоторая функция.

Также в параграфе 1 доказаны теоремы о существовании интегралов в каноническом виде, удобном для дальнейших исследований и классификации.

Теорема 1.3. Среди всех нетривиальных п-интегралов 1'(х, п. ..., Цщ) наименьшего порядка с к > 2 существует п-интеграл 7°(х, п. I, и,..., ¿щ) такой, что

1°(х, п, ¿, 1Х,..., Цк]) = а(х, п, + Ь(х, п, £х,..., .

(6)

Теорема 1.4. Среди всех нетривиальных х-интегралов Р*(х, п, ¿1,..., Ьт) наименьшего порядка с т > 1 существует х-интеграл F0(z, п, ¿, ■ ■ ■, ¿т) такой, что

Для того, чтобы сформулировать основной результат параграфа 2, определим характеристическое кольцо Ли по направлению х для уравнения (1). Применим к уравнению (1) оператор сдвига D~l, получим

£t{n,x) = /(x,t(n- l,x),t(n,x),±t(n- l,x)).

Согласно предположению, что ф О, учитывая последнее равенство, мы можем записать (хотя бы локально) цепочку (1) в форме

tx(n - 1,х) = g(x,t(n,x),t(n - 1, а:), ¿^(тг,а:)). (8)

Так как х-интеграл F не зависит от переменных Цщ, к 6 N, т.е.

F = F(x, n, t, tu t-1, t2, t-2,...),

то уравнение DXF = 0 можно записать в виде К F = 0, где .. д дгд д , д д

Также так как F не зависит от tx, то XF = 0: где X = -щ-.

Рассмотрим линейное пространство над полем локально аналитических функций, зависящих от конечного числа динамических переменных, натянутое на всевозможные коммутаторы векторных полей К и X. Это множество замкнуто относительно трех операций: сложения, умножения на функцию и коммутирования двух элементов. Следовательно, любое векторное поле из кольца Ли, порожденного К и X, обращает в нуль F.

Определение 0.5. Кольцо Ли над полем локально аналитических функций, порожденное операторами К и X, называется характеристическим кольцом Ли Lx уравнения (1) в направлении х.

В параграфе 2 диссертации доказан критерий существования нетривиального г-интеграла для уравнения (1) в терминах характеристических колец Ли.

Теорема 1.5. Уравнение (1) допускает нетривиальный х-интеграл тогда и только тогда, когда его кольцо Ли Lx конечномерно.

Поскольку в кольце общего вида нет понятия линейной независимости, то необходимо уточнить, что понимается под размерностью. Пусть кольцо

Lx является конечно-порожденным модулем, т.е. существует конечная база состоящая из элемнтов Z\, Z2, •■•, -2/ь так, что произвольный элемент У £ Lx может быть представлен в виде линейной комбинации вида

V = rlZ1 + r2Z2 + ... + rkZk.

Может оказаться, что операторы Z\, Z2,..., Zk не являются линейно независимыми, т.е. из равенства X\Zi + X2Z2 + ... + XkZk = 0 не следует, что Ai = Аг = ... = Ат = 0. Заметим, что все функции A^.-.jAfe являются локально-аналитическими функциями от конечного числа динамических переменных. Поэтому можно выбрать достаточно малую область U, в которой каждое из Xj либо тождественно равно нулю, либо отлично от нуля всюду в U. Поэтому в этой области можно выбрать базис, а следовательно и определить размерность линейного пространства.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию дифференциально-разностных уравнений специального вида

tlx = tx + d{t,tx). (10)

В работе И.Т.Хаблбуллина, Н.А.Желтухиной, А.Пекчан8 был получен список всех интегрируемых по Дарбу уравнений вида (10), который содержится в следующей теореме.

Теорема 2.1. Уравнение (10) допускает нетривиальные х- и п-интегралы тогда и только тогда, когда d(t,ti) принадлежит одному из следующих классов: (а)

t.lx = tx +Aih-t), (11)

где A(ti - t) задается неявно A(h - t) - jgP{9), h ~ t = Р(в), с Р(в), являющейся произвольным квазиполиномом, т.е. функцией, удовлетворяющей обыкновенному дифференциальному уравнению

pw+v = +... + + до р

8I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan, On the classification uf Darbuuz integrable chains. Journal of Math. Phys., 49, issue: 10, 102702 (2OOS).

с постоянными коэффициентами /ijt, 0 < k < N,

(b)

fix = tx + Ct(tl - t2) + C2(ii - t), (12)

(c)

in = tx + \J Сзе2"'1 + С4е°в+'> + Сзе2"', (13)

(d)

tu = tx + Cs(eatl - eat) + C6(e-Qtl - e"ai), (14)

где а ф О, С,-, 1 < i < 6, произвольные константы. Более того, некоторые нетривиальные х-интегралы F и п-интегралы I в каждом из этих случаев имеют вид

i) F = х — ftl~* I = L(Dx)tx, где L(DX) - дифференциальный оператор, который обращает в нуль jgP{ß) где Охв — 1.

iii) F = arcsinh(ae°''+ b) + arcsinh(aea(-h~^ + 6),

а = 2Сз/у/4с| - 4, Ь = С4/^4с§ - 4 / = 2txx - at\ - аС3е2"<,

ivl F - (е°'-е°'г)(е«'1-е°'з) , r t r t

В параграфе 5 главы 2 для интегрируемых по Дарбу уравнений вида (10) построены решения с помощью их интегралов, основной результат содержит следующая теорема.

Теорема 2.2. (а) Явное решение уравнения (11) выражается формулой

п-1

t(n,x) = t(0,x) + J2R(x + pj)' (15)

j=0

где i (Ü, х) и Pj - произвольные функции переменных х и j соответственно, и А(т) = R'(0), ti-t = R{6).

(b) Явное решение уравнения (12) выражается формулой

_ ly"{x) Со <S(x) t{x'П) ~ ~2Ш + Т + <р{х) + К{пУ (16)

где ф = ф(х) - произвольная функция, зависящая от х, Рп - произвольная функция, завтсящая только от п .

(с) Явное решение £(п, х) уравнения (13) удовлетворяет равенству

«*(„,») __ц'(х){Яг{Рп~Рп+1)) _

6 + (Рп + Рп+х) + Лз(Рп - Рп+х))2 - С^Рп - Рп+1))2 '

(17)

где 7?! = 2а/т/2С3 + С4, = у/2С3 - С4/г/2С3 + С4, р. и Рп - произвольные функции, зависящие от х и п соответственно.

(¿) Уравнение (Ц) не допускает какой-либо явной формулы для общего решения в виде

Рп+1, • • • 5 Рп+тп )• (18)

Однако, уравнение (Ц) допускает общее решение в более сложной форме:

4 + -аС^(х) + К(п)У 1Ь)

где функция ф есть решение уравнения

ф' + аСъф2 - С6а = аС5ф^~.

Известно, что задача построения дискретных аналогов и предельный переход от дискретных уравнений к непрерывным является сложной задачей, эта задача рассматривалась, в частности, в работе Л.А.Калякина9. Существуют различные способы дискретизации интегрируемых уравнений: дискретизация с помощью преобразования Вэклунда10, метод дискретизации Хироты-Кимуры11, гамильтонов подход к дискретизации12 и др., которые имеют свои области применимости. Параграф б главы 3 посвящен исследованию задачи дискретизации уравнений в частных производных

9L. A. Kalyakin, Asymptotic transitions from discrete to continuous models, Theoretical and Mathematical Physics, V.76, N.3, pp.891-894, DOI: 10.1007/BF01016850.

10D. Levi, Nonlinear differential difference equations as BÉacklund transformations, J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098.

"Hixota R., Kimura K. Discretization of the Euler top// J. Phys. Soc. Japan, 69, 627-630, 2000.

12Yu. B. Suris, The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach, £003

гиперболического типа, допускающих интегралы по обоим характеристическим направлениям:

ихУ = /(я, у, и, иХ1 иу). (20)

Непрерывные уравнения вида (20) хорошо изучены. В частности, полностью решена задача нахождения всех интегрируемых по Дарбу уравнений вида (20)13. Однако задача нахождения всех уравнений вида (1), допускающих оба интеграла (интегрируемых по Дарбу уравнений) не решена (задача классификации решена только для специального вида полудискретных уравнений14).

В диссертации разработан метод дискретизации с сохранением интегралов, который эффективен в случае интегрируемых по Дарбу гиперболических уравнений.

В параграфе 6 найдены полудискретные аналоги для интегрируемых по Дарбу уравнений (20), допускающие х- и у-интегралы второго порядка. Все уравнения (20), допускающие интегралы второго порядка описаны в следующей теореме (см. перечисленные выше работы)

Теорема 3.1. Всякое уравнение (20), для которого существуют х- и у-интегралы второго порядка, с помощью замены переменных х —> Х(х), у —У Y {у), и —U(x,y,u) можно привести к виду:

(1) иху = еи, W = ихх - 0.5и\, W = Uyy — 0.5и2у:

(2) иху = еУщ W - их - е\ W = иу;

(3) иху = - 4, W = ихх — 0.5ul - 0.5e2u, W =

13 A. V. Zhiber and V. V. Sokolov, Exactly integrable hyperbolic, equations of Liouville type, (In Russian) Uspeklii Mat. Nauk 56, no. 1 (337), pp. 63-106 (2001), / . (English translation: Russian Math. Surveys, 56, no. l,pp.61-101 (2001))

N. F. Gareeva and A. V.Zhiber, The second order integrals of the hyperbolic equations and evolutionary equations, in Proceedings of the International Conference "Algebraic and analytic methods in the theory of the differential equations 1996, Orel, edited by A.G.Meshkov, pp.39-42.

Goursat E. Recherches sur quelques equations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2' série, tome 1, n° 1 (1899) p.31-78.

Goursat E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la facilité des Sciences de l'Université de Toulouse 2e série, tome 1, n° 1 (1899) p.79-163.

"I. Habihullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan, On the classification of Darboux integrable chains,/'/ Journal of Math. Phys., 49, Issue: 10. 102702 (2003).

(4/ Ыху — ЫхЩ ^ и-у)< ™ их и-х^ ч-х' УУ__ щ и-у^и-у'

(5) игу = ф{иЩихЩиу), {Ыф)" = V2, ДО' = "Их, ВЇЇ = -Щ, ^ = - Ф{иЖих), IV = ^ - тРШІО;

(6) Чху = /3/3' + с/3 = № + ф = -иу,

Ш = Игл - ё. ш — уг р и' _ 0 и'

(V Пху = -2^, Ж = ^ + IV = ^ + 2^;

& = ихх/3(их) - (г+у)1ЖЦі), ^ = Ыу!Диу) -

Основной результат параграфа 6 - список дифференциально-разностных аналогов для уравнений из теоремы 3.1.

Теорема 3.2. Ниже представлен список уравнений (1), допускающих заданный п-интеграл I :

заданный п-интеграл соответствующая цепочка

I = txx- 0.51\ tix = ix + Ce°'5(i+il), С = Const (1*)

I = tx-є* t\x — ij " " 6 1 6 (2 *a)

I = - t 1 tx ii* = где KtK'x + Kh = — К — I (2*6)

/ = txx- 0.5tl - 0.5e2i tlx = tx + Ve2t + Дег+(> + e2t', R = Const (3 'a)

r tix = (1 + Ret+U)tx+ (3*6)

+ K/R2e2(t+t,) + 2Rtt+tl yjt\ - 4

7- _ t„ 2 tT , 1 t* t-rr T !-x J. ... {Ц+ЩП-х) . r _ f (4*)

(Іпф)" = = -tx /?(ix) = itx и tix - K(t,ti)tx, где Kt + KK\ + К2ф(Ь) - КЩ) = 0 (5*)

Г - J^ _ ем 1 ~ 3{t.x) t ■■ P,8' + c0 = -tx = Д4„ u hx = I<{t,ti)tx, где к, , г.- ... R4ti<-h) к+^t, - «, (6*)

r — ixx. 4- vH ~ х+Я ilx = + iffl) . Д = Const, С = Const (Г)

^ — P{tx)txx ¡3' = ¡З3 + 02 0(tx) = -l Utix = tx+l-^f (8*)

Заметим, что данная дискретизация переводит интегрируемое по Дарбу уравнение в частных производных в интегрируемую по Дарбу цепочку, т.е. для каждого найденного дифференциально-разностного уравнения существует интеграл по второму характеристическому направлению, список которых представлен в следующей теореме.

Теорема 3.3. (I) Уравнения (2*6), (5*) и (6*) из Теоремы 3.2 вида hx = K(t,ti)tx допускают х-интеграл F{t,h), где функция F - решение уравнения Ft+ K{t,ti)Ftl = 0 с заданной функцией K(t,ti). (II) х-интегралы уравнений (1*), (2"а), (3*а), (3*6), (4*), (7*) и (8*) следующие: F = e^-W+e^-W, F = (et-et»)(et'-e<')(et-et»)-1(etl-et»)-1> F -arcsinh(aetl~i^+b)+arcsinh(oe'1 _t+6) ca = 2{A-R2)'l'2, b = R^-R2)'1'2, F = s/Re2^ + 2e^~t + \/Re^ + 2е'1-'2, F = (£х — £)(£2+Ь)(É2 — t)-1 (¿i F = (2 h - t - í2)/(2C2) - l/{x + R) и F = (h-t + C)/{x + y) соответственно,

В параграфе 7 приведено полное описание характеристической алгебры Ли уравнения Цицейки:

иху = <? + е~2и. (21)

Уравнение (21) впервые было найдено в работе Цицейки15 при исследовании геометрии двумерных поверхностей в R3. Позже оно было переоткрыто А.Б.Шабатом и А.В.Жибером16 в результате классификации интегрируемых случаев уравнения Клейна-Гордона. В той же работе для этого уравнения была построена иерархия высших симметрии и законов сохранения. Представления Лакса для (21) нашел А.В.Михайлов17 . Отметим, что высшие симметрии уравнения (21) имеют порядки равные 6n + 1 и 6 ri - 1, где ne N. Удивительный факт состоит в том, что именно эти числа являются выделенными при описании характеристической алгебры для уравнения (21). По-видимому, этот факт указывает на тесную связь между алгеброй высших симметрий уравнения и его характеристической алгеб-

I5Tzitzéica G. Sur une nouvelle classe de surfaces /'/ Comptes rendus Acad. Sei. T. 150. 1910. P. 955-95B.

16Жибер A.B., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН CCCP.-1979.-T.247.-N. 5.-С. 1103-1107.

17A.V.Mikhailov, Pis'ma Zh.Eksp. // Theor.Fiz.,1979,v.30,№7,443-448

рой, т.к. такая же ситуация имеет место для уравнения синус-Гордона18 . В настоящей диссертации построен базис линейного пространства кратных коммутаторов произвольного порядка. Доказано, что характеристическая алгебра является алгеброй медленного роста.

Операторы Х\ и Хг, порождающие характеристическую алгебру Ли для уравнения (21), имеют вид:

ОО г\

^ = £^"4/)^, (22)

Jfc=i

х2 = J-, (23)

ои

где в нашем случае / = еи + е~2и. Здесь D- оператор полного дифференцирования по х. Заметим, что операторы Х\ и Х2 линейно независимы при

/(«) Ф о.

Обозначим через Li линейное пространство, натянутое на всевозможные коммутаторы длины не больше чем г — 1, где i = 2,3,.... В этом пространстве линейная комбинация берется с постоянными коэффициентами, а набор элементов Zi, Z2, —Zk называется линейно зависимым, если существует набор констант ci,c2, —Ск такой, что они не все нули и выполняется равенство C\Z\ + c2Z2 + ... + CkZk = 0. В противном случае набор является линейно независимым. Например, Ь2 = {Хь Х2}~ линейное пространство, порожденное элементами Х\,Х2, dimLo = 2. Будем считать Х\ и Х2 операторами длины 1. Тогда I3 состоит из элементов пространства Ь2 и элемента Х3 = [Х2, Xi], т.е. L3 = {Хь Х2,Х3}. Следовательно, Ц = L3 + {[Л'2, Х3], [Хи Х3]} и т.д.

Введем 5(i) = dim,(Li) — oüm(L;.-i). Отметим, что структура линейных пространств Li при г < 10 была исследована в работе А.В.Жибера и Р. Д. Муртазиной19.

18Жибер A.B., Муртазина Р.Д.О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ.-2006.-Т.7.-Ы.2.-С.131-136

Жибер A.B., Мукминов Ф.Х.Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа:БНЦ УрО АН СССР.-19Э1.-С.14-32

19Жибер A.B., Муртазпна Р.Д.О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста /,/ Вестник УГАТУ.-2006.-Т.7.-К.2.-С.131-136

Введем следующие обозначения для кратных коммутаторов:

= adx4--Mdx¡n lXin, где adxY = [X,Y\.

Основной результат сформулирован в следующей теореме. Теорема 4.1. Для уравнения Цицейки (21) справедливы равенства:

5(г) = 2, i = 6п + 2, г = бгг + 4, п = 1,2,...; (24)

¿(г) = 1, г = бгг - 1, г = бгг, г = 6n + 1, г = бтг + 3, п = 1,2,.... (25)

При этом верны следующие равенства: Ьбп+2 — L6n+i Ф {Xi...i21i-^21...12l}, = L6n+з Ф {Х1..Л21, ^21...12l}, Ьбп-1 = ¿6n-2 ф Ьбп = ¿6n-l © Ьбп+1 = Ф {Xi...i2l},

¿6n+3 = ¿6n+2 Ф

Т.е. операторы Xi, X-¿, Х3, X4l X5, X<¡. X7, Х%, Xg, А"ю, Хю,... X6n-i,X6n, A'6„+1, X6n+2, X6n+2, X6n+-J, Xbn+4, x6n+i,... образуют базис характеристической алгебры Ли L уравнения (21), где Хп = .X¿,...¿„ причем ¿i = ... = г„_2 = г„ = 1, i„_i = 2, Х„ = причем г2 = ... = г'п-2 = г'п = Mi = in-i = 2.

Заключение содержит обзор полученных результатов.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Исмагилу Талгатовичу Хабибуллину за всестороннюю поддержку, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации в изданиях из перечня ВАК

1. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Sakieva Оп Darboux integrable semi-discrete chains//Journal of Physics A: Math. Theor. 43 (2010) 434017 (14 pp).

2. Н.А. Желтухина, А.У. Сакиева, И.Т. Хабибуллин Характеристическая алгебра Ли и интегрируемые по Дарбу дискретные цепочки // Уфимский математический журнал. Т.2. N.4 (2010) С.39-51.

3. I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Sakieva Discretization of hyperbolic type Darboux integrable equations preserving integrability//Journal of Mathematical Physics 52, 093507 (2011), (12pp).

4. А.У. Сакиева Характеристическое кольцо Ли уравнения Жибера-Шабата-Цицейки // Уфимский математический журнал. Т.4. N.3 (2012) С.155-160.

Публикации в других изданиях

5. А.У. Сакиева Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллев-ского типа // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященная 110-летию со дня рождения И.Г.Петровского. Тезисы докладов. Москва: Московский государственный университет им. Ломоносова. 2011. С.332.

С. А.У. Сакиева Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллев-ского типа //VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальный уравнения посвященная 70-летию чл.-корр.РАН В.В.Напалкова. Тезисы докладов. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН. 2011. С. 140.

7. А.У. Сакиева Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллев-ского типа // Международная конференция "Спектральная теория операторов и ее приложения посвященная памяти профессора А.Г. Костюченко. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ. 2011. С. 76.

8. А.У. Сакиева Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллев-ского типа ,// Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ 2011. С.221.

Подписано в печать 18.12.12r. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ 509. Отпечатано в типографии ИП «Раянов В.Р.» Объем 1 п.л.

Введение

Глава 1. Структура а>интегралов и n-интегралов для дифференциально-разностных уравнений и критерий интегрируемости по Дарбу

§1. Структура х— и п—интегралов дифференциальноразностных уравнений.

§2. Алгебраический критерий интегрируемости по Дарбу

Глава 2. Построение решений и характеристические кольца Ли для интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных уравнений вида t\x = tx + d(t, ¿i)

§3. Характеристические кольца Lx для интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных уравнений t\x = tx + d(t, ¿i)

§4. Характеристические алгебры Ln для интегрируемых по Дарбу уравнений t\x = tx + d(t, ¿i)

§5. Построение решений для интегрируемых по Дарбу цепочек вида tix = tx + d(t, t{).

Глава 3. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувил-левского типа

§6. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллевского типа.

Глава 4. Характеристическая алгебра Ли уравнения Цицейки

§7. Характеристическая алгебра Ли уравнения Цицейки

Настоящая работа посвящена исследованию интегрируемых дифференциально-разностных уравнений вида t(n + 1, х) = f{x, £(n, х), t(n + 1, х), ~t(n, х)). (0.1)

Здесь t = t(n, х) - искомая функция дискретного переменного п и непрерывного переменного х. Предполагается, что функция / = f(x,t,t\,tx) является локально аналитической, и ^ не равна нулю тождественно.

Уравнения и системы уравнений вида (0.1) встречаются в конформной теории поля (см. [24]) и других разделах физики. Последовательное применение преобразования Бэклунда к интегрируемому уравнению в частных производных порождает дифференциально-разностные уравнения вида (0.1)(см. [28],[47]). Отметим, что в знаменитом эксперименте Ферми-Паста-Улама, предшествовавшем открытию солитона, также исследовалась динамическая система, описываемая дифференциально-разностным уравнением.

В последние три десятилетия интегрируемые дифференциально-разностные уравнения активно исследовались в работах [2] [28],[32],[33],[37],[47],[36],[42],[43],[64]

В научной литературе существует несколько подходов к определению интегрируемости. В данной работе под интегрируемостью мы понимаем интегрируемость по Дарбу. Напомним, что уравнение в частных производных гиперболического типа иху = ¡{х,у,и,их,иу) (0.2) называется интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные ж-интеграл и ?/-интеграл.

Определение 0.1. Функция ]№{х, у, и, иу, иуу,., дки/дук) называется х-интегралом порядка к для уравнения (0.2), если Ох\¥ = 0 и УУдки/дук ф 0.

Определение 0.2. Функция \¥(х, у, и, их, ихх,., дти/дхт) называется у-интегралом порядка т для уравнения (0.2) если Оу\¥ = 0 и И->«и/г).гт ф 0.

Здесь Их и Иу - операторы полного дифференцирования по переменным х и у соответственно.

Наиболее известный пример уравнения гиперболического типа, интегрируемого по Дарбу, - уравнение Лиувилля и = р" и>Ху - ° 5 интегралами которого являются функции

IV — иуу — 0.5иу2, Ш — ихх — О-б-и^2.

Гиперболические уравнения занимают важное место в теории интегрируемости. Эффективным методом изучения этих уравнений является подход, основанный на понятии так называемого характеристического кольца.

Понятие характеристического кольца Ли впервые появилось в работе Гурса [9], где оно было использовано для решения задачи классификации уравнений гиперболического типа, имеющих нетривиальные интегралы по обоим направлениям. В современном контексте теории интегрируемости понятие характеристического кольца было переоткрыто в работах А.Б.Шабата, Р.И.Ямилова, А.Н.Лезнова, В.Г.Смирнова ([56], [63]). Это направление получило дальнейшее развитие в работах А.В.Жибера, Ф.Х.Мукминова, Р.Д.Муртазиной, А.А.Бормисова, Е.С.Гудковой ([46],[52],[53]).

В работе И.Т.Хабибуллина, Н.А.Желтухиной, А.Пекчан [12] было введено понятие характеристического кольца Ли для дифференциально-разностных и полностью разностных уравнений, что позволило провести классификацию дифференциально-разностных уравнений вида Ь\х = Ьх + £¿(¿,¿1) имеющих интегралы по обоим направлениям (см. [13]).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы, определения и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер главы, а вторая - номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Исследована структура я-интегралов и п-интегралов для дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа.

• Доказано, что необходимым и достаточным условием существования нетривиального х-интеграла дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа является конечномерность его характеристического кольца Ли по направлению х.

• Исследована проблема дискретизации гиперболических уравнений с сохранением интегралов.

• Получено полное описание базиса характеристической алгебры Ли уравнения Цицейки.

Заключение

1. Ablowitz M.J., Ladik J.F., Nonlinear differential-difference equations, J. Math. Phys. 16:3 (1975) 598-603.

2. Adler V. E., Startsev S. Ya., On discrete analogues of the Liouville equation, Teoret. Mat. Fizika, 121, no. 2, 271-284 (1999), (English translation: Theoret. and Math. Phys. , 121, no. 2, 1484-1495, (1999)).

3. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4.

4. Dodd R.K. and Bullough R.K., Proc. R. Soc. London, Ser. A 351, 499, (1976).

5. Drinfel'd V. G. and Sokolov V. V., Lie algebras and equations of Korteweg-de Vries type, Journal of Soviet Mathematics, 1985, 30:2, 19752036.

6. Flaschka H., On the Toda lattice. I. Existence of integrals. II. Inverse scattering solution, Phys. Rev. B 9:4 (1974) 1924-1925; Progr. Theor. Phys. 51:3 (1974) 703-716.

7. Goursat E. Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order a deux variables indépendantes. Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

8. Goursat E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2e série, tome 1, n° 1 (1899) p.31-78.

9. Goursat E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2e série, tome 1, n° 1 (1899) p.79-163.

10. Habibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.:Methods Appl. 2005.-V. 1. - Paper 023 -9 pages.

11. Habibullin I., Zheltukhina N., Pekcan A., On the classification of Darboux integrable chains, Journal of Math. Phys., 49, Issue: 10, 102702 (2008).

12. Habibullin I., Zheltukhina N., Pekcan A., Complete list of Darboux integrable chains of the form tix =tx + d(t, £i). Journal of Math. Phys., 50, 102710 (2009).

13. Habibullin I. T., C-Series Discrete Chains, Theoretical and Mathematical Physics, 2006, 146:2, pp. 170-182.

14. Habibullin I., Zheltukhina N., Sakieva A. On Darboux integrable semi-discrete chains//Journal of Physics A: Math. Theor.43(2010)434017(14 PP)

15. Habibullin I., Zheltukhina N., Sakieva A. Discretization of hyperbolic type Darboux integrable equations preserving integrability//Journal of Mathematical Physics 52, 093507(2011), (12pp).

16. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. Nonlinear equations reducible to linear equations, J. Phys. Soc. Japan 46 (1979), 312-319.

17. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. I. A difference analog of the Korteweg-de Vries equation, J. Phys, Soc. Japan 43 (1977) 1424-1433.

18. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. II. Discrete-time Toda equation, J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2074-2078.

19. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. III. Discrete sine-Gordon equation, J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2079-2086.

20. Hirota R., Discrete analog of a generalized Toda equation J. Phys. Soc. Japan 50:11 (1981) 3785-3791.

21. Hirota R., Kimura K. Discretization of the Euler top// J. Phys. Soc. Japan, 69, 627-630, 2000.

22. Infeld L., Hull T.E., The factorization method, Rev. Mod. Phys. 23:1 (1951)

23. Inoue R., Hikami K., The lattice Toda field theory for simple Lie algebras: Hamiltonian structure and r-function, Nuclear Physics B 581 PM] (2000)761-775.

24. Kac M., P. van Moerbeke, On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices, Adv. in Math. 16:2 (1975) 160-169.

25. Kalyakin L. A., Asymptotic transitions from discrete to continuous models, Theoretical and Mathematical Physics, V.76, N 3, pp.891-894, DOI: 10.1007/BF01016850.

26. Lainé M. E., Sur une équation de la forme s = pip(x]y\ z;q) integrable par la méthode de Darboux, Comptes rendus, V. 183, 1926, pp.1254-1256.

27. Levi D., Nonlinear differential difference equations as Bïacklund transformations, J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098.

28. Matveev V.B., Darboux transformation and the explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equations, I. Lett. Math. Phys. 3:3 (1979) 217-222.

29. Mikhailov A.V., Pis'ma Zh.Eksp. // Theor.Fiz., 1979, v.30, N 7, 443-448

30. Mikhailov A.V., Olshanetsky M. A. and Perelomov A. M., Two-dimensional generalized Toda lattice, Comm. Math. Phys. 79 (1981) 473.

31. Miwa T., On Hirota's difference equations, Proc. Japan Acad., Ser. A: Math. Sci. 58:1 (1982) 9-12.

32. Nijhoff F.W., Theory of integrable three-dimensional nonlinear lattice equations, Lett. Math. Phys. 9:3 (1985) 235-241.

33. Schrodinger E., A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions, Proc. Roy. Irish Acad. A 46 (1940/1941) 9-16.

34. Startsev S. Y., On non-point invertible transformations of difference and differential-difference equations, SIGMA 6 (2010), 092, 14 pages, arXiv : 1010.0361v2nlin.Sl]

35. Suris Yu. B., Generalized Toda chains in discrete time, Leningrad Math. J., 2, 1990, 339-352.

36. Suris Yu. B., The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach, 2003

37. Toda M., Vibration of a chain with nonlinear interaction, J. Phys. Soc. Japan 22 (1967) 431-436.

38. Tzitzéica G. Sur une nouvelle classe de surfaces // Comptes rendus Acad. Sci. T. 150. 1910. P. 955-956.

39. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1939; 1942 - V. 18; 21. - № 9. - P. 1 - 61; 1 - 68.

40. Ward R. S., Discrete Toda field equations, Phys. Letts A 199(1995), pp.4548.

41. Yamilov R.I., Symmetries as integrability criteria for differential-difference equations, J. Phys. A 39 (2006) R541-623.

42. Zhiber A. V., Quasilinear hyperbolic equations with an infinite-dimensional symmetry algebra, Russian Acad. Sci. Izv. Math. Vol.45 (1995), No.l.

43. Zhiber A. V. and Sokolov V.V., Exactly integrable hyperbolic equations of Liouville type, (In Russian) Uspekhi Mat. Nauk 56, no. 1 (337), pp.63.106 (2001), (English translation: Russian Math. Surveys, 56, no. 1, pp.61-101 (2001)).

44. Бормисов A.A., Гудкова E.G., Мукминов Ф.Х., Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати//Теорет. и мат. физика, 1997, т.113, N 2, с. 261-275.

45. Веселов А.П., Шабат A.B., Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера, Функц. анализ 27:2 (1993) 1-21.

46. Газизов Р.К., Лукащук В.О., Классификация приближенных алгебр Ли с тремя существенными векторами, Изв. вузов, Матем., 2010, N 10, 3-17

47. Гюрсес М., Жибер A.B., Хабибуллин И.Т. Характеристические кольца Ли дифференциальных уравнений//Уфимский математический журнал, 2012, Т.4, N 1.-С.53-62.

48. Дубровский В.Г., Топовский A.B., Басалаев М.Ю. Новые точные решения двумерных интегрируемых уравнений, полученные с помощью метода д-одевания, ТМФ, 167:3(2011), 377-393.

49. Желтухина H.A., Сакиева А.У., Хабибуллин И.Т. Характеристическая алгебра Ли и интегрируемые по Дарбу дискретные цепочки/ /Уфимский математический журнал, Т.2, N 4(2010).С.39-51.

50. Жибер A.B., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа:БНЦ УрО АН СССР.-1991.-С. 14-32

51. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник yrATy.-2006.-T.7.-N 2.-С.131-136

52. Жибер A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН CCCP.-1979.-T.247.-N 5.-С. 1103-1107.

53. Картак В.В. Решение проблемы эквивалентности для уравнений Пе-нлеве I и II, Депонировано ВИНИТИ, 2006, 1-14.

54. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. Группа внутренних симмет-рий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика.-1982.-Т.51.-М 1.-С. 10-22

55. Сакиева А.У. Характеристическое кольцо Ли уравнения Жибера-Шабата-Цицейки/ /Уфимский математический журнал.Т.4.Ы 3(2012). С.155-160.

56. Сакиева А.У. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувил-левского типа//Международная конференция "Спектральная тео99рия операторов n ее приложения посвященная памяти профессора А.Г.Костюченко. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ.-2011. С. 76.

57. Сакиева А.У. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллев-ского типа / / Между народи ая школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ.-2011. С.221.

58. Хабибуллин И.Т., Пекчан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей// Теоретическая и математическая физика.-2007.-Т.151.-К 3.-С.413-423.

59. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа.-1981.-23 с.

60. Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрии нелинейных цепочек, Алгебра и анализ 2:2 (1990) 183-208.