Преобразование Лапласа и дифференциальные подстановки нелинейных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВА Мария Николаевна

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

1 о ЯНВ 2013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2012

005048219

Работа выполнена в

ФГБОУ ВПО "Уфимский государственный авиационный технический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жибер Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Голубчик Игорь Захарович; доктор физико-математических наук, профессор Мукминов Фарит Хамзаевич

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН

Защита состоится 25 января 2013 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Учреждении Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан декабря 2012 г.

Ученый секретарь

диссертациоиного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На сегодняшний день является открытым вопрос о полной классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида

иху = f{x,y,u,ux,uy). (1)

Этой проблеме посвящено множество работ, в которых понятие интегрируемости рассматривается в различных аспектах.

Самой первой решенной классификационной задачей явилась классификация1 интегрируемых уравнений Клейна-Гордона vxy — F(v), обладакь гцих высшими симметриями. Симметрии были эффективно использованы в классификационных задачах, касающихся эволюционных уравнений2.

Поскольку симметрийный подход оказался трудоемким для описания всех интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений общего вида (1), развитие получили другие альтернативные методы классификации. Здесь нельзя не отметить недавно появившуюся работу А.Г. Мешкова, В.В. Соколова3, в которой проведена классификация уравнений вида (1), обладающих симметриями третьего порядка. Авторы использовали оригинальный подход, принимая в качестве определения уравнений типа синус-Гордона наличие симметрий, являющихся интегрируемыми эволюционными уравнениями третьего порядка, полный список которых известен4.

Настоящая диссертация посвящена задачам классификации нелинейных гиперболических уравнений вида (1) в рамках концепции дифференциальных подстановок. В отличии от вышеупомянутых работ, такой подход позволяет не только классифицировать уравнения вида (1), но и обеспечивает список преобразований типа преобразований Миуры и Бэклунда,

гЖибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна - Гордона с нетривиальной группой IJ Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - JV« 5. - С. 1103 - 1107

2Дриифельд ВТ., Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечной серией законов сохранения //Доклады АН УССР. Сер. А., Физ.-мат. и техн. науки. - 1985. - № 10. - С. 8 - 10.

Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // УМН - 1987. - Т. 42. - № 4. - С. 3 - 53.

Мукминов Ф.Х., Соколов В.В. Интегрируемые эволюционные уравнения со связями. // Мат. сб. -1987. - Т. 133. - № 3. - С. 392 - 414.

Михайлов А.В., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений 11 Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. — Киев: Наукова думка. -1990. - С. 213 - 279.

Соколов В.В., Мешков А.Г. Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой // УМЖ. - 2012. - Т. 4 - № 3. - С. 104 - 154.

3Meshkov A.G., Sokolov V.V., Hyperbolic equations with third-order symmetries // Theor. Math. Phys.-V. 166. - 2011. - № 1. - P. 43 - 57.

4Свинолупов С.И., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохра-

нения // Функц. анализ и его прил. - 1982. - Т. 16. - № 4. - С. 86 - 87.

задача описания которых сама по себе является одной из важных в теории интегрируемых нелинейных уравнений и довольно сложной.

Дифференциальные подстановки типа преобразования Миуры являются общеизвестными преимущественно в теории интегрируемых эволюционных уравнений5. Преобразование Бэклунда6 изначально обозначилось как обобщение построенного в результате геометрических рассуждений преобразования Бианки-Ли7. Не углубляясь в геометрическую сторону вопроса отметим, что последнее переводит поверхность постоянной отрицательной кривизны в поверхность той же кривизны. В классических работах8 преобразования Бэклунда рассматривались для пары дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и представлялись в виде системы четырех соотношений, связывающих решения указанных уравнений и содержащих независимые переменные, функции и первые производные от функций. Специальный вид четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка обуславливается требованием совместности системы. Преобразования Бэклунда, связывающие решения пары уравнений позволяют получать решение одного из них, если решение другого известно. Преобразование Бэклунда, переводящее решение уравнения в решения того же уравнения (автопреобразование Бэклунда) замечательно тем, что позволяет в ряде случаев строить его решения. Так, например, были найдены решения типа солитонов для уравнения синус-Гордона9 иху = sin и. В работал С.В. Хабирова10 преобразования Бэклунда

6Miura R. М. Korteveg-de Уп'ед Eguation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear IVansformation // Journal of Mathematical Physics. - 1908. - V. 9. - № 8.

Свинолуиов С.И. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметприями // У МП. -1985. - Т. 40. - № 5. - С. 263 - 264.

Свинолупов С.И., Соколов В.В., Ямштов Р.И. О преобразованиях Бэклунда для интегрируемых эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 271. -№ 4. - С. 802 - 805.

Старцев С.Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры // ТМФ. - 1998. -Т. 116 - е 3 - С. 336 - 348.

6Bácklund A.V. От ytor med konstant negativ krokning. - Lunds Universiteta Ars-skrift. - 1883. - Bd. 19.

7Bianchi L. Ricerche sulle superficie a curvatura costante e sulle elicoidi // Ann. Scuola Ncrm. Sup. Pisa.

- 1879. - V. 2. - P. 285.

Lie S. Zur Theorie der Flachen konstanter Krümnung, III, IV. // Arch. Math. og Naturvidenskab. - 1880.

- Bd. 5. - Heft 3. - S. 282 - 306, 328 - 358.

sCIairin J.Sur les transformations de Backluni // Ann. Sci. Ecole Norra. Sup. 3® Serie. Supplément 19.

- 1902. - Р. 1 - 63.

Goursat E. Le problem de Bácklund. - París: Gauthier-Villars. - 1925.

Forsyth A.R. Theory of differential equations, Vol. VI, Ghap. SI - New York: Dover. - 1959.

9Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. - М.: Мир. - 1983.

Капцов О.В Методы интегрирования уравнений с частными производными. - М.: ФИЗМАТЛИТ.

- 2009.

10Хабиров С.В. Решения эволюционных уравнений второго порядка, полученные с помощью дифференциальных подстановок // Матем. проблемы гидродинамики. — 1988 - № 85. - С. 146 - 161.

Хабироз С.В. Бесконечно параметрические семейства решений нелинейных дифференциальных уравнений // Математический сборник. - 1992. - Т. 183. - № 11. - С. 45 - 54.

использовались для решения краевых задач и построения точных решений эволюционных уравнений.

Частным случаем преобразования Бэклунда для линейных уравнений является преобразование Лапласа11. G. Darboux12 применял каскадный метод интегрирования Лапласа для исследования интегрируемости заданного уравнения. В последнее время этой задачей занимались I.M. Anderson, N. Kamran13 и A.B. Жибер, В.В. Соколов , С.Я. Старцев 14. В работах С.Я. Старцева15 исследованы свойства инвариантов Лапласа нелинейных гиперболических уравнений, допускающих дифференциальные подстановки.

Целью работы является полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками специального вида с уравнением Клейна-Гордона. Описание нелинейных гиперболических уравнений и систем, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа. Построение преобразований Бэклунда, связывающих решения полученных нелинейных уравнений и систем.

Методы исследования. В диссертации применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Для построения преобразований Бэклунда нелинейных гиперболических уравнений используются преобразования Лапласа линеаризованных уравнений. Описание алгебры Ли-Бэклунда высших симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона проводится при помощи дифференциальной подстановки, связывающей последнее с уравнением синус-Гордона.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Проведена полная классификация нелинейных гиперболических урав-

nGoursat Е.Leçon sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre d deux variables indépendantes, Paris: Hermann - (1896, 1838). - Vols. I. II.

12Darboux G.Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. -1870. - V. 7. - P. 163 - 173.

13 Anderson I.M., Кашгап N.TAe variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane // Preprint. Montreal: Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montreal. - 1994.

Anderson I.M., Kamran N. The variational bicomplex for hiperbolic second-order scalar partial differential equations in the plane // Duke Math. J. 1997, - V. 87. - № 2. - P. 265 - 319.

14Жибер A.B., Соколов B.B., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН. - 1995. - Т. 343. - Л» 6. - С. 746 - 748.

Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. - 2001. - Т. 56. - № 1. - С. 63 - 106.

15Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // ТМФ. - 1999. - Т. 120. - № 2. - С. 237 - 247.

Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // ТМФ'. - 2001. - Т. 127. - № 1. - С. 63 - 74.

нений, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа. Построены преобразования Бэклунда, связывающие решения полученных нелинейных уравнений.

2. Доказан критерий периодичности цепочки преобразований Лапласа линейного уравнения. Приведены частные случаи полученного условия в виде систем нелинейных уравнений. Показано, что редукции частных случаев полученных систем приводят к известным уравнениям, интегрируемым методом обратной задачи рассеяния.

3. Описаны двухкомпонентные гиперболические системы нелинейных уравнений с нулевыми главными инвариантами Лапласа. Доказано, что полученные системы обладают полным набором х и ¡/-интегралов.

4. Найден полный список п-компонентных гиперболических систем нелинейных уравнений специального вида, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого порядка. Для указанных систем построены преобразования Бэклунда.

5. Проведена полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона. Описана алгебра Ли-Бэклунда высших симметрий модифицированного уравнения синус-Гордона.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применения в исследовании нелинейных уравнений и систем гиперболического типа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2007 г.);

2. VIII Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2008 г.);

3. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.);

3. Международная конференция МОС11АМ-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.);

4. Всероссийская научная конференция с международным участием "Дифференциальные уравнения и и их приложения" (Стерлитамак, 2011

г.);

5. Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова (Уфа, 2011 г.);

6. VI Международная конференция "Солитоны, коллапсы и турбулентность": достижения, тенденции и перспективы - ЗСТ-2012 (Новосибирск, 2012 г.);

7. VI Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2012 г.);

8. научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров А.В. Жибсра и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2011, 2012 гг.);

9. научный семинар по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров Л.А. Калякина и В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 18 публикаций, из них статьи [1], [2], [3] в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 62 наименования. Объем диссертации составляет 170 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор литературы по теме диссертации, описаны постановка задачи, методы исследования и приведено краткое содержание работы.

Поскольку метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных уравнений

__ + а(в| у)_ + ь(1, у)_ + ф, у) j у = о {2)

был неоднократно подробно изложен в современных работах14, здесь отметим лишь, что последовательность инвариантов Лапласа для уравнения (2) определяется рекуррентной формулой

Ы = 2/ц_1 - Ы-2 - (1п , г е Ж (3)

и начальными данными Л0 = %+аЪ-с, ко = Ш+аЬ-с, при этом =

Глава 1 посвящена задаче классификации нелинейных гиперболических уравнений вида (1), линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа.

Рассмотрим уравнения

иху = /(х,у,и,их,иу), дху = (4)

Предположим, что решения и(х,у,т) и д{х,у,т) уравнений (4) зависят от некоторого параметра т и определим функции V = ит, р = qт. Нетрудно видеть, что функции V и р удовлетворяют уравнениям

{йБ - ¡^В - /„„£) -/„)« = 0, (5)

= 0. (6)

В первом параграфе главы 1 описаны все уравнения вида (4), линеаризации которых (5), (6) связаны преобразованиями Лапласа первого порядка.

Теорема 1.1. Пусть линеаризованное уравнение (6) является результатом однократного применения х-преобразования Лапласа к уравнению (5). Тогда уравнения (4) имеют следующий вид:

и^ = <р(х,у,и,их) + \и(х,у,и)иу, (7)

Чху = <Рг{х, у, -из, + Хт(х, у, + Хх(х, у, го)) +

+ {<Рю(х,у,ги,^ - Хуш(х,у,и],1))г + <рх(х,у,т^) - Хху(х, у, го). (8)

Здесь <ри+<рихАи — Хуи ^ 0, £ = д+Х(х, у, го), функция го (ж, у, ?у) неявным образом определяется из соотношения

Чу = р(х,у,ю,д + Х(х,у,ш))-Ху(х,у,ги).

Кроме этого, построено преобразование Бэклунда

д = их- Х(х,у,и), ду = <р(х,у,и,их)-Ху(х,у,и), (9)

связывающее решения уравнений (7) и (8). Последнее означает, что соотношения (9) гарантируют следующий факт: если и есть решение уравнения (7), то д является решением уравнения (8). И, наоборот, если д решение уравнения (8), то и решение (7).

Во втором параграфе описаны все уравнения (4), линеаризации которых (5) и (6) связаны преобразованиями Лапласа второго порядка.

Параграф 3 посвящен исследованию уравнений (4), линеаризации которых (5) и (6) связаны преобразованиями Лапласа порядка выше второго.

Теорема 3.1. Пусть линеаризованное уравнение (6) получено в результате п-кратного, п > 3, применения х-преобразования Лапласа к уравнению (5). Тогда уравнения (4) являются линейными.

Таким образом, проведена полная классификация уравнений (4), линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа.

В параграфе 4 главы 1 найден критерий, при котором цепочка преобразований Лапласа

..., Е- з, Е-2, Я-1, Е0, Еи Е,, Е3, ..., (10)

для уравнения (2) является периодической. В последовательности (10) через Е0 обозначено исходное уравнение (2), через Е, (соответственно уравнение полученное в результате ¿-кратного применения к исходному уравнению у- (соответственно х-) преобразования Лапласа. Приведены частные случаи полученного условия в виде систем нелинейных уравнений.

Теорема 4.1. Коэффициенты уравнений Е0 и Еп удовлетворяют соотношениям

ап — а0, Ьп — Ь0, Сп = со тогда и только тогда, когда

^1п(Ло-/1х-... ■кп-1)=0, (11)

Теорема 4.2. Коэффициенты уравнений Е0 и Е-п удовлетворяют соотношениям

а-п = а0, Ъ-п — 60, с_„ = со тогда и только тогда, когда

^1п(/10-/г1-..../гп_1)=пО, Л^Ао. (12)

Если одновременно выполняются условия (11) и (12), тогда инварианты Лапласа удовлетворяют соотношениям

Ло ■ /»1 ■ — • К-1 - с, Нп = Л0, (13)

где с — постоянная. Далее рассматривается рекуррентная цепочка инвариантов Лапласа (3) с учетом соотношения (13). Введя функции ыь "2, ип-1 согласно формулам Н0 = ехриь = ехри2.-, К-2 = ехрил_1 приходим

к системе

(щ)ху = 2ехр (ui) - ехр (и2) - exp (-«i ~и2- ... - u„_i),

(Цк)ху — 2ехр (ик) - ехр (ик-1) - exp^+i, к = 2, ...,п- 2, Сun-i)xy = 2 ехр (u„_i) - ехр (гг„_2) - ехр {-щ -и2- ... - un--¡).

Показано, что редукции частных случаев полученной системы общего вида приводят к известным уравнениям, интегрируемым методом обратной задачи теории рассеяния.

В главе 2 преобразования и инварианты Лапласа применяются для исследования гиперболических систем нелинейных уравнений. В параграфе 5 описаны нелинейные гиперболические двухкомнонентные системы уравнений вида

и1у = У, м2> «4, "J. /14ч

<4, = Ф{х, У, и1, и2, ul, u1, ul, и2у), с нулевыми главными инвариантами Лапласа.

Линеаризованная система для системы (14) имеет вид

(DD -AD-BD- С)р = 0.

Здесь р = (р1,р2)т и

A=(íu* í:l)> f:1)' c=(f/ f/)-\ Фч1 Фи% J \ Фи\ Фи\ ) \ Фи1 <Pu» /

Главные инварианты Лапласа для последней системы задаются формулами14

Я_! — АВ + С — D{B), #0 = ВА + С - D(A). (15)

Теорема 5.1. Пусть система (14) является системой с нулевыми инвариантами Лапласа (15). Тогда с точностью до точечных преобразований она принимает следующий вид:

ЪЩ ( о и2) = + ^ + ¿ М + ¿ + с. (16)

_ ( ехрф О Г22 = ( О фи>

ц~1 {-М\х, у, и1) - М2{х, у, и2) - Ф(х, у)),

/■ I 1\ г оч \ / £а±м '

£,Ах>у,и)<РиЛх,у,и') \ = / л/о ^ у,«2))2;' "

Кроме этого, доказано, что система (16) обладает полным набором независимых х- и у- интегралов.

В параграфе 6 главы 2 приводится полная классификация нелинейных гиперболических систем уравнений вида

иху = ¡(и), (г4 = /\ | = 1,2,...п), (17)

Яху = Р(ч,Ях,ду), = » = 1,2,...,п), (18)

линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого порядка. Предположим, что решения и(х,у,т) и <?(а-,у,т) систем (17) и (18) соответственно, зависят от некоторого параметра г и определим функции V = ит и р = qт. Функции V и р удовлетворяют линеаризованным системам

П£>у = СУ, (19)

(ВВ - А-гВ - В-ф - С^)р = 0. (20)

Здесь введены обозначения для матриц-функций

ад-да. <»>

Теорема 6.1. Пусть линеаризованная система (20) является результатом применения х-преобразования Лапласа к системе (19). Тогда системы (17) и (18) имеют следующий вид:

«ху = /(«), qzV = C(r1(qy))q, (22)

где матрица-функция С(и) определена формулой (21) и detC ф 0.

Построено преобразование Бэклунда q = их, qy = f(u), связывающее решения систем (22).

Глава 3 посвящена классификации гиперболических уравнений

иху = f(u,u,ux), (23)

связанных дифференциальными подстановками специального вида с уравнением Клейна-Гордона

í>xy - F(v). (24)

В параграфе 7 рассматриваются уравнения (23), сводящиеся к уравнению Клейна-Гордона (24) подстановками вида

v = <р(и,их). (25)

Теорема 7.1. Пусть уравнение (23) сводится дифференциальной подстановкой (25) к уравнению (24). Тогда уравнения (23), (24) и подстановка (25) с точностью до точечных преобразований и —5- в{и), v —У к(у), х —> fх, у r¡y, где £ и r¡ - постоянные, принимают следующий вид: i. uxv = vF,(F-\ux)), vxy = F(v), v = F-\ux)-,

i. Uxy — sinu-^/l — vxy — sinu, v = и + arcsinux;

ii. uxy = exp Ut/1 + Щ., vxy^ex-pv,

v ■

:u + In (ux + л/TTuf) ;

iv- = vxy = F(v), v = s(ux), где s'(ux)F(s(ux)) = 1;

v" = Vxy = v = p(u,ux)-,

vi. u^ = ux(tJj(u,Uy) - Uyo/fa)), vxy = exp v, v - a(u) + lnux, где фи + ффПу - а'иуфиу — exp a;

vii. u^ = ux(ip(u, Uy) - uya'(u)), Ьху = 0, v = a(u) + lnux, где фи + ффиу - а'иуфПу = 0;

уШ.иху = и, уху = у, V = С1и + С2их;

¡X. иху = 5(иу), Уху — 1, V — С\И + с2«г,

где 5(с1 + Сг^') = 1.

Здесь с - произвольная постоянная, с\ и с^ такие, что (01,02) ф (0,0), функция ф удовлетворяет условию {ФтФи,,) ф (0,0).

В параграфе 8 рассматривается задача в некотором смысле "обратная" по отношению к задаче предыдущего параграфа. Задача состояла в том, чтобы найти все уравнения (24), сводящиеся подстановками

и — ф(ь, г/у) (26)

к уравнению (23). Справедливо следующее утверждение:

Теорема 8.1. Пусть уравнение (24) сводится дифференциальной подстановкой (26) к уравнению (23). Тогда уравнения (24), (23) и подстановка (26) с точностью до точечных преобразований V —> /с(г>), и —> в(и), х —»■ £х, у —> г/у, где £ и т) - постоянные, принимают следующий вид: ь уху = Р(у), иху = Р'(Р~1( их))и, и = уу;

11. Уху ^ху

Ш. уху = 0, иху =0, и = сь + ц{уу);

IV. уХу = 0, иху = —ихехри, и — \iiVy — 1пи;

V. Уху = у, иху =и, и = СхУ + с2уу;

VI. уху = 1, и^ = 1, и = У + СУ у. Здесь с - произвольная постоянная, с\ и сч такие, что (01,02) ф (0,0).

В параграфе 9 главы 3 описаны все уравнения вида (23), сводящиеся к уравнению Клейна-Гордона (24) подстановками

у = <р(и, их, иу), РихЧ>и„ ф 0. (27)

Классификационный результат формулируется следующим образом:

Теорема 9.1. Пусть уравнение (23) сводится дифференциальной подстановкой (27) к уравнению (24). Тогда уравнения (23), (24) и подстановка (27) с точностью до точечных преобразований и —> в(и), у к(у), х £х, у —> г]у и замены и + £х + г)у —и, где £ и г] - постоянные, принимают следующий вид:

ь иХу = + а^и* + Ь, уху = 1(ехру - аЬехр(-у)),

у = 1п ^ы^ + у/и% + а) (иу + + И

ii. uxy = y/uxuy, vxy — % v — y/ux + д/îij,;

iii. uxу = vxy = V — y/iTx + uy;

iv. Uxy = l, Vxy — 0, V = Ux + Uy\

V. Wly = l, v = ux + f(us)+u,

где 1 - ^ = V;

vi. uXy — 0, vxy = 0, V = ß(ux) + 7(%) 4- C3U;

vii. uxy — ß(u)uxuy, vxy = 0,

v = ci In ux + c2 In uy + a(u),

где [i'{ci + c2) + m2(ci + c2) + + d\i = 0;

viii.Ujj, = ii(u)uxuy, vxy — expv, v = ln(uxuy) + a(u),

где 2ц' + 2/x2 + a" + а!Ц — exp a;

ix. uxy = u, Vij, = V, V = ciUy + c2ux + c3u; X. uxy = fi(u) (uy + c)ux, Vxy = exp V,

V = ln(uy + c) + lnux + a(u),

где 2ц' + 2/í2 + a" + dp = exp a, 2ц2 + у! + d\i = exp a;

xi. uxy = ß{u)(uy + c)ux, vxy = 0,

V = c2ln(uy + с) + ci In Uz + a(u),

где (ц' + /x2)(ci + с2) + а" + a'/í = 0, сщ' + ц2{сг + с2) + а'д = 0;

xii. иху = ц(и)их, vxy = 0, V = иу - lnu* + а(и),

где а" + ц' = О, ¿i2 - м' + а'д = 0;

xiii.wxy = tígj*, ^ = 0, « = bu» + 7("у) + a(«),

где c3 + ^ + е4тЧ = °» a" +t1' + C4M2 = сзМ2 + м' + M2 + «V = 0;

XÍV.U^ = (ац+ь)УК)' ^ = exp V'

v = iiíux + 7 (ity) — 2 ln(au + 6),

где c3 + jfi + Ctf'uy = -7'exp7, c3 + 1 - 3a = О и c4 + 2a2 - a = 0;

xv- «x» = -ид-к)УК)' ^ = " = ^ + 7(Uy)'

где Çi = uxß' + сь ^ = г^У - ci;

xvi.u^ = Vxy = expv, v = /3(иг) + 7Ц,) + а(и), где + ^ = exp (/S), uy + ^y = exp 7, a" = exp a и ц = (exp a)/a';

xvii. «sj, = = exp w, и = + 7Ю +

где 2ux+^y = exp/3, = exp7, а'ц-2ц2 = expa и a'2 = 8expa;

XVт.иху = 1 - уху = сапк,

у = агсзтия + агсвтиу

где - 2з3 + Аз = 0, рп = - 2й2 + А;

х1х. иху = з(и)Ь(их)Ь{иу), уху = с\ ехр V + с2ехр(-2г;),

V = -\ 1п [{их - Ъ{их))(иу - ЬК))] + р{и),

где (их - Ъ{их)){Ъ{их) + 2их)2 = 1, (% - Ь(иу)){Циу) + 2иу)2 = 1, 5» _ 2в8' - 4з3 = 0 и р'2 - 2зр1 - 3.5' - 2з2 = О;

хх- и*у = "дУ"»' «1у = сзехр«1 и = 1пиг + <?(«,иу), где ^ (" ■- - +£ - ^+^=сз ехр5> ** *

Здесь сз и произвольные постоянные, а и Ь постоянные, удовлетворяющие условию (а,Ь) ф (0,0), с, сг и с2 ненулевые постоянные; в случаях хи и XIV функция 7 удовлетворяет условию (У/"/2) ф 0; в случаях XV, ху1, XVII функции /3 и 7 удовлетворяют условиял4 (/?"//3'2) ф 0 и (У/7'2) ф О соответственно, функция р удовлетворяет р' Ф 0; всюду рф 0.

Параграф 10 главы 3 посвящен уравнениям (24), сводящимся к уравнению (23) подстановками

и = ф{у, ух, иу), и« ф о. (28)

Теорема 10.1. Пусть уравнение Клейна-Гордона (24) сводится дифференциальной подстановкой (28) к уравнению (23). Тогда уравнения (24), (23) и подстановка (28) с точностью до точечных преобразований у -> к(ь), и ->• 0(и), х ах, у Ру, где а и /3 - постоянные, принимают следующий вид:

ь иху-у, иху - и, и = С1их + с2иу + с3ы;

и. уху = 0, иху = 0, и = Р{ух) + 7(уу) + с3у;

ш. ^ = 0, = ехр(и)иу, и = 1п (-^("1р(г,)) •

где р'(у) = ехр(ст);

¡V. 1^ = 1, иху = с1(их-с2), и = ехр{С1ух) + с2иу,

V. иху = ехр у, иху = иих, и-уу + р{ух) ехр у, где 2р' = р2;

VI. уху = 0, иху = ехр и, и = 1п(их«у) +

где 5"(ь) = ехр5(г>);

уп.гл^ = 1, иху = сгих + с2иу - сгс2и, и = ехр(с1ит) + ехр(с2иу).

Здесь с\ и с2 ненулевые, ас - произвольная постоянная.

В параграфе 11 описана алгебра Ли-Бэклунда высших симметрий модифицированного уравнения синус-Гордона

Здесь s" - 2s3 + As = 0. Построение рекурсивного оператора проводится на основе дифференциальной подстановки, связывающей уравнение (29) с уравнением синус-Гордона vxy — sin v.

Теорема 11.1. Все симметрии уравнения (29) видад = д(и,щ,и2, ■■■) вычисляются по рекуррентной формуле

Заключение содержит обзор полученных результатов.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за предложенную тему исследований, постоянное внимание, неоценимую помощь и всестороннюю поддержку в процессе работы над диссертацией.

Публикации по теме диссертации в изданиях из перечня ВАК

1. Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // Уфимский математический журнал. - 2009. - Том 1. - № 3. - С. 87 - 96.

2. Кузнецова М.Н. О нелинейных гиперболических уравнениях, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона // Уфимский математический журнал. - 2012. - Том 4. - № 3. - С. 86 - 103.

3. M.N. Kuznetsova, A. Pekcan and A.V. Zhiber The Klein-Gordon Equation and Differential Substitutions of the Form v = ip(u, ux, uy) //SIGMA 8 (2012), 090; 37 pages.

(29)

(i)

9 = щ.

Здесь

Публикации в других изданиях

4. Кузнецова М.Н. Симметрии уравнения эллиптического синуса // Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Математика. Том 2. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2007. - С. 170 - 179.

5. Кузнецова М.Н. Периодическая цепочка преобразований Лапласа // VIII региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии: Тезисы докладов. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008. - С. 187.

6. Кузнецова М.Н. Периодическая цепочка преобразований Лапласа // VIII Региональная школа-коиференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии: Сборник трудов. Т. I. Математика. Химия. Научные статьи. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008. - С. 24 -29.

7. Искандарова М.Н. (Кузнецова М.Н.) Нелинейные гиперболические уравнения и уравнение Цицейки // "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2009. - С. 16.

8. Искандарова М.Н. (Кузнецова М.Н.) Нелинейные гиперболические уравнения и уравнение Цицейки // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Математика. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2009. - С. 183 - 193.

9. Kuznetsova M.N. Laplace transformation and nonlinear hyperbolic equations // Международная конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений". Тезисы докладов. Уфа: УГАТУ, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, ИМ УНЦ РАН. - 2009. - С. 45.

10. Кузнецова М.Н. Уравнение Клейна-Гордона и дифференциальные подстановки вида v — <р(и,их) // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2010. - С. 5.

11. Кузнецова М.Н. Уравнение Клейна-Гордона и дифференциальные подстановки вида v = ip(u, их) // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Математика. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ.

- 2010. - С. 76 - 85.

12. Кузнецова M.H. Нелинейные гиперболические системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2011. - С. 227.

13. Кузнецова М.Н. Нелинейные гиперболические системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа// Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Математика. Т. 1. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2011. - С. 63 - 71.

14. Жибер А.В., Кузнецова М.Н. Нелинейные гиперболические уравнения и дифференциальные подстановки // Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды Всероссийской научной конференции с международным участием (27-30 июня 2011 г., г. Стерлитамак). Уфа: Гилем. - 2011.

- С. 103- 106.

15. Кузнецова М.Н. О нелинейных гиперболических уравнениях, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона //VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" посвященная 70-летию чл.корр.РАН В.В. Напалкова. Сборник тезисов. Уфа: ИМВЦ. - 2011. - С. 105 - 106.

16. Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические системы // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2012. - С. 216.

17. M.N. Kuznetsova, A.V. Zhiber Klein-Gordon equation and differential substitutions // Vl-th International conference "Solitons, collapses and turbulence: Achievements, developments and perspectives". The conference proceedings. Russian Academy of Sciences. - 2012. - P. 141 - 142.

18. Кузнецова М.Н. Нелинейные гиперболические уравнения и преобразование Лапласа п-го порядка // Тезисы докладов VI Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А'.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 10-16 сентября 2012 г.). Екатеринбург: УрО РАН. - 2012. - С. 47 - 48.

КУЗНЕЦОВА Мария Николаевна

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 13.12.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд.л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ № 1085. ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12.

Введение

Глава 1. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения

§1. Преобразование Лапласа первого порядка.

§2. Преобразования Лапласа второго порядка.

§3. Преобразования Лапласа n-го порядка, п > 3.

§4. Периодическая цепочка преобразований Лапласа.

Глава 2. Гиперболические системы нелинейных уравнений и преобразование Лапласа

§5. Гиперболические системы нелинейных уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа.

§6. Гиперболические системы нелинейных уравнений, линеаризации которых связаны преобразованием Лапласа

Глава 3. Нелинейные гиперболические уравнения и дифференциальные подстановки

§7. Дифференциальные подстановки v = ip(u, их)

§8. Дифференциальные подстановки и = '0(i>, vx).

§9. Дифференциальные подстановки v — ip(u, их, иу).

§10. Дифференциальные подстановки и = ip(v, vx, vy).

§11. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона

На сегодняшний день является открытым вопрос о полной классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида иХу = /О, у, и, их, иу). (0.1)

Этой проблеме посвящено множество работ, в которых понятие интегрируемости рассматривается в различных аспектах.

Самой первой решенной классификационной задачей явилась классификация интегрируемых уравнений Клейна-Гордона иху = Р(у), обладающих высшими симметриями [11]. Симметрии были эффективно использованы в классификационных задачах, касающихся эволюционных уравнений [28, 5, 26, 29, 27, 25, 32, 33]. Поскольку симметрийный подход оказался трудоемким для описания всех интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида (0.1) развитие получили другие альтернативные методы классификации. Здесь нельзя не отметить недавно появившуюся работу [56], в которой проведена классификация уравнений вида (0.1), обладающих симметриями третьего порядка. Авторы использовали оригинальный подход, принимая в качестве определения уравнений типа синус-Гордона наличие симметрий, являющихся интегрируемыми эволюционными уравнениями третьего порядка, полный список которых известен [28].

Дарбу использовал для исследования интегрируемости уравнения метод каскадного интегрирования Лапласа (см., например, [47, 61, 62]). В работах [42, 43, 10, 8] в качестве определения точно интегрируемого уравнения лиувиллевского типа было выбрано свойство двустороннего обрыва цепочки инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения. Более того, в обзоре [10] приведена полная классификация точно интегрируемых уравнений (0.1) лиувиллевского типа и приведен алгоритм нахождения общего решения. В работах [35], [36] были описаны свойства обобщенных инвариантов Лапласа нелинейных уравнений, обладающих дифференциальными подстановками.

Настоящая диссертация посвящена задачам классификации нелинейных гиперболических уравнений вида (0.1) в рамках концепции дифференциальных подстановок. В отличии от вышеупомянутых работ, такой подход позволяет не только классифицировать уравнения вида (0.1), но и обеспечивает список преобразований типа преобразований Миуры и Бэклунда, задача описания которых сама по себе является одной из важных в теории интегрируемых нелинейных уравнений и довольно сложной.

Дифференциальные подстановки типа преобразования Миуры являются общеизвестными преимущественно в теории интегрируемых эволюционных уравнений (см., например, [57, 30, 31, 34]). В знаменитой работе [57] Миура предъявил преобразование у — их — и2, связывающее решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (мКдФ) щ — иххх ~ 6и2их и уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) г>г = иххх + бш^1. По этой причине указанное преобразование на сегодняшний день носит имя своего автора.

Изначально преобразование Бэклунда [44] обозначилось как обобщение построенного в результате геометрических рассуждений преобразования Биаики-Ли [45, 55]. Не углубляясь в геометрическую сторону вопроса отметим, что последнее переводит поверхность отрицательной постоянной кривизны в поверхность той же кривизны. В классических работах [46, 48, 49] преобразования Бэклунда рассматривались для пары дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и представлялись в виде системы четырех соотношений, связывающих решения указанных уравнений и содержащих независимые переменные, функции и первые производные от функций. Специальный вид четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка обуслав

1 Передавая буквально, если и удовлетворяет мКдФ, тогда V удовлетворяет КдФ Если V удовлетворяет КдФ, тогда любое решение уравнения Риккати V = их — и2 является решением мКдФ. ливается требованием совместности системы. Преобразования Бэклунда, связывающие решения пары уравнений позволяют получать решение одного из них, если решение другого известно. Преобразование Бэклунда, переводящее решение уравнения в решения того же уравнения (автопре-образованис Бэклунда) замечательно тем, что позволяет в ряде случаев строить его решения. Так, например, были найдены решения типа со-литонов для уравнения синус-Гордона иху — эт?/. [60, 22]. В работах [38, 39, 40, 41] преобразования Бэклунда использовались для решения краевых задач и построения точных решений эволюционных уравнений.

Частным случаем преобразования Бэклунда для линейных уравнений является преобразование Лапласа. Подробно метод каскадного интегрирования Лапласа неоднократно описан в современных работах (см., например, [10, 14]). Ввиду этого мы обозначим основные идеи этого метода, необходимые для целостного последовательного изложения материала диссертации. Функции да . , дЬ , .

Но — — + ао - с, ко = — + ао - с (0.3) ох оу являются инвариантами при преобразованиях вида у —> у)у (см. [50]) и называются главным,и инвариантами Лапласа уравнения (0.2). Уравнение (0.2) можно представить в виде каждой из систем

Разрешая системы (0.4) и (0.5) в случае когда хотя бы один из инвариантов /¿о, ко тождественно равен нулю, можно построить решение уравнения (0.2) в квадратурах (см., например, [10]). В случае ко = ко = 0 уравнение (0.2) эквивалентно волновому уравнению иху = 0.

Первая дифференциальная подстановка (0.4) задает так называемое у-преобразование Лапласа, которое состоит в переходе от неизвестной у к неизвестной Если /¿о ф 0, тогда исключая неизвестную у из системы (0.4) получаем, что -их удовлетворяет уравнению того же вида, что и исходное щ;+у)тк+61 у)й+С1{х'у])щ =

Здесь а\ = а - (1п /¿о)у, = 6, сг = а\Ь\ + Ьу- /г0.

Главные инварианты Лапласа для уравнения (Е\) определяются формулами

11 = 2/г.о -к0- (1п 1го)Ху, = Н0.

Далее, если главный инвариант уравнения Е\ не обращается в ноль, к уравнению Е\, в свою очередь, можно применить у-преобразование и т.д. Продолжая процесс, получаем цепочку уравнений д2 д д \ ^ У^дх + У^ду + ^)щ = 0> гв ^ коэффициенты и инварианты которых связаны между собой соотношениями: к = О,- 1 - (1п кг-1 )у , Ьг = Ь^ь с, = аФг + (Ь^у - Ы-и (0-6) кг = 2/1г1 ~ Нг-2 ~ (Ь /¿г-О^ , = ^г-1- (0.7)

Здесь ао = а, Ьо = Ь, со = с.

Аналогично, при помощи первой из дифференциальных подстановок (0.5) определяется х-преобразование Лапласа, которое состоит в переходе от неизвестной у к неизвестной у^. Если ко Ф 0, то в результате указанного преобразования получаем уравнение д2 д д \

Здесь a-1 = a, 6i = 6- (1п ко)х, с1 = ai6i + ах - к0. (0.8)

Главные инварианты Лапласа уравнения (Е1) задаются формулами h-i = /со, /с1 = 2/с0 - hQ - (1пко)ху. (0.9)

Если инвариант к-\ Ф 0, можно применить ^-преобразование к уравнению Е-1 и т.д. В результате получим цепочку уравнений д2 д д \

Jh&y + + + ) V~l = 1 G N' ^ коэффициенты и инварианты которых связаны между собой соотношениями: a-i-1 - a-i, = b-i - (ln fc-Oa;, ^

С-г-l = aiib¿i + (а-г)г ~ h-i = 2h-i-i - /¿-г-2 - (ln h—i—i)Xy > = h-i-1. (o.ll)

Таким образом, можно построить последовательность уравнений Е3, Е2, Еь Е0, EI, Е2, ЕЗ, ., (0.12) связанных друг с другом так, что проинтегрировав одно из них, мы проинтегрируем и все другие (через (Ео) обозначено уравнение (0.2)).

Определение 0.1. Множество главных инвариантов hi, i 6 Z уравнений (0.12) называется последовательностью инвариантов Лапласа для уравнения (0.2).

Последовательность инвариантов Лапласа определяется рекуррентной формулой hi = 2hi-! - hi-2 - (ln г)ху , г e Z (0.13) и начальными данными (0.3), при этом k¡ = /¿¿-i

Завершая исторический обзор, отметим, что широкий класс примеров дифференциальных подстановок, связывающих пары нелинейных гиперболических уравнений второго порядка можно найти, например, в работах [10, 56, 14, 35, 36].

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации. Прежде всего обговорим некоторые предположения и введем обозначения, которыми будем пользоваться па протяжении всей диссертации. Все рассмотрения ведутся в классе локально аналитических функций, зависящих от конечного набора динамических переменных х, у, и, щ = иХ: щ = иу: и2 = иХХ1 й2 = иуу,.

Далее, все равенства, в которых фигурирует функция и, должны выполняться тождественно на любом решении и уравнения (0.1), другими словами, буква и всюду обозначает произвольное решение уравнения (0.1). Последнее позволяет любую смешанную производную от и выражать посредством уравнения (0.1) и его дифференциальных следствий через динамические переменные. Нетрудно видеть, что эти переменные нельзя связать между собой при помощи уравнения (0.1), поэтому определяем их как независимые.

Предполагая, что решение и(х, у, т) уравнения (0.1) зависит от некоторого параметра г, введем функцию V — ит. Последняя функция удовлетворяет уравнению рЛ - /„,£> - -/и) у = 0. (0.14)

Здесь использованы обозначения й и Б для операторов полного дифференцирования по переменным хцу соответственно. Дифференцирования И и 5 действуют на множестве локально аналитических функций, зависящих от конечного числа динамических переменных, по следующим правилам:

П(иг)=Щ+1, Й(йг) = Щ+1, ио = йо=и, ¿ = 0,1,2,.,

БВи — /(ж, у, и, щ, щ), [£>,!)] = 0.

Поскольку линеаризованное уравнение (0.14) имеет вид (0.2), а классические определения преобразований и инвариантов Лапласа основаны лишь на свойстве коммутирования операторов частных производных и являются чисто алгебраическими, можно определить преобразования и инварианты Лапласа для уравнения (0.14) и применить все классические формулы, приведенные выше.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все формулы, определения, леммы и теоремы занумерованы двумя цифрами, первая из которых указывает номер параграфа, вторая - номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Проведена полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа. Построены преобразования Бэклунда, связывающие решения полученных нелинейных уравнений.

• Доказан критерий периодичности цепочки преобразований Лапласа линейного уравнения. Приведены частные случаи полученного условия в виде систем нелинейных уравнений. Показано, что редукции частных случаев полученных систем приводят к известным уравнениям, интегрируемым методом обратной задачи рассеяния.

• Описаны двухкомпонентные гиперболические системы нелинейных уравнений с нулевыми главными инвариантами Лапласа. Доказано, что полученные системы обладают полным набором х и у-интегралов.

• Получена классификация п-компонентных гиперболических систем нелинейных уравнений специального вида, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого порядка. Для указанных систем построены преобразования Бэклунда.

• Проведена полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона. Описана алгебра Ли-Бэклунда высших симметрий модифицированного уравнения синус-Гордона.

Заключение

1. Борисов А.Б., Зыков С.А. Одеваюищя цепочка дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. - 1998. -Т. 115. - № 2. С. 199 - 214.

2. Гареева Н.В., Жибер A.B. Интегралы второго порядка гиперболических уравнений и эволюционные уравнения // Труды международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнени". Орел, ОГУ. 1996. - С. 39 - 42.

3. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Москва: ОНТИ, 1994, С. 340.

4. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж, Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. - 1988. - 694 с.

5. Дринфельд В.Г., Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечной серией законов сохранения // Доклады АН УССР. Сер. А., Физ.-мат. и техн. науки. 1985. - № 10. - С. 8 - 10.

6. Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечномерной алгеброй симметрии // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. -Т. 58. - № 4. - С. 3 Ц 54.

7. Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН. 1995.- Т. 343. № 6. - С. 746 - 748.

8. Жибер A.B., Соколов В.В. Новый пример гиперболического нелинейного уравнения, обладающего интегралами // ТМФ. 1999. -Т. 120. - № 1. С. 20 - 26.

9. Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. Т. 56. - № 1. - 2001. -С. 63 - 106.

10. Жибер A.B., Шабат А.Б. Уравнения Клейна Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103 - 1107.

11. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математгьческой физике.- М.: Наука. 1983.

12. Капцов О.В Методы интегрирования уравнений с частными производными // М.: ФИЗМАТЛИТ. 2009.

13. Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // Уфимский математический журнал. 2009. -Том 1. - № 3. - С. 87 - 96.

14. Кузнецова М.Н. О нелинейных гиперболических уравнениях, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона // Уфимский математический журнал. 2012. - Том 4. -№ 3. - С. 86 - 103.

15. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних сим-метрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 21.

16. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир. - 1983.

17. Мешков А.Г. Симметрии скалярных полей. III. Двумерные интегрируемые модели // ТМФ. 1985. - Т. 63. - № 3. - С. 323 - 331.

18. Михайлов A.B., Шабат А.Б. Условия интегрируемости двух уравнений типа ut = А(и)ихх + В{щих). II. // ТМФ. 1986. - Т. 66. -№ 1. - С. 47 - 65.

19. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийиый подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. -1990. - С. 213 - 279.

20. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийиый подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // УМН. 1987. - Т. 42. - № 4. - С. 3 - 53.

21. Мукминов Ф.Х., Соколов В.В. Интегрируемые эволюционные уравнения со связями. // Мат. сб. 1987. - Т. 133. - № 3. - С. 392 -414.

22. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения // Функц. анализ и его прил. 1982. - Т. 16. - № 4. - С. 86 - 87.

23. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация интегрируемых квазилинейных уравнений третьего порядка // Предпринт. Уфа.- 1986.

24. Свинолупов С.И. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметриями. // УМН. 1985. - Т. 40. - № 5. - С. 263 -264.

25. Свинолупов С.И., Соколов В.В., Ямилов Р.И. О преобразованиях Беклунда для интегрируемых эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 271. - № 4. - С. 802 - 805.

26. Соколов В.В. О симметриях эволюционных уравнений // УМН. -1998. Т. 43. - № 5. С. 133 - 163.

27. Соколов В.В., Мешков А.Г. Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой // УМЖ. 2012. - Т. 4 - № 3. - С. 104- 154.

28. Старцев С.Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры // ТМФ. 1998. - Т. 116 - е 3 - С. 336 - 348.

29. Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // ТМФ. 1999. -Т. 120. - № 2. - С. 237 - 247.

30. Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // ТМФ. 2001. - Т. 127. - № 1. С. 63 -74.

31. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. 4.2 Трансцендентные функции Москва: ГИФМЛ. - 1963. - 500 с.

32. Хабиров С.В. Решения эволюционных уравнений второго порядка, полученные с помощью дифференциальных подстановок // Матем. проблемы гидродинамики. 1988. - № 85. - С. 146 - 161.

33. Хабиров С.В. Бесконечно параметрические семейства решений нелинейных дифференциальных уравнений. // Математический сборник. 1992. - Т. 183. - № 11. - С. 45 - 54.

34. Хабиров С.В. Преобразования Беклунда эволюционных уравнений // Препринт БФАН СССР. Уфа. 1984. - 34 с.

35. Хабиров С.В. Проблема Беклунда для эволюционных уравнений второго порядка // Препринт БФАН СССР. Уфа. 1986. - 36с.

36. Anderson I.M., Kamran N.7V¿e variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plañe // Preprint. Montreal: Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Montreal. 1994.

37. Anderson I.M., Kamran N .The variational bicomplex for hiperbolic second-order scalar partial differential equations in the plañe // Duke Math. J. 1997. - V. 87. - № 2. - P. 265 - 319.

38. Bácklund A.V. От ytor med konstant negativ krókning. Lunds Universitets Ars-skrift. - 1883. - Bd. 19.

39. Bianchi L. Ricerche sulle superficie a curvatura costante e sulle elicoidi. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1879. - V. 2. - P. 285.

40. Ciairin J.Sur les transformations de Bäcklund. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 3e Ser. Suppl. 19. - 1902. - P. 1 - 63.

41. Darboux G. Sur les équations aux: dérivées partielles du second ordre // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 1870. - V. 7. - P. 163 - 173.

42. Forsyth A.R. Theory of differential equations, Vol. VI, Chap. 21 New York: Dover. - 1959.

43. Goursat E. Le problem de Bäcklund // Memorial des sciences mathématiques, Fase. 6, Paris: Gauthier-Villars. 1925.

44. Goursat E. Leçon sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre a deux variables indépendantes. Paris: Hermann (1896, 1898). - Vols. I. II.

45. Kuznetsova M.N., Pekcan A. and Zhiber A.V. The Klein-Gordon Equation and Differential Substitutions of the Form v = <p(u, ux, uy) // SIGMA 8 (2012), 090; 37 pages.

46. Lainé M.E. Sur une équation de la forme s = p(f(x, y, z, q) integrable par la méthode de Darboux // Comptes rendus. 1926. - V. 183. - P. 1254 ~ 1256.

47. Lamb G.L. Bäcklund transformations at the turn of the century in Bäcklund transformations, the inverse scattering method, solitons, and their applications. Edited by Miura. New-York: Springer-Verlag. 1976.- P. 69 80.

48. Lie S. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümnung, III, IV. // Arch. Math og Naturvidenskab. 1880. - Bd. 5. - Heft 3. - S. 282 - 306, 328- 358.

49. Meshkov A.G., Sokolov V.V. Hyperbolic equations with third-order symmetries // Theor. Math. Phys- V. 166. 2011. - № 1. - P. 43 -57.

50. Miura R. M. Korteveg-de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation // Journal of Mathematical Physics. 1968. - V. 9. - № 8. - P. 1202 - 1204.

51. Shabat A.B. Higher symmetries of two-dimensional lattices // Phys. Lett. A. 1995. - V. 200. - P. 121 - 133.

52. A.A. Soliman, H.A. Abdo New exact solutions of nonlinear variants of the RLN, the PHI-four and Boussinesq equations based on modified extended direct algebraic method arXiv: 1207.5127vl math.NA]

53. Steuerwald R. Uber Enneper'sche Flächen und Bäcklund'sche Transformation Abh. Bayerische Akad. Wiss. (Meunchen). 1936. -Bd. 40. - S. 1 - 105.

54. Vessiot, E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x,y, z,p, q,r, s,t) = 0, integrable par la méthode de Darboux // J. Math, pure appl. 1939. - V. 18. - P. 1 - 61.

55. Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0, integrable par la méthode de Darboux // J. Math, pure appl. 1942. - V. 21. - P. 1 - 66.