Построение точных решений некоторых двумерных интегрируемых нелинейных уравнений методом Ә-одевания тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Многомерные интегрируеые нелинейные уравнения и подходы к их решению

1.2 Основные ингредиенты метода 9-одевания

1.3 Обзор содержания диссертации.

1.4 Актуальность темы, цель работы; основные результаты, выносимые на защиту

1.5 Научная новизна и практическая ценность, апробация и публикации

2 Точные рациональные решения уравнения Нижника-Веселова-Новикова. Случай простых полюсов

2.1 Применение схемы метода <9-одевания к уравнению NVN.

2.2 Рациональные решения уравнения NVN при а =

2.3 Рациональные решения уравнения NVN в случае j — i.

3 Новые точные решения двумерного интегрируемого уравнения синус-Гордон, генерируемые нетривиальными сингулярными границами.

3.1 Точные решения одномерного уравнения Клейна

Гордона

3.2 Локализованные решения двумерного уравнения синус-Гордон (2DSGI), генерируемые нетривиальными сингулярными границами

4 Точные рациональные решения уравнения Веселова-Новикова. Случай кратных полюсов

4.1 Рациональные несингулярные решения с полюсами второго порядка уравнения Веселова-Новикова

4.2 Рациональные сингулярные решения с полюсами второго порядка уравнения Веселова-Новикова

Основным инструментом описания и исследования физических явлений являются линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных дифференциальных уравнений, но не менее важны и нелинейные уравнения. Так уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье-Стокса, уравнения физики элементарных частиц и т.д. являются нелинейными уравнениями. Развитие методов решения и анализа дифференциальных уравнений, в особенности нелинейных уравнений, представляет одну из важнейших задач теоретической и математической физики.

Немногим более тридцати лет назад был открыт метод обратной задачи рассеяния. Ключевая идея, лежащая в основе этого метода - сведение задачи точного интегрирования нелинейных уравнений к решению ряда вспомогательных линейных задач, оказалась необычайно плодотворной. Как оказалось, метод обратной задачи рассеяния применим к широким классам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейных уравнений в частных производных, разностных, интегро-дифференциальных и других уравнений. Многие из нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, такие как уравнение Кортевега де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение синус-Гордон, уравнение одномерного ферромагнетика Гейзенберга, уравнение резонансного волнового взаимодействия, уравнение Кадомцева-Петвиашви-ли и другие имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики.

В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкую область применения: от теории гравитации и квантовой теории поля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики и физики твёрдого тела.

В настоящее время значительно усилился интерес к интегрируемым моделям в физике. Концепция интегрируемости является одной из ключевых в современных исследованиях по теоретической физике. Исследуются новые интегрируемые нелинейные системы классической механики и гидродинамики. Интенсивно изучаются маломерные интегрируемые нелинейные модели квантовой теории поля и статистической физики. На основе достижений метода обратной задачи в применении к классическим интегрируемым системам был развит и квантовый метод обратной задачи, успешно применяемый к 1+1-мерным квантовым интегрируемым моделям, весьма актуальной является задача обобщения квантового метода обратной задачи на случай 2+1-измерений.

Метод обратной задачи рассеяния или, как принято сейчас говорить, используя первые буквы трёх слов названия, МОЗ был открыт в 1967 году в работе американских учёных Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГГКМ) [1] и является новым современным методом математической физики, широко используемым в теоретической физике. ГГКМ развили МОЗ для известного уравнения Кортевега де Фриза [1, 2, 4], полученного с использованием некоторых приближений из уравнений гидродинамики ещё в 19 веке голландскими учёными Кортевегом и де Фризом [3].

Вслед за уравнением KdV в работе Захарова и Шабата [5] в

1971 году с помощью МОЗ было проинтегрировано нелинейное уравнение Шрёдингера, имеющее многочисленные физические применения. Стало ясно, что уравнение Кортевега - де Фриза - это не единичный случай, что схема МОЗ, открытая в работе ГГКМ, применима и к другим нелинейным уравнениям. Существенной особенностью математической техники работы [5] было использование в качестве уравнений обратной задачи системы сингулярных интегральных уравнений. После указанных работ начинается бурное развитие МОЗ и теории солито-нов. Одно за другим открываются и интегрируются с помощью МОЗ так называемые 1+1-мерные нелинейные уравнения - с двумя независимыми переменными: временем t и одной пространственной переменной х. Так в работах Вадати [6] и Абло-витца, Каупа, Ньюэлла и Сигура [7, 8, 9] были проинтегрированы с помощью МОЗ модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза и уравнение синус-Гордон, также нашедшее физические применения и, как оказалось, использовавшееся ещё в 19 веке в дифференциальной геометрии - в теории поверхностей. Было проинтегрировано с помощью МОЗ и уравнение для спинового поля ~§(x,t) модели одномерного ферромагнетика Гейзенберга [10, 11]. Список 1+1-мерных интегрируемых МОЗ нелинейных уравнений можно продолжить, в настоящее время он насчитывает не один десяток уравнений.

В настоящее время МОЗ и теория солитонов в 1+1-мерном случае развиты достаточно хорошо и успешно применяются при решении как математических, так и физических проблем [12, 13, 14, 15, 16, 17]. Как выяснилось в ходе развития МОЗ, наиболее адекватным средством рассмотрения 1+1-мерных интегрируемых нелинейных моделей является классическая проблема Римана-Гильберта из теории функций комплексного переменного: проблема нахождения секционно-мероморфной в определённой области комплекной плоскости функции по некоторым локальным соотношениям, связывающим граничные значения этой функции на контурах, разделяющих различные подобласти её аналитичности. Подчеркнём, что классическая проблема Римана-Гильберта является локальной проблемой и её решение сводится к решению некоторой системы сингулярных интегральных уравнений. Регулярно классическая проблема Римана-Гильберта из теории функций комплексного переменного стала применяться в качестве основы МОЗ для решения 1+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений после пионерских работ Захарова и Шабата [5, 19] (см. также работу [20] и книгу [12]).

5 Заключение

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. С помощью метода ^-одевания, основанного на нелокальной ^-проблеме, построены точные решения уравнения NVN, соответствующие волновым функциям линейных вспомогательных задач с простыми полюсами, именно, рациональные несингулярные и сингулярные решения, представляющие собой локализованные лампы [76, 77].

2. В то же время полученные решения являются точно решаемыми потенциалами двумерного стационарного уравнения Шрёдингера и одномерного уравнения Клейна-Готрдона. Найдены соответствующие собственные (волновые) функции указанных уравнений [76, 77].

3. Построены новые точные решения двумерного нелинейного эволюционного уравнения синус-Гордон, генерируемые нестационарными границами [69].

4. С помощью метода <9-одевания разработана схема получения точных рациональных решений двумерного уравнения Веселова-Новикова и точных рациональных потенциалов двумерного стационарного уравнения Шрёдингера, соответствующих волновым функциям уравнения Шрёдингера с кратными полюсами. [84, 83, 81, 82].

5. В качестве примера вычислены новые точные рациональные несингулярные и сингулярные решения уравнения Веселова-Новикова и соответствующие точные рациональные потенциалы двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с полюсами второго порядка [84, 83, 81, 82].

Я благодарен профессору Дубровскому В.Г. за постановку задачи, постоянное внимание и радость совместной работы.

1. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. - №19. - C. 1095-1097.

2. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Korteweg-de Vries and generalizations. VI. Methods for exact solution // Commun. Pure Appl. Math. 1974. - №27. - C. 97-133.

3. D.J. Korteweg and G. de Vries, On the change of of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. Ser. 5. 1895. -№39. - C. 422-443.

4. R.M. Miura, Korteweg-de Vries equations and generalizations I. a remarkable explicit nonlinear transformation // J. Math. Phys. 1968. - №9. - C. 1202-1204.

5. B.E. Захаров, А.Б. Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. 1971. - №61. - С. 118-134.

6. М. Wadati ,The modified Korteweg-de Vries equation //J. Phys. Soc. Japan. 1972. - №32. - C. 1681.

7. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and H. Segur, Method for solving the Sine-Gordon equation // Phys. Rev. Lett. 1971. - №61. - C. 118-134.

8. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C. Newell and H. Segur, Nonlinear evolution equations of physical significance // Phys. Rev. Lett. 1973. - №31. - C. 125-127.

9. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C. Newell and H. Segur, The inverse scattering transform ~ Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math. 1974. - №53. - C. 249-315.

10. M. Lakshmanan, Continuous spin system as an exactly solvable dynamical system // Phys. Lett. 1977. - №61A. - C. 53-54.

11. L.A. Takhtajan, Integration of the continuous Heisenberg spin chain through the inverse scattering method // Phys. Lett. 1977. - №64A. - C. 235-237.

12. B.E. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаев-ский. Теория солитонов. М.: Наука, 1980.

13. Дж.Л. Лем. Элементы теории солитонов. М.: Мир, 1983.

14. М. Абловитц, X. Сигур. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

15. Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис. Солитоны и нелинейные уравнения. М.: Мир, 1988.

16. А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике.- М.: Мир, 1989.

17. Л.Д. Фаддеев, Л.А. Тахтаджян. Гамильтонов подход в теории солитонов М.: Наука, 1986.

18. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. // Функц. анализ и его прилож. 1974. - №8(3). - С. 43-53.

19. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат, Интегирование нелинейных уравнений математической физики методом обратнойзадачи рассеяния. II. // Функц. анализ и его прилож. -1979. №13(3). - С. 13-22.

20. В.Е. Захаров, А.В. Михайлов, Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи // ЖЭТФ. 1978. - №74(6). -С. 1953-1973.

21. B.C. Дрюма,06 аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) // Письма в ЖЭТФ. 1973. - №19(12). - С. 753-757.

22. V.E. Zakharov. The inverse scattering method in Solitons / R.K. Bullough, P.J. Caudrey, eds. Berlin: Springer, 1980.

23. V.E. Zakharov, Integrable systems in multidimensional space // Lecture Notes in Physics. 1982. - №153. - C. 190.

24. M.J. Ablowitz, P.A. Clarkson, Solitons, Nonlinear evolution equations and Inverse Scattering / Cambridge Univ. Press.- Cambridge, 1991.

25. S.V. Manakov, The inverse scattering transform for the time-dependent Schrddinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation // Physica. -1981. №3D. - C. 420-427.

26. A.S. Focas, M.J. Ablowitz, On the inverse scattering of the time-dependent Shrodinger equation and the associated Kadomtsev-Petviashvili (I) equation // Stud. Appl. Math. -1983. №69. - C. 211-228.

27. R. Beals, R.R. Coifman, Scattering and inverse scattering for first order systems // Comm. Pure Appl. Math. 1984.- №37. C. 39-90.

28. M.J. Ablowitz, D.Bar Yaacov, A.S. Focas, On the inverse scattering transform for the Kadomtsev-Petviashvili equation // Stud. Appl. Math. 1983. - №69. - C. 135-142.

29. A.S. Focas, Inverse scattering of first-order systems on the plane related to nonlinear multidimensional equations // Phys. Rev. Lett. 1983. - №51. - C. 3-6.

30. A.S. Focas, M.J. Ablowitz, Method of solution for a class of multidimensional nonlinear evolution equations // Phys. Rev. Lett. 1983. - №51. - C. 7-10.

31. A.S. Focas, M.J. Ablowitz, On the inverse scattering transform of multidimensional nonlinear evolution equations related to first-order systems in the plane // J.Math.Phys. -1984. №25. - C. 2494-2505.

32. A.S. Fokas, M.J. Ablowitz, The inverse scattering transform for multidimensional (2+1) problems in Nonlinear Phenomena I j Proc., Oaxtepec, Mexico 1982 / ed. K.B. Wolf: Lecture Notes in Physics. 1983. - №189. - C. 137-183.

33. R. Beals, R.R. Coifman, Multidimensional inverse scattering and nonlinear partial differential equations // Proc. Symp. Pure Math. 1985. - №43. - C. 45-70.

34. R. Beals, R.R. Coifman, The D-bar approach to inverse scattering and nonlinear evolutions // Physica. 1986. - №18D.- C. 242-249.

35. R. Beals, R.R. Coifman, Scattering and inverse scattering for first order systems. 11 j j Inverse Problems. 1987. - №3.- C. 577-593.

36. R. Beals, R.R. Coifman, Linear Spectral problems, nonlinear equations, and д-method // Inverse Problems. 1987. - №5.- C. 87-130.

37. П.Г. Гриневич, с.В. Манаков, Метод обратной задачи рассеяния для двумерного оператора Шрёдингера, д- метод и нелинейные уравнения // Функц. анализ и его прилож. 1986. -№20(7). - С. 14.

38. П.Г. Гриневич, С.П. Новиков, Двумерная обратная задача рассеяния при отрицательной энергии и обобщённые аналитические функции. I. Энергия ниже основного состояния, Функц. анализ и его прилож. 1988. - №22(1).- С. 23.

39. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, Многомерные интегрируемые нелинейные системы и методы построения их решений // Записки научных семин. ЛОМИ. 1984. - №133.- С. 281.

40. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, Построение многомерных нелинейных интегрируемых систем и их решений // Функциональный анализ и его приложения. 1985. -№19(2). - С. 11.

41. V.E. Zakharov, Commutating operators and nonlocal d-problem in Nonlinear and turbulent processes in Physics // Proc. of the III Intern. Workshop. Kiev: Naukova Dumka, 1988. - №1. - C. 152.

42. L.V. Bogdanov, S.V. Manakov, The non-local д-problem and (2+1)-dimensional soliton equations //J. Phys. A: Math. Gen. 1988. - №21. - C. 537.

43. V.E. Zakharov, On the dressing method // Inverse Methods in Action / ed. P.C. Sabatier. Berlin: Springer, 1990. - C. 602.

44. A.S. Focas, V.E. Zakharov, The Dressing Method for Nonlocal Riemann-Hilbert Problems // J. of Nonlinear Sciences. 1992. -№2(1). - C. 109.

45. B.G. Konopelchenko, Introduction to multidimensional inte-grable equations. New York: Plenum Press, 1992.

46. B.G. Konopelchenko, Solitons in Multidimensions. Inverse spectral transform method, Singapore: World Scientific, 1993.

47. Л.П. Нижник // Интегрирование многомерных нелинейных уравнений с помощью метода обратной задачи, ДАН СССР. 1980. - №254. - С. 332.

48. А.П. Веселов, С.П. Новиков, Конечнозонные двумерные операторы Шрёдингера. Явные формулы и эволюционные уравнения // ДАН СССР. 1984. - №279. - 1. - С. 20-24.

49. B.G. Konopelchenko, С. Rogers, On (2+1)-dimensional nonlinear system of Loevner type // Phys. Lett. 1991. -№158A. - C. 391.

50. B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, The two-dimesional integrable generalization of the sine-Gordon equation. I. д — д-dressing and initial value problem // Stud, in Appl. Mathem. 1993. - №90. - C. 189-223.

51. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, The 2+1-dimensional generalization of the sine-Gordon equation. II. Localized solutions // Inverse Problems. 1993. - №9. - C. 391-416.

52. J.J.C. Nimmo, A class of solutions of the Konopelchenko-Rogers equations // Phys. Lett. 1992. - №168A. - C. 113.

53. P.A. Clarcson, E.L. Mansfield, and A.E. Milne, Symmetries and exact solutions of a (2+1)-dimensional sine-Gordon system // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1996. - №354A. - C. 1807.

54. E. Olmedilla, Multiple pole solutions of the noo-linear Schrddiner equation // Physica. 1987. - №25D. - C. 330.

55. H. Tsuru, M. Wadati // J.Phys.Soc.Japan. 1993. - №51. -C. 2029.

56. Ch. Pope, Construction of solution of the sine-Gordon equation by means of Fredholm determinants // Physica. 1983.- №9D. C. 103.

57. M. Boiti, J.J.-P. Leon, F. Pempinelli, Multudimancional solutions and their spectral transforms // J.Math.Phys. -1991.- №31. C. 2612-2618.

58. P.C. Sabatier, Quest of multudimancional nonlinear equations with exponentially confined solutions // Inverse Problems. 1990. - №6. - C. 29-32.61