Метод обратной задачи для решения нелинейных интегрируемых уравнений эллиптического типа и его приложения в теории сверхпроводимости и электромагнетизма тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ - 'ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 617.9

ШШАБАШ ЕВГЕНИЙ ШШОНОВШ

МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ Д1Я РШЕНШ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРИРУИШ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИП И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ-диссертация па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Работа выполнена в лаборатории электродинамики нелинейных и нестационарных сред НИИ Физики Санкт-Петербургскою государственного университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Красильников Б.Н.,

кандидат физико-математических наук, старший научный, сотрудник Лнповский В.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Андрианов A.A.,

доктор физико-математических наук, профессор Изергия А.Г.

Ведущая организация : Институт физика металлов УрО РАН

Защита состоится ^ЦЮЙЯ 1994 I. в час

на заседании специализированного совета К 063.57.17 по присуждению ученой степени .кандидата физико-математических наук в Санкт-Петорбурюком государственном университете (199034, Санкт-Петербург »Университетская наб.,7/9).

С диссертацией могло ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан " " .UCtQ_1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета С.Н.Малида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие метода обратной задача (М03\ .начатое в 1967 году,позволило значительно расширить класс» интегрируемых уравнений.К их числу относится класс двумерных нелинейных уравнений эллиптического типа,имеющих чрезвычайно широкий спектр физических приложений ютационарный эффект Дкозефсона в сверх-проводимости,эффекты,возникающие при записи информации в молекуъяр-ных пленках,топологические дефекты в магнетиках,стационарные вихревые движения идеальной несжимаемой жидкости и многое другое.

К настоящему времени рядом авторов с помощью методов преобразования Бэклунда,Дарбу,метода одевания и других подобных приемов получено большое число частных решений нелинейных эллиптических уравнений,что,однако,не позволило кайти математически строгий я регулярный способ их построения.Такой способ должен базироваться на корректной постановке граничной задачи и последующего применения схемы !,ЮЗ к исходному уравнению. Эта идея была реаяизована в ряде работ (А.Б.Бориса,В.В.Киселев,С.Н.Ионов, 1989; Кяи}> ,

1989).Важным шагом в развитии схема МОЗ стала работа В.Д.Лиловско-го и С.С.Никуличева (1988) ,в которой была осуществлена постаноско граничной задачи для (.2+0) уравнения ^ - 1ордон на полуплоскости у>0 ,а требование конечности решения при привело к

некоторому новому граничному условию,выраженному в терминах данных рассеяния (элементов матрицы перехода вспомогательной линейной задачи).При этом использование в качестве метода решония обратной задачи техники задачи Римана на луче позволило сравнительно просто написать систему сингулярных интегральных уравнений и найти "соли-тоняые" решения,а также асимптотику, решений в непрерывном спектре.

Данная диссертация в значительной мере посвящена развитию идей V методов,использованных в последней работе,а также поеым подходам,которые удается применить для решения указанных граничите задач на полуплоскости.

Цели работы. Развитиэ последовательной и непротиворечивой схемы МОЗ для решения граничных задач для нелинейных эллиптических уравнений на полуплоскости: Ьл -Гордон,- &к -Гордон (в классе быстроубывающих функций) и двумерного стационарною изотропного

ферромагнетика Гейзанбарга (в классе условий типа спиральных структур ^ ,а также физическая интерпретация решений этих задач и тождеств следов.

Научная новизна и практическая ценность.В диссертации на примерах уравнений эллиптического типа развивается техника задачи Ри-мана на луче и на "кресте".которую в дальнейшем будет нетрудно распространить на более сложные (многосекторные) случаи.Получены точные "солитошше" решения этих уравнений и дана их физическая интерпретация.Установлен достаточно универсальный характер модели ферромагнетика Гейзенберга с условиями типа спиральных структура случае ког/дактной труппы эта модель калибровочно эквивалентна граничной задаче для уравнения -вК -Гордон,а в случае некомпактной - для уравнения Л -Гордон.Предложена интегрируемая модель неоднородного ферромагнетика, которая более адекватно описывает физические свойства ряда магнитных кристаллов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах лаборатории электродинамики нелинейных и нестационарных сред ШШ Санкт - Петербургского университета,втором и третьем Всесоюзных семинарах - совещаниях "Теория нелинейных волн" в г.Калининграде (1969,19Э1г.) .шеотом Международном Совещании по нелинейным эволщношпш уравнения!.! и динамическим системам в ОШИ, г .Дубна (1930г.К

Публикации. .Основное содержание работы изложено в пяти статьях 11-5].

Объем у структура -работа. Диссертация состоит из введения, 4 глаь,разбитых на параграфы,а также приложения,содержащего два пункта.Общий объем диссертации составляет 155 машинописных страниц. Список литературы содержит 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАЕ0И1

Бо введении дан литературный обзор ло результатам предшествующих работ ио интегрируемым эллиптическим уравнениям,очерчивается цель и рамки диссертации,кратко излагается т содержание.

Глава 1 посвящена точному решению граничной задачи для урагнения синус - Гордон на полуплоскости в kip.sc» бнетроуйивав-щих функций и прилояячрт) полученных результатов к теории стационарного

аспекта Джозефсона.в сверхпроводимости.

В §1 дана постановка граничной задачи для уравнения:

ди= (1)

Предполагается,что -Бещественног.начная функция,определенная

на полуплоскости .удовлетворяющая необходимым

условиям непрерывности и гладкости, и - заданные функ-

ции, причем 0 при ■*.->+»> ии^с^чО при .В заключение

ятого параграфа приводится соответствующая (11,V") -пара,.

В §2 исследуется вспомогательная линейная задача.После введения ряоений коста и установления необходим« редукций для них и данных рассеяния ^элементов матрицы перехода^ .получены интегральные уравнения вольтарровского типа и затравочные функции Грина.Это позволяет выявить аналитические свойства решений Йоста и данных рассеяния,а также найти интегральные представления таких данных.Из второго уравнения пары находится их "эволюция" по переменной Ц- :

Здесь , \~Xoi\j; - спектральный параметр.Используя интеграль-

ное представление для ,а также требование конечности решения

при'любом .будем иметь:

•и

где ('?ц-- столбец решений Йоста, .нело-

кальное условие (3) связывает мевду собой значения Функций и

и^*,^ и является нелинейным аналогом условия 3-го ро-та в граничных задачах для линейных уравнений.Из ^ , (3") следует,что лож-

но обращаться в нуль при .Аналогичным образом это касеется и

поведения .Таким образом,специфической особенностью граничных

задач как для уравнения (1) ,так и для других нелинейных эллиптических уравнений на полуплоскости .рассмотренных в данной работе,является появлениэ лакун в спектре оператора прямой задачи.

§3 посвящен выводу интегральных уравнений обратной задачи с использованием техники задачи Римана о восстановлении кусочно-аналитн-

ческой функции по ее скачку,заданно^ на луче.Кроме того,в этом параграфе получен набор формул восстановления потенциала,а такие соотношения, вещественности на коэффициенты перехода дискрзтного спектра.

Асимптотические и точные решения уравнения (11 найдены в §4. В "оеосолитонном" секторе задачи система интегральных уравнений при

легко итерируется и первая итерация позволяет с помощью, метода перевала вычислить асимптотический вклад непрерывного спектра.В безотратательвом случае получен ответ,являющийся V -"солитонным" решением .анализ, частных случаев которою приводит к решениям типа кикков и типа бризеров.Обнаружены направления асимптотического (при неубывания решений.Этот факт объясняется тем,что в отличие от схемы ШЗ для гиперболических уравнений,когда на фазовом пространстве систем действует группа,в эллиптическом варианте действует од-нопараыетрическая полугруппа (см.формулы (3}) и решение на плоскости может формально Еыпадать из заданного масса,хотя на границе области эта принадлежность сохраняется.

В §5 получены законы "сохранения" и товдоства следов,связывавшие параметры "солитонов" со значениями функционалов от исходной "динамической"перемен1Юй.

В §5 дана интерпретация полученных результатов в терминах стационарною .эффекта Джозефсона.

В главе 2 диссертации рассмотрена граничная задача для двумерного стационарною ферромагнетика Гейзенберга на нетривиальном фоне (классическом вакууме).

В §1 дана постановка задачи для уравнения:

+ , (О

где -вещественнозначный вектор намагни-

ченности, = 1 .определенный на .

Предполагается,что ^^ и -заданные функции и ,

кроме того, у? .

(ь)

ви- оо

где ¿.¿К*^} - параметр,т.е.асимптотика поля на границе представляет-

ся в вида спиральной ( геликоидальной,несоизмеримой) структуры.Соответствующая (у - пара выбирается б следующей капибрсвче:

где , ^^/(ХЧ^Х?! -спектральный параметр .Я,"?? ,

• § , 1.2,3 - стандартные матрицы Паули.Дивизор полюсов вспомогательной линейной задачи,таким образом,состоит из точек 1 1,что в дальнейшем оказывается удобным при получении систем! контуров в задаче Римана.

Вспомогательная линейнач задача для оператора И подробно рассмотрена в §2.В нем введены решения Йоста,данные рассеяния,изучены их редукции я установлены аналитические свойства.Б частности, показано,что непрерывный спектр задачи лежит на "кресте" -и ^-О^ .Другой важный результат этого параграфа заключается в определении зависимости данных рассеяния от ^ и нахождении лакун.

В §3 дан вывод дисперсионных соотношений.Одно из них,с учетом наличия дискретного спектра есть

Рассмотренные зат;м следствия из (7) иллюстрируют причину отклоняя параметра ¿0 в 1.5) : л бззотраяательном случав при Ы- 1 возможно существование "односолнтонного" решения.

В §4 после формулировки матричной задачи Римана на "крэстэ" приводится вывод системы сингулярных интегральных уравнений обратной задачи,а также выписывается формула восстановления намагниченности.

§5 посвящен получению асимптотических и точных реиений уравнения (4) .В "бессолитонном" сектора и борцовском приближении найден ведущий член асимптотики при х-»<» ,а в бэзотратательисм случае получены соотношения (в. = :

првдстаалящие собой У - "сочптоннно" ранения мололи.В вне-

дшш обозначения: Л-^а^ЛД.-^лЛ 1 ^мл/'-Х'ц1, ЕцСздЛ*

= (иуг\р[1<и»К]" Ш -марный вектор, Л' (Ащ} - матрица ,

^^Е^Ц^ТЦ^-Т^АА , -единичная матрица той же размернос-

ти,а символ означает скалярное произведение векторов в С .

Вследствие условия .решение (8) является не сингулярным.

В случав t\|=í выщслея явный ответ и дана ею интерпретация на языке спиральных магнитных структур в рамках классификации,приведенной в монографии Ю.А.Изшова, (.1987).

В §6 получены тождества следов как в окрестности точек дивизора,так и в окрестности точек нуля и бесконечности,причем в окрестности нуля задача свелась к решению уравнения Риккати.

Глава 3 содержит описание к точное решение новой интегрируемой системы - модели двумерного неоднородного ферромагнетика с переменной номинальной намагниченностью,-

В §1 приводится физическое обоснование модели и ее математическая формулировка. Показывается ¡систему можно свести к сихка - модели б искривленном пространстве

где - нсчироЕанная матрица наматшмянности, ?>1= I Л-М¡\Ц} , М^М^с , Й = (МцМг.Н^, > Й^ОП/С^Ь - гармоническая

Функция.

В §2 устанавливается, что уравнение (9) является условием совместности матричной системы:

где

ее=-«а (£, ='у/^-у К^у V , И

- функция,аналитическая в пределах образца, >

а ■иб.С - "скрытый" спектральный параметр.Вгвду неразработанности техники МОЗ для систем вида (10) - (11) ,,цля получения решений используется метод одевания (А.\£ /ЧшЬааом'., Д.Х-^дчшс.ик , 19£2]. Найдено "одкосолитоккое" решение уравнения (9^ вида:

где Ъ - затравочное решение системы (10),

~ произвольный постоянный вектор.В зависимости от выбора рассмотрено несколько частных случаав выражения (12).

В §3 вычисляется энергия и теплоемкость неоднородного ферромагнетика вблизи критической течки.Формула для энергии кшо? вид:

я

где 2. - область, затеваемая образцом.В (13) удобно перейти к интегрированию по переменным и ^ .Используя гипотезу Ландау о поведении функций , (^Т) (Т -температура)

вблизи критической точки, в зависимости от вида из формулы [13) найдено несколько оценок энергии и теплоемкости.При вычислении выражений, содержащих производные по скрытоцу спектральному параметру, существенно привлекается метод ЕЗМ - деформаций (С.П.Буров, В.Е.Захаров,А .В.Михайлов,1987).

В 54 метод одевания применяется дои случая «£=1 .т.е. для "стандартного" ферромагнетика.При выборе в виде спиральной структуры, получено простейшее "однооолитонное" решение и проведено качоственноэ сравнение с результатами,приведенными в главе 2.

Глава 4 посвящена точному решенир граничной задачи на полуплоскости для уравнения

д-ц = - 4 (и)

в классе быстроубыранаих функций я ее применению к модели кулоцор-ской плазмы при отрицательных температурах.

В §1 дала интерпретация уравяегшя (14) как модели аномальной кулоновской системы.в которой яаблпчйетсл яклэнпп гаверсяи эасв-ленностей энергетических уровней,Гдесь ке формулируется траиичиач

задача и пригодится соответствующая (Ц ,V) - пара.

Вспомогательная задача для оператора Ц рассмотрена в §2.Б нэм установлены необходимые редукции для решений Поста,данных рассеяния, определены их аналитические свойства,а также введена матрица калибровочного преобразования,используемая при вшзоде уравнений обратной задачи.

В §3 получены дисперсионные соотношения и тождества следов. Одним из результатов этою параграфа является интегральное представление параметра <£0 .введенного во второй главе и фигурирующею в этой,в "бессолитонном" секторе задачи:

о ^

тле - данное рассеяния для вспомогательной линейной задачи

для уравнения (14).

В §4 сформулирована матричная задача Рнмана на "кресте".Показано,что она имеет неканоническую (.неединичную) нормировку,но с по-коцыо упомянутого калибровочного преобразования сводится к каноническому случаю.В результате рассмотрения векторной задачи Римана о скачке кусочно - аналитической функции,заданном на "кресте",получена система трех векторных сингулярных интегральных уравнений обратной задачи.Эта система затем дополняется формулами восстановления потенциала,для чего приходится использовать довольно длинную процедуру,поскольку матрица калибровочного преобразования явно не определяется.В заключение этого параграфа вычисляется N - "соли-тонноз" решение задачи и в качестве примера рассматривается случай .

В §5 дано приложение результатов предыдущих параграфов к модели кулоновской плазмы при отрицательных температурах.Рассмотрено качественное поведение решения,а также предложена интерпретация тождеств следов.

В Поллокении к диссертации доказывается факт калибровочной эквивалентности граничных задач для .двумерного изотропного ферромагнетика Гейзенберга (нелинейной 0 (з^ модели) с условиями типа спиральных структур и уравнения - - Гордон в классе оые-троубывакдих Санкций.Одним из следствий этого факта являются фор-

мулы связи "потенциалов" обеих граничных задач:

а такие соотношение,связывающее матрицы перехода вспомогательных линейных систем.Во второй части этого приложения рассмотрена интерпретация связей,возникающих в 0(3) сигма - модели,в тарм-нах дифференциальной геометрии.Это позволило оценить ее тоаологический заряд,выразив его через производную от решения уравнения -j.il- Гордон, заданную на границе.С этой целью с помощью специально выбранного анзатца было построено простейшее решений уравнения -Гордон,зависящее от нескольких произвольных постоянных.Кроме того,наличие калибровочной эквивалентности да>ю возможность,рассматривая первую квадратичную форму на сфере("изотопическом" пространства сигма - модели) .получить нелинейное и интегрируемое уравнение для коэффициента Е= этой формы,

предъявив соответствующую (У .V) - пару.

В заключение сформулируем основные положения работы,шпе-симые на защиту:

1.Развита предложенная ранее схема решения граничных задач на полуплоскости для нелинейных интегрируемых уравнений эглиптического типа и получены их точные решения.

2.Дана физическая интерпретация решений этих уравнений и соответствующие тождеств следов в теории стационарного эффекта Джояеф-сона в свэрхпроводимости.дпя двумерного изотропного ферромагнетика 1ейзз1!оерга и модели двумерной кулоновской плазмы при отрицательных температурах.

3.Предложена новая интегрируемая модель двумерного неоднородною ферромагнетика и получены ее точные решения,а также найдены оценки энергии и теплоемкости для ряда вариантов этой модели

с учетом зависимости квадрата вектора намагниченности от температуры.

4.Доказал факт калибровочной эквивалентности граничных задач для . двумерного изотропного ферромагнетика 19йзенбэрга с условиями

типа спиральных структур и уравнения - ьк -Гордон в классе быо-троубыЕащих функций. б.Получон ряд связей в нелинейной 0(з) сигма-модели и дана их интерпретация в терминах дифференциальной геометрии.

ЛИТЕРАТУРА

1 Лутаабаш Е»Ш.,Диповский В.Д.Граничная задача для двумерною эллиптическою уравнения синус-Гордон и ее приложения к теории стационарного эффекта Ддозефсона.//Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.9.Записки научных семинаров ЛОМИ. 1990.Т.180.С.53-61.

2.Гутшайаш Е.Ш.О калибровочной эквивалентности евклидовой 0(3) сигма-модели и эллиптического уравнения -А -Гордон.//Вестник Л1У,серия йизшсаДшия.1£Э0.Вш1.4»С.84-86.

3.Бабич М.В.,Гутшаба'ц Е.Ш.,Лшговский В.Д.,Рыбин А.В.,Салль М.А., Смирнов А.0.Некоторые приложения методов теории солитонов в физика слабой сверхпроводимости.//В сб.Высокотемпературная сверхпроводимость.Актуальные проблемы.Л.:ЛГУ.1Э91.Вш1.3.С.136-102.

4.1;, -набата Е.Ш.,Липовский В.Д.Граничная задача для двумерною стационарного магнетика Гейзенберга о нетривиальным фоном.1. /Деоратическая и математическая флзика.1992.Т.90.Й2.С.259-272.

б.Гутшабаш В.13.,Липовс1шй В.Д.Точные решения нелинейной сигма-модали в искривленном пространстве и теория матнитоупорядо-чвнных сред с переменным моментом насвдения.//Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.11.Записки научных семинаров ЛОЖ. 1592.Т.199.С.71-80.