Экстремальные и спектральные свойства решений задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Экстремальные свойства решений задач Геллерстедта для общих линейных уравнений смешанного типа

§ 1.1. Постановка задач G\ и

§ 1.2. Экстремальные свойства решений в области эллиптичности

§ 1.3. Экстремальные свойства решений в области гиперболичности .■.

§1.4. Принцип экстремума в классе регулярных решений

§1.5.Принцип экстремума в классе обобщенных решений

§1.6. Примеры.

§ 1.7.06 условной разрешимости задач G\ ж G2.

§ 1.8. Задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева — Бицадзе

§ 1.9. Метод вспомогательных функций.

2. Спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе и их применения

§ 2.1. Построение системы собственных функций и исследование на полноту.

§ 2.2. Построение решения задачи Геллерстедта для уравнения с оператором Лаврентьева - Брщадзе.

§2.3. Решение задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с комплексным параметром.

§ 2.4. Пространственная задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа.

3. Спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа со степенным вырождением

§ 3.1.Построение системы собственных функций.

§3.2. Исследование системы собственных функций на полноту

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной ж теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Первыми исследованиями в этой области явились работы Ф. Трико-ми [72, 73], результаты которого обобщались в работах С. Геллерстедта [81, 82]. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные в литературе как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, А.В. Бицадзе, К.И. Бабен-ко, S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Plotter, C.S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Б.А. Бубнов, В.Ф. Волкодавов, B.H. Врагов, Т.Д. Джураев, В.Н. Диденко, В.А. Елеев, В.И. Же-галов, А.Н. Зарубин, Т.Ш. Кальменов, Г.Д. Каратопраклиев, И.Л. Ка-роль, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, О.А. Ладыженская, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, С.М. Пономарев, С.П. Пулькин, О.А. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Р.С. Хайруллин, Хе Кан Чер, Л.И. Чибрикова, Б.Н. Бурмистров и другие. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [75], М.А. Лаврентьев, А.В. Бицадзе [5, 37], C.S. Morawetz [85], A.M. Нахушев [48], В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [11], С.С. Исаму-хамедов [18], Хе Кан Чер [77, 79], Т.Ш. Кальменов [20], М.М. Смирнов [70], В.И. Жегалов [15], Е.И. Моисеев [44, 45], Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков [14], М.С. С'алахитдинов, Н.К. Мамадалиев [68], Н.Б. Плещинский [49, 50]. К.А. Губайдуллин [12], А.А. Косовец [22], А.А. Полосин [51] ж другие.

S. Gellerstedt [81] для уравнения

Утихх + иуу = 0, (0.1) где т - натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках ,4j(;/j.(!) и ^4.2(^2,0), а при у < 0 - характеристиками А\С\,С\Е, EC<i^C<iA<i уравнения (0.1), где Е(е) 0), ai < е < а^ исследовал краевые задачи с данными на Г U А\С\ U А2С2 (задача G1) pi с данными на Г U С\Е U ЕС-2 (задача G'2). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с "нормальной" кривой Го : т + iy

Для уравнения М.А. Лаврентьева sgn у • ихх + иуу= 0 задача G\ подробно изучена А.В. Бицадзе [5]. Причем в этой работе единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при некоторых ограничениях на поведение производных их й^в малой окрестности точки Е.

В работах C.S. Morawetz [85, 86] единственность решения задачи G'2 для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх -j- иуу = 0, где у К (у) > 0 при у > 0, К{ 0) = 0, К1 (у) > 0, К (у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и "аЬс" при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и А2 и кривую Г. Например, кривая Г должна быть звездной относительно точки Е.

В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [11] для уравнения sgny • \у\тихх + иуу = 0, т > 0, ах = -1, а2 = 1 доказали единственность решения задачи G\ методом экстремума при произвольной кривой Г, но при условии, что

1У+(х) = — 1 < X < 1, где

1У+(х) = Ит^ж,?/), v-(x) = ^Ито иу(х,у), хфе ж при условии: lirn v{x) — lim U-(x). x-^e-Q ж—»e+0

Xe Кан Чер [77] рассмотрел задачу G1 для уравнения 1 уиуу + ихх + виу = О, - < в < 1, ai = -1, а2 = 1. (0.2)

Доказательство единственности решения задачи G\ проведено на основе принципа экстремума прп произвольной кривой Г, но при условии, что пределы lim v^ix), lim V-{x) существуют, и х^е—0 х—>е+0 v+{x) — v-(x), —1 < х < е, е < х < 1, где г/(ж) = lim (-yfuy{x1y)) v+(x) = lim у^иу(х,у). у—U j/—+U+U

В случае, когда эллиптическая граница области оканчивается двумя сколь угодно малой длины дужками параболы х2 + 4у = 1, а в остальной части отклоняется от данной параболы наружу, показано существование решения задачи G\ методом интегральных уравнений.

С.С. Исамухамедов [18] изучил задачу Gi для уравнения (0.2) в случае, когда Г совпадает с "нормальной" кривой Го. М.М. Смирнов [70] для уравнения sgn у • \у\тихх + иуу = 0, т > 0 установил справедливость принципа экстремума. Из которого следует единственность решения задач Gi и G'2, когда Г - произвольная кривая и производные их и иу решения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы в окрестности точек Ai, Е и А^. Следует отметить, что здесь при доказательстве принципа экстремума используется явные формулы решений задач Хольмгрена и Дарбу в областях эллиптичности и гиперболичности соответственно. Существование решения задачи доказано для случая, когда кривая Г совпадает с "нормальной" кривой Г{].

Отметим также работу А.А. Косовец [22], где доказана единственность решения задачи G2 для уравнения

K{y)i'xx + vyy - 11 г - ./'. [I G С при произвольной кривой Г, но при условии, что К (у) 6 C%mm,0] П С^Утах], У К {у) > 0 при у ф 0 И lim К (у) = К+ > 0, lini К (у) = А' <0, 11т ц\ < k Refi, у->+0 у-*-0 где к удовлетворяет неравенству

0 < А- < 3£1±А№ЁО„

2 \/2со где cq = inf (1/\К(у)\)., с2 = sup (1/\К(у)\). y£D{K) y£D{K)

Методом разделения переменных Е.И. Моисеев [44, 45] построил решение задач G\ и G'y с нулевыми граничными условиями на характеристиках для уравнения sgn у ■ ихх + иуу = 0 (0.3) в виде суммы биортогоналъных рядов в случае, когда область эллиптичности является полукругом. Доказана равномерная сходимость полученных рядов и возможность почленного дифференцирования их.

А.А. Полосин [51] для уравнения (0.3) в области Q, ограниченной при у > 0 дугой Г окружности х1-\-у1 — 1, а при у < 0 - отрезками характеристик, выходящих из точек А{-1,0), М(-1/2,0), 0(0,0), N(1/2,0) ж £(1,0), исследовал задачу: найти регулярное решение уравнения (0.3), удовлетворяющее граничным условиям: = 0, i = 1,4, где L\ = {(х,у)\х + у = -1,-1 < х < -3/4}, L2 = {(х,у)\х-у = 0,-1/4 < х < 0}, Ьг = {{х,у)\х + у = 0,0 < х < 1/4}, U = {{х,у)\х - у = 1,3/4 < х < 1}; u|r = /(#), 0 < в < 7Г, / е Са[0,7г], /(0) = /(тг) = 0. Решение этой задачи строится с помощью метода разделения переменных и сведения к задаче Римана-Гильберта для круга. Единственность решения задачи доказана на основе принципа экстремума А.В. Бицадзе.

R.J. Michael [84] для уравнения

К{у)ихх + иуу + r(x,y)u = f(x,y), где у К (у) > 0 при у ф 0, исследовал задачу с условиями Дирихле на Г, А\С\^ ЕС2 и задачу с условиями на Г, С\Е, А2С2 в случае, когда кривая Г совпадает с параболой. Для этих задач даются условия, при которых квазирегулярное решение из класса C'2(D) П C(D) единственно. Устанавливается существование слабого решения в пространстве W™{D).

В работе Т.Д. Джураева, Ю.П. Апакова [14] показано существование и единственность решения задачи Геллерстедта для парабологиперболического уравнения

0 | Vy - vxx - vZZly > О Vyy - (-y)m{Vzx + vzz), 1,1 < 0. /// > 0 в бесконечной цилиндрической области.

В работе М.С. Салахитдинова, Н.К. Мамадалиева [68] изучена задача Геллерстедта для уравнения параболо - гиперболического типа второго рода.

Целью данной работы является исследование следующих вопросов:

1) установление экстремальных свойств решения общих линейных уравнений смешанного типа и применение этих свойств при изучении задач Геллерстедта;

2) доказательство существования обобщенного решения задач Геллерстедта для обшего линейного уравнения смешанного типа при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа;

3) построение системы собстенных функций задачи Геллерстедта для оператора Лаврентьева-Бицадзе и исследование на полноту;

4) решение задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе методом спектрального анализа;

5) исследование системы собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа со степенным вырождением.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 установлен принцип экстремума для общего уравнения смешанного типа с гладкой линией изменения типа в классе его регулярных и обобщенных решений в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области при некоторых условиях на коэффициенты изучаемого уравнения. Приводятся применения экстремальных свойств при исследовании задач Геллерстедта. В § 1.1 для уравнения смешанного типа

Lu = К(у)ихх + иуу + А(х,у)их + В(х,у)иу + С(х,у)и = F(x,y), (0.4) где у К (у) > 0 при уф 0, К {у), А(х,у), В(х,у), С(х,у), F(x,y) - заданные достаточно гладкие функции, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках Ai(ai,0) и А2(а2,0), а\ < 0, а^ > 0, характеристиками А\С\, С\Е, ЕС'?, С2А2 уравнения (0.4) щшу < 0, где £(е,0), а\ < е < а2, С Vci)i 'Уа < 0 и C^i22^, Ус,)> Ус2 < 0? ставится задачи Геллерстедта.

Задача G\. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и{х} у) £ C(D) n С1^) n C\D0 и Di U D2), (0.5)

Lul.r.y) ~ F(x, у), (х,у) G U A U D% (0.6) и(х,у) = р(х,у), (х,у)еТ, (0.7) и(х,у) = ф!(х,у), (х,у) Е AlC1UA2C2, (0.8) где <р и - заданные достаточно гладкие функции, (р{А\) = il>i(Ai) и (р(А2) = 4>i{A2), Do = D П {у > 0}, Dl = D П {у < 0, х < е} и D2 = D П {у < 0, х > е}.

Задача G2. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.5)-(0.7) и и(х,у) = ф2{х,у), (х,у) еС^ЕиТЩ, (0.9) где (р и ф2 - заданные достаточно гладкие функции.

В § 1.2 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке производной по нормали в точке максимума и вблизи точки изолированного максимума решения уравнения (0.4) на линии вырождения.

Лемма 1.2. Пусть: 1) в области Dq коэффициенты уравнения (0.4) ограничены, и С(х,у) < 0; 2) и{х,у) G С(Щ П Cl(D0 U АХЕ U ЕА2) П Cy2(D0), Lu = F > 0(< 0) в D0; 3) итхи(х,у) = u(Q) >

Do

0 (тши(х}у) = u(Q) < 0); 4) функция и(хуу) имеет, изолированный Do положительный максимум ( отрицательный минимум) u(Q) в точке Е; 5) в малой окрестности точки Е: а) функция К{у)и2х + и2у суммируема; б) производные Ах и BXJ непрерывны вплоть до границы; в) 2С — Ах — Ву < 0, В(х, 0) > 0. Тогда в любой выколотой окрестности U С ODq тючки Е найдется точка Q\ = (^i,0) G U такая, что уНтоггу(жьу)<0(>0).

В § 1.3 для уравнения (0.4) в областях гиперболичности при некоторых условиях показано, что максимум решения и(х,у) по D\ и D<2 достигается на отрезке параболического вырождения.

В § 1.4 установлены экстремальные свойства решений уравнения (0.4) в классе регулярных решений в смешанной области.

Определение 1.2. Регулярным из класса R\{D) решением уравнения (0-4) назовем функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

1) и(х,у) G C(D) П С1 (13);

2) и(х,у) G С2(D0) и Lu(x,y) = F(x,y) в D0;

3) и(х,у) в областях D\ и D% является решением уравнения (0-4) в характеристических координатах (£,//);

4) производные и^ и и^ в характеристических координатах (£,?/) непрерывны в D\\A\E и D^AzE соответственно.

Определение 1.3. Регулярным из класса R^D) решением уравнения (0-4) назовем функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям 1)-3) определения 1.2 и, кроме того, производные щ и щ в характеристических координатах (£,??) непрерывны в D\\A\E и D2\A^E соответственно.

При некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения (0.4) доказано следующее утверждение: если и(х,у) - регулярное из класса R\(D) (R,2(D)) решение уравнения (0./[), равное нулю на характеристиках А\С\ и А2С2 (С\Е и ЕСъ), то положительный шахи (отрицательD ный 11Ш1 и) достигается на кривой Г. D

Из этого утверждения следует единственность решения задач G\ и при произвольной эллиптической границе Г, положительность решений уравнения (0.4) в области Z), аналог неравенства Чаплыгина.

В § 1.5 доказан принцип экстремума для уравнения (0.4) в классе обобщенных решений.

Определение 1.4. Обобщенным, из класса Qi(D) [Q2{D)\ решением уравнения (0-4) будем называть функцию и(х,у)} если существует последовательность регулярных решений {up(xJy)} уравнения (0-4) из R\(D) [R2(D)], равномерно сходящаяся к и(х,у) в замкнутой области D.

Утверждения о принципе экстремума, полученные в § 1.4, переносятся в класс обобщенных решений уравнения (0.4), из которых следует единственность обобщенного решения задач G\ и G2 без каких-либо ограничений геометрического характера на кривую Г.

В § 1.6 приведены примеры модельных уравнений смешанного типа: п — 1 щпу ■ \у\пихх Hr Uyy + ао\у\~их = F(x,y), п > 0, aQ = const, sgnу ■ + Uyy — Xu — F(x,y), Л = const, uxx + sgn у ■ ulfy - Xu = F{x, y), Л = const, для которых показано применение теорем, установленных выше.

В § 1.7 рассматривается уравнение

Lu = sgnу • |у\пихх + иуу 4- Аих + Виу + Си — 0, п > О (0.10) в области D. Пусть х = x(s),y = y(s) - параметрические уравнения кривой Г из класса Ляпунова; s - длина дуги, отсчитываемой от точки А2 против часовой стрелки; S - длина кривой Г; Гд - "нормальная" кривая, заданная уравнением и, кроме того, предположим, что для уравнения (0.10) выполнен принцип экстремума.

Определение 1.5. Регулярное из класса R\(D) [R^D)] решение уравнения (0.10), удовлетворяющее граничным условиям (0.7) и (0.8), [(0.7) и (0.9)], назовем регулярным решением задачи G\ [G2].

Определение 1.6. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи G\ [G2] назовем обобщенным решением задачи G\ [G2].

Теорема 1.8. Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в т,очках А\ и А 2 сколь угодно малыми дугами кривой Го, существует регулярное в D решение задачи G\ для уравнения (0.10). Тогда, если функция cp(s) £ С[0, S] и ф\{х) достаточно гладкая (т.е. функция Ф\(х) такова, что при достаточно гладкой функции ip(s) выполнено условие т.еоремы 1.8) на [a-i, U l^f2"-, а2]> Ф\{а1) = V*i(a2) — <£>(0) = <p(S) = 0, то существует единственное обобщенное в D решение и(х, у) задачи Gi при произвольном подходе кривой Г к оси у — 0, за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dx/ds м.еняет. знак и dy/ds = 0.

Отметим, что в случае задачи G2 теорема 1.8 формулируется аналогично.

Доказательство этих утверждений проводится на основании принципа экстремума альтернирующим методом типа Шварца.

В § 1.8 для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области D доказан принцип экстремума. И на основании альтернирующего процесса типа Шварца доказано существование и единственность регулярных решений задач G'i и G2 при произвольном подходе кривой Г из класса Ляпунова к оси у = 0, за исключением случаев, когда в достаточно малых окрестностях концов эллиптической границы производная dx/ds меняет знак и dy/ds = 0.

Ранее альтернирующий метод типа Шварца был применен для доказательства теорем существования задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе [7], для уравнения Трикоми [2] и общего уравнения смешанного типа [58].

В § 1.9 устанавливается единственность регулярного решения задачи G1 для уравнения

Ьи = К{у)ихх + иуу - Х(у)и = 0, (0.11) где у К (у) > 0 при уф 0, К (у), X (у) ~ заданные функции, в области D (ai = 0, a2 = 1).

Теорема 1.10. Пусть: 1) на кривой Г отсутствуют точки, при переходе которых ni(s) меняет знак, а П2(з) = 1; 2) К (у) £ С[ут{п,0] П С1[утт, 0) П С[Ъ,утах] П С1 у max)', 3) фуНКЦЧЯ Цу) £ С[утЫ,Утах] ™а-кова, что существует решение ji(y) уравнения Риккати у) + /i2(y) = Цу), Vmin < У < Утах из класса С1[ут-т^утах]. Тогда, если существует регулярное в области D решение задачи G\ для уравнения (0.11), то оно единственно, где п = (щ,П2) - единичный вектор внутренней нормали к границе области D, п\(s) — —dy/ds, 712(5) = dx/ds.

В главе 2 изучены спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе и показаны применения этих свойств при построении решения задачи Геллерстедта.

Спектральной теорией основных краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Е.И. Моисеев [44, 47], С.М. Пономарев [52, 53], Т.Ш. Кальменов [19, 20], К.Б. Сабитов, А.А. Карамова [62], Я.Н. Мамедов [39, 40], В.З. Вагапов [8].

В § 2.1 рассматривается уравнение где А - комплексный параметр, в области D, ограниченной простой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А\{—1,0) и ^2(1,0) и характеристиками AiC\{x + у = —1), С\0(х — у = 0), ОС2(х + у — 0), С2А2{х — у = 1) уравнения (0.12) при у < 0, где

Ci(-l/2;-l/2), О(0; 0), С2( 1/2;-1/2).

Обозначим Do = D П {у > 0}. D} = D П {ж < 0,у < 0}, D2 = Df){x > 0,у < 0}.

В области D для уравнения (0.12) поставим следующую спектральную задачу (Задача G\).

Задача G\. Найти значения комплексного параметра А и соответствующие функции и(х,у), удовлетворяющие условиям:

Lu = ихх + sgn у • иуу + Хи = 0,

0.12) и(хГ, у) е C(D) n C\D) П C2(D0 UDiU D2)

0.13)

Lu(x,y) = 0, (х, у) E D0UV1UD2 u(x,y)= 0, (x,y)er, tiix.m о. (x,y) ec1ouoc2.

0.14) (0.15) (0.16)

Предварительно для уравнения (0.12) в областях D\ и D2 строятся в явном виде решения задач Дарбу [57]. На основании этих решений задача G\ сводится к новой нелокальной спектральной задаче для оператора Лапласа в области Dq: найт.и значения комплексного параметра X и соответствующие им, собственные функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.13)-(0.15) и о иу{х, 0) + их(х70) = А [ u(t,0)7l[VX{t - x))dt, -1 < ж < 0, и. ь я,0) - их(х,0) = X j u(t, 0)7i[V\{x - t)]dt, 0 < х < 1, где J\{z) — J\{z)fz, J\(z) — функция Бесселя, л/Х > 0 при X > 0.

В случае, когда область эллиптичности является полукругом с центром в начале координат, методом разделения переменных найдены собственные значения

Л, апт, ?7, т = 1,2,., где апт — ш-й корень уравнения Jlin(a) — 0, рп = п — 1/2, и соответствующие им собственные функции

Unm(x,y) =

Хцт?

CnmJцп 1) Cfim ( ] J cOSHnip + sinpn<p), {r,cp) e Do, x + yt X + y\

Hn

-'Tim

J, in

Xnm{x'2 - y2)J , G Di, yj\nm(x2 - y2)}, (ж, у) e D2,

0.17) где cnm = const, n G N, ж = rcos^p, у = rsimp в области Aj.

Исследован вопрос о полноте в пространствах L2{Dq), L2(D\), L2(D2) и L2(D) системы собственных функций (0.17).

Теорема 2.3.Система собственных функций (0.17) задачи G\ полна в пространстве L2(Dq).

Теорема 2.4. Подсистема собственных функций (0.17) задачи G\ при п = 2, 3, • • • полна в ^(-С^)

Теорема 2.5. Подсистема собственных функций (0.17) задачи G\ при п = 2, 3, • • • полна в I^/Di).

Теорема 2.6. Система собственных функций (0.17) задачи G\ не полна в L^(D).

В §§ 2.2—2.4 на основании работ [43, 44] показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

В § 2.2 рассмотрено уравнение в области Z), ограниченной частью окружности Г (х2 + у2 = 1, у > 0), а при у < 0 - характеристиками А\С\, С\0, ОС'з, С2А2 уравнения (0.18),

Задача G-2- Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

Теорема 2.7. Если f(ip) <= Са[0,тг], 0 < с* < 1, /(0) = /(тг) = 0, то

Lu ЕЕ ихх + sgn у ■ Uyy = 0

0.18) где Ai(-1, 0), А2(1,0), С\(-1/2, -1/2), С2( 1/2, -1/2).

0.13),(0.14), (0.16) и

Ф, у] = V(r, = /(, <р е [о, тг],

1 ' !)■=[ г где f - заданная достаточно гладкая функция. существует решение задачи G^, которое имеет вид Е /пгМ sin[(n - 1/2 + тг/4], (г, у») С- Д, га=1

00 , 1 vz п=1

1 ОО 1

4 Е + (x,y)6D2, у 1 П= 1 п— где /„ определяются по (формуле

7Г

0.19)

2 (2 cos у/2)"' ^ .

Б sr- / -i\l—m /~т 0 ""Ь 1) / = W/2 ^l^l-J-J , Ч = -j-,

771=0 ггрт этом и £ С°°(Ц) U AiO U ОА2) П С°°(А U AiO) П С°°(£>2 U ОА2). В § 2.3 построено решение задачи G2 для уравнения

Lu = Ми + sgn • %(/ + Ли- = 0, Лес в области D.

Теорема 2.8. Если f(<p) £ Са[0,тг], 0<а< 1, /(0) = /(тг) = 0, то существует решение задачи Gч для любого X ф Хп,т> и оно имеет вид:

Г fn 2- sill n=l 7Я*[>/А] 1N n-

2/

Г, <p) £ Д o> 1 n 1

2„t чЖ + 3//

-.2 1,2 (яг, 2/) £ Db l Ё

V2n=i U-г/У - 2/2)] (x,y) £ £>2, g(9e fn определяются no формуле (0.19), и при этом и(х,у) £ C°°(Z)o U AiO U OA2) П U AiO) П C°°(D2 U OA2).

В § 2.4 для уравнения

LV = Vxx + sgn у ■ Vyy -f Vzz = 0 в области Q = D x (0,7г), где D - область плоскости R2xy, описанная в § 2.2, изучена следующая

Задача G. Найти функцию V(x,y,z), удовлетворяющую условиям:

V(x, у, z) £ С(П) П Crl(fi) П C'2(Qq U Qi U П2), LV(x,y,z) = 0, (x,y,z) £ Q0 U fix U02,

18

V(x,y,z)\s = W(r,<p,z)\r=i = /(9,2), 99 G [0,7Г], г G [0,/r],

V(x:y,z)\y=x = 0, x G [-1/2, 0], G [0,7г],

V^,^)^, = 0, ж G [0,1/2], 2 G [0,7г], ^(я,^)^ = 0, где f - заданная достаточно гладкая функция, S = {ж2 + у2 ~ 1, у > 0, г G [0, тг] }, = П П {г/ > 0}, fii = О П {ж < 0, у < 0}, П2 = Q П {х > 0,2/<0}.

Теорема 2.9. Если функция f(<p,z) по переменной <р удовлетворяет, на отрезке [0,7г] условию Гелъдера с показателем a G (0,1], а по переменной z на отрезке [0,тг] - условию Гелъдера с показателем [3 е (0,1], /(<?, 0) = /(99,7г) = 0, /(0, г) = f(n,z) = 0, то существует решение задачи G в области Q. и оно имеет вид: где коэффициенты fnk находятся из разложения функции Pn(<fi) е ряд по системе синусов х,у, z) G Q2 x,y,z) G fil,

00

PnM = Е fnk Sin[(fe - 1/2)9? + 71-/4], 9 G [о, 7Г] о а функция Рп((р) определяется по формуле Рп{<+>) = ~ J f((p, z) sin nzdz, Ifjt(-) - модифицированная функция Бесселя.

ТГ

В главе 3 исследована спектральная задача G\ для уравнений смешанного типа со степенным вырождением. Найдены собственные значения и собственные функции задачи Gд. Построенная система собственных функций исследована на полноту.

В § 3.1 рассматривается задача G\ для уравнения

Lu = sgn у • \у\тихх + иуу + sgn у ■ \у\тХ'2и = О А Е С, то > 0 (0.20) в области D. аналогичной области из § 2.1, где AiCi, С\0, ОС% и С2А2 являются характеристиками уравнения (0.20).

На основании решения задачи Дарбу [21] для уравнения (0.20) в области D\ с граничными условиями: иу{х) 0) — v(x), х Е (—1,0), и(х. у)\с\о — х £ [—1/2,0] и в области D2 с граничными условиями: иу(х, 0) = v(x), х Е (0,1), и(х,у)\ос7 — 0, х Е [0,1/2] получены соотношения между функциями и(х,0) и иу(х.0) на отрезках А\() и ОА2 оси у = 0: и(х, 0) = d J Г. ():,//. 0 < .г < 1. (0.21)

0 Iх Ч ! и(х, 0) = d -1 < X < 0, (0.22) х {1-Х) позволяющие свести задачу (0.13)-(0.16) к нелокальной спектральной задаче для уравнения (0.20) в области Dq : найти значения комплексного параметра Л и соответствующие им собственные функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.13)-(0.15), (0.21) и (0.22). В (0.21) и (0-22) 0 = d = J-dz) = Г(1 - /*)<§)>/-„<*),

J~p(z) — функция Бесселя.

В области Dq = {(:r, t/)[a:2+ уУт+2 < У > 0} методом разделения переменных найдены собственные значения Ап& и соответствующие им собственные функции задачи G\:

Unk(x,y) = cnkr-'eJln (Хпкг) [(sill ' F Q + 7n, \ - 7n, sin2 +

Г(7п+/?)Г(3/2-/?) p + In, P-7n,\ + P\ sin21)], (r, 9) G Do,

Г(1/2 + Р)Г(1+<уп-РУ

Г (3/2 - /?)Г(1/2 + 7n) б7 nfer(l + 2Тп)Г(1/2 - P - Ъ)° J"Mnka]X x (1 ~ (V + 7n, 1/2 + 7n, 1 + 27n; , (<x, 0) 6 A, cnk Г(7п + /?)Г(1/2 + 7„) .

2a Г(1 + 27п)Г(1/2 + p) x9~(^F(p + 7n, 1/2 + 7n, 1 + 27„; 1/0), 0) G

0.23) где 7n = n — 1/2, n G N, - действительные числа, - А:-й корень уравнения J7n(А) = 0.

В § 3.2 система собственных функций (0.23) исследована на полноту.

Теорема 3.1. Система собственных функций (0.23) задачи G\ полна в L2(D0).

1. Александров А.Д. Исследование о принципе максимума // Известия вузов. Математика. - 1958. - N 5. - С. 126-157.

2. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1952. - 195 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1965. - 296 с.

4. Берс Л.; Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. - 351 с.

5. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа. Труды Ма-тем. ин-та АН СССР. 1953. - Т. 41.

6. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. - 204 с.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

8. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций.I.- М: ИЛ, 1949. 799 с.

9. Веку а В.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. - 512 с.

10. Волкодавов В.Ф., Лернер М.Е. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта // Дифференц. уравнения. Тр. пед-тов РСФСР. Вып. 6. Рязань, 1975. - С. 55-56.

11. Губайдуллин К. А. О единственности решения задач Геллерстедта для уравнения смешанного типа j j Материалы 27-й межвузовской научной конференции математических кафедр пед. институтов Уральской зоны. Ижевск, 1969. - С. 50-54.

12. Гурса Э. Курс математического анализа. Интегральные уравнения. Вариационные исчисление. Т.III, 4.2. М., 1934. - 318 с.

13. Джураев Т.Д., Апаков Ю.П. Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве // Дифферент уравнения. 1990. - Т. 26, N 3. - С. 438-448.

14. Жегалов В.И. Одновременное обобщение задачи Трикоми и Геллерстедта // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1981. - С. 58-61.

15. Жегалов В.И. Исследование краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа. Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. 28 с.

16. Забрейко П.П., А.И. Кошелев, Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 448 с.

17. Исамухамедов С. С. Краевые задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа второго рода // Дифференц. уравнения с частными производными и их применения. Ташкент: Фан, 1977. - С. 33-40.

18. Калъменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения - 1977. - Т. 13, N 8. -С. 1718-1725.

19. Калъменов Т.Ш. О спектре задачи Геллерстедта //Теоретические и прикладные задачи математики и механики. Институт матем. и мех. АН Казах. ССР. 1977. - С. 167-169.

20. Капилевич М.Б. О функциях Грина-Римана для сингулярных задач Трикоми //Rev. Roumaine math pures et appl. 1966. - N 3. -C. 317-324.

21. Косовец А. А. Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина с комплексным спектральным параметром: Ав-тореф. дне. . канд. физ.-мат. наук. М.: Изд-во МГУ, 1991. - 20 с.

22. Кожанов А.И., Ларъкин Н.А., Яненко Н.Н. Об одной регуляризации уравнений переменного типа // Докл. АН СССР 1980. -Т. 52, N 3. - С. 525-527.

23. Кучкарова (Байназарова) А.Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения типа Чаплыгина // Физика конденсированного состояния: Труды Всеросс. науч. конф. Т.1. Математические методы физики. Стерлитамак, 1997. - С. 10-13.

24. Кучкарова (Байназарова) А.Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения Чаплыгина // Тезисы Третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ). Ч. 4. Новосибирск, 1998. - С. 7-8.

25. Кучкарова (Байназарова) А.Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения типа Чаплыгина // Проблемы математического образования в педвузах на современном этапе: Тезисы докладов науч.-практ. конф. Челябинск, 1998. - С. 5.

26. Кучкарова А.Н. Единственность решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа // Проблемы физико- математического образования в педвузах России на современном этапе: Материалы Всеросс. науч.- практ. конф. Ч. 2. Магнитогорск, 1999. - С. 20-23.

27. Кучкарова А.Н. О спектральных свойствах задачи Геллерстедта для оператора Лаврентьева-Бицадзе // Понтрягинские докладыX. Современные методы в теории краевых задач: Тезисы докладов конф. Воронеж, 1999. - С. 149.

28. Кучкарова А.Н. Аналог задачи Геллерстедта для пространственного уравнения смешанного типа // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. III. Анализ и дифференциальные уравнения: Труды Междунар. науч. конф. Уфа,2000. С. 121-125.

29. Кучкарова А.Н. Задача Геллерстедта для пространственного уравнения смешанного типа // Мат. моделир. в естеств. и гуманит. науках: Тезисы докладов Воронеж, зим. сими. Воронеж, 2000. - С. 132.

30. Кучкарова А.Н. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа // Ред. Сиб. мат. ж. СО РАН. Новосибирск, 2001, 21 с. Деп. в ВИНИТИ 29.08.2001. N 1915 В 2001.

31. Кучкарова А.Н. О полноте системы собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения и их приложения: Труды Междунар. науч.конф. -Самара: СамГАСА, 2002. С. 208-211.

32. Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. - Т. 70, N 3. - С. 373-376.

33. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 112, N 2. - С. 195-197.

34. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. -Т. 26, N 1. - С. 163-168.

35. Мамедов Я.Н. К задаче на собственные значения для уравнений смешанного типа // Дифферент уравнения. 1993. - Т. 29, N 1. -С. 95-103.

36. Майоров И.В. Распространение теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах на уравнения смешанного типа. // Уч. зап. Волгоградского госпед. ин-та. Волгоград, 1959. - С. 75-80.

37. Майоров И. В. К вопросу о принципе максимума и его следствиях для уравнений смешанного типа // Волж. матем. сборник. Вып. 1. Куйбышев, 1963. - С. 145-155.

38. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифферент уравнения,- 1987. Т. 23, N 1. - С. 177-179.

39. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения,- 1990. Т. 26, N 1.- С. 93-1003.

40. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, N 7. - С. 1160-1172.

41. Моисеев Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, N 7. - С, 1229-1237.

42. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, N 1. -С.110-121.

43. Нахушев A.M. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта // Дифферент уравнения. 1968. - Т. 4, N 1. - С. 52-62.

44. Плещинский Н.Б. Об эквивалентности задачи типа Геллерстедта задаче Римана для системы функций / Труды семинара по краевым задачам. Вып. 14. Казань: Изд-во КГУ, 1977. - С. 194-205.

45. Плещинский Н.Б. Применение метода спектральных уравнений к решению задачи типа Геллерстедта / Труды семинара по краевым задачам. Вып. 18. Казань: Изд-во КГУ, 1982. - С. 144-155.

46. Полосин А.А. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд // Дифферент уравнения. 1996.Т. 32, N 1. - С. 435-437.

47. Пономарев С.М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977,- Т. 233, N 1. - С. 39-40.

48. Пономарев С.М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977,- Т. 235, N 5. - С.1020-1021.

49. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

50. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифферент уравнения,- 1988. Т. 24, N 11. - С. 1967-1976.

51. Сабитов К.Б. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР 1991.- Т. 316, N 1,- С. 40-44.

52. Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении: инеграль-ных уравнений. I // Дифференц. уравнения.- 1990. Т. 26, N б. -С. 1023-1032.

53. Сабитов К.Б. Альтернирующий метод типа Шварца в теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1992. - Т. 322, N 3. - С. 476-480.

54. Сабит.ов К. Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми //Дифференц.уравнения. 1992. - Т. 28, N 12. - С. 2092-2101.

55. Сабитов К.Б., Капустин Н.Ю. УравнениеРикатти в теории уравнений смешанного типа // ДАН 1990. - Т. 314, N 6. - С. 1307-1311.

56. Сабитов К.Б., Капустин Н.Ю. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, N 1. - С. 60-68.

57. Сабитов К.Б., Карам.ова А.А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Известия РАН. Серия математическая 2001. - N 4. - С. 133-150.

58. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения типа Чаплыгина // Материалы II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции. 4.2. Уфа, 1997. - С. 6.

59. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения // Сиб. мат. ж. 2001. - Т. 42, N 5. - С. 1147-1161.

60. Сабитов К. Б., Мукминов Ф.Х. О знаке производной по конормали вблизи точки максимума решения вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, N 6. - С. 844847.

61. Салахитдинов М.С., Мамадалиев Н.К. Задача Геллерстедта для уравнения параболо-гиперболического типа второго рода //Тезисы Третьего Сибирского конгресса по прикладной математике (ИНПРИМ). 4.4. Новосибирск, 1998. - С. 36-37.

62. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966. 292 с.

63. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. -М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

64. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением // Дифференц. уравнения. 1974. - Т. 10, N 1. - С. 143— 152.

65. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. M.-JI.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

66. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

67. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

68. Франклъ Ф.И. О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений j j Изв. АН СССР. Сер. мат. 1945. - Т. 9, N 2. - С. 121-142.

69. Хайруллин Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода / / Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, N 5. - С. 894-895.

70. Хе Каи Чер. О задаче Геллерстедта // Тр. семинара С.Л. Соболева. Новосибирск, 1976. N 2. - С. 139-145.

71. Хе Каи Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1976. N 26.- С. 134-141.

72. Хе Каи Чер. О единственности решения задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа // Сиб. мат. ж. 1977. - Т. 18, N 6. - С. 1426-1429.

73. Agmon S. , Nirenberg L., Protter M.N. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic- hyperbolic type // Comm. Appl. Math. 1953. - V. 6, N 4, -P. 455-470.

74. Gellerstedt S. Sur on probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. Uppsala, 1935. - 92 p.

75. Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l'equation ymzxx+zyy = 0 // Arkiv Mat. och Fysik, 1938. - В 26A, N 3. - P. 1-32.

76. Hopf E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V. 3, P. 791-793.

77. Michael R.J. The will-posed Tricomi problem of two kinds // J. Math, and Phys. Sci. 1993. - V. 27, N 6. - P. 383-393.

78. Morawetz C.S. A uniqueness theorem for the frankl problem // Communs pure ahd Appl. Math. 1954. - У. 7, N 4. - P. 697-703.

79. Morawetz C.S. Note oil maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation // Proc. Roy. Soc. 1956. - V. 236, N 1024. - P. 141-144.