Метод прямых и метод сеток для квазилинейных уравнений параболического типа с неклассическими краевыми условиями в классе обобщенных решений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ

РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕС -КОГО ТИПА С НЕКЛАССИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

1.1. Решение обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с краевым условием Ионкина-Са-марского в пространствах (ОД) и (О, 1) /стационарный случай/

1.2. Нестационарный случай. Однозначная разрешимость краевой задачи Ионкина-Самарского в пространстве

Ч2Д(Рт.1-*).

1.3. Нестационарный случай. Решение краевой задачи Бицадзе-Самарского в пространстве '

ГЛАВА П. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ.

2.1« Разностные схемы для обыкновенного квазилиней -ного уравнения второго порядка с краевым условием Ионкина-Самарского

2.2. Схемы метода прямых и разностные схемы для квазилинейного уравнения теплопроводности с краевым условием Ионкина-Самарского

2.3. Схемы метода прямых и разностные схемы для краевой задачи Бицадзе-Самарского

В последнее время все больший интерес исследователей вы -зывают задачи математической физики с нелокальными краевыми условиями. Классическим примером такого рода задач является задача Ионкина-Самарского [16] » описывающая процесс рас -пространения тепла в тонком нагретом стержне, когда на одном конце стержня поддерживается нулевая температура и потоки тепла на концах стержня равны. Данная задача имеет большое значение также и в физике плазмы - является математической мо -делью процесса диффузии частиц в турбулентной плазме. Другим примером нелокальных краевых задач является задача Бицадзе-Са -марского [ £ ] , которое возникает при решении задач теории упругости и теории оболочек, например: при исследовании уравнения статики однородного и изотропного тела, при нахождении упру -гого равновесия тела и т,д, [12.] • Особенностью указанных выше краевых задач является их несамосопряженность. Отсюда следуют трудности теоретического изучения этих задач и их дискретных аналогов /разностных схем/. Результаты общей теории разностных схем и дифференциальных уравнений не переносятся на эти задачи* Трудности, связанные с несамосопряженностью усугубляются в случае, когда коэффициенты в исходных уравнениях явля -ются разрывными, а правые части обобщенными функциями, что нередко бывает на практике. Надо отметить, что результаты исследования нелокальных краевых задач математической физики в классе обобщенных решений в данное время в литературе отсут -ствуют. Поэтому проблема исследования нелокальных краевых за -дач математической физики в обобщенной постановке и построе -ния эффективных разностных схем для численного решения этих задач, является актуальной.

Целью данной диссертации является:

- получение теорем существования и единственности обобщенных решений для обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с неклассическим краевым условием Ионкина-Самарс -кого в пространствах W^ (ö» О и (О» l) *

- исследование краевой задачи для квазилинейного уравнения параболического типа с неклассическим условием Ионкина-Самарс

2 1/ кого в классе обобщенных решений из ' ((¡) 1-ф

- доказательство однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи Бицадзе-Самарского в пространстве ' (Q £ 1-х)•

- построение и исследование схем метода прямых и разност -ных схем для краевых задач Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского в классе обобщенных решений«

Приведем краткий обзор литературы, относящейся к предмету исследований. Теоретическим вопросам существования и единст -венности регулярного решения нелокальных краевых задач Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского посвящены работы A.A. Ca -марского, A.B. Бицадзе, Д.Г. Гордезиани, Н.И. Ионкина, Е.И.Моисеева и др. В работах [16,1?] для нахождения регулярного решения задачи Ионкина-Самарского предложен метод, основанный на возможности разложения функции, задающей начальные условия задачи, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций. Там же получены априорные оценки устойчивости решения задачи по начальным данным и правой части в норме Ар (О, l) . а также в нормах С (О, l) и С (%т) • Задача Бицадзе-Самарского впервые рассмотрена в [2] для уравнения Пуассона в прямоугольнике, в которой доказано существование и единственность регулярного решения рассматриваемой задачи.

Б работах [10,11,12] исследованы вопросы существования и единственности регулярных решений эллиптических и параболических уравнений с условием Бицадзе-Самарского, а также некоторыми их обобщениями. В статье [12] рассматривается краевая задача для уравнений эллиптического типа с нелокальным условием Бицадзе-Самарского. Для ее решения предложен итерационный метод, позволяющий не только приближенно находить решение, но и доказать его существование. В работах [ кроме теоретического исследования задачи Ионкина-Самарского и Бицадзе-Самарского рассмотрены вопросы численного решения этих задач /построение разностных схем и проведение численных расчетов/. Так, в [l8] для численного решения задачи Ионкина-Самарского, построено и исследовано однопараметрическое семейство разностных схем, изучен вопрос об устойчивости решения по правой части уравнения и начальному условию. Получены априорные оценки решения разностных схем в сеточной норме пространства L^ . Исследована сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи. Получена оценка скорости сходимости, по порядку совпадающая со скоростью сходимости схем с весами для классической первой краевой задачи теории теплопроводности /см. напр.

149] /. В f 18] и выше названных работах, где исследованы разностные схемы для численного решения нелокальных краевых задач, использован известный традиционный подход получения оценки скорости сходимости, а это приводит к завышениям требований на гладкость решения дифференциальной задачи, которой, как правило, на самом деле нет. Причиной является то, что в соответствующие априорные оценки погрешность аппроксимации входит в форме, содержащей производные высокого порядка от решения исходной задачи. Такая же ситуация до недавнего времени была характерна и для задач с классическими краевыми условиями. Поэтому одним из основных вопросов в современной теории метода сеток является установление оценок скорости сходимости разностных схем, согласованных с гладкостью искомого решения.

В работе [38] предложен подход к построению и исследованию схем метода прямых для уравнений эллиптического типа с самосопряженными краевыми условиями, основанный на использовании операторов точных разностных схем, и для таких схем уста -новлены оценки скорости сходимости, согласованные с гладкостью решения исходной задачи, т.е. оценки вида где Ц - решение дифференциальной задачи, у - решение аппроксимирующей разностной схемы; и Н'!!^-^^

- нормы в соболевских пространствах функций непрерывного и дискретного аргументов. Эта идея получила свое развитие в работах И.П. Гаврилюка, Р.Д. Лазарова, С.А. Войцеховского, Н.В. Слушаенко и др, [31,32; 33, Щ ] • П°Д согласованными оценками скорости сходимости разностных схем для уравнений параболического типа подразумеваются оценки вида 0< 5 ^ сГ /

1И1 л* » II* II ~ аоРт в соболевских пространствах функций непрерывного и дискретного аргументов, В работе [01] исследована разностная схема для уравнений параболического типа с

- 7 самосопряженными краевыми условиями и для этой схемы получена оценка вида /01/. В настоящей работе подход, разработанный в Г3 8] применен к уравнениям параболического типа с несамосо -пряженными краевыми условиями. В работе получена оценка вида /01/ для чисто неявной разностной схемы, аппроксимирующей краевую задачу для квазилинейного уравнения параболического типа с нелокальным условием Бицадзе-Самарского, когда решение исходной дифференциальной задачи принадлежит весовому пространству Ал^ (0Т? Разностная схема г построенная для задачи

Ионкина-Самарского, не обладает согласованными оценками скоро« сти сходимости. Для нее получена оценка и-Ч^ммм,^. точность которой установлена с помощью численного эксперимента.

Понижение порядка скорости сходимости здесь повидимому имеет ту же природу» что и в эллиптических задачах с вырождениями

7,8,9] •

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 6 2. наименований. Во введении кратко обсуждаются актуальность проблемы и дается обзор литературы, касающейся данной проблемы. В §1 главы I, которая носит название "Решение обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с краевым условием Ионкина-Самарского в пространствах (0,1) и (0,1) * рассматривается уравнение

1. Акопян К).Р., Оганесян Л.А. Скорость сходимости вариационно-разностных схем для двух линейных параболических уравнений. - В сб. "Вариационные разностные методы решения задач математической физики". Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976,с.27-36.

2. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач. Докл. АН СССР,1968,т.185, М, с.739-740*3* Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. - 204 с.

3. Бицадзе A.B. К теории нелокальных краевых задач. Докл. АН СССР, 1984, т.277, №L, с.17-19.Вазов В., Форсайт Да. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Изд-во иностр. лит., 1963. - 487 с.

4. Гаврилюк И.П., Лужных В.М., Макаров В.Л. Разностный ме -тод решения задачи Штурма-Лиувилля с вырождением на границе. Ч.ПтК. Изд-во Вища школа, сб. "Вычисл. и прикл. математика", вып.41, 1980, с.31 39.

5. Гаврилюк И.П. Лужных В.М. Макаров В.Л. Точные и усеченные разностные схемы для одного класса задач Штурма-Лиувилля с вырождением. "Дифференц. уравнения", 1980,т.16,№7,с.1265 -1275.- 99

6. Гордезиани Д.Г. Об одном методе решения краевой задачи Бицадзе-Самарского. Семинар !Йнст-та прикл.матем.им.И.Н.Векуа при Тбилисском ун-те.Аннот.докл.,1970, 2, с.39-40.

7. Гордезиани Д.Г., Джиоев Т.З. 0 разрешимости одной краевой задачи для нелинейных уравнений эллиптического типа. -Сообщ. АН ГССР, 1972, т.68, №, с.289-292.

8. Гордезиани Д.Г. 0 методах решения одного класса нело -кальных краевых задач. Ротапринт ИПМ им. акад. И.Н. Векуа, ТГУ , 1981, 32 с.

9. Годунов с.К. Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

10. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. 0 задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями. "Дифференц. уравнения", 1979, X, №7, с.1285-1295.

11. Ионкин Н.И. Разностные схемы для одной неклассической задачи. Вестн. Моск. ун-та. Сер. Вычисл. матем. и кибернетика, 1977, Л2, с.20-32.

12. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971. 576 с.

13. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. -512 с.

14. Канторович Л.В. Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 741 с.22 • Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики, т.II, М.: Мир, 1964. - 830 с.

15. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная мате -матика. М.: Мир, 1969. - 447 с.26• Кошляков Н.С. Глинер Э.Б. Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.:. Наука, 1970.- 712 с.

16. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространства.- М.: Наука, 1971. 464 с.

17. Крейн С.Г. Функциональный анализ. М.:. Наука, 1972.- 554 с.

18. Ладыженская O.A. Солонников В.А., Уральцева Н.Н.Линей-ные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

19. Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы второго порядка точности для осесимметричного уравнения Пуассона на обобщенных решениях в Ц . Докл. АН СССР, 1982,т.262,2, с.22-26.

20. Лазаров Р.Д. Макаров В.Л. Самарский A.A. 0 построении и исследовании однородных разностных схем. Математический сбор -ник, 1982, М, с. 469-480.

21. Лионе 1.-Л. Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, - 372 с.

22. Лисковец O.A. Метод прямых /обзор/. "Дифференц. уравне -ния", 1965, I, 12, с.1662-1678.Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогатько A.A. Методы вычислений. Киев, Изд-во Вища школа, 1977. - 408 с.

23. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 510 с.

24. Макаров В.Д., Самарский A.A. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых. Препринт №13, ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1979. - 20 с.

25. Макаров В.Д. Слушаенко Н.В. Согласованные оценки скоро -сти сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений эллиптического типа с большой константой Липшица. "Дифференц. уравне -ния", 1983, XIX, №7, с.1246-1250.

26. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных произ -водных. М.: Наука, 1976. - 391 с.

27. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М.: Высшая школа, 1977. 430 с.

28. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука,1968.- 576 с.

29. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.; Наука, 1969. 526 с.

30. Напсо A.B. 0 задаче Бицадзе-Самарского для уравнения параболического типа. "Дифференц. уравнения", 1977, 4, с.761-762.

31. Раймондас Ч* Решение одной краевой задачи теории тепло -проводности с неклассическим краевым условием. "Дифференц.уравнения и их приложения". Вильнюс. 1982, 32, с.134-144.

32. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 552 с.

33. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 590 с.

34. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973. 416 с.

35. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. Изд-во СО АН СССР, 1962.- 103

36. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Мир, 1983. - 432 с.

37. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. - 463 с.

38. Тихонов A.B., Самарский А.А, Об однородных разностных схемах высокого порядка точности на неравномерных сетках. "Журнал вычисл. матем. и матем. физики", 1961, тД,ЖЗ, с.425-440.

39. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах высокого порядка точности. Докл. АН СССР, i960, т.131, ЖЗ, с.514-517.

40. Фаддеев Д.К., Вулих Б.З., Уральцева H.H. и др.Избранные главы анализа и высшей алгебры. ЛГУ, 1981. - 200 с.

41. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных уело -вий для третьей краевой задачи. "Журн. вычисл. матем. и матем. физики", 1964, т.4, №6, C.II06-III2.

42. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: 1948. - 456 с.60• Хатсон В., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. - 432 с.

43. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

44. Шополов H.H. Смешанная задача для уравнения теплопроводности с нелокальным начальным условием. "Докл. Болт. АН", 1981, 34, 7, с.935-936.