Метод сеток для квазилинейных уравнений параболического типа с интегральным условием в классах обобщенных решений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЕ! УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

РГб бл

На правах рукописи

- 1 ЯНВ 199$

АТАЕВ Гоша Амапгельдыевич

МЕТОД СЕТОК ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ В КЛАССАХ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ

Специальность 01 01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев — 1995

Работа выполнена на кафедре численных методов математической физики Киевского национального университета им. Тараса Шевченко.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Макаров В. Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Капшивый А. А. Кандидат фгпико-математичесгеих наук Яковлев М. Ф.

Ведущее предприятие: Институт математики НАН Украины (г. Киев).

Защита состоится Л! 1995 г._в

¿■¿дании спет

часов

в ауд. на заседании специализированного совета

Д) в Киевском национальном университете им. Тараса

Шевченко (252127, Киев Проспект Глушкова, 6, факультет кибернетики).

С дессертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского национального университета им. Тараса Шевченко.

Автореферат разослан / НядЛ^ьЛ 1995 г.

Ученый секретарь __Шевченко

специализированного совета Владимир Петрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тею- В последнее время все больший интерес исследователей вызывают задачи математической физики с нелокальными краевыми условиями- Классическим примером такого рода задач является задача Ионкина-Самарского .описывающая процес распространения тепла в тонком нагретом стержне, когда на одном конце стержня поддерживается нулевая температура и потоки тепла на концах стержня равны- Данная задача имеет большое значение также и в Физике плазмы .ибо является математической моделью процесса диффузии частиц в турбулентной плазме-Другим примером нелокальных краевых задач является задача Бицадзе-Самарского .которая возникает при решении задач теории упругости и теории оболочек.например, при исследовании уравнения статики однородного, изотропного тела, при нахождении упругого равновесия тела и т- д-Особенностыо указанных выше краевых задач является их несамосолряженность- Отсюда следуют трудности теоретического изучения этих задач и их дискретных аналогов /разностных схегУ- Результаты общей теории разностных схем и дифференциальных уравнений не переносятся на эти задачи • Трудности связанные с несаиосопряженностью усугубляются в случае . когда коэффициенты в исходных уравнениях являются разрывными, а правые части обобщенными функциями, что нередко бывает на практихе-Надо отметить.что результатов исследований нелокальных краевых задач математической-физики в классах обобщенных Функций опубликовано сравнительно мало, и целый ряд важных вопросов оставались до последнего времени открытыми-Поэтому проблема исследования нелокальных краевых задач математической физики в обобщенной постановке и построения эффективных разностных схем для численного решения этих задач является актуальной-

Иелыо иастояией работы является-- получение теорем существования и единственности обобщенных решений для квазилинейных уравнений параболического типа с интегральным условием в пространствах обобщенных Функций с стационарный и нестационарный случаи^; построение и обоснование разностных схем для квазилинейных уравнений параболического типа ¿'стационар-

Ч

ный и нестационарный случаи^ с интегральным условней в классе обобщенных решений; построение устойчивых алгоритмов для реализации предложенных разностных схем -

Общая методика исследований- Стационараная задача с интегральным условней исследована с помощью принципа сжатых отображений и функции Грина- Нестационарная задача теплопроводности с интегральным условием исследована с помощью функции источника и метода энергетических неравенств»использующего специальные весовые нормы- Основой для построения и исследования разностных схем являются работы А- А- Самарского» В- Л Макарова и их учеников по применению точных разностных схем для основных уравнений математической физики с самосопряженными краевыми условиями и решениями из Соболевских классов-

Научная новизна результатов состоит в следующем-, предложен метод исследования существования и единственности решения краевой задачи для квазилинейного уравнения параболического типа с интегральным условием в классе обобщенных Функций; проведено теоретическое исследование разностных схем: доказаны теоремы о сущаствовании и единственности решения.установлены оценки скорости сходимости в классе обобщенных решений-

На зашггу вносятся- результаты исследования краевой задачи для квазилинейного уравнения параболического типа с интегральным краевым условием в классе обобщенных функций, а также результаты по обоснованию разностных схем для указанной выше краевой задачи-

Апробация работы- Основные результаты докладывались на международном конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения«/ г- Ашгабат.1993 г- /. на Республиканский межву4-зовской конференции молодых ученых и специалистов Туркменистана /Чарджоу.1»91 г- /. на кафедре численных методов математической физики Киевского национального университета им-Тараса Шевченко-Публикапии-По результатам исследований опубликовано 5 работ-Структура и объем работы-Диссертация содержит вз страницы компьютерного набора- Библиография содержит 73 наименования-Диссертация написана на русском языке-

Содержание работы Диссертационная работа состоит из введения.двух глав и списка цитированной литературы-

Во введении дан краткий обзор литературы.относящейся к тематике исследований и охарактеризовано основное содержание работы-

В §1-1- главы I. которая носит название «Существование и единственность решения обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с интегральным условием в классах обобщенных Функций«.рассматривается уравнение

«*/ оо

-и"Сх>+оСхЭиСхУ -=-+/Сх.иЭ , хе СО. О. С1->

еЫ

К уравнению С1У присоединяются краевые условия

с*иСОЭ=(11 РСхЗиСхЭОх+г. хсС1Э>*0. 1, С2>

о

Сделаем замену

\>Сх>'*х<хЭ-а-хЗи<0> . <з;>

которая с учетом приводит к соотношению

ЛГх.> уСх^ах! / [«-^ С/-х.>.ЯСхЛ£Л о -'о *

имеющему смысл при условии

жх>а-хэ<ы * о. со

о

В результате от задачи схэ-сгэ приходим к следующей

¿■и г -х>"Сх}+с}СхЭ\)<хЭ™-<:1 -хЭцСхЭ £ РСхЭ ьСхЭОх +

о -I

а/ сху

+ / Сх>+---, С5Э

<±х

£

которая уже имеет обьгчныв условия Дрихле-

Для доказателства существования и единственности обобщенного решения задачи из пространств и ъ^со.и использована функция Грина (Хх.ц .с помощью которой о нахождении обобщенного решения задачи си-сгэ сведена к решению интегрального уравнения

иСх>

я

=-| С1-1

ХЭдСКЭОСх.К^ЭЭсЩ —

О -I

1

•I

г

9вСх,1,дС

саг +

х

о

которое можно записать в операторной Форме 1>=А V •

С 7>

Имеет место

Лемма 1«1.1«Пусть выполнены условия

1

О е}СхУ>0, | < <*> .

о

3-> г. <0./Л

2

^условие .

|/<Гх,10-/<Гх,^ | < yfxsCO.il, и,1>« К*.

С83

о

1 11/,1

I < до< I .

огда будет иметь место неравенство

|ди-дй| £ о I V- и| . V и.й « СО. а,

I" " ■а,1,(0,1) *Ов "О , 2 . (О. 11 2

г-е- оператор А будет сжимающим оператором на 1ок азаны следующие теоремы

Теорзяа 1-1-3»Пусть выполнены условия леммы 1. д. 1.тогда «пение задачи мсх> в классе Иго. о

:утшгствует .единственно и может быть получено методом пос-тедовательных приближений

О -I

> =д V . л«/.г..........аоь

т\ п-1

<ачиная с любого который сходится к со

:хоростью

сш

п Г 1 1

К- {<*| £1 ^ ] }•

Теорема 1-1-5.Пусть выполнены условия теоремы / - /. э. <?схэ* ш 1гсо.1>, /сх>~/о*е!/<х>у'ах .тогда решение задачи

в классе Иго.х^ существует и единственно Следующий параграф диссертационной работыы посвящен исследованию краевой задачи для линейного уравнения теплопроводности

_ , х , . 9/ Сх. О

д а исж.о -. сх.о«в . <%г>

Яt - I 'о 9х т

Лх

с нелокальным условием

-I

аеиСО. £->»/?J ЖхЗиСх, t>dx+gC О. о

te<0,ТЗ,

иа . О-О.

и начальным условием

кСх.ОЗ'^СхЗ,

где <ЭТ= ^Сх.О: хаС0,13, .

Сделаем замену

мСх. гЗ-иСх. 13-а-хЗиСО.13.

которая с учетом азз приводит к соотношению

азз

CÍ43

С1БЗ

аоз

'J

«СО+ PCx3\<x.t3dx

мСО.13'

- "Í

С Í -хЭРСхЗсЫ

С ¡73

имеющему смысл при условии 1

р» а - ^ С1 -хЗРСхЗсЬс * О. о

В результате от задачи агз-сиз приходим к задаче вида

9чСх, 13 ¿'«Ос. О . ЛиСО.О , л/ Сх. 13 _—.а-хз-я--.

авз

at

ах'

vCO,t3~\>Ct,t3=0,

vCx, ОЗ'нрС хЗ-С i-x3pC03. где согласно <пз

Сх.l3eQr.Ci93

егоз

С 2Í 3

о

I- о

1 |____^„Г а%>Сх> ° <±с

сггэ

о

Запишем решение задачи С19^-С21> через функцию источника всх,к,1-п> в виде

* I *

хкх.бсх.г. | ос*.?.

о о

}

Доказана следующая ±

Теорема 1« 2-1- Пусть при о жз&а-хэ&вю,

о

гэ в правой полуплоскости комплексной переменной найдется

прямая параллельная мнимой оси .на которой

1

о

»/ .С? .Г>->

♦ —^-. тр \ сЩф). сгзэ

1+ Л-Г <1~Ж>вх * о. кея>0.7л »«x. с24.?

Р ' «Л V--

О рСхУт ¿^СО.О

к ♦ Юо

висо. о 1 г ?сз1 31. __

5-? —л--—^-е существует и принадлежит

. 1-КСаЭ к- юо

I. со,т>. *

Тогда решение задачи вместе с ней и задачи

аг>-а5> существует и единственно в классе Имеет место следующая

Теорема 1.2.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2.1 и

Сх.О

/в<Гх'°+-9х-35 ГС*. О«

сгв>

л

к»1ое

Г ТСл

* -КСзЭ

к - 1<в

Тогда существует единственная функция «^.являющаяся обобщенным решением краевой задачи -ав> из пространства

%1.з . который носит название «Квазилинейное уравнение параболического типа с интегральным условием«-

Рассматривается краевая задача для квазилинейного уравнения теплопроводности с интегральным условием следующего вида-— ♦/ <х, О*-г-- /Сх, , Сх, ОеО . <гвэ

0С . 1 о их т

Ох

*

1ашСО, ОсЬс+йС О. С2Э.Э

о

мСх.ОЭ'^рСх}, 0<х<1. СЗО>

где |сх.о | о<х<1. о<1< г} Как уже отмечалось.из-за нелояльности краевых условий нельзя применить результаты общей теории дифференциальных уравнений к задаче сгвэ-сэоэ. Поэтому для изучения вопроса существования и единственности обобщенных решений краевой задание га;>-сэо:> применяется ите-раионный метод с последовательных приближений)-Установлена

Теорема 1- 3- 2- Пусть выполнены условия 1

Р<хЭС1-хЭйх г» О,

а

«СОе^СО.Т.?. ЖхЭш ИсО.О,

«/ Сх.О

/Сх. О- /оСх. --е 1,С0,:>-

|/Сх, £.10-/<"ж. 1 .гЬ | < Х.|<и-и|, УГх, и, й с Л1.

/Гх. 1,0.>в

С 313

1 -. со

О ■* п=1

ь <о, 1 >

1

рСх^в ИгО.О. рс0=0, 1 ТСжЗрСхЗе1х+вС0>,

о

Тогда задача ¿'гв^-с-зо^ в классе имеет единствен-

ное решение-

Надо отметить.что существования и единственность обобщенного решения задачи <гвз~<эоз в классе не удается-Этот Факт удалось установить для класса Следует также указать.что аналогичным образом нетрудно получить однозначную разрешимость для квазилинейного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами как в одномерном случае .так и в многомерном- Поскольку эти результаты не содержат принципиально новых идей мы их в диссертации не приводим-Хочется также отметить, что выбор Соболевских пространств и не случаен-Так как при решении краевых задач в обобщенной постановке ключ к успеху - в выборе подходящего пространства-Задача естественным образом «укладывается « в определенное Собо-певское пространство Функций .удовлетворяющих сравнительно слабым требованиям гладкости, и тот чект. что это пространство гильбертово ■ существенно упрощает анализ-

Во второй главе изучаются разностные схемы.построенные опя численного решения дифференциальных задач, рассмотренных в главе 1-Как уже отмечалось выше.что общая теория разностных схем здесь неприменима- В основу исследования соответсву-стцих разностных схем положена идея построения дискретного

аналога методихи .использованной при изучении дифференциальных задач из главы 1В § 2.1 построены разностные схемы, обладающие первым и вторым порядком точности для краевой задачи а>-<гэ. когда решение исходной задачи принадлежит соответственно пространствам >/со. о и

Разностная схема для дифференциальной задачи с/>--сг.> имеет вид

1М-1

1 = 1

где / г"» , А*»

о х.

V -1

г <*/ С<Р Ч

-^- . Р<г?■>-уСх^ -С?-х.^у^Гх. :> .

Дохаэано существование и единственность решения разностной схемы сзгх Исследована сходимость решения разностной схемы сзгэ к решению дифференциальной задачи <*>-сгэ. Для нее инзет мзсто оценка

где постоянная н не зависит от л и исх.).

А также теорема г. 1.з,утверждающая справедливость следующей оценки

ХвЬ> , г»

сзг>

где постоянная м не зависит от л и иСх.>.

1ледуюший параграф посвящен построению и исследованию раэ-:тных схем для дифференциальных задач агз-авз и сгез-*>->-Для краевой задачи агз-<1вз построена чисто неявная »ностная схема вида

v. -у +S Г" Г/С{.г>Л . Cx.t3eo> . С333

i *tt •

у ау

'im 'О

1

у¡"'-Г^СрСЦЗЗ.

i м - Yf-

i * i

<343

С 353

где

s\m S S/х.Г))'

О О

4-J

чСх,У)ЗсЬг). t«ю>_.

т h

im -» 1

ist

'■>- функция«получающаяся из рс%з путем четного продолжения >еэ точку ?»0.если рсоз*о.и нечетного продолжения через 1ку если рсоз'0.

Li »О. Я |4> ,

KT h г

"г S,T:

,2м -1 , h*i/u I ,

1становлено /терема г.г. 4,2.2.5/ . что разностная схема о-сэб^ имеет точность оскз в негативной нормах-1алее исследована разностная схема для квазилинейного гчая-Она имеет вид

л >

у_ -у -^Г* (гц. Г)Л ♦ 5оТх(/Г?.т).у<Г? . £>"). Гж. Овы .

Т ** ' '

1М -1 *

уС/.О-О. ауСО. О- |>оуС0. О+^^уСх,. О

¿С^С/О.?. сГЭв;>

д Гх. О

где «х. £>«/ <■*. —

о ' Лх

Доказано.нто будет иметь место утверждение Теор«ча 2-2-б- Пусть выполнены условия теоремы г. г. г и постоянная Липшица в условии

|/сх. £,\о-/сх. е г. . у<ж. «ог*

удовлетворяет неравенству

< 1.

Тогда существует ло>о. что решение разностной

схемы сзсэ существует, единственно и может быть найдено методом последовательных приближений-

Исследована также сходимость решения разносной схемы <зоэ к решению дифференциальной задачи <гв)-<эо>. Доказано

Теорсиа 2-2-8-Пусть выполнены условия теорем ¡.з.э, г.г.з , постоянная УЫпшта удовлетворяет неравенству

Тогда при достаточно малом * и т*оснгэ точность разностной схемы <г.г.34>.<г.г.з1},сг.г.згэ будет характеризоваться оценко*

. т _

тах |У1Г2Гх.О|о , + | % <*.'•>] П *

т 1 = 1

<

* т

где постоянная « не зависит от л и т. а имеет тот »в смысл, что и в теореме г.г.з.

В приложении к главе II приведены результаты численных расчетов .проведенных для модельных задач.из которых еле-

1Ь

цует.что установленные в работе теоретические оценки скорости сходимости разностных схем близкие к неулучшаемым-

Полученные в работе могут быть реализованы в Форме следующих выводов-

1- Доказано существование и единственность обобщенных решений для обыкновенного квазилинейного уравнения второго торядка с интегральным условием в пространствах Исо.о

я

2-Доказано существование и единственность решения линейного и квазилинейного уравнения параболического типа : интегральным условием в классе обобщенных решений-

3-С помощью операторов точных разностных схем построены л исследованы разностные схемы первого и второго порядка госности для обыкновенного квазилинейного уравнения второго порядка с интегральным условием в классе обобщенных эешений-

4' Для квазилинейного уравнения параболического типа с адтегральнж условием .построены и исследованы разност-1ые схемы.а также получены оценки их скорости сходимости.

Результаты.полученные в диссертации могут быть использованы как при теоретическом исследовании более общих «локальных краевых задач .так и при решении практичеких задач из физики плазмы .теории теплообмена.теории оболсг-1ек .теории упругости и др-

Основные результаты работы опубликованы в следующих :татьях

1- Кулыев Д- Т-. Аразмырадов Т-. Атаев Г- А- Метод сеток для обыкновенного квазилинейного дифференциального уравнения зторого порядка с интегральным условием в классе обобщенных эешений- /САЗ-Ту ОТ 19-05.92. 20 с.

2- Кулыев Д- Т-. Атаев Г- А- Решение одной краевой задачи для свазилинейного уравнения параболического типа с интегральным условием в классах обобщенных функции- Известия АН Туркменистана ¿в печати^-

3- Аразмырадов Т-. Атаев Г- А- Решение одной краевой задачи зля теории теплопроводности с интегральным условием- Труды гаучно-практической конференции «Дифференциальные уравнения 1 их приложения«.г-Ашгабат.часть I.с-41-44.

4- Кулыев Д- Т-. Аразмырадов Т. . Атаев Г- А- Получение априорных оценок для решения уравнения теплопроводности с интегральным условием- Математикадан билим бермеклигин узнуксиз систекасыны гурмак боюнча ьшмьг методик и конФеренциянын катериаллары- ТДПИ.Чарджев Л993.с-19-20.

5- Атаев Г- А- Создание ППП для численного решения уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями-Математикадан билим бермеклигин узнуксиз системасыны гурмак боюнча ьшмьгметодики конФеренциянын материалларь- ТДПИ. Чарджев дэрз.с-лг.

Л—00691

Подп. к печати 03. 11. 1995 г. Формат 60х84,Лв. Тираж 100. Заказ № 4708.

Типография Лебапского велаята. Индекс 746100, ш. Чарджев, пр. Ниязова, 18.