Численное решение нелинейных краевых задач теории фильтрации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ОЦЕНКА. ПОГРШЮСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ, ПОСТРОЕННЫХ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ВО ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПЛАСТАХ, СФОШУЛИРОВАН-.

НОЙ . ПО МОДЕЛИ ХАНТУША.

§ I. Постановка математической задачи, по модели Хантуша

§ 2. Вспомогательные задачи

§ 3. Схема Роте.и.обоснование,метода итера-.

§ 4* Априорная оценка

§ 5. Устойчивость решений по исходным данным и относительно промежуточных погрешног стей.

§ 6. Реализация задачи на ЭВМ.

ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЛИ ФИЛЬТРАЦИИ, СФОРМУЛИРОВАННОЙ НА ОСНОВЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ МОДЕЛИ (ПМ).

§ I. Постановка,математической задачи,на ос. нове ИМ.

§ 2. Исследование вспомогательной краевой задачи.

§ 3, Обоснование метода итерашш

§ 4. Двусторонность,приближения,и.единственность решения

§ 5. Опенка погрешности метода Роте

§ 6. Исследование устойчивости решений . ПО

§ 7. Реализация задачи на ЭВМ.

ГЛАВА Ш. К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) С НАЧАЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЙ ВО ВЗШОИЗОЛИРОВАН

НЫХ, МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ

§ I. Постановка математической задачи.

§ 2. Численное исследование задачи нестационарной фильтрации вязкопластических жидкостей.методом, разностной.потоковой. прогонки

§ 3. Решения задач фильтрации вязкопластических жидкостей с помощью комбинации методов Роте.и.дифференциальной про-. , . гонки .,.»»•*«**•

§ 4. Реализация задачи на ЭВМ.

Большинство задач теории нестационарной фильтрации жидкостей и газов в пористых средах при известном начальном распределении поля давления и в заданных режимах разработки месторождения при некоторых естественных предположениях описывается в виде нелинейной краевой задачи для системы квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов. В последние годы особое место занимают исследования по приближенным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных, имею-, щих важное прикладное значение. Как известно, определение точ- . ного решения нелинейных краевых задач для .дифференциальных уравнений с частными производными крайне затруднительно, поэтому в большинстве случаев большой интерес представляют приближенные методы. При использовании приближенного метода решения краевых задач для системы уравнений параболического типа, связанных с нелинейными эффектами, возникают трудности математического и . вычислительного характера. Наиболее эффективным является метод конечных разностей и метод Роте в сочетании с дифференциальной прогонкой.

Следовательно, стали весьма актуальными постановка и построение эффективных, легко реализуемых на ЭВМ вычислительных алгоритмов для решения усложненных краевых задач теории нестационарной фильтрации, связанных с расчетами показателей разработки изолированных и гидродинамически взаимосвязанных много

- 5 пластовых месторождений нефти и газа.

В настоящее время наряду с теоретическими исследованиями развивается и построение приближенных решений краевых задач для,вырождающихся и невырождающихся дифференциальных уравнений. Для получения приближенных решений различных краевых за-, дач и доказательства их существования методом конечных разностей [2,3,8,9,23,46,51,54-55,78-82,84,85,94,100.и др.] часто применяют метод Роте, предложенный в 1929 г. Э.Роте [9б]. Он использован в работах [1,7,10-18, 24,29,33, 44-47, 50,52,58, 59, 63, 77, 87, 95, 98, 90-100 и др.] .

Имеются многочисленные исследования советских и зарубежных математиков, где ставятся и решаются краевые задачи для уравнений и систем уравнений параболического типа [17,21,25, 41,27,28,32,33,35,36,42-46,53,67г71,76, 77, 97 и .др. ] .

В [96] при достаточно малом Т в прямоугольнике

0 ^ i ^ Т } доказывается существование решения первой краевой задачи для уравнения

В работе [34] методом Роте построены решения первой и второй краевых задач для линейного уравнения параболического типа.

В [69] изучено существование решений краевых задач и задачи Коши для квазилинейных уравнений со многими независимыми переменными. В случае двух независимых переменных в [97] впервые доказано существование решения в "малом".

В работе [67] для некоторых систем квазилинейных уравнений параболического типа и уравнений вида получены достаточные условия разрешимости при первом краевом условии.

В [38,39] исследуются экономичные схемы решения третьей и первой граничных задач для квазилинейного параболического уравнения, описывающего нелинейную фильтрацию жидкости в по-, ристой среде при упругом режиме. Доказывается также существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи.

Цель^работы - применив метод Роте для приближенного решения нелинейных краевых задач, полученных на основе модели Хантуша и промежуточной модели:

- установить порядок сходимости приближенного решения задачи к точному;

- обосновать метод итерации;

- доказать единственность решения;

- исследовать устойчивость решения и некоторых его свойств;

- доказать двусторонность приближений;

- исследовать численную устойчивость решения;

- создать методом конечных разностей в сочетании с потоковым вариантом метода прогонки эффективные, легко реализуемые на ЭВМ вычислительные алгоритмы и универсальные программы для решения нелинейных.задач теории нестационарной фильтрации в многослойных пластах.

Общие метода^исследования. В работе применяется метод Роте в сочетании с .дифференциальной прогонкой. С помощью данного метода исходная .дифференциальная задача заменяется дифференциально-разностной. Полученная нелинейная краевая задача решается методом итерации и при определенных ограничениях, налагаемых на входные функции, доказывается равномерная сходимость итерационного процесса. Единственность решений доказывается методом интегральных тождеств. В диссертации используется также метод конечных разностей и потоковый вариант метода прогонки.

Научная новизна и практическая ценность. Квазилинейные mm лт mm mm mm mm mm я***- mm mm mm mm mm mm 'mm mm mm mm уравнения параболического типа со специальными нелинейными краевыми условиями, основанные на промежуточной модели, теоретически исследуются впервые. Предложен ряд эффективных вычислительных алгоритмов для построения приближенного решения систем квазилинейных уравнений параболического типа.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго . порядка установлено существование непрерывного решения,удовлетворяющего краевым условиям при сильном вырождении.

Нелинейная краевая задача теории нестационарной фильтрации газа и жидкости в системе гидродинамически взаимодействующих пластов, рассматриваемая в .диссертации по модели Хантуша, теоретически изучается впервые.

Задачи нелинейной фильтрации жидкости с начальным градиентом давлений и при различных законах движения вязкоплас-тических жидкостей и газов решаются методом Роте в сочетании с дифференциальной прогонкой и методом конечных разностей с последующим применением потокового варианта прогонки.

При разработке и проектировании многопластовых нефтяных и газовых месторождений возникает необходимость построения приближенных решений задач, рассматриваемых в диссертации, описываемых нелинейными параболическими уравнениями со специальными краевыми условиями. Предлагаемые в диссертации численные методы решения задач и созданные алгоритмы удобны для численной реализации на ЭВМ и позволяют находить приближенное решение с достаточно высокой точностью. По созданной программе расчета получаются численные значения решений в разных постановках задач.

Построенные в .диссертационной работе вычислительные алгоритмы и предложенные приемы можно использовать для фильтрационных расчетов при составлении проекта разработки газовых и нефтяных месторождений, а также в исследованиях, связанных с приближенными решениями нелинейных задач для системы параболических уравнений. .

Апробация работай Результаты диссертации докладывались на Ш научно-технической конференции молодых ученых и аспирантов ордена Трудового Красного Знамени Института кибернетики с ВЦ АН УзССР (1975), на 1У Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" в г.Баку (1979), на семинаре по численным методам в Институте кибернетики с ВЦ АН УзССР (1980), городском семинаре, и, на конференции молодых ученых в Институте математики им.В.И.Романовского АН УзССР (1980-1982), на семинарах при Вычислительном центре им. Н.И.Мусхелишвили АН ГрузССР (1981), "Численные метода решения дифференциальных и интегральных уравнений" кафедры"Вычислительная математика и кибернетика" при Казанском государственном университете им. В.И.Ульянова -- Ленина (1982).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [101 - 107] .

Диссертация состоит из введения, трех глав,

1. Абрашин В.Н. Об одном методе прямых повышенной точ-ности для некоторых краевых задач в случае параболического уравнения. .ДАН ECCP,JS II, 1967, с. 970-972.

2. Абуталиев Ф.Б., Абуталиев Э.Б. Методырешения задач подземной гидромеханики на ЭВМ, Ташкент, "Фан", 1968, 195.с.

3. Абуталиев Э.Б. Газодинамические исследования. взаимодействия, системы пластов жидкости и газа. Автореф. дисс. на соиск. учен.степени доктора физ.-мат.наук, Казань, 1974, 32 с. . ,

4. Алишаев М.Г. и др. Особенности фильтрации пластовойдевонской нефти при пониженных температурах. Сб. "Теория и практика добычи нефти", М., "Недра", 1966, с.214-226.

5. Арсланов А.А., И к р а м о в Ш.Р. Решение задачо нестационарной фильтрации и газов в многослойном . пласте модели Мятиева-Гиринского, В сб. "Вопросы выг числительной и прикладной математики", Ташкент, вып. 16, 1973, с. I2I-I29.

6. Ахмедов З.М., Б а р е н б л а т т Г.И., Е н т о в В.М., Мирза джанзаде А.Х. О нелинейных эффектах при фильтрации газа, Изв. АН СССР,^ 5, 1969,с. 103-109. . .

7. Алихашкин Я.И. Решение задачи о несовершенной скважине методом прямых. Вычислительная математика, Jfi I, 1957, с. 136-152.- 151 8, Бахвалов. Н.С. Численные метода, чД, М.,"Наука",1973,632с.

8. Б е р.е з и н И.О., Жидков Е.М. Методы вычисления,ч. П, М., Физматгиз, 1962. , .

9. Б о б к о в В.В., Лисковец О.А. Точные оценки вметоде Роте. Дифференциальные уравнения, т. 2, 5, 1966, с. 640^646.

10. Б о б к о в В.В., Лисковец О.А. Еще раз о точныхоценках в методе Роте. Дифференциальные уравнения,т.3, ifi 8, 1967,,с. I325-I333.

11. Б у д а.к Б.М. О методе прямых для некоторых краевых задач. «ПДН.СССР, т. 10.9, JS I, 1956, с.9-12.

12. Б у д а к Б.М., М е л а м е д В.П. Численное решение задачи типа Стефана для одной квазилинейной параболической системы. Сб. работ ВЦ МГУ "Вычислительные методы и программирование", УШ, 1967, с.139-164.. 152

13. Васильев Ф.П. Об одном варианте метода прямых длярешения задач типа Стефана. В сб. работ ВЦ .МГУ,"Вычислительные метода и.программирование",УШ,1967,с.139-164.

14. В е н т Ц е л ь Т.Д. Первая краевая задача и задача Кошидля квазилинейного параболического уравнения со многими пространственными переменными. Матем. сб.,т.41,(83), Л 4, 1957, с. 499-520.

15. В е з и р о в С.А. и др. О результатах исследований по снижению вязкопластических.свойств нефти и ее фильтрапии в пористой среде,Тр.Азерб.ин-та нефти и химии,JE 4,1966.

16. Галактионов В.А.,К у р.д.ю м о в С.П.,М и х а й-л о в А.П., Самарский А.А. 0 неограниченных решениях задачи Коши для параболического уравненияVfz/^VU)*'U* ДАН СССР, т.252, « 6, 1980, с.1362-1364.

17. Г е й м а н М.А., Фридман Р.А. Влияние структурно-механических свойств вытесняемой нефти на остаточную нефтенасыщенность. Нефтяное хозяйство, й 9, 1956.

18. Г о д у н о в С.К., Рябен.ький B.C. Разностные схемы, (введение в теорию), М.,"Наука",1973., 400 с.

19. Горбунов АД., Б у д а к Б.М. Метод прямых для решения одной нелинейной краевой задачи в области с криволинейной гранипей. Вестник МГУ, Л 3, 1958, с, 3-II. .

20. Г о р д е з и а н и Д.Г. Об одной аддитивной модели дляпараболических уравнений со смешанными производными. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М., "Наука", 1982, с. 128-137.

21. Гурбанов Р.С.,,К а с ы м о в А.Ф.,М и р з а дж а н з а д е А.Х. Гидродинамика вязко-пластических сред. Изв. АН СССР, МЖГ, Ш 3, 1967, с. I7I-I79.

22. Дегтярев Л.М., Фаворе к и й А.П. Потоковыйвариант метода прогонки для.разностных задач с сильно-меняющимися коэффициентами. ЖШ и МФ, 9, & I, 1969, с. 2II-2I8. . .

23. Джура ев Т.Д. О краевых задачах для линейных параболических уравнений, вырождающихся на границе,облас- . ти. Математические,заметки, т.12, $ 5, 1972, с.643-652.

24. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в. нелинейных, эллиптических и параболических уравнениях. Матем. сб. новая серия, т.67 (109) : 4, 1965, с.609-642.

25. Е н т о в В.М. Исследование фильтрации аномальных жидкостей с приложениями к разработке месторождений.нефти с предельными градиентом. Автореф. докт. дисс., М. 1971.

26. Ильин А.М. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения. Матем. сб., т. 50 (94), 16 4, 1940, с. 443-458.

27. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. УМН, т. ХУ, вып. 2 (92), I960, с, 97-154.

28. Ильин .A.M., Калашников А.С., Олей-, ник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. УМН,.Е:3, 1962, с.3-146.

29. Калашников А.С. О линейных параболических .уравнениях произвольного порядка с конечной областью зависимости. Матем. заметки, т.З, it 6, 1969, с.294. , .

30. Калашников А.О. О первой краевой задаче дляуравнений одномерной нестационарной фильтрации. ДАН СССР, т.115, Л 5, 1957, 0.858-861.

31. Карчевский М.М., Л я ш к о А.Д. Разностныесхемы для нелинейных задач математической физики. Казань, Изд-во КГУ, 1976, 158 с.

32. Карчевский М.М., Л я ш к о А.Д., П а в л о^в а М.Ф. О разностных схемах для уравнений нестационарной нелинейной фильтрации. Дифференциальные уравнения, т. ХУ, Я 9, 1979, с. 1692-1706.

33. Кар.ч.евский М.М., Лапин А.В., Л я ш к оА.Д. Экономичные разностные.схемы для квазилинейных параболических уравнений. Изв. вузов, Матем., JI 3, 1972, с. 23-31.

34. Карчевский. М.М., Павлова М.Ф. О разностных схемах решения нестационарных уравнений теории фильтрации с предельным градиентом. В сб. "Численные методы механики сплошной среды". Новосибирск, т.II, Я 4, 1980, с. I04-II2.155

35. Курдвмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.,"Наука",1982,с.217-243.

36. Кружков С.Н. Об априорной опенке решений линейных параболических уравнений и решении краевых задач для некоторого класса квазилинейных параболических уравнений, ДАН СССР,.т.138, Я 5, 1961, с.1005-1008.

37. Кружков С.Н. Априорные оценки и некоторые свойстварешений эллиптических и параболических уравнений. Матем. сб., т. 65 (107): 4, 1964, с.522-570.

38. Л и с к о в е п О.А. Метод прямых для одномерных нестационарных смешанных задач и опенка среднеквадратичной погрешности. ЖВМ и Ш, 5:2, 1965, с. 360-363.

39. Ладыженская О.А., Солонников В.А.,Уральиева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., "Наука", 1967, 736 с.

40. Л и о н с Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.М., "Мир", 1972, 587 с.

41. Л я ш к о А.Д. Метод прямых для квазилинейных эллиптических уравнений. Дифференциальные уравнения, т.8, •№ 5, 1972, с.891-901.

42. Л я ш к о А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации. Изв. вузов, Матем., Л II, 1972, с. 73-81.

43. М а к с и м о в В.М. Фильтрация несжимаемой. жидкости внеоднородной слоистой пористой среде, Тр. МИНХ и ГП, М., вып. 101, 1972.

44. М а р у а ш в и л и ,Т.И. Метод прямых для уравнений параболического типа. В сб. "Труды вычислительного центра АНГССР", Тбилиси, вып.1, I960, с. 229-230.

45. М а р ч у к Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск, "Наука", 1973, 352 с.

46. Мамажанов Ж. Решение краевых задач для вырождающихся параболических уравнений методом прямых. Авто-реф. канд. дисс. Ташкент, 1972, II с. .

47. Макаров В.Л., Самарский А.А. Применениеточных разностных схем к опенке скорости сходимости метода прямых. ЖВМ и Ш, т.20, JS 2, 1980,с.371-387.

48. М е л а д з е Г.В. Схемы повышенного порядка точности длясистем эллиптических и параболических уравнений. ЖВМ и МФ.,. т.Ю, JS 2, 1970, с. 482-490. .

49. Мери Р.,Ривкинд В.И. Конечно-разностный методрешения вырождающихся эллиптических и параболических уравнений.ДАН СССР, JS 4, т.172, 1967, с. 783-786.

50. М и х л.и н С.Г. Численные реализации вариашонных методов. М., "Наука", 1966, 432 с.

51. М и х л и н С.Г. 0 сеточной аппроксимации решений вырождающихся одномерных дифференциальных, уравнений второго порядка. Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астр. вып. I, J6 I, 1973, с. 52-67.

52. Мухидинов Н. Газогидродинамические исследованиянелинейной фильтрации жидкостей и газа. Ташкент,"Фан", 1977. 152 с.

53. М у х и д и н о в Н. Методы расчеты показателей, разработки многопластовых месторождений нефти и газа. Ташкент, "Фан", 1978, 116 с.

54. М о л о к о в и ч Ю.М. Одномерная. фильтрация несжимаемой вязко-пластической жидкости. Казань, КГУ, 1969, 88 с.

55. Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Одномер-.ная фильтрация сжимаемой вязко-пластической жидкости. Казань, КГУ, .1971,.62 с.

56. М о л. о. к о в и ч Ю.М., Скворцов Э.В., Ч и л а пА.Я. Некоторые приближенные решения одномерных задач фильтрации упругой вязко-пластической жидкости. В сб. "Вопросы, подземной гидромеханики", Учен. зап. Казанского ун-та,.т. 128, 1969.

57. М о р о з о в В.А. Сходимость метода прямых для некоторых краевых задач. Вестник МГУ, 5, 1962, с.23-38.

58. Мир заджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамикивязкойластичных и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче, Баку, Азнефтеиздат, 1959, 409 с.

59. М я т и е в А.Н. Действие колодца в напорном бассейнеподземных вод. "Изв. Туркм. филиана АН СССР", Я 9, 1947. . .

60. М ят и е в А.Н. Задача о колодцах в горизонте грунтошыхвод. Изв. АН.СССР, ОТН, Л 3, 1948,. с.293-300.

61. О л е й н и к О.А., Вентцель Т.Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных.уравнений параболического типа. Матем. сб., нов. сер., т. 41 (83) : I, 1957, с.105-128. . .

62. О л е й н и к О.А., Калашников А.С. Ч ж о у .Юй-Лин ь. Задачи Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации. Изв. АН СССР, сер. мат. т. 22, Л 5, 1958, с. 667-704.

63. О л е й н и к О.А., Радкевич Е.В, Уравнения .второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки ВИНИТИ, Математический анализ, М., 1971.

64. Пеньковский В.И., Рыбакова С.Т. Фильтрация в напорном пласте с учетом начальных градиентов кровли и подошвы. Изв. АН СССР, МЖГ, Л 8,1968, с. 173-177.V3. По л?бариновагК,очина. П.Я. Теория движения грунтовых вод, М., "Наука", 1977, 664 с.

65. Полу баринов.а.-Кочина. П.Я., П р и яж и н с к и й В.Г., Э м и х В.Н. Математические . метода в вопросах орошения. М., "Наука", 1969, 414 с.

66. Самарский А.А. О сходимости метода Роте для уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом.теплопроводности. Научн.докл. высш. школы, физ.-мат. сер., I, 1959, с. 48-53.

67. С а м.а р с к и й А.А. Введение в теорию разностных схем.М., "Наука", 1971, 552 с.

68. Самарски.й А.А. Теория разностных схем. М.,"Наука5',1977, 656 с.

69. Самарский А.А.,.П о п о в Ю.П. Разностные схемыгазовой динамикц. М., "Наука", 1975, 351,с.

70. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., "Наука", 1978,.592 с.

71. С а м а р с к.и.й А.А.,В о л о с е.в.и ч ПЛ.,В о л ч и нс к ая Н.И. ,К у р д ю м о в С.П. Методы конечных разностей для решения одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамщш.ЖВМ и МФ,т.8. Л 5,1968, с.1025-1038.

72. Саттаров. М,А, 0 неустановившейся фильтрации в.слоис- .тых грунтах. Ж.прикл.матем.и техн.физ.4,I970,c.I06-II2.

73. Смирнов Ю.Б. О методе сеток для одномерного нелинейного вырождающегося параболического уравнения. В сб.ас-пир.раб. "Точные науки",матем.Изд-во Каз.ун-та, 1971.

74. Тихонов А.Н., С а м.а р с к и й А.А. Уравнения математической физики, М., "Наука", 1972, 735 с.

75. Уилкинсо.н У.А. Неньготоновские жидкости, М. "Мир",*1964, 216 е.

76. Чжоу-Юй-Линь. Краевые задачи для нелинейныхпараболических уравнений. Матем. сб. 47 (89) : 4, 1959, с. 431-484.

77. Ш е с т а к о в В.М. 0 влиянии упругого режима фильтрации в раздельных слоях.на взаимодействие водоносных горизонтов. Изв. вузов. Геология и разведка, Я 10, 1963, с. 92-98. .

78. Щелкачев В.Н., Гусейн-заде М.А. Влияние проницаемости кровли и подошвы пласта на движение в нем жидкости. Нефтяное хозяйство, № 2, 1953. .

79. X а н т у ш М.С. Новое в теории перетекания. В сб."Вопросы гидрогеологических расчетов", М.,"Мир", 1964.

80. X а р и н О.М., В л ю щ и н В.Е. Определения поля давлений в многопластовых системах при упругих.режимах, фильтрации, Тр. МИНХ и ГП, М., "Недра", вып.57,1964.

81. Христианович С,А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси, ШМ, т.4, вып.1, 1940, с. 3-52.

82. X е е г В., X е ф н е р Ф. О формулировании нелинейного закона фильтрации и о численном решении многомерных задач фильтрации. "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости", Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975, с.315-318.

83. Я н е н к о Н.Н. Метод дробных шагов решения многомер- .ных задач математической физики. Новосибирск, "Наука", СО АН СССР, 1967, 197 с.

84. Я к о в л е в М.Н. Оценки приближенного решения задачиКош и метод прямых. Дифференциальные уравнения, 7, т. II, 1971, с, 2978-2985.

85. R о t h e E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensionaler Randwertaufga-ben, Math. Ann., 102 (1930), в. 650-670.

86. Gevrey M. Sur les equations aux derivees particles du type parabolique. J. Math, puree et appl.(6), 9 (1913), p. 305-471.

87. W о 1 t e r W. Some new aspects the line method for parabolic Differential Equations, Lect. Notes Math., 280, 1972, p. 181-189.

88. Jones D.J. The numerical Solution of elliptic equations by the method of lines, Comput phys., Communs. 4, No 2, 1972, p. 165-172.

89. Douglas J. On the numerical integration ofUXJC + tlyy by implicit metods. J. Soc.1.dustr. Appl. Math., 3, No 1, 1955, p. 42-65.

90. Абдулхапизов X. Применение метода прямых кодной системе квазилинейных параболических уравнений, связанных.с задачами фильтрации в многослойных пластах. В сб. "Вопросы вычислительной и прикладной математики, Ташкент, вып. 46, 1977, с. 24-39.

91. Абдулхапизов X. ,Мухидинов Н., Мукимов Н. К численной реализации одномерной задачи нелинейной фильтрации в изолированных слоистых пластах. В сб. "Вопросы вычислительной.и прикладной математики", Ташкент, вып. 48, 1977, с. 97-113,

92. Абдулхапизов X. Применение метода Роте к одной системе квазилинейных параболических уравнений, связанных.с задачами теории нестационарной фильтра- . ции. В сб. "Вопросы вычислительной.и прикладной математики", Ташкент, 1981, вып. 64, с. 7-16.АКТ