Решение задач о плотине с нелинейным законом фильтрации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

КУРЦЕВА Кира Петровна

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О ПЛОТИНЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЗАКОНОМ ФИЛЬТРАЦИИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1997

Работа выполнена в отделе теории фильтрации Научно-исследовательского института математики и механики им. Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета.

Научные руководители: доктор физико-математичеких

наук, старший научный сотрудник Е.Г.Шешукон,

доктор физико-математических наук, профессор Л.В.Лапин

Официальные оппоненты: доктор физико-математичеких

наук, профессор Л.М.Котляр кандидат физико-математических наук, доцент И.Б.Бадриев

Ведущая организация: Институт прикладной механики

Уральского отделения РАН г. Ижевск

Защита состоится ¡¿¿СЬЯ' 1997 г. и 14 час. 30 мин. в ауди-

тории физ.2 на заседании специализированного Совета Д 053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете / 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18 /.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " " ¿ШШ/с^ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидах физ.-мат. наук, доцепт

А.А.Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Фильтрационные течения в плотинах, вызванные перепадом напоров в бьефах, являются одним из осповпых факторов разрушения гидросооружений. В связи с этим для обоснования наиболее рациональных и экономичных форм и размеров пло-тппы, ее противофильтрацнонпых и дренажных устройств необходимо проводить соответствующие фильтрационные расчеты, которые позволяют определять потерн воды через тело плотины, положение поверхности депрессии и градиенты напора.

Как известно, в традиционном подходе в фильтрационных исследованиях используется модель с линейным законом фильтрации. Для некоторых задач фильтрации с законом Дар с и получены аналитические решения. Однако, с практической точки зрения, в высотных плотинах вполне возможпы течения, подчиняющиеся нелинейному закону фильтрации. Нелинейность уравнения, описывающего фильтрационное движение, наличие свободной поверхности, слоистость грунта плотины, сложная геометрия, наличие различных неодпо-р одно стен существенно усложняют решение задачи. Поэтому важное значение имеет разработка численных методов расчета задачи нелинейной фильтрации со свободной границей, составление алгоритмов и их программная реализация на ЭВМ.

Цель диссертационной работы. Разработка новых математических постановок и численных методов для решения задач установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в пористом грунте при нелинейном законе течения и наличии свободной границы.

Научная новизна. Разработаны и программно реализованы численные методы расчета задач установившейся безнапорной филь-

трации с нелинейным законом течения, позволяющие получать решения задач и двух и в трехмерной постановках, в том числе при наличии различных неоднородностей. Предложенный во второй главе метод фиксированной области позволяет рассматривать также задачи с исполним насыщением. Проведено тестирование предложенных методов на точных решениях, дано сравнение с решениями рассматриваемых задач, полученных конечно-разностным методом на перестраивающейся сечке. Исследовано влияние различных неоднородностей грунта (слоистости, непроницаемых включений, дренажа) па фильтрационное течение. Проведено сопоставление численных решений в задаче о совершенной скважине при разных радиусах скважины и при разных уровнях воды в скважине с известными точными решениями по фильтрационным расходам п участкам высачивания, сравнение с решением аналогичной задачи для несовершенной скважины.

Практическая ценность. Предложенные численные методы и составленные программ!,г могут быть применены при фильтрационном расчете гидротехнических водонодпорных сооружений, выполненных из грунтовых материалов (плотины, дамбы), которые перегораживают водоток и воспринимают напор воды. Некоторые рассмотренные задачи и полученные решения представляют интерес \ в гидрогеологии.

Достоверность результатов обеспечивается применением при исследованиях тестирования па задачах с линейным законом, имеющие точное решение и согласованием с имеющимися результатами других авторов. Выявленные некоторые интересные и довольно тонки« эффекты, которые нельзя считать интуитивно очевидными, объяс няются путем качественного и аналитического исследования.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на II Республиканском научно-техническом семинаре "Машпипые методы решения задач теории фильтрации" (Казань, 1992), на Итоговых научных конференциях Казанского университета (1990-1994), па Научных семинарах отдела теории фильтрации НИИ математики и механики Казанского университета, 1990-1996 г.г. (рук. докт. ф.-м. наук Е.Г.Шешуков), на Международной конференции "Мехапика машиностроения" (Наб. Челны, 1995), на Международной коттферепции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике" (Ижевск, 1996), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Оба,ем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения п списка используемой литературы, содержащего 68 наименований. Работа изложена на 91 странице машинописного текста и содержит 27 рисунков и 8 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы по теме, указана цель диссертационной работы, изложен порядок расположения материала, сформулированы основпые результаты, выносимые на защиту.

Классическая теория фильтрации берет пачало со времспи установления А.Дарси линейной зависимости между расходом и потерей напора. Большой вклад в развитие этой теории внесла русская и советская школа фильтрации, основоположниками которой являются

Н.Е.Жуковский, Н.Н.Павловский, Л.С.Лейбснзон. Дальнейшее развитие проблемы связано с работами В.И.Аравина, В.В.Ведерникова, В.Б.Дсвисопа, С.Н.Нумерова, П.Я.Полубариновой-Кочиной. Разработанные ими аналитические и приближенные методы позволили решить большой класс задач фильтрации, в том числе задач безнапорной фильтрации через грунтовые плотины.

Закон Дарси имеет определенные пределы применимости: во многих случаях описание движения жидкости в пористой среде линейным законом не дает достаточно полного и адекватного отражения реальных физических процессов. Важным и актуальным становится исследование фильтрации за пределами применимости закона Дарси.

Задачи нелинейной фильтрации существенно сложнее задач фильтрации, следующей закону Дарси, и они до сих пор исследованы недостаточно полно.

Первые теоретические исследования, заложившие основы теории нелинейной фильтрации в гидродинамической постановке, выполнены академиком С.А.Христиановичем в 1940 году.

Большой вклад в теорию нелинейной фильтрации внес С.Н.Нумеров, В.М.Ентов, Ю.М.Молокович.

В настоящее время исследованиям нелинейной фильтрации уделяется большое внимание. Существенный вклад в изучение краевых задач нелинейной фильтрации был внесен Н.Б.Ильинским,

A.В.Костериным, Н.Д.Якимовым, Э.В.Скворцовым, Н.Б.Салимовым,

B.М.Фомииым, Е.Г.Шешуковым и другими учеными.

Проблемами нелинейной апизоторопной фильтрации занимались

А.В.Костерин, Ю.М.Молокович, А.Н.Гайфутдинов, Н.Д.Якимов, Е.Г.Шешуков, О.В.Голубева и другие.

Задача нелинейной напорной фильтрации с предельным гради-

ептом сдвига непосредственно в физической плоскости поставлена и исследована в работе А.Д.Ляшко и М.М.Карчевского. В последующих работах А.Д.Ляшко, М.М.Карчевского, А.В.Лапина и И.Б.Бадрисва исследованы и решены сеточными методами задачи нелинейной фильтрации, в том числе с предельным градиентом сдвига и "разрывным" законом фильтрации.

В большинстве случаев задачи нелинейной фильтрации решаются численными методами, так как даже при известных методах аналитического решения их применение к частным задачам оказывается весьма трудоемким. Наиболее распространенными из численных методов являются сеточные методы, включающие метод конечных разностей и метод конечных элементов, нригодньте для решения широкого класса задач как лииейпых, так и нелинейных дифференциальных уравнений с различными граничными условиями. По предложенной теме наиболее близки работы О.В.Малова, решавшего задачи о плотине с нелинейным закопом методом конечных разностей с использованием перестраивающейся сетки. Такой подход позволяет достаточно точно решать лишь плоские фильтрационные задачи в относительно простых областях без непроницаемых включений п других неоднородпостей. При этом в случае резкого падения депрес-сиоццой кривой теряется точность метода и появляется неустойчивость.

В данной работе рассматриваются задачи о течении несжимаемой жидкости в пористой среде под действием силы тяжести (задача о плотине) нри нелинейной зависимости скорости фильтрации от градиента напора жидкости. В случае линейного закона фильтрации - закона Дарси - задача о плотине хорошо изучена, построепы и исследованы сеточные схемы и алгоритмы ее решения. В настоящей диссертации предлагается ряд подходов к решению сеточных

аппроксимаций фильтрационных задач с нелинейным законом течения, некоторые из которых являются новыми и для задач с законом Дарси.

Первая глава посвящена методу вариации свободной границы.

В §1 дается постановка краевой задачи нелинейной фильтрации в грунтовой плотные и описывается метод вариации свободной границы.

Пусть плотина занимает область П £ Л2. По С П - неизвестная область фильтрации. Граница с?П0 состоит из частей 5;, где 5о -свободная граница (депрессионная кривая), 5| соответствует непроницаемому основанию, 5-2 - частям плотины в контакте с жидкостью (верхний и нижний бьеф), 5з - участок высачивания.

Фильтрация подчиняется нелинейному закону

У(х) = -к(х,\Чи\)Чи(х), (1)

где и(х) - напор жидкости, У(х) - скорость фильтрации, к(х, |У£/|) - заданная функция, характеризующая нелинейную связь, вид этой функции зависит от закона фильтрации.

В области фильтрации По выполняется уравнение неразрывности

(ИуУ(Х) = 0, х е По- (2)

Задача состоит в отыскании нары (I/, По)> такой что выполняются (1)-(2) и соответствующие граничные условия. Отметим, что па 5о и £3 задаются но два граничных условия: II — Уп = 0; V = Уп > 0, где п - единичный вектор нормали.

В методе вариации свободной границы одно из условий на депрес-сионыой кривой используется для решения краевой задачи в очередном приближении к искомой области фильтрации, а второе - для уточнения положения этой кривой.

Ординаты нового положения депрессионной кривой 5о отыскиваются по формуле: з^""1"1^ = {х^ + 11 (х))/2, где II(х) - напор жидкости в точках варьируемой кривой, и процедура повторяется до достижения заданной точности (в определении депрессионной кривой и поля напоров).

Условие Уп > 0 на участке высачивания не используется при ре-шепии краевой задачи в фиксированной области, а его выполнение обеспечивается способом построения точки высачивания в предлагаемом алгоритме вариации свободной границы.

В §2 приводятся некоторые сведения нз функционального анализа, используемые в дальнейшем.

В §3 исходная краевая -задача в фиксированной области О о сводится к задаче минимизации функционала с ограничением, которая решается методом расширенного лагранжиана. Рассматриваются несколько видов лагранжианов.

Для того, чтобы избежать построения новой сеточпой аппроксимации в каждом приближении к искомой области фильтрации Оо С П, вводится характеристическая функция этой области к{х) и используется следующий лагранжиан

ад, ъ а) = / / +о / - ч\2лх+

а о о

+ ¡\(уи-$)<Ь, (3)

п

где г > 0 - параметр штрафа, Х(х) - множитель Лагранжа. Для отыскания седловой точки лагранжиана применен метод Удзавы:

\(xYn+^ = X(x)^n)+p(VU^)-q(^^))(x),xEn, П = 0,1,..., (4) где р - итерационный параметр, <7- решение системы

к(х)А:(х,|д|)^(х)+го'(х) = гУг7(х) + А(п)(а;), х 6 П, (5) - гД[/(х) = - г<?)(х), хЕП, (6)

с соответствующими граничными условиями для С/(х).

Таким образом, па каждом шаге метода вариации свободной границы решается задача в фиксированной области П, при этом нелинейный коэффициент присутствует лишь в уравнении (5), представляющим собой в сеточной аппроксимации систему нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых параметров неизвестной функции.

В случае, когда к(х,£) = а(х)ко(х,£), а(х) > 0, где коэффициент а(х) содержит основные особенности но х функции к((например, а(х) - разрывная функция, в то время как ко(х,£) гладкая по х), используется следующий вариант функции Лагранжа

Ни,&\) = / / к(х)к(х,ЫЩх + ~1 а(х)\\?и - д\ по а

+1 а(х)Х(уи - <Г)(1х, (7)

я

Принципиальным отличием алгоритма Удзавы для отыскания седловой точки (7) от алгоритма (4) - (6) является тот факт, что вместо уравнения (6) появляется уравнение с переменным коэффициентом:

- г ¿\у(а(х)Х?и(х)) = <Цу(а(®)(Х<"> - гд)(х)), х 6 О, (8)

При сильно разрывном коэффициенте а(х) этот метод оказался более эффективным, чем (4) - (6).

В §4 строится сеточная аппроксимация для лагранжианов (3), (7), приводится итерационный алгоритм отыскания их седловых точек.

Вторая глава посвящена методу фиксированной области.

Для решения поставленной нелинейпой задачи используется иод-ход, аналогичный методу Альта и Брезиса, Киидерлерера, Стампак-кьи, применявшийся для решения задач с законом Дарси. Этот ме тод применяется при решении сеточных схем для обобщенных постановок исходной краевой задачи, и основан по существу на построении последовательности решений задач фильтрации с линейным законом.

В §5 исходная красная задача сводится к системе вариационных неравенств в фиксированной области. В этой системе неизвестными являются функция давления Р и характеристическая функция области фильтрации х-

Именно, обобщенным решением задачи (1)-(2) с соответствующими граничными условиями называется пара (Р, \) G К х L^, удовлетворяющая следующей связной системе вариационных неравенств (включений):

Х(х) G Н(Р{х)) при п.вс.х G Q (9)

J к(х, |VP + xe|)(VP + xë)V(rç _ p)dx >0 Vr/ G M, (10)

Si

где H(t) - максимально монотонный график функции Хевисайда, е— (0,1), M и К - выпуклые замкнутые множества в пространстве

W}:

M = {PGWp1(ÎÎ): Р{х) =Pq(x),x£Si; Р(х) < 0,я G S0 U

К = {Р G И^(Г2) : Р(х) = Р0(х), X G S2; Р(х) = 0, х G 53;

Р(х) > 0, a: G П}.

Рассматриваемая задача аппроксимируется конечно-разностной схемой на фиксированной сетке. Для решения конечно-разностной аппроксимации задачи (9), (10) используется вариант метода расширенного лагранжиана, который предлагается в §6.

В §6 для простоты изложения рассматривается не сеточная, а дифференциальная задача.

Фиксируя х(х) в вариационном неравенстве (10), применяем в очередной раз метод расширенного лагранжиана. Присоединяя в алгоритме Удзавы на каждой итерации к линейному уравнению условие (9), приходим к следующему итерационному процессу:

Л(х)("+1) = А(®)(п) + + х('1)е - <Т[п])(х), (11)

где х^) - решение системы

к(х, + г = г + Хе + А(">(х), х £ П, (12)

-Ы™(Р{х) + х= сМЛ^ - г$)(х), «(ж) >0 х £ О,

р = о^ея Р(1) = ад,1£5г,

->, s (13)

г (VР + хе - <?) п + Л<") п = 0, х е 50 и 5Ь

х(х)еН(Р(х)) хеп. На каждой итерации этого метода пара. (Р, х) является обобщенным решением линейной задачи фильтрации с неоднородной правой частью. Для ее решения используются известные методы.

В §7 с целью проверки надежности описанных численных методов проводилось тестирование на ряде линейных задач фильтрации через прямоугольную перемычку, имеющих точные решения. Строились конечно-разностные схемы па равномерной сетке с числом узлов 21 х 21. Линейная задача для сеточной функции напора (давления) решалась методом верхней релаксации. По найденным сеточным функциям 11{х) в методе вариации свободной границы и

Р(х),х(х) в методе фиксированной области с помощью интерполяции в направлении Х2 строилась свободная граница - деирессионная кривая. Депрессионные кривые, полученные численными методами, давали хорошее приближение к точному решению задачи: максимальная относительная погрешность по ординатам кривых депрессий была в пределах 1.8%, относительная погрешность по среднему значению расхода через перемычку составляла от 0.25% до 0.30%. Для сравнения рассматривалось решение задачи, полученное методом вариации свободной границы с использованием перестраивающейся сетки.

Сравнение полученных численными методами расходов и ординат точек высачивания с их точными значениями показало, что метод фиксированной области имеет более высокую точность и его результаты практически совпадают с результатами расчетов с использованием перестраивающейся сетки. При этом предложенные в работе методы существенно выигрывают во времени вычислении благодаря использованию фиксированной сетки.

В третьей главе изложенными выше методами решались задачи безнапорной фильтрации с учетом нелинейности течения в перемычках при наличии горизонтальных дрен, скважин, непроницаемых включений, слабо проницаемых слоев. Проводилось сравнение решений фильтрационных задач для различных законов течения, а имеппо,

V = |УС/| = ¡(V) = аУ + ЪУ'\ |УС/| = ¡(V) = ЪУ2,

В случае однородного грунта выбирались следующие параметры: коэффициент фильтрации к — 1, параметры нелинейности а = 1, 6=1.

В §8 приводятся результаты расчетов фильтрации через прямоугольную и трапецеидальную перемычки для различных законов

фильтрации.

В §9 рассматривается задача фильтрации через прямоугольную перемычку при наличии горизонтальной дрены. Проведенное сравнение полученных результатов для линейного закона фильтрации с точным решением задачи показало хорошую точность методов.

В §10 решается задача фильтрации через прямоугольную перемычку при наличии непроницаемого включения. Выявляется неочевидная немонотонная зависимос ть фильтрационного расхода от положения включения вдоль горизонтальной оси. Для подтверждения этого эффекта выводится приближенно-аналитическая формула этой зависимости для линейного закона. Аналитические результаты, полученные по этой формуле, подтверждают немонотонный характер функции расхода. Также приводится зависимость величины участка высачиваиия от положения включения.

В §11 численно исследуется задача фильтрации через прямоугольную перемычку с учетом слоистости грунта. Рассматривается фильтрация в грунтовой плотине, состоящей из горизонтальных слоев с различными коэффициентами фильтрации, в том числе изучается ситуация, в которой появляется зона неполного пасыщепия. Метод решения, предложенный во второй главе, позволяет автоматически выявлять ненасыщенные зоны, в отличие от традиционных методов решения фильтрационных задач. Решается, также, задача фильтрации в прямоугольной перемычке, имеющей противофиль-трационпос ядро.

В §12 рассматривается решение пространственной фильтрационной задачи о плотине.

В §13 решается осесимметричная задача о совершенной скважине в цилиндрической системе координат. Проводится анализ зависимости положения депрессионной кривой и фильтрационного расхода

от радиуса скважины и напора па скважине для закона Дарси. Полученные численным методом результаты сравниваются с точными. Также решается задача о несовершенной скважине, проводится анализ полученных результатов.

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Новые математические постановки для задач безнапорной фильтрации несжимаемой жидкости с нелинейным законом течения.

2. Построение се точных аппроксимаций задач и алгоритмов их численной реализации.

3. Вычислительные эксперименты но фильтрационному расчету прямоугольной и трапецеидальной перемычки при нелинейном течении и наличии неоднородностей, а также пространственной задачи, задачи о скважптте.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Курцева К.П., Лапин A.B., Шешуков Е.Г. Решение задачи нелинейной фильтрации жидкости в грунтовой плотине. // Тезисы докл. второго Респ. науч. -тех. семин. "Машинные методы решения задач теории фильтрации", 23-25 июня 1992г., Казань, с. 21.

2. Курцева К.П. Метод фиксированной области для задачи фильтрации в плотине при нелинейном законе. Дсп. в ВИНИТИ, No 2608 - В 94, 17с., 9 ил., библ. 9 назв., 1994.

3. Курцева К.П., Лапин A.B., Шетнуков Е.Г. Решение сеточными методами задачи фильтрации жидкости в плотине при нелинейном законе фильтрации. // Изв. Вузов, Математика, N2, 1995, с. 47-52.

1-5

4. Курцева K.1L, Лапин A.B., Шешуков Е.Г. Метод фиксированной области для задачи фильтрации в плотине при нелинейном законе.// Тезисы докл.международной конференции "Механика машиностроения", 25-31 марта 1995г., Наб. Челны, с. 44-45

5. Курцева К.П., Лапин A.B. Численное решение задачи о плотине с нелинейным законом фильтрации.// Сборник трудов Международной конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике", 31 января - 3 февраля 199Сг., Ижевск, с.267-283.

6. Курцева К.П. Численное решение задачи о скважине.// Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", 24 28 июня 1996г., Казань, с.72-75

Откопировано на ризографе в типографии ЦСП РТ. Казань, Губкина, 50. Заказ № а _. Тираж 80 экземпляров.