Математическое моделирование плавных подземных контуров основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

005043230

На правах рукописи

Александрова Людмила Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАВНЫХ ПОДЗЕМНЫХ КОНТУРОВ ОСНОВАНИЯ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ С УЧАСТКАМИ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ОБТЕКАНИЯ

Специальность 01.02.05 «Механика жидкости, газа и плазмы»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 7 МДМ 2012

Санкт-Петербург 2012

005043230

Работа выполнена на кафедре прикладной математики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» (СПбГУГА).

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор физико-математических наук, профессор,

профессор ФГБОУ ВПО СПбГУГА Береславский Эдуард Наумович

Доктор технических наук, профессор, заведующий отделом «Основания, грунтовые и подземные сооружения» ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева Сольский Станислав Викторович

Доктор технических наук, доцент, профессор ФГБОУ ВПО СПбГМТУ Фридман Григорий Морицович

Ведущая организация:.

Научно-исследовательский институт

математики и механики им. Н.Г. Чеботарева, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань

Защита диссертации состоится «5» июня 2012 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.228.02 при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете (СПбГМТУ) по адресу: 190008 г. Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3, ауд. А-313.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета (СПбГМТУ)

Автореферат разослан « » апреля 2012 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.228.02

кандидат технических наук, доцент

С.Г. Кадыров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При гидромеханическом расчете скоростей фильтрации вдоль подземных контуров (ПК) основания гидротехнических сооружений, состоящих из отрезков прямых линий, приходится сталкиваться с тем обстоятельством, что в ряде вершин получаются бесконечно большие скорости: на концах плоского флютбета, на конце шпунта, при обтекании прямого угла заглубленной плотины и т.д. Наличие же подобных больших скоростей является крайне нежелательным и чрезвычайно опасным явлением, в особенности в области выхода фильтрационного потока в нижний бьеф, поскольку оно может привести к деформации фунта и угрожать устойчивости гидросооружения. Известно, что как бы ни был длинным или глубоким подземный контур плотины, на острых ребрах всегда возникнут большие скорости, поэтому желательны возможно плавные очертания подземных контуров, так что разработка моделей для расчета подземного контура основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания является весьма актуальной. Важность подобных разработок заключается также и в том, что существующие модели для расчета подземных контуров плотин приспособлены лишь для малореальных полубесконечных или бесконечных областей течения, и до сих пор отсутствуют модели для расчета в ограниченных (замкнутых) областях.

Цели и задачи исследования. Моделирование подземного контура основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания в ограниченных областях и в связи с этим всестороннее исследование некоторых малоизученных фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории функций комплексной переменной, методы конформных отображений (КО), методы решения плоских задач теории фильтрации, метод обратных краевых задач.

Научная новизна работы. Математическое моделирование изучаемых движений приводит к новым смешанным краевым многопараметрическим задачам теории аналитических функций. Эти задачи, являющиеся в настоящее время наиболее сложными в рассматриваемом классе фильтрационных течений, сформулированы и решены с помощью новых разработанных способов конформных отображений областей специального вида, которые характерны для течений подобного рода. Учет специфических особенностей моделируемых движений позволил представить решения в замкнутом виде через специальные, а в ряде случаев элементарные функции, что делает их использование на практике наиболее простым и удобным. Применение же принципа симметрии Римана-Шварца, который ранее не принимался во внимание при исследовании указанного типа задач, позволил существенно

сократить число неизвестных постоянных, которые возникают при конформном отображении, и тем самым довести решения задач до численных расчетов. Построены точные аналитические решения для новых более сложных краевых задач теории фильтрации, которые дают возможность глубже и полнее учитывать явления, происходящие в задачах подобного рода.

На базе полученных решений созданы алгоритмы программ для проведения численных расчетов искомых фильтрационных характеристик, что позволяет осуществлять всесторонний гидродинамический анализ процессов, в ходе которых оценивается влияние каждого физического параметра моделей на картину явлений.

Обоснованность и достоверность полученных результатов, вытекающих из них выводов и рекомендаций, обеспечивается в рамках принятых хорошо известных математических моделей применением строгих методов при построении и качественном анализе решений, а также всестороннем контроле числовых расчетов, которые выполняются непосредственно по выведенным точным аналитическим зависимостям. Решения всех приведенных в работе двумерных нелинейных задач получены в рамках строгих аналитических методов теории функции комплексного переменного. Само же математическое моделирование базируется на известных моделях механики жидкости в теории фильтрации и физических предпосылках, отражающих реальный характер исследуемых фильтрационных процессов. Установлено согласование приведенных в работе результатов расчетов для некоторых частных задач с числовыми данными в других отечественных научных исследованиях.

Практическое значение. Разработанные в работе модели плавных подземных контуров основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания в ограниченных областях и построенные для них точные аналитические решения существенно расширяют сферу внедрения полуобратного метода отыскания плавных подземных контуров плотин в практику инженерных расчетов и позволяют получить эффективные результаты для задач гидротехнического строительства.

Выполненный в диссертации подробный гидродинамический анализ может служить основой для решения таких важных практических задач, как выяснение влияния на фильтрационные процессы размеров заглубления плотин и ширины флютбетов, толщины и длины шпунтов и т.п., контроль режима грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и т.д. Подчеркнем, наконец, что предложенные и изученные в диссертации модели особенно важны при разработке и, главное, тестировании различных приближенных и численных методов, таких, например, как методы конечных элементов, граничных интегральных уравнений и т.д.

С целью выяснения реальности, а также точности полученных численных значений в «Лаборатории фильтрационных исследований им. академика H.H. Павловского ВНИИГ им. академика Б.Е. Веденеева» была приведена серия

вычислительных экспериментов по разработанной в диссертации модели путем численного моделирования с использованием конечно-элементного программного пакета Plax Flow компании Plaxis. Сравнение результатов проведенного численного моделирования с предложенным в диссертации точным решением показало, что относительные погрешности при вычислении скоростей и фильтрационных расходов составляет 0-10 %, что демонстрирует, во-первых, реальность разработанной модели, а во-вторых, вполне соответствует точности результатов численного моделирования (Акт РусГидро ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева «О результатах расчетов по модели фильтрации под заглубленной прямоугольной плотиной в ограниченном слое грунта, подстилаемом криволинейным водоупором, разработанной в диссертационной работе JI. А. Александровой «Математическое моделирование плавных подземных контуров оснований гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания» за №310-1483 от 17.05.2011 г.)

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана новая математическая модель, которая позволяет спроектировать плавный подземный контур гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости обтекания в ограниченной области.

2. Впервые получены точные аналитические решения ранее не рассматривавшихся задач о проектировании подземного контура плотины при наличии криволинейного водоупора сложной конфигурации.

3. На базе полученных точных аналитических решений проведены систематические числовые расчеты, дающие возможность сформулировать выводы о влиянии основных физических параметров гидротехнического сооружения на характеристики и картину течения.

4. Проведен подробный гидродинамический анализ структуры и закономерностей моделируемых течений под гидротехническими сооружениями.

5. Представлены результаты исследования предельных и частных случаев, которые содержатся в решении задачи для основной фильтрационной схемы. Установлено, что все существующие к настоящему времени решения аналогичных задач являются частными случаями представленного общего решения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на:

1. XL-XLI научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященные памяти авиаконструктора И.И. Сикорского (СПб, 2008-2009);

2. Конгрессе «Фундаментальные проблемы естествознания и техники»

(СПб, 4-9 августа, 2008);

3. Международных конференциях по математическому моделированию

МКММ (2008-2010); . 4. ХХ-ХХП Международных научно-методических конференциях «Математика в вузе» (2008-2010);

5. Объединенных семинарах СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в

механике сплошной среды» (СПб, 2009-2011);

6. Международной молодежной научной конференции «XXXV

Гагаринские чтения» (г. Москва, 7-11 апреля, 2009);

7. Международной молодежной научной конференции «XVII Туполевские

чтения» (г. Казань, 26-28 мая, 2009);

8. VI Международной конференции «Математическое моделирование в

образовании, науке и производстве» (г. Тирасполь, 7-10 июня, 2009);

9. IX Международной Казанской летней научной школе-конференции

«Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (г. Казань, 1-7 июля, 2009);

10. П Международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 24-28 августа, 2009);

11; VI Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 27-28 ноября, 2009);

12. XVI школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики» под руководством академика РАН Г.Г. Черного (г. Сочи, «Буревестник» МГУ, 6-16 сентября, 2010);

13. IX молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2010» (г. Казань, 1-6 октября, 2010).

14. XV Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Херсон, 13-18 июня 2011);

15. X ВСЕРОССИЙСКОМ СЪЕЗДЕ ПО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ ПРОБЛЕМАМ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ (г. Нижний Новгород, 24-30 августа, 2011).

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 31 научной работе, все по теме диссертации. Из них 20 статей, 11 тезисов докладов; 6 работ выполнены без соавторов, авторская доля в остальных от 30% до 70%. В рецензируемых научных журналах и изданиях опубликовано 9 работ, из них 2 работы без соавторов, авторская доля в остальных от 30% до 70%.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, заключения, списка использованной литературы, приложений; она содержит 106 листов машинописного текста, список цитируемой литературы состоит из 106 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении говорится об актуальности темы и цели диссертации, дается обзор исследований по построению ПК гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания, кратко излагается содержание, приводятся положения, выносимые на защиту.

Вопросам необходимости и целесообразности применения в гидростроительстве ПК было уделено особое внимание сначала H.H. Павловским, а затем А.П. Вощининым и М.Т. Нужиным. Существенным . развитием идей явилась работа П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной (О применении плавных контуров основания гидротехнических сооружений //ПММ.1952.Т.16. Вып.1), где для расчета ПК плотин впервые был применен обратный подход к краевым задачам теории фильтрации, что позволило получить решение для случая фильтрации в основании криволинейного флютбета, характеризуемого постоянством скорости обтекания в грунте конечной глубины. Дальнейшие существенные результаты связаны с монографией П.Я. Полубариновой-Кочиной («Теория движения грунтовых вод» М.: Гостехиздат, 1952; 2-е изд. М.: Наука,1977), где рассмотрен целый ряд смешанных краевых задач теории фильтрации, когда известные участки ПК прямолинейны, а искомые определяются из условия постоянства величины скорости обтекания на них. Такой подход дал возможность аналитически исследовать ПК плавного очертания. В результате были получены эффективные решения для ПК заглубленной прямоугольной плотины, углы которой округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, в случае, когда водопроницаемое основание подстилается водоупором с горизонтальной кровлей; флютбета, углы которого округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, и толстого шпунта (зуба),

округленного в нижней части.

Работы П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной открыли возможность математического моделирования плавных ПК гидросооружений и дали толчок к развитию целого направления - отысканию ПК плотин, удовлетворяющих наперед заданным на них условиям, например, желательными фильтрационными характеристиками - и вызвали к жизни многочисленные исследования, посвященные течениям подобного рода. Эти решения принадлежат, главным образом, казанской школе математиков и механиков. Впоследствии М.Т. Нужиным, Г.Г. Тумашевым, Н.Б. Ильинским, A.A. Глущенко, Г.В. Даниловой, В.Н. Бородиным, И.К. Брамоткиной, A.M. Елизаровым, Н.Б. Салимовым, С.Р. Насыровым, Ю.К. Жариновым, A.A. Сахабиевым, Н.Д. Якимовым и другими были рассмотрены задачи об определении ПК плотин (с заданной эпюрой скоростей, с заданными распределениями напора вдоль непроницаемых участков и значениями функции тока на водопроницаемых, с заданной эпюрой скоростей по дну нижнего бьефа и т.п.). В последнее время Э.Н. Береславским рассмотрено

несколько задач о построении ПК основания гидросооружения при наличии соленых подпорных вод.

Настоящая диссертация посвящена некоторому обобщению и дальнейшему развитию ставшей уже классической задачи П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной. В отличие от известных работ по данной тематике, где до сих пор приходилось встречаться с течениями лишь в полубесконечных или бесконечных областях, в диссертации разрабатывается модель ПК плотины, но уже в ограниченной области. Кроме того, в отличие от перечисленных исследований дается не только построение плавного ПК гидротехнического сооружения, но и определяется очертание подстилающего водопроницаемое основание криволинейного водоупора, также характеризуемого постоянством скорости фильтрации. Подчеркнем, что именно введение подобных криволинейных участков (а не горизонтальных, как это делалось ранее) позволяет перейти от рассмотрения малореальных бесконечных областей к моделированию в конечных областях, что особенно важно при разработке и тестировании различных приближенных и численных методов (например, методов конечных элементов, граничных интегральных уравнений и т.п.).

В первой главе, являющейся центральной, изложены результаты математического моделирования ПК постоянной скорости обтекания основания гидротехнического сооружения при наличии криволинейного водоупора сложной конфигурации в ограниченной области. В §1.1 вкратце излагаются физические предпосылки, положенные в основу теории двумерных установившихся фильтрационных течений однородной несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде в вертикальной плоскости хоу (ось у направлена вертикально вверх). Движение подчиняется закону Дарен с известным коэффициентом фильтрации K=const. Предполагается, что границы верхнего и нижнего бьефов горизонтальны, грунт однороден и изотропен.

При таких допущениях, традиционных для рассматриваемого класса движений, математическое моделирование изучаемых фильтрационных процессов на базе гидродинамической теории приводит к смешанным краевым многопараметрическим задачам теории аналитических функций и состоит в нахождении комплексного потенциала течения со (г) = <р + if, где <р - потенциал скорости, у - функция тока, как аналитической внутри области движения функции координаты z = х + iy.

В дальнейшем исследование осуществляется в терминах приведенных величин со viz, связанных с одноименными фактическими величинами <иф игф посредством следующих равенств:

a) = aijidi, z = zjH,

(1)

где Н - действующий на гидросооружение напор, что позволяет в дальнейшем оперировать с безразмерными величинами.

Тогда основные уравнения движения жидкости могут быть записаны в

виде:

\/ = &а<1<р, сЧп-О, <¡> = -11, !1 = Р--у, - (2)

где V - двумерный вектор скорости фильтрации, А - напор, р - давление, у = рг - объемный вес фильтрующейся жидкости, р - плотность жидкости, я -ускорение силы тяжести. Предполагается, что действующий на сооружение напор Я, скорость обтекания о0 и фильтрационный расход 0 считаются заданными.

Здесь же сделано несколько общих замечаний относительно особенностей и структуры исследования задач в диссертации.

На начальной стадии дается построение точных аналитических решений соответствующих смешанных краевых задач, в результате чего получаются параметрические уравнения неизвестных участков области течения. Далее узловым этапом исследования становится проблема нахождения неизвестных параметров КО, которые возникают в процессе решения смешанных краевых многопараметрических задач. Относительно этих неизвестных констант выводится система нелинейных уравнений, фиксирующих определяющие физические величины модели, которые задаются наряду с другими характеристиками. С помощью реализованных на компьютере алгоритмов и программ численным путем выявляется монотонность функций, входящих в упомянутые системы, и таким способом устанавливается их однозначная разрешимость относительно неизвестных параметров КО.

После нахождения неизвестных параметров КО рассчитываются координаты неизвестных участков ПК гидротехнического сооружения и криволинейных участков водоупора, а также искомые фильтрационные характеристики. Интегрирование параметрических уравнений граничных участков схемы по всему контуру вспомогательной области приводит к замыканию контура области движения и, тем самым, служит контролем вычислений.

Наконец, по результатам вычислений представленных в виде таблиц и графиков, изучается влияние каждого из физических параметров фильтрационной схемы на моделируемый процесс и подробно анализируется структура и особенности течения.

В работе изучение зависимости любой из характеристик фильтрационного процесса от того или иного фактора сводится к сопоставлению ее значений в различных стационарных состояниях, сменяющих друг друга при дискретном варьировании соответствующего параметра. Иллюстрацией характера

устанавливаемых зависимостей и взаимодействия различных факторов служат таблицы, которые состоят из нескольких блоков. В каждом из таких блоков изменению подвергается один из указанных параметров, а остальные фиксируются при определенных значениях. Вариант с такой комбинацией в дальнейшем именуется базовым и указывается при первоначальной ссылке на рисунок.

В §1.2 приводится формулировка основной фильтрационной задачи. Рассматривается течение под водонепроницаемым ПК заглубленной прямоугольной плотины АВСА1В1С1 (рис. 1), углы которой округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации. Пусть контур основания плотины АА\ состоит из двух вертикальных отрезков АВ и Аф\ одинаковой длины (¡и среднего горизонтального участка СС1 ширины 2/, и примыкающих к ним дуг кривых ВС и В\С\ с постоянной величиной их обтекания. Снизу область движения г ограничена водоупором (Тф, состоящим из двух криволинейных участков FG п и горизонтального отрезка РЕР^, на них, как и на участках ПК плотины ВС и В\С\, величина скорости фильтрации постоянна. Задача состоит в определении положения кривых ВС, В\С\, Gi.Fi и при следующих краевых условиях:

= — 0.5Я; А^1:х = -1,у/ = д-, С,£>С:у = -<1, у/ = & АВ-.х = 1,у, = (); £,С,иЯС:И=у0; Ав: у = 0, <р = 0.5Н; (1)

у = -Т,у/ = 0; ОД и<Ж у,= 0, И = щ;

таким образом, чтобы скорость фильтрации вдоль криволинейных участков ПК плотины ВС и В]Сь а также горизонтального и криволинейных участков и СР водоупора имела постоянные значения у0 (заданное) и щ (искомое) соответственно (0< Ио< У0).

В §1.3 дается точное аналитическое решение задачи. На рис. 2 изображена область комплексного потенциала. Обратимся к области комплексной скорости и- (рис. 3, а), соответствующей краевым условиям (1). Эта область, представляющая собой круговой десятиугольник с прямыми углами и двумя разрезами, ограничена дугами концентрических окружностей и отрезками прямых, проходящих через начало координат, которая принадлежит к классу круговых многоугольников в полярных сетках (Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во ИЛ. 1963). Поэтому учитывая специфические свойства подобных многоугольников, связанные с обилием прямых углов и разрезов, удобно при КО в качестве канонической области взять прямоугольник плоскости т (рис. 3, б): 0 < Яе т < 0.5, 0 <1т г < 0.5р, р =

К /К, К' = К(к'), к'= ^1-к1, где К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода при модуле к.

0.308, Дс/= 0.295.

Ввиду полной симметрии на плоскостях г, а) и м, применяя принцип симметрии Римана-Шварца, ограничимся рассмотрением правой половины области движения АВСБЕРЄ (рис. 1) и соответствующих ей одноименных областей на плоскостях со и м> (рис. 2 и 3).

Тогда функция, совершающая КО прямоугольника вспомогательной плоскости т на область комплексной скорости выражается как

и> = у„ехр(г-0.5)/гі,

откуда определяется искомый физический параметр

м0 = у0 ехр(-0.5лр).

(4)

л.

б,

©

-0.1Н-

Рис. 2. Область комплексного потенциала течения со.

0.5/,

©

г

0.5 и

Рис. 3. Области вспомогательной параметрической переменной т (а) и комплексной скорости іу(б).

Конформно отобразим теперь прямоугольник плоскости г на область комплексного потенциала со. В результате получаем

, II — Л л Л Д1-* с ^

(5)

0-5 лпгап* ш7 - ,г (1-^2Дг)(1-і

®- ад ЛаГС51П«Ь-^п\2Кг,к)' ]' ' )](1-к'2£2)(1-к'2

1-к'2С2) 2Л2С2) '

Х = ^1-к'2Вг , п = ^\-к'2Сг , А = хп{2К11,к'), В = м(2Кь,к'), С = *п{гКс,кп).

Здесь Р(<р,т) - эллиптический интеграл первого рода при модуле т, бп(<р,к), сп(<р,к), dn(<р,к) эллиптические функции Якоби. При этом должно выполняться соотношение

К(т) Н '

(6)

связывающее физические параметры б и Д которое служит для определения

модуля т (0 < т < 1).

Для решения краевой задачи (3) применим полуобратный способ годографа скорости (способ КО Ведерникова-Павловского) (Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). М.: Наука, 1969 или Михайлов Г.К., Николаевский В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1970. Т.2). Принимая во внимание соотношения (4) и (5) и учитывая, что и<=Ав/&, придем к зависимостям

/(г) = т(2Кт,к)сп(2Кт,к)с1п(2Кт,к),

Д(г) = ^/[1 - А1«!2 (2Кт, Щ1 -п^пг{2КхМ\А + А?*пг (2Кт,к)],

где А'=1-А2, М> 0 - масштабная постоянная моделирования. Несложно проверить, что функции (7) удовлетворяют граничным условиям (3), сформулированным в терминах функций ¿ю/Лх и <Ь/<1т, и, таким образом, являются параметрическим решением исходной краевой задачи.

Запись представлений (7) для разных участков границы области т с последующим интегрированием приводит к искомым выражениям: - для основных геометрических и фильтрационных характеристик

¿¡¡а М/(т) Ла _ Щт)ехр(0.5-г)Ж йт = А(т) ' £/г

-ТХяА-Ы

V. *

дуО.5

0.1

о о

0.5

- для координаты точек ПК плотины ВС (0 < / < 0.5)

о

и

^(0=-</,-—¡г,с* (9)

"о о

-для координаты криволинейной части водоупора FG 0.5)

*го(/) = 1-—'\Xndt

Лч<0-—.. . (Ю)

Здесь Д/=/-/,, Д£/ = £/-</,, ¿=/+/2 и подынтегральные функции в (8) - (10) -выражения правых частей (7) на соответствующих участках области вспомогательной параметрической переменной.

Полагая в уравнениях (9) и (10) г = 0.5, находим искомые размеры ПК гидротехнического сооружения и водоупора

ду и.

/, = «ас(0.5), ах =увс(0.5), /2--¡Фмсхр(а)Л, I, =£-хго(0.5) (11)

уо о

Контролем счета являются другие выражения для расхода 0 и геометрических размеров /], ¡у и Т:

¡¡у с

° »

-^Л, (12)

ко о "ц V,, *

уо »

В §1.4

приводится схема вычислений и подробный гидродинамический анализ влияния всех физических параметров модели на форму и размеры ПК плотины, горизонтального и криволинейных участков водоупора.

Представления (7) - (12) содержат пять неизвестных постоянных А, В, С, к и М. Для определения модуля эллиптических интегралов к служит соотношение (6), правая часть которого (в силу асимптотики АГ'/АГ=я-(21п(4Д'))) не может задаваться произвольным образом, а лежит в некотором диапазоне. Три других параметра КО А, В, С (0 < А < 1, 0 < В < С < 1) определяются из уравнений (8) для задаваемых величин Д/, Ы и 7", постоянная моделирования М при этом предварительно исключается, согласно (1), из третьего уравнения (8), фиксирующего действующий напор Я.

После определения неизвестных постоянных КО последовательно находятся искомые размеры подземного контура плотины /1 и й\ по формулам (11), ширина и глубина плотины /=/,+д/, ¿ = +ДЛ, и наконец, по формулам (9) и (10) рассчитываются соответственно координаты точек подземного контура сооружения ВС и криволинейной части ^(7.

На рис. 1 изображен ПК гидросооружения, рассчитанный при у0 = 1, Н= 2, 0 = 1.14, Т = 1.934, Д/ = 0.308, М = 0.295 (базовые значения). На рис. 4 представлены зависимости искомых величин 1и </,, 1г и /3 от параметров у„, Я ,0, Т, Д/ и Ас!.

Анализ данных таблиц и графиков зависимостей позволяет сделать следующие выводы.

Уменьшение скорости обтекания и увеличение действующего на сооружение напора приводят к росту всех размеров плотины, а также величины горизонтального участка водоупора. Характерен рост ширины 1\ при увеличении фильтрационного расхода и уменьшении мощности пласта Т и рост глубины (¡\, напротив, при уменьшении () и увеличении Г. В то же время влияние фильтрационного расхода практически не сказывается на размерах гидросооружения.

Наблюдается следующая закономерность: увеличению разности Д/(Дй?) сопутствует убывание (рост) ширины плотины / и рост (убывание) ее глубины с1. Заметно также различное поведение размеров 1\ и с1\ при варьировании параметров Т и Ас! и, напротив, одинаковый качественный характер зависимостей этих размеров от величин Т и А/: увеличение последних приводит к росту глубины плотины и уменьшению ее ширины

Исследованию некоторых предельных и частных случаев, связанных с вырождением параметров КО А, В и С, которые содержаться в решении для основной модели, посвящена вторая глава.

В §2.1 рассматривается случай ПЛ. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной, когда водоупор на всем своем протяжении является горизонтальным. Тогда в плоскости движения г точки С и Ё сливаются на бесконечности (рис. 5, а), а прямоугольник плоскости г вырождается в полуполосу 0 < Яе т < 0.5, 0 < 1т т < оо, , поскольку модуль ¿ = 0, *' = 1, К = 0.5л-, К'=<в и, следовательно, р=я. При этом, согласно (4), параметр н0 = 0, в плоскости комплексной скорости и» исчезают дуги внутренней окружности, а точки Е и ^ сливаются в начале координат (рис. 5, б).

Рис. 5.Схема течения и область комплексной скорости задачи П.Я.

Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной.

Решение для этого предельного случая получается из формул (7) - (12), если в них положить ¿ = 0 и учесть, что при таком значении модуля эллиптические функции вырождаются в тригонометрические: !п(2Кт,0)=5\пхт, сп(2Кт,0) = совят и </л(2Кг,0) = 1. Из формул (11)и (12)вытекает,что /2= оо, /,=«, а выражения (8) для Я и Г удается проинтегрировать в явном виде:

2МК'(к) т М к_ |(1-Л2Д2)(1-С2)

Формулы (13) совпадают с известными (ПЛ. Полубаринова-Кочина «Теория движения грунтовых вод», с. 191, формулы (7.17) и (7.18)).

В §2.2 рассматривается другой предельный случай, который получается из основной фильтрационной схемы, если в области течения г сливаются точки Р\, F и Е, т.е. когда отсутствует горизонтальный непроницаемый участок и на всем своем протяжении водоупор оказывается криволинейным (рис. 6). В этом случае в плоскости комплексной скорости у* разрез Р\ЕР исчезает, а в плоскости хпараметр с=0.5р.

Решение задачи получается из формул (7) - (12), если в них положить С = 1. При этом, как следует из формул (9) и (10), /, =0.

На рис. б (у0 = 1, Н = 2, 0 = 1.14, А/ = 0.296, М = 0.295) изображена картина движения в этом предельном случае.

В отличие от основной модели в данном случае параметр Т является искомым наряду с величинами 1\ и с^.

Установлено, в частности, что с ростом параметров у0, Н, А/ и Ы максимальная глубина водоупора Т и ширина /2 уменьшаются и увеличиваются с возрастанием фильтрационного расхода <2. При этом величины Т и могут быть весьма значительными: в расчетных вариантах они превосходят не только

значение /1 и но и сами размеры гидросооружения - ширины и глубины плотины / и с? на 1000 - 2000% соответственно.

В рамках схемы, рассмотренной в предыдущем параграфе, представляет интерес случай, когда поверхность водоупора залегает весьма глубоко, т.е. течение происходит в грунте бесконечной глубины. Исследованию этого вопроса посвящен §2.3. В плоскости движения г уже точки Е н? сближаются на бесконечности, а прямоугольник плоскости т также, как и §2.1, превращается в полуполосу. Следовательно, вновь Ь=0, р = оо, щ=0 и в области комплексной скорости м> точки Е и Г сливаются в начале координат.

Решение для этого предельного случая получается из формул (7) -(12),если в них положить к = 0, С = 1.- При этом удается проинтегрировать третье уравнение (8) для Н и получить выражение для масштабной постоянной моделирования М в явном виде

М = 0.5^(1-А2)(1-Вг)яН. (14)

Из формул (8) - (12) вытекает, что расход 0 = оо, /2 = оо и Т= от.

В §2.4 в рамках предыдущей модели рассматриваются два предельных случая, связанных с вырождением оставшихся неизвестными двух параметров КО Л и Я.

В случае обтекания незаглубленного флютбета с округленными углами (так называемого флютбета с горизонтальной вставкой) в плоскости движения отсутствует вертикальный отрезок АВ (рис. 1), что соответствует слиянию точек А и В: параметры а = А = 0, = 0.

На рис. 7 (Я = 10, в0 = 1 и / = 12.4) изображен флютбет, который дает представление о форме его заглубленного конца.

ля '

Рис. 7. Обтекаемый флютбет с горизонтальной вставкой, рассчитанный прии0= 1,Я= 10 и/= 12.4.

Интегрирование оставшихся уравнений (8) приводит к следующим выражениям для фильтрационных характеристик:

Д/

Я°к>), М - й - Н[Щ) ~ к"Кт,

1 ЩЕМ-РК^ + кЧ^ / = / [А1Н[Е(к')-к2К(к') +1] (][5) 1 т0к ' ' т>„к

где Е(к) - полный эллиптический интеграл второго рода при модуле* = л/1 -В1.

В случае обтекания толстого шпунта (зуба), округленного в нижней части, в плоскости течения г отсутствует уже горизонтальный отрезок СП (рис. 1), что отвечает слиянию точек С и Б: параметры Ь=В=0, /1=0.

На рис. 8(«о=1,#=Юи/ = 12.4) изображен шпунт, который дает представление о форме его заглубленного конца.

Здесь интегрирование уравнений (8) приводит к таким выражениям:

Ы1-

Н(\-к') т„к

т/Ж

т>Л

Н[Е{к')-к1К{к')+1]

где на сей раз модуль к = ^1-А2. Формулы (15) и (16) совпадают с известными (П.Я. Полубаринова-Кочина «Теория движения грунтовых вод», формулы (10.9)-(10.24)).

Сравнение формул (15) для обтекаемого флютбета с формулами (16) для обтекаемого шпунта показывает, что они получаются друг из друга заменой в них параметров А на В, й на / и наоборот.

Для этих предельных случаев установлено, что возрастание напора и убывание скорости обтекания флютбета и его ширины увеличивают толщину флютбета и уменьшают размер вставки. Чем короче флютбет, тем он должен быть толще при сохранении одной и той же скорости обтекания. И наоборот, возрастание напора, и убывание скорости обтекания шпунта и его толщины уменьшают глубину и увеличивают ширину шпунта. Чем длиннее шпунт, тем он должен быть тоньше при сохранении одной и той же скорости обтекания.

В приложении подводятся результаты численных экспериментов по модели для основной фильтрационной схемы, разработанной в 1 главе диссертации, которые получены в «Лаборатории фильтрационных исследований им. академика Н.Н. Павловского ВНИИГ им. академика Б.Е. Веденеева». Серия расчетов, содержащая 6 вариантов, которые охватывали как

основную фильтрационную схему, так и ее предельные случаи (плоский флютбет и шпунт), проводилась путем численного моделирования с использованием конечно-элементного программного пакета Plax Flow компании Plaxis.

В схемах тестируемых моделей, которые соответствовали искомым геометрическим параметрам, как ПК плотины, так и водоупора, все криволинейные участки заменялись аппроксимирующими их ломаными линиями согласно метода конечных элементов. По результатам расчетов представлены графики распределения скоростей фильтрации, а также значения фильтрационных расходов.

Сравнение результатов проведенного численного моделирования с результатами математического моделирования (т.е. с точным решением, полученным в диссертации) показало, что относительные погрешности при вычислении скоростей фильтрации и фильтрационных расходов находятся в пределах 0-10 %, что вполне согласуется с вопросами практики.

В заключении подводится общий итог проделанной работы. В диссертации дается обобщение и дальнейшее развитие обратного подхода, впервые предложенного П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной, к построению плавных ПК гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания. Предложена и изучена модель, в которой построение ПК плотины впервые осуществляется не в бесконечной области, как это делалось до сих пор, а в ограниченной. Математическое моделирование фильтрационных течений под плотинами осуществляется на базе решения и исследования новых смешанных краевых многопараметрических задач теории аналитических функций. Учет характерных особенностей рассматриваемых классов областей комплексной скорости позволил представить решения задач через специальные, а в ряде случаев элементарные функции, что делает их использование наиболее простыми и удобными для последующего практического применения.

Вместе с тем, учитывая специфические особенности исследуемой модели, построенные решения являются, тем не менее, наиболее общими для рассматриваемого класса задач - из решения для основной фильтрационной схемы получаются решение как для самой классической задачи П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной, так и все известные на сегодняшний день результаты других авторов. Построенные решения с привлечением принципа симметрии Римана-Шварца являются новыми результатами наряду с изучением смешанных многопараметрических краевых задач теории аналитических функций.

Дальнейшим узловым моментом исследования становится проблема параметров КО, нахождение которых является наиболее сложной и трудоемкой процедурой всего вычислительного алгоритма.

В диссертации на базе построенных точных аналитических решений составлены алгоритмы расчета для определения неизвестных граничных участков области движения в прямой постановке с предварительным вычислением неизвестных констант КО. Однозначная разрешимость задач на эти параметры устанавливается численным путем. Указанные расчеты позволяют определить не только размеры и очертания ПК плотин с участками постоянной скорости обтекания, но также размеры и форму подстилающего водопроницаемое основание криволинейного водоупора, характеризуемого постоянством скорости фильтрации.

На последней стадии исследования в центре внимания подробный гидродинамический анализ моделируемых движений, который может служить основой для решения важных гидродинамических проблем.

Итак, сочетание точных аналитических решений с числовыми расчетами позволили полнее учесть при математическом моделировании фильтрационных процессов под гидротехническими сооружениями их специфические особенности, выявить общие закономерности моделируемых движений и, таким образом, получить их детальную картину. Подобный подход, в конечном счете, придал исследованиям направленный и завершенный характер.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах: Публикации в рецензируемых научных журналах и изданиях:

1. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова. Моделирование основания гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости при наличии криволинейного водоупора // Известия вузов. Математика. - 2009.- № 3. - С.

73-79. (Автор-70%)

2. Э.Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е.В. Пестерев. Математическое моделирование некоторых фильтрационных течений в подземной гидромеханике // Вестник Санкт-Петербургского университета. -СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2010. - Сер. 10. Вып.

1. - С. 12-22. (Автор - 40%)

3. Э.Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е.В. Пестерев. Математическое моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями // Математическое моделирование. - 2010. Т.22. - №6. - С. 27-37. (Автор - 40%)

4. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова, Е.В. Пестерев. Математическое моделирование ряда фильтрационных течений в подземной гидромеханике // Вестник Санкт-Петербургского университета. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2010. - Сер. 10. Вып. 4. - С. 3-15. (Автор-40%)

5. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова, Е.В. Пестерев. О режиме грунтовых вод при фильтрации под гидротехническими сооружениями // Математическое моделирование. - 2011. Т.23. -№ 2. - С. 27-40. (Автор - 40%)

6. Л.А. Александрова. Математическое моделирование плавных подземных контуров основания плотин в ограниченных областях течения // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 2011. Т. 261. С. 61-70. (Автор - 100%)

7. Л.А. Александрова. Математическое моделирование плавных подземных контуров основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания // Вестник гражданских инженеров. - 2011. -№3(28). - С. 111-116. (Автор - 100%)

8. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова, Н.В. Захаренкова, Е.В. Пестерев. Математическое моделирование фильтрационных течений с неизвестными границами в подземной гидромеханике // X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Механика жидкости и газа. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. № 4(3). С. 644-646. (Автор - 30%)

9. E.N. Bereslavskii, L.A. Aleksandrova,.E.V. Pesterev. On Ground Water Seepage under Hydraulic Structures // Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3, No. 5, pp. 619-628. (Автор - 40%)

Публикации в других изданиях:

10. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова. Построение контура постоянной скорости основания плотины при наличии криволинейного водоупора // Вестник Херсонского национального технического университета. Математическое моделирование. Вып. 2(31). - Херсон: ХНТУ, 2008. С. 52-56. (Автор-70%)

11. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова. Построение контура постоянной скорости основания плотины при наличии криволинейного водоупора // Вестник гражданских инженеров.2008. № 3(16). С. 106-109. (Автор -70%)

12. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова. Моделирование контура постоянной скорости основания гидротехнического сооружения при наличии криволинейного водоупора // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2008. Т. 14. № 9. С. 100-105. (Автор-70%)

13. Л.А. Александрова. Математическое моделирование обтекания контура постоянной скорости гидротехнического сооружения //Груды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2008-2009 гг.— СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. С. 112-118. (Автор - 100%)

14. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова. Моделирование контура обтекания постоянной скорости основания гидротехнического сооружения при наличии водоупора сложной конфигурации // Вестник Херсонского

национального технического университета. Математическое моделирование. Вып. 2(35). - Херсон: ХНТУ, 2009. С.78-83. (Автор - 70%)

15. Э.Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е.В. Пестерев. Математическое моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями // Математика и ее приложения: Межвузовский сборник научных трудов - Выпуск 2 (2009) - СПб.: СПГУВК, 2009. С. 94-103. (Автор - 40%)

16. Э.Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е.В. Пестерев. Математическое моделирование фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2009. Т. 16. № 5. С. 32-46. (Автор-40%)

17. Э.Н. Береславский, Л.А. Александрова. Моделирование контура обтекания постоянной скорости основания гидротехнического сооружения при наличии водоупора сложной конфигурации // Вестник гражданских инженеров. - 2010. - № 2(23). - С. 189-193. (Автор - 70%)

18. Э.Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е.В. Пестерев. Математическое моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями II Вестник Херсонского национального технического университета. Математическое моделирование. Вып. 3(39). -Херсон: ХНТУ, 2010. С. 72-76. (Автор - 40%)

19. Э.Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е.В. Пестерев. Моделирование некоторых фильтрационных течений с неизвестными границами // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2010. Т. 21. № 23. С. 36-50. (Автор -40%)

20. Л.А. Александрова. Моделирование плавных подземных контуров гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания // Труды семинара « Компьютерные методы в механике сплошной среды».2010-2011.гг.-СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2011. С. 87-105. (Автор- 100%)

Подписано к печати 10.04.2012. Формат бумаги 60x90 '/](;.

Тираж 100. Уч.-изд.л. 1,5. Усл.печл. 1,5. С 19. Заказ 376 Тип. СПбГУ ГА. 196210. С.-Петербург, ул. Пилотов, дом 38.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математическое моделирование подземного контура постоянной скорости обтекания основания гидротехнического сооружения в ограниченной области

§1.1 Физические предпосылки схематизации фильтрационных процессов. Предварительные замечания.

§1.2 Постановка задачи для основной фильтрационной схемы

§1.3 Решение задачи

§1.4 Схема вычислений и анализ численных результатов

ГЛАВА 2. Предельные и частные случаи

§2.1 Случай П. Я. Полубариновой-Кочиной и И. Н. Кочиной

§2.2 Случай, когда в основной фильтрационной схеме отсутствует горизонтальный непроницаемый участок водоупора (/3 = 0)

§2.3 Течение в грунте бесконечной глубины (Т= оо)

§2.4 Обтекание флютбета с округленными углами и шпунта (зуба), округленного в нижней части

§2.4.1 Обтекаемый флютбет с горизонтальной вставкой {с1\ = 0)

§2.4.2 Обтекаемый шпунт или зуб (/1 = 0)

Актуальность темы. При гидромеханическом расчете скоростей фильтрации вдоль подземных контуров (ПК) основания гидротехнических сооружений, состоящих из отрезков прямых линий, приходится сталкиваться с тем обстоятельством, что в ряде вершин получаются бесконечно большие скорости: на концах плоского флютбета, на конце шпунта, при обтекании прямого угла заглубленной плотины и т.д. Наличие же подобных больших скоростей является крайне нежелательным и чрезвычайно опасным явлением, в особенности в области выхода фильтрационного потока в нижний бьеф, поскольку оно может привести к деформации грунта и угрожать устойчивости гидросооружения. Известно, что как бы ни был длинным или глубоким подземный контур плотины, на острых ребрах всегда возникнут большие скорости, поэтому желательны возможно плавные очертания подземных контуров, так что разработка моделей для расчета подземного контура основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания является весьма актуальной. Важность подобных разработок заключается также и в том, что существующие модели для расчета подземных контуров плотин приспособлены лишь для малореальных полубесконечных или бесконечных областей течения, и до сих пор отсутствуют модели для расчета в ограниченных (замкнутых) областях.

Впервые вопросам необходимости и целесообразности применения в гидростроительстве плавных ПК было уделено особое внимание сначала H.H. Павловским [86, 87], а затем А.П. Вощининым [42] и М.Т. Нужиным [79, 80].

Существенным развитием идей явилась работа П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной [74] где для расчета ПК плотин впервые был применен обратный подход к краевым задачам теории фильтрации, что позволило получить решение для случая фильтрации в основании криволинейного флютбета, характеризуемого постоянством скорости обтекания в грунте конечной глубины.

Дальнейшие существенные результаты связаны с монографией П.Я. Полубариновой-Кочиной [92], где рассмотрен целый ряд смешанных краевых задач теории фильтрации, когда известные участки подземного контура прямолинейны, а искомые криволинейные определяются из условия постоянства величины скорости обтекания на них. Такой подход дал возможность аналитически исследовать ПК плавного очертания. В результате были получены эффективные решения для ПК заглубленной прямоугольной плотины, углы которой округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, в случае, когда водопроницаемое основание подстилается водоупором с горизонтальной кровлей; флютбета, углы которого округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, и толстого шпунта (зуба), округленного в нижней части.

Работы П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной открыли возможность математического моделирования плавных ПК гидросооружений и дали толчок к развитию целого направления -отысканию ПК плотин, удовлетворяющих наперед заданным на них условиям, например, желательными фильтрационными характеристиками - и вызвали к жизни многочисленные исследования, посвященные течениям подобного рода. Эти решения принадлежат, главным образом, казанской школе математиков и механиков.

Впоследствии М.Т. Нужиным, Г.Г. Тумашевым, Н.Б. Ильинским, A.A. Глущенко, Г.В. Даниловой, В.Н. Бородиным, И.К. Брамоткиной, A.M. Елизаровым, Н.Б. Салимовым, С.Р. Насыровым, Ю.К. Жариновым, A.A. Сахабиевым, Н.Д. Якимовым и другими были рассмотрены задачи об определении ПК плотин (с заданной эпюрой скоростей, с заданными распределениями напора вдоль непроницаемых участков и значениями функции тока на водопроницаемых участках, с заданной эпюрой скоростей по дну нижнего бьефа и т.п.).

Создание общих аналитических методов решения задачи об определении ПК бетонной плотины, удовлетворяющего наперед заданным условиям, стало возможным в связи с разработкой методов решения обратных краевых задач теории аналитических функций.

Так, в работе А.П. Вощинина [42] было показано, что форма ПК бетонной плотины, величина скорости фильтрации на котором постоянна, есть окружность в предположении, что водопроницаемое основание имеет неограниченную мощность. При решении таких задач был использован третий способ конформных отображений [13].

М.Т. Нужин [81] разработан способ определения не дренированного ПК бетонной плотины по заданной эпюре величины скорости фильтрации на нем (длина развернутого подземного контура считается искомой). Такая постановка вопроса дает возможность, в частности, избежать наличия больших местных скоростей фильтрации, не желательных с точки зрения фильтрационной прочности основания бетонной плотины. Им были предложены два способа решения сформулированной выше фильтрационной задачи, а именно: 1) путем ее приведения к обратной задаче чисто циркуляционного обтекания симметричного профиля и 2) путем ее приведения к смешанной задаче теории аналитических функций в полуплоскости. М.Т. Нужиным были также установлены условия разрешимости рассматриваемой им фильтрационной задачи. B.C. Рогожиным [98] даны достаточные условия однолистности решения задачи, рассмотренной М.Т. Нужиным. Более общие условия однолистности решения указанной выше задачи были получены JI. А. Аксентьевым [1, 3]. Н.Б. Ильинским [59] дано обобщение задачи, рассмотренной М.Т. Нужиным, на случай водопроницаемого основания, подстилаемого водоупором с горизонтальной кровлей (с установлением условия разрешимости рассмотренной им задачи), а Г.В. Даниловой [47] на случай водоупора с наклонной кровлей. В упомянутых выше работах М.Т. Нужина, Н.Б. Ильинского и Г.В. Даниловой рассматривался ПК не дренированных бетонных плотин. Полученные в этих работах результаты были обобщены М.Т. Нужиным [82, 83], Н.Б. Ильинским [66], Г.В. Даниловой и Н.Б. Ильинским [49] на случай дренированных бетонных плотин.

В работах Г.В. Даниловой [46, 48] рассмотрена так называемая задача о достраивании ПК не дренированных и дренированных бетонных плотин, когда, в частности, известными частями ПК являются плоский флютбет или водонепроницаемый шпунт, на неизвестных водонепроницаемых частях ПК задана эпюра распределения величины скорости фильтрации.

М.Т. Нужиным [82] дано решение так называемой обратной задачи о модификации ПК бетонной плотины, заключающейся в нахождении измененного ПК по заданному распределению величины скорости фильтрации, близкому (в известном смысле) к распределению величины скорости фильтрации, на исходном ПК. Л.А. Аксентьевым [2, 4] установлены достаточные условия однолистной модификации подземного контура бетонной плотины.

Наряду с разработкой способов нахождения ПК бетонных плотин по заданной эпюре величины скорости фильтрации на его водонепроницаемых участках Н.Б. Ильинским разработан способ нахождения ПК бетонных плотин по заданному напору на его водонепроницаемых участках и заданной функции тока на его водопроницаемых участках, как функций абсцисс точек этих участков. Такая постановка обратной краевой задачи теории плоской установившейся фильтрации в случае недренированной бетонной плотины при определенных условиях, налагаемых на напор, из физических соображений гарантирует однолистность решения рассматриваемой задачи. При этом представляется возможным строить ПК бетонной плотины, отвечающий заранее заданной вертикальной составляющей фильтрационного давления по этому контуру.

В работах Н.Б. Ильинского [53, 54, 83], Н.Б. Ильинского и И.К. Браматкиной [60], Н.Б. Ильинского и Н.Б. Салимова [61] упомянутый способ был использован при определении ПК недренированной бетонной плотины. Н.Б. Салимовым [99] решена задача о нахождении ПК недренированной бетонной плотины в случае, когда водопроницаемое основание подстилается водоупором с плоской наклонной кровлей. Эта задача приведена им к краевой задаче Гильберта с разрывными коэффициентами и найдено ее решение в явном виде с установлением условий ее разрешимости.

Определение ПК дренированных бетонных плотин дано в работах Н.Б. Ильинского [54, 59, 66, 83].

Вопросы, связанные с достраиванием ПК бетонных плотин, рассмотрены в работах Н. Б. Ильинского [54, 57, 63, 83] и Ю. К. Жаринова [51].

Выше отмечены два типа обратных краевых задач теории плоской установившейся фильтрации. Н.Б. Ильинским [62, 65] был рассмотрен третий тип обратных краевых задач теории плоской установившейся фильтрации, заключающийся в определении ПК бетонных плотин по заданной эпюре выходных скоростей фильтрации по дну нижнего бьефа, обеспечивающей фильтрационную прочность грунта основания плотины в зоне выхода фильтрационного потока в нижний бьеф. В первой из указанных выше работ рассмотрены случаи водопроницаемого основания неограниченной мощности, а во второй — случай водопроницаемого основания, подстилаемого водоупором с горизонтальной кровлей. В указанных работах установлены условия разрешимости рассматриваемой обратной краевой задачи.

После появления вышеперечисленных работ советскими авторами выполнено большое количество исследований по ОКЗ, причем исследования теоретического и прикладного характера проводились в тесном взаимодействии [5, 100].

В последнее время Э.Н. Береславским рассмотрено несколько задач о построении ПК основания гидросооружения при наличии соленых подпорных вод [17, 21].

Настоящая диссертация посвящена некоторому обобщению и дальнейшему развитию ставшей уже классической задачи П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной. В отличие от известных работ по данной тематике, где до сих пор приходилось встречаться с течениями лишь в полубесконечных или бесконечных областях, в диссертации разрабатывается модель ПК плотины, но уже в ограниченной области. Кроме того, в отличие от перечисленных исследований дается не только построение плавного ПК гидротехнического сооружения, но и определяется очертание подстилающего водопроницаемое основание криволинейного водоупора, также характеризуемого постоянством скорости фильтрации. Подчеркнем, что именно введение подобных криволинейных участков (а не горизонтальных, как это делалось ранее) позволяет перейти от рассмотрения малореальных бесконечных областей к моделированию в конечных областях, что особенно важно при разработке и тестировании различных приближенных и численных методов (например, методов конечных элементов, граничных интегральных уравнений и т.п.).

Цели и задачи исследования. Моделирование подземного контура основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания в ограниченных областях и в связи с этим всестороннее исследование некоторых малоизученных фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории функций комплексной переменной, методы конформных отображений (КО), методы решения плоских задач теории фильтрации, метод обратных краевых задач.

Научная новизна работы. Математическое моделирование изучаемых движений приводит к новым смешанным краевым многопараметрическим задачам теории аналитических функций. Эти задачи, являющиеся в настоящее время наиболее сложными в рассматриваемом классе фильтрационных течений, сформулированы и решены с помощью новых разработанных способов конформных отображений областей специального вида, которые характерны для течений подобного рода. Учет специфических особенностей моделируемых движений позволил представить решения в замкнутом виде через специальные, а в ряде случаев элементарные функции, что делает их использование на практике наиболее простым и удобным. Применение же принципа симметрии Римана-Шварца, который ранее не принимался во внимание при исследовании указанного типа задач, позволил существенно сократить число неизвестных постоянных, которые возникают при конформном отображении, и тем самым довести решения задач до численных расчетов. Построены точные аналитические решения для новых более сложных краевых задач теории фильтрации, которые дают возможность глубже и полнее учитывать явления, происходящие в задачах подобного рода.

На базе полученных решений созданы алгоритмы программ для проведения численных расчетов искомых фильтрационных характеристик, что позволяет осуществлять всесторонний гидродинамический анализ процессов, в ходе которых оценивается влияние каждого физического параметра моделей на картину явлений.

Обоснованность и достоверность полученных результатов, вытекающих из них выводов и рекомендаций, обеспечивается в рамках принятых хорошо известных математических моделей применением строгих методов при построении и качественном анализе решений, а также всестороннем контроле числовых расчетов, которые выполняются непосредственно по выведенным точным аналитическим зависимостям. Решения всех приведенных в работе двумерных нелинейных задач получены в рамках строгих аналитических методов теории функции комплексного переменного. Само же математическое моделирование базируется на известных моделях механики жидкости в теории фильтрации и физических предпосылках, отражающих реальный характер исследуемых фильтрационных процессов. Установлено согласование приведенных в работе результатов расчетов для некоторых частных задач с числовыми данными в других отечественных научных исследованиях.

Практическое значение. Разработанные в работе модели плавных подземных контуров основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания в ограниченных областях и построенные для них точные аналитические решения существенно расширяют сферу внедрения полуобратного метода отыскания плавных подземных контуров плотин в практику инженерных расчетов и позволяют получить эффективные результаты для задач гидротехнического строительства.

Выполненный в диссертации подробный гидродинамический анализ может служить основой для решения таких важных практических задач, как выяснение влияния на фильтрационные процессы размеров заглубления плотин и ширины флютбетов, толщины и длины шпунтов и т.п., контроль режима грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и т.д. Подчеркнем, наконец, что предложенные и изученные в диссертации модели особенно важны при разработке и, главное, тестировании различных приближенных и численных методов, таких, например, как методы конечных элементов, граничных интегральных уравнений и т.д.

С целью выяснения реальности, а также точности полученных численных значений в «Лаборатории фильтрационных исследований им. академика H.H. Павловского ВНИИГ им. академика Б.Е. Веденеева» была приведена серия вычислительных экспериментов по разработанной в диссертации модели путем численного моделирования с использованием конечно-элементного программного пакета Plax Flow компании Plaxis. Сравнение результатов проведенного численного моделирования с предложенным в диссертации точным решением показало, что относительные погрешности при вычислении скоростей и фильтрационных расходов составляет 0-10 %, что демонстрирует, во-первых, реальность разработанной модели, а во-вторых, вполне соответствует точности результатов численного моделирования (Акт РусГидро ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева «О результатах расчетов по модели фильтрации под заглубленной прямоугольной плотиной в ограниченном слое грунта, подстилаемом криволинейным водоупором, разработанной в диссертационной работе Л. А. Александровой «Математическое моделирование плавных подземных контуров оснований гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания» за №310-1483 от 17.05.2011 г.)

Основные положения диссертации:

1. Разработана новая математическая модель, которая позволяет спроектировать плавный подземный контур гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости обтекания в ограниченной области.

2. Впервые получены точные аналитические решения ранее не рассматривавшихся задач о проектировании подземного контура плотины при наличии криволинейного водоупора сложной конфигурации.

3. На базе полученных точных аналитических решений проведены систематические числовые расчеты, дающие возможность сформулировать выводы о влиянии основных физических параметров гидротехнического сооружения на характеристики и картину течения.

4. Проведен подробный гидродинамический анализ структуры и закономерностей моделируемых течений под гидротехническими сооружениями.

5. Представлены результаты исследования предельных и частных случаев, которые содержатся в решении задачи для основной фильтрационной схемы. Установлено, что все существующие к настоящему времени решения аналогичных задач являются частными случаями представленного общего решения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на:

1. ХЬ-ХЫ научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященные памяти авиаконструктора И.И. Сикорского (СПб, 2008-2009);

2. Конгрессе «Фундаментальные проблемы естествознания и техники» (СПб, 4-9 августа, 2008);

3. Международных конференциях по математическому моделированию МКММ (2008-2010);

4. ХХ-ХХП Международных научно-методических конференциях «Математика в вузе» (2008-2010);

5. Объединенных семинарах СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (СПб, 2009-2011);

6. Международной молодежной научной конференции «XXXV Гагаринские чтения» (г. Москва, 7-11 апреля, 2009);

7. Международной молодежной научной конференции «XVII Туполевские чтения» (г. Казань, 26-28 мая, 2009);

8. VI Международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (г. Тирасполь, 7-10 июня, 2009);

9. IX Международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (г, Казань, 1-7 июля, 2009);

10. II Международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 24-28 августа, 2009);

И. VI Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 27-28 ноября, 2009);

12. XVI школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики» под руководством академика РАН Г.Г. Черного (г. Сочи, «Буревестник» МГУ, 6-16 сентября, 2010);

13. IX молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2010» (г. Казань, 1-6 октября, 2010).

14. XV Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Херсон, 13-18 июня 2011);

15. X ВСЕРОССИЙСКОМ СЪЕЗДЕ ПО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ ПРОБЛЕМАМ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ (г. Нижний Новгород, 24-30 августа, 2011).

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 31 научной работе, все по теме диссертации. Из них 20 статей, 11 тезисов докладов; 6 работ выполнены без соавторов, авторская доля в остальных от 30% до 70%. В рецензируемых научных журналах и изданиях опубликовано 9 работ, из них 2 работы без соавторов, авторская доля в остальных от 30% до 70%.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, заключения, списка использованной литературы, приложений; она содержит 106 листов машинописного текста, список цитируемой литературы состоит из 106 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации дается обобщение и дальнейшее развитие обратного подхода, впервые предложенного П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной, к построению плавных ПК гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания. Предложена и изучена модель, в которой построение ПК плотины впервые осуществляется не в бесконечной области, как это делалось до сих пор, а в ограниченной. Математическое моделирование фильтрационных течений под плотинами осуществляется на базе решения и исследования новых смешанных краевых многопараметрических задач теории аналитических функций. Учет характерных особенностей рассматриваемых классов областей комплексной скорости потоков позволил представить решения задач через специальные, а в ряде случаев элементарные функции, что делает их использование наиболее простыми и удобными для последующего практического применения.

Вместе с тем, учитывая специфические особенности исследуемой модели, построенные решения являются, тем не менее, наиболее общими для рассматриваемого класса задач - из решения для основной фильтрационной схемы получаются решение как для самой классической задачи П.Я. Полубариновой-Кочиной и И.Н. Кочиной, так и все известные на сегодняшний день результаты других авторов. Построенные решения с привлечением принципа симметрии Римана-Шварца являются новыми результатами наряду с изучением смешанных краевых многопараметрических задач теории аналитических функций.

Дальнейшим узловым моментом исследования становится проблема параметров КО, нахождение которых является наиболее сложной и трудоемкой процедурой всего вычислительного алгоритма.

В диссертации на базе построенных точных аналитических решений составлены и запрограммированы на ЭВМ алгоритмы определения неизвестных граничных участков области движения в прямой постановке с предварительным вычислением неизвестных констант КО. Однозначная разрешимость задач на эти параметры устанавливается численным путем. Указанные расчеты позволяют определить не только размеры и очертания ПК плотин с участками постоянной скорости обтекания, но также размеры и форму подстилающего водопроницаемое основание криволинейного водоупора, характеризуемого постоянством скорости фильтрации.

На последней стадии исследования в центре внимания подробный гидродинамический анализ моделируемых движений, который может служить основой для решения важных гидродинамических проблем.

Итак, сочетание точных аналитических решений с числовыми расчетами на ЭВМ позволили полнее учесть при математическом моделировании фильтрационных процессов под гидротехническими сооружениями их специфические особенности, выявить общие закономерности моделируемых движений и, таким образом, получить их детальную картину. Подобный подход в конечном счете придал исследованиям направленный и завершенный характер.

1. Аксентьев Л.А. Достаточные условия однолистности решения трех обратных краевых задач // Уч. зап. Казанск. ун-та, 1957, Т. 117, кн. 2, Вып. 2, С. 32 35.

2. Аксентьев Л.А. Об однолистном изменении профиля плотины // Уч. зап. Казанск. ун-та, 1957, Т. 117, кн. 2, Вып. 2, С. 32 35.

3. Аксентьев Л.А. Достаточные условия однолистности решения обратной задачи теории фильтрации // Успехи матем. наук, 1959, Т. 14, Вып. 4, С. 133 140.

4. Аксентьев Л.А. Однолистное изменение профиля плотины // Кн.: Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1960, Т. 117, С. 335 -340.

5. Аксентьев Л. А., Ильинский Н. Б., Нужин М. Т., Салимов Р.Б., Тумашев Г.Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Итоги науки и техники. Мат. анализ. 1980. Т. 18. С. 67-124.

6. Александрова Л.А. Математическое моделирование обтекания контура постоянной скорости гидротехнического сооружения // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2008-2009 гг.- СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. С. 112 -118.

7. Александрова Л.А. Моделирование плавных подземных контуров гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды».2010-2011.гг- СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2011.

8. Александрова Л. А. Математическое моделирование плавных подземных контуров основания плотин в ограниченных областях течения // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 2011. Т. 261. С. 61 -70.

9. Александрова Л. А. Математическое моделирование плавных подземных контуров основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания // Вестник гражданских инженеров. 2011. - №3(28). - С. 111 - 116.

10. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Фильтрационные расчеты напорных бассейнов гидростанций // Изв.ВНИИГ. 1947. - Т.32. — С. 5 — 16.

11. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. М.: Гостехиздат, 1953. - 616 с.

12. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Фильтрационные расчеты гидротехнических сооружений. Л. - М.: Госстройиздат, 1955. - 292 с.

13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.З. М.: Наука, 1967.-300 с.

14. Береславский Э. Н. О конформном отображении некоторых круговых многоугольников на прямоугольник // Изв. вузов. Математика 1980 - № 5. - С. 3 - 7.

15. Береславский Э.Н. Построение контура постоянной скорости основания гидросооружения при фильтрации двух жидкостей разной плотности // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 2. С.342 346.

16. Береславский Э. Н., Кочина П. Я. О некоторых уравнениях класса Фукса в гидро- и аэромеханике // Изв. РАН. МЖГ- 1992 № 5. - С. 3-7.

17. Береславский Э. Н., Кочина П. Я. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, встречающихся в некоторых задачах механики жидкостей и газов // Изв. РАН. МЖГ,- 1997.- № 5.- С. 9 17.

18. Береславский Э. Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых многоугольников в полярных сетках //Дифференц. уравнения 1997.- Т. 33 - № 3 - С. 296-301.

19. Береславский Э. Н. Определение подземного контура заглубленного флютбета с участком постоянной скорости при наличии соленых подпорных вод // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 169 175.

20. Береславский Э.Н. Построение подземного контура гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости обтекания //Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 5. С. 103 112.

21. Береславский Э.Н., Александрова Л.А. Построение контура постоянной скорости основания плотины при наличии криволинейного водоупора // Вестник гражданских инженеров.2008. №3(16). С. 106-109.

22. Береславский Э.Н. Построение контура постоянной скорости обтекания основания плотины при наличии водоупора // ПММ. 2009. Т.73. Вып.4. С. 594-603.

23. Береславский Э.Н., Александрова Л.А. Моделирование основания * гидротехнического сооружения с участками постоянной скорости при наличии криволинейного водоупора // Известия вузов. Математика. 2009.- № 3. - С. 73 - 79.

24. Береславский Э.Н., Александрова Л.А. Моделирование контура обтекания постоянной скорости основания гидротехнического сооружения при наличии водоупора сложной конфигурации // Вестник гражданских инженеров. 2010. - № 2(23). - С. 189-193.

25. Береславский Э.Н., Александрова Л.А., Пестерев Е.В. Математическое моделирование некоторых фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями // Математическое моделирование. 2010. Т.22. - №6. - С. 27 - 37.

26. Береславский Э. Н. Моделирование плавных подземных контуров основания гидротехнических сооружений с участками постоянной скорости обтекания // ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК. 2011. Т.437. -№ 6. С. 1-5.

27. Береславский Э.Н., Александрова Л.А., Пестерев Е.В. О режиме грунтовых вод при фильтрации под гидротехническими сооружениями // Математическое моделирование. 2011. Т.23 - № 2. -С. 27-40.

28. Бородин В.М., Ильинский Н.Б. Построение подземного контура плотины по эпюре фильтрационного противодавления // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1968. -Вып. 5.-С. 12-19.

29. Ведерников В.В. Теория фильтрации и ее применение в области ирригации и дренажа. М. - Л.: Госстройиздат, 1939. - 248 с.

30. Виниченко A.A. Об одном методе фильтрационного расчета грунтонаполняемых флютбетов // Тр. Семинара по краевым задачам. 1982. Вып. 18. С. 37-46.

31. Вощинин А.П. О применении обтекаемых контуров и ребристых подземных контуров при постройке гидротехнических сооружений на проницаемом основании // Инж. сб. 1950. Т. 7. С. 15 — 20.

32. Гиринский Н.К. Основы теории движения грунтовых вод подгидротехническими сооружениями при наличии по нижней поверхности грунта напора постоянной величины // Гидротехн.стр-во. 1936. - №6. - С. 22 - 28.

33. Гиринский Н.К. Расчет фильтрации под гидротехническими сооружениями на неоднородных грунтах. M. - JL: Госстройиздат, 1941.- 160 с.

34. Градиштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

35. Данилова Г.В. Достраивание подземного контура по эпюре скоростей // Итоговая конференция Казанск. ун-та за 1963 г., секц. матем., кибернетики и теории вероятн., механики (краткое содержание докл.). Казань, 1964, С. 141-143.

36. Данилова Г.В. Построение подземного контура гидросооружения при наклонном водоупоре // Тр. семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т, 1966, Вып. 3, С. 25 27.

37. Данилова Г.В. Задача достраивания дренированного флютбета // Тр. семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т, 1967, Вып. 4, С. 48 52.

38. Данилова Г.В., Ильинский Н.Б. Построение подземного контура дренированного флютбета // Сб.: «Некоторые вопросы прикладной математики». Киев, «Наукова думка», 1967, Т. 3, С. 30 38.

39. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б. Определение контура флютбета по эпюре скоростей при наличии водоупора // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1983. - Вып. 19. - С. 59-72.

40. Жаринов Ю.К. Достраивание подземного контура с понуром и шпунтом // Итоговая конференция Казанск. ун-та за 1962 г., секц. механики (краткое содержание докл.). Казань, 1963, С. 155 157.

41. Журавский A.M. Справочник по эллиптическим функциям. М. - Л.: АН СССР, 1941.-235 с.

42. Ильинский Н.Б. Определение формы и размеров подземного контура гидросооружения при конечной глубине водопроницаемого слоя // Уч. зап. Казанск.ун-та, 1958, Т.118, №2, С. 158 165.

43. Ильинский Н.Б. Построение контура основания гидротехнического сооружения по распределению напора // Уч. зап. Казанск.ун-та, 1958, Т.118, кн. 2, С. 134-157.

44. Ильинский Н.Б. Гидротехнический расчет плоского флютбета со шпунтом и проницаемым участком // Изв. АН СССР, ОТН, Механ. и машиностр. 1960. - №2. - С. 166 - 168.

45. Ильинский Н.Б. Полуобратный метод гидромеханического расчета флютбетов // Уч. зап. Казанск.ун-та, 1961, Т. 121, кн. 5, С. 61 69.

46. Ильинский Н.Б. Достраивание подземного контура гидросооружения на эпюре напоров // Итоговая научная конференция Казанск.ун-та за 1961 г., секция механики (краткое содержание докл.). Казань, 1962, С. 153- 155.

47. Ильинский Н.Б. Построение контура основания гидросооружения по распределению скорости фильтрации // Изв. АН СССР, Механ. и машиностр., 1963, №5, С. 151 155.

48. Ильинский Н.Б. Определение формы основания гидросооружения с проницаемым участком // Итоговая научная конференция Казанск. ун-та за 1962 г., секц. механики (краткое содержание докл.). Казань, 1963, №5, С. 151-153.

49. Ильинский Н.Б., Браматкина И.К. Одна обратная краевая задача теории фильтрации // УМЖ, 1963, Т.15, №4, с. 420 427.

50. Ильинский Н.Б., Салимов Н.Б. Определение формы подземного контура гидросооружения в области выхода фильтрационного потока в нижний бьеф // Тр. семинара по обратным краевым задачам. Казанск. ун-т, 1964, Вып. 2, С. 26 32.

51. Ильинский Н.Б. Задача построения подземного контурагидросооружения по эпюре выходных скоростей // Тр. семинара по обратным краевым задачам. Казанск. ун-т, 1964, Вып. 2, С. 21 27.

52. Ильинский Н.Б. Обратная смешанная задача теории фильтрации // Тр. семинара по обратным краевым задачам. Казанск. ун-т, 1964, Вып. 1, С. 19-28.

53. Ильинский Н.Б. Фильрация под плоским флютбетов в неоднородном грунте // Итоговая научная конференция Казанск. ун-та за 1963 г., секц. механики (краткое содержание докл.). Казань, 1964, С. 146 — 147.

54. Ильинский Н.Б. Краевая задача напорной фильтрации // Докл. АН СССР, 1965, Т.161, №5, С. 1033 1036.

55. Ильинский Н.Б. Обратная задача напорной фильтрации для основания с дренажем // Тр. семинара по обратным краевым задачам. Казанск. ун-т, 1966, Вып. 3, С. 47 52.

56. Ильинский Н.Б. Об одной обратной краевой задаче теории фильтрации // Изв.вузов, математика, 1967, №3 (58), С. 31 38.

57. Ильинский Н.Б., Якимов Н.Д. Обратные задачи напорной фильтрации при наличии дренирующего основания // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1968. -Вып.5.-С. 51-60.

58. Ильинский Н.Б., Насыров С.Р. О задаче построения контура флютбета по эпюре противодавления // Изв.вузов.Математика. -1982.-№2.-С. 16-23.

59. Ильинский Н.Б., Насыров С.Р. Задача определения подземного контура по эпюре противодавления при наличии прямолинейного водоупора // Изв.вузов.Математика. 1984. - №2. - С. 34 - 42.

60. Ильинский Н.Б. О развитии методов обратных краевых задач теории фильтрации // Проблемы теории фильтрации и механика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Наука, 1987. - С. 98 - 108.

61. Клауз Л.П., Мякушев А.М. Применение метода Кирхгофа -Жуковского к задачам фильтрации // Тр. Ленингр. технолог, ин-та целлюлозно-бум. пром. 1965, Вып. 17, С. 278-284.

62. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. -М.: Изд-во иностран. лит., 1963.-406 с.

63. Кочина И. Н., Полубаринова-Кочина П. Я. О применении плавных контуров основания гидротехнических сооружений // ПММ. 1952. Т. 16. Вып. 1.С. 57-66.

64. Кочина П. Я., Береславский Э. Н., Кочина Н. Н. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений класса Фукса и некоторые задачи подземной гидромеханики. 4.1. Препринт №567-М.: Ин-т проблем механики РАН 1996 - 122 с.

65. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987, 688 с.

66. Ляшко И.И., Мистецкий Т.Е., Олейник А.Я. Расчет фильтрации в зоне гидросооружений. Киев: Будивельник, 1977. - 118 с.

67. Михайлов Г. К., Николаевский В. Н. Движение жидкостей и газов пористых средах// Механика в СССР за 50 лет М.: Наука, 1970 - Т. 2.- 545 с.

68. Нужин М.Т. О постановке и решении задач определения формы подземного контура гидротехнического сооружения // Тез.докл.Всесоюз.совещ. по гидроаэромеханике. М.: Изд-во АН СССР, 1952.-С. 30.

69. Нужин М. Т. О постановке и решении обратных задач напорной фильтрации// Докл. АН СССР. 1954. Т. 96. № 4. С. 709 711.

70. Нужин М.Т. О решении некоторых задач напорной фильтрации // Инж. сб., 1954, Т. 18, С. 49-60.

71. Нужин М.Т., Тумашев Г.Г. Обратные краевые задачи // Уч. зап. Казанск. ун-та, 1955, Т.115, Вып. 6, 333 с.

72. Нужин М.Т., Ильинский Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации. Изд. Казанск. ун-та, 1963, 139 с.

73. Нужин М.Т., Тумашев Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965.

74. Павловский H.H. О применении комплекса Кирхгофа к гидромеханическому решению задач безнапорной фильтрации // Изв. НИИГ, 1937, Т.20, С. 5 25. Собр. соч. М., Изд-во АН СССР, 1956, Т.2, С. 472-493.

75. Павловский H.H. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения // Собр. соч. М.; Л.; Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 3 352.

76. Полубаринова-Кочина П.Я. О непрерывности изменения годографа скорости в плоском установившемся движении грунтовых вод // Докл. АН СССР. 1939. - Т.24, №4, - С. 327 - 330.

77. Полубаринова-Кочина П.Я. О фильтрации под гидротехническим сооружением в многослойной среде // Прикл.матем. и мех. 1941. -Т.5.- Вып. 2.-С. 287-301.

78. Полубаринова-Кочина П.Я. Некоторые задачи плоского движения грунтовых вод. М. - Л.: Изд-во АН СССР, 1942. - 143 с.

79. Полубаринова-Кочина П.Я., Фалькович C.B. Теория фильтрации жидкостей в пористых средах // Прикл.матем. и мех. 1947. - Т.11. -Вып. 6. - С. 629 - 674.

80. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1952. 676 е.; 2-е изд. М.: Наука, 1977. 664 с.

81. Полубаринова-Кочина П.Я. Некоторые методы теории функций комплексного переменного в применении к теории фильтрации // Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1961.-С. 212-218.

82. Полубаринова-Кочина П.Я., Пряжинская В.Г., Эмих В.Н. Математические методы в вопросах орошения. М.: Наука, 1969. -414 с.

83. Полубаринова-Кочина П.Я. О круговых многоугольниках в теории фильтрации // Проблемы математики и механики. Новосибирск: Наука, 1983.-С. 166-177.

84. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). -М.: Наука, 1969.- 545 с.

85. Ризенкампф Б.К. Гидравлика грунтовых вод. Ч.З // Уч. записки Саратовск.ун-та. Сер.гидравлики, 1940. Т. 15. - Вып. 5. - С. 3 - 93.

86. Рогожин B.C. Достаточные условия однолистности решения обратных краевых задач гидромеханики // Тр. 3-го Всес. матем. Съезда, 1956, Т.1, С. 210-211.

87. Салимов Н.Б. Обратная задача напорной фильтрации при наклонном водоупоре // Тр. Семинара по обратным краевым задачам, 1956, Вып. 2, С. 163-187.

88. Салимов Н.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения к механике жидкости // Изд. Казан, высшего командно-инженерного училища, 1970,364 с.

89. Сахабиев A.A., Салимов Н.Б. обратная задача напорной фильтрации в анизотропном грунте // Труды семинара по краевым задачам. -Казань.: Изд-во Казан.ун-та, 1968. Вып. 5. - С. 203 -211.

90. Тумашев Г.Г., Нужин M. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. 333 с.

91. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т.2. М.: Физматгиз, 1963. - 515 с.

92. Цицкишвили А. Р. О преобразованиях некоторых круговых многоугольников в линейные// Докл. расширенных заседаний семинара ин-та прикл. матем. им. И. Н. Векуа- 1990 Т. 5 - № 1- С. 193-196.

93. Цицкишвили А.Р. Метод явного решения одного класса плоских задач теории фильтрации// Сообщ. АН Грузии 1991- Т. 142 - №2-С. 285-288.

94. E.N. Bereslavskii, L.A. Aleksandrova, E.V. Pesterev Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, Vol. 3, No. 5, pp. 619 628.