Использование группового анализа в задачах фильтрации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. II

1.1. Состояние вопроса . II

1.2. Формулировка краевой задачи.

1.3. Методы решения сформулированных задач.

1.4. Необходимые сведения о групповом анализе дифференциальных уравнений

2. ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧАМ ФИЛЬТРАЦИИ.

2.1. Групповая классификация и определение преобразования эквивалентности, действующего на произвольные элементы основного уравнения

2.2. Нахождение инвариантных решений основного уравнения при некоторых вцдах произвольных элементов.

2.3. Инвариантные решения основного уравнения при постоянном значении коэффициента фильтрации

2.4. Об одном вариационном методе

2.5. Алгоритм решения задач стационарной фильтрации приближенно-аналитическим методом

2.6. Проверка достоверности и количественная оценка погрешности приближенно-аналитического метода

В ы в о д н

Актуальность темы. В связи с интенсивным развитием народного хозяйства СССР значительно возрастает потребность в пресных водах, необходимых для удовлетворения нужд промышленности, мелиорации и водоснабжения населенных пунктов. Водные запасы территориально распределены весьма неравномерно. Ограничены они в южной части СССР, в частности в Киргизии. Здесь из-за нехватки пресной воды для орошаемых земель используются и подземные воды. Поэтому в республике важное значение придается строительству водохранилищ и водозаборов с целью использования подземных вод. Как известно, строительство.ллотины без исследования фильтрационного процесса как в теле плотины, так и под основанием может привести к разрушению плотины и затоплению сельхозугодий, населенных пунктов, а эксплуатация подземных вод без учета запаса и естественной восполняемости их может привести к падению уровня и истощению подземных вод.

В связи с этим в решениях съездов КПСС, Пленумов Щ КПСС и КП Киргизии значительное внимание уделяется охране окружающей среды и рациональному использованию водных ресурсов. Откуда следует, что задачи исследования фильтрационных характеристик плотин и изучение динамики подземных вод с учетом различных гидрогеологических факторов применительно к различным целям в настоящее время являются своевременными и актуальными.

Задачи, рассматриваемые в данной работе, связаны с изучением фильтрационного процесса в земляных плотинах и идентификацией гидрогеологических параметров. Особый интерес они представляют в вопросах гидрогеологии и гидротехнического строительства.

Исследованию и решению задач теории фильтрации посвящены известные монографии Н.Э.Жуковского С46] , Н.Н.Павловского , П.Я.Полубариновой-Кочиной С 80] , В.И.Аравина,С.Н.Нумерова Г4] и других исследователей, внесших значительный вклад в развитие этой науки, а решению задач идентификации фильтрационных параметров посвящены работы И.К.Гавич Г31] , Н.А.Огильви П-S] , Ф.Б.Абуталиева /"i, ?J , В.М.Шестакова П08], Л.В.Семендяева Cs?] , в которых приведены методики идентификации. В основном в этих работах приводятся методики идентификации гидрогеологических параметров для неоднородной среды с учетом опытно- фильтрационных работ и недостаточно освещена задача идентификации гидрогеологических параметров, таких как коэффициент фильтрации, несовершенство водотока квазиоднородной среды в гидродинамической постановке.

Диссертационная работа посвящена исследованию и решению сложных задач фильтрации с помощью современного математического аппарата. Это позволяет создать новый алгоритм решения таких, задач, удобный для реализации на ЭВМ.

Цель диссертационной рабою заключается в решении задач фильтрации со свободными границами и идентификации отдельных гидрогеологических параметров почти однородной среды. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- применение аппарата группового анализа при исследовании и решении указанных задач, позволившее создать экономичный и хорошо приспособленный алгоритм для расчета на ЭВМ;

- разработка комплекса программ для решения задач идентификации отдельных гидрогеологических параметров почти однородной среда;

- использование комплекса программ к практическим задачам республики.

Методика исследования. Для исследования указанных задач применен аппарат группового анализа, развитый в трудах Л,В.Овсянникова f и его учеников £49] . Решение задач проводится вариационным принципом - минимизацией функционала построенного на обобщенном принципе невязки и с применением теории регуляризации А.Н.Тихонова. Реализация алгоритма проводилась на ЭВМ EC-I022 на алгоритмическом языке Фортран-1У.

Научная новизна диссертационной работы отражается в результатах исследований, направленных на осуществлиение поставленной цели, а именно:

- найдены функциональные зависимости коэффициента фильтрации и классы линейно-независимых инвариантных решений уравнений стационарной фильтрации с помощью группового анализа дифференциальных уравнений}

- разработан эффективный алгоритм решения задач безнапорной фильтрации на ЭВМ, основанный на разложении решения краевой задачи по базисам основного уравнения;

- предложены методика идентификации коэффициента фильтрации квазиоднородной пористой среды и несовершенства водотока.

Достоверность метода проверялась численными экспериментами, позволяющими анализировать точность алгоритма и выявлят чувствитель ность относительной ошибки результата от изменения отдельных исходных данных задачи, а также сопоставлением результатов приближенных расчетов с известными точными решениями тестовых задач.

Практическая значимость работы заключается:

- в создании алгоритма и программ, удобных для решения задач безнапорной фильтрации и к задачам идентификации гидрогеологических параметров квазиоднородной среда;

- в применении разработанных программ для расчета фильтрационных характеристик конкретных гидрогеологических объектов республики (уч. Чупра Большого Чуйского канала, уч. Красная речка Чуйской долины);

- во внедрении методики расчета фильтрационных параметров и в передаче комплекса программ для эксплуатации в Киргизскую комплексную гидрогеологическую экспедицию;

Апробация работы.Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании по краевым задачам теории фильтрации (Ровно, 1979), У Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981), на I Республиканской конференции молодых ученых Киргизии (Фрунзе, 1981), на международном совещании проблемной комиссии многостороннего сотрудничества АН социалистических стран "Научные основы механики машин, конструкций и технологических процессов" (Фрунзе,1982), Л Всесоюзном семинаре "Численные методы решения задач многофазной несжимаемой жидкости" (Фрунзе, 1982), на семинаре лаборатории фильтращш Института гидродинамики СО АН СССР (Новосибирск,1983), на семинаре по гидродинамике под руководством П.Я.Кочиной и О.В.Голубевой (ИПМ АН СССР, Москва, 1983, 1984), на городском семинаре по механике жидкости, газа и плазмы, на семинарах лаборатории подземной гидродинамики Института автоматики АН Киргизской ССР.

Публикации. Содержание диссертационной работы опубликовано в девяти научных статьях и одной монографии (в соавторстве с Ч.Джа-ныбековым, Д.Бекболотовым), которые приведены в списке литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на i09 страницах машинописного текста, содержит список использованной литературы из 11 б наименований, 4 6 таблиц и ii рисунков, приложения на 2 7 страницах.

ВЫВОДЫ

Произведены расчеты по определению основных физических параметров фильтрации в земляных плотинах, таких как длина участка высачивания, положение кривой депрессии, аналитические выражения функций тока, напора, величина расхода.

В гидродинамической постановке определен коэффициент фильтрации почти однородной среды и коэффициент сопротивления заиленного слоя дна с учетом положения кривой депрессии вблизи водотока.

Решена задача по определению неизвестных участков границы области фильтрации и по идентификации коэффициента фильтрации почти однородной водоносной толщи на участке Красная речка Чуй-ской долины, а методика расчета с комплексом программ внедрена согласно плану Совета Министров Киргизской ССР в Комплексной гидрогеологической экспедиции Управления геологии республики.

Показаны экономичность и простота подготовки исходных данных и их реализация на ЭВМ, так как ПАМ независимо от геометрии и размера области фильтрации порождает СЛАУ с размерностью AM , (Hi .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан новый приближенный метод решения краевых задач теории фильтрации (ПАМ), основанный на введении базисных функций, являющихся частными решениями уравнения, моделирующего изучаемый фильтрационный процесс.

В целях нахождения базисных функций системы (I.I) и аналитических выражений произвольных функций с^у) , , являющихся коэффициентами фильтрации пористой среды, применен аппарат группового анализа.

Получен довольно широкий класс функций для коэффициента фильтрации, а именно класс дробно-линейных функций и класс непрерывных функций, зависящих от комбинации аргументов

А. = Л. Л^Д , где - произвольные функции. Конкретно для различных видов коэффициента определено семейство однопараметрических частных решений в виде последовательностей (2.43), (2,48), (2.50), (2.45), (2.46) (см. § 2.5). Тем самым расширен крут известных функций для коэффициента фильтрации А у) . Здесь - произвольные действительные параметры.

С помощью численного эксперимента на задачах, имеющих точные аналитические решения, показано: а) возможность разложения решений вышеизложенных задач I, 2 и 3 по системе линейно-независимых функций (2.53), (2.54), являющихся частными решениями системы (I.I); б) достоверность и количественная оценка погрешности метода.

В гидродинамической постановке определен коэффициент сопротивления заиленного слоя дна с учетом положения кривой депрессии вблизи водотока на участке Чупра БЧК Чуйской долины, что позволяет обосновать влияние водотока на фильтрационный поток в зоне их формирования, что тлеет существенное значение в вопросах оценки эксплуатационных запасов подземных вод.

Решена задача по уточнению неизвестных участков границы области и по определению коэффициента фильтрации квазиоднородной водоносной толщи, функций тока и напора на участке Красная речка Чуйской долины, а методика расчета с комплексом программ внедрена согласно плану Совета Министров Киргизской ССР в Комлексную гидрогеологическую экспедицию Управления геологии республики.

Анализ полученных результатов позволяет наметить следующие направления дальнейших исследований: предложенный алгоритм может быть распространен на решение пространственных задач напорной и безнапорной фильтрации, происходящей в области произвольной формы. В этом случае количество аппроксимирующей линейной системы остается таким же, как и в плоской задаче, с той лишь разницей, что элементы матрицы линейной системы вычисляются интегрированием поверхностных интегралов, т.е. соответствующий функционал имеет вид

3 = ff(S£ Л-.и.-y(s)fols .

Неизвестные постоянные ^ определяются из необходимого условия минимума последнего функционала

Лаыс ■ ) ds J. - ds>,

LA L сЭ где /V - количество базисных функций, и,}

- система базисных функций, являющихся решениями основного уравнения и не удовлетворяющих граничным условиям; анализ теоретических исследований и результатов позволяет надеяться на возможность решить как плоские, так и пространственные некорректные задачи математической физики (I.I) - (1.2) (определение фильтрационных характеристик неоднородно-анизотропных сред, неизвестных коэффициентов, содержащихся в граничных условиях).

ПАМом можно решать не только краевые задачи теории фильтрации, но и задачи, описываемые линейными уравнениями с переменными коэффициентами (2.1) и соответствующими граничными условиями, в частности струйные задачи, задачи, построения крыловых профилей и т.п.

1. Абуталиев Ф.Б., Абуталиев Э.Б. Методы решения задач подземной гидромеханики на ЭВМ. Ташкент: ФАН, 1968, 196 с.

2. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Пространственнае задачи нестационарной двухфазной фильтрации в неоднородно-анизотропных средах. Докл. АН СССР, 1978, 243, В 3, с. 553-556.

3. Антонцев С.И., Папин А.А. Приближенные метода решения задач двухфазной фильтрации. Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 3, с. 521-525.

4. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой среде. М.: Гостехиздат, 1953, 616 с.

5. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978, 352 с.

6. Авилина И.В. Краткий обзор методов решения обратных задан геофильтрации. Рукопись ДЕП в ЕНИИТП,6 ноября 1979, № 381079 ДЕП.

7. Абуталиев Ф.Б., Мавлюдов С.И., Эшанкулов Э. Идентификация параметра водопроводимости неоднородного водоносного горизонта. В кн.: Вопросы вычисл. и прикл. матем., 1966, вып. 42,с. 143-148.

8. Баренблат Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972, 288 с.

9. Бекболотов Д., Джаныбеков Ч., Карагулов Д. О применении энергетического метода к решению задач фильтрации со свободными границами. В сб.: Двумерное и трехмерное течение жидкости и газа. Фрунзе: Илим, 1975, с. 160-180.

10. Ю.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физ-матгиз, 1962, т. 1-2, 464+639 с.

11. Бер Я., Заславский Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971, 452 с.

12. Бернадинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975, 199 с.

13. Белов Б.А., Радкеевич Е.В. Численная реализация метода вариации границы в задачах стационарной фильтрации. Докл. АН СССР, 1981, т. 261, В 2, с. 329-333.

14. Бочевер О.Н., Лапшин Н.Н., Хохлатов Э.М. Расчет притока грунтовых вод к скважинам в долинах рек с учетом заиленности и неоднородности русловых отложений. Изв. АН СССР, MKT. 1969, № 2, с. 174-177.

15. Бабушкин В.Д. Определение водопроницаемости горных пород под руслом рек. Разведка и охрана недр. 1954, № 4, с.45-53.

16. Бабушкин В.Д., Плотников Н.Н., Чуйко В.М. Методы изучения фильтрационных свойств неоднородных пород. М.: Недра, 1974, 208 с.

17. Боревский Б.В., Самсонов Б.Г., Язвин Л.С. Методика определения параметров водоносных горизонтов по данным откачек.1. М.: Недра, 1979, 326 с.

18. Береславский Э.Н., Нумеров С.Н. Современное состояние вопросов приложения метода конечных элементов при расчете фильтрации. -Гидромеханика, республ., межв. сб. Киев, 1979, вып. 40, с. 63-70.

19. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973, 400 с.

20. Великина Г.М., Красс М.С., Огильви Н.А. Решение задачи двумерной стационарной фильтрации. Водные ресурсы, 1978, № 6, с. 81-90.

21. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980, 400 с.

22. Веригин Н.Н. Методы определения фильтрационных свойств горных пород. М.: Госстройиздат, 1962, 180 с.

23. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

24. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1966, 280 с.

25. Голубева О.В. Метод расчета фильтрации в криволинейно-анизотропных основаниях гидросооружений. М., 1978 (препринт/ин-т пробл. мех. АН СССР,№ 118), 57 с.

26. Глущенко А.А., Шевченко В.И. Пространственные краевые задачи притока жидкости к несовершенным дренажам. Вычисл. иприкл. матем. Киев, 1974, вып. 22, с. 22-29.

27. Глубина Н.И., Олейник Л.Я. Неустановившаяся фильтрация из каналов в дрены в двухслойном грунте. Гидромеханика, респ. межв. сб. Киев, 1974, вып. 27, с. 58-64.

28. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972.

29. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. /Й.Н.Веригин, С.В.Васильев, В.С.Саркисян, Б.С.Шерхуков. М.: Недра, 1977, 271 с.

30. Гиринский Н.К. Некоторые вопросы динамики подземных вод. Вопр. гидрогеол. и инж. геол. 1947, № 9, 102 с.

31. Гавич И.К. Теория и практика применения моделирования в гидрогеологии. М.: Недра, 1980, 358 с.

32. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближение функций. М.: Гостехиздат, 1954, 328 с.

33. Джаныбеков Ч., Джаманбаев М., Бекболотов Д. Методы фильтрационных расчетов в слоистых средах. Фрунзе: Илим, 1983, 144 с.

34. Джаныбеков Ч. Математическое моделирование движения грунтовых вод в многослойных средах. Фрунзе: Илим, 1982, 287 с.

35. Джаныбеков Ч., Мурзакматов М.У. Вариационно-разностный метод решения задач подземной фильтрации. Фрунзе, 1977, 77 с.

36. Рукопись представлена ред. ж. "Изв. АН Кирг. ССР". Деп. в ВИНИТИ 29 дав. 1974. Ш 182-74.

37. Джаманбаев М.Дж. К определению коэффициента фильтрации однородно-изотропной насыщенной среды. Фрунзе, 1982, 8 с. - Рукопись представлена ред. ж. "Изв. АН Кирг. ССР". Деп. в ВИНИТИ15 марта 1982, $ 1114-32.

38. Джаныбеков Ч., Джаманбаев М.Дж. К приближенно аналитическому методу решения краевой задачи стационарной фильтрации. -В кн.: Тез. докл. Всес. Совещания-семинара по краевым задачам теории фильтрации. 29 мая I июня 1979 г. Ровно, ч. I, с. 45-46.

39. Джаманбаев М.Дж., Джаныбеков Ч. Приближенный метод решения задач безнапорной стационарной фильтрации в кусочно-однородных средах. В кн.: Пятый Всес. съезд по теор. и прикл. мех. 27 мая - 3 июня 1981. Аннот. докл. Алма-Ата, 1981, с. 135-136.

40. Джаныбеков Ч., Джаманбаев М.Дж. Применение группового анализа для приближенного решения прямых и обратных задач безнапорной стационарной фильтрации. В кн.: Динамика многофазных сред. Н0восибирск, 1983, с. 132-136.

41. Джаманбаев М.Дж. Об одном эффективном методе решения задач фильтрации в неоднородной среде. В кн.: Тез. докл. 1-яреспубл. науч.-технич. конф. молодых ученых Киргизии, секц. "гор-но-геолог. науки". Фрунзе, 1981, с. 32-33.

42. Дружинин Н.й. Метод электрогидродинамических аналогий и его применение при исследовании фильтрации. М.-Л. :Госэнергоиз-дат, 347 с.

43. Жернов И.Е., Шестаков В.М. Моделирование фильтрации подземных вод. М.: Недра, 1971, 224 с.

44. Жуковский Н.Е. Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод. Ж. Русск. физ.-хим. об-ва. М.: Гостехиздат, 1949, В 21, }Ь I, с. 1-20. Собр. соч., т. 3, с. 184-206.

45. Зеегофер Ю.О., Шестаков В.М. Методика обработки данных опытных откачек вблизи реки. Разведка и охрана недр, 1968, В 9, с. 33-37.

46. Зильберг B.C., Красс М.С. Руководство по численному решению на ЭВМ краевых задач фильтрации, описываемых уравнением параболического типа для одномерного и двумерного в плане потока. М.: ПНИИИС, 1976, 79 с.

47. Ибрагимов Н.Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, СО, 1967, 59 с.

48. Ильинский Н.Б., Хайрулин Э.Э., Шешуков Е.Г., Шешуко-ва Ф.И. 0 фильтрации расчета высоких неоднородных грунтовых плотин. -В кн.: Тез. докл. Всес. совещания-семинара по краевым задачам теории фильтрации. 29 мая I июня 1979 г. Ровно, ч. I,с. 6-7.

49. Ильинский Н.Б. Фильтрация под плоским флютбетом в неоднородном грунте. Итоги научн. конф. Казан, ун-та, 1963,с. 147-148.

50. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. Мат. сб., 1963, т. 61(105), № 2, с. 211-223.

51. Иванов А.В. Некоторые особенности определения водопро-водимости в ограниченных пластах по результатам восстановления уровня. В кн.: Материалы 2-й конф. молодых ученых. ВСЕГИНГЕО. М., 1970, с. 77-82.

52. Каменский Г.Н. Основы динамики подземных вод. Изд. 2. М.:Госгеолиздат, 1943, 248 с.

53. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.-Л., изд. 4, 1952, 695 с.

54. Коновалов А.И. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, СО, 1972, 128 с.

55. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.:Мир, 1964, 350 с.

56. Коннор Дж., Бребиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979, 263 с.

57. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, изд. 6, ч. I, 583 с; ч. 2, изд. 4, 1963, 727 с.

58. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Наука, 1958.

59. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 с.

60. Лаврик В.И., Булавицкий В.М. Применение точного и приближенного метода конформных' отображения к расчету фильтрации через земляные плотины при наличии внутренних дренажей. В кн.: Физ.-техн. прил. краев, задач. Киев, 1978, с. 157-168.

61. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л.: Г0стехиздат, 1947, 244 с.

62. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 136 с.

63. Ляшко И.И. Решение фильтрационных задач методом суммарных представлений. Изд-во Киев, ун-та. Киев, 1963, 175 с.

64. Лаврентьев Г.В. Численные расчеты задач гидродинамики со свободными границами на основе аналитического представленияих решений. В сб.: Динамика сплошной среды, вып. 6. Новосибирск, 1971.

65. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969, 67 с.

66. Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование геофильтрации. М.: Недра, 1976, 407 с.

67. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980, 535 с.

68. Механика за 50 лет. М. :Наука, 1970, т. 2, с. 585-648.

69. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1977. 424 с.

70. Мироненко В.А., Шестаков В.М. О принципах идентификации опытно-фильтрационных наблюдений. Водные ресурсы, 1977,5, с. I6I-I72.

71. Николаевский В.Н., БасниевК.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970, 339 с.

72. Нужин М.Т., Тумашев Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения. Изд. 2 Казан, ун-та, 333 с.

73. Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года (Постановление ХОТ съезда КПСС по проекту ЦС КПСС). М.Политиздат, 1981, 95 с.

74. ОгильвиН.А. Физические и геологические поля в гидрогеологии. М.: Наука, 1974, 180 с.

75. ОгильвиН.А. Расчет процессов водообмена на основе принципа наименьшего действия. Водные ресурсы, 1978, № 6, с. 8190.

76. Овсянников Л,В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 400 с.

77. Павловский Н.Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные положения. Пгр. ПХ+753; собр. соч., т. 2. М.-Л.: АН СССР, 1956.

78. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977, 664 с.

79. Положий Г.Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента. Изд-во Киев, ун-та. Киев, 1962, 161 с.

80. Радкеевич Е.В. Метод вариации в задачах нестационарной фильтрации. Усп. мат. н., 1980, 35, № 4, с. 177-178.

81. Развитие исследовании по теории фильтрации в СССР (I9I7-I967) / Под общ. ред. П.Я.Полубариновой-Кочиной и др. М.: Наука, 1969, 545 с.

82. Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа, 1983, 160 с.

83. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1951, 464 с.

84. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979, 342 с.

85. Семендяева Л.В. Метод Монте-Карло для численного решения краевой задачи фильтрации. Водные ресурсы, 1977, № 5,с. I6I-I72.

86. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, 552 с.

87. Соколовский В.В. О нелинейной фильтрации грунтовых вод.-Прикл. мат. и мех. 1949, 13, № 3, с. 525-536.

88. Стампаккья Г. О фильтрации жидкости через пористую среду с переменным сечением. Усп. мат. н. 1974, 29, 14(178), с. 89-101.

89. СН и П II-B. 4.62. Строительные нормы и правила. Плотины земляные и насыпные. М.: Госстройиздат, 1963.

90. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, 288 с.

91. Тихонов А.Н., Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, 151, № 3.

92. Треногин В.А. функциональный анализ. М.: Наука, 1980,496 с.

93. Уилкинсон Р. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976, 390 с.

94. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.И. Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1963, 734 с.

95. Фильчаков П.Ф., Панчишин В.И., Интегратор ЭГДА, моделирование потенциальных полей на электропроводной бумаге. Киев :1. АН УССР, 1961, 171 с.

96. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев: Наукова Думка, 1964, 532 с.

97. Хантуш М.С. Новое в теории перетекания (пер. с англ.). -В сб.: Вопросы гидрогелологических расчетов. М.: Мир, с. 43-60.

98. Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси.- Прикл. мат. и мех. 1940, 4, Щ, с.33-52.

99. Хоанг Динь Зунч. Некоторые применение Р~ аналитических функций в теории фильтрации в неоднородных грунтах.-Диф. ур. 1979, т. 15, В 6, с. 1088 1096.

100. Чарный И.А. Подземная гидродинамика. М.: Госгоптехиз-дат, 1963, 396 с.

101. Чарный И.А. Метод последовательной смены стационарных состояний и его приложение к задачам нестационарной фильтрации жидкости и газов.- Изв. АН СССР,отд. техн. н, 1949, № 3, с.323-342.

102. Чарный И.А. Безнапорный приток к гидродинамически несовершенным скважинам и иглофильтрам.- Изв. АН СССР, отд. техн. н., 1953, № 2, с. 216 224.

103. Шаманский В.Е. Численное решение задачи фильтрации грунтовых вод на ЭЦВМ. Киев: Наукова Думка, 1969, 375 с.

104. Шестаков В.М. Оценка сопротивления ложа водоемов при гидрогеологических расчетах.- Разведка и охр.недр. 1972, $ 6, с. 42 48.

105. Шешуков Е.Г. Нелинейная фильтрация в анизотропном грунте.- В кн.:,Тр. семинара по краевым задачам. Казан, ун-т, вып. 12,. 1975, с. 198 203.-108. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М.: Изд-во МГУ, 1979, 327 с.

106. Швидлер М.Н. Фильтрационное течение в неоднородных средах. М.: Госвоптехиздаг, 1963, 136 с.

107. Эмих В.Н. О форме линзы пресных вод при фильтрации из канала.-.Изв. АН СССР, мех.жид. и газа, 1966, № 2,c.II5-II9.

108. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука,1967, 196 с.

109. Яненко Н.Н. Численные методы механики сплошной среды. В кн.: Пятый Всес. съезд по теор. и прикл. мех., 27 мая -3 июня 1981 г. Аннот. докл. Алма-Ата, 1981, с. 367-368.

110. Sze^fiicc C.J.j Cfiang OpV. 6ои,пс1агу etemzntsaPPUed to Setvagt pzofite/ns in §rO/itd anisotropic, Soi h "J-dfr. in En$. soft * /9}9 9 vot.i . № 3, 0иль, P. 95-105.

111. Йвас//огс E. Ми-те,гьсс1£ Solution г— stent fzez suzfoice flour p<zofi£ ем $ in Pozou,s media, - tittf. zeato/net .3. Sc,i. S92-5 j0t p /s-зз

112. Fnind 0, 6tJ Pindet £ G-deezcin So3u

113. Hon ofifit Infozst PzoUem #ог. Jgu-iht f&a/ismCssl -by. H/ates teeouz0 Ае$еаг . octofiez 1923 i/o€. Q^уо.з?1. Р.Ш-М0.lid, JlfestoA ZSistef&A/o ^ i/nitaif Aot,t& . Jn IcU/it i fcccCtio/7 J-pfoefc-h to Su&sU'Z^cfce y^t/d^o^o^cc-a^

114. Systems. Ш£е*г Aeseaz. /3?-&, Ы Aio.S. pjoos-ioofo,