Исследование масштабированной энтропии фильтраций сигма-алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОРБУЛЬСКИЙ АЛЕКСАНДР ДАВИДОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ МАСШТАБИРОВАННОЙ ЭНТРОПИИ ФИЛЬТРАЦИЙ СИГМА-АЛГЕБР

01 01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ* 2008

Работа выполнена в лаборатории теории представлений и вычислительной математики Санкт-Петербургского Отделения Математического Института им. В. А Стекло-ва Российской Академии Наук.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Вершик А. М.

доктор физико-математических наук, профессор Лифшиц М. А. кандидат физико-математических наук Гордин М. И.

Московский

Государственный Университет

Защита состоится "¿4^ ,МОР по 0,2008 года в час. на заседании Диссертационного Совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического Института им. В. А Стеклова Российской Академии наук по адресу; 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, ауд. 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ РАН

Автореферат разослан /Я/2008 года

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Зайцев А. Ю.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена теории убывающих последовательностей ст-алгебр, или фильтрат ций сг-алгебр. Важность этой теории отмечаась в статьях A. Н. Колмогорова, В. А. Рохлина, Дж. Дуба, М. Розен-блатта и др *) с позиций общей теории меры и эргодиче-ской теории ее исследовали А. М Вершик, В. Г. Винокуров и их ученики. Изучение фильтраций cr-алгебр стала особенно актуальной при их появлении в теории случайных процессов и в теории апроксимации эргодических преобразований. Одной из первых задач этой теории является классификация фильтраций ст-алгебр.

Вопрос о классификации фильтраций сг-алгебр возник после того, как А. М. Вершиком было доказано, что существует континуум множество метрически неизоморфных однородных (например, диадических) фильтраций Инварианты фильтраций могут служить источником для построения инвариантов автоморфизмов и эндоморфизмов, а также для построения характеристик стационарных процессов, которые не меняются при кодировании.

Наиболее удобными инвариантами фильтраций сг-алгебр являются инварианты энтропийного типа*). Они были определены в работах А. М. Вершика и использовались в работах Д. Рудольфа, К. Хоффмана, Д. Хейклен;

*>Е И. Динабург, Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем Изв. АН СССР. Сер матем., 1971, 35 2, 324^366

В. А Рохлин, Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой, УМН, 1967, 22 5(137), 3-56

^А М Вершик, Убывающие последовательности измеримых разбиений, Докл. Акад.Наук СССР 193, вып. 4 (1970), 748-751. А М. Вершик, Континуум попарно неизоморфных диадических последоваг тельностей, Функционал, анализ и прилож. 5, вып. 3 (1971), 16-18.

^А.М Вершик, Убывающие последовательности измеримых разбиений Алгебра и Анализ 6, вып 4, (1994), 1-68

Наиболее простым является энтропия фильтраций (экспоненциальная) которая совпадает в некоторых случаях с энтропией действия групп ^

Более глубокий энтропийный инвариант фильтрации -масштабированная энтропия была введена А. М. Верши-ком ^ и ее изучение является также предметом настоящей диссертации.

В работе исследуется понятие масштабированной энтропии фильтрации сг-алгебр (=монотонно убывающей последовательности сг-алгебр). Предлагается метод вычисления этой энтропии для фильтрации сг-алгебр прошлых марковского процесса, определяемого случайным блужданием по траекториям бернуллиевского действия коммутативной или нильпотентной счетной группы. Для фильтрации, порожденной бернуллиевским действием С, скейлин-говая энтропия равна /ъ(О) -энтропии действия С, скей-линг равен

с(п,е) = (п1од(-))%,

где й- ранг группы <2. Из того, что масштабированная энтропия есть метрический инвариант фильтрации, следует, что последовательности сг-алгебр прошлых случайных блужданий по траекториям бернуллиевского действия решеток И1 - метрически неизоморфны при различных а так же при одном и том же но и при различных значениях энтропии схемы Бернулли. Дается краткий обзор метрической теории фильтраций, в частности приводится формулировка критерия стандартности и его связей с масштабированной энтропией и понятием башни мер.

Степин, Об энтропийных инвариантах убывающих последовательностей измеримых разбиений, Функционал, анализ и щи-лоок. 5, вып. 2 (1971), 80-84.

^А.М. Вершик, Динамическая теория роста в группах: энтропия, границы, примеры, Успех.мат.наук 55, вып. 4 (2000),59-128.

Таким образом, тематика диссертации актуальна.

Цель работы заключается в вычислении масштабированной энтропии фильтрации прошлых случайного блуждания по траекториям действия нильпотентных групп.

Основные результаты работы.

- В работе установлено, что скейлинг в определении комбинаторной энтропии не может быть заменен на субэкспоненциальный, ни для какого класса убывающих фильтраций.

Вычислены скейлинг и скейлинговая энтропия одного класса фильтраций. Подробные определения приведены в тексте диссертации. Опишим,лишь основной объект изучения. Пусть 2 - случайное блуждание по случайному сценарию, порожденное простым блужданием на решетке Zd размерности й, или на счетной нильпотентной группе <2 размерности д.

- В работе установлено, что фильтрация прошлых таг кого процесса имеет скейлинг

с{е,п) = (пк^фу/2

И энтропия фильтрации с таким скейлингом равна Л,(2Г) = М^) (КС)).

Следствие. Все такие фильтрации попарно неизоморфны для разных (I. Для одинаковой размерности фильтрации изоморфны разве что при одинаковой энтропии действия.

- Сопоставляя полученный результат с результатом Дж. Стейфа и Ф. Холландера о бернуллиевских свойствах СБСС процессов, получаем примеры нестандартной фильтрации бернуллиевского и слабо бернуллиевского процесса

- Установлено, что стандартная 4-адическая фильтрация может быть интерполированна до диадической фильтрации со скейлингом сколь угодно близким к экспоненциальному. То есть, наличие стандартной 4-адической под-фильтрации не накладывает ограничений на скорость роста скейлинга фильтрации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования вопросов классификации эндоморфизмов и фильтраций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ПОМИ РАН по теории представлений и динамическим системам, на конференции "Эйлер и современная комбинаторика". На семинарах в институте Шре-дингера в Вене и университете Коперника в г.Торунь.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы - работы [1],[2],[3],[4],[5].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 16 параграфов (нумерация параграфов сквозная), изложена на 98 стр. Список литературы включает 35 названий.

Благодарности. Я глубоко признателен научному руководителю А. М. Верншку за оргомный вклад в мое математическое образование, многолетние обсуждения тематики, постановку задач и научное руководство.

Содержание работы.

В работе исследуется понятие масштабированной энтропии фильтрации <7-алгебр (=монотонно убывающей последовательности (т-алгебр)^. Предлагается метод вычисления этой энтропии для последовательности а-алгебр

И)А.М. Вершик, Динамическая теория роста в группах, энтропия, границы, примеры, Успех.мат,наук 55, вып. 4 (2000),59-128.

прошлых марковского процесса, определяемого случайным блужданием по траекториям бернуллиевского действия коммутативной или нильпотентной счетной группы (Теоремы 5,6). Из того, что масштабированная энтропия есть метрический инвариант фильтрации, следует, что последовательности ст-алгебр прошлых случайных блужданий по траекториям бернуллиевского действия решеток -групп ЪА - метрически неизоморфны при различных размерностях й, а так же при одном и том же (1, но и при различных значениях энтропии схемы Бернулли. Дается краткий обзор метрической теории фильтраций, в частности приводится формулировка критерия стандартности и его связей с масштабированной энтропией и понятием башни мер.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе приводятся общие определения и факты энтропийной теории фильтраций. В параграфе 1 дается определение допустимой полуметрики, приводится определение метрики Канторовича на мерах. В параграфе 2 приводится конструкция итерированных полуметрик и критерий стандартности. В третьем параграфе обсуждается конструкция башни мер. В четвертом параграфе приводится эквивалентная формулировка критерия стандартности.

Вторая глава содержит определение основного объекта изучения диссертации - масштабированной энтропии. Эта глава состоит из трех параграфов. В них даются определения энтропии метрического пространства, масштабированной энтропии и экспоненциальной энтропии.

Третья глава состоит из 5 параграфов. В первом параграфе (§8) обсуждается скейлинг фильтрации случайных блужданий.

Основной результат параграфа 9 - теорема о бесконечности роста стандартной фильтрации с субэкспоненциальным скейлингом. Этот результат показывает, что несмот-

ря на то, что существуют нестандартные фильтрации с нулевой экспоненциальной энтропией, попытка заменить скейлинг на меньшую последовательность не приводит к новому инварианту.

Теорема 3.3. Для стандартной диадической фильтрации $ и любой последовательности положительных чисел ап —> 0. найдется двучленное разбиение 7, с бесконечной энтропией h{7|{£ra}n) -

, Ч-уЩп)

lim sup —-— = 00

га—> оо ^ ' OLn

В параграфе 10 приведен аналогичный результат для эндоморфизмов - энтропия Колмогорова-Синая**^ произвольного эргодического эндоморфизма с субэкспоненциальным скейлингом бесконечна.

Теорема 3.7. Пусть эргодический эндоморфизм Т действует на пространстве Лебега (X, ß). Для любой последовательности ап = о(п) найдется такое двучленное разбиение j, что

Я( у Т-*7)

lim sup ——-= 00 W

n—»OO

Параграф 11 содержит теорему о связи комбинаторной и масштабированной энтропий.

Теорема. 3.11 Для диадической фильтрации, экспоненциальная энтропия совпадает со скейлинговой энтропией, при выборе скейлинга с(п, г) = 2п.

**)Колмогоров А.Н., Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега -Докл АН СССР, 119, выл (1958) с.861-864.

ft) Это показывает, что в определении Колмогоровской энтропии нельзя заменить экспоненциальный рост на произвольный

В параграфе 12 обсуждается основной инвариант и его связь с энтропийными инвариантами. Построен пример интерполяционных последовательностей с большим скей-лингом. Оказывается, что стандартность 4-адической подпоследовательности не накладывает ограничений на скорость роста скейлинга.

Теоерма 3.12. Для любой последовательности сп = о(2п), стандартная 4~адическая фильтрация допускает интерполяцию до диадической фильтрации с положительной скейлинговой энтропией со скейлингом S = с(е,п) = Сп.

В главе 4 - вычисляется масштабированная энтропия фильтрации прошлых случайных блужданий на действии решеток и нильпотентных групп, это является основным результатом диссертаци.

Глава состоит из четырех параграфов.

В параграфе 13 обсуждаются результаты Ф. Холандера и Дж. Стейфа о свойствах процессов случайного блуждания по случайному сценарию. Свойства процесса резюми-рованны в следующих утверждениях.

. СВСС процесс па решетке 7LA в зависимости от ее размерности, имеет следующие свойства.

1. При размерности решетки d = 1 процесс СБСС не обладает свойством свободно-бернуллиевости (loosely Bernoulli)

2. При размерности решетки d — 2 процесс СВСС не изоморфен бернуллиевскому.

3. При размерности решетки d = 3,4 СВСС процесс изоморфен бернуллиевскому, но не обладает свой-стом слабо-бернуллиевского, (weak Bernoulli).

4. Наконец, при размерностях решетки d ^ 5 СБСС процесс слабо-бернуллиевский.

В параграфе 14 доказана нестандартность фильтрации

прошлых случайных блужданий на действии решеток.

Теорема 4.2. Существует, р - полуметрика на пространстве X и е > 0 такие, что для любого полинома р найдется такой номер щ. что для всех точек, кроме множества меры е,

1

ц{у рп(х,у) < £} < > По,

где рп - итерированная метрика.

В пятнадцатом параграфе приведены доказательства некоторых результатов теоретико-вероятностного характера, которые использованы в последнем параграфе диссертации.

Теорема 4.4. Среди всех реализаций случайного блуждания по дисретной нильпотентной группе С можно выделить такое множество М меры 1—8 и такое число 1го, что для любого числа к > Но и любой пары блужданий {иг},{иг} из М найдется такое число

п е (Л, Л5),

что

п п

I < Су/п и | < Су/п

г=1 г=1

В последнем параграфе проводится вычисление скей-линговой энтропии.

Теорема 4.9. Для счетной нильпотентной группы С, и фильтрации Е = {£га}£° прошлых марковского процесса блуждания по траекториям бернуллиевского действия счетной нильпотентной или коммутативной группы С,

собственная скейлинговая функция эквивалентна следующей функции:

ф,п) = (п1оё(-)У'2

здесь (I = (¿(С) - взвешенный ранг нилъпотентной группы в.

Скейлинговая энтропия фильтрации с таким скей-лингом равна к{0) - энтропии действия группы.

Таким образом, скейлинг для абелевых и нильпотент-иых групп - полиномиальный; для блужданий по траекториям бернуллиевского действия свободных неабеле-вых групп - экспоненциален и энтропия соответствующих фильтраций есть обычная (экспоненциальная) энтропия. Вопрос о скейлинге для блужданий на разрешимых группах - открыт.

Список литературы

[1] А.Д. Горбульский, Об одном свойстве энтропии убывающей последовательности измеримых разбиений, Записки науч.сем. ПОМИ 256 , (1999) 19-23.

[2] А.Д. Горбульский, Взаимосвязь разных определений энтропии убывающих последовательностей разбиений. Скейлинг, Записки науч.сем. ПОМИ 283, (2001) 50-62.

[3] А.Д. Горбульский, Пример интерполяции стандартной последовательности измеримых разбиений с большой скейлинговой энтропией, Записки науч.сем. ПОМИ 292, (2002) 5-10.

[4] А.Д. Горбульский, сг-алгебра прошлых случайного блуждания по орбитам бернуллиевского действия группы ZD1 Записки науч. сем. ПОМИ 325, (2005) 103-112.

щ

[5] А. М. Вершик, А.Д. Горбульский, Масштабированная энтропия фильтраций сг-алгебр, Теор.Вер. и приложения 3, (2007) 446-467.

§0. Введение

Глава 1. Основные понятия теории фильтраций

7-алгебр.

§1. Допустимые метрики и метрика Канторовича.

§2. Итерированные полуметрики, построенные по фильтрации, и критерий стандартности

§3. Башня мер.

§4. Критерий стандартности в терминах башни мер

Глава 2. Масштабированная энтропия фильтраций: определение, примеры.

§5. Энтропия метрического пространства с мерой.

§6. Определение масштабированной энтропии

§7. Экспоненциальная (комбинаторная) энтропия.

Глава 3. Масштабированная энтропия фильтраций, порожденных случайными блужданиями по траекториям действия групп.

§8. Скейлинг для случайных блужданий по траекториям бернуллиевского действия групп.

§9. Бесконечность роста энтропии стандартной фильтрации при субэкспоненциальном скейлинге.

§10. Бесконечность роста энтропии эндоморфизма при субэкспоненциальном скейлинге.

§11. Связь комбинаторной и масштабированной энтропий

§12. Основной инвариант и интерполяции стандартных фильтраций. (Интерполяционные последовательности с большим скейлингом).

Глава 4. Вычисление масштабированной энтропии фильтрации прошлых случайных блужданий на коммутативных и нильптентных группах.

§13. Случайные блуждания и действия групп. Пример Каликова.

§14. Нестандартность фильтрации прошлых случайных блужданий по траекториям действий решеток.

§15. Регулярность

§16. Вычисление масштабированной энтропии прошлых случайных блужданий на коммутативных и нильпо-тентных группах.

Актуальность темы. Диссертация посвящена теории убывающих последовательностей сг-алгебр, или фильтраций а-алгебр. Важность этой теории отмечаась в статьях А. Н. Колмогорова, В. А. Рохлина, Дж. Дуба, М. Розенблатта и др. С позиций общей теории меры и эргодической теории ее исследовали А. М. Вер-шик, В. Г. Винокуров и их ученики. Изучение фильтраций а-алгебр стало особенно актуально после их появления в теории случайных процессов и в теории апроксимации эргодических преобразований. Одной из первых задач этой теории является классификация фильтраций сг-алгебр.

Вопрос о классификации фильтраций сг-алгебр возник после того, как А. М. Вершиком было доказано, что существует континуум метрически неизоморфных однородных (например, диадиче-ских) фильтраций ( [1, 2]). Инварианты фильтраций могут служить источником для построения инвариантов автоморфизмов и эндоморфизмов, а также для построения характеристик стационарных процессов, которые не меняются при кодировании.

Наиболее удобными инвариантами фильтраций а-алгебр являются инварианты энтропийного типа. Они были определены в работах А. М. Вершика и использовались в работах Д. Рудольфа, К. Хоффмана, Д. Хейклен. Наиболее простым является энтропия фильтраций (экспоненциальная) которая совпадает в некоторых случаях с энтропией действия групп (А. М. Степин [14])

Более глубокий энтропийный инвариант фильтрации - масштабированная энтропия была введена в [6], и ее изучение является также предметом настоящей диссертации.

В работе исследуется понятие масштабированной энтропии фильтрации (j-алгебр (=монотонно убывающей последовательности <т-алгебр). Предлагается метод вычисления этой энтропии для фильтрации а-алгебр прошлых марковского процесса, определяемого случайным блужданием по траекториям бернуллиевского действия коммутативной или нильпотентной счетной группы. Для фильтрации, порожденной бернуллиевским действием G, масштабированная энтропия равна h(G) -энтропии действия G, скейлинг равен с(П,Е) = (nfoflr(i))^ где d- ранг группы G. Из того, что масштабированная энтропия есть метрический инвариант фильтрации, следует, что последовательности о"-алгебр прошлых случайных блужданий по траекториям бернуллиевского действия решеток Zd - метрически неизоморфны при различных d, а также при одном и том же d, но и при различных значениях энтропии схемы Бернулли. Дается краткий обзор метрической теории фильтраций, в частности приводится формулировка критерия стандартности и его связей с масштабированной энтропией и понятием башни мер.

Таким образом, тематика диссертации актуальна.

Цель работы заключается в вычислении масштабированной энтропии фильтрации прошлых случайного блуждания по траекториям действия нильпотентных групп.

Основные результаты работы.

- В работе установлено, что скейлинг в определении комбинаторной энтропии не может быть заменен на субэкспоненциальный ни для какого класса убывающих фильтраций.

Вычислены скейлинг и скейлинговая энтропия одного класса фильтраций. Подробные определения приведены в тексте диссертации. Опишим лишь основной объект изучения. Пусть S - случайное блуждание по случайному сценарию, порожденное простым блужданием на решетке Zd размерности d, или на счетной нильпотент-ной группе G размерности d.

- В работе установлено, что фильтрация прошлых такого процесса имеет скейлинг c(5,n) = (nlog(i))d/2.

Энтропия фильтрации с таким скейлингом равна энтропии действия решетки (нильпотентной группы) h{S) — h{Zd) (h(G)). следствие. Все такие фильтрации попарно неизоморфны для разных d. Для одинаковой размерности изоморфны лишь фильтрации действий одинаковой энтропии.

- Сопоставляя полученный результат с результатом Дж.

Стейфа и Ф. Холландера о бернуллиевских свойствах RWRS процессов, получаем примеры нестандартной фильтрации бернуллиев-ского и слабо бернуллиевского процесса.

- Установлено, что стандартная 4-адическая фильтрация может быть интерполированна до диадической фильтрации со скей-лингом сколь угодно близким к экспоненциальному. То есть наличие стандартной 4-адической подфильтрации не накладывает ограничений на скорость роста скейлинга фильтрации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования вопросов классификации эндоморфизмов и фильтраций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ПОМИ РАН по теории представлений и динамическим системам, на конференции "Эйлер и современная комбинаторика". На семинарах в институте Шредингера в Вене и университете Коперника в г.Торунь.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы -работы [15],[16],[17],[18],[19].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 16 параграфов (нумера

1. A.M. Вершик, Убывающие последовательности измеримых разбиений, Докл. Акад. Hay к СССР 193, вып. 4 (1970), 748-751.

2. A.M. Вершик, Континуум попарно неизоморфных диадических последовательностей, Функционал, анализ и прилож. 5, вып. 3 (1971), 16-18.

3. A.M. Вершик, Аппроксимация в теории меры, Диссерт. на со-иск. уч. степ, доктора физ.-матем. наук-JI.: ЛГУ, 1973.1-302.

4. A.M. Вершик, Убывающие последовательности измеримых разбиений Алгебра и Анализ 6, вып.4, (1994), 1-68.

5. A.M. Вершик, Метрика Канторовича: начальная история и малоизвестные применения Записки науч.сем. ПОМИ 312 , Теория представлений, динамические системы, комбинаторика. 12. (2004),69-85.

6. A.M. Вершик, Динамическая теория роста в группах: энтропия, границы, примеры, Успех.мат.наук 55, вып. 4 (2000),59-128.

7. A.M. Вершик, Четыре определения шкалы автоморфизма, Функ. анал. и прилоэ/с.7, вып. 3 (1973).7, 1-17.

8. A.M. Вершик, Pasts of Т, Т-1 is nonstandard, manuscript. Berekley 1995.

9. E. И. Динабург, Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем, Изв. АН СССР. Сер. ма-тем. (1971), 35:2, 324-366

10. В. А. Рохлин, Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой, УМН (1967), 22:5,137, 3-56

11. Колмогоров А.Н., Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. -Докл. АН СССР, 119, вып.(1958) с.861-864.

12. И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. М.: Наука (1980).

13. Мартин Н., Ингланд Дж. Математическая теория энтропии. М.: Мир (1988).

14. A.M. Степин, Об энтропийных инвариантах убывающих последовательностей измеримых разбиений, Функционал, анализ и прилож. 5,вып. 2 (1971), 80-84.

15. А.Д. Горбульский, Об одном свойстве энтропии убывающей последовательности измеримых разбиений, Записки науч.сем. НОШИ 256 , (1999) 19-23.

16. А.Д. Горбульский, Взаимосвязь разных определений энтропии убывающих последовательностей разбиений. Скейлинг, Записки науч.сем. ПОМИ 283, (2001) 50-62.

17. А.Д. Горбульский, Пример интерполяции стандартной последовательности измеримых разбиений с большой скейлинговой энтропией, Записки науч.сем. ПОМИ 292, (2002) 5-10.

18. А.Д. Горбульский, сг-алгебра прошлых случайного блуждания по орбитам бернуллиевского действия группы ZD, Записки науч.сем. ПОМИ 325, (2005) 103-112.

19. А. М. Вершик, А.Д. Горбульский, Масштабированная энтропия фильтраций а-алгебр, Теор.Вер. и приложения 3, (2007) 446-467.

20. D. Heicklen, Entropy and г equivalence, Ergod. Th. Dynam. Sys 18 (1998), 1139-1157.

21. D. Heicklen, C. Hoffman, T,T~l is not standard, Ergod. Th. Dynam. Sys. 18 (1998), no. 4, 875-878.

22. C. Hoffman, D. Rudolph, A dyadic endomorphism which is Bernoulli but not standard. Israel J. Math. 130 (2002), 365-379.

23. C. Hoffman, D. Rudolph, Uniform endomorphisms which are isomorphic to a Bernoulli shift, Ann. of Math. (2) 156 (2002), no. 1, 79-101.

24. D. Heicklen, C. Hoffman, D. Rudolph, Entropy and dyadic equivalence of random walks on a random scenary,Adv. Math. 156, no 2 (2000),157-179.

25. S. A. Kalikow, T, T~l transformation is not loosely Bernoulli, , Annals of Math. 115 (1982), 393-409.

26. J.Feldman, D.Rudolph. Standardness of the decreasing sequences of cr-fields given by certain dyadic endomorphisms. Fund. Math. 157 (1998) no. 2-3, 175-189.

27. P. Shields K. Marton, How many future measures can there be? Ergod. Th. Dynam. Sys., 22 (2002), 257-280.

28. X.Bressaud, A.Maass,S.Martinez J.San Martin. Stationary processes whose filtration are standard. The Annals of Prob. (2006) v.34 No.4 1580-1600.

29. L. Dubins, J. Feldman, M. Smorodinsky, and B.S. Tsirelson, Decreasing sequences of er-fields and a measure change for Brownian motion, Ann.Prob. , Vol. 24, No. 2 (Apr., 1996), 905-911.

30. F. Hollander J. Steif, Random walk in random scenery, IMS Led. Notes 48 (2006) 53-65.

31. M. Emery, Espaces probabilises filtres: de la theorie de Vershik au mouvement brownien, via des idees de Tsirelson, Seminaire Bourbaki (2000) vol. 2000/2001, 63-83.

32. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры, Мат. Сборник (новая серия) 25(67), 107-150 (1949).

33. Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований сохраняющих меру, Усп. Мат. Наук 22 (1967), 5(137) 4-56.

34. Кушниренко А. Г., О метрических инвариантах типа энтропии. Усп. Мат. Наук 22 (1967), 5, 57-65.

35. Канторович Л.В, О перемещении масс. -Докл. АН СССР 37, вып.(1942) 7-8.

36. W. Parry, Automorphisms of the Bernoulli endomorphism and a class of skew-products. Ergod. Th. Dynam. Sys. 16 (1996), no.3, 519-529.

37. P.Crepel, A.Raugi, Theoreme central limite sur les groupesnilpotents. Ann. Inst. Henri Poincare, Nouv. Ser., Scct. В 14, (1978) 145-164.